STOP

60

4, 25 km

STOP 150 m

150 m 10 m

Diseo Grfico: Francisco A. AngusTextos: Manuel Irusta / EL MUNDO

ADVERTENCIADE PELIGRO

REGLAMENTACION

OBRASDeben hallarsesealizadas, de da yde noche

Indica la proximidad y lanaturaleza de un peligrodifcil de ser percibido atiempo, para comportar-se como procede

Establecen las obligaciones,limitaciones o prohibicionesespeciales que deben observarlos usuarios de la va

Clases: de prioridad de prohibicin de entrada de restriccin de paso otras de prohibicin o restriccin de obligacin de fin de prohibicin o restriccin

INDICACIONFacilitan al usuario de la vaciertas informaciones que puedanserle de utilidad

Clases: de indicaciones generales de carriles de servicio de orientacin paneles complementarios otras seales

Las sealizaciones se dividen en varios tipos. Entre ellos,las seales verticales, que figuran en esta lmina, regla-mentan o advierten peligros, o informan acerca de direc-ciones y destinos. Son esenciales en lugares donde existenregulaciones especiales y los peligros no son evidentes.

FIN DE LAPROHIBICIONSeal normalmente de fondoblanco y cruzada por lneasdiagonales

PANELESCOMPLEMENTARIOSSe colocan debajo o en la parteinferior de la propia seal y precisansu significado

Seales de usoespecfico en poblado

1- Distancia al comienzo del peligro o prescripcin2- Extensin de la prohibicin a un lado3- Longitud del tramo peligroso o sujeto a prescripcin4- Aplicacin de prohibicin o prescripcin5- Itinerario con prioridad6- Presealizacin de detencin obligatoria

PROHIBIDOPRECAUCION OBLIGACIONSeales circulares defondo azul, con orla,texto y smbolosblancos

Seales circulares confondo blanco o azul,marco rojo y figuras devarios colores

Seales triangularescon orla roja, fondoblanco y smbolos ennegro

Circulacin prohibida

Circulacin prohibida

Otros peligros

STOP

Interseccin conprioridad

Interseccin conprioridad sobre va a

la derecha

Interseccin con prioridadsobre incorporacin por la

izquierda

Interseccin conprioridad de la

derecha

Semforos

Cruce de tranva Curva peligrosahacia la izquierda

Curvas peligrosashacia la derecha

Resalto Badn

Bajada peligrosa Estrechamiento decalzada por la derecha

Obras Proyeccin de gravilla Paso para peatones

Ceda el paso Detencin obligatoria Prioridad respectoal sentido contrario

Prioridad en sentidocontrario

Entrada prohibida

Entrada prohibida apeatones

Prohibicin de pasarsin detenerse

Limitacin de peso Adelantamientoprohibido

Velocidadmxima

Estacionamiento prohibido

Autopista Fin de prioridad Paso de uno a doscarriles de circulacin

Bifurcacin a la izquierda Fin de carril

Peligro de incendioFin de va rpida Estacionamientoreservado para taxis

Velocidad mximaaconsejada

Puesto de socorro

Autopistas

Lugares de la red viaria

Estacionamientoprohibido los das pares

Paso obligatorio Velocidad mnima Calzada sin salida

Cercana de un pasoa nivel o puente mvil

Paso a nivel sin barreras dems de una va frrea

Fin de lalimitacin de la velocidad

Fin de la prohibi-cin de adverten-cias acsticas

1

3

4

6

5

2

Seales de fin de prohibiciones

AULADE EL MUNDO

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SEALESDE TRAFICO

por Lolita Brain

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

L a primera nocin que tenemos de conca-vidad y convexidad se refiere a las figu-ras planas, y dentro de ellas a los polgo-nos por ser stos los objetos planos mssencillos. En principio, lo convexo se identi-fica con aquellas figuras que se expandenhacia afuera. En matemticas, un polgonoes convexo si las rectas que trazamossobre sus lados dejan a todo el polgono enuno de los dos semiplanos. Pero podemosdefinir la convexidad sin hacer alusin alplano que contiene. Observa la figura de la derecha: si unimos cualquier pareja de puntos delpolgono convexo con segmentos, los segmentos AB o BC se encuentran dentro del polgono.

C ncavo y convexo son conceptos comple-mentarios y por ello el uno sin el otro care-cen de sentido.Cuando tenemos unafigura cncava, auto-mticamente dispo-nemos de su comple-mentaria que serconvexa, y viceversa.Todo depende delpunto de vista adopta-do. El polgono blanco es convexo pero elexterior, de color rojo, es una regin cncava.

C uando las regiones que deseamos caracterizar como cncavas o convexas no son polidricas,tenemos que acudir a la caracterizacin de las regiones en funcin de los caminos rectos que unensus puntos, como en el caso de los polgonos. Tomemos un cilindro como ejemplo. En la imagen dela izquierda, dos hormigas se hallan en el espacio exterior del cilindro. Si quieren ir una al encuentro dela otra por cualquier camino recto como el pintado en rojo, observamos que el segmento AB se halla enel interior del cilindro, es decir, se sale de la regin en la que estn las hormigas: el exterior es por tantocncavo. En cambio, en la figura de la derecha, las dos hormigas estn en el interior del cilindro. Ahora,cualquier camino recto que tomen las hormigas (AB) se encontrar siempre dentro. Por tanto, el inte-rior del cilindro es convexo.

Hace semanas hablamos en estas pginas de la concavidad y la convexidad en relacincon una obra de Escher. Hoy vamos a definir con el rigor de las matemticas estos dosconceptos que forman parte del lenguaje comn: las cucharas, los tubos, los ojos, lascuevas... son objetos a los que referimos la propiedad de ser cncavos o convexos. Losdos conceptos estn ntimamente ligados y son relativos al punto de vista que se tome.Segn la geometra, comemos con la regin convexa de la cuchara y las rbitas de losojos son convexas como lo es la cueva en la que nos adentramos. Comnmente, sinembargo, solemos referirnos a dichas partes como cncavas.

CONCAVIDAD Y CONVEXIDADPOLGONOS CONVEXOS

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD PARA SUPERFICIES CURVAS

UNIDOS PARA SIEMPRE

POLIEDROS CNCAVOS

L os polgonos son cncavos si tienen entran-tes. Esto se ejemplifica en matemticas delsiguiente modo. Observa que si trazas rectaspor los lados del polgono, algunas le dejandentro de un semiplano (el verde en la imagen).Pero si escogemos otro lado, ahora una partedel polgono est en el semiplano verde y otraparte, en el rojo. Observa que al unir dos puntosinteriores A y B, el segmento que los enlaza estcontenido en el polgono, pero si la eleccin esB y C, una parte del segmento sale de la figura.

POLIEDROS CNCAVOS Y CONVEXOS

S e pueden extender estas nociones a regio-nes tridimensionales del espacio. Los polie-dros tambin pueden ser cncavos o con-vexos. En este caso lo que hacemos es trazarplanos que contengan a cada cara. Si el polie-dro queda en el mismo semiespacio, es conve-xo, como sucede en el prisma verde. En casocontrario, el poliedro es cncavo, como le pasa

al de colornaranja. Obser-va tambin queen el poliedroconvexo, laregin interna sepuede comuni-car por segmen-tos que siempreestn en el inte-rior. En cambio,en el poliedrocncavo, algu-nos puntos nopueden unirsepor segmentossin que stossalgan del inte-rior del poliedro.

AULADE EL MUNDO

8

por Lolita Brain

Cuando pensamos en superficies curvadas imaginamos, en general, figurasbien distintas de las rectas. Imaginamos lminas que se torsionan en el espacioy que dificilmente pueden parecerse a lo recto. En muchas ocasiones no es po-sible trazar ninguna recta sobre una superficie: el caso de la esfera es el mssencillo. Sin embargo, hay muchsimas superficies que estn constituidas por in-finitas rectas. Es decir, por cada punto de la superficie pasa al menos una recta queest contenida en ella. Veamos algo sobre este tema.

lolitabrain@hotmail.com

E l francs Monge matema-tiz el arte del dibujo geo-mtrico sis-tematizando losconocimientosque, de algnmodo, se utili-zaban funda-mentando la GEOMETRA DES-CRIPTIVA. La car-tografa y laconstruccin defortificacionesfueron dos cam-pos de aplica-cin. Ademses uno de los padres de la GEOMETRA DIFERENCIAL. Esta

forma de geometra, estudialas superficies acercndose a

ellas a travsdel plano tan-gente a lasmismas. Laspropiedadesde la superfi-cie en gene-ral las que sederivan de sucurvatura seestudian lo-calmente alre-dedor de unpunto a travsde la informa-

cin proporcionada por suplano tangente.

E l genial arquitecto espaol, Fisaces autor de la recientemente de-saparecida Pagoda. Un emble-mtico edificio de la arquitecturaespaola de los aos 60 que utilizen esta particularobra como ele-mento estructu-ral una superficiereglada que no esdesarrollable: elHELICOIDE.

LLaass ssuuppeerrffiicciieess rreeggllaaddaass ssoonn mmuuyy iimmppoorrttaanntteess eenn aarrqquuiitteeccttuurraa yyaa qquuee ppeerrmmiitteennccrreeaarr eessttrruuccttuurraass ccuurrvvaass ccoonn rreeccttaass.. AAss llaass vviiggaass ddee hhiieerrrroo qquuee ssee uuttiilliizzaann eenn llaaccoonnssttrruucccciinn sslloo ddeebbeenn ccoollooccaarrssee eenn lluuggaarr ddee llaass rreeccttaass qquuee ggeenneerraann llaa ssuuppeerr--ffiicciiee.. SSee ggaarraannttiizzaa eell eeqquuiilliibbrriioo yy ssee ssiimmpplliiffiiccaa llaa eessttrruuccttuurraa..

C U R V A S Y R E C T A S :U N R O M A N C E

MMIIGGUUEELL FFIISSAACC

Monge se ayudaba especialmente de la generacin delas superficies. As l hablade superficies cilndricas,cnicas, regladas, desarrollables o

de revolucin. El cilindro por ejem-plo, puede considerarse como el resultado

de hacer mover una recta por una circun-ferencia, o tambin como una circunfe-

rencia que se mueve a lo largo de unarecta. Observa que las GENERATRI-

CES del cilindro, las rectas , estncontenidas en el cilindro. Se dice

que es una superficie RREEGGLLAA--DDAA CCIILLNNDDRRIICCAA. Como adems

se puede obtener haciendo rotarla recta generatriz se dice que es de

RREEVVOOLLUUCCIINN. An hay ms: el planotangente a lo largo de una generatriz no

cambia y por eso se llama DDEESSAARRRROOLLLLAABBLLEE.

HHEELLIICCOOIIDDEESS

Looss hheelliiccooiiddeess ssee ggeenneerraannttaammbbiinn ccoommoo ssuuppeerrffiicciieessrreeggllaaddaass.. EEnn eell ddiiaaggrraammaassee aapprreecciiaa uunnaa hhlliiccee eenn vveerr--ddee jjuunnttoo aa ssuu eejjee rroojjoo.. SSii uunnii--mmooss ccaaddaa ppuunnttoo ddee llaa hhlliicceeccoonn oottrroo ddeell eejjee mmaanntteenniieennddoollaa rreeccttaa hhoorriizzoonnttaall ((rreeccttaass nnaa--rraannjjaass)) llaa ssuuppeerrffiicciiee ggeenneerraa--ddaa eess uunnaa eessccaalleerraa ddee ccaarraaccoollssiinn ppeellddaaooss,, ccllaarroo!! AAss ppoo--ddeemmooss aapprreecciiaarr qquuee eell hheellii--ccooiiddee eess uunnaa ssuuppeerrffiicciiee rree--ggllaaddaa,, ccuuyyaass ggeenneerraattrriicceess ssoonn

llaass rreeccttaass aass ttrraazzaaddaass.. SSiinneemmbbaarrggoo nnoo eess ddeessaarrrroollllaabbllee..SSii oobbsseerrvvaass llaa ffiigguurraa ddee llaa

ddeerreecchhaa.. eenn eellllaa ssee hhaa ttrraazzaa--ddoo uunnaa ggeenneerraattrriizz yy ssoobbrreeeellllaa ttrreess ppuunnttooss.. EEnn ccaaddaa uunnooddee eellllooss eell ppllaannoo ttaannggeenntteeggiirraa hhaacciinnddoossee mmss vveerrttii--ccaall ccuuaannttoo mmss cceerrccaa eesstt ddeelleejjee.. EEnnttiieennddeess aahhoorraa ppoorrqquu eenn uunnaa eessccaalleerraa ddee ccaa--rraaccooll eess mmss sseenncciilllloo ssuubbiirrppoorr llaa ppaarrttee eexxtteerrnnaa qquuee ppoorrllaa iinntteerriioorr??

GGAASSPPAARRDD MMOONNGGEE(1746- 1818)

SSii mmiirraammooss ccoonn aatteenncciinn llaa PPaa--ggooddaa,, vveerreemmooss qquuee ssuu eessttrruucc--ttuurraa eesstt ffoorrmmaaddaa ppoorruunn pprriissmmaa,, ppoorr ccaaddaappllaannttaa ccoonn llaa ppeeccuulliiaa--rriiddaadd ddee qquuee aa ccaaddaappllaannttaa ssee llee pprrooppoorr--

cciioonnaa uunnaa ttoorrssiinn ddee 4455.. DDee eessttaammaanneerraa ssuurrggee eell ppeerrffiill eenn eess--

ttrreellllaa ccaarraacctteerrssttiiccoo ddeell eeddii--ffiicciioo.. PPaarraa eennllaazzaarr ccaaddaaddooss ppllaannttaass ssee uuttiilliizzaannllaass rreeccttaass ggeenneerraattrriicceessddee uunn hheelliiccooiiddee..

EEll hhiippeerrbboollooiiddee ddee uunnaahhoojjaa,, ccuuyyaa ffoorrmmaa ppuueeddeess rree--ccoonnoocceerr eenn llaass ppaappeelleerraass ddeeaallaammbbrree oo eenn llaass cchhiimmeenneeaassddee llaass cceennttrraalleess aattmmiiccaass,,eess uunnaa ssuuppeerrffiicciiee RREEGGLLAADDAA((ccoonnttiieennee iinnffiinniittaass rreeccttaass)),,ddee RREEVVOOLLUUCCIINN ((ssee oobbttiieenneehhaacciieennddoo ggiirraarr uunnaa rreeccttaaqquuee ssee ccrruuzzaa ccoonn eell eejjee))..PPeerroo NNOO EESS DDEESSAARRRROOLLLLAABBLLEE::eell ppllaannoo ttaannggeennttee aa lloo llaarr--ggoo ddee uunnaa ggeenneerraattrriizz ((llaassrreeccttaass)) ccaammbbiiaa..

por Lolita Brain

Las curvas han sido siempre objeto de deseo de los matemticos... y no slo de ellos.Todo el mundo se ha sentido atrado por esas lneas caprichosas que recuerdanobjetos cotidianos y se hallan inmersas en el imaginario colectivo. Ms asombrosoes reconocer que son entidades geomtricas y analticas que los matemticos estu-dian, les asignan ecuaciones y de las que saben poco menos que todo. Estudiadasdesde la antigedad, no es sino hasta el desarrollo del Anlisis Infinitesimal cuandopudimos aprehender todos sus secretos. La cicloide es la solucin a algunos de losretos ms difciles de una de las pocas ms brillantes de la matemtica.

LA CURVA CICLISTA...Y MUCHO MS

DE EL MUNDO

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EL CONCURSO DE LA BRAQUISTCRONA

EL MOVIMIENTO DEUNA RUEDA

Si sobre la llanta de larueda de una bici-cleta haces unamarca con una tiza ycomienzas a pedalear, lamarca dibujar una cur-va al unsono de tu des-plazamiento. Si pudiera-mos visualizarla con unaserie de fotogramas, apa-recera la cicloide, curvaestudiada por Bouvellesen 1501, por Mersenne yGalileo en 1599, porRoberval en 1634, y porTorricelli en 1644, entreotros muchos. Por incre-ble que parezca no eraconocida por los griegos,maestros de las curvas yla geometra.

El dibujo te muestra como se genera: suponiendo que la rueda realiza un giro completo en cua-tro segundos, girar un cuarto de vuelta en cada segundo. En ese intervalo, el punto A pasa a laposicin A1 y el B, a la B1. Suponiendo que la rueda no desliza, la distancia de A a B1 ser la mis-ma que el arco de circunferencia AB.

Y AS SURGE LA CICLOIDESi continuamos movindo-nos en la bicicleta, podre-mos ver la forma completade la cicloide, como te mos-tramos en la imagen. Tras unperiodo de cuatro segun-dos, el punto A habr pasa-do a convertirse en el A4,habiendo dado la rueda unavuelta completa. De igualmodo, el punto B pasar aestar en la posicin B4 y assucesivamente. Roberval yTorricelli demostraron que lalongitud de un arco de cicloi-de, la distancia entre A y A4,es cuatro veces la longituddel dimetro de la rueda.

LA TAUTCRONA DE HUYGENS

El magistral fsico y mate-mtico Huygens demos-tr en 1659 que la cicloideera tambin una curva taut-crona. Esto quiere decir que sidejamos deslizar una canicapor una rampa con forma decicloide, el tiempo que tardaren llegar a su punto ms bajo(o) es el mismo independiente-mente del punto del que se dejecaer (m n o p) Asombroso! Enesto contradijo a Galileo y supndulo y lo utiliz para crearsu famoso y preciso reloj depndulo.

CHRISTIAAN HUYGENS(1629-1695)

Antes de terminar debo alzar mi voz una vez ms como smbolo de admiracinpor la identidad entre la tautcrona de Huygens y mi braquistcrona.[...]La naturaleza tiene tendencia a actuar del modo ms simple y as, la misma cur-va sirve para dos funciones distintas. Johannes Bernoulli. Acta Eroditorum 1697.

BRAQUISTCRONA: es la trayectoria ms rpida para caer bajo la gravedadde un punto A a otro B situado a menor altura. Es la cicloide.

En junio de 1696, Johann Bernoulliret a la comunidad cientfica a resol-ver el problema de la bra-quistcrona antes de lallegada del nuevo ao.Por entonces l ya cono-ca una solucin. Enfecha, slo GottfriedLeibniz entreg una solu-cin correcta. La compe-titividad reinante entre elAnlisis del continentefrente al britnico llev aJohann, bajo inspiracinde Gottfried, a anunciar a

los ms grandes agudos matem-ticos del mundo entero la amplia-

cin de la convocatoria.Cinco soluciones llega-ron. Una era la deJohann. Las restantes lerodean. El Acta Erodito-rum de mayo de 1697public todas las solucio-nes. Una era annima, enlatn y decididamentebreve. Johann reconocien ella a Newton dicien-do: por las garras seconoce al len.

JOHANN BERNOULLI(1667-1748)

JACOB BERNOULLI(1654-1705)

GUILLAUME DE L'HPITAL(1661-1704)

GOTTFRIED W. LEIBNIZ(1646-1716)

SIR ISAAC NEWTON(1643-1727)

EL ERROR DE GALILEO

GALILEO GALILEI(1564-1642)

El primero en interesarse porel problema de la braquist-crona fue Galileo. Solucionprimero el caso de una tra-yectoria lineal, despus en uncamino quebrado y por lti-mo aventur que un trayectocurvilneo braquistcrono erael arco de circunferencia. Fueun error. Aun as, el tiempo lereconocera su labor.

lolitabrain@lolitabrain.com

AULA