AULADE EL MUNDO

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H abitualmente hablamos en trminos de este cuerpoest bien proporcionado o que esta fachada mantieneunas proporciones hermosas. Qu queremos decircon ello? Sencillamente nos referimos a las relaciones quemantienen las dimensiones de las distintas partes. No setrata de las dimensiones en absoluto, sino a la correspon-dencia que existe entre ellas. Por ejemplo, una personapuede ser muy alta pero estar bien proporcionada o por elcontrario tener unas piernas muy largas en relacin con elcuerpo, aunque sea pequea. Las proporciones se perci-ben con la vista y son en este sentido subjetivas, pero lageometra nos permite cuantificarlas.

L os griegos pensaron sobre culsera el modo ms armnico dedividir un segmento cualquieraen dos par-tes desigua-les. Y esti-maron quela mejor delas formasp o s i b l e ssera aque-lla en la que al comparar el segmen-to completo con la mayor de las par-tes resultara el mismo valor que al

comparar la mayor de las porcionescon la menor. De este modo, la sen-sacin que obtendramos al mirar el

todo y laparte mayorsera la mis-ma que alc ompa r a rlos dos seg-mentos. Yesta es la

razn urea, cuyo valor es 1,618 yal que se le puso de nombre FI (laletra f griega).

Volvemos hoy a un tema que hemos tratado varias veces en estos aos, desdedistintos puntos de vista. Se trata de las relaciones que existen entre las dimensio-nes de diferentes partes de nuestro cuerpo. El concepto de proporcin, que perte-nece a la Geometra ms pura y que cultivaron los griegos en su poca clsica,pas al dominio de la arquitectura, de la pintura y de la escultura bajo el prisma delo que podramos llamar la ciencia artsticao el arte geomtrico. Esto suceda en elRenacimiento. Pero sus premisas tenan mucho que ver con nuestro cuerpo.

por Lolita Brain

www.lolitabrain.com

LAS PROPORCIONESEN EL HOMBRE

Esta razn mide el tamao de lanariz en contraste con la frente.

Aqu la nariz se compara con laparte central de la cara.

Por ltimo relacionamos la mand-bula con el tercio inferior del rostro.

Comparar el largo de la cara consu ancho. Valores superiores a1,6 proporciona rostros alargados

Esta proporcin determina eltamao de la frente en relacincon la parte superior de la cabeza.

Con esta comparacin se esta-blece la amplitud del segmentoinferior del rostro.

Las medidas de la imagen se han tomado deuna radiografa autntica. Observa lo simila-res que son los cocientes al valor 1,6. (Medi-das en centmetros)

QU SON LAS PROPORCIONES?

EL ANLISIS ARMNICO

QU ES LA RAZN UREA?

LOS DEDOS Y LA PROPORCIN UREA

T tambin puedes hacer un anli-sis armnico de tu rostro y sabersi responde o no a la proporcinurea. Para ello necesitas slo unacmara digital, una impresora y unaregla. Procede como te indicamos acontinuacin:1.-Realiza una foto de primer planode tu cara con la cmara. Procuraaparecer en posicin recta respec-to de la horizontal y en el mismo pla-no con la cmara. Toma de referen-cia las imgenes de esta lmina.2.- Imprime la fotografa.3.- Ayudndote de la regla, toma lasmedidas que se reflejan en las seisimgenes de la lmina con la mayorprecisin que puedas.4.-En cada imagen, divide la mayorde las longitudes entre la menor.Cuanto ms se parezcan tuscocientes al valor de FI=1618,mayor ser el parecido de tu ros-tro a uno armnico.Por el contrario, si los valores sonmayores o menores, querr decirque tu rostro es alargado o ancho,que tu frente es amplia o que tunariz es larga. Pero no lo olvides, noes una cuestin de belleza absolu-ta, sino slo un canon de belleza detodos los posibles.

ANALIZA TU ROSTR0

E l anlisis armnico de un rostro es un estudio de las proporciones que existen entre distintas medidas de la carade una persona. Para ello se toman como referencias algunos puntos importantes del rostro y se dividen lasdimensiones correspondientes. As es primordial comparar la longitud de una cara con su ancho, o la distanciaque separa la nariz de la barbilla con la que hay entre sta y los ojos. Las siguientes imgenes te proponen compa-rar una serie estndar de medidas que de siempre se han utilizado para estudiar la armona de una cara. En esteejemplo, si t mismo tomas la medidas sobre las imgenes, comprobars que siempre resulta el valor de FI=1,6.Este retrato es modelo de un rostro en proporcin urea. Pero no todas las caras son tan armnicas.

C omo es obvio, las dimen-siones de los dedos decada persona son distin-tas. Unas personas tienendedos largos y otras, cortos,incluso con independenciade su estatura. Pero en cam-bio, nuestros dedos, los deprcticamente todas laspesonas, obedecen a unpatrn de pro-po r c i onesmuy similar.La longitudde las falan-ges se hallanen proporcinurea. Ququiere deciresto? Que si divi-dimos la longitudde la primera falan-ge de cada dedo denuestras manos entrela longitud de la segun-da, nos resultar un valormuy parecido a 1,6. Y sihacemos lo mismo con elsegundo y el tercer huesosucede lo mismo.

A

longitud AB

longitud AC

longitud AC

longitud CB

C

=

B

Los bebsestn despro-porc ionadospor el grantamao de sucabeza.

AULADE EL MUNDO

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por Lolita Brain

Calcular no siempre ha sido una tarea tan sencilla como la de pulsar un botn y vercmo una mquina nos da la respuesta a ese resultado buscado. El poder efectuar cl-culos precisos y de modo eficiente fue tan importante que esta actividad se denominabael arte del clculo. Durante buena parte del siglo XVI, los matemticos -y no slo ellos-realizaron enormes avances tanto en los algoritmos de clculo como en su mecanizacin.Multiplicar, dividir o efectuar una raz cuadrada poda ser una labor de titanes. De entre to-dos ellos una persona destaca por sus contribuciones: John Napier.

VVeeaammooss ccmmoo ssee eeffeeccttuuaarraa uunnaa mmuullttiipplliiccaacciinn ccoonn llooss HHuueessooss ddee NNaa--ppiieerr.. SSii qquuiissiirraammooss ccaallccuullaarr 225588 ppoorr 117799 pprroocceeddeerraammooss ddeell mmooddoo::

EEnn pprriimmeerr lluuggaarr sseelleecccciioonnaa--mmooss llaass vvaarriillllaass ddee llaass cciiffrraassddeell mmuullttiipplliiccaannddoo:: 22,, 55 yy 88..

DDeessppuuss sseelleecccciioonnaa--rreemmooss llaass ffiillaass ccoo--rrrreessppoonnddiieenntteess aa llaasscciiffrraass ddeell mmuullttiippllii--ccaaddoorr:: 11,, 77 yy 99..

PPoorr llttiimmoo bbaassttaa rreeaalliizzaarr llaassSSUUMMAASS ddee llaass ccaassiillllaass ddiiaa--ggoonnaalleess qquuee ccooiinncciiddeenn((aarrrraassttrraannddoo llaass ddeecceennaass ssiiffuueerraa nneecceessaarriioo))

EEll rreessuullttaaddoo eess 4466..118822 lleeddooddee iizzqquuiieerrddaa aa ddeerreecchhaa..

2816

40

JOHN NAPIER (1550- 1619) Ba-rn de Merchiston, una lo-calidad cercana a Edimburgo,la capital de Escocia. Su padreArchibald Napier fue un noblemuy importante en su poca. In-gres en la Universidad de SaintAndrews -una de las ms anti-guas del Reino Unido- aunqueno lleg a finalizar su gra-duacin, marchando deviaje por Europa. Aunquees conocido por sus con-tribuciones a las mate-mticas, su profundosentido religioso le con-virti en un protestan-te ferviente preocupadoprincipalmente por la teologa. Su libro de 1593

El descubrimiento Completo de la Revelacin de San Juan,en el que atacaba ferozmente al Papa, fue siempre para l lagran obra de su vida. Las matemticas y sus invenciones eran unadistraccin en medio de sus preocupaciones teolgicas.

Aunque la gran invencin de Napier fue la de loslogaritmos, tema que merece un tratamientoindependiente, hoy examinamos una de sus in-teresantes contribuciones a la mecanizacin de losclculos. En su poca el instrumento de clculo uti-lizado era el baco. Con l pueden efectuarse sumas,productos y un largo etctera de operaciones. Pero

su manipulacin no es fcil y s muy tedio-sa . La mente inquieta y utilista de Napier

ingeni, para su propio uso, unas ta-blillas numeradas que tenan unosnmeros inscritos en ellas con lasque efectuaba multiplicaciones. Sesolan confeccionar con marfil demodo que se popularizaron trasla muerte de Napier, con el nom-bre de HUESOS DE NAPIER. Extrao

nombre para un instrumento. Se de-cidi finalmente a publicar su cons-

truccin y uso en su libro Rabdologiaeen 1617, segn l mismo nos dice, ani-mado por sus colegas que quedaban fas-cinados cuando l les mostraba su uso.

0044

88

22

66

00

44

88

22

66

00

11

11

22

22

22

33

33

444x1= 1

4x2= 8

4x9= 36

CCaaddaa vvaarriillllaa eessttnnuummeerraaddaa.. EEnnccaaddaa uunnaa ddee ssuussccaarraass ssee ddiissppoo--nneenn eenn ccuuaaddrraa--ddooss llooss mmllttiipplloossddee ccaaddaa uunnoo ddeellooss pprriimmeerrooss nn--mmeerrooss 00,, 11,, 22......hhaassttaa eell 99.. LLaass ccii--ffrraass ddee llaass ddeeccee--nnaass ssee ccoollooccaann eennllaa ddiiaaggoonnaall ssuuppee--rriioorr yy llaass uunniiddaa--ddeess eenn llaa iinnffeerriioorr..

JJUUEEGGOO DDEE HHUUEESSOOSS DDEE NNAAPPIIEERR DDEELL SSIIGGLLOO XXVVIIIIIIEENN MMAADDEERRAA

1100 00 00 00 00 00 00 00 0000

11 22 33 44 55 66 77 88 9900

22 44 66 88 00 22 44 66 8800

33 66 99 22 55 88 11 44 7700

44 88 22 66 00 44 88 22 6600

55 00 55 00 55 00 55 00 5500

66 22 88 44 00 66 22 88 8800

77 44 11 88 55 22 99 66 3300

88 66 44 22 00 88 66 44 2200

99 88 77 66 55 44 33 22 1100

00 00 00 00 00 11 11 11 11 11

00 00 00 00 11 11 11 22 22 22

00 00 00 11 11 22 22 22 33 33

00 00 11 11 22 22 33 33 44 44

00 00 11 11 22 33 33 44 44 44

00 00 11 22 22 33 44 44 55 66

00 00 11 22 33 44 44 55 66 77

00 00 11 22 33 44 55 66 77 88

00 22 00 00 00 00 00 00 00

22 33 44 55 66 77 88 9900

SSii ccoollooccrraammooss uunn jjuueeggoo ccoommpplleettoo ddee vvaarriillllaass uunnaa jjuunn--ttoo aa oottrraa aappaarreecceerraa llaa ttaabbllaa ssuuppeerriioorr.. EEssttaa ddiissppoossiicciinn ddeellooss mmllttiippllooss ddee llooss pprriimmeerrooss ddiieezz nnmmeerrooss,, ppaarraa ffoorrmmaarruunnaa ttaabbllaa ddee mmuullttiipplliiccaarr,, ffuuee iinnvveennttaaddaa eenn IInnddiiaa yy ppooss--tteerriioorrmmeennttee uuttiilliizzaaddaa ppoorr llooss rraabbeess,, ppeerrssaass yy cchhiinnooss aa ffii--nnaalleess ddee llaa EEddaadd MMeeddiiaa.. EEnn EEuurrooppaa ssee iinnttrroodduujjoo ppoorrIIttaalliiaa aa lloo llaarrggoo ddeell ssiigglloo XXIIVV.. EErraa eell llllaammaaddoo mmttooddooddee mmuullttiipplliiccaacciinn ddee llaa GGEELLOOSSAA.. NNaappiieerr lloo qquuee hhiizzoo ffuueemmeeccaanniizzaarr llaa ggeelloossaa ppaarraa ffaacciilliittaarr ssuu uussoo

LLooss hhuueessooss ddee NNaappiieerr ssee ccoonnssttrruuaann ccoommoo uunn jjuuee--ggoo ddee ddiieezz vvaarriillllaass oobblloonnggaass eenn ccaaddaa uunnaa ddee ccuuyyaassccaarraass llaatteerraalleess ssee iinnssccrriibbaann llaass ttiirraass ddee llooss mmll--ttiippllooss ddee llooss pprriimmeerrooss nnuueevvee nnmmeerrooss.. PPeerroo sseeeemmppaarreejjaabbaann ppoorr ccoommpplleemmeennttooss aa 99,, eess ddeecciirr,, llaassppaarreejjaass ddee ccaaddaa vvaarriillllaa ssuummaabbaann 99.. PPoorr eejjeemmppllooeenn llaa qquuiinnttaa vvaarriillllaa eessttaabbaann iinnssccrriittooss llooss mmllttiipplloossddeell 11,, 22,, 88 yy 77.. SSii oobbsseerrvvaass 11++77==22++88 ((ssoonn ccoomm--pplleemmeennttaarriiooss)) .. AAddeemmss ssee iinnssccrriibbaann iinnvveerrttii--ddooss:: eell 22 yy eell 11 bbooccaa aarrrriibbaa yy eell 77 yy eell 88 bbooccaa aabbaa--jjoo.. EEssttooss rreeffiinnaammiieennttooss mmeejjoorraabbaann ssuu uussoo..

JJOOHHNN NNAAPPIIEERR((11555500 -- 11661199))

JOHN NAPIER no slo crelos huesos en su interspor mejorar losprocedimientos declculo. Ms all delos logaritmos creuna mquina de cal-cular que ampliabalas posibilidades desus huesos y a la quellam Multiplicatio-nis Promptuarium.Con este instrumento,Napier consiguisolucionar el princi-pal inconveniente deluso de los huesos: alcalcular con ellos,haba que anotar lasresultados interme-dios; con el promp-tuario consiguiautomatizar todo elclculo algebraico.Adems introdujocambios en la notacin mate-mtica, un tema

muy relevante en la poca enla que estaba naciendo el

lgebra que hoyconocemos: por pri-mera vez Vieta utili-zaba letras pararepresentar lasecuaciones, la nota-cin decimal -conpunto y coma-empezaba a usarse,los exponentescomenzaban a cau-sar preocupacinentre los matemti-cos. Napier ademsrecopil la trigono-metra de su tiem-po, especialmentela trigonometraesfrica. Schickarddesarroll las ideasde los huesos inven-tando la primeramquina automti-

ca que realizaba cuarto ope-raciones.

WWIILLHHEELLMM SSCCHHIICCKKAARRDD((11559922 -- 11663355))

FFRRAANNCCOOIISS VVIITTEE((11554400 -- 11660033))

lolitabrain@hotmail.com

E L A R T E D EC A L C U L A R

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Infografa: Francisco A. AngusTextos: Manuel Irusta / EL MUNDOFuente: Diccionario Visual OXFORD

Mediante un conjunto de unidades fsicas se establecen los va-lores de los pesos y las medidas que se utilizan a nivel mundial.De este modo, un Sistema Internacional, derivado del siste-ma mtrico decimal, define de forma universal, unificada ycoherente los patrones a emplear. Como excepcin, en los pases de habla inglesa se emplean otras unidades distintas.

Mediante un objeto de precisin de este tipo, quese utiliza en geodesia y topografa, se establecen

los ngulos horizontales y verticales incluso encentsimas de segundo de arco.

TEODOLITO

CALIBRADOR

Instrumento que consta de un astil mvil y dosplatillos, uno para el cuerpo que quiere pesarse y

otro para las pesas que sirven de referencia.

BALANZA

Este reloj de precisin porttil resulta insensible alas influencias externas (diferentes posiciones ytemperaturas variadas). El cronmetro indica eltiempo transcurrido en fracciones de segundo.

PESOS Y MEDIDAS

CRONMETRO

Es un dispositivo mecnico que sirve para medirlongitudes pequeas con cierta precisin. Elcalibrador se ajusta a la anchura del objeto ypuede incorporar una regla con los valores.

Tornillode fijacin horizontal

Nivelador principal

Botn fijador de nivel principal

Botn de ajustehorizontal

Tornillo micromtrico

Botn para ajustar la imagen

verticalmente

Alidada mvil

Placa defijacin

Tornillonivelador

Nivelador de laalidada

Espejoiluminador

Telescopio

Visor

MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOSPrefijo Smbolo Valoryotta (Y) = 1.000 Zzetta (Z) = 1.000 Eexa (E) = 1.000 Ppeta (P) = 1.000 Ttera (T) = 1.000 Ggiga (G) = 1.000 Mmega (M) = 1.000 kkilo (k) = 1.000hecto (h) = 100deca (da) = 10deci (d) = 1/10centi (c) = 1/100mili (m) = 1/1000micro (m) = 1/1.000.000nano (n) = 1/1.000.000.000pico (p) = 1/1.000.000.000.000femto (f) = 1.000 patto (a) = 1.000 fzepto (z) = 1.000 ayocto (y) = 1.000 z

Anilla

SegunderoMinutero Boton de parada

Aguja dedcimas desegundo

Botn de iniciode marcha

TamborHusilloCuerpo

RoscaTuerca de bloqueo

Topes

PesaEsfera

Fiel

Astil

Base

Platillo

Este instrumento se compone de una cintade acero o de tela reforzada y se emplea paramedir longitudes, sobre todo en el caso dedistancias cortas. Se encuentra dividido enunidades del sistema mtrico decimal (me-tros y decmetros) y se en-rolla en una caja o es-tuche circular.

CINTA MTRICA

Magnitud Unidad Smbolo Valor Definicin Otras unidades

Estuche

Bloqueo

Gancho

LONGITUD

SUPERFICIE

VOLUMEN

MASA

TIEMPO El tiemporepresenta una delas magnitudesfundamentalesdentro del mundofsico. El segundoes la unidad detiempo y seestablece a partirde la frecuencia enque un tomo decesio absorbeenerga.

dcada, lustro, siglo,milisegundo, microsegundo,nanosegundo, blink, shake, wink, unidad atmica,elemental, mes sideral, messolar medio, mes lunar, aosideral, ao solar medio,ao Bessel astr., aocalendario, ao tropical...

segundo

minuto

hora

da

semana

mes

ao

s

min

h

d

= 1/60 min

= 60 s

= 60 min

= 24 h

= 7 d

= 1/12 ao

= 365,24 d

La masa es unamagnitudfundamental que semide en gramos,sus mltiplos ysubmltiplos. Elkilogramo es elpatrn primario y sedefine como la masadel cilindro deplatino-iridioconservado enPars.

miligramo, microgramo,hundredweight, tonelada,quintal, arroba, DINA,newton, avogramo, marc,quarteron, slug, hyl, wey,truss, pennyweight, carattroy, libra catalana, libranavarra, libra de vila, grosscwt, net cwt...

gramo

kilogramo

tonelada m.

onza

libra

stone

grano

g

kg

t

oz

lb

= 1/1000 kg

= 1.000 g

= 1.000 kg

= 28,3495 g

= 453,5924 g

= 14 lb

= 65 mg

El volumen suponela medida delespacio ocupadopor un cuerpogeomtrico de tresdimensiones. Seexpresa con unnmero enunidades cbicas:la unidad devolumen se definecomo un decmetrocbico.

cuarto galn, decmetrocbico, centmetro cbico,milmetro cbico, onzalquida, yarda cbica, piecbico, pulgada cbica,bushel, barril de petrleo,barril diario, copa, arroba,fanega, acre-pie, dram,galn ridos...

mililitro

decilitro

litro

metro c.

cucharada

pinta

galn

ml

dl

l

m3

pt

gal

= 1/1.000 l

= 1/10 l

= 1.000 cm3

= 1.000 l

= 0,01479 l

= 0,473177 l

= 3,785412 l

La extensin deuna superficie seexpresa en unadeterminadaunidad de medida.Toda porcin desuperficie tiene dosdimensiones y semide a travs delcuadradoconstruido sobre lalongitud unidad.

rea, yarda cuadrada, millacuadrada, centmetrocuadrado, vara cuadrada,fanega...

milmetro c.

metro c.

hectrea

kilmetro c.

pulgada c.

pie c.

acre

mm2

m2

ha

km2

in2

ft2

A

= 1/100 cm2

= 10.000 cm2

= 10.000 m2

= 100 ha

= 6,4516 cm2

= 0,0929 m2

= 4.046,86 m2

La longitudexpresa cada unade las dimensionesde los cuerpos conuna medida. Elmetro equivale a lalongitud recorridapor la luz de lseren el vaco duranteun tiempo de1/299.792.458 desegundo.

milmetro, decmetro,micrmetro, nanmetro,hectmetro, megmetro,milla nutica, vara, cuadra,legua, versta, braza,cadena...

centmetro

metro

kilmetro

pulgada

pie

yarda

milla

cm

m

km

in

ft

yd

Mi

= 1/100 m

= 100 cm

= 1.000 m

= 25,4 mm

= 0,3048 m

= 0,9144 m

= 1.609,34 m