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Aula 11 - MQIII

ROLDÃO DA ROCHA

1UFABC

November 13, 2019

ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC

I QED: L = LDirac + LMaxwell + Lint.Dirac/Maxwell:

L = ψ̄(

iγµ∂µ −mc~

I)ψ −

FµνFµν −ecψ̄γµψAµ.

I invariante por

ψ(xν) 7→ eiα(xν )ψ(xν)

Aµ(xν) 7→ Aµ(xν)−1e∂µα(xν)

∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ +iec

Aµ(xν) (derivada covariante).

I ∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ + iec Aµ(xν) (acoplamento mínimo).

I −i~∂µ 7→ −i~∂µ + ec Aµ

L = ψ̄(

iγµ∂µ −mc~

I)ψ −

I invariante por

∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ +iec

I −i~∂µ 7→ −i~∂µ + ec Aµ

L = ψ̄(

iγµ∂µ −mc~

I)ψ −

I invariante por

∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ +iec

I −i~∂µ 7→ −i~∂µ + ec Aµ

L = ψ̄(

iγµ∂µ −mc~

I)ψ −

I invariante por

∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ +iec

I −i~∂µ 7→ −i~∂µ + ec Aµ

i~γµ∂µ −ecγµAµ −mcI4

)ψ = 0 ,

onde Aµ = (A0,−Ai ) e ψ = ψ(r, t) = Ψ(r)e−iEt/~.I

i~γµ∂µ − γµec

(i~ ∂∂x0− e

c A0 −σ ·(i~∇+ e

σ ·(i~∇+ e

−i~ ∂∂x0

+ ec A0

I Portanto (Ec −

ec A0 σ ·

(p− e

−σ ·(p− e

−Ec + e

)Ψ(r)−mcΨ(r) = 0.

)ψ = 0 ,

(i~ ∂∂x0− e

c A0 −σ ·(i~∇+ e

σ ·(i~∇+ e

−i~ ∂∂x0

+ ec A0

I Portanto (Ec −

ec A0 σ ·

(p− e

−σ ·(p− e

−Ec + e

)Ψ(r)−mcΨ(r) = 0.

)ψ = 0 ,

(i~ ∂∂x0− e

c A0 −σ ·(i~∇+ e

σ ·(i~∇+ e

−i~ ∂∂x0

+ ec A0

I Portanto (Ec −

ec A0 σ ·

(p− e

−σ ·(p− e

−Ec + e

)Ψ(r)−mcΨ(r) = 0.

I (1c (E − eA0 −mc2) σ ·

(p− e

−σ ·(p− e

− 1c (E − eA0 + mc2)

)(ΨAΨB

⇒{σ ·(p− e

ΨB = − 1c (E − eA0 −mc2)ΨA

−σ ·(p− e

ΨA = 1c (E − eA0 + mc2)ΨB

I (1) implica:

σ ·(

p−ec

A) ΨB︷︸︸︷(

cE − eA0 + mc2

)[−σ ·

ΨA = −1c

≡Ek︷︸︸︷E −mc2−eA0)ΨA. (2)

σ ·(

p−ec

E − eA0 + mc2

)[σ ·(

p−ec

ΨA = (Ek − eA0)ΨA.

I (1c (E − eA0 −mc2) σ ·

(p− e

−σ ·(p− e

− 1c (E − eA0 + mc2)

)(ΨAΨB

⇒{σ ·(p− e

ΨB = − 1c (E − eA0 −mc2)ΨA

−σ ·(p− e

I (1) implica:

σ ·(

p−ec

A) ΨB︷︸︸︷(

cE − eA0 + mc2

)[−σ ·

ΨA = −1c

≡Ek︷︸︸︷E −mc2−eA0)ΨA. (2)

σ ·(

p−ec

E − eA0 + mc2

)[σ ·(

p−ec

I (1c (E − eA0 −mc2) σ ·

(p− e

−σ ·(p− e

− 1c (E − eA0 + mc2)

)(ΨAΨB

⇒{σ ·(p− e

ΨB = − 1c (E − eA0 −mc2)ΨA

−σ ·(p− e

I (1) implica:

σ ·(

p−ec

A) ΨB︷︸︸︷(

cE − eA0 + mc2

)[−σ ·

ΨA = −1c

≡Ek︷︸︸︷E −mc2−eA0)ΨA. (2)

σ ·(

p−ec

E − eA0 + mc2

)[σ ·(

p−ec

σ ·(

p−ec

E − eA0 + mc2

)[σ ·(

p−ec

ΨA = (Ek − eA0)ΨA. (3)

I Baixas energias: |eA0| � mc2, Ek � mc2.

I Termo c2

E−eA0+mc2 : Taylor

E − eA0 + mc2=

E − eA0 + mc2

1 +Ek−eA0

Ek − eA0

2mc2+ · · ·

I Em 1a. ordem c2

E−eA0+mc2 ≈ 12m .

σ ·(

p−ec

E − eA0 + mc2

)[σ ·(

p−ec

ΨA = (Ek − eA0)ΨA. (3)

I Termo c2

E − eA0 + mc2=

E − eA0 + mc2

1 +Ek−eA0

Ek − eA0

2mc2+ · · ·

I Em 1a. ordem c2

E−eA0+mc2 ≈ 12m .

σ ·(

p−ec

E − eA0 + mc2

)[σ ·(

p−ec

ΨA = (Ek − eA0)ΨA. (3)

I Termo c2

E − eA0 + mc2=

E − eA0 + mc2

1 +Ek−eA0

Ek − eA0

2mc2+ · · ·

I Em 1a. ordem c2

E−eA0+mc2 ≈ 12m .

σ ·(

p−ec

E − eA0 + mc2

)[σ ·(

p−ec

ΨA = (Ek − eA0)ΨA. (3)

I Termo c2

E − eA0 + mc2=

E − eA0 + mc2

1 +Ek−eA0

Ek − eA0

2mc2+ · · ·

I Em 1a. ordem c2

E−eA0+mc2 ≈ 12m .

I Portanto a Eq. (2) pode ser escrita como

Hamiltoniano de Pauli-Schrödinger−eφ/c︷︸︸︷1

[σ ·(

p−ec

ΨA = (Ek − eA0)ΨA

ΨA −e~

2mcσ · BψA = (Ek − eA0)ΨA

I Como φ/c = A0, segue-se que

HPauli-SchrödingerΨA = Ek ΨA.

I Portanto a Eq. (2) pode ser escrita como

Hamiltoniano de Pauli-Schrödinger−eφ/c︷︸︸︷1

[σ ·(

p−ec

ΨA = (Ek − eA0)ΨA

ΨA −e~

2mcσ · BψA = (Ek − eA0)ΨA

I Como φ/c = A0, segue-se que

HPauli-SchrödingerΨA = Ek ΨA.

I Agora,

ΨB = −c

E − eA0 + mc2σ ·(

p−ec

(3)≈ −

σ ·(

p−ec

≈2m√

2mcΨA

I ΨB é suprimido na aproximação de baixas energias (small component), poisv � c.

I Agora,

ΨB = −c

E − eA0 + mc2σ ·(

p−ec

(3)≈ −

σ ·(

p−ec

≈2m√

2mcΨA

I ΨB é suprimido na aproximação de baixas energias (small component), poisv � c.

Simetrias

I Grupo SO(3). Rotações com respeito aos eixos coordenados:

Rx (φ) =

1 0 00 cosφ sinφ0 − sinφ cosφ

, Ry (ψ) =

cosψ 0 − sinψ0 1 0

sinψ 0 cosψ

Rz (θ) =

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

I Vetor ~v =

Rotação: ~v 7→ U~v , U ∈ SO(3).I

Jz =1i

dRz (θ)

∣∣∣∣∣θ=0

0 −i 0i 0 00 0 0

Simetrias

Rx (φ) =

, Ry (ψ) =

sinψ 0 cosψ

Rz (θ) =

I Vetor ~v =

Jz =1i

dRz (θ)

∣∣∣∣∣θ=0

0 −i 0i 0 00 0 0

Simetrias

Rx (φ) =

, Ry (ψ) =

sinψ 0 cosψ

Rz (θ) =

I Vetor ~v =

Jz =1i

dRz (θ)

∣∣∣∣∣θ=0

0 −i 0i 0 00 0 0

Simetrias

Jx =1i

dRx (φ)

∣∣∣∣∣φ=0

0 0 00 0 −i0 i 0

Jy =1i

dRy (ψ)

∣∣∣∣∣ψ=0

0 0 i0 0 0−i 0 0

I Rotações infinitesimais: Rz (δθ) = I + iJzδθ.

I Álgebra de Lie so(3): geradores {Jx , Jy , Jz}, satisfazem [Jx , Jy ] = iJz ,ciclicamente.

Rz (θ) = [Rz (δθ)]N = [I + iJzδθ]N

[I + iJz

N→∞= eiJzθ

= I + iJzθ − J2zθ2

2!+ · · · =

Simetrias

Jx =1i

dRx (φ)

∣∣∣∣∣φ=0

0 0 00 0 −i0 i 0

Jy =1i

dRy (ψ)

∣∣∣∣∣ψ=0

0 0 i0 0 0−i 0 0

[I + iJz

N→∞= eiJzθ

2!+ · · · =

Simetrias

Jx =1i

dRx (φ)

∣∣∣∣∣φ=0

0 0 00 0 −i0 i 0

Jy =1i

dRy (ψ)

∣∣∣∣∣ψ=0

0 0 i0 0 0−i 0 0

[I + iJz

N→∞= eiJzθ

2!+ · · · =

Simetrias

Jx =1i

dRx (φ)

∣∣∣∣∣φ=0

0 0 00 0 −i0 i 0

Jy =1i

dRy (ψ)

∣∣∣∣∣ψ=0

0 0 i0 0 0−i 0 0

[I + iJz

N→∞= eiJzθ

2!+ · · · =

Simetrias

I Rotação finita com respeito a um eixo n̂, por um ângulo θ:

Rn(θ) = ei~J·~θ,

onde ~θ = θn̂.

Simetrias

I Rotações em SU(2) = {U ∈ M(2,C |UU† = I, det U = 1}.

(a b−b∗ a∗

), |a|2 + |b|2 = 1.

I Ângulos de Euler:

Rx (φ) = eiσxφ/2 =

(cos(φ/2) i sin(φ/2)i sin(φ/2) cos(φ/2)

Ry (ψ) = eiσyψ/2 =

(cos(ψ/2) sin(ψ/2)− sin(ψ/2) cos(ψ/2)

Rz (θ) = eiσzθ/2 =

(eiθ/2 0

0 e−iθ/2

I Vetor ~v =

(z x − iy

x + iy −z

)∈ SU(2).

I Rotação: ~v 7→ U~vU†.

Simetrias

(a b−b∗ a∗

), |a|2 + |b|2 = 1.

(eiθ/2 0

0 e−iθ/2

I Vetor ~v =

(z x − iy

x + iy −z

)∈ SU(2).

Simetrias

(a b−b∗ a∗

), |a|2 + |b|2 = 1.

(eiθ/2 0

0 e−iθ/2

I Vetor ~v =

(z x − iy

x + iy −z

)∈ SU(2).

Simetrias

(a b−b∗ a∗

), |a|2 + |b|2 = 1.

(eiθ/2 0

0 e−iθ/2

I Vetor ~v =

(z x − iy

x + iy −z

)∈ SU(2).

Simetrias

I 2-espinor α =(α1α2

)se transforma como α 7→ Uα, U ∈ SU(2).

I 2-espinor α† = (α∗1 , α∗2 ) se transforma como α† 7→ α†U†.

I O produto α†α é invariante sob SU(2).I Agora αα† se transforma como vetor sob SU(2): αα† 7→ Uαα†U†.I

αα† =

(−α1α2 α2

1−α2

2 α1α2

)= ~v =

(z x − iy

x + iy −z

x = 12 (α2

1 − α22)

y = 12 (α2

1 + α22)

z = −α1α2.

I SU(2)/Z2 ' SO(3).

Simetrias

αα† =

(−α1α2 α2

1−α2

2 α1α2

)= ~v =

(z x − iy

x + iy −z

x = 12 (α2

1 − α22)

y = 12 (α2

1 + α22)

z = −α1α2.

I SU(2)/Z2 ' SO(3).

Simetrias

αα† =

(−α1α2 α2

1−α2

2 α1α2

)= ~v =

(z x − iy

x + iy −z

x = 12 (α2

1 − α22)

y = 12 (α2

1 + α22)

z = −α1α2.

I SU(2)/Z2 ' SO(3).

Simetrias

αα† =

(−α1α2 α2

1−α2

2 α1α2

)= ~v =

(z x − iy

x + iy −z

x = 12 (α2

1 − α22)

y = 12 (α2

1 + α22)

z = −α1α2.

I SU(2)/Z2 ' SO(3).

Simetrias

αα† =

(−α1α2 α2

1−α2

2 α1α2

)= ~v =

(z x − iy

x + iy −z

x = 12 (α2

1 − α22)

y = 12 (α2

1 + α22)

z = −α1α2.

I SU(2)/Z2 ' SO(3).

Simetrias

αα† =

(−α1α2 α2

1−α2

2 α1α2

)= ~v =

(z x − iy

x + iy −z

x = 12 (α2

1 − α22)

y = 12 (α2

1 + α22)

z = −α1α2.

I SU(2)/Z2 ' SO(3).

Simetrias

αα† =

(−α1α2 α2

1−α2

2 α1α2

)= ~v =

(z x − iy

x + iy −z

x = 12 (α2

1 − α22)

y = 12 (α2

1 + α22)

z = −α1α2.

I SU(2)/Z2 ' SO(3).

Grupo de Lorentz

I SU(2)/Z2 ' SO(3).SL(2,C)/Z2 ' Spin(1, 3)/Z2 ' SO(1,3).

I Vetores no espaço-tempo: ~v =

(ct + z x − iyx + iy ct − z

)(matrizes hermitianas em

GL(2,C)).I Norma ‖~v‖2 = det~v .I Lei de transformação: ~v 7→ A~vA†, onde A ∈ SL(2,C).

Grupo de Lorentz

I Boosts:

x ′ =x + vt√1− v2

y ′ = y

z′ = z

t ′ =t + vx

c2√1− v2

I Definindo-se

γ =1√

1− v2

β =vc

x0 = ct , x1 = x , x2 = y , x3 = z,

Grupo de Lorentz

I Boosts:

x ′ =x + vt√1− v2

y ′ = y

z′ = z

t ′ =t + vx

c2√1− v2

I Definindo-se

γ =1√

1− v2

β =vc

x0 = ct , x1 = x , x2 = y , x3 = z,

Grupo de Lorentz

I Boosts:

x0′ = γ(x0 + βx1)

x1′ = γ(βx0 + x1)

x2′ = x2

x3′ = x3

I Como

γ =1√

1− v2

β =vc,

então γ2 − β2γ2 = 1.I Portanto existe um ângulo φ tal que γ = coshφ e γβ = sinhφ.I tanhφ = β = v

Grupo de Lorentz

I Boosts:

x0′ = γ(x0 + βx1)

x1′ = γ(βx0 + x1)

x2′ = x2

x3′ = x3

I Como

γ =1√

1− v2

β =vc,

Grupo de Lorentz

I Boosts:

x0′ = γ(x0 + βx1)

x1′ = γ(βx0 + x1)

x2′ = x2

x3′ = x3

I Como

γ =1√

1− v2

β =vc,

Grupo de Lorentz

I Boosts:

x0′ = γ(x0 + βx1)

x1′ = γ(βx0 + x1)

x2′ = x2

x3′ = x3

Matrix de boost︷︸︸︷coshφ sinhφ 0 0sinhφ coshφ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

Boosts

B=Matrix de boost︷︸︸︷coshφ sinhφ 0 0sinhφ coshφ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

I Geradores de boosts:

Kx =1i∂Bx

∣∣∣∣∣φ=0

= −i

0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

Ky =1i∂By

∣∣∣∣∣φ=0

= −i

0 0 1 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

Boosts

B=Matrix de boost︷︸︸︷coshφ sinhφ 0 0sinhφ coshφ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

I Geradores de boosts:

Kx =1i∂Bx

∣∣∣∣∣φ=0

= −i

0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

Ky =1i∂By

∣∣∣∣∣φ=0

= −i

0 0 1 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

Boosts

Kz =1i∂Bz

∣∣∣∣∣φ=0

= −i

0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 0

Rotações

Jx =1i

dRx (φ)

∣∣∣∣∣φ=0

0 0 00 0 −i0 i 0

↪→ −i

0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 −1 0

Jy =1i

dRy (ψ)

∣∣∣∣∣ψ=0

0 0 i0 0 0−i 0 0

↪→ −i

0 0 0 00 0 0 −10 0 0 00 1 0 0

Jz =1i

dRz (θ)

∣∣∣∣∣θ=0

0 −i 0i 0 00 0 0

↪→ −i

0 0 0 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 0

I Boosts e rotações satisfazem a álgebra [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente),[Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).

Rotações

Jx =1i

dRx (φ)

∣∣∣∣∣φ=0

0 0 00 0 −i0 i 0

↪→ −i

0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 −1 0

Jy =1i

dRy (ψ)

∣∣∣∣∣ψ=0

0 0 i0 0 0−i 0 0

↪→ −i

0 0 0 00 0 0 −10 0 0 00 1 0 0

Jz =1i

dRz (θ)

∣∣∣∣∣θ=0

0 −i 0i 0 00 0 0

↪→ −i

0 0 0 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 0

I Boosts e rotações satisfazem a álgebra [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente),[Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).

Representações do grupo de Lorentz

I [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente), [Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).I Definindo-se J = (Jx , Jy , Jz ) e K = (Kx ,Ky ,Kz ) e

(J + iK)

(J− iK)

obtemosI [Ax ,Ay ] = iAz (ciclicamente); [Bx ,By ] = iBz (ciclicamente); e [Ai ,Bj ] = O.I Temos 2 álgebras SU(2), geradas cada uma por A e B.I Momento angular: representações (j, j ′) ∈ SU(2)× SU(2) do grupo de Lorentz.I Casos especiais:

B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)

A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)

(J + iK)

(J− iK)

B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)

A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)

(J + iK)

(J− iK)

B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)

A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)

(J + iK)

(J− iK)

B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)

A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)

(J + iK)

(J− iK)

B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)

A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)

(J + iK)

(J− iK)

B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)

A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)

I Para j = 12 , a representação (1/2, 0) indica que J = ~σ/2 e portanto K = −i~σ/2.

I 2-espinores ξ ∈ (1/2, 0) do grupo de Lorentz se transformam como

ξ 7→ exp

(i2~σ · ~θ +

12~σ · ~φ

)ξ = exp

(i2~σ · (~θ − i~φ)

I Para j ′ = 12 , a representação (0, 1/2) indica que J = ~σ/2 e portanto K = i~σ/2.

I 2-espinores η ∈ (0, 1/2) do grupo de Lorentz se transformam como

η 7→ exp

(i2~σ · ~θ −

12~σ · ~φ

)η = exp

(i2~σ · (~θ + i~φ)

I As irreps. (0, 1/2) e (1/2, 0) são inequivalentes.

ξ 7→ exp

(i2~σ · ~θ +

12~σ · ~φ

)ξ = exp

(i2~σ · (~θ − i~φ)

η 7→ exp

(i2~σ · ~θ −

12~σ · ~φ

)η = exp

(i2~σ · (~θ + i~φ)

ξ 7→ exp

(i2~σ · ~θ +

12~σ · ~φ

)ξ = exp

(i2~σ · (~θ − i~φ)

η 7→ exp

(i2~σ · ~θ −

12~σ · ~φ

)η = exp

(i2~σ · (~θ + i~φ)

I Em 4-espinor(ξη

)∈ (0, 1/2)⊕ (1/2, 0) se transforma como

12 (~σ·(~θ−i~φ)) O

O e12 (−~σ·(~θ+i~φ))

)(ξη

I Podemos identificar ξ 7→ φR e η 7→ φL.I Considerando-se somente boosts, ~θ = 0,

φR = e12~σ·

~φφR

)I + σ · ~n sinh

)]φR .

I Em 4-espinor(ξη

12 (~σ·(~θ−i~φ)) O

O e12 (−~σ·(~θ+i~φ))

)(ξη

φR = e12~σ·

~φφR

)I + σ · ~n sinh

)]φR .

I Em 4-espinor(ξη

12 (~σ·(~θ−i~φ)) O

O e12 (−~σ·(~θ+i~φ))

)(ξη

φR = e12~σ·

~φφR

)I + σ · ~n sinh

)]φR .

Grupo de Lorentz

I Como

γ =1√

1− v2

β =vc

então

γ =1√

1− v2

1− β2≈ 1 +

38β4 +

516β6 + . . .

I Energia/momento relativísticos de uma partícula: E = γmc2, p = γmv.

I Para γ ≈ 1 + β2

2 + . . ., temos E ≈ mc2 + mv2

2 .I Para γ ≈ 1 + . . ., temos p ≈ mv.

Grupo de Lorentz

I Como

γ =1√

1− v2

β =vc

então

γ =1√

1− v2

1− β2≈ 1 +

38β4 +

516β6 + . . .

2 + . . ., temos E ≈ mc2 + mv2

2 .I Para γ ≈ 1 + . . ., temos p ≈ mv.

Grupo de Lorentz

I Como

γ =1√

1− v2

β =vc

então

γ =1√

1− v2

1− β2≈ 1 +

38β4 +

516β6 + . . .

2 + . . ., temos E ≈ mc2 + mv2

2 .I Para γ ≈ 1 + . . ., temos p ≈ mv.

Grupo de Lorentz

I Como

γ =1√

1− v2

β =vc

então

γ =1√

1− v2

1− β2≈ 1 +

38β4 +

516β6 + . . .

2 + . . ., temos E ≈ mc2 + mv2

2 .I Para γ ≈ 1 + . . ., temos p ≈ mv.

Grupo de Lorentz

I Considerando-se somente boosts, ~θ = 0,

φR = e12~σ·

~φφR

)I + σ · ~n sinh

)]φR .

I γ2 − β2γ2 = 1. Portanto existe um ângulo φ tal que γ = coshφ e γβ = sinhφ.I

√coshφ+ 1

√γ + 1

mc2 + 1

√E + mc2

√coshφ− 1

√γ − 1

mc2 − 1

√E −mc2

I Portanto φR transforma-se, quando ~θ = 0, como

φR = e12~σ·

~φφR =

√E + mc2

2mc2I + σ · ~n

√E −mc2

Grupo de Lorentz

φR = e12~σ·

~φφR

)I + σ · ~n sinh

)]φR .

√coshφ+ 1

√γ + 1

mc2 + 1

√E + mc2

√coshφ− 1

√γ − 1

mc2 − 1

√E −mc2

φR = e12~σ·

~φφR =

√E + mc2

2mc2I + σ · ~n

√E −mc2

Grupo de Lorentz

φR = e12~σ·

~φφR

)I + σ · ~n sinh

)]φR .

√coshφ+ 1

√γ + 1

mc2 + 1

√E + mc2

√coshφ− 1

√γ − 1

mc2 − 1

√E −mc2

φR = e12~σ·

~φφR =

√E + mc2

2mc2I + σ · ~n

√E −mc2

Grupo de Lorentz

φR = e12~σ·

~φφR

)I + σ · ~n sinh

)]φR .

√coshφ+ 1

√γ + 1

mc2 + 1

√E + mc2

√coshφ− 1

√γ − 1

mc2 − 1

√E −mc2

φR = e12~σ·

~φφR =

√E + mc2

2mc2I + σ · ~n

√E −mc2

I Portanto φR , φL transformam-se, quando ~θ = 0, como

φR = e12~σ·

~φφR =

√E + mc2

2mc2I + σ · ~n

√E −mc2

φL = e−12~σ·

~φφR =

√E + mc2

2mc2I− σ · ~n

√E −mc2

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