1

Relación de problemas: Tema 3

1.- Una barra rígida de 1 m de longitud, cuyo peso es despreciable, está sostenida

horizontalmente en sus extremos por dos hilos verticales de la misma longitud; uno de

ellos es de acero y el otro de cobre, siendo sus secciones rectas de 1 mm2 y 2 mm

2

respectivamente. ¿En qué punto de la barra ha de suspenderse un peso W para producir:

a) igual esfuerzo en ambos hilos? b) igual deformación unitaria en ambos hilos?

1

2

acero

cobre

==

10 2

1

10 2

2

20.0 10

12.8 10

acero

cobre

E E Nm

E E Nm

−

−

= = ⋅

= = ⋅

1 2=ℓ ℓ

2

1

2

2

1

2

s mm

s mm

=

=

?/x = 1 2

1 2

)

)

l l

l l

a

b

σ σε ε

==

a) ll l

FE E

sσ ε ∆= ⋅ = =ℓ

ℓ

( )

1 2 1 11 2

1 2 2 2

11 2

2

1

2

F F F s

s s F s

F D xF x F D x

F x

σ σ= ⇒ = ⇒ = =

−= − ⇒ =

1 11 1.5

2 2 1.5

D x DD x x x

x

− ⇒ = ⇒ = + = ⇒ =

1

66.71.5

x cm⇒ = =

b)

1 21 2 1 2

1 2

l lε ε ∆ ∆= ⇒ = ⇒ ∆ = ∆ℓ ℓℓ ℓ

ℓ ℓ

1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2 2 2 2 2

1F s F s F E s E s E sF s D x

x DE E E E F E s E s x E s

σε −= = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ + = ⇒

20 1

1 1 56.112.8 2

x x cm⋅

⇒ + = ⇒ = ⋅

2

2.-Un cilindro vertical, de 30 cm de diámetro, contiene agua, sobre cuya superficie

descansa un émbolo perfectamente ajustado al cilindro y atravesado por un tubo abierto

por sus dos extremos, de 1 cm de diámetro. El peso del émbolo, con el tubo, es de 10

kg. ¿Hasta que altura h por encima de la base inferior del émbolo subirá el agua por el

interior del tubo?

( )( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

10

15

0.5

14.163

14.163

atm atmB

B BA A

M kg

R cm

r cm

Mg MgP P P

S R r

P P g Z Z

Mggh

R r

h cmR r

h cm

π

ρ

ρπ

πρπ

===

= + = +−

− = − −

→ =−

= =−

=

3.-Una bola de acero de radio R=1 mm se deja caer en un depósito de glicerina.

a) ¿Con qué velocidad se mueve cuando su aceleración es la mitad de la de un cuerpo

que cae libremente?

b) ¿Cuál es la velocidad límite que adquiere en la caída?

Datos:

Densidad del acero ρo=8.5 g/cm3

Densidad de la glicerina ρg=1.32 g/cm3

Viscosidad de la glicerina η=8.27 P

a)

3 3 3 2

3

/ 2

62

2 26 6

44.18 10 0.77 10 /

3

35.53 10

g

g g

a g

F ma

gmg Rv Vg ma m

g gm mg Vg m Vg

vR R

V R cm v cm s

m g

πη ρ

ρ ρπη πη

π − −

−

==

− − = =

− + − −= =

= = ⋅ = ⋅

= ⋅

∑

3

b)

2

0

6 0

6

1.89 10 /

g

g

F

mg Rv Vg

mg Vgv

R

v cm s

πη ρρ

πη

−

=− − =

−=

= ⋅

∑

4.-La lluvia deja trazas en la ventana lateral del automóvil de 60º de inclinación

respecto a la horizontal.

a) Si el automóvil tiene una velocidad de 60 km/h y no hay viento, ¿cuál es la velocidad

de las gotas de lluvia?

b) Supuestas esféricas y que han alcanzado la velocidad límite, ¿cuál es su radio?

c) ¿Cuánto vale la sobrepresión debida a la tensión superficial?

Datos:

Viscosidad del aire: η = 0.001 Ns/m2

Tensión superficial del agua: σ =7·10-2 N/m

a)

cos60cos60

sin60 60 103.8 /

28.83 /

ctct gc gc

gt gc ct

gt

vv v v

v v v tg km h

v m s

= → =

= = =

=

b)

Si despreciamos la densidad del aire ρo frente a la del agua ρ:

( )�0

02 2

0

2

2 2

9 9

9 9

2 2

0.32

L

L L

v R g R g

v vR R

g g

R cm

ρ

ρ ρ ρη η

η ηρ ρ

=

−= =

= → =

=

4

c)

2

2 2

2 (Ley de Laplace)

2 2 7 1043.75

0.32 10 0.32 10

PR

P Pa

σ

σ −

− −

∆ =

⋅ ⋅∆ = = =⋅ ⋅

5.-¿Cuál deberá ser la superficie de un bloque de hielo (ρhielo =0.922 g/cm3), de 25cm de

espesor, que flota en agua (ρagua =1 g/cm3), para que pueda soportar como máximo el

peso de una persona de 80 kg sin hundirse?

( )

( )

hom

hom

hom

hom

2

0

0

4.1

hielo bre E

aguahielo breaguahielo bre

hielo hielo hielo hielo

bre

agua hielo

P P F

m g m g hS ghS m

m V hS

mS

h

S m

ρρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

+ − =+ − =

→ − = −= =

→ =−

=

��� ��� ���

∆P=43.75 Pa

FE

(mHielo+mHombre)g

5

6.-Un bloque cilíndrico de madera de radio 2cm y altura 10 cm, flota verticalmente

entre dos capas, una de aceite y otra de agua, estando su cara inferior 2 cm por debajo

de la superficie de separación. La densidad del aceite es 0.6 g/cm3.

a) ¿Cuál es la masa del bloque?

b) ¿Cuál es la presión manométrica en la cara inferior del bloque?

2R cm=

10h cm= 30.6aceite ac g cmρ ρ= =

a) ?bm = b b bm Vρ= ⋅

Peso = Empuje hidrostático

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 3 2 33 3

g g1 2 2 cm 0.6 2 8 cmcm cm

ac acH O H Ob

b

m g V g V g

m

ρ ρ

π π

⇒ = ⋅ +

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

85.5bm g=

b)

2 2

2

(cara inferior)

0.6 980 12 1 980 2 9016

m ac ac H O H OP gh gh

Dincm

ρ ρ= + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

o bien:

22

(cara inferior)

85.50.6 980 4 980 10 9016

2 10

m ac ac b bP gh gh

Dincm

ρ ρ

π

= +′

= ⋅ ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅

6

2(cara inferior) 9016mDinP

cm=

7.- Para determinar la densidad de un material insoluble en agua, se toma una muestra

del mismo cuya masa es de 150 g. Sobre el plato de una balanza de resorte se coloca un

vaso de laboratorio que contiene agua; en estas circunstancias la balanza registra 720 g.

A continuación, se introduce la muestra de mineral en el agua, colgada de un hilo ligero,

de modo que no toque ni con las paredes ni con el fondo del vaso y que quede

totalmente sumergido; en estas condiciones la balanza registra 775 g.

a) Calcular la densidad del material.

b) Calcular la tensión del hilo.

a)

1

2

1 1 1 1

150

0.720 7.056

0.775 7.595

0 7.056

m g

N g N

N g N

P N P N N

== ⋅ == ⋅ =

− = → = =

2 1

2 1 2 1min

min

3minmin

2 1min

3min

0

2.73

2.73

E

E

eralagua aguaE eral

aguaeraleral

eral

eral

N P F

F N N N NV

F V g g

m gmg cm

V N N

g cm

ρ ρρρ

ρ

− − == − −==

= = =−

=

b)

0

0.931

E

E

mg T F

T mg F

T N

− − == −

=

7

8.-Un paralelepípedo rectangular de aluminio, cuyas dimensiones son 10 cm x 6 cm x 2

cm, está sometido a fuerzas normales tensoras de 500 kg y 200 kg sobre sus caras de

10x6 cm2 y 10x2 cm

2, respectivamente, y compresoras de 300 kg sobre las caras de 6x2

cm2.

a) Calcule las deformaciones unitarias que experimentan sus aristas, así como el cambio

en el volumen del cuerpo.

b) ¿Cuál es la densidad de energía elástica almacenada en el cuerpo?

V= ( ) 310 6 2 cm× ×

10 2

min

min

7.1 10

0.34

Alu io

Alu io

E Nm

µ

−= ⋅=

a) xxε , yyε , ?zzε = , ?V∆ =

( )1xx xx yy zz

Eε σ µ σ µ σ= − ⋅ − ⋅

5 2

4 2

5 2

4 2

5 2

4 2

300 9.824.5 10 /

6.2 10

200 9.89.8 10 /

10 2 10

500 9.88.167 10 /

10 6 10

xx

yy

zz

NN m

m

NN m

m

NN m

m

σ

σ

σ

−

−

−

⋅= − = − ⋅⋅

⋅= + = ⋅⋅ ⋅

⋅= + = ⋅⋅ ⋅

( )

( )

( )

55

10

55

10

55

10

1024.5 0.34 9.8 0.34 8.167 4.31 10

7.1 10

100.34 24.5 9.8 0.34 8.167 2.16 10

7.1 10

100.34 24.5 0.34 9.8 8.167 1.85 10

7.1 10

xx

yy

zz

ε

ε

ε

−

−

−

= − − ⋅ − ⋅ = − ⋅⋅

= + ⋅ + − ⋅ = ⋅⋅

= + ⋅ − ⋅ + = ⋅⋅

5 5 3 4 30.3 10 0.3 10 10 6 2 3.6 10xx yy zz

VV cm V cm

Vε ε ε − − −∆ = + + = − ⋅ ⇒ ∆ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = ⋅

εxx = -4.31· 10-5

εyy = 2.16 · 10-5

εzz = 1.85 · 10-5

8

b)

( ) 5 51 1 1 124.5 4.31 9.8 2.16 8.167 1.85 10 10

2 2 2 2

elxx xx yy yy zz zz

Eu

Vσ ε σ ε σ ε −= = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

370.94u J m=

9.- Un tubo en U contiene mercurio. Se vierte agua en una de las ramas y en la otra

alcohol hasta que sus superficies están al mismo nivel. La longitud de la columna de

agua es 30.5 cm y la del alcohol 30 cm.

a) Hállese la densidad del alcohol.

b) Añadiendo o quitando alcohol se consigue que las dos superficies de mercurio estén

al mismo nivel; ¿cuánto vale entonces la altura de la columna de alcohol?

Dato: ρ(Hg)=13.6 g/cm3

PA= PB

atm aguaBP P ghρ= +

( )0.5atm HgA alcP P gh gρ ρ= + +′

Al igualar las dos expresiones podemos despejar la densidad del alcohol:

30.5 0.5

30

agua Hg

alc

ρ ρρ

−=

30.79alc

gcm

ρ =

9

b)

aguaaguaalc

alc

gh gh h hρρ ρ ρ= =⇒′′ ′′

10.-Si la densidad del acero es de 7.9 g/cm3 y la tensión superficial del agua a 20ºC es

de 75.6 dyn/cm, ¿ cuál será el diámetro que debe de poseer una esfera de acero para

flotar en el agua con exactamente la mitad de su volumen sumergido?

En equilibrio: P=E+Ftensión

22 2 2ac agua agua agua

V V VVg g l g r g dρ ρ σ ρ σ π ρ σπ= + = + = +

( )

3 3

2

4 4

3 2 6 2

1 1

6 2

12

2

acero agua

acero agua

acero agua

d dg g d

gd

dg

ρ π ρ π σπ

ρ ρ σ

σρ ρ

= +

− =

=−

2.5d mm=

h´´=38.6 cm

10

11.- Un tubo capilar está sumergido en agua, con su extremo inferior a 10 cm por debajo

de la superficie de la misma. El agua se eleva en el tubo hasta una altura de 4 cm por

encima de la superficie, y el ángulo de contacto es cero. ¿Qué presión manométrica se

requiere para formar una burbuja semiesférica en el extremo inferior del tubo?

( )

( )

intint

int

3 2 2

2

2 cos 2 cos

22

2 22 cos

cos

g cm1 980 4 10 cm 13720cm s

1372

extatm

ext atm

atm mf

mf

mf

mf

y RgR gy

P PP P ghR

RP P gh

P P P gh ghR

gy

gyP gh g y h

dinPcm

NPm

γ θ γ θρ ρ

γ γρρ

γ γρ ργ θρ

ρ ρ ρθ

= ⇒ =

− =⇒ − − =

= +

− = = + = +

= + = +

= ⋅ ⋅ + =

=

Superficie circular con el mismo

radio r que el tubo capilar.

θ=0 (ángulo de contacto=0)

cos θ =1

11

12.-Un depósito abierto, de grandes dimensiones y paredes verticales, contiene agua

hasta una altura H por encima de su fondo. Se practica un orificio en la pared del

depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie libre del agua. El chorro de

agua sale horizontalmente y, tras describir una trayectoria parabólica llega al suelo a una

distancia x del pie del depósito.

a) ¿Cuál será el valor de x?

b) ¿Será posible abrir un segundo orificio, a distinta profundidad, de modo que el chorro

que salga de él tenga el mismo alcance que antes? En caso afirmativo, ¿a qué

profundidad?

c) ¿A qué profundidad se debe perforar un tercer orificio para que el alcance del chorro

sea máximo? ¿Cuál será el alcance máximo?

( )

( ) ( )

2

22 2

222

2 22

(Ec. de Torricelli)2

2Tiro parabólico 1

2

221Si 0

2

22 2

xx

y

v gh

x v tv v gh

v gty h gt

H hhy h gt t

g g

H hx gh h H h

g

=

= = == −= −

−= ⇒ = ⇒ = =

−= = −

( )2 h H hx −=

12

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2 2

22 2

Análogamente para el punto 2 :́

2

2

Si 2 2 0

4 2

2 2

Solución válida:

v g H h

x h H h

x x h H h h H h h h H hH h

H H hH h H H hh

h h

′ ′= −

′ ′ ′= −

′ ′ ′ ′ ′= → − = − → − + − =

± − − ± −′ = =

′ =

La otra solución coincide con la situación del apartado a).

c)

( )

( )

max

max

max

2

0

20 2 0

2

22 2

x h H h

dxx

dh

dx H h HH h h

dh h H h

H Hx H

x H

= −

↔ =

−= = ↔ − = ↔ =−

= −

=

13.-Una corriente de agua circula por una tubería de sección circular que se une con otra

de diámetro mitad, situadas de modo que el conjunto forma un ángulo de 30º con la

horizontal. Un manómetro colocado entre dos puntos situados 1 m antes y 1m después

de la unión de los dos tubos indica una diferencia de presión entre ambos de 10 cm de

Hg. ¿Qué diferencia de velocidad presenta el agua entre dichos puntos?

13

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

2 1

2 21 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 2 1

21 1 2 2 1

Puesto que por conservación

del caudal:

De la ecuación de Bernuilli deducimos:

En esta ecuación todos los

2 4 ,

4

10

22

2

215 2

d d S S

v v

P P g h h v v

v v P P g h h

v P P g h h

ρ ρ

ρ

ρ

= → ==

− + − + − =

− = − − + −

− = − − + −

2 1

2 2 21 2 1 3

1

2

2 1

datos son conocidos

deduciéndose:

100 0.1315 13328.94

sin30 2 0.5 1

215 13328.94 2 9.81 1

1026.6578 19.62

0.68 /

2.73 /

2.05 /

mmHg atm Pa

h h D m

v v v

v m s

v m s

v v m s

= =− = = ⋅ =

− = − = − + ⋅ ⋅ =

= − +

==− =

14.-Un líquido que fluye por un agujero practicado en la base de un depósito, produce

un chorro vertical con una forma bien definida. Para obtener la ecuación de esta forma,

suponga que el líquido está en caída libre una vez que sale del tubo. Considere que al

salir, el líquido tiene una velocidad vo, y el radio del chorro es ro. En función de la

distancia (y) que ha caído el líquido desde su salida del tubo, obtenga una expresión

para:

a) La velocidad v del líquido.

b) El radio r del chorro.

Si fluye agua de un tubo vertical con una velocidad de salida v=1.20 m/s,

c) ¿A qué distancia bajo la salida se habrá reducida a la mitad el radio original del

chorro?

a)

2 20 0 0

0

0

2 2 20 0

1 1

2 2

2 2

atm

P v gh P v gh

P P P

h h y

v v gy v v gy

ρ ρ ρ ρ+ + = + +

= =− =

= + → = +

14

b)

( )

2 20 0 0 0

0 0

12 40

12 40

0 20

2

2

A v Av r v r v

r vr

v gy

vr r

v gy

π π

= → =

=+

=+

c)

12 2 24

0 0 0 00 2 2

0 0

151

2 16 22 2

1.10

r v v vr y

gv gy v gy

y m

= → = → =+ +

=

15.-Un aparato típico para hacer demostraciones acerca de la pérdida de carga a lo largo

de un tubo está constituido por un depósito de grandes dimensiones que desagua a la

atmósfera a través de un tubo horizontal de longitud L y sección constante de 8 mm de

diámetro interno. La entrada al tubo tiene los bordes redondeados de modo que pueden

despreciarse las pérdidas de carga menores. A lo largo del tubo, se han dispuesto dos

tubos manométricos verticales. En el instante en el que el nivel del agua está a 25 cm

por encima del tubo, los manómetros indican 19 y 14 cm respectivamente.

a) ¿Cuál es la longitud del tubo? b) En ese instante, ¿cuál es su caudal?

15

a)

2 3 3 4

23 34

2 2

3 3

4

3 4 3 323 23 23

2 3 2 3 2 3

323

2 3

1414 39.2

19 14

14 14 39.2 67.2

67.2

atm

atm

a

Pcte

LP P P P

L L

P P gh

P P gh

P P

P P gh hy L L L

P P gh gh h h

hy L cm

h h

L cm cm cm cm

L cm

ρρ

ρρ ρ

∆ =

− −=

= += +=

−= = =− − −

= = =− −

= + + =

=

b)

( ) ( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 21 2 1 2 1 2 12

21 2 2 12

2 3 23

3 4 34

12 23 34

2 2 21 2 12 2 23 2 2 3 2

2 1 3 2

2 2

1 1

2 2

1

2

1 1 1

2 2 2

2 2 2 9 8 0.25 0.14 2 0.19 0.44

0.0020.44

P P v v gh gh H

P P v H

P P H

P P H

H H H

P P H v H v P P v

v g h h h m s

C v S

ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ ρ

π

− + − + − =

− + − =

− =

− =

= ≠

− = + = + = − +

= + − = ⋅ + − ⋅ =′

= ⋅ = ⋅ ⋅2

6 3

2

1.4 10 0.00142

0.44

0.0014

m s l s

v m s

C l s

−

= ⋅ =

=

=

16

16.-Para medir el caudal de agua que circula por una tubería, se intercala en ésta un

venturímetro cuyos diámetros en el tramo principal y en el estrechamiento son 5 cm y 1

cm, respectivamente. La diferencia de presión entre el tramo principal y el

estrechamiento resulta ser de 0.35 atm. ¿Cuál es el caudal?

( )

22

22

2

2 2

2 22 2 2

2 22 2

5 19.64

1 0.794

0.35 35452.48

1 1

2 2

1

2 1 11

2 2

AA C A C

BB B

BA

B B BA A A

B BA ABA A

BA A AA B B

B B BA A AB

DD D cm S S cm

DD cm S cm

P P atm N m

P gh v P gh v

P P v vS S S

P P v vS S Sv S v S v vS

π

π

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρ

= = → = = =

= → = =

− = =

+ + = + +

− = −−

⇒ − = − =⋅ = ⋅ → =

( )( )

2

2 2

4 4 3

20.34

0.34 19.6 10 6.67 10 0.67

0.67

B BA

A

BA

A A

P P Sv m s

S S

Q v S m s l

Q l

ρ− −

−= =

−

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

=

17.- Suponiendo que parten del reposo, calcule la aceleración inicial y la velocidad

límite de:

a) Una burbuja de aire en agua.

b) Una gota de agua en aire.

c) Una pompa de agua jabonosa, con el 0.1% de su volumen ocupado por el líquido, en

aire.

17

El radio es R=1 mm en los tres casos. Suponga que las densidades del aire dentro de la

pompa y del agua jabonosa son iguales, respectivamente, a las del aire y del agua.

Datos: densidad del agua =1 g/cm3, densidad del aire=1.2g/dm

3, viscosidad del

agua=10-3 DP, viscosidad del aire=18·10

-6 DP

( ) ( )

m

e

m m

lim

23

m lim limm

inicial

=densidad del medio

=densidad de la esfera

= viscosidad del medio

1 0.1

ρ

ρ

F =6 r v η

0

4 26 r v v

3 9

v 0

1

m

e

e me m

me m e

e

R mm cm

E Vg

P Vg

v F

r gr g

P E ma

Vg Vg Va a g

η

ρρπ η

ρ ρπ η π ρ ρ η

ρρ ρ ρ ρ

= ===

⇒ =

−= − → =

= → − =

− = → = −

∑�

a) Burbuja de aire en agua:

:

( )

3 2

3 3

3

23

2 3

lim 2

lim

la burbuja de aire sube

217.5

10 10

1.2 10

1

11 8156.91.2 10

0

0.1 980 1.2 10 12

9 10

2.175

m agua

e aire

m agua

cm s

DP P

g cm

g cm

a g a m s

a

v

v m s

η ηρ ρρ ρ

− −

−

−

−

−

= −

= = == = ⋅= =

= − → = −⋅

< →

⋅ ⋅ ⋅ −=

= −

18

b) Gota de agua en aire:

( )

6 5

3

3 3

32

2 3

lim 5

lim

la gota de agua baja

12084.2

18 10 18 10

1

1.2 10

1.2 101 9.788

1

0

0.1 980 1 1.2 102

9 18 10

120.842

m aire

e agua

m aire

cm s

DP P

g cm

g cm

a g a m s

a

v

v m s

η ηρ ρρ ρ

− −

−

−

−

−

=

= = ⋅ = ⋅= == = ⋅

⋅= − → =

> →

⋅ ⋅ − ⋅=

⋅

=

c) Pompa jabonosa en aire:

( )3 3 3

33

3

3 3

6 5

3 3

3

3 3 3

4 410

3 3

10 0.999 0.9997

1

18 10 18 10

1.2 10

0.1%jabón pompa

i

ii

i aire liq agua i ie

pompa

m aire

m aire

i

aguaaire

r r

rmm

r

V V r r

V r r

DP P

g cm

V V

r

r r r r

π π

ρ ρρ

η ηρ ρ

ρ ρ

−

−

− −

−

− =

= → = →

+ = = + −

= = ⋅ = ⋅= = ⋅

=

− ≃

( )3 3 3 3 3

3

32

0.999 1.2 10 1 0.999 1 2.1988 10 2.2 10

2.1988 10

la pompa jabonosa baja

1.2 101 4.452

0

e g cm g cm

a g a m s

a

ρ − − −

−

−

= ⋅ ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

⋅= − → =

> →

≃

19

( )32 3

lim 5

lim

2.1988 1012.084

0.1 980 1.2 102

9 18 10

0.1208

cm sv

v m s

− −

−

⋅=

⋅ ⋅ − ⋅=

⋅

=

18.-Determinar la fuerza total que actúa sobre la presa y la situación de la línea de

acción de dicha fuerza respecto de la parte inferior de la misma. La anchura de la presa

es de 10 m.

a)

2

2

1226250

P gh

dF L ghdh

L gHF dF

F N

ρρ

ρ

==

= =

=∫

b)

( )

( )3 3 2

0

2

2 3 2 3

1.672 3 3

1.67

H

dM H h dF

H H L gH HM H h L ghdh L g

L gH H HM Fd d m

d m

ρρ ρ

ρ

= −

= − = − =

= = → = =

=

∫

∑

20

19.-Un depósito cerrado, cilíndrico y de eje vertical, de 400 cm2 de base, contiene agua

y, por encima de esta, aire a presión manométrica de 3 atm. Se abre un orificio, cuya

área es de 1 cm2, a una profundidad de 1.5 m por debajo de la superficie libre del agua.

a) Calcular la velocidad de salida del agua.

b) Calcular la fuerza de reacción que produce el chorro sobre el resto del sistema.

a)

1

21 1 2 2 1 2

1

2 21 1 1 2 2 2

2

2 221 2 2

1

2

2 21 2

1

2 1 12 2

2

1

3

1 1

2 2

1 1

2 2

11

2

2 2

1

2

atm

atm

atm

atm atm

P P atm

Sv S v S v v

S

P gh v P gh v

SP P gh v v

S

SP P gh v

S

P P gh P P ghv

S

S

v

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρρ

ρ

− =

= → =

+ + = + +

− + + =

− + = −

− + − +=

−

=

≃

5.25m s

b)

2 12 2 2

2 2

( )

2

63.74

atm

dP d mvF

P P ghdt dtF S v S

S v dtdm

dt dt

F N

ρρ ρ ρρ

= = − +→ = ==

=

21

20.-Un depósito derrama líquido (ρ=1200 kg/m) por un orificio muy estrecho practicado

en la base de una de sus paredes laterales.

a) Si la altura del líquido es de 2 m, y se desprecia la viscosidad, hallar la velocidad de salida por el orificio.

b) Se conecta un tubo recto y horizontal en el orificio. El líquido derrama ahora por el tubo en régimen laminar y viscoso, por lo que la velocidad de salida es la mitad de

la anterior. Hallar la energía disipada en el tubo por kg de líquido que circula, y la

diferencia de presión entre los extremos del tubo (“pérdida de carga en el mismo”).

c) Si el tubo es recto de 1 m de longitud, y de sección circular de 2 mm de radio, calcular el coeficiente de viscosidad del líquido.

a)

1 2

1 2

1

1

0

atmP P P

v

P

ρ ρ ρ

ρ

= == =≃

21 2

12

v PgZ ρ+ + =

( )

22

2

21 2 2

2

2

2

1

2

2 6.26

6.26

h

vgZ

g Z Z v

v gh m s

v m s

+ +

− =

= ==

����

b)

2

2 2

2 2 2 2

(Ver nota)

es del apartado anterior

La energía disipada por kg será:

pérdidas de carga energía/masa

1 ( )

21 1

2 2

1 1 3 314.69

2 2 2 8

14.69

1

2

c

i if

c if

ei if f

e

e

i f

E

m

v v v v

E mv mv

v v v v J kg H

H

H J kg

P P vρ

∆

≡ ≡

=

∆ = −

= − = − = − = − =

= −

− = ( )2 2 2 2 2

la presión es mayor que

1 1 3

2 2 8

17634.42 f i

ei i if f

i fP P

v v v H v

P P Pa

ρ ρ ρ ρ− = − = = −

− = − →

22

c)

( ) ( )4 4

1 2 1 2

2 22

2

3.13 /

8 8

0.2817 10 0.2817 10

m

r mm

v m s

C v S

R P P R P PC

L CL

NsDP

m

π πηη

η − −

===

− −= → =

= ⋅ = ⋅

Nota apartado b):

Al conectar el tubo la presión en 2a ya no es la misma sino que P2a es mayor que la

atmosférica.

1P

ρ �

21 2

1

0

2

v PgZ ρ+ + =

( )

( )

22

2

21 2 2

21 2 2

2 2 2 22 2 2 2

2 2

1 2

1 2

Pero del apartado anterior:

En el tubo horizontal:

por continuidad

2

1

21

2

1 1 3 3

2 2 2 8

v

e

e

a

e a a

ea

e

vgZ H

H g Z Z v

g Z Z v

H v v v v

P P H

v

P PH

ρ

ρ

+ + +

= − −

− =

= − = − = −

− =

=− =

23