Automatizacion de ProcesosIndustriales

Ingeniero de Organizacion. Curso 1o

Jose Marıa Gonzalez deDurana

Dpto. I.S.A. EUI–UPV/EHU–

Vitoria-Gasteiz

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Copyright c© 2006Last Revision Date: Febrero 2004

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Table of Contents

1. OBJETIVOS

2. METODO

3. EVALUACION-cambiar

4. Contenidos

. Tema 1. Introduccion

1. Perspectiva historica

2. La empresa productiva

• Procesado de un elemento • Montaje • Movimiento de material• Almacenamiento • Inspeccion y control • Job Shops • Produccionpor lotes • Lıneas de produccion • Produccion continua • Productoen posicion fija • Por clases de procesos • En flujo de producto • Portecnologıa de grupo

3. El significado del control

4. La automatizacion industrial

• Tecnicas analogicas • Tecnicas digitales

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5. Modelos matematicos de sistemas

Parte I. Elementos de la Automatizacion

. Tema 2. Automatismos electricos

1. Sımbolos y normas para esquemas electricos

2. Circuitos y esquemas electricos

3. El rele

. Tema 3. Sensores

1. Tipos de sensores

1.1. Clasificacion

1.2. Caracterısticas

2. Calibracion (sensores analogicos)

3. Tipos de transductores

3.1. El potenciometro como sensor de posicion

3.2. Sensores – detectores de proximidad

3

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. Tema 4. Neumatica

1. Instalacion de aire comprimido

2. Cilindros

2.1. Valvulas

. Tema 5. Automatas programables

1. Descripcion de un PLC

2. Programacion de PLC’s

2.1. Ladder Diagram (LD)

2.2. Structured Text (ST)

2.3. Functional Block (FB)

2.4. Instruction List (IL)

2.5. Sequential Function Chart (SFC)

2.6. Automata programable Omron CPM2A-30CDR-A

2.7. Ejemplos

3. Celula flexible SMC

3.1. Componentes4

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Parte II. Modelos, simulacion y diseno

. Tema 6. Sistemas booleanos

1. Dispositivos logicos

2. Algebra de Boole

2.1. Funciones booleanas

• Formas canonicas

2.2. Simplificacion de funciones booleanas

• Metodo de Karnaugh • Metodo de Quine-McCluskey • Algoritmode Quine

3. Sistemas combinacionales

3.1. Funciones logicas elementales

• Funcion NOT • Funcion AND • Funcion OR • Funcion NAND• Funcion NOR • Funcion XOR

4. Sistemas secuenciales

4.1. Automata de Mealy

5

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4.2. Automata de Moore

4.3. Tablas de estado

4.4. Diagrama de estado

4.5. Dispositivos biestables

• Biestable R-S

. Tema 7. Modelos de sistemas

1. Sistemas continuos

. Tema 8. Modelos computacionales

1. Grafcet

1.1. Estructuras basicas

• Secuencia simple • Divergencia OR • Convergencia OR • Divergen-cia AND • Convergencia AND • Saltos • Posibilidades avanzadas

2. Cartas de estado

2.1. Stateflow

2.2. Elementos de una carta de estado

• Estados • Transiciones • Uniones

6

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2.3. Elementos de texto especiales

• Datos • Eventos

3. Creacion de un modelo con Stateflow–Simulink

• Observaciones • Ejemplo. Control de barrera de ferrocarril

. Tema 9. Procesos continuos

1. Sistemas continuos

• Ejemplo. Deposito

2. Modelos de sistemas continuos

2.1. Ecuacion diferencial

2.2. Sistemas lineales - parametros constantes

• Modelo externo • Modelo interno

2.3. Modelo externo

2.4. Modelo interno

2.5. Calculo de la respuesta temporal

• Calculo de la respuesta con Matlab

3. Simulink7

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• Ejemplo. Modelo simple • Ejemplo, Circuito electrico • Calculo conMatlab para c. alterna

4. Sistemas no lineales – pendulo

4.1. Respuesta – modelo externo

• Resolucion simbolica

4.2. Respuesta – modelo interno

5. Sistema de primer orden

6. Sistema de segundo orden

7. Linealizacion

• Ejemplo. Deposito

8. Respuesta de frecuencia

8.1. Diagrama de Nyquist

8.2. Criterio de Nyquist

• Principio del argumento • Criterio de estabilidad de Nyquist • Ejem-plo 1 • Ejemplo 2 • Ejemplo 3 • Ejemplo 4

8.3. Diagramas de Bode

8

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9. El lugar de las raıces

9.1. Reglas para el trazado

9.2. Trazado por computador

. Tema 10. Diseno de Sistemas de Control continuos

1. Introduccion

2. Tipos de controladores

• Realizacion de los controladores • Controlador PID • Controladoresde adelanto y de retraso de fase • Controlador de adelanto-retraso conred pasiva • Controlador de adelanto-retraso con amp. operacional

3. Diseno en el lugar de las raıces

• Efecto de anadir un cero • Efecto de anadir un polo

3.1. Diseno de un controlador de adelanto de fase

3.2. Diseno de un controlador PID

. Tema 11. Diseno de Automatismos

Parte III. Automatizacion global

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. Tema 12. Niveles de Automatizacion

1. Fabricacion inteligente

Parte IV. APENDICES

. Tema A. Ecuaciones diferenciales

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1. Problema de condiciones iniciales (PCI)

2. Estudio cualitativo

3. Orden de una ecuacion diferencial

4. Interpretacion geometrica

5. Sistemas de 2o orden

• Interpretacion geometrica

6. Solucion numerica

7. Solucion numerica con Matlab

• Interpretacion geometrica

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7.1. Metodo de Kelvin

. Tema B. Realizacion del control

1. Realizacion fısica

2. Actuadores

2.1. Tipos de actuadores

2.2. Otros actuadores

2.3. Accesorios mecanicos

2.4. El motor de c.c.

2.5. Ecuaciones diferenciales

2.6. Modelo externo

2.7. Funcion de transferencia del motor

2.8. Reductor de velocidad

2.9. Funcion de transferencia del reductor

2.10.Reductor con poleas elasticas

2.11.Aplicacion practica: sistema de control de posicion

3. Especificaciones de funcionamiento

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3.1. Especificaciones en tiempo

• Valores para el sistema de 2o orden • Otros valores

3.2. Especificaciones en frecuencia

4. Estabilidad, controlabilidad y observabilidad, sistemas lineales

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1. OBJETIVOS

• Formar personas con capacidad para el planeamiento, gestion, diseno ydesarrollo de proyectos de automatizacion.

• Fomentar los metodos de trabajo en grupo.

• Utilizar tecnologıas y metodos de actualidad.

• Inculcar un marco teorico en el que tengan cabida los complejos procesosproductivos.

• Visualizar los metodos y tecnologıas existentes.

• Fases: analisis, diseno y realizacion.

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2. METODO

PBL: aprendizaje basado en problemas

1. PBL

• Clases teoricas. Contenidos API. Planteamiento problemas. Trabajos en grupo. Actividades en Moodle

• Clases practicas. Problemas guiados (PG).. Problemas asistidos (PA).. Problemas de evaluacion (PE).. Proyecto final.

• Tutorıas: apoyo y evaluacion PBL, dudas, grupos.

2. Examen final

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Herramientas

• Plataforma Moodle de la UPV/EHU http://moodle.ehu.es/moodle

• Programas para PLC’s: Omron CX-Programmer, CX-Supervisor

• Programas para control: Matlab, Scilab, Octave, Maple

• Programas para simulacion de sistemas: GPSS, ARENA

• Programacion en lenguajes estandar: C, C++, Java

Prerrequisitos

• Algebra Lineal: espacios vectoriales, matrices.

• Analisis Matematico: analisis real y complejo (basico), ecuaciones dife-renciales ordinarias.

• Informatica: manejo del ordenador, windows, nociones de programacion(C, C++, Java).

• Fısica: nociones de mecanica, electricidad, calor, fluidos.

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3. EVALUACION-cambiar

• PBL

PG + PA + PE (practicas laboratorio) 4Actividades desarrolladas en Moodle 2Proyecto final 4Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

• Metodo clasico

Practicas de laboratorio 4Examen final 6Total . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

? Nota de practicas = PG ( 0.4PA + 0.6PE )

en donde PG ∈ {0, 1} y PA, PE ∈ [0, 10]

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4. Contenidos

1. Automatizacion

• Automatizacion en la fabrica• Sensores, actuadores, controladores• El Simatic CPM-2A: zonas de memoria, ciclo scan, Hostlink no

node, Ladder, timers

2. Automatizacion local

• Actuadores• Captadores• Automatismos electricos, neumaticos e hidraulicos• Controladores y Automatas programables (PLC’s)

3. Modelado y simulacion

• Control de procesos continuos – Matlab, Simulink• Procesos con eventos – Redes de Petri, Grafcet, Stateflow• Procesos estocasticos – Scada, Arena

4. Automatizacion global

• Buses industriales de comunicacion• Robotica• GEMMA• SCADA

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Tema 1. Introduccion

Automatizacion: teorıas y tecnologıas para sustituir el trabajo del hombre porel de la maquina. Mecanismo de feedback

Relacionada con las Teorıas de Control y de Sistemas.

Adopta los mas recientes avances.

Para automatizar procesos: saber como funcionan esos procesos.

• Procesos continuos

• Procesos comandados por eventos

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1. Perspectiva historica

Fuego:

• Homo sapiens→ calefaccion → alimentos

• Edad Bronce → metales → ceramica → “procesos fabricacion”

Energıa eolica:

• 2000 A.C: embarcaciones a vela

• 1000 A.C.: Fenicios → Mediterraneo

• Edad Media: Europa → molinos de viento

Energıa hidraulica: 50 A.C: Romanos → noria

Maquina de vapor

• James Watt, 1750 → Revolucion Industrial

• Maquina de vapor → bombas agua (minas de Gales)

• Automatizacion telares (Manchester)

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El governor de Watt

B

A

C

Ax

Cx

w(t)

Actuador

válvula

xC : consigna de velocidad ωref (fija)

Si ω aumenta

⇒ aumenta fuerza centrıfuga

⇒ bolas B se separan

⇒ A sube

⇒ A cierra valvula vapor de la caldera

⇒ baja la presion

⇒ ω disminuye

Feedback: artificio basico del control.

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Locomovil

Marsall sons & Co. Ltd.Gainsborough, U.K.Primer cuarto del siglo XX

Museo de la Cultura del VinoDinastıa VivancoBriones, La Rioja

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Teorıas, tecnologıas y areas

• Teorıas

. Teorıas de Control, Sistemas y Senal

. Sistemas de eventos discretos

. Maquinas de estado, Redes de Petri, Grafcet, Statechart

• Tecnologıas

. Neumatica, Hidraulica

. Electronica

. Microprocesadores, Ordenadores, Automatas programables

. Robotica

. Comunicaciones

. Desarrollo del software

• Areas tecnologicas

. Automatizacion de las maquinas-herramienta

. Control por computador, CAD, CAM, CIM

. Control de procesos distribuido

. Celulas flexibles

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2. La empresa productiva

Ente socioeconomico – adecuacion parcial de flujos: produccion y consumo

Dos subsistemas: uno para medir las necesidades de los consumidores y detrasferirles los productos que las satisfagan y otro que se encarga de la pro-duccion.

Elemento productivo – Elemento consumidor (de materias primas)

Departamentos o secciones:

• Finanzas

• Gestion

• Compras

• Almacen de materias primas

• Produccion

• Almacen de productos terminados

• Ventas

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Actividad de la empresa

Gestión

Almacén de Almacén deproductos terminadosProducciónmaterias primas

Finanzas

MERCADO

Compras Ventas

Gestion: controla a todos los demas

• parte superior: generacion del producto (gestion de produccion)

• parte inferior: ventas − comparas = beneficio (mercadotecnia)

Objetivo: maximizar el beneficio.

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El proceso productivo

y auxiliares

Energia

Productos base Proceso

Productivo

Productos elaborados

y residuos

• Incrementa valor anadido

• Simple o compuesto de subprocesos

• Con o sin intervencion humana (automatico)

• Intervencion humana: operacion, vigilancia, ajuste, mantenimiento

• Modelo: sistema de eventos discretos

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Operaciones basicas de fabricacion

• Procesado de un elemento

-Materia prima Mecanizado -Pieza

• Montaje

-Mat. prima 1 Mecanizado 1 -Pieza 1

-Mat. prima 2 Mecanizado 2 -Pieza 2

Montaje -Producto

• Movimiento de material

• Almacenamiento

• Inspeccion y control

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Tipos de procesos

• Job Shops

- amplia gama, alta tecnologıa, series medianas–pequenas

- mano de obra y maquinaria especializadas – elevados costes

• Produccion por lotes

- muy extendida – lotes tamano medio, cada lote de una tirada

- maquinaria y el personal preparados – cambio lote

• Lıneas de produccion

- cadena – grandes series - pocos productos – automoviles

- cintas trasportadoras – estaciones (proceso o montaje) – almacenes

• Produccion continua

- productos simples – grandes cantidades – petroquımica

- flujo continuo de producto

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Ubicacion de los procesos

Importancia: procesos, comodidad del personal, cableados, buses etc.Programas simulacion (estocastica)

• Producto en posicion fija

El producto no debe moverse – obras – naval y aeronautica

• Por clases de procesos

Maquinas en locales por clases de procesos – mecanizado – flexible

• En flujo de producto

Maquinas a lo largo del flujo

• Por tecnologıa de grupo

Por clases + en flujo de producto

3. El significado del control

Controlar: conducir, dirigir, gobernar, comardar, ...trayectoria prefijada — controles

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chofer →

volanteaceleradorfrenoscambio de marchas

→ vehıculo

Teorıa de Control

sistema de control = entidad

– terminales de entrada (controles) → estımulos– terminales de salida → respuesta

Caja negra o bloque – planta o proceso

Entrada Salida- Bloque -

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El control en la empresa

El esquema de feedback es aplicable los procesos de la empresa.

• Control de produccion

• Control de calidad

• Control de presupuestos

• Control de procesos

Elementos esenciales:

• medida de variables del proceso a controlar

• realimentacion de las variables medidas

• comparacion con una consigna

• actuacion sobre el proceso

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4. La automatizacion industrial

Objetivos

• Reduccion de costes de mano de obra, materiales y energıa

• Reduccion de tiempos de fabricacion, plazos de entrega

• Mejora de diseno

• Mejora de la calidad

• Eliminacion de trabajos peligrosos o nocivos

• Fabricacion de elementos sofisticados

Procesos a automatizar

• Operaciones manuales → automaticas

• Maquinas semiautomaticas → automaticas

• Produccion rıgida → produccion flexible

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Ventajas e inconvenientes de la automatizacion

Ventajas:

? Permite aumentar la produccion y adaptarla a la demanda? Disminuye el coste del producto? Consigue mejorar la calidad del producto y mantenerla constante? Mejora la gestion de la empresa? Disminuye de la mano de obra necesaria? Hace mas flexible el uso de la herramienta

Inconvenientes:

• Incremento del paro en la sociedad• Incremento de la energıa consumida por producto• Repercusion de la inversion en el coste del producto• Exigencia de mayor nivel de conocimientos de los operarios

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Automatizar: aplicar feedback

• Tecnicas analogicas

Controlador: mecanico, neumatico, hidraulico, electrico, electronico, optico

? Controlador PID – procesos Continuos

x(t) = C(ε(t)) = Kp

(1 + Td

dx(t)dt

+1Ti

∫ t

0x(τ)dτ

)• Tecnicas digitales

Ordenador – microprocesadores – microcontroladores – ordenador personal comuni-caciones – software ...

? Controlador PID – procesos continuos

? Automata programable – procesos de eventos discretos

? Control distribuido – automatizacion global

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Estructura de un sistema automatizado

Procesos continuos – esquema de regulacion en feedback

-yref m+

ym(t)

-ε(t)C -x(t)

A -u(t) m+ -v(t)P r -y(t)

�M

6−

?

d(t)

yref−→ Entrada de referencia C Controlador PIDd(t)−→ Entrada perturbadora A Actuadory(t)−→ Salida P Planta o Procesoε(t)−→ Error M Medidor

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Procesos de eventos discretos

de MandoParte

ordenes

eventos

OperativaParte

Esquema basico

Procesador

PLC

PLCA

SP

PLCA

SP

S

P

A

S

P

A

S

P

A

S

P

A

Comunicaciones

Control distribuido

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Parte Operativa

Recibe ordenes de PM, opera sobre el proceso productivo y envıa eventos a PM.

• Elementos de almacenaje

• Elementos de transporte: cintas, carros

• Maquinaria, herramientas y utillaje

• Actuadores: motores, cilindros, manipuladores, robots

• Sensores

Parte de Mando

Recibe eventos de PO, los procesa y envıa ordenes a PO. Dialogo con maquinas.Tratamiento y acondicionamiento de senales.

• Ordenadores, automatas programables, procesadores electronicos, neumaticos

• Interfaces hombre-maquina

• Buses y redes de comunicacion

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Tipos de automatizacion

Proceso 1 Proceso 3 Proceso 4Proceso 2

• Automatizacion fija – produccion muy alta – automoviles

• Automatizacion programable – produccion baja – diversidad de productos

• Automatizacion flexible – produccion media – pocos productos

• Automatizacion total

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Tecnologıas de la automatizacion

• Mecanica: herramientas, mecanismos, maquinas, elementos de transporte

• Electrica: automatismos electricos, motores electricos de c.c. y c.a., cableados– fuerza – mando, aparillajes electricos

• Electronica: controladores analogicos, sensores, pre-accionadores, drivers, ac-cionamientos, communicaciones, telemando-telemetrıa, comunicacion inalambri-ca

• Neumatica – electro-neumatica: cilindros neumaticos, valvulas neumaticas yelectro-neumaticas, automatismos neumaticos

• Hidraulica y electro-hidraulica: cilindros hidraulicos, valvulas hidraulocas yelectro-hidraulicas, automatismos hidraulicos

• Control e Informatica Industrial: controladores de procesos, control por com-putador, embedded control, automatas programables, vision artificial, roboti-ca, mecatronica, celulas – fabricacion flexible – mecanizado – montaje, controlnumerico, CAD-CAM, CIM, redes y buses – comunicaciones

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5. Modelos matematicos de sistemas

Modelo matematico: ecuacion o sistema de ecuaciones que lo representa y cuyaevolucion en el tiempo se corresponde con la del sistema.

Permite hacer calculos, predicciones, simulaciones y disenar.

Clasificacion:

• Sistemas continuos en el tiempo

• Sistemas discretos en el tiempo

• Sistemas de eventos discretos

Sistemas de eventos discretos =sistemas reactivos = sistemas comandados por eventos (event-driven systems)

Modelos complejos – procesos estocasticos – procesos de colas – modelos no ma-tematicos basados en computador.

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Parte I. Elementos de la Automatizacion

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Automatismos

Automatismo: conjunto de sensores, actuadores y controladores conectados con-venientemente por medio de circuitos y/o buses de comunicacion un determinadoproceso para que funcione con una mımima intervencion humana.

Tecnologıas de realizacion

• Sensores: electronica, neumatica

• Actuadores: electrica, electromecanica, neumatica, hidraulica

• Controladores: electrica, electronica, informatica, neumatica

• Circuitos: electrica, neumatica

• Buses: electronica, informatica

Observese que solo las tecnologıas Electrica y Neumatica permiten construir auto-matismos completos.

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Tema 2. Automatismos electricos

1. Sımbolos y normas para esquemas electricos

Norma IEC 61082: preparacion de la documentacion

• IEC 61082-1: requerimientos generales (Ingles)

• IEC 61082-2: orientacion funciones en esquemas (Ingles)

• IEC 61082-3: esquemas, tablas y listas de conexiones (Ingles y Espanol)

• IEC 61082-4: documentos localizacion instalacion. (Ingles y Espanol)

Normas EN 60617, UNE EN 60617, IEC 60617, CEI 617:1996: sımbolos graficosesquemas (Ingles y Espanol)

• EN 60617-2: elementos de sımbolos, sımbolos distintivos y generales

• EN 60617-3: conductores y dispositivos de conexion

• EN 60617-4: componentes pasivos basicos

• EN 60617-5: emiconductores y tubos de electrones

• EN 60617-6: produccion, transformacion y conversion de energıa electrica42

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• EN 60617-7: aparatos y dispositivos de control y proteccion

• EN 60617-8: aparatos de medida, lamparas y dispositivos de senalizacion

• EN 60617-9: telecomunicaciones: equipos de conmutacion y perifericos

• EN 60617-10:telecomunicaciones: transmision

• EN 60617-11: esquemas y planos de instalaciones arquitectonicas y topografi-cas

• EN 60617-12: elementos logicos binarios

• EN 60617-13: operadores analogicos

Norma IEC 60445: interfaz hombre-maquina, seguridad, marcado e identificacion

http://www.tecnicsuport.com

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2. Circuitos y esquemas electricos

Circuito de potencia

• Conexion controlada entre red y receptores de potencia

• Interruptores, seccionadores, contactores, fusibles

• Elementos de proteccion

Circuito de mando

• Conexiones entre controladores, circuitos, sensores y actuadores

• Contactos, componentes, equipos de proteccion y medida

• Elementos de regulacion y control

• Pulsadores, interruptores, conmutadores, contactores, reles

• Sensores, detectores

• Elementos de senalizacion

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Tipos de esquemas

• Esquema unifilar

. varias fases agrupadas

. se pierde detalle

. planos de lıneas de distribucion

. poco usado en automatismos

• Esquema desarrollado

. representacion detallada

. facilita la comprension del funcionamiento

. fundamental para el cableado, reparacion y mantenimiento

. asocia cada aparato con sus componentes mediante letras y numerosej: contactor KM2 → contactos KA1 21-22

A2

A1

−KM1 22 21

−KA1

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Identificadores de dispositivos

A Aparatos de serie M MotoresB Sensores N Aparatos no serieC Condensadores P Prueba y medidaD Dispositivos binarios Q Interruptores mecanicosE Electricidad R ResistenciasF Proteccion S Switches manualesG Generadores T TransformadoresH Senalizacion V Valvulas electronicasK Reles y contactores W Wave transmisionKA auxiliares X Conexiones, regletas, bornasKM de potencia Y ElectromecanicosL Inductancias Z Filtos

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Rotulado de conductores y bornas

Conductoresfase: L → L10, L11, L12, . . .neutro: N → N4, N6, N9, . . .tierra: PE → PE1, PE3, . . .otros: 10, 11, 20, . . .

50 Hz3N ~ 400VL1

L3

N1

L2

3x120 mm + 1x50 mm 2 2

Contactosde potencia: una cifra por contacto

1, 3, 5, . . . , (arriba)2, 4, 6, . . . (abajo)

1 3 5

2 4 6

auxiliares: dos cifras por contacto1a cifra: numero de contacto2a cifra: 1,2 = NC 3,4 = NA

5,6 = NC especial 7,8 = NA especial

1112

2324

3536

4748

Bobinas:A1, B1, C1, . . .A2, B2, C2, . . . A

2A

1

B2

B1

Bornas control: regleteros X1, X2, . . .con bornas 1, 2, 3, . . . 3 5 6 72 4X3 1

Bornas potencia: L1, L2, L3 (lıneas), N (neutro),PE (tierra), U, V, W (salidas)

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Elementos de control

Pulsadorcontacto NA

Setacon enganchecontacto NC

Interrruptorgiratoriocontacto NA

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3. El rele

• Interruptor accionado por electroiman

• Dispositivo fundamental en automatismos electricos

• Contactores

• Diagrama de contactos

NC

NA

A1

A2

1

1A

A 2

12 14

11

Esquema segun norma CEI

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Funciones logicas con reles

+a

−s

+a s− −

−+a

K

K

Identidad Negacion Negacion con rele

+ −a b s

−+a b

s

K

K

−+a b

s

K

K

Funcion AND Funcion AND Funcion NAND

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Elementos con memoria

+a

−s

+a s− −

−+a

K

K

Identidad Negacion Negacion con rele

+ −a b s

−+a b

s

K

K

−+a b

s

K

K

Funcion AND Funcion AND Funcion NAND

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Componentes de dialogo con el usuario

• Entradas: pulsadores, setas, interruptores, potenciometros

• Salidas: luces, alarmas

• Pantallas tactiles

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Reles – contactores

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Tema 3. Sensores

Partes de un sensor

Captador: dispositivo con un parametro p sensible a una magnitud fısica h – emiteenergıa w que depende de p (y de h). Ideal: w(t) = K h(t), K = cte.

Transductor: recibe la energıa w del captador, la transforma en energıa electricae(t) y la retransmite.

Acondicionador: recibe la senal e(t) del transductor y la ajusta a los niveles devoltaje e intensidad, precisos para su posterior tratamiento, dando v(t).

h t( ) e t( ) ( )v t

p h( )

( ) ( ) ( )w p h tAcondicionadorTransductor

Captador

Sensor = Captador + Transductor + Acondicionador

• Analogicos: todas las senales son analogicas

• Digitales: v(t) digital.

Sistemas de control: medicion de variables que intervienen en el proceso.El sensor ha de ser de gran calidad. Estatica – Dinamica.

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1. Tipos de sensores

Analogicos: parametro sensible – magnitud fısica

• Resistencia R – desplazamiento, temperatura, fuerza (galgas)

• Capacidad C – desplazamiento, presencia

• Autoinduccion, reluctancia L – desplazamiento (nucleo movil)

• Efecto Seebeck – temperatura (termopar)

• Piezoelectricidad – fuerza, presion

• Dispositivos electronicos – temperatura, presion

• Avanzados: ionizacion, ultrasonidos, laser, camaras CCD, etc.

Digitales: binarios o n bits

• Fin de carrera – presencia (interruptor)

• Dilatacion – temperatura (termostato)

• Resistencia, capacidad, autoinduccion – presencia

• Efecto fotoelectrico – presencia (1 bit), posicion (n bits), velocidad

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1.1. Clasificacion

Aspecto – tipos

• Senal de salida – analogicos, digitales

• Energıa – pasivos, activos

• Funcionamiento – deflexion, comparacion

1.2. Caracterısticas

Aspecto – caracterısticas

• Diseno – electrico, diseno mecanico, actuacion

• Escalas – rango, resolucion

• Estatica – precision, linealidad, histeresis, repetitividad, derivas

• Dinamica – orden cero, orden uno, orden dos

• Fiabilidad

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2. Calibracion (sensores analogicos)

Ensayo: entrada h = magnitud de valor conocido – salida medida v

Tabla de calibracion: varios puntos h1 → v1, . . . , hn → vn, dentro del rango

Curva de Calibracion: representacion grafica (h, v)

Necesario: aparato de medida de mayor precision que el sensor

Linealizacion: curva de calibracion → lınea recta

• Por punto final: v = m h, en donde m = vn/hn

• Por lınea independiente: v = m h + b

• Por mınimos cuadrados: v = m h + b, en donde

m =

n

n∑i=1

hivi −n∑

i=1

hi

n∑i=1

vi

n

n∑i=1

h2i −

(n∑

i=1

hi

)2 , b =

n∑i=1

vi

n−m

n∑i=1

hi

n

57

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3. Tipos de transductores

Temperatura

• Termistor – parametro sensible: R (ptc, ntc)

RT = R0eβ(( 1

T0)−( 1

T)), β = cte., T0 = 250C – formas variadas

• Termopar – ∆T → ∆v – rapido (ms) – senal debil – T alta

• Circuitos integrados – LM335 (10 mV/0K), AD592 (1µ A/0K).

Posicion

• Resistivos – potenciometro (R) – lineal y angular

• Inductivos – LVDT

• Encoder – digital – lineal y angular

• Ultrasonidos

• Laser

Velocidad

• Dınamo tacometrica

• Encoder

Aceleracion, fuerza, presion, luz, color, etc.58

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3.1. El potenciometro como sensor de posicion

R

Rx

V +

?i(t)

x(t)

vx(t)

0

Rx =ρ

Ax(t)

i(t) =V +

R

vx(t) = Rx i(t) =ρ

Ax(t)

V +

R= Kpot x(t)

• Ventajas: precio economico

• Inconvenientes: –rozamiento –ruido en la medida

• Tipos: –lineal –circular –de una vuelta –de varias vueltas

• Si ponemos V − en vez de 0 mide x negativos

59

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3.2. Sensores – detectores de proximidad

60

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61

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Tema 4. Neumatica

• Tecnologıa basica de la automatizacion – fabricacion y montaje

• Utilizacion de la energıa potencial del aire comprimido. DIN 24300

• Ventajas: sencillez de diseno, rapidez de montaje, flexibilidad, fiabilidad, eco-nomıa, admite sobrecargas

• Inconvenientes: instalacion aire comprimido, rendimiento bajo, ruidos

Componentes: actuadores, sensores, controladores

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1. Instalacion de aire comprimido

• Compresor –alternativo –rotativo

• Filtros –entrada compresor –en lıneas –en maquinas

• Secadores –absorcion –adsobrcion –regrigeracion

• Depositos –control de presion –manometros –presostatos

• Tubos y accesorios de distribucion

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2. Cilindros

Energıa aire comprimido → energıa mecanica

Tubo de acero – embolo – vastago – una o dos tomas de aire

P P P

Cilindro de simple efecto Cilindro de doble efecto

Tipos: con amortiguador, en tandem, multiposicionales, rotativos y mesas,de impacto, sin vastago, etc.

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2.1. Valvulas

Sirven para controlar el paso de fluido – notacion: no vıas / no de posiciones

Distribuidoras: pieza fija + pieza movil. Muchas formas y dimensiones

Accionamiento:

• Manual, con pulsador, seta, palanca o pedal.

• Mecanico, con leva, rodillo o varilla.

• Neumatico, con orificios especiales para senales neumaticas.

• Electrico, con electroiman.

• Electroneumatico.

���������

���������

���������

���������

���������

���������

���������

���������

������������

������������

���������������������

���������������������

� � � � � � � � �

���������������������

���������������������

���������������������

���������������������

���������������������

���������������������������

���������������������������

A A

P PR R

Valvula 3/2 de corredera y con accionamiento mecanico

66

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Valvulas de dos vıas

Valvula 2/2: dos orificios o vıas de aire (entrada y salida), y dos posiciones detrabajo. Dos tipos: NC y NA. Reposo: cuadrado dcha.

P

A A

P

Con accionamientos:

P

A A

P

Valvulas de tres vıas

Tres vıas y dos o tres posiciones de trabajo. Valvulas 3/2: 3 vıas y 2 posiciones ypueden ser de tipo NC o NA.

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P R

A

P

A

R

Valvulas 3/3: 3 vıas de aire y 3 posiciones.

P R

A

abrir ← (centro: las tres vıas cerradas) → cerrar

Valvulas de cuatro y cinco vıas

4 vıas y 2 o 3 posiciones trabajo; 5 vıas y 2, 3 o 4 posiciones de trabajo

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A B

X

P R

X

P R

A B

Y

Valvulas 4/2 y 4/3

R S P

A B

X Y X

A B

Y

R P S

X

A B

R P S

YX

A B

R P S

Y

Valvulas 5/2, 5/3 y 5/4

Valvula selectora

Conductos internos con forma de T; la bolita tapona la entrada X o YSi pX > pY entonces la bolita tapa la entrada Y y pA = pX .En cambio, si pY > pX ocurre lo contrario y pA = pY

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A

X Y

Si pX = pY = baja entonces pA = baja; Si pX = pY = alta entonces pA = alta.

Realiza neumaticamente la funcion logica OR.

70

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Valvulas de simultaneidad

Lleva una corredera en el conducto que comunica las entradas X e Y . La correderatiene dos tapones ubicados en sendas cavidades, uno para la entrada X y otro parala entrada Y y unidos por una varilla. Si pX > pY entonces la cavidad de la entradaX resulta taponada y pA = pY .

A

X Y

Por el contrario, si pY > pX se tapona la cavidad de Y y la presion en pA = pX .Si pX = pY , la corredera queda en el centro y entonces pX = pA = pY .

Realiza neumaticamente la funcion logica AND.

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Aplicacion sencilla

Control de un cilindro de doble efecto desde dos posiciones X e Y mediante unavalvula selectora de tipo OR.

X Y

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Cilindros

Linear Compact Rotary Rodless Guided

Hydraulic Grippers Specials Accessories

Suministro de aire

Combination Units Dryers Filters Lubricators Regulators

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Valvulas

Air Pilot Manual Mechanical Solenoid Accesories

2 Port 3 port 4 & 5 port Porportional

Fittings

One touch Special Manifolds Tubing

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Tema 5. Automatas programables

1. Descripcion de un PLC

Externamente un PLC se compone de una o varias cajas de plastico acopladasmecanica y electricamente entre sı. Una de ellas contiene la CPU (Central ProcessUnit) y las otras son modulos complementarios para entradas, salidas, comunicacio-nes, alimentacion y otras funciones especiales.

CPU

• Datan de la decada de los 80– sustituir reles y temporizadores.

• Potentes PLC: operaciones potentes– tipo maestro.

• PLC’s de gama baja: actuadores – senso-res – pocas I/O– tipo esclavo.

Tanto la CPU como los modulos adicionales tienen bornas para los cables de co-nexion del automata con sensores y actuadores ası como con otros automatas yordenadores.

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Arquitectura de un PLC

Buses: direcciones − datos − control

EEPROMROMCPURAMEPROM

opto − entradasrelés − salidas

• Sistema basado en microprocesador.

• Entradas opto-acopladas y filtradas, salidas por rele.

• Alta inmunidad al ruido – gran fiabilidad.

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Cableado directo I/O

Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3

CPU

Drivers Drivers

• Sensores y actuadores clasicos.

• Las entradas – salidas se cablean hasta el proceso.

• Posiblilidad de errores de transmision.

• Gran cantidad de cables.

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Cableado por bus de campo

Proceso 1 Proceso 2

CPU

CPU

1

0

22 3

• Sensores y actuadores “inteligentes”.

• Automata esclavo en proceso.

• Reducido numero de cables.

• Posibilidad de usar elementos de radiofrecuencia (wifi).

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Funcionamiento

Un automata programable ejecuta un programa almacenado en memoria, de modosecuencial y cıclico, en base a lo que suele denominarse ciclo de scan.

• Primero se actualizan las salidas del automata con los valores de los registrosinternos asociados y a continuacion las entradas se chequean y sus valores sealmacenan en los registros asociados a las mismas.

• Una vez terminada la tarea I/O, se ejecuta el programa con los datos alma-cenados en los registros internos.

• El tiempo necesario para completar un ciclo de scan se llama tiempo de scan,transcurrido el cual puede haber un periodo de tiempo inactivo idle.

Este proceso se ejecuta de un modo permanente, ciclo tras ciclo y sin fin.

Fabricantes

ABB, Afeisa, Allen Bradley (Rockwell), Entrelec, Exor, Fuji, GE-Fanuc, Hitachi,Hitech, Ibercomp, Idec, Koan, Mitsubishi, Matsushita, Moeller, National, Omron,Pilz, Siei, Siemens, Sprecher, Telemecanique (Schneider), Tri, Xycom, Yaskawa.

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Ejemplo de proceso simple

piezas

STOP

codigolectoraswitch

maquinarobot

PLCsa

lidas

entr

adas

Sımbolo e/s elemento on/off significadoE1 e microswitch on llega piezaS1 s lectora de codigo on leer codigoE2 e lectora de codigo on pieza okS2 s robot on cargar piezaS3 s robot on descargar piezaE3 e robot on robot ocupadoS4 s contactor on parar equipoE4 e maquina on maquina ocupadaE5 e maquina on tarea completa

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2. Programacion de PLC’s

Lenta evolucion de los lenguajes de control industrial.

Motivo: los programas se pueden usar en areas en las que los fallos pueden originarriesgos para la seguridad humana o producir enormes perdidas economicas.

Antes de que una nueva tecnica ser aceptada, debe ser probada para verificar quecumple unas severas condiciones de seguridad y fiabilidad.

Los programas deben ser comprendidos por otras personas ajenas al programador:tecnicos (electricistas, mecanicos, etc.), encargados de planta e ingenieros de proceso→ lenguajes con caracterısticas especiales.

Es posible resolver el mismo problema con diferentes lenguajes. El grado de dificultadpuede variar.

Hay sistemas que convierten automaticamente de un lenguaje a otro.

Programacion con raton mediante interfaces graficas bajo windows.

Automatas gama alta: programables en C o SFC, diseno con Statecharts.

Automatas gama baja: conversion (manual) SFC → LD

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La norma IEC 1131

Intento de normalizacion del empleo de PLC’s en automatizacion.

Antes de la IEC 1131-3: lenguajes especıficos de cada PLC→ confusion, mala coordinacion y perdidas de tiempo y dinero.

Objetivo de la IEC 1131-3: hacer que los programas se entiendan mejor.

Familias de la IEC 1131:

• IEC 1131-1 Informacion general: definicion de terminos, normas para la elec-cion de PLC’s y perifericos.

• IEC 1131-2 Hardware: requisitos mınimos de construccion y servicio.

• IEC 1131-3 Lenguajes de programacion: elementos comunes, sintaxis, semanti-ca.

• IEC 1131-4 Guıa de usuario: para todo proyecto de automatizacion.

• IEC 1131-5 Comunicaciones: PLC – perifericos, PLC – PLC, PLC – PC.

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La IEC 1131-3. Lenguajes de programacion

Norma para el diseno de software para sistemas de control industrial, en particularpara PLC’s (Programmable Logic Controller).

Fue publicada por primera vez en 1993. Hasta entonces no habıa ningun estandarpara la programacion de sistemas PLC.

Lenguajes incluidos en la norma IEC 61131-3:

• Ladder Diagram (LD)

• Structured Text (ST)

• Functional Block (FB)

• Instruction List (IL)

• Sequential Function Chart (SFC)

Metodologıa flexible de programacion.

Permite combinar bloques realizados en diferentes lenguajes.

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Elementos comunes

1. Naturaleza de los datos

• Entradas y salidas• Marcas (memoria)• Temporizadores y contadores• Datos globales (permanentes)• Datos locales (temporales)

2. Tipos de datos basicos

• boolean: bool (1 bit)• bit string: bool, byte, word, dword, lword (8, 16, 32, 64 bits)• integer: sint, int, dint, lint (1, 2, 4, 8 bytes)• unsigned integer: usint, uint, udint, ulint (1, 2, 4, 8 bytes)• real: real, lreal (4, 8, bytes)• time: time, date, tod, dt• string: string

3. Variables: direcciones de memoria o I/O

4. Configuracion, recursos y tareas

5. Organizacion Programas: Funciones, Bloques de funcion, Programas

6. Sequential Function Charts (Grafcet)

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2.1. Ladder Diagram (LD)

• Lenguaje de contactos

• Disenado para tecnicos electricistas

• Cada contacto representa un bit: entrada, salida, memoria

Elementos (instrucciones)

1. Reles: contactos, bobinas

2. Timers, Counters

3. Aritmetica

4. Manipulacion de Datos

5. Secuenciadores, etc.

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Programacion en lenguaje LD

Paso 1: Si llega pieza y equipo no esta en parada, acciona la lectoraPaso 2. Si la pieza es correcta, activa parada equipoPaso 3. Si equipo en parada y maquina no ocupada y robot no ocupado, carga piezaPaso 4. Si tarea es completada y robot no ocupado, descarga la maquina

e ne s ns

E1 01 S1 11E2 02 S2 12E3 03 S3 13E4 04 S4 14E5 05

Tabla de sımbolos

01

E1

14

S4�

� � ��11

S1

02

E2�

� � ��14

S4

14

S4

04

E4�

�

03

E3�

� � ��12

S2

05

E5

03

E3�

� � ��13

S3

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2.2. Structured Text (ST)

• Lenguaje de alto nivel

• Sintaxis similar a Pascal o C

• Operadores, expresiones, asignaciones

• Llamadas a funcion

• Control del flujo de programa

• Funciones, Bloques Funcion

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Programacion en lenguaje ST

PROGRAM proceso_simpleVAR_INPUT

E1 : BOOL;E2 : BOOL;E3 : BOOL;E4 : BOOL;E5 : BOOL;

END_VARVAR_OUTPUT

S1 : BOOL : FALSE;S2 : BOOL : FALSE;S3 : BOOL : FALSE;S4 : BOOL : FALSE;

END_VARS1 := E1 AND (NOT S4);S2 := S4 AND (NOT E4) AND (NOT E3);S3 := E5 AND (NOT E4);S4 := E2;

END_PROGRAM

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2.3. Functional Block (FB)

FB’s

• Elementos de software empaquetados que pueden ser reutilizados en diferentespartes de una aplicacion e incluso en diferentes proyectos

• Pueden tener algoritmos escritos en cualquier lenguaje IEC-1131-3

• Validos para todos los lenguajes IEC-1131-3

• Funcionan como bloques constructivos de un sistema de control

• Disenados por el usuario o por el fabricante

. Contadores, Temporizadores

. Controladores PID

. Algoritmos control no lineal

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Up Counter Function block

Cuenta impulsos que llegan a CUhasta que su numero supera a PVy entonces saca la cuenta por CV ypone a 1 Q. Con R (reset) se pone acero.

BOL CUCTU

Q BOL

BOL R

INT PV CV INT

CU : inpulsos a contarR : puesta a ceroPV : valor a reponerQ : salidaCV : valor contado

Algoritmo en lenguaje ST:

FUNCTION BLOCK CTUVAR_INPUT

CU : BOOL;R : BOOL;PV : INT;

END_VARVAR_OUTPUT

Q : BOOL;CV : INT;

END_VARIF R THEN

CV := 0;ELSEIF CU

AND (CV < PV) THENCV := CV + 1;

END_IF;Q := (CV >= PV);

END_FUNCTION_BLOCK

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2.4. Instruction List (IL)

• Lenguaje de bajo nivel similar a un lenguaje ensamblador.

• Simple, facil de aprender e ideal para dispositivos de programacion manuales.

• Cada lınea tiene cuatro partes: label, operator, operand, and comment.

Instrucciones

LD N load N into register ST N store register in NS set operand true R reset operand falseAND N, Op Boolean AND OR N, Op Boolean ORXOR N, Op Boolean XOR ADD Op additionSUB Op subtraction MUL Op multiplicationDIV Op division GT Op greater thanGE Op greater than and equal to EQ Op equalNE Op not equal LE Op less than and equal toLT Op less than JMP C, N jump to labelCAL C, N call function block RET C, N return

“N”: negacion. “C”; condicion, la operacion se ejecuta si el valor del registro escierto.

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Programacion en lenguaje IL

PROGRAM proceso_simple

VAR_INPUTE1 : BOOL;E2 : BOOL;E3 : BOOL;E4 : BOOL;E5 : BOOL;

END_VAR

VAR_OUTPUTS1 : BOOL : FALSE;S2 : BOOL : FALSE;S3 : BOOL : FALSE;S4 : BOOL : FALSE;

END_VAR

LD E1ANDN S4ST S1LD S4ANDN E4ANDN E3ST S2LD E5ANDN E4ST S3LD E2ST S4

END_PROGRAM

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2.5. Sequential Function Chart (SFC)

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Programacion en SFC

Sequential function chart (GRAFCET)

00

E1 and (not S4)

1

E2

2

S4 and (not E3) and (not E4)

3

E5 and (not E5)

4

S1

S4

S2, S4

S3

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Conversion manual SFC → LD

ON

e1

keep(11)

e0

e0 r1

e2

keep(11)

e1

e1 r2

e3

keep(11)

e2

... ...en−1 rn

en+1

keep(11)

en

00

r1

1

r2

2

r3... rn

n

rn+1

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2.6. Automata programable Omron CPM2A-30CDR-A

18 entradas??????????????????

12 salidas

????????????

Programa Memoria

RS-232Perif.

Lenguaje: LD + instrucciones –16 bits–

Entradas: IR 00000-IR 00915 (o bits)Ch: 00.00 a 00.11 y 01.00 a 01.05Salidas: IR 01000-IR 01915 (o bits)Ch: 10.00 a 10.07 y 11.00 a 00.03Bits: IR 02000-IR 04915 y IR 20000-IR 22715Especial: SR 22800-SR 25515Temporal: TR 0-TR 7Holding: HR 0000-HR 1915Auxiliar: AR 0000-AR 2315Link: LR 0000-LR 1515Timers: TIM/CNT000 to TIM/CNT255Memoria datos: DM0000-DM 6655 (RW)Interrupciones externas: 4Salida de pulsos: 2 puntos 10 KHzEntradas respuesta rapida: 4 (50µ s)Controles analogicos: 2 (0-200)2 Puertos comunicaciones: perif., RS232

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2.7. Ejemplos

Programa 1: al pulsar M se encendera la luz FM.

M

0.00� ��FM

11.01

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Programa 2: al pulsar M se encendera la luz FM y se mantendra encendida; al pulsarP se apagara.

M

0.00 keep(11)

eP

0.01

e

hr00� ��FM

11.01

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3. Celula flexible SMC

Transfer (cinta trasportadora) + 8 Estaciones.

Producto: montaje simple

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Estaciones de proceso

• Parte frontal: mandos, control electrico/electronico, interruptor magneto-termi-co, PLC para control del proceso y comunicacion

• Parte superior: actuadores, electrovalvulas, proceso

Estaciones:

1. Alimentacion de la base

2. Montaje rodamiento

3. Prensa hidraulica

4. Insercion del eje

5. Colocacion de la tapa

6. Montaje de tornillos

7. Robot atornillador

8. Almacen conjuntos terminados

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Estacion 1

Elementos

• Actuadores: 6 cilindros neumaticoscontrolados por electrovalvulas

• Sensores: detectores magneticos

• Pulsadores de marcha, paro y rearme.

• Selector ciclo, seccionador, seta emergencia

• Piloto indicador error

• PLC con 13 entradas y 10 salidas

Operaciones

• Sacar la base del almacen (cilindro A)

• Verificar posicion correcta (cilindro V)

• Trasladar base al manipulador (cilindro T)

• Rechazar base incorrecta (cilindro R)

• Insertar base en palet (cilindros MH y MV)

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3.1. Componentes

• Almacen para 12 basesActuadores: Cilindro empujador doble efecto Ø16, C:100mm (CD85N16-100B),con reguladores de caudal y detectores de posicion inicial y final. Controladopor electrovalvula 5/2 monoestable.Sensores: Detectores magneticos tipo Reed (D-C73L)

• Modulo verificacion posicionActuadores: Cilindro doble efecto Ø12, C:50mm (CD85N12-50B), con regu-ladores de caudal y detector de posicion final. Controlado por electrovalvula5/2 monoestable.Sensores: Detector magnetico tipo Reed (D-A73CL)

• Modulo desplazamiento Actuadores: Cilindro empujador seccion rectangularØ25, C:200mm (MDUB25-200DM), con reguladores de caudal y detector deposicion final. Controlado por electrovalvula 5/2 monoestable.Sensores: Detector magnetico tipo Reed (D-A73CL)

• Modulo rechazo base invertida Actuadores: Cilindro expulsor simple efectoØ10, C:15mm (CJPB10-15H6) con regulador de caudal. Controlado por elec-trovalvula 3/2 monoestable.

• Modulo insercion en paletActuadores: Eje horizontal: Cilindro vastagos paralelos Ø20, C:150mm (CXSWM20-

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150- XB11), con reguladores de caudal y detectores de posicion inicial y final.Controlado por electrovalvula 5/2 biestable.Eje vertical: Cilindro vastagos paralelos Ø15, C:50mm (CXSM15-50), con re-guladores de caudal y detectores de posicion inicial y final. Controlado porelectrovalvula 5/2 monoestable.Placa sujecion: 4 Ventosas telescopicas Ø16 (ZPT16CNK10-B5-A10), con eyec-tor para generacion del vacıo (ZU07S). Controlado por electrovalvula 3/2 mo-noestable.Sensores: Detectores magneticos tipo Reed (D-Z73L) Vacuostato salida PNP(PS1100-R06L)

• Panel electrico control:

. Montado sobre malla perforada 550 x 400 mm

. Bornero accesible con conexiones alimentacion e I/O codificadas.

. Interruptor magnetotermico Merlin Gerin C-60N

. I/O estacion: 13 entradas, 10 salidas.

. Fuente de alimentacion: Omron S82K-05024 24V/2.1A

. PLC control: Omron CPM2A con tarjeta para la conexion entre automa-tas.

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Grafcet estacion 1

104

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Parte II. Modelos, simulacion y diseno

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Tema 6. Sistemas booleanos

1. Dispositivos logicos

Dispositivos fısicos con solo dos estados: mecanicos, interruptor, valvula, transistor→ automatismos.

0 1

• Sistemas combinacionales

• Sistemas secuenciales

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Dispositivos biestables: basicos para las memorias RAM

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

1

2

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

2

1

sistemas con memoria.

������������������������������������������������������

������������������������������������������������������

1

2���

������

���

Figura 6.1: Pulsador

sistemas sin memoria

2. Algebra de Boole

Conjunto U — dos operaciones + , · tales que ∀a, b, c ∈ U :

107

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1. Idempotentes: a + a = a · a = a2. Conmutativas: a + b = b + a, a · b = b · a3. Asociativas: a + (b + c) = (a + b) + c,

a · (b · c) = (a · b) · c4. Absorciones: a · (a + b) = a + (a · b) = a

⇒ (U,+, ·) es un retıculo. Si ademas

5. Distributivas: a + (b · c) = (a + b) · (a + c),a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

⇒ (U,+, ·) retıculo distributivo. Si

6. Cotas universales: ∃ 0, 1 ∈ U tales que0 · a = 0, 0 + a = a, 1 · a = a, 1 + a = 1

7. Complemento: ∀a ∈ U ∃a ∈ U | a + a = 1, a · a = 0

⇒ (U,+, ·, , 0, 1) es un algebra de Boole.

Z2 := ({0, 1} , OR , AND) es un algebra de Boole.

108

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2.1. Funciones booleanas

f : Zn2 → Z2

(x1, . . . , xn) 7→ f(x1, . . . , xn)

Tabla de verdad

f(x1, . . . , xn), g(x1, . . . , xn) equivalentes ⇐⇒ tablas de verdad coinciden

P. ej., f(x1, x2, x3) = x1x2, g(x1, x2, x3) = x1x2(x3 + x3) equivalentes:

x1 x2 x3 f

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

x1 x2 x3 g

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

109

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• Formas canonicas

≡ func. booleanas: relacion de equivalencia → representantes canonicos:

• suma de min-terms, p. ej., f(a, b, c, d) = abcd + abcd + abcd

• producto de max-terms: f = (a + b + c + d)(a + b + c + d)(a + b + c + d)

n variables ⇒ 2n terminos canonicos diferentes

mintermsf(x) x, xf(x, y) xy, xy, xy, xyf(x, y, z) xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz

min-term = numero binario = numero decimalp. ej., xyz = 010 = 2.

Obtencion de la f.c.:

• Tabla de verdad ⇒ f.c. (inmediato)

• Para i = 1, . . . , n mult. por (xi + xi) los terminos de f sin xi.

2.2. Simplificacion de funciones booleanas

Aplicar la ley de complementacion: x + x = 1⇒ f · (x1 + x1) ≡ f .110

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f = suma de implicantes primos (terminos irreducibles).

• Metodo de Karnaugh

f(a, b, c, d) = b + bc

cdab

00 01 11 10

00 0000

0001

0011

0010

01 0100

0101

0111

0110

11 1100

1101

1111

1110

10 1000

1001

1011

1010

@@

abcd 00 01 11 10

00 0 1 1 0

01 0 1 1 0

11 1 1 1 0

10 1 1 1 0

@@ #

"

!#" !

– cada casilla representa un min-term –

111

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• Metodo de Quine-McCluskey

Ejemplo:f(x1, x2, x3, x4) = Σ(0, 7∗, 9, 12∗, 13, 15)

i min-terms

0 0 0 0 07∗ 0 1 1 19 1 0 0 1

12∗ 1 1 0 013 1 1 0 115 1 1 1 1Tabla de verdad

u i 1-term 2-term

0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 9 1 0 0 1 1 - 1 1

12∗ 1 1 0 0 1 1 0 -3 7∗ 0 1 1 1 - 1 1 1

13 1 1 0 1 1 1 - 14 15 1 1 1 1

(a) Ordenar tabla por numero de unos de cada termino → grupos.(b) Los elementos de cada grupo se combinan con los del siguiente.(c) Repetir el proceso hasta que no se puedan combinar mas.

f = x1x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4.

Un termino indiferente puede aprovecharse si cubre mas de un min-term.

112

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• Algoritmo de Quine

Como ya se ha indicado, el metodo de Quine-McCluskey, lo mismo que el de Kar-naugh, se basa en utilizar repetidamente la ley a + a = 1. Dada una funcion f enforma canonica de suma de m min-terms, el algoritmo es el siguiente:

1. Poner todos los min-terms en una lista, ordenados de alguna forma de 1 a m.

2. para i desde 1 hasta m− 1 hacer

Elegir el termino i-esimo, Ti, de la listapara j desde i + 1 hasta m hacer

Tomar el termino j-esimo, Tj , de la listaSimplificar, si es posible, la expresion Ti +Tj , aplicando la ley a+a = 1

y poner el termino simplificado en una nueva lista.

3. Volver al paso 1 con la nueva lista obtenida y repetir el algoritmo

4. El algoritmo termina cuando no es posible simplificar mas.

Gran coste computacional si el n es elevado.

113

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3. Sistemas combinacionales

Sistema de control con p entradas u1(t), . . . , up(t) ∈ Z2

y q salidas y1(t), . . . , yq(t) ∈ Z2,

yi(t) = fi(u1(t), . . . , up(t)), i = 1 . . . q.

Tiempo continuo: I ⊂ R; tiempo es discreto:

I = {t0, t0 + T, . . . , t0 + kT, t0 + 2kT, . . .}, t0, T ∈ R.

-u1(t)

-u2(t)

-up(t)

... S.C.

-y1(t)

-y2(t)

-yq(t)

...

Los valores de las salidas en el instante t solo dependen de los valores que en esemismo instante tengan las entradas.

114

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3.1. Funciones logicas elementales

• Funcion NOT

x z

0 11 0

x zd zx

• Funcion AND

x y z

0 0 00 1 01 0 01 1 1

-x

& -z

-y

xz

y

115

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• Funcion OR

x y z

0 0 00 1 11 0 11 1 1

-x

≥ 1 -z

-y

xz

y

• Funcion NAND

x y z

0 0 10 1 11 0 11 1 0

-x

& d -z

-y

xz

y

• Funcion NOR

x y z

0 0 10 1 01 0 01 1 0

-x

≥ 1 d -z

-y

x

yz

116

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• Funcion XOR

x y z

0 0 10 1 01 0 01 1 1

-x

= 1 d -z

-y

zx

y

117

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4. Sistemas secuenciales

Sistema de control con p entradas u1(t), . . . , up(t) ∈ Z2 , q salidas y1(t), . . . , yq(t) ∈Z2 y n variables de estado.

-u1(t)

-u2(t)

-up(t)

...

x1(t)

x2(t)...

xn(t)

-y1(t)

-y2(t)

-yq(t)

...

Las variables de estado x1(t), . . . , xn(t) ∈ Z2 memorizan el comportamiento delsistema en instantes anteriores a t.

Modelos: modelo de estado (ecuacion en diferencias finitas), maquinas de estados,redes de Petri ⇒ modelos computacionales: grafcet, StateCharts.

118

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4.1. Automata de Mealy

M1 = {U, Y, X, f, g}

U, Y ,X: conjuntos de entrada, de salida y de estado.

estado:{

f : U ×X → X(u, x) 7→ x = f(u, x)

salida:{

g : U ×X → Y(u, x) 7→ y = f(u, x)

4.2. Automata de Moore

M2 = {U, Y, X, f, g}

U, Y ,X: conjuntos de entrada, de salida y de estado.

estado:{

f : U ×X → X(u, x) 7→ x = f(u, x)

salida:{

g : X → Y(x) 7→ y = f(x)

Automata de Mealy ↔ Automata de Moore.

119

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4.3. Tablas de estado

f(x, u): tabla de transicion, g(x, u): tabla de salida.

Automata de Mealy:

u1 u2 . . . u2q

x1 x1,1 x1,2 . . . x1,2q

x2 x2,1 x2,2 . . . x2,2q

......

......

x2n x2n,1 x2n,2 . . . x2n,2q

u1 u2 . . . u2q

x1 y1,1 y1,2 . . . y1,2q

x2 y2,1 y2,2 . . . y2,2q

......

......

x2n y2n,1 y2n,2 . . . y2n,2q

Automata de Moore:u1 u2 . . . u2q

x1 x1,1 x1,2 . . . x1,2q

x2 x2,1 x2,2 . . . x2,2q

......

......

x2n x2n,1 x2n,2 . . . x2n,2q

x1 y1

x2 y2...

x2n y2n

Tamano (maximo): (2n × 2q) casillas.

120

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4.4. Diagrama de estado

Grafo orientado con N vertices y q aristas.Mealy:

@@xu

0 1A = 00 00 01B = 01 01 10C = 10 00 01

11 − −

Tabla de transicion

@@xu

0 1A = 00 0 0B = 01 0 0C = 10 0 1

11 − −

Tabla de salida

A@GAFBECD1/0

��

0/0

��

B@GAFBECD1/0 440/0

33 C@GAFBECD

0/0

ZZ444444444441/1ss

Moore:

@@xu

0 1A = 00 00 01B = 01 10 01C = 10 00 11D = 11 10 01

Tabla de transicion

x y

A = 00 0B = 01 0C = 10 0D = 11 1

Tabla de salida

A/ 0@GAFBECD

1

�������������

0

��

B/ 0@GAFBECD1 440 // C/ 0@GAFBECD

0

XX22222222222

1

22 D/1@GAFBECD0rr

1

ff

121

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4.5. Dispositivos biestables

Son los sistemas secuenciales mas simples.

• Una o dos entradas u1, u2

• Una variable de estado Q

• Una salida y1 = Q (salida adicional y2 = Q).

Asıncronos o sıncronos.Qt+1 = f(Qt, u1, u2),

Sıncronos: Clk senal de reloj

1

t

Clk

0

El valor del estado Q se actualiza en los flancos de bajada.

122

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• Biestable R-S

Biestable asıncrono basico.

R

S

Q

Q_

Tabla de transicion:

@@QSR

00 01 11 100 0 0 − 11 1 0 − 1

S

R

Q

Q

S

R

Q

Q

Clk

Combinacion de entradas “11” no permitida (contradiccion: Q = Q = 0)

123

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Tema 7. Modelos de sistemas

1. Sistemas continuos

Son sistemas de control cuyo modelo es una ecuacion diferencial (ordinaria)dx

dt(t) = f(t, x, u), t ∈ R, x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rq

f : R× Rn × Rq → Rn continua, u : R→ Rq (entrada, dada).

Las soluciones x(t) representan el “movimiento” del sistema.

Ecuacion de salida y(t) = g(x, u), y(t) ∈ Rp.

u1(t)

u2(t)

x(t)

y(t)

124

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Sistemas discretos en el tiempo

El modelo es una ecuacion en diferencias finitas. t = k T ∈ T Z

x((k + 1)T ) = f(kT, x(kT ), u((k + 1)T )), x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rq

f : R× Rn × Rq → Rn; u(t) : R→ Rq (entrada, dada).

T ∈ R : periodo de discretizacion o de muestreo.

Ecuacion de salida y(kT ) = g(x(kT ), u(kT )), y(t) ∈ Rp.

El ordenador realiza el elgoritmo de control

125

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Sistemas de eventos discretos – sistemas hıbridos

a) Producen eventos: sistemas continuos o discretos.b) Reaccionan ante eventos que reciben (sistemas reactivos).a � b) Sistemas hıbridos.Modelos matematicos: ecuacion diferencial (ordinaria)

dx

dt(t) = f(t, x, u), t ∈ R, x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rq

f : R× Rn × Rq → Rn discontinua; u : R→ Rq (entrada, dada)Modelos computacionales: Matlab + Simulink + Stateflow

u(t)

x(t)

y(t)

s1

s2

s3

126

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Tema 8. Modelos computacionales

1. Grafcet

Graphe de Comands Etape/Transition.

• Association Francaise pour la Cybernetique Economique et Technique (AF-CET)

• Comision Normalizacion de la Representacion de controladores Logicos (1977).

• GRAFCET: modelo grafico de representacion y funcionamiento

• Reconocido por normas IEC-848 e IEC-61131 y fabricantes de PLC’s

• Formalismo inspirado en las redes Petri

• Elementos graficos: etapas y transiciones → evolucion dinamica

• Etapas: estados del sistema

• Transiciones: condiciones de paso de una etapa a otra

• Grafcet = grafo con etapas y transiciones

127

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Esquema

P.C. P.O.

órdenes

eventos

Sistema automatizado de produccion

• Parte operativa: dispositivos que interactuan sobre el producto: preactuadores,actuadores y captadores

• Parte de Comando (control): computadores, procesadores o automatas

128

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Elementos basicos

0

1

2 Bajar

Subir

P

h_min

h_max

Etapa: situacion estable (estado) del sistema

• rectangulo con numero• parte de comando invariable• en cada instante hay solo una etapa activa

– (varias si son concurrentes)• etapa inicial: activa en estado inicial

– doble rectangulo• puede tener acciones asociadas

Transicion: paso de una etapa a otra

• trazo ortogonal a lınea de union de etapas• receptividad: condicion necesaria para pasar

la transicion• transicion valida: todas las etapas de entrada

estan activas• transicion franqueable = trsnsicion valida y

con receptividad verdadera

Segmentos paralelos: procesos concurrentes

129

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1.1. Estructuras basicas

• Secuencia simple

• Divergencia OR

• Convergencia OR

• Divergencia AND

• Convergencia AND

• Saltos

• Posibilidades avanzadas

• Paralelismo

• Sincronizacion

• Jerarquıa

• Comunicacion

130

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2. Cartas de estado

Statecharts – David Harel, 1987. Generalizacion maquinas de estados.

• Capacidad de agrupar varios estados en un superestado.

• Posibilidad de ortogonalidad o independencia (paralelismo) entre ciertos es-tados.

• Necesidad de transiciones mas generales que la flecha etiquetada con un simpleevento.

• Posibilidad de refinamiento de los estados.

Formalismo visual para describir estados y transiciones de forma modular que per-mite el agrupamiento de estados (jerarquıa), la ortogonalidad (paralelismo) y elrefinamiento de estados. Admite la visualizacion tipo ”zoom”entre los diferentesniveles de abstraccion.

Implementaciones: Statemate, Stateflow etc.

131

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2.1. Stateflow

Toolbox de Matlab para modelar sistemas de eventos discretos.

Tiene un unico elemento: Chart = carta de estados (D.Harel)

Creacion de un modelo:

Matlab → Simulink → new-model → Chart

• Crear la carta Stateflow

• Utilizar el Explorer de Stateflow

• Definir un interface para los bloques deStateflow

• Ejecutar la simulacion

• Generar el codigoCarta de estados de Stateflow

Generadores de codigo:

• sf2vdh: traductor de Stateflow a VHLD

• sf2plc: genera codigo para programar algunos PLC.

132

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2.2. Elementos de una carta de estado

– Elementos graficos: cartas, estados, transiciones y uniones– Elementos de texto: lenguaje, datos y eventos.• Carta: maquina de estados generaliza-

da – bloque de Simulink

• Estados: modos de funcionamiento. Nombre / acciones. Acciones: entry: a, exit: b, during:

c, on event e : d

Descomposicion OR (trazo continuo) yAND (trazo discontinuo).

• Transiciones: saltos. Nombre / acciones. Nombre: e (evento), [c] (condi-

cion). Acciones: {a} (accion). default-transition

• Uniones puntos de bifurcacion.. Conectivas – de historia

• Datos. Entrada de Simulink. Salida de Simulink. Local. Constante. Temporal. Workspace

• Eventos. Entrada de Simulink. Salida de Simulink. Local

I/O Simulink: disparo por ↑, ↓ o l

133

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• Estados

Sintaxis:

nombre /

entry: accion

exit: accion

during: accion

on event e: accion

Accion: cambiar salida – llamada a funcion.

S1

S2

e

Estado (padre) = { subestados (hijos) }

Descomposicion AND : todos activos – hijos en lınea discontinua

Descomposicion OR: solo uno activo – hijos en lınea continua.

134

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• Transiciones

• Forma de flecha – saltos entre estados – eventos

• Acciones asociadas

• Transicion por defecto – senala el estado inicial

Sintaxis:

e – nombre de un evento

[c] – expresion booleana – condicion

{a} – accion

No texto – disparo con evento cualquiera en el sistema.

135

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• Uniones

• Forma de pequeno cırculo

• Uniones conectivas – puntos de bifurcacion – decision condicionada

• Uniones de historia – descomposicion OR – activo = ultimo

C2

e1

e2

e3

P H

C1

136

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2.3. Elementos de texto especiales

• Datos

• Entrada de Simulink

• Salida a Simulink

• Local

• Constante

• Temporal

• Workspace

• Eventos

• Entrada de Simulink

• Salida a Simulink

• Local

Activacion: flanco subida - flanco de bajada - flanco indiferente

137

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3. Creacion de un modelo con Stateflow–Simulink

Matlab → Simulink → new-model

Stateflow → Chart Chart estados, transiciones, etc.

Pasos a seguir:

• Crear carta Stateflow

• Establecer interface Simulink – Stateflow

• Con Explorer de Stateflow declarar datos y eventos

• Ejecutar la simulacion

• Generar el codigo (ANSI C, sf2vhld, sf2plc)

• Observaciones

Simulacion larga: t = inf

Chart → File → Chart Properties → “Execute (enter) Chart At Initialization”

138

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• Ejemplo. Control de barrera de ferrocarril

Objetivo – cerrar la barrera si llega tren – abrirla si ha pasado.

Sistema de eventos discretos: tren llega – tren ha pasado.

139

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Esquema:

0-x•S1 S2•

TRENd dddComponentes: barrera con motor-reductor

2 sensores S1 y S2

sistema digital, reles y elementos auxiliares.

Sensores:

S1 en x1 < 0 – evento en senal s1 – llega tren

S2 en x2 > 0 – evento en senal s2 – tren ha pasado

Presencia del tren en [x1, x2] – sensores S1 y S2.

Operacion sistema:

si S1 se activa la barrera debe cerrarse,

si S2 se activa la barrera puede abrirse.

140

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Sistema de control de eventos discretos

– division en paralelo (paralelismo) – trasmision de eventos.

Sensores: S1 y S2 – Manual Switch de Simulink

flanco de subida en s1 : llega el tren

flanco de bajada en s2 : el tren se ha ido.

Carta de estados: dos estados Tren y Barrera, en paralelo.

Barrera – dos hijos Abrir y Cerrar, Tren – dos hijos Fuera y Dentro.

S2

S1

0

1

0

1

Chart

Tren 1 Barrera 2

Dentro

Fuera

Cerrar

Abrir

s2/e2 e2s1/e1 e1

141

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Tema 9. Procesos continuos

1. Sistemas continuos

Las magnitudes que evolucionan en el proceso son funciones continuas en la variablet (tiempo).

Ejemplos de procesos continuos:

• Generadores y motores electricos

• Industria quımica

• Industria petroquımica

• Industria papelera

• Industria del cemento

• Maquina herramienta

• Aeronautica y astronautica

142

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• Ejemplo. Deposito

Si 1→ 2 no hay perdidas de energıa ⇒ Ep1 + Ec1 = Ep2 + Ec2

q t( )

a t( )

h t( )

1

2m

m

Area A

m g h(t) = Ep1 ' Ec2 =12m v(t)2

⇓

v(t) =√

2gh(t)

Caudal = a(t) v(t) =d Volumen

dt

q(t) = a(t)v(t) = a(t)√

2gh(t)

=d

dtA h(t) = A

dh

dt

Ecacion diferencial:dh

dt=

1A

a(t)√

2gh(t)

143

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2. Modelos de sistemas continuos

2.1. Ecuacion diferencial

Sistema fısicoLeyes fısicas−→ Ecuacion diferencial∑

ifi = ma

m1 m2

k

b

f t( )

( )x t1x t( )2

0

Ecuacion diferencial:f(t)− k (x1(t)− x2(t))− b

(dx1(t)

dt− dx2(t)

dt

)= m1

d2x1(t)dt

k (x1(t)− x2(t)) + b

(dx1(t)

dt− dx2(t)

dt

)= m2

d2x2(t)dt

144

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2.2. Sistemas lineales - parametros constantes

• Modelo externo

Ecuacion diferencial L−→ G(s) funcion de transferencia

• Modelo entrada – salida

• Diagrama de bloques

• Modelo interno

Ecuacion diferencial cambios−→{

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

modelo de estado

• Algebra lineal

• Calculo por computador

• Sistemas multivariable

145

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2.3. Modelo externo

Ecuacion diferencial:

a2x(t) + a1x(t) + a0x(t) = b1u(t) + b0u(t)

Aplicando la transformacion de Laplace tenemos

a2[s2X(s)− sx0 − x0] + a1[sX(s)− x0] + a0X(s) = U(s)[b1s + b0]

y si suponemos condiciones iniciales nulas queda

X(s) =b1s + b0

a2s2 + a1s + a0U(s).

Funcion de transferencia G(s):

X(s) = G(s)U(s)

G(s): funcion racional; denom. de G(s) := polinomio caracterıstico.

146

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2.4. Modelo interno

Ecuacion diferencial: a2x(t) + a1x(t) + a0x(t) = b1u(t) + b0u(t)

⇓ cambios: x1 := x; x2 := x; u1 := u; u2 := u

Modelo de estado{

x1(t) = x2(t)x2(t) = −a0

a2x1(t)− a1

a2x2(t) + b0

a2u1(t) + b1

a2x2(t)

Ecuacion de estado:(x1(t)x2(t)

)=(

0 1−a0

a2−a1

a2

)(x1(t)x2(t)

)+(

0 0b0a2

b1a2

)(u1(t)u2(t)

)Ecuacion de salida (si salidas ≡ estados):(

y1(t)y2(t)

)=(

1 00 1

)(x1(t)x2(t)

)+(

0 00 0

)(u1(t)u2(t)

)Modelo de estado: {

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

147

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2.5. Calculo de la respuesta temporal

1. Resolucion de la ecuacion diferencial

2. Modelo externo G(s):

• Integracion compleja:

y(t) = L−1[Y (s)] =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞Y (s)estds

• Transformada de Laplace – expansion frac. simmples:

u(t) L−→ U(s); G(s)U(s) = Y (s); Y (s) L−1

−→ y(t)• Integral de convolucion:

y(t) = u(t)⊗ g(t) =∫ t

0g(t− τ) u(τ) dτ

3. Modelo interno:

• Resolucion de la ecuacion de estado:

x(t) = eAtx(0) +∫ t

0eA(t−τ)Bu(τ) dτ

148

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• Calculo de la respuesta con Matlab

• Circuitos

. Calculos con matrices – metodos de mallas y nudos

• Sistemas lineales y no lineales

. Resolucion ecuacion diferencial

. ode23 y ode45

• Modelo externo

. residue – expansion de Y (s) en frac. simples

. series, parallel, feedback: simplificacion diagr. bloques.

. impulse, step, lsim – respuesta temporal (numerica)

. Symbolic Toolbox – transformadas de Laplace L y L−1

• Modelo interno

. impulse, step, lsim – respuesta temporal (numerica)

• Conversion modelos interno y externo

. ss2tf, tf2ss

149

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3. Simulink

Simulink: librerıa (toolbox ) de Matlab para modelado y simulacion.

Modelo externo – Modelo interno – Sist. no lineales – Sist. reactivos

. . .

Ventana grafica de Simulink

Ventana de comandos de Matlab Ventana con la respuesta temporal

150

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Inicio: – escribir simulink en Matlab command window – clic en el icono SimulinkSimulink

− Simulink

— Countinous— Discrete— Math Operations— Signal Routing— Sinks— Sources

...

+ Dials & Gauges Blockset

+ Stateflow

...

151

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• Ejemplo. Modelo simple

Sistema de control en feedback con

K = 5, G(s) =s + 1s2 + 4

, H(s) =2s + 1s + 1

Ventana para dibujo: File → New → Model

G(s) y H(s): Continuous → Transfer Fcn

→ G(s): numerador = [1, 1] denominador = [1, 0, 4]

→ H(s): numerador = [2, 1] denominador = [1, 1]

K: Math Operations → Gain

→ K = 5

Suma: Math Operations → Sum

→ (+) (−) | flechas

152

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Entrada escalon: Sources → Step

→ Step time = 0, Initial value = 0, Final value = 1.

Visualizacion: Sinks → Scope

Union con flechas

s+1

s +42

Transfer FcnSum Step Scope

5

Gain

2s+1

s+1

Transfer Fcn 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t

y(t)

Respuesta temporal

Simulacion: Simulation → Simulation parameters

→ t inicial, t final, algoritmo, paso, etc.

153

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• Ejemplo, Circuito electrico

+

-

3

5

4

6

2

1

2

3

1

Z

Z

Z

Z

Z

Z

i

i

i

v

Metodo de mallas:

v = (z1 + z2 + z4)i1 − z2i2 − z4i3

0 = −z4i1 − z5i2 + (z4 + z5 + z6)i30 = −z2i1 + (z2 + z5 + z3)i2 − z5i3

En forma matricial: V = Z I, es decirv00

=

z1 + z2 + z4 −z2 −z4

−z4 −z5 z4 + z5 + z6

−z2 z2 + z5 + z3 −z5

i1i2i3

Solucion:

I = Z−1V

154

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• Calculo con Matlab para c. alterna

Escribimos en el archivo circuito.m los datos y las ordenes oportunas.

Vef=220; f=50; w=2*pi*f;R1=1; L1=0.1; C1=100e-6; z1=R1+j*L1*w+1/(i*C1*w)R2=1; L2=0.03; C2=220e-6; z1=R2+j*L2*w+1/(i*C2*w)R3=0.25; L3=0.2; C3=100e-6; z1=R3+j*L3*w+1/(i*C3*w)R4=5; L4=0.1; C4=100e-6; z1=R4+j*L4*w+1/(i*C4*w)R5=20; L5=0.01; C5=100e-6; z1=R5+j*L5*w+1/(i*C5*w)R6=25; L6=0.33; C6=100e-6; z1=R6+j*L6*w+1/(i*C6*w)V = [Vef 0 0]’Z = [ z_1+z_2+z_4 - z_2 - z_4

-z_4 - z_5 z_4+z_5+z_6-z_2 z_2+z_5+z_3 - z_5 ];

I = inv(Z)*V

Para hacer el calculo, en la pantalla de comandos de Matlab escribimos

>> circuito

y, pulsando Enter , obtendremos el vector intensidades:

I = [17.9962 + 10.1363i, 2.1462− 3.5405i, −0.4702− 1.3816i]′

155

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4. Sistemas no lineales – pendulo

β

mg

f (t)

Ecuacion diferencial:f(t)−mg sin(β(t))−ma = 0f(t)−mg sin(β(t))−mlβ(t) = 0

mlβ + mg sin(β)− f(t) = 0

Cambio x1 := β, x2 := β: x1 = x2

x2 =f(t)−mg sinx1

l m

En el archivo pendulo.m escribimos:function x_prima=pendulo(t,x)l=1; m=1; g=9.8; % Parametrosif t<1 % Fuerza exterior

f=1;else f=0;end % Ecuac. estado:x_prima=[x(2) (f-m*g*sin(x(1)))/(m*l)]’;

Solucion numerica del P.C.I.:>> t0=0; tf=5; % Interv. integracion>> x0=[0 0]’; % Cond. iniciales>> [t,x]=ode23(’pendulo’,t0,tf,x0);>> plot(t,x)

156

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4.1. Respuesta – modelo externo

b

k

( )

( )tf

t0 x

m

Ecuacion diferencial:mx(t) + bx(t) + kx(t) = f(t)

↓ Lms2X(s)+bsX(s)+kX(s)=F (s)

f(t) = 1(t) ⇒ F (s) = 1/sExpansion en fraciones simples:

G(s) = 1ms2+bs+k

; X(s) = G(s) 1s

X(s) = r1s−p1

+ r2s−p1

+ r3s−p3

L−1 es inmediata:y(t) = r1e

p1t + r2ep2t + r3e

p3t

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

y(t)

Calculo de x(t) con Matlab:>> m=1; b=1; k=1; B=1;>> A=[m b k 0];>> [r,p,c]=residue(B,A)>> t=[0:0.05:15];>> x=r(1)*exp(p(1)*t)

+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t);

>> plot(t,x)

Mas sencillo aun: con impulse, step o lsim .

157

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• Resolucion simbolica

Symbolic Toolbox de Matlab – Maple core –

• Transformada de Laplace L(f(t)) = F (s):

>> F = laplace(f,t,s)

• Transformada inversa de Laplace L−1(F (s)) = f(t):

>> f = ilaplace(F,s,t)

El mismo ejercicio anterior:

>> syms s t>> m=1; b=1; k=1;>> G = 1/(ms^2+b*s+k);>> U = 1/s;>> Y = G * U ;>> y = ilaplace(Y,s,t);>> ezplot(y, [0,15], axis([0, 15, 0, 1.25])

−→ grafica igual que la de antes.

158

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4.2. Respuesta – modelo interno

m1 m2

k

b

f t( )

( )x t1x t( )2

0

f(t)−k(x1(t)−x2(t))−b(x1(t)−x2(t))=m1x1(t)k(x1(t)−x2(t))+b(x1(t)−x2(t))=m2x2(t)

Cambios: x3 = x1, x4 = x2, u := f ⇓x1 =− k

m1x1 + k

m1x2 − b

m1x1 + b

m1x2 + 1

m1u

x2 = + km2

x1 − km2

x2 + bm2

x1 − bm2

x2

Modelo de estado (sup. salidas≡estados):x1

x2

x3

x4

=

0 0 1 00 0 0 1−km1

km1

−bm1

bm1

km2

−km2

bm2

−bm2

x1

x2

x3

x4

+

001

m1

0

u

y1

y2

y3

y4

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

x1

x2

x3

x4

+

0000

u

Resolucion con Matlab:

>> m_1=1; m_2=2;>> k=0.1; b=0.25;>> A=[0 0 1 0

0 0 0 1-k/m_1 k/m_1 -b/m_1 b/m_1k/m_2 -k/m_2 b/m_2 -b/m_2]

>> B=[0 0 1/m1 0]’>> C=eye(4,4); D=zeros(4,1);>> S=ss(A,B,C,D); % crea sistema>> t=[0:0.1:12];>> % Respuesta a escalon unitario:>> y=step(S,t)>> % Grafica de la respuesta:>> plot(t,y)

159

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5. Sistema de primer orden

-U(s) A

s + a-Y (s)

Entrada:

• Impulso de Diracu(t) = δ(t) L−→ U(s) = 1G(s)U(s) = A

s+a = Y (s)L−1(Y (s)) = y(t) = Ae−at

• Escalon unitariou(t) = 1(t) L−→ U(s) = 1/sG(s)U(s) = A

s(s+a) = Y (s)

L−1(Y (s)) = y(t) = Aa −

Aa e−at

τ := 1/a constante de tiempo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

Respuesta impulsional

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

Respuesta al escalon

160

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6. Sistema de segundo orden

-U(s) ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

-Y (s)

Entrada:• Impulso de Dirac

u(t) = δ(t) L−→ U(s) = 1G(s)U(s) = ω2

ns2+2ξωns+ω2

n= Y (s)

y(t) = ωn√1−ξ2

e−ξωnt sin (ωn√

1−ξ2) t

• Escalon unitariou(t) = 1(t) L−→ U(s) = 1/s

G(s)U(s) = ω2n

s(s2+2ξωns+ω2n)

= Y (s)

y(t) = 1− 1√1−ξ2

e−ξωnt sin (ωn√

1−ξ2t + α)

ωn: pulsacion nat. ξ: coef. amort.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

Respuesta impulsional

ϕ

s1

s2

im

re

ωn

ξω n

α

161

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7. Linealizaciona) Caso monovariable.

x = f(x(t), u(t), t), x ∈ R, u ∈ R

Solucion {x0(.), u0(.)} (equilibrio). Perturbamos:

x(t) = x0(t) + δx(t), u(t) = u0(t) + δu(t)

Suponemos que

(δx)i = o(δx, δu), (δu)i = o(δx, δu), i > 1

Derivando respecto a t,

x(t) = x0(t) + ˙δx(t)

tenemos que

˙δx(t) = x(t)− x0(t)

f(.) lisa ⇒ Desarrollo Taylor:

f(x, u, t)= f(x0, u0, t) + fxδx + fuδu + o(δx, δu)x− x0 = fxδx + fuδu + o(δx, δu)

˙δx = Aδx + Bδu + o(δx, δu)

en donde

A = fx(t) =∂f

∂x

˛x0,u0

, B = fu(t) =∂f

∂u

˛x0,u0

b) Caso multivariable f(.),x(.),u(.): vectores.

⇒ fx(.) y fu(.): jacobianos de f(.) resp. de x y u

Jx0 = ∂f∂x

˛x0,u0

=

0B@∂f1∂x1

. . . ∂f1∂xn

. . . . . . . . .∂fn∂x1

. . . ∂fn∂xn

1CAx0,u0

Ju0 = ∂f∂u

˛x0,uo

=

0B@∂f1∂u1

. . . ∂f1∂un

. . . . . . . . .∂fn∂u1

. . . ∂fn∂un

1CAx0,u0

De donde˙δx = fxδx + fuδu (9.1)

o bien˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

en donde x(t) = δx(t), u(t) = δu(t),

A(t) = fx(t), B(t) = fu(t)

Las matrices A(t) y B(t) (jacobianos) son funcio-nes de tiempo si la solucion de la ecuacion diferen-cial no es constante.

162

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• Ejemplo. Deposito

q t( )

a t( )

h t( )

Area A1

Elemento – masa m:

Ep = mgh(t) =1

2mv(t)2 = Ec,

⇒ velocidad de salida v(t) =p

2gh(t).Caudal de salida:

q(t) = a(t)v(t) = a(t)p

2gh(t)

Pero caudal = variacion de volumen,

q(t) =d

dtA1h(t) = A1

dh

dtIgualando,

dh

dt=

1

A1a(t)

p2gh(t)

Punto de funcionamiento (o estado de equilibrio)a0, h0: valores de equilibrio de (a(t), h(t)).

x(t) := h(t)−h0 y u(t) := a(t)−a0 : “pequenos”incrementos.

f(h, a) =1

A1a(t)

p2gh(t),

Derivando f respecto de h, tenemos

∂f

∂h

˛ho,a0

=1

A1

2ga

2√

2gh

˛ho,a0

=ga0

A1√

2gh0:= A,

y, derivando f respecto de a,

∂f

∂a

˛ho,a0

=1

A1

p2gh0 := B.

Modelo linealizado en h0, a0:x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

Hemos supuesto (implıcitamente) que no hayperdidas de energıa por rozamiento.

163

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8. Respuesta de frecuencia

-U(s)G(s) -Y (s)

G(s) =b(s)a(s)

estable

Entrada sinusoidal:

u(t) = sin ωtL−→ U(s) =

ω

s2 + ω2⇒ ω

s2 + ω2G(s) = Y (s)

Y (s) =k0

s− iω+

k0

s + iω+

k1

s− s1+

k2

s− s2+ . . . +

kn

s− sn

s1, . . . , sn: raıces (sup. simples) de a(s); k0, k0, k1, . . . , kn: resıduos de Y (s).

y(t) = k0eiωt + k0e

−iωt︸ ︷︷ ︸ + K1es1t + K2e

s2t + . . . + Knesnt︸ ︷︷ ︸yss(t) → 0

yss(t) = M sin(ωt + φ)

M = |G(iω)| , φ = arg G(iω)

164

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8.1. Diagrama de Nyquist

Es un grafico en C de la funcionG : R → C

ω 7→ G(iω)Metodos:

• Manual – tabla de valores

G(s) =1

s + 1M = |G(iω)|φ = arg G(iω)

ω M φ

0.0 1.000 0.00.5 0.894 -26.61.0 0.707 -45.01.5 0.555 -56.32.0 0.447 -63.43.0 0.316 -71.65.0 0.196 -78.7

10.0 0.100 -84.3

• Con Matlab: [M,phi] = nyquist(num,den,w)

165

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8.2. Criterio de Nyquist

Sirve para averiguar si un sistema con realimentacion, de la forma

- jU(s) Y (s)- G(s) -

H(s)

6

�

r

es estable o no, conociendo el diagrama de Nyquist de G(s)H(s) y el numero depolos en C+ de G(s)H(s).

• Principio del argumento

Sea f : C→ C analıtica en todos los puntos –excepto en un numero finito de polos–de un dominio D y en todos los puntos de su contorno δ, y sean Zf y Pf los numerosde polos y de ceros, respectivamente, de f(z) en D. Entonces

Zf − Pf =12π

∆s∈γ arg f(z)

166

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-

6 Plano z

Principio del argumento

-

6Plano f(z)

-

6 Plano s

Criterio de Nyquist

-

6

−1

Plano G(s)H(s)

167

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• Criterio de estabilidad de Nyquist

G(s) = nGdG

, H(s) = nHdH

, G(s)H(s) = nG nHdG dH

T (s) = G(s)1+G(s)H(s) =

nGdG

1+nG nHdG dH

= nG dHdG dH+nG nH

F (s) = 1 + G(s)H(s) = 1 + nG nHdG dH

= dG dH+nG nHdG dH

polos de T (s) ≡ ceros de F (s)polos de G(s)H(s) ≡ polos de F (s)

Aplicamos el principio del argumento a F (s):

12π

∆s∈γ arg F (s) = ZF − PF

= PT − PGH

Criterio de Nyquist:

PT = PGH +12π

∆s∈γ arg F (s)

No polos de T (s) en C+ = No de polos de G(s)H(s) en C+ + No de vueltas deG(s)H(s) alrededor de (-1 + 0j)

168

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• Ejemplo 1

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2

Plano s

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =1

(s + 1)(s + 2), H(s) = 2

Polos de G(s)H(s) = {−1,−2}

PT = PGH +12π

∆s∈γarg F (s) = 0 + 0 = 0

T (s) =G(s)

1 + G(s)H(s)es estable.

169

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• Ejemplo 2

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2

Plano s

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =5

s3 + 5s2 + 9s + 5, H(s) = 1

Polos de G(s)H(s) = {−2 + i,−2− i,−1}

PT = PGH +12π

∆s∈γarg F (s) = 0 + 0 = 0

T (s) =G(s)

1 + G(s)H(s)es estable.

170

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• Ejemplo 3

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2

Plano s

−2 −1.5 −1 −0.5 0

−1

−0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =5

s4 + 4s3 + 4s2 − 4s− 5, H(s) = 2

Polos de G(s)H(s) = {−2 + i,−2− i,−1, 1}

PT = PGH +12π

∆s∈γarg F (s) = 1 + 1 = 2.

T (s) =G(s)

1 + G(s)H(s)es inestable.

171

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• Ejemplo 4

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2

Plano s

−2 −1.5 −1 −0.5 0

−1

−0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =5

s4 + 4s3 + 4s2 − 4s− 5, H(s) = 1.4(s + 0.95)

Polos de G(s)H(s) = {−2 + i,−2− i,−1, 1}

PT = PGH +12π

∆s∈γarg F (s) = 1− 1 = 0.

T (s) =G(s)

1 + G(s)H(s)es estable.

172

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8.3. Diagramas de Bode

Se compone de dos graficos en R, asociados a la funcionG : R → C

ω 7→ G(iω),que representan M(ω) y φ(ω).

Metodos:

• Manual – lapiz y regla

• Con Matlab: bode(num,den,w)

ωn=10

ζ=1/8

-40 dB/dec

173

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9. El lugar de las raıces

-U(s) j+ - k - G(s) s -Y (s)

�H(s)

6−

G(s) =nG

dG, H(s) =

nH

dH, k ∈ R

G(S)H(s) =nG nH

dG dH=

Z(s)P (s)

= K(s− z1)(s− z2) . . . (s− zm)(s− p1)(s− p2) . . . (s− pn)

T (s) =kG(s)

1 + kG(s)H(s)=

knGdG

1 + knGdG

nHdH

=k nG dH

dG dH + k nG nH

=k nG dH

P (s) + k Z(s)=

nT

dT

L.R. es el lugar geometrico, en C, de las raıces de dT (s) al variar k en R+

174

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9.1. Reglas para el trazado

Z(S)P (s)

=|s− z1|ejφz1 . . . |s− zm|ejφzm

|s− p1|ejφp1 . . . |s− pn|ejφpn=|s− z1||s− z2| . . . |s− zm||s− p1| . . . |s− pn|

ejΣφi

Ecuacion caracterıstica: P (s) + kZ(S) = 0m

kZ(S)P (s)

= −1 ⇐⇒ k|s− z1| . . . |s− zm||s− p1| . . . |s− pn|

ejΣφi = e±j(2k+1)π, k = 0, 1, 2, . . .

1. Condicion angulo – trazado

arg[kG(s)H(s)] = Σφi = ±(2k + 1)π

2. Condicion de magnitud – calculo de k en cada punto

k =|s− p1| . . . |s− pn||s− z1| . . . |s− zm|⇓

Reglas para el trazado

175

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9.2. Trazado por computador

Ejemplo de trazado del lugar de las raıces mediante MATLAB:

G(s)H(s) =s + 1

s(s + 2)(s2 + 6s + 13)

>> num=[1 1]>> den=conv([1 2 0],[1 6 13])>> rlocus(num,den)

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

Eje Real

Eje

Imag

176

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Tema 10. Diseno de Sistemas de Control continuos

1. Introduccion

Aplicacion en numerosos campos en tecnologıa y ciencia.

• pilotos automaticos en barcos o aviones

• control teledirigido de naves espaciales

• controles de posicion y velocidad – maquinas herramientas

• control de procesos industriales – robots

• controles en automoviles – suspension activa

• controles en electrodomesticos

Desarrollo: Bajo coste y miniaturizacion de electronica.

Objeto del diseno: controlador.

Control: sistemas SISO y MIMO.

Realizacion: componentes electronicos analogicos – computador digital.

177

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2. Tipos de controladores

Diseno: determinar Gc(s) para conseguir un adecuado funcionamiento.

Gc Gp

H

R(s)

D(s)

Y(s)ε

Controlador Gc(s):

P Proporcional : Gc(s) = Kp

I Integrador : Gc(s) = 1sTi

D Derivativo : Gc(s) = sTd

PID Gc(s) = Kp(1 + 1sTi

+ sTd)

• Realizacion de los controladores

178

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P

R

R2

R1

Vi

Vo

V0

Vi=

R1 + R2

R1= Kp =

R1 + R2

R1

I

R 1

R

V

C 1

i

V o V0

Vi= − 1

sR1C1; Ti = sR1C1

D

R 1

R

VC 1

i

V o V0

Vi= −sR1C1; Td = sR1C1

179

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• Controlador PID

Kp

1

1

dsT

isT

Vi Vo

Gc = V0Vi

= Kp

(1 + 1

sTi+ sTd

)Kp = R5

R4, Ti = R2C2, Td = R3C3

R 1V

C 2

i

V o

C 3

R 1R 4

R 4

R4

R 5

R 1

R 3

180

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• Controladores de adelanto y de retraso de fase

Gc =V0

Vi= Kc

s− zc

s− pc

{a) | zc |<| pc | adelanto de fasea) | zc |>| pc | retraso de fase

R1

C

R2Vi Vo

R1

R2

Vi

Vo

C

a) b)

Gc = Kcs−zcs−pc

= 1+αTsα(1+Ts) Gc = Kc

s−zcs−pc

= 1+Ts1+αTs

α = R1+R2R2

, T = CR1R2R1+R2

α = R1+R2R2

, T = R2C

181

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• Controlador de adelanto-retraso con red pasiva

R1

Vi Vo

R2

C1

C 2

Gc =V0

Vi=

(1 + αT1s)(1 + βT2s)(1 + T1s)(1 + T2s)

donde α > 1, β = 1/α, αT1 = R1C1, T2 = R2C2 y T1T2 = R1R2C1C2.

182

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• Controlador de adelanto-retraso con amp. operacional

R1

Vi

C1

R2

C2

Vo

Gc =V0

Vi= Kc

s− zc

s− pc= −C1(s + 1/R1C1)

C2(s + 1/R2C2)

• Eliminando R2 ⇒ controlador PI

• Eliminando C2 ⇒ controlador PD

183

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3. Diseno en el lugar de las raıces

G(s) =1s2

Sistema marginalmente estable para cualquier K.

184

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• Efecto de anadir un cero

Cero en z1 = (−2.5, 0); G(s) =s + 2.5

s2

Es como si z1 “tirase” del L.R. hacia sı, estabilizando el sistema.

• Efecto de anadir un polo

Polo en p1 = (−2, 0); G(s) =1

s2(s + 2)

185

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Es como si p1 empujara al L.R., desestabilizando el sistema.

3.1. Diseno de un controlador de adelanto de fase

El controlador esGc(s) = Kc

s− zc

s− pc, |zc| < |pc| (10.2)

Diseno: hallar zc y pc para que el L.R. pase por un punto dado, definido a partir delas especificaciones de funcionamiento.

186

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Ejemplo. Dado un sistema con

G(s) =1s2

, H(s) = 1, (10.3)

disenar un controlador de adelanto de fase para conseguir las siguientes especifica-ciones de funcionamiento:

Mp < 0.2, Ts < 4 s para ε = 2%

siendo ±ε la banda de tolerancia de error.

187

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Resolucion.Para el sistema de 2o orden sabemos que

Mp = e−ξπ/√

1−ξ2 ⇒ ξ =− ln(Mp)√

ln(Mp)2 + π2= 0.456.

Para t = 4τ tenemos que e−t/τ = e−4 = 0.0183 < 0.02. Por tanto, si ts = 4τ tenemosque para t > ts se cumple que y(t) < 0.02.

ts = 4τ =4

ξωn

Sustituyendo,

4 =4

0.456ωn⇒ ωn = 2.22.

Por tanto, el punto s0 ∈ C correspondiente a las especificaciones dadas es:

s0 = −ξωn ± iωn

√1− ξ2 = −1± 2i.

Ahora el problema es calcular Gc(s) para que el L.R. pase por s0.

188

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Ponemos el cero del controlador en el punto zc = −1, bajo el punto s0 = (−1± 2i)por donde ha de pasar el L.R.

re

im

-1-2-3-4-5

1

2

3

θ 90º116.56º

Raíz deseada

p

Por la condicion de angulo,

90o − 2(116.56o)− θp = −180o ⇒ θp = 38o,

se deduce que el polo ha de ser pc = −3.6. Aplicando ahora la condicion de moduloen el punto s = −1 + 2i resulta Kc = 8.1.

189

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El lugar de las raıces del sistema con controlador es

El controlador disenado es Gc(s) = 8.1s + 1

s + 3.6.

190

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3.2. Diseno de un controlador PID

Ejemplo. Se trata disenar un controlador PID para un sistema con Gp(s) = 1/s2 yH(s) = 1. Las especificaciones son las mismas en el ejemplo anterior.

Mp < 0.2, Ts < 4 s para ε = 2%

siendo ±ε la banda de tolerancia de error.

Resolucion.

Como en el ejemplo anterior, el lugar de las raıces ha de pasar por el punto s0 =(−1± 2j). La funcion de transferencia del PID es

Gc = Kp

(1 +

1sTi

+ sTd

)= Kp

TdTis2 + Tis + 1Tis

= TdKp

s2 + 1Td

s + 1TdTi

s= Kc

(s− z1)(s− z2)s

,

con Kc = TdKp.

191

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re

im

-1-2-3-4-5

1

2

3

θ 90º116.56º

Raíz deseada

z2

Metodo simple:

(a) suponemos que los ceros z1 y z2 son reales,

(b) ponemos el cero z1 bajo la raız s0 deseada,

(c) aplicando la condicion de angulo, determinamos el otro cero,

(d) aplicando la condicion de modulo, hallamos Kp.

192

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(a) z1 y z2 en el eje real.

(b) z1 = −1

(c) Condicion de angulo:

90o + θz2 − 3(116.56o) = −180o, θz2 = 3(116.56)− 180o − 90o = 79.6952o

⇒ z2 = −1.3636.

Con z1 y z2 ya podemos hallar Td, Ti y Kp:

Kc

s2 + 1Td

s + 1TdTi

s= Kc

(s− z1)(s− z2)s

≡ Kcs2 + 2.3636s + 1.3636

s,

siendo Kc = TdKp, de donde resulta

Td =1

2.3636= 0.4231 s, Ti =

2.36361.3636

= 1.7333 s

(d) Por ultimo, aplicando la condicion de modulo, hallamos Kp.

(√

12 + 22)3

2√

(1.3636− 1)2 + 22= 2.750 = Kc ⇒ Kp =

Kc

Td= 6.5

193

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194

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Control del balanceo de una barra

Diseno de un sistema de control para mantener una barra en posicion vertical.

xf

θ

y• Barra de longitud l y masa m

• Movimiento en el plano xy

• Fuerza f(t) horizontal

• Desplazamiento x(t) de la base

• Giro θ(t) de la barra

¿Es posible el control —sin feedback— de labarra?

195

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Modelo matematico. 2a ley de Newton :∑

P = Jd2θ

dt2

f(t)θ(t)

mg

O

J :=∫ l

0x2dm =

∫ l

0x2ρAdx = ρA

l3

3=

13ρAl l2 =

13m l2

f(t)l

2cos θ(t) + mg

l

2sin θ(t) = J

d2θ

dt2

Linealizacion: cos θ ' 1, sin θ ' θ ⇓

13m l2

d2θ

dt2−mg

l

2θ(t) =

l

2f(t) ⇓ L

d2θdt2− 3g

2l θ(t) = 32ml f(t)

(s2 − 3g2l )θ(s) = 3

2mlF (s)

Modelo externo: θ(s) =3

2ml

s2 − 3g2l

F (s)

Datos: g = 9.8,m = 1, l = 1 ⇒ polos : p1 = 3.834058, p2 = −3.834058.

196

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Lugar de las raıces.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Sistema inestable o marginalmente estable con controlador P

197

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Diseno de un controlador.

Especificaciones:

tp =14, Mp =

13

Sistema de segundo orden:

Mp = e−ξπ/√

1−ξ2 ⇒ ξ =− ln(Mp)√

ln(Mp)2 + π2= 0.403712

tp =π

ωn

√1− ξ2

⇒ ωn =π

tp√

1− ξ2= 10.301589

Polo del sistema:

s0 = −ξωn ± i ωn

√1− ξ2 = −4.158883± 9.424777i

Problema: hallar Gc(s) para que el L.R. pase por s0.

198

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Calculo de los parametros de Gc(s).

φp1φzcφp2φpc

s0

p1p2zcpc

⇒ pc = −4− 8.440951 = −12.440951

Condicion de angulo:φzc − φp1 − φp2 − φpc = (2k + 1)π ⇒ φpc = 0.840410 rad =48.151970o

Condicion de modulo:

K =|s0 − p1||s0 − p2||s0 − pc|

|s0 − zc|= 156.425395

199

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Tema 11. Diseno de Automatismos

Diseno con StateCharts

va

vr

si

sd

x

cilindro A

Scope

M

1

0

va

vr

Chart

x(t)

0

1

3

x

2

sd

1

si

1s

0

1

1

0

2

vr

1

va

chart_1cil_doble_4e/Chart

Printed 09−May−2005 12:07:20

I/va=0;vr=0;

D/va=0;vr=0;

R/va=0; %retro.vr=1;

A/va=1; %avancevr=0;

M sd

si M

200

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Implementacion con LD

ON

0.00

R

20.03

si

0.04 keep(11)

IA

20.01

I

20.00

M

0.01 keep(11)

AD

20.02

A

20.01

sd

0.05 keep(11)

DR

20.03

D

20.02

M

0.01 keep(11)

RI

20.00

A

20.01

gva10.01

R

20.03

gvr10.02

201

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Simulacion estacion 1 en Matlab

vacio

rearme

pos

c.i.

vLRx

T

Scope

vLRx

P

vLRx

MV

vLRx

MH

0

Falta material

vLRx

E0

Defecto

0

1

0

1

0

0

1

1base

vacio

ci

vA

vP

vT

vE

vMV

vMH

FM

PD

Chart

vLRx

A

202

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estacion1s/Chart

Printed 03−May−2005 18:20:38

S6a/entry: vT=0;% traslado atras

S1/entry:vA=1; % avance AP S30/entry:

PD = 1;

S2/entry: vA=0;vP=1; % bajar VP S31/

% poner c.i.

S2w/entry: vP=0;t0=t;

S32/entry:PD = 0;

S3/entry:vP=−1; % subir VP

S3w/entry:vP=0;t0=t; % temporizador

S4/entry:vA=−1; % retro. A

S5/entry: vA=0;vT=1; % trasladar

S6/entry: vT=−1;% traslado atras

S0/

S7/entry: vE=1;% expulsar

S9/entry: vMV=1;% bajar MV

S8/entry: vE=−1;% expulsor atrasexit: vE=0;

S10/entry:vMV=0;

S11/entry:vMV=−1; % subir MV S20/entry:

FM = 1;

S12/entry: vMV=0;vMH=1; % avance MH

S21/entry: FM=0;vMV=−1; % subir MVexit: vMV=0;

S13/entry: vMH=0;vMV=1; % bajar MV

S14/entry: vMV=0; % cesar vacio ven

S15/entry:vMV=−1; % subir MV

S16/entry: vMV=0;vMH=−1; % retro MHexit: vMH=0;

mh0

mv0

[ci==1] [ci==0]

e0

a1 rearme

p1

[ci==1]

[t>t0+5]

p0

[t>t0+5]

a0

tr1

tr0

[base==1][base==0]

e1 mv1

[vacio==1][vacio==0]

mv0rearme

mh1

mv1

mv0

203

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Parte III. Automatizacion global

204

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Tema 12. Niveles de Automatizacion

Esquema simple de una empresa

Gestión

Almacén de Almacén deproductos terminadosProducciónmaterias primas

Finanzas

MERCADO

Compras Ventas

Nivel productivo de automatiza-cion

• Redes de comunicacion

• Controladores

• Actuadores

• Sensores

• Procesos

Fases de automatizacion:Produccion → Diseno → Gestion → Automatizacion total

205

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Automatizacion produccion – Software

• CAD Computer Aided Design – maquinas herramientas

• CAPP Computer Aided Process Planning – planificacion sistemas

• PPS Planning Production System – optimizacion produccion

• MRP Material Requirement Planning – almacen materias primas

• CAM Computer Aided Manufacturing – equipos productivos

• CNC Computer numeric control

• NC Numeric control

• SFC Shop Floor Control – almacen → planta → pedidos

• QC Quality Circle – mejora calidad – reduccion costes

• CAPC Computer Aided Production control – control produccion

• CAPM Computer Aided Production management – gestion produccion

• TMS Transportation Management System – gestion i/o productos

206

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Piramide de Automatizacion

�����������������������A

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

Celula – Planta Baja

Proceso – Campo

Produccion – Planta

Factorıa

G

Sensor, Actuador, PID

PLC, CNC, NC

WS, PCC, PC

MF, WS, PC, CAD/CAM, CAPP, etc.

MF, WS, PC, Gestion

SCADA

Supervisory Control and Data Acquisition (de Control Supervisor y Adquisicionde Datos). Software de captura de informacion de un proceso o planta. –analisis o

207

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estudios –retroalimentacion y control del proceso.

• Generacion, transmision y distribucion energıa electrica

• Sistemas del control del medio ambiente

• Procesos de fabricacion

• Gestion de senales de trafico

• Gestion de abastecimiento de aguas

• Sistemas de transito masivo

• Supervision y control de estaciones remotas

Caracterısticas de SCADA:

• Mostrar de forma inteligible las lecturas de medidas y de estado de la plantaen las computadoras principales.

• Permitir a los operadores controlar la planta de maneras predefinidas.

208

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• Para restringir el acceso a las computadoras principales se suelen emplearconsolas especiales conectadas con ellas en red.

• El interfaz hombre-maquina de SCADA permite generalmente que los opera-dores puedan ver el estado de cualquier parte del equipo de la planta.

• La interaccion del operador con el sistema se realiza mayormente a travesde un sistema de alarmas. Las alarmas son condiciones anormales automati-camente detectadas en el equipo de la planta que requieren la atencion deloperador, y posiblemente su intervencion actuando adecuadamente sobre elproceso quizas guardando informacion importante y volviendo a ponerlo afuncionar suavemente.

• Las computadoras principales de SCADA funcionan tıpicamente bajo un siste-ma operativo estandar. Casi todos los programas SCADA funcionan en algunavariante de UNIX, pero muchos vendedores estan comenzando a suministrarMicrosoft Windows como sistema operativo.

• Los sistemas de SCADA disponen generalmente de una base de datos distri-buida que contiene datos llamados puntos. Un punto representa un solo valorde la entrada o de la salida supervisado o controlado por el sistema. Los pun-tos pueden ser “duros” o “suaves”. Un punto duro representa una entrada realo salida conectada con el sistema, de mientras que uno suave es el resultadode operaciones logicas y matematicas aplicadas a otros puntos duros y suaves.

209

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• El interfaz hombre-maquina de un sistema SCADA suministra un programade dibujo para poder representar estos puntos. Las representaciones puedenser tan simples como un semaforo en pantalla que represente el estado deun semaforo real en el campo, o tan complejas como una imagen de realidadvirtual que representa la evolucion real de la planta.

• En la pasada decada la demanda de aplicaciones civiles de sistemas de SCADAha ido creciendo, requiriendo realizar cada vez mas operaciones automatica-mente.

• Por otro lado, soluciones SCADA han adoptado una estructura distribuida,con posibilidad de adaptarse a los componentes de un sistema de control dis-tribuido (DCS) con multiples RTUs o PLCs inteligentes, capaces de ejecutarprocesos simples en modo autonomo sin la participacion de la computadoraprincipal.

• Los RTUs y PLCs actuales pueden programarse en los lenguajes de definidosen la norma IEC 61131-3, como el BFD (Function Block Diagram), lo quea los programadores de SCADA para realizar el diseno y puesta a puntode programas. Ello permite que algunos programas comunes (intercambio dedatos, calidad, gestion de alarmas, seguridad, etc.) puedan ser realizados porlos programadores de estacion principal y luego cargados desde ella en todoslos automatas. De este modo los requisitos de seguridad ahora se aplican alsistema en su totalidad, e incluso el software de la estacion principal deberesolver los estandares de seguridad rigurosos para algunos mercados.

210

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• Ademas, el software de la estacion principal realiza analisis de datos, analisishistoricos y analisis asociados a requisitos particulares de la industria parapresentarlos a los operadores de la gestion de la empresa.

• En algunas instalaciones los costes que resultarıan de fallar del sistema decontrol son extremadamente altos, pudiendo incluso perderse vidas humanasen algunos casos.

• La fiabilidad de los sistemas de SCADA ha de estar garantizada para sopor-tar variaciones de temperatura, vibraciones, fluctuaciones de voltaje y otrascondiciones extremas empleando a veces para ello hardware y canales de co-municacion redundantes.

• Si un fallo se identifica rapidamente, el control puede ser automaticamenteasumido por el hardware de reserva y ası la parte averiada puede sustituirsesin parar el proceso.

• La fiabilidad de tales sistemas se puede calcular estadısticamente. El tiempocalculado de fallo de algunos sistemas de alta calidad puede ser incluso desiglos.

• Algunos sistemas SCADA utilizan la comunicacion por radio o por telefono.Esto abre nuevas posibilidades, impensables hace pocos anos, a la automati-zacion industrial.

• Indicadores sin retroalimentacion inherente:211

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. Estado actual del proceso: valores instantaneos

. Desviacion o deriva del proceso: Evolucion historica y acumulada

• Indicadores con retroalimentacion inherente (afectan al proceso, despues aloperador):

. Generacion de alarmas;

. MHI (Interfaces hombre-maquina);

. Toma de decisiones: + Mediante operatoria humana; + Automatica (me-diante la utilizacion de sistemas basados en el conocimiento o sistemasexpertos).

. etc.

Aplicacion diferentes areas industriales:

• Gestion de la produccion (facilita la programacion de la fabricacion);

• Mantenimiento (proporciona magnitudes de interes tales para evaluar y de-terminar modos de fallo, MTBF, ındices de Fiabilidad, entre otros);

• Control de Calidad (proporciona de manera automatizada los datos necesariospara calcular ındices de estabilidad de la produccion CP y CPk, tolerancias,ındice de piezas NOK/OK, etc;

• Administracion (actualmente pueden enlazarse estos datos del SCADA conun servidor SAP e integrarse como un modulo mas);

212

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• Tratamiento historico de informacion (mediante su incorporacion en bases dedatos).

Etapas de un sistema SCADA:

Las etapas de un sistema de adquisicion de datos comprenden una serie de pasosque van desde la captura de la magnitud a su postprocesado.

213

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Molido de la malta

Uno de los primeros procesos en la elaboracion de la cerveza. La malta y el granose pesan y se muelen segun la receta elegida.

214

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Elaboracion de la cerveza

Una vez molido el grano y obtenido el mosto, se bombea en grandes tinas y comienzael proceso. Aquı vemos tres grandes tinas con sus tubos.

215

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Embotellado

La cerveza elaborada se embotella. Vemos el proceso de embotellado mostrando lasidentificaciones de lote y producto, la hora de inicio e informacion de alarmas.

216

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Empaquetado

Finalmente, la cerveza en botella se empaqueta en cajas. Aquı, se ponen seis paquetesen cada caja. Las cajas se sellan y se cargan sobre las plataformas.

217

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1. Fabricacion inteligente

Intellution iHistorian:La importancia de transformar datos de fabricacion en inteligencia de planta.

218

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El Desafıo: Convertir datos en conocimiento

Historicamente la fabricacion se ha identificado con la maquinaria ruidosa instaladaen la planta baja, valvulas del vapor silbando y chimeneas humeando.

Hoy, la fabricacion se ha convertido en uno de los sectores de informacion masintensivos del mundo. Junto con los productos que salen lıneas de empaquetado o sevierten a traves de tuberıas, el producto de las instalaciones fabriles, es una corrientecada vez mayor de datos se originan en el nivel de planta.

Estos datos se utilizan para optimizar el inventario y la produccion, mejorar cali-dad y consistencia del producto, para el correcto mantenimiento del equipo, y paraasegurar que las plantas cumplen con las leyes ambientales, de seguridad y de salud.

Para convertir el torrencial flujo de datos de las instalaciones de fabricacion actualesen conocimiento, las companıas deben poder capturarlo de un amplio numero defuentes, juntarlo en un formato comun, y ponerlo a disposicion del software quepuede interpretarlo, dandole el significado y el valor.

Por ejemplo, en una lınea de empaquetado con tres lıneas de llenado de botellas quegenera datos sobre el estado de cada lınea, cuando esos datos se analizan al cabo decierto tiempo se puede determinar el grado de paradas no programadas ocurridasen una determinada maquina. Esto lleva a unas mejores decisiones informadas sobremantenimiento preventivo y a gastos de capital en equipo nuevo de la planta.

Crear una ”planta inteligente”, sin embargo, requiere algo mas que elaborar datosrepresentativos e implementar aplicaciones para interpretarlos. La pieza de este rom-

219

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pecabezas que ha faltado a muchos fabricantes hasta la fecha es un simple depositocentral para los masivos volumenes de datos historicos que emanan de los sistemasde operaciones a traves de la planta: un historiador de planta extensa.

Estos historiadores de planta extensa pueden surtir estos datos a una amplia varie-dad de usos en los niveles operativo y de negocio de la empresa.

Algunos historiadores de datos de planta extensa han estado ya en el mercado haceanos, pero se han considerado demasiado costosos y complejos para casi todas lasinstalaciones de fabricacion corrientes, excepto para las mas grandes, tales comociertas operaciones de proceso continuo como las industrias quımicas y las refinerıasde petroleo.

220

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Parte IV. APENDICES

221

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Tema A. Ecuaciones diferenciales

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

La ecuacion diferencial

dx

dt= ax(t), a = constante (A.4)

es una de las mas simples. Dice: ∀t la ecuacion x′(t) = ax(t) es cierta.

Soluciones: son las funciones u(t) que verifican la ecuacion diferencial (A.4). En estecaso es facil hallarlas:

• f(t) = k eat es una solucion de (A.4) ya que f ′(t) = a k eat = a f(t)

• No hay mas soluciones: sea u(t) una solucion cualquiera. Entonces

d

dt

(u(t) e−at

)= u′(t) e−at + u(t) (−a e−at) = a u(t)e−at − u(t) a e−at = 0

⇒ u(t) e−at = cte.⇒ u(t) = cte. eat

Hemos probado la existencia y unicidad de la solucion de (A.4).

222

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1.1. Problema de condiciones iniciales (PCI)

x(t) = k eat solucion de (A.4), a dada

k queda determinada si nos dan el valor x0 de x(t) en t0:

x(t0) = k eat0 = x0 ⇒ k = e−at0x0;

si t0 = 0 entonces k = x0. Por tanto, la ecuacion diferencial

x′(t) = a x(t)

tiene una unica solucion que cumple la condicion inicial

x(t0) = x0

Problema de condiciones iniciales:

Dadas{

x′(t) = a x(t)x(t0) = x0

(A.5)

hallar la solucion u(t) que pasa por x0.

223

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2. Estudio cualitativo

El problema de condiciones iniciales es el que mas interesa en las aplicaciones deingenierıa. Pero solo estudia una solucion. ¿Hay alguna forma de estudiar todas lassoluciones a la vez?

PCI:{

x′(t) = a x(t)x(t0) = x0

Solucion: x(t) = x0 eat

a > 0 ⇒ lımt→∞

x0eat =∞

a = 0 ⇒ x(t) = cte.

a < 0 ⇒ lımt→∞

x0eat = 0

El signo de a es crucial para el comportamiento de la solucion.

224

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¿Que ocurre si se perturba el parametro a?

-

6

x0

t

x

a > 0

-

6

x0

t

x

a = 0

-

6

x0

t

x

a < 0

• a 6= 0 : el comportamiento no cambia al perturbar a

• a = 0 : cambio radical

a = 0 es un punto de bifurcacion en la familia de ecuaciones diferenciales

{x′ = a x, a ∈ R}

225

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3. Orden de una ecuacion diferencial

(a) sistema

orden 1 : x′ = f(t, x) | t, x ∈ R, f : R× R→ R

orden 2 :{

x′1 = f1(t, x1, x2)x′2 = f2(t, x1, x2)

∣∣∣∣ t, x1, x2 ∈ Rf1, f2 : R× R2 → R

...orden n : x′ = f(t, x) | t ∈ R, x ∈ Rn, f : R× Rn → Rn

(b) ecuacion x(n) = F (t, x, x′, x′′, . . . , x(n−1))

orden = numero n de ecuaciones en (a)= orden de la derivada de orden maximo en (b).

Con x = x1, x′ = x2, x′′ = x3, . . . , x(n−1) = xn se pasa de (b) a (a).

Si la ecuacion diferencial (a) es de la forma

x′ = f(x)

i.e. no depende explıcitamente de t, entonces se llama sistema autonomo.

226

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4. Interpretacion geometrica

dxdt = f(t, x) asigna a cada punto (t, x), un numero: la pendiente.

f : R2 → R

(t, x) 7→ dx

dt= pendiente

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

x(t)

x(0)

227

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5. Sistemas de 2o orden

La ecuacion diferencial

dx

dt= f(t, x), t ∈ R, x ∈ R2, f : R× R2 → R2

es de segundo orden. Tambien puede escribirse como un sistemadx1

dt= f1(t, x1, x2)

dx2

dt= f2(t, x1, x2)

∣∣∣∣∣∣∣t, x1, x2 ∈ Rf1, f2 : R× R2 → R2

de dos ecuaciones de primer orden; se llama sistema de segundo orden.

• Interpretacion geometrica

A cada punto (t, x1, x2) ∈ R3 le asociamos el vector (f1, f2). Si el sistema es autono-mo (no depende de t), entonces es en R2.

228

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6. Solucion numerica

Obtener soluciones u(t) expresadas por funciones elementales de

x′(t) = f(t, x), t ∈ R, x ∈ Rn,

es a veces difıcil o imposible, incluso si n = 1. En esos casos procede hacer un estudiocualitativo, la interpretacion geometrica o hallar la solucion numerica

Solucion numerica: tabla de valores de la solucion u(t) del PCI.

t u1 u2 . . . un

−10 −3 −1.1 . . . 0.2...

......

...0...

10

Tabla → representacion grafica

Obtencion:• algoritmo: Euler, Runge-Kutta, etc.• del grafico de pendientes (i. geom.)• graficamente: quebradas de Euler

229

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7. Solucion numerica con Matlab

Metodos:

• ode23

• ode45

• Simulink

ode23 y ode45 implementan metodos numericos de Euler, Runge-Kutta, etc. Parahallar la solucion del PCI{

x′(t) = f(t, x)x(0) = x0

∣∣∣∣ t ∈ R, x ∈ Rn

hemos de hacer dos cosas:

• archivo .m de Matlab para describir la funcion

• llamada a ode23

230

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Para un PCI de 2o orden, en el archivo f_prueba.m, pondremos

function xp = f_prueba(t,x)xp = zeros(2,1) % indica el orden n = 2xp(1) = f1(x(1),x(2),t)xp(2) = f2(x(1),x(2),t)

en donde f1 y f2 vendran dadas.

Para hacer la llamada a ode23 o a ode45 escribiremos:

x0 = [a; b]; % condiciones iniciales (dadas)t0 = 0; % es lo normaltf = tiempo final;[t,x] = ode23(@fprueba, [t0,tf], x0)plot(t,x) % respuesta temporalplot(x(:,1),x(:,2)) % phase portrait

en la ventana de comandos de Matlab o en un archivo .m.

231

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Ejemplo. Sistema mecanico

f(t)m

k

b

f(t)− k x(t)− b x′(t) = m x′′(t)Cambios: x1 = x, x2 = x′ ⇒{

x′1 = x2

x′2 = − kmx1 − b

mx2 + 1mf

Solucion numerica:• Archivo f mkb.mfunction xp = f mkb(t,x)xp=zeros(2,1);f=1;m=1;k=2;b=1;xp(1)= x(2);xp(2)=-k/m*x(1)-b/m*x(2)+1/m*f;• Llamada a ode23x0=[0;1]; t0=0; tf=10;[t,x]=ode23(’f mkb’,[t0,tf],x0)plot(t,x),title(’Resp. temp.’)plot(x(:,1),x(:,2)),title(’Mapa fase’)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta temporal

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Mapa de fase

x(0)

• Interpretacion geometrica

Sistema mecanico (m, k, b):

{x′1(t) = x2(t)

x′2(t) = − k

mx1(t)−

b

mx′2(t) +

1m

f(t)232

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−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Campo vectorial

x(0)

Con Matlab es posible superponer el cam-po de vectores (interpretacion geometrica)y la solucion numerica:m=1; k=2; b=1; f=1;[X1,X2]=meshgrid(-1.2:0.2:1.2);U1 = X2;U2 = -k/m*X1-b/m*X2+1/m*f;M = sqrt(U1. 2 + U2. 2);V1 = ones(size(M))./M .* U1;V2 = ones(size(M))./M .* U2;quiver(X1,X2,V1,V2),axis square

233

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7.1. Metodo de Kelvin

Teorema. z(t) es una solucion del P.C.I. x′(t) = f(t, x)

x(0) = x0

(1)

si y solo si

z(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, z(s))ds. (2)

Demostracion. z(t) solucion de (1)⇒ z′(t) = f(t, z(t))⇒∫ t

t0

z′(s)ds =∫ t

t0

f(s, z(s))

⇒ z(t)− z(0) =∫ t

t0

f(s, z(s) ⇒ z(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, z(s).

z(t) verifica (2) ⇒ dz

dt= f(t, z(t)).

⇒ z(0) = x0 +∫ t0

t0

f(s, z(s))ds = x0.

234

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Idea de Kelvin: construir un integrador fısico (mecanico) y realizar fısicamente(mecanicamente) el esquema

∫-x(t)r

�f

-x′(t)

x0 -

�t

Muchas veces en los sistemas de control

235

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Tema B. Realizacion del control

Realizaciones

• Realizacion matematica lineal de orden n.Dada G(s) ∈ R(s)p×q, hallar A, B, C, D, tales que el sistema{

x(t) = A x(t) + B u(t)y(t) = C x(t) + D u(t),

con A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×q, C ∈ Rp×n, D ∈ Rp×q, tenga por matriz de transfe-rencia G(s). Se llama realizacion minimal si el numero entero n es el menorque puede encontrarse. Las mas simples son las llamadas realizaciones canoni-cas: controlador, observador, controlabilidad y observabilidad.

• Realizacion analogica. – modelo – circuito electronico

• Realizacion digital. – programa (Matlab, Simulink, C++, Java, etc.)

• Realizacion fısica. – prototipo – fabricacion

236

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1. Realizacion fısica

-Entrada m+ - C - A - P r -Salida

�S

6−

P Planta o proceso a controlar. –fijo –dado

A Actuador. –potencia suficiente para ”mover”la planta

S Sensor. –adecuado a la senal de salida

C Controlador. –PID –adelanto/retraso –analogico/digital

• En el caso lineal los bloques son funciones de transferencia

• Diferentes tecnologıas: neumatica, electrica, electronica

• Los bloques A y S son (practicamente) constantes

• Problema de diseno: Dada la planta P , hallar C para que el sistema funcionede forma adecuada (especificaciones).

237

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2. Actuadores

Actuador: dispositivo que ejerce acciones de cierta ponencia.Transforma energıa: electrica → electrica – electrica → mecanica – etc.

2.1. Tipos de actuadores

Actuadores hidraulicos – potencia alta

• Principio de Pascal – aceite especial – 200 bar – 0.25 l/s

• Cargas mayores de 6 o 7 Kg

• Control: servovalvulas (con motor) – controlan el flujo de fluido

Actuadores neumaticos – potencia baja – control neumatico

• Cilindros - motores - movimientos rapidos - poca precision

• fluido: aire – aire comprimido – 5 a 10 bar

Actuadores electricos

• Motores electricos: C.C., C.A, lineales, paso a paso, brushless, etc.

238

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2.2. Otros actuadores

• Reles – automatismos electricos

• Contactores

• Arrancadores y Drivers para motores

• Amplificadores electronicos de potencia

2.3. Accesorios mecanicos

• Maquinas simples: plano inclinado, palanca, biela-manivela, engranajes, rodi-llos, poleas, agitadores, vibradores, etc.

• Poleas, cremalleras, pinones: translacion → rotacion

• Reductores de velocidad

• Maquinas complejas

239

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2.4. El motor de c.c.

va(t)

+

−

N

S

?φ

?φ

?ia(t)θ(t)

240

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2.5. Ecuaciones diferenciales

va(t)+

−

vf (t)

+

−ea(t)

Ra

La Lf

Rf-

ia(t) �if (t)

�φ(t)

inductor: vf (t) = Rf if (t) + Lfdifdt

inducido: va(t)− ea(t) = Ra ia(t) + Ladiadt

flujo magnetico: φ(t) = kf if (t)

par motor: Pm(t) = kt φ(t) ia(t)

variables de rotacion: ω(t) =dθ

dtα(t) =

dω

dtf.c.e.m.: ea(t) = ke φ(t)ω(t)

carga mecanica: Pm(t)− Pl(s) = Jmdω

dt+ Bmω(t)

241

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2.6. Modelo externo

Transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas:

vf (t) = Rf if (t) + Lfdifdt

L=⇒ Vf (s) = (Rf + sLf )If (s)

va(t)− ea(t) = Ra ia(t) + Ladiadt

L=⇒ Va(s)− Ea(s) = (Ra + sLa)Ia(s)

φ(t) = kf if (t) L=⇒ φ(s) = kf If (s)

Pm(t) = kt φ(t) ia(t)L=⇒ Pm(s) = kt φ(s) Ia(s)

ω(t) = dθdt α(t) = dω

dtL=⇒ ω(s) = sθ(s) α(s) = sω(s)

ea(t) = ke φ(t)ω(t) L=⇒ Ea(s) = ke φ(s)ω(s)

Pm(t)− Pl(t) = Jmdωdt + Bmω(t) L=⇒ Pm − Pl = s Jm + Bmω(s)

Motor de c.c. controlado por inducido: φ = cte. Kt = ktφ , Ke = keφ

-Va(s) m+ - 1sLa + Ra

- Kt- m+ - 1

sJm + Bm

r -ω(s)

�Ke

6−

?

Pl(s)

Ia(s) Pm(s)

Ea(s)

242

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2.7. Funcion de transferencia del motor

Y (s) = G(s)U(s) G(s) ∈ R(s)1×2

U(s) =[

Va(s)Pm(s)

]G(s) =

[G11 G12

]Y (s) = ω(s)

G11 =Kt

(sLa + Ra)(sJm + Bm)(

1 +KtKe

(sLa + Ra)(sJm + Bm)

)=

Kt

s2LaJm + s(LaBm + RaJm) + RaBm + KtKe

G12 =1

(sJm + Bm)(

1 +KtKe

(sLa + Ra)(sJm + Bm)

)=

sLa + Ra

s2LaJm + s(LaBm + RaJm) + RaBm + KtKe

ω(s) =[G11 G12

] [Va(s)Pm(s)

]= G11Va(s) + G12Pm(s)

243

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2.8. Reductor de velocidad

1 2 3 4

Pm

Pl

1 : Pm(t)− P21(t) = J1d2θ1dt2

+ B1dθ1dt

L=⇒ Pm(s)− P21(s) = s (J1s + B1) θ1(s)

2 : P12(t)− P32(t) = J2d2θ2dt2

+ B2dθ2dt

L=⇒ P12(s)− P32(s) = s (J2s + B2) θ2(s)

3 : P23(t)− P43(t) = J3d2θ3dt2

+ B3dθ3dt

L=⇒ P23 − P21(s) = s (J3s + B3) θ3(s)

4 : P34(t)− Pl(t) = J4d2θ4dt2

+ B4dθ4dt

L=⇒ P34 − Pl(s) = s (J4s + B4) θ4(s)

-Pm(s) � ��

+ - D2d1

-� ��+ - D3

d2-� ��

+ - D4d3

-� ��+ - 1

sJ4+B4s- 1

s-

θ4(s)

�D4d3

6

J3s+B3

6−

s�D3d2

6

J2s+B2

6−

s�D2d1

6

J1s+B1

6−

?

Pl

P21 P12

ω1

P32 P23

ω2

P43 P34

ω3 ω4

244

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2.9. Funcion de transferencia del reductor

El diagrama de bloques puede reducirse a

-Pm(s) m+ - 1sJr + Br

-ω1(s)Kr

-ω4(s) 1s

-θ4(s)

?Pl(s)

1Kr

?

en donde

Jr = d12d2

2d32

D22D4

2D32 J4 + d1

2d22

D32D2

2 J3 + d12

D22 J2 + J1

Br = d12d2

2d32

D22D4

2D32 B4 + d1

2d22

D32D2

2 B3 + d12

D22 B2 + B1

Kr = d1 d2 d3D2 D3 D4

.

Es un sistema de primer orden (para ω) o de segundo (para θ).

245

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2.10. Reductor con poleas elasticas

-Pm(s) � ��

+ - 1J1s+B1

-ω1(s) 1

ss -θ1(s)

?r1

?x1(s)� ��

+�K12f12(s) s6r1

6−P21(s)

?R2

?P12(s)

� ��+ - 1

J2s+B2-

ω2(s) 1s

s -θ2(s)

6

R2

6−x2(s)

?6−P32(s)

-Pl(s) � ��

+

1 : f12(s) = K12(r1θ1(s)−R2θ2(s))

P21(s) = r1 f12(s) P12(s) = R1 f12(s)

Pm(s)− P21(s) = s (J1s + B1)

2 : f23(s) = K23(r2θ2(s)−R3θ3(s))

P32(s) = r2 f23(s) P23(s) = R3 f23(s)

P12(s)− P32(s) = s (J2s + B2)

3 : f34(s) = K34(r1θ3(s)−R2θ4(s))

P43(s) = r3 f34(s) P34(s) = R4 f34(s)

P23(s)− P32(s) = s (J3s + B3)

4 : P34(s)− Pl(s) = s (J4s + B4)

Es un sistema de orden 2 × no de poleas. Modelo externo: formula de Mason.

246

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2.11. Aplicacion practica: sistema de control de posicion

Motor de c.c.

PoleasCarrito

C AS+

−

Vxr

x(t)

Entrada = Vx –control –referencia –consigna

Salida = x(t)

C Controlador = PID analogico

A Actuador = Amplificador de potencia

P Planta = Motor c.c. + Poleas + Carrito

S Sensor = Potenciometro

247

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3. Especificaciones de funcionamiento

Son condiciones que se exigen a un sistema de control para que su funcionamientosea aceptable.

1. Estabilidad

2. Rapidez

3. Precision

Las especificaciones de funcionamiento suelen expresarse por numeros que se definena partir de

• la respuesta en el tiempo

• la respuesta en frecuencia

Problema de diseno: dado una planta o proceso a controlar y fijadas unas especi-ficaciones de funcionamiento, obtener el modelo matematico de un controlador talque el sistema de control resultante cumpla tales especificaciones.

248

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3.1. Especificaciones en tiempo

• Respuesta temporal: grafica de la senal de salida.

• Entradas de prueba: impulso de Dirac, escalon unitario, funcion rampa, fun-cion parabola, etc.

• Respuesta para entrada escalon ⇒ revela especificaciones.

Mp : estabilidad

tp : rapidez

error : precision

249

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• Valores para el sistema de 2o orden

y(t) = 1 +1√

1− ξ2e−ξωnt sin(ωn

√1− ξ2t− φ), φ = arctan

−ξ√1− ξ2

y′(t) = e−ξωnt

(−ξ2ωn√1− ξ2

+ ωn

√1− ξ2

)sin(ωn

√1− ξ2t) = 0

⇒ sin(ωn

√1− ξ2t) = 0 ⇒ t =

kπ

ωn

√1− ξ2

, k = 0, 1, 2, . . .

Para k = 1 (primer maximo),

tP =π

ωn

√1− ξ2

; y(tP ) = 1 +1√

1− ξ2e−ξωntp(−

√1− ξ2 cos π + ξ sinπ)

y(tp) = 1 + MP ⇒ Mp = e−ξπ/√

1−ξ2

• Otros valores

tr =arctan(−

√1− ξ2/ξ)

ωn

√1− ξ2

, ts '4

ξωn,

1ξωn

= constante de tiempo

250

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3.2. Especificaciones en frecuencia

Respuesta de G(s) con u(t) = A sin(ωt):

yss(t) = M sin(ωt + φ), M = |G(jω)|, φ = arg G(jω)

• Frecuencias de corte: ωA, ωB; -3 dB

• Anchura de banda BW = ωB − ωA

⇒ rapidez

• Ganancia en BW: constante⇒ precision

• Margenes de ganancia y fase⇒ estabilidad

No hay una relacion explıcita entre las especificaciones en tiempo y en frecuencia.

251

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4. Estabilidad, controlabilidad y observabilidad, sistemas lineales

Sistema lineal S: modelo de estado[

A BC D

]∈ R(n+q)×(n+p) ⇒ G(s) ∈ R(s)p×q

• Estabilidad – G(s) – polos simples s1, s2, . . . , sn

y(t) = k1es1t + k2e

s2t + . . . + knesnt

Si algun si ∈ C+ ⇒ y(t)→∞ – sistema inestable.

• Controlabilidad: Q = [B AB A2B . . . An−1B] ∈ Rn×nq

• Observabilidad: R = [C CA CA2 . . . CAn−1]T ∈ Rnp×n

S controlable ⇐⇒ rank Q = n S observable ⇐⇒ rank R = n

Si S es controlable y observable se puede realizar un feedback de estado para reubicarlos polos de S, i.e., se puede

S inestablestate feedback−−−−−→ S estable

252

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