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7/25/2019 [Autor] Apuntes de clculo.pdf

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Tema 1Lmite Funcional

Estudiamos en este tema el concepto de lmite para funciones reales de variable real, que

guarda una estrecha relacin con la continuidad.

1.1. Puntos de acumulacin

Pretendemos estudiar la nocin de lmite de una funcin en un punto, que permite describirel comportamiento de una funcin al acercarnos a un punto de la recta real. A diferencia de

la continuidad, no ser preciso trabajar en un punto donde la funcin est definida y, aunque

lo est, no tendremos en cuenta el valor que toma la funcin en el punto considerado. S ser

necesario que efectivamente podamos acercarnos desde el conjunto de definicin de la funcin

al punto en el que pretendemos estudiarla. Esto motiva la siguiente definicin.

SiA es un subconjunto de R , decimos que R es unpunto de acumulacindeA, cuandoexiste una sucesin de puntos de A, distintos de , que converge a , es decir, existe unasucesin {xn} tal quexn A\{} para todon N y {xn} . Es costumbre denotar por A alconjunto de los puntos de acumulacin de A.

Observamos que si Atenemos puntos deA arbitrariamente prximos apero distintosde . De forma ms concreta, para cada >0 tenemos que] ,+[(A \ {}) = /0, esdecir, podemos encontrarx Atal que 0< |x|< . En efecto, si {xn} conxn A\{}para todo n N, por definicin de lmite de una sucesin existir m N tal que|xn |


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1. Lmite Funcional 2

Consideremos por ejemplo el conjuntoA = [0,1[ {2}. La intuicin nos indica rpidamenteque A = [0,1], pero vamos a demostrar con detalle esta igualdad, para ilustrar las distintasformas de decidir si un nmero real es o no punto de acumulacin de un conjunto.

En primer lugar, es fcil ver que [0,1[A. En efecto, si x[0,1[ , para cualquier > 0podemos tomar y R verificando que x< y < mn{x + ,1} y tenemos evidentemente queyA, as como que 0


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1.2. Concepto de lmite funcional

Sea f :A

R una funcin real de variable real y

A. Se dice que f tiene lmite en el

punto cuando existe L R con la siguiente propiedad: para toda sucesin{xn} de puntosdeA distintos de , que converja a , se tiene que{f(xn)} L . En tal caso, puesto que unasucesin de nmeros reales no puede tener dos lmites distintos, podemos asegurar que L es

nico, decimos queL es ellmite de la funcin f en el punto y escribimosL= lmx f(x). As

pues, simblicamente,

lmx f(x) =L

xn A \{} n N , {xn} = {f(xn)} L

Ntese que la condicin A es justo la que hace que la definicin anterior tenga sentido.

Puesto que puede ocurrir que /

A, resaltamos que puede tener sentido discutir la posible

existencia de lmite de una funcin en puntos que no pertenezcan a su conjunto de definicin.Por otra parte, si a es un punto aislado de un conjunto A R, no tiene sentido hablar de laexistencia de lmite en el puntoapara funciones definidas enA. Finalmente, cuandoa A A,el valor de f(a) no afecta para nada a la existencia de lmite en el punto a para una funcinf :A R . Tampoco afecta al valor de dicho lmite, caso de que exista.

Probamos a continuacin una caracterizacin()del lmite de una funcin:

Sea f :A R una funcin real de variable real y sean A , L R . Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

(i) lmx

f(x) =L

(ii) Si{xn} es una sucesin montona de puntos de A distintos de , con{xn} ,entonces {f(xn)} L

(iii) Para cada>0existe>0tal que, si x A verifica que0< |x| < , entonces|f(x) L| 0 >0 : x A , 0< |x | 0 existe xAverificando que 0< |x| < y|f(x)L| 0 . Para cadan N, tomamos entonces =1/npara obtenerxn Averificando que 0 < |xn |< 1/n y|f(xn)L| 0 . La sucesin {xn} asconstruida admitir una sucesin parcial montona{x(n)}. Entonces{x(n)} es una sucesinmontona de puntos de A distintos de que converge a , pero la sucesin{f(x(n))} noconverge aL , ya que |f(x(n)) L| 0para todon N, luego no se cumple(ii).

(iii)(i). Sea{xn} una sucesin verificando que{xn} con xnA \ {} para todon N. Fijado>0, tomamos>0 dado por la afirmacin(iii)y encontramosm N tal que,paran m, se tenga

|xn

|< . Entonces, tambin paran m, dexn

Acon 0 0, usando (ii) conseguimos un > 0 tal que, para xA con 00,parax Acon |x a|


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De nuevo la demostracin es inmediata. Para ver que (i) (ii) basta definirf(x) = f(x)para todox Ayf() = lm

x f(x). Entonces, la continuidad defen el punto es evidente, ya

que lmx f(x) = lmx f(x) =f(). Por tantofes la extensin requerida en (ii). La implicacinrecproca es an ms clara: si{xn}es una sucesin de puntos de A tal que{xn} , se tieneevidentemente que{f(xn)} = {f(xn)} f(), luego lm

x f(x) =f(). La ltima afirmacin

del enunciado ha quedado claramente de manifiesto.

1.4. Carcter local

A la vista de la ntima relacin con la continuidad en un punto, no resultar sorprendente que

el lmite de una funcin en un punto sea tambin una propiedad local. Observamos previamente

lo que ocurre en general al restringir una funcin, que es bastante evidente:

Sea f :A R una funcin real de variable real, sea B un subconjunto de A y B . Sif tiene lmite en el punto, entonces lo mismo le ocurre a la restriccin f|By se verificaque lm

xf|B(x) = l m

xf(x).

La comprobacin de este hecho casi no merece comentario. Basta pensar que toda sucesin de

puntos deB distintos de , que converja a , es tambin una sucesin de puntos de A distintos

de , que converge a . De paso ha quedado tambin claro que B A, de forma que amboslmites tengan sentido.

Pero lo ms interesante es la condicin que podemos pedir al subconjunto B para conseguir

la afirmacin recproca:

Sean f :A R una funcin real de variable real, B A y B . Supongamos que exister>0tal que ] r,+ r[ (A\{})B. Entonces, si f|Btiene lmite en el punto, lomismo le ocurre a f , y se verifica que lm

xf(x) = l m

xf|B(x).

La demostracin es inmediata tanto mediante sucesiones como usando la caracterizacin()de ambos lmites. Optamos por la segunda posibilidad. Dado > 0, por hiptesis existe un > 0tal que, para xB con 0


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1.5. Lmites laterales

Intuitivamente, para estudiar el comportamiento de una funcin al acercarnos a un punto de

la recta real, podemos analizar solamente lo que ocurre cuando nos acercamos a dicho punto por

la izquierda o cuando nos acercamos por la derecha. Aparece as la nocin de lmite lateral que,

como vamos a ver, es en realidad caso particular del concepto de lmite (ordinario) que hasta

ahora hemos considerado. Para desarrollar esta idea conviene introducir una notacin adecuada,

aunque pueda parecer algo artificiosa.

Dados un conjuntoA R y R, consideraremos los conjuntos

A = {x A : x}

Sea ahora f:A

R una funcin y supongamos que

(A ), es decir, existe una sucesin

{xn

}de puntos deA, tal que xn< para todon N y{xn} . Ello equivale tambin a que, paratodo> 0, se tenga],[ A = /0. Entonces, decimos que f tiene lmite por la izquierdaenel punto cuando existe L R con la siguiente propiedad: para toda sucesin{xn}de puntosdeA, verificando que xn< para todo n N y{xn} , se tiene que{f(xn)} L . En talcaso,L es nico, le llamamos lmite por la izquierdade f eny escribimosL= lm

x f(x).

Anlogamente, supongamos que (A+ ), es decir, que existe una sucesin {xn} de puntosdeAverificando que xn> para todon N y{xn} . Ello equivale a que, para todo>0,se tenga ],+ [A = /0. Diremos que f tiene lmite por la derecha en el punto cuandoexista L R con la siguiente propiedad: para toda sucesin{xn} de puntos de A, verificandoquexn> para todo n N y{xn} , se tiene que{f(xn)} L . De nuevo L es nico, lellamamoslmite por la derechade f eny escribimosL= lm

x+ f(x).

Observemos que los lmites laterales que acabamos de definir son casos particulares del

lmite ordinario que hasta ahora venamos manejando. En efecto, si (A ) y llamamosg a la restriccin de f al conjunto A , se deduce directamente de las definiciones que, paracualquierL R , se tiene: lm

x f(x) =L lmxg(x) =L . Anlogamente, si (A+ )

yh

es la restriccin de fal conjuntoA+ , paraL R , se tiene: lmx+ f(x) =L lmxh(x) =L .

As pues, cada lmite lateral de una funcin es el lmite ordinario de una restriccin de la

funcin. Las propiedades que hasta ahora conocemos para el lmite ordinario, y cualesquiera

otras que podamos obtener ms adelante, se aplican automticamente a los lmites laterales,prestando la debida atencin al cambio de funcin que se requiere para pasar de un tipo de

lmite a otro. Ejemplificamos este hecho con una caracterizacin ()de los lmites laterales.Sean f :A R una funcin real de variable real y R. Supongamos que (A ) ysea L R. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) lmx f(x) =L

(ii) Para toda sucesin creciente {xn} de puntos de A distintos de, tal que {xn} ,se tiene que {f(xn)} L

(iii)>0>0 : x A ,


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La caracterizacin anloga del lmite por la derecha se consigue obviamente usando en(ii)sucesiones decrecientes en vez de crecientes y sustituyendo en (iii)la condicin


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La comprobacin de las tres afirmaciones anteriores es inmediata. Observamos primeramente

que las tres implicaciones hacia la derecha son obvias: lo que se cumple para cualquier sucesin

{xn

}de puntos deAdistintos deque converja a , se cumplir en particular, tanto cuando sea

xn< para todon N, como cuando seaxn> para todon N. Para la implicaciones haciala izquierda usamos la caracterizacin del lmite ordinario mediante sucesiones montonas. Sea

{xn} una sucesin montona de puntos de A distintos de con{xn} . En el caso (c), si{xn} es creciente tendremos xn< para todo n Ny la definicin de lmite por la izquierdanos dice que{f(xn)} L , como se quera. Si{xn}fuese decreciente tendramos xn> paratodo n Ny usaramos el lmite por la derecha para llegar a la misma conclusin. En el caso(a), basta observar que {xn} no puede ser decreciente, pues entonces se tendra (A+ )contrala hiptesis, luego {xn} es creciente. Entoncesxn


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4. Se define una funcin f : ] 1,1[ R como sigue, dondec R es una constante:

f(x) = (1 +x)1 si

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Tema 2Sucesiones y funciones divergentes

Nuestro prximo objetivo es ampliar el estudio de los dos tipos de convergencia, o de lasdos nociones de lmite, que hasta ahora conocemos: el lmite de una sucesin de nmeros reales

y el lmite en un punto de una funcin real de variable real.

Empezamos prestando atencin a determinadas sucesiones no acotadas de nmeros reales,

que llamaremos sucesiones divergentes. Adaptaremos las reglas sobre clculo de lmites de

sucesiones, para contemplar tambin la posibilidad de manejar sucesiones divergentes.

Podremos entonces ampliar el conocimiento del lmite funcional en dos sentidos. Por una

parte, analizaremos el tipo de comportamiento que puede tener una funcin cuando la variable

crece o decrece indefinidamente, mediante la nocin de lmites en el infinito. Por otra, en claro

paralelismo con las sucesiones divergentes, estudiaremos tambin la divergencia de funciones,

explicando este nuevo tipo de comportamiento que una funcin puede presentar, tanto en unpunto de la recta real como en el infinito.

2.1. Sucesiones divergentes

Hasta ahora, el estudio de las sucesiones de nmeros reales se ha reducido prcticamente a

considerar sucesiones acotadas, que ciertamente son las ms tiles. Sin embargo, hay preguntas

sobre sucesiones acotadas, o incluso sobre sucesiones convergentes, que no tienen an respuesta

satisfactoria, precisamente porque no hemos prestado ms atencin a las sucesiones no acotadas.

Para ver una pregunta concreta del tipo indicado, recordemos que si{xn}es una sucesin denmeros reales no nulos tal que{xn} 0, entonces la sucesin{yn} = {1/xn}no est acotada,pero el recproco no es cierto. Por ejemplo, tomando

yn=n + (1)n n + 1 n N , es decir, xn=

1

n + (1)n n + 1 n N

tenemos claramente que la sucesin {yn}no est acotada, ya que{y2n}={4n + 1}, pero{xn}no converge a cero, ya que x2n1 = 1 para todo n N. Es razonable por tanto la siguientepregunta: qu condicin necesaria y suficiente debe cumplir {yn}para tener{xn} 0? Puesbien, esta pregunta, y otras ms complicadas que podramos plantear, encontrarn una respuesta

satisfactoria con el estudio de las sucesiones divergentes que ahora vamos a iniciar.

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2. Sucesiones y funciones divergentes 11

Tomemos como gua la sucesin {n} de los nmeros naturales, la sucesin {n} de susopuestos y la sucesin alternante {(1)n n}. Las tres son sucesiones no acotadas, pero muestrancomportamientos especiales que ahora vamos a catalogar.

Se dice que una sucesin{xn}de nmeros reales diverge positivamente, cuando para todoK R puede encontrarse m N tal que, para n m, se tiene xn > K. En tal caso, decimostambin que{xn}tiende a+y escribimos{xn} +. Simblicamente:

{xn} +

K R m N : n m xn>K

Equivalentemente,{xn} +cuando para todoK R el conjunto{n N : xn K}es finito.

De forma anloga, decimos que la sucesin{xn}diverge negativamente, o quetiende a,y escribimos{xn} , cuando para todo K R existe m N tal que, para n m se tienexn


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Sea{x(n)}una sucesin parcial de una sucesin de nmeros reales{xn}. Entonces:

(i) {xn} + = {x(n)} +

(ii

) {x

n}

= {x(n)}

(iii) Si{xn}es divergente, lo mismo le ocurre a {x(n)}

La comprobacin de estos hechos es bastante inmediata. Si{xn} +, para todoK R existem N tal que, para n m es xn> K. Entonces, tambin para n m, por ser (n) n m,tenemosx(n)> K. Para obtener(ii)basta aplicar(i)a la sucesin{xn}. Finalmente, si{xn}es divergente, tenemos{|xn|} +luego{|x(n)|} +y {x(n)}tambin es divergente.

Como consecuencia de lo anterior, usando el Teorema de Bolzano-Weierstrass, obtenemos

una caracterizacin de las sucesiones divergentes que explica por qu las llamamos as:

Para una sucesin{xn}de nmeros reales, son equivalentes:

(i) {xn}no es divergente(ii) {xn}admite una sucesin parcial acotada(iii) {xn}admite una sucesin parcial convergente

(i) (ii). Si{xn}no es divergente, sabemos que{|xn|}no tiende a+, luego existeK R talque el conjuntoA = {n N :|xn| K} es infinito. Por tanto existe una aplicacin estrictamentecreciente : NA, con lo que {yn} = {x(n)} es una sucesin parcial de {xn} que est acotada,ya que|yn| Kpara todon N.

(ii) (iii). Si{yn}={x(n)} est acotada, el Teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice que{yn} admite a su vez una sucesin parcial {zn} = {y(n)} que es convergente. Pero {zn} tambines una sucesin parcial de {xn}, ya que zn =y(n) = x((n)) = x(n) para todo n N y la

aplicacin : N N es estrictamente creciente, por serlo y .

(iii) (i). Hemos visto anteriormente que una sucesin parcial de una sucesin divergentetambin es divergente.

As pues, una sucesin de nmeros reales es divergente si, y slo si, no admite ninguna

sucesin parcial convergente. Pero completemos la relacin entre divergencia y acotacin.

Es claro que una sucesin que diverge positivamente est minorada pero no mayorada. El

recproco no es cierto, como muestra la sucesin {xn}dada por

xn = n

4 1 + (1)n

n NEst minorada, ya que xn 0 para todo n N, y no est mayorada, porquex2n= n para todon N, pero no es divergente, pues x2n1= 0 para todon N. Anlogamente, si una sucesindiverge negativamente, est mayorada pero no minorada y tampoco es cierto el recproco, basta

pensar en la sucesin{xn}donde{xn}se define como antes.

Es claro que una sucesin divergente nunca est acotada, puede estar minorada, como le

ocurre a {n}, mayorada como le ocurre a {n}, y puede no estar mayorada ni minorada, como leocurre a la sucesin{(1)n n}. Completamos la discusin con un ejemplo de una sucesin queno est mayorada, tampoco est minorada, pero no es divergente. Basta considerar la sucesin

{yn}definida por y3k2= k, y3k1= k, y3k= 0 para todok N. Intuitivamente, se trata dela sucesin: 1 , 1 ,0 ,2 , 2 ,0 ,3 , 3 ,0 . . .

La situacin se clarifica enormemente si consideramos sucesiones montonas:


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Toda sucesin de nmeros reales creciente y no mayorada diverge positivamente. Toda

sucesin decreciente y no minorada diverge negativamente.

En efecto, si{xn}es creciente y no mayorada, dado K R, existem N tal quexm> K, peroentonces, para n m tenemos xn xm>K, luego {xn} +. Si {xn} es decreciente y nominorada, entonces{xn}es creciente y no mayorada, luego{xn} +y {xn} .

Queda claro por tanto que toda sucesin montona es convergente o divergente. La versin

para series del ltimo resultado merece ser destacada:

Toda serie de nmeros positivos es convergente o diverge positivamente.

2.3. Sumas con sucesiones divergentes

En lo que sigue vamos a revisar las reglas de clculo de lmites, involucrando sucesiones

divergentes. En primer lugar, anotemos criterios de comparacin bastante obvios:

Sean{xn}e {yn}sucesiones de nmeros reales y supongamos que existe m N tal que,para todo n m, se tiene xn yn. Entonces:

{xn} + = {yn} + ; {yn} = {xn}

Veamos ya lo que ocurre al sumar dos sucesiones convergentes o divergentes. Partimos

claro est del hecho conocido de que si {xn} e {yn} son sucesiones convergentes, entonces{xn+yn} es convergente. Se trata de considerar las restantes posibilidades y todo se deducirde la siguiente observacin:

Sean{xn}e {yn}sucesiones de nmeros reales.

(i) Si{xn} +e {yn}est minorada, entonces{xn+yn} +(ii) Si{xn} e {yn}est mayorada, entonces{xn+yn} .

La comprobacin es inmediata. En el caso (i), existe Rtal queyn para todon N y,dado K R, existirm N tal que, para n m, se tiene xn> K, luego xn+yn> K. Para

(ii)basta aplicar(i)a las sucesiones{xn}y {yn}.

Conviene observar que si la sucesin {yn} es convergente, podemos aplicar (i) y(ii). Portanto, para cualquier sucesin convergente{yn}, tenemos que{xn+yn} +si {xn} +y que{xn+yn} si {xn} .

Por otra parte, si {yn} + tambin podemos aplicar(i), luego si {xn} e{yn} divergenpositivamente, lo mismo le ocurre a{xn+yn}. Anlogamente, si{yn} podemos aplicar(ii), obteniendo que{xn+yn} siempre que{xn} e {yn} .

Cuando tenemos informacin menos precisa, el resultado anterior sigue siendo til. Ms

concretamente, si {xn} es divergente e {yn} est acotada, entonces {xn+yn} es divergente.Basta observar que|xn+yn| |xn| |yn|para todon N, luego como{|xn|} +y {|yn|}est acotada, deducimos que{|xn| |yn|} +y, por comparacin,{|xn+yn|} +.


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Hay una posibilidad que no est contemplada en la discusin anterior: nada hemos dicho

sobre lo que ocurre con{xn+yn}cuando{xn} + e {yn} . Planteada de forma msgenrica, la pregunta sera si podemos afirmar algo sobre la suma de dos sucesiones divergentes.

Vamos a ver que, en general, nada se puede afirmar, puede ocurrir de todo.

De hecho, toda sucesin {zn} de nmeros reales puede escribirse en la forma {xn+yn}con {xn} + , {yn} . En efecto, para cada n N, tomamos xn =zn+ |zn| + n y,lgicamente, yn= zn xn, con lo que tenemos xn n , yn= |zn| n n. Deducimos que{xn} +y que{yn} , como se quera. En particular, queda claro que toda sucesin denmeros reales se expresa como suma de dos sucesiones divergentes.

En una situacin como la anterior, se dice que tenemos una indeterminacin. En el caso

que nos ocupa, decimos que la indeterminacin es deltipo[ ]. Se trata solo de una formade hablar: cuando decimos que tenemos una indeterminacin del tipo [ ] solo estamos

recordando que no existe (no puede existir) ningn resultado general que nos d informacinsobre la suma de una sucesin que diverge positivamente con otra que diverge negativamente.

Por supuesto, ello no quiere decir que en cada caso concreto no podamos describir con toda

precisin el comportamiento de tal sucesin. De hecho, ms adelante estudiaremos mtodos

bastante generales para evitar, bajo ciertas hiptesis, esta y otras indeterminaciones.

2.4. Productos y cocientes

Para poder discutir lo que ocurre con un producto de sucesiones, al menos una de las cuales

es divergente, la observacin bsica es la siguiente:

Sean {xn} e {yn} sucesiones de nmeros reales. Supongamos que {xn} + y queexisten>0 y p N tales que para n p se tiene yn>. Entonces{xnyn} +

En efecto, dado K R+, existe m N tal que, para n m, se tiene xn>K/ y, por tanto,xnyn>K, lo que prueba que {xnyn} +.

Las hiptesis del resultado anterior parecen muy restrictivas, pero es fcil aplicarlo para

obtener interesantes consecuencias:

(a) Si {xn} e {yn} son sucesiones divergentes, entonces {xnyn} tambin es divergente. Enefecto, basta usar que{|xn|} +y que existe p N tal que|yn| >1 paran p.

(b) De hecho, aplicando el resultado anterior a {xn} o {xn}, as como a {yn} o {yn} segnconvenga, obtenemos lo siguiente:Si{xn}e{yn}divergen ambas positivamente o ambasnegativamente, entonces{xnyn} +, mientras que si una diverge positivamente y otradiverge negativamente, entonces{xnyn} .

(c) Si {xn} es divergente e {yn} converge a un nmero real no nulo, {yn} R, entonces

{xnyn}es divergente.En efecto, basta observar que tomando 0 0 o {xn} y < 0, entonces

{xnyn} +. Si{xn} +y 0, entonces{xnyn} .


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Nada hemos dicho an sobre el producto de una sucesin divergente por una sucesin que

converja a cero. Nada se puede afirmar, tenemos aqu la indeterminacin del tipo[ 0 ]. Denuevo vemos que toda sucesin {zn} se escribe en la forma {xnyn}, con {xn} + , {yn} 0.

Basta tomar, para cadan N,xn= n(|zn| + 1) y, lgicamente, yn= zn/xn, con lo que se tieneclaramentexn n , |yn| 1/n. As pues,{xn} + , {yn} 0, como queramos.

Pasemos ahora a considerar el cociente de dos sucesiones. Discutido ya el comportamiento

de un producto, basta pensar lo que ocurre con la sucesin {1/yn}donde{yn}es una sucesinconvergente o divergente de nmeros reales no nulos. La observacin clave es la siguiente, que

contesta una pregunta planteada como motivacin al principio del tema:

Sea yn R para todo n N. Entonces{yn} 0si, y slo si,{1/yn}es divergente.

La demostracin de ambas implicaciones es inmediata. Si {yn} 0, dado K R+ podemos

encontrar mN

de forma que, para n m, se tenga|yn|K, luego{|1/yn|} +. Recprocamente, dado > 0, la divergencia de {1/yn} nos proporciona unm N tal que, paran m, se tiene|1/yn| >1/ , luego|yn|


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La implicacin hacia la derecha es evidente, puesto que {n}es un sucesin de puntos de N quediverge positivamente. Recprocamente, supongamos que {f(n)} L y sea{xn}una sucesinde puntos de N que diverge positivamente. Dado > 0 existe p N tal que, para k N con

k p se tiene |f(k) L|< . Por ser {xn} +, existe m N tal que para n m se tienexn> p y por tanto |f(xn) L|< . Queda claro que la nocin de lmite en el infinito de unafuncin generaliza ampliamente la nocin de lmite de una sucesin de nmeros reales.

La nocin de lmite en se define de forma enteramente anloga al caso de+: siAes unconjunto no minorado de nmeros reales, se dice que una funcin f :A R tiene lmite encuando existe L R tal que {f(xn)} L para toda sucesin {xn}de puntos de A que diverjanegativamente. Entonces L es nico, le llamamos lmite en de la funcin f y escribimosL= lm

xf(x). As pues,

lmx

f(x) =L xn A n N , {xn} {f(xn)} L Las nociones de lmite en el infinito se transforman una en otra fcilmente:

Sea A un conjunto de nmeros reales no minorado y f :A R una funcin. Consideremosel conjunto no mayorado B = {x:x A}y la funcin g :B R dada por g(x) = f(x),para todo x B. Entonces, para cualquier L R se tiene

lmx

f(x) =L lmx+

g(x) =L

Para comprobar esta equivalencia, basta observar que las sucesiones de puntos deA que divergen

negativamente son exactamente las sucesiones de la forma{xn}donde{xn}es una sucesinde puntos deB que diverge positivamente, y decir que{f(xn)} L es tanto como decir que{g(xn)} L. Obsrvese que, teniendo en cuenta la definicin de g, la equivalencia probadapuede escribirse de forma intuitivamente muy clara: lm

xf(x) =L lm

x+f(x) =L.

En realidad el lmite en + de una funcin, y por tanto tambin el lmite en , puedenreducirse al estudio del lmite ordinario en 0 de otra funcin. Los detalles son como sigue:

Sea A R un conjunto no mayorado y f :A R una funcin. Consideremos el conjuntoB={1/x : x A R+} y la funcin h: B R definida por h(x) = f(1/x) para todox B. Entonces0 B y para L R se tiene

lmx+

f(x) =L lmx0

h(x) =L

La demostracin no ofrece dificultad. Tomamos una sucesin {xn}de puntos de A que diverjapositivamente ym N de forma que para n m se tenga xn=0. Entonces{yn}={1/xm+n}es una sucesin de puntos de B que converge a cero. Esto prueba que 0 B , pero adems,suponiendo que lm

x0h(x) =L, tendremos {h(yn)} L, es decir, {f(xm+n)} L, con lo que

{f(xn)} L y hemos probado que lmx+

f(x) =L. Finalmente, para la implicacin hacia la

derecha, si{yn} 0 conynBpara todon N, es claro que{1/yn} +con 1/yn Apara

todon N, luego{f(1/yn)} Les decir,{h(yn)} L.


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Ntese que la forma de definir el conjuntoB, ms concretamente el hecho de queB R+, hajugado un papel clave en la demostracin anterior. Si queremos escribir la equivalencia recin

probada omitiendo la funcinh para que slo aparezca f, debemos hacerlo como sigue

lmx+

f(x) =L lmx0+

f(1/x) =L

En cierto modo, el lmite en+debe entenderse como un lmite lateral.

Queda claro en cualquier caso que los resultados sobre el lmite de una funcin en un punto

pueden aplicarse a los lmites en el infinito, prestando atencin al cambio de funcin requerido.

Por ejemplo, usando esta idea, junto con la caracterizacin ( ) del lmite en un punto, seconsigue una caracterizacin anloga para el lmite en el infinito. El enunciado es el que sigue

y se puede probar tambin usando directamente la definicin de lmite en+ .

Sea A un conjunto no mayorado de nmeros reales, f :A

R una funcin y L

R. Las

siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) lmx+

f(x) =L

(ii) Si {xn} es una sucesin creciente y no mayorada de elementos de A, entonces{f(xn)} L

(iii) >0 K R : x A , x>K |f(x) L| 0 arbitrario yconsideremos el conjunto B= {x A : x>}. Entonces, para cualquier L R se tiene

lmx+

f(x) =L lmx+

f|B(x) =L

2.6. Funciones divergentes en un punto

Del mismo modo que hemos estudiado las sucesiones divergentes, podemos ahora analizar

la divergencia para funciones reales de variable real. Haremos primero este anlisis en un punto

de la recta real, para pasar despus al caso de +o .

Diremos que una funcin f :A R diverge positivamente en un punto A cuando, paratoda sucesin{xn}de puntos de A distintos de , con{xn} , se tenga que{f(xn)} +.Podemos decir tambin que f tiende a+en el punto y escribimos: f(x) + (x ).

Diremos que f diverge negativamente en el punto , o que f tiende aen , cuando lafuncinfdiverja positivamente en , en cuyo caso escribimos: f(x) (x ).

Finalmente, diremos que f diverge en el punto cuando la funcin |f| diverja positivamenteen, en cuyo caso escribimos lgicamente |f(x)| + (x ).

Cabe hacer aqu comentarios similares a los que hicimos para sucesiones, la divergencia de

una funcin en un punto es incompatible con la existencia de lmite en dicho punto. No se debe

decir que una funcin tiene lmite+en un punto, ni usar notaciones como lmx

f(x) = +.


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La divergencia, de cualquier tipo, de una funcin en un punto, admite dos reformulaciones

equivalentes, en clara analoga con la caracterizacin ( ) del lmite funcional. Damos elenunciado para la divergencia positiva, a la que se reducen las otras dos. La demostracin a

estas alturas debera ser un ejercicio bien sencillo.

Sea f :A R una funcin real de variable real y A. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(i) f(x) + (x )(ii) Si {xn} es una sucesin montona de puntos de A distintos de , con {xn} ,

entonces{f(xn)} +(iii) K R >0 : x A , 0< |x | K

Finalmente, tambin es claro que cualquier tipo de divergencia de una funcin en un punto

es una propiedad local. Para una funcin f :A R y A, podemos fijar r> 0 arbitrarioy considerar el conjunto B ={xA : |x |0 : xA ,


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Finalmente, la relacin entre divergencia en un punto y divergencia lateral para la misma

funcin, sigue un esquema anlogo al que vimos en su momento para la relacin entre lmite

ordinario y lmites laterales. Lo enunciamos con detalle para la divergencia positiva y omitimos

la demostracin, que no encierra dificultad alguna.

Sean f :A R y A.

(a) Si (A ) pero / (A+ )

, entonces

f(x) + (x ) f(x) + (x )

(b) Si (A+ ) pero / (A )

, entonces

f(x) + (x ) f(x) + (x +)

(c) Finalmente, si (A+ ) (A+ )

, entonces

f(x) + (x )

f(x) + (x ) yf(x) + (x +)

Naturalmente, podemos sustituir + por en todas la afirmaciones anteriores, obteniendola relacin entre divergencia negativa ordinaria y las laterales que tengan sentido, pero es tanto

como aplicar el resultado anterior a la funcinf.

Igualmente aplicando el ltimo resultado a la funcin |f|relacionamos la divergencia de fcon las laterales. Merece la pena comentar que en el caso ms interesante, (A+ )

(A+ ),

puede ocurrir que que f(x) + (x ) y f(x) (x +). Entonces fdiverge enel punto, es decir,|f(x)| + (x), pero fno diverge positivamente ni negativamenteen el punto.

Para ver un ejemplo concreto, consideremos la funcin f : R R definida por f(x) =1/xpara todox R. Observamos claramente que 1/x+ (x0+)y 1/x (x0),as que f diverge en el origen pero no lo hace ni positiva ni negativamente.

2.8. Divergencia en el infinito

Para completar todo el esquema que hemos venido desarrollando, discutimos brevemente la

divergencia de una funcin en+o en.

SiA Rno est mayorado, una funcin f :A Rdiverge positivamente en+cuando,para toda sucesin{xn}de puntos deA que tienda a+, se tiene tambin que{f(xn)} +.En tal caso escribimos f(x)+ (x+). Sif diverge positivamente en + decimosque f diverge negativamente en+y escribimos f(x) (x+). Finalmente, cuando|f(x)| + (x +)decimos que f diverge en+.

La divergencia en se define anlogamente. Para un conjunto no minorado A R, unafuncin f :A R diverge positivamente en cuando, para toda sucesin {xn} de puntosde A que tienda a, se tiene que {f(xn)} +, y escribimos f(x)+ (x ). Sif diverge positivamente en decimos que f diverge negativamente en y escribimosf(x) (x ). Finalmente, cuando|f(x)| + (x+)decimos que f divergeen+.


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Como ocurra con los lmites en el infinito, la divergencia en se reduce a la divergenciaen+mediante el apropiado cambio de funcin.

Sea A R un conjunto no minorado y f :A R una funcin. Consideremos el conjuntono mayorado B={x : xA}y la funcin g: B R definida por g(x) = f(x)paratodo x B. Entonces, cada tipo de divergencia de f en equivale al mismo tipo dedivergencia de g en+.

El resultado anterior puede expresarse de la siguiente forma, que resulta ms intuitiva:

f(x) + (x ) f(x) + (x +)

f(x) (x ) f(x) (x +)

|f(x)| + (x ) |f(x)| + (x +)

La divergencia en+, y por tanto tambin en, puede reducirse a la divergencia en unpunto de la recta real:

Sea A R un conjunto no mayorado y f :A R una funcin. Consideremos el conjuntoB= {1/x : x A R+}, que verifica 0 B , y sea g: B R la funcin definida porg(x) = f(1/x)para todo xB. Entonces, cada tipo de divergencia de f en +equivaleal mismo tipo de divergencia de g en0.

De forma ms intuitiva, pero sin olvidar que la inclusin B R+ juega un papel esencial,podemos escribir

f(x) + (x +) f(1/x) + (x 0+)

f(x) (x +) f(1/x) (x 0+)

|f(x)| + (x +) |f(1/x)| + (x 0+)

De cualquier forma que se exprese, queda claro que la divergencia de una funcin en +o en puede verse como la divergencia en 0 de otra funcin. Esta idea puede usarse porejemplo, para obtener caracterizaciones de la divergencia en +o enmediante sucesionesmontonas, o sin usar sucesiones. Enunciamos una caracterizacin de este tipo que tambin

puede probarse directamente:

Sea A R un conjunto no mayorado y f :A R una funcin. Las siguientes afirmacionesson equivalentes:

(i) f(x) + (x +)(ii) Para toda sucesin creciente y no mayorada {xn} de puntos de A, se tiene que

{f(xn} +(iii) K R M R : x A , x>M f(x)>K

En general, toda la discusin desarrollada en este tema adolece claramente de una ausencia

de ejemplos ilustrativos de las diferentes situaciones que se han ido analizando. El prximo

tema se dedica especficamente a rellenar esa laguna.


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Tema 3Clculo de lmites

El presente tema tiene un inters eminentemente prctico, pues su principal finalidad es

aportar los ejemplos que se echaban de menos en el tema anterior.

Empezaremos estableciendo las reglas bsicas para el estudio de lmites y divergencia para

sumas, productos o cocientes de funciones reales de variable real. Se trata de trasladar, de forma

bastante mecnica, las reglas ya conocidas para sucesiones y, lgicamente, se reproducen las

indeterminaciones que ya tenamos.

Precisamente para salvar esas indeterminaciones, presentamos algunos mtodos nuevos para

estudiar el carcter de ciertas sucesiones, entre los que destaca el criterio de Stolz con sus

muchas aplicaciones. Tambin estudiamos sucesiones de potencias, prestando especial atencina algunos lmites relacionados con el nmeroe, tanto lmites de sucesiones como de funciones.

En particular tendremos un estudio, ms amplio que el hecho hasta ahora, de la principales

funciones conocidas: racionales, exponenciales, logartmicas y funciones potencia.

En resumen, tendremos una amplia gama de ejemplos para ilustrar las nociones de lmite y

divergencia, junto con una serie de mtodos prcticos para resolver indeterminaciones.

3.1. Sumas, productos y cocientes

Las reglas conocidas para el estudio de la convergencia o divergencia de sucesiones se

trasladan fcilmente a funciones reales de variable real, obteniendo las reglas bsicas para el

estudio de lmites de funciones y funciones divergentes. Trabajaremos solamente con lmites o

divergencias en un punto de la recta real, por ser el caso ms general. Los resultados se trasladan

automticamente a los dems casos, lmites o divergencias laterales y lmites o divergencias en

el infinito, prestando la debida atencin al cambio de funcin que en cada caso se requiera.

Empezamos estudiando el comportamiento de la suma de dos funciones que tienen lmite o

divergen en un punto, con dos observaciones clave:

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3. Clculo de lmites 22

Sean f,g:A R funciones reales de variable real y A.(i) Si f y g tienen lmite en, entonces f+ g tiene lmite en, verificndose que

lmx

f+ g

(x) = lm

x f(x) +lmxg(x)

(ii) Supongamos que f(x) + (x )y que g verifica la siguiente condicin:>0M R : xA , 0< |x | < = g(x) M (1)

es decir, g est minorada en la interseccin de A \ {}con un intervalo abierto decentro . Entonces:

f+ g

(x) + (x )

Para probarlo, sea

{xn

} , con xn

A

\ {}

para todo n

N. En el caso (i) tenemos que

{f(xn)} lmx f(x) y{g(xn)} lmxg(x) , luego

f+ g

(xn)

= {f(xn) + g(xn)} lmx f(x) +lmxg(x)

En el caso(ii)tenemos{f(xn)} +y usando(1)vemos que{g(xn)}est minorada, puestoque existe m N tal que, paran m, se tiene 0 0 de forma que se verifique (1). Podemos as obtener las siguientesconsecuencias:

(a) Si f(x)+ (x) y g tiene lmite o diverge positivamente en, entonces f+ gdiverge positivamente en .

(b) Si f(x) (x) y g tiene lmite o diverge negativamente en, entonces f+ gdiverge negativamente en .

(c) Si f diverge en el punto y g tiene lmite en , entonces f+ g diverge en .

Nada se puede afirmar sobre el comportamiento en un punto de la suma de dos funciones,

cuando una diverge positivamente y otra negativamente en dicho punto. Por tanto, tampoco

podemos afirmar nada, si solo sabemos que ambas funciones divergen en el punto en cuestin.

Reaparece aqu, para funciones, la indeterminacin del tipo[ ].Con respecto al producto de funciones, las observaciones bsicas son ahora tres:

Sean f,g:A R funciones reales de variable real y A.(i) Si f y g tienen lmite en el punto , entonces f g tiene lmite en, dado por

lmx

f g

(x) = lmx f(x) lmxg(x)


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(ii) Supongamos que lmx f(x) =0 y que g est acotada en la interseccin de A \ {}

con un cierto intervalo abierto de centro , es decir,

>0M>0 : xA , 0< |x | < = |g(x)|M (2)Entonces: lm

x

f g

(x) =0.

(iii) Supongamos que f(x) + (x )y que g verifica la condicin(1)con M>0,es decir:

>0M>0 : xA , 0< |x | < = g(x) M (3)Entonces:

f g

(x) + (x ).Para comprobar estas afirmaciones, tomamos una sucesin{xn}de puntos deA distintos de ,con{xn} . En el caso(i)tenemos que{f(xn)} lmx f(x) y{g(xn)} lmxg(x) , luego

f g

(xn)

= {f(xn) g(xn)} lmx f(x) lmxg(x)

En el caso(ii)tenemos{f(xn)} 0, y usando(2)vemos que{g(xn)}est acotada, puestoque existem Ntal que, para n m, se tiene 0


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La comprobacin de las tres afirmaciones es inmediata. En el caso (i) podemos asegurar queexiste > 0 tal que, para xA con 0


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La observacin clave es la siguiente:

lmx

+

xpR(x) = lmx

xpR(x) = lmx

+

xq S(x) = lmx

xq S(x) = 0 (4)

Basta comprobar las dos afirmaciones sobre R, las referentes a S son anlogas. Suponemos

p>0, pues en otro caso no hay nada que comprobar, escribimos

xpR(x) =p1

k=0

akxkp x R

dondea0,a1, . . . ,ap1son los coeficientes de R, y basta usar que lmx+x

kp = lmxx

kp =0,parak=1,2, . . . ,p 1.

Finalmente escribimos

f(x) = xpq a +xpR(x)b +xq S(x)

= xpq g(x)xA \{0}

donde la funcin racionalg :A \{0} R se define por esta misma igualdad y, en vista de (4),verifica que lm

x+g(x) = lmxg(x) =a/b. Hemos evitado as cualquier indeterminacin y ladescripcin del comportamiento de f en+yqueda como sigue:

Si pq, entonces f diverge tanto en+como en. Ms concretamente diverge:(a) Positivamente en+y en, cuando p q es par y a/b>0(b) Negativamente en+y en, cuando p q es par y a/b0(d) Negativamente en+y positivamente en, cuando p q es impar y a/b


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La funcin racional f=P/Q, donde los polinomios P y Q son primos relativos, divergeen todo punto R que verifique Q() =0(y por tanto P() =0).Ms concretamente, si Q tiene un cero de orden m en el punto

, entonces existe el lmite

y= lmx(x )

mf(x) R y pueden darse cuatro casos:(a) y>0y m par: f(x) + (x )(b) y0y m impar: f(x) (x ) y f(x) + (x +)(d) y 0 para todo n N, y se conoce el carcter de ambassucesiones. Para ello podemos escribir

xynn = expynlogxn

n N (5)y aprovechar las propiedades de la funcin exponencial y del logaritmo, que vamos a resumir.

En primer lugar sabemos ya que la funcin exponencial es continua en R y el logaritmo

es continua en R+. Por otra parte, sabiendo que ambas funciones son estrictamente crecientes

y conociendo su imagen, deducimos fcilmente el comportamiento de ambas en +, el de laexponencial en

y el del logaritmo en 0:

lmxe

x =e R ; lmx logx=log R

+

lmxe

x =0 ; ex + (x +)

logx (x 0) ; logx + (x +)

Para comprobarlo, fijado > 0, podemos tomar u= log y el crecimiento de la exponencialnos dice que paraxuserex > . Hemos probado que

>0u R : x

R , xu ex > , luego ex + (x +)


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Anlogamente, dadoK R, tomando u= e K >0 tenemos claramente que para 0 < x < u eslogxuser logx>K:

K Ru R+ :

x R+ , xK, luego logx + (x +)

Podemos ya conseguir abundante informacin sobre sucesiones de potencias. En vista de

(5), aplicando directamente las anteriores propiedades de la exponencial y el logaritmo, juntocon las reglas referentes al producto de dos sucesiones convergentes o divergentes obtenemos

lo siguiente:

Sea {xn} una sucesin de nmeros reales positivos e {yn} una sucesin de nmeros realescualesquiera.

(i) Supongamos que{xn} 0(a) Si{yn} o{yn} y R, entonces{xynn} +(b) Si{yn} y R+ o{yn} +, entonces{xynn} 0

(ii) Supongamos que{xn} x R+(a) Si{yn} y R, entonces{xynn} xy(b) Si{yn} +y x>1, o{yn} y x


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3.4. Criterio de Stolz

Para indeterminaciones del tipo[/ ]es til el mtodo ideado por el matemtico austriacoO. Stolz (1842-1905), basnsose en trabajos previos del italiano E. Cesro (1859-1906):

Criterio de Stolz. Sea{xn} una sucesin de nmeros reales y sea{n} una sucesin denmeros reales positivos, estrictamente creciente y no mayorada. Para L R, se tiene:

xn+1 xnn+1 n

L =

xn

n

L

La misma implicacin es cierta, sustituyendo en ambos miembros L por+o por .

Demostracin. Partimos de una igualdad de fcil comprobacin. Para m,n N

conn>m,tenemos claramente:

xn

n=

xm

n+

xn xmn

= xm

n+

1

n

n1

k=m

(xk+1 xk)

= xm

n+

n1

k=m

k+1 k

n

xk+1 xkk+1 k

(6)

Dado ahoraL R, lo escribimos tambin en la forma

L =

mL

n+

n

1

k=m

k+1

k

nL

Restando ambas igualdades y tomando valores absolutos, tenemos

xnn L 1n |xm mL|+

n1

k=m

k+1 k

n

xk+1 xkk+1 k L

(7)

donde hemos usado que{n} es una sucesin estrictamente creciente de nmeros positivos.Tenemos pues que la desigualdad (7) es vlida para cualesquiera m,n N con m< n, y parademostrar ya la implicacin buscada, fijamos >0.

La hiptesis nos permite encontrar encontrar mN de forma que, para k m se tengaxk+1 xkk+1 k L< 2. Entonces, paran>m, aplicando(7)tenemos

xnn L 1n |xm mL|+

2

n1

k=m

k+1 kn

< 1

n|xm mL|+

2 (8)

Como por hiptesis{1/n} 0, podemos encontrarq N tal que

n

N , n q =

1

n |xm

mL

|2C. Paran>mpodemos entonces usar

la igualdad(6)para obtener

xn

n>

xm

n+2C

n1

k=m

k+1 kn

= xm 2m C

n+ 2C (9)

Ahora, por ser{1/n} 0, podemos encontrarq N tal quen N , n q = xm 2m K

n> C

Esta desigualdad, junto con (9) nos permite concluir que para n max{m + 1,q} se tienexn/n> C, luego{xn/n} + , como se quera.

Finalmente, para ver lo que ocurre al sustituir L porbasta aplicar lo recin demostradosustituyendo la sucesin{xn}por{xn}:

xn+1 xn

n+1 n xn

xn+1

n+1 n +xn

n +

xn

n

Para ver un primer ejemplo de aplicacin del criterio de Stolz, consideremos la sucesinlogn

n

, que presenta una indeterminacin del tipo[/ ]. Tomandoxn= logn y n= n para

todo n N, ciertamente {n} es una sucesin estrictamente creciente y no mayorada de nmerosreales positivos. Como quiera que

xn+1xnn+1n

=

log n+1

n

0, el criterio de Stolz nos diceque lm

nlogn

n=0. Deducimos que { nn} =

exp

logn

n

1, con lo que hemos resuelto

una indeterminacin del tipo[ (+)0 ].

Como segundo ejemplo, fijado p N podemos tomar xn=n

k=1

kp y n= np+1 para todo

n N. De nuevo {n} es una sucesin estrictamente creciente y no mayorada de nmeros realespositivos. Usando la frmula del binomio de Newton podemos escribir

xn+1 xnn+1 n =

(n + 1)p

(n + 1)p+1 np+1 = np +R(n)

(p + 1)np + S(n) n N

dondeR y Sson polinomios de grado menor que p. Tenemos por tanto

xn+1xnn+1n

1

p+1 y el

criterio de Stolz nos dice que lmn1

np+1

n

k=1 kp

=

1

p + 1.


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Antes de pasar a estudiar otras interesantes aplicaciones del criterio de Stolz, conviene

aclarar algunos aspectos del mismo. Es importante observar que la implicacin que aparece

en el criterio no es reversible, en ninguno de los casos. Para comprobarlo, dadoL

R, tomamos

xn= (1)n + n L y n= n para todo n N. Ciertamente{n} es una sucesin estrictamentecreciente y no mayorada de nmeros reales positivos, se tiene obviamente que{xn/n} L,pero la sucesin

xn+1xnn+1n

= {2 (1)n+1 +L}no es convergente.

Alternativamente podemos tomar x2n1 =x2n=n2 y n=n para todo n N. Entonces{xn/n} + , de hecho se comprueba sin dificultad que xn/n n/4 para todon N , perola sucesin

xn+1xnn+1n

= {xn+1 xn}no es divergente, pues para n impar se tienexn+1=xn .

As pues, si al intentar aplicar el Criterio de Stolz nos encontramos con que la sucesin

xn+1xnn+1nno es convergente ni divergente, nada podemos deducir sobre{xn/n}.

Finalmente conviene tambin aclarar que cuando la sucesin

xn+1xnn+1n

es divergente, pero

no diverge positiva ni negativamente, no podemos asegurar que{xn/n} sea divergente. Enefecto, tomandoxn= (1)n n y n=n para todon N, la sucesin

xn+1 xnn+1 n

= {(1)n+1(2n + 1)}

es divergente, pero{xn/n} = {(1)n}no lo es.

3.5. Consecuencias del criterio de Stolz

Como ya se ha visto en algn ejemplo, el criterio de Stolz es especialmente til cuando

una de las sucesiones que en l aparecen, o incluso ambas, viene dada en forma de serie. El

caso particular ms sencillo se presenta cuando tomamos n= n para todon N y escribimosla sucesin{xn} en forma de serie, cosa que siempre podemos hacer. Obtenemos entonces elsiguiente resultado:

Criterio de la media aritmtica. Sea{yn}una sucesin de nmeros reales y consideremosla sucesin de sus medias aritmticas, definida por

n = 1

n

n

k=1

yk= y1+y2+ . . .+yn

nn N

Para L R se tiene{yn} L = {n} L

y la misma implicacin es cierta sustituyendo L por+o .

En efecto, basta aplicar el criterio de Stolz conxn=n

k=1

yk y n=n para todon N, con lo

cual se tiene

xn+1xnn+1n

= {yn+1}y{xn/n} = {n}.


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Por ejemplo, tomando{yn}={1/n} 0 y denotando porHna lan-sima suma parcial dela serie armnica, tenemos

lmnHn

n = lmn1

n

n

k=11

k = 0

Cabe hacer aqu una discusin anloga a la que hicimos con el Criterio de Stolz. Por una

parte, la implicacin que aparece en el criterio de la media aritmtica no es reversible en ninguno

de los casos, puede ocurrir que {n} sea convergente o divergente sin que{yn} lo sea. Por otra, sila sucesin{yn}es divergente, pero no diverge positiva ni negativamente, no podemos asegurarque{n} sea divergente. Los ejemplos para comprobar estas afirmaciones son esencialmentelos mismos que se usaron para el Criterio de Stolz, ya que en todos ellos se tena n= n paratodo n N. Para obtener la sucesin{yn} que ahora necesitamos basta escribir en forma deserie la sucesin{xn} que sirvi para el criterio de Stolz, es decir, tomar yn= xn xn1, paratodon N, con el conveniox0= 0.

Usando logaritmos obtenemos fcilmente la siguiente consecuencia del criterio de la media

aritmtica:

Criterio de la media geomtrica. Sea{an} una sucesin de nmeros reales positivos yconsideremos la sucesin de medias geomtricas definida por

n =

n

k=1

ak

1/n= n

a1 a2. . .an n N

Si{an} L R+0, se tiene{n} L, y si{an} +, entonces{n} + .En efecto, basta observar que

logn = 1

n

n

k=1

logak n N

y aplicar el criterio de la media aritmtica a la sucesin{logan}. Si{an} L R+ tenemos{logan} logL, y el criterio de la media aritmtica nos dice que{logn} logL , de donde{n} L . Si{an} 0, tenemos que{logan} , luego{logn} y{n} 0.Finalmente, si{an} + , tambin{logan} +, luego{logn} +y{n} + .

Por ejemplo, para {an} = {n}, el criterio de la media geomtrica nos dice que { nn !} + .Obsrvese que los criterios de la media aritmtica y geomtrica son equivalentes. Igual que

hemos deducido el segundo del primero tomando{yn} = {logan}, podemos deducir el primerodel segundo tomando{an}={eyn}. Del criterio de la media geomtrica se deduce fcilmenteotro muy til:

Criterio de la raz para sucesiones. Sea{bn} una sucesin de nmeros reales positivos.Si{bn+1/bn} L R+0 se tiene{ n

bn} L , y si{bn+1/bn} +, entonces{ n

bn} + .

En efecto, basta tomar a1= b1 y an+1= bn+1/bn para todo n N. Claramente, para lasmedias geomtricas de la sucesin

{an

}tenemos entonces n=

n

bn para todo n

N, con lo

que basta aplicar el criterio de la media geomtrica.


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Por ejemplo, para x R+ consideremos la sucesin{ n1 +x n}. El criterio de la raz noslleva a pensar en la sucesin

1+x n+1

1+x n . Parax 1 tenemos claramente

1+x n+1

1+x n 1, mientras

que six>1, es

1+xn+1

1+x n

=

x xn

1

+1xn+1x. En general, 1+x n+11+x n max{1,x}. El criterio

de la raz nos dice que tambin { n1 +x n} max{1,x}. Dados ahoray,z R+, podemos tomarx=z/ypara obtener:

n

y n +z n

=

y n

1 + (z/y)nymax{1,z/y} =max{y,z}.

Del criterio de la raz se deduce fcilmente el de la media geomtrica, con lo que tenemos

de nuevo criterios equivalentes. En efecto, dada una sucesin{an}de nmeros reales positivos,basta tomar bn=a1 a2 . . .an para todo n N, con lo que{bn+1/bn}={an+1} y las mediasgeomtricas de la sucesin{an}son{n} = { n

bn}.

3.6. Criterio de la raz para seriesHacemos un breve parntesis en el clculo de lmites, viendo un criterio de convergencia

para series de nmeros positivos, muy relacionado con el del cociente, como se ver. Dada

una serien1

xn con xn 0 para todon N, la forma ms directa de compararla con una seriegeomtrica consiste en considerar la sucesin{ nxn}. Aplicando el criterio de comparacinobtenemos lo siguiente:

Criterio de la raz para series. Sea xnR+0 para todo n N. Si la sucesin{ n

xn} estmayorada y lmsup

{ n

xn} 0 para todo n N, el comportamiento de la sucesin{xn+1/xn}nos da importante informacin sobre{ nxn}, la relacin entre el criterio recin probado, quetambin se conoce comocriterio de Cauchy, y el del cociente o de DAlembert, no puede pasar

desapercibida. Merece la pena discutir con detalle esa relacin, que se puede resumir diciendoque el criterio de la raz mejora estrictamente al del cociente.

Supongamos que queremos dilucidar si una serie n1

xn, con xn 0 para todo n N, esconvergente o divergente y veamos cual de los dos criterios es ms efectivo. En primer lugar, el

criterio del cociente slo se aplica cuando xn>0 para todon N, para que podamos considerarla sucesin{xn+1/xn}, mientras el criterio de la raz no tiene esa limitacin. Ciertamente estamayor generalidad del criterio de la raz es slo una cuestin de forma, un sencillo artificio

permitira suprimir los trminos nulos de la sucesin {xn} para trabajar slo con los sumandosno nulos, sin alterar el carcter de la serie. Sin embargo, en la prctica puede no ser fcil decidir

para qu valores den esxn=0.


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Pero supongamos que xn> 0 para todon N, para que los dos criterios estn disponibles.La comparacin entre ambos se basa en la siguiente desigualdad, que especifica muy bien la

relacin entre las sucesiones

{xn+1/xn

}y

{ n

xn

}.

Sea xn R+ para todo n N y supongamos que la sucesin{xn+1/xn} est acotada.Entonces la sucesin{ nxn}tambin est acotada y se verifica que

lminf{xn+1/xn} lminf{ nxn} lmsup{ nxn} lmsup{xn+1/xn} (10)

Para demostrarlo, supondremos de momento que lm inf{xn+1/xn}>0. Al final quedar claroque basta trabajar en este caso. Fijamos entonces , R+ tales que

< lminf{xn+1/xn} lmsup{xn+1/xn} <

La definicin de lmite inferior y superior nos dicen que podemos encontrar m N tal que

< nf{xn+1/xn : n m} sup{xn+1/xn : n m} <

con lo cual, paran mtenemos xn xn+1 xn.

De xm xm+1 xm deducimos 2xm xm+1 xm+2 xm+1

2xm, y una

obvia induccin nos dice que kxm xm+k kxm para todok N.

Equivalentemente, paran mpodemos escribir nmxm xn nmxm, es decir,

nxm

m

n

xn n

xmm

Puesto que{ na} 1 para todo a R+, las sucesiones que aparecen en el primer y ltimomiembro de la desigualdad anterior convergen a y respectivamente. En particular, dichadesigualdad prueba que la sucesin{ nxn}est mayorada, pero tambin nos dice que

lm inf{ nxn} lm sup{ nxn}

Las desigualdades buscadas se deducen claramente de la libertad que tuvimos para elegir y. Si fuese lminf{ nxn}< lminf{xn+1/xn} se tendra en particular lminf{xn+1/xn}> 0,que es la suposicin que hicimos al principio de la demostracin, y podramos haber elegido

de forma que lminf{ nxn}< , llegando a una contradiccin. Anlogamente, suponiendolmsup{xn+1/xn}< lmsup{ nxn}, habramos podido elegir < lmsup{ nxn} para llegartambin a contradiccin.

Volvamos ahora a la relacin entre los dos criterios. El del cociente asegura que la serie de

trmino general{xn} converge cuando{xn+1/xn} est mayorada con lm sup{xn+1/xn}< 1.Pero entonces,{ nxn} tambin est mayorada y de (10) deducimos que lmsup{ nxn}< 1,luego el criterio de la raz tambin nos permite concluir que la serie es convergente.

Comentbamos tambin en su momento que cuando lminf{xn+1/xn}> 1, la sucesin {xn}no converge a cero, luego la serie diverge, lo cual puede verse ahora casi con ms claridad: segn

(10) tenemos lminf

{ n

xn> 1, con lo que existe m

N tal que, paran mse tiene n

xn> 1,

luegoxn> 1, y{xn}no converge a cero.


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En resumen, cuando el estudio de la sucesin{xn+1/xn} (criterio del cociente) permitedecidir si la serie de trmino general{xn}converge o diverge, el estudio de la sucesin{ nxn}(criterio de la raz) tambin lo permite. La discusin se completa con un ejemplo en el que el

criterio del cociente no decide pero el de la raz s. Para ello basta tomar xn= (3 + (1)n)npara todon N. Es evidente que lmsup{ nxn} = 1/2, luego el criterio de la raz nos dice que laserie

n1

xnes convergente. Sin embargo, el criterio del cociente no decide, de hecho la sucesin

{xn+1/xn}no est acotada, pues para n par se comprueba fcilmente quexn+1/xn=2n1.

3.7. Lmites relacionados con el nmeroe

De vuelta al problema de resolver ciertas indeterminaciones, vamos a ver ahora algunos

lmites de sucesiones y de funciones que guardan relacin directa con el nmero e. Obtendremosun mtodo bastante general para resolver indeterminaciones del tipo [ 1 ]. Empezamos con unejemplo muy concreto, probando lo siguiente:

Se verifica que lmn

1 +

1

n

n=e

Para abreviar, llamemos{un}a la sucesin cuyo lmite queremos calcular. Para cada n N, lafrmula del binomio de Newton nos permite escribir

un =n

k=0

nk

1n k

=n

k=0

n(n 1) . . .(n k+ 1)k!n k

=n

k=0

1k!

k

1

j=0

1 j

n

(11)

En cada sumando de la ltima expresin aparece un producto dekfactores positivos, cada uno

de los cuales aumenta al sustituirnporn + 1, y esta sustitucin aade un sumando positivo ms,con lo que la suma aumenta, es decir,

un n+1

k=0

1

k!

k1j=0

1 j

n + 1

= un+1

lo que prueba que{un}es una sucesin creciente. Para ver que est mayorada observamos queen el ltimo miembro de(11)los productos que aparecen son menores o iguales que 1, luego

un n

k=0

1

k! e n N

As pues,{un}es convergente y llamando L a su lmite, tenemos L e. Para conseguir la otradesigualdad, dadosn,p N, volvemos a trabajar con la igualdad (11):

un+p =n+p

k=0

1

k!

k1j=01

j

n +p p

k=0

1

k!

k1j=01

j

n +p (12)


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Fijando por un momento p, tenemos{un+p} L, mientras la sucesin que aparece al final de(12)es una suma finita de productos finitos de sucesiones convergentes. Por tanto,

L p

k=0

lmn

1

k!

k1j=0

1 j

n +p

=

p

k=0

1

k!

k1j=0

lmn

1 j

n +p

=

p

k=0

1

k!

Puesto que esta desigualdad es vlida para todo p N, deducimos finalmente que

L lmp

p

k=0

1

k! =

k=0

1

k! = e

Pasamos ahora a generalizar el resultado anterior, calculando dos lmites funcionales:

Se verifica que lmx+

1 +1

x

x = lm

x

1 +1x

x = e

Obsrvese que la funcin x 1 + 1x

x, cuyos lmites en+yqueremos calcular, puede

considerarse definida en ] ,1[ R+, un conjunto que no est mayorado ni minorado, asque tiene sentido estudiar ambos lmites. Empezamos la demostracin con otras dos sucesiones

convergentes:

lmn

1 +

1

n

n+1= lm

n

1 +

1

n

n1 +

1

n

= e

lmn

1 + 1

n + 1

n= lm

n

1 + 1n + 1

n+1 nn+1= e

Por tanto, fijado >0, existem N tal que, paran mse tiene

e 0, existem N tal que, paran mse tiene

1 < n1/(n+1)


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Ahora, parax R conx m, tomandon=E(x)tenemosm n x


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3. Sea f : R R la funcin definida por

f(x) =exp 1/x2

x

R

, f(0) =0

Probar que fes continua en R. Calcular f(R)y f

[0,1]

.

4. Probar que existex R+ tal que logx+x=05. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones y, cuando exista, calcular su lmite:

(a)

n2

n

1 + 2

2 + 3

3 + . . .+ n

n

(b) 1

n !

n

k=1

k!(c)

1

n

n

(2n)!

n !

(d)

n

a+ n

b

+

n donde , R , + =0 , a,b R+

6. Estudiar la convergencia de las siguientes series:

(a)

n1n !

n n (b)

n11 +1

n

n2(c)

n11 e

1/n2

(d) n2

1

n (logn) donde , R

7. Se considera la funcin f : R\{e} R definida por

f(x) = x1/(logx1) x R+ \{e}

Estudiar el comportamiento de f en 0,e,+ .


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Tema 4Funciones trigonomtricas

Va a aparecer aqu una nueva familia de funciones reales de variable real: las funciones

trigonomtricas. Existen varias formas de introducir estas funciones, ninguna de las cuales es

del todo fcil. El mtodo que vamos a seguir es laborioso, no es el ms efectivo o elegante, pero

a cambio es el ms elemental e intuitivo, pues la definicin de las funciones seno y coseno se

basa en las nociones de seno y coseno de un ngulo, que suponemos conocidas aunque slo las

usaremos a ttulo orientativo.

Necesitamos trabajar en R2, elplano real, que ya apareci al considerar la grfica de una

funcin real de variable real. Empezamos definiendo la distancia eucldeaentre dos puntos del

plano y comprobando sus propiedades bsicas, entre las que destaca la desigualdad triangular.Acto seguido consideramos curvasen el plano y, cuando ello es posible, definimos la longitud

de una curva. Esto permite medir la longitud de un arco de circunferencia, lo que equivale a

medir un ngulo en radianes, y dar una definicin del nmero.

Usando la longitud de un arco de circunferencia podemos obtener fcilmente la funcin

arco coseno, cuya inversa es la funcincoseno, definida de momento slo en el intervalo [0,].A partir de ella se define la funcin senoen el mismo intervalo y ambas se extienden fcilmente

para obtener funciones definidas en todo R, cuyas propiedades bsicas, como la continuidad,

iremos estudiando.

Finalmente definimos el resto de las funciones trigonomtricas y sus inversas, haciendo

un estudio preliminar de las mismas. Habremos completado as la gama de funciones realesde variable real que manejaremos en el estudio del clculo diferencial e integral, para obtener

ejemplos y aplicaciones de los principales resultados.

4.1. Distancia eucldea en el plano

Consideremos el conjunto R2 =RR = {(x,y) : x,y R} cuyos elementos se interpretangeomtricamente como los puntos de un plano en el que hemos fijado ejes cartesianos, de forma

que cada par ordenado(x,y)

R

2 se identifica con el punto de abscisa x y ordenaday. Por ello

es costumbre referirse a R2 como elplano real, o simplementeel plano.

40


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4. Funciones trigonomtricas 41

La definicin de la distancia eucldea en R2 resulta obvia si queremos que se verifique el

Teorema de Pitgoras. Dados , R2, = (x1,y1) y = (x2,y2), con x1,y1,x2,y2 R, ladistancia eucldea, o simplemente la distancia, de a es, por definicin, el nmero real no

negativod(,)dado por

d(,) =

(x2 x1)2 + (y2 y1)21/2

Veamos las tres propiedades bsicas de la distancia eucldea que vamos a necesitar:

Para, R2, se tiene: d(,) =0 = d(,) =d(,) , R2

d(1,3)

d(1,2) + d(2,3) 1,2,3 R

2

Las dos primeras propiedades son evidentes. La tercera se conoce comodesigualdad triangular,

por su clara interpretacin geomtrica: la longitud de un lado de un tringulo es menor o igual

que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Para demostrarla, pongamos k= (xk,yk),conxk,yk R parak= 1, 2, 3 y, para simplificar la notacin, pongamosa=x2 x1,b=y2 y1,u=x3 x2y v=y3 y2. Se tiene entonces claramente

d(1,3)2 = (a + u)2 + (b + v)2 =a2 + b2 + u2 + v2 + 2(au + bv)

a2 + b2 + u2 + v2 + 2(au + bv)2 + (av bu)2

1/2

=a2 + b2 + u2 + v2 + 2(a2 + b2)1/2(u2 + v2)1/2

=d(1,2)2 + d(2,3)

2 + 2d(1,2)d(2,3)

=

d(1,2) + d(2,3)2

de donde se deduce la desigualdad buscada.

Veamos dos estimaciones de la distancia eucldea que resultan tiles con mucha frecuencia.

Su comprobacin es evidente:

Para cualesquiera = (x1,y1) R2 y = (x2,y2) R2, se tiene:

max{|x2 x1|, |y2 y1|} d(,) |x2 x1| + |y2 y1|

4.2. Longitud de una curva plana

Llamaremos curva plana, o simplementecurvaa toda aplicacin :[a, b] R2, definida enun intervalo cerrado y acotado[a, b] R (entenderemos siempre quea b), que tenga la forma

(t) =

((t),(t)

t [a, b] (1)

donde,:[a, b] R son funcionescontinuasen[a, b].


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Esta definicin tiene una interpretacin fsica bastante obvia: podemos pensar en un mvil

que durante el intervalo de tiempo [a, b] realiza un determinado movimiento en el plano, deforma que su posicin en cada instantet

[a, b]es el punto(t). Por ello, resulta natural decir

que el punto(a)es elorigende la curva y que el punto(b)es elextremode . Tambin secomprende claramente por qu exigimos que las funciones y sean continuas en[a, b]. EnFsica suele decirse que la igualdad(1)es laecuacin del movimientoque, tambin por razonesobvias, suele escribirse en la forma

x= (t) , y= (t) (a t b)

En Matemticas, la palabra curva puede tener significados diferentes segn el contexto. Es

frecuente llamarcurva plana en forma paramtricaa lo que aqu hemos llamado simplemente

curva plana.

Es importante distinguir claramente entre la curva , una aplicacin con valores enR

2

, y laimagen de dicha aplicacin, esto es, el conjunto

[a, b]

=(t) : t [a, b] R2

que es el conjunto que dibujamos para visualizar grficamente la curva, aunque evidentemente

hay muchos aspectos de la curva que no se reflejan adecuadamente en dicho conjunto. En la

interpretacin fsica, este conjunto es la trayectoria descrita por el mvil y es evidente que

movimientos muy diferentes pueden recorrer la misma trayectoria.

Veamos algunos ejemplos sencillos de curvas. Dada una funcin f :[a, b]R que seacontinua en[a, b], podemos considerar la curva:[a, b]

R

2 definida por

(t) =

t,f(t) t [a, b]

que evidentemente cumple

[a, b]

=

t,f(t)

: t [a, b] = Grfes decir, la imagen de la curva coincide con la grfica de la funcin f. Para las curvas de estetipo se dice a veces que vienen dadas en forma explcita, pues toda la informacin necesaria

para definir la curva se resume en la ecuacin y= f(x)paraa x b.

Para ver otro ejemplo, dados dos puntos = (x1,y1)

R2 y = (x2,y2)

R2, podemos

considerar la curva :[0, 1] R2 definida por(t) =

(1 t)x1+ tx2, (1 t)y1+ ty2

t [0, 1]Por razones obvias, pero con un claro abuso de lenguaje, suele decirse que es el segmentode origen y extremo . Usando la estructura de espacio vectorial de R2 podemos escribirsimplemente(t) = (1 t)+ tpara todot [0, 1].

Como motivacin para definir la longitud de una curva es natural pensar que la longitud del

segmento recin definido debe ser la distanciad(,), pero tambin est claro que, en general,la longitud de una curva :[a, b] R2 puede ser mucho mayor que la distanciad

(a),(b)

.

Dicho de forma intuitiva, lo que haremos para definir la longitud de una curva ser intentar

aproximarla por poligonales.


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Llamaremos particinde un intervalo cerrado y acotado[a, b], a todo subconjunto finito de[a, b] que contenga a los extremos a y b, y denotaremos por F[a, b] al conjunto de todas lasparticiones del intervalo [a, b], que salvo en el caso trivial a= b es un conjunto infinito. Los

puntos de una particin se numeran siempre de menor a mayor; ms concretamente, si paraP F[a, b], escribimos P={t0, t1, . . . , tn} se sobreentiende que a= t0< t1 < ...


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Si ,:[a, b] R son montonas y continuas en[a, b], entonces la curva :[a, b] R2,definida por(t) =

(t),(t)

para todo t [a, b], es rectificable y se verifica que

() |(b)(a)|+ |(b) (a)| (2)Para probarlo, consideramos una particinP= {a= t0< t1< ... < tn=b} del intervalo[a, b]yobservamos que (b) (a) =

n

k=1

(tk) (tk1)

. Suponiendo primero que es creciente,

esta igualdad puede escribirse en la forma

(b) (a) = nk=1

(tk) (tk1)Si es decreciente podemos aplicar lo anterior a la funcin

obteniendo la misma igualdad.

Naturalmente, tambin verifica esa igualdad. Usando la estimacin de la distancia eucldeavista anteriormente, tenemos:

(, P) =n

k=1

d(tk1),(tk)

n

k=1

(tk) (tk1) + nk=1

(tk) (tk1)=|(b) (a)| + |(b) (a)|

Esto demuestra ya quees rectificable y que se verifica (2).

Necesitamos una propiedad importante de la longitud de una curva que, dicho de forma

intuitiva, explica lo que ocurre al subdividir una curva en dos trozos, y de paso le da mayor

inters al resultado anterior.

Sea : [a, b] R2 una curva y, para c]a, b[, sean 1 : [a, c] R2 y 2 : [c, b] R2las curvas que se obtienen al restringira los intervalos [a, c] y[c, b] respectivamente.Entonceses rectificable si, y slo si, lo son 1y 2, en cuyo caso se tiene

() = (1) +(2) (3)

Para demostrarlo, supongamos primero que es rectificable, tomemos particiones P1 F[a, c]yP2 F[c, b], y seaP=P1 P2. Es evidente queP F[a, b]y comprobamos sin dificultad que

(1, P1) +(2, P2) = (, P) ()

Fijando por el momento la particinP2, la desigualdad (1, P1)()(2, P2), vlida paracualquierP1 F[a, c]nos dice que1es rectificable y se verifica que (1) () (2, P2).Equivalentemente, tenemos

(2, P2) () (1)pero ahora esta desigualdad es cierta para toda particinP2

F[c, b], luego2 es rectificable y

tenemos ya (1) +(2) ().


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Para probar la implicacin recproca junto con la desigualdad que falta, lo nico que impide

repetir el razonamiento anterior es que una particin P F[a, b] puede no ser de la forma P1 P2conP1

F[a, c]y P2

F[c, b], simplemente porque puede ocurrir quec /

P. Para resolver ese

pequeo problema usaremos la particinPc= P{c} y comprobaremos que (, P) (, Pc).En efecto, sic Pno hay nada que comprobar y, en otro caso, siP = {a = t0< t1< . . . < tn= b}existir un k {1, 2, . . . , n} tal que tk1


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4.4. La funcin arco coseno

Podemos ya dar una definicin de la funcin arco coseno muy acorde con la intuicin. Para

x [1, 1]denotamos por xa la restriccin de al intervalo[x, 1], que es una curva rectificablecon(x) .

Intuitivamente x recorre el arco de circunferencia que une los puntos (x) =x,

1 x2

y (1) = (1, 0). Puesto que la circunferencia tiene radio 1, la medida en radianes del ngulo convrtice en el origen cuyos lados pasan por dichos puntos es (x). Pero es claro que el cosenode ese ngulo debe ser precisamente x. As pues, el coseno del nmero real (x)debera serx,lo que explica nuestro siguiente paso.

La funcinarco cosenoes, por definicin, la funcin arccos :[1, 1] [0,]dada por

arccosx= (x) x [1, 1]A continuacin obtenemos las propiedades de esta funcin que de momento necesitamos.

La funcin arco coseno es una biyeccin de[1, 1]sobre[0,]. Es continua en[1, 1]yestrictamente decreciente. Se verifica adems que

arccosx+ arccos (x) = x [1, 1] (4)

En particular se tiene: arccos (1) = , arccos 0= /2 , arccos 1=0 .

Para la demostracin, dadosx,y [1, 1]conx y, conviene denotar porx,ya la curva que seobtiene al restringiral intervalo[x,y], que es rectificable. Si x 0. Entonces, subdividiendo el intervalo[x, 1]mediante el puntoy, tenemos

arccosx = (x) = (x,y) +(y) > (y) = arccosy

lo que demuestra que la funcin arco coseno es estrictamente decreciente.

Si ahora, adems de x y, suponemos x y 0, las funciones y son montonas en elintervalo[x,y], lo que nos da una estimacin de la longitud de la curva x,y. Ms concretamente,tenemos

|arccosx

arccosy

| = (x,y)

|y

x|+ |(

y)(

x)|

Puesto que la desigualdad obtenida no se altera al intercambiarx cony, tambin es vlida en el

casox >y, siempre que se tenga x y 0. De aqu se deduce fcilmente la continuidad del arcocoseno. En efecto, dadosx [1, 1]y una sucesin {xn} de puntos de[1, 1]tal que {xn} x,es claro que existe m N tal que, para n m se tiene xnx 0, lo que nos permite usar ladesigualdad recin comprobada tomandoy =xnconn m. Puesto que {(xn)} (x)por sercontinua enx, deducimos claramente que {arccosxn} arccosx.

Obtenida la continuidad, la imagen de la funcin arco coseno ser un intervalo contenido

en[0,], pero es evidente que arccos (1) = y arccos 1= 0, as que dicha imagen es todoel intervalo [0,]. Nuestra funcin era inyectiva, por ser estrictamente decreciente, luego es

biyectiva.


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Para probar (4), podemos claramente suponer que x 0. Si PF[x, 1], es evidente queP= {t : t P} F[1,x], y recprocamente. Adems, usando que (t) =(t) paratodo t

[

1, 1], comprobamos sin dificultad que(

1,

x ,

P) =(x, P), de donde se deduce

que(1,x) = (x), pues ambos nmeros son el supremo del mismo conjunto. Por tanto,tenemos finalmente

= () = (1,x) +(x) = (x) +(x) =arccosx+ arccos (x)

4.5. Definicin de las funciones seno y coseno

Es claro ya cmo vamos a definir la funcin coseno en el intervalo[0,], ser simplementela inversa de la funcin arco coseno. Tambin est clara la definicin del seno en ese mismo

intervalo, y las extendemos ambas, definindolas en [,] de forma que el coseno sea unafuncin par y el seno sea impar. No usaremos la notacin habitual para estas funciones hasta

que hagamos la extensin a todo R.

Por tanto, definimos dos funcionesc, s:[,] [1, 1]de la siguiente forma:c(x) = arccos1(x)x [0,] , c(x) = c(x)x [, 0[s(x) =

1 c(x)2 x [0,] , s(x) =s(x)x [, 0[

A partir de las propiedades de la funcin arco coseno se deducen fcilmente las de las

funcionesc y s que de momento vamos a necesitar:

Las funciones c y s son continuas en[,]y la imagen de ambas es el intervalo[1, 1].De hecho se tiene

c() =c() = 1 , c(0) =1 , c(/2) =c(/2) =0s() =s() =s(0) =0 , s(/2) =1 , s(/2) = 1 (5)

La comprobacin de estos hechos es inmediata. Por ser la funcin arco coseno una biyeccin de

[1, 1]sobre[0,]que es continua en[1, 1], su inversa, que es la restriccin de c al intervalo[0,], es continua en dicho intervalo. Deducimos que la restriccin de s al mismo intervalotambin es continua en[0,], como composicin de funciones continuas. El carcter local de la

continuidad nos permite entonces asegurar que cy s son continuas en]0,]. Usando de nuevoque la composicin de funciones continuas es continua y el carcter local de la continuidad,

obtenemos quec y s son continuas en[, 0[.Para la continuidad en 0, usamos de nuevo la continuidad de las restricciones de c y s al

intervalo[0,] , obteniendo que lmx0+

c(x) =c(0) =1 y lmx0+

s(x) =s(0) =0. Pero el clculo

de los lmites por la izquierda es inmediato. Si{xn} es una sucesin de puntos de [, 0[ talque{xn} 0, tenemos que{xn} 0 conxn]0,] para todo n N, luego usando loslmites por la derecha ya calculados, obtenemos que {c(xn)} = {c(xn)} 1 y tambin que{s(xn)} = {s(xn)} 0. Queda as probada la continuidad en 0:

lmx0 c(x) =1=c(0) y lmx0 s(x) =0=s(0)


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Comprobemos el resto de valores decysque aparecen en(5). Por ser arccos(1) = tenemosc() =c() = 1, luego s() =s() =0. Finalmente de arccos 0=/2 deducimos quec(

/2) = c(/2) = 0, luego s(/2) = 1 ys(

/2) =

1. Finalmente, puesto que la imagen

de cualquiera de las dos funciones es un intervalo contenido en [1, 1], pero ambas toman losvalores 1 y 1, dicho intervalo no puede ser otro que [1, 1].

Lo que queda para definir las funciones seno y coseno es extender por periodicidad las

funcionesc ys. Para explicar en qu consiste esta extensin debemos aclarar algunas nociones.

Se dice que una funcin f : RR esperidica, cuando existeT R tal que

f(x + T) = f(x) x R

en cuyo caso tambin se dice que Tes un periodo de f. Obsrvese que entoncesT es otroperiodo de f, luego toda funcin peridica admite un periodo positivo. De hecho comprobamos

fcilmente por induccin que p T tambin es un periodo de f para todo p Z. DadoT R+,diremos a veces que una funcin f es T-peridica, para indicar simultneamente que f es

peridica y queTes un periodo de f.

Una funcin T-peridica queda determinada cuando se conoce su restriccin a cualquier

intervalo semiabierto de longitudT. Ms concretamente:

Sean f, g: RR funciones peridicas con periodo T R+ y sea a R. Entonces:

f(x) =g(x)x [a, a + T[ = f(x) =g(x)x R

Para comprobarlo, basta usar la funcin parte entera de la siguiente forma: parax R, tomandop(x) =E

(x a)/T tenemos claramente:

p(x) x a

T< p(x) + 1 p(x)Tx a< p(x)T+ T x p(x)T [a, a + T[

y puesto que p(x) Tes un periodo tanto de fcomo deg, deducimos que

g(x) =gx p(x)T = fx p(x)T = f(x)

Pero recprocamente, cualquier funcin definida en un intervalo de la forma [a, a + T[, con

a R y T R+, puede extenderse, de manera nica como hemos visto, para conseguir unafuncin T-peridica. Esto es lo que se entiende por extender por periodicidad una funcin.

Probamos ahora este hecho, y de paso caracterizamos la continuidad de la extensin peridica

en trminos de la funcin de partida:

Sean aR, T R+ y h : [a, a + T[ R una funcin cualquiera. Existe una (nica)funcin T -peridica f : R R que extiende a h, es decir, verifica f(x) =h(x)para todox [a, a + T[. Adems, la imagen de f coincide con la de h y las siguientes afirmacionesson equivalentes:

(i) f es continua en R

(ii) h es continua en[a, a + T[ y verifica que lmxa+Th(x) =h(a)


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La definicin de la funcin fse puede adivinar fcilmente. Parax R, tomando igual que antesp(x) =E

(x a)/T

, tenemosa x p(x)T


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La funcin coseno es, por definicin, la nica funcin 2-peridica cos : R R queextiende a la funcinc. Por tanto, se caracteriza por:

cos : RR , cosx=c(x)x [,] , cos(x + 2) =cosx x RAnlogamente, lafuncin senoes la nica funcin 2-peridica sen : RR que extiende a lafuncins, luego queda caracterizada por:

sen : R R , senx=s(x)x [,] , sen(x + 2) =senxx R

A la vista de toda la discusin anterior, tenemos las primeras propiedades de las funciones

seno y coseno, sobre las que conviene insistir:

Las funciones seno y coseno son continuas en Ry 2-peridicas. La imagen de cualquierade ellas es el intervalo[1, 1].

Para el resto de las propiedades que por ahora podemos probar, estudiamos por separado

ambas funciones y despus la relacin entre ambas. Puesto que la periodicidad jugar un papel

clave en este estudio, introducimos una notacin que nos permita manejarla con facilidad. Para

x R escribiremosp(x) =E

x +

2

y x=x 2p(x)

con lo cual tenemos p(x) Z y x< . Usaremos frecuentemente que

cosx=cos x=c( x) y senx=sen x=s( x)

4.6. Propiedades de la funcin coseno

Las resumimos en un slo enunciado:

(i) La funcin coseno es par: cos(x) =cosx para todo x R .(ii) La restriccin de la funcin coseno al intervalo [0,] es una biyeccin estrictamente

decreciente de dicho intervalo sobre[1, 1] .(iii) Se verifica que cos(x +) = cosx para todo x R. Por tanto,

cos(x + k) = (1)k cosx x R , k Z

(iv) Se tiene:{x R : cosx = 1} ={2k : k Z}{x R : cosx =1} ={(2k+ 1) : k Z}{x R : cosx = 0} ={(/2) + k : k Z}

(v) La funcin coseno no tiene lmite ni diverge en+ni en .


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(i). Se tiene: cosx=c( x) =c( x) =cos ( x) =cos (x + 2p(x)) =cos (x).(ii). Basta recordar que la restriccin de la funcin coseno al intervalo[0,]es la inversa de la

funcin arco coseno.(iii). Supongamos primeramente que x [0,]y sea y=cosx. Sabemos que

x=arccosy= arccos (y) , de donde, cos(x) = y= cosx

Usando la periodicidad y paridad del coseno, concluimos que

cos(x +) =cos (x ) =cos (x) = cosx

Parax [, 0], lo anterior puede aplicarse ax + [0,], obteniendo

cos(x

+) = cos(x

+ 2) = cosx

Finalmente, parax R arbitrario, lo ya demostrado puede aplicarse a xobteniendo

cosx=cos x= cos( x +) = cos(x 2p(x)+) = cos(x +)

(iv). Las tres inclusiones en un sentido se deducen claramente de propiedades ya probadas.Concretamente, para cualquierk Z se tiene:

cos(2k) =cos 0=1 ; cos ((2k+ 1)) =cos = 1 ;cos((/2) + k) = (1)kcos(/2) =0

Las otras tres inclusiones tambin son fciles. Dado x R, tenemoscosx=1 x=0 x=2k con k= p(x) Zcosx= 1 x= x= (2k+ 1) con k= p(x) 1 Zcosx=0 x= /2 x= (/2) + k con k {2p(x), 2p(x) 1} Z

(v). La posibilidad de divergencia est claramente descartada por ser |cosx| 1 para todox R.Para la no existencia de lmites basta observar que {cosn} = {cos(n)} = {(1)n}.

4.7. Propiedades de la funcin seno

Guardan un claro paralelismo con las del coseno:

(i) La funcin seno es impar: sen(x) = senx para todo x R .(ii) La restriccin de la funcin seno al intervalo[/2,/2]es una biyeccin estrictamente

creciente de dicho intervalo sobre[1, 1] .(iii) Se verifica que sen(x +) = senx para todo x R. Por tanto,

sen(x + k) = (1)k senx x R , k Z


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(iv) Se tiene:{x R : senx = 0} ={k : k Z}

{x

R : senx = 1

}=

{(/2) + 2k : k

Z

}{x R : senx =1} ={(/2) + 2k : k Z}(v) La funcin seno no tiene lmite ni diverge en+ni en .

(i). Se tiene: sen(x) =sen ( x 2p(x)) =sen ( x) =s( x) = s( x) = senx .(ii). Dadosx,y [/2,/2]conx c(y)luegos(x) =

1 c(x)2 0tal que A ]b,b +[ B, entonces f esderivable en b.

Como en otras situaciones previas, el carcter local del concepto de derivada suele aplicarse

fijando un >0 conveniente y tomandoB= A ]b,b +[ con lo que la derivabilidad de fen b equivale a la de f|B , en cuyo caso las dos derivadas coinciden.

El concepto de lmite lateral nos lleva lgicamente a las derivadas laterales. Sea f :A Runa funcin real de variable real, fijemos un punto aAA , consideremos la funcin fautilizada en la definicin de derivada y recordemos la notacin que usamos para los lmites

laterales: Aa = {x A : xa} y sabemos que A = (Aa) (A+a).Suponiendo que a(Aa), diremos que f es derivable por la izquierda en a cuando la

funcin fa tenga lmite por la izquierda en a , lmite que recibe el nombre de derivada por la

izquierdade f en a y se denota por f(a). Anlogamente, si a (A+a), f ser derivablepor la derechaen a cuando fa tenga lmite por la derecha en a , que ser la derivada por la

derecha de f en a y se denotar por f(a+). Simblicamente:

f(a) = lmxa f(x) f(a)x a y f(a+) = lmxa+ f(x) f(a)x a


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5. Derivacin 60

La relacin entre el lmite ordinario y los lmites laterales nos da directamente la relacin

entre derivada y derivadas laterales, que recogemos en el siguiente resultado, cuya demostracin

es evidente. Para que podamos hacer un enunciado breve sin crear malentendidos, debe quedar

claro que, cuando para L R escribimos f(a) =L , estamos afirmando que fes derivable enel punto a con derivada L . La misma aclaracin se aplica a las derivadas laterales.

Sean f :A R una funcin real de variable real, a A A y L R .(i) Si a (Aa) \ (A+a) se tiene: f(a) =L f(a) =L

(ii) Si a (A+a) \ (Aa) se tiene: f(a) =L f(a+) =L(iii) Si a (Aa) (A+a) se tiene: f(a) =L f(a) = f(a+) =L

Las derivadas laterales permiten precisar mejor la relacin entre derivabilidad y continuidad,

como muestra el siguiente enunciado, cuya demostracin es evidente:

Sean f :A R una funcin real de variable real y a A A .(i) Si a (Aa) y f es derivable por la izquierda en a, entonces lm

xa f(x) = f(a).

(ii) Si a (A+a) y f es derivable por la derecha en a, entonces lmxa+ f(x) = f(a).

(iii) Como consecuencia, si a (Aa) (A+a)y f es derivable por la izquierda y por laderecha en a , entonces f es continua en a, aunque puede ocurrir que las derivadas

laterales no coincidan.

Veamos ya algunos ejemplos muy sencillos de funciones derivables y no derivables. Fijados

a,b,c R , consideremos la funcin f : R R definida porf(x) = a x2 +b x+ c x R

Para x,y R , con y =x , tenemos claramentef(y) f(x)

y x = a(y2 x2) + b(y x)

y x = a (y +x) + b

luego fes derivable en R con f(x) = 2 a x+ b para todo x R . En particular:Toda funcin constante en R es derivable en R con derivada idnticamente nula. La

funcin identidad es derivable en R con derivada constantemente igual a 1 .

Obviamente, para tener ejemplos de funciones no derivables basta pensar en funciones que

no sean continuas. Veamos un ejemplo de una funcin que admite derivadas laterales, y en

particular es continua en un punto, pero no es derivable en ese punto.

Consideremos la funcin valor absoluto: V : R R , V(x) =|x| para todo x R . Elcarcter local del concepto de derivada nos dice claramente que V(a) = 1 para todo a R+,y que V(a) = 1 para todoa R. Para a=0 tenemos claramente

lmx0

V0(x) = lmx0

|x|x

= 1 y lmx0+

V0(x) = lmx0+

|x|x

=1

luego V(0) = 1 , V(0+) =1 y Vno es derivable en 0. La funcin derivada es:

V: R R , V(x) =sgnx=|x

|x x R


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