Auto-organización en Sistemas Económicos (Tesis Doctoral - Andres Schuschny_

Auto-organizaci¶on en Sistemas

Econ¶omicos

Andr¶es R. Schuschnyy; À

Directores de tesis: Daniel Heymann z y Roberto P.J.Perazzoy

y Centro de Estudios Avanzados, Universidad de Buenos Aires.

À Universidad Nacional de Quilmes

z CEPAL (Comisi¶on Econ¶omica para Am¶erica Latina, Naciones Unidas),Universidad de Buenos Aires, Facultad de Ciencias Econ¶omicas e Instituto

Torcuato Di Tella

Octubre del 2001

i

Deseo agradecer a los Doctores Roberto Perazzo y Daniel Heymannpor haberme guiado, de manera ejemplar, a lo largo de todo

el proceso de desarrollo de esta tesis doctoral.

Dedico todo el trabajo realizado a la memoria de mi Padre.

Contenido

1 Introducci¶on 11.1 La complejidad en la Econom¶³a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Contenido de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Sistemas Din¶amicos y sistemas Complejos 112.1 De¯niciones y principales caracter¶³sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Algunas Propiedades gen¶ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Clasi¯caci¶on de los Sistemas Din¶amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.1 Seg¶un la naturaleza de sus variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Seg¶un las propiedades de conservaci¶on del sistema . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Mapas recursivos en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1 Estabilidad, periodicidades y bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.2 Sistemas Ca¶oticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.3 Estudio probabil¶³stico: la ergodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Los sistemas complejos adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.1 Atributos b¶asicos de los sistemas complejos adaptativos . . . . . . . . . . . . 202.6 Temas de inter¶es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.1 Externalidades y Complementariedad estrat¶egica . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.2 Coordinaci¶on y din¶amica de las expectativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.3 Equilibrios coordinados m¶ultiples: algunas implicancias econ¶omicas . . . . . . 262.6.4 Hist¶eresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.5 \Lock-In" y dependencia del sendero en econom¶³a . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 Ap¶endices del Cap¶³tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.7.1 El mapa log¶³stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7.2 Estabilidad lineal y acoplamiento entre mercados . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Comportamiento de los agentes y evoluci¶on de los sistemas econ¶omicos 393.1 Comportamientos econ¶omicos y heterogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Agentes con expectativas racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.2 El rol del aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Modelo anal¶³tico con agentes heterog¶eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Modelos ca¶oticos en la literatura econ¶omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.1 Son relevantes los modelos econ¶omicos \ca¶oticos"? . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.2 Caos determin¶³stico y la teor¶³a econ¶omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.3 La racionalidad en el caos o el caos de la racionalidad? . . . . . . . . . . . . . 573.3.4 Algunas conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4 Sistemas Econ¶omicos \Desordenados" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.1 Complejidad e Intratabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.2 Computabilidad y Computadoras Universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.3 Optimizaci¶on Combinatoria y Racionalidad Acotada . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Representaci¶on Computacional de Agentes Econ¶omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

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iv Contenido

3.5.1 Algoritmos Gen¶eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.2 Redes Neuronales Arti¯ciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.3 Modelos Econ¶omicos con Redes Neuronales Arti¯ciales . . . . . . . . . . . . . 73

3.6 Modelos con agentes arti¯ciales adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6.1 Aprendizaje y Co-Adaptaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6.2 Descripci¶on de los tres modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.6.3 Resultados Obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.6.4 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 Sistemas con agentes en interacci¶on: comportamientos emergentes 89

4.1 Estudio de las interacciones locales y analog¶³as con la mec¶anica estad¶³stica . . . . . . 90

4.1.1 Din¶amica estoc¶astica microsc¶opica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.2 Din¶amica macrosc¶opica y consistencia macro-micro . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.3 Estados frustrados y multiplicidad de atractores . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1.4 Aplicaciones en sistemas econ¶omicos y sociales: Marco gen¶erico . . . . . . . . 98

4.2 Mecanismos globales y locales de coordinaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2.1 Coordinaci¶on guiada por la informaci¶on global . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2.2 Coordinaci¶on con el mecanismo local de contagio . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2.3 Una aplicaci¶on a las corridas bancarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.2.4 Auto-organizaci¶on sin par¶ametros ex¶ogenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.5 Comentarios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.2.6 El modelo de \El Farol" con estrategias mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5 Sistemas distribuidos y series temporales 119

5.1 Aut¶omatas Celulares y Mapas Acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.1.1 Modelos econ¶omicos que utilizan aut¶omatas celulares . . . . . . . . . . . . . . 121

5.1.2 Ejemplo: simulaci¶on de un proceso de difusi¶on con un aut¶omata celular . . . 121

5.2 Criticalidad Auto-organizada y Ruido 1=f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3 Estudios estad¶³sticos: ruido 1=f , Distribuciones Estables y \Vuelos de L¶evy" . . . . 128

5.3.1 Mercados ¯nancieros y paseos al azar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.3.2 Distribuciones estables y vuelos de L¶evy: Propiedades . . . . . . . . . . . . . 130

5.3.3 Distribuciones Estables en Mercados Cambiarios . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.4 Ruptura de la Invariancia de estala: El Mercado Cambiario Argentino . . . . 136

5.3.5 Ruido 1=f y Criticalidad Auto-organizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3.6 Algunos comentarios de esta secci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6 Conclusiones 143

6.1 La mano invisible: De la perplejidad a la complejidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.2 Complejidad espacial en los sistemas econ¶omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.3 Complejidad temporal: escalas de tiempo y tiempos intr¶³nsecos . . . . . . . . . . . . 147

6.4 Comportamiento adaptativo, memoria y predicci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.5 Hacia una epistemolog¶³a de la complejidad: De las estructuras a los Procesos . . . . 149

Bibliograf¶³a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Cap¶³tulo 1

Introducci¶on

\Cuando empec¶e a escribir la novela, lo ¶unico que ten¶³a era laconjunci¶on \y". Yo sab¶³a que una historia que tuviese la \y"

ser¶³a estupenda. Poco a poco el resto fue cobrando forma."Woody Allen

El funcionamiento de los sistemas econ¶omicos se conforma a trav¶es de una intrincad¶³sima redde decisiones e interacciones. Cualquiera que aborda la representaci¶on de esos sistemas no puedesino quedar impresionado por la riqueza de los fen¶omenos que son materia de an¶alisis: una enormecantidad de agentes decide y act¶ua de modo asincr¶onico y descentralizado, bas¶andose en incentivosque muchas veces son contrapuestos entre s¶³, y disponiendo de informaci¶on y de conocimiento frag-mentarios e incompletos acerca del entorno. Es v¶alido interrogarse sobre el papel (supuestamentemuy importante) de las instituciones que de¯nen \reglas" de interacci¶on econ¶omica, y acotan lasestrategias posibles de los agentes. Al mismo tiempo, a veces los sistemas econ¶omicos se encuentranen estados (como las recesiones o los reg¶³menes de alta in°aci¶on) que sugieren la existencia de serias\fallas de funcionamiento". La capacidad homeost¶atica de las econom¶³as parece tener apreciableslimitaciones. No obstante, resulta innegable que la colecci¶on a primera vista desorganizada denumerosas acciones individuales genera resultados con de¯nidos elementos de orden: las econom¶³as

pueden verse como ejemplos notables de auto-organizaci¶on. Esta propiedad se mani¯esta en lapresencia de caracter¶³sticas estructurales de ¶³ndole gen¶erica (e.g. el intercambio monetario), y enel mantenimiento de una cierta continuidad en el tr¶ansito de un estado \macrosc¶opico" del sistemaa otro sucesivo.

Vista con otro grado de detalle, esa continuidad revela constantes cambios internos. Aligual que los ecosistemas biol¶ogicos, los sistemas econ¶omicos evolucionan permanentemente. Laestructura interna de las econom¶³as var¶³a constantemente (a veces, en forma perceptible a lo largode per¶³odos bastante cortos): se modi¯can las actividades de los individuos, cambian los vol¶umenesde producci¶on y las razones de intercambio de diferentes bienes, se crean y desaparecen bienes,mercados, sectores y actividades. En ocasiones, esos cambios implican que, en ciertas dimensiones(e.g. las caracter¶³sticas de algunos bienes), el sistema se encuentre en una con¯guraci¶on dif¶³cilmenteimaginable tiempo atr¶as.

Es claro que un sistema de esta naturaleza no se presta a una representaci¶on simple yun¶³voca. Es de esperar que en un momento dado coexistan diferentes estrategias anal¶³ticas, cuyascaracter¶³sticas e in°uencia relativa vayan cambiando con el tiempo. En todo caso, resulta relevanteel estudio de la evoluci¶on de las econom¶³as, en t¶erminos de la existencia de estados de reposo, suestabilidad, los procesos de relajaci¶on y acercamiento a tales estados, as¶³ como el an¶alisis de loscambios de r¶egimen en los que se modi¯ca apreciablemente el ordenamiento interno del sistema.Para ello, parece natural trasladar a la ciencia econ¶omica las herramientas desarrolladas en el campode los sistemas din¶amicos y los llamados sistemas complejos.

Sin embargo, no se trata de buscar una aplicaci¶on mec¶anica de conceptos y t¶ecnicas. Laseconom¶³as di¯eren de los sistemas f¶³sicos, cuyos componentes se pueden considerar inalterables en el

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2 Cap¶³tulo 1. Introducci¶on

tiempo, y cuyas leyes de funcionamiento son ¯jas. No es necesario considerar dilemas tan profundoscomo el de la compatibilidad entre leyes inmutables y libre albedr¶³o para encontrar di¯cultades. Unade ellas se vincula con el rol que tiene la variable temporal en econom¶³a. Los sistemas f¶³sicos se suelendescribir a trav¶es de sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas. En econom¶³a existen variadosejemplos de modelos que emplean representaciones en tiempo discreto o de tiempo continuo seg¶unel caso, con argumentos en favor de uno u otro m¶etodo de an¶alisis. En todo caso, las transacciones(y, probablemente, tambi¶en los procesos de decisi¶on) tienen una duraci¶on ¯nita, que de¯ne un l¶³miteinferior a la \granularidad" del tiempo relevante. Pero, en una aplicaci¶on determinada, no existegeneralmente un modo sencillo de de¯nir la unidad de tiempo que resulta apropiada: el \tiempoecon¶omico" parece dilatarse y contraerse seg¶un las caracter¶³sticas mismas de la econom¶³a; un hechode experiencia com¶un, por ejemplo, es que los intervalos de revisi¶on de planes son mucho menoresen una econom¶³a de alta in°aci¶on que en una estable. Autores como MÄuller at al [146] sugieren quela unidad de tiempo necesaria para estudiar la din¶amica de los mercados debe modi¯carse con elnivel de volatilidad del mismo. Cuando un mercado est¶a sometido a una alta volatilidad la escalade medida del tiempo debiera expandirse en t¶erminos del tiempo-reloj, mientras que en el caso debajas volatilidades deber¶³a contraerse. En un sistema con su¯ciente grado de complejidad, es depresumir por otro lado, que exista una diversidad de escalas, que de¯nir¶³a a su vez, una jerarqu¶³ade din¶amicas. Esto ha sido tenido en cuenta en econom¶³a, en modelos donde, o se supone quelos precios de los activos tienen una din¶amica m¶as \r¶apida" que la de los bienes, o que preciosy cantidades ajustan con distinta velocidad. Sin embargo, esas dimensiones temporales no tienenun car¶acter \natural", sino que se de¯nen end¶ogenamente en el sistema, y en principio puedenser variables en magnitud y ordenamiento. Se concluye pues, que muchas veces queda abierta lade¯nici¶on de la \unidad de tiempo" que corresponde emplear en el an¶alisis.

Otra cuesti¶on es la que plantea la condici¶on \auto-referencial" de la descripci¶on de sistemasecon¶omicos. El an¶alisis econ¶omico estudia la operaci¶on de sistemas cuya din¶amica resulta de lasdecisiones de agentes los que, a su vez, de¯nen sus planes de acuerdo a opiniones y percepcionessobre c¶omo evolucionan las variables relevantes: esos agentes, a su modo, tambi¶en son analistas.Como consecuencia, las relaciones de causalidad toman una forma diferente que en sistemas f¶³sicos;en econom¶³a el futuro (o, m¶as bien, las expectativas que los individuos se forman acerca del futuro)condiciona las acciones y el estado presente. Con caracter¶³sticas particulares, ello mani¯esta unapropiedad que tambi¶en se aplica a los sistemas biol¶ogicos: el sistema contiene y procesa informaci¶oncon el transcurso del tiempo. Desde la ¶optica de la mec¶anica estad¶³stica, se trata de sistemasabiertos y lejos del equilibrio termodin¶amico, en que la \°echa del tiempo" no es necesariamentela que (como es el caso para los procesos termodin¶amicos en un entorno del equilibrio) apunta enla direccion del crecimiento de la entrop¶³a, es decir, del desorden. Dado ¶esto, parece razonable lahip¶otesis de que los sistemas econ¶omicos tienden a evolucionar en la direcci¶on de una complejidadcreciente, y no hacia un equilibrio de tipo an¶alogo al de los sistemas mec¶anicos. Los fen¶omenos deaprendizaje introducen adem¶as un elemento \hist¶orico" (i.e. tiempo-dependiente) en la din¶amica:la reacci¶on ante un determinado impulso variar¶a seg¶un las experiencias previas que tengan losagentes y seg¶un c¶omo hayan \interpretado" esas experiencias.

Los argumentos anteriores llevar¶³an a limitar la validez de los modelos basados en una apli-caci¶on mec¶anica de la teor¶³a de sistemas din¶amicos. Por otro lado, como sucede en diferentescampos, el \nivel" (grado de agregaci¶on) del an¶alisis y las herramientas adecuadas al caso depen-der¶³an del problema o del tipo de fen¶omenos que se pretende estudiar. Si se adopta una actitudreduccionista al extremo, se buscar¶³a describir la evoluci¶on de un sistema partiendo de sus cons-tituyentes elementales y de sus interacciones. Pero ¶esto parece una pretensi¶on dif¶³cil de realizar.Al mismo tiempo, parece claro que no deber¶³a plantearse realizar un \despiece" de un sistemaecon¶omico, al modo de lo que se har¶³a con una m¶aquina, con la idea de que, una vez hecho eso, secontar¶³a con un modelo \constructivo" que, a partir de las \piezas desarmadas", explicar¶³a su fun-cionamiento. A medida que se avanza en el \desarmado", se vuelve cada vez m¶as dif¶³cil dar cuentade las relaciones entre las partes. En general, se puede esperar que los elementos de organizaci¶on y

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especializaci¶on funcional que se advierten a un cierto nivel no se observen a niveles m¶as elementaleso m¶as \agregados": el orden perceptible con un cierto grado de resoluci¶on no se aprecia con otros.En particular, cuando se llega al nivel de un ¶unico agente econ¶omico es probable que se pierda devista a los mecanismos de procesamiento estructurado propios de los mercados o de la coordinaci¶ondel sistema como un todo.

De lo anterior surgen dos caracter¶³sticas b¶asicas para el an¶alisis de econom¶³as como sistemasdin¶amicos. La primera es la existencia de interacciones intensas entre las partes constituyentes. Elcomportamiento del sistema no puede describirse, ni siquiera en primera aproximaci¶on, a partir delas propiedades de sus elementos considerados aisladamente. La cuesti¶on incluye a los problemasde agregaci¶on, pero es de naturaleza m¶as amplia: como lo sugiere la noci¶on tradicional de queel crecimiento involucra un aumento en el grado de especializaci¶on y de divisi¶on del trabajo, lasoportunidades, las acciones y el desempe~no de los agentes individuales dependen del contextogenerado por las actividades de los dem¶as. La segunda caracter¶³stica es la no linealidad. Engeneral, en econom¶³a no parece aplicable el principio de superposici¶on. Raramente la respuesta delsistema ante una combinaci¶on lineal de est¶³mulos ser¶³a la combinaci¶on lineal de las respuestas a losest¶³mulos individuales. Esto es impl¶³citamente aceptado en la generalidad del an¶alisis econ¶omico:los supuestos de linealidad se suelen presentar como simpli¯caciones instrumentales, y no comohip¶otesis con sustento te¶orico o emp¶³rico.

La introducci¶on de no linealidades en la mec¶anica cl¶asica puede dar lugar a solucionessensibles frente a cambios en las condiciones iniciales. Esta sensibilidad se traduce en que dossoluciones de las ecuaciones de evoluci¶on que parten de condiciones iniciales muy cercanas entre s¶³pueden diverger una de la otra de manera exponencial con el tiempo transcurrido. La ocurrenciade estas soluciones, que por brevedad solemos denominar ca¶oticas, represent¶o en el campo de lamec¶anica un impacto conceptual importante, porque puso en evidencia que los comportamientos\extra~nos" que describen tales trayectorias pueden presentarse aun en sistemas deterministas conpocos grados de libertad. La divergencia exponencial de ¶orbitas implica adem¶as que, aunque seconozca con in¯nita precisi¶on la \ley de movimiento" del sistema, resulta imposible en la pr¶acticapredecir la evoluci¶on del estado, porque la precisi¶on requerida en la medici¶on de las condicionesiniciales crece exponencialmente con el horizonte temporal para el que se intenta la proyecci¶onintegrando las ecuaciones de movimiento. Determinismo e imprevisibilidad no se excluyen, por lotanto. Pierde validez pues, el mito mecanicista que conceb¶³a al universo como un mecanismo derelojer¶³a complejo pero sujeto a una evoluci¶on predecible.

El an¶alisis de sistemas no lineales con posibles trayectorias ca¶oticas ofrece por cierto herra-mientas ¶utiles para una variedad de disciplinas, incluida la econom¶³a. De hecho, es posible encontraren la literatura una apreciable variedad de modelos, en distintas ¶areas tem¶aticas y con diferentesperspectivas te¶oricas, que obtienen soluciones de tipo ca¶otico. Sin embargo, el impacto conceptualdel \caos determinista" en econom¶³a no debe necesariamente asimilarse al que se produjo en laMec¶anica. Por un lado, la Econom¶³a nunca ha pretendido (o, en todo caso, no pudo razonable-mente pretender), una precisi¶on cuantitativa en sus modelos y predicciones comparable con la quese puede obtener en sistemas sujetos a las leyes de la mec¶anica: la imprevisibilidad de la evoluci¶on\a largo plazo" no deber¶³a constituir una sorpresa. Por otro lado, resulta dif¶³cil imaginar que unsistema econ¶omico pueda representarse a trav¶es de un modelo determinista con pocos grados delibertad. Aunque no hay nada que impida (y, de hecho, puede ser una pr¶actica conveniente enmuchos casos) buscar modelos sencillos para describir los fen¶omenos, parece claro que esa simpli¯-caci¶on tiene costos en t¶erminos de la no unicidad de la representaci¶on (i.e. no hay necesariamenteun conjunto ¶unico de simpli¯caciones apropiadas a priori) y de su alcance explicativo (lo que sere°ejar¶³a en la existencia de impulsos \ex¶ogenos" al modelo, que se interpretar¶³an, a la manera enque suele tratarse al t¶ermino aleatorio en econometr¶³a, como una \medida de la ignorancia"). Valedecir que, sin entrar en una discusi¶on sobre un posible \determinismo subyacente" en la evoluci¶onde sistemas econ¶omicos, en todo caso ¶este estar¶³a \escondido" para una descripci¶on que acepta s¶oloun n¶umero peque~no de grados de libertad, inconmensurable con el que parece tener efectivamente


el sistema.

Por otro lado, las no linealidades pueden ser fuente de imprevisibilidad, pero tambi¶en con-tribuyen a veces a estabilizar las soluciones de un modelo (como un ejemplo cl¶asico, los rendimien-tos decrecientes en el modelo de crecimiento de Solow eliminan los comportamientos de \¯lo denavaja"); asimismo, la din¶amica de sistemas no lineales de m¶ultiples componentes puede resultar enun \ordenamiento macrosc¶opico". Esa diversidad de posibilidades, y no s¶olo una de ellas (como esel comportamiento \ca¶otico") resulta de inter¶es. La ubicuidad de las no linealidades en Econom¶³ahace que se la encuentre en modelos de muy diverso car¶acter.

A lo largo de esta tesis se analizar¶an las principales caracter¶³sticas que poseen los sistemascomplejos adaptativos y se mostrar¶an algunos modelos basados en agentes m¶ultiples construidos apartir de una aproximaci¶on constructiva. No tratamos de formular teor¶³as predictivas en t¶erminoscuantitativos, sino que apuntamos a explorar ciertos mecanismos que pueden generar la evoluci¶onde variables econ¶omicas. En ¶ultima instancia, nos interesa buscar la forma en que las no linealidadespueden ser ¶utiles guiando nuestra intuici¶on para comprender las propiedades de orden interno y laorganizaci¶on de sistemas econ¶omicos. Es de esperar que alguno de los enfoques que se muestranpuedan servir, en un futuro no muy lejano, a incrementar la comprensi¶on de algunos temas concretosen el campo de la teor¶³a econ¶omica.

1.1 La complejidad en la Econom¶³a

Todo sistema econ¶omico est¶a constituido por una enorme cantidad de agentes que interact¶uan per-manentemente. Existen tambi¶en comportamientos globales que emergen en forma auto-organizadaa causa de tales interacciones que, en general, son desordenadas (pues no siguen un patr¶on uni-forme), descentralizada (pues no hay quien las controle) y asincr¶onicas. La aparici¶on del dinerocomo medio de cambio (as¶³ como su potencial desaparici¶on en contextos hiperin°acionarios), lacreaci¶on de mercados, la divisi¶on sectorial de la actividad industrial, la coordinaci¶on de agentesen situaciones de \p¶anico", son ejemplos de distinto tipo de los productos emergentes de las inter-acciones que resultan de las decisiones y planes formulados por los agentes del sistema, y suelendenominarse, en la jerga de los sistemas complejos, como comportamientos emergentes.

Una buena parte de la literatura contempor¶anea presupone que los sistemas econ¶omicosencuentran de modo m¶as o menos autom¶atico un estado coordinado, y que las conductas de losagentes est¶an plenamente adaptadas al entorno en el que operan. La estrategia anal¶³tica es la desimpli¯car los problemas de decisi¶on de los agentes al punto en que ¶estos son capaces de de¯nirplanes ¶optimos basados en percepciones correctas acerca de la evoluci¶on de las variables relevantes,y postular la existencia de alg¶un mecanismo impl¶³cito que reconcilia entre s¶³ las decisiones indi-viduales. Esta l¶³nea de trabajo ha producido indudablemente resultados ¶utiles, y sigue generandomodelos de inter¶es. Sin embargo, las hip¶otesis de partida dan por resueltas preguntas crucialespara el an¶alisis econ¶omico, y no permiten encarar importantes temas concretos {especialmente enel ¶area de la Macroeconom¶³a, donde una variedad de fen¶omenos (e.g. hiperin°aciones, depresiones,crisis ¯nancieras) plantean de forma espec¶³¯ca la posibilidad de que los sistemas econ¶omicos est¶ensujetos a fallas de coordinaci¶on. En general los modelos m¶as simples que estudian las disrupcionesy cambios de r¶egimen del sistema se basan en la idea de que los procesos estudiados poseen equi-librios m¶ultiples. Sin embargo este tipo de modelos no permiten determinar cu¶ales son los estadosestacionarios que se seleccionar¶an como producto de las interacciones que deber¶³an coordinarse paraalcanzar alguno de esos estados, dejan sin explicar de qu¶e forma se genera esa coordinaci¶on en unoparticular de los senderos admisibles. Por lo tanto, habr¶³a lugar para la b¶usqueda de modelos queinvestiguen c¶omo (y hasta qu¶e punto) conjuntos de agentes con capacidades cognitivas limitadas,interactuando en entornos m¶as o menos complejos, alcancen estados coordinados, y exploren lasrespuestas de los sistemas ante perturbaciones.

Los sistemas econ¶omicos presentan caracter¶³sticas particulares. Por un lado, son un ejemplonotable de auto-organizaci¶on robusta. Algunos rasgos distintivos de estos sistemas son ejemplos

1.1. La complejidad en la Econom¶³a 5

notables de auto-organizaci¶on, en la que pareciera que una \mano invisible" opera y facilita lacoordinaci¶on de los componentes del sistema. Tanto consumidores como productores y arbitrajistasformulan sus planes en forma descentralizada, dotados de informaci¶on incompleta y asim¶etrica,bas¶andose en preferencias independientes, sin la gu¶³a de un agente omnisciente que imponga demanera centralizada la coordinaci¶on como condici¶on de partida para la determinaci¶on de los estadosalcanzables. Los sistemas econ¶omicos, estudiados como un todo, presentan un alto grado de orden,desde esta perspectiva, parecen capaces, hasta cierto punto, de absorber perturbaciones sin producirgrandes cambios en los valores esperados de muchos de los indicadores econ¶omicos. Es razonablecomprender el ¶exito de los modelos de coordinaci¶on plena de equilibrio general y la utilidad delesquema del agente representativo.

No obstante, los sistemas econ¶omicos evolucionan continuamente, cambiando de estructurainterna por creaci¶on o desaparici¶on de actividades, produciendo algunas veces s¶ubitas oscilacionesde las variables relevantes, muchas veces de tal amplitud que pueden producir pronunciadas depre-siones, altas in°aciones o grandes redistribuciones de riqueza. Estas caracter¶³sticas sugieren que lossistemas econ¶omicos evolucionan por un sendero que transita fuera del equilibrio, entendido ¶estecomo un estado en el que todos los planes de los agentes son consistentes entre s¶³ y puede ser v¶alidopreguntarse si el valor de los indicadores econ¶omicos corresponde a valores esperados del equilibrioo a valores de un proceso de relajaci¶on hacia o fuera de ¶el.

No debemos olvidar adem¶as que los sistemas econ¶omicos poseen una diferencia fundamentalcon otros sistemas naturales y que consiste en su caracter autoreferencial: los mismos agentes

que intentan predecir la evoluci¶on del sistema forman parte del propio sistema, por lo cual todaa¯rmaci¶on acerca del futuro es susceptible de convertirse en un factor que contribuye a su gestaci¶on.Como la evoluci¶on depende de la percepci¶on de los mismos actores del sistema siempre existe laposibilidad de que surjan externalidades como los efectos de contagio que inducen din¶amicas demanada y muchas veces a la coordinaci¶on de expectativas sin bases \fundamentales".

En la aproximaci¶on econ¶omica usual del equilibrio, el problema de inter¶es es obtener a partirde las elecciones optimizadoras individuales, el estado de la econom¶³a a nivel agregado (e.g. precios,cantidades, estrategias en teor¶³a de juegos) que satisfagan ciertas condiciones de consistencia a nivelagregado (e.g. equilibrio de mercados, equilibrios de Nash), y examinar las propiedades de estosestados. Por otro lado, desde la aproximaci¶on de las sistemas din¶amicos el estado de la econom¶³ase representa por un conjunto de variables y un sistema de ecuaciones diferenciales o en diferenciasque describen el cambio en el tiempo de dichas variables. El problema consiste en estudiar lastrayectorias resultantes en el espacio de estados del sistema. La aproximaci¶on del equilibrio nodescribe c¶omo y qu¶e mecanismos hacen cambiar los estados del sistemas y la aproximaci¶on de lossistemas din¶amicos falla al disociar la distinci¶on entre el nivel de las decisiones individuales y elnivel agregado. La utilizaci¶on del agente representativo elude esta distinci¶on.

Claro est¶a, que los modelos econ¶omicos de equilibrio han resultado ser sumamente ¶utiles paradescribir lo que se puede esperar de un sistema luego de que un ajuste ha tenido lugar. Sin embargo,muchos de estos modelos pueden exhibir m¶ultiples estados de equilibrio. Estos modelos no permitenpredecir la din¶amica que tiene lugar durante la transici¶on entre los mismos y por consiguiente cu¶alser¶a el nuevo equilibrio \seleccionado" a medida que la din¶amica tiene lugar. Durante esta transici¶ones necesario contemplar un proceso de aprendizaje individual que en el agregado determinar¶a comose coordinar¶an las expectativas. Frente a esta situaci¶on cada vez m¶as economistas han comenzadoha incursionar en el estudio de modelos que simulan expectativas formuladas con racionalidad

acotada mediante la implementaci¶on de agentes algor¶³tmicos, en un intento por entender y explicarestos procesos din¶amicos transicionales [171]. No obstante, debemos destacar que las formulacionesbasadas en criterios de racionalidad acotada exceden por mucho a las descripciones de modeloscon m¶ultiples equilibrios. El estudio de situaciones transicionales puede no tener ninguna relaci¶oncon los modelos usuales que exhiben equilibrios m¶ultiples. Durante los procesos transicionales,los agentes deben aprender a medida que la evoluci¶on del sistema tiene lugar, y por lo tantoel comportamiento optimizador puede ser poco plausible. Las conductas optimizadoras ser¶³an


posibles si los agentes realizan predicciones correctas de las variables que no pueden controlar atrav¶es de sus propias acciones; un agente racional que pretenda en esta situaci¶on predecir comoser¶a la coordinaci¶on de las expectativas para as¶³ formular la suya, seguramente enfrentar¶a unproblema que posee una complejidad no polin¶omica (es decir un \problema NP-duro" { v¶ease lasecci¶on 3.4.1). Esto signi¯ca que el tiempo necesario para encontrar una soluci¶on a su problema depredicci¶on mediante procesos optimizaci¶on (deductiva) crece exponencialmente con el volumen dedatos necesarios para resolverlo. Debido a que los agentes no poseen ni recursos computacionales,ni tiempo ilimitados, la b¶usqueda de estrategias buenas pero sub¶optimas es inevitable. Por estaraz¶on es v¶alida la conjetura que lleva a construir modelos transicionales en el marco de la hip¶otesisde la \racionalidad limitada".

Este trabajo emplea como enfoque la construcci¶on de modelos computacionales, basados enla aproximaci¶on constructiva o \bottom up". Con este marco de referencia es posible construirun \sistema econ¶omico" comenzando apartir de sus elementos constitutivos. Tal sistema debe servisto como un (gran) n¶umero de agentes interactuando, cuyas acciones individuales, as¶³ como lasinteracciones mutuas son explicitadas de manera que puedan ser expresadas de manera algor¶³tmica.Esta aproximaci¶on tiene la ventaja de que soporta restricciones m¶as d¶ebiles que las de los modelosmatem¶aticos, a pesar de que requieren a¶un de un alto grado de simpli¯caci¶on. El desaf¶³o es capturarlas caracter¶³stica m¶as relevantes, que son las responsables de los comportamientos emergentes delsistema. Un modelo exitoso es aquel que poseen el mayor grado de abstracci¶on posible, pero quepermite recrear ciertos hechos estilizados y ser usado como un verdadero laboratorio en el cualsituaciones extremas pueden ser simuladas y estudiadas.

1.2 Contenido de la Tesis

El objetivo que da origen a esta tesis es estudiar los fen¶omenos de auto-organizaci¶on que resultande la interacci¶on entre los numerosos agentes que operan en un sistema econ¶omico. El tema es, porcierto, muy amplio; aunque la literatura reciente presenta algunos avances, el an¶alisis realizado estodav¶³a incipiente. El enfoque que se pretende plantear admite una multiplicidad de las perspec-tivas te¶oricas. Al margen de la indudable utilidad del an¶alisis econ¶omico tradicional, ¶este sueleconsiderar a la coordinaci¶on de muchos procesos de interacci¶on econ¶omica como un hecho dado opre-supuesto. Aqu¶³ la b¶usqueda se orienta a la representaci¶on de sistemas econ¶omicos a trav¶es deun enfoque que podemos llamar constructivo (o \bottom up"). Con las salvedades ya hechas, elobjetivo es individualizar las propiedades que permiten pasar de un nivel de complejidad a otromayor. Si ¶esto pudiera hacerse, los mecanismos de auto-organizaci¶on encontrados implicar¶³an unareducci¶on de los grados de libertad \efectivos" del sistema; a su vez, ello permitir¶³a establecerpuentes entre las descripciones \micro" y \macroecon¶omicas". De todos modos, los resultados quemostramos son sin duda modestos. No nos es posible seguir a¶un una ¶unica l¶³nea de razonamiento;m¶as bien, componemos un conjunto de \piezas anal¶³ticas", de validez limitada, cada una de lascuales, separadamente, se vincula con un tipo particular de comportamiento emergente en un de-terminado contexto econ¶omico. Mostramos algunos ejemplos sobre c¶omo la estrecha interacci¶onentre los agentes y su naturaleza no lineal, dan lugar a una din¶amica disipativa que comporta unadisminuci¶on en los grados de libertad que son realmente efectivos. Al ¯nal del camino esperamosjusti¯car en parte el estudio de la evoluci¶on del sistema mediante pocas variables globales y com-probar tambi¶en que la relaci¶on de las variables macro con las micro puede en muchos casos, resultarsumamente compleja. Conciliar las descripciones micro y macro de un sistema econ¶omico requierede etapas intermedias en las que se pongan de mani¯esto los mecanismos de auto-organizaci¶on yde reducci¶on de grados de libertad efectivos.

La mayor¶³a de los modelos que se detallar¶an son s¶olo representables computacionalmente.As¶³ por ejemplo la heterogeneidad en un sistema es analizada siguiendo la evoluci¶on de m¶ultiplesagentes en interacci¶on tomando en consideraci¶on toda la diversidad que ello implica. De estemodo la simulaci¶on mediante experimentos num¶ericos hace posible muchas veces no pagar el

1.2. Contenido de la Tesis 7

alt¶³simo tributo en abstracci¶on y simpli¯caci¶on que es necesario para que los modelos sean tratablesanal¶³ticamente. Sin embargo, si bien este recurso hace posible el estudio de situaciones que no sonabordables de manera anal¶³tica posee tambi¶en serias limitaciones. En primer lugar mencionemosque se da un paso atr¶as en materia de rigor y generalidad. Por esta v¶³a se es s¶olo capaz de com-probar y orientar nuestra intuici¶on, no de demostrar teoremas o propiedades con el rigor propio delos tratamientos matem¶aticos formales.

El v¶³nculo con la computaci¶on es sin embargo m¶as que meramente instrumental. La econom¶³aha basado tradicionalmente muchos de sus an¶alisis en la noci¶on de que los agentes determinan susacciones optimizando alguna funci¶on de utilidad o bene¯cio. Sucesivas generalizaciones de esteconcepto llevan a considerar agentes ideales con una capacidad de c¶omputo virtualmente in¯nitaya que situaciones realistas hacen que dicha optimizaci¶on comporte la soluci¶on de problemas decomplejidad combinatoria. Para subsanar esta falta de realismo se ha impulsado la alternativa deestudiar la posibilidad de representar la capacidad procedural de los agentes de manera algor¶³tmica[123]. Un sistema econ¶omico de m¶ultiples agentes es considerado en este contexto como un gransistema de procesamiento distribuido cuyas posibilidades, en tanto sistema din¶amico, no puedensino formalizarse mediante recursos computacionales. El uso y la reducci¶on de la evoluci¶on de un


sistema a t¶erminos computables es pues algo m¶as profundo que el mero recurso instrumental de lasimulaci¶on.

La aproximaci¶on al realismo mediante modelos computacionales es de cualquier modo muymodesta. En todos los modelos est¶a impl¶³cita la hip¶otesis que el agregado de numerosos agentesdesdibuja alguna de sus cualidades individuales y tan s¶olo se preserva de ellos un conjunto quiz¶areducido de posibles comportamientos esquem¶aticos. ¶Estos se pueden complementar cargandoparte de la complejidad del sistema en las interacciones entre sus elementos. Este recurso esutilizado en una variedad de modelos que provienen de la f¶³sica de medios magn¶eticos estoc¶asticos;en el cap¶³tulo 4 se realiza una rese~na de los principales resultados que provienen de este tipo dedescripci¶on. En ellos se carga en las interacciones una parte del desorden del sistema como unasuerte de \desorden congelado" (\quenched disorder"). En estas situaciones, comportamientosindividuales esquem¶aticos dan lugar a comportamientos globales (\emergentes") del sistema comoun todo que son de una gran riqueza y diversidad. En este sentido el todo es mucho m¶as que lasuma de sus partes. Los modelos de este tipo son ¶utiles para \comprender" mejor la aparici¶on ylos alcances de los mecanismos de auto-organizaci¶on.

Los enfoques que presentamos surgen de un panorama m¶as abarcativo aun en el que sesupone que el orden se genera a partir de situaciones de desequilibrio 1. Este enfoque interpretaque el orden y la estabilidad pueden surgir en sistemas complejos adaptativos de modo din¶amicomerced a mecanismos de realimentaci¶on positiva que son posibles en situaciones lejanas al equi-librio. Los modelos que presentamos no pretenden indagar sobre todas las caracter¶³sticas de estadin¶amica previa subyacente. Consecuentemente en los modelos se presupone cierto orden b¶asico yaestablecido y se analizan efectos adicionales de autoorganizaci¶on.

Los abordajes que analizamos pagan un alto costo en simpli¯caci¶on. Aumentar el realismo delos modelos adicion¶andoles una creciente complejidad no es necesariamente un aporte constructivopara la comprensi¶on de la realidad. De hecho todas las complicaciones est¶an f¶acilmente a nuestradisposici¶on en la observaci¶on directa de los sistemas reales.

El pr¶oximo cap¶³tulo introduce al lector en los conceptos fundamentales de la teor¶³a de los

sistemas din¶amicos; se realiza una clasi¯caci¶on de ellos y se analizan con especial ¶enfasis sistemasrepresentados en tiempo discreto. A modo de ejemplo se realiza un an¶alisis de estabilidad lineal deun sistema que describe un conjunto de mercados acoplados. Utilizando algunos resultados de lateor¶³a de matrices estoc¶asticas se demuestra que cuando mayor es el n¶umero de mercados, mayores la probabilidad de que el sistema sea inestable. Luego se de¯nen y describen las caracter¶³sticaselementales de los sistemas complejos adaptativos, su relaci¶on con los sistemas econ¶omicos y seenumeran las posibles ¶areas de investigaci¶on en las que esta teor¶³a puede resultar ¶util en futurosdesarrollos.

El cap¶³tulo 3 propone una descripci¶on detallada de los problemas derivados de la repre-sentaci¶on formal del comportamiento de los agentes econ¶omicos en la model¶³stica tradicional. Sedescribe un modelo econ¶omico simple en el que la conducta de los agentes puede ser heterog¶eneaya que coexisten diversos mecanismos de formaci¶on de expectativas cuyas proporciones respecto dela poblaci¶on total pueden modi¯carse como consecuencia de la evoluci¶on. Se supone que esta mi-graci¶on entre mecanismos est¶a guiada por el principio de m¶³nimo sesgo (tambi¶en llamado principiode m¶axima entrop¶³a). El modelo presentado exhibe, bajo ciertas condiciones, evoluciones ca¶oticas.Resulta interesante puesto que muestra una metodolog¶³a para incorporar heterogeneidades en elcomportamiento de agentes econ¶omicos. No obstante, la existencia de din¶amicas ca¶oticas en mode-los discretos es motivo de cuestionamiento. En las siguientes secciones del cap¶³tulo se analizan estasobjeciones con mayor detalle. Luego se estudia la plausibilidad de que se puedan construir mode-los econ¶omicos constructivos en los que los agentes econ¶omicos operan con racionalidad acotadaa partir de una dotaci¶on incompleta de informaci¶on. Se ponen de mani¯esto los con°ictos t¶³picosque los agentes enfrentan en situaciones m¶as realistas, se consideran los procesos de aprendizajeinherentes y la limitaci¶on de resolver \e¯cazmente" problemas de optimizaci¶on combinatoria. Se re-

1El Premio Nobel Ilya Prigogine lo de¯ne como orden a partir de °uctuaciones [164]

1.2. Contenido de la Tesis 9

aliza luego una cr¶³tica a los modelos con expectativas racionales, presentando como una alternativav¶alida, la construcci¶on de modelos computacionales que describan el comportamiento de los agentesecon¶omicos algor¶³tmicamente. Una manera de formular los procesos de aprendizaje inherentes esa trav¶es de algoritmos gen¶eticos o redes neuronales que son descriptos en el mismo cap¶³tulo.

Posteriormente, se muestra un modelo econ¶omico construido a partir este esquema cons-tructivo. Se pretende all¶³ describir el proceso de co-adaptaci¶on de las estrategias de compradoresy vendedores en un sistema de intercambio de estructura muy esquem¶atica. En una primera es-peci¯caci¶on, se modela a un vendedor que enfrenta una decisi¶on dicot¶omica sobre el precio que¯ja per¶³odo a per¶³odo; existen numerosos compradores potenciales, que tienen tambi¶en acceso auna \fuente externa", en la cual el bien est¶a disponible a un precio ¯jo. El vendedor de¯ne suconducta a trav¶es de una secuencia planeada de precios sobre un conjunto de per¶³odos, mientrasque los compradores determinan, a partir de las observaciones que hacen de los precios, si \visitan"al vendedor (en cuyo caso compran una unidad del bien) o concurren a una fuente externa. Lasestrategias de los agentes est¶an determinadas por los procesos de aprendizaje que tienen lugar du-rante la propia evoluci¶on y est¶an representados a trav¶es de algoritmos gen¶eticos. Estos algoritmosactualizan las predicciones de los clientes acerca de la conducta de la ¯rma y las de la ¯rma sobre elcomportamiento de sus potenciales compradores, seg¶un los ¶exitos o fracasos de cada uno logradosen instantes anteriores. Durante el proceso de transici¶on, mientras se desarrolla el aprendizaje, esdif¶³cil determinar c¶omo los individuos podr¶³an formular expectativas certeras; de ah¶³ que parezcanatural el supuesto de que las expectativas se basan en alg¶un procedimiento simpli¯cado como elque ofrecen los algoritmos empleados en el ejercicio.

El modelo que se presenta es extremadamente esquem¶atico pero sugiere que, aun en situa-ciones muy simples, los fen¶omenos de aprendizaje y co-adaptaci¶on pueden dar lugar a din¶amicasno triviales. Al margen de los resultados espec¶³¯cos, el an¶alisis de sistemas elementales de transac-ciones ilustra el hecho de que los mecanismos de mercado operan a trav¶es de decisiones de m¶ultiplesagentes actuando \en tiempo real": los estados de equilibrio son en todo caso l¶³mites de trayectoriasen las cuales los individuos van ajustando sus conductas a las de los dem¶as.

En el cap¶³tulo siguiente se estudian con mayor detalle los procesos de interacci¶on local entreagentes de un sistema complejo y sus consecuencias a nivel agregado. Se muestra la consistenciaentre la din¶amica estoc¶astica microsc¶opica y la evoluci¶on macrosc¶opica de estos sistemas. Este tipode modelos tienen su origen en la mec¶anica estad¶³stica de medios magn¶eticos desordenados y hanservido para modelizar lo que se ha denominado como transiciones de fase que, como veremos, seoriginan a partir del quiebre en alguna simetr¶³a que posee el sistema. Esta ruptura de simetr¶³asupone que estos sistemas dejan de ser erg¶odicos. Mostramos en este cap¶³tulo algunas aplicacionesde estos resultados y enumeramos las potenciales aplicaciones futuras en el contexto de la econom¶³a.Se realiza tambi¶en una comparaci¶on entre esta metodolog¶³a y la t¶ecnicas basadas en la teor¶³aevolutiva de juegos. Finalmente, el cap¶³tulo contiene un modelo que estudia los problemas decoordinaci¶on de las acciones de los agentes. Se explora la forma en que los comportamientospueden estar in°uidos, sea por expectativas formadas por cada agente acerca de la evoluci¶on delsistema, a partir de proyecciones individuales, o por \contagio" de las acciones de los individuoscon los que tiene contacto. El ejercicio est¶a inspirado en un conocido modelo de Brian Arthur,que analiza el comportamiento de agentes en una situaci¶on en la que existe complementariedadestrat¶egica en las acciones individuales y, por otro lado, tienen lugar efectos de congesti¶on. En lossistemas reales, esta situaci¶on puede aparecer en diversos contextos. De modo muy esquem¶atico,se puede plantear que el ejercicio tiene elementos relevantes para estudiar la din¶amica que tienelugar durante una corrida bancaria: si muy pocos agentes depositan sus fondos, se ven afectadas lasoportunidades de repago para los que han realizado dep¶ositos y, si se supone que el sistema tieneuna cierta capacidad \f¶³sica", una gran cantidad de depositantes en un momento dado impone uncosto (aunque sea peque~no) por la congesti¶on en el sistema.

Los resultados obtenidos muestran (exceptuando algunos casos con particulares condicionesiniciales) una n¶³tida tendencia a la auto-organizaci¶on del sistema en un estado en el cual, per¶³odo


a per¶³odo, el volumen total de dep¶ositos se aproxima al m¶aximo valor para el que no existen costospor la congesti¶on. Se estudian diversas situaciones en las que se inhiben o no los efectos de contagio,se analiza la din¶amica cuando los umbrales cr¶³ticos evolucionan en forma autoconsistente, etc.

En el cap¶³tulo siguiente, se ponen en consideraci¶on otro tipo de sistemas distribuidos que sedenominan como aut¶omatas celulares y a partir de ellos describen los llamados sistemas cr¶³ticamenteauto-organizados que tienen la interesante propiedad de evolucionar hacia un estado global cr¶³ticocercano a una transici¶on de fase sin depender de par¶ametros de control externos. Esto signi¯caque el propio estado cr¶³tico resulta ser el atractor natural del sistema. Se analiza luego la relaci¶onque existe entre los sistema complejos distribuidos y las series temporales que se derivan de estetipo de sistema. El cap¶³tulo trata esta cuesti¶on, concentr¶andose en un tipo de proceso estoc¶asticoque parecieran tener muchas series econ¶omicas: los \vuelos de Levy", que representan una general-izaci¶on de los paseos al azar con incrementos gaussianos. Los vuelos de Levy tienen la caracter¶³sticade generar trayectorias autosimilares, en el sentido que la distribuci¶on de la posici¶on luego de n pa-sos es la misma que la distribuci¶on luego de un paso, a menos de un factor de escala. Se observa queesta propiedad tiene validez en una serie como la de las variaciones del tipo de cambio d¶olar{libraesterlina, entre otras monedas, sobre datos diarios comprendidos entre 1973 y 1987. En caso deltipo de cambio de la moneda argentina con el d¶olar (tambi¶en sobre datos diarios, sobre un per¶³odode unos veinte a~nos previo a la ¯jaci¶on de la paridad en 1991) se registra una considerable derivade la variable, asociada a las altas in°aciones que marcaron el rumbo de la econom¶³a durante casidos d¶ecadas.

Las distribuciones de Levy se pueden asociar con procesos de auto-organizaci¶on cr¶³tica, queson descriptos en forma detallada, y revisten importancia ya que tienen su origen en los sistemasdesordenados o extendidos que se describen a lo largo de todos dem¶as cap¶³tulos. La noci¶on de que lossistemas se pueden auto-organizar en estados \cr¶³ticos" es conceptualmente atractiva, porque llevaa una representaci¶on de los cambios de estado de los sistemas, incluyendo \grandes avalanchas", sinnecesidad de que ocurran grandes perturbaciones: un impulso peque~no puede ser capaz entoncesde dar lugar a una cadena de reacciones que resulta en un gran desplazamiento de los estados deun sistema.

Los comportamientos emergentes que se han considerado son tan solo unos pocos ejemplosde casos en los que aparecen conductas de auto-organizaci¶on por medio de aprendizaje o imitaci¶on.Estos procesos con¯nan la din¶amica de los sistemas a visitar una porci¶on reducida del espacio defases, por la acci¶on descentralizada de un conjunto de agentes alertas frente a cambios en su entorno,pero que no necesariamente determinan conductas ¶optimas en ambientes de alta complejidad. Elenfoque que hemos empleado aqu¶³ permite encarar la exploraci¶on de fen¶omenos de coordinaci¶on deactividades econ¶omicas sin el empleo de hip¶otesis excesivamente r¶³gidas respecto de las capacidadescognitivas de los agentes. Sin embargo, conviene reconocer que el enfoque tiene tambi¶en limita-ciones, y que la construcci¶on de modelos que se basan en ¶el est¶an a¶un en sus inicios: no existetodav¶³a en el campo un conjunto de procedimientos anal¶³ticos bien establecidos. Es probable quecon el tiempo tenga lugar una suerte de complementariedad entre los \modelos constructivos" ylas formas m¶as tradicionales de an¶alisis. En todo caso, el documento que se presenta a continuac¶onintenta realizar algunos avances en una l¶³nea de investigaci¶on incipiente, repitiendo que, lejos deofrecer productos terminados, la tarea est¶a en sus comienzos 2.

2A lo largo del texto se observar¶a que algunas secciones est¶an escritas con una tipograf¶³a m¶as peque~na. Estassecciones corresponden a apartados de car¶acter informativo. Su lectura puede ser omitida por el lector informado.

Cap¶³tulo 2

Sistemas Din¶amicos y sistemasComplejos

Tµ® ¼µ®º¿® ½e²¶(Todo °uye)

Her¶aclito

A continuaci¶on repasaremos las de¯niciones y propiedades m¶as importantes de los sistemasdin¶amicos y los as¶³ llamados sistemas complejos adaptativos. En general, no se presentar¶andemostraciones ya que estas pueden encontrarse en la bibliograf¶³a citada. Nos detendremos enla de¯nici¶on de ergodicidad concepto que utilizaremos en los pr¶oximos cap¶³tulos. Esta y otrascaracter¶³sticas se ejempli¯car¶an a trav¶es del mapa log¶³stico. Uno de los or¶³genes del estudio de lacomplejidad en la teor¶³a de los sistemas ha surgido del estudio de modelos que exhiben din¶amicasca¶oticas. En esta primera parte del cap¶³tulo nos referiremos a ellas. A modo de ejemplo y en unestudio de equilibrio parcial se describe el comportamiento de un conjunto de mercados acopladosy se realiza un estudio mediante la teor¶³a de matrices estoc¶asticas. Posteriormente se efect¶uauna breve introducci¶on a los sistema complejos adaptativos basados en el enfoque constructivo; seenumeran y detallan los elementos y atributos b¶asicos de los mismos. Tratamos tambi¶en la tem¶aticade los sistemas complejos en la Econom¶³a a la vez que describimos algunos fen¶omenos econ¶omicosy t¶opicos de la teor¶³a econ¶omica en los que la teor¶³a de los sistemas complejos adaptativos puedenbrindar interesantes y nuevos resultados que extiendan el campo de nuestro entendimiento.

2.1 De¯niciones y principales caracter¶³sticas

La evoluci¶on de un sistema din¶amico suele describirse por medio de una funci¶on f que depende delas variables x que caracterizan su estado de tal modo que:

xt+1 = f(xt; t; ¹) (1.1)

para el caso que el sistema se modeliza como un mapa funcional a tiempo discreto, o bien:

dx

dt= f(x(t); t; ¹) (1.2)

para el caso de °ujos continuos. En esta ecuaci¶on xt 2 X µ <n es el vector de las variables deestado, ¹ 2 M µ <m es el vector de par¶ametros que afectan la estructura del sistema, y f esuna funci¶on que en general se supone continua y diferenciable. Los espacios X y M pueden sereucl¶³deos o espacios de probabilidades. S¶³ los sistemas son aut¶onomos, no dependen expl¶³citamentedel tiempo.

Si la evoluci¶on de los estados es ¶unica, el sistema din¶amico se dice determin¶³stico. Cuandoest¶a sometido a in°uencias aleatorias se habla de un sistema estoc¶astico. Cada estado puede ser

11

12 Cap¶³tulo 2. Sistemas Din¶amicos y sistemas Complejos

visualizado como un punto. El conjunto ¡ de todos los estados posibles del sistema se denominaespacio de estados o de fases. La evoluci¶on de un sistema se representa por una curva en esteespacio y se denomina trayectoria u ¶orbita del sistema. Los par¶ametros ¹ resumen los aspectosdel sistema que permanecen inalterados, o que, al menos, exhiben una din¶amica tan lenta que noes conveniente considerar su evoluci¶on en pie de igualdad con la de las otras variables de estado.El conjunto de los valores posibles de los par¶ametros se llama espacio de par¶ametros o espacio de

control.Para estudiar la evoluci¶on de un sistema din¶amico conviene primero considerar sus puntos

¯jos, de¯nidos como aquellos estados x¤ 2 X que cumplen:

x¤ = f(x¤; ¹) ¶odx¤

dt= f(x¤; ¹) = 0 (1.3)

seg¶un se trate de mapas discretos en el primer caso o °ujos continuos en el segundo. Un punto ¯joes localmente estable s¶³ para todo ² > 0 existe un ± 2 (0; ²) tal que kxs ¡ x¤k < ± =) kxt ¡ x¤k <² 8 t ¸ s. La estabilidad de estos puntos se analiza linealizando la funci¶on f y estudiando losautovalores del Jacobiano asociado. Cuando la parte real de alguno de esos autovalores es positivael punto ¯jo es inestable; en caso contrario es estable.

2.2 Algunas Propiedades gen¶ericas

1) Linealidad: Un sistema lineal es aquel en el que se cumple el principio de superposici¶on. Estosigni¯ca que dados dos estados posibles xa y xb se cumple que f(xa +®xb) = f(xa) +®f(xb).

2) Autonom¶³a: Un sistema din¶amico es aut¶onomo cuando no depende expl¶³citamente deltiempo. Es posible convertir un sistema no aut¶onomo en uno aut¶onomo agregando nuevasvariables, es decir, expandiendo el espacio de fases, y realizando sustituciones apropiadas.

3) Determinismo: Las trayectorias de un sistema din¶amico determin¶³stico no pueden bifurcarsecon el transcurso del tiempo puesto que debe haber un s¶olo futuro posible para cada estado.

4) Reversibilidad: Se dice que el sistema din¶amico es reversible cuando la evoluci¶on es invari-ante frente al cambio de t por ¡t.

5) Preservaci¶on de la Orientaci¶on: Una variedad no lineal del espacio de fases que representala din¶amica de un sistema es orientable si en ella es posible de¯nir de manera no ambigua suinterior y su exterior. Los sistemas continuos siempre preservan la orientaci¶on, en los mapasdiscretos se preserva la orientaci¶on cuando la matriz Jacobiana posee un determinante que espositivo.

6) Invariancia frente a transformaciones: Una transformaci¶on de coordenadas es un mapeoinvertible y biun¶³voco de los estados. ¶Este es continuo si la transformaci¶on y su inversa soncontinuos y suave si ambos son diferenciables. Las transformaciones continuas preservan laspropiedades topol¶ogicas de las trayectorias mientras que las suaves preservan la geometr¶³a.

2.3 Clasi¯caci¶on de los Sistemas Din¶amicos

2.3.1 Seg¶un la naturaleza de sus variables

Los sistemas din¶amicos pueden ser clasi¯cados:

² por la naturaleza de sus variables seg¶un sean ¶estas discretas o continuas. El tiempo se suelesuponer que evoluciona de manera discreta, como por ejemplo, en el caso de los aut¶omatascelulares. Su evoluci¶on es en cambio continua en las ecuaciones diferenciales ordinarias.

2.3. Clasi¯caci¶on de los Sistemas Din¶amicos 13

² por la naturaleza de sus estados. Los sistemas pueden poseer un n¶umero ¯nito o in¯nito deestados que, a su vez, pueden suponerse discretos o continuos.

² por la topolog¶³a espacial involucrada en la evoluci¶on. ¶Esta puede quedar determinada porel comportamiento en un entorno de cada variable localmente de¯nida o puede en cambioinvolucrar partes del sistema que son distantes entre s¶³ (modelos globales o no locales). Lanoci¶on de vecindad o distancia puede quedar de¯nida tanto entre variables espaciales discretas(redes o \lattice maps") como continuas (ecuaciones diferenciales o mapas funcionales).

La siguiente clasi¯caci¶on se hace de acuerdo a estos tres elementos. La condici¶on de \local"corresponde a variables que poseen relaciones de vecindad [63, 37]. La \no localidad" quese atribuye al tiempo en las ecuaciones diferenciales con retardo se debe a que la evoluci¶onqueda determinada por dos instantes de tiempo separados por un intervalo ¯nito. Paraubicar esta clasi¯caci¶on en un contexto propio de los modelos econ¶omicos se debe considerara las variables \espaciales" como todas las que no son el tiempo. Una variable \espacial"en un modelo multiagente puede por ejemplo rotular a cada agente. Su vecindad no est¶adeterminada por la proximidad f¶³sica sino que podr¶³a, por ejemplo corresponder a los otrosagentes del sistema que consumen lo que ¶el produce aun cuando se encuentren f¶³sicamentemuy distantes el uno del otro 1.

Modelo Espacio Tiempo EstadosEcuaciones Diferenciales Ordinarias continuo,local continuo continuoMapas (Ecuaciones en diferencias) continuo, local discreto continuoEcuaciones Diferenciales con Retardo continuo continuo, no local continuoAut¶omatas celulares¤ discreto, local o no local discreto discretoEcuaciones en Derivadas Parciales (EDP) continuo, local o no local continuo continuoRepresentaci¶on Computacional de una EDP discreto, local o no local discreto discretoMapas funcionales cont., local discreto continuoModelos en una grilla (d-dimensional)¤ discreto, local discreto o continuo continuoVidrios de Spin (redes neuronales)¤ discr., no local discr. o cont. discreto

¤ En la secci¶on 2.5 y el cap¶³tulo 4 se realiza una descripci¶on m¶as detallada de estos sistemas.

2.3.2 Seg¶un las propiedades de conservaci¶on del sistema

Todo sistema din¶amico cuyo volumen del espacio de estados es asint¶oticamente invariante bajo supropia din¶amica es conservativo. La clase corresponde a los sistemas Hamiltonianos integrables.En t¶erminos f¶³sicos un sistema es conservativo cuando se conserva la energ¶³a. En un sistemano conservativo o disipativo las trayectorias no perturbadas se aproximan a un subconjunto delespacio de fases que se denomina atractor. En este proceso se reduce, a veces de manera dr¶astica ladimensionalidad del espacio de fases efectivamente \visitado" por el sistema dando lugar, de estamanera, a una disminuci¶on de los grados de libertad efectivos.

1La noci¶on de espacio en la econom¶³a merece un comentario. El estudio de econom¶³as regionales o urbanas y laorganizaci¶on industrial en general, suponen que la vecindad entre dos operadores del sistema queda de¯nida por elgrado de cercan¶³a espacial entre ellos; sin embargo a nivel de los mercados y, teniendo en cuenta la globalizaci¶on y losefectos de las tecnolog¶³as aplicadas a las comunicaciones, el concepto de vecindad se altera por su propia naturalezay comienza a di¯cultarse el tratamiento de las relaciones de interacci¶on en t¶erminos de \localidad" o \no localidad"en el espacio. En esta instancia no tiene sentido suponer que las relaciones econ¶omicas tienen lugar en un entramadoregular sino que ocurren en entornos cuya \topolog¶³a" es desordenada y posiblemente variable.


2.4 Mapas recursivos en tiempo discreto

2.4.1 Estabilidad, periodicidades y bifurcaciones

Estabilidad

A continuaci¶on consideraremos mapas unidimensionales aut¶onomos 2 cuya forma se reduce a laexpresi¶on:

xt+1 = f(xt; ¹) (4.4)

donde ¹ 2 <1 es el par¶ametro de control y xt 2 <1. Como hemos visto, las soluciones de la ecuaci¶onx¤ = f(x¤; ¹), nos permite conocer los puntos ¯jos x¤. Para analizar la estabilidad de cada punto¯jo podemos realizar una perturbaci¶on de la forma xt = x¤+²t. Sustituy¶endola en 4.4 y efectuandoun desarrollo de Taylor a primer orden alrededor de x¤, se obtiene:

²t+1 = f 0(x¤; ¹)²t (4.5)

donde f 0(x¤; ¹) es un n¶umero que corresponde a la derivada primera del mapa 4.4 evaluada en elx¤. Queda pues una ecuaci¶on iterada cuya soluci¶on es (el valor de la perturbaci¶on en t = 0 es ²o):

²t =³f 0(x¤; ¹)

´t²o (4.6)

Cuando jf 0(x¤; ¹)j < 1 el punto ¯jo es estable pues en esta situaci¶on:

limt!1

³f 0(x¤; ¹)

´t= 0 (4.7)

en caso contrario el punto ¯jo es inestable.

Generalmente los mapas unidimensionales se suelen normalizar para que los valores de xpermanezcan en cierto intervalo I ´ (a; b). Una funci¶on normalizada f que mapea todos los valoresdel intervalo I sobre s¶³ mismo se denomina endomor¯smo. Un endomor¯smo que posee una inversaderivable es un difeomor¯smo. Los mapas ca¶oticos unidimensionales que son endomor¯smos suelenno ser inversibles. El pasado de estos sistemas, al contrario de los difeomor¯smos, no puede serreconstruido de una manera univoca.

¶Orbitas peri¶odicas

Un punto ~x pertenece a una ¶orbita peri¶odica (de per¶³odo k > 0) si en el sistema din¶amico xt+1 =f(xt; ¹) es un punto ¯jo de la k-¶esima iteraci¶on de f (esto es, si f (k)(~x) = ~x, siendo k el menorn¶umero natural para el cual esto es cierto y f (k) es la composici¶on de f sobre si misma k veces).Dada una condici¶on inicial arbitraria y luego del transitorio inicial, las ¶orbitas peri¶odicas constituyenel conjunto de puntos de las iteraciones de f (ver ¯guras 7.3 y 7.4). Existen tambi¶en solucionescuasi-peri¶odicas que se constituyen como sumas de funciones peri¶odicas, cuyas frecuencias base sonlinealmente independientes. Se puede demostrar que si f es un mapa mon¶otono no decreciente, notiene ¶orbitas peri¶odicas.

El an¶alisis de los puntos ¯jos se puede generalizar para el caso de ciclo de orden k. Seanfx1; ¢ ¢ ¢ ; xkg el conjunto de puntos visitados durante el ciclo. Como, x2 = f(x1; ¹); ¢ ¢ ¢ ; xk =f(xk¡1; ¹) se satisface que: xi = f (k)(xi); 81 · i · k con f (k) la composici¶on de f sobre si misma kveces. Usando la regla de la cadena podemos representar la condici¶on de estabilidad de este sistemaperi¶odico como:

jf 0(x1; ¹) ¢ ¢ ¢ f 0(xk; ¹)j < 1 (4.8)

2Para el estudio de mapas d-dimensionales puede consultarse [19].

2.4. Mapas recursivos en tiempo discreto 15

Bifurcaciones

\Me detuve, como es natural, en la frase: Dejo a los varios porvenires(no a todos) mi jard¶³n de senderos que se bifurcan. Casi en el

acto comprend¶³; el jard¶³n de los senderos que se bifurcan erauna novela ca¶otica; la frase varios porvenires (no todos) me sugiri¶o

la imagen de la bifurcaci¶on en el tiempo, no en el espacio ... he conjeturadoel plan de ese caos ... Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan,

se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades".Jorge Luis Borges

El comportamiento de un sistema se caracteriza por los valores del vector de par¶ametros decontrol ¹ 2 M µ <m. Sus posibles evoluciones pueden pues agruparse en familias rotuladas porlos correspondientes vectores de par¶ametros. Para ciertos valores cr¶³ticos, peque~nos cambios enel vector de par¶ametros pueden dar lugar a grandes cambios en la din¶amica. Cuando esto ocurreestamos en presencia de una bifurcaci¶on (v¶ease la ¯gura 7.5).

Seg¶un los autovalores del jacobiano las bifurcaciones pueden clasi¯carse en puntos de en-

silladura, hiperb¶olicos (o \saddle-node"), en las que se pierde la estabilidad pues se amalgamandos punto ¯jos, uno estable y otro inestable; desdoblamientos de per¶³odo, que dan lugar a ¶orbitasperi¶odicas con per¶³odos duplicados; bifurcaciones de Hopf, que tambi¶en dan lugar a atractoresperi¶odicos y cerrados denominados ciclos l¶³mite.

Existen tambi¶en bifurcaciones por plegamiento (\fold bifurcations") o por ahorcamiento(\pitchfork bifurcations"), bifurcaciones homocl¶³nicas, etc., para m¶as detalles se puede consultar[87, 19, 63]. Basta aqu¶³ decir que existen bifurcaciones que conducen hacia comportamientosca¶oticos del sistema. Las rutas que conducen a din¶amicas ca¶oticas son variadas y se analizandetalladamente en la literatura citada.

2.4.2 Sistemas Ca¶oticos

El caos determin¶³stico aparece en algunos sistemas din¶amicos y son un tipo particular de no-linealidad. En general, un sistema din¶amico determin¶³stico es ca¶otico si exhibe sensibilidad a las

condiciones iniciales, en el sentido que peque~nas diferencias en las mismas se ampli¯can en eltiempo. Existen distintos tipos de rutas al caos que di¯eren en la forma en que se comportauna se~nal previamente a que ¶esta se torna totalmente ca¶otica, por ejemplo la ruta al caos pordesdoblamientos de per¶³odo, o la ruta por intermitencia. La no linealidad de las ecuaciones delsistema que se estudia es una condici¶on necesaria, pero no su¯ciente para obtener evolucionesca¶oticas.

Las propiedades m¶as caracter¶³sticas de los sistemas ca¶oticos son:

² Sensibilidad a las condiciones iniciales: Exponentes de Lyapunov:

Una manera de detectar caos en una variable es mediante el c¶alculo de los exponentes de Lya-punov. Para ejempli¯car consideremos un mapa unidimensional, xt+1 = f(xt; ¹) que exhibeun movimiento ca¶otico. El exponente de Lyapunov ¸(xo) mide la separaci¶on exponencial dedos condiciones iniciales cercanas al medir la evoluci¶on del sistema:

²z }| { =) ²en¸(xo)

z }| {

xo xo + ² n(iteraciones) f (n)(xo) f (n)(xo + ²)

Entonces, tenemos que ²en¸(xo) = jf (n)(xo + ²) ¡ f (n)(xo)j, que en el l¶³mite ² ! 0 y n ! 1nos conduce a la de¯nici¶on formal del exponente de Lyapunov:


¸(xo) = limn!1 lim

²!0

1

nln jf

(n)(xo + ²)¡ f (n)(xo)

²j (4.9)

= limn!1

1

nln jdf

(n)(xo)

dxoj (4.10)

usando la regla de la cadena veri¯camos que:

d

dxf (2)(x)jxo =

d

dxf(f(x))jxo = f 0(f(xo))f

0(xo) = f(x1)f 0(xo) (4.11)

donde x1 = f(xo); entonces podemos escribir al exponente de Lyapunov como:

¸(xo) = limn!1

1

nln j d

dxf (n)(xo)j = lim

n!11

nln j

n¡1Y

i=0

f 0(xi)j (4.12)

y por lo tanto:

¸(xo) = limn!1

1

n

n¡1X

i=0

ln jf 0(xi)j (4.13)

Esto signi¯ca que e¸(xo) es el factor promedio con el cual la distancia de dos puntos cercanoscrece luego de una iteraci¶on. Usando la regla de la cadena se puede demostrar que el exponentede Lyapunov mide tambi¶en la p¶erdida de informaci¶on (de¯nida debidamente) en cada iteraci¶on[177]. Para sistemas de m¶as dimensiones se pueden calcular los exponentes de Lyapunov seg¶unla direcci¶on de cada eje coordenado, utilizando la norma eucl¶³dea. Cuando alg¶un exponentees positivo se est¶a en presencia de un sistema ca¶otico pues exhibe gran sensibilidad a las

condiciones iniciales, puesto que en esa direcci¶on las ¶orbitas se separan a una tasa exponencial.M¶as adelante se calculan, a modo de ejemplo, los exponentes de Lyapunov de algunos mapasconocidos.

² Densidad de puntos peri¶odicos:

Para ciertos valores del par¶ametro de control los puntos peri¶odicos forman un conjunto densode medida no nula sobre el dominio del mapa.

² Transitividad topol¶ogica:

Si para cierto intervalo de valores del par¶ametro de control el mapa discreto es tal que parados subintervalos cualesquiera ¤ y © contenidos en el dominio del mapa existe una ¶orbitaque parte de x 2 ¤ y un n¶umero entero n tal que fn(x) 2 © se dice que la funci¶on tiene lapropiedad de transitividad topol¶ogica. Esta propiedad signi¯ca que el conjunto que determinael dominio del mapa funcional no es descomponible sobre la din¶amica del mapa en el sentidode que no se puede descomponer el dominio en dos (o m¶as) subconjuntos disjuntos que seaninvariantes frente a la aplicaci¶on del mapa funcional.

2.4.3 Estudio probabil¶³stico: la ergodicidad

Ya que no es posible conocer con precisi¶on el estado inicial de un sistema din¶amico, se sueleestudiar su evoluci¶on en t¶erminos probabil¶³sticos. La descripci¶on probabil¶³stica de un sistemadin¶amico discreto se basa en estudiar la probabilidad ½t(x) de encontrar al sistema en un entornodx alrededor del estado x del espacio de fases, al cabo de t iteraciones del mapa. Supongamospor el momento que una dada condici¶on inicial xo es conocida con una precisi¶on in¯nita. La

2.4. Mapas recursivos en tiempo discreto 17

densidad ½t(x) para t = 0 es ½o(x) = ±(x ¡ xo), (± es la \funci¶on delta de Dirac). Como luegode la primera iteraci¶on el sistema es conducido al valor f(xo), la densidad inicial evoluciona hacia½1(x) = ±(x¡ f(xo)).

Supongamos ahora que la densidad inicial ½o(x) es algo m¶as dispersa, o sea que consideramosun cierto entorno compacto ° alrededor del punto xo que conforma un ensamble de estados iniciales.La densidad de probabilidades luego de la primera iteraci¶on surge de la superposici¶on de evolucionesque discutimos en el p¶arrafo anterior para todos estados iniciales pertenecientes a ° 3. Se puedeentonces representar a la evoluci¶on de la densidad de probabilidades como:

½t+1(x) =

Z

°±(x¡ f(xo))½t(xo)dxo (4.14)

Esta es la ecuaci¶on de Frobenius - Perron, que puede tomarse como base para clasi¯cardistintos sistemas din¶amicos sobre la base de las propiedades de la densidad de probabilidad esta-cionaria. (La densidad estacionaria es la que permanece invariante durante la evoluci¶on del sistema).Sea ½e(x) esa densidad invariante; por de¯nici¶on es aquella que mantiene estacionaria la soluci¶onde la ecuaci¶on 4.14, o sea que debe satisfacer:

½e(x) =

Z

°±(x¡ f(xo))½e(xo)dxo (4.15)

La unicidad de la densidad de probabilidades invariante s¶olo puede estudiarse considerandocada caso particular, por lo que debe especi¯carse concretamente de la forma funcional del mapa:f(x). De acuerdo con la teor¶³a de la medida, la densidad de probabilidad invariante induce sobreun subconjunto C 2 [0; 1] lo que se denomina una medida invariante de¯nida por:

ºe(C) =

Z

C½e(x)dx (4.16)

Esta medida es invariante en el sentido que ºe(f¡1(C)) = ºe(C), donde f¡1(C) representa al

conjunto de todos los puntos x cuya im¶agen est¶a en C luego de una iteraci¶on.

En general, bajo los efectos de la din¶amica del sistema, un conjunto C suele transformarseen otro diferente; cuando esto no ocurre y el conjunto se transforma en s¶³ mismo se dice que esinvariante. Esta propiedad se expresa igualando: f¡1(C) = C. El sistema din¶amico de¯nido porla ley de iteraci¶on f(x) es erg¶odico si todo conjunto invariante del mismo es el conjunto vacio(C = ;) o el intervalo entero (C = [0; 1]). En otras palabras, el espacio de fases ¡ de un sistemaerg¶odico no puede decomponerse en otros subconjuntos invariantes que no sean el mismo espaciode fases a menos de alg¶un conjunto de medida (de Lebesgue) nula. Esto signi¯ca que, a menosde ciertas condiciones iniciales muy particulares, las trayectorias del sistema terminan pasandoarbitrariamente cerca de cualquier punto del espacio de las fases si se espera su¯ciente tiempo.

Es posible demostrar que si un sistema din¶amico de¯nido por f(x) es erg¶odico, hay una soladensidad de probabilidades invariante ½e(x) integrable, en el sentido de que

RC ½e(x)dx es ¯nito.

M¶as aun, si hay una ¶unica densidad de probabilidades estacionaria ½e(x) con ½e(x) > 0 8x entoncesel sistema f(x) es erg¶odico.

El concepto de ergodicidad est¶a intimamente relacionado con el unicidad y derivabilidad dela densidad de probabilidades estacionaria, ya que la misma supone probables todos los puntos delespacio de fases con excepci¶on de un subconjunto de medida nula. Esto excluye la posibilidad deque existan densidades invariantes singulares (como las funciones delta) que aparecen cuando elsistema posee un ¶unico punto ¯jo, atractor de la din¶amica.

Para conocer la densidad de probabilidades invariante, es necesario contabilizar el n¶umerode veces que diferentes regiones del espacio de fase son visitadas por una trayectoria representativa.Este proceso de muestreo estad¶³stico debe realizarse durante un intervalo de tiempo (T ) muy

3Suele considerarse que el entorno es todo el espacio de fases ¡ del sistema.


prolongado (T !1). Esto es similar a computar num¶ericamente un histograma de las trayectorias.A partir de all¶³ podemos expresar la densidad de probabilidades, calculada num¶ericamente, como:

¹½(x) = limT!1

1

T

T¡1X

i=0

±(x¡ f (i)(xo)) (4.17)

En forma similar, y a partir de una observaci¶on experimental (o una simulaci¶on num¶erica),el valor medio de cierto observable A(x) de un sistema din¶amico se puede calcular como el promediotemporal sobre muchas medidas instant¶aneas del observable, durante un lapso prolongado. En estesentido de¯nimos la media del observable como:

< A > (xo) = limT!1

1

T

T¡1X

i=0

A(f (i)(xo)) (4.18)

La pregunta que cabe hacerse en este momento es c¶omo se relacionan ¹½(x) y < A > (x) conla densidad estacionaria ½e(x). La respuesta la brinda el Teorema Erg¶odico de Birkho®:

Todo sistema din¶amico erg¶odico que satisface ºe(f¡1(C)) = ºe(C) para cualquier subconjunto

perteneciente al intervalo [0; 1], veri¯ca que 8x 2 ¡ se cumple:

< A > (x) =

Z

¡A(x)½e(x)dx y ¹½(x) = ½e(x) (4.19)

Esto signi¯ca que calcular un promedio temporal es equivalente a calcularlo sobre un ensamble decondiciones iniciales. Asimismo, el teorema a¯rma que existe una equivalencia entre la densidadde probabilidad medida y aquella (¶unica) que es la soluci¶on de la ecuaci¶on de Frobenius - Perron(4.14). Este resultado garantiza que el promedio temporal realizado sobre una trayectoria dada esindependiente de las condiciones iniciales xo.

El concepto de ergodicidad ha sido de gran importancia y utilidad en f¶³sica moderna; nospermite formular supuestos a partir de los cuales es v¶alido o no calcular valores medios. La macroe-conom¶³a moderna ha basado sus modelos en la utilizaci¶on de agentes representativos optimizadores.Los agentes representativos, por construcci¶on, son \agentes promedio" cuyas acciones representanuna media sobre las decisiones de un conglomerado de agentes. Sin embargo no quedan claro loscriterios a partir de los cuales es v¶alido calcular estos promedios. La f¶³sica nos ha mostrado quebajo ciertas circunstancias puede tener lugar el quiebre de la ergodicidad y por lo tanto la operaci¶onde promediar debe estudiarse delicadamente.

Funci¶on de Correlaci¶on

La funci¶on de correlaci¶on C(¿) de un mapa unidimensional xt+1 = f(xt; ¹) se de¯ne como:

C(¿) = limn!1

1

n

nX

i=0

x̂i+¿ x̂i (4.20)

donde:

x̂i = f (i)(xo)¡ ¹x y x̂ = limn!1

1

n

nX

i=0

f (i)(xo) (4.21)

Con esta de¯nici¶on es posible concluir que la funci¶on de correlaci¶on brinda otra medida dela irregularidad de la secuencia: xo; f(xo); f

(2)(xo); ¢ ¢ ¢ ; f (n)(xo); ¢ ¢ ¢, ya que indica cu¶an recurrentesson las desviaciones del valor promedio x̂i = xi ¡ ¹x cuando se comparan iteraciones separadas por¿ pasos de tiempo (estos es, x̂i+¿ y x̂i).

Si la medida invariante ½e(x) del mapa f(x) es conocida y se usa la propiedad conmutativa:

xi+¿ = f (i+¿)(xo) = f (i)f (¿)(xo) = f (¿)f (i)(xo) (4.22)

2.5. Los sistemas complejos adaptativos 19

es posible calcular C(¿) como:

C(¿) =

Z

¡xf (¿)(x)½e(x)dx¡

h Z

¡x½e(x)dx

i2(4.23)

2.5 Los sistemas complejos adaptativos

\El diversidad de las partes es condici¶onnecesaria para la unidad en el todo"

Plat¶on

Durante los ¶ultimos a~nos se han venido desarrollando considerables esfuerzos por abor-dar temas en f¶³sica, biolog¶³a y ciencias cognitivas que hasta el momento resultaban imposibles deanalizar con las herramientas de trabajo tradicionales. Muchos de estos programas de investigaci¶onpueden ser agrupados bajo la clasi¯caci¶on com¶un del estudio de los Sistemas Complejos. Reciente-mente se ha comenzado a contemplar la hip¶otesis de que la complejidad de por s¶³ posee leyes queson propias, y las mismas pueden en algunos casos ser simples, de una razonable universalidad yentendibles sin grandes di¯cultades si se emplea la metodolog¶³a apropiada. La raz¶on fundamentalque ha posibilitado la realizaci¶on de estos estudios es la creciente capacidad de procesamiento dela informaci¶on de los sistemas de c¶omputo, que ha incrementado la velocidad de procesamiento yposibilitado el manejo de grandes vol¶umenes de informaci¶on.

Un Sistema Complejo puede ser de¯nido como compuesto por una gran cantidad de ele-mentos interactuantes, capaces de intercambiar informaci¶on entre ellos y el entorno, y de adaptarsus estructuras internas como consecuencia de tales interacciones. Una caracter¶³stica propia desistemas de este tipo es la existencia de interacciones no lineales entre sus componentes, que sonlas responsables de producir comportamientos emergentes en los que el todo es m¶as que la simplesuma de las partes. Vistos en forma agregada, estos comportamientos no pueden ser atribuibles ala acci¶on aislada de cada elemento por separado sino que son el resultado de su acci¶on colectiva.

A partir del punto de vista que brindan los sistemas complejos, nuevas aproximacionesest¶an siendo estudiadas para construir modelos de trabajo. Hasta hace poco tiempo hab¶³a s¶olo dosesquemas model¶³sticos. El primero, puramente lingu¶³stico, que posee en principio una versatilidadilimitada pero carece de precisi¶on cuantitativa sobre las hip¶otesis b¶asicas y las conclusiones quese pueden derivar. La segunda aproximaci¶on es la puramente matem¶atica. Tiene la ventaja debrindar mucha precisi¶on en sus conclusiones y se sustenta en rigurosos teoremas matem¶aticos. Sinembargo muchas veces los modelos econ¶omicos se transforman en construcciones matem¶aticas ad

hoc con supuestos sin justi¯caci¶on emp¶³rica incorporados con el s¶olo prop¶osito de suministrar almodelo una forma matem¶atica consistente.

Muchos sistemas complejos no resisten el tratamiento anal¶³tico (no son matematizables) yla ¶unica forma de explorarlos es atrav¶es del tratamiento computacional mediante las simulacionesnum¶ericas. T¶ecnicamente podemos decir que en general los sistemas complejos son sistemas com-putacionalmente irreducibles; ¶esto signi¯ca que la ¶unica manera de conocer su evoluci¶on es a trav¶esde la observaci¶on directa o simul¶andolo utilizando para ello otro sistema de similar complejidad.Tambi¶en se puede decir que los sistemas complejos son sistemas aparentemente desordenados, enlos que existe un orden encubierto. Desde el punto de vista computacional esta forma de aproxi-maci¶on suele denominarse como enfoque constructivo (o \bottom up") ya que se parte de las propiasinteracciones entre los elementos constitutivos (en el nivel microsc¶opico), para luego entender elcomportamiento a nivel macrosc¶opico.

Por lo tanto, la tercera alternativa es la construcci¶on de modelos computacionales. Desdeeste marco conceptual es posible simular constructivamente un sistema complejo, partiendo de susconstituyentes elementales. Se pretende que los comportamientos globales emergentes surjan de lamisma operaci¶on de un n¶umero (grande) de agentes cuyas acciones individuales as¶³ como las inter-acciones entre ellos son su¯cientemente expl¶³citas como para ser implementadas algor¶³tmicamente.La interdependencia entre elementos constitutivos est¶a intimamente unido al concepto mismo de


la complejidad que se pone de mani¯esto en tales sistemas. Esta aproximaci¶on permite dise~narmodelos con menores restricciones que los puramente matem¶aticos, a pesar de requerir altos nive-les de simpli¯caci¶on respecto de situaciones reales. Estos modelos permiten incorporar procesosde aprendizaje como las redes neuronales o los algoritmos evolutivos y as¶³ simular lo que podr¶³adenominarse como Agentes Arti¯ciales Adaptativos [104, 12, 13, 62, 8].

Los primeros antecedentes en el estudio de los comportamientos emergentes de los sistemascomplejos fueron los estudios de las transiciones de fase y los fen¶omenos cr¶³ticos, que correspondena las transformaciones que se dan en determinadas sustancias frente a cambios de la temperatura.El estudio de compuestos con propiedades magn¶eticas debe ser considerado como un ejemplo par-ticularmente importante e ilustrativo. Estas sustancias presentan un orden interno, responsablede las propiedades magn¶eticas observables, que se ponen de mani¯esto a nivel macrosc¶opico. Esteordenamiento se altera cuando la temperatura, considerada como par¶ametro de control, crece porencima de cierto valor cr¶³tico o cuando la sustancia est¶a en presencia de un campo magn¶eticoexterno mayor que el umbral que los componentes pueden soportar sin modi¯car sus estados in-ternos. Este es un ejemplo de \comportamiento emergente", que ha sido descripto por modelosque el de Ising y los llamados vidrios de spin (o \spin glasses" 4). Tales modelos han probado ser¶utiles en el estudio de otro tipo de sistemas, como las redes neuronales y sistemas adaptativos, enla representaci¶on de la evoluci¶on bi¶otica [185] y prebi¶otica, y en algunos aspectos de la teor¶³a deoptimizaci¶on combinatoria y en an¶alisis de din¶amica de poblaciones y de comportamiento social[62, ?].

Todos estos sistemas poseen una cantidad de caracter¶³sticas comunes. Se constituyen apartir de una gran cantidad de elementos y, por ende existe un desorden estructural intr¶³nseco (o\quenched disorder"); las caracter¶³sticas aleatorias de las interacciones pueden dar lugar a lo quese denomina como frustraci¶on, que genera con¯guraciones estables del sistema en las que no esposible optimizar todas las interacciones simult¶aneamente. La aparici¶on de frustraci¶on da lugara la posibilidad de que existan m¶ultiples estados metaestables. Por lo tanto, a nivel macrosc¶opicolos sistemas complejos puede exhibir tanto diversidad como estabilidad: por un lado, puede haberm¶ultiples estados fundamentales (equilibrios m¶ultiples), otras veces el orden macrosc¶opico resultaser robusto frente a cambios en la estructura interna del sistema. La din¶amica se ve afectada porla naturaleza de las interacciones: la relajaci¶on a los estados estacionarios puede estar gobernada,por muchas constantes de tiempo, o en el caso de los sistemas abiertos, la evoluci¶on se desenvuelveen una regi¶on de posibles con¯guraciones que no est¶an caracterizadas por escalas espaciales ytemporales precisas. El ¶exito que ha tenido en la f¶³sica el tratamiento de los sistemas complejos apartir de este enfoque motiva y tienta a evocar estas l¶³neas de pensamiento para estudiar procesossociales y econ¶omicos [160], tal es el sentido de esta tesis.

El comportamiento global de un sistema complejo depende de las interacciones entre suselementos constitutivos. Las interacciones entre los agentes del sistema responden a un conjuntode reglas bien determinadas. Cuando un agente del sistema recibe cierto est¶³mulo, determina unaacci¶on a seguir a partir de un esquema o modelo interno que la determina. El proceso de decisionesy acciones de los agentes puede describirse mediante una complicada e intrincada colecci¶on de reglascada una de las cuales se basa en la secuencia est¶³mulo ¡! respuesta, y pueden ser representadospor un conjunto de clasi¯cadores del tipo: Condici¶on ¡! Acci¶on .

2.5.1 Atributos b¶asicos de los sistemas complejos adaptativos

Los sistemas complejos adaptativos est¶an conformados por un conjunto de agentes en interacci¶onmutua y se caracterizan por poseer los siguientes atributos y/o propiedades b¶asicas [106]:

² Agregaci¶on: Una de las principales caracter¶³sticas del comportamiento agregado de las ac-ciones de los agentes de un sistema complejo es que pueden tener lugar los efectos de largo

4Una descripci¶on de estos sistemas se realiza en la secci¶on 4.1 del cap¶³tulo 4.

2.5. Los sistemas complejos adaptativos 21

alcance que hemos denominado como comportamientos emergentes. Esto signi¯ca que estossistemas no se prestan para la hip¶otesis del \agente representativo"5. Las interacciones, tantolocales como globales, son fundamentales en esta ruptura de simetr¶³a del sistema. La comple-jidad emerge como una propiedad de \escala". Podemos ejempli¯car esta caracter¶³stica concualquier proceso que involucre una din¶amica de poblaciones; pensemos en un hormiguero:resulta incomprensible si se pretende analizar su comportamiento agregado desde el com-portamiento de una sola hormiga. De igual manera es imposible entender totalmente ladin¶amica econ¶omica y social sin tener en cuenta la enorme matriz de interacciones que existeentre distintos agentes, sectores y actividades.

² Rotulado: El rotulado es un mecanismo que permite trazar las fronteras que delimitan alos agentes. Es posible establecer distintos grados de delimitaci¶on. Un conjunto de agentesactuando en forma coordinada puede funcionar como un meta-agente que interact¶ua con otrosmeta-agentes en un nivel jer¶arquico superior. Para que la acci¶on de estos meta-agentes seaconsistente es necesario que sus componentes puedan reconocerse. La propiedad de rotuladopermite que esto ocurra. El rotulado es un mecanismo que subyace a toda organizaci¶onjer¶arquica y permite de¯nir una red de interacciones. La existencia de redes en las que°uye materia, energ¶³a o informaci¶on merced de las interacciones entre sus nodos (siempreque estos est¶en adecuadamente rotulados). No resulta dif¶³cil encontrar ejemplos en los queestos conceptos sean aplicables; los sectores econ¶omicos o las actividades, son meta-agentescompuestos por ¯rmas y trabajadores, que a su vez interact¶uan entre s¶³. Una ¯rma es un meta-

agente compuesto por sus trabajadores. Estos a su vez suelen estar internamente organizadosde manera tal que es posible de¯nir subsistemas que tambi¶en interact¶uan entre s¶³. Otroejemplo relevante en las ciencias sociales son las instituciones entendidas como el conjunto denormas y reglas de operaci¶on que organizan las acciones de un subconjunto de agentes queact¶uan en el sistema como un \meta-agente" con propia entidad.

² No linealidad: No es posible aplicar el principio de superposici¶on o agregaci¶on de categor¶³asde manera directa y sin precauciones. Para entender esta propiedad analicemos el siguienteejemplo.

² Flujo y conectividad: Un sistema complejo adaptativo puede considerarse como una redcon \nodos" conectados por \v¶³nculos" a trav¶es de los cuales °uye materia, energ¶³a, infor-maci¶on, dinero, bienes. Cada nodo procesa estos elementos de acuerdo a \modelos internoslocales" del comportamiento del sistema. Los \r¶otulos" permiten canalizar los °ujos entrenodos y conectores en forma adecuada. Los °ujos permiten que pueda tener lugar el recicladode los recursos y la aparici¶on de efectos multiplicadores. El sistema puede poseer lazos deretroalimentaci¶on tanto positiva como negativa. En el caso de los sistemas econ¶omicos esteatributo da lugar a externalidades que condicionan los resultados agregados del sistema.

Las condiciones necesarias para que tenga lugar el °ujo de materia, energ¶³a, o informaci¶ona lo largo un sistema son (i) la accesibilidad, (ii) la posibilidad de p¶erdidas o ganancias pormedio del procesamiento que realiza de cada componente del sistema y (iii) las existencia desinerg¶³as entre ellos.

² Diversidad: Cada tipo de agente de un sistema complejo adaptativo ocupa un nicho quedetermina y est¶a determinado por sus interacciones con el entorno. La diversidad de estossistemas no es acausal ni aleatoria, y queda de¯nida por un esquema din¶amico que posee unalto grado de estabilidad y coherencia. La diversidad de los comportamientos de un sistemacomplejo adaptativo se pone de mani¯esto a trav¶es de patrones de evoluci¶on din¶amicos. El

5Los modelos de \agente representativo" ignoran los problemas de agregaci¶on (v¶ease Mantel [134, 135] y Kirman[116]) y, dejan de lado, por propia construcci¶on, el an¶alisis de los mecanismos que reconcilian los planes individualesde los distintos agentes que componen el sistema [?].


origen de la diversidad est¶a en la manera de ensamblar entre s¶³ los elementos constitutivossimples (e.g. letras ! palabras ! frases ! p¶arrafos ! ¢ ¢ ¢) . Es posible que en un sistemacomplejo co-existan m¶ultiples estados estacionarios y que, a lo largo de la evoluci¶on, el sistemamigre de uno a otro.

² Equilibrio Din¶amico: Los estados estacionarios tienen un caracter din¶amico debido a ladiversidad del sistema a nivel microsc¶opico. El sistema mantiene su identidad mientras ex-perimenta cambios y \mutaciones" internas. En los sistemas econ¶omicos permanentemente secrean y destruyen actividades no obstante, se mantiene la integridad del sistema como un todocoherente. Esta una una caracter¶³stica fundamental de todo proceso de auto-organizaci¶on.

² Modelos Internos: En ciertos contextos, los agentes de un sistema complejo adaptativodeben ser capaces de anticiparse a los acontecimientos del entorno. Para ello formulan modelosinternos del comportamiento del mismo. Los modelos act¶uan como predictores de sucesos quetienen lugar en el medio. Los modelos internos pueden ser t¶acitos cuando determinan unaacci¶on sobre la base de una predicci¶on impl¶³cita (por ejemplo: el sistema inmune) o modelosabiertos, que implican la exploraci¶on de secuencias y escenarios futuros posibles (por ejemplo:los modelos econ¶omicos forward-looking). En general, los modelos internos se construyen apartir de elementos constructivos simples. Es posible representar a los modelos internos apartir de una colecci¶on encadenada de clasi¯cadores del tipo: Condici¶on ¡! Acci¶on.

² Elementos constructivos simples: La complejidad resulta de la composici¶on de una grandiversidad de elementos simples. Como no es posible almacenar listas excesivamente grandesde alternativas situaciones complejas se descomponen a trav¶es del procesamiento de compo-nentes simples e identi¯cables. La complejidad del sistema surge en primera instancia como elresultado de las interacciones entre unidades simples y no a partir de la complejidad inherentede las unidades individuales per se.

² Procesamiento Paralelo: El procesamiento de la informaci¶on se realiza en forma inde-pendiente por parte de cada uno de los componentes del sistema. Cada uno de ellos puededisponer de cierta cantidad informaci¶on de car¶acter global a la vez que al interactuar con suentorno recibe informaci¶on \local" de la evoluci¶on del sistema. En los sistemas econ¶omicos,por citar un caso, las ¯rmas deben operar tanto con informaci¶on global (por ejemplo debenanalizar el riesgo cambiario a la hora de importar o exportar) y a la vez deben conocer lascondiciones en que opera la competencia que muchas veces se localiza en las cercan¶³as de lasmismas. El nivel de acceso a la informaci¶on debe depender de alg¶un par¶ametro que dependede la posici¶on que ocupa el elemento en el sistema.

² No hay un Controlador Global: Las interacciones locales dan lugar a estructuras tem-porales o espaciales de largo alcance 6. Debido a la complejidad intr¶³nseca de estos sistemasno es posible que haya un mecanismo centralizado de procesamiento de la informaci¶on. Dehecho, el procesamiento que cada elemento realiza en paralelo es una caracter¶³stica que dalugar a una mayor robustez del sistema frente a fallas. Desde el punto de vista evolutivo unsistema descentralizado posee una mayor aptitud en t¶erminos de capacidad de procesamientoy velocidad, que uno que no lo es y, por lo tanto es mayor su e¯ciencia.

² Organizaci¶on Jer¶arquica: En el sistema existen estructuras que se mani¯estan en ciertaescala y pueden dar lugar a nuevas estructuras en escalas de magnitud diferentes. Estapropiedad puede permitir que en el sistema se ponga de mani¯esto la multifuncionalidadde las operaciones que realizan sus componentes. En los sistemas econ¶omicos en los que se

6Las nociones de vecindad y localidad no est¶an claramente de¯nidas, o al menos resultan dif¶³ciles de mensurar, enel contexto de la econom¶³a. Las tecnolog¶³as aplicadas a la inform¶atica y las comunicaciones y la globalizaci¶on de laeconom¶³a han generado un rico debate en torno a esta cuesti¶on.

2.6. Temas de inter¶es 23

mani¯estan muchos niveles de organizaci¶on e interacci¶on. Las unidades de organizaci¶on deun nivel dado son los \ladrillos" o \bloques constructivos" de unidades de organizaci¶on enniveles superiores. La organizaci¶on global del sistema act¶ua a trav¶es de la interacci¶on entreniveles.

² Adaptaci¶on continua: Los equilibrios no son est¶aticos. El aprendizaje a partir de la expe-riencia da lugar a un cambio sustancial del entorno a medida que transcurre el tiempo. Unsistema complejo, a pesar de comportarse en forma robusta, est¶a sometido a un proceso decontinua adaptaci¶on. Por medio de este proceso los subsistemas van progresivamente encon-trando \nichos" en los cuales desarrollar sus acciones. Ya que los niveles de organizaci¶on sonm¶ultiples, y nuevos \nichos" son creados se puede decir que un sistema complejo adaptativoopera lejos de un estado ¶optimo (o atractor global puntual). La adaptaci¶on de los elementosconstitutivos es la respuesta e¯ciente a los cambios en las condiciones del medio. El desarrollode una capacidad de aprendizaje creciente es la respuesta e¯caz a ese medio cambiante.

Si bien no existe una clasi¯caci¶on precisa de los sistemas complejos, una forma de cat-egorizarlos podr¶³a partir de la naturaleza de las interacciones entre los elementos constitutivos.Si suponemos que Qij es la interacci¶on entre dos componentes i y j de un sistema complejodesordenado, es posible discriminar entre los casos en que las interacciones dependen s¶olo delestado presente, es decir: Qij = Qij(~St), este caso corresponde a la mayor¶³a de los sistemasf¶³sicos. Dentro de otra categor¶³a se podr¶³a considerar a aquellos sistemas en los que la inter-acci¶on depende tambi¶en del pasado, esto es: Qij = Qij(~St¡¿ ; ¢ ¢ ¢ ; ~St¡1; ~St), como ocurre conla mayor¶³a de los sistemas biol¶ogicos: los caracteres de una especie quedan de¯nidos a partirde su herencia; ¯nalmente es posible describir sistemas (m¶as) complejos en los cuales Qij =

Qij(~St¡¿ ; ¢ ¢ ¢ ; ~St¡1; ~St; Et[~St+1]; ¢ ¢ ¢ ; Et[~St+¿ 0 ]) donde los elementos Et[¢] corresponde a la expec-tativa formulada en tiempo t de estados a ocurrir en per¶³odos futuros; esto signi¯ca que las intera-cciones dependen tambi¶en de los pron¶osticos sobre los estados futuros del sistema. Evidentementeeste es el caso de mayor complejidad y por lo general corresponden con los sistemas econ¶omicos y/osociales donde la capacidad de racionalidad de los actores permite que las interacciones dependande la expectativa de realizaciones futuras de los estados agregados o locales del sistema. Comple-tando esta discusi¶on, en [128] se realiza una exhaustiva clasi¯caci¶on y representaci¶on constructivade los sistemas econ¶omicos a partir de sus elementos constitutivos.

2.6 Temas de inter¶es

El estudio de econom¶³as en evoluci¶on ha sido y es tema de estudio de muchos programas de in-vestigaci¶on. Entre los investigadores pioneros que dieron cuenta de las complejidades que tienenlugar en los sistemas econ¶omicos se cuentan Joseph Schumpeter y Armen Alchian [3] quienes estu-diaron la evoluci¶on y la incertidumbre en sistemas economicos. Los trabajos de W. Brian Arthursobre los procesos de retro-alimenteci¶on positiva en los procesos econ¶omicos son particularmenteimportantes [10, 11, 12, 13]. Investigadores como R. Day [57]) y Goodwin [80] han estudiadoeconom¶³as din¶amicas caracterizadas por a aparici¶on de transiciones complejas. Los trabajos deJohn Foster [71] brindan una aproximaci¶on evolutiva a la macroeconom¶³a, Herbert Simon [179]estudi¶o los or¶³genes del comportamiento de los agentes econ¶omicos, Jack Hirshleifer [102] dio unaaproximaci¶on evolutiva a muchos fen¶omenos econ¶omicos e institucionales, Richard Nelson y SidneyWinter [151] estudiaron los cambios econ¶omicos tambi¶en desde una perspectiva evolutiva. DanielFriedman [73] muestra la importancia de la teor¶³a evolutiva de juegos en el comportamiento delos agentes econ¶omicos. En la Argentina, S. London y F. Tohme [128] han puesto de mani¯esto elcar¶acter evolutivo de la organizaci¶on institucional en los sistemas econ¶omicos utilizando un enfoqueconstructivista.

El problema central de las investigaciones que se realizan en la econom¶³a desde la ¶opticade los sistema complejos es entender la aparici¶on aparentemente espont¶anea que coordinaci¶on y


auto-organizaci¶on de los procesos econ¶omicos. El desaf¶³o consiste en lograr explicar c¶omo lasregularidades globales tienen lugar a partir de las interacciones locales de agentes que operande manera aut¶onoma interconectados a trav¶es de canales reales o potenciales de transmisi¶on deinformaci¶on. Desde esta perspectiva, la racionalidad es vista como una hip¶otesis a ser veri¯cada yno como un punto de partida para el an¶alisis.

La aparici¶on del dinero como medio de cambio, la creaci¶on y desaparici¶on de mercados detodo tipo, los proceso transicionales y cambios de r¶egimen en din¶amicas macroecon¶omicas, los pro-cesos de aprendizaje, las fallas de coordinaci¶on, las crisis, los ataques especulativos, los problemasde congesti¶on, etc. son algunos de los innumerables t¶opicos en que la teor¶³a de los sistemas comple-jos adaptativos podra contribuir para incrementar el conocimiento de los mismos. Las ¶areas en lasque podr¶³a ser ¶util este enfoque incluyen t¶opicos de las teor¶³as del comercio internacional, la teor¶³adel crecimiento, la microeconom¶³a con externalidades, la econom¶³a de la innovaci¶on tecnol¶ogica yel estudio de econom¶³as con rendimientos crecientes a escala, la macroeconom¶³a monetaria y ¯scal,la organizaci¶on industrial, la econom¶³a urbana y espacial, etc. A continuaci¶on enumeramos y ex-plicamos con cierto detalle algunos temas relevantes sobre los cuales estas teor¶³as pueden resultarutiles.

2.6.1 Externalidades y Complementariedad estrat¶egica

Existen circunstancias en las que las soluciones basadas en la din¶amica de los mercados no dancomo resultado asignaciones e¯cientes de los recursos. Muchas de estas situaciones correspondena la no existencia de ciertos mercados contingentes; en otros casos tienen lugar externalidades.Una externalidad est¶a presente en un sistema cuando las decisiones de un agente econ¶omico, seaun consumidor o una ¯rma, est¶an directamente afectadas por las acciones de otros agentes dela econom¶³a. Las externalidades afectan las condiciones bajo las cuales tiene lugar el equilibriocompetitivo de mercados, pudiendo dejar estos de ser estados pareto ¶optimos. Un ejemplo t¶³picocorresponde al problema de los bienes p¶ublicos en los que el consumo del bien por parte de unagente no excluye que otro tambi¶en lo consuma, como ocurre con la mayor¶³a de las obras p¶ublicascomo la seguridad, los parques y plazas, las calles, las rutas, etc. Los bienes privados en cambio sonautom¶aticamente exclusivos ya que son s¶olo consumidos por quien paga para ello. Al no cumplircon el principio de exclusi¶on en el consumo de bienes p¶ublicos, puede haber ine¯ciencias en laprovisi¶on del mismo.

La presencia de externalidades se relaciona tambi¶en con la existencia de complementariedadestrat¶egica que tiene lugar cuando la estrategia ¶optima de un agente depende positivamente delas estrategias seguidas por otro. Debemos diferenciar la complementariedad estrat¶egica de losllamados efectos de derrame (spillovers), estos ¶ultimos se re¯eren a las interacciones entre agentesen los valores de la funci¶on de utilidad de cada uno, mientras que la complementariedad estrat¶egicase re¯ere a las interacciones entre las estrategias seguidas por los agentes. Se producen efectos dederrame si la estrategia utilizada por un agente modi¯ca la utilidad de los dem¶as, en cambio haycomplementariedad estrat¶egica cuando la modi¯caci¶on de una estrategia por parte de un agente,altera la estrategia ¶optima de los dem¶as [52].

La existencia de complementariedad estrat¶egica puede dar lugar a fallas de coordinaci¶on

cuando los agentes act¶uan descentralizadamente. Es posible tambi¶en, que se produzcan equilibriosm¶ultiples (v¶ease la secci¶on 2.6.3 de este cap¶³tulo). Las fallas de coordinaci¶on se presentan cuando nose puede lograr un bene¯cio mutuo entre agentes puesto que individualmente no tienen incentivospara desviarse del estado logrado, a pesar de que existe un estado coordinado m¶as favorable. Enteor¶³a de juegos la complementariedad estrat¶egica multiplica los equilibrios de Nash sim¶etricos, queson de naturaleza no cooperativa. La complementariedad estrat¶egica se pone de mani¯esto en losprocesos de producci¶on que involucran la adopci¶on de tecnolog¶³as (complementariedad tecnol¶ogicay trading externalities [52]), en la demanda de determinados bienes sometidos a la moda (demand

externalities), en los p¶anicos bancarios, problemas de congesti¶on y efectos de manada.


2.6.2 Coordinaci¶on y din¶amica de las expectativas

Sigo al proceso, . . . ,y el proceso me sigue a mi.

No hay separaci¶on.John Cage

En ¶³ntima relaci¶on con la noci¶on de complementariedad estrat¶egica se encuentra el estudio delos procesos que, tanto en el nivel individual como en el colectivo, da lugar a la formulaci¶on yvalidaci¶on de las expectativas. Los procesos sociales tienen un car¶acter intertemporal, por lo quelas acciones realizadas hoy tienen implicancias futuras, e inversamente, muchas veces los agentesdeben formular alg¶un tipo de pron¶ostico acerca del comportamiento futuro del sistema para tomardecisiones en el presente. Esta cuesti¶on resulta ser un hecho bien conocido y muy discutido por laciencia econ¶omica.

Para estudiar estos t¶opicos la econom¶³a se ha valido de herramientas tales como la met¶aforadel agente representativo que elude el problema de coordinaci¶on inherente. Existe una enormecantidad de t¶opicos relacionados con el estudio de la din¶amica de expectativas que, con la ayuda delos sistemas complejos adaptativos, podr¶³an ser adecuadamente tratados. Es posible de clasi¯carde los procesos que tienen lugar cuando se formulan expectativas con el objetivo de promover unestudio sistem¶atico [173]:

(i) Profec¶³as auto-cumplidoras: se originan a partir de expectativas tales que inducen el tipode comportamiento que es el responsable de que la expectativa se cumpla. Mediando de losa~nos '80 este tema comenz¶o a ser tratado en la econom¶³a, especialmente en lo que se re¯ereal estudio de crisis especulativas, cambiarias y bancarias.

(ii) Profec¶³as auto-desplazadas: se constituyen a partir expectativas que, considerando comodado lo que espera el promedio de individuos, tiende a producir el resultado contrario. Porejemplo, si esperamos que despues del mediod¶³a los bancos se congestionan de gente, iremosm¶as temprano; pero si todos piensan as¶³ todos ir¶an m¶as temprano, siendo la hora del mediod¶³ala m¶as propicia para asistir ya que no habr¶a all¶³ ning¶un cliente.

(iii) Expectativas auto-equilibradas: tienen lugar cuando, a trav¶es de un proceso din¶amico,una expectativa auto-desplazada se corrige de manera end¶ogena hasta alcanzar un estado esta-cionario. Si todos los asistentes a una ¯esta llevan bebidas y muy pocos aportan comida, lapr¶oxima semana ocurrir¶a lo contrario y a trav¶es de un proceso de ajuste lento habr¶a unacorrecci¶on tal que la provisi¶on de alimento y bebida converja a un estado estacionario consis-tente con la satisfacci¶on del grupo (ajusta tipo telara~na). Por un lado, este tipo de proceso esadaptativo ya que involucra necesariamente, un aprendizaje inductivo guiado por la evoluci¶ondel sistema. Por el otro, es convergente siempre y cuando el sistema tenga una diversidadinterna tal que permita la diversidad de las acciones. En el cap¶³tulo 3.6 estudiaremos, en uncontexto estilizado, este tipo de evoluciones a partir del enfoque constructivo.

(iv) Se~nales auto-con¯rmadas: Esta es otra categor¶³a que corresponde a una situaci¶on en laque una se~nal externa se refuerza por la adopci¶on de acciones que, a su vez, refuerzan a esase~nal. Como ejemplo, podemos suponer que si un fabricante produce cigarrillos mentoladoscon una envoltura verde, su competidor tambi¶en har¶a lo mismo. Dentro de esta clasi¯caci¶onpodemos tambi¶en incluir lo que se podr¶³a denominar como convenciones auto-reforzadas. Unaconvenci¶on es una instituci¶on que se origina a partir de la inercia que van adquiriendo lasdecisiones de los individuos en un contexto colectivo. A modo de ejemplos: s¶³ todos asistentesa un concierto esperan que nadie aplauda entre los movimientos de un cuarteto, di¯cilmentealguien lo haga. El estudio de las se~nales auto-reforzadas en los procesos productivos se rela-ciona con los procesos denominados de \lock-in", las dependencias del sendero y el fen¶omenode hist¶eresis, que son descriptos en las siguientes secciones.


(v) Pseudo equilibrios: Tienen lugar cuando los agentes piensan que las variables de mercadosurgen de decisiones basadas en pron¶osticos exactos de parte del transactor promedio. Esposible pues, que los agentes traten a los precios y cantidades observados como se~nales con-¯ables a¶un cuando, de hecho, son consecuencia de previsiones incorrectas. Comportamientofundados en errores de interpretaci¶on pueden sostenerse como equilibrios temporarios en loscuales, dadas sus creencias iniciales y la evoluci¶on que registran los mercados, los agentes noencuentran motivo para modi¯car sus acciones. En algunas circunstancias, si los individuoscreen ¯rmemente que la evoluci¶on agregada de la econom¶³a re°eja expectativas correctas,pueden verse inducidos a realizar elecciones transitoriamente auto-validades pero err¶oneas, loque traer¶³a aparejado una revisi¶on de planes en alg¶un momento. Estas \burbujas" aparecenen modelos con m¶ultiples equilibrios temporarios; sin embargo, ellas no son \profec¶³as au-tocumplidas"; no surgen de alg¶un conjunto particular de expectativas coordinadas, sino m¶asbien de percepciones inconsistentes [97].

La clasi¯caci¶on que hemos realizado no es exhaustiva sin embargo es una gu¶³a v¶alida quepermite esquematizar procesos sociales donde tienen lugar fen¶omenos de auto-organizaci¶on a trav¶esla interdependencia entre los niveles individuales y colectivos. En muchos casos, la simple agregaci¶onmediante la construcci¶on de \agentes promedio" puede sesgar las descripciones que conduzcan auna explicaci¶on consistente en todos los niveles. Desde esta perspectiva, la coordinaci¶on plena delsistema es como un comportamiento emergente que surge de estos mismos niveles de acci¶on.

2.6.3 Equilibrios coordinados m¶ultiples: algunas implicancias econ¶omicas

Supongamos que un sistema din¶amico discreto en el tiempo, determin¶³stico y aut¶onomo caracterizael comportamiento de un modelo econ¶omico y que las leyes de movimiento de esta econom¶³a puedenser expresadas por xt+1 = f(xt; ¹), en donde xt 2 X µ <n es el vector de las variables de estado,¹ 2 M µ <m es el vector de par¶ametros que afectan la estructura de la econom¶³a, y f es unafunci¶on continua y diferenciable. Un sistema con equilibrios m¶ultiples tiene lugar cuando la ¶orbitadel sistema din¶amico para diferentes condiciones iniciales no est¶a un¶³vocamente determinada y porlo tanto el Teorema de Cauchy-Peano no es aplicable [19].

Entonces, si <n es el espacio de estados del sistema din¶amico y los datos hist¶oricos permitensolamente predeterminar j < n condiciones iniciales, entonces toda ¶orbita compatible con esahistoria previa tendr¶a en principio n¡ j grados de libertad que no est¶an determinados. Entonces,para toda condici¶on inicial que ubica al sistema en una variedad estable que conduce a un equilibrio,habr¶a un continuo de equilibrios posibles que obviamente quedan indeterminados.

En muchos modelos econ¶omicos la historia previa no suele alcanzar para determinar todoel estado de las variables del sistema. Muchas condiciones iniciales se basan en expectativas devalores futuros, por ejemplo en los modelos tipo \forward-looking". Lo que en la econom¶³a tiendea quedar predeterminado por la historia previa suelen ser ¶unicamente los \stocks" agregados dealgunas variables [19].

Sin embargo, la existencia de procesos de ajuste del tipo\forward-looking" contribuyen adejar indeterminados los resultados, especialmente cuando el espacio de estados contiene ajustes deprecios competitivos. Otra raz¶on por la que pueden proliferar estados de equilibrio son las exter-nalidades, la existencia de mercados incompletos y la imposibilidad de cuanti¯car todos los estadosde la naturaleza en una estructura probabil¶³stica. Las externalidades, como la complementariedadestrat¶egica, establecen v¶³nculos entre los premios que recibe un agente y las acciones de otros, conlo cual se tiende a condicionar todo comportamiento individual. La existencia de mercados incom-pletos tambi¶en contribuye a dar lugar a la aparici¶on de m¶ultiples soluciones pues reduce el n¶umerode condiciones independientes para el despeje de los mismos.

Las soluciones de manchas solares o la utilizaci¶on de alg¶un ¶³ndice que cuanti¯que el sen-timiento de los agentes pueden afectar tambi¶en los resultados de un equilibrio. Los equilibrios demanchas solares presuponen que alg¶un supuesto del esquema de equilibrio general competitivo se


corrompe. Se utilizan las manchas solares para incorporar estados subjetivos cuya realizaci¶on esdif¶³cil de conocer a priori ya que son cuanti¯cados por variables ocultas y dan lugar a profeciasauto-cumplidoras.

Cuando un modelo admite m¶ultiples estados de equilibrios aparece una di¯cultad funda-mental ya que cuando ¶estos est¶an indeterminados se requiere un esfuerzo de coordinaci¶on entre losagentes econ¶omicos, que socava el concepto mismo de previsi¶on perfecta. En un modelo dado, laeconom¶³a no \saltar¶a" de una soluci¶on a otra a menos que sea de p¶ublico conocimiento que todosesperan precisamente que ese cambio ocurra. La principal complicaci¶on que tiene lugar cuandose emplean herramientas propias de la aproximaci¶on anal¶³tica-deductiva (o \top down") es queno es posible predecir como se coordinar¶an las expectativas y, por lo tanto, cual ser¶a el equilibrioresultante. Nuevos criterios que permitan evaluar la robustez de cada equilibrio y que estudien losmecanismos por los cuales un equilibrio particular es seleccionado deber¶³a ser motivo de futurasinvestigaciones y puede suponerse que los modelos que parten de la aproximaci¶on constructiva (o\bottom up") puedan eludir semejante complicaci¶on.

2.6.4 Hist¶eresis

El t¶ermino hist¶eresis ha sido usado en la Econom¶³a para describir muchos fen¶omenos distintos.Se le suele usar para describir la persistencia en las desviaciones del equilibrio. Otro uso es paradar cuenta de la presencia de ra¶³ces unitarias en ecuaciones diferenciales o en diferencias lineales.Ninguna de estas interpretaciones se corresponde con las de la f¶³sica donde tuvo origen el t¶ermino.El concepto de hist¶eresis fue alli aplicado a sistemas que exhiben un comportamiento remanente poroposici¶on a uno persistente. Un sistema tiene un comportamiento remanente cuando la aplicaci¶onde una perturbaci¶on y su posterior remoci¶on cambian el estado de equilibrio. Esto signi¯ca que laaplicaci¶on de \shocks" de igual magnitud pero sentido opuesto produce efectos que no se cancelanentre s¶³ [162]. Un sistema que presenta hist¶eresis en su comportamiento debe satisfacer dos reque-rimientos b¶asicos, a saber: el sistema debe responder en forma no lineal a las perturbaciones y loselementos que conforman el sistema deben ser heterog¶eneos de manera tal que la respuesta de cadauno de ellos a la perturbaci¶on sea diferente7. La presencia de estas dos caracter¶³sticas hace que elsistema tenga una memoria selectiva de los pasados \shocks" que afecta el equilibrio presente delsistema.

Para ejempli¯car este fen¶omeno, consideremos un sistema que posee dos puntos ¯jos establesy un ¶unico par¶ametro de control ¹ 2 <1, que var¶³a lentamente. La ¯gura 6.1 muestra el diagrama

de bifurcaciones del sistema. Si ¹ est¶a creciendo y el sistema se encuentra en el punto xo, podr¶³avolcarse hacia el segundo punto ¯jo x1 apartir del momento en que ¹ supere al valor ¹o. Comoxo permanece estable, esto no ocurre a menos que ¹ > ¹1 > ¹o situaci¶on en la que suponemosque xo se torna inestable. Si sistema se encuentra en cambio en el punto ¯jo x1 y el par¶ametro decontrol ¹ > ¹1 comienza a decrecer, el sistema salta del punto ¯jo x1 a xo reci¶en cuando ¹ pasa pordebajo de ¹o. El equilibrio del sistema entre los valores ¹o y ¹1 depende pues de su historia previa.Este tipo de comportamiento puede tener lugar cuando el sistema admite m¶as de un atractor. Enun sistema que presenta hist¶eresis los estados observados no dependen ¶unicamente del valor delpar¶ametro de control, sino tambi¶en de sus historia previa.

En Econom¶³a se ha utilizado el concepto de hist¶eresis para modelar, por ejemplo, el fen¶omenode persistencia del desempleo [30, 72, 113]. La existencia de hist¶eresis es un hecho estilizado quepone de mani¯esto un comportamiento de naturaleze compleja.

2.6.5 \Lock-In" y dependencia del sendero en econom¶³a

Este fen¶omeno tiene lugar cuando no es posible que el sistema abandone un estado una vez que¶este es alcanzado [11, 10]. Existe dependencia de la trayectoria cuando dado un conjunto de

7Estas dos condiciones son necesarias pero no su¯cientes.


Figura 6.1: Diagrama de Bifuraciones para un sistema din¶amico con hist¶eresis; la l¶³nea s¶olidarepresenta estabilidad, mientras que la punteada, inestabilidad de los punto ¯jos.

alternativas o senderos factibles, una diferencia ef¶³mera o aparentemente inconsecuente en el estadoinicial conduce inexorablemente a s¶olo uno de esos senderos posibles. Bajo estas circunstancias, losajustes marginales de los agentes econ¶omicos no pueden garantizar un resultado ¶optimo [33, 60].Desde el punto de vista de la optimalidad o e¯ciencia, cuando hay \lock-in" o dependencia delsendero, caben las siguientes consideraciones:

² Las °uctuaciones iniciales, por insigni¯cantes que sean, pueden ubicar al sistema en un senderoque no puede ser abandonado sin costo. Ese sendero puede ser ¶optimo (aunque no necesa-riamente sea el ¶unico). Ejemplos de este tipo pueden ser el proceso de selecci¶on que tuvolugar en la industria automotriz cuando, seg¶un el pa¶³s, se eligi¶o la ubicaci¶on del conductor almomento de iniciarse la fabricaci¶on de autom¶oviles, o la adopci¶on del sentido de rotaci¶on delas manecillas del reloj.

² Otra situaci¶on tiene lugar cuando se transita hacia un resultado ine¯ciente y el sendero esremediable. Esto signi¯ca que en alg¶un momento es posible un arreglo que hace posibleoptimizar el resultado y, sin embargo, el mismo no se lleva a cabo. Esta clase de dependenciadel sendero entra en con°icto con el modelo de comportamiento optimizador de los sistemasecon¶omicos y constituye una clara \falla del mercado".

La exclusi¶on entre tecnolog¶³as competitivas posee esta caracter¶³stica t¶³pica de sistema cuyaevoluci¶on depende de la historia. Seg¶un las consideraciones que se hagan, la selecci¶on de la normade video VHS en oposici¶on a la BETAMAX, o la adopci¶on del teclado alfanum¶erico QWERTY enlugar de teclado propuesto por Dvorak, pueden ser ejemplos de los diversos tipos de dependenciadel sendero que hemos detallado.

Toda manifestaci¶on de dependencia del sendero debe ser entendida como un proceso irre-versible que esta ¶³ntimamente ligado al concepto de hist¶eresis - ya de¯nido - y puede ser modeladopor procesos estoc¶asticos en los que se incorpora cierto contenido de memoria. Consideremos unasecuencia de elecciones de dos posibles alternativas mutuamente excluyentes A1 y A2, cuyas pro-babilidades sean Pn y (1¡ Pn) respectivamente. S¶³ Ei es el evento que a tenido lugar en el sucesoi; hay dependencia del sendero si Pn+1 = f(Pn; En; ¢ ¢ ¢ ; En¡d) (en cambio si d = 0 el proceso esindependiente del sendero).

2.7. Ap¶endices del Cap¶³tulo 29

Arthur (1989) [11] supone que las manifestaciones de \lock-in" suelen ocurrir cuando seconsideran sistemas que operan con rendimientos crecientes a escala. Este autor argumenta que lainterpretaci¶on misma de la historia econ¶omica deber¶³a ser diferente seg¶un la condiciones respecto delos rendimientos a escala. Bajo rendimientos constantes o decrecientes a escala, la evoluci¶on de losmercados ser¶³an solamente consecuencia de las dotaciones, preferencias y relaciones tecnol¶ogicasexistentes. Los eventos de menor magnitud no pueden ser capaces de ladear un resultado. Sinembargo, cuando la econom¶³a opera con rendimientos crecientes a escala muchos resultados sonposibles y, por lo tanto circunstancias insigni¯cantes puede torcer la selecci¶on a un estado deter-minado. Por esta raz¶on, este tema est¶a intimamente relacionado con la ocurrencia de equilibriosm¶ultiples en los modelo din¶amicos.

Por otro lado, en un contexto de competencia perfecta, la ausencia de mercados contingentespuede conducir a la estandarizaci¶on de una norma, o sistema de producci¶on equivocado. Todoproceso dependiente del sendero est¶a llamado a ser no erg¶odico ya que una vez visitada ciertaregi¶on del espacio de fases, el sistema queda entrampado quedando otros subespacios no accesibles.

2.7 Ap¶endices del Cap¶³tulo

2.7.1 El mapa log¶³stico

En esta secci¶on se ejempli¯car¶an propiedades y de¯niciones sobre sistemas din¶amicos comentadas en la primer parte del ca¶³tulo.Se analiza un mapa simple discreto unidimensional: el mapa log¶³stico. Este mapa tuvo sus or¶³genes en el estudio de la din¶amicasde poblaciones en sistemas ecol¶ogicos. Si se supone que N(t) representa como funci¶on del tiempo la poblaci¶on de individuos deun especie, su tasa de cambio est¶a dada por:

dN

dt= Nacimientos ¡ Muertes + Migraciones (7.24)

El modelo m¶as simple no incorpora a la migraci¶on de individuos y supone que la cantidad de nacimientos y muertesson proporcionales a la poblaci¶on total con lo que:

dN

dt= n ¢N ¡m ¢N ) cuya soluci¶on es: N(t) = N(0)e(n¡m)t (7.25)

Claramente, si n > m la tasa de nacimientos es mayor a la de muertes y por lo tanto la poblaci¶on crece exponencialmente, sin = m hay un equilibrio que mantiene a la poblaci¶on en una cantidad igual a la que hab¶³a inicialmente, y ¯nalmente, si n < m,la poblaci¶on tiende a desaparecer. El primer investigador en analizar esta aproximaci¶on fue Malthus en 1798. Verhulst en 1836formul¶o un modelo algo m¶as re¯nado suponiendo que opera un proceso auto-limitante cuando la poblaci¶on crece excesivamentey sugiri¶o que:

dN

dt= ®N

¡1¡ N

k

¢(7.26)

Esta es la ecuaci¶on log¶³stica. La constante k da cuenta de la capacidad del medio ambiente que se supone determinadapor la cantidad de recursos disponibles. Este nuevo sistema posee dos estados estacionarios (que anulan la derivada respectodel tiempo) en N = 0 y N = k. El primero es inestable y no es accesible a menos que la condici¶on inicial corresponda a eseestado. El segundo, en cambio, es estable y corresponde al valor al que tiende la poblaci¶on cuando t ! 1. En este modelo(cont¶³nuo) la soluci¶on de la ecuaci¶on diferencial 7.26 es la funci¶on sigmoide:

N(t) =N(0)ke®t

k +N(0)(e®t ¡ 1)que cumple con: lim

t!1N(t) = k 8® > 0 (7.27)

Este modelo formulado en tiempo continuo puede re¯narse incorporando t¶erminos que representan la predaci¶on porotras especies, o agregando retardos debidos, por ejemplo, a determinados tiempos de gestaci¶on. Tambi¶en se pueden estudiarmodelos poblacionales en los que se tiene en cuenta la distribuci¶on de las edades de los individuos de la especie, asignando unaprobabilidad de muerte seg¶un la edad, etc. Sin embargo todos estos modelos suponen una superposici¶on continua entre unageneraci¶on y otra y, como es dable suponer, muchas especies no poseen esa caracter¶³stica pues su reproducci¶on tiene lugar endeterminados momentos del a~no. Para considerar estos casos, en necesario suponer que el sistema evoluciona en tiempo discretopor lo tanto:

Nt+1 = ®Nt

³1¡ Nt

k

´; ® > 0; k > 0 (7.28)

Si realizamos el simple cambio de variables xt = Nt=k, de modo de normalizar la poblaci¶on a 1, y se de¯ne ® = 4r, se obtieneel mapa log¶³stico discreto [147]. Formalmente, la expresi¶on funcional de este mapa es:

xt+1 = 4rxt(1¡ xt); con 0 · r · 1 y 0 · x · 1 (7.29)

El miembro derecho de la ecuaci¶on anterior posee un m¶aximo en x = 1=2 y su valor es r. Los puntos ¯jos de estemapa se obtienen de resolver una ecuaci¶on cuadr¶atica cuya soluciones son:


x¤1 = 0 (7.30)

x¤2 = 1¡ 1

4r(7.31)

Su condici¶on de estabilidad se puede expresar en forma general:

j4¡ 8rx¤i j < 1 (7.32)

El punto x¤1 = 0 es estable cuando r < 1=4 8. Para x¤2 = 1¡ 1=4r, la desigualdad 7.32 prescribe la estabilidad si 1=4 < r < 3=4(la parte izquierda de la desigualdad nos garantiza que x¤2 2 [0; 1]). La ¯gura 7.2 muestra, dada una condici¶on inicial arbitraria,la evoluci¶on del sistema hacia el punto ¯jo estable para el caso en que r = 0:7. Adviertase que una manera de identi¯cargr¶a¯camente a los puntos ¯jos es trazando la recta f(x) = x e identi¯cando a los puntos de intersecci¶on entre ¶esta y la par¶abola.

Figura 7.2: Espacio de fases y evoluci¶on del mapa log¶³stico para r = 0:7

Cuando r > 3=4 y se llega a r ' 0:775, se da lugar a una bifurcaci¶on en la que se produce un desdoblamiento de per¶³odo(¯gura 7.3). El mapa describe un sistema peri¶odico que oscila entre dos valores posibles (x+; x¡), mediante una evoluci¶on dela forma:

x+ = 4rx¡(1¡ x¡) (7.33)

x¡ = 4rx+(1¡ x+) (7.34)

Resolviendo este sistema acoplado se obtiene:

x§ =1

8r

h1 + 4r §

p16r2 ¡ 8r ¡ 3

i(7.35)

El comportamiento oscilatorio resultante se muestra en la ¯gura 7.3. Si se aumenta progresivamente el valor de r seproducen sucesivos desdoblamientos de per¶³odo. En la ¯gura 7.4 se muestra una ¶orbita de per¶³odo 4. Cuando se aumenta aunm¶as el valor del par¶ametro de control hasta r = 1 se observa que cualquier condici¶on inicial (con la excepci¶on de los dos puntos¯jos (ambos inestables)), se produce una evoluci¶on que exhibe caos determin¶³stico (¯gura 7.6).

La transici¶on hacia el caos tiene lugar a trav¶es de una in¯nita sucesi¶on de desdoblamientos de per¶³odo a medida queel par¶ametro de control toma los valores r1 = 3=4; r2; ¢ ¢ ¢ ; rn; ¢ ¢ ¢. El valor r1 = limn!1rn = 0:89248625::: < 1 es la llamadaconstante de Fiegenbaum [67]. La constante r1 es universal, esto es, se trata de un valor general para todos los mapas recursivosde la forma xt+1 = f(xt; ¹), siempre que f(¢) tenga un m¶aximo y exhiba desdoblamientos de per¶³odo.

En la ¯gura 7.5 se muestra el diagrama de bifurcaciones que representa un muestreo de las soluciones asint¶oticas delmapa log¶³stico para valores crecientes de r, tomando 1000 condiciones iniciales diferentes para cada uno de sus valores en elintervalo 0:7 < r < 1. Esto signi¯ca que en la ¯gura se gra¯can los valores de xt luego de 1000 iteraciones, partiendo de1000 condiciones iniciales diferentes. Se observa c¶omo, al crecer r, el sistema sigue un sendero hacia el caos en el que se vanproduciendo desdoblamientos de per¶³odo progresivos. Las zonas con mayor densidad de puntos corresponden a ¶orbitas ca¶oticas.Se puede observar as¶³ mismo la existencias de ventanas estables. Feigenbaum demostr¶o en 1978 [67] que s¶³ se identi¯ca a lospuntos en los se produce un desdoblamiento de per¶³odo, con valores: r2; r4; r6; ¢ ¢ ¢ ; r2n; ¢ ¢ ¢, se veri¯ca que:

8Esta soluci¶on es estable s¶olo cuando hay un ¶unico punto ¯jo x¤ de doble multiplicidad, y esto sucede cuando lapar¶abola queda por debajo la recta con pendiente ¼=4; cuando r = 1=4 se produce la primera bifurcaci¶on que dalugar a dos puntos ¯jos; en los casos que analizamos se supone r > 1=4 y por lo tanto x¤1 = 0 siempre es un punto¯jo inestable.



± = limn!1

r2(n+1) ¡ r2nr2(n+2) ¡ r2(n+1)

= 4:669201609::: ¢ ¢ ¢ (7.36)


Otro resultado interesante y aplicable a todo tipo de mapa discreto unidimensional, es el teorema de Sarkovskii: Si fes una funci¶on continua cuyo mapa xt+1 = f(xt; ¹) tiene un ciclo de per¶³odo k, entonces tiene tambi¶en un ciclo de per¶³odo k0

donde k0 es cualquier n¶umero entero tal que k Â k0. El s¶³mbolo Â corresponde al llamado orden de Sarkovskii que se de¯ne porla siquiente secuencia:

3 Â 5 Â 7 Â : : : Â 2 ¢m+ 1 Â : : :2 ¢ 3 Â 2 ¢ 5 Â 2 ¢ 7 Â : : : Â 2 ¢ (m+ 1) Â : : :

4 ¢ 3 Â 4 ¢ 5 Â 4 ¢ 7 Â : : : Â 4 ¢ (m+ 1) Â: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

2m ¢ 3 Â 2m ¢ 5 Â 2m ¢ 7 Â : : : Â 2m ¢ (2 ¢m+ 1) Â: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

2m Â 2m¡1 Â : : : Â 16 Â 8 Â 4 Â 2 Â 1

Este teorema es v¶alido para cualquier mapa continuo, no s¶olo para mapas unimodales que posean un m¶aximo en unintervalo dado [a; b].


Figura 7.5: Diagrama de bifuraciones de mapa log¶³stico para valores de r 2 [0:70; 1]. Sea hantomado como muestras representativas 1000 condiciones iniciales diferentes y se gra¯ca el valor dela variable xt luego de 1000 iteraciones. Se ampli¯ca a la izquierda/abajo la ventana recuadrada.

El mapa log¶³stico para r = 1 se puede reducir a trav¶es de un cambio de variables a otro mapa conocido en laliteratura como mapa carpa o tent map. Este mapa es ¶util pues permite averiguar algunas propiedades adicionales que, con lastransformaciones adecuadas, se pueden aplicar al mapa log¶³stico. Si se considera el cambio de variables:

xt = sen2³¼yt

2

´(7.37)

se reemplaza en la expresi¶on del mapa log¶³stico y se utilizan identidades trigonom¶etricas apropiadas se llega a:

sen2³¼yt+1

2

´= sen2(¼yt) (7.38)

esta igualdad implica que:

¼yt+1

2= ¼yt si 0 · ¼yt ·

¼

2(7.39)

¼yt+1

2= ¼ ¡ ¼yt si

¼

2· ¼yt · ¼ (7.40)

Finalmente se obtiene el mapa carpa:

yt+1 =

n2yt Si 0 · yt · 1=2

2¡ 2yt Si 1=2 · yt · 1(7.41)

que se muestra en la ¯gura 7.7Esta nueva ley de recurrencia es topol¶ogicamente conjugada respecto del mapa log¶³stico en el sentido de que existe un

homeomor¯smo, (la ecuaci¶on 7.37) que convierte a las ¶orbitas del mapa log¶³stico en las del mapa carpa. Como el valor absolutode las pendientes de ambos segmentos del mapa carpa son mayores que 1, queda asegurada la inestabilidad de los puntos ¯jos.La inspecci¶on del la k-¶esima iteraci¶on T (k)(y) muestra que hay 2k puntos de intersecci¶on entre el gr¶a¯co de la iteraci¶on y lafunci¶on identidad f(y) = y (bisectriz). El mapa tiene dos puntos ¯jos y1 = 0 y y2 = 2=3, los restantes 2k ¡ 2 puntos pertencena trayectorias per¶³odicas de per¶³odo k. Esto signi¯ca hay una trayectoria de per¶³odo dos (tomando 22 ¡ 2 = 2 puntos), dostrayectorias de per¶³odo tres (tomando 26¡2 = 6 puntos), etc. Por construcci¶on, los puntos que pertenencen a estas trayectoriasperi¶odicas tiene valores racionales sobre el eje y.

Consideremos el mapa carpa o tent map de¯nido en la expresi¶on 7.41, aplicando la ecuaci¶on de Frobenius - Perron(4.14), sobre todo el intervalo unitario:

½e(y) =

Z 1=2

o

±(y ¡ 2yo)½e(yo)dyo +

Z 1

1=2

±(y ¡ (2¡ 2yo))½e(yo)dyo (7.42)

Calculando la integral se obtiene:


Figura 7.6: Espacio de fases y evoluci¶on del mapa log¶³stico para r = 1

Figura 7.7: Mapa carpa o Tent Map T (x).

½e(y) =1

2

h½e

³y

2

´+ ½e

³1¡ y

2

´i(7.43)

Esta ecuaci¶on admite una ¶unica soluci¶on derivable e integrable en el sentido de Lebesgue9 y normalizada (ver [177]):

½e(y) = 1 (7.44)

Este resultado indica que la secuencia ca¶otica de iteraciones 10: yo; f(yo); f(f(yo)); ¢ ¢ ¢ ; f(n)(yo); ¢ ¢ ¢ cubre uniforme-mente el intervalo [0; 1] cuando n ! 1, y por lo tanto el sistema es erg¶odico. M¶as formalmente, la medida invariante de unconjunto dado para este sistema es la longitud de todo el intervalo [0; 1]. Como el mapa carpa est¶a vinculado topol¶ogicamentecon el log¶³stico (para r = 1) por el simple cambio de variables 7.37, se puede calcular la densidad estacionaria para el mismo.Teniendo en cuenta la conservaci¶on de la probabilidad frente a cambios de variables se tiene:

½edx(mapa log¶³stico) = ½e(y)dy(mapa carpa) (7.45)

y como ½e(y) = 1, usando la expresi¶on 7.37:

½e(x) =d

dx

³2

¼arcsen(

px)

´(7.46)

por lo tanto:

9De manera tal queRC½e(y)dy es ¯nita.

10Recu¶erdese que el mapa log¶³stico es ca¶otico para r = 1


Figura 7.8: Primera y segunda iteraci¶on del mapa carpa evaluado en (z+1=2). El ¶area del tri¶angulono depende de la iteraci¶on.

½e(x) =1

¼px(1¡ x)

(7.47)

Ambas densidades de probabilidad son derivables y no est¶an localizadas en el espacio de fases y pueden admitirsingularidades, sin embargo esto no compromete la ergodicidad pues los puntos singulares representan un conjunto de medida(de Lebesgue) nula.

Para analizar la sensibilidad a las condiciones iniciales hab¶³amos de¯nido el exponente de Lyapunov como (ecuaci¶on

¸(xo) = limn!1

lim²!0

1

nln jf

(n)(xo + ²)¡ f(n)(xo)

²j (7.48)

´ limn!1

1

n

n¡1X

i=0

ln jf 0(xi)j (7.49)

Como para sistemas erg¶odicos este promedio temporal debe ser independiente de las condiciones iniciales11, debecumplirse:

¸(xo) = ¸ =

Z½e(x) log jf 0(x)jdx (7.50)

Aplicando este resultado al mapa carpa 7.41, y sabiendo que ½e(y) = 1, se obtiene:

¸(mapa carpa) = ln 2 > 0 (7.51)

Es posible realizar este c¶alculo sobre el mapa log¶³stico (si r = 1) utilizando la expresi¶on 7.50 con la densidad deprobabilidades 7.47:

¸(mapa log¶³stico) =

Z 1

o

lnj4¡ 8xj¼px(1¡ x)

dx = ln 2 > 0 (7.52)

Como vimos, el exponente de Lyapunov mide la sensibilidad a las condiciones iniciales. En ambos casos, se obtuvo unvalor de ln 2, que evidencia que la discrepancia entre ¶orbitas que parten de condiciones iniciales cercanas se duplica luego decada iteraci¶on.

Siguiendo con este ejemplo, podemos calcular tambi¶en la funci¶on de correlaci¶on del mapa carpa utilizando la ex-presi¶on 4.23:

C(¿) =

Z 1

o

yf(¿)(y)dy ¡hZ 1

o

ydy

i2

(7.53)

11Excepto para un conjunto de medida (de Lebesgue) nula.


=

Z 1=2

¡1=2

zf (¿)³z +

1

2

´dz +

1

2

Z 1=2

¡1=2

f(¿)³z +

1

2

´¡ 1

4(7.54)

=1

12±0;¿ (7.55)

esto signi¯ca que la secuencia de iteraciones esta delta - correlacionada. Se obtiene este resultado ya que la expresi¶on f(n)(z+1=2)es sim¶etrica respecto de z = 0, entonces la primer integral es nula 8¿ > 0 y la segunda integral es independiente de ¿ como semuestra en la ¯gura 7.8.

2.7.2 Estabilidad lineal y acoplamiento entre mercados

Para ejempli¯car y aplicar en un contexto econ¶omico la forma de realizar un an¶alisis de estabilidad lineal,consideremos un mercado cuyos precios ajustan seg¶un excesos de demanda siguiendo en esquema de ajuste\Walrasiano":

dp

dt= f(p) (7.56)

donde f(p) es una funci¶on creciente del exceso de demanda y, por lo tanto decreciente en el propio precio.El precio de equilibrio del mercado po satisface la condici¶on f(po) = 0. Si f 0(po) < 0 queda asegurada laestabilidad para peque~nos apartamientos del precio de equilibrio, por otro lado ¿ = jf 0(po)j¡1 de¯ne unaescala temporal para el ritmo de transacciones que puede resultar menor cuando no hay costos de transacci¶ony la informaci¶on es perfecta, como suele suponerse en situaciones idealizadas. Ahora, si estudiamos ladin¶amica de un conjunto de n mercados acoplados entre s¶³ se deber¶a analizar la din¶amica del vector deprecios ~p(t). Siguiendo el mismo tipo de an¶alisis, la evoluci¶on de este vector deber¶³a depender del vector de

excesos de demanda ~f :

d~p

dt= ~f(~p) (7.57)

Considerando a ~peq el vector de precios en el equilibrio podr¶³a hacerse un an¶alisis para peque~nasperturbaciones que apartan al sistema de este equilibrio y estudiar la estabilidad del mismo. Para haceresto, podemos entonces linealizar al sistema, es decir que, dada una perturbaci¶on ~± realizamos un desarrollode Taylor a primer orden alrededor del valor ~peq , por lo tanto:

d~±

dt= ¹M(~peq) ¢ ~± (7.58)

donde ¹M 2 <n£n es la matriz Jacobiana de ~f evaluada en ~peq. Los elementos diagonales de ¹M determinanel efecto directo de los precios del mismo mercado. Si suponemos que cada mercado por s¶³ mismo es estable,estos elementos de matriz deber¶an ser negativos y, por lo tanto se puede suponer que tienen un valor promediode ¡D. Este valor cuanti¯ca la velocidad media de ajuste de los mercados. Obviamente los t¶erminos nodiagonales describen el efecto del cambio del exceso de demanda de un mercado sobre el precio de otro. Siel acoplamiento es d¶ebil ese elemento deber¶a ser cercano a cero.

El efecto de una perturbaci¶on peque~na sobre el punto ¯jo ~peq puede conocerse determinando elautovalor de ¹M de mayor parte real E ya que resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales linealizado,~± / eE¢t. S¶³ E < 0 la perturbaci¶on se disipa y se restituye el equilibrio, mientras que en el caso contrario elequilibrio ser¶a inestable y la perturbaci¶on ~± aumentar¶a su amplitud inexorablemente.

Un estudio que puede realizarse es analizar el comportamiento promedio sobre un ensamble deestados, considerando, dadas las restricciones formales, todas las matrices que puedan ser posibles matricesJacobianas, obtenidas de distribuciones con media y varianza conocida [107]. Podemos realizar este an¶alisisen diversos casos.

a) Supongamos primeramente que en el conjunto de mercados acoplados los bienes pueden ser tanto sustitutoscomo bienes complementarios, por lo tanto el promedio de elementos no diagonales es nulo. Entonces,utilizando algunos resultados de la teor¶³a de matrices estoc¶asticas, se demuestra que la distribuci¶on deautovalores sigue la ley de Wiener:

E = 2¾ ¢ pn¡D (7.59)

Se veri¯ca entonces que este promedio es positivo cuando n es su¯cientemente grande.


b) Un caso m¶as realista podr¶³a partir de la suposici¶on de que los cambios sobre un precio est¶an en promediobalanceados por los cambios en otros, produci¶endose una media no nula. En esta situaci¶on el Teorema deFuredi y Komlos [107] establece que en promedio del mayor autovalor va como:

E = (n¡ 1) ¢ ¹+¾2

¹¡D (7.60)

siendo ¹ el valor promedio de los acoplamientos, que suponemos positivo. Adem¶as los valores de E quedannormalmente distribuidos con una varianza 2¾2, lo que implica que cuando el tama~no del sistema crece,muchas de estas matrices tendr¶an autovalores positivos, produci¶endose nuevamente una tendencia a la in-estabilidad.

c) Si la matriz no es sim¶etrica y los elementos no diagonales tienen una media positiva ¹ y varianza ¾2, ysobre la diagonal la media es ¡D, el mayor autovalor crecer¶a con n de acuerdo a

E » ¹(n¡ 1)¡D (7.61)

Como ¹ es positivo se veri¯ca que existe un valor de n para el que el equilibrio se torna inestable. Unargumento en favor de la estabilidad de estos mercado acoplados radica en el hecho de que no todos losproductos suelen estar vinculados entre s¶³. En los casos en los que esto ocurra dos situaciones pueden tenerlugar, una en la que el Jacobiano puede descomponerse en bloques y otra que implica que un mercadoeste fuertemente in°uenciado por unos pocos y d¶ebilmente por el resto, produci¶endose agrupamientos demercados (o lo que se denomina en ingl¶es como clusters).

En este caso las matrices estoc¶asticas se pueden construir seleccionando los elementos fuera de ladiagonal en forma aleatoria con una magnintud igual a 1 (grande) con probabilidad p y una peque~na (²¿ 1)con probabilidad (1¡p). En este caso ¹ = p+ (1¡p) ¢ ² y ¾2 = p(1¡p)(1¡ ²)2. El valor promedio de mayorautovalor es similar al ¶ultimo mostrado por lo tanto tambi¶en es inestable para n (el n¶umero de mercadosacoplados) grande.

d) Consideremos el caso en que los productos se agrupan en una estructura o ¶arbol jer¶arquico de profundidadd y tasa de rami¯caci¶on b. La intensidad de la interacci¶on entre dos mercados se de¯ne como Rh, con h eln¶umero de niveles jer¶arquicos que separan a los dos mercados, y R caracteriza la reducci¶on de la intensidadde la interacci¶on.

Seg¶un los resultados obtenidos a partir del estudio de matrices estoc¶asticas, el tama~no promedio dela matriz es n = bd y la media sobre los elementos no diagonales:

¹ =

Pdh=1 b

h¡1(b¡ 1)RhPdh=1 b

h¡1(b¡ 1)=

(Rb)d ¡ 1

bd ¡ 1

R(b ¡ 1)

Rb ¡ 1(7.62)

Si se supone que R < 1=b se puede veri¯car que

¹ =R(b¡ 1)

(1¡Rb)n (7.63)

con lo cual el sistema tiende a una media nula cuando n crece, por lo que el sistema tiende a ser estable. Sinembargo, cuando R > 1=b, en el l¶³mite de nÀ 1:

¹ = RdR(b¡ 1)

Rb¡ 1=R(b¡ 1)

Rb¡ 1nlnRlnb (7.64)

como ¡1 < lnRlnb < 0, ¹ tiende a cero al crecer n, sin embargo la ecuaci¶on 7.61 posee el t¶ermino positivo ¹n

que crece con n pudiendo ser un sistema inestable. Puede veri¯carse tambi¶en que el valor de n para estainestabilidad tiene lugar es mayor que para el caso en que la jerarqu¶³a est¶a ausente.

Hemos mostrado como un entramado de mercados puede conducir a situaciones de desequilibrio einestabilidad cuando la cantidad de mercados que est¶an acoplados crece progresivamente. Esta conclusi¶on seha realizado analizando el comportamiento de matrices Jacobianas aleatorias, cuyos valores medios describende la componente lineal de la din¶amica de precios. Cabe preguntarse por qu¶e nuestra percepci¶on acerca delcomportamiento y estabilidad de los mercados reales suele ser la opuesta. En realidad, las inestabilidadesexplosivas de los mercados suelen manifestarse como eventos \extra~nos" o poco frecuentes. No obstante, losmercados reales tienden a vincularse y, el conjunto parece ganar robustez y estabilidad en lugar de perderla.Una posible respuesta podr¶³a surgir de considerar los procesos adaptativos que necesariamente deber¶³an ser


considerados en el estudio de los mercados reales. La din¶amica de los mercados no s¶olo depende de losprecios vigentes sino tambi¶en de los precios pasados y los futuros esperados y, por lo tanto, se desarrollascomportamientos de arbitraje entre mercados y en el tiempo, que en \condiciones normales" tienden aestabilizar el sistema.

En este modelo que hemos presentado el ajuste de precios se realiza atrav¶es de un \imaginariorematador Walrasiano est¶atico" que no adapta o modi¯ca las funciones de exceso de demanda durantela evoluci¶on del tiempo. Si los agentes econ¶omicos advierten la aparici¶on de una inestabilidad, la mismacapacidad de adaptaci¶on que los agentes poseen pueden llevar al sistema a modi¯car los acoplamientos entremercados de manera de ubicar al sistema en un nuevo sendero estable [107].

Cap¶³tulo 3

Comportamiento de los agentes yevoluci¶on de los sistemas econ¶omicos

3.1 Comportamientos econ¶omicos y heterogeneidad

Los sistemas econ¶omicos comprenden intrincadas redes de interacciones entre agentes. Hemoscomentado ya que en la b¶usqueda de satisfacer sus objetivos, estos desarrollan elaboradas conductasde procesamiento de datos y toma de decisiones de manera descentralizada y asincr¶onica. Se podr¶³aimaginar una estrategia de modelizaci¶on que, partiendo de elementos \b¶asicos" { los agentes con suscaracter¶³sticas y \capacidad de conocimiento", y ciertas reglas de interacci¶on{ tratara de describirel comportamiento emergente del conjunto del sistema. Est¶a claro que hace falta recurrir a fuertessimpli¯caciones, sea respecto de las conductas de los individuos, sea en cuanto a los entornos enlos cuales se supone que ellos operan. Parece dif¶³cil por otra parte, establecer un¶³vocamente lassimpli¯caciones apropiadas ya que es de esperar que ellas dependan del fen¶omeno que se estudia ydel prop¶osito del an¶alisis.

Buena parte de la literatura econ¶omica se basa en un conjunto espec¶³¯co de pautas de rep-resentaci¶on. Entre ellas se destaca la descripci¶on de los agentes como optimizadores de algunafunci¶on bien de¯nida. Consid¶erese un problema de elecci¶on gen¶erico para un agente. Si trata deordenar sus transacciones con los dem¶as a partir de la maximizaci¶on de una funci¶on de utilidad,¶esta deber¶³a tener - en principio - tantos argumentos como transacciones posibles, en cada momentoy en cada \estado de la naturaleza". El problema (si es que el agente llegara a formularlo) tienecomplejidad combinatoria [190], y su soluci¶on requiere a una capacidad computacional virtualmenteilimitada (para m¶as detalles, v¶eanse las secciones 3.4.1, 3.4.2 y 3.4.3 de este cap¶³tulo). La hip¶otesisde que \los agentes optimizan" no puede, por lo tanto, tener validez general. Caben dos alterna-tivas: la primera es concebir un enfoque \constructivo" (\bottom up"), que represente a sistemasen entornos complicados \componiendo", comportamientos de agentes representados de maneraesquem¶atica o procedural. La segunda, que es sin dudas la m¶as com¶unmente adoptada, consiste en\empobrecer" el entorno de cada agente, de modo que el problema de decisi¶on se simpli¯que en lamedida necesaria como para que se puedan emplear las t¶ecnicas usuales de optimizaci¶on.

Si bien este segundo procedimiento ha dado lugar a una gran variedad de resultados ¶utiles,suele quedar fuera de foco la cuesti¶on de c¶omo (y hasta qu¶e punto) se alcanza la coordinaci¶on de lasacciones interdependientes de los agentes. En particular, los modelos de \agente representativo"ignoran los problemas de agregaci¶on [134, 135, 116]) pero, adem¶as, dejan de lado, por la propiaconstrucci¶on del modelo, el an¶alisis de los mecanismos que reconcilian los planes individuales delos distintos agentes. En esos modelos, las condiciones de ¶optimo del agente representativo generanvariables que se interpretan como \precios sombra", pero resulta imposible dar un sentido espec¶³¯coa la proposici¶on de que el sistema de precios act¶ua como difusor de informaci¶on y como gu¶³a parala asignaci¶on de recursos.

39

40 Cap¶³tulo 3. Comportamiento de los agentes y evoluci¶on de los sistemas econ¶omicos

Algo similar ocurre con la descripci¶on de decisiones intertemporales. En ausencia de unsistema de mercados completos, los planes individuales dirigidos al futuro deben basarse en ex-pectativas referidas no solo a las variables \ex¶ogenas" al sistema, sino tambi¶en a las decisiones yacciones de los dem¶as agentes del sistema. Pero no existen aqu¶³ mecanismos que reconcilien losplanes. La hip¶otesis usual de expectativas racionales postula que los agentes derivan sus previsionesa partir de las leyes de movimiento (posiblemente estoc¶asticas) que el sistema genera a partir delos comportamientos inducidos por esas mismas proyecciones 1. Esa propiedad \de punto ¯jo"caracteriza un equilibrio de expectativas, en el cual las previsiones de los agentes se basan en las\verdaderas" distribuciones de probabilidades que generar¶an las realizaciones futuras. La coordi-naci¶on de planes intertemporales no proviene de la operaci¶on (interpersonal) de los mercados: ellaya estar¶³a impl¶³cita en el mismo proceso de decisi¶on de los agentes individuales.

En ese sentido, la hip¶otesis de expectativas racionales supone una extrema compatibilidadde las racionalidades individuales (secci¶on 3.1.1). La hip¶otesis tendr¶³a aplicabilidad limitada a loscasos en que los sistemas han venido funcionando en un \r¶egimen" con propiedades estacionarias, demodo que pueda suponerse que los agentes han llegado a conocer las \caracter¶³sticas sistem¶aticas"de su entorno. Sin embargo, parece haber una gran variedad de situaciones de inter¶es econ¶omicoque no se corresponden con esta hip¶otesis. Recientemente, se han desarrollado modelos que buscandescribir el aprendizaje de los agentes (por ejemplo, a trav¶es de algoritmos adaptativos), y dondela consistencia entre expectativas y realizaciones resulta, en todo caso, como propiedad asint¶otica2.

Desde el punto de vista de la organizaci¶on interna del sistema, los modelos de expectativasracionales, as¶³ como aquellos en los que las expectativas se generan a trav¶es de un ¶unico algoritmo deaprendizaje, comportan una enorme simpli¯caci¶on del sistema. En general, es probable que existauna apreciable diversidad en las percepciones y expectativas de los agentes (aun cuando ¶estos ten-gan acceso a un conjunto ¶unico de datos). Se plantea, entonces, la construcci¶on de representacionesque permitan incorporar, en forma manejable, la heterogeneidad de previsiones y comportamientos.Interesa particularmente el an¶alisis de la evoluci¶on de los mecanismos de formaci¶on de expectati-vas, entendida como la din¶amica de poblaciones de agentes que utilizan diferentes esquemas paraformularlas.

En la secci¶on 3.2 consideramos como ejemplo un modelo con agentes heterog¶eneos (algunosde los cuales son \ruidosos" 3). El procedimiento utilizado para representar la din¶amica en la he-terogeneidad de los agentes se basa en el principio de m¶axima entrop¶³a que se describe en detalle.Seg¶un este principio los agentes tienen un comportamiento probabil¶³stico con una distribuci¶on talque minimiza el sesgo con que se toman las decisiones. En el modelo se supone que es posible, aun cierto costo, formar expectativas sobre la base del modelo del sistema mientras que las expec-tativas basadas en las realizaciones pasadas se formulan a un costo menor, pero se paga el costo depredicciones incorrectas. Se ve que es posible generar gran variedad de din¶amicas. Pueden existirequilibrios m¶ultiples, estables e inestables; el sistema puede tener ciclos l¶³mites o din¶amicas ca¶oticas.El ejercicio se muestra a t¶³tulo de ejemplo: compararlo con situaciones reales entra~na di¯cultades:no es sencillo asignar a los par¶ametros de control una interpretaci¶on econ¶omica precisa, as¶³ comoestablecer una correspondencia entre las escalas de tiempo del modelo y las de un sistema real. Elejercicio ilustra llamativamente de qu¶e manera, a¶un en modelos relativamente simples, la diversidadintr¶³nseca entre los agentes del sistema puede dar lugar a una multiplicidad de din¶amicas.

1V¶ease la secci¶on 3.1.1, donde se detallan la principales caracter¶³sticas de la hip¶otesis de expectativas racionales.2En [171, 64, 97] se presentan modelos donde el aprendizaje acerca de la tendencia del producto puede generar

°uctuaciones en el gasto agregado.3V¶ease [58] y [136], donde se presentan modelos de agentes ruidosos para estudiar la evoluci¶on del tipo de cambio

en la Argentina.

3.1. Comportamientos econ¶omicos y heterogeneidad 41

3.1.1 Agentes con expectativas racionales

\Lo sabe todo, absolutamente todo.Fig¶urese lo tonto que ser¶a".

Miguel de Unamuno

Esta hip¶otesis, formulada inicialmente por Muth en 1961 [148], supone que las expectativas, desde el momento que seconstituyen como predicciones informadas de acontecimientos futuros, deben ser iguales, a las predicciones de la teor¶³a econ¶omicarelevante. La hip¶otesis supone pues, que los agentes econ¶omicos formulan sus expectativas acerca de las variables econ¶omicasutilizando como base de sus pron¶osticos el mismo modelo que da lugar al comportamiento de las variables. Esto signi¯ca que lasdistribuciones de probabilidades objetivas (que determinan los estados del sistema) son id¶enticas a las distribuciones subjetivasque utilizan los agentes para formular sus expectativas. Entonces, las expectativas diferir¶an de los valores verdaderos s¶olo acausa de la incertidumbre del sistema dada por las componentes estoc¶asticas irreducibles. Formalmente: podemos de¯nir como:²t = xt¡xet al error de previsi¶on de una variable econ¶omica x en el momento t donde la expectativa fue formulada en instantesanteriores; entonces, s¶³ xet = E(xtjIt¡1) es la expectativa de la variable x para el momento t, formulada en t¡ 1, dado que lainformaci¶on disponible en t ¡ 1 es It¡1. Bajo la hip¶otesis de expectativas racionales, el valor esperado del error de previsi¶on(calculado para la verdadera distribuci¶on que determina la ley de movimiento) es nulo, esto es:

E(²t=It¡1) = E(xt=It¡1)¡E¡E(xt=It¡1)=It¡1

¢= (1.1)

= E(xt=It¡1)¡E(xt=It¡1) ´ 0 (1.2)

El supuesto de expectativas racionales di¯ere pues, de la llamada previsi¶on perfecta porque admite la aparici¶onde incertidumbre en los modelos, la cual es representada por elementos estoc¶asticos. Los agentes pueden formular diversasexpectativas s¶olo si no conocen con exactitud los datos que el modelo genera. No obstante, bajo la hip¶otesis de expectativasracionales, estas deben estar generadas por la correcta distribuci¶on de probabilidades.

La primer formulaci¶on de esta hip¶otesis fue desarrollada por Muth [148] a partir de un esquema microecon¶omico quesupon¶³a, impl¶³citamente, una separaci¶on entre el problema de decisi¶on que enfrenta un agente econ¶omico al buscar optimizarsus objetivos dadas las expectativas por una parte y las formulaci¶on de las mismas por la otra. Sin embargo fueron Lucas ySargent, en 1981 [129] quienes mostraron que mantener esa separaci¶on era innecesario, cuando un agente representativo tomadecisiones maximizando una funci¶on de utilidad esperada. Estos autores formularon la hip¶otesis de expectativas racionales encontextos macroecon¶omicos e intertemporales.

La hip¶otesis de expectativas racionales exige que las percepciones del conjunto de agentes sean consistentes entre s¶³.Las expectativas racionales suponen impl¶³citamente y por hip¶otesis que todos los agentes saben, que todos los agentes saben,que todos los agentes saben ... Eludiendo esta circularidad, la teor¶³a econ¶omica { en especial la macroeconom¶³a { comenz¶o adesarrollar modelos basados en la construcci¶on del \agente representativo" que presentan una imagen sencilla del problema decoordinaci¶on intertemporal: por hip¶otesis, el agente \internaliza" los efectos futuros de sus decisiones actuales. La incertidumbreque enfrenta un agente de estas caracter¶³sticas se re¯ere a la componente estoc¶astica de las variables ex¶ogenas, pero no le hacefalta arriesgar conjeturas sobre los planes de los dem¶as agentes acerca de estas variables, eludiendo, de esta forma, el problemade alta complejidad al momento de formar sus previsiones hacia el futuro.

En raz¶on de verdad, la hip¶otesis de racionalidad es un concepto que se incorpora en la econom¶³a como una hip¶otesisinstrumental que permite desarrollar modelos con facilidad y hasta cierto punto contrastables con algunos hechos estilizados. Ladiscusi¶on sobre el m¶etodo con el que se determinan las expectativas tiene relevancia pr¶actica si bien no siempre es debidamentetenida en cuenta al formularse esos modelos te¶oricos. En realidad, las expectativas pueden determinarse en forma inconsistente,es decir, de un modo tal que las decisiones corrientes tengan impl¶³citos desequilibrios futuros no detectables directamente apartir de la informaci¶on disponible en el momento en que la decisi¶on se toma [92, 97].

En general, la hip¶otesis de expectativas racionales por s¶³ sola no permite determinar el resultado de un modelo. Existeuna variada cantidad de modelos basados en ella que poseen m¶ultiples equilibrios (v¶ease la secci¶on 2.6.3 del cap¶³tulo 2). Esnecesario recurrir a otros supuestos basados en alg¶un tipo de esquema de aprendizaje que permita entender como se seleccionanlos equilibrios cuando el sistema exhibe una multiplicidad de ellos.

Si entendemos la hip¶otesis de expectativas racionales como aquella que nos permite encontrar un punto ¯jo en el mapaque existe entre las percepciones de los agentes y las leyes de movimiento de un sistema le estaremos imputando a los agentesque operan en el mismo m¶as conocimiento y capacidad del que poseen los economistas que construyen ese modelo. Se estar¶asuponiendo que los agentes de un modelo conocen objetivamente el valor de aquellas variables que cualquier econometristaintenta estimar con probabilidad de ¶exito incierta.

La hip¶otesis de expectativas racionales se suele basar en diversos argumentos, sea como una derivaci¶on del postuladode racionalidad individual, sea como un precepto metodol¶ogico de consistencia con el modelo, sea como el l¶³mite de un procesode aprendizaje. En el primer caso, el conocimiento de las distribuciones de probabilidad relevantes se trata a la manera de unatributo de los agentes, en una categor¶³a similar a la de las preferencias o las dotaciones iniciales de bienes o factores. Pero, lanoci¶on de que los individuos tratan de comprender el entorno en que operan y no desaprovechan informaci¶on no implica quelas expectativas sean racionales en el sentido usual.

La presencia de incentivos para que los individuos usen datos disponibles al formar sus previsiones no limita particu-larmente los modos en que esos datos ser¶an procesados. Y resulta algo parad¶ogico suponer que mientras que la informaci¶oncuantitativa puede ser costosa, el conocimiento en el sentido de los procedimientos empleados para interpretar esa informaci¶on yrealizar inferencia est¶a disponible, impl¶³citamente, sin restricciones y sin costo. Si se admite que la identi¯caci¶on de m¶etodo paraprocesar los datos es una actividad costosa, lo cual no parece una hip¶otesis extrema, hace falta tener en cuenta la complejidaddel problema de inferencia que enfrentan los agentes [92]. Por cierto, la hip¶otesis de expectativas racionales es de gran utilidaden muchos contextos. Pero dif¶³cilmente se le pueda asignar validez universal


3.1.2 El rol del aprendizaje

En la actualidad muchos modelos macroecon¶omicos est¶an comenzando a incorporar procesos de aprendizaje como mecanismode determinaci¶on de expectativas con la ¯nalidad de enriquecer la din¶amica y explicar hechos a¶un no comprendidos bajo elsupuesto de \racionalidad". Algunos autores introducen esquemas de aprendizaje para mostrar convergencia a equilibrios conexpectativas racionales y as¶³ intentan justi¯car esta hip¶otesis. Otro bene¯cio potencial de la incorporaci¶on de procesos deaprendizaje en los modelos surge de la necesidad de estudiar representaciones que poseen m¶ultiples estados de equilibrio. S¶³algunos de estos equilibrios son localmente estables en presencia de procesos de aprendizaje, se podr¶³a concluir que el aprendizajeact¶ua como mecanismo selector de equilibrios (v¶ease la secci¶on 2.6.3 del cap¶³tulo 2). Puede interesar tambi¶en estudiar bajoqu¶e condiciones tiene lugar la convergencia, a trav¶es del aprendizaje, de soluciones \ex¶oticas", como ocurre en el caso de losequilibrios de \manchas solares". Es posible que en muchos de estos casos los procesos de aprendizaje que in°uyen en elcomportamiento de los agentes d¶e lugar a lo que denominamos como path - dependence (v¶ase la secci¶on 2.6.5 del cap¶³tuloanterior). En tal sentido podr¶³a pensarse que todo proceso de aprendizaje determina una reducci¶on de los grados de libertadefectivos del sistema debido al necesario mapeo entre los modelos subjetivos y los objetivos. El tema es abierto y abordabledesde m¶ultiples perspectivas. Sin embargo, a¶un no hay un criterio uni¯cado que permita trabajar con modelos que incorporanprocesos de aprendizaje que puedan ser, a su vez, correlacionados con estudios econom¶etricos reales.

Por otro lado el tema del aprendizaje no es solamente importante para estudiar y seleccionar comportamientosasnt¶oticos en modelos de m¶ultiples equilibrios. Toda vez que se desee describir en forma realista el comportamiento predictivode los agentes econ¶omicos para estudiar senderos transicionales y procesos din¶amicos alejados del equilibrio ser¶a necesario dotara los agentes del modelo de alg¶un tipo de procesos de aprendizaje, ya sea simple o de manera so¯sticada.

Los esquemas de aprendizaje m¶as utilizados son [64]:

² Aproximaciones eductivas (el t¶ermino es debido a Binmore [28]): se trata de entender como la coordinaci¶on deexpectativas en equilibrios con expectativas racionales puede lograrse por medio de un proceso mental de razonamiento.Se estudia lo que se denomina como \estabilidad expectacional" a trav¶es de construcciones basadas en funciones deexpectativas iterativas. Un equilibrio de expectativas racionales es \expectacionalmente estable", si se converge a eseequilibrio, cuando el n¶umero de iteraciones tiende a in¯nito. Es posible de¯nir criterios de convergencia d¶ebiles y fuertes[64].

² Aproximaciones adaptativas: Hay gran variedad de formulaciones adaptativas que generalizan en cierto sentido elesquema de expectativas adaptativas simples (como las utilizadas en la secci¶on 3.2 de este cap¶³tulo). Las posibilidadesque se presentan pueden separarse en diversos casos:

(i) Utilizando funciones generalizadas, que con observaciones pasadas mapean el valor futuro de las variables apredecir. Esta es la aproximaci¶on m¶as usada en modelos no estoc¶asticos. Bajo ciertas condiciones es posible quela din¶amica resultante converja a estados estacionarios y ciclos de expectativas racionales.

(ii) Una segunda aproximaci¶on consiste en pensar que los agentes act¶uan como econometristas que estiman modelosusando procedimientos estad¶³sticos estandar. Estas ideas han sido usadas en modelos estoc¶asticos, pero puedenaplicarse obviamente, en modelos no estoc¶asticos.

(iii) Modelos basados en inteligencia arti¯cial. Los agentes son modelados como sistemas arti¯ciales que respondenal conjunto de entradas y adaptan su salida (la expectativa) seg¶un alg¶un protocolo de aprendizaje y adaptaci¶ona lo largo del tiempo. Las redes neuronales y algoritmos evolutivos son los m¶as utilizados. En este trabajo seestudian modelos de aprendizaje basados en una representaci¶on computacional del comportamiento de los agentesecon¶omicos a trav¶es a algoritmos de aprendizaje evolutivos (ver la secci¶on 3.6) .

² Otras aproximaciones: Existen modelos que combinan la aproximaci¶on eductiva y la adaptativa. Un modelo relevantefue formulado por Nyarko [153] Los agentes tienen jerarqu¶³as en sus creencias y las acciones que formulan son consistentescon la regla de actualizaci¶on bayesiana. En los modelos de aprendizaje bayesiano, se supone que los agentes conocen laestructura del modelo, pero desconocen sus par¶ametros y lo actualizan a trav¶es de la ley de Bayes, suponiendo que ladistribuci¶on a priori es conocida por todos.

Es concebible construir modelos que combinan conductas de agentes con expectativas racionales, adaptativas , miopes,\seguidores de tendencia" y \fundamentalistas". Un ejemplo es modelo formulado en la secci¶on 3.2 de este cap¶³tulo.

3.2 Modelo anal¶³tico con agentes heterog¶eneos

La distribuci¶on de Gibbs y el principio de m¶axima entrop¶³a

Concepto de Informaci¶on

Supongamos que se estudia un experimento cuyos resultados pueden tomar n valores posiblesde¯nidos por Ã1; ¢ ¢ ¢ ; Ãn. Sean las probabilidades a priori de cada resultado: po(Ãi) = poi (1 ·i · n). Ahora supongamos que se realiza un nuevo experimento y se desea conocer una medidacuantitativa del contenido de informaci¶on que provee el nuevo conjunto de datos, conocidas lasprobabilidades poi y las nuevas pi. Si se supone que esta medida de informaci¶on es I(po; p) esrazonable que cumpla con las siguientes hip¶otesis (cf. [103]):

3.2. Modelo anal¶³tico con agentes heterog¶eneos 43

(i) Debe ser continua pues un cambio \peque~no" en las nuevas probabilidades p respecto de lasprobabilidades a priori po deber¶³a modi¯car muy levemente el contenido de informaci¶on queproduce el nuevo experimento.

(ii) Debe cumplirse que:

I(po1; ¢ ¢ ¢ ; poj ; ¢ ¢ ¢ ; pok ¢ ¢ ¢ ; pon; p1; ¢ ¢ ¢ ; pj ; ¢ ¢ ¢ ; pk; ¢ ¢ ¢ ; pn) =

I(po1; ¢ ¢ ¢ ; pok; ¢ ¢ ¢ ; poj ; ¢ ¢ ¢ ; pon; p1; ¢ ¢ ¢ ; pk; ¢ ¢ ¢ ; pj; ¢ ¢ ¢ ; pn)

ya que el contenido de informaci¶on no deber¶³a depender de la forma en se presentan losresultados del experimento.

(iii) I(p1; ¢ ¢ ¢ ; pn; p1; ¢ ¢ ¢ ; pn) = 0, ya que no se obtiene nueva informaci¶on cuando las probabilidadesa priori y las obtenidas luego de la realizaci¶on del nuevo experimento, son iguales.

(iv) Para todo par de enteros n y no, con no > n, la funci¶on:I( 1no; ¢ ¢ ¢ ; 1

no; 1n ; ¢ ¢ ¢ ; 1

n ; 0; ¢ ¢ ¢ ; 0) debe ser una funci¶on creciente en la variable n y decrecienteen no. Esta expresi¶on representa el contenido de informaci¶on que se obtiene partiendo deprobabilidades a priori uniformes para cada resultado del experimento y valores ¯nales equi-probables para un subconjunto de ellos junto con algunos resultados previamente consideradosposibles, ahora improbables.

(v) Debe ser siempre posible de¯nir una regla de composici¶on que permita hacer experimentosdirectos, o a trav¶es de pasos intermedidos sin que la cantidad de informaci¶on se modi¯que(v¶ease [103]).

Entonces, se puede demostrar que la ¶unica medida de informaci¶on consistente con estos supuestoses la expresi¶on:

I(po1; ¢ ¢ ¢ ; pon; p1; ¢ ¢ ¢ ; pn) = knX

i=1

pi ln (pipoi

) k > 0 (2.3)

por convenci¶on podemos suponer que k = 1. Se ha encontrado una asignaci¶on que contiene s¶olola informaci¶on contenida en las probabilidades calculadas a partir de la frecuencia de aparici¶on dedatos, sin suponer m¶as de lo que los mismos informan. Esta de¯nici¶on de contenido de informaci¶on oentrop¶³a es un indicador de la cantidad de informaci¶on necesaria para describir la variable aleatoriaque es consistente con el experimento.

Supongamos ahora que las probabilidades pm1 ; ¢ ¢ ¢ ; pmn corresponden al m¶aximo conocimientoque puede obtenerse a partir de la realizaci¶on de los experimentos. El contenido de informaci¶onen este caso, dadas las probabilidades a priori : po1; ¢ ¢ ¢ ; pon, es I(po1; ¢ ¢ ¢ ; pon; pm1 ; ¢ ¢ ¢ ; pmn ), o sea lam¶axima informaci¶on que se puede obtener. Entonces se puede de¯nir como informaci¶on perdidao ignorancia al contenido de informaci¶on necesario para conocer el estado pm1 ; ¢ ¢ ¢ ; pmn respecto dela asignaci¶on de probabilidades p1; ¢ ¢ ¢ ; pn, dadas las probabilidades a priori po1; ¢ ¢ ¢ ; pon. Esto es, ladiferencia entre el m¶aximo contenido de informaci¶on que se puede obtener dadas las probabilidadesa priori po1; ¢ ¢ ¢ ; pon y el que se tiene dada la asignaci¶on de probabilidades p1; ¢ ¢ ¢ ; pn:

R(P ;Pm;P o) = I(Pm;P o)¡ I(P ;P o) (2.4)

que es la de¯nici¶on de incerteza o p¶erdida de informaci¶on en la asignaci¶on p1; ¢ ¢ ¢ ; pn.Si se parte de una asignaci¶on de probabilidades uniforme: P oi = 1

n y el estado de m¶aximoconocimiento corresponde a la asignaci¶on: pmi = ±ik con 1 · i · n y k un ¶³ndice ¯jo y ±ik la deltade Kronecker, entonces 4:

4Es f¶acil veri¯car que cuando hay s¶olo dos sucesos posibles cuyas probabilidades son po, y (1¡po) respectivamente,la p¶erdida de informaci¶on es m¶axima (e igual a 1 si la base de los logaritmos es 2) cuando po = 1

2, y m¶³nima si

po = 0 ¶o 1.


R(p1; ¢ ¢ ¢ ; pn) = ¡nX

i=1

pi ln pi (2.5)

Principio de Jaynes de M¶axima Entrop¶³a

Si suponemos que se desean conocer resultados en los casos m¶as pesimistas posibles se podr¶³ancalcular las probabilidades que maximizan el valor de la ignorancia o lo que es equivalente minimizarla informaci¶on que los nuevos datos poseen. Sea un observable del sistema U , por ejemplo un costoo una desutilidad, si maximizamos la ignorancia sujeta a un cierto valor medio para ese observableUo:

maxp1;¢¢¢;pn

hR(po1; ¢ ¢ ¢ ; pon; p1; ¢ ¢ ¢ ; pn) = ¡

nX

i=1

pi ln pii

sujeta anX

i=1

piUi = Uo;nX

i=1

pi = 1

equivalentemente, el problema dual asociado consiste en hallar la asignaci¶on de probabilidades queminimiza el costo esperado sujeto a un nivel constante de \ignorancia", o sea:

minp1;¢¢¢;pn

nX

i=1

piUi sujeta a

Ro(po1; ¢ ¢ ¢ ; pon; p1; ¢ ¢ ¢ ; pn) = ¡

nX

i=1

pi ln pi;

nX

i=1

pi = 1

en ambos casos es facil demostrar que:

pi = Ae¡¯Ui (2.6)

Se obtiene la llamada distribuci¶on de Gibbs. En el siguiente cap¶³tulo veremos que esta distribuci¶ontambi¶en surge a partir de una descripci¶on de las interacciones locales entre m¶ultiples agentes someti-dos a una din¶amica colectiva. El par¶ametro de control, ¯ es el multiplicador de Lagrange de laprimera restricci¶on y se relaciona con el nivel dado del observable Uo, en el problema primal o conun nivel dado de ignorancia en el caso dual. En t¶erminos f¶³sicos es la inversa de la temperaturay controla el tama~no de las °uctuaciones, siendo un indicador controlable de la varianza. En [39]se de¯ne a ¯ como la \intensidad de las elecciones" ya que mide la dispersi¶on con que se tomanlas decisiones. En lo que sigue usaremos este m¶etodo de asignaci¶on de probabilidades para deter-minar la proporci¶on de agentes econ¶omicos que siguen distintos tipos de estrategias en un modeloesquem¶atico.

Agentes heterog¶eneos en un modelo econ¶omico simple: caos?

Consideremos un modelo determin¶³stico que describa el comportamiento de alguna variable econ¶o-mica cuya magnitud dependa de la expectativa futura de esa misma variable 5, es decir:

yt = f(yet+1; µ) (2.7)

5En [40] se realiza un an¶alisis parecido adaptando esta forma de representaci¶on al modelo de la telara~na. Aqu¶³mostramos una representaci¶on m¶as general.


donde yet+1 es el valor medio de la variable y que los agentes esperan en t que se realice en el per¶³dot + 1, y µ el vector de par¶ametros del modelo. Supongamos adicionalmente que la funci¶on f(x) estal que posee un equilibrio de expectativas racionales (v¶ease la secci¶on 3.1.1), ¶unico y estacionario,esto signi¯ca que y¤ = f(y¤; µ) es un punto ¯jo estable.

Estudiemos el efecto de incorporar alg¶un tipo heterogeneidad en el mecanismo de formaci¶onde expectativas, bas¶andonos en el principio de m¶axima entrop¶³a. Para simpli¯car supogamos queexisten dos grupos de agentes, unos \racionales", que durante la evoluci¶on del sistema tienenperfecto conocimiento de la evoluci¶on del modelo, y otros que llamaremos \ruidosos", adaptan suscreencias utilizando los valores pasados de la variable.

² Para no complicar el modelo, descartamos los elementos estoc¶asticos, entonces supondremosque los agentes racionales formulan sus expectativas con previsi¶on perfecta, por lo tanto:

y1;et+1 = yt+1 (2.8)

Puesto que esta es una predicci¶on informada, el agente debe incurrir en el pago de un costoC1 necesario para conocer con precisi¶on el valor futuro de la variable end¶ogena en cuesti¶on.Obviamente, su magnitud est¶a asociada a los costos necesarios para obtener la informaci¶onprecisa y aprender la verdadera estructura del sistema sobre el cual el agente est¶a formulandosus planes. Como la previsi¶on es perfecta, no se cometen errores de pron¶ostico, por lo tantola \desutilidad" de esta estrategia se mide ¶unicamente por el pago de ese costo ¯jo: U1

t = C1.

² Se supone que los agentes \ruidosos" adaptan sus expectativas extrapolando, los valores quela variable fue adquiriendo en per¶³odos anteriores6. Entonces:

y2;et+1 = g(yt; yt¡1; yt¡2; ¢ ¢ ¢ ;#) (2.9)

# representa al conjunto de par¶ametros de este modelo de formaci¶on de expectativas, comopor ejemplo los coe¯cientes de un ajuste de cuadrados m¶³nimos, o tasas de aprendizaje. Yaque es posible que se comentan errores de previsi¶on, la \desutilidad" de este mecanismose de¯ne en t¶erminos del error en la previsi¶on al que alternativamente se le puede sumarun costo C2, que puede depender del grado de so¯sticaci¶on del m¶etodo , entonces: U2

t =(yt ¡ g(yt¡1; yt¡2; yt¡3; ¢ ¢ ¢ ;#))2 + C2.

Para poder determinar la proporci¶on de agentes que siguen las expectativas racionales res-pecto de los que las formulan con el segundo modelo utilizamos el Principio de M¶axima Entrop¶³a.Esto es equivalente a considerar al conjunto de todos los agentes como un grupo que posee la dis-tribuci¶on de creencias m¶as azarosa compatible con un determinado nivel medio de \desutilidad"U i = Uo. Esta representaci¶on supone que existe un par¶ametro de control ex¶ogeno ¯ = ¯(Uo) yque se asocia a la dispersi¶on que existe sobre la distribuci¶on de las creencias y en termodin¶amica

estad¶³stica tiene la misma interpretaci¶on que la inversa de la \temperatura". Si de¯nimos n1t como

la fracci¶on de los agentes que son racionales y como n2t la proporci¶on de \ruidosos", tenemos:

n1t =

e¡¯U1t

Zt; n2

t =e¡¯U

2t

Zt(2.10)

donde 1=Zt el factor de normalizaci¶on de la distribuci¶on:

Zt = e¡¯U1t + e¡¯U

2t (2.11)

Entonces, el valor de la expectativa agregada se de¯ne como el promedio pesado por estas proba-bilidades:

6El cali¯cativo de ruidosos se debe a que con este mecanismo se cometen errores sistem¶aticos de apreciaci¶on.


yet+1 = n1t ¢ y1;e

t+1 + n2t ¢ y2;e

t+1 = n1t ¢ yt+1 + n2

t ¢ g(yt; yt¡1; yt¡2; ¢ ¢ ¢ ;#) (2.12)

Para hacer una presentaci¶on m¶as simpli¯cada conviene de¯nir una nueva variable (end¶ogena) quepodemos llamar como la \polarizaci¶on" del sistema:

mt = n1t ¡ n2

t ) n1t =

1 +mt

2y n2

t =1¡mt

2(2.13)

Cuando mt = 1, todos los agentes siguen las expectativas racionales, mientras que si mt = ¡1todos est¶an optando por la estrategia adaptativa. Luego, si se usa la ecuaci¶on 2.10, se obtiene:

mt = tanh³¯

2(U2

t ¡ U1t )´

(2.14)

en estas condiciones queda impl¶³citamente de¯nido un sistema din¶amico recursivo que determinalos valores de la variable yt, y que depende de c¶omo se est¶an formulando las expectativas y de qu¶eproporci¶on de agentes las formulan racional o extrapolativamente:

yt = f³1 +mt

2yt+1 +

1¡mt

2g(yt; yt¡1; yt¡2; ¢ ¢ ¢ ;#); µ

´(2.15)

Como la evoluci¶on de mt es altamente no lineal cabe esperar comportamientos peri¶odicos, cuasi-peri¶odicos y ca¶oticos. Cabe destacar que este abordaje puede aplicarse cuando hay m¶as de dosmecanismos de formaci¶on de expectativas.

Previsi¶on perfecta y agentes \ruidosos": modelo lineal

A continuaci¶on mostramos, a trav¶es de un simple ejemplo, c¶omo la coexistencia de dos mecanismosde formulaci¶on de expectativas, puede conducir a los m¶as diversos comportamientos (puntos ¯josestables, ciclos l¶³mites con diversos per¶³odos o evoluciones ca¶oticas). La estructura del modelo sesimpli¯ca al m¶aximo para que resulte evidente que la complejidad de la din¶amica surge tan s¶olo dela heterogeneidad as¶³ como de la posibilidad que haya migraci¶on entre los mecanismos de generaci¶onde expectativas.

Supongamos que cierta variable econ¶omica yt, se comporta linealmente con el valor de laexpectativa futura de la misma:

yt = a ¢ yet+1 + b (2.16)

Un modelo de estas caracter¶³sticas puede tener validez en muchos contextos econ¶omicos, porejemplo:

² Si se de¯ne el nivel de ingreso como la suma del nivel de consumo y el de inversi¶on: Yt = Ct+It,se supone que el nivel de consumo es proporcional al de actividad: Ct = c¢Yt y que la inversi¶ondepende de la expectativa futura del ingreso: It = Io+®¢Y e

t+1, donde Io es un nivel de inversi¶onaut¶onoma y ® un coe¯ciente de aceleraci¶on, se llega a la ecuaci¶on 2.16.

² Si se supone que en un mercado ¯nanciero existen dos tipos de activos, uno sin riesgo quebrinda una tasa de inter¶es r y otro que otorga una corriente de dividendos dt, y si los preciosfuturos de este activo no se conocen, los inversores deben formular una expectativa pet+1 alcomienzo de cada per¶³odo. Se puede formular una condici¶on de arbitraje (bajo neutralidadfrente al riesgo) que iguala los rendimientos de ambos activos: (1+r)pt = dt+p

et+1, suponiendo

que dt = d > 0; 8t se llega a la estructura especi¯cada antes, para yt ´ pt.

² Bray (1982) [36] desarroll¶o un modelo lineal similar al de la \telara~na": pt = a+ bpet+1 + ut,para estudiar la din¶amica de los procesos de aprendizaje m¶as so¯sticados que las expectativasadaptativas y la convergencia a expectativas racionales.


Como en la secci¶on anterior, suponemos existen dos clases de agentes, los que pagan un altocosto (¯jo) por utilizar el mecanismo de \previsi¶on perfecta" y los que emplean un modelo simplede expectativas adaptativas arriesg¶andose a cometer errores de pron¶ostico:

² Como vimos antes, los agentes racionales pronostican sin cometer errores de previsi¶on, por lotanto:

y1;et+1 = yt+1 (2.17)

La \desutilidad" de este mecanismo la determina el costo ¯jo C1 pagado por poder accederal exacto valor futuro de yt+1 consistente con todo el modelo y con las creencias de todoslos agentes del sistema. El equilibrio con previsi¶on perfecta es: y¤ = b

1¡a , y la din¶amica,suponiendo que s¶olo existe este mecanismo, la determina la ecuaci¶on en diferencias:

yt+1 =1

ayt ¡

b

a(2.18)

que es estable siempre que a ¸ 1 e inestable en los otros casos.

² Los agentes que utilizan expectativas adaptativas corrigen sus pron¶osticos seg¶un el errorcometido en el instante anterior, entonces:

y2;et+1 = y2;e

t + °(yt ¡ y2;et ) (2.19)

° es una \tasa de adaptaci¶on" y mide la velocidad de cambio de la expectativas respecto dela magnitud del error cometido. Calcular esas expectativas supone el pago de cierto costopor lo tanto la \desutilidad" de esta estrategia puede de¯nirse como:

U2t = (yt ¡ y2;e

t )2 + C2 (2.20)

Puede suponerse que computar y2;et+1 en forma extrapolativa, es una tarea de mucho menor

complejidad que la que se necesita para hacer una predicci¶on perfecta. Por esta raz¶on sesupone que los costos ¯jo cumplen: C1 > C2. El equilibrio basado unicamente en el mecanismoextrapolativo es el mismo que el de previsi¶on perfecta siempre que 0 < ° < 1 pues, es f¶acilcomprobar que:

y2;et+1 = °

1X

i=0

(1¡ °)iyt¡i por lo tanto (2.21)

y¤ = a°y¤1X

i=0

(1¡ °)i + b = ay¤ + b (2.22)

Sin embargo, en este caso la soluci¶on del modelo es la ecuaci¶on en diferencias:

yt+1 =³ 1¡ °

1¡ a°´yt +

³ b°

1¡ a°´

(2.23)

que es inestable cuando la soluci¶on de previsi¶on perfecta es estable y viceversa.

Si la expectativa agregada se de¯ne ahora como el promedio ponderado de ambos meca-nismos, pesados por las proporciones obtenidas seg¶un la ecuaci¶on 2.12 que son compatibles conel principio de m¶axima entrop¶³a, la din¶amica del sistema queda determinada por una ecuaci¶onrecursiva no lineal:


yt+1 =

8<:

2+a°(mt¡1)a(1+mt)

yt +a(mt¡1)(1¡°)y2;e

t ¡2ba(1+mt) Si mt6= ¡1³

1¡°1¡a°

´yt +

³b°

1¡a°´

Si mt = ¡1(2.24)

mt = tanh³¯

2[(yt ¡ y2;e

t )2 + C2 ¡ C1]´

(2.25)

El modelo posee 5 par¶ametros libres:

² a: es la pendiente de la funci¶on que vincula la variable realizada con la expectativa (unasuerte de \multiplicador de las expectativas"),

² b, el nivel \aut¶onomo" de la variable end¶ogena,

² °: la tasa de aprendizaje,

² ¯: la \temperatura", que act¶ua como par¶ametro de control. Este par¶ametro est¶a asociadocon las tasas de migraci¶on entre ambos mecanismos y de¯ne la dispersi¶on de la distribuci¶onde creencias tal como se indic¶o anteriormente,

² la diferencia entre costos C2 ¡ C1. Para simpli¯car se puede suponer que C2 = 0.

El modelo est¶a lejos de recrear una situaci¶on real, sin embargo se lo construye al s¶olo efectode exhibir c¶omo la incorporaci¶on de una din¶amica sobre la heterogeneidad de los mecanismosde formaci¶on de las expectativas produce una rica variedad de evoluciones. Se pasa por alto elan¶alisis riguroso de la din¶amica sobre todo el espacio de par¶ametros. A continuaci¶on se realiza unestudio parcial de los comportamientos que se obtienen parar mostrar que esta forma de incorporarheterogeneidades din¶amicamente puede producir inestabilidades sobre la variable end¶ogena delsistema. T¶engase en cuenta que el modelo posee dos variables de estado, el observable del sistema(por ejemplo el nivel de ingreso) y la probabilidad o fracci¶on de agentes que optan por uno u otromecanismo de formaci¶on de expectativas, siendo esto ¶ultimo, la que da lugar a un sistema din¶amicodetermin¶³stico no lineal.

Algunas simulaciones num¶ericas

Supongamos que todos los agentes utilizan las expectativas racionales como predictor del sis-tema. En este caso el sistema converge a punto de equilibrio estable (con la condici¶on inicialutilizada), pero por seleccionar este predictor so¯sticado los agentes deben pagar un costo. Cuandola predicci¶on obtenida con el otro m¶etodo, que adapta los pron¶osticos progresivamente, es lo su¯-cientemente preciso, a los agentes le conviene migrar hacia este mecanismo para evitar pagar esecosto. Sin embargo, si todos los agentes eligen este predictor y, considerando que el sistema est¶acerca del equilibrio pero todav¶³a no lo alcanz¶o, el transito hacia el punto de equilibrio se inter-rumpir¶a puesto que con la migraci¶on el equilibrio se torna inestable. Como el sistema comienza adiverger con rapidez, el predictor adaptativo empieza a cometer errores signi¯cativos de apreciaci¶on.Si se sopesa este error con el costo del predictor m¶as so¯sticado cada vez m¶as agentes desearanpagar el costo y no cometer errores de previsi¶on y, por lo tanto, migrar¶an hacia las expectativasracionales, las cuales revierten la din¶amica hacia el punto de equilibrio (que es ahora estable). Esteproceso se repetir¶a inde¯nidamente. Cuando la intensidad de las elecciones es alta, esto es cuando¯ ! 1, tan pronto como el costo (normalizado) pagado por utilizar expectativas racionales seamenor que error cometido por el mecanismo adaptativo, todos los agentes migran hacia la elecci¶onracional y viceversa.

A continuaci¶on se hace un an¶alisis parcial eligiendo ad-hoc distintos valores de los par¶ametros.Hemos convenido en ¯jar los valores de a = 1:01 y b = ¡10. El equilibrio del sistema, tanto conexpectativas racionales como con adaptativas, es y¤ = 1000.


² Cuando ¯ ) 1 (T ) 0) y C1 = 0 (¯gura 2.1): Un valor de ¯ peque~no hace que la dis-persi¶on alrededor de la \desutilidad" promedio sea m¶³nima. La \desutilidad" de la estrategiaadaptativa s¶olo depende de los errores de apreciaci¶on que surjan de la misma y no hay costosderivados de elegir las expectativas racionales (C1 = 0). El sistema converge al equilibriopartiendo de una poblaci¶on con mayor¶³a de agentes racionales (mt = 1). Para valores de °mayores que 0:4 se observa en la convergencia una migraci¶on del 50% de los agentes hacia elesquema adaptativo (m = 0). Esto se debe a que cerca del equilibrio el error cometido por losque optan adaptarse es nulo, y como todo agente que sigue esta estrategia no paga el costo¯jo (C1 = 0), la migraci¶on se ve favorecida por que hay un indiferencia a elegir uno u otromecanismo. Cuando ° < 0:4 el sistema converge igualmente al equilibrio, pero la polarizaci¶ontiene un comportamiento oscilatorio, dado el lento aprendizaje de los agentes que optan porla adaptaci¶on.

Figura 2.1: Evoluci¶on de la variable yt (eje de la izquierda) y de la polarizaci¶on o distribuci¶on delas expectativas mt (eje derecho). Se muestra el caso ¯ = 20000, con C1 = 0, para los casos ° = 0:8y 0:2. La l¶³nea de puntos corresponde a la polarizaci¶on del sistema: mt.

² Si ¯ ) 0 (T ) 1) y C1 = 0 (¯gura 2.2). En este caso la poblaci¶on es m¶as propensa a las°uctuaciones entre ambas estrategias. Cuando ° = 0:8 la convergencia al equilibrio es similara la del caso anterior, no obstante, si ° = 0:2 presenta oscilaciones tanto para la variable ytcomo para la polarizaci¶on mt. Para \temperaturas" elevadas, y baja tasa de aprendizaje,el sistema es propenso a no encontrar el equilibrio, dando lugar a un ciclo l¶³mite como elobservado en la ¯gura.

Figura 2.2: Evoluci¶on de la variable yt (eje de la izquierda) y de la polarizaci¶on de las expectativasmt (eje derecho). Se muestra el caso ¯ = 0:1, con C1 = 0, para los casos ° = 0:8 y 0:2. La l¶³nea depuntos representa la polarizaci¶on del sistema: mt.


Tomando valores \intermedios" de ¯ (por ejemplo ¯ = 2) y C1 = 0: El sistema presenta uncomportamiento similar al de la ¯gura anterior.

² Cuando suponemos que ¯ ) 1 (T ) 0) y C1 = 1:5 (¯gura 2.3). La incorporaci¶on deun peque~no costo por elegir expectativas racionales da lugar a comportamientos peri¶odicos(° = 0:8) o cuasi peri¶odicos (° = 0:2) de la variable de estado: yt. La polarizaci¶on de lasexpectativas tambi¶en presenta un comportamiento oscilatorio: a diferencia de los casos ante-riores el sistema no se estaciona en una proporci¶on estable de agentes racionales y adaptativos.En el segundo caso de la ¯gura 2.3 se observan momentos en los que el sistema se polarizatotalmente hacia uno u otro mecanismo de generaci¶on de expectativas.

Figura 2.3: Evoluci¶on de la variable yt (gr¶a¯co superior) y de la polarizaci¶on de las expectativasmt (gr¶a¯co inferior). Se muestra el caso ¯ = 20000, con C1 = 1:5, para los casos ° = 0:8 y 0:2

² Tomando un valor intermedio de ¯ (¯ = 2) y C1 = 1:5 (¯gura 2.4) El comportamiento de lavariable de estado yt y de la polarizaci¶on mt es oscilatorio, sin embargo, en el primer casola evoluci¶on es relativamente \suave" mientras que la evoluci¶on de la polarizaci¶on muestraregiones en las que esta oscila a altas frecuencias. Tiene lugar una especie de \resonancia"debida al hecho que los costos pagados por cada mecanismo poseen valores muy similarescuando el sistema se aparta del punto de equilibrio: y¤ = 1000. Tiene lugar entonces, unamayor competencia entre ambos mecanismos de expectativas, y la migraci¶on entre uno u otroes inestable.

² Eligiendo ¯ = 2 y C1 = 2:75 (¯gura 2.5): La evoluci¶on de ambas variables se torna ca¶otica paralos dos valores considerados de °. Cuando ° = 0:8 los valores de yt oscilan aperi¶odicamentecon una amplitud menor que en el caso ° = 0:2. Por esta raz¶on los tiempos medios delas °uctuaciones son menores. Observese la permanente inestabilidad de la polarizaci¶on delas expectativas. Suponiendo que ¯ = 2 y C1 = 3: El costo por acceder a las expectativasracionales es elevado. La evoluci¶on es ca¶otica. En el caso de ° = 0:8 la amplitud que alcanzanla °uctuaciones aperi¶odicas es enorme.


Figura 2.4: Evoluci¶on de la variable yt (eje izquierdo) y de la polarizaci¶on de las expectativas mt

(eje derecho). La par¶ametros tienen un valor de ¯ = 2, con C1 = 1:5, y ° = 0:8 (a la izquierda) y0:2 (a la derecha).

Figura 2.5: Evoluci¶on de la variable yt (gr¶a¯co superior) y de la polarizaci¶on de las expectativasmt (gr¶a¯co inferior). Se muestra el caso ¯ = 2, con C1 = 2:75, para los casos ° = 0:8 y 0:2.

Algunos comentarios

Las simulaciones num¶ericas que hemos mostrado indican que el con°icto que existe entre las fuerzasproducidas por la utilizaci¶on del predictor racional pero m¶as costoso y las debidas al predictorextrapolativo dan lugar a una rica variedad de din¶amicas.

En [89], a partir del an¶alisis emp¶³rico, se sugiere que buena parte de los movimientos deprecios en los mercados ¯nancieros no parecen asociarse con la observaci¶on de informaci¶on relevantesino con la existencia de creencias muchas veces inconsistentes con los datos \fundamentales" de laeconom¶³a. En t¶erminos del modelo que desarrollamos podr¶³a ocurrir que agentes que basaban susplanes en informaci¶on costosa acerca de la estructura del sistema, deciden cambiar de metodolog¶³ay optar por seguir la tendencia del mercado extrapolando los precios pasados, sin que se tenga encuenta la verdadera estructura del sistema. Si la proporci¶on de agentes que act¶uan de esta maneracrece, es probable que tenga lugar una burbuja que crezca hasta que los agentes decidan actuarracionalmente y evaluar la verdadera potencialidad de la sistema econ¶omico-¯nanciero. Este tipode proceso podr¶³a dar lugar a un incesante proceso de auges y ca¶³das en los precios de los activos¯nancieros. Se puede sugerir un modelo m¶as realista si los costos involucrados fueran end¶ogenos y


variables en el tiempo.El modelo que hemos presentado puede generalizarse suponiendo que las predicciones se

construyen sobre la base de un conjunto ¯nito de m¶as de dos predictores. Estos predictores podr¶³anutilizar la informaci¶on pasada de una manera m¶as complicada que el simple caso de las expectativasadaptativas simples. Podr¶³an agregarse otros m¶etodos de aprendizaje como las extrapolacionesparam¶etricas a partir de cuadrados m¶³nimos. Es posible por otro lado incorporar al conjunto depredictores una cantidad similar de ellos, pero con diferentes valores de sus tasas de aprendizajeu otros par¶ametros relevantes del m¶etodo de extrapolaci¶on considerado. Podr¶³a ser interesante, yqueda para el futuro, incorporar una cantidad muy grande de predictores. Tal vez en esta nuevasituaci¶on el sistema se \termalice" haciendo que la din¶amica que era ca¶otica con el uso de pocospredictores, se estabilice. Este hecho, pondr¶³a en evidencia que la diversidad de comportamientosno est¶a directamente asociada a la \complejidad" del predictor. Aumentar el n¶umero de predictorespodr¶³a pues dar lugar a cambios en la din¶amica. La incorporaci¶on de numerosos predictores puedeneliminar la posibilidad de caos siempre que no tengan lugar \efectos coherentes" que ampli¯quen,por retroalimentaci¶on positiva, las °uctuaciones.

En este modelo, y bajo ciertas condiciones, se alcanzaron evoluciones ca¶oticas. En los¶ultimos a~nos han proliferado en la literatura econ¶omica modelos que exhiben este tipo de din¶amicas\extra~nas". Es menester pues analizar los verdaderos alcances de estos modelos concebidos en elmarco de la teor¶³a del caos. La siguiente secci¶on trata sobre este tema y se analiza especialmentela consistencia l¶ogica de modelos en los que se supone que los agentes operan racionalmente.

3.3 Modelos ca¶oticos en la literatura econ¶omica

\En el caos inicio una primera designaci¶onde todas las posibilidades larvadas

que en cierta ocasi¶on se constituyeron en cultura."Antonin Artaud

Gen¶ericamente, los modelos ca¶oticos que se han publicado en la literatura econ¶omica puedenser clasi¯cados en dos grandes grupos:

² Aquellos modelos que parten de un punto de vista que podr¶³amos denominar como el enfoquemacrodin¶amico con funciones de comportamiento de tipo \fenomenol¶ogico". Tenemos por unlado los modelos din¶amicos con variables agregadas como los desarrollados por Goodwin, oKalecki o los modelos de crecimiento a la Solow; por el otro lado est¶an los modelos de inter-acci¶on entre sectores o pa¶³ses, que dan lugar a din¶amicas ca¶oticas debido al desacoplamientoentre las tasas de ajuste o los rezagos intersectoriales.

² El otro grupo lo conforman los modelos basados en la hip¶otesis de racionalidad, con agentesrepresentativos optimizadores. El equilibrio es un resultado ¶optimo del proceso de decisionescoordinadas por hip¶otesis de partida. Estos modelos son hoy en d¶³a el est¶andar de la macroe-conom¶³a actual, en ellos las °uctuaciones se originan como una respuesta racional al entorno.Este gran grupo de modelos incluye:

(i) Modelos de generaciones superpuestas con previs¶on perfecta, en los que en todo instantecoexisten dos generaciones de agentes (usualmente rotulados como j¶ovenes y y viejos o)que enfrentan un problema de optimizaci¶on del tipo:

max U(cyt ; cot+1) sujeta a: cyt +

cot+1

½= wyt +

wot+1

½(3.26)

cuando: ½ = ½(ct) [25] o cyt = cyt (½¤) [85] es posible en contrar situaciones con caos.

La principal objeci¶on formal de estos modelos es que el agente representativo optimizasobre un per¶³odo m¶as corto que el que genera ciclos contradiciendo lo que ocurre en la

3.3. Modelos ca¶oticos en la literatura econ¶omica 53

realidad. Es posible demostrar que en este tipo de modelo, si el agente vive inde¯nida-mente y optimiza un sendero in¯nito es posible encontrar ¶orbitas ca¶oticas [25].

(ii) Modelos de crecimiento ¶optimo con expectativas racionales. El formato gen¶erico de estosmodelos es el siguiente:

max1X

t=0

¯tU(kt; kt+1) sujeta a: (kt; kt+1) 2 T ko dado (3.27)

donde T es el conjunto asequible por la tecnolog¶³a y la disponibilidad de recursos.

Boldrin & Montruccio [32] han demostrado que todo sendero de crecimiento ¶optimofktg1t=0 representado por una una funci¶on de decisi¶on kt+1 = f

¯(kt) 8 f¯ 2 C2 es soluci¶on

de un problema de crecimiento ¶optimo como el que hemos planteado en la ecuaci¶on 3.27para tasas de descuento, tecnolog¶³as y preferencias adecuadas a esa soluci¶on. En partic-ular, es posible encontrar trayectorias del sistema ca¶oticas ya que bien podr¶³a tomarseel caso en que kt+1 = r(¯)kt(1 ¡ kt) 2 C2. Esto es posible si el futuro es fuertementedescontado, evitando que los agentes perciban importantes ventajas en el intercambiointertemporal (hip¶otesis de agentes \miopes"), o sea cuando ¯ ¿ 1. Estas conclusionesdieron lugar a los llamados teoremas Anti-Turnpike ya que contrar¶³an los argumen-tos que conducen a senderos de ¶optimos y estacionarios de equilibrio de los teoremas\Turnpike". En un caso de estas caracter¶³sticas, el agente representativo optimiza unacorriente de utilidades in¯nita con previsi¶on perfecta. Es evidente que esta situaci¶onpuede ser inconsistente con la aparici¶on de trayectorias ca¶oticas. Lo mismo ocurre conlos modelos basados en la superposici¶on de generaciones. Analizamos a continuaci¶on yde modo conceptual la importancia de la teor¶³a del caos este tipo de modelos.

3.3.1 Son relevantes los modelos econ¶omicos \ca¶oticos"?

El desarrollo de la hip¶otesis que supone que las °uctuaciones agregadas pueden representar unfen¶omeno end¶ogeno que puede persistir a¶un en ausencia de perturbaciones estoc¶asticas llev¶o apensar en un primer momento que pod¶³an tener lugar movimientos peri¶odicos. Esto motiv¶o laaparici¶on de modelos econ¶omicos entre los que destacan aquellos formulados por Samuelson y porGoodwin a mediados de este siglo. Sin embargo, los comportamientos peri¶odicos que estos modelosmostraban no se vieron econom¶etricamente con¯rmados [25].

El desarrollo de las nuevas herramientas de trabajo que facilit¶o la teor¶³a del caos deter-min¶³stico, no tardaron utilizarse en todas las ¶areas de la ciencia, primeramente en las cienciasf¶³sico-matem¶aticas, luego en la biolog¶³a te¶orica, especialmente en los sistemas ecol¶ogicos y en losmodelos de din¶amica de poblaciones [147] y, ¯nalmente en la econom¶³a [25] as¶³ como en el resto delas ciencias sociales. Cabe acotar que en esta ¶ultima disciplina el uso de la teor¶³a del caos se harealizado casi exclusivamente de manera metaf¶orica, extrayendo conclusiones inv¶alidas a partir deinterpretaciones que poco tienen que ver con el sentido original de esta teor¶³a. En rigor de verdadhablar de caos (determin¶³stico) no tiene sentido si no se conoce el sistema din¶amico en cuesti¶on.S¶olo porque sabemos que existe uno, con ecuaciones bien especi¯cadas, y porque podemos variarsus par¶ametros, es que tiene sentido hablar del caos. Esto es exactamente lo opuesto a lo que seha pretendido con las super¯ciales interpretaciones sociol¶ogicas \postmodernas" sobre el tema. Elproblema radica en el hecho de que la econom¶³a, en tanto ciencia social, pero por otro lado dotadade un alto nivel de rigor, abarca un terreno lo su¯cientemente amplio como para dar cabida a todoel espectro de interpretaciones acerca de esta cuesti¶on.

Nunca se comprendieron con la debida precisi¶on los verdaderos alcances de esta nueva teor¶³acuando se la utiliz¶o en el estudio de la evoluci¶on de gran cantidad de sistemas econ¶omicos y, porlo tanto, muchas veces se le atribuyeron a estos modelos \m¶agicas y extra~nas" propiedades de\caoticidad" e impredictibilidad, que no eran m¶as que el resultado, a veces voluntario, de la excesiva


simpli¯caci¶on de la representaci¶on con el objetivo de obtener muchas veces de manera premeditadaese resultado sobre la evoluci¶on din¶amica del modelo construido. Esta a¯rmaci¶on pareciera serparad¶ojica, ya que a primera vista y para aquel que no conoce la teor¶³a del caos, simplicidad en larepresentaci¶on7 y evoluciones impredecibles parecieran ser conceptos que se contraponen.

El estudio de la actividad econ¶omica envuelve de por s¶³ una labor interpretativa [156]. Paraque la interpretaci¶on de un modelo sea v¶alida, este deber¶³a al menos haber pasado la prueba de larobustez.

3.3.2 Caos determin¶³stico y la teor¶³a econ¶omica

En esta secci¶on se discute la utilizaci¶on de los modelos ca¶oticos en la econom¶³a. Para una mayorclaridad expositiva separamos los temas en diversos items:

² Tiempo continuo versus tiempo discreto: La utilizaci¶on de ecuaciones en diferencias¯nitas para representar la evoluci¶on de muchos sistemas ha resultado ser de gran utilidaden el ¶ambito de la teor¶³a econ¶omica. La ventaja principal que poseen las ecuaciones endiferencias es que contienen impl¶³citamente la idea de que la informaci¶on de las variablesrelevantes se cuanti¯ca en intervalos discretos (por citar algunos ejemplos, cada mes se conoceel nivel de precios, el producto bruto se publica trimestralmente, los indicadores ¯nancieros secontabilizan diariamente), por otro lado el proceso de toma de decisiones no es aparentementecontinuo. Junto a estas razones de ¶³ndole econ¶omica parece claro que la frecuente utilizaci¶onde modelos discretos se debe, precisamente, a la facilidad con que se presentan en ellosdin¶amicas \extra~nas", ha sido una tentaci¶on a la que no pocos investigadores se han podidonegar.

Se han presentado gran cantidad de modelos econ¶omicos que dan como resultado ¯nal mapasfuncionales discretos como los estudiados en el cap¶³tulo 2 y dan lugar a evoluciones ca¶oticaspara ciertos valores de sus par¶ametros [175]. No obstante si el tratamiento de estos modelosse hiciera en tiempo continuo es comportamiento dejar¶³a de ser sensible a las condicionesiniciales. La raz¶on de esta a¯rmaci¶on se sustenta en el Teorema de Poincar¶e-Bendixson quenos da una condici¶on necesaria para la aparici¶on de evoluciones ca¶oticas en sistemas continuos:se requiere que el sistema tenga por lo menos de 3 grados de libertad [87] 8. Los modelosecon¶omicos de los que hablamos por lo general poseen solamente un grado de libertad [25].En los sistemas f¶³sicos existe una estrecha relaci¶on entre los sistemas continuos y discretos.Si en un sistema din¶amico cont¶³nuo se elige una secci¶on o hiperplano apropiado y luego seestudia la evoluci¶on del sistema observando ¶unicamente esa secci¶on estrobosc¶opica, las ¶orbitasdel sistema din¶amico se reducen a una colecci¶on de puntos discretos que conforman un mapade Poincar¶e. En este caso, el mapa de Poincar¶e es la representaci¶on en tiempo discreto de unsistema en tiempo continuo.

7Como vimos en el cap¶³tulo 2 una sola ecuaci¶on din¶amica (no lineal) de primer orden basta para encontrar evoluci¶onsensibles a las condiciones iniciales.

8Esto se debe al hecho de que en los sistemas continuos las aparici¶on de trayectorias ca¶oticas surgen cuando laevoluci¶on en el espacio de fases tiene lugar en lo que se denomina como \atractor extra~no". La principal ventajade estudiar a los sistemas din¶amicos en t¶erminos de sus atractores es que se puede describir los estados del sistema,independientemente de las condiciones iniciales. Es razonable suponer que tal sistema ha tenido su¯ciente tiempocomo para converger al atractor, de modo que lo que se observa corresponde a un subconjunto de menor dimension-alidad respecto de la integridad de todo el espacio de fases. Una evoluci¶on perfectamente oscilatoria corresponde auna ¶orbita cerrada en el espacio de fase, una oscilaci¶on que se amortigua durante el transcurso del tiempo se asociaa una espiral que converge al punto de equilibrio, sin embargo para que sean posibles din¶amicas ca¶oticas es necesarioque las ¶orbitas en el espacio de fases, que est¶an con¯nadas en el atractor extra~no, se plieguen y a la vez se estiren [87].Puesto que estamos hablando de sistemas din¶amicos determin¶³sticos, no es posible que una trayectoria en el espaciode fase se intersecte consigo misma pues, de ser as¶³, se estar¶³a violando la propiedad de determinismo en el sistema.Se demuestra, y a la vez resulta intuitivo, que para que tenga lugar al menos un plegamiento y un estiramiento delas ¶orbitas, ¶estas deben estar con¯nadas en una espacio topol¶ogico de por lo menos tres dimensiones [87].


Sin embargo cuando se quiere comparar la evoluci¶on de un sistema representado en tiempo dis-creto o continuo se puede decir que el cambio en la forma de presentaci¶on introduce supuestosocultos, como pueden ser rezagos no tenidos en cuenta y que deber¶³an ser considerados paracompatibilizar las reprentaciones. Este hecho ha sido escasamente abordado en la literaturay no parece ser f¶acilmente salvable [127]. El hecho de que el comportamiento de un sistemaen tiempo discreto o continuo pueda ser tan diferente seg¶un la elecci¶on que se haga quita elatributo fundamental de la robustez. Por esta raz¶on, la evoluci¶on irregular que se observa enel mapa log¶³stico podr¶³a resultar ser una propiedad exclusivamente matem¶atica no atribuibleal sistema sometido a estudio. Ser¶³a necesario, o al menos deseable, sustentar emp¶³ricamentelos resultados que son consistentes con cada modelo que se propone. Pero debido a queestos modelos son sensibles a las condiciones iniciales no es posible realizar una calibraci¶oneconom¶etrica con¯able.

² Precisi¶on ¯nita: Otro se~nalamiento que podemos hacer, y que pone en duda la posibilidadde que la evoluci¶on de un sistema econ¶omico representado discretamente, sea ca¶otico partedel hecho, cierto, de que las variables dependientes son tambi¶en discretas. Si los precios est¶ande¯nidos en t¶erminos de alguna unidad de cuenta, no podr¶a haber magnitudes m¶as precisasque las que quedan de¯nidas por la precisi¶on que posee por medici¶on. En el caso de los preciosmonetarios de¯nidos en pesos, por ejemplo, la precisi¶on la determina el centavo. Lo mismo sepuede decir de las cantidades de¯nidas por unidades f¶³sicas convencionales. De hecho todaslas magnitudes econ¶omicas poseen una precisi¶on ¯nita; si hablamos de la cuanti¯caci¶on delnivel de producto es evidente que su medici¶on lleva involucrado un determinado error demedici¶on. Podemos entonces subdividir el intervalo de valores posibles de esa variable porventanas de¯nidas por la varianza que posee la medici¶on de la misma. Como consecuenciade ello, el conjunto de todos los estados posibles queda discretizado por un n¶umero ¯nito(aunque grande) de con¯guraciones. La mayor complejidad que puede tener toda evoluci¶ondetermin¶³stica sobre un conjunto de estados ¯nito corresponde a una evoluci¶on cuasi peri¶odica.Con una din¶amica peri¶odica deja de haber sensibilidad a las condiciones iniciales. Estaa¯rmaci¶on se sustenta en el hecho de que siempre existir¶a un n¶umero real 0 < ² ¿ ¾ quede¯ne un intervalo en el que condiciones iniciales distintas: xo y x0o veri¯can que jxo¡x0oj < ²,con ¾ la varianza en la medici¶on de la variable. Entonces cualquier par de condiciones inicialesque disten entre s¶³ una distancia menor que ² tendr¶an, como consecuencia, la misma evoluci¶on.Las ¯guras 3.6, 3.7 y 3.8 muestran el diagrama de bifurcaciones del mapa log¶³stico (xt+1 =rxt(1¡ xt)); primero en el caso en el que los datos no est¶an truncados, con un truncamientonum¶erico del orden de 10¡4 y 10¡2 posteriormente. Claramente se puede observar que cuantomayor es el truncamiento num¶erico de los datos menor es la cantidad de estados asint¶oticos.

² Espacio de par¶ametros: En muchos sistemas din¶amicos el conjunto de valores que tomande los par¶ametros para producir evoluciones err¶aticas puede constituir un conjunto de me-dida nula. Esto signi¯ca que la probabilidad de que los par¶ametros adquieran esos valores es-pec¶³¯cos es nula. Todo ello, sin considerar la plausibilidad econ¶omica de sus valores num¶ericos.En este caso, la existencia de ¶orbitas ca¶oticas no deja de ser una mera curiosidad anal¶³tica.

² Series temporales cortas: La mayor¶³a de las series temporales econ¶omicas no son esta-cionarias y debido al intervalo de muestreo de datos no se dispone de series largas. Estasituaci¶on erosiona la posibilidad de comprobar la existencia de caos en las series econ¶omicas.La longitud de las series temporales acota la utilidad del caos a un espectro peque~no de pro-blemas (por ejemplo el estudio de °uctuaciones en mercados ¯nancieros y de commodities yaque en estos casos las series suele ser largas, pues se puede disponer de datos diarios o inclusointradiarios).


Figura 3.6: Diagrama de bifurcaciones del mapa log¶³stico. La variable dependiente xt no est¶atruncada.

Figura 3.7: Diagrama de bifurcaciones del mapa log¶³stico. El truncamiento de los datos es deun orden de 10¡4. Obs¶ervese que el sistema queda con¯nado en un n¶umero menor de estadosasint¶oticos.

² El rol del \aprendizaje" como elemento estabilizador: Muchos de los trabajos de laliteratura parten de la hip¶otesis de que los agentes econ¶omicos son optimizadores y, con ello,los modelos dan lugar a °uctuaciones end¶ogenas que constituyen equilibrios desde el puntode vista estrictamente econ¶omico. Esto signi¯ca que los mercados quedan perfectamenteequilibrados y las expectativas que se formulan acerca de la futura evoluci¶on son consistentes.Sin embargo, el sendero que sigue la evoluci¶on de estos modelos es impredecible.

Estos resultados dejan de lado un aspecto fundamental de los sistemas econ¶omicos: el apren-

dizaje (v¶ease la secci¶on 3.1.2 de este cap¶³tulo). En [85] se acepta la posibilidad de que existanmodelos no estacionarios con previsi¶on perfecta, pero se justi¯ca la intervenci¶on estatal paraeliminar las °uctuaciones end¶ogenas ya que supone que los agentes aprenden a lo largo deltiempo y esa estabilizaci¶on les permite ahorrar costos de aprendizaje que suelen disminuir lae¯ciencia del sistema y que a su vez no son considerados dentro de la estructura del modelo.Es preferible ir un poco m¶as lejos: es m¶as o menos evidente que cuanto m¶as inestable resulta


Figura 3.8: Diagrama de bifurcaciones del mapa log¶³stico. El truncamiento de los datos es de unorden de 10¡2. El sistema queda con¯nado en un n¶umero mucho menor de estados asint¶oticos.

ser un contexto econ¶omico m¶as di¯cil es aprender a pronosticar la evoluci¶on del mismo yaque se reduce el per¶³odo sobre el que se puede predecir, llegando puntos extremos en queno se pueda decir absolutamente nada. Casos como los de los reg¶³menes de alta in°aci¶onen los cuales se di¯culta la formulaci¶on de contratos cuya realizaci¶on se extiende a lo largode un tiempo m¶as o menos prolongado. En una situaci¶on de estas caracter¶³sticas los agentesecon¶omicos, para seguir operando, se ven obligados a pagar el costo de informarse y aprender.Entonces, la existencia de procesos de aprendizaje no es consistente con el hecho de que unsendero ca¶otico sea ¶optimo de Pareto. Es razonable suponer que los resultados de los mo-delos con previsi¶on perfecta corresponden al l¶³mite asint¶otico de un proceso de aprendizaje.Si el sendero no es estacionario, no es posible alcanzar dicho l¶³mite ya que los agentes seven impedidos de aprender correctamente ese \sendero de equilibrio con previsi¶on perfecta no

estacionario". Se plantea as¶³, una posible contradicci¶on entre la existencia de \trayectoriasca¶oticas" y la previsi¶on perfecta.

3.3.3 La racionalidad en el caos o el caos de la racionalidad?

\Cuanto m¶as honradamente pienso,m¶as profundamente me descomprendo.

El saber es la inconsistencia de ignorar ..."Fernando Pessoa

Bajo el supuesto de previsi¶on perfecta los agentes nunca cometen errores de previsi¶on. Estovaldr¶³a a¶un cuando un observador externo que tenga perfecto conocimiento del modelo concluyaque sus estados siguen un proceso que no se puede predecir. Esta situaci¶on tambi¶en tiene lugaren los modelos que admiten soluciones de \manchas solares", en sistemas con m¶ultiples equilibrioso cuando existe sensibilidad a las condiciones iniciales y por lo tanto sus trayectorias resultan serca¶oticas. Aqu¶³ comentaremos esta ¶ultima posibilidad.

En la secci¶on 3.3 de este cap¶³tulo se a¯rm¶o que la literatura econ¶omica se ha \nutrido" degran cantidad de modelos no lineales que dan lugar a evoluciones que no convergen a un valorestacionario. Sin embargo, desde el punto de vista del an¶alisis econ¶omico estos modelos satisfacentodas las condiciones del equilibrio [25]. La terminolog¶³a, pues, constituye un problema. Por lo ge-neral, el concepto de equilibrio es, por un lado, utilizado para conceptualizar un estado estacionarioy por el otro para signi¯car que un conjunto de condiciones impuestas por los economistas se vensatisfechas. Queda trazada una distinci¶on entre el equilibrio econ¶omico y las propiedades din¶amicas


de la secuencia de valores del equilibrio, ya que muchos modelos (no lineales) no presuponen quelas condiciones de equilibrio econ¶omico se satisfacen en un dado estado estacionario. Deber¶³amospensar pues que bajo ciertas condiciones estos modelos no lineales pueden dar lugar una suerte de\equilibrio ca¶otico" en el que se satisfacen las condiciones de equilibrio de los mercados, y por lotanto los agentes logran optimizar la consecuci¶on de sus objetivos, pero la trayectoria del sistemaes ca¶otica. No es posible establecer una asociaci¶on uno a uno entre evoluciones que no conducen aestados estacionarios y estados de desequilibrio de¯nidos en un sentido estrictamente econ¶omico.

Gran cantidad de modelos publicados en la literatura tradicional muestran la posibilidad deestados de equilibrio econ¶omico que no son estacionarios. Conviene ejempli¯car las a¯rmacionesque hemos venido realizando mostrando algunos modelos de equilibrio con expectativas racionales yhorizonte in¯nito. En primer lugar consideremos un modelo con externalidades como el presentadoen [170] en el cual un agente representativo resuelve el siguiente problema de control ¶optimo entiempo discreto:

max ctf1X

t=0

¯t log (ct)g sujeto a ct + kt = Atk®t¡1 (3.28)

donde 0 < ® < 1, ct denota el consumo y kt el stock de capital en el instante t, 0 < ¯ < 1, k¡1 esuna condici¶on inicial dada, y At es una externalidad de¯nida por una secuencia determin¶³stica quepuede depender del tiempo de una manera complicada.

De las condiciones de primer orden se puede demostrar que la soluci¶on ¶optima cumple con:

kt = ®¯Atk®t¡1 (3.29)

Debemos destacar que este valor ¶optimo es igualmente v¶alido para toda secuencia At por intrincadaque sea su forma expl¶³cita. Ya que no tenemos ninguna restricci¶on sobre los valores de la secuencia,se puede suponer que At = At(kt¡1), y siendo su expresi¶on expl¶³cita:

®¯A(k)k® = rk(1¡ k) 0 · r · 4 (3.30)

Con esta dependencia la externalidad no es una funci¶on mon¶otona del stock de capital. Reem-plazando la ecuaci¶on 3.30 en el equilibrio con previsi¶on perfecta (ecuaci¶on 3.29) se obtiene nueva-mente el mapa log¶³stico:

kt+1 = rkt(1¡ kt) (3.31)

La impresi¶on que deja este modelo es su aparente \confecci¶on a medida" para la obtenci¶onad hoc de comportamientos ca¶oticos. Este modelo sigue claras reglas de juego impuestas por lamodelizaci¶on econ¶omica que en general no especi¯can formas funcionales ni ¶ordenes de magni-tud de¯nidos. El procedimiento empleado para llegar al mapa log¶³stico se basa en una suerte de\deducci¶on hacia atr¶as". Se supone que la externalidad At tiene la dependencia funcional quemostramos pues argumentan que el stock de capital deber¶³a tener, en el largo plazo, un com-portamiento mon¶otono; argumentando que este crece inicialmente, alcanza un punto m¶aximo yposteriormente decaiga. La idea que subyace es que el sistema tiene un tama~no ¯nito, entoncespuede suponerse que existe un umbral a partir del cual quede inhibida la productividad, por es-casez, congesti¶on, excesiva poluci¶on u otros efectos adversos sobre el medio ambiente. Este tipo demodelos pone en evidencia que el agregado de externalidades en las ecuaciones din¶amicas de losmodelos facilita la aparici¶on evoluciones extra~nas. De all¶³, es posible orientar (tal vez de maneraad hoc) los resultados hacia las conclusiones a las que ex ante se deseaba llegar.

En tal sentido, la incorporaci¶on de externalidades como mecanismo para obtener una evoluci¶onca¶otica es por s¶³ misma criticable ya que alcanza con buscar la dependencia adecuada entre las vari-ables para lograr el resultado deseado. La justi¯caci¶on econ¶omica que fundamente esa dependenciaes una tarea ex post que puede realizarse muchas veces con relativa facilidad.


Como otro ejemplo mostramos a continuaci¶on un modelo de precios ¯jos que estudia ladin¶amica del consumo en un esquema monetario simple con previsi¶on perfecta [94]. En muchosmodelos monetarios, un agente representativo optimiza una funci¶on de utilidad entre cuyos argu-mentos se incluye al dinero demandado como una medida de los servicios que este brinda comomedio de cambio.

Si suponemos que un agente representativo en tiempo t busca maximizar una funci¶on deutilidad multiper¶³odo:

maxct;mtU =1X

t

¯tu(ct;mt) sujeto a yt = ct +mt ¡mt¡1 (3.32)

donde ct es el consumo de bienes, y mt ´ Mp la cantidad real de dinero demandada, ¯ es el factor

de descuento (0 < ¯ < 1). Las utilidades marginales son es decrecientes:

@u

@ct> 0

@u

@mt> 0 (3.33)

@2u

@c2t

< 0@2u

@m2t

< 0 (3.34)

El resultado de la optimizaci¶on ser¶a un sendero para las variables ct y mt, dada la restricci¶on sobrela funcional objetivo. Si resolvemos las condiciones de primer orden del problema se llega a:

@u

@ct+1(ct+1;mt+1) =

1

¯

³ @u@ct

(ct;mt)¡@u

@mt(ct;mt)

´(3.35)

Postulando una funci¶on de utilidad cuya expresi¶on sea (para el rango relevante):

u(c;m) = ac+ bm¡ °m2c2 (3.36)

N¶otese que esta funci¶on no satisface todos los supuestos de la teor¶³a axiom¶atica del consumo, yaque no cumple con el supuesto de insaciabilidad. Para que se cumplan las relaciones 3.33 y 3.34,debe veri¯carse que:

c < min f a

2°m2;

sb

2°mg (3.37)

Suponiendo que la demanda nominal de dinero (M) y el nivel de precios (p) no se modi¯can, ladin¶amica del consumo se reduce a la siguiente ecuaci¶on en diferencias siendo mt = ¹m = M

p :

ct+1 =1

¯

³b¡ a(1¡ ¯)

2° ¹m2+ ct ¡

1

¹mc2t

´(3.38)

No se pretenden obtener resultados generales; s¶olo deseamos mostrar que este simple modeloadmite soluciones ca¶oticas. Para ello basta suponer (arbitrariamente) que b = (1¡ ¯)a con lo cualpodemos ¯jar libremente a y b en compatiblilidad con la restricci¶on 3.37. Entonces sistema dereduce a 9:

ct+1 =1

¯ct(1¡

1

¹mct) (3.39)

cuyos puntos ¯jos son: ¹c1 = 0 (estable) y ¹c2 = (1¡ ¯) ¹m (inestable) s¶³:

@ct+1( ¹c2)

@ct=

1

¯(2¯ ¡ 1) < ¡1 (3.40)

9T¶engase en cuenta que cualquier mapa cuadr¶atico de la forma xt+1 = ® + ¯xt + °x2t es reducible al famoso

mapa log¶³stico: yt+1 = ryt(1 ¡ yt), con y 2 [0; 1] a trav¶es del cambio de variables y = A + Bx, quedando r =

1 +p

1¡ 4®° + ¯(2¡ ¯).


lo cual implica que:

¯ <1

3(3.41)

La ¯gura 3.9 muestra como ejemplo el caso en que ¯ = 14 ; la din¶amica no alcanza un estado

estacionario sin embargo, cada estado del modelo constituyen el sendero de equilibrio en el sentidoecon¶omico (sujeto a la estricci¶on de la rigidez de precios). El agente representativo ¶optimiza unafunci¶on de utilidad con previsi¶on perfecta, el sendero de \equilibrio econ¶omico" sigue una secuenciade estados que son ¶optimos de Pareto y, por lo tanto, no existe un sendero alternativo que mejoresu situaci¶on. La principal limitaci¶on de este modelo es que los planes se formula s¶olo de t+ 1.

En ambos casos la din¶amica conduce a evoluciones ca¶oticas a¶un cuando los agentes act¶uancon previsi¶on perfecta y optimizan sus planes. Estos modelos son consistentes matem¶atica, perono econ¶omicamente ya que las variables siguen una evoluci¶on impredecible desde el punto de vistade un analista \externo". Si suponemos v¶alida la concepci¶on que Sargent [171] tiene a cerca de losmodelos de expectativas racionales, deber¶³amos atribuir a los agentes del modelo una capacidadde predicci¶on -a lo sumo- tan precisa como la que tiene todo economista que, desde \afuera",manipula ese modelo. Ya que ning¶un \observador externo" puede predecir el sendero con la mismaprecisi¶on de la misma manera que el agente del sistema pues es ca¶otico se pone de mani¯esto unainconsistencia l¶ogica que pocas veces se apunta en la literatura sobre din¶amica econ¶omica.

Figura 3.9: Ejemplo de comportamiento ca¶otico para el caso ¯ = 14

Si se asocia la noci¶on de equilibrio econ¶omico con la concepci¶on matem¶atica de estadoestacionario es razonable suponer que los agentes orientar¶an sus expectativas por medio de unproceso de aprendizaje que evite cometer errores de previsi¶on en pron¶osticos futuros. En estesentido el equilibrio de expectativas racionales puede considerarse como el atractor natural delsistema. Sin embargo, siempre que se admita que el equilibrio econ¶omico es compatible con unaevoluci¶on no estacionaria la suposici¶on de que los agentes cometen errores de previsi¶on debe serdescartada, ya que no hay forma de corroborar la posibilidad de que haya una convergencia haciael incierto sendero racional.

Los modelos de previsi¶on perfecta presentan otro problema particular [94]: Existe la am-bigÄuedad de si las trayectorias que de ellos devienen tienen que obtenerse iterando desde un valorinicial de las variables signi¯cativas hacia el futuro o ¯jando un valor futuro de las variables (o seauna condici¶on de transversalidad) y resolviendo el modelo por inducci¶on hacia atr¶as. La di¯cultadque se plantea proviene del hecho de que las variables signi¯cativas que determinan la evoluci¶ondel sistema son expectativas, las cuales no se pueden considerar como un dato sino que puedenalterar su valor discretamente ante un cambio de las creencias con respecto a sus valores futuros.Por lo tanto, bien puede suponerse que los valores futuros de la variable son los que determinan demanera un¶³voca su valor presente. Se puede comprobar que el modelo genera din¶amicas distintas


seg¶un c¶omo se lo resuelva. Si se estudia la evoluci¶on de una variable: xt = F (xt+1), ¯jando un\valor terminal", un mapa unimodal podr¶³a admitir soluciones ca¶oticas. Si es que se ¯ja de alg¶unmodo una condici¶on inicial, en un determinado rango, los valores futuros no quedan un¶³vocamentedeterminados.

En rigor de verdad, un modelo de previsi¶on perfecta no admitir¶³a perturbaciones de ning¶untipo, ya que, si las expectativas se ven desmentidas, se contradice la propia hip¶otesis del modelo,por lo que utilizar estos modelos para analizar comportamientos frente a cambios en reg¶³menestransicionales implica una contradicci¶on l¶ogica.

Modelos ca¶oticos con elementos estoc¶asticos

Los argumentos presentados hasta aqu¶³ se basan exclusivamente en la formulaci¶on de modelos de-termin¶³sticos por lo tanto se puso el ¶enfasis en la hip¶otesis de previsi¶on perfecta. Una consideraci¶onespecial merecen los modelos que contienen elementos estoc¶asticos. Se pueden contemplar dosm¶etodos de introducir elementos estoc¶asticos en los modelos no lineales.

El primer m¶etodo es directo. El elemento de azar se introduce en el modelo como unerror de medici¶on sobre las variables. En [53] se consideran las consecuencias de introducir ruidodirectamente en la ecuaci¶on determin¶³stica que exhibe sucesivas bifurcaciones por desdoblamientode per¶³odos hasta llegar al caos. Se analiza all¶³ la situaci¶on en la que el ruido se incorpora enel par¶ametro de control o cuando directamente se lo suma a la ecuaci¶on del sistema en cadaiteraci¶on. Los autores de este art¶³culo muestran que estas dos formas de introducir aleatoriedadson equivalentes y veri¯can que no se altera cualitativamente el proceso de desdoblamientos deper¶³odos que conducen al caos . Por lo tanto, en t¶erminos tambi¶en cualitativos, lo comentadoen la secci¶on anterior ser¶³a v¶alido en el caso en que extendamos nuestro estudio a los modeloscon expectativas racionales que veri¯can Et(x

et+1) = xt+1 siendo xet+1 6= xt+1 (la realizaci¶on de la

expectativa de la variable signi¯cativa es igual a la expectativa a menos de una variable aleatoria).

La otra forma de incorporar elementos estoc¶asticos es poniendo ¶enfasis en el rol integral della incertidumbre en los modelos. En los ¶ultimos a~nos se han formulado gran cantidad de modelosdetermin¶³sticos, pero en los cuales las expectativas de los agentes se suponen condicionadas a algunavariable (oculta) que puede seguir un proceso estoc¶astico. Este tipo de modelo se categorizanbajo la denominaci¶on de modelos de equilibrios de manchas solares o modelos de incertidumbre\extr¶³nseca" ya que las expectativas, si bien pueden ser racionales, est¶an condicionadas por unafuente de ruido externa o alg¶un tipo de variable determin¶³stica oculta [43]. Por ejemplo, se podr¶³apensar que el funcionamiento de un sistema econ¶omico depende de las expectativas que los agentesposeen sobre la prospectiva meteorol¶ogica. Obviamente, todas las consideraciones que se puedanhacer respecto de la evoluci¶on clim¶atica quedar¶an fuera de los alcances del modelo que representaa ese sistema econ¶omico. Se podr¶³a considerar a los modelos determin¶³sticos con externalidades nolineales como un caso degenerado de los equilibrios de manchas solares. Los elementos estoc¶asticosse han incorporado en los modelos no lineales, tambi¶en en una forma un poco m¶as convencional:a trav¶es de las preferencias o la tecnolog¶³a, en lugar de a trav¶es de las expectativas de los agentes.En este caso, se estar¶³a incorporando al modelo una fuente intr¶³nseca de ruido.

3.3.4 Algunas conclusiones

Si los procesos econ¶omicos son impredecibles, sea por que su representaci¶on da lugar a sistemascon m¶ultiples estados de equilibrio, sea porque poseen una evoluci¶on ca¶otica, o estoc¶astica, semenoscaba la utilidad de la pol¶³tica econ¶omica cuantitativa. S¶olo es posible la realizaci¶on de unapol¶³tica econ¶omica cualitativa, cuyo objeto no es regular el comportamiento de las variables sinoresguardar, en alguna direcci¶on determinada, la orientaci¶on econ¶omica del sistema [156].

Adicionalmente cabe destacar que los resultados basados en modelos ca¶oticos constituyenuna paradoja. Por un lado, nos enfrentamos a soluciones de sistemas din¶amicos de \inusitadacomplejidad" que nos impiden la predicci¶on \exacta"; por el otro, todos aquellos fen¶omenos que


hasta el presente se pod¶³an ¯gurar como estoc¶asticos se convierten en candidatos de una descripci¶onperfectamente determinista. El caos determin¶³stico introduce \orden" dentro del \caos" aparente{valga el abuso de lenguaje{ de los modelos estoc¶asticos [4]. En realidad, el caos determin¶³sticovuelve a poner sobre el tapete el tema del azar subjetivo, ya que de acuerdo a ¶el no se trata de quela naturaleza no sepa hacia d¶onde evoluciona, sino que a nosotros nos est¶a vedado el conocimientode las condiciones iniciales con precisi¶on in¯nita como para poder predecir todo el recorrido delsistema. Sin embargo, la predicci¶on a corto plazo siempre es posible, de manera \exacta", y a largoplazo, de manera erg¶odica, si se conoce el sistema din¶amico correspondiente [4].

En general, para obtener trayectorias ca¶oticas en los modelos econ¶omicos es necesario quealg¶un supuesto de \normalidad" en la forma de las funciones involucradas sea violado; a trav¶es deexternalidades que evidencian, en ¶ultima instancia, la incompletitud de los mercados o ya sea laruptura de alg¶un axioma neocl¶asico que modi¯ca las funciones de comportamiento. Por lo generallas violaciones de la \normalidad" en las funciones de comportamiento pueden encontrar debidajusti¯caci¶on a partir de los microfundamentos adecuados.

Muchos investigadores se han basado en el uso (y abuso) de la teor¶³a del caos en sistemasdiscretos para fundamentar la impredictibilidad que subyace en el comportamiento de los sistemasecon¶omicos. Sin embargo, el verdadero origen de esa impredectibilidad debe ser cuidadosamenteanalizada. Muchos modelos poseen m¶ultiples estados de equilibrio, y la determinaci¶on de aquelque resulta depende de variables ocultas al analista; tambi¶en queda oculta la forma en que secoordinan las expectativas. Uno de los principales problemas es que los modelos no contienenun criterio selector de de equilibrios. La predictibilidad del comportamiento de un sistema nosolamente requiere la existencia de un resultado sino tambi¶en la unicidad de sus soluciones. Lascondiciones de unicidad no se satisfacen de manera autom¶atica, especialmente cuando los mercadosson incompletos, como evidentemente ocurre en la realidad.

Una condici¶on necesaria, pero no su¯ciente para la obtenci¶on de evoluciones ca¶oticas en unmodelo es que sus ecuaciones contengan alg¶un tipo de no linealidad que permita alterar el compor-tamiento mon¶otono de las funciones involucradas. Cabe tener en cuenta que las especi¯cacioneslineales surgen como una aproximaci¶on local destinada a simpli¯car el an¶alisis de modelos que enforma m¶as detallada pueden resultar ser de naturaleza no lineal. Por otro lado, en gran variedad demodelos representados con ecuaciones no lineales no se afecta la naturaleza cualitativa de las solu-ciones que pueden incluso ser convergentes para todo el espectro de par¶ametros. Generalmente, elan¶alisis de din¶amicas no lineales se realiza con la ¯nalidad de derivar comportamientos err¶aticos, sinincurrir en la incoporaci¶on de impulsos ex¶ogenos. Sin embargo, parece claro que una representaci¶onp¶uramente end¶ogena de las variables econ¶omicas es un objetivo s¶umamente ambicioso.

Si se revisa con detenimiento la enorme cantidad de modelos presentados en la literaturaecon¶omica, se podr¶a comprobar que en todos los ¶ambitos y ramas de la teor¶³a econ¶omica se hanformulado modelos ca¶oticos. Ser¶³a posible la construir una tabla en la que queden representadoslas principales escuelas y taxonom¶³as de la model¶³stica econ¶omica tradicional, en la que ¯gurenmodelos monetarios, modelos de crecimiento y acumulacion de tipo Keynesiano, modelos en los querige la ley del precio ¶unico, o no, modelos que expliquen la din¶amica de in°aci¶on y del desempleo,modelos con rezagos, de equilibrio o no, etc. Seguramente, y luego de una rigurosa b¶usquedabibliogr¶a¯ca, ser¶a posible llegar a la conclusi¶on de que para todas estas ramas del saber econ¶omicose han podido formular modelos con din¶amicas ca¶oticas. La fruct¶³fera proliferaci¶on de modeloscon comportamientos ca¶oticos, independientemente de la orientaci¶on econ¶omica, nos llama a lare°exi¶on y da la impresi¶on de su aparente confecci¶on a medida al s¶olo efecto de lograr rescatarde ellos el resultado \ca¶otico". La pretensi¶on que subyace en todas estas construcciones es la deconvencer a la comunidad academica que existen diferentes implicaciones en t¶erminos de pol¶³ticaecon¶omica cuando se comparan las visiones que suponen que las °uctuaciones macroecon¶omicasson generadas principalmente por la propagaci¶on de mecanismos end¶ogenos en oposici¶on aquellosque suponen que se originan de perturbaciones ex¶ogenas. Las teor¶³as que soportan la existenciade mecanismos de propagaci¶on end¶ogena suelen defender la acci¶on gubernamental a trav¶es de

3.4. Sistemas Econ¶omicos \Desordenados" 63

pol¶³ticas de estabilizaci¶on en completa contradicci¶on con las teor¶³as que concluyen que los ciclosecon¶omicos son principalmente causados por \shocks" ex¶ogenos, las cuales sugieren que las pol¶³ticasde estabilizaci¶on por parte del gobierno son como mucho un ejercicio futil.

Es posible considerar que, en torno de este tema, hay dos grandes visiones: por un lado est¶anlos adherentes del \oportunismo" que buscan encontrar caos para justi¯car ideas preconcebidas ypor otro los \estructuralistas" que buscan, a trav¶es de s¶olidos supuestos, entender el origen de las°uctuaciones en los sistemas econ¶omicos. Es necesario establecer una cuidadosa distinci¶on entreel mundo de los fen¶omenos humanos o naturales y los modelos matem¶aticos de tales mundos.Las regularidades del mundo se suelen cuanti¯car en magnitudes directamente observables. Comohemos visto, estos elementos observables por lo general forman un conjunto de medidas que tomanvalores en cierto conjunto ¯nito de n¶umeros. Estas medidas no son, por lo general, exactas. En elmundo de la matem¶atica, por otra parte, tenemos representaciones simb¶olicas de estos observablesdel mundo real. Los s¶³mbolos matem¶aticos que representan estos atributos del mundo real suelenser n¶umeros enteros, racionales o reales, sistemas todos ellos, que contienen una colecci¶on in¯nitade elementos simb¶olicos. Dada esta diferencia fundamental, en [47] se le atribuye a los modelosmatem¶aticos un caracter \extrareal" que puede conducir a que la representaci¶on e interpretaci¶onde los resultados d¶e un modelo matem¶atico de lugar a conclusiones err¶oneas.

3.4 Sistemas Econ¶omicos \Desordenados"

\Un orden violento es desorden: yun gran desorden es orden.

Ambas cosas son una."Wallance Stevens

Muchos modelos econ¶omicos presuponen la coordinaci¶on de las actividades de los agentes endos \dimensiones": la \espacial" y la \temporal". Esto implica suponer que las transacciones entrelos individuos que, en realidad se efect¶uan en lugares distintos, est¶an perfectamente \arbitradas", ypueden representarse como teniendo lugar en un \mercado central espacialmente localizado" dondepuede operar un subastador que determina los precios, al modo de lo que resulta en los modelostradicionales de equilibrio general. La coordinaci¶on intertemporal supone una plena consistenciaex-ante de las acciones presentes y futuras planeadas por los agentes a partir de sus percepcionessobre la evoluci¶on del sistema. Al margen de la evidencia cotidiana que revela la capacidad deauto-ajuste de los sistemas econ¶omicos, existe un variado conjunto de fen¶omenos, tales como losepisodias de alta in°aci¶on y ciertas clases de °uctuaciones (o \crisis") econ¶omicas, a partir de loscuales parece razonable dudar de la hip¶otesis de que la coordinaci¶on ocurre siempre como un hechoautom¶atico.

Si se trata de levantar el supuesto de que la coordinaci¶on de los planes es un dato, hacefalta estudiar c¶omo ¶esta puede surgir a partir de la propia interacci¶on de los agentes. Esto nos re-mite a un abordaje \constructivo" (\bottom up") para modelar el sistema (v¶ease la secci¶on 2.5 delcap¶³tulo 2). Como se mencion¶o en los cap¶³tulos 1 y 2, el objetivo es construir una escala jer¶arquicade creciente complejidad que permita indagar acerca de los mecanismos de auto-organizaci¶on queoperan a los diferentes niveles. Un primer paso en esa direcci¶on, que se aborda en detalle, con-siste en representar a los agentes individuales en interacci¶on con los dem¶as. En este punto, cabedistinguir entre \racionalidad" y optimizaci¶on. En efecto, si se busca describir la conducta de losagentes como optimizadora en sentido estricto, los individuos deber¶³an encontrar los extremos defunciones cuyos argumentos tienen una dimensi¶on del orden del n¶umero de bienes que se transanen la econom¶³a, cuya soluci¶on requiere una cantidad de pasos que crece exponencialmente con lainformaci¶on necesaria para especi¯carlos. En estas condiciones, resulta dif¶³cil mantener la hip¶otesisde que los agentes literalmente optimizan; y, al mismo tiempo, el an¶alisis de los mecanismos decoordinaci¶on aparece como de enorme complejidad.

En la pr¶actica, es probable que la conducta de los agentes se corresponda a un sub¶optimo


de la funci¶on objetivo, pero se base en reglas y rutinas de decisi¶on robustas frente a cambios delentorno determinados por modi¯caciones en el comportamiento de los dem¶as individuos. Dicho deotro modo, los agentes operar¶³an heur¶³sticas e¯caces para \acercarlos" al ¶optimo en una variedadde circunstancias, sin necesariamente alcanzarlo. Explorar esta alternativa implica considerar a laracionalidad de los individuos de modo procedural. En este enfoque las acciones de los agentesdeben resultar de algoritmos \razonablemente adaptados" al problema de decisi¶on que enfrentan yel sistema econ¶omico debe ser visto como un sistema de c¶omputo distribuido (o como una red deprocesadores interconectados) donde cada componente tendr¶³a una capacidad limitada, menor a ladel conjunto, y tambi¶en muy inferior a la que ser¶³a necesaria para especi¯car el ¶optimo social 10.

En la imagen mencionada, el sistema evoluciona \computando" su pr¶oxima con¯guraci¶on apartir de la situaci¶on en la que se encuentra y permitiendo que sus agentes pongan en pr¶actica susalgoritmos o rutinas individuales. En la generalidad de los casos, se espera que la din¶amica queresulte sea fuertemente no lineal. Puede, adem¶as, ser disipativa con lo que la regi¶on visitada delespacio de las fases se contrae a una regi¶on m¶as reducida poniendo de mani¯esto, de esta manera,un proceso de auto-organizaci¶on. Mediante esta evoluci¶on el sistema puede relajar a una situaci¶onestacionaria, recorrer un r¶egimen transitorio o incluso converger a un atractor extra~no.

La evoluci¶on de un sistema f¶³sico que act¶ua como una computadora s¶olo puede ser descriptade manera general mediante un c¶alculo si se eval¶uan todos su pasos de manera explicita. Noexiste otro m¶etodo que sea universal y que adem¶as permita describir la evoluci¶on de manera m¶asabreviada. Esta situaci¶on corresponde a sistemas denominados \computacionalmente irreducibles"[196]. Si la analog¶³a fuera v¶alida, considerar a los sistemas econ¶omicos como de c¶omputo distribu¶³dolos englobar¶³a en esta amplia categor¶³a de irreducibilidad computacional con lo que la manera m¶as\econ¶omica" de obtener su evoluci¶on ser¶³a seguirla expl¶³citamente. Existen otros sistemas paralos que existe el atajo de computar - en otro sistema f¶³sico cuya evoluci¶on sea m¶as compleja -la trayectoria o la ecuaci¶on de movimiento y obtener de ese modo su con¯guraci¶on en cualquiermomento del tiempo. ¶Estos son la excepci¶on, mientras que la regla son los irreducibles. Ejemplos de\modelos reducibles" son los problemas de la din¶amica elemental. Algunos ejemplos para los que esimposible un procedimiento general de soluci¶on son los aut¶omatas celulares, los sistemas din¶amicosca¶oticos, las redes neuronales, las m¶aquinas de Turing universales, etc. (v¶ease la secci¶on 3.4.2 deeste cap¶³tulo y el cap¶³tulo siguiente para tener m¶as detalles).

Aceptar este enfoque hasta sus ¶ultimas consecuencias abre cuestiones pol¶emicas cuya dis-cusi¶on excede los prop¶ositos del presente trabajo. Si as¶³ fuera, un sistema natural que sea capazde computaci¶on universal, por su propia naturaleza, podr¶³a emular cualquier evoluci¶on. Con-secuentemente deber¶³a concluirse que un sistema f¶³sico que pueda actuar de esa manera puedeemular la evoluci¶on de cualquier otro sistema f¶³sico. De estas consideraciones surge que si la de-scripci¶on algor¶³tmica de los agentes econ¶omicos corresponde a la realidad, se deber¶³a poder simularla evoluci¶on de un sistema econ¶omico en una computadora universal (un art¶³culo interesante quetrata esta tem¶atica es [190]). ¶Esta es una aseveraci¶on semejante a (y vinculada con) la as¶³ llamada\hip¶otesis de inteligencia arti¯cial fuerte" que a¯rma que toda manifestaci¶on de inteligencia esrepresentable por un algoritmo. Y por obvia extensi¶on la conducta de N agentes inteligentes eninteracci¶on deber¶³a tambi¶en ser reducible a una expresi¶on algor¶³tmica. Traducido al lenguaje quenos ocupa se podr¶³a formular correspondientemente la hip¶otesis de \econom¶³a arti¯cial fuerte" quedir¶³a que toda evoluci¶on de un sistema econ¶omico es expresable bajo la forma de un sistema dec¶omputo distribuido en el que cada nodo implementa sus decisiones de manera algor¶³tmica. Lahip¶otesis de \econom¶³a arti¯cial d¶ebil" derivar¶³a de poner l¶³mites a la a¯rmaci¶on hecha m¶as arribaacerca de la posibilidad de emular mediante una computadora universal un sistema cuya evoluci¶on

10V¶ease [123, 90]; La discusi¶on esbozada aqu¶³ se vincula con el an¶alisis de Heiner [91]. A menudo, los modelosecon¶omicos suponen impl¶³citamente que los agentes econ¶omicos son capaces de expandir y mejorar sus capacidadesde an¶alisis y decisi¶on a medida que el entorno se vuelve m¶as complejo. Heiner hace notar que, por contraste, loscomportamientos en ambientes muy complicados tienden a simpli¯carse, y los agentes tienden a actuar sobre la basede estrategias \rutinarias" y conservadoras.


es irreducible. Esto equivale a a¯rmar que existen conductas y din¶amicas econ¶omicas que no puedenser reducidas a la forma de una red de \agentes algor¶³tmicos".

En lo que sigue consideraremos el abordaje computacional de sistemas y agentes econ¶omicossin pretender en modo alguno zanjar ni tomar partido en las especulaciones formuladas m¶as arriba.El prop¶osito es s¶olo explorar un sendero que permita un avance de limitado reduccionismo enla comprensi¶on de algunos fen¶omenos de auto-organizaci¶on de sistemas econ¶omicos. El punto departida para construir una descripci¶on de este tipo radica pues en estilizar al m¶aximo el compor-tamiento de los agentes reteniendo un espectro limitado de sus posibles conductas, y proponeruna representaci¶on algor¶³tmica de sus decisiones y mecanismos de decisi¶on. La estilizaci¶on debeser tal que permita entender fen¶omenos emergentes en t¶ermino de conductas elementales (v¶ease lasecci¶on 2.6, cap¶³tulo 2). Los agentes, su plasticidad y sus mecanismos de aprendizaje deben serformulados de manera de ser ejecutados por una computadora universal.

El siguiente ingrediente sobre el que se debe decidir en un modelo constructivo es la or-ganizaci¶on \espacial" del sistema (topolog¶³a), con lo cual, se debe establecer alg¶un criterio deproximidad de modo de limitar por esta v¶³a las in°uencias que es capaz de recibir cada agente. El\tama~no" de la vecindad y el grado de conectividad con que los agentes se vinculan deben pensarseasociados a la cantidad de informaci¶on que un agente dispone acerca del resto del sistema. De¯nir la\topolog¶³a"de las vinculaciones internas en un sistema econ¶omico dista de ser un problema sencillo,dado el complejo sistema de comunicaciones internas que existe. Por otra parte, la naturaleza dela \vecindad" y la conectividad de los agentes, depende de la escala de complejidad en la que nosencontremos: son distintos los contactos mutuos que experimentan los participantes en diferentesmercados.

Las interacciones entre los agentes juegan un papel importante en determinar las con¯gu-raciones estables y la evoluci¶on del sistema. Distintos agentes de un sistema interact¶uan cuandoalguna acci¶on afecta las condiciones relevantes para ¶este. Es de esperar que estas interacciones seanaltamente heterog¶eneas y que el grado de complementariedad sea globalmente incierto. Cuando estosucede no existen con¯guraciones ¶unicas en las que todos los agentes son tratados sim¶etricamentesino que existe una gran diversidad de situaciones en las que el sistema puede acomodarse. En elsistema conviven - del mismo modo que podr¶³an hacerlo en un ecosistema biol¶ogico - diversidad yestabilidad. En la din¶amica del sistema es dable esperar que se presente el fen¶omeno de \quiebrede la ergodicidad" que ser¶a analizado en detalle en el pr¶oximo cap¶³tulo.

Las interacciones entre los agentes del sistema, su esquema de interconexiones y vecindades,los mecanismos de toma de decisiones o de aprendizaje y adaptaci¶on pueden suponerse a veces inal-terables en el tiempo. Teniendo en cuenta la heterogeneidad se~nalada arriba, el sistema presenta un\desorden estructural" (o \desorden congelado"). Estas condiciones con¯guran lo que podr¶³amosllamar \modelos desordenados" de la econom¶³a. En situaciones como ¶estas los sistemas puedenpresentar \propiedades emergentes" y son posibles fen¶omenos de auto-organizaci¶on, que no ser¶³anidenti¯cables a trav¶es de la b¶usqueda de ¶optimos de funciones de numerosas variables. Tambi¶enhabr¶³a casos en los que el sistema se estaciona en una con¯guraci¶on sub¶optima por per¶³odos apre-ciables. Se encuadran en estos comportamientos fen¶omenos de hist¶eresis, dependencia del senderoy \lock-in", ya mencionados en el cap¶³tulo anterior.

Los recursos de modelizaci¶on computacional son diversos. Hemos elegido modelar los pro-cesos de aprendizaje y adaptaci¶on y la elaboraci¶on de heur¶³sticas sencillas mediante el uso de losalgoritmos gen¶eticos (una explicaci¶on resumida de los mismo se da en la secci¶on 3.5.1) que emulanel proceso de evoluci¶on biol¶ogica por selecci¶on de los individuos m¶as aptos de una poblaci¶on. Enlos modelos econ¶omicos que discutimos, la \aptitud" (\¯tness") se mide mediante alguna funci¶onde utilidad apropiada. La heur¶³stica se codi¯ca en un \genoma" que se va alternando por mu-taciones al azar y por cruza, seleccionando en cada \generaci¶on" la porci¶on de la poblaci¶on cuyafunci¶on de utilidad es mayor. De este modo se pueden emular de modo estilizado aspectos de apren-dizaje inductivo o de racionalidad acotada, ya que el agente dispone de una limitada informaci¶onpara procesar y sobre la base a la misma debe modi¯car peri¶odicamente su manera de formular


expectativas para ajustarlas a la marcha de los acontecimientos.

A continuaci¶on, y en car¶acter de ap¶endice se detallan algunas caracter¶³sticas importantesque deber¶³an tenerse en cuenta al considerar la construcci¶on de modelos econ¶omicos basados es-trictamente en la representaci¶on del comportamiento de agentes econ¶omicos. Estas propiedadescontribuyen a dar fundamento a las hip¶otesis sostenidas en esta secci¶on y las vinculan con eltratamiento que se propone en la secciones 3.5 y 3.6.

3.4.1 Complejidad e Intratabilidad

Es posible cuanti¯car el grado de complejidad de un deteminado problema y analizar hasta que punto ¶este es o no tratable. Paracomprender esto, de¯namos un problema como una pregunta a ser respondida que, usualmente, posee p¶arametros o variableslibres. Un problema involucra:

(i) Una tipi¯caci¶on de todos sus par¶ametros.

(ii) Una sentencia acerca de qu¶e propiedades debe satisfacer la respuesta o soluci¶on.

Una instancia particular del problema se obtiene especi¯cando valores de todos sus par¶ametros. Como ejemplo, podemos citar alcl¶asico Problema del Viajante de Comercio. Los par¶ametros de este problema consisten en un conjunto ¯nito S = fc1; ¢ ¢ ¢ ; cmgde m ciudades y para cada par de ellas, ci; cj 2 C, la distancia d(ci; cj) que las separa. Una soluci¶on de este problema es unordenamiento < c¼(1); ¢ ¢ ¢ ; c¼(m) > de visita de las ciudades que minimice una funci¶on\costo" del tipo:

C = d(c¼(m); c¼(1)) +

m¡1X

i=1

d(c¼(i); c¼(i+1)) (4.42)

El costo C es la longitud de un recorrido que comienza en c¼(1), visita secuencialmente cada ciudad, y retorna a c¼(1) desde la¶ultima ciudad c¼(m).

Un algoritmo es un procedimiento cuyos pasos est¶an especi¯cados, y que deben seguirse para resolver el problema encuesti¶on. Un algoritmo resuelve un problema P si el mismo puede aplicarse a toda instancia I de P y es posible garantizar quesiempre se obtendr¶a una soluci¶on.

La Teor¶³a de la Computabilidad [75] estudia las funciones o relaciones (y por ello problemas) que pueden ser computadosmediante un algoritmo. De esta teor¶³a surge la de¯nici¶on de complejidad computacional que es una medida de la \di¯cultad"{ cuanti¯cada en t¶erminos adecuados { de los diversos algoritmos. Por lo general, esta complejidad se mide por el tiempo (o

n¶umero de pasos) necesarios para obtener una soluci¶on. ¶Esta se expresa convenientemente como una funci¶on de la cantidad deinformaci¶on, medida en \bits", que es necesario brindar para dar lugar a los datos que especi¯can la instancia del problema.Se puede pues suponer, que cada problema tiene asociado un esquema de codi¯caci¶on, que mapea sus instancias en cadenasde caracteres. La longitud de la entrada de la instancia I del problema P es el n¶umero de s¶³mbolos en la descripci¶on de Iobtenidos de la codi¯caci¶on de P. Esta longitud se mide normalmente en \bits". En el problema del viajante de comercio, eltama~no de la instancia del problema es el n¶umero de ciudades m.

La complejidad temporal de un algoritmo expresa el tiempo (o el n¶umero de pasos) necesario para resolver el problema

para una dada longitud de la entrada. ¶Esta se de¯ne para el peor o m¶as pesimista caso posible de cada instancia y puede no seruna funci¶on bien de¯nida. Distintos algoritmos presentan una gran diversidad de complejidades temporales. Para establecer siun problema es o no tratable importa determinar el valor asint¶otico de la complejidad para grandes valores de la longitud delos datos de entrada.

Por otro lado, se dice que una funci¶on f(n) es O(g(n)) cuando existe una constante c tal que:

jf(n)j · c ¢ jg(n)j; 8n ¸ 0 (4.43)

Un algoritmo de tiempo polin¶omico es aquel cuya complejidad temporal es O(P (n)), con P (n) un polinomio en la longitud nde la entrada del problema . Todo algoritmo cuya complejidad temporal pueda acotarse inferiormente por una exponencial enn recibe el nombre gen¶erico de problema NP (No Polin¶omico). Se suele decir que los problemas NP son intratables ya quecuando n aumenta el problema no puede resolverse por ning¶un medio pr¶actico 11.

En la siguiente tabla se muestran el crecimiento de la complejidad temporal para diferentes instancias de un problema.Para ejempli¯car las magnitudes involucradas, se ¯j¶o arbitrariamente la m¶³nima duraci¶on en :000001 segundos. Para el casodel problema del viajante de comercio n representa la cantidad de ciudades.

En muchos casos es posible demostrar que dos problemas son equivalentes. Para ello se debe relacionar la solucionde toda instancia del primero con una equivalente del segundo. La complejidad resulta entonces un invariante intr¶³nseco delproblema. Si, por ejemplo, puede establecerse esta correspondencia con un algoritmo que insuma un tiempo polin¶omico, y elprimer problema es de la clase P, el segundo tambi¶en pertenece a la misma clase.

11Se suelen distinguir dos causas de intratabilidad. La primera es cuando el problema requiere una cantidadexponencial de tiempo para llegar a la soluci¶on. La segunda es cuando su soluci¶on no puede ser escrita por unaexpresi¶on cuya longitud pueda acotarse por alg¶un polinomio que dependa de la longitud de la entrada. Consideramosaqu¶³ s¶olo el primer caso de intratabilidad.


Comp. Temp. 10 30 40 50 60n .00001 s .00003 s .00004 s .00005 s .00006 sn2 .0001 s .009 s .0016 s .0025 s .0036 sn3 .001 s. .027 s .064 s .125 s 0.216 sn5 .1 s 24.3 s 1.7 m 5.2 m 13.0 m2n .001 s 17.9 m 12.7 d 35.7 a 366 si3n .059 s 6.5 a 3855 si 2 x 108 si 1.3 x 1013 si

Complejidad Temporal para diferentes instancias del problema del viajante de comercio.Las unidades son: s: segundos, m: minutos, a: a~nos, si: siglos

3.4.2 Computabilidad y Computadoras Universales

Las m¶aquinas de Turing [188] reciben ese nombre de Alan M. Turing que las concibiera en 1936 como un modo de concretar laidea de algoritmo o procedimiento efectivo en forma general. Una m¶aquina M consiste en un aut¶omata con un n¶umero ¯nitode estados internos capaz de leer o escribir en una cinta in¯nita utilizando un alfabeto ¯nito de caracteres. El funcionamientode la m¶aquina se traduce en

(i) la lectura de un car¶acter en la cinta

(ii) desplazamiento (hacia la derecha o izquierda)

(iii) el cambio de su estado interno

(iv) la escritura de un caracter en la cinta.

El funcionamiento de una dada m¶aquinaM se establece dando una tabla que estipule qu¶e desplazamiento debe realizary cu¶al debe ser su nuevo estado interno frente a las posibles lecturas que realice. Con estos elementos se puede demostrar [144]que es posible formular cualquier algoritmo ¯nito aritm¶etico o evaluar tablas de verdad de cualquier funci¶on l¶ogica. Los datospara ejecutar el algoritmo se alimentan a la m¶aquina por medio de la cinta.

Es posible construir una m¶aquina de Turing U que es capaz de replicar el funcionamiento de cualquier otra m¶aquinaM leyendo de su cinta de datos la informaci¶on que caracterizaM. Esta m¶aquina recibe el nombre de \computadora Universal".Formalmente una computadora U es universal si para todo procedimiento efectivo realizado por otra m¶aquina M existe unacadena de caracteres s tal que para todas las entradas posibles p de la m¶aquinaM sucede que U(sp) =M(p). En otras palabras,la acci¶on de U sobre la entrada sp produce la misma salida que cualquier otra m¶aquina M produce, recibiendo como entradaa p. Las M¶aquinas de Turing no son las ¶unicas capaces de efectuar computaci¶on universal. Las funciones recursivas y sistemasf¶³sicos como las redes neuronales y algunos aut¶omatas celulares como el Juego de la Vida son tambi¶en capaces de actuar comouna computadora universal (v¶ease la secci¶on 5 del cap¶³tulo 4) La cuesti¶on de si funciones cognitivas superiores pueden o no serrepresentadas por medio de una computadora universal est¶a ligado con las limitaciones de estas m¶aquinas y dista de ser unproblema resuelto. Turing formul¶o su teor¶³a de la computabilidad para dar una respuesta al \10mo. Problema de Hilbert" (el\Entscheidungsproblem") que inquiere sobre la posibilidad de formular un algoritmo ¯nito que establezca si una proposici¶onen matem¶aticas es cierta o falsa 12. En el lenguaje de las m¶aquinas de Turing la imposibilidad de resolver el \10mo. Problemade Hilbert" se formula como el \problema de la parada" (o \halting problem"), que consiste en demostrar que no existe unam¶aquina de Turing que determine anticipadamente si una m¶aquina universal se detendr¶a ante toda posible entrada. Problemascomo ¶este, que no pueden ser resueltos por medio de un algoritmo ¯nito, reciben el nombre de indecidibles. Existe una granvariedad de sistemas f¶³sicos cuya evoluci¶on es indecidible (v¶ease [196]). En [190] se relaciona este tipo de limitaci¶on intr¶³nsecade los sistemas computacionales con el postulado de racionalidad que subyace en la mayor¶³a de las teor¶³as econ¶omicas estandar.

3.4.3 Optimizaci¶on Combinatoria y Racionalidad Acotada

\Aprendi¶o tantas cosas que no tuvo tiempopara pensar en ninguna de ellas."

Antonio Machado

Durante mucho tiempo los economistas han trabajado con las herramientas cl¶asicas de la optimizaci¶on. Se suelenemplear algoritmos tales como lo de programaci¶on lineal (como por ejemplo: el simplex), de programaci¶on no lineal y din¶amica,o la teor¶³a del control ¶optimo. Los recientes desarrollos de la teor¶³a de la complejidad computacional y la optimizaci¶oncombinatoria han cambiado el abordaje de estos problemas, tratando a la optimizaci¶on como un problema de decisi¶on. Parahacer ¶esto debemos preguntarnos si existe un procedimiento efectivo, que busque sobre el conjunto de alternativas y determinela mejor de ellas. Si consideramos a la econom¶³a en su conjunto y tomamos en consideraci¶on el universo de todas las preferenciasy alternativas posibles, el problema econ¶omico se torna intratable porque no es posible encontrar un algoritmo (o procedimientoefectivo) que pueda obtener la mejor soluci¶on en un tiempo aceptable.

A modo de ejemplo, en todo problema de Programaci¶on Lineal el objetivo es maximizar una funci¶on lineal: max c ¢ xsujeta a A ¢ x · b, con c; x 2 <n, x ¸ 0, A 2 <m £ n y b 2 <m. Sabemos que el ¶optimo en este simplex n-dimensional est¶asituado en alguno de sus v¶ertices. El algoritmo simplex va buscando la soluci¶on desplaz¶andose progresivamente hacia v¶erticesen los que la funci¶on lineal crece. Este algoritmo ¯naliza luego de un n¶umero ¯nitos de pasos. Para cada valor de n, existeninstancias en las que el problema (de orden n) requiere 2n pivotes (o b¶usquedas parciales), con lo cual resulta que el problemaes NP.

12El teorema de incompletitud de GÄodel est¶a tambi¶en vinculado a este problema. Dicho teorema a¯rma que entodo sistema axiom¶atico formal existen proposiciones cuya veracidad o falsedad no puede ser demostrada.


En el mismo sentido, es posible demostrar que muchos de los problemas m¶as comunes a los que se enfrenta un agenteecon¶omico, son intratables 13. La b¶usqueda de ¶optimos debe hacerse sobre un paisaje de costos de tantas dimensiones y tan\rugoso" que es imposible encontrarlo en un tiempo compatible con la evoluci¶on real del sistema. La utilizaci¶on de heur¶³sticasque realizan b¶usquedas locales, y son capaces de garantizar buenas opciones sub¶optimas, es la ¶unica estrategia realista posiblepara una b¶usqueda.

Concebir a la optimizaci¶on como un problema de decisi¶on da un nuevo contenido a la hip¶otesis de la racionalidadacotada ya que elimina el problema de circularidad que existe en los casos usuales de optimizaci¶on en los cuales no se tiene encuenta el costo de alcanzar su propia soluci¶on. Herbert A. Simon [179] ha de¯nido como racionalidad acotada a toda aquellaacci¶on de un agente econ¶omico que, enfrentado a una tarea compleja, no intenta \optimizar" el resultado y s¶³ \satisfacerlo"con cierto nivel de aspiraci¶on 14. Conlisk (1996) [51], detalla diversos ejemplos y ¶areas de trabajos en la teor¶³a econ¶omicaque deber¶³an requerir el dise~no de modelos con racionalidad acotada. Simon supone que los agentes operan en general poraproximaciones sucesivas para optimizar y economizar las limitaciones impuestas por la informaci¶on limitada y la habilidadde razonar. Por otro lado, una respuesta emocional puede considerarse incompatible con el accionar racional; sin embargo, esposible que actitudes \irracionales" pueden servir para producir un sendero adaptativo 15.

No obstante, toda conducta no optimizadora estar¶a sesgada por el mismo entorno que act¶ua como v¶³nculo y que daorigen a un proceso competitivo de selecci¶on. Armen A. Alchian [3] supone que a¶un cuando las empresas tomaran sus decisionesal azar, el medio ambiente seleccionar¶a a aquellas cuyas decisiones superen un m¶³nimo estandar de viabilidad. Muchas veces laimitaci¶on de estrategias resulta ser menos ardua y costosa que la propia optimizaci¶on. En ¶ultima instancia el equilibrio vendr¶³adado por un proceso competitivo de selecci¶on guiado por una mezcla de h¶abitos y rutinas que surgen de previas optimizacioneso de la simple tarea de imitaci¶on.

El proceso de aprendizaje de los actores econ¶omicos puede ser entendido entonces como el resultado de un proceso deprueba y error que, a trav¶es de un proceso de selecci¶on, da por resultado la adopci¶on de nuevas reglas que funcionan cada vezmejor para un entorno dterminado. Otra manera de ver este mismo proceso es pensarlo como el resultado del entorno propiodel mercado que da lugar a una selecci¶on de aquellos agentes cuyo comportamiento les permite sobrevivir. Desde este puntode vista los agentes econ¶omicos deber¶³an exhibir pautas de un comportamiento consistentes con un proceso de aprendizajeevolutivo, o l¶ogicamente inductivo.

Robert Lucas [130] sugiere que todo comportamiento es adaptativo ya que las reglas de decisi¶on ser¶³an el estado esta-cionario de alg¶un proceso adaptativo. A ¶este se llega luego de un proceso de experimentaci¶on sobre el conjunto de preferencias.Tengamos en cuenta que cualquier motivaci¶on por optimizar ex - ante, no implica la realizaci¶on del ¶optimo ex - post. Poresta raz¶on el esquema soportado por el supuesto de racionalidad acotada implica la utilizaci¶on de alguna forma de din¶amicaadaptativa para las reglas de comportamiento de los agentes. Este modelo de aprendizaje est¶a guiado por procesos inductivos.Si suponemos que la informaci¶on llega a los agentes de manera secuencial todo intento optimizador se implementa por mediode la inducci¶on extrapolando las regularidades, y obteniendo un comportamiento esperado universal a partir de las experienciasobtenidas de cada caso particular.

Si la capacidad de c¶omputo es limitada (i.e. si representa un \bien econ¶omico", ya que es escaso) las decisiones correctasdeben ser costosas. La interrelaci¶on entre el esfuerzo por computar un resultado correcto y el seguir h¶abitos establecidos seve re°ejado en lo que podemos denominar como \econom¶³a de la mente": operar con reglas heur¶³sticas resulta a veces ser la\reacci¶on racional" cuando se toma en cuenta el costo computacional y los bene¯cios de lograr una representaci¶on de la realidadm¶as acertada.

Parte de la robustez de los sistemas econ¶omicos puede atribuirse a la memoria de los agentes de experiencias anteriores,que condiciona las decisiones de planes futuros. La adaptaci¶on de la que hablamos brinda la plasticidad necesaria para enfrentarnuevas situaciones y absorber cambios y perturbaciones ex¶ogenas. No sorprende pues que las econom¶³as exhiban un cierto grado\regularidad intr¶³nseca", que permite, salvo en casos excepcionales el desenvolvimiento normal de las variables.

3.5 Representaci¶on Computacional de Agentes Econ¶omicos

3.5.1 Algoritmos Gen¶eticos

Una manera de representar agentes con una limitada capacidad de procesamiento es asociando acada uno de ellos una poblaci¶on de estrategias que pueden alterarse progresivamente mediante lospasos de un algoritmo gen¶etico. ¶Esta heur¶³stica fue desarrollada por J. Holland [104] y tiene comobase conceptual a los mecanismos de evoluci¶on y selecci¶on biol¶ogicos. A diferencia de otros m¶etodos,los algoritmos gen¶eticos exploran el espacio de par¶ametros de un problema con un mecanismo al

13\If a garment factory requires 52 distinct independent steps to assemble a shirt, there are 52! = 1068 di®erentways to order these steps in sequence. ... For any realistic garment assembly operation, almost all possible sequencesfor the step would be wildly impractical, but if even a very small fraction of sequences is useful there will be manysuch sequences. It is therefore extremely unlikely that any actual sequence that humans have used for sewing a shirtis the best possible one." Romer, P.M. [165].

14\Models of satis¯cing behavior are richer than models of maximazing behavior, because they treat not only ofequilibrium but of the method of reaching it as well... (a) When performance falls short of the level of aspiration,search behavior... downward until goals reach levels that are practically attainable, (c) If the two mechanisms justlisted operate too slowly to adapt aspiration to performance, emotional behavior - apathy or agression, for example- will replace rational adaptive behavior" [179].

15\It is evident that the rational thing to do is to be irrational, where deliberation and estimation cost more thanthey are worth" [121].

3.5. Representaci¶on Computacional de Agentes Econ¶omicos 69

que se le puede atribuir un cierto \paralelismo intr¶³nseco", usualmente poseen adem¶as una granrobustez frente a cambios en sus par¶ametros de control. Por estas razones se hace posible trabajarcon espacios de b¶usqueda de gran dimensi¶on. No obstante, si bien han probado ser sumamentee¯caces en la identi¯caci¶on de las regiones del espacio de par¶ametros que corresponden a zonassub¶optimas, los algoritmos gen¶eticos no han sido igualmente e¯caces para identi¯car extremos muylocalizados en paisajes de costo rugosos.

Cuando se los utiliza en el marco problemas representables por la teor¶³a de juegos, losalgoritmos gen¶eticos operan sobre una poblaci¶on de estrategias. ¶Esta se renueva por medio delos operadores gen¶eticos que simulan los procesos de selecci¶on, cruza y mutaci¶on. Los operadoresse aplican sobre la poblaci¶on de estrategias renov¶andola progresivamente a trav¶es de sucesivasgeneraciones. De este modo tiene lugar un proceso de adaptaci¶on en el que las peores estrategias\mueren" mientras que las que prueban ser exitosas ocupan gradualmente las vacantes dejadas porlas primeras. El algoritmo permite modelar de este modo un proceso de aprendizaje en el quepueden tener lugar la imitaci¶on, la prueba y el errror.

Para implementar un algoritmo gen¶etico, las estrategias de un jugador se codi¯can medi-ante una secuencia o cadena de caracteres cuya longitud depende del problema a resolver. Cadaestrategia recibe un premio que depende del resultado que se obtiene al ponerla en pr¶actica. Elm¶erito o aptitud (\¯tness") de la estrategia es la suma de las recompensas recibidas. En la siguienteetapa del algoritmo, las estrategias son seleccionadas para pasar a la siguiente generaci¶on, con unaprobabilidad que es proporcional a su aptitud relativa. Las estrategias que dan lugar a premiosmayores tienden de este modo a perpetuarse en la poblaci¶on.

En sucesivas generaciones, las nuevas estrategias aparecen cuando se utilizan los operadoresgen¶eticos de cruza y mutaci¶on. Con estos operadores, las estrategias se combinan modelando unaprendizaje por imitaci¶on de las estrategias exitosas. La operaci¶on de cruza se implementa eligiendodos estrategias ya seleccionadas y recombinando sus partes. Para ello se \cortan" ambas estrategiasen un punto intermedio seleccionado al azar, y se intercambian las partes complementarias deambas. Por ejemplo, una \cruza" de las dos secuencias de 5 caracteres 11111 y 00000 , \cortando"

a ambas en el tercer caracter resulta en las nuevas secuencias 11100 y 00011 . La cruza combinapartes de estrategias seleccionadas por ser las m¶as exitosas de la generaci¶on anterior para encontrarnuevas estructuras con mayor aptitud o \¯tness". El tercer operador gen¶etico es la mutaci¶on

que produce la alteraci¶on de un s¶olo \bit" de la secuencia, seleccionado al azar. Por ejemplo, si lasecuencia 00011 se muta en la ¶ultima posici¶on la nueva estrategia es 00010 . Al igual que la cruza,esta operaci¶on se realiza con cierta probabilidad, en este caso pm. La mutaci¶on puede representarel ensayo de una innovaci¶on mediante un cambio local en la implementaci¶on de esa estrategia. Esteoperador mantiene la diversidad en la poblaci¶on de estrategias.

Los pasos formales del algoritmo son, someramente, los siguiente:

(i) Generar una poblaci¶on inicial de con¯guraciones tomadas al azar.

(ii) Evaluar la funci¶on objetivo para cada individuo de la poblaci¶on.

(iii) Evocar el operador de selecci¶on y elegir el conjunto de individuos m¶as aptos.

(iv) Aplicar los operadores de cruza y mutaci¶on, produciendo los individuos de la nueva generaci¶on.

(v) Salvo un criterio de terminaci¶on, repetir los pasos (ii)-(iv).

Las principales caracter¶³sticas de estos algoritmos evolutivos son:

² Requerimientos Computacionales: Es necesario codi¯car las posibles soluciones del sistemaque se desea optimizar en una cadena de caracteres de un alfabeto perfectamente especi¯cado.Por ejemplo, si se trabaja con n¶umeros reales, es necesario truncarlos y transformarlos en unacadena de caracteres cuya longitud se adecua a la precisi¶on deseada, y a la magnitud del


intervalo que act¶ua como dominio del problema. Luego, la ¶unica informaci¶on requerida es lafunci¶on objetivo del problema. No es necesario que esta sea diferenciable. Es posible aplicarel algoritmo a funciones objetivo discontinuas, no diferenciables, o de¯nidas proceduralmente.

² Paralelismo: Existen argumentos que justi¯can el uso de estos algoritmos para b¶usquedasen grandes espacios de con¯guraciones. Su e¯cacia se basa en el concepto de paralelismo

impl¶³cito [79] que implica que el algoritmo explora simult¶aneamente muchas regiones delespacio de soluciones, evitando quedar atrapado en regiones limitadas localmente. El m¶etodono es e¯caz para encontrar ¶optimos que est¶an con¯nados en regiones muy estrechas.

² Reglas de exploraci¶on: La b¶usqueda de soluciones tiene lugar a trav¶es de transiciones es-toc¶asticas, como en el algoritmo de \recocido simulado"16. Di¯ere en este sentido de losm¶etodos de optimizaci¶on de descenso por gradientes que pueden presentar el inconvenientede quedar atrapados en m¶³nimos secundarios.

Es posible modi¯car algunas caracter¶³sticas del algoritmo para optimizar funciones conm¶ultiples ¶optimos mediante la especiaci¶on de las sucesivas soluciones; en este caso la frecuencia re-lativa de individuos en cada extremo relativo categoriza la magnitud de cada uno de estos m¶ultiplesestados ¶optimos [79]. La estructura b¶asica de los algoritmos gen¶eticos puede ser amalgamada conotro tipo de m¶etodo de optimizaci¶on con el prop¶osito de mejorar la \performance" del proceso; estasmodi¯caciones suelen denominarse como algoritmos h¶³bridos. Existen muchos algoritmos h¶³bridosque los combinan con la t¶ecnica de recocido simulado, las redes neuronales, e incluso ciertos m¶etodosy algoritmos basados en reglas, usados en inteligencia arti¯cial como los sistemas de clasi¯cadores.

En el cap¶³tulo 3.6 mostramos dos aplicaciones de estos algoritmos en modelos construc-tivos de sistemas econ¶omicos. En ellos los algoritmos gen¶eticos sirven para modelar el aprendizajey la capacidad limitada de procesamiento de la informaci¶on que poseen los agentes econ¶omicos.Mostramos tambi¶en c¶omo se pueden dar lugar as¶³ a estados de equilibrio autoorganizado, y condi-ciona el relajamiento a dicho equilibrio y c¶omo la evoluci¶on del aprendizaje inductivo puedetambi¶en servir para comprender din¶amicas transicionales entre estados autoorganizados. En labibliograf¶³a se citan otras aplicaciones de los algoritmos gen¶eticos en la econom¶³a y la teor¶³a dejuegos: [105, 152, 137, 159, 109, 157, 8, 166, 12, 13, 138, 142, 24, 16, 171, 9].

3.5.2 Redes Neuronales Arti¯ciales

El proceso de aprendizaje y toma de decisiones de un agente econ¶omico puede tambi¶en representarsemediante un sistema de procesamiento adaptivo con una arquitectura basada en el concepto de lasredes neuronales17 que se inspira en el procesamiento de la informaci¶on que tiene lugar en el sistemanervioso central [161, 98]. Una red neuronal establece una correspondencia entre un conjunto dedatos de entrada y uno de salida a trav¶es del procesamiento interconectado de un conjunto de\neuronas". Cada una de ellas corresponde a un dispositivo biestable de umbral que se interconectacon las dem¶as por medio de una matriz de conectividad, tambi¶en llamada matriz sin¶aptica, que se

16El recocido simulado [119] es un m¶etodo de optimizaci¶on basado en ideas de la termodin¶amica estad¶³stica. Lafunci¶on costo se supone local en el espacio de estados. La b¶usqueda del extremo se realiza efectuando cambios (locales)en el espacio de estados; si el cambio del costo ¢C es negativo se acepta la modi¯caci¶on de la con¯guraci¶on, s¶³ por elcontrario es mayor, se lo acepta con una probabilidad P / e¡¯¢C donde ¯ es la inversa de una \temperatura" queact¶ua como par¶ametro de control de la convergencia del algoritmo (recuerdese que esta es la medida de probabilidad deGibbs). Con este procedimiento es posible eludir m¶³nimos secundarios. El algoritmo comienza con una temperaturaalta y gradualmente se la disminuye hasta \congelar" el sistema en una con¯guraci¶on que corresponde a un posibleextremo de la funci¶on costo.

17En esta secci¶on se muestran los rudimentos de las redes neuronales arti¯ciales entendidas ¶estas como algoritmosde aprendizaje heur¶³stico capaces de simular el proceso de toma de decisiones de los agentes econ¶omicos. En elcap¶³tulo siguiente veremos sistemas con dispositivos biestables en interacci¶on, en un intento de matematizar unateor¶³a de la elecci¶on discreta con externalidades intergrupales. Se podr¶a comprobar que ambos temas tiene muchasemajanza.


puede modi¯car progresivamente para reproducir la correspondencia deseada entre subconjuntosde datos de entrada y salida. El protocolo de alteraci¶on de los elementos de la matriz sin¶apticacorresponde con lo que denominamos como el proceso de \entrenamiento" de la red.

Una vez ¯nalizada esta etapa de \aprendizaje", la red puede utilizarse con el resto delconjunto de datos de entrada y obtener salidas en principio, desconocidas. Es decir que entrenamosa la red con una cantidad de ejemplos o patrones conocidos que la red aprender¶a una vez ¯nalizadala fase de entrenamiento; luego se testea el aprendizaje de la red con un conjunto de patrones deprueba, desconocidos por la red hasta ese momento, y si la red pasa esta prueba y se veri¯ca queha aprendido y generalizado adecuadamente los patrones con los que se la aliment¶o, es posibleutilizarla como algoritmo de clasi¯caci¶on de patrones en caso gen¶ericos 18. El aprendizaje de la redneuronal se pone de mani¯esto cuando ¶esta ha logrado generalizar a todo su universo el aprendizajeque realiz¶o sobre el subconjunto de datos.

La actividad de las \neuronas" puede cambiar entre dos estados extremos (excitada (+1) oinhibida (¡1)). Las conexiones pueden a su vez ser excitatorias (positivas) o inhibitorias (negativas).Cada neurona es un procesador de umbral que cambia de estado dependiendo de la suma de lasse~nales que reciba de las restantes y de acuerdo con una funci¶on de transferencia seg¶un la regla(ver ¯gura 5.10):

xi(t) = g³X

j6=i¹Mijxj(t¡ 1)¡£i

´(5.44)

La funci¶on de trasferencia g(x) suele tomarse como una funci¶on sigmoide continua o discreta (unade Heaviside). Los elementos ¹Mij de la matriz sin¶aptica ¹M determinan la e¯cacia (intensidad ysigno) de la interconexi¶on entre la neurona i y j. £i es el umbral de respuesta la neurona i.

Las propiedades b¶asicas de la redes neuronales son:

(i) Aprendizaje: tienen la capacidad de adaptar su comportamiento a un entorno y por lo tantoconstruir una representaci¶on de la correspondencia entre las entradas y las salidas sobre labase de un conjunto ¯nito de ejemplos.

(ii) Generalizaci¶on: Habiendo ajustado una tabla extensa de pares entrada-salida, las redespueden proveer una representaci¶on de la regla que subyace en esa correspondencia. En estascondiciones, la red puede producir salidas aceptables para entradas que no fueron incluidasen la lista de los ejemplos durante el entrenamiento. Esta propiedad pueden hacerlas ¶utilespara el reconocimiento de patrones complejos, o la identi¯caci¶on de patrones \corrompidospor ruido.

(iii) Robustez: La alteraci¶on o eliminaci¶on de algunas conexiones sin¶apticas no impide que la redpueda seguir evocando entradas, con un aceptable grado de precisi¶on.

(iv) Procesamiento distribuido: El procesamiento de la informaci¶on est¶a distribu¶³do en todo elsistema. Cada neurona est¶a involucrada en la representaci¶on de muchos \conceptos" o \re-cuerdos". Esta caracter¶³stica con¯ere al sistema robustez y plasticidad.

Tipos de redes neuronales

Existen varios tipos de redes neuronales. Est¶an por un lado las as¶³ llamadas redes amorfas o redesde Hop¯eld en honor al investigador que las implement¶o; las m¶as comunes son las redes orientadasen capas. En el modelo de Hop¯eld la conectividad es completa (con excepci¶on de los t¶erminosdiagonales). Se puede suponer como hip¶otesis simpli¯cadora que la conectividad es sim¶etrica, estoes que ¹Mij = ¹Mji. Las redes orientadas en capas suponen v¶³nculos adicionales que establecen

18Existen algoritmos de aprendizaje para redes neuronales que permiten realizar un aprendizaje en l¶³nea, mientraslos datos de entrada y salida desconocidos van apareciendo durante el mismo proceso que se desea predecir.


una jerarqu¶³a en la conectividad de manera tal de implementar una red orientada en capas, quese constituye a partir de una capa de entrada, que recibe los datos externos, una capa intermediallamada \capa oculta" y la de salida, con tantas neuronas como variables de salida requieran elproblema que se estudia.

Durante la fase de entrenamiento de una red neuronal se deben seleccionar ejemplos re-presentativos, que denominamos recuerdos, y que ser¶an aprendidos por la red durante la fase deentrenamiento. Estos recuerdos consisten en un conjunto de datos de entrada y salida perfectamenteespeci¯cados. Para que el aprendizaje sea posible es necesario de¯nir una funci¶on de Lyapunov,usualmente llamada energ¶³a, que crece con la norma (usualmente la distancia de Hamming) de ladiferencia entre la salida verdadera de un recuerdo y aquella se que mani¯esta al evocarlo duranteel entrenamiento. La fase de entrenamiento consiste de determinar y modi¯car los pesos sin¶apticosMij de manera tal de minimizar esta energ¶³a. Una vez logrado este objetivo los recuerdos o pa-trones que fueron aprendidos se encuentran en cuencas de atracci¶on en el paisaje de energ¶³a porlo cual son atractores de la din¶amica de la red. El proceso de evocaci¶on de un recuerdo a partirde un patr¶on de entrada parecido, pero no igual la entrada del recuerdo, se denomina memoria

asociativa.

La capacidad de almacenar recuerdos depende del n¶umero de neuronas que conforman laarquitectura. Se puede demostrar num¶erica y te¶oricamente que una red de Hopp¯eld puede al-macenar aproximadamente 0:14N recuerdos (donde N es la cantidad de neuronas) si se desea unatolerancia de error del orden del 1% [98]. La aptitud de evocaci¶on de la red se deteriora si se tratade exceder esta capacidad. No obstante el proceso de aprendizaje es robusto por lo que el diezmadode algunas sinapsis no altera sustancialmente los resultados de una evocaci¶on.

& %' $

--

© © © © © ©©*

H H H H H HHj

Entradas

xj

Salida

xi

g(¢)

i

MatrizSin¶aptica

¹Mijxj

Figura 5.10: Representaci¶on de una neurona formal: La neurona se excita o inhibe por la acci¶on delas se~nales recibidas luego de computar la suma ponderada por los pesos sin¶apticos de sus entradas,y emite una se~nal xi = +1 si la suma es mayor que el umbral £i ,y xi = ¡1 en el otro caso.

Las redes orientadas en capas procesan secuencialmente la informaci¶on a trav¶es de distintascapas formadas por neuronas. La estructura gen¶erica de una red orientada en capas se muestra enla ¯gura 5.11. Sus elementos son:

1) Una capa de entrada que recibe la se~nal del entorno. Las neuronas de entrada transmitenesta informaci¶on a las capas siguientes. El n¶umero de neuronas de entrada depende de cadaproblema particular.

2) Una o m¶as capas intermedias denominadas como capas ocultas que realizan el procesamientoantes descripto. La complejidad y capacidad de procesamiento de la red depende de lacantidad de neuronas de las capas ocultas. Se puede demostrar que si una red tiene su¯cientesneuronas en su capa oculta puede aprender cualquier funci¶on f : Rn ¡! Rm con una precisi¶onarbitraria [98].


3) Una capa de salida que devuelve una se~nal, y alimenta sus neuronas desde la ¶ultima capaoculta. La cantidad de neuronas de salida depende de la naturaleza de la respuesta deseada.

Existen numerosos \algoritmos de aprendizaje" [98] que sirven para adaptar la matriz sin¶aptica paraque la red reproduzca la tabla de \ejemplos". Dichos algoritmos est¶an dise~nados para minimizaruna funci¶on de \energ¶³a" o costo que depende de los elementos de la matriz sin¶aptica y que midela diferencia entre el conjunto de salidas deseadas y las que realmente produce la red a medida quetiene lugar la fase de entrenamiento.

Como en las redes orientadas en capas la se~nal de entrada se propaga en un ¶unico sentidoatrav¶es de las sucesivas capas, cada capa, con excepci¶on de la entrada, eval¶ua la combinaci¶on linealpesada por la matriz sin¶aptica de la entradas que ella recibe (v¶ease la ecuaci¶on 5.44). El sistemase inicializa especi¯cando aleatoriamente esta matriz y dada la arquitectura orientada de la red esposible aplicar un algoritmo denominado de retropropagaci¶on (back-propagation).

3.5.3 Modelos Econ¶omicos con Redes Neuronales Arti¯ciales

En Beltratti et al. [24] se expone una variedad de modelos de agentes arti¯ciales representadospor redes neuronales que interact¶uan, aprenden y se adaptan. Se pueden de¯nir diversas formas deconstruir modelos econ¶omicos con redes neuronales:

(i) Modelos con agentes arti¯ciales que formulan expectativas mediante red neuronales. En estecaso la red act¶ua como simulando a un agente \econometrista" que predice la o las variablesde un modelo te¶orico ya concebido [171, 117]. La ¯gura 5.11 representa un esquema posible.

(ii) Modelos con agentes arti¯ciales, cuyas reglas de comportamiento y sus acciones est¶an impl¶³citasen la operaci¶on de una red neuronal. La red neuronal, en este caso, luego de procesar yclasi¯car la informaci¶on de entrada, determina la acci¶on a seguir por el agente que est¶a re-presentando.

(iii) Redes neuronales como mecanismo para hacer aproximaciones econom¶etricas [171, 45]. Eneste caso la red intenta generalizar, extrapolar y predecir el curso de una serie temporal (unio multivariada) del sistema econ¶omico. La red act¶ua como un pronosticador no lineal, quein¯ere el valor de las variables a partir de informaci¶on pasada sin conocer los par¶ametros nila forma de las funciones involucradas.

(iv) Modelos constructivos, en los que el sistema es concebido como una red de agentes econ¶omicosy la matriz sin¶aptica representa el reticulado de transcciones entre ellos [160]. En estos casos,una modi¯caci¶on de la matriz sin¶aptica corresponder¶³a a una modi¯caci¶on de los patrones deproducci¶on y/o intercambio de los agentes del sistema. En el cap¶³tulo siguiente analizaremoseste tipo de esquema constructivo.

Un consideraci¶on ¯nal que cabe realizar es que tanto las redes neuronales como los algoritmosevolutivos tienen un cierto caracter isomorfo ya que ambos m¶etodos funcionan como sistemasheur¶³stico de clasi¯caci¶on que reconocen patrones regulares a partir de datos externos. Cada unode estos m¶etodos tienen sus virtudes y sus defectos y son ventajosos seg¶un las caracter¶³sticas delsistema que se desea representar.


Figura 5.11: Representaci¶on de una red neuronal multicapas, que esquematiza la forma de dise~narun sistema de predicci¶on de una serie temporal, partiendo de un conjunto de datos estructurales,y la evoluci¶on de una o m¶as series temporales. En este caso se obtiene como resultado una ¶unicasalida, pero la red puede poseer muchas m¶as salidas.

3.6 Modelos con agentes arti¯ciales adaptativos

3.6.1 Aprendizaje y Co-Adaptaci¶on

El n¶ucleo tem¶atico de este cap¶³tulo es el estudio de la representaci¶on de la conducta de agentesecon¶omicos; hemos visto que los los modelos estandar suelen formular estrictas suposiciones acercade la habilidad de los agentes para procesar la informaci¶on disponible; analizamos tambi¶en laslimitaciones de estos enfoques. El car¶acter simpli¯cador de estos estrictos supuestos ha dado lugara numerosos modelos que han permitido caracterizar { a veces con realismo interpretativo { lossenderos de equilibrio del modelo (donde vala la consistencia de planes ¶optimos). En las descrip-ciones econ¶omicas, esos senderos pueden ser entendidos como resultado \asint¶otico" de un procesoen el que el comportamiento de los agentes ha evolucionado, mediando un proceso de aprendizaje,al punto tal de haberse adaptado a las condiciones impuestas por el entorno; sin embargo esta car-acterizaci¶on dista mucho de ser una aproximaci¶on general, ya que los sistemas econ¶omicos devienende una compleja red de interacciones en la que tanto decisiones, expectativas y acciones descentra-lizadas son formuladas por una enorme cantidad de agentes poseedores,en general, de percepcionesdistintas. Por lo tanto no existe ning¶un argumento a priori que postule que los comportamientosindividuales son ¶optimos o que la coordinaci¶on de actividades tiene lugar de manera autom¶atica[50]. Existen pues razones para investigar alternativas a este tipo de an¶alisis. En la secci¶on 3.5 delcap¶³tulo 3 presentamos algunas de estas posibles alternativas. En las mismas, la representaci¶on delos agentes econ¶omicos se realiza postulando cierto grado de \racionalidad acotada" que involucrala incorporaci¶on de procesos de aprendizaje empleando algoritmos de aprendizaje heur¶³stico comolas redes neuronales o los algoritmos evolutivos. Podemos denominar este enfoque anal¶³tico como

3.6. Modelos con agentes arti¯ciales adaptativos 75

una representaci¶on de los comportamientos a partir de Agentes Arti¯ciales Adaptativos (AAA). Noobstante debemos destacar que, si bien ha crecido el n¶umero de trabajos realizados en esta ¶area,todav¶³a no se ha formulado un marco general de estudio con el objetivo de de establecer procedimien-tos de modelizaci¶on estandarizados. La exploraci¶on de modelos en contextos muy estilizados sirvenentonces como un primer paso hacia la representaci¶on m¶as realista de las interacciones econ¶omicasy nos posibilita comprender muchos procesos que subyacen en los sistemas de transacciones en losque no media la suposici¶on de una coordinaci¶on centralizada a priori.

A continuaci¶on se describe un sistema muy esquem¶atico de intercambio descentralizado enel cual operan Agentes Arti¯ciales Adaptativos. Se estudia un proceso competitivo, en el que unconjunto grande de compradores y vendedores de cierto bien coordinan sus decisiones guiados porconjeturas o modelos internos que se revisan de acuerdo a los resultado obtenidos a lo largo de lapropia evoluci¶on del sistema de intercambio. En el modelo la \ley de precio ¶unico" y la condici¶ondel despeje del mercado no se presuponen apriori. Cuando el sistema se encuentra en una situaci¶ontransitoria, los problemas de decisi¶on se tornan complicados desde la perspectiva de los agentesdado que la informaci¶on que est¶an procesando surge del propio proceso de interacciones.

El prop¶osito del modelo que se presenta es entender los procesos de b¶usqueda y relajaci¶ona la situaci¶on de \equilibrio competitivo". Se analiza de este modo el comportamiento adaptativode un sistema formado por un conjunto de potenciales \clientes" de una o dos \proveedur¶³as"(seg¶un el caso), que venden un producto no diferenciado. Los clientes pueden comprar en unade ellas o bien, si el precio excede un cierto precio de reserva pueden abstenerse de comprarlo,esperando una situaci¶on m¶as favorable. Los clientes efect¶uan primero una predicci¶on del preciofuturo bas¶andose en la historia de los ¶ultimos precios pasados, pudiendo optar por comprar o no elbien. Las proveedur¶³as, que tambi¶en se adaptan, ¯jan una pol¶³tica de precios que intenta maximizarsu bene¯cio19. En el modelo existe un per¶³odo de tanteo (en l¶³nea) durante el cual las estrategiasde clientes y proveedur¶³as se co-adaptan en b¶usqueda de un equilibrio. En la situaci¶on en queinteract¶uan dos provedur¶³as compitiendo, ambas deben co-adaptar sus estrategias de ¯jaci¶on deprecios detectando la presencia mutua de ellas a trav¶es de las se~nales provenientes de la demandaque efectivamente perciben. En esta exposici¶on seguimos de cerca la referencia [95].

Una cr¶³tica a la met¶afora deductiva

Hemos comentado ya que los principales modelos econ¶omicos suelen originarse a partir de r¶³gidos supuestosacerca del comportamiento de los agentes econ¶omicos. Por lo general se supone que ¶estos derivan susconclusiones de procesos l¶ogicos cuyas premisas son completas, consistentes y bien de¯nidas. Bajo estaship¶otesis subyace la idea de que los agentes trazan sus planes bas¶andose en decisiones ¶optimas con perfectoconocimiento de las propiedades sistem¶aticas del entorno que los contempla. Este esquema de modelizaci¶onpuede ser denominado como la \met¶afora deductiva" [12], y es sobre el cual se sostiene la tan usada hip¶otesisde expectativas racionales. Esta met¶afora deductiva requiere por parte de los agentes:

(i) El conocimiento completo del problema.

(ii) La total capacidad de computaci¶on para alcanzar la soluci¶on.

(iii) La unicidad de tal soluci¶on relevante.

(iv) El conocimiento com¶un de que todos los agentes operan con (i) y (ii) (Esta hip¶otesis da la consistencianecesaria que se requiere para que sea posible emplear en el modelo, un agente representativo).

Si bien esta met¶afora ha resultado hasta hoy muy fecunda como recurso de modelizaci¶on, muchasveces existen situaciones que resultan muy dif¶³ciles de reconciliar con la realidad. Un ejemplo provienede ciertos modelos de mercados especulativos en los cuales se puede demostrar que, bajo la hip¶otesis deexpectativas racionales, pueden producirse situaciones en las que los transactores son tan e¯caces en lainterpretaci¶on de la informaci¶on que la realizaci¶on de transacciones queda inhibida (\No trade theorems"[143]).

19Debido a que la provisi¶on del bien est¶a libre de costos bene¯cio e ingreso son magnitudes similares.


Muchas veces los agentes econ¶omicos, en su esfuerzo por optimizar, enfrentan problemas del tipo nopolin¶omico (NP ), en los que la alternativas a elegir explotan combinatoriamente (v¶ease la secciones 3.4.1y 3.4.2). Podr¶³a suceder tambi¶en que los problemas que deben enfrentar los agentes del sistema no estenclaramente de¯nidos, por lo cual muchas veces se tomen decisiones que mantienen al sistema inde¯nidamentefuera de un estado estacionario consistente. Es en estos punto en donde la met¶afora deductiva puede perderpoder predictivo como hip¶otesis constructiva.

Aprendizaje Inductivo

Los estudios realizados en psicolog¶³a cognitiva han demostrado que todas las personas crean o clasi¯cancategor¶³as que resumen los aspectos m¶as salientes de lo que perciben. Constantemente se reconstruyen ydesechan representaciones internas del mundo aceptando aquellas que m¶as se ajustan con la realidad percibiday que parecen ofrecer mejores posibilidades de predecir futuras eventualidades [1]. Es posible as¶³ transferirexperiencias de un problema a otro en busca de generalizaciones a trav¶es del reconocimiento de patronespercibidos como regulares. Este tipo de proceso cognitivo es, b¶asicamente, de car¶acter inductivo puestoque tiene lugar la continua adaptaci¶on de lo que se cree percibir como estable del entorno. Los modelos yrepresentaciones internas se utilizan para salvar la brecha que produce la ignorancia, especialmente cuando elentorno no es estacionario. En estas circunstancias debemos destacar que la validez de los modelos internosque las personas formulan es s¶olo temporaria.

Estas ideas pudieron ser contrastadas con experiencias realizadas en psicolog¶³a cognitiva experimental[68]. Un experimento interesante realizado en la d¶ecada del '60, consisti¶o en mostrarles a un conjunto depersonas una secuencia o ventana de 50 \bits" cuyos valores (0's ¶o 1's) estaban distribuidos al azar. Losparticipantes del experimento desconoc¶³an el proceso de generaci¶on de los datos. Se ped¶³a a los sujetosque, dada la ventana de \bits", predigan el siguiente que sigue en la secuencia. Luego se les mostrabael bit verdadero y as¶³ sucesivamente. El an¶alisis de los resultados demostr¶o que las personas basaban suspredicciones en la b¶usqueda y veri¯caci¶on de patrones regulares que virtualmente observaban al sucederse lasecuencia de 0's y 1's. Esta b¶usqueda de regularidades generaba modelos internos que no eran inmediatamentedesechados ante la posibilidad de algunos fracasos en la predicci¶on aunque, se demostr¶o que exist¶³a undeterminado n¶umero cr¶³tico de fracasos que motivaba a los participantes a modi¯car el patr¶on de predicci¶onpor la percepci¶on de una nueva y arbitraria regularidad. No es sorprendente que Hey [99] haya encontradoen experimentos econ¶omicos que los agentes, lejos de la optimalidad, reaccionan en la direcci¶on que sugierenmodelos imperantes en ese momento.

Bajo estas premisas, la conducta de agentes econ¶omicos no parece necesariamente seguir el esquemade la \met¶afora deductiva" sino que podr¶³a hablarse en cambio de \expectativas temporariamente satis-fechas", t¶³picas de un comportamiento basado en la hip¶otesis de racionalidad acotada. Recientemente se haninvestigado numerosos modelos evolutivos de aprendizaje. Muchos se han centrado en modelos que utilizanAAA, modelados con algoritmos computacionales de adaptaci¶on, aprendizaje, y b¶usqueda. Este tipo demodelizaci¶on fu¶e usada por Axelrod (1987) [16], Miller (1989) [8], Rust, Miller y Palmer (1992) [166], Marks(1992) [138], Marks (1995) [142], A. Kirman [117] as¶³ como los antes citados en la secci¶on 3.5.1 del cap¶³tulo 3.

El prop¶osito de esta secci¶on es explorar algunas posibilidades de los AAA en un entorno arti¯cialdonde agentes pueden interactuar y adaptarse. Se estudia pues el proceso de relajaci¶on al estado estacionarioy la robustez de los comportamientos emergentes. Para modelar el proceso de aprendizaje se utilizar¶analgoritmos gen¶eticos. En la secci¶on 3.5.1 se detallan algunas caracter¶³sticas de los mismos. Se analizanvarios modelos que son variantes de la interacci¶on de una numerosa clientela con una o dos proveedur¶³asque venden un bien no diferenciado, cuyo costo suponemos nulo, a dos precios posibles ¯jados por cada unade ellas. En todos los casos los clientes ¯jan una estrategia de compra basada en los pasados precios y enfunci¶on de ella deciden comprar el bien en aquel lugar que lo ofrezca al menor precio posible o no comprarlosi es que el precio del mismo excede un precio de reserva que representa la existencia de una fuente externa.

3.6.2 Descripci¶on de los tres modelos

Modelo A

Se analiza, en los siguientes modelos, la evoluci¶on de la presi¶on competitiva que tiene lugar en unmercado, en el que los compradores buscan ofertasde precios bajos y los oferentes ¯jan el precio.En el primer caso (modelo A), el sistema se compone de un n¶umero grande de (N) compradoresde un bien y una proveedur¶³a que obtiene el bien a un costo constante, que suponemos nulo porsimplicidad. Hay una \fuente externa", donde los compradores pueden adquirir el bien a un precio


dado p¤. Cada \d¶³a" de mercado, la proveedur¶³a enfrenta una decisi¶on binaria, pudiendo ¯jar suprecio en los valores p> ¶o p< (se toma por convenci¶on p> + p< = 1). Los clientes deciden, antes deconocer este precio, si visitar¶an o no a la proveedur¶³a. En caso a¯rmativo, compran una unidad delbien al precio previamente ¯jado por el oferente. Como suponemos que p< < p¤ < p>, los clientesla visitar¶an solamente si la conjetura individual de cada agente es que pe = p<.

El modelo hace una fuerte simpli¯caci¶on al suponer que los precios pueden tomar s¶olo dosvalores. No obstante, ¶esto hace al modelo computacionalmente tratable, ya que se usan funcionesbooleanas en el dispositivo de aprendizaje. A pesar de ello, cuando existe una brecha entre p¤ ylos valores de p> y p<, los clientes perciben un precio promedio sobre una secuencia de comprasrepetidas. El equilibrio en el cual los agentes optimizan podr¶³a obtenerse de un estado en el quela proveedur¶³a ¯ja precios al azar, generando un patr¶on impredecible pero con valor medio igual ap¤ 20. Para que el modelo sea econ¶omicamente interesante, nos hemos concentrado en el caso en elque p¤ es levemente superior a p<, por lo cual el equilibrio debe establecerse en p<.

Los clientes usan un predictor para anticipar el precio de la proveedur¶³a y decidir unaacci¶on. Estos predictores consisten en funciones booleanas de tres entradas (los ¶ultimos 3 preciosobservados) y una salida (el precio esperado). Cada predictor se codi¯ca en una cadena de caracteresde 8 \bits" de longitud. Los agentes eligen un predictor de un conjunto, que inicialmente es tomadoal azar del universo de posibles funciones booleanas de 3 entradas y una salida. Cada predictortiene asociado una funci¶on de aptitud, que crece (decrece) cuando la acci¶on tomada por el agentede acuerdo a su predicci¶on es exitosa (incorrecta). Los predictores de cada agente son probadoscontra la estrategia de precios vigente, ¯jada por la proveedur¶³a y se categorizan de acuerdo a su\aptitud". La acci¶on tomada por cada agente corresponde a la prescripta por el mejor predictor,es decir el m¶as apto, de acuerdo al mecanismo de selecci¶on del algoritmo gen¶etico. Cada Tc pasosde tiempo se evoca la actualizaci¶on de las estrategias llamando a una subrutina del programa quehace operar al algoritmo gen¶etico. Los agentes actualizan sus estrategias asincr¶onicamente: estosigni¯ca que en cada momento una dada fracci¶on de la poblaci¶on actualiza sus estrategias.

La proveedur¶³a, al igual que los compradores, tambi¶en ¯ja sus precios usando una funci¶onbooleana de 4 entradas (sus precios pasados) y una salida (el siguiente precio a ¯jar). Estasestrategias se codi¯can en una cadena de caracteres de 16 \bits" y tambi¶en son actualizadas pormedio de un algoritmo gen¶etico. Todo la poblaci¶on de estrategias se prueba contra los predictoresque est¶an vigentes en ese instante de una muestra de clientes tomada al azar. Esto se realizadurante una sesi¶on de Tv pasos de tiempo computado virtualmente 21. Las estrategias se ordenanen forma decreciente de acuerdo a la ganancia acumulada. T¶en gase en cuente que el valor totalde las ventas es equivalente a la ganancia ya que se supone, sin p¶erdida de generalidad, que el bientiene un costo nulo. Este proceso permite la co-adaptaci¶on entre las estrategias de los agentes deambos lados del mercado.

Modelo B

El modelo B es similar al anterior, pero los clientes incurren en un \costo de movilidad" (S) quepagan toda vez que optan por cambiar la opci¶on que estos ven¶³an elegiendo. La elecci¶on de laestrategia vigente se ver¶a in°u¶³da no s¶olo por los ¶exitos y fracasos en busca del \precio m¶as bajo"sino tambi¶en por el n¶umero de veces que el agente altera sus visitas, produci¶endose una inerciainterna en el comportamiento de los compradores.

Si este costo es uniforme entre los clientes y su¯cientemente alto 22, la proveedur¶³a tendr¶aclientelas \cautivas" y podr¶³a ¯jar el precio p> como producto de la maximizaci¶on sus las ganancias.

20Debe notarse, que para los prop¶ositos del modelo, la previsibilidad de la secuencia de precios es relativa a lacapacidad de aprendizaje de los compradores y de los recursos que utilizan para aprender.

21Pues no tienen lugar transacciones efectivas. Se procede \congelando" el estado en el que se encontraba el sistemaen ese instante y se actualizan las estrategias de la proveedur¶³a dada las de la muestra tomada de clientes.

22Rigurosamente mayor a (Tc¡1)(p>¡p¤) ya que en estas circunstancias a los compradores no les conviene realizarninguna mudanza.


Sin embargo, la distribuci¶on asint¶otica de clientes que compran en cada proveedur¶³a puede dependerde las condiciones iniciales (que son aleatorias) y del sendero particular que sigue al proceso derelajaci¶on. Una variante a este simple caso ocurre cuando se supone que el costo de movilidad var¶³aentre los agentes, y p¤ es cercano a p<. Si hay una fracci¶on de clientes cautivos (dado sus altoscostos de movilidad), la proveedur¶³a deber¶a aprender acerca de la elasticidad precio de la demanda:dependiendo de esa fracci¶on, el precio ¶optimo podr¶³a ser tanto p> como p<, y este precio ¶optimopuede por s¶³ ser dependiente del sendero.

Modelo C

En este caso los clientes no enfrentan un costo de movilidad pero hay dos proveedur¶³as, cada unade las cuales puede ¯jar uno de los dos precios. Las mismas se confrontan con los N clientes ydeben encontrar una estrategia de ¯jaci¶on de precios conveniente. Estamos en presencia de unduopolio cuando la fuente externa tiene p¤ > p> y el modelo puede ser usado para analizar bajoque condiciones las proveedur¶³as podr¶an aprender a cooperar, en desmedro de los clientes, o siactuar¶an como competidoras en una \guerra de precios".

Los predictores usados por los clientes son ahora mas complicados ya que estos deben teneren cuenta los patrones de precios de ambas proveedur¶³as. En este caso, los predictores son tambi¶enfunciones booleanas de 6 entradas (los ¶ultimos 3 precios de cada oferente) y 2 salidas (los preciosesperados para ambas proveedur¶³as). Con esta predicci¶on toman la decisi¶on de comprar o no enconformidad con la siguiente tabla:

Predicci¶on Prov. 1 Predicci¶on Prov. 2 Acci¶on tomada

p> p> No comprar (compra \externa")p> p< Comprar en Prov.2p< p> Comprar en Prov.1p< p< Comprar en Pr.1 o Pr.2 con

probabilidad 12

El algoritmo gen¶etico opera de id¶entica forma que en el modelo A, y las estrategias deprecios de los proveedur¶³as poseen la misma estructura que antes. El proceso de co-adaptaci¶on, quetiene lugar durante una sesi¶on de Tv pasos de tiempo virtual, tiene lugar cuando ambas proveedur¶³asprueban sus estrategias de precios contra las de la otra proveedur¶³a, partiendo de las decisiones deuna muestra tomada al azar de clientes.

En la ¯gura 6.12 se muestra en diagrama de °ujo del proceso de co-adaptaci¶on correspon-diente al Modelo C.


Figura 6.12: Diagrama de °ujo del algoritmo utilizado en el caso del Modelo C.

3.6.3 Resultados Obtenidos

Modelo A

El Modelo A muestra una robusta tendencia de converger al \equilibrio competitivo" en el quela proveedur¶³a ¯ja el precio p< y \captura" a toda la clientela potencial. Este comportamiento semantiene frente a cambios en los par¶ametros del algoritmo gen¶etico (la probabilidad de cruza ymutaci¶on, el n¶umero de agentes, etc.).

Una vez que el equilibrio es alcanzado, existe la posibilidad de que la proveedur¶³a produzcasubas ocasionales del precio (p>) debido a mutaciones aleatorias en las estrategias del oferenteque dan lugar a una mayor ganancia moment¶anea. Durante estos instantes la proveedur¶³a tomaventaja de la \sorpresa" causada a los clientes por el cambio inesperado en la estrategia. Sinembargo, estas variaciones del equilibrio se observan solo durante cortos per¶³odos de tiempo ya quelos clientes adec¶uan sus predictores aprendiendo de manera progresiva.

Se analiz¶o la robustez de la llegada al \equilibrio competitivo" cuando es modi¯cada lalongitud de la memoria de los pasados precios (que utilizan los predictores tanto del proveedor comode los clientes). Se observa que cuando ambos tipos de agentes poseen una memoria excesivamentelarga (mayor a 6 d¶³as) la convergencia al equilibrio se pierde progresivamente debido a que el espaciode con¯guraciones posibles, sobre el cual opera el proceso de optimizaci¶on, crece en tama~no y elproceso de b¶usqueda local y global se torna cada vez m¶as complejo. Este tipo de situaci¶on sueledenominarse como una cat¶astrofe de complejidad o cat¶astrofe de confusi¶on [114]. Debe tenerse encuenta que el n¶umero de estados sub¶optimos y metaestables crece proporcionalmente con el n¶umero


Figura 6.13: Dos simulaciones del Modelo A. En ambos casos hay 400 clientes, cada uno con 16predictores; la proveedur¶³a dispone de 32 predictores. Se ¯j¶o p> = 0:60, p< = 0:40 y p¤ = 0:41.De arriba hacia abajo se muestran los precios ¯jados por la proveedur¶³a, el precio medio pagadopor los clientes, el % de clientes equivocados, y el % de compradores, todos en funci¶on del tiempo.La duraci¶on de las simulaciones es de 500 pasos de tiempo. Los tiempo de actualizaci¶on son parala Figura (a): Tp = 60, Tv = 30, Tc = 10; y para la Figura (b): Tp = 10, Tv = 30, Tc = 10. Seampli¯ca la regi¶on de metaestabilidad, indicada entre las °echas.

de con¯guraciones posibles, y a su vez estas crecen combinatoriamente con el tama~no (en bits) dela memoria que utilizan los agentes.

A pesar de que el sistema converge asint¶oticamente al equilibrio, el sendero hacia la con-vergencia no es del todo simple y directo. Durante la transici¶on, existe la posibilidad de que elmercado se \entrampe" durante considerables per¶³odos de tiempo en estados intermedios en losque la proveedur¶³a tiende a producir oscilaciones en los precios (es decir precios promedio mayores)y, a su vez, los clientes logran r¶apidamente aprender ese patr¶on de oscilaci¶on. Esto puede verse enla ¯gura 6.13 (a), donde el n¶umero de clientes \equivocados" decae en el tiempo a la vez que laproveedur¶³a persiste en mantener el patr¶on de precios oscilatorio. Otro ejemplo se muestra en la¯gura 6.13 (b) donde la regi¶on de comportamiento metaestable se ampli¯ca al costado del gr¶a¯copara mostrar con m¶as detalle el tipo de estado transicional que resulta de la co-adaptaci¶on entreambos tipos de agentes. Los estados metaestables pueden perdurar durante muchos per¶³odos detiempo antes de que se produzca la aproximaci¶on de¯nitiva al equilibrio. La vida media de estosestados de co-adaptaci¶on depende de la fracci¶on de agentes de la poblaci¶on que no han aprendidoel patr¶on de oscilaci¶on. Una conclusi¶on que se podr¶³a sacar es que los estados meta-estables de-penden de la velocidad de aprendizaje del conjunto de agentes y de la cantidad de informaci¶onque se utilizan durante el proceso de aprendizaje (o sea el tama~no de la memoria). En un en-torno sometido a fuertes \shocks" ex¶ogenos, estos estados podr¶³an tener una duraci¶on tal que seperpet¶uan inde¯nidamente debido a la naturaleza estoc¶astica del entorno.

La aparici¶on de estos estados metaestables hace di¯cultoso establecer univocamente la du-raci¶on del proceso de relajaci¶on al equilibrio. Existen dos situaciones extremas: Ts ¿ Tc y Tc ¿ Ts.En ambos casos, la longitud del per¶³odo de relajaci¶on est¶a gobernada por el mayor de los inter-valos de \revisi¶on de estrategias". Si Ts ¿ Tc, la proveedur¶³a adapta sus precios frente a unapoblaci¶on de clientes, muchos de los cuales est¶an actuando sobre la base de predictores err¶oneos.La proveedur¶³a puede obtener entonces bene¯cios signi¯cativos, con una proporci¶on no despreciablede clientes que eligen de modo equivocado. En el otro caso extremo, la co-adaptaci¶on y sus tiemposcaracter¶³sticos est¶a gobernada por los clientes. El sistema muestra sucesivos estados metaestables,a la vez que los clientes se van adaptando a las nuevas estrategias de precios °uctu¶antes impuestaspor la proveedur¶³a. En el caso intermedio, situaciones en las que Tc ' Ts el proceso de relajaci¶on es


m¶as complicado. Esto puede observarse en la ¯gura 6.13, donde se muestra en (a) una simulaci¶onen la que Tc ¿ Ts, mientras que en la ¯gura 6.13 (b) Tc = Ts.

La poblaci¶on de clientes no se comporta como un s¶olo agente representativo. Los clientes nocomparten estrategias entre s¶³ y el proceso de aprendizaje de cada uno de ellos es independiente.Entonces, dada la diversidad de estrategias existente en la poblaci¶on podemos entender la formaen que se produce el proceso de relajaci¶on. Si analizamos la distribuci¶on de las \aptitudes" de losclientes se puede veri¯car que cuando la proveedur¶³a modi¯ca su estrategia vigente, la distribuci¶onde estos valores es inicialmente una campana gaussiana centrada en un error promedio cometidopor los clientes, pero esta distribuci¶on evoluciona hacia un estado bimodal, con un m¶aximo quecorresponde a los agentes correctamente adaptados a esa nueva estrategia de la proveedur¶³a y otroque corresponde a los que a¶un no han logrado tal adaptaci¶on y mantienen decisiones equivocadas.Dependiendo de la velocidad de adaptaci¶on del sistema en su conjunto, luego de cierto tiempo tran-scurrido toda la poblaci¶on de clientes migrar¶a hacia el grupo de agentes correctamente adaptados.

Figura 6.14: Simulaciones del Modelo B para crecientes valores del costo de mobilidad (S). Lascondiciones son similares a la ¯gura anterior. El valor de S = 1 permite lograr clientelas cautivas.Los tiempos de actualizaci¶on son Ts = 10,Tv = 30, y Tc = 10.

Modelo B

En el Modelo B, la b¶usqueda realizada por los clientes es amortiguada por el \costo de movilidad".La distribuci¶on asint¶otica de clientes que compran en la proveedur¶³a local y en la fuente externadepende de las condiciones iniciales (aleatorias) y del sendero particular seguido durante el procesode relajaci¶on. Cuando el costo S es alto, la estrategia elegida por la proveedur¶³a es ¯jar el preciop> (¯gura 6.14). Sin embargo, existe un valor cr¶³tico So del costo de movilidad, dado por (Tc ¡1)(p> ¡ p¤) o equivalentemente (Tc ¡ 1)(p¤ ¡ p<), por debajo del cual no hay clientelas cautivasdebido a que los clientes encuentran cierto incentivo en \invertir" y modi¯car sus decisiones de


compra eludiendo el precio mayor.

Este simple modelo puede extenderse introduciendo alguna heterogeneidad entre los agentes,dando a los clientes un distinto costo de movilidad. Bajo estas circunstancias, la poblaci¶on declientes de divide en dos grupos: los de costo de movilidad bajo, y los de costo alto (respecto delvalor cr¶³tico So). Si la informaci¶on fuera completa, el ¶ultimo grupo representa un conjunto declientes cautivos y el primero s¶olo comprar¶a en aquel vendedor que ¯je el precio p<. De hecho, laproveedur¶³a se enfrenta a una curva de demanda de pendiente decreciente, cuya forma var¶³a en eltiempo. La proveedur¶³a, durante la adaptaci¶on, aprende acerca de su elasticidad, que, a su vez,depende de la fracci¶on de compradores con alto o bajo costo de b¶usqueda.

El comportamiento del sistema es dependiente del sendero (v¶ease la secci¶on 2.6.5 del cap¶³tulo 2).La ¯gura 6.15 muestra la distribuci¶on de algunas variables sobre la realizaci¶on de muchos experi-mentos con distintas condiciones iniciales para diferentes valores de la proporci¶on de compradorescon alto costo de movilidad So. Cuando esa proporci¶on es peque~na, en la mayor¶³a de los exper-imentos la co-evoluci¶on de las estrategias hace que la proveedur¶³a ¯je p<: la distribuci¶on de losprecios posee un \m¶aximo" bien de¯nido en ese valor. Para valores muy bajos de esta proporci¶on,la proveedur¶³a captura a la mayor¶³a de la clientela puesto que ha ¯jado p< mientras que cuandocuando la fracci¶on de agentes con So alto es grande, la distribuci¶on de los precios es bimodal,con algunos experimentos donde el precio promedio es levemente menor a p>: en estos casos, laproveedur¶³a ha aprendido a aprovechar la existencia de clientes \cautivos", a¶un si esto signi¯ca ladisminuci¶on de su clientela.

Modelo C

En el Modelo C hay dos proveedur¶³as compitiendo entre s¶³ con la fuente externa que mantiene elprecio ¯jo en p¤. Cuando el precio de la fuente externa es tal que p< < p¤ < p> el sistema admiteun equilibrio de Nash est¶atico en el que ambas proveedur¶³as ¯jan p< y comparten la poblaci¶onde clientes. Dada la complejidad del proceso en que los m¶ultiples clientes y las dos proveedur¶³asse co-adaptan modi¯cando sus estrategias, el sistema alcanza el equilibrio luego de un muy largoproceso de b¶usqueda. El estado estacionario, una vez alcanzado, puede ser facilmente perturbadocuando una de las proveedur¶³as cambia sus precios. En la ¯gura 6.16 se muestran dos simulacionesque di¯eren en la brecha de precios p> ¡ p<. Cuando la diferencia es peque~na (¯gura 6.16(b)) elsistema r¶apidamente converge a una con¯guraci¶on en la que los precios var¶³an en el tiempo: ambasproveedur¶³as se alternan en ¯jar el precio alto o una ¯ja este precio mientras que la otra oscilacon altas frecuencias. En este caso el ingreso de ambas es relativamente alto, puesto que muchosclientes, confundidos por esa oscilaci¶on alternada, est¶an operando con predictores inapropiados.Este comportamiento corresponde a un \equilibrio din¶amico".

Si la funci¶on objetivo del proceso de aprendizaje fuera la maximizaci¶on del n¶umero declientes en lugar del ingreso acumulado, el equilibrio (¯jar p<) resulta ser m¶as robusto. Estose puede observar en la ¯gura 6.17 en la que se gra¯ca un histograma con C2 vs C1, donde Cirepresenta el n¶umero de clientes en de la proveedur¶³a i. Durante la primera etapa de la relajaci¶onhacia el equilibrio la \fuente externa" va perdiendo progresivamente clientes. La puja se produceentre esta y las dos proveedur¶³as \internas". Posteriormente la competencia por ganar clientestiene lugar entre una y otra proveedur¶³a interna. Finalmente se llega a un equilibrio que, pormomentos se ve alterado, pero al que invariablemente se retorna. Si se produce una °uctuaci¶on enel n¶umero de clientes, la proveedur¶³a perdedora no posee ninguna otra estrategia que mejore el nivelde sus premios. Si esta situaci¶on persiste, la correcta estrategia de ¯jar p< perder¶a aptitud, ser¶areemplazada por otra, que la llevar¶a a una situaci¶on a¶un m¶as desfavorable. Se producir¶a entoncesun retorno a la estrategia correcta luego de que se produzca una oscilaci¶on de gran amplitud a lolargo de la recta C1 +C2 = N .

Cuando la funci¶on que optimiza cada proveedur¶³a es el ingreso acumulado una degeneraci¶onmayor tiene lugar puesto que puede obtenerse el mismo ingreso con menos clientes y precios que


Figura 6.15: Distribuciones de precios medios pagados por los agentes, de la clientela y de los precio¯jados por la proveedur¶³a para distintos valores del % de agentes con So !1, p> = 0:60; p< = 0:40y p¤ = 0:41.

son mayores en promedio. Bajo estas circunstancias se di¯culta llegar al equilibrio. Los argumentosdados en el p¶arrafo anterior se pueden extender en este caso para mostrar que el precio presentaoscilaciones de gran amplitud a lo largo de la recta I1 + I2 = N ¢ p<, donde Ii representa el ingresode la proveedur¶³a i. Esta recta contempla la condici¶on est¶atica C1 = C2 = N=2 (ver ¯gura 6.18).

En lugar de buscar un equilibrio est¶atico, el sistema evoluciona poniendo de mani¯esto unequilibrio din¶amico, en el que ambas proveedur¶³as ¯jan alternadamente p>. Este comportamientopuede ser interpretado como de \conducta din¶amica oligop¶olica" que es robusta frente a cambiosen los par¶ametros del modelo y se aproxima a la situaci¶on anterior cuando ¢p = (p>¡ p<)! 0 yaque, en ese l¶³mite, el ingreso queda determinado por el n¶umero de clientes. Cuando una proveedur¶³a¯ja p>, se producen oscilaciones de gran amplitud. Entonces, los valores del \equilibrio" en loscuales C1 ¼ C2 ¼ N=2 coexisten con otra distribuci¶on altamente asim¶etrica en donde C1 = N yC2 = 0 ¶o C1 = 0 y C2 = N . Cuando se incrementa ¢p no se puede alcanzar un estado en el queC1 ¼ C2 ¼ N=2 porque existe la posibilidad de compensar una cantidad peque~na de clientes conla ¯jaci¶on de p>.

Esa conducta \oligop¶olica" es una consecuencia directa del hecho que ambas proveedur¶³asest¶an optimizando la misma funci¶on de ingreso acumulado. Esto puede corresponder a un intercam-bio din¶amico de clientes en el que lo que s¶olo importa el \promedio temporal" de ambos ingresos.La clientela promedio durante todas las simulaciones es ¹C1 ¼ ¹C2 · N=2 y los ingresos promediocorresponden a ¹I1 = ¹I2 = p< ¢N=2, como era de esperarse dada la simetr¶³a del modelo respecto de


Figura 6.16: Dos simulaciones del Modelo C con 48 clientes que poseen 32 predictores cada uno.Las proveedur¶³as tienen tambi¶en 32 predictores cada una. Los tiempo de actualizaci¶on son Ts = 60,Tv = 30 y Tc = 10, Los precios son para la Figura (a): p> = 0:52 y p< = 0:48 y para la Figura(b): p> = 0:60 y p< = 0:40, p¤ = 0:50.

Figura 6.17: Frecuencia con la cual el sistema de 100 clientes visita los puntos (C2; C1), Durantela evoluci¶on ambas proveedur¶³as intentan maximizar la cantidad de clientela Ci.

las proveedur¶³as.

Si el precio de la fuente externa fuera p¤ > p<, estamos en presencia de un duopolio dadoque los clientes siempre eligir¶an visitar a alguna de las dos proveedur¶³as. Bajo estas circunstanciasse puede estudiar la interacci¶on estrat¶egica entre ambos oferentes. Es conocido que en los juegositerados de duopolios no existe un ¶unico estado estacionario (\folk theorem"). En el caso deeste ejercicio, el \paisaje de premios" est¶a evolucionando y alter¶andose como consecuencia de laco-adaptaci¶on de todos los agentes. Esto signi¯ca que la forma en la cual evoluciona el sistemadepende de la manera en que los agentes aprenden acerca sus caracter¶³sticas.

Cuando la brecha entre los precios es grande y p¤ > p>, se veri¯ca que las proveedur¶³as vi-sitan con m¶as frecuencia el precio p>. En estas condiciones las proveedur¶³as tienden a adaptar susestrategias hacia una conducta cooperativa en lugar de la competitiva. Ocasionalmente, una provee-dur¶³a puede ¯jar el precio p< con la intenci¶on de capturar la clientela de la otra (ver ¯gura 6.19),pero eventualmente revisa su decisi¶on y vuelve al estado (cooperativo) anterior . En este caso tienelugar una \guerra de precios" de duraci¶on limitada, por lo que no resulta su¯ciente como paragenerar un equilibrio competitivo como resultado perdurable. La raz¶on de esto se debe a que la


elecci¶on binaria de precios implica que la respuesta de los clientes debe ser r¶apida, pero levementeretardada y la proveedur¶³a es forzada (por la ¯jaci¶on de p< por parte de la otra) a bajar el preciosigni¯cativamente, pero si lo reduce, disminuye apreciablemente el valor de sus ingresos. En otraspalabras, la coordinaci¶on impl¶³cita entre los proveedores aparece como inducida por la combinaci¶onde alternativas de precios discretizadas y el retardo que se produce en el ajuste de las estrategiasde los compradores, las cuales resultan en una baja \elasticidad de demanda" que perciben lasproveedur¶³as durante el intervalo de tiempo que ellas est¶an considerando con el prop¶osito de ¯jarsus estrategias de precios.

Figura 6.18: Curvas de nivel para la frecuencia para la cual el sistema, similar a la ¯gura anterior,visita los puntos (C2; C1) y (I2; I1). Durante la evoluci¶on ambas proveedur¶³as intentan maximizarel valor nominal de las ventas: Ii.

Se puede analizar la dependencia de estos resultados respecto de los par¶ametros cuandola brecha entre los dos precios es baja (ver ¯gura 6.19). Aqu¶³ los clientes en promedio son dis-tribuidos de tal manera que cada proveedur¶³a capta al 50 % de los mismos. Sin embargo, a pesarde que el precio p> suele ser ¯jado, el sistema muestra oscilaciones de precios considerables, sinque aparezca un patr¶on de¯nido. En este caso, existe la \tentaci¶on" de las proveedur¶³as a ¯jarel \precio competitivo" (p<) para captar una mayor clientela. El retardo en el aprendizaje de losclientes hace que el equilibrio competitivo sea f¶acilmente perturbado con aumentos de precios porparte de los oferentes. El sistema muestra una din¶amica que no converge a una estado estacionariobien de¯nido.

Se puede estudiar tambi¶en la evoluci¶on del sistema como si ambas proveedur¶³as jugaran unjuego no cooperativo iterado, en el que la matriz de premios se calcula computando los bene¯ciosque les generan los clientes a lo largo de la evoluci¶on y luego promediando. En este juego sedebe suponer que cada jugada corresponde a la elecci¶on del conjunto de precios para los pr¶oximosper¶³odos de tiempo de mercado (una estrategia de precios). La matriz de premios se calculacombinando mec¶anicamente todas las estrategias vigentes de los clientes. Existen dos situacionesque pueden analizarse. En una de ellas se supone que todos los clientes aprenden cada posibilidadinstant¶aneamente (\clientes con expectativas racionales"). Este caso corresponde a una matriz depremios \est¶atica" que puede obtenerse si se permite que los clientes se adapten a cada una de lascombinaciones posibles de precios y puede ser calculada anal¶³ticamente. Ambas proveedur¶³as seenfrentan a similares condiciones debido a la simetr¶³a del problema. La matriz de juego que resultaposee una estrategia dominante que obviamente corresponde a la ¯jaci¶on del menor precio: p<.

La otra situaci¶on m¶as realista es aquella en la que los predictores vigentes de cada clientese van modi¯cando por la acci¶on de las estrategias de adaptaci¶on de los proveedores. En este casola matriz de premios debe ser calculada num¶ericamente. Este c¶alculo puede hacerse en momen-tos arbitrarios de la evoluci¶on. Se realiza evaluando, en un tiempo virtual, el resultado promediode hacer jugar las estrategias de los clientes, vigentes hasta ese instante, contra todas la combi-


Figura 6.19: Dos simulaciones del Modelo C con 48 clientes que poseen 32 predictores cada uno.Las proveedur¶³as tienen tambi¶en 32 predictores cada una. Los tiempo de actualizaci¶on son Ts = 10,Tv = 30 y Tc = 10, Los precios son para la Figura (a): p> = 0:60 y p< = 0:40 y para la Figura(b): p> = 0:85 y p< = 0:15, p¤ = 0:90.

naciones de precios que pueden ¯jar las proveedur¶³as. En este caso el resultado no es sim¶etrico.Ambas proveedur¶³as enfrentan diferentes matrices de juego; adem¶as, los elementos de la matrizcambian con el tiempo, lo que signi¯ca que cada proveedur¶³a juega diferentes juegos en diferentesinstantes. Este resultado puede comprobarse siguiendo la evoluci¶on de las estrategias minimax decada una, obtenidas numericamente. Bajo estas circunstancias el juego se desarrolla en un \paisajede premios" que evoluciona constantemente [114]. Cuando tiene lugar un proceso de aprendizajede todos los actores del mercado, no es dable estudiar el problema de manera est¶atica ya que nola matriz de premios no permanece inalterada durante la evoluci¶on. El estudio de duopolios encondiciones din¶amica es un tema de por s¶³ complejo. El \folk theorem" ha mostrado que cuandolos agentes juegan una guerra de precios en forma iterada, es posible encontrar m¶ultiples solucionesy no es posible predecir un comportamiento estacionario para las partes del juego. Sin embargo,debido a que la matriz de juego que perciben los agentes proveedores cambia por la acci¶on de laadaptaci¶on de los clientes, se pone de mani¯esto un nivel adicional de complejidad en el problemadel duopolio. En condiciones estacionarias, la relajaci¶on al equilibrio competitivo se tendr¶³a quere°ejar en un proceso en el cual ambas matrices se aproximan al valor com¶un dado por la matriz\est¶atica".

3.6.4 Comentarios

La presentaci¶on de estos modelos extremadamente esquem¶aticos usando agentes arti¯ciales adap-tativos sugiere que a¶un en situaciones simples los procesos de aprendizaje y co-adaptaci¶on puedenproducir din¶amicas no triviales. Hemos visto que pueden tener lugar estados de meta-estabilidadque alteran el proceso de relajaci¶on al estado de equilibrio. Se observ¶o que cuando hab¶³a dos provee-dur¶³as que se adaptan, no hab¶³a una convergencia evidente al \equilibrio competitivo estacionario".Los agentes arti¯ciales muestran comportamientos complejos, a pesar de tener mecanismos de de-cisi¶on simples, debido a que el proceso de aprendizaje de unos est¶a in°uido por el aprendizajesimult¶aneo de los dem¶as. Se ha observado que cuando hay agentes que aprenden lentamente losdem¶as se aprovechan esa ventaja impidiendo que se alcance el estado estacionario. Hemos uti-lizado un esquema extremadamente simple de interacciones en un mercado descentralizado para


poner de mani¯esto las m¶ultiples alteraciones que se pueden producir con se incorporan procesosde aprendizaje.

Se ha tratado aqu¶³ los efectos del procesamiento de informaci¶on sobre una estructura demercado pre-de¯nida donde los agentes poseen un conocimiento limitado (acotado) pero con unadada capacidad de aprendizaje de corto plazo del comportamiento del sistema. El proceso deaprendizaje inductivo se simul¶o por medio de un algoritmo gen¶etico. El sistema dise~nado tiene ladesventaja de ser extemadamente simple. No obstante, el proceso de adaptaci¶on de las estrategiasno est¶a sesgado por suposiciones hechas a priori; el sistema puede, en cada instante, explorartodo el espacio de alternativas posibles y seleccionar en cada momento aquellas que son favorablesaunque no correspondan a las alternativas globalmente ¶optimas. La evoluci¶on de las estrategias s¶oloinvolucra cambios locales sobre la poblaci¶on existente, cuyo resultado es un permanente tr¶ansitoentre estados sub¶optimos.

Como hemos comentado en secciones anteriores, actualmente se han venido desarrollandomuchos modelos que usan agentes arti¯ciales adaptativos. La b¶usqueda de un marco general conprocedimientos comunes y resultados robustos se encuentra todav¶³a en una etapa incipiente. Uno delos principales objetivos de futuras investigaciones ser¶³a el estudio de la robustez de los resultadosen el sentido de que estos no sean sensibles a una particular especi¯caci¶on de los modelos. Laexploraci¶on de las propiedades emergentes en contextos estilizados es un paso preliminar haciauna representaci¶on m¶as realista de las interacci¶ones econ¶omicas. En este contexto, el estudio deprocesos elementales de intercambio resulta ser un punto de partida natural.

Cap¶³tulo 4

Sistemas con agentes en interacci¶on:comportamientos emergentes

En el cap¶³tulo anterior se han planteado algunas cuestiones relacionadas con el ejercicio quelos economistas enfrentan cuando buscan representar en un modelo la conducta de los agentesecon¶omicos. Los modelos con expectativas racionales deber¶³an ser entendidos como una repre-sentaci¶on que asint¶oticamente deviene de procesos de aprendizaje y adaptaci¶on que tienen lugarentre los estados transicionales que operan durante cambios de r¶egimen. La hip¶otesis de expec-tativas racionales deber¶³a ser entendida como una aproximaci¶on (en general ¶util) que nos permitecomprender algunos hechos estilizados de la realidad econ¶omica, y como toda aproximaci¶on est¶asometida a alg¶un tipo de recorte conceptual. Olvidar esta premisa puede dar lugar a falsas in-terpretaciones. Por otro lado, el uso de expectativas racionales presupone impl¶³citamente la coor-dinaci¶on de las creencias y, por lo tanto, la consistencia plena de las acciones de los agentes queact¶uan en el sistema.

Es v¶alido formularse la pregunta que conduzca a entender c¶omo y bajo qu¶e circunstanciastiene lugar la coordinaci¶on de estas acciones de manera tal de hacer posible su representaci¶onmediante un agente representativo racional en modelos m¶as simpli¯cados con pocos grados delibertad. La respuesta a esta pregunta debe tener en cuenta dos cuestiones fundamentales. Unade ellas se basa en los problemas que resultan de la agregaci¶on de las acciones individuales. Elcelebrados resultado del economista argentino, Rolf Mantel [134], pone de mani¯esto limitacionesno triviales que surgen en los intentos de agregaci¶on de excesos de demanda a partir de hip¶otesisde comportamiento individuales.

La otra cuesti¶on a tener en cuenta se relaciona con entender la forma en que los agentestoman decisiones a la vez que interact¶uan con los dem¶as y en qu¶e medida estas interaccionesin°uyen sobre tales decisiones. El concepto de interacci¶on debe ser entendido ampliando su signi¯-caci¶on, ya que las interacciones no s¶olo tienen lugar en el espacio de las transacciones y relacionesde intercambio entre agentes, sino que tambi¶en queda impl¶³citamente involucrada alguna formade difusi¶on (global o local) de creencias, conjeturas, humores, sentimientos, etc. En el presentecap¶³tulo analizaremos esta cuesti¶on. En la siguiente secci¶on intentaremos formular bases microy macrosc¶opicas para una teor¶³a de la elecci¶on discreta para el caso de agentes localizados endeterminadas topolog¶³as y sometidos a interacciones locales que involucran el intercambio de infor-maci¶on entre agentes. Tomamos como base para esta formulaci¶on algunos t¶opicos que se remitena la f¶³sica de particulas interactuantes. Posteriormente desarrollamos un modelo que utiliza estasherramientas de estudio.

89

90 Cap¶³tulo 4. Sistemas con agentes en interacci¶on: comportamientos emergentes

4.1 Estudio de las interacciones locales y analog¶³as con la mec¶anicaestad¶³stica

Para realizar un desarrollo sistem¶atico, a continuaci¶on se muestran algunos resultados que surgendel estudio de los medios magn¶eticos desordenados. Si bien la aplicaci¶on de esta metodolog¶³a enla econom¶³a es incipiente, es posible que en el futuro se constituya como un marco de referencia¶util para estudiar la evoluci¶on de poblaciones heterog¶eneas, en donde las decisiones de cada agenteest¶an in°uenciadas por las elecciones de los dem¶as. Esta metodolog¶³a ha resultado ser ¶util en lasciencias cognitivas para estudiar las funciones cerebrales a trav¶es de las redes neuronales amorfas 1.En Biolog¶³a se utilizaron estas ideas para estudiar procesos de evoluci¶on bi¶otica y prebi¶otica [185].

La probabilidad de que un elemento del sistema se encuentre en un dado estado en tiempot depende de los estados previos que poseen y otros elementos que se encuentran en una vecindaddel primero. Esta vecindad o entorno depende del arreglo topol¶ogico sobre el cual los elementosest¶an ubicados. Dado el caracter interdependientemente de la din¶amica local veremos que formade representaci¶on podr¶³a ser considerada como una base de lo que en econom¶³a a ha llamado como\teor¶³a de la elecci¶on discreta".

Comencemos nuestro estudio considerando un conjunto de N elementos o \agentes" en unsistema multiconectado, cada uno de los cuales pueden adquirir en un instante dado uno de dosestados internos posibles, digamos: si(t) 2 f¡1; 1g2. Cada agente del sistema est¶a vinculado con losdem¶as; el estado interno de cada uno se ve in°uido e in°uye a su vez sobre los dem¶as seg¶un distintasintensidades que se cuanti¯can mediante de una matriz de conectividad (o matriz sin¶aptica en ellenguaje de las redes neuronales) ¹M = fMijg. A trav¶es de la matriz de conectividad se determinalo que se denomina como el \campo local" percibido por el componente i, de¯nido como:

hi(t+ 1) =NX

jj6=iMijsj(t) + hei (1.1)

donde la sumatoria representa la in°uencia media percibida en t + 1 por el \agente" i como con-secuencia de las acciones sj(t) tomadas por los dem¶as agentes y pesadas por la intensidad de lainteracci¶on entre i y j: Mij; h

ei es una in°uencia exterior 3. Si el elemento de matriz Mij À 0

el elemento j in°uye fuertemente al elemento i, si Mij ¼ 0, j casi no in°uye al componente i,mientras que si Mij ¿ 0, j in°uye negativamente sobre i. La matriz ¹M contiene informaci¶on queda cuenta de la topolog¶³a con la que los elementos del sistema est¶an vinculados entre s¶³. Es muycom¶un el desarrollo de modelos a partir de un reticulado bidimensional con condiciones de con-torno peri¶odicas. En este tipo de conectividad cada componente se rotula seg¶un sus coordenadashorizontales (i) y verticales (j) de forma tal que dado el agente i j s¶olo los elementos de matrizMij§1 6= 0 y Mi§1j 6= 0 el resto de los elementos, a no interactuar entre s¶³ poseen elementos nulo:Mij§k = 0, Mi§kj = 0 con 8 k > 1 y los bordes est¶an interconectados entre s¶³.

Conocido el \campo local", el \agente" i tomar¶a la acci¶on compatible con la din¶amica:

si(t+ 1) = g(hi(t+ 1)¡ Ti) (1.2)

donde g(x) es llamada funci¶on transferencia y Ti es el valor de un umbral a partir del cual lain°uencia de los otros agentes es tenida en cuenta. A los efectos pr¶acticos consideremos que la

1Los vidrios de spin y las redes neuronales amorfas son similares en su arquitectura. Sin embargo, en el primer casose trata de estudiar sus propiedades como sistema en s¶³ mismo, mientras que en el segundo se prentende aplicarlascomo mecanismo evocador de memorias asociativas en sistemas de clasi¯caci¶on o reconocimiento de patrones.

2La representaci¶on si(t) 2 f¡1; 1g ¶o ¾i(t) 2 f0; 1g es equivalente mediante la transformaci¶on s = 2¾¡1. Destaque-mos que el sistema visto como un todo posee un total de 2N estados agregados posibles.

3Por ejemplo un campo magn¶etico externo en el caso de interacciones magn¶etica o una tendencia idiosincr¶atica ouna campa~na publicitaria en el caso de un modelo de elecci¶on social.

4.1. Estudio de las interacciones locales y analog¶³as con la mec¶anica estad¶³stica 91

funci¶on de transferencia es una funci¶on signo 4:

g(x) =

(1 s¶³ x ¸ 0¡1 s¶³ x < 0

(1.3)

Cl¶aramente, cuando hi > Ti el estado de i ser¶a si = +1 mientras que si hi < Ti su estadoser¶a si = ¡1.

4.1.1 Din¶amica estoc¶astica microsc¶opica

Supongamos que el \campo local" de cada componente del sistema es una variable aleatoria quesigue una distribuci¶on normal con media ¹hi y varianza ¾; entonces, la probabilidad de que el campolocal del elemento i tenga el valor h es simplemente:

P (hi = h) =1p

2¼¾2e¡(h¡ ¹hi)

2

2¾2 (1.4)

La probabilidad que el elemento i est¶e en el estado si = 1, es la funci¶on signo es:

P (si = 1) =

Z 1

Ti

P (hi = h)dh =1

2

³1 + erf (

¹hi ¡ Ti¾p

2)´

(1.5)

donde erf (x) = 2p¼

R x0 e¡t2dt, es la funci¶on error. An¶alogamente:

P (si = ¡1) = 1¡ P (si = 1) =1

2

³1¡ erf (

¹hi ¡ Ti¾p

2)´

(1.6)

Ya que si 2 f¡1; 1g se pueden juntar ambos resultados es una sola expresi¶on. Normalizando ¹hi detal manera que los umbrales Ti sean nulos se puede condensar la expresi¶on, entonces:

P (si) =1

2

³1 + erf (

si ¹hi

¾p

2)´

(1.7)

Esta probabilidad se aproxima (con un error mucho menor al 1% ) a:

P (si) ¼e¯

¹hisi

e¯ ¹hi + e¡¯ ¹hi´ 1

2(1 + tanh (¯ ¹hisi)) / e¯ ¹hisi (1.8)

donde ¯¡1 = 2p

2¾. Recordemos que hemos supuesto que el campo local de cada agente es unavariable aleatoria, la expresi¶on a la que se ha llegado indica la probabilidad de los estados de losagentes como si estos se encontraran en un \ba~no t¶ermico" a una \temperatura" T = 1=¯ (queest¶a relacionada con la varianza de la variable aleatoria).

La probabilidad a la que llegamos se denomina como din¶amica de Glauber. Para entenderla din¶amica que resulta, supongamos que la temperatura es nula, esto es, ¯ ¡!1, entonces comola tanh se transforma en la funci¶on signo, esto es: hi 6= 0 =) si(t + 1) = sgn (hi) conprobabilidad uno 5.

Luego veremos que en ambos casos el elemento i cambia su estado siempre que en el nuevoestado se cumpla que hisi ¸ 0. Cuantitativamente el cambio de estado de un elemento debe produciruna disminuci¶on local de una funci¶on de Lyapunov que en los sistemas f¶³sicos es la \energ¶³a" (luegoser¶a claramente de¯nida): ¢E = ¡2hisi · 0, o sea que la \energ¶³a" se reduce siempre que hi6= 0.

4Tambi¶en es posible trabajar con una g(x) = tanh (¿x) donde ¿ un par¶ametro del modelo. Sin embargo convienelimitarse al caso de una funci¶on signo ya que se adec¶ua m¶as a un proceso de decisi¶on binario.

5S¶³ hi = 0 =) si(t+ 1) = §1 con probabilidad 1=2; no obstante esta posibilidad ocurre con una probabilidaddespreciable si el sistema extendido est¶a multiplemente contectado.


4.1.2 Din¶amica macrosc¶opica y consistencia macro-micro

La in°uencia local que cada agente percibe de su entorno est¶a cuanti¯cada por su \campo localinducido" (ecuaci¶on 1.1). La din¶amica de cada agente se desarrolla de manera tal que trata deacoplarse adecuadamente a la in°uencia de su \campo local". Si es positivo, el estado del agente es+1 y en caso contrario ¡1 con ciertas probabilidades. Es posible de¯nir una funci¶on de Lyapunovo \funci¶on de energ¶³a o de costo" que cuanti¯ca el nivel de acoplamiento agregado de los estadosde todos los elementos del sistema. Por ejemplo, si el estado del elemento i es si y el del j es sj yambos elementos interact¶uan positivamente, es decir, que Mij > 0, entonces hay una contribuci¶ona esa funci¶on de Lyapunov proporcional a: ¡Mijsisj. En este caso si ambos estados poseen elmismo signo (sgn (si) = sgn (sj)) la contribuci¶on de la interacci¶on es negativa lo cual indica que

ambos estados est¶an \coherentemente" acoplados; s¶³ sgn (si) = ¡sgn (sj), la contribuci¶on a la\energ¶³a" es positiva ya que ambos estados son inconsistentes con la naturaleza de su interacci¶on.Cuando Mij < 0 el acoplamiento favorable tiene lugar cuando los estados de i y de j poseen elsigno contrario y viceversa. Se puede de¯nir como indicador \global" (o agregado) del grado deacoplamiento de los estados del sistema:

Ef~Sg = ¡1

2

NX

i=1

heisi ¡1

2

NX

i=1

NX

j6=ij=1

Mijsisj (1.9)

donde ~S = (s1; ¢ ¢ ¢ ; si; ¢ ¢ ¢ ; sN ) es uno de los 2N micro-estados posibles del sistema.

Gibbs muestra [?] que conociendo el valor de esta funci¶on de costo (o \energ¶³a") para todoestado posible ~S se pueden conocer las propiedades del sistema en equilibrio a un nivel de °uctuaci¶ono \temperatura" dada T . Debido al car¶acter erg¶odico de este sistema, es posible demostrar que esequivalente calcular el promedio temporal de un observable como el promedio sobre un ensamble oconjunto de sistemas id¶enticos, donde la probabilidad de cada estado es proporcional a:

e¡¯Ef~Sg con ¯ = 1=kT siendo k la constante de Boltzman (1.10)

Esta expresi¶on es la medida de probabilidad descubierta por Gibbs. Tomemos un observable6

Of~Sg. Dado que el sistema posee un total de 2N micro-estados: ~S, el observable tendr¶a un valordado para cada uno de ellos; en el equilibrio, el valor medio del observable O es la suma ponderadapor la medida de probabilidad de Gibbs [108]:

¹O =

PS Of~Sge¡¯Ef

~SgPS e¡¯Ef~Sg

(1.11)

La expresi¶on anterior nos dice que el promedio, que usualmente se calcula como promedio temporal,es igual al promedio sobre muchos sistemas similares que poseen distintos estados, pesados por una

frecuencia relativa: e¡¯Ef~Sg. Esta equivalencia es posible en virtud de que el sistema es, en estascircunstancias, erg¶odico. Un observable relevante es la polarizaci¶on media del sistema, es decir elvalor medio de la suma de los estados si:

Mf~Sg =X

i=1

si (1.12)

Ahora podemos estudiar la consistencia entre la din¶amica microsc¶opica, determinada porla ecuaci¶on 1.8 y las propiedades macr¶oscopicas en equilibrio. Sea ½I(t) la probabilidad de que elsistema est¶e en el estado I en el instante t. Utilizando la ecuaci¶on de Kolmogorov para °ujos deprobabilidades podemos determinar la evoluci¶on de esta probabilidad:

6O sea una cantidad que puede medir mediante observaciones experimentales.


½I(t+ 1) =X

J

W (I=J)½J(t) (1.13)

donde W (I=J) es la probabilidad de transici¶on del estado J al estado I. Por las propiedades deconservaci¶on de la probabilidad, sumando sobre todas las instancias y transiciones posibles tenemos:

X

I

½I = 1 yX

I

W (I=J) = 1 (1.14)

entonces:

½I(t+ 1) =X

J

W (I=J)½J(t) =X

J6=IW (I=J)½J(t) +W (I=I)½I(t) = (1.15)

=X

J6=IW (I=J)½J(t) +

³1¡

X

J6=IW (J=I)

´½I(t) (1.16)

¯nalmente llegamos a la ecuaci¶on maestra:

½I(t+ 1) = ½I(t) +X

J6=I

hW (I=J)½J(t)¡W (J=I)½I(t)

i(1.17)

Por su propia naturaleza en el estado estacionario desaparece la dependencia temporal entonces:½I(t) = ½I(t+ 1) = F (I) y ½J(t) = ½J(t+ 1) = F (J), y adem¶as debe cumplirse lo que sueledenominase como la \condici¶on de balance detallado":

W (I=J)F (J) = W (J=I)F (I) (1.18)

Esta condici¶on no es m¶as que una conservaci¶on del °ujo de probabilidad de los estados enel r¶egimen estacionario.

Se puede mostrar que la din¶amica microsc¶opica de Glauber (ecuaci¶on 1.8) es consistente conesta condici¶on y con la medida (macrosc¶opica) de Gibbs. Para ello, consideremos una din¶amicasincr¶onica y una escala temporal en la que la actualizaci¶on del sistema en el agregado est¶a dada porla modi¯caci¶on de un s¶olo componente del sistema. Esto signi¯ca que dos estados macrosc¶opicosdi¯eren unicamente del estado de un s¶olo elemento i. A los ¯nes pr¶acticos esto ser¶³a como de¯nir unaunidad de tiempo tal que la separaci¶on entre dos estados macrosc¶opicos luego de la actualizaci¶ondel sistema sea la alteraci¶on de ese ¶unico elemento i. La probabilidad de que el sistema est¶e en lacon¯guraci¶on J con el elemento i en el estado si pase al estado I con el elemento i en el estado¡si es P (si)=N y aquella que corresponde a pasar del estado ¡si al si es P (¡si)=N , por lo tanto,usando 1.8:

W (I=J)

W (J=I)=P (¡si)P (si)

=e¡¯hisi

e¯hisi= e¡2¯hisi (1.19)

entonces:W (I=J)e¡¯E(J) = W (J=I)e¡¯E(I) (1.20)

con lo cual:

F (I) = ½I / e¡¯E(I) (1.21)

esto signi¯ca que a partir de la din¶amica microsc¶opica 1.8 de Glauber se llegar a la probabilidadde los estados del sistema dada por Gibbs.

Cuando la din¶amica estoc¶astica de la red converge a un estado estacionario el sistema haalcanzado un m¶³nimo en un \paisaje de energ¶³a" o \paisaje de la funci¶on costo" (entendido comouna magnitud que cuanti¯ca el grado de acoplamiento o a¯nidad entre todos los elementos del


sistema). Si el nivel de ruido no es muy intenso (T ¡! 0), el sistema puede entramparse en estadossub¶optimos que corresponden a m¶³nimos locales del paisaje. Dada la complejidad del sistema quese mani¯esta en la enorme cantidad de con¯guraciones posibles, no siempre se puede asegurar queel sistema pueda siempre alcanzar un m¶³nimo global, ya que, por lo general, el paisaje de energ¶³aes sumamente \rugoso". En el lenguaje de las redes neuronales amorfas los m¶ultiples m¶³nimoscorresponden a las que se denominan como memorias asociativas, que son direccionables (a cadam¶³nimo correspondiente) por su contenido [98].

4.1.3 Estados frustrados y multiplicidad de atractores

Cuando los elementos de la matriz Mij son tanto positivos como negativos, se multiplican losm¶³nimos de la funci¶on de energ¶³a, haciendo que el paisaje sea m¶as intrincado o rugoso. Esto dalugar a un incremento de la complejidad del sistema, la cual se pone de mani¯esto por medio deuna combinaci¶on de estabilidad (existencia de atractores estables) y diversidad (multiplicaci¶on delos estados estacionarios sub¶optimos). T¶ecnicamente tiene lugar lo que se denomina como \frus-traci¶on", t¶ermino utilizado para describir la existencia de con°ictos mutuos entre los elementos delsistema. En esas condiciones, no es posible que se satisfagan simult¶aneamente todas las intera-cciones. Para entender el fen¶omeno de frustraci¶on analicemos el siguiente ejemplo en el que parasimpli¯car suponemos que Mij = §1 8ij.

Para ¯jar ideas, consideremos un subsistema de cuatro componentes fs1; s2; s3; s4g que in-teractuan entre s¶³. En la ¯gura 1.1 se muestran 3 situaciones posibles. En el caso (a) los elementosde la matriz de conectividad son todos positivos, y por lo tanto la energ¶³a del subsistema adquieresu m¶³nimo global s¶³ s1 = s2 = s3 = s4 = §1, por otro lado, en el caso (b) no es posible encontrarun m¶³nimo global ya que s¶³ se hace m¶³nima la contribuci¶on a la energ¶³a entre los elementos 1 y 2se aumenta la correspondiente entre 1 y 3 ¶o 2 y 4, y viceversa. Mostramos en la siguiente tablalos valores de la \energ¶³a" del subsistema para todos los 24 = 16 estados posibles, es decir que secalcula:

Esubsistema =4X

i=1

X

j=1j6=i

Mij(= §1)sisj (1.22)

s1 s2 s3 s4 (a) (c)

+ + + + -4 -2+ + + ¡ 0 2+ + ¡ + 0 2+ + ¡ ¡ 0 2+ ¡ + + 0 -2+ ¡ + ¡ 0 -2+ ¡ ¡ + 4 2+ ¡ ¡ ¡ 0 -2¡ + + + 0 -2¡ + + ¡ 4 2¡ + ¡ + 0 -2¡ + ¡ ¡ 0 -2¡ ¡ + + 0 2¡ ¡ + ¡ 0 2¡ ¡ ¡ + 0 2¡ ¡ ¡ ¡ -4 -2

Se observa en la tabla que, si bien no es posible alcanzar estados de m¶³nima energ¶³a (» ¡4),existen m¶ultiples estados de baja energ¶³a» ¡2. La frustraci¶on en un sistema produce una diversidad


Figura 1.1: Dos situaciones posibles para un subsistema compuesto por 4 elementos. Por sim-plicidad suponemos que Mij puede valer ¶unicamente +1 o ¡1. En el caso (a) se cumple queM12 = M13 = M24 = M34 = +1, en (b), M13 = M24 = M34 = +1 y M12 = ¡1

de estados fundamentales. Antes de que surgiera la teor¶³a de los \vidrios de spin" se considerabansistema extendidos con pocos estados fundamentales que pod¶³an ser considerados como equivalentesa trav¶es de transformaciones de simetr¶³a. Como modelo protot¶³pico de sistema complejo, los vidriosde spin nos muestran que en general sistemas con componentes en interacci¶on poseen una diversidadtal que la simple agregaci¶on sin considerar la complementariedad dada por la localidad dar¶³a lugara err¶oneas conclusiones. En la teor¶³a de las redes neuronales la existencia de estados frustradospermite multiplicar el n¶umero de atractores de la din¶amica posibilitando almacenar un mayorn¶umero de memorias asociativas. Trabajos realizados [141] han demostrado que los m¶³nimos deestados frustrados se organizan ultram¶etricamente, es decir que poseen un organizaci¶on jer¶arquica.

El concepto de frustraci¶on y de la idea de que muchos sistemas no pueden alcanzar estados¶optimos globales nos sugieren analog¶³as con hechos estilizados en sistemas econ¶omicos. Ya hemoscomentado en cap¶³tulos anteriores que muchas veces la coordinaci¶on de los planes de los agentes esun objetivo dif¶³cil de alcanzar, ya sea por la existencia de complementariedades estrat¶egicas o porla inaccesibilidad a nivel local a un conjunto de informaci¶on completa que permita operar en ¶el conmayor certidumbre. La frustraci¶on pues juega un papel preponderante, y por lo tanto resulta deutilidad en el estudio de la econom¶³a desde esta visi¶on constructiva.

Transiciones de fase: Orden - Desorden

El tipo de sistema desordenado como el que venimos describiendo puede ser, seg¶un las condiciones,tanto erg¶odico como no erg¶odico. Ya hemos comentado (v¶ease la secci¶on 2.4.3 del cap¶³tulo 2) queun sistema es erg¶odico s¶³ transcurrido un tiempo in¯nito, el sistema visita todos los estados posiblesy por lo tanto la evoluci¶on no depende de las condiciones iniciales. La naturaleza escapa a estaceguera a trav¶es de lo que se denominan como transiciones de fase que suponen la aparici¶on derupturas de simetr¶³a en las que se quiebra la ergodicidad. Este este proceso da lugar a la aparici¶onde comportamientos emergentes que alteran la con¯guraci¶on del sistema y reducen los grados delibertad efectivos del sistema.

Para simpli¯car los c¶alculos supongamos que la matriz de conectividad posee s¶olo elementospositivos (Mij ¸ 0 8 1 · i · N; 1 · j · N); entonces todos los pares de elementos conectados entres¶³ con interacci¶on (Mij 6= 0) contribuyen a bajar la \energ¶³a" siempre que se encuentren alineadosentre s¶³ (cuando se encuentran en el mismo estado: si = sj). El alineamiento microsc¶opico quetiene lugar entre pares favorece al ordenamiento global del sistema, que se pone de mani¯esto atrav¶es de la polarizaci¶on (M) (macrosc¶opica).

Si el sistema fuera erg¶odico la polarizaci¶on agregada ser¶³a nula ya que, dado un estadoagregado, existe el estado opuesto, que tiene polarizaci¶on agregada de signo opuesto a este con losestados de cada componente permutado por su valor opuesto. Este nuevo macro-estado tiene igualprobabilidad de existir pues la energ¶³a del estado agregado opuesto tiene el mismo valor que el primerestado considerado. Notemos que todo sistema erg¶odico posee una simetr¶³a intr¶³nseca. Cuando


Mij ¸ 0 hay dos estados fundamentales (de m¶³nima energ¶³a) en que todos los componentes delsistema est¶an en el mismo estado +1 ¶o ¡1. Partiendo de condiciones iniciales al azar, la in°uenciamutua entre elementos dada por la ecuaci¶on 1.2 da lugar a un descenso gradual por gradiente deenerg¶³a haciendo que el sistema alcance el atractor que conduce al estado fundamental. Esto esv¶alido para un sistema que se encuentra en ausencia de ruido, entonces cabe preguntarse, cu¶al esla cantidad de \ruido t¶ermico" admitido como para mantener al sistema en estas condiciones? Esrazonable suponer que existe un valor de temperatura (cr¶³tica), que controla el nivel de ruido, apartir de la cual el sistema pasa de ser erg¶odico a no serlo, teniendo lugar una \transici¶on de fase".Para entender cuantitativamente estos conceptos realizaremos un estudio del sistema utilizandolo que suele llamarse como una aproximaci¶on de campo medio y que consiste en reemplazar lasinteracciones locales entre elementos por una interacci¶on promediada.

Aproximaci¶on de campo medio

Supongamos que la interacci¶on entre elementos es una constante por lo cual: Mij = fM=N 8 1 ·i · N; 1 · j · N . Si adicionalmente suponemos que la componente externa del campo local en 1.1es nula (hei = 0) entonces este adquiere la forma:

hi(t+ 1) =NX

j6=iMijsj(t) ¡! ¹h =

fMNMf~Sg ´ fMmf~Sg (1.23)

donde Mf~Sg es la polarizaci¶on total del sistema mientras que mf~Sg es la magnetizaci¶on porcomponente (mf~Sg = Mf~Sg=N). Con estas aproximaciones la \energ¶³a" se simpli¯ca y da:

Ef~Sg = ¡fM

2N

X

i;ji6=j

sisj ¡! ¡fM2nM2f~Sg ´ ¡1

2NfMm2f~Sg (1.24)

Entonces la probabilidad que prescribe la din¶amica de Glauber (ecuaci¶on 1.8) en un ba~no t¶ermicoes:

P (si) =e¯ eMmf~Sgsi

e¯ eMmf~Sg + e¡¯ eMmf~Sg(1.25)

Reemplazando esta probabilidad en la ecuaci¶on maestra y calculando el valor medio de la polar-izaci¶on Glauber [77] demostr¶o que vale la ecuaci¶on din¶amica:

¡d < m > (t)

dt= ¡ < m > (t) + tanh

³¯fM < m > (t)

´(1.26)

cuya soluci¶on en el estado estacionario ( _< m > = 0) es:

< m¤ >= tanh (¯fM < m¤ > ) (ecuaci¶on de Curie - Weiss) (1.27)

Para analizar su comportamiento conviene llamar: x = ¯fMm¤ entonces:

1

¯fMx = tanh (x) (1.28)

Entonces, gr¶a¯camente podemos ver en la ¯gura 1.2 que seg¶un ¯fM sea menor o mayor que launidad habr¶a un s¶olo punto de equilibrio o 3 puntos de equilibrios (2 estables con polarizaci¶onno nula y uno inestable de polarizaci¶on nula) respectivamente. Esto signi¯ca que existe un valorcr¶³tico de ¯ = ¯c en la que se produce una transici¶on de fase del desorden erg¶odico con polarizaci¶onnula al orden de¯nido por una polarizaci¶on no nula de valor macrosc¶opico.

Estudiemos el comportamiento del sistema cerca del valor cr¶³tico del par¶ametro de control,es decir cuando ¯ ¼ ¯c. En estas condiciones es posible escribir la ecuaci¶on 1.28 como:


Figura 1.2: Seg¶un cada caso, la intersecci¶on entre la rectas y la funci¶on tanh (x) representa losestados estacionarios del sistema cuando se ha realizado la aproximaci¶on de campo medio.

¯c¯x = tanh (x) con ¯c =

1fM

(1.29)

entonces, aproximando por un polinomio de Taylor tanh (x) ¼ x¡ 13x

3, tenemos:

¯c¯x ¼ x¡ 1

3x3 =) x ¼

h3(1¡ ¯c

¯)i1=2

(1.30)

Esto signi¯ca que la polarizaci¶on normalizada sigue una ley potencial con el par¶ametro de control.Investigaciones de los ¶ultimos a~nos han mostrado que todo sistema extendido cuyos par¶ametros loacercan a una regi¶on donde tiene lugar una transici¶on de fase posee observables que se comportancon leyes de potencia similares a la obtenida. En particular, un observable importante es la funci¶onde correlaci¶on:

F (~r) =< m(~r)m(0) > ¡ < m(~r) >< m(0) > (1.31)

que mide el grado de correlaci¶on espacial entre elementos que se encuentran a una distancia j~rj.Utilizando la transformada de Fourier de F (~r) se puede llegar a demostrar que [108]:

F (~r) =e¡j~rj=»

j~rj (1.32)

donde » es la \longitud de correlaci¶on" que es un indicador caracter¶³stico de la \memoria" espacialdel sistema desordenado. Cerca del punto cr¶³tico ¯ = ¯c la longitud de correlaci¶on va como:

» » j¯c¯¡ 1j¡º ¡!1

¯ ! ¯c(1.33)

entonces, la funci¶on de correlaci¶on va como jrj¡1 cerca del punto cr¶³tico. Esta ley de potencias

indica que no existe una longitud o magnitud caracter¶³stica que de¯na el tama~no del sistema(ver secci¶on 5.3 del pr¶oximo). Para completar este an¶alisis, estudiemos el comportamiento de lapolarizaci¶on normalizada lejos del punto cr¶³tico ¯c. Cuando ¯ ¡! 1 =) x À 0, entoncestomando estos l¶³mites en la tangente hiperb¶olica llegamos a:

¯c¯x ¼ 1¡ 2e¡2x + ¢ ¢ ¢ (1.34)

y a orden cero xo = ¯=¯c, entonces:

¯c¯' 1¡ 2e¡2¯=¯c (1.35)


Corroborando que lejos de la regi¶on cr¶³tica el comportamiento de la polarizaci¶on es expo-nencial y no potencial como ocurre con el caso opuesto. En este caso la funci¶on de correlaci¶ondecae exponencialmente con una longitud de correlaci¶on ¯nita m¶as all¶a de la cual los componentesdel sistema no esta mutuamente in°uenciados

4.1.4 Aplicaciones en sistemas econ¶omicos y sociales: Marco gen¶erico

Si bien la aplicaci¶on de esta metodolog¶³a en el estudio de los fen¶omenos sociales se encuentra a¶unen una etapa incipiente puede ser ¶util para entender la evoluci¶on de sistemas con poblaciones het-erog¶eneas en interacci¶on. En esta secci¶on se presenta un marco gen¶erico para discutir aplicacionesde la mec¶anica estad¶³stica al estudio de comportamientos sociales. Los modelos inspirados en esteesquema se basan en entornos en los cuales cada agente del sistema enfrenta una decisi¶on binaria.En muchos contextos sociales es posible encontrar esta situaci¶on. Resulta evidente que estas de-cisiones dependen del contexto socio-econ¶omico que contiene a cada agente conformado por unaamplia red de relaciones sociales que pueden ser pensadas como locales; adem¶as es posible con-siderar a alguna forma de in°uencia externa ya que puede cuanti¯carse a trav¶es de un \campoexterno" (v¶ease la ecuaci¶on 1.1).

Un marco general de estudio

Supongamos que el sistema estudiamos a continuaci¶on tiene un total de N agentes (o familias) cadauno de los cuales opta por tomar la decisi¶on si 2 f¡1; 1g, siendo ~S el vector de decisiones, y sea~s¡i el vector de las decisiones tomadas por todos los agentes menos el agente i. La heterogeneidad

surge de 3 aspectos fundamentales:

(i) Cada agente di¯ere del resto por sus atributos personales ~Xi.

(ii) Poseen diferentes expectativas sobre el comportamiento agregado; es decir que pueden for-mular creencias a cerca de lo que hacen los dem¶as agentes. Entonces cada agente puede tenerasociada una expectativa dada por la medida de probabilidad (subjetiva) ¹ei ( ~s¡i).

(iii) Cada agente experimenta perturbaciones aleatorias: ²(si).

La elecci¶on individual surge de resolver un problema de maximizaci¶on de utilidad:

maxsi 2 f¡1; 1gV (si; ~Xi; ¹

ei ( ~s¡i); ²(si)) (1.36)

Para simpli¯car podemos suponer:

² Aditividad, es decir que la funci¶on de utilidad se descompone en una utilidad \privada", una\social" y una componente estoc¶astica:

V (si; ~Xi; ¹ei ( ~s¡i); ²(si)) = Up(si; ~Xi) + Us(si; ~Xi; ¹

ei ( ~S¡i)) + ²(si) (1.37)

² La utilidad social y la densidad de probabilidades para ²(si) son dadas. La utilidad social Us(en el sentido de que depende de las acciones de los dem¶as agentes) se formaliza suponiendoque los agentes tratan de conformar o acoplarse con el comportamiento de los otros agentes:

Us(si; ~Xi; ¹ei ( ~S¡i)) = ¡Ei

h NX

j=1j6=i

Mj( ~Xi)

2(si ¡ sj)2

i(1.38)


donde Ei es el valor esperado de la discrepancia entre las decisiones propias y las ajenas,pesadas por una matriz que da cuenta del marco social en que se encuentra el agente (puedesuponerse que cuanti¯ca la comunicaci¶on interpersonal).

Por otro lado se puede suponer que la probabilidad de shocks es log¶³stica7:

P³²(¡1)¡ ²(1) · z

´=

1

1 + e¡¯( ~Xi)z(1.39)

² Ya que las elecciones son binarias, la utilidad \privada" puede simpli¯carse de forma tal que:

u(1; ~Xi) = h( ~Xi) + k( ~Xi) (1.40)

u(¡1; ~Xi) = ¡h( ~Xi) + k( ~Xi) (1.41)

Entonces, como s2i = 1 tenemos:

Us(si; ~Xi; ¹ei ( ~S¡i)) =

NX

j=1j6=i

Mj( ~Xi)(siEi[sj ]¡ 1) (1.42)

La probabilidad de elegir una opci¶on si condicionada por los atributos individuales ~Xi y las expec-tativas subjetivas ser¶a:

P³si= ~Xi; ¹

ei (~S¡i)

´= P

³V (si; ~Xi; ¹

ei ( ~s¡i); ²(si)) > V (¡ si; ~Xi; ¹

ei ( ~s¡i); ²(¡si))

´(1.43)

reemplazando 1.37, 1.38, 1.39, 1.41 y 1.42, se llega la probabilidad de Gibbs:

P (²(¡si)¡ ²(si) < 2z) =e¯( ~Xi)z

e¯( ~Xi)z + e¡¯( ~Xi)zdonde z = sih( ~Xi) +

nX

j=1j6=i

Mj( ~Xi)siEi(sj) (1.44)

Entonces la probabilidad agregada de que el sistema se encuentre en un estado ~S es:

P³~S=f ~Xig1·i·N ; f¹ei ( ~s¡i)g1·i·N

´=

NY

i=1

P (si= ~Xi; ¹ei ( ~s¡i)) » (1.45)

» exph¯( ~Xi)

³ NX

i=1

h( ~Xi)si +NX

j=1j6=i

Mj( ~Xi)siEi(sj)´i

(1.46)

que es nuevamente la medida de probabilidad de Gibbs.

Aplicaciones estilizadas en la econom¶³a

El primer antecedente que puede recogerse en la literatura econ¶omica donde se implementan mo-delos basados en estas ideas fue un trabajo de Follmer [70] quien introdujo esta estructura demodelizaci¶on en el contexto de los modelos de equilibrio general, usando el marco de referenciaintroducido por Hildenbrand [100]. Los resultados que se alcanzan con estos modelos tienen mucharelaci¶on con aquellos obtenidos por Mc. Faden y Manski [?] al formular lo teor¶³a de la elecci¶ondiscreta. En este contexto, es posible estudiar el comportamiento interdependiente de las ¯rmas

7En [7] se realiza un estudio de la relaci¶on que existe entre la funci¶on de distribuci¶on log¶³stica y la interpretaci¶onde t¶erminos aleatorios en problemas de decisi¶on discreta.


cuando, por ejemplo, debe tomar decisiones de inversi¶on o aumentar o disminuir la cantidad deempleados de planta (empleo de carrera), o cuando se estudia la entrada o salida de las ¯rmas aun determinado sector. Tambi¶en se puede estudiar el comportamiento de los agentes consumidoresque deben tomar decisiones binarias.

En econom¶³a modelos con interacciones locales similares el que hemos descripto han sidotambi¶en utilizados para explicar los patrones de difusi¶on y lock-in de innovaciones tecnol¶ogicas atrav¶es de las modelizaci¶on de procesos de adopci¶on de nuevas tecnolog¶³as como resultado de lainteracci¶on entre ¯rmas vecinas vinculadas entre s¶³ [14]. En Benabou y Durlauf [?] se enfatiza laimportancia del caracter end¶ogeno en la formaci¶on de barrios, debido a la interdependencia entre lasacciones de los agentes que act¶uan en el sistema, dando lugar a correlaciones tanto espaciales comointertemporales. Es posible en el contexto visto estudiar los procesos de integraci¶on, segregaci¶on yestrati¯caci¶on social.

En el marco de la macroeconom¶³a es posible aplicar esta metodolog¶³a considerando modeloscomo los formulados por Neftci [149] quien clasi¯c¶o a los estados de las econom¶³as en dos reg¶³menesseg¶un el nivel de empleo est¶e creciendo o no, o por Hamilton [88] con los auges y las recesiones y for-mul¶o un modelo usando cadenas markovianas. Estos procesos estoc¶asticos dan lugar a movimientosbrownianos que resultan ser una aproximaci¶on de primer orden ya que no se tienen en cuenta losefectos de la externalidad din¶amica que produce el comportamiento interdependiente local. Kurz[?] tambi¶en propuso un modelo con 2 tipos de ¯rmas, (i) aquellas que tienen acceso al cr¶edito, (ii)las que tienen el cr¶edito racionado. En el contexto descripto podr¶³a ser posible estudiar un modelosimilar con interdependencias, de manera tal de que aquellas ¯rmas del tipo (i) se transformen entipo (ii) si por efecto de la externalidad cuando est¶a vinculada con otras ¯rmas del tipo (ii). Todosestos modelo se sostienen en un criterio de elecci¶on binaria, raz¶on por la cual es posible aplicar estemarco de referencia.

Autores como Lux [131], Kirman [116], Antoniewicz [?] y Brock [39, 37] han desarrolladomodelos para explicar el comportamiento de los mercados ¯nancieros, la crisis y ataques espec-ulativos y la aparici¶on de profecias autocumplidoras, suponiendo que los agentes econ¶omicos seclasi¯can en dos tipos diferentes: \fundamentalistas" y \chartistas" (o seguidores de tendencias).Campbell, Grossman y Wang [?] desarrollaron un modelo con expectativas racionales en el queconviven dos tipos de agente, aquellos que poseen una aversi¶on al riesgo constante (CARA) y losque poseen una aversi¶on al riesgo estoc¶astica, bien podr¶³a emplearse el formalismo de los vidriosde spin a este tipo de modelos.

Tambi¶en es posible adaptar ciertos modelos con informaci¶on asim¶etrica como el formuladopor Hellwig [?] que estudia la interdependencia que existe entre la calidad de las se~nales que losagentes reciben y los cambios abruptos causados por el grado de correlaci¶on de la informaci¶on entreagentes y no en los cambios de su contenido. En este modelo los agentes reciben una se~nal sobre losrendimientos futuros de un activo, hay dos tipos de agentes, los informados (1) que pagan por unamenor volatilidad de la se~nal y los agentes no informados (2) que poseen una volatilidad esperada¾2 > ¾1, pero no pagan por la informaci¶on que reciben. El modelo estudia el rol cualitativo de laestructura de correlaci¶on de las se~nales.

H. Peyton Young [?] formul¶o un modelo en el que los agentes se ubicaban en un grafoque representa la red social. En cada per¶³odo de tiempo se selecciona al azar a un agente y esteadopta uno de dos comportamientos posibles, dependiendo de (i) la evoluci¶on de los premios, (ii)la proporcion de agentes vecinos que han adoptado determinado comportamiento. En este ¶ultimomodelo, los agentes juegan un juego de coordinaci¶on sim¶etrico con cada uno de los dem¶as agentesde su vecindad. El juego de coordinaci¶on es:

A B

A 3; 3 0; 0

B 0; 0 2; 2


El autor analiza qu¶e patrones de comportamiento emergen y cu¶anto tiempo tarda el sistemade alcanzar un estado estacionario. El modelo exhibe un estado de equilibrio en el que todos losagentes juegan A o todos juegan B (equilibrio homog¶eneo), sin embargo existen tambi¶en m¶ultiplesequilibrios alternativos en los cuales hay subgrupos de agentes que coordinan sus acciones jugandoA mientras otros juegan B. El autor trabaja con una funci¶on que de¯ne como \potencial del juego"similar a la energ¶³a usada en los vidrios de spin (ecuaci¶on 1.9).

Formaci¶on de grupos y normas de conducta

Glaesser, Sacerdote y Scheinkman [76] construyeron un interesante modelo con interacciones locales para explicar la proliferaci¶onde cr¶³menes en las ciudades. Los individuos se suponen localizados en un espacio unidimensional. Cada agente puede elegir (alazar) una de tres tipos de preferencias con referencia a la decisi¶on de cometer (si = 1) o no un cr¶³men (si = ¡1). La preferencia1 supone que el agente siempre que tenga la oportunidad comenter¶a un crimen, la 2 supone que el agente cometer¶a el crimen siel vecino m¶as cercano de la izquiera lo comete y la 3 considera que nunca cometer¶a el crimen. Sea Uj(si; si¡1) la utilidad delagente i que utiliza la preferencia tipo j. El modelo supone el siguiente ordenamiento:

U1(1; 1) > U1(¡1; 1) U1(1;¡1) > U1(¡1;¡1) (1.47)

U2(1; 1) > U2(¡1; 1) U2(¡1;¡1) > U2(1;¡1) (1.48)

U3(¡1; 1) > U3(1; 1) U3(¡1;¡1) > U3(1;¡1) (1.49)

Es decir que cuando el agente comete siempre el crimen su utilidad U1 es mayor si su vecino tambi¶en lo comete,cuando el agente utiliza la preferencia U2 el agente cometer¶a el crimen s¶olo si su vecino tambi¶en lo hace y en el caso de usarla preferencia U3 el agente preferir¶a la situaci¶on en la que el vecino tampoco comete cr¶³menes. La distribuci¶on de tipos depreferencia es independiente e id¶enticamente distribuida para todos los agentes.

Cada agente est¶a en contacto con la vecindad formada por el agente a su izquierda, es decir:

Mj( ~Xi) =

½M( ~Xi) s¶³ j = i¡ 1

0 s¶³ j6= i¡ 1(1.50)

Por otro lado a cada agente se le puede asociar una \variable latente" Ái 2 fÁl; Ám; Áhg que da cuenta de una carac-ter¶³stica personal que in°uencia a la utilidad individual en virtud de que el agentes pertenece a una \clase social" determinada:baja (l), media (m), o alta (h). Esta variable latente act¶ua como un campo externo siendo:

h(Ál) > 0 M(Ál) = 0 (1.51)

h(Ám) = 0 M(Ám) > 0 (1.52)

h(Áh) < 0 M(Áh) = 0 (1.53)

Es decir que si el individuo pertenece una clase social \humilde", dado que h > 0 tendr¶a la tendencia a cometer el crimenindependientemente de su vecindad (ya que M = 0), s¶³ es de clase \media" no tendr¶a ninguna tendencia impl¶³cita pero tomar¶adecisiones en conformidad con la de su vecino pues M > 0; ¯nalmente, si el agente pertenece a la clase \alta" no evaluar¶a laconducta de su vecino pero tendr¶a la tendencia de no cometer cr¶³menes pues h < 0.

Con esta estructura para el modelo de interacciones entre agentes, los autores demuestran que la probabilidad de queel sistema se encuentre en un estado global ~S es:

P (~S=fÁ1; ¢ ¢ ¢ ; ÁNg) » exph NX

i=1

¯¡h(Ái)si +M(Ái)sisi¡1

¢i(1.54)

Si bien los modelos unidimensionales m¶as simples no tienen transiciones de fase, dada la estructura aleatoria de laspreferencias y de la matriz de interacciones entre los agentes, el modelo tendr¶a diferentes comportamientos seg¶un el par¶ametrode control ¯. Para valores altos del mismo es posible encontrar \clusters" o grupos de agentes que act¶uan en forma coherentemientras que para valores peque~nos de ¯ los agentes toman decisiones enteramente al azar y por lo tanto no se producen estadosagregados con valores medios signi¯cativos.

El modelo podr¶³a generalizarse considerando que la interacci¶on mutua tiene un caracter intertemporal, entonces lasdecisiones pasadas pueden in°uenciar a las decisiones presentes. La probabilidad agregado ser¶³a en este caso:

P (~St) » exp³ NX

i=1

h¡st¡¿i¡1 ; ¢ ¢ ¢ ; s

t¡1i¡1 ; st¡¿i ; ¢ ¢ ¢ ; st¡1

i ; Át¡¿i ; ¢ ¢ ¢ ; Át¡1i

¢sti

´(1.55)

El estudio de modelos con m¶ultiples agentes que act¶uan con interacci¶on estrat¶egica como losque venimos describiendo conforman un ¶area de investigaciones que se encuentra en sus inicios, sinembargo es de esperar que den lugar a nuevos e interensantes resultados. No obstante, cabe destacarque este tipo de modelos presentan algunas limitaciones. Primeramente las elecciones tomadaspor los agentes son binarias, es decir que quedan omitidas las variables de decisi¶on cont¶³nuas.


Por otro lado es muy poco lo que se conoce sobre modelos del tipo de los vidrios de spin con nestados discretos. Tambi¶en las interacciones estrat¶egicas incorporan no convexidades complicadasimposibilitando el uso de las herramientos usuales de la optimizaci¶on matem¶atica.

En la siguiente secci¶on se muestra un modelo que utiliza algunas de estas ideas. El mod-elo estudia la coordinaci¶on de decisiones tomadas por los agentes cuando existe interdependenciaestrat¶egica y los agentes puede operar mediante un mecanismo de coordinaci¶on global que es apren-dido por cada agente durante la evoluci¶on del sistema y un mecanismo de contagio local que permiteinternalizar el efecto de lo que los dem¶as agentes est¶an haciendo.

4.2 Mecanismos globales y locales de coordinaci¶on

Muchas veces, bajo ciertas condiciones, los efectos de imitaci¶on y contagio pueden propagar y am-pli¯car los impactos de perturbaciones ex¶ogenas que tienen lugar en los sistemas econ¶omicos. Estoparece particularmente relevante en sistemas ¯nancieros, en instancias como las crisis cambiariaso las corridas bancarias, en las que pareciera que tiene lugar una l¶ogica circular que se retroali-menta positivamente: las percepciones de fragilidad generan conductas que pueden ampli¯car lasexpectativas o propagar las crisis.

En t¶erminos m¶as generales, los procesos din¶amicos que se desencadenan frente a una avalan-cha de acciones generadas por efectos de contagio pueden resultar en un orden macrosc¶opico quetiene lugar en un sistema descentralizado compuesto por m¶ultiples agentes interactuando entre s¶³.La decisiones individuales se coordinan pues, pudiendo dar lugar al contagio masivo.

Por lo general los agentes que componen un sistema econ¶omico tiene acceso a dos nivelesdistintos de informaci¶on, uno de car¶acter global, que involucra el conocimiento -a veces parcial -de caracter¶³sticas agregadas del sistema en el que est¶an operando; y otro de car¶acter local, que dacuenta del comportamiento de lo que algunos otros agentes \cercanos" a ellos est¶an haciendo. Enla presente secci¶on, se analiza la relaci¶on entre estos dos niveles de acceso a la informaci¶on.

El modelo del \bar attendance" propuesto por W. Brian Arthur [12, 13] permite ilustraralgunas de las caracter¶³sticas que venimos comentando. En el modelo, un n¶umero grande agentesdeben decidir, en cada per¶³odo de tiempo, si asistir o no a un bar. La capacidad f¶³sica del bar es¯ja e inferior a la poblaci¶on total de agentes. Los potenciales asistentes comparten la percepci¶onde que si la asistencia excede cierto valor (dado por la capacidad de bar) la congesti¶on produceuna obvia desutilidad. Igualmente, suponemos que hay una disminuci¶on de la satisfacci¶on de losasistentes si el total de ellos no supera una cierta asistencia m¶³nima. En el modelo original, losagentes deciden individualmente, bas¶andose ¶unicamente en la informaci¶on global de que disponen,consistente con el n¶umero de asistentes en per¶³odos anteriores. A trav¶es de un proceso inductivode razonamiento tratan de predecir el n¶umero de clientes que visitar¶an el bar al d¶³a siguiente. Severi¯ca que el sistema se auto-organiza de manera tal que la asistencia °uct¶ua levemente alrededordel umbral superior admitido por la capacidad f¶³sica del bar. Este estado estacionario se alcanzagracias a que los agentes del sistema ¯jan estrategias puras diferentes. La diversidad es responsablede la estabilizaci¶on del sistema. Se tienen m¶ultiples estados de equilibrio (estados degenerados) quedan lugar al mismo resultado macrosc¶opico.

El modelo puede ser modi¯cado permitiendo que cada agente pueda tomar decisiones a partirde conocer en promedio las acciones que realizan otros agentes que pertenecen a una vencidad decada uno. Considerando esta variante es posible analizar el comportamiento de un sistema endonde tanto las acciones agregadas como los efectos de contagio pueden in°uir sobre las eleccionesindividuales. Esta versi¶on del modelo de Arthur puede ser considerada como una representaci¶onesquem¶atica de una gran cantidad de problemas econ¶omicos en los que tiene lugar una suerte de\econom¶³a de aglomeraci¶on" en donde los efectos de congesti¶on son uno de los determinantes dela din¶amica. El incentivo que tiene un agente a tomar determinada acci¶on depende del n¶umerototal de agentes que est¶an tomando esa acci¶on. En el caso de los sistemas bancarios resulta claroque un nivel de dep¶ositos bajo torna fr¶agil al sistema, mientras que un nivel de asistencia a la

4.2. Mecanismos globales y locales de coordinaci¶on 103

ventanilla de dep¶ositos alto obliga a que los clientes paguen un costo de oportunidad por el tiempoperdido 8. Los p¶anicos y las corridas en los sistemas ¯nancieros pueden interpetarse de dos maneras[44, 54, 59, 83]:

(i) Como eventos basados en la difusi¶on de informaci¶on acerca del estado fundamental de laeconom¶³a, que induce a los agentes a revisar las creencias acerca del estado del sistema(llamaremos a este caso: eventos basados en informaci¶on) [59].

(ii) O como un fen¶omeno de coordinaci¶on pura en un sistema de m¶ultiples equilibrios potenciales,cuando una perturbaci¶on ex¶ogena motiva a los agentes a cambiar el estado en el cual elloscoordinan sus expectativas.

Ambas explicaciones no tienen por qu¶e ser mutuamente excluyentes. Podr¶³a ocurrir quecierta noticia macroecon¶omica, que afecta el estado \fundamental" de la econom¶³a altere el ren-dimiento esperado de los activos, e induzca una respuesta que dispare un proceso retroalimentadoderivando en un p¶anico. En este caso, el p¶anico no es simplemente generado por una \manchasolar" ya que la crisis es disparada por un cambio en los par¶ametros que de¯nen el retorno de losactivos. Los modelos que se describen a continuaci¶on, si bien excesivamente esquem¶aticos puedenre°ejar algunos elementos de esos episodios de crisis.

4.2.1 Coordinaci¶on guiada por la informaci¶on global

Descripci¶on del Modelo

El modelo implementado resulta ser una modi¯caci¶on de \bar attendance model" de W. BrianArthur [12, 13] donde se supone que un n¶umero grande Nag de agentes debe decidir en cadaper¶³odo de tiempo si asistir o no a un bar 9. Como ya comentamos la capacidad f¶³sica del bar esmenor que la poblaci¶on total de agentes. S¶³ en un momento dado la cantidad de asistentes superaun cierto umbral S1Nag (con 0 < S1 < 1 una proporci¶on sobre el total) los asistentes tendr¶an unadesutilidad debido a la congesti¶on. En forma an¶aloga, si la cantidad de asistentes es inferior otrovalor umbral SoNag (con 0 < So < S1 < 1) los asistentes tambi¶en sufrir¶an una desutilidad debidoa que el bar est¶a vac¶³o..

El proceso de adaptaci¶on se basa en las asistencias pasadas; los agentes comparten el con-junto de informaci¶on global a trav¶es de la observaci¶on de la utilidad obtenida durante un cierto inter-valo de tiempo. El aprendizaje se modela por medio de un algoritmo gen¶etico (ver la secci¶on 3.5.1).El protocolo de aprendizaje act¶ua favoreciendo a aquellas estrategias que se desempe~naron de lamejor manera durante un n¶umero Nd de per¶³odos de tiempo. Cada agente tiene asignada unapoblaci¶on de Np estrategias o planes para la subsecuente \semana" de Nd \d¶³as". Cada estrategiase codi¯ca en un \plan " o \genoma" que especi¯ca con cada bit, si asistir¶a o no al bar cada \d¶³a"de la \semana". Toda la poblaci¶on de estrategias de todos los agentes se selecciona inicialmente alazar y, a medida que el sistema evoluciona, se actualiza por medio de los operadores gen¶eticos deselecci¶on, cruza y mutaci¶on, gracias a los cuales las estrategias menos exitosas son progresivamentedescartadas. Los pasos formales del algoritmo son los siguientes:

(1) Cada uno de los Nag agentes posee Np planes o estrategias de asistencia al bar. Cada una deestas estrategias consiste en una cadena de bits de longitud Nd. El \bit" del agente k y de lap¡¶esima estrategia p#t

k, para el \d¶³a" t puede tomar el valor +1 ¶o ¡1 seg¶un el agente elijair al bar o no ese \d¶³a".

8En esta met¶afora, el umbral superior corresponde a una restricci¶on f¶³sica sobre los servicios que proveen el sistemaen cierto instante. En el ejercicio que discutiremos, el nivel agregado de \dep¶ositos" diario sirve como indicador deldeseo de los agentes de depositar en el sistema bancario.

9El trabajo de Arthur fue desarrollado en el Instituto de Santa Fe en Nuevo M¶exico, por eso se re¯ere al famosobar \El Farol" situado en el centro de la ciudad.


Np(1 · p · Np)

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

+1¡ 1¡ 1 + 1¡ 1 ¢ ¢ ¢ ¡ 1¡ 1 + 1¡ 1 + 1

¡1 + 1¡ 1 + 1¡ 1 ¢ ¢ ¢ ¡ 1 + 1¡ 1¡ 1 + 1...

......

...

+1¡ 1 + 1¡ 1 ¢ ¢ ¢p #tk ¢ ¢ ¢+ 1¡ 1 + 1¡ 1

¡1¡ 1 + 1¡ 1 + 1 ¢ ¢ ¢ ¡ 1¡ 1 + 1 + 1¡ 1

| {z }Nd(1·t·Nd)

El \bit" p#tk 2 f¡1; 1g del agente k para el predictor p, en la ubicaci¶on (o d¶³a) t puede valer

+1 ¶o ¡1, y su signi¯cado es:

p#tk

(+1 si el agente k al haber elegido el predictor p asiste el d¶³a t¡1 si el agente k al haber elegido el predictor p no asiste el d¶³a t

(2.56)

(2) Cada agente elije una estrategia vigente durante los Nd d¶³as posteriores a la actualizaci¶on,con la que efectiviza sus acciones (ir o no al bar). En cada instante de tiempo el bar registrael nivel (diario) de asistencia. Sea v la estrategia vigente de cada agente. La fracci¶on Dt deagentes que asisten al bar en el t¡¶esimo d¶³a es:

Dt =1

Nag

NagX

k=1

µ(v#tk) (2.57)

donde v#tk es la elecci¶on realizada por el agente k, en d¶³a t, utilizando el predictor vigente v

y µ(x) es la funci¶on de Heaviside o funci¶on escal¶on:

µ(x) =

(1 si x > 00 si x · 0

(2.58)

(3) Cada agente contabiliza la utilidad de cada \d¶³a" comparando la asistencia Dt con las doscotas So y S1. Los agentes que han tomado la decisi¶on correcta tienen una contribuci¶onpositiva a su utilidad \semanal" Upk (t + 1) = Upk + (1 + C) independientemente que hayanido o no al bar. En cada per¶³odo de tiempo, los agentes que han errado la predicci¶on dela asistencia total deben soportar un costo de oportunidad que baja el nivel de utilidad\semanal": Upk (t + 1) = Upk + (1¡ C) (o sea que no concurrieron cuando So · Dt · S1, ¶o lohicieron cuando Dt estuvo fuera de las dos cotas). La utilidad de contabiliza cada \d¶³a" delos Nd \d¶³as" de la \semana".

(4) Finalizada la \semana", cada agente ha contabilizado la \performance" de todas sus estrate-gias con lo cual es posible compararlas entre s¶³ y ordenarlas por aptitud para que el algoritmogen¶etico act¶ue atrav¶es de los operadores de selecci¶on, cruza y mutaci¶on de las estrategias m¶asaptas. Para acelerar el proceso de aprendizaje hemos utilizado el mecanismo de selecci¶onelitista: el 50 % de las estrategias m¶as aptas sobreviven la siguiente generaci¶on y el otro 50% es reemplazado por las estrategias que se obtienen de cruzar y mutar al primer 50 %. Laprobabilidad de mutaci¶on es baja (pmut » 0:001).

(5) La estrategia m¶as apta del ordenamiento es seleccionada para ser la vigente en la \semana"siguiente, y todo este procedimiento se itera la cantidad de generaciones que se desee.


Auto-organizaci¶on del sistema

El efecto del procesamiento de la informaci¶on global o agregado que los agentes conocen a partir dela realizaci¶on de sus acciones da lugar a estados asint¶oticos coordinados en los cuales los agentes seauto-organizan asistiendo de manera tal de saturar \diariamente" la m¶axima capacidad f¶³sica queposee el bar. En consecuencia, la asistencia se ubica alrededor de la proporci¶on superior S1 (v¶easela ¯gura 2.3). Este resultado no se ve afectado por un cambio de los par¶ametros de la funci¶on deutilidad (C) 10.

Figura 2.3: Dos Simulaciones sin incorporar el mecanismo de contagio local, con 256 agentes,pmut = 0:005, So = 0:2, S1 = 0:8, Nd = 10 y Np = 20. En el primer caso el sistema convergea un estado de auto-organizaci¶on ¶optima mientras que en el gr¶a¯co de abajo la auto-organizaci¶onresultante es claramente sub¶optima.

La ¯gura 2.3 (b) muestra que el sistema puede entramparse con¯guraciones sub¶optimas enlas que, en algunos instantes de tiempo particulares, no se efectivizan asistencias al bar. Esto sedebe a que en alguna etapa temprana de la evoluci¶on y por razones puramente azarosas la cantidadde agentes que asisten en un determinado \d¶³a" result¶o muy bajo, en consecuencia esta conductase internalizada haciendo que ninguno de los agentes asista ese d¶³a en las sucesivas semanas. Enesta situaci¶on, el sistema queda entrampado en un estado del que s¶olo se puede salir si ocurre laimprobable coincidencia de que un n¶umero sufcientemente grande de agentes modi¯que sus estrate-gias de manera tal de concurrir simult¶aneamente ese d¶³a particular. Este tipo de \mutaci¶on global"es improbable y por lo tanto el sistema permanecer¶a inde¯nidamente en ese estado sub¶optimo,como lo muestra la ¯gura 2.3 (b). El estado asint¶otico que alcanza el sistema, en estos casos,depende de las condiciones iniciales (azarosas) que se utilicen para iniciar el proceso de aprendizajey evoluci¶on. En termodin¶amica estad¶³stica esta situaci¶on suele denominarse como la con¯naci¶onpor barreras entr¶opicas donde la vida media en la que el sistema queda entrampado depende y es asu vez determinado por el nivel de °uctuaciones que se introducen a trav¶es de la probabilidad demutaci¶on (pmut). La aparici¶on de estos estados sub¶optimos son tambi¶en ejemplos de dependencia

del sendero en el proceso de auto-organizaci¶on (v¶ease la secci¶on 2.6.5 del cap¶³tulo 2).

El sistema alcanza una situaci¶on que es din¶amicamente estable ya que en todo momentotodos los agentes exploran nuevas estrategias que corresponden a mutaciones al azar de las estrate-gias vigentes. Por otra parte el sistema alcanza un r¶egimen estacionario debido necesariamente

10El posible obtener el mismo resultado haciendo que C = C(Dt) > 0 en forma arbitaria en el intervalo (So; S1).


a que es diverso: Ning¶un agente puede en cada instante de tiempo concurrir todas las veces quedesear¶³a ya que de ese modo contribuir¶³a a que el sistema exceda el l¶³mite superior S1. Esto traecomo consecuencia el establecimiento de una \ecolog¶³a" de estrategias mediante las cuales no s¶olodistintos agentes concurren en instantes de tiempo diferentes, sino que algunos agentes puedenconcurrir m¶as veces que otros a lo largo de los Nd d¶³as.

Debemos puntualizar que el algoritmo computacional opera con estrategias puras. Si con-sideramos la posibilidad de operar con estrategias mixtas es posible demostrar que existe una ¶unicaprobabilidad de concurrir que da lugar al equilibrio estacionario y por lo tanto es posible represen-tar al modelo por medio de un ¶unico agente representativo; en la secci¶on 4.2.6 de este cap¶³tulo serealiza esta demostraci¶on. Ya que deseamos estudiar los efectos conjuntos de la coordinaci¶on global(que venimos analizando hasta ahora) con el contagio local que luego incorporaremos suponer quelos agentes juegan estrategias puras es una hip¶otesis razonable.

Cuando el nivel de concurrencia alcanza el valor m¶aximo aceptable, el sistema visita lavecindad de un equilibrio de Nash. Ning¶un agente puede cambiar su estrategia unilateralmentepara incrementar su utilidad sin perturbar la utilidad de todos los dem¶as (incluido ¶el mismo). Porotro lado, hay una multiplicidad de equilibrios, o en otros t¶erminos, el equilibrio que se alcanza esm¶ultiplemente degenerado ya que dos con¯guraciones cualesquiera en las cuales un cliente del barintercambie su posici¶on con otro que no est¶e concurriendo, son equivalentes. Se puede comprobarque la concurrencia de los agentes a lo largo de la \semana" sigue una distribuci¶on binomial. Enel estado estacionario el promedio temporal de la fracci¶on de agentes que concurren al bar, S1 esla misma que la probabilidad de que un dado agente asista. La probabilidad de alcanzar un nivelde concurrencias acumulado durante la \semana" As es:

P (As) =

ÃNd

As

!SAs1 (1¡ S1)Nd¡As (2.59)

4.2.2 Coordinaci¶on con el mecanismo local de contagio

Para incluir el mecanismo local de \contagio" cada \d¶³a" se ofrece a los agentes la posibilidad dedecidir entre una de dos opciones: (i) continuar con el plan individual de asistencias o (ii) imitarla estrategia usada por sus vecinos m¶as cercanos. Para ello, al ¯nalizar cada per¶³odo de tiempo,cada agente determina si los agentes que pertenecen a su vecindad han actuado mejor o peor que¶el en t¶erminos de la comparaci¶on de sus utilidades. Operativamente, se puede ubicar a los agentesen una grilla cuadrada con condiciones de contorno peri¶odicas 11. El agente rotulado por el ¶³ndicek, por ejemplo, puede ocupar en esta grilla la ¯la i y columna j donde:

i = INT³ kp

Nag+ 1

´j = k MOD

qNag k =

qNag ¢ (i¡ 1) + j (2.60)

Cada agente computa la utilidad diaria que obtiene de utilizar su propia estrategia y lacompara con la que hubiera tenido de haber imitado a sus vecinos cercanos. En condiciones m¶asrealistas es razonable suponer que la obtenci¶on de esta informaci¶on no es enteramente determin¶³sticapor lo cual el agente estima primeramente el promedio de lo que ha hecho su vecindad computandoel campo local percibido por ¶el. Sea el agente k, su campo local en t es:

hij =1

4

³a(i; j + 1) + a(i; j ¡ 1) + a(i+ 1; j) + a(i¡ 1; j)

´(2.61)

donde a(i; j) 2 f¡1; 1g es la acci¶on realizada por el agente (i; j) en tiempo t. Conocido el campo lo-cal hk ´ hij se puede determinar la acci¶on que el agente tomar¶³a de optar por seguir a su vecindad.Este procedimiento es semejante al que se realiza en las simulaciones de medios ferromagn¶eticos con

11Los bordes est¶an conectados entre s¶³. Topol¶ogicamente esta estructura es equivalente a un toroide.


el modelo de Ising (v¶ease la secci¶on 4.1 del cap¶³tulo 4). En este caso la acci¶on de asistir o no corres-ponde esquematicamente a las dos orientaciones de un dominio magn¶etico en la direcci¶on indicadapor el campo medio o en la direcci¶on opuesta. Este proceso no es enteramente determin¶³stico puessiempre se debe suponer que existe alguna indeterminaci¶on producida por la agitaci¶on t¶ermica 12.En el modelo esta agitaci¶on representa la °uctuaci¶on o varianza en el c¶alculo del campo mediolocal. Debido a este car¶acter estoc¶astico, la actualizaci¶on del estado de cada agente, como funci¶ondel campo local percibido, puede seguir una evoluci¶on consistente con la din¶amica de Glauber enmedios desordenados 13:

P (acci¶on = §1) =1

1 + e¨2¯hij(2.62)

Si la utilidad obtenida por seguir al campo local es estrictamente mayor que la que prescribela estrategia vigente aprendida a partir de los resultados globales para el mismo instante de tiempo,el agente optar¶a por imitar a sus vecinos utilizando en el siguiente d¶³a la acci¶on que le sugiri¶o suvecindad a trav¶es de ese campo local usando la ecuaci¶on probabil¶³stica 2.62. En caso contrarioel agente mantendr¶a su estrategia individual usando el siguiente \bit" de¯nido en su estrategiavigente (depurada en paralelo por el algoritmo gen¶etico).

Auto-organizaci¶on con ambos mecanismos

Cuando se incorpora al modelo el mecanismo local de coordinaci¶on que posibilita simular unadin¶amica de contagio se advierte que ambos procesos se refuerzan. En las ¯guras 2.4 y 2.5 se observala auto-organizaci¶on que tiene lugar en el sistema cuando ambos mecanismos de coordinaci¶onconviven; en el primer caso la temperatura es nula mientras que en el otro, se la ¯j¶o en un valor deT = 0:1. En condiciones estacionarias, cuando T = 0:1, aproximadamente un 15 % de los agentesbasan sus decisiones en la imitaci¶on de sus vecinos. Lo que es destacable es que ambas estrategiasson complementarias entre s¶³: por un lado el mecanismo de b¶usqueda del equilibrio asint¶otico es m¶ase¯ciente cuando conviven ambos mecanismos de coordinaci¶on ya que, en este caso, el sistema no seentrampa en estados sub¶optimos como los observados en la ¯gura 2.3(b)14. Esto es posible graciasla las \°uctuaciones t¶ermicas" que permiten eludir las barreras entr¶opicas antes mencionadas. Elsistema explora aleatoriamente una regi¶on m¶as amplia de su espacio de con¯guraciones obteniendoun estado m¶as favorable a expensas de un nivel mayor de °uctuaci¶on. Por el otro, se puede advertir

12Digamos el estado de confusi¶on dada la dispersi¶on de la informaci¶on sobre el sistema.13Para suponer que la actualizaci¶on de los componentes que interact¶uan en un sistema como el descripto est¶an

inmersos en un fondo de ruido la propuesta de Glauber es dotar a este modelo con una din¶amica estoc¶astica quecorresponder¶³a al caso en el que tal sistema se encuentra en contacto con un ba~no t¶ermico a una dada temperaturaT . La probabilidad P (si) de que el elemento i tome el valor si 2 f¡1;+1g se determina seg¶un:

P (si) =e¯hisi

e¯hi + e¡¯hi

Si el sistema se encuentra en ausencia de ruido (T = 0 ¶o similarmente su inversa ¯ ! 1), las probabilidades detransici¶on seg¶un la din¶amica de Glauber son:

1. Si el campo local hi6= 0 entonces si(t+ ±t) = sign(hi) con probabilidad 1.

2. Si hi = 0 entonces si(t+ ±t) = §1 con probabilidad 12.

En este caso, los m¶³nimos locales de la funci¶on de Lyapunov del sistema (la \energ¶³a") son atractores de la din¶amica.En particular la con¯guraci¶on de menor \energ¶³a" tiene lugar cuando el sistema queda totalmente polarizado: si =+18i o si = ¡18i. La polarizaci¶on del sistema es un fen¶omeno cooperativo y comporta una ruptura de la ergodicidad(v¶ease la secci¶on 4.1 de este cap¶³tulo). Se produce cuando la energ¶³a, entendida como una funci¶on de Lyapunov, sereduce mon¶otonamente con la reorientaci¶on de cada componente del sistema. Aqu¶³ se entiende a la energ¶³a comoun indicador del grado de a¯nidad de las acciones tomadas por los agentes. Un m¶³nimo de energ¶³a corresponde a lamayor a¯nidad entre las acciones realzadas.

14Esta conclusi¶on se obtuvo a partir de la realizaci¶on de numerosos experimentos computacionales en los que seutilizaron distintas semillas en el generador de n¶umeros aleatorios utilizados para formular distintas condicionesiniciales.


Figura 2.4: Proceso de auto-organizaci¶on con ambos mecanismos de coordinaci¶on cuando la tem-peratura es T = 0. El resto de los par¶ametros son similares a los de la ¯gura anterior. Se muestratambi¶en la evoluci¶on que tiene lugar durante una \crisis ex¶ogena". La duraci¶on de la \crisis" es 20\semanas".

que las °uctuaciones introducidas por el contagio local son compensadas por una elaboraci¶on algodiferente de la informaci¶on global.

Cuando la temperatura del sistema es muy grande (¯ ¡! 0) el nivel de ruido es muy alto,impidiendo el aprendizaje e imposibilitando que el sistema se auto-organize.

Transiciones entre reg¶³menes

La relevancia de combinar ambos mecanismos de coordinaci¶on se pone de mani¯esto cuando sim-ulamos una perturbaci¶on ex¶ogena que altera s¶ubitamente las condiciones del entorno. Una \crisisex¶ogena" puede ser inducida incrementando el valor del umbral inferior So a un valor mayor, mo-tivando a que los agentes revisen sus decisiones. La \crisis" se termina haciendo que el valor de Soretorne a un valor original luego de ciertos per¶³odos de tiempo.

Una vez desencadenada esta \crisis ex¶ogena" el comportamiento de los agentes presenta doscaracter¶³sticas fundamentales. Al iniciarse la misma los agentes que imitaban a sus vecinos dejan dehacerlo y optan por usar sus estrategias individuales a¶un cuando estas no conduzcan a la decisi¶oncorrecta. Este proceso tiene lugar durante un lapso de tiempo del orden de 4 a 5 \semanas" (v¶easela ¯gura 2.5). La duraci¶on de este proceso inicial depende necesariamente de la temperatura y deltama~no del sistema 15 . A medida que se prolonga la situaci¶on aparecen agentes que aprendenadecuadamente a no concurrir al bar. Una cantidad cr¶³tica de ellos induce a los restantes a que sevuelquen masivamente a imitarlos. Se genera una cascada de contagios que da lugar a la ausenciamasiva de agentes (¯guras 2.4, 2.5 y 2.6).

Vemos en la ¯gura 2.4 que cuando la temperatura es nula, la transici¶on se produce en formapr¶acticamente instant¶anea. No obstante, cuando T = 0:1 y dada la cantidad limitada de agentes,puede observarse en la ¯gura 2.5 que al comenzar la \crisis" tiene lugar un per¶³odo de revisi¶onde creencias en el que la alternativa del contagio es desechada, para luego, en forma abrupta ser

15En el l¶³mite de un n¶umero in¯nito de agentes o cuando la temperatura es nula, la transici¶on es instant¶anea. Estoes debido a que esta transici¶on es semejante y obedece a los mismos mecanismos que la transici¶on de fase de unferromagneto a muy baja temperatura tal como se la modela por medio de un modelo de Ising (v¶ease la secci¶on 4.1de este cap¶³tulo y la ¯gura 2.4).


Figura 2.5: Se muestra la auto-organizaci¶on con ambos mecanismos de coordinaci¶on cuando latemperatura es T = 0:1. El resto de los par¶ametros son similares a los de la ¯gura anterior. Semuestra tambi¶en la evoluci¶on que tiene lugar durante una \crisis ex¶ogena".

reconsiderada, siendo la responsable de producir el efecto domin¶o que induce a un comportamientode \manada".

Es interesante notar (¯gura 2.6) que en ausencia de contagio la transici¶on denominamos como\crisis" simplemente no ocurre. Ante el cambio abrupto que produce el arribo de la informaci¶on, losagentes se adaptan gradualmente pues la adaptaci¶on, que se traduce en la abstenci¶on a concurrir,est¶a s¶olo gobernada por la probabilidad de mutaci¶on del algoritmo gen¶etico, que para el caso de la¯gura es de pmut = 0:005.

La \crisis" puede (ex¶ogenamente) terminarse retornando So al valor que ten¶³a antes de lamisma. Si su duraci¶on es breve el sistema no pierde memoria de las estrategias que eran exitosas porlo cual los agentes recuperan casi inmediatamente el estado anterior a la \crisis". Si en cambio lacrisis dura un lapso m¶as prolongado, un nuevo tipo de equilibrio emerge en el cual todos los agentesprogresivamente aprenden estrategias que implican no asistir al local. En ese caso, aun cuando serestituya el valor del umbral So a su valor anterior, las nuevas estrategias vigentes depuradas durantela extensa crisis, har¶an que sea imposible lograr que los agentes aprendan un plan de concurrenciasque restituya la situaci¶on anterior en la que los agentes saturaban al sistema. El \colapso" de laconcurrencia, es decir el equilibrio aut¶arquico, tiene lugar, en condiciones param¶etricas usuales, conambos mecanismos de coordinaci¶on y es debido a que el sistema ha quedado entrampado en una\barrera entr¶opica" de la que solamente se puede escapar permitiendo altos niveles de °uctuaci¶on,¯jando una alta \temperatura".

4.2.3 Una aplicaci¶on a las corridas bancarias

Es posible considerar el an¶alisis hecho hasta aqu¶³ para entender lo que sucede en forma cualitativadurante una corrida bancaria, en cuanto al comportamiento de los agentes se re¯ere. A pesar delo esquem¶atico del modelo presentado, este posee algunas similitudes con los hechos estilizadosque se ponen de mani¯esto durante las crisis ¯nancieras y las corridas bancarias. En este ¶ultimocaso, la concurrencia al bar puede ser interpretada como la acumulaci¶on de dep¶ositos por partede las entidades bancarias y las estrategias de cada agente pueden jugar el rol de sus planes deahorro formulados para aplicarse durante Nd per¶³odos de tiempo. El an¶alogo del valor del umbral


Figura 2.6: Auto-organizaci¶on que tiene lugar cuando el procesamiento de informaci¶on local esdescartado. Mostramos tambi¶en la evoluci¶on durante una \crisis ex¶ogena". Todos los par¶ametrosson equivalentes a los de las ¯guras anteriores

inferior So es un nivel de con¯anza cr¶³tico por debajo del cual los agentes consideran que noes prudente con¯ar en el sistema de intermediaci¶on bancario. El estado estable coordinado conaltos niveles de asistencia podr¶³an corresponder a la situaci¶on en la cual los clientes depositanregularmente sus ahorros. El origen de la crisis puede ser atribuida al arribo de informaci¶onex¶ogena que siembra dudas acerca de la solidez del sistema ¯nanciero instaurando la creencia deque por razones fundamentales el sistema se ha tornado fr¶agil.

En las ¯guras 2.7 (a) y (b) se puede observar la evoluci¶on de la fracci¶on de dep¶ositos (cuentascorrientes, plazos ¯jos y cajas de ahorro en pesos y d¶olares) como funci¶on del tiempo durante lasevera crisis bancaria ocurrida en la Argentina luego de la devaluaci¶on mexicana a ¯nes del a~no1994. Los gr¶a¯cos cubren el per¶³odo que comprende noviembre de 1994 y octubre de 1995. Sesuperpone en cada una de las ¯guras los resultados normalizados que surgen del modelo. Suspar¶ametros libres han sido calibrados como se describe en la explicaci¶on de la ¯gura.

La escala vertical ha sido normalizada de manera tal que el nivel superior corresponde alvolumen de dep¶ositos que hab¶³a al comienzo de la crisis bancaria y el nivel inferior a la cantidad defondos que los bancos pose¶³an e d¶³a que el gobierno estableci¶o el sistema de garant¶³a de dep¶ositos.Cada d¶³a de la serie de tiempo es equivalente a un per¶³odo de tiempo del modelo. La escala verticalse ha normalizado de manera tal que tenga un valor igual a 1 cuando se inicia la crisis el 20 dediciembre de 1994 (devaluaci¶on mexicana) y 0 el d¶³a que el Banco Central de la Rep¶ublica Argentinaestablece la garant¶³a de dep¶ositos bancarios. Cada d¶³a de la serie temperal real se asimil¶o a cada\d¶³a" de actualizaci¶on del modelo computacional

Los distintos reg¶³menes transicionales que se mani¯estan, es decir la primer etapa de retirosgraduales, el \p¶anico" y la recuperaci¶on de la crisis puede identi¯carse en la ¯gura con claridad. Lasseries que muestran las simulaciones describen muy bien los primeros instantes de la crisis, pero nosu recuperaci¶on. La evidencia emp¶³rica indica que la entrada a una crisis es abrupta pero la salidaes gradual, ya que los agentes suelen ser aversos al riesgo y \reaprenden cautelosamente" el nuevoestado fundamental del sistema. En el modelo computacional la recuperaci¶on, luego de la crisis,es abrupta debido a que los agentes no llegaron a \perder memoria" de las estrategias anteriores.Resulta interesante que, para obtener una recuperaci¶on gradual luego de la crisis, suposicionesadicionales deben hacerse que posibiliten reproducir esta circunstancia. Una alternativa razonablees sortear nuevas estrategias iniciales (y tomadas aleatoriamente) para que el algoritmo gen¶eticoinicie nuevamente la tarea adaptativa pero sobre un entorno que ha cambiado. Esto podr¶³a describirla implantaci¶on de \nuevas reglas de decisi¶on" que act¶uan en el sistema y el consenso de todos losagentes de que tal cambio implica explorar un espacio nuevo de alternativas no visitado durante laevoluci¶on estacionaria del sistema. Este sorteo, que conduce a un nuevo conjunto de reglas, puedepor ejemplo suponerse disparado por un umbral dado por la cantidad de agentes que determinansu decisi¶on sobre la base del procesamiento de informaci¶on local (por ejemplo el 50%). Otraalternativa, complementaria a la primera, es suponer que algunos agentes (por ejemplo el 40 %)


son aversos al riesgo y por lo tanto evaden la posibilidad del contagio cuando la acci¶on que esteprescribe es la de efectuar sus dep¶ositos en el sistema pero, por otro lado estos mismos agentesadmiten el contagio cuando se trate de una decisi¶on que implique la retenci¶on de sus fondos. Enel primer caso (a) no se realiza ninguna hip¶otesis adicional. En el segundo gr¶a¯co (b) se supuso loque acabamos de explicar.

Figura 2.7: Evoluci¶on del nivel de dep¶ositos normalizado. El sistema est¶a compuesto por 256agentes, cada agente tiene 20 \predictores", la probabilidad de mutaci¶on del algoritmo gen¶eticoes de 0.005, la \temperatura" de 0.001, la crisis es desatada en t = 30 (20 de diciembre de 1994)y ¯naliza en t = 120. Se superpone la serie del nivel total diario de dep¶ositos durante la crisisbancaria argentina de 1995. En el gr¶a¯co (b) si la proporci¶on de contagiados supera el 50 % sesortea nuevamente la poblaci¶on de \predictores" y se inhibe a un 60 % de los agentes a depositarbajo la acci¶on del contagio.

4.2.4 Auto-organizaci¶on sin par¶ametros ex¶ogenos

El modelo que acabamos de describir contiene dos par¶ametros ex¶ogenos que gu¶³an al proceso deauto-organizaci¶on, y se representan por las dos cotas admitidas por la concurrencia. Estas de-terminan la brecha dentro de la cual los agentes tienen utilidades positivas. La cota superior esdebida a la congesti¶on y evita que el sistema colapse en un esquema coordinado excesivamentedegenerado y por lo tanto trivial que corresponde a todos los agentes efectuando la misma acci¶ontodos los per¶³odos de tiempo. La cota inferior por su parte marca el l¶³mite por debajo del cualtiene lugar el equilibrio aut¶arquico en el que los agentes prescinden del sistema. Si bien este modeloda cuenta satisfactoriamente de los mecanismos de coordinaci¶on que est¶an condicionados por am-bos par¶ametros, nada se agrega acerca de los procesos de coordinaci¶on que puedan tener lugar alcomienzo de la evoluci¶on dando origen a ese tipo de par¶ametros y determinando un valor particularde los mismos. En la presente secci¶on presentamos una modi¯caci¶on del modelo anterior para teneren cuenta este otro tipo de coordinaci¶on.

Un mecanismo de auto-organizaci¶on de la naturaleza que nos ocupa trae impl¶³cito unadin¶amica con dos escalas de tiempo caracter¶³siticas. Una breve, que est¶a asociada a los meca-nismos de adaptaci¶on propios de cada agente. La otra, m¶as prolongada (lenta) asociada con ladeterminaci¶on del comportamiento asint¶otico de la din¶amica colectiva. La din¶amica relacionada aesta constante de tiempo est¶a guiada por valores agregados que act¶uan como referencia sobre el pro-ceso de auto-organizaci¶on. El modelo que hasta aqu¶³ hemos considerado corresponde a una suertede \aproximaci¶on adiab¶atica" en la que cada agente o grupo de agentes adapta frecuentementesus estrategias a indicadores colectivos o valores agregados \fundamentales" que var¶³an mucho m¶aslentamente y surgen a su vez del conjunto de las acciones de todos los agentes.


Analizamos a continuaci¶on una situaci¶on en la que la fracci¶on S1 es dependiente del tiempo.Sus posibles valores se determinan a partir de concurrencias previas y se basan en las expectativasque tengo el \due~no" del \Bar".

El caso que deseamos analizar ahora tambi¶en se trata de evaluar la concurrencia de parro-quianos a un local pero con la exigencia adicional que el valor de S1 quede enteramente determinadode manera autoconsistente siguiendo una evoluci¶on que dependa de la concurrencia de clientes allocal. Esta situaci¶on se la puede relacionar con un \bar" que ajusta el n¶umero de localidades. Cada\semana" el due~no debe ¯jar una cantidad disponible de ubicaciones y toma esa decisi¶on utilizandola informaci¶on de las concurrencias pasadas. Este tipo de esquemas de coordinaci¶on puede sindi¯cultad asimilarse a un contexto econ¶omico.

La primera pregunta que cabe hacerse es, si partiendo de condiciones iniciales al azar, elsistema se auto-organiza en torno a valores medios estables. Para que esto ocurra, los clientesdeber¶³an llegar a compartir la creencia de que no es conveniente que se supere una fracci¶on f deasistentes (esta fracci¶on es inicialmente desconocida por todos) y, a su vez, el due~no del local debellegar a tener un grado razonable de certidumbre acerca del n¶umero de sillas que debe \alquilar"para poner a disposici¶on del p¶ublico.

El siguiente problema a estudiar se relaciona con la estabilidad de los estados estacionariosauto-organizados que se pueden alcanzar. Al due~no de este nuevo bar puede surgirle accidental-mente la oportunidad de ofrecer un nuevo espect¶aculo atractivo o, todo lo contrario, puede padecerla imprevista cancelaci¶on de alg¶un artista. Las comodidades que ponga a disposici¶on del p¶ublicodeben surgir tanto de sus propias expectativas acerca de la potencial asistencia, como de la concu-rrencia efectivamente veri¯cada anteriormente cuando se present¶o el espect¶aculo por vez primera.La clientela por su parte modi¯ca sus planes de concurrencia teniendo en cuenta estos hechos.

En este nuevo problema no se impone una creencia generalizada est¶atica sino que se suponeque la misma se determina auto-consistentemente por el comportamiento de toda la asistencia a lolargo de la evoluci¶on. El sistema puede modelizarse como en la secci¶on 4.2.1. El ¶unico par¶ametroque gobierna la auto-organizaci¶on es el que corresponde en este caso a la nivel m¶aximo de asistenciasoportada por los clientes. Entonces, se calcula la cantidad plazas puestas a disposici¶on de Nag

personas que con¯guran el p¶ublico potencial para la t¡¶esima semana. Suponemos que su valor est¶adeterminado como una media pesada entre la disponibilidad de sitios S(t ¡ 1) y la concurrenciamedia Dav(t¡ 1), ambos, registrados durante la \semana" anterior:

S(t) = ¸S(t¡ 1) + (1¡ ¸)Dav(t)

Nag(2.63)

En esta ecuaci¶on 2.63 las unidades de t est¶an expresadas en \semanas" de Nd d¶³as. El par¶ametro¸(0 · ¸) · 1 es arbitrario y tan s¶olo sirve para abarcar comportamientos con mayor o menor\memoria" de lo acontecido en pasadas \semanas". Si se toma ¸ = 1, el valor de S(t) se tornaindependiente del tiempo, y se cae en la situaci¶on analizada en las secciones anteriores en quesu valor es ex¶ogeno e independiente de la din¶amica del sistema. El otro extremo corresponde aconsiderar ¸ = 0. En este caso el sistema se auto-organiza exclusivamente en base a valores deS(t) generados end¶ogenamente. La arquitectura con que posee este modelo es similar al de lasecci¶on anterior, el programa de concurrencias de cada agente se supone igualmente codi¯cado enun \genoma". Para controlar la frecuencia con que los agentes adaptan sus estrategias supondremosque cada \d¶³a" una dada fracci¶on ª de la poblaci¶on, seleccionada al azar, actualiza su programade concurrencia para los subsiguientes Nd d¶³as. Es decir que ª es la probabilidad de que un agentesea seleccionado para actualizar sus estrategias, por lo tanto 1=ª mide una suerte de tiempo mediode adaptaci¶on. Podemos introducir un \par¶ametro de adiabaticidad" A = Ndª. S¶³ A ' 1 todo elsistema actualiza sus estrategias durante el recorrido de los Nd \dias" de la semana. Un r¶egimende adaptaci¶on r¶apida corresponde a A > 1.

La primera pregunta que nos podemos formular es si la auto-organizaci¶on que emerja ser¶arobusta. Este proceso es debido a una din¶amica en la cual los aciertos o errores de los agentes


se traducen en bene¯cios o costos que dependen del tiempo que utilizan en explorar la din¶amicaalrededor del valor de referencia S1(t). Si el valor absoluto del costo pagado por excederse esmenor que el premio por explorar y acertar, el proceso dar¶a lugar a concurrencias medias quetiendan a valores altos. A continuaci¶on mostramos el resultado de diversas simulaciones. Parapresentar situaciones no consideradas anteriormente, nos limitamos a mostrar resultados obtenidoscon valores peque~nos de ¸.

Un ejemplo de auto-organizaci¶on se muestra en las ¯guras 2.8 and 2.9. La diferencia entreambos experimentos es el valor de ª. El valor inicial de S1(0) es el mismo en ambos casos y se¯j¶o en un valor muy peque~no. La estrategia de concurrencia inicial es determinada al azar con unamedia de 0.5 . La adaptaci¶on inicial produce la caida de la asistencia que corresponde a la reacci¶onagregada de los agentes dado el peque~no valor de S1(t). Cuando ª = 0:02 (¶o A = :2) la reacci¶oninicial est¶a ausente. La auto-consistencia se alcanza aproximadamente cuando t ' 10 semanas enambos casos. El efecto del contagio se muestra en los gr¶a¯cos inferiores que reproducen las mismascaracter¶³sticas cualitativas mostrardas en la secci¶on anterior.

Figura 2.8: Evoluci¶on con auto-consistencia, siguiendo la ecuaci¶on ?? con 400 agentes, pmut = :005;S1(t =0) = :1 y ¸ = 0:3. El premio por haber tomado la decisi¶on correcta es 10 veces mayor que el costo porla equivocaci¶on. Cada d¶³a el 20% de los agentes actualiza sus estrategias. Se produce una crisis ex¶ogenaen el d¶³a 400 (t = 40). El primer gr¶a¯co (a) corresponde al caso sin contagio; el (b) con contagio; c) es eln¶uumero de agentes actuando de acuerdo con el campo local. N¶otese la recuperaci¶on gradual que opera, encomparaci¶on con el modelo presentado en las secciones precedentes. A la derecha se amplican los primerosper¶³odos de tiempo del proceso de auto-organizaci¶on. El efecto del contagio incrementa el ruido y producela caida abrupta de la concurrencia cuando S1(0).

Una segunda pregunta que podemos formularnos concierne a la estabilidad del estadoasint¶otico que se alcanza frente a perturbaciones ex¶ogenas (al estilo de las crisis que se produc¶³an enla secci¶on anterior). Un \shock" ex¶ogeno negativo podr¶³a corresponder a un \accidente" que fuerzaal bar a mantener por cierto tiempo sus puertas cerradas luego del cual reabre. Esta situaci¶onse simula cambiando (ex¶ogenamente) el valor de S1 y manteni¶endolo bajo durante cierto intervalode tiempo m¶as all¶a del cual se admite su evoluci¶on de acuerdo a la ecuaci¶on 2.63 que motiva laevoluci¶on auto-consistente. Esto se muestra en las ¯guras entre t = 40 y t = 60.

El contagio juega el mismo rol que en el estudio de las corridas bancarias, otorgandole alsistema la posibilidad de que tenga lugar un crecimiento abrupto durante la transici¶on entre los


dos reg¶³menes. Con valores altos de ª se pueden visualizar claramente las etapas de \latencia"y \p¶anico" subsecuente. Un resultado addicional interesante es que el per¶³odo de recuperaci¶ones gradual sin necesidad de incorporar suposiciones adicionales como debi¶o hacerse en la secci¶onanterior. La interpretaci¶on es, sin embargo, la misma: la recuperaci¶on gradual de la con¯anza dela capacidad de desempe~no del bar. La velocidad de recuperaci¶on est¶a gobernada por raz¶on entreel costo y el premio obtenido por error o acertar la decisi¶on y por la magnitud de la °uctuaci¶on.Cabe destacar tambi¶en, que cuando la adaptaci¶on es lenta, la transici¶on al estado de p¶anico es m¶asabrupta. Lo que ocurre es que una nivel m¶as bajo de ª refuerza el efecto del contagio puesto queen este caso el contagio es la ¶unica posibilidad de adaptar la concurrencia en el corto plazo.

Figura 2.9: Los par¶ametros y las condiciones son las mismas que en la ¯gura precedente. La fracci¶on deagentes que actualizan sus estrategias cada per¶³odo de tiempo es, en este caso, 2 %. N¶otece que la crisis nose percibe si el contagio es excluido excepto por un incremento en las °uctuaciones. En este caso, el contagio(gr¶a¯co inferior) produce una brusca transici¶on.

Un simple aproximaci¶on para entender la concurrencia asint¶otica es suponer que todos losagentes act¶uan en forma aleatoria y deciden en forma independiente con una probabilidad quedepende del conciente: R = C+=C¡ entre el costo por excederse y el bene¯cio de asistir cuando elnivel agregado es menor que el de referencia. Dada la probabilidad P (D) de una concurrencia D,la capacidad evoluciona seg¶un:

S1(t+ 1) = ¸S1(t) + (1¡ ¸)P (D) (2.64)

Cuya soluci¶on es:

S1(t) ' P (D) + e¡t=¿ (S1(0)¡ P (D)) (2.65)

donde ¿ = ln(1=¸) mide el tiempo de relajaci¶on necesario para alcanzar un nivel de concurrenciaS1 = P (D).

El efecto de los cambio en ¸ y el cociente R se muestran en la ¯gura 2.10 en la que serepresenta el valor asint¶otico de la capacidad: S1 como funci¶on de R y ¸ para una dado valorinicial S1(0). El efecto de un incremento sobre el valor de ¸ es equivalente a considerar un v¶³nculoexterno que fuerza al sistema a mantener la concurrencia inicial S1(0) a pesar del valor de R.


Para peque~nos valores de ¸, P (D) es similar a una funci¶on sigmoide en ln(R), teniendo un cambioabrupto cerca de R = 1. Adem¶as, en ese l¶³mite, la funci¶on es independiente de la condici¶on inicialS1(0) y el equilibrio s¶olo depende de R. El efecto del contagio produce un transici¶on m¶as abruptoentre una concurrencia plena y una despreciable, poniendo de mani¯esto que el efecto de manadapuede dar lugar a abruptos cambios de r¶egimen.

Figura 2.10: Se gra¯ca S1 (el valor asint¶otico de la cota superior) como funci¶on del log (R) y ¸ sin(izquierda) y con (derecha) contagio. N¶otece el cambio de r¶egimen abrupto en R = 1.

4.2.5 Comentarios adicionales

El sistema que hemos considerado posee dos reg¶³menes estacionarios. Uno corresponde a estados enel que los agentes contribuyen a auto-sustentar la coordinaci¶on; el otro es, en cambio, el \equilibrioaut¶arquico" en el cual cada agente se aisla y desiste de concurrir al \bar". Las reglas de adaptaci¶ony aprendizaje son capaces de describir la evoluci¶on del sistema en cualquiera de las dos situacionesy tambi¶en la transici¶on entre ambos estados cuando se produce una se~nal externa de alarma. Noes necesario efectuar suposiciones particulares sobre la conducta de los agentes antes o despu¶esal momento en que se desencadena la crisis. Las reglas para la adaptaci¶on y el procesamientode la informaci¶on son las mismas antes y durante la crisis. Si bien el modelo posee dos tiemposcaracter¶³sticos (el \d¶³a" y la \semana") los procesos adaptativos dan lugar a reg¶³menes intermediosen los que ninguna de estos tiempos caracter¶³sticos prevalece.

El estudio de la \crisis" permite por otra parte efectuar un an¶alisis de la e¯cacia y duraci¶onde los recursos de adaptaci¶on y aprendizaje de los agentes del sistema. Este punto es de particularrelevancia ya que en los estados estacionarios de equilibrio no se puede estudiar el transiente queocurre cuando el sistema se auto-organiza. La crisis, teniendo sus propios tiempos de evoluci¶on,somete al sistema a est¶³mulos brevemente espaciados que deben ser absorbidos y a los que losagentes se ven obligados a adaptarse. El an¶alisis de la \salida" de la crisis bancaria argentinasugiere la utilidad de incorporar procesos de aprendizaje en m¶as de una escala de tiempo, y pareceindicar la importancia de las \memorias" de acontecimientos previos, que in°uyen en la respuestaante impulsos.


4.2.6 El modelo de \El Farol" con estrategias mixtas

Sean los N = Nag y llamemos a m = S1Nag el n¶umero de agentes que ocupan el bar bajo condicionessatisfactorias. El n¶umero de equilibrios de Nash con estrategias puras es CmN o sea el n¶umero posiblede formas de tomar m agentes de entre los N . Analicemos ahora el equilibrio con estrategias mixtas.

Supongamos que ir al bar si el n¶umero de asistentes es menor que m o no ir si es mayor danel mismo premio ®.

Proposici¶on: Existe una ¶unica estrategia mixta de equilibrio si todos los agentes eligen con lamisma probabilidad.

Demostraci¶on: Sea p la probabilidad de asistir y (1 ¡ p) la de no asistir, en el equilibrio debecumplirse una \condici¶on de indiferencia":

® ¢m¡1X

i=0

CiN¡1pi(1¡ p)N¡1¡i = ® ¢

N¡1X

i=m

CiN¡1pi(1¡ p)N¡1¡i (2.66)

Si sumamos ambos miembros obtenemos el agregado sobre todas las posibilidades, entonces la sumade uno:

N¡1X

i=0

CiN¡1pi(1¡ p)N¡1¡i = 1 (2.67)

Entonces, por 2.66 y 2.67, debe cumplirse:

m¡1X

i=0

CiN¡1pi(1¡ p)N¡1¡i =

1

2(2.68)

Llamemos aPm¡1i=0 CiN¡1p

i(1¡ p)N¡1¡i = S(N;m; p) = 12 , y estudiemos su comportamiento:

(i) Se veri¯ca que:

limp!0

S(N;m; p) = 1 (2.69)

en efecto, desarrollando la sumatoria tenemos:

S(N;m; p) = (1¡ p)N¡1 + (N ¡ 1)p(1¡ p)N¡2 + ¢ ¢ ¢+ (N ¡ 1)!pm¡1(1¡ p)N¡m(N ¡m)!(m¡ 1)!

! 1 + 0 + ¢ ¢ ¢+ 0

(ii) Por otro lado: S(N;m; 1) = 0

(iv) La funci¶on S(N;m; p) es decreciente.

@S

@p=

m¡1X

i=1

iCiN¡1pi¡1(1¡ p)n¡1¡i ¡

m¡1X

i=0

(N ¡ 1¡ i)Cin¡1pi(1¡ p)n¡2¡i =

=m¡1X

i=1

Ci¡1N¡2p

i¡1(1¡ p)N¡1¡i ¡m¡1X

i=o

(N ¡ 1)CiN¡2(1¡ p)N¡2¡i =

= (N ¡ 1)hm¡2X

j=0

CjN¡2pj(1¡ p)N¡2¡j ¡

m¡1X

i=0

CiN¡2pi(1¡ p)N¡2¡I

i=

¡(N ¡ 1)Cm¡1N¡2p

m¡1(1¡ p)N¡m¡1 < 0


entonces, como S(N;m; p) es continua y decreciente en (0; 1], la ecuaci¶on:

S(N;m; p) =1

2(2.70)

por el teorema del valor medio debe haber una ¶unica soluci¶on, es decir que existe un ¶unico pconsistente con la \condici¶on de indiferencia". Suponiendo que todos los agentes actuan de lamisma manera habr¶a un s¶olo equilibrio dado por p

Cap¶³tulo 5

Sistemas distribuidos y seriestemporales

Como se coment¶o en el cap¶³tulo 2, los sistemas distribuidos o extendidos con agentes multiples est¶anformados por un conjunto de aut¶omatas acoplados capaces de procesar informaci¶on en paralelo.La forma m¶as general de representar esta din¶amica de procesamiento es mediante las llamadasredes booleanas o los aut¶omatas celulares [194]. Estos son operadores l¶ogicos elementales 1 que seencuentran ubicados en una red de nodos o sitios. La entradas de cada nodo dependen de los estadosde los nodos vecinos. Las celdas pueden actualizar su estado de manera sincr¶onica o asincr¶onica.El procesamiento en paralelo de la informaci¶on supone pues, un alto grado de no-linealidad, quepuede dar lugar a comportamientos emergentes. Un ejemplo particularmente relevante es el modeloNK [114] propuesto por Stuart Kau®man 2 y utilizado para estudiar algunos procesos de auto-organizaci¶on en biolog¶³a evolutiva, en evoluci¶on bi¶otica y prebi¶otica as¶³ como en el estudio de losprocesos de cambio tecnol¶ogico [?]. Los nodos o celdas de un aut¶omata celular se interpretan deacuerdo al fen¶omeno que se pretende describir.

5.1 Aut¶omatas Celulares y Mapas Acoplados

Un aut¶omata celular [194] consiste en un arreglo discreto de nodos o celdas i situados en un espaciod-dimensional, que operan con una regla de actualizaci¶on local Á de¯nida sobre una vecindad localde \radio" r. El tiempo se toma como una variable discreta. En cada instante el estado de cada celdaest¶a descripto por un car¶acter que toma valores de un alfabeto A de k s¶³mbolos, convencionalmentenumerados por f0; : : : ; k¡1g. El estado de la celda ubicada en el sitio i, en el instante t se denotanpor ¾it, y la funci¶on de actualizaci¶on se escribe como: ¾it+1 = Á(¾i¡rt ; : : : ; ¾i+rt ). Pueden usarsecondiciones de contorno peri¶odicas, abiertas o barreras absorbentes para poder describir sistemasabiertos o disipativos. Cuando el espacio de estados no est¶a acotado por el alfabeto A y cadaaut¶omata admite un dominio de estados continuos, el sistema recibe el nombre de mapa acoplado.El estado §t de un aut¶omata celular en el momento t es una con¯guraci¶on de todo el arreglo, esdecir, §t 2 AN , donde N es el n¶umero total de nodos del aut¶omata celular.

El tipo de sistemas que se desee modelar puede imponer la necesidad de incorporar alg¶untipo de principio de conservaci¶on local, como la materia, cantidad de movimiento, impulso angu-lar, carga, contenido de informaci¶on, recursos, etc. Todo principio de conservaci¶on local puedeser expresado en t¶erminos de una ecuaci¶on din¶amica. Las ecuaciones en diferencias sobre una reddiscreta pueden ser trabajadas e implementarse usando aut¶omatas celulares con reglas de actual-izaci¶on apropiadas. Una clase importante de ecuaciones diferenciales no lineales que corresponde ainteracciones locales superpuestas a fen¶omenos de transporte son las de reacci¶on-difusi¶on. Es posi-

1Como por ejemplo las compuertas l¶ogicas AND, OR, XOR, NOR, o los operadores matem¶aticos usuales.2N se re¯ere al n¶umero de nodos, y K al n¶umero de entradas por nodo.

119

120 Cap¶³tulo 5. Sistemas distribuidos y series temporales

ble representar una ecuaci¶on de difusi¶on por medio de un aut¶omata celular probabil¶³stico. En elap¶endice 5.1.2 mostramos c¶omo se representa la ecuaci¶on de difusi¶on en t¶erminos de un aut¶omatacelular. Cabe recalcar la importancia de este ejemplo ya que la ecuaci¶on de difusi¶on simple dalugar al movimiento Browniano estandar (basado en la distribuci¶on gaussiana). En la secci¶on 5.3estudiaremos el comportamiento estad¶³stico de algunos mercados cambiarios suponiendo que suevoluci¶on sigue un proceso estoc¶astico an¶omalo. Una hip¶otesis que puede hacerse es que a trav¶es dealg¶un tipo de aut¶omata celular ser¶a posible representar el proceso de intercambio que tiene lugar enesos mercados. Por razones que se detallan m¶as adelante, es posible que los sistemas criticamente

auto-organizados puedan contribuir a esta representaci¶on (ver la secci¶on 5.2 y 5.3.5).

Se han utilizado aut¶omatas celulares en numerosas aplicaciones; un modelo famoso es el\Juego de la Vida" de Conway implementado en 1970. Cada agente puede estar en uno de dosestados posibles: estar \vivo" o \muerto" y cambiar de estado de acuerdo a los estados de sus 8vecinos (el arreglo consiste en un reticulado bidimensional). Un agente \vivo" permanece vivo sitiene 2 ¶o 3 vecinos vivos, si no se muere por \aislamiento" o por \congesti¶on". Un agente \muerto"se transforma en vivo s¶olamente si hay exactamente 4 vecinos vivos. Este famoso aut¶omata celularproduce una enorme cantidad de patrones de evoluci¶on diferentes dependiendo de la con¯guraci¶oninicial, tales como ciclos estables, movimientos en ciertas direcciones, la posibilidad de generarnuevas estructuras organizadas, comportamientos ca¶oticos. Se ha podido demostrar que la din¶amicadel \juego de la vida" puede representar el funcionamiento de una computadora universal (v¶easela secci¶on 3.4.2). Trabajos recientes han demostrado que los c¶umulos de actividad o \clusters"de este aut¶omata celular poseen una distribuci¶on potencial. Los aut¶omatas celulares son tambi¶enmuy usados para modelar la din¶amica de °uidos as¶³ como para estudiar las propiedades magn¶eticasy las transiciones de fase de muchos sistemas f¶³sicos (Modelo de Ising y \Spin Glasses" [5]). Enotras ¶areas de aplicaci¶on han sido ¶utiles para explicar el comportamiento del tr¶a¯co urbano deautom¶obiles, la propagaci¶on de incendios forestales y de epidemias, la difusi¶on de informaci¶on y ellock-in de tecnolog¶³as.

La teor¶³a de la \percolaci¶on" [183] es tambi¶en particularmente interesante. Esta teor¶³a deocupa de estudiar las propiedades geom¶etricas de las redes celulares desordenadas. Supongamosque se dispone de un reticulado bidimensional y que los sitios del mismo se ocupan con una pro-babilidad p o permanecen vac¶³os con probabilidad (1 ¡ p). Las probabilidades pueden dependerde la vecindad. Entonces en el reticulado se formar¶an \clusters" o \islotes" de sitios ocupadosvecinos entre s¶³. Existe una probabilidad cr¶³tica pc para la cual se formar¶a un \cluster" de tama~noin¯nito. Esto signi¯ca que, en esa probabilidad cr¶³tica, una red de tama~no ¯nito tiene sus extremosinterconectados independientemente de su tama~no. En estas circunstancias se dice que la red ha\percolado". Podemos interpretar al fen¶omeno de percolaci¶on como un comportamiento emergente

auto-organizado del sistema. Los modelos basados en la teor¶³a de la percolaci¶on son muy usadospara entender los fen¶omenos de propagaci¶on, como por ejemplo en la simulaci¶on de incendios fores-tales o epidemias [176], la difusi¶on de tecnolog¶³as, la propagaci¶on de se~nales en un mercado [184],etc.

Otros casos interesantes basados en el paradigma de los aut¶omatas celulares son los modelosde criticalidad autoorganizada (o \modelo de la pila de arena") [20, 48, 21, 22]. Debido a surelevancia, veremos con m¶as detalle este tipo de modelos en la secci¶on 5.2 de este cap¶³tulo.

Para ¯nalizar esta introducci¶on, es importante destacar que Wolfram [195] intent¶o realizaruna clasi¯caci¶on de los aut¶omatas celulares, sin embargo muchos de ellos dan lugar a patronestan complejos que no es posible deducir propiedades anal¶³ticas. La desventaja principal de losaut¶omatas celulares es que debido a la diversidad de conexiones entre agentes la estructura resul-tante es muy di¯cil de estudiar y analizar. Los aut¶omatas celulares suelen estudiarse a trav¶es delas simulaciones computacionales.

5.1. Aut¶omatas Celulares y Mapas Acoplados 121

5.1.1 Modelos econ¶omicos que utilizan aut¶omatas celulares

Los modelos con agentes m¶ultiples en interacci¶on han comenzado a ser utilizados a partir de lad¶ecada del '90 en virtud del incremento de la capacidad operacional de las computadoras quepermiten manejar gran cantidad de informaci¶on. En [42, 22, 27, 61, 62] se detallan ejemplos dela aplicaci¶on de aut¶omatas celulares para describir entornos econ¶omicos. Autores como Sakoda[167] o Schelling [173] han trabajado suponiendo que los estados de los agentes son ¯jos, perointroducen la din¶amica del aut¶omata celular a trav¶es de los movimientos de los mismos. Otros comoAxelrod [15, 17] y Nowak & May [139, 140] ponen a los agentes en posiciones ¯jas y permiten queellos modi¯quen sus estados internos. Existen tambi¶en modelos en los que los agentes est¶an tantoposibilitados de moverse como de modi¯car sus estados internos [?, 62]. Un ejemplo particularmenteimportante es el llamado sugarscape construido por Joshua Epstein y Robert Axtell en 1996 [62].En este modelo, los agentes se distribuyen en una grilla bidimensional. Cada sitio contiene unacantidad determinada de \azucar" (o unidad de recurso), los agentes est¶an dotados con diferentescapacidades de detectar este recurso en sus vecindades y diferentes tasas de asimilaci¶on metab¶olica.Bas¶andose en reglas ¯jas para los movimientos sobre la grilla, los agentes pueden migrar como unarespuesta a las oportunidades de conseguir m¶as azucar. Para estudiar los patrones de consumo en elsistema, los autores tambi¶en agregan un segundo bien de consumo que llaman \spice" (o especias).Se implementan reglas que permiten diferenciar a los agentes seg¶un sus tasas metab¶olicas y reglasque favorecen los con°ictos intergrupales. Tomadas en conjunto, estas reglas permiten simular unavariedad de fen¶omenos socioecon¶omicos.

Sakoda [167] tambi¶en ha estudiado un aut¶omata celular donde las celdas pueden estar tantovacias como ocupadas por agentes de dos tipos diferentes. Estos agentes se diferencian por sus acti-tudes frente a los dem¶as. Los agentes tienen la posibilidad de realizar peque~nos pasos (al azar) haciaposiciones vacias donde las actitudes de los vecinos lo favorecen. Este autor considera diferentescombinaciones de actitudes e intenta explicar la raz¶on por la cual los grupos se mezclan o segregansiguiendo ciertos patrones. Schelling [173] estudia un modelo donde dos tipos de jugadores \viven"en un espacio unidimensional. Los agentes de cada tipo pre¯eren vivir en una vecindad compuestapor agentes de su mismo tipo. Cada agente tiene aleatoriamente la oportunidad de moverse haciaun sector m¶as conveniente. El autor estudia condiciones de distribuci¶on iniciales diferentes y ex-plica por qu¶e aparece la segregaci¶on a trav¶es de un comportamiento individual \desorganizado",sin necesidad de un \ordenador colectivo". Ambos autores suponen que los estados de los agentespermanecen ¯jos, en consecuencia la din¶amica viene dada por las \traves¶³as" realizadas por losagentes a trav¶es de la \topolog¶³a espacial" del modelo.

Axelrod [15, 17] y Nowak y May [139, 140] analizaron modelos de aut¶omatas celulares enlos que todos los nodos del sistema son ocupados por agentes dotados con distintas estrategias.Los agentes juegan sincr¶onicamente un \torneo" contra todos sus vecinos utilizando las reglas deldilema del prisionero. Luego los jugadores copian las estrategias m¶as exitosas de sus vecinos. Esteproceso da lugar a la aparici¶on de patrones de estrategias diferentes que se propagan espacialmente.

Un aut¶omata celular en que tanto los agentes pueden cambiar de estado como de posici¶onfue propuesto por Hegselmann [?] y por Epstein [62]. En el primer caso se estudia un modelo dondelos premios de jugar al dilema del prisionero dependen de la \clase de riesgo" de los oponentes.Los jugadores no pueden cambiar su \clase de riesgo", pero pueden elegir la estrategia y a veces laubicaci¶on. El autor encontr¶o la convergencia a grupos o \clusters" de agentes que cooperan y a suvez pertenecen a las misma \clase de riesgo".

5.1.2 Ejemplo: simulaci¶on de un proceso de difusi¶on con un aut¶omata celular

La difusi¶on es la manifestaci¶on a nivel macrosc¶opico que resulta de un proceso de paseo al azar (orandom walk) que tiene lugar en el nivel microsc¶opico (movimiento Browniano).

Es posible describir y explicar la representaci¶on macrosc¶oscopica de una ecuaci¶on de di-fusi¶on por medio de un aut¶omata celular distribuido. Estudiemos la evoluci¶on microsc¶opica de


una \probabilidad" de ocupaci¶on de un sitio en una red uni-dimensional discreta, donde cada sitiodistribuye su probabilidad sobre sus vecinos m¶as cercanos en el instante siguiente. Esta din¶amicalocal puede describirse:

P (xi; tj) =1

2[P (xi¡1; tj¡1) + P (xi+1; tj¡1)] (1.1)

Si restamos por P (xi; tj¡1) en ambos lados, podemos construir la siguiente ecuaci¶on de diferencias.

P (xi; tj)¡ P (xi; tj¡1) =1

2[(P (xi+1; tj¡1)¡ P (xi; tj¡1))¡ (P (xi; tj¡1)¡ P (xi¡1; tj¡1)] (1.2)

Considerando a ¢x = xi+1 ¡ xi y ¢t = ti ¡ ti¡1 entonces:

¢P

¢t=

1

2

¢

¢x

·¢P

¢x

¸(1.3)

que en el l¶³mite ¢! @ da lugar a la ecuaci¶on de difusi¶on en una dimensi¶on, es decir:

@P

@t= D

@2P

@x2(1.4)

donde la constante de difusi¶on D tiene unidades de Longitud2tiempo¡1 y contiene al factor 12 en su

de¯nici¶on. La soluci¶on anal¶³tica de esta ecuaci¶on de difusi¶on considerando que en t = 0 se cumplex = 0 es:

P (x; t) =1p

4¼Dte¡x

2=Dt (1.5)

que es la distribuci¶on de probabilidades de un movimiento Browniano simple.La ecuaci¶on 1.4 es un caso particular de la ecuaci¶on general de difusi¶on:

@u(~x; t)

@t= ~r ¢ [k~ru(~x; t)] + F (~x; t) (1.6)

Esta ecuaci¶on permite considerar un proceso de difusi¶on anisotr¶opico y no homog¶eneo enun n¶umero arbitrario de dimensiones, dependiendo de la estructura de k = k(x!; t). El t¶ermino Fpermite considerar la presencia de fuentes y sumideros de aquel elemento que difunde.

Si k es constante, la ecuaci¶on resultante es lineal y se puede resolver con los m¶etodos de laTransformada de Fourier o Laplace. Los procesos de difusi¶on an¶omalos son casos en los que k no esconstante y el sistema produce estados no homog¶eneos que no puedan resolverse usando el principiode superposici¶on, debido a la no linealidad inherente. Para tratar este tipo de procesos se deber¶³asondear en las caracter¶³sticas microsc¶opicas del proceso difusivo. Los sistemas auto-organizadoscr¶³ticamente, que veremos a continuaci¶on, corresponden a estos casos.

5.2 Criticalidad Auto-organizada y Ruido 1=f

Un hecho que se observa empiricamente en muchas series temporales econ¶omicas es que su espectro

de potencia3 decae lentamente a cero. Algunas series con estas propiedades son las correspondientesa los rendimientos de activos (v¶ease la secci¶on 5.3), el m¶odulo de rendimientos de activos ¯nancieros,o \commodities" [186], as¶³ como algunas series ligadas aindicadores macroecon¶omicos como PBI,tasa de desempleo, producci¶on industrial per c¶apita[150, 84]. Este fen¶omeno de persistencia enbajas frecuencias es conocido como \ruido 1=f" y se presenta tambi¶en en una gran diversidad defen¶omenos tales como la tasa de extinci¶on de especies en la evoluci¶on biol¶ogica, el crecimiento

3El espectro de potencia de una serie temporal se de¯ne simplemente como el cuadrado del modulo de su trans-formada de Fourier. Este resulta tambi¶en igual a la transformada de su funci¶on de autocorrelaci¶on.

5.2. Criticalidad Auto-organizada y Ruido 1=f 123

de ciudades, la distribuci¶on de intensidad de terremotos, las °uctuaciones de intensidad luminosade quasares, el °ujo de tr¶ansito en autopistas, °uctuaciones en la altura de los r¶³os. El espectroasociado a estas series temporales decae muy lentamente desde las bajas frecuencias siguiento unaley del tipo 1=f® con ® del orden o levemente mayor que 1. En el l¶³mite en que ® = 2 se tiene unpaseo al azar gaussiano y corresponde a distribuciones con varianza ¯nita. El \ruido 1=f" signi¯caque existe una importante contribuci¶on de las bajas frecuencias en la descripci¶on del fen¶omeno.

Las series naturales con estas caracter¶³sticas se presentan en sistemas \abiertos" esto es, enlos que existe un continuo aporte exterior de materia, energ¶³a o informaci¶on. Un mercado puedetambi¶en ser considerado como un sistema abierto en el que los aportes externos m¶as signi¯cativosson los recursos y la informaci¶on. No resultar¶³a entonces sorprendente que la serie temporal delos precios re°eje el comportamiento de cualquier otro sistema de esta naturaleza y presente laspersistencias se~naladas arriba.

Bachelier [66] ha arguido que las °uctuaciones en un mercado en que los agentes predicen elprecio en la pr¶oxima transacci¶on basados solamente en el precio presente, s¶olo pueden ser debidasa la llegada de nueva informaci¶on. La serie temporal de los precios representar¶³a un paseo al azar.Este argumento tolera un paralelismo f¶³sico: el precio de un bien en un mercado puede asemejarsecon la posici¶on de una part¶³cula (a lo largo de una dimensi¶on) en el seno de un medio viscoso, querecibe bombardeos moleculares hacia uno u otro lado debido a la agitaci¶on t¶ermica. Las colisionesmoleculares vendr¶³an a representar las sucesivas ¶ordenes de compra o venta que hacen °uctuar elprecio del activo.

Para seguir con esta analog¶³a, conviene distinguir tres escalas (jerarqu¶³as) de tiempo quecorresponden respectivamente a otros tantos fen¶omenos f¶³sicos.

1) Lapsos muy breves: Corresponde a una escala de tiempos menores o del orden del tiempoque dura cada colisi¶on. En la analog¶³a econ¶omica, estos lapsos re°ejar¶³an los que transcurrenen la concertaci¶on de cada transacci¶on.

2) Lapsos intermedios: corresponden al tiempo durante el cual la velocidad de la part¶³cula relajaexponencialmente merced al amortiguamiento viscoso. El modelo din¶amico describe esteproceso mediante la ecuaci¶on de Langevin que expresa la ley de Newton como dv

dt = ¡°v+L(t)donde v representa la velocidad de la partcula, ° es la atenuaci¶on en el medio visocosoy L(t) representa a las colisiones (instant¶aneas). En la analog¶³a econ¶omica estos lapsoscorresponder¶³an al tiempo que tarda en difundirse y utilizarse la informaci¶on asociada acada transacci¶on (por ejemplo: el precio pactado).

3) Lapsos prolongados: abarcan una gran cantidad de procesos de relajamiento y dan lugar auna serie temporal que corresponde a un paseo al azar. El proceso f¶³sico asociado a esta escalade tiempo es el de la difusi¶on y puede describirse por la ecuaci¶on de Fokker - Planck u otrasecuaciones de difusi¶on m¶as sencillas como la ecuaci¶on de balance de Chapman - Kolmogorov.En el an¶alogo econ¶omico este proceso se asocia con la marcha de serie temporal del precioindicativo a lo largo de una o m¶as \ruedas" de mercado. Tanto en el proceso f¶³sico comoen el econ¶omico el paseo al azar puede presentarse superpuesto a tendencias o °uctuacionessistem¶aticas, determin¶³sticas o no, de m¶as largo plazo.

Las operaciones de un mercado s¶olo pueden representarse por medio de esta met¶aforadin¶amica si se supone que todas las transacciones se realizan de manera secuencial y que, adem¶as,la operaci¶on que se realiza en un dado momento est¶a \causalmente vinculada" con las anteriores,dicho ¶esto en el sentido que toda la informaci¶on producida por la anterior est¶a disponible parala subsiguiente. Si se acepta esta met¶afora se est¶a suponiendo que el mercado deber¶³a estar re-presentado por un ¶unico par de agentes (un comprador y un vendedor), que realiza las sucesivastransacciones siguiendo los dictados de informaci¶on que les llega al azar (en este sentido el mercadoposee pocos \grados de libertad").


Las operaciones en un mercado, analizadas con una \resoluci¶on" temporal elevada (es decir,en lapsos su¯cientemente breves) no cumplen con esas premisas. Dicho de otra manera, no se puedeignorar la \micro-organizaci¶on" del mercado. Dos agentes actuando en un mercado dado puedenno saber con precisi¶on qu¶e otras transacciones se est¶an realizando en ese mismo momento y esdable suponer que estos agentes pacten precios utilizando s¶olo la informaci¶on de las transaccionesde que tienen informaci¶on, realizadas quiz¶a algunos minutos antes. El mercado debe pues supo-nerse \extendido", o sea que en su seno pueden existir transacciones que no esten \causalmentevinculadas" entre s¶³ en el sentido dado arriba a estos t¶erminos. Esta circunstancia permitir¶³a for-mular una met¶afora din¶amica algo m¶as compleja denominada como \criticalidad auto-organizada"que atribuye el \ruido 1=f" precisamente a la condici¶on de poseer una \extensi¶on espacial" y unesquema de \vecindades" que permite restringir el v¶³nculo causal entre transacciones sucesivas.

Si se supone, consistentemente con la jerarqu¶³a de procesos sugerida m¶as arriba, que lasescalas de tiempo propias de la deriva son mucho mayores que dos cotizaciones consecutivas (sepa-radas por un intervalo ¢t), ¶esta puede suponerse cancelada si en lugar de la serie de tiempos de losprecios se toma la de las variaciones r

¢t(t) = [p(t)¡p(t¡¢t)]=p(t¡¢t) = ¢p(t)=p(t). La ocurrencia

de ruido 1=f en la serie r(t) signi¯ca que esa cancelaci¶on no es completa. Cuando esto ocurre lasseries pueden ser consideradas como una generalizaci¶on del paseo al azar gaussiano. Correspondenentonces a las distribuciones llamadas como \estables" que en general poseen un decaimiento m¶aslento que el gaussiano presentando \colas" potenciales, con varianzas y otros momentos de m¶as altoorden que son divergentes (v¶ease la secci¶on 5.3). Este tipo de paseos al azar no gaussianos tienenan¶alogos din¶amicos en procesos difusivos llamados \an¶omalos" [35] que dan lugar a coe¯cientes dedifusi¶on inusualmente elevados que caracterizan a series con derivas persistentes.

Las distribuciones estables (la gaussiana es el caso particular de varianza ¯nita) poseen unainvariancia en la escala de tiempos.4:

P¢t=n¿

(r) = n¡1=¯P¢t=¿

(n¡(1=¯)r) (2.7)

La ecuaci¶on 2.7 signi¯ca que la probabilidad que se produzca una variaci¶on r en un intervalode tiempo prolongado ¢t = n¿ est¶a directamente relacionada con la probabilidad de ocurrencia deuna variaci¶on n¡(1=¯)r en un intervalo m¶as reducido ¢t = ¿ . Esta propiedad hace posible reducir laestad¶³sti ca del comportamiento de una variable en diversas escalas temporales a una ¶unica escalade referencia mediante el empleo de factores de escala adecuados. Esta misma invariancia apareceen series temporales de precios (S&P500) [133] y en el an¶alisis de ciertos procesos de crecimientode empresas [182].

En a~nos recientes se ha elaborado un modelo de criticalidad auto-organizada que proveeuna imagen de la din¶amica que subyace a los esquemas difusivos an¶omalos. Se trata de un modelode sistema abierto y \extendido". El mismo posee gran cantidad de componentes interactuantes ytiene una dimensi¶on que puede ser considerada \espacial" que nos permite de¯nir vecindades en lasque se mani¯estan in°uencias (o interacciones) mutuas entre las partes del tipo de las estudiadasen este cap¶³tulo. El modelo da lugar a la aparici¶on de ruido 1=f a partir de la superposici¶onde eventos con distintas vidas medias. En lugar de colisiones individuales la imagen es la de\avalanchas", que pueden ocurrir en distintas partes del sistema y mediante las cuales se disipala \energ¶³a" acumulada. Las avalanchas afectan a una fracci¶on de los componentes y se disparanpor perturbaciones externas espor¶adicas. Surge del modelo que dichas avalanchas pueden afectara fracciones m¶as grandes o m¶as peque~nas del sistema dependiendo del estado de los sucesivoselementos que se ven alcanzados por la misma. Poseen en consecuencia distintas vidas medias quese distribuyen seg¶un una densidad de probabilidades que involucra { con una correspondiente baja

4En general una se~nal X(t) posee una invariancia de escala si X o su integral o su derivada es autoaf¶³n o seaque X(t) es estad¶³sticamente id¶entica a una transformaci¶on por contracci¶on temporal seguida por un cambio de suintensidad. En ese caso existe un exponente ® tal que para todo h > 0, X(t) es estad¶³sticamente id¶entica a h¡®X(ht).Si t es una variable discreta, X(t) es asint¶oticamente escalable si existe una funci¶on L(h) tal que h¡®L¡1(h)X(ht)tiende a un l¶³mite cuando h!1 [132].


probabilidad{ vidas arbitrariamente largas. De este modo a¶un cuando el efecto de cada procesoindividual pueda dar lugar a un relajamiento exponencial ¶este tiene lugar con diversas vidas mediasy su acci¶on concurrente puede dar lugar a los decaimientos m¶as lentos que se observan en la realidad.

Es posible examinar con mayor detalle la met¶afora din¶amica de los sistemas que exhibencriticalidad auto-organizada. Dado que el sistema que se considera es abierto y extendido, losaportes externos se traducen en perturbaciones locales sobre cualquiera de las unidades. El modelosupone que la respuesta de cada unidad no es una funci¶on lineal del est¶³mulo sino que se tratade un fen¶omeno \todo o nada" (\stick-slip" o adherencia - deslizamiento): si la perturbaci¶on essu¯cientemente d¶ebil la unidad afectada absorbe integramente dicha perturbaci¶on incrementandotan solo localmente la \energ¶³a" (o tensi¶on interna) acumulada por esa perturbaci¶on local, perosin que suceda nada m¶as. Si, en cambio, la perturbaci¶on supera un umbral la unidad disipa la\energ¶³a o tensi¶on" acumulada provocando perturbaciones sobre las dem¶as unidades vecinas a esta,con las que interact¶ua. Ellas a su vez pueden, siguiendo la misma ley, perturbar a otras dandoas¶³ lugar a una \avalancha" cuya duraci¶on y dimensiones espaciales dependen del estado de lassucesivas unidades afectadas pudiendo inclusive alcanzar a cubrir todo el sistema. Con hip¶otesismuy generales acerca del mecanismo de las mutuas perturbaciones resulta que la respuesta globaldel sistema a los est¶³mulos recibidos del exterior es auto-organizarse din¶amicamente en un estado

cr¶³tico, permitiendo avalanchas cuya distribuci¶on obedece a una ley de potencias con lo que nose puede atribuir a las mismas ni dimensiones espaciales ni temporales caracter¶³sticas5. En elmarco de este modelo las grandes \cat¶astrofes" no requieren ninguna hip¶otesis especial referida aperturbaciones externas singulares, sino que se las puede suponer originadas a partir del mismomecanismo que eventos menores.

El modelo se formaliza mediante un aut¶omata celular que representa una idealizaci¶on deuna \pila de arena". Los aportes externos son \granos de arena" que dan lugar a avalanchas comose muestra en la ¯gura 2.1. La pendiente de la pila de arena en la i-¶esima ubicaci¶on se representapor una variable discreta zi y se supone que cada sitio est¶a dispuesto en una grilla regular en lacada uno posee nvec. primeros vecinos con los que interact¶ua. En el caso en que la adici¶on de unnuevo grano mantenga el valor de zi por debajo del valor cr¶³tico z¤ nada sucede. En el caso quela adici¶on de un nuevo grano haga que zi > z¤ se inicia una avalancha en la que el valor de losrespectivos zj se alteran seg¶un [20]:

zi(t+ 1) = zi(t)¡ nvec. (2.8)

zj2vec.(t+ 1) = zj2vec.(t) + 1 (2.9)

La actualizaci¶on de todos los valores de zi en todos los sitios de la red se realiza de manerasincr¶onica6. La simulaci¶on num¶erica de estos sistemas da lugar a funciones de distribuci¶on dela magnitud de los tama~nos de las avalanchas y la duraci¶on las mismas que obedecen leyes depotencias, permitiendo dar descripciones satisfactorias de muchos de los fen¶omenos mencionados alcomienzo 7. El exponente de las mencionadas leyes depende s¶olo de propiedades estructurales delsistema tales como del n¶umero de vecinos (la dimensionalidad de la grilla que ocupan los elementosdel sistema), del grado de violaci¶on de la conservaci¶on de los \granos de arena" en el momentode la descarga, pero no de caracter¶³sticas del sistema tales como el tipo de interacci¶on que existe

5Se puede decir que una funci¶on posee una magnitud caracter¶³stica en alguna de sus variables, digamos x cuandola funci¶on es proporcional a e¡x=» siendo » la valor caracter¶³stico de la variable x, m¶as all¶a del cual la funci¶on sedespreciable. En general » surge a partir de la estructura de la funci¶on de correlaci¶on espacial de los componentesdel sistema. Contrariamente, dicha funci¶on no posee un valor caracter¶³stico en una de sus variables x cuando esproporcional a x¡´ . Este tipo de ley de potencias hace que la funci¶on sea libre de escalas bien de¯nidas sobre esavariable x, por lo cual tiene lugar cierto grado de autosimilaridad.

6La evoluci¶on descripta por la ecuaci¶on corresponde a al caso en que z¤ = nvec.. Versiones \no conservativas"analizan la posibilidad que zj2vec.(t+ 1) < zj2vec.(t) + 1.

7El ¶exito m¶as signi¯cativo de esta teor¶³a ha sido la descripci¶on de la ley de Gutemberg { Richter que da ladistribuci¶on emp¶³rica de sismos seg¶un la energ¶³a liberada en cada uno [20].


Figura 2.1: Modelo esquem¶atico de una \pila de arena unidimensional". Cada \sitio" de la pilacorresponde a una celda sobre el eje horizontal y cada cuadradito representa un \grano" de arena.En esta ejemplo esquem¶atico, la pila tiene una barrera absorbente a la derecha. Se representa elagregado de un grano en la segunda columna y se supone que as¶³ se excede el valor critico. Lassucesivas ¯guras a la derecha muestran el progreso de la \avalancha" que se genera de ese modo..

entre vecinos (v¶ease la secci¶on 5.3.5). Notese que a medida que el sistema es forzado por los aportesexternos, su evoluci¶on temporal presenta un importante quiebre de la ergodicidad: Cualesquiera seala condici¶on inicial que se elija, el sistema termina visitando un subespacio muy reducido de todoel espacio de las fases. Ese subespacio corresponde a aquellos estados que satisfacen la condici¶onque todos los sitios de la red poseen la \pendiente" cr¶³tica.

Diversos autores que han aplicado estos conceptos en la econom¶³a argumentan que las in-variancias de escala de las series temporales econ¶omicas y el ruido 1=f son una evidencia que losmercados se auto-organizan cr¶³ticamente mediante una din¶amica de avalanchas (o, digamos \cas-cadas informacionales"). Se han realizado an¶alisis de mercados estilizados y reales. Los modeloshan sido construidos suponiendo que los agentes est¶an distribuidos \espacialmente" de manera re-gular y cada uno comercia s¶olo con sus \vecinos" [48, 21, 22]. De estos estudios surge que peque~nasperturbaciones independientes no se cancelan mutuamente sino que pueden dar lugar a movimientosglobales del mercado. Los autores encuentran que estas oscilaciones se amortiguan con el aumentode las dimensiones (esto es, el n¶umero de agentes) del \mercado" dando lugar a un r¶egimen deestricta criticalidad auto-organizada en el l¶³mite de mercados in¯nitos con in¯nitos agentes. Las°uctuaciones pueden ser interpretadas como \ciclos econ¶omicos" cortos.

Un an¶alisis de datos emp¶³ricos se realiz¶o utilizando [125] el ¶³ndice Dow Jones. Estos estudiosno son tan concluyentes, pues advierten que grandes °uctuaciones (e.g. la crisis de 1930) deben serexclu¶³das de la estad¶³stica dando a entender que se trata de fen¶omenos de una naturaleza diversa.

Luego presentaremos algunos an¶alisis aplicados a mercados cambiarios poniendo de ma-ni¯esto la estabilidad de las distribuciones estad¶³sticas de los rendimientos. Para comparar conel modelo de criticalidad auto-organizada se debe enfrentar el problema de trasladar al contextoecon¶omico el concepto de \avalancha". Wentian Li [125] considera que la dimensi¶on \espacial" dela avalancha (que a su vez representar¶³a el n¶umero de agentes afectados o la \energ¶³a disipada" porel sistema ante una perturbaci¶on local) es el valor de los rendimientos en cada momento. Se limitaen consecuencia a efectuar un an¶alisis estad¶³stico, de la correspondiente serie temporal se obteniene


una ley de potencias.

Otro v¶³nculo entre la auto-organizaci¶on cr¶³tica y las invariancias de escala es mediante ladistribuci¶on de las vidas medias de las \avalanchas". Una alternativa al an¶alisis de Wentian Liser¶³a argÄuir que la \duraci¶on" de un proceso de relajamiento debido a muchos deslizamientos esel tiempo que tarda el precio en retomar su valor inicial. En el lenguaje de los paseos al azaresta es la probabilidad de retono al origen al cabo de un dado intervalo T . Para un paseo al azarque corresponde a lo que se denomina como vuelo de L¶evy esa probabilidad obedece una ley depotencias (v¶ease la secci¶on 5.3.3) cuyo exponente corresponde al de la ecuaci¶on 2.7 :

PT (r = 0) =¡(1=¯)

¼¯ T 1=¯» T¡1=¯ (2.10)

Esta ley de potencias indica que no existe una duraci¶on caracter¶³stica y, tal como lo requiereel mecanismo de critricalidad auto-organizada, se ven involucradas todas las posibles escalas detiempo. Los autores del modelo de criticalidad auto-organizada arguyen que la ley 2.10 necesaria-

mente implica que la serie temporal debe presentar ruido 1=f . Para ello comienzan por postularque cada evento individual que \libera" una cantidad total A de \energ¶³a" en toda su vida presentauna funci¶on de autocorrelaci¶on que decrece exponencialmente c(t) = (A=T )e¡t=T . Si se suponeque todos los eventos poseen la misma intensidad inicial, debe suceder que A » T con lo queS(f;A) = A=(1 + 4¼2f2T 2) » T=(1 + 4¼2f2T 2). El espectro de potencias de una serie producidapor la superposici¶on independiente y concurrente de eventos de diversas vidas medias T (y distintasintensidades A) debe expresarse como:

S(f) =

ZP (T )S(f; A)dT »

ZP (T )TdT

1 + 4¼f2T 2(2.11)

»Z 1=f

P (T )TdT » f2¡1=¯ (2.12)

En la expresi¶on 2.12 el t¶ermino (1+4¼f2T 2)¡1 que corresponde a la transformada de Fourier de un¶unico evento c(t) es tomado simplemente como un corte para altas frecuencias que permite rede¯nirel limite superior de la integral.

Nos hemos limitado a mostrar que existe un v¶³nculo entre distribuciones estables y la criti-calidad auto-organizada. Este an¶alisis en un contexto econ¶omico requiere un estudio m¶as profundo,que excede el objetivo del presente trabajo. Lo mismo debe decirse acerca de la met¶afora de lacriticalidad auto-organizada para interpretar el ruido 1=f . Es obvio que est¶a lejos de las preten-siones de esta interpretaci¶on a¯rmar que todos los mercados est¶an auto-organizados cr¶³ticamente.Es por ejemplo interesante destacar que, a¶un mercados que pueden auto-organizarse cr¶³ticamente (oequivalentemente dar lugar a distribuciones estables), pueden presentar reg¶³menes \patol¶ogicos" enlos que dicha auto-organizaci¶on se \quiebra". Esto puede darse cuando las perturbaciones externasno son ya m¶as espor¶adicas y peque~nas sino que se tornan intensas y/o imprevisibles. En el lenguajede la criticalidad auto-organizada esta situaci¶on corresponde a multiplicar la frecuencia o aumentarla amplitud de las perturbaciones externas. En este caso no es m¶as posible desagregar el procesoen tres niveles jer¶arquicos de tiempos tal como se explica arriba y no puede hablarse ya m¶as de\paseo al azar". Como las perturbaciones externas son intensas y frecuentes la informaci¶on no sellega a homogeneizar entre los agentes. Si el mercado es \extenso" puede, en estas circunstancias,segmentarse en subsistemas d¶ebilmente vinculados y las distintas partes del mismo evolucionan in-dependientemente. Una situaci¶on de este tipo puede presentar en mercados en un r¶egimen de altatasa de in°aci¶on. Distintas transacciones realizadas por dos agentes diferentes pueden no compartirla misma informaci¶on acerca de la (muy r¶apida) variaci¶on del tipo de cambio. Mercados como ¶estosdistan de estar auto-organizados cr¶³ticamente, y no presentan la propiedad de autosemejanza 2.7dando lugar a un quiebre de la invariancia de escala (v¶ease la secci¶on 5.3.4).


La met¶afora de la auto-organizaci¶on cr¶³tica posee algunos elementos atractivos. Entre ¶estosse puede anotar que es un modelo que re°eja carcter¶³sticas globales del sistema independiz¶andosede sus detalles tales como la frecuencia relativa de eventos peque~nos y grandes o los mecanismosmicrosc¶opicos de interacci¶on en tanto ¶estos sean del tipo \todo o nada". El sistema adem¶as seauto-organiza din¶amicamente. Esto signi¯ca que la propia evoluci¶on del sistema lo lleva a visitaruna porci¶on muy espec¶³¯ca y reducida de su espacio de fases sin que haya que imponer v¶³nculoalguno para evitar que la abandone. Esto sucede sin que medien par¶ametros de control externosque deban tomar valores particulares \sintoniz¶andose" con la din¶amica del sistema para que talorganizaci¶on tenga efectivamente lugar.

En el costado negativo se debe mencionar que admitir plenamente este mecanismo de auto-organizaci¶on cr¶³tica no s¶olo quita toda heterogeneidad en la poblaci¶on de agentes econ¶omicos sinoque los limita a un comportamiento entermente determinista, ajustado a una ley estructural in-mutable de la cual no pueden substraterse. Este hecho niega, por supuesto, toda plasticidad enla conducta de agentes tanto a nivel individual como social, descartando todo el efecto que laformaci¶on de expectativas puede producir en el mercado. Otro punto objetable es la negaci¶on detoda posibilidad en el cambio de sus reglas como resultado del aprendizaje derivado de pasadasexperiencias.

5.3 Estudios estad¶³sticos: ruido 1=f , Distribuciones Estables y\Vuelos de L¶evy"

Introducci¶on

Hemos ya comentado que las propiedades din¶amicas de largo alcance de muchos sistemas naturalesdependen de la evoluci¶on de gran n¶umero de subsistemas acoplados por interacciones locales entreellos. Estos sistemas extensos suelen exhibir comportamientos libres de escala, lo que implica quetiene lugar la preservaci¶on de alg¶un tipo de simetr¶³a a trav¶es de los variados ¶ordenes de magnitudsobre los cuales estos sistemas evolucionan. Ya observamos que esta invariancia de escala se ponede mani¯esto cuando alg¶un observable sigue una ley potencial. Exploramos a continuaci¶on laposibilidad de que este tipo de comportamiento, libre de escala, tenga lugar tambi¶en en los sistemasecon¶omicos, especialmente cuando se trata de un sistema sometido a precisas reglas de interacci¶oncomo ocurre con los mercados ¯nancieros 8.

Para ello, se estudian algunas propiedades estad¶³sticas de los mercados de divisas. Exis-ten variados modelos de distribuciones de probabilidad que buscan describir el comportamientoestad¶³stico de la evoluci¶on de los precios de este tipo de mercados. Aqu¶³ nos basaremos en elsupuesto, de que dicha evoluci¶on est¶a gobernada por las denominadas distribuciones estables. Es-tas distribuciones se ponen de mani¯esto cuando el proceso estoc¶astico involucrado es un \vuelode L¶evy". La utilizaci¶on de este modelo de distribuciones ser¶a justi¯cado a partir de los datosemp¶³ricos. Estas distribuciones poseen algunas propiedades interesantes, como la autosimilaridadde la serie temporal que describe el fen¶omeno. En t¶erminos f¶³sicos los procesos estoc¶asticos tienen suorigen en alg¶un tipo de proceso de difusi¶on. Los \vuelos de L¶evy" se corresponden con los procesosdenominados como de difusi¶on an¶omala. Los p¶arametros estad¶³sticos que se obtienen del an¶alisisde los mismos se relacionan con la \microestructura" de estos sistemas. En el presente trabajo serealiza un an¶alisis exploratorio dirigido a estudiar las propiedades estad¶³sticas de diversos mercadoscambiarios; entre ellos, el de la moneda argentina entre 1970 y 1991.

8La teor¶³a de los sistemas din¶amicos sugiere que las °uctuaciones observadas en la econom¶³a pueden ser estudiadascon modelos de baja dimensionalidad (pocos grados de libertad). Sin embargo, a¶un no existe un teorema generalpor que cual un sistema complejo de muchos grados de libertad pueda reducirse a uno de unos pocos. Si bien losmodelos no lineales pueden producir espectros de frecuencia que corresponden a se~nales no peri¶odicas, no son capacesde reproducir los espectros altamente correlacionados como los observados en los sistemas reales [21].

5.3. Estudios estad¶³sticos: ruido 1=f , Distribuciones Estables y \Vuelos de L¶evy" 129

5.3.1 Mercados ¯nancieros y paseos al azar

Muchos de los an¶alisis de los mercados ¯nancieros se han basado en el supuesto, di¯cil de comprobar,de que los mercados ¯nancieros son \e¯cientes". Se puede de¯nir a un mercado como \e¯ciente"cuando sus precios re°ejan de manera apropiada toda la informaci¶on disponible hasta el instante enque este es determinado. Un mercado opera bajo condiciones de e¯ciencia cuando la informaci¶on sedescuenta en forma instant¶anea (v¶ease Fama, 1970 [66]). La hip¶otesis de e¯ciencia lleva impl¶³citala idea de que no es posible de¯nir reglas de transacci¶on que brinden ganancias esperadas no nulas.Sin embargo, seg¶un el mercado que se analice, es m¶as o menos evidente que existir¶an fricciones quenos llevan a concluir que estos no pueden ser considerados como estr¶³ctamente e¯cientes. Bajo lahip¶otesis de e¯ciencia la adquisici¶on de informaci¶on no brindar¶a a un operador del mercado ningunaventaja comparativa.

No obstante, en los mercados real el valor de la informaci¶on depende de su dispersi¶on yde la extensi¶on que estos mercados posean, por lo tanto la decisi¶on de qu¶e informaci¶on adquirirdepender¶a pues, de la idea que cada agente tenga acerca de la e¯ciencia del mismo. El principalimpedimento que tiene este enfoque es que el grado de e¯ciencia de un mercado real resulta muydif¶³cil, por no decir imposible de determinar . Desde el punto de vista de Grossman y Stiglitz, 1980[86] la hip¶otesis de los mercados e¯cientes es una idealizaci¶on que es econ¶omicamente irreal, sinembargo, puede servir como una marco de referencia ¶util para entender el comportamiento de losmismos. Una manera directa de conocer el grado de e¯ciencia de un mercado ser¶³a a trav¶es de laobservaci¶on minuciosa del proceso de decisiones individuales involucrado en la formaci¶on del preciofrente a la llegada de nueva informaci¶on. Puede suponerse que los mercados deben su volatilidada la heterogeneidad de los mecanismos de decisi¶on que utilizan los agentes del mercado. De todosmodos, parece claro que los operadores ¯nancieros incorporan en sus decisiones la informaci¶on def¶acil acceso y procesamiento. Una de las conjeturas b¶asicas en buena parte de la literatura es quelos precios responden al \principio fundamental" del que se apoya Bachelier (1900) para sugerir quelos mercados ¯nancieros est¶an gobernados por procesos estoc¶asticos caracterizados por un paseoal azar (\random walk"). Toda la formulaci¶on de su teor¶³a se sostiene sobre la idea de que losrendimientos est¶an normalmente distribuidos.

Para que el movimiento de los precios de un activo ¯nanciero siga un paseo al azar, lastransacciones realizadas deber¶³an ser consistentes con lo que se denomina un \fair game", en elcual la ganancia esperada de un especulador deber¶³a ser id¶enticamente nula. Un proceso v¶alidopara recrear la situaci¶on que tiene lugar en un \fair game", bas¶andonos en el principio fundamen-tal de Bachelier, es una \martingala". Una \martingala" se de¯ne por el proceso estad¶³stico quegobierna al precio pt seg¶un el cual: E(pt+1=It) = pt, donde E(pt+1=It) es el valor esperado delprecio en t + 1 dada la informaci¶on disponible en t. Entonces, la \mejor" predicci¶on del precio dema~nana, es simplemente el precio de hoy, donde el t¶ermino \mejor" se re¯ere a aquella predicci¶onque minimiza el error cuadr¶atico medio de la predicci¶on. Una importante consecuencia de esto, esque los cambios en precios de los activos no est¶an correlacionados, lo cual implica que no es posiblerealizar predicciones sobre la base de alg¶un predictor de los precios futuros basado en la secuenciade los pasados. Si el rendimiento, de¯nido como rt+1 = pt+1 ¡ pt = pt+1 ¡ E(pt+1=It) es un \fairgame", entonces debe cumplirse que E(rt+1=It) = 0 (en general se trabaja con el logaritmo delprecio para que el c¶alculo de los rendimientos se haga en t¶erminos relativos). Esto signi¯ca quesi un grupo de compradores (o vendedores) piensa que el precio es bajo (o alto) sus compras lohar¶an subir (o bajar). La expectativa del precio de ma~nana dado el de hoy es el precio de hoy.En este mundo, el ¶unico cambio de precio posible es resultado del arribo de nueva informaci¶onentonces, el cambio de precios per¶³odo a per¶³odo ser¶³a aleatorio y estad¶³sticamente independiente,de manera consistente con la llegada - aleatoria - de informaci¶on. En estas circunstancias es dablesuponer que los rendimientos de un per¶³odo son variables aleatorias independientes. Si se consid-era que no han tenido lugar, durante el per¶³odo de an¶alisis, cambios de r¶egimen que modi¯quensustancialmente la estructura del mercado, se puede considerar adicionalmente que estas variables


aleatorias est¶an id¶enticamente distribuidas. Se tiene entonces: E(rt+1=It) = E(rt+1). Los modelosbasados en la hip¶otesis de paseo al azar suponen adicionalmente, por razones operativas, que todala distribuci¶on es independiente de la informaci¶on disponible It y que ¶esta es adem¶as estacionaria.Entonces f(rt+1=It) = f(rt+1) con la misma funci¶on de distribuci¶on para todo t; lo cual no nosindica que la informaci¶on pasada no tiene valor. Como la distribuci¶on de los rendimientos se pre-supone estacionaria, los rendimientos pasados son la mejor fuente de informaci¶on para conocerla,sin embargo, ¶estos no producen ninguna consecuencia sobre la futura evoluci¶on de los mismos.

Se puede a¯rmar que la combinaci¶on de las propiedades que se originan a partir de lasuposici¶on de que la evoluci¶on de los mercados ¯nancieros es consistente con los paseos al azar y,por otro lado, el tratamiento de los ajustes basados en el an¶alisis de riesgo, ha dado importantesresultados, especialmente en el estudio de la ¯jaci¶on de los precios de opciones ¯nancieras. Es poresta raz¶on que se pone de mani¯esto la importancia de estudiar las propiedades de las funcionesde distribuci¶on que originan los rendimientos en estos mercados. Muchos modelos de formaci¶on deprecios de activos de capital dependen del conocimiento estas distribuciones. En general, se suelesuponer que el proceso estoc¶astico es un movimiento Browniano, por lo que est¶a guiado por unadistribuci¶on normal 9. En lo que sigue veremos que este tipo de distribuciones no se corresponde conla que se mani¯esta en las observaciones de los datos, y que las distribuciones que gu¶³an al procesogenerador de rendimientos se asemeja, en una variedad de casos, a una distribuci¶on denominadacomo \L¶evy - Estable", que se relaciona con los procesos estoc¶asticos llamados \vuelos de L¶evy".

5.3.2 Distribuciones estables y vuelos de L¶evy: Propiedades

Caracterizaci¶on

Supongamos un proceso estoc¶astico caracterizado por un paseo al azar (\random walk"), unidi-mensional, cuyo saltos son independientes e id¶enticamente distribuidos con una probabilidad p(x).Una pregunta que puede formularse, es cu¶ando la probabilidad Pn(x) de que el paseo haya arribadoa la posici¶on x luego de n pasos (x = x1 + ¢ ¢ ¢+ xn) es la misma que la p(x) a menos de un factorde escala?, en otras palabras, puede existir una p(x) que produzca un proceso estoc¶astico con unatrayectoria autosimilar?. La respuesta es a¯rmativa [120, 35]: si p(x) es una distribuci¶on normalcon media ¹ y varianza ¾, tambi¶en Pn(x) ser¶a normal con media ¹n = n¹ y varianza ¾n = n¾. Sinembargo, a principio de siglo, L¶evy, 1937 [124] demostr¶o que ¶este es tan s¶olo un caso particular yque existen otras soluciones que admiten trayetorias auto-similares.

La distribuci¶on de la suma de variables aleatorias independientes es la convoluci¶on de susdistribuciones:

Pn(x) =

Z +1

¡1Pn¡m(x¡ x0)Pm(x0)dx0 0 · m · n (3.13)

Como la transformada de Fourier del producto de convoluci¶on es el producto de las trans-formadas, la funci¶on caracter¶³stica asociadas a Pn(x) satisface:

Pn(k) = Pn¡m(k) ¢ Pm(k) con P (k) =

Z +1

¡1eikxP (x)dx (3.14)

Donde k es la variable conjugada asociada. L¶evy encuentra que la soluci¶on general de esta ecuaci¶ontiene la forma 10:

9En su forma m¶as estricta, la hip¶otesis de paseo al azar supone que los rendimientos se distribuyen de maneraindependiente y est¶an identicamente distribuidos. Una versi¶on no tan restrictiva permite que la historia del procesopueda in°uenciar sobre las estrategias de inversi¶on, pero descarta que sea posible utilizar e¯cientemente t¶ecnicas oreglas de predicci¶on determin¶³sticas (lineales o no lineales). Finalmente, la versi¶on menos restritiva supone que no esposible utilizar t¶ecnicas de predicci¶on lineales, como el an¶alisis de regresi¶on.

10La expresi¶on m¶as general de la funci¶on caracter¶³stica de una distribuci¶on L¶evy - Estable es:

Pn(k) = ei¹k¡njkj¯(1+i®sgn (k)w(jkj;¯))


Pn(k) = e¡njkj¯

(3.15)

Las distribuciones con este tipo funciones caracter¶³sticas se denominan distribuciones L¶evy Establesy corresponde a un proceso estoc¶astico llamado como vuelo de L¶evy.

Propiedades de los Vuelos de L¶evy

1) Por de¯nici¶on, la funci¶on de distribuci¶on de probabilidades es

Pn(x) =1

2¼

Z +1

¡1e¡njkj

¯e¡ikxdk (3.16)

2) Para toda funci¶on caracter¶³stica, si se desarrolla la exponencial en series de potencias, sedemuestra que el momento de orden q de la distribuci¶on vale:

p(k) =

Z +1

¡1eikxp(x)dx =

Z +1

¡1

1X

q=0

iqkqxq

q!p(x)dx

=1X

q=0

(ik)q

q!

Z +1

¡1xqp(x)dx =

1X

q=0

(iq)q

q!< xq >

) < xq >= (¡1)q@(q)p(k)

@kqjk=0 j = 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢

En el caso de las distribuciones estables, como Pn(k) = pn(k) y p(k = 0) = 1 entonces valeque < xq(n) >= n < xq > donde < xq >=

R+1¡1 xqp(x)dx son los momentos de orden q de

la distribuci¶on. Es por lo tanto posible calcular todos los momentos de la distribuci¶on de lasuma de variables por medio de las derivadas sucesivas de la funci¶on caracter¶³stica asociadaa la distribuci¶on de una sola variable.

3) Usando la desigualdad triangular, se demuestra que jp(k)j · p(k = 0) = 1:

jp(k)j = jZ +1

¡1eikxp(x)dxj ·

Z +1

¡1jeikxjp(x)dx

=

Z +1

¡1p(x)dx = 1 ´ p(k = 0)

Tengamos en cuenta que estudiar p(k) para valores cercanos al origen es an¶alogo a estudiarla funci¶on de distribuci¶on para x)1.

4) La varianza, puede calcularse a partir de derivada segunda de p(k) en el origen, pero esta es¯nita s¶olo si ¯ = 2 que corresponde a la distribuci¶on normal. Usando la propiedad 2) resultaevidente que cuando ¯ < 2 la varianza es in¯nita. Esto signi¯ca que los saltos del paseo alazar no poseen un tama~no caracter¶³stico. Esta propiedad, denominada en la termodin¶amicaestad¶³stica como una invariancia de escala, es di¯cil de corroborar a partir de datos emp¶³ricospues en la pr¶actica las muestras son de tama~no ¯nito y siempre es posible encontrar un

donde i =p¡1, y w(jkj; ¯) = tg (¼¯=2) si ¯ 6= 1 , y w(jkj; ¯) = (¼=2)ln jkj ,si ¯ = 1. Se debe cumplir ¯ 2 (0; 2]

y ® 2 [¡1; 1]. El par¶ametro ¯ es el exponente caracter¶³stico de la distribuci¶on que se asocia a la forma de su cola;cuando m¶as peque~no sea su valor, m¶as aguzada ser¶a la distribuci¶on. Los momentos de orden mayor que ¯ no existen.El par¶ametro ® mide el grado de asimetr¶³a de la distribuci¶on, de manera tal que si es negativo la distribuci¶on setuerce hacia la derecha, si es positivo, hacia la izquierda y si vale cero la distribuci¶on es sime trica respecto del valorde la media ¹.


estimador de la varianza de la muestra. Usando series temporales ¯nitas, los momentosasociados se ven afectados principalmente por el centro de las distribuciones y no por suscolas con lo cual es dif¶³cil descartar alternativas.

5) Si una distribuci¶on es estable su \cola", o sea su comportamiento asint¶otico para jxj ! 1 ¶osimilarmente para jkj ¼ 0, tiene un comportamiento potencial. En efecto, el comportamientoasint¶otico de Pn(x) es:

Pn(x) =1

2¼

Z +1

¡1e¡nj¢tkj

¯e¡ikxdk =

1

¼

Z +1

0e¡n¢t¯ jkj¯ cos(kx)dk ¼

¼ 1

¼jxj

Z +1

0exp

Ã¡n¢t¯jvj¯jxj¯

!cos(v)dv =

1

¼jxj

Z +1

0

Ã1¡ n¢t¯ jvj¯

jxj¯

!cos(v)dv ¼

¼ ¡ n¢t¯

¼jxj¯+1

Z +1

0jvj¯cos(v)dv = ¡ n¢t¯

¼jxj¯+1lim²!0

Z +1

0e¡²vjvj¯cos(v)dv =

= ¡(1 + ¯) sin

µ¼¯

2

¶n¢t¯

¼·ertxj¯+1

donde ¢t representa la unidad de tiempo de los n pasa; la funci¶on gamma ¡(z) es:

¡(z) =

Z +1

0uz¡1e¡udu, con z > 0,

De la ecuaci¶on anterior surge por lo tanto que Pn(x) ¼ jxj¡(¯+1) para x!1 (k ! 0)

Ejemplo

Un ejemplo de distribuci¶on estable es la distribuci¶on de Cauchy, que corresponde al caso ¯ = 1.Hemos visto esta distribuci¶on en relaci¶on con el espectro de potencia de eventos cuya funci¶on deautocorrelaci¶on decae exponencialmente en el tiempo. En este caso la funci¶on caracter¶³stica esPn(k)e¡njkj con lo que la densidad de probabilidad es:

Pn(x) =1

¼n

1

1 + (xn)2(3.17)

Esta distribuci¶on no posee varianza ¯nita. Es f¶acil comprobar que posee una invariancia de escala

Pn(x) =1

nP1(

x

n) (3.18)

El paseo al azar asociado cuyos saltos son una variable aleatoria cuya distribuci¶on es establey que no corresponde a la distribuci¶on normal se denomina \vuelo de L¶evy". La densidad deprobabilidad del observable correspondiente posee una ley de potencias. El par¶ametro de \scaling"o exponente cr¶³tico (¯) corresponde a la \rugosidad" de la funci¶on. Cuando ¯ = 2 y correspondeal caso Gaussiano. El espectro de potencia de estas series tambi¶en sigue una ley de potencias en ell¶³mite de muy bajas frecuencias (S(f) / 1=f´ con ´ = 2

¯ + 1). La dimensi¶on fractal de Hausdor®

de la serie temporal correspondiente es: Df = 2¡ 1¯ [132].


5.3.3 Distribuciones Estables en Mercados Cambiarios

Realizamos a continuaci¶on el estudio la evoluci¶on del tipo de cambio de la Libra Esterlina contrael D¶olar Americano. Se observa que su evoluci¶on puede ser descripto como un proceso estoc¶asticocaracterizado por un vuelo de L¶evy sim¶etrico. Este estudio es considerado como un caso testigopara luego contrastarlo con los resultados obtenidos partiendo datos tomados del mercado cambiarioargentino (Peso - D¶olar), que exhibe singulares caracter¶³sticas que luego ser¶an explicadas.

La serie de datos est¶a formada por el tipo de cambio diario al cierre y corresponde al per¶³odocomprendido entre el 1ro. de junio de 1973 y el 21 de mayo de 1987, conformando un total de 3511datos. Se utiliza como variable descriptiva al rendimiento calculado para distintos intervalos detiempo ¢t, es decir:

r¢t

(t) =p(t)¡ p(t¡¢t)

p(t¡¢t)(3.19)

donde p(t) es el valor del tipo de cambio al cierre en t . Para caracterizar cuantitativamente a losdatos emp¶³ricos, se determina primeramente la probabilidad P (r¢t) de los retornos para diferentesintervalos de tiempo (s¶olo gra¯camos 1, 2, 8 y 32 d¶³as). Un estudio estad¶³stico m¶as minuciosodeber¶³a usar datos en intervalos no superpuestos, pero debido a la escasez de dato emp¶³rico estono resulta posible. No obstante, se ha comprobado que no es posible advertir diferencias en losexponentes cr¶³ticos obtenidos con intervalos superpuestos o no. En la ¯gura 3.3 se muestra elgr¶a¯co de P (r) utilizando los 4 valores distintos de ¢t . Se ha buscado que los ¢t elegidos est¶enaproximadamente equi-espaciados logar¶³tmicamente. Como se puede observar, las distribucionesson visiblemente sim¶etricas y sus colas obviamente se despliegan cada vez m¶as al crecer el intervalo¢t. El exponente caracter¶³stico (¯) de la distribuci¶on estable se estim¶o a partir de la probabilidadde retorno al origen P (r

¢t= 0) expresada como funci¶on de ¢t [133]. Esta probabilidad se puede

estimar num¶ericamente de la serie temporal eligiendo cada valor de ¢t y computando la frecuenciacon que el valor de r¢t cae dentro de un intervalo su¯cientemente peque~no alrededor de 0. Obtenidaesta probabilidad como funci¶on de ¢t se deduce la correspondiente ley de potencias. En efecto, sise parte de la de¯nici¶on de la distribuci¶on estable:

Pn(r;¢t) =1

2¼

Z +1

¡1e¡n¢tjkj¯e¡ikrdk (3.20)

=1

¼

Z +1

¡1e¡n¢tjkj¯ cos(kr)dk (3.21)

y se realiza un cambio de variables (u = n¢tjkj¯ ), es f¶acil demostrar que:

Pn(0;¢t) =1

¼

Z +1

¡1e¡n¢tjkj¯dk =

¡(1=¯)

¼¯(n¢t)1=¯(3.22)

Esta ley de potencias permite calcular directamente el exponente caracter¶³stico de la dis-tribuci¶on estable que mejor se adec¶ua al proceso que generan los datos del mercado. Este valor seve afectado solamente por la ¯nitud del conjunto de datos disponibles. En la ¯gura 3.4 mostramosP (r

¢t= 0) como funci¶on de ¢t, en una escala log-log. Estos datos pueden ajustarse con una

recta cuya pendiente es - 0,604. Hasta los primeros 50 valores de ¢t el ajuste da un coe¯ciente decorrelaci¶on de 0.988. Para intervalos mayores, y debido a lo reducido de la muestra se produce elapartamiento de esta ley potencial. La pendiente que resulta corresponde con un comportamientono gaussiano y por lo tanto la varianza de la distribuci¶on deber¶³a ser te¶oricamente in¯nita. Comohemos comentado anteriormente, desde el punto de vista muestral no es posible comprobar si lavarianza de la distribuci¶on es in¯nita ya que la muestra es de tama~no ¯nito (3511 datos). Enestos casos, los momentos asociados a la distribuci¶on se ven afectados por los valores que °uct¶uanalrededor del centro de las distribuciones y no por sus colas.


Figura 3.2: Evoluci¶on de la variaci¶on relativa de la Libra Esterilina en relaci¶on al D¶olar Americano

Figura 3.3: P (r) para 4 valores de ¢t

La raz¶on por la que se utiliz¶o la probabilidad de retorno al origen como base para calcularel exponente caracter¶³stico (¯) se debe a que si calculamos te¶oricamente esta probabilidad, comofunci¶on de ¢t obtenemos la ley de potencias que se muestra en la ¯gura 3.4. La ley de potenciasque se obtiene (ecuaci¶on 3.22) nos permite calcular el exponente cr¶³tico de la distribuci¶on estableque mejor se adecua al proceso que generan los datos del mercado. Otra forma de calcular esteexponente es usando la propiedad 5) pero el conjunto de datos es insu¯ciente para estudiar elcomportamiento de la distribuci¶on lejos del origen.

Una vez calculado el exponente (¯) se puede comprobar que las distintas distribucionesmostradas en la ¯gura 3.3 son similares a menos de un factor de escala 11. Esto signi¯ca, como sedijo, que el proceso estoc¶astico subyacente es invariante frente a dilataciones de la escala temporal.Para veri¯car esta propiedad, se expresan todas las distribuciones en t¶erminos de las variables

11Hemos visto que una se~nal de ruido x(t) admite una invariancia de escala si x por s¶³ misma o su integral osu derivada es auto-af¶³n. Esto signi¯ca que x(t) es estad¶³sticamente id¶entica a una transformaci¶on por contracci¶ontemporal seguida de un cambio de intensidad. Entonces debe existir un exponente ® tal que para todo h > 0, x(t) esestad¶³sticamente id¶entica a h¡®x(ht). En general, si t es una variable discreta, x(t) es asint¶oticamente escalable siexiste una funci¶on L(h) tal que h¡®L¡1(h)x(ht) tiende a un l¶³mite cuando h!1.


Figura 3.4: P (r¢t

= 0) como funci¶on de ¢t

\escaladas" rs y Pn;s(rs;¢t) mediante la siguientes transformaciones:

rs =r

(¢t)1=¯y Pn;s(rs;¢t) =

Pn(r;¢t)

(¢t)¡1=¯(3.23)

En la ¯gura 3.5 se observa que, salvo eventos de gran amplitud (que son estad¶³sticamenteimprobables), las distribuciones re-escaladas quedan perfectamente superpuestas en una ¶unica dis-tribuci¶on. Esto valida la tesis de la auto-similaridad temporal de la din¶amica de los mercados.Esta propiedad nos brinda la evidencia de que las °ucutaciones de este tipo de mercado no poseenni amplitudes ni duraciones privilegiadas o caracter¶³sticas. Dicho en otras palabras, no existe unvalor m¶as probable para el alejamiento del precio de sus valores medios ni tampoco es de esperarque dichos alejamientos sucedan con una dada periodicidad o que sus excursiones de alejamientode la media tengan una duraci¶on m¶as probable. Salvo las consideraciones generales de la criti-calidad auto-organizada, no existen hasta el momento hip¶otesis de trabajo razonables sobre lasrazones \microsc¶opicas" sobre las que se asienta esta propiedad de invariancia. Una posibilidad esque se la pueda atribuir a la heterogeneidad de las expectativas de los agentes que intervienen enel mercado. Otra hip¶otesis que se ha explorado en la literatura es suponer que existe una ciertaprobabilidad que agentes a¯nes coordinen sus acciones de manera de actuar conjuntamente dandolugar de esa manera a °uctuaciones de gran amplitud que son responsables de las \colas largas" dela distribuci¶on.

Para mostrarse que estos resultados son robustos se realizaron similares c¶alculos con otrosmercados cambiarios y burs¶atiles. En la Tabla No. 1 se muestran los exponentes cr¶³ticos que hemosobtenido junto con algunos otros que se han publicado.


Figura 3.5: Ps(rs) como funci¶on de rs para los ¢t usados

Mercado Per¶³odo - # Datos Exponente ¯ Coef. Correl. ½

L.E. - D.A. 6/73-5/87 - 3511 0.60 §0:02 0.988Y.J. - D.A. 6/73-5/87 - 3511 0.59 §0:02 0.981D.C. - D.A. 6/73-5/87 - 3511 0.59 §0:02 0.983M.A. - D.A. 6/73-5/87 - 3511 0.651 §0:03 0.997F.S - D.A. 6/73-5/87 - 3511 0.60 §0:02 0.989L.E. - D.A. (1) 6/73 - 6/87 - 1174941 0.581 §0:004 -Y.J. - D.A. (1) 6/73 - 6/87 - 1477992 0.591 §0:003 -F.S. - D.A. (1) 6/73 - 6/87 -1214901 0.594 §0:004 -M.A. - D.A. (1) 6/73 - 6/87 -2409086 0.591 §0:004 -ORO - D.A. (1) 6/73 - 6/87 - 652194 0.580 §0:004 -Dow Jones 1/00-6/93 - 25770 0.583 §0:007 0.976S & P 500 (2) 7/62-12/95 - 8431 0.588 §? -IBM (2) 7/62-12/95 - 8431 0.561 §? -AMPCO (2) 7/62-12/95 - 8431 0.621 §? -DAX (3) 11/86-9/92 - 1452 0.54 §0:08 -

L.E.: Libra Esterlina, D.A.: D¶olar Americano, Y.J.: Yen japon¶es,D.C.: D¶olar canadiense, M.A.: Marco Alem¶an, F.S.: Franco suizo.

DAX: ¶³ndice de 30 acciones del Mercado Burs¶atil de Frankfurt.

(1) Tomado de MÄuller et al, 1990 [146], datos intradiarios (\tick by tick"), se utiliza otra metodolog¶³a para realizarel c¶alculo.(2) Tomado de Lo, 1998 [126], se utiliza otra metodolog¶³a para realizar el c¶alculo.

(3) Tomado de Evertsz y Berkner, 1995 [65], se utiliza otra metodolog¶³a para realizar el c¶alculo.

Tabla No. 1

5.3.4 Ruptura de la Invariancia de estala: El Mercado Cambiario Argentino

Cuando un mercado cambiario est¶a sesgado por un proceso in°acionario persistente, como ocurri¶o ennuestro pa¶³s durante las d¶ecadas del setenta al noventa, se produce all¶³ una ruptura de la invarianciade escala temporal, que, como hemos visto, caracteriza a un mercado con la caracter¶³stica de queevoluciona \establemente" y sobre el que no ha operado un persistente proceso de alta in°aci¶on.

Se utiliz¶o la serie temporal del tipo de cambio argentino (Peso - D¶olar), desde el 2 de agostode 1971 al 30 de noviembre de 1992 (en la Tabla No. 2, se muestran las fechas correspondientes). Se


homogeneiz¶o la serie usando alternativamente el tipo de cambio paralelo, libre o ¯nanciero, seg¶un elper¶³odo, como se muestra en la Tabla No. 2. Por otro lado se eliminaron los datos correspondientesa los per¶³odos de tipo de cambio ¯jo. Con esta poda, la serie posee 3690 datos.

Paralelo 2/8/71-30/12/75;4/1/82-9/10/87;(19/5/89-14/12/89)Libre (7/1/76-17/6/81);15/10/87-18/5/89;15/12/89-30/11/92Financiero 18/6/81-23/12/81

Tabla No. 2

Figura 3.6: Evoluci¶on de la variaci¶on relativa de la moneda argentina en relaci¶on al ¶olar Americano(Observese la magnitud de los grandes eventos).

La ¯gura 3.6 representa la evoluci¶on del rendimiento diario de la moneda argentina enrelaci¶on al d¶olar americano. En la ¯gura 3.7 se muestra la misma densidad de probabilidad mostradaen la ¯gura 3.3 para diversos valores de ¢t. Esta distribuci¶on no es sim¶etrica ya que durante loslargos per¶³odos de alta in°aci¶on un aumento en el tipo de cambio es mucho m¶as probable queocurra una disminuci¶on en el mismo. Al igual que en el caso anterior las colas de las distribucionesse abren al crecer el valor de ¢t .

En la ¯gura 3.8 mostramos el cambio de la probabilidad de retorno al origen P (r = 0) comofunci¶on de ¢t, en una escala log-log. Se observa que aqu¶³ se produce un quiebre del comportamientopotencial como ocurr¶³a en el caso anterior. Esta probabilidad tiene una tendencia lineal dada paravalores de ¢t entre 1 y 6 d¶³as, en que la pendiente resulta ser de - 0.455, y otra para valores mayorescuando la pendiente resulta ser de - 0.796. En ambos casos se obtiene un coe¯ciente de correlaci¶onde 0.997. Un \vuelo de L¶evy" cuya pendiente es superior a 0.5 supone la existencia de importantes

persistencias sobre la tendencia de crecimiento de la serie temporal. En este caso, si la evoluci¶ones creciente en el instante t hay una probabilidad signi¯cativa que lo siga siendo en un momentoposterior t+ ² y por lo tanto los espectros de Fourier son altamente correlacionados (ruido 1=f). Locontrario ocurre para el caso en que la pendiente resulte menor que 0.5. En estas circunstancias laruptura de la invariancia de escala que se produce, determina dos tipos de comportamientos seg¶unel tipo de intervalo de tiempo considerado en el an¶alisis de los datos. Quedan de¯nidas dos regionescon dos escalas de tiempo diferentes, una para ¢t0s menores a los 6 d¶³as, en el que la probabilidadde fuertes variaciones es muy baja y otra regi¶on en que la probabilidad de que haya rendimientosnulos disminuye muy abruptamente.


Figura 3.7: P (r) como funci¶on de r para los ¢t usados

Figura 3.8: P (r = 0) como funci¶on de ¢t

En las ¯guras 3.9 y 3.10 se gra¯can las distribuciones luego de realizado el \scaling", peroutilizando las dos pendientes seg¶un el ¢t que corresponda a cada caso.

Puesto que el escalado realizado es diferente en cada caso, la forma de las distribucionesescaleadas lo ser¶a tambi¶en seg¶un el exponente cr¶³tico utilizado. Como se ha dicho, esto evidenciaun comportamiento din¶amico diferente seg¶un el intervalo de tiempo sobre el cual se calcula elrendimiento.

5.3.5 Ruido 1=f y Criticalidad Auto-organizada

Los sistemas extendidos pueden presentarse en diversas \fases". Cada una de ellas corresponde a unordenamiento interno particular entre los constituyentes del sistema. En sistemas termodin¶amicos,por ejemplo, se suelen identi¯car las fases l¶³quida, s¶olida y gaseosa o las fases ferromagn¶etica, su-per°uida o superconductora, seg¶un qu¶e propiedades y sustancias se estudien. Se suele decir que unsistema se halla en un estado cr¶³tico cuando se encuentra cerca de una transici¶on de fase. Cuandoel sistema se aproxima a un punto cr¶³tico, cambia la distancia de correlaci¶on de sus componentes,produci¶endose ordenamientos parciales del sistema en porciones o \clusters" sin un tama~no carac-


Figura 3.9: Ps(rs) como funci¶on de rs, primer caso

ter¶³stico. Desde el punto de vista espacial, el sistema posee en el punto cr¶³tico una invariancia deescala12.

El comportamiento del sistema en las vecindades de un punto cr¶³tico no se ve afectado porlos detalles locales de su estructura. Por esta raz¶on se han podido agrupar sistemas muy diversoscon comportamientos semejantes en amplias clases de universalidad. Cada una se diferencia porelementos muy fundamentales y gen¶ericos [110] del sistema, tales como el alcance de las interaccionesentre sus componentes, la dimensionalidad y grupo de simetr¶³a de su estructura, etc..

Los sistemas extensos pueden suponerse gobernados por un conjunto de par¶ametros de con-trol. Cuando ¶estos toman determinados valores, el sistema puede ser llevado a un punto cr¶³tico.En termodin¶amica, el p¶arametro de control por excelencia es la temperatura, y su valor cr¶³ticopuede, por ejemplo, ser el valor en que una muestra de material se congela o se equilibran sus fasesl¶³quida s¶olida y gaseosa. La cr¶³ticalidad auto-organizados corresponde a una propiedad din¶amicamediante la cual el sistema se ubica en un estado con todas las propiedades de invariancia deescala que se mencionaron arriba sin necesidad de la \sintonizar" ning¶un par¶ametro de control(externo) en valores particulares. Para modelar un sistema cr¶³ticamente autoorganizado se empleauna estrategia constructiva como las empleadas en esta tesis, es decir, simulando su evoluci¶on me-diante una din¶amica de¯nida a partir de las interacciones entre sus componentes. Oportunamentese~nalamos que puede considerarse que todo observable asociado a la evoluci¶on de un sistema cuyoespectro obedezca una ley de potencias (semejante al ruido 1=f) est¶a cr¶³ticamente auto-organizado(secci¶on 5.2). De esta interpretaci¶on se deducir¶³a que toda distribuci¶on estable de L¶evy revela quela din¶amica del sistema se autoorganiza en una sucesi¶on de eventos (\avalanchas") sin duracioneso dimensiones caracter¶³sticas.

En lo que sigue analizamos las °uctuaciones del precio de la cotizaci¶on del Franco Suizocontra el D¶olar de EEUU tomada de una serie temporal \tick by tick", esto es, operaci¶on poroperaci¶on en el mercado electr¶onico a lo largo de todo el tiempo de la rueda de operaciones ycubriendo el per¶³odo comprendido desde el 20 de mayo de 1985 y el 12 de abril de 1991. La serieconforma un total de 329.112 datos. Para encuadrar esta serie en el leguaje de las \avalanchas" sesupone que cada °uctuaci¶on del precio: ¢p=p corresponde a la ocurrencia de un evento.

En la ¯gura 3.11 se representa la distribuci¶on de los tama~nos de las \avalancha" del mercadocomputando la cantidad N de eventos de una magnitud r = ¢p=p como funci¶on de r. El gr¶a¯comuestra una ley de potencias de pendiente 2:76 que se extiende por m¶as de dos d¶ecadas en el eje

12V¶ease la secci¶on 4.1 del cap¶³tulo 4.


Figura 3.10: Ps(rs) como funci¶on de rs, segundo caso

horizontal. En la ¯gura 3.12 se gra¯ca el espectro de potencias (o sea, el m¶odulo al cuadrado delos coe¯cientes de la Transformada R¶apida de Fourier - FFT) P (f) de esta serie temporal. En estecaso el ruido 1=f° posee un exponente ° = 1:66. Esta pendiente no corresponde al ruido gaussianoque es el que suelen considerarse en los modelos usuales de selecci¶on de portafolios de inversi¶on, yaque el caso gaussiano corresponde a una pendiente del espectro de potencias con un valor de 2.

Figura 3.11: Distribuci¶on de las variaciones relativas de los precios entre dos operaciones sucesivas.

5.3.6 Algunos comentarios de esta secci¶on

Existe una interdependencia muy estrecha entre la variabilidad del comportamiento de un sistema,y la °exibilidad con que se modi¯can las decisiones como producto de los procesos de aprendizajeque desarrollan los agentes en el mismo. En Haugen et al (1991) [89], a partir del an¶alisis emp¶³rico,se sugiere que buena parte de los movimientos de precios en los mercados ¯nancieros no parecenasociarse con la observaci¶on de informaci¶on relevante sino con la existencia de creencias muchas


Figura 3.12: Transformada de Fourier de la serie temporal correspondiente al precio promedio porhora del mercado.

veces inconsistentes con los datos \fundamentales" de la econom¶³a y con la aparici¶on progresiva deconductas de imitaci¶on. Este punto de vista, basado en una met¶afora \ecol¶ogica", es consistentecon la existencia de agentes heterog¶eneos que conocen adecuadamente sus nichos pero no puedencapturar el comportamiento del mercado en su totalidad. Cuanto mayor sea la extensi¶on de unmercado, mejores ser¶an las condiciones sobre las cuales se desarrolla y ampl¶³a esa diversidad deestrategias que, en t¶erminos termodin¶amicos, a su vez, \termalizan" la evoluci¶on de sus precios,atenuando la posibildad de que se produzcan grandes °uctuaciones. Esta diversidad se mani¯estaen las m¶ultiples escalas temporales con que operan los transactores de un mercado y en los diversosmecanismos de formaci¶on de expectativas.

En los modelos de formaci¶on de precios de activos de capital convencionales (CAPM) todadiferencia en los horizontes sobre los cuales los agentes optimizan, en las frecuencias de transacci¶ono en los v¶³nculos se dejan de lado. Sin embargo, se ha visto aqu¶³ que no hay escalas de tiempoprivilegiadas en estos mercados. Es algo as¶³ como si hubiera una sucesi¶on incesante de estadosdin¶amicos que producen un comportamiento emergente complejo que se pone de mani¯esto en lainvariancia de escala.

En la secci¶on en la que se analiza el mercado de la Libra Esterlina contra el D¶olar Americanose mostraron valores de exponentes caracter¶³sticos calculados sobre otros mercados cambiarios y¯nancieros y, en algunos casos, utilizando otras metodolog¶³as para el c¶alculo de ¯ (v¶ease la TablaNo.1). La similitud que existe entre los valores que se resumen en la tabla, por un lado nos sorprendey, por el otro, nos plantea la pregunta sobre el origen de esta regularidad emp¶³rica. Por lo general,cada mercado posee un arreglo institucional determinado, que lo diferencia de los dem¶as, ya sea porlas reglas de la operatoria o por la composici¶on de los agentes que en ellos operan. Sin embargo, ent¶erminos estad¶³sticos, la din¶amica que subyace es la misma, ya que si suponemos que la evoluci¶onpuede ser descripta por un proceso estoc¶astico caracterizado por un vuelo de L¶evy, las propiedadesde este paseo al azar son las mismas para todos los casos, y en diferentes instantes de tiempo,puesto que el exponente cr¶³tico, determinante del tipo de evoluci¶on, es el mismo en todos los casos.Esta a¯rmaci¶on pareciera dar lugar a una suerte de \super-ley" que gobierna la din¶amica de losmercados independientemente de las caracter¶³sticas de cada caso particular. La posibilidad de queexista o no este tipo de \super-ley" es un tema que parece merecer una discusi¶on m¶as amplia enfuturas investigaciones.

De todos modos, la presencia de un proceso in°acionario persistente produce una anomal¶³aque se pone de mani¯esto a trav¶es de la ruptura de la invariancia de escala temporal. Esta diferencia


en el comportamiento respecto de los mercados que funcionan en contextos estables nos sugiere queesa \super-ley", de existir, tiene validez limitada. En este sentido, m¶as que pensar en la posibilidadde que exista una ley general que rige el funcionamiento de los mercados, ser¶³a m¶as ¶util suponerque los mercados son sistemas din¶amicos que pueden agruparse en \clases de universalidad". Estees un concepto que surge de la Termodin¶amica Estad¶³stica y parte de la idea de que sistemas demuy distinta ¶³ndole poseen caracter¶³sticas similares cuando alcanzan un punto cr¶³tico cercano auna transici¶on de fase. La \hip¶otesis de universalidad" a¯rma que todos los fen¶omenos cr¶³ticos 13,es decir, todos los procesos que transcurren cerca de una transici¶on de fase, pueden ser divididosen \clases" diferenciadas por la dimensionalidad del sistema y por el grupo de simetr¶³a de lospar¶ametros de orden. En cada \clase de universalidad", las propiedades cr¶³ticas de los sistemasque la componen, son id¶enticas o, al menos, son una funci¶on continua de unos pocos par¶ametros[110]. Si los mercados desarrollan su din¶amica cerca de un estado cr¶³tico cabe preguntarse cu¶al esel par¶ametro de control que los lleva invariablemente a ese punto. Durante los ¶ultimos a~nos se habarajado la hip¶otesis de que muchos sistema naturales se auto-organizan cerca de un punto cr¶³ticosin mediar par¶ametros de control que los conduzcan a ese estado. Esto signi¯ca que el estadocr¶³tico es el ¶unico atractor de la din¶amica. Vimos que este tipo de sistemas han sido bautizadoscon el nombre de sistemas cr¶³ticamente auto-organizados. En [20, 21, 22] se muestra una aplicaci¶onecon¶omica y en Dab¶us et al [55], se plantea la posibilidad de que los procesos in°acionarios estenauto-organizados criticamente). El ejemplo protot¶³pico de estos sistemas es la \pila de arena".

Vimos que la presencia de un proceso in°acionario persistente produce la ruptura de lainvariancia de escala temporal. La raz¶on por la que esto ocurre se sustenta sobre dos ideas b¶asicas:

a) La heterogeneidad de los comportamientos de los agentes se ve reducida por el sesgo delproceso in°acionario. El proceso de alta in°aci¶on, al ser visto como un fen¶omeno cr¶onico,condiciona la independencia estad¶³stica que suele suponerse respecto del arribo de nueva infor-maci¶on. Los agentes act¶uan sobre la base de sus expectativas y esta conducta se homogeinizasobre todo el conjunto de agentes, sesgando el comportamiento global del mercado cambiario.

b) Los comportamientos in°acionarios se modi¯can en forma epis¶odica. Los episodios de hiper-in°aci¶on, si bien poco frecuentes, producen un cambio sustancial en el comportamiento delos agentes del sistema. Adem¶as, se sabe que las grandes °uctuaciones generalmente vienenseguidas de momentos de \calma". Esta evidencia parece soportar la hip¶otesis de la in°aci¶oncomo un proceso \escalonado", marcado por episodios de r¶apidos cambios en los compor-tamientos.

13En Termodin¶amica Estad¶³stica, cuando un sistema se encuentra en un punto cr¶³tico posee °uctuaciones quetienen lugar en todas las escalas de magnitud, ya que la longitud de correlaci¶on se hace in¯nita y por lo tanto todaslas escalas contribuyen a determinar el valor de las funciones termodin¶amicas. Por esta raz¶on, los fen¶omenos cr¶³ticosmuestran una invariancia frente a cambios de la longitud de escala (Kadano®, 1976) [110].

Cap¶³tulo 6

Conclusiones

Cuando una se~norita visit¶o el estudio de Matisse dijo\Est¶a bien, pero los miembros de esta mujer son demasiado largos",

el artista respondi¶o, \Madame, Usted est¶a equivocada.Esto no es una mujer, esto es una pintura".

E. H. Gombrich

Gran parte del contenido que se desarroll¶o en esta tesis ha consistido en describir variosexperimentos computacionales basados en el enfoque constructivo utilizando \agentes arti¯cialesadaptativos". Estos experimentos exhiben patrones din¶amicos que surgen de la acci¶on colectivade sus componentes y no pueden ser entendidos en t¶erminos del comportamiento simple de cadauna de sus partes. Recordemos a continuaci¶on todos los t¶opicos desplegados en la tesis. Luego deun cap¶³tulo introductorio en el que se mostraron los resultados m¶as relevantes de la teor¶³a de lossistemas din¶amicos complejos, se desarroll¶o un modelo muy simple en el que los agentes econ¶omicosformulan sus expectativas sobre el comportamiento futuro del sistema a trav¶es de dos mecanismosposibles (uno de tipo \forward-looking" y el otro \backward-looking"). El modelo permit¶³a la mi-graci¶on din¶amica entre ambos mecanismos seg¶un la \performance" relativa de cada uno y el uso delprincipio de m¶axima entrop¶³a, que fue descripto con cierto grado de detalle. Si bien el modelo ten¶³auna estructura sumamente simple se logr¶o mostrar que para diferentes valores de los par¶ametrospod¶³a tener lugar todo tipo de comportamiento din¶amico, ya sea convergencia a equilibrios, ciclosl¶³mite, inestabilidades y hasta caos detemin¶³stico. El objetivo de este modelo era mostrar quecuando se incorpora heterogeneidad en los mecanismos de formaci¶on de expectativas, la evoluci¶ondel mismo puede dejar de ser mon¶otono y simple a pesar de que las ecuaciones estructurales sonlineales. La complejidad que se deriva de estos resultados nos obliga a re°exionar sobre la impor-tancia que tiene la forma en que se procesa la informaci¶on relevante en los mecanismos prospectivosque necesariamente deben contener los modelos econ¶omicos.

La simplicidad de este modelo, que posee muy pocos grados de libertad junto al hecho deque admita comportamientos extra~nos nos permiti¶o considerar la relevancia de la teor¶³a del caosen modelos econ¶omicos discretos de pocas variables end¶ogenas. Nuestra cr¶³tica a la construcci¶onde modelos econ¶omicos con caos determin¶³stico, mostr¶o que en muchas ocasiones la aparici¶on deeste tipo de din¶amicas es tan s¶olo un artefacto del modelo que no tiene ning¶un correlato con ladin¶amica econ¶omica que se desea estudiar.

Posteriormente, y sosteniendo la hip¶otesis de que el comportamiento de los agentes es porlo general heterog¶eneo y que la coordinaci¶on no debe presuponerse se introdujo al lector en elconcepto de lo que denominamos como \Sistemas Econ¶omicos Desordenados". Tomados a partirde un an¶alogo que surge en la f¶³sica te¶orica de materia condensada, mostramos que estos sistemastienen, como consecuencia de la propia din¶amica, comportamientos emergentes que dan lugar ala auto-organizaci¶on del sistema en su conjunto. Mostramos luego que, debido a las limitacionescognitivas que poseen los agentes econ¶omicos que tratan de realizar proyecciones sobre el sistema enel que ellos act¶uan y por razones instrumentales, es posible realizar una representaci¶on algor¶³tmicade sus mecanismos de decisi¶on. Los algoritmos evolutivos de aprendizaje y las redes neuronales

143

144 Cap¶³tulo 6. Conclusiones

resultan ser una representaci¶on simpli¯cada de los mecanismos de aprendizaje de los agentes. Poresta raz¶on se los describi¶o en detalle.

Hecho esto, se construy¶o un modelo computacional muy simple de intercambio descentrali-zado en el que operan agentes arti¯ciales adaptativos que aprenden mediante algoritmos gen¶eticos.El prop¶osito del modelo era entender los procesos de b¶usqueda y relajaci¶on al equilibrio competi-tivo sin realizar ning¶un tipo de supuesto sobre c¶omo deber¶³an comportarse los agentes sino que sepermiti¶o que ¶estos puedan adaptarse e interactuar libremente sin imponer comportamientos pre-establecidos. Se mostr¶o que muchas veces, antes de alcanzar el equilibrio, el sistema pod¶³a transitarpor estados metaestables que larga duraci¶on, avalando la idea de que muchas veces es necesarioentender a los sistemas econ¶omicos a partir de sus estados transicionales y no tanto en t¶erminos desus estados de equilibrio.

Una vez estudiada, desde m¶ultiples perspectivas, la representaci¶on del comportamiento delos agentes econ¶omicos cuando intentan pronosticar la evoluci¶on del sistema en el que operan, fuenecesario analizar la interacci¶on que tiene lugar entre ellos. La formulaci¶on de modelos internosde apredizaje no alcanza para entender la din¶amica de un sistema econ¶omico ya que muchas vecestienen lugar comportamientos relacionados con la propia interacci¶on, por ejemplo en los fen¶omenosde contagio y los efecto de manada. Estas situaciones son particularmente relevantes en el estudio deestados transicionales y cambios de r¶egimen. A lo largo del cap¶³tulo 4 se trataron estas cuestiones.En una primera instancia, utilizando algunos resultados que provienen de la f¶³sica de materiacondensada, estudiamos la din¶animca de un sistema en el que los agentes no tienen capacidad deaprendizaje sino que est¶an sujetos a la in°uencia local de las decisiones tomadas por otros agentesque pertenecen a su vecindad, y as¶³ sucesivamente. Mostramos anal¶³ticamente que, en este tipo desistema, existen transiciones de fase que van del orden al desorden y viceversa, que existen estadosde se denominan como frustrados, que multiplican la cantidad de atractores globales del sistema.Tambien se muestr¶o a que cuando los par¶ametros tienen valores cr¶³ticos tales que el sistema seencuentra en las cercan¶³as de una transici¶on de fase, sus indicadores macrosc¶opicos observables secomportan como leyes de potencias de tales par¶ametros.

M¶as adelante, en el mismo cap¶³tulo se mostr¶o construye un modelo que relaciona la inter-acci¶on entre los mecanismos de difusi¶on de expectativas y los procesos de aprendizaje individual.El modelo nos permiti¶o entender la relaci¶on que existe entre los mecanismos globales y locales decoordinaci¶on de las decisiones tomadas por m¶ultiples agentes. El esquema utilizado se basa en unmodelo desarrollado por Brain Arthur, denominado como \Bar Attendance Model". El modelo nospermiti¶o estudiar los procesos de coordinaci¶on en condiciones de heterogeneidad con agentes locali-zados espacialmente. El modelo construido es particularmente ¶util para entender el funcionamientode muchos mercados en los que tiene lugar una suerte de \econom¶³a de aglomeraci¶on" en dondelos efecto de congesti¶on son uno de los determinantes de la din¶amica (por ejemplo, en las corridasbancarias). El modelo integra el esquema de aprendizaje evolutivo utilizado en el cap¶³tulo 3 y losresultados que se obtuvieron al estudiar el proceso de interacci¶on local entre agentes, al comienzode este mismo cap¶³tulo 4. Para realizar un estudio comparativo, se analiz¶o el proceso de auto-organizaci¶on que tiene lugar con y sin interacciones locales. Primeramente se analiz¶o el modelo¯jando el valor de los par¶ametros ex¶ogenos relevantes y, posteriormente, se permiti¶o que alguno deellos pueda evolucionar como consecuencia de la propia din¶amica del sistema.

A lo largo del ¶ultimo cap¶³tulo se estudian, en un contexto m¶as general, a los sistemas dis-tribuidos. A modo de ejemplo, se mostr¶o c¶omo a partir de un aut¶omata celular es posible derivaruna ecuaci¶on macrosc¶opica de difusi¶on. Luego se realiz¶o una descripci¶on de los sistemas deno-minados como auto-organizados cr¶³ticamente. Vimos que estos sistema de¯nen series temporalesque poseen un espectro de potencias que se denomina como ruido correlacionado 1=f . Esta esuna propiedad esencial de muchas series temporales naturales y econ¶omicas, como se muestra m¶asadelante. El proceso estoc¶astico que da lugar a este tipo de series lleva el nombre de vuelos deL¶evy y las distribuciones de probabilidad inherentes son las distribuciones estables. La vinculaci¶onentre esta particular caracter¶³stica de muchas series temporales y los sistemas distribuidos no es

6.1. La mano invisible: De la perplejidad a la complejidad 145

arbitraria. Se trata de conocer a partir del estudio de series temporales ciertas caracter¶³sticas dela micro estructura de estos sistemas. Y, a su vez, procuramos entender qu¶e tipo de serie tem-poral tiene lugar para determinada estructura de interacciones locales en sistema con agentes eninteracci¶on.

Utilizando, a modo de ejemplo, el an¶alisis de series temporales tomadas de la evoluci¶on deltipo de cambio de varios pa¶³ses se analizaron estas propiedades. Se mostr¶o estas series que poseenla propiedad de autosimilaridad y que muchos indicadores observables se comportan como leyes depotencias, tal como se demostr¶o que ocurre en los sistemas distribuidos cerca de una transici¶on defase. Para completar el estudio, se analiz¶o la evoluci¶on del tipo de cambio de la moneda argentinamostrando que, debido a la deriva in°acionaria, tiene lugar una ruptura de la autosimilaridad oinvariancia de escala. Este comportamiento an¶omalo motiv¶o la formulaci¶on de varias conjeturasque se enunciaron al ¯nal del cap¶³tulo.

Hemos intentado mostrar de manera ordenada que la descripci¶on de algunos sistemas apartir del enfoque constructivo puede ser una herramienta de estudio ¶util y que es posible recrearalgunos hechos estilizados que se ponen de mani¯esto en gran cantidad de sistema econ¶omicos.La ventaja fundamental de estos modelos, que se constituyen como un verdadero laboratorio dean¶alisis, radica en el hecho de que es posible estudiar sus comportamientos en condiciones tantonormales como extremas. No permiten tambi¶en comprender mejor c¶omo acontecen los cambiosde r¶egimen y estudiar sus estados transicionales. En general, los modelos de pocos grados delibertad se conciben para estudiar una fase particular del sistema que se desea comprender. Con lautilizaci¶on de modelos constructivos es posible estudiar las transiciones entre distintas fases en lasque se encuentran tales sistemas. Por esta raz¶on, este tipo de esquema model¶³stico est¶a llamadoa constituirse como una util¶³sima herramienta de apoyo de aquellos modelos que se estudian atrav¶es de experimentos de interacci¶on con seres humanos, lo que se ha denominado como econom¶³aexperimental.

Para completar el estudio, se intent¶o, cuando fue posible, contrastar los resultados a los quese llegaron con hechos estilizados obtenidos a partir del estudio de series temporales. Tal fue elcaso del estudio de la crisis bancaria del Tequila y de los mercados cambiarios en general.

6.1 La mano invisible: De la perplejidad a la complejidad

Si nuestra intenci¶on fuese interpretar la llamada \mano invisible" de Adam Smith a la luz delenfoque que brindan los sistemas complejos adaptativos, podemos a¯rmar que este viejo conceptohace referencia al \orden emergente", que surge de la operaci¶on causal de las interacciones en el sis-tema de intercambios. Entonces resulta factible a¯rmar que la aparici¶on del orden espont¶aneo y susintentos por explicarlo son uno de los temas que la ciencia econ¶omica ha venido tratando desde suscomienzos como disciplina de estudio sistem¶atica. Los economistas han comprendido muchas de laspropiedades que surgen del procesamiento distribuido en un sistema complejo. Se han hecho claraslas limitaciones a las que est¶a sometido un plani¯cador centralizado cuando pretende coordinar losplanes y las acciones de quienes conforman el sistema. Haber entendido estas restricciones implica,de manera impl¶³cita, comprender las limitaciones epistemol¶ogicas de las descripciones sujetas alenfoque anal¶³tico o \top down". Sin embargo, es cierto tambi¶en que muchos economistas han sidoreacios a utilizar simulaciones computacionales con agentes m¶ultiples. La raz¶on fundamental deesta actitud se basa en el hecho de que los sistemas complejos se construyen desde componentessimples, tal vez demasiado simples desde la visi¶on de un economista ortodoxo.

La necesidad de desarrollar modelos a partir de elementos interactuantes simples se sus-tenta en el principio b¶asico de construcci¶on jer¶arquica de la complejidad. Lo que motiva a muchoseconomistas a desautorizar este tipo de enfoque se debe en parte a lo arraigado que se encuentrael postulado de racionalidad, y a trav¶es de ¶este, la agregaci¶on que supone la existencia de agentesrepresentativos. La cr¶³tica principal al concepto de complejidad jer¶arquica se sostiene en la su-posici¶on de que los agentes econ¶omicos comprenden cabalmente los entornos en que operan. Los


modelos basados en esta idea no pueden dar lugar a comportamientos emergentes o efectos de largoalcance a partir de interacciones descentralizadas y por lo tanto no puede haber posibilidad de queexistan ajustes de mercado auto-reguladores y end¶ogenos u otras formas de retroalimentaci¶on gob-ernadas por mecanismos de adaptaci¶on interna. Todav¶³a no se ha formulado un modelo adecuadoque muestre c¶omo funciona la tradicional \mano invisible" que, desde hace m¶as de 200 a~nos, sesupone que opera.

El enfoque presentado en esta tesis, si bien preliminar, muestra una l¶³nea de investigaci¶on quepodr¶a ayudar a entender algunas de estas cuestiones fundamentales de la organizaci¶on econ¶omica.Tal vez este tipo de modelos no sean tan rigurosos como los modelos hipotetico - deductivos nitengan la capacidad de ser contrastados con datos emp¶³ricos como ocurre con los modelos inductivosque provee la econometr¶³a, sin embargo tienen la virtud de guiar nuestra intuici¶on y permitirincrementar la comprensi¶on de algunos hechos estilizados.

La teor¶³a de la complejidad computacional ha mostrado que muchos sistemas no puedenreducirse a una representaci¶on anal¶³tica, sin embargo los economistas m¶as ortodoxos han supuestoque los sistemas econ¶omicos deben ser estudiados a trav¶es de la construcci¶on de sistemas din¶amicosde muy pocos grados de libertad. No existe aun un teorema general por que cual un sistemacomplejo de muchos grados de libertad pueda reducirse a uno de unos pocos. Por otro lado,los avances que han tenido lugar en computaci¶on permiten hoy estudiar sistemas din¶amicos demuch¶³simos grados de libertad. La ciencia econ¶omica est¶a comenzando en estos a~nos a exploraresta metodolog¶³a que abre una vasta gama de posibilidades.

6.2 Complejidad espacial en los sistemas econ¶omicos

Uno de los problemas que enfrenta la modelizaci¶on bottom - up se relaciona con la estructuratopol¶ogica de la red de decisiones e interacciones sobre la cual se desarrolla la din¶amica. Duranteestos ¶ultimos a~nos han comenzado a explorarse las consecuencias que produce la estructura deconectividad que vincula a los agentes sobre el comportamiento agregado 1. El enfoque de los sis-temas complejos y los modelos basados en agentes m¶ultiples, tal vez permitan ayudar a exploraralguno de estos t¶opicos. No obstante, debemos destacar que la estructura topol¶ogica de un sistemade interacciones reales no posee una trama simple ya que es consecuencia de un complej¶³simo sis-tema de motivaciones intersubjetivas y adem¶as no tiene un car¶acter est¶atico, sino que evolucionapermanentamente y se incrementa al producirse las innovaciones aplicadas a la tecnolog¶³a de lascomunicaciones pues permite fortalecer nuevos v¶³nculos de interacci¶on entre todos los agentes 2.Hasta hoy, los modelos constructivos relacionan la localidad con una ubicaci¶on f¶³sica bien de¯nida,sin embargo, es evidente que esta concepci¶on tiene validez limitada. Las estructuras de organizaci¶onque poneen de mani¯esto en los modelos de vidrios de spin poseen una organizaci¶on jer¶arquica de-nominada como ¶arboles ultram¶etricos y parecieran servir tambi¶en para estudiar algunos sistemasde origen econ¶omico. Otra consideraci¶on importante relacionada con la estructura espacial de lared de interacciones en la econom¶³a se basa en la idea de localidad de las variables y par¶ametros.Es dable suponer que un mercado descentralizado no admita la convergencia a un ¶unico precio deequilibrio si se supone que el sistema soporta permanentes perturbaciones locales. Las elasticidadesa los cambios de precio no son homog¶eneas en el espacio. Es probable que el enfoque construc-tivo provea de alguna intuici¶on para entender estos comportamientos no uniformes del sistema deinteracciones espacialmente extendido.

1A partir de este tipo de problem¶atica relacionada con el comercio electr¶onico, las tecnolog¶³as aplicadas a lascomunicaciones, el funcionamiento del sistema ¯nanciero globalizado, el comercio internacional, su relaci¶on con lasempresas multinacionales, el \dinero electr¶onico", etc., ha surgido una nueva sub-disciplina de la econom¶³a: laeconom¶³a de redes o network economics; cabe destacar que durante el a~no 1999, se ha creado una nueva revistainternacional que lleva el nombre de Netnomics.

2Algunos autores como Silvia London [128] sugieren que la evoluci¶on de la estructura topol¶ogica de los sistemasse constituye como parte del conjunto de meta-reglas que evolucionan siguiendo constantes de tiempo distintas deaquellas caracter¶³sticas por la din¶amica \normal" del sistema.

6.3. Complejidad temporal: escalas de tiempo y tiempos intr¶³nsecos 147

6.3 Complejidad temporal: escalas de tiempo y tiempos intr¶³nsecos

Si vas a tomar al tiempo en serio: No hay tiempo.Goethe (personaje) en El lobo estepario

Hermann Hesse

El tratamiento que la ciencia econ¶omica ha hecho del tiempo ha sido hasta ahora bastantelimitado. El tiempo en tanto variable independiente que cuanti¯ca el ordenamiento de las accionesecon¶omicas y vincula a las decisiones inter-temporales, deber¶³a ser, en s¶³ mismo, un tema de estudiopara la teor¶³a econom¶³a. Los modelos econ¶omicos usuales suelen suponer que el tiempo se sucedede manera secuencial y que los agentes econ¶omicos trazan sus planes ¶optimos a partir de °ujostemporales que siguen una forma consistente y sincronizada con los planes de otros agentes. Losprocesos de optimizaci¶on y los modelos que suelen utilizarse no dependen de una unidad de tiempoparticular. En los mercados reales, los agentes econ¶omicos no operan en todos los instantes de unarueda de mercado y, en todos los modelos, el cort¶³simo plazo queda fuera del an¶alisis econ¶omico.Adem¶as, como se ha mostrado en el modelo de coordinaci¶on por mecanismos locales y globales(secciones 3.6 y 4.2), la adaptaci¶on y el aprendizaje involucran impl¶³citamente constantes de tiempoy velocidades de ajuste distintas que las que corresponden al tiempo de¯nido por el reloj o elcalendario. Es sabido que cuando existen °uctuaciones macroecon¶omicas, los horizontes sobre loscuales los agentes optimizan se modi¯can seg¶un los niveles y frecuencias de las °uctuaciones. Porejemplo, en un contexto de alta in°aci¶on la velocidad con que se revisan los planes se altera seg¶un sunivel y es posible que se produzca una transici¶on que parte de una estructura de toma de decisionesracional (basada en el uso de la informaci¶on disponible) hacia el ajuste autom¶atico \adaptativo"[93]. La reducci¶on del horizonte temporal, debido a la existencia de perturbaciones, lleva impl¶³citaadem¶as una limitaci¶on sobre la utilidad de la informaci¶on disponible del pasado. Durante estadostransicionales la memoria que se posee del comportamiento pasado del sistema pierde su utilidad(v¶ease la secci¶on 4.2.3 del cap¶³tulo 4.2) 3. Entonces no queda claramente de¯nida una unidad detiempo subjetiva que rija la toma de las decisiones.

Algunos autores suponen que los mercados poseen un tiempo intr¶³nseco que poco tiene quever con el tiempo cronol¶ogico [146]. Ellos a¯rman que cuando un mercado est¶a \deprimido" osea, cuando la frecuencia con que se realizan transacciones es baja, deber¶³a contraerse la unidadde tiempo para el tratamiento anal¶³tico, mientras que en el caso contrario, cuando el mercado esmuy vol¶atil, la unidad de tiempo deber¶³a dilatarse. Estas teor¶³as ampliar¶³an la concepci¶on deltiempo psicol¶ogico de los agentes al \tiempo psicol¶ogico del mercado". Una vez m¶as, y comoproducto de la interacci¶on de los agentes, tiene lugar la aparici¶on de un comportamiento emergenteque rige la din¶amica del agregado como un todo que surge de la auto-organizaci¶on de elementoscorrespondientes a una jerarqu¶³a m¶as simple. Pensando a la econom¶³a en su totalidad como lasuperposici¶on de muchos mercados acoplados, la \unidad natural" de tiempo involucrada en ladin¶amica agregada tampoco tendr¶a una relaci¶on un¶³voca con el tiempo propio de cada mercadoparticular. Podr¶³amos especular que el tiempo en los sistemas econ¶omicos (y tal vez en todoslos sistemas naturales) tiene una naturaleza telesc¶opica o fractal en el sentido que es necesarioredi¯nirlo seg¶un el orden de magnitud sobre el cual se realiza el estudio.

Estas conjeturas altamente especulativas ponen en evidencia que el tiempo y su tratamientocomo tema en s¶³ mismo, no ha sido profundamente considerado en la teor¶³a econ¶omica. Quedar¶apara el futuro abordar esta tem¶atica, por cierto apasionante y compleja.

3Seg¶un una ley formulada por Allais [2] la gente olvida a la misma tasa con que descuenta el futuro. Esta ley dalugar a la existencia de un tiempo propio diferente del tiempo cronol¶ogico.


6.4 Comportamiento adaptativo, memoria y predicci¶on

\Un deseo aqu¶³,una memoria de all¶a. Recuerdo con todas mis vidas

por que olvido."Alejandra Pizarnik

La representaci¶on anal¶³tica m¶as usual del comportamiento de los agentes econ¶omicos seha organizado entre dos extremos. Por un lado existen modelos de optimizaci¶on intertemporalen horizontes in¯nitos (estoc¶asticos o no) en los cuales el mecanismo que formula expectativas es\forward-looking", generalmente basado en expectativas racionales. En el otro extremo est¶an losmodelos adaptativos o \backward-looking" que utilizan agentes desprovistos de memoria de largoplazo cometen errores sistem¶aticos ya que son incapaces de construir modelos internos m¶as o menosso¯sticados del entorno que tratan de predecir. Entre estos dos esquemas de representaci¶on existeuna in¯nidad de posibilidades que parecen capaces de representar mejor los hechos.

La teor¶³a econ¶omica moderna ha tendido a encasillar los problemas de decisi¶on a partir dela met¶afora deductiva 4, la cual no requiere que los agentes posean memoria de eventos previos. Sinembargo, es m¶as o menos evidente que toda predicci¶on se origina a partir del ordenamiento de lainformaci¶on que se dispone de instantes anteriores. El conjunto de informaci¶on disponible en todoinstante tiene un tama~no por dem¶as vasto. Tratar con esa enorme cantidad de informaci¶on obligaa realizar muchos recortes y despreciar lo que se supone es in¶util ya que no se dispone de tiempoilimitado para decidir ni de una capacidad in¯nita de posibilidades de c¶omputo para obtener elresultado de una decisi¶on. El recorte que se realice resulta una medida del conocimiento que setiene y a su vez del que no se tiene. Estas a¯rmaciones casi literarias no tendr¶³an ning¶un sentidoen un mundo perfectamente racional.

El n¶ucleo duro de la macroeconom¶³a moderna se basa en la construcci¶on de modelos conagentes representativos en los que las leyes de movimiento del sistema como un todo est¶an dadaspor la soluci¶on de algunos problemas de optimizaci¶on y en general se basan en la hip¶otesis deexpectativas racionales. Sin embargo, y debido al car¶acter cada vez m¶as so¯sticado de los modelos,los agentes racionales deber¶³an concebirse como capaces de resolver problemas no computables y nose especi¯can dentro de los modelos los costos derivados de esta capacidad de c¶omputo ilimitada niel tiempo necesario para alcanzar la soluci¶on. Adem¶as, muchos problemas pueden ser indecibibleslo cual implica que el comportamiento racional no siempre pueda ser predecible. No es cierto quese agrega complejidad construyendo modelos con agentes representativos que resuelven problemascada vez m¶as so¯sticados. La complejidad es el resultado de la interacci¶on de muchos elementossimples. Agentes econ¶omicos que interct¶uan y operan con un men¶u de estrategias muy simplespueden dar lugar a complej¶³simos patrones de comportamiento. Basta recordar que el \juego de lavida" exhibe patrones din¶amicos que lo asemejan con una computadora unviersal capaz de emularcualquier comportamiento por complicado que este sea.

La econom¶³a consiste en una enorme jerarqu¶³a de problemas de decisi¶on. El enfoque cons-tructivo de los modelos basados en agentes m¶ultiples y la utilizaci¶on de algoritmos de inteligenciaarti¯cial distribuida concibe a la econom¶³a como una red de procesadores en interacci¶on, cada unode ellos dotados de una menor capacidad de procesamiento de la informaci¶on que el requerido porun procesador centralizado que intenta resolver el problema de asignaci¶on global. Desde esta visi¶on,basada en din¶amica de poblaciones, la adaptaci¶on se mani¯esta en una asignaci¶on diferencial seg¶unel ¶exito de cada agente. En biolog¶³a esto corresponde a la denominada e¯cacia reproductiva.

La habilidad de reconocer patrones es un aspecto esencial de la inteligencia humana. Esesencial puesto que nos permite tratar con informaci¶on incompleta en la que no existe un ¶unicoproceso de inferencia capaz de interpretarla. Puesto que el conocimiento que se puede obtener delos patrones utilizados en una inferencia es limitado, la con¯anza en esas inferencias es tambi¶enlimitado entonces nos vemops cont¶³nuamente obligados a actualizar nuestros patrones en formainductiva.

4V¶ease la secci¶on 3.6.1 del cap¶³tulo 3.6.

6.5. Hacia una epistemolog¶³a de la complejidad: De las estructuras a los Procesos 149

6.5 Hacia una epistemolog¶³a de la complejidad: De las estructuras

a los Procesos

\Cada cosa es la celebraci¶onde ninguna cosa que la sostiene."

John Cage

Solemos pensar, esquem¶aticamente, en t¶erminos de un mundo de cosas separadas dispuestasen un espacio independiente. Damos por sentado que estas cosas independientes \se causan" entres¶³, \se in°uyen"rec¶³procamente a medida que \se desplazan" por el espacio y atraviesan una seriede estados est¶aticos de cambio. La ciencia suele limitarse a descubrir \cosas" sustanciales, porde¯nici¶on cuidadosamente divididas la una de la otra, lo cual \explica" el mundo real. El idealismolas denomina ideas y el materialismo las llama part¶³culas elementales. Partimos de la hip¶otesis deque nuestro mundo es una estructura formada por \ladrillos" s¶olidos de muchas formas y tama~nos,totalmente independientes del observador; entendemos que cada concepto que representa uno dedichos ladrillos, su relaci¶on con los dem¶as o sus actividades excluye de¯nitivamente su opuesto osu negativo. Las formas de estos ladrillos son ¯jas, mutuamente excluyentes y, en consecuencia,inmutables. Presuponemos que los cambios tienen lugar cuando una \cosa" se convierte en \otra".El modo en que experimentamos y medimos el tiempo consiste en dividirlo en momentos com-putables, cada uno de los cuales est¶a separado aunque, de una manera abstracta, es id¶entico a losdem¶as, por muy grandes o in¯nitamente peque~nos que querramos hacerlos.

Desde la perspectiva de la teor¶³a de los sistemas complejos esta imagen es esquem¶atica yhasta grosera. Aunque acepta que, de la realidad m¶ovil el pensamiento humano puede deducirconceptos ¯jos que se re¯eren a las cosas y a sus estados y reconoce que pueden ser ¶utiles, ver-daderamente no hay modo de reconstruir la movilidad de lo real mediante la adici¶on de conceptos¯jos. Por ende, el elemento m¶as importante, el ¶unico que importa, siempre est¶a excluido de las ideascorrientes que la mayor¶³a tiene, ideas en las que basamos nuestros mundos y mediante las cualesintentamos aceptarlos. Toda conceptualizaci¶on est¶atica es, en ¶ultima instancia, parcial. La teor¶³ade los sistemas complejos se ocupa de comprender una red sin costuras de movimiento y cambioininterrumpidos, una red llena de ondulaciones, olas, vibraciones y \ondas estacionarias" transito-rias. El observador es, en s¶³ mismo, funci¶on y parte de dicha red. Nunca se detiene, jam¶as se vuelvesobre s¶³ misma y ninguno de sus modelos, de los que podemos tener instant¶aneas conceptuales, esreal en el sentido de permanente.

Los objetos y los acontecimientos del mundo s¶olo son formas y fases que duran lo su¯cientebajo una forma general para que las consideremos unidades. Todo lo compuesto est¶a sometido alcambio. Por pretender aferrarnos a los conceptos est¶aticos, nos cuesta capturar esta idea. Pero sitodo est¶a conectado con todo lo dem¶as, c¶omo se puede llegar a explicar algo? La explicaci¶on esmostrar c¶omo las cosas se relacionan con otras cosas. Las propiedades de una parte surgen de lamanera en que est¶an relacionadas con las propiedades de otras partes. No se puede esperar explicarlas propiedades de ninguna parte a menos que se acepten las explicaciones aproximadas. Lasexplicaciones aproximadas signi¯can que se est¶an tomando en cuenta algunas de las interconexionespero no todas. Los modelos que justi¯can esta tesis parten de pronunciados recortes de los atributosde los componentes que constituyen los sistemas que se quisieron estudiar. Se avanza incluyendom¶as y m¶as atributos, pero nunca se tendr¶a el cuadro completo. Desde la perspectiva de los sistemascomplejos volvemos a con¯rmar que no hay ninguna verdad permanente y no hay verdad absoluta,en el sentido de una identidad entre la descripci¶on y la cosa descrita.

\Lo que es real no se puede controlarLo que no es real, se puede controlar. "

Vladimir Nobokov

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Auto-organización en Sistemas Económicos (Tesis Doctoral - Andres Schuschny_

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