A veces las ideas que transforman profundamente las ciencias son tan sencillas que conla vista puesta en el pasado slo se puede exclamar: Es imposible que no se le ocurrieraantes a nadie! Una de esas ideas revolucionarias es la incorporacin de un sistema decoordenadas para estudiar la Geometra. Aunque algunos matemticos griegos comoApolonio de Prgamo o Ptolomeo de Alejandra intuyeron de algn modo esta posibilidad,hubo que esperar al fecundo siglo XVII para que se hiciera realidad. sta es su historia.

por Lolita Brain

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LA GEOMETRACON NMEROS

Si hemos de buscar antecedentes histricos a lossistemas de coordenadas, debemos recordar aApolonio de Prgamo, que en su estudio de lassecciones cnicas intuye el uso de nmeros para suplir

a puntos. Y por supuesto, no podemos olvidar al granastrnomo Ptolomeo, que en su afn de crear un mapade la Tierra utiliza ideas similares a las de Descartes yFermat para posicionar puntos terrestres.

LOS CREADORES

SISTEMA DE COORDENADAS

CMO SE UTILIZAN?

ANTECEDENTES

REN DESCARTES(1596-1650)

La idea elemental de Descartes y Fermat fue la siguiente. Elplano est compuesto por un conjunto de puntos. Tracemosun par de rectas perpendiculares que se cortarn en un puntoque llamaremos origen (O). Llamemos a una de las rectas ejede abscisas (X ) y a la otra, eje de ordenadas (Y ). Por ltimo,tomemos una unidad de distancia sobre cada uno de estosejes. Ya tenemos un sistema cartesiano de coordenadas.

Esta otra ecuacin representa a larecta que pasa por el punto (0,-3)y tiene una pendiente de 3, mayorque la anterior.

Hecho esto, cada punto P delplano, una entidad geomtrica,queda asociado a una parejade nmeros, una entidadalgebraica: sus coordenadascartesianas.Para ello, se trazan paralelas alos ejes OX y OY que cortan enlos puntos R y S a cada uno deellos. La distancia que separaa R del origen O es lacoordenada X (o abscisa de P)y la correspondiente distanciade S al origen, su coordenadaY (u ordenada).

Si observas eldiagrama, el punto Pse corresponde conla pareja de puntos(2,3), mientras queel punto Q est encorrespondenciacon la pareja (-3, 2).A partir de estossupuestos, lasaccionesgeomtricas conellos se realizan atravs deoperaciones con lasparejas de nmeros(2,3) y (-3,2).

MAPA DE LA TIERRA, DE PTOLOMEO DE ALEJANDRA.

Independientemente, ambos dieron un saltocualitativo en la Geometra al comprender queera posible conocer las figuras geomtricasestudiando los nmeros y las ecuaciones.Hasta ellos, la Geometra era heredera de latradicin griega, y el lgebra, de la matemticababilnica y rabe. Con ellos, ambos mundos,el de los nmeros y el de las figuras, intimarontanto que acabaron por ser la misma cosa.

QU INVENTARON DESCARTES Y FERMAT?

PIERRE DE FERMAT(1601-1665)

A dos gigantes de la matemtica, yno slo de ella, debemos la creacinde la que con el tiempo pas a llamarse Geometra Analtica y Geometra Algebraica. Ellos sonnada menos que el filsofo raciona-lista por antonomasia, Descartes, y elirrepetiblematemtico enamorado delos nmeros, Fermat, del que recor-daremos tan slo su famoso TercerTeorema, que trajo de cabeza a toda la matemtica hastahace unos pocos aos, cuando sedemostr su conjetura.

Y AHORA QU HACEMOS?Una vez que tenemos definido elsistema de coordenadas, lasfiguras geomtricas se conviertenen ecuaciones con las incgnitasX e Y.

RECTASEstos elementos fundamentalesde la Geometra se expresan atravs de ecuaciones de primergrado.

Esta ecuacin representa a larecta que pasa por el punto (0,3) y tiene una pendiente (inclinacin)de 2.

Si resolvemos este sistema deecuaciones como se hace enlgebra, determinaremos el puntoen el que se cortan las dos rectas,sin necesidad de dibujar!

AULA .716.05.02EL MUNDOJueves cientfico

C A L C U L O I N F I N I T E S I M A L ?

Aunque estudiemos las curvas, lo que real-mente sabemos utilizar en matemticasson las rectas. La TANGENCIALIDAD es unconcepto que de algn modo todos entende-mos. Lo asociamos a aquello que mantiene uncontacto superficial, se refiere a lo que se tocalo menos posible. Y as es en matemticas.La tangente a una curva es la recta que ms separece a la curva pegndose a ella, de talmodo que para conocer la curva basta con es-tudiar sus tangentes. Y de paso calculamos lasreas que encierran.

LA PALABRA IINNFFIINNIITTEESSIIMMAALL SE REFIERE A CANTIDADES INFINITAMENTE PE-QUEAS, PERO TALES QUE SU AGREGADO COMPONE UNA TOTALIDAD.POR EJEMPLO, LEIBNIZ IMAGINABA UNA CURVA COMO FORMADA POR IN-FINITOS TROZOS RECTOS INFINITAMENTE PEQUEOS E INDIVISIBLES. SUAGREGADO FORMARA LA CURVA.

En nuestra ltima lmina conocimos a Newton y Leibniz, los creadores delCALCULO INFINITESIMAL y descubrimos los detalles que rodearon la polmicade su invencin. Una polmica que lleg ms all de la mera ancdotay que influy determinantemente en el desarrollo posterior de las mate-mticas en Inglaterra -defensora a ultranza de los mtodos de Newton-y la Europa continental, muy especialmente en Alemania, Francia y Sui-za, seguidores del clculo de Leibniz. Por supuesto, ambos eran el mis-mo clculo, pero se interpretaban de modos diferentes.

Cuando la hormiga se mueve a lo lar-go de la cuerda, pasa por todos suspuntos. Su movimiento describiresa curva, y como en cada instante es-tar en un punto de ella, decimos quesu posicin es funcin deltiempo. Si quisiramosaveriguar la velocidadque llevaba en un instan-te determinado, podra-mos proceder calculandola velocidad media que hallevado entre dos puntosy hacer que esos puntosestn muy cerca. Eso eslo que hicieron de modosdiferentes Newton y Leib-niz. Encontraron una for-ma de clculo casi auto-mtico, de modo que, si

se conoce la ecuacin de una curva sepuede averiguar, con unas reglas quedefinieron, cul es su tangente en cual-quiera de sus puntos -cul es la velo-cidad de la hormiga-. Pero esto fue slo

el principio. Si te fi-jas bien, lo que cono-cemos de la realidad,de un fenmeno, sonsus cambios y a partirde ellos tratamos deconocer el propio fe-nmeno. Por ello, loque se conoce de unacurva es cmo cam-bia. El clculo infini-tesimal nos permiteaveriguar todo de lacurva, o sea del fen-meno

por Lolita Brain

Como todos los descubrimientos impor-tantes del pensamiento humano no apa-recen por arte de magia, ni surgen por-que s, Newton y su manzana es tan slo unaleyenda. Y el clculo infinitesimal descu-bierto por Newton y Leibniz es herederode muchos matemticos y pensadores. Lascurvas han sido hijas predilectas de la Ge-ometra desde los tiempos de la Grecia Cl-sica. Asociadas al movimiento y a los fen-menos fsicos, conocer sus propiedades y dis-poner de mtodos que permitieran calcular,por ejemplo, su longitud, fueron proble-mas que perduraron durante siglos. Eudoxoy Arqumedes son los pioneros en tratar conpartes muy pequeas.Por otro lado, desde mediados del sigloXVII, comenzaron a surgir ideas queenfocaran los problemas relativos a lascurvas de otro modo: la manera analticaa diferencia de la geomtrica seguidahasta entonces. Ren Descartes asoci a cada curva unaexpresin algebraica, una ecuacin o fr-mula que la representa formalizando dealgn modo las curvas. Pierre Fermat,otro de los grandes de la poca, encuentraun mtodo para averiguar en qu puntosuna curva se hace mxima o mnima. Y elingls John Wallis consigue probar quelos dos grandes problemas relacionadoscon las curvas -determinar sus tangentes ycalcular el rea que encierran- estn rela-cionados. Wallis, brillantemente, pruebaque para calcular un rea basta conocerlas tangentes de otra curva.Por qu tanto esfuerzo sobre los mismosconceptos? En esta poca, las curvas seinterpretan no slo como entidades geo-mtricas sino como la traza de un mvil,como la expresin del movimiento de unobjeto. Y ello choca con conceptos muyprofundos, porque el movimiento es con-tinuo, sin saltos, y el tiempo tambin escontinuo. Y tratar con cantidades tanpequeas como se quieran -no hay un ins-tante posterior a uno dado, ni hay unpunto siguiente a otro- obliga a calcularcon infinitas cosas.

U N P O C O D E H I S T O R I AXVI - XVII

El nuevo Clculo permiti resol-ver problemas afrontados des-de haca mucho tiempo. Paraque te hagas una idea de lo quepreocupaba por entonces a los ma-temticos, basta un ejemplo: en-contrar la curva que adopta unacadena al ser colgada por sus ex-tremos. Nadie saba cul era. Sehaba aventurado que era un arcode crculo. Leibniz demostr -en laimagen su demostracin- que erauna CATENARIA, curva de la que yate hemos hablado y que se rela-ciona con los logaritmos.

LAS TANGENTES SE OBTIENEN ENCALCULO, TRAZANDO SECANTES YAPROXIMANDO EL PUNTO AL DE TAN-GENCIA.

PPIIEERRRREE FFEERRMMAATT(1601-1665)

RREENN DDEESSCCAARRTTEESS(1596-1650)

JJOOHHNN WWAALLLLIISS(1616-1703)

IISSAAAACC BBAARRRROOWW(1630-1677)

VVOOLLTTAAIIRREE EN REFERENCIA AL NUEVO CALCULO INFINITESIMAL

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AULADE EL MUNDO

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Lo que aparentemente es slo un juego puede convertirse en un valioso modelodonde estudiar dificIles temas matemticos. Un caso estrella es el del juego de lasTorres de Hanoi inventado en 1883 por el matemtico francs Edouard Lucas. Alabrigo de una preciosa leyenda inventada por Lucas, se hizo muy famoso a finalesdel siglo XIX. Con el tiempo la computabilidad hizo uso del juego para estudiar nadamenos que la eficiencia de algoritmos.

por Lolita Brain

CUNTO DURAREL MUNDO?

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En Benars, en la India,cuenta la leyenda queel Dios creador Brah-ma entreg a los monjestres vstagos diamanti-nos sobre una base debronce. Ensart enton-ces 64 discos de oro,todos de dimensionesdistintas, en uno de lasvarillas, dispuestas demodo que el mayor estu-viera en la base y los dis-cos fueran decreciendo en tamao. Y orden entonces a losmonjes que moviesen toda la Torre de Brahma a otro de los vs-tagos de modo que en cada traslado slo un disco dorado fuesemovido, y de modo tal que nunca un disco tuviera bajo s otro demenor tamao. Al final sentenci: Cuando hallais acabado latarea el mundo se vendr abajo como montaa de polvo.

Pn ara que comprendamos por qu este juego puederesolverse recursivamente, vamos a fijarnos en unaTorre de Hanoi con cuatro discos y vamos a solucionarloutilizando el procedimiento que conocemos para el de 3discos. De este modo, para resolver una torre de 4, senecesita solucionar la de 3 discos. A su vez la solucin de latorre de 3 discos, se reduce a la de 2. Esta es la recursin.

Segn la leyenda, el mundo durara el tiempo inverti-do por los monjes en resolver una Torre de Hanoide 64 discos. Si bien, solucionar el juego no es muydifcil, el nmero de movimientos necesarios parahacerlo crece exponencialmente conforme aumentael nmero de discos. Contemos utilizando la recursi-vidad de la solucin.

Un procedimiento se llama ALGORTMICO si puede mecanizarse atravs de un conjunto finito de instrucciones elementales y fijados deantemano. Por ejemplo, la forma que invent Euclides para calcularel mximo comn divisor o cmo preparar un plato culinario.

El proceso algortmico se denomina RECURSIVO cuando su ejecucinrequiere de la repeticin similar de pasos, en cada uno de los cualesel procedimiento se llamaa s mismo para ejecutarse pero sobre valo-res menores de algn parmetro. Es similar a los fenmenos autorre-ferentes.

Este es el estado inicialdel juego con 4 discos.

Tras siete movimientosconseguimos movertres discos a otro vsta-go. La pieza mayor nose ha movido todava.

En un movimiento lle-vamos el disco mayoral vstago vaco.

Con siete movimientosms llevamos la pila detres discos sobre eldisco mayor. El juegoha terminado.

TENA RAZN BRAHMA?

KURT GDEL(1906 -1978)

POR QU ES RECURSIVO ESTE JUEGO?

An continuacin pue-des ver una solucinde las Torres deHanoi, para el caso de

tres discos. Sonnecesarios sietem o v i m i e n t o scomo mnimopara resolvereste sencillo

caso.

AS SE JUEGA

N DE DISCOS N MNIMO DE MOVIMIENTOS

1=20

Estado inicial. Llevar la torre a unvstago vaco.

El primer movimiento es obvio.

El segundo tambin esta decidido.

Hacemos sitio para mover el mayor

Movemos el disco mayor. Por fin!

Ahora volvemos al paso uno.

Repetimos el paso dos y ya est!

2 TORRES DE 2 + 1 MOVIMIENTODEL DISCO MAYOR

2 TORRES DE 3 + 1 MOVIMIENTODEL DISCO MAYOR

2 TORRES DE 4 + 1 MOVIMIENTODEL DISCO MAYOR

3+1+3=7=23-1

7+1+7=15=24-1

15+1+15=31=25-1

7 mvtos.

7 mvtos.

1 mvto.

LA RECURSIVIDAD Y LA LGICA Cuando desde el primer ter-cio del siglo XX, losmatemticos se adentraronen la computabilidad y en laautomatizacin del razona-miento, encontraron un tipoespecial de funciones, lasllamadas FUNCIONES RECUR-SIVAS PRIMITIVAS a partir de lascuales es posible construirtodo el acervo matemticocomputable. Por supuestoestas funciones son recursi-vas no slo por su nombre.

LA LEYENDA

1+1+1=3=22-1

2 TORRES DE 1 + 1 MOVIMIENTO DELDISCO MAYOR

Si los discos son 64, como en la leyenda, se necesitan264-1=18.446.744.073.709.551.615 movimientos.Invirtiendo 1 segundo por movimiento y dedicando 24horas al da se necesitaran casi 6.000 millones desiglos.