AULADE EL MUNDO

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LOS INVENTORESDE LA CINTA AS SE CONSTRUYE UNA CINTA DE MBIUS

Las construcciones ms simples contienen a veces las singularidades ms sorpren-dentes. Una de las superficies ms sencillas que se puede fabricar es la llamada Cin-ta de Mbius. Pero en su simplicidad se halla su magia. Contra lo que nuestra intucindira, es una superficie que slo tiene una cara y en la que no es posible la orientacin:la derecha se convierte en izquierda y viceversa. Es una de las estructuras ms deli-rantes de la Topologa, la Geometra sin medidas, en la que un cuadrado es idntico aun crculo y una rosquilla no se distingue de una taza.

por Lolita Brain

LA MGICA CINTA DE MBIUS

AUGUST FERDINAND MBIUS1790-1868

JOHANN BENEDICT LISTING1808 -1882

La conocida como Cinta deMbius debe su nombre a suinventor, el matemtico yastrnomo August Mbius, quefue alumno de Gauss, y que en1858 la construy y estudi. Sinembargo, este objeto matemti-co fue analizado aos antes porel tambin matemtico alemnJohann Listing. De hecho, stepublic sus resultados antesque lo hiciera Mbius. Parado-jas de la historia.

Recorta unatira de papela l a r g a d a .Marcaremossus vrticescomo A, B, A,y B.

Si doblamos la tira demodo que coincidan losvrtices A con A y Bcon B, y los pegamos,obtendremos una cintacilndrica normal.

La Cinta de Mbius tiene una sola cara.Aunque aparentemente tenga dos, es fcilcomprobar que no es as: toma un lpiz,comienza a trazar una lnea siguiendo la cintay comprobars que encuentra el punto de par-tida sin necesidad de cruzar su borde. El gra-bado de Escher que reproducimos manifiestaesta propiedad: una hormiga que comenzaraa andar por la cinta la recorrera completa-mente volviendo al punto de partida.

Cuando se corta una cinta de Mbius por su centro a todo su largo, se obtienenresultados fantsticos y muy distintos de lo que sucede cuando se corta una tiracilndrica normal. Si cortas longitudinalmente un anillo con tijera, obtendrs dosanillos de menor ancho. No es as con la cinta.

Pero si antes de unirlos vrtices hacemosuna torsin a la tira demodo que A se unacon B y A con B,obtendremos unaCinta de Mbius.

Al cortar la cinta porsu centro (la lnea depuntos rojos) seobtiene una nicatira con dos torsio-nes y no dos anilloscomo cabra esperar.

TORSIN 1

S i pintas una banda central en una cinta de Mbius(en rojo en la figura) y la cortas por su borde,obtendrs una nueva cinta de Mbius roja anu-dada a otra blanca que tiene dos torsiones.

Mbius Strip II, 1963. Xilografa de M.C. ESCHER

Mbius Strip I, 1961. Xilografa de M.C. ESCHER

LA CINTA DE MBIUS TIENE UNA NICA CARA

QU PASA CUANDO SE CORTA UNA CINTA DE MBIUS?

MS MAGIA CON LAS TIJERAS

Una de las propiedades ms interesantes de la cinta de Mbius esque no es orientable. Esto significa que no se pueden definir con-ceptos como derecha o izquierda, arriba o abajo. Y no se puedehacer porque al mover un objeto sobre su superficie, lo que era diestrose convierte en zurdo.

LA CINTA DE MBIUS NO ES ORIENTABLE

Puedes comprobar lo que decimos si construyes una cinta de Mbiuscon plstico transparente o papel cebolla. Dibuja una manopla, porejemplo diestra, y repite su figura trasladndola a lo largo de la cinta.Cuando retorne al punto de partida, la manopla habr cambiado y serzurda. Pero esto no es problema! Un habitante que viviera en la cinta(claro est, sera un ser plano) tambin cambiara su estructura, y sumano diestra se convertira en zurda junto con la manopla.

TORSIN 2

NUEVA CINTA DEMBIUS

CORTA POR EL BORDE DE LABANDA ROJA

CINTA CON DOS TORSIONES

0 1 2 3 4 5

F

Ca

C F F CO

C F F CO

CuboOctaedroRombodocaedroTetrahexaedroTrapezoedroTrioctaedroHexaoctaedroIcositetraedropentagonal

TetraedroTritetraedroDodecaedro trap.HeatetraedroDodecaedro pent.DiploedroDodecaedropentagonaltetartodrico

1-2-3-4-5-6-7-8-

Regular

Tetragonal

Hexagonal

Rombodrica

Rmbica

Monoclnica

Triclnica

a=b=c

a=bc

a=bc

a=b=c

abc

abc

abc

Regular

Tetragonal

Hexagonal

Rombodrico

Digonal

Triclnico

==90

===90

===90

==90, =120

==90

==90

[]90

3 ejes cuaternarios

1 eje cuaternario

1 eje senario

1 eje ternario

1 eje binario

No tiene eje

4 ejes ternarios

11 12 13 14 15

6 7 8 9 10

1 2 3 4 5

Las partculas que forman la materia cristalina adoptan una ordenacin sistemtica. De estamanera aparecen elementos geomtricos, como son ejes (figura de la izquierda), planos(figura central) y centro de simetra

9-10-11-12-13-14-15-

SIMETRIA CRISTALINA

Llamado tambin cbico, se compone de cinco clasescristalinas en funcin de sus simetras: holodrica,hemidrica, dividida en enantiomrfica, hemimrficay paramrfica y, por ltimo, la tetartodrica

Singona ConstantescristalogrficasPoliedrofundamental Sistema

Caractersticasimtrica

CRISTALOGRAFIA

SISTEMA REGULAR

Textos: Manuel IrustaInfografa: F.A. Angus / EL MUNDO

Describe la geometra y estructura interna que toman los cuerposal cristalizar. Los minerales poseen una composicin qumicadefinida y una estructura cristalina determinada que se repiteindefinidamente. Si su aspecto presenta formas de poliedrosgeomtricos ms o menos regulares, entonces constituye un cristal.En las masas minerales que no son cristales no se distinguenexteriormente los elementos de simetra.

Ciertos cristales, como el cuarzo, poseen esta propiedad. Consiste en quehacen girar el plano de vibracin de la luz cuando un rayo polarizado losatraviesa en la direccin del eje ptico. El ngulo girado depende del espesordel cristal y permanece constante para una misma especie mineral cuando losgrosores son iguales. En los dems cristales no sufre variacin alguna y continavibrando segn el mismo plano. El microscopio petrogrfico o de polarizacinestudia las propiedades pticas de los cristales. Consta de todas las partes deun modelo ordinario, y adems, de un sistema de polarizacin que transformala luz natural en polarizada y de otro que analiza la que sale de la lminacristalina.

CRISTALES

POLARIZACION ROTATORIA

PLANOS DE SIMETRIA

CRISTAL CUBICO DE LA SAL DE GEMA

ESPECTRO DE LA LUZ BLANCA

LENTES

LENTE CONVERGENTE

LENTE DIVERGENTE

Este elemento geomtrico divide a la celda fundamental de un mineral, unidad cuya repeticin da la materiacristalina, en dos partes simtricas (como la sal gema en la figura central de abajo)

Este mineral se cristaliza en cubos de color blanco otransparente. Refleja los elementos de simetra queregulan la disposicin interna. Se pueden observar lascaras, las aristas y los vrtices del poliedro

Cuando un haz incide sobre una cara de un prismatriangular se obtienen siete franjas de distintos colores:rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, ail y violeta.Estos componen el denominado espectro de la luzvisible. Este fenmeno se conoce como dispersinde la luz. Si se renen con un segundo prisma seobtiene de nuevo luz blanca

Son piezas de vidrio o de plstico transparente conuna superficie curva que cambian la direccin de laluz (la refractan)

Concentra los rayos de luz que la atraviesa en un puntollamado foco. Se utiliza para hacer lupas, microscopios,

mquinas de fotografiar y gafas para las personashipermtropes

Dispersa los rayos paralelos de un haz de luz que pasaa travs de ella. Las gafas de las personas miopes

llevan este tipo de lente. La cncava, ms gruesa enlos bordes que en el centro, se comporta como

divergente

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Si por alguna razn la matemtica es conocida, si existe algn concepto matemtico quegoce de general conocimiento y respeto, se es el de ecuacin. El trmino en s recojetantas y tan distintas acepciones que han cambiado a lo largo de la Historia que resultaimposible poder englobar todo lo que se dice y se ha dicho sobre las ecuaciones enuna sla definicin. En el origen de su tratamiento sistemtico se haya una palabramgica: el lgebra. Smbolo de generalidad y abstraccin y por ello, de utilidad.

por Lolita Brain

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E l LGEBRA es el corazn dela matemtica. Salpca to-dos sus rincones. En suorigen, nace como respues-ta a la necesidad de resolverecuaciones sistematicamen-te. Es decir, cmo la bs-qeuda de mecanismos quepermitan solucionar proble-mas que aparecen una y otravez bajo la misma forma, ya los que se debe propor-cionar idnticas procedi-mientos de resolucin. Al-Khwarizmi fue un brillanteastrnomo y bibliotecario dela Casa de la Sabiduria y delObservatorio Astronmicode Bagdad. Su brillantez re-side en reconocer la similitudformal de mltiples fenme-nos y dar solucin comn aellos.

La principal obra de Al-Kwarizmi se titula AL-MUJ-TASAR FI HISAB AL-JABR WAL-MUQABALA. Ambos tr-minos son de dificil traduccin y corresponden alos dos mecanismos que utiliza el autor para resol-ver las ecuaciones, y que se corresponden con lastcnicas que hoy utilizamos nosotros. En sus pgi-nas se estudian las soluciones de los seis tiposdistintos de ecuaciones de segundo grado que lconsider.

A l-Kwarizmi utiliza hbiles mtodos geometrcos para encontrar la so-lucin. Cada forma de ecuacin requiere una tcnica distinta parasu solucin. No se consideran las cantidades negativas. Recuerda quelos negativos no llegarn hasta muy avanzado el siglo XVI

A l-Kwarizmi clasifica las ecuaciones de segundo grado en seistipos distintos. Estudia cada caso de modo separado. Aun-que nosotros no las catalogamos de igual forma, se hizo ashasta el siglo XVI.

EL PADRE DEL LGEBRA QU ES UNA ECUACIN?

LA SOLUCIN

OTRO CASO

ABU JA'FAR MUHAMMAD IBN MUSAAL-KHWARIZMI

(HACIA 780 - 850)

x2 9 10x

La definicin de ecuacin puede ser tan simple como una igualdad en la que algunostrminos son desconocidos. Resolver la ecuacin significa por tanto, encontrar los va-lores de esos trminos desconocidos. Sin embargo hay tantos tipos de ecuacionesque esta definicin no basta, aunque es perfectamente vlida para la poca de Al-Khwa-rizmi. Desde tiempos de los babilonios, el hombre se plante problemas cotidianos enlos que deba encontrarse algn valor nmerico . El lgebra aparece cuando esos pro-blemas particulares se estudian con una visin generalista. Hasta bien entrado el siglo XVI,las ecuaciones tenan un significado geomtrico heredado de los griegos.

PGINA DEL TEXTO DE AL-KHWARIZMI, AALL--MMUUJJTTAASSAARRFFII HHIISSAABB AALL--JJAABBRR WWAALL--MMUUQQAABBAALLAA. FUE TRADUCIDO ALLATN POR ROBERTO DE CHESTER EN TOLEDO EN1145

MUQABALA significa comparacin y se relaciona con nuestra tcni-ca de agrupar trminos semejantes.

AL-JABR proviene de jabr que significa restaurar, insertar. Los m-dicos que reparaban los huesos se llamaban algebristas. En las ecua-ciones se corresponde con lo que nostros denominamos pasar al otromiembro. Nuestra palabra LGEBRA proviene de ste trmino.

PASO 1

PASO 2Podemos completar la figura anterior con cua-tro cuadrados de lado 5/2. As podemos poner:CUADRADO GRANDE = 39 U2+ 4 CUADRADOS PE-QUEOSCUADRADO PEQUEO = (5/2) X (5/2) = 25 /4 U2.CUADRADO GRANDE = 39 U2+ 4 X 25/4 U2= 64 U2entonces ya hemos completado el cuadrado yLADO CUADRADO GRANDE = 8 (8 X8 =64)LADO CUADRADO GRANDE = X + 5/2 + 5/2 = X +5.

SOLUCIN: X = 3

25/4 25/4

25/425/4

Dividimos el rectngulo 10x endos partes iguales.

Obtenemos de una mitad el cua-drado amarillo x2. Formamos uncuadrado agregando el rectnguloazul y el cuadrado naranja a la otramitad.

-

La ecuacin anterior se interpreta geometricamete del siguiente modo: un cuadra-do de lado desconocido, xx, tiene una superficie que mide x22. Un rectngulo que tu-viera un lado como el del cuadrado, xx, y el otro de 10 unidades tendra de rea de10x. As pues las reas de esas dos figuras debe resultar igual a 39. El problema esdeterminar el lado del cuadrado original.

AL-JABR Y AL-MUQABALA

10x

EL PADRE DELLGEBRA

Dividimos el rectngulo en cuatro partes iguales manteniendo el lado de medida x.Se coloca alrededor del cuadrado cuyo lado desconocemos. La figura de la de-recha debe tener por tanto un rea de 39 unidades cuadradas (u2).

Si observamos la igualdad entre las reas de las diferentes figuras en las quedescompusimos el diagrama inicial, ya casi tenemos la solucin.

Basta observar que el cuadrado naranja tiene de lado 5 -X ( 5 menos el valorbuscado). Es sencillo ver que x ha de valer 1.

Partimo de la versin geomtrica de la ecuacin, distinta de la anterior.