ESCUELA SECUNDARIA TECNICA 118

NOMBRE: Jimenez Perez Brisa

“NUMEROS AUREOS”

Profre: Luis Miguel Villarreal

Grupo: 3 B

Fecha: 25/10/12

Que es un numero “Áureo”…

INTRODUCCION

En este trabajo hablaremos sobre los numeros Aureos su relacion con la naturaleza y otras aplicaciones Ya que en

cualquier cosa u objeto podemos encontrar este numero y lo mas importante La Serie de

Fibonnacci.

El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:2

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad”

Sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza.

Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una

importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas

obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los

estudiosos de las matemáticas y el arte.

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:

El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.

Cálculo del valor del número áureo:

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:

multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

que es el valor del número áureo, equivalente a la

relación

Serie Fibonacci…

Historia

La sucesión de Fibonacci en términos de conejos.Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era , que produce explícitamente los números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.1

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".2

Número de Mes

Explicación de la genealogía

Parejas de

conejos totales

Fin del mes 0

0 conejos vivos.0 parejas en total.

Comienzo del mes 1

Nace una pareja de conejos (pareja A).

1 pareja en total.

Fin del mes 1

La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.

1+0=1 pareja en total.

Fin del La pareja A da a luz a la pareja B. 1+1=2

mes 2 Se vuelve a cruzar la pareja A.parejas en total.

Fin del mes 3

La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.

2+1=3 parejas en total.

Fin del mes 4

Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.

3+2=5 parejas en total.

Fin del mes 5

A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.

5+3=8 parejas en total.

Fin del mes 6

A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.

8+5=13 parejas en total.

... ... ...

Fin del mes 12

... ...

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.3

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que

compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Definición recursiva

Chimenea con la secuencia de FibonacciLos números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones

Esto produce los números

%%

Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en Matemática discreta.[editar]Representaciones alternativas

Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

[editar]Función generadora

Una función generadora para una sucesión cualquiera es la función , es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

(4)

Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

[editar]Fórmula explícita

La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales

y El polinomio característico de esta relación de recurrencia es , y sus raíces son

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes y satisfacen la ecuación anterior cuando y , es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como

(5)

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

de manera que la ecuación (5) se reduce a

(6)

Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional . De hecho, la relación con este número es estrecha.

[editar]Forma matricial

Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

Conociendo a y , al aplicar la fórmula anterior veces se obtiene

(7)

Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba.

y más aún

(8)

Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.

[editar]Propiedades de la sucesión

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números

de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo).Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly4 dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

% La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.

% Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, , .

% Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo , para cualquier .

% La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet).

Si y , entonces y

% Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir

% Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás.

% La suma de los primeros números es igual al número que ocupa la posición menos uno. Es decir

% Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:%

Actividad… Sopa de letras

A f t j i w d f Y c a o i u f v mf j y M n s g r g U t m l w z x Ke r t y a u r e o h i o s a h m nz f w r t m q p t m f d x n l p ñw v g i r a s o l j w y u n p y al c s w t y u i b m d a e f u e da q e v b g j 8 0 m h w o p d n zi s u c e s i o n l u c a s j c bd t s h s b j k e r e c v g h u yi w r b d a s y t j a v h a s v ng a a l e a l g o r i t m o t e ra d f c g r y i a v z m h e t u wn g a z x b k d e s j e z r y l an m s r m u l a e x p l i c i t a

a) Aureo b) Fibonnanccic) Formula explicitad) Forma marcial e) Sucesion lucasf) Algoritmos