Hoy en día estamos acostumbrados a disponer de precisos y complejos instrumentos demedida. Pero no siempre fue así. Si repasamos la capacidad instrumental de los ma-temáticos de hace más de dos mil años, comprobaremos que sus herramientas demedida eran rudimentarias. Sin embargo, babilonios, egipcios y griegos llevaron acabo mediciones que aún hoy nos asombran. Dos ejemplos muy significativos son los deEratóstenes y Tales, quienes con tan sólo un bastón y mucha geometría fueron capa-ces de calcular con gran precisión medidas que hoy nos siguen asombrando.

por Lolita Brain

CON UN BASTÓN,BASTA

ERATÓSTENES DE CIRENE

(275 -194 A.C.)

A pesar de la exactitud de su cálculo, éste contiene algunos pequeñoserrores de medición: Alejandría y Syena no están en el mismo meridianoy están algo más cerca que la distancia utilizada por Eratóstenes.Además, Syena no está exactamente en el Trópico de Cáncer, y portanto, el Sol no incidiría perpendicularmente en el solsticio de verano. Porúltimo, el ángulo de la sombra en Alejandría es algo menor que 7o 12’.

Tales de Mileto, uno de los Siete Sabios de Grecia, sabía que dos triángulos rectángulos con ángulos igualesson semejantes. Es decir, uno de ellos se obtiene del otro por ampliación, como al fotocopiar imágenes. Eneste caso la relación de tamaño que existe entre los catetos, los lados perpendiculares, de cada uno de ellos

es la misma. Con esto, ingenió un sencillo método para determinar la altura de la Gran Pirámide de Kéops. Clavóun bastón en el suelo y observó que el triángulo que forma la altura de la pirámide y su sombra era semejante alformado por el bastón y la suya. En la imagen los triángulos ABC y MNP.

De este modo se cumple que el númerode veces que el palo es mayor o menorque su sombra

coincide con las veces que la altura de lapirámide es mayor o menor que susombra.

Midiendo entonces la longitud del bastón,la de su sombra y la sombra de la GranPirámide, la altura de ésta se obtiene conel sencillo cálculo:

que le proporcionó un admirableresultado aproximado de 152 metros enlugar de los 146 m que mide en realidadhoy, aunque la altura de la pirámide havariado con el tiempo.

UNA LECCIÓN DE INGENIO

EL MÉTODO DE ERATÓSTENES

TALES, SU BASTÓN Y LA PIRÁMIDE

Aunque Aristóteles y Arquí-medes habían dado algu-nos valores poco afortu-

nados del tamaño de laTierra, Eratóstenes de Cire-ne, hacia el año 240 a.C.,realizó la primera medidaprecisa de la longitud de lacircunferencia terrestre. Como director de laBiblioteca de Alejandríatuvo acceso a muchainformación para poderresolver este problema.Pero sobre todo, su métodoes un modelo de ingenioque aún hoy nos asombra.Su experimento siguesiendo considerado hoycomo uno de los 10mejores de toda la Historia.Necesitó poco más que unaestaca para calcular lalongitud de la Tierra. Sumedida fue esencialmentela que es, unos 40.000 km.

Eratóstenes, por supuesto, suponía que la Tie-rra era redonda. Sabía que todos los años almediodía del solsticio de verano, cuando

comienza esta estación, el Sol iluminaba el inte-rior de un pozo en Syena, en la actual Assuan,Egipto. Esto le hizo pensar que los rayos del Soleran perpendiculares al suelo en ese momento yen ese lugar. En cambio, en Alejandría, que se encontraba deSyena a 50 jornadas a camello (de 100 estadioscada uno, es decir, a unos 760 km de distancia),los obeliscos sí arrojaban sombra al mediodía delsolsticio. Supuso que los rayos del Sol son paralelos yclavó una estaca en Alejandría dicho mediodía.Midió el ángulo que formaba la sombra quearrojaba y lo estimó en unas 50 veces menorque una vuelta completa de circunferencia(unos 7o 12’). Concluyó entonces que lalongitud de la circunferencia de la Tierra era 50veces la distancia que separaba Syena yAlejandría... o sea 39.000 km ¡Sencillamentegenial!

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

LONGITUD DEL PALO

LONGITUD DE SU SOMBRA

L. DEL PALO

ALTURA DE LA PIRÁMIDE

LONGITUD DE SU SOMBRA

A. DE LA PIRÁMIDE = X (L. SOMBRA PIRÁMIDE)L. DE SU SOMBRA

por Lolita Brain

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

L a primera noción que tenemos de conca-vidad y convexidad se refiere a las figu-ras planas, y dentro de ellas a los polígo-

nos por ser éstos los objetos planos mássencillos. En principio, lo convexo se identi-fica con aquellas figuras que se expandenhacia afuera. En matemáticas, un polígonoes convexo si las rectas que trazamossobre sus lados dejan a todo el polígono enuno de los dos semiplanos. Pero podemosdefinir la convexidad sin hacer alusión alplano que contiene. Observa la figura de la derecha: si unimos cualquier pareja de puntos delpolígono convexo con segmentos, los segmentos AB o BC se encuentran dentro del polígono.

C óncavo y convexo son conceptos comple-mentarios y por ello el uno sin el otro care-cen de sentido.

Cuando tenemos unafigura cóncava, auto-máticamente dispo-nemos de su comple-mentaria que seráconvexa, y viceversa.Todo depende delpunto de vista adopta-do. El polígono blanco es convexo pero elexterior, de color rojo, es una región cóncava.

C uando las regiones que deseamos caracterizar como cóncavas o convexas no son poliédricas,tenemos que acudir a la caracterización de las regiones en función de los caminos rectos que unensus puntos, como en el caso de los polígonos. Tomemos un cilindro como ejemplo. En la imagen de

la izquierda, dos hormigas se hallan en el espacio exterior del cilindro. Si quieren ir una al encuentro dela otra por cualquier camino recto como el pintado en rojo, observamos que el segmento AB se halla enel interior del cilindro, es decir, se sale de la región en la que están las hormigas: el exterior es por tantocóncavo. En cambio, en la figura de la derecha, las dos hormigas están en el interior del cilindro. Ahora,cualquier camino recto que tomen las hormigas (AB) se encontrará siempre dentro. Por tanto, el inte-rior del cilindro es convexo.

Hace semanas hablamos en estas páginas de la concavidad y la convexidad en relacióncon una obra de Escher. Hoy vamos a definir con el rigor de las matemáticas estos dosconceptos que forman parte del lenguaje común: las cucharas, los tubos, los ojos, lascuevas... son objetos a los que referimos la propiedad de ser cóncavos o convexos. Losdos conceptos están íntimamente ligados y son relativos al punto de vista que se tome.Según la geometría, comemos con la región convexa de la cuchara y las órbitas de losojos son convexas como lo es la cueva en la que nos adentramos. Comúnmente, sinembargo, solemos referirnos a dichas partes como cóncavas.

CONCAVIDAD Y CONVEXIDADPOLÍGONOS CONVEXOS

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD PARA SUPERFICIES CURVAS

UNIDOS PARA SIEMPRE

POLIEDROS CÓNCAVOS

L os polígonos son cóncavos si tienen entran-tes. Esto se ejemplifica en matemáticas delsiguiente modo. Observa que si trazas rectas

por los lados del polígono, algunas le dejandentro de un semiplano (el verde en la imagen).Pero si escogemos otro lado, ahora una partedel polígono está en el semiplano verde y otraparte, en el rojo. Observa que al unir dos puntosinteriores A y B, el segmento que los enlaza estácontenido en el polígono, pero si la elección esB y C, una parte del segmento sale de la figura.

POLIEDROS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

S e pueden extender estas nociones a regio-nes tridimensionales del espacio. Los polie-dros también pueden ser cóncavos o con-

vexos. En este caso lo que hacemos es trazarplanos que contengan a cada cara. Si el polie-dro queda en el mismo semiespacio, es conve-xo, como sucede en el prisma verde. En casocontrario, el poliedro es cóncavo, como le pasa

al de colornaranja. Obser-va también queen el poliedroconvexo, laregión interna sepuede comuni-car por segmen-tos que siempreestán en el inte-rior. En cambio,en el poliedrocóncavo, algu-nos puntos nopueden unirsepor segmentossin que éstossalgan del inte-rior del poliedro.

AULADE EL MUNDO

8

Los matemáticos acostumbran a estudiar conceptos que aparentemente son inútiles. Susestudios se quedan dormidos en bibliotecas durante siglos esperando una oportunidadpara despertar. Uno de los casos más famosos y brillantes es el estudio de las curvas pla-nas que aparecen cuando se corta un cono con un plano. Tres siglos antes de nuestra era, APO-LONIO DE PÉRGAMO escribió Las Cónicas: una reflexión completa y exacta de todas estas curvas.Objetos poco útiles para su tiempo y los siglos venideros, permanecieron dormidos hasta elsiglo XVII, cuando Galileo y Kepler los despertaron.

por Lolita Brain

NO ES PERFECTAPERO ES ÚTIL

www.lolitabrain.com

LA ELIPSE

Uno de los procedi-mientos más fáci-les para dibujar una

elipse es el llamado del jar-dinero. Clava dos chin-chetas sobre un papel. Ataa cada chincheta cadapunta de un hilo de cuer-da fina. Con un lápiz tensael hilo. Mueve el lápiz sidejar de mantener el hiloen tensión. Se dibujará so-bre el papel una elipse.Los jardineros las dibujanasí con estacas en lugarde chinchetas, para darforma elíptica a los parte-rres y jardines.

Si la bola se coloca en unfoco y se dispara, rebotaráy pasará por el otro foco.Estará eternamente rebo-tando de un foco al otro. Alos pocos rebotes, sin em-bargo, la trayectoria se con-funde con el eje longitudinal.

Si la bola no se coloca en unfoco, y se dispara de modoque no pase entre los fo-cos, la bola rebotará eter-namente dibujando unpolígono tangente a otraelipse más pequeña perocon los mismos focos.

Si la bola no se coloca en un foco,y se dispara de modo quepase entre los focos, la bolarebotará eternamenteacercándose a ellos perosin rebasar una hipérbolacon los mismos focos

La sombra que arrojauna esfera iluminada esuna elipse, obtenida a

partir del cono de luz que laenvuelve y que tiene su vér-tice en el punto de luz. La es-fera contacta con la sombraen uno de los focos. El otrofoco sería el punto de con-tacto con una esfera colo-cada bajo el plano y envuel-ta por los rayos luminosos.

LAS SOMBRAS Y LA ELIPSE

LA CONSTRUCCIÓN DEL JARDINERO

Veamos la propiedad fun-damental de una elipse.Para ello marca dos pun-tos en un plano separadospor ejemplo 4 centímetros.Les llamaremos los FO-COS de la elipse. Escojeahora un número mayorque 4, pongamos 10. La fi-gura que resulta de colec-cionar todos los puntoscuyas distancias a los fo-cos es 10 es una elipse.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

LA ELIPSE, LA ASTRONOMÍA Y LA FÍSICA

Vamos a jugar al billar en una mesa muy especial con formade elipse, lo que nos proporcionará sorpresas inimaginables.Nuestra mesa además es tan especial que no tienerozamiento, con lo que la bola no dejará de moverse. Laspropiedades especiales de esta mesa de billar, proceden delas propiedades de los focos de la elipse.

EL BILLAR ELÍPTICO

PLANO QUECORTA ALCONO

CONO DEDOSHOJAS

ELIPSE

ELIPSE

RAYOS DE LUZ

HASTA EL SIGLO XVII, las cónicas eran cono-cidas y apreciadas a través de la obra deAPOLONIO DE PÉRGAMO. Pero no fue hasta

el siglo XVII cuando GALILEO GALILEI (1564-1642)probó que los proyectiles se mueven según tra-yectorias parabólicas. JOHANNES KEPLER (1571-1630) por su parte explicó con elipses el movi-miento de los planetas alrededor del Sol, zanjando un debate de siglos. Su PRIMERA LEY pu-blicada en su ASTRONOMIA NOVA, afirma que los pla-netas se mueven alrededor del Sol según tra-yectorias elipticas, en las que el Sol está en unfoco. Pero nunca pudo explicar por qué. éso seríalabor de Isaac Newton.

P

P

Un método muy curioso paradibujar una elipse utiliza sólodobleces en un papel. Paraello, recorta un disco de papeldel tamaño que quieras. Marcaen él cualquier punto que nosea su centro. Ahora sólo tienesque doblar el disco de papel deforma que su borde toque elpunto que has señalado. Mar-ca bien cada doblez, y repiteesta operación muchas veces.Los dobleces dibujan una elip-se en el disco.

SÓLO CON PAPEL Y DOBLECES

Las curvas que llamamosCÓNICAS surgen al cortarun cono con un plano.

Según la inclinación y posi-ción del plano, la curva queresulta es diferente. Son tanimportantes que tienen nom-bres propios: las más famo-sas son la CIRCUNFERENCIA, laPARÁBOLA, la HIPÉRBOLA y la ELIP-SE. El diagrama muestracómo se construye una elip-se: se debe cortar el cono conun plano inclinado respectode la base del cono. El bor-de que aperece recortado enel cono es nuestra curva.