Astronomia de Posicion Cadiz

8/2/2019 Astronomia de Posicion Cadiz

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Universidad de Cdiz

NOTAS Y APUNTES DE

TRIGONOMETRA ESFRICAY ASTRONOMA DE POSICIN

Laboratorio de Astronoma y Geodesia. Departamento de Matemticas. Facultad de Ciencias

Manuel Berrocoso. Mara Eva Ramrez. Jos Manuel Enrquez-Salamanca. Alejandro Prez-Pea.

Puerto Real, Mayo-2003

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ndice

I Trigonometra Esfrica 1

1. La Geometra de la Esfera 91.1. Los triedros y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Igualdad de triedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Principales conceptos de la geometra esfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Propiedades de los tringulos esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Tringulos polares e igualdad de tringulos esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Comparacin entre la geometra esfrica y la geometra del plano . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Relaciones entre los elementos de un tringulo esfrico 21

2.1. Primera, segunda y tercera Frmulas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1. Relaciones anlogas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Frmulas de las cuatro partes, de Cagnoli y de Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Analogas de Gauss-Delambre y de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Frmulas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Resolucin de tringulos esfricos 33

3.1. Resolucin de tringulos esfricos rectngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1. Pentgono de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. Resolucin de tringulos esfricos rectilteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Resolucin de tringulos esfricos oblicungulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.1. Mtodo del perpendculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.2. Resolucin conocidos los tres lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.3. Idem tres ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.4. Idem dos lados y el ngulo comprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.5. Idem un lado y los ngulos adyacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.6. Idem dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.7. Idem dos ngulos y el lado opuesto a uno de ellos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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3.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Algunas aplicaciones de la Trigonometra Esfrica 57

4.1. Aplicaciones en Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2. Aplicaciones en Navegacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

II Introduccin a la Astronoma de Posicin 69

5. Sistemas de coordenadas en Astronoma 79

5.1. La esfera celeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2. Sistemas celestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.1. Sistema altacimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.2. Sistema ecuatorial horario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2.3. Movimiento orbital de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.4. Sistema ecuatorial absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.5. Sistema eclptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.6. Sistema galctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.7. Transformaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 100

5.2.8. Coordenadas relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6. Movimiento Diurno 109

6.1. Culminacin de un astro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2. Posiciones correspondientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2.1. Mximas digresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2.2. Orto y ocaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2.3. Paso de un astro por el primer vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3. Movimiento diurno del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7. El tiempo y su medida 123

7.1. Escalas y unidades de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

II


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7.2. Tiempo rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.2.1. Tiempo sidreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.2.2. Tiempo verdadero y tiempo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.2.3. Tiempo civil, tiempo oficial y tiempo universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.3. Tiempo de efemrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.4. Tiempo atmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 44

7.5. Calendarios y fecha juliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8. Correcciones a los sistemas de coordenadas astronmicos 157

8.1. Parala je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.1.1. Coordenadas topocntricas, geocntricas y heliocntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.1.2. Modelos de representacin terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.1.3. Paralaje diurna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.1.4. Parala je anua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8.2. Precesin y nutacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8.2.1. Precesin de los equinoccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.2.2. Nutacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.3. Refraccin astronmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.3.1. Clculo de la refraccin astronmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.3.2. Efectos de la refraccin astronmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.4. Aberracin de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.4.1. Aberracin anua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.4.2. Aberracin diurna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.5. Movimiento propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.6. Reduccin de posiciones de estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.6.1. Sistemas fundamentales y catlogos de estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

III Apndices 217

A. Trigonometra plana 217

III


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B. Magnitudes de estrellas 225

C. Constantes astronmicas 227

D. Caractersticas de los astros del Sistema Solar 229

E. Glosario 233

IV Bibliografa 247

IV


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PRLOGO

Este texto est dirigido a alumnos de un primer ciclo de la Licenciatu-

ras de Matemticas, aunque con las debidas consideraciones tambinpuede utilizarse como texto complementario para aquellos cursos rela-

cionados con la Trigonometra Esfrica o la Astronoma de Posicin

que puedan impartirse en otras disciplinas, por ejemplo, las licen-

ciaturas de Fsica, de Nutica, de Ciencias del Mar, o la Ingeniera

Superior en Cartografa y Geodesia.

La orientacin acadmica de estas notas y apuntes pretenden ser un

complemento importante tanto para el alumno como para el profesor

que facilite tareas cotidianas que tienen lugar en el hecho docente.

La disponibilidad de este manual supondr tener un soporte fsico

adecuado que permita evitar en lo posible la tarea de tomar apuntes,

a todas luces contraproducente no slo por lo tediosa que por logeneral resulta sino adems por la disminucin de la atencin que

provoca en los alumnos, sobre todo en alumnos de primer ciclo. Como

es obvio, en ningn caso se pretende sustituir a otros textos excelentes

que existen sobre las temticas tratadas.

En el texto se han diferenciado dos partes; por un lado la Trigonome-

tra Esfrica y por otro la Astronoma de Posicin. Si bien es cierto

que en un principio nuestra intencin era incluir sucintamente los

contenidos trigonomtricos y que sirvieran de apoyo exclusivamente

a la Astronoma, se decidi, a la vista del escaso o nulo conocimiento

que los alumnos tenan de esta parte de la Geometra, incluir di-

chos contenidos como una parte claramente diferencia y por tanto

ms extensa que lo inicialmente previsto. En esta parte se muestran

aplicaciones de la Trigonometra Esfrica a la Navegacin y a proble-

mas geomtricos, dejando para la segunda parte una aplicacin ms

especfica a problemas astronmicos.

La orientacin matemtica del texto se manifiesta en la utilizacin

con profusin del lenguaje matemtico basndose en identificar y u-

sar la nomenclatura apropiada, en enunciar, definir y describir con

claridad las propiedades, conceptos y procesos; e interpretar enun-

ciados, propiedades y procesos. Otro aspecto importante que se ha

considerado en este planteamiento de la Astronoma de Posicin es


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la potenciacin de la capacidad para resolver problemas matemti-

cos, concretamente aquellos en los que la visin geomtrica espacial

es fundamental y para los cuales esta disciplina es sumamente til y

apropiada. Por ltimo se ha hecho especial nfasis en los procesos y

procedimientos de modelizacin matemtica y conceptualizacin de

fenmenos y situaciones procedentes del mundo fsico.Con estos objetivos, en el texto y al final de cada captulo se incluye

una coleccin de problemas muchos de ellos seleccionados de los textos

recomendados en la bibliografa.


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I. Trigonometra Esfrica

La representacin esfrica del Universo es una idea intuitiva que surge de forma natural sin ms quemirar en una noche clara el cielo estrellado que nos circunda. Fcilmente observamos que la partede cielo que vemos se asemeja a un hemisferio de una esfera cuyo centro est situado en el lugaren que nos encontramos, de tal forma que los cuerpos celestes observados podran considerarsesituados en una superficie esfrica. As pues, cualquier estudio acerca de los astros del Universonecesitar del conocimiento y manejo de conceptos relativos a la geometra de la esfera.

Anlogamente sucede cuando consideramos la superficie de la Tierra como una esfera. Aunque esteplanteamiento se utiliza sobre todo en Navegacin y en proyecciones topogrficas e hidrogrficas,en Geodesia slo ser vlido como una primera aproximacin.

De este modo, la geometra de la esfera y ms concretamente, la Trigonometra Esfrica, es unaherramienta fundamental en el estudio de la Astronoma de Posicin y sus aplicaciones astrom-tricas, y en otras disciplinas pertenecientes a las Ciencias de la Tierra y del Espacio.

La Trigonometra Esfrica trata del establecimiento de las propiedades y relaciones que satisfacenlos elementos de tringulos definidos en la superficie de una esfera mediante arcos de crculosmximos, as como de la resolucin de los mismos. Los tringulos as definidos se denominantringulos esfricos y son las figuras geomtricas bsicas de la Trigonometra Esfrica.

En esta parte se desarrollan los conceptos de la Trigonometra Esfrica, las expresiones que liganlos elementos de los tringulos esfricos y las tcnicas concernientes a la resolucin de este tipo detringulos.

El concepto de tringulo esfrico se introduce a partir de la definicin del triedro, en tanto quegeomtricamente se obtendr como la interseccin de un triedro con la superficie de una esfera

cuyo centro coincide con el vrtice del triedro. Esta definicin de tringulo esfrico nos conducira establecer una correspondencia biunvoca entre los elementos de un triedro y los del tringuloesfrico definido a partir de l, surgiendo de este modo la necesidad de efectuar un estudio previosobre los triedros y sus propiedades.

En este sentido, en la seccin 1.1 del captulo 1, se establecen las definiciones de triedro y suselementos y de triedros polares. Este ltimo concepto se obtiene a partir de la suplementariedadentre el ngulo determinado por un diedro y el determinado por las semirrectas perpendicularesa las caras de dicho diedro, definindose como aquel cuyas caras son suplementarias a los diedrosrespectivos del triedro dado.

Entre las propiedades relativas a la mtrica de las caras y los diedros de un triedro destacamos quecualquiera de sus caras es menor que la suma de las otras dos, que la suma de las caras es menorque cuatro rectos, que la suma de los diedros est comprendida entre dos y seis rectos y que el

menor de los diedros difiere de la suma de los otros dos en menos de dos rectos.

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Por ltimo, se define la igualdad de triedros y se proporcionan condiciones suficientes, denominadascriterios de igualdad, que restringen la definicin de igualdad de triedros.

La seccin 1.2 comienza con las definiciones de los conceptos bsicos de la geometra de la esfera:circunferencias mximas y menores y arcos de stas. Tambin se definen los polos de circunferenciasmximas, distancia esfrica, husos o ngulos esfricos, distancia de un punto a una circunferenciamxima, mediatriz esfrica, bisectriz esfrica, polos de una circunferencia menor y circunferenciatangente a sta, y finalmente se expresa la definicin, mencionada anteriormente en esta introduc-cin, de tringulo esfrico y sus elementos.

Como se puede ver en la seccin 1.3, las propiedades de los tringulos esfricos se deducen de supropia definicin, de tal forma que a cada propiedad relativa a los triedros le corresponde unapropiedad anloga de los tringulos esfricos, sin ms que sustituir las caras y diedros del triedropor los lados y los ngulos del tringulo, respectivamente.

Si consideramos la interseccin de dos triedros polares con una esfera cuyo centro sea el vrticepolar surge de forma natural el concepto de tringulo polar. Y de igual forma a como sucedacon los triedros, se proporciona la definicin y las condiciones suficientes de igualdad de tringulosesfricos y las definiciones de exceso esfrico, semipermetro y defecto esfrico.

Finalmente, en la seccin 1.4, se realiza un anlisis comparativo entre las geometras de la esfera y

del plano, concluyndose que la geometra esfrica es un ejemplo de geometra no eucldea.

En el captulo 2 se obtendrn las principales expresiones que relacionan entre s los elementos deun tringulo esfrico.

Los teoremas del coseno y del seno y las analogas de Bessel, generalmente conocidos como 1a, 2a

y 3a frmulas de Bessel, son los resultados bsicos de la Trigonometra Esfrica.

La 1a frmula de Bessel relaciona los tres lados y un ngulo proporcionando el lado opuesto alngulo dado en funcin de los otros lados y dicho ngulo, la 2a frmula de Bessel relaciona dosngulos y sus lados opuestos, y la 3a frmula de Bessel nos relaciona tres lados y dos ngulos. En elresto del captulo se obtienen, a partir de las frmulas de Bessel, otras expresiones de gran utilidaden la Trigonometra Esfrica.

As, considerando la 1a

frmula de Bessel para dos de los lados del tringulo, operando apropiada-mente y aplicando la 2a frmula de Bessel, se obtiene la frmula de las Cuatro Partes que relacionados lados, el ngulo comprendido y el ngulo opuesto a uno de los lados.

Tambin podemos aplicar la 1a y 3a frmulas de Bessel al tringulo polar, de forma que ahora seobtendrn dos expresiones anlogas a stas que relacionan los tres ngulos y un lado y los tresngulos y dos lados, respectivamente.

La frmula de Cagnoli relaciona los tres lados y los tres ngulos del tringulo esfrico constituyendouna expresin apropiada para la comprobacin de que los los resultados calculados sean o no loscorrectos.

Las frmulas de Borda, las analogas de Gauss-Delambre y las analogas de Neper amplan elespectro de las resoluciones de tringulos esfricos. Las frmulas de Borda proporcionan los valoresde los semingulos y semilados en funcin de los lados y del semipermetro y de los ngulos y del

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semiexceso esfrico, respectivamente. Las analogas de Gauss-Delambre relacionan la semisuma dedos ngulos y la semidiferencia de los dos lados opuestos con el ngulo y lado restantes; participandoen ellas los seis elementos del tringulo esfrico de tal forma que, al igual que suceda con lafrmula de Cagnoli, pueden utilizarse como comprobacin de los resultados obtenidos medianteotras expresiones. En las analogas de Neper tambin intervienen la semisuma de dos ngulos y lasemidiferencia de los lados opuestos pero, en este caso, o bien aparece el otro ngulo o bien el otro

lado. Otra diferencia existente entre ambas analogas radica en que mientras que en las de Besselintervienen nicamente senos y cosenos de los elementos inmiscuidos, en las de Neper aparecentambin tangentes de dichos elementos.

En la seccin 2.4 se establecen las expresiones que rigen situaciones diferenciales y que permitenestudiar la influencia que el error existente en un elemento produce en los otros elementos; posi-bilitando que para cada situacin experimental concreta podamos elegir a priori las frmulas msapropiadas para minimizar la influencia de los errores de los elementos observados.

En el captulo 3 se afronta el problema de la resolucin de tringulos esfricos. Este problemaconsiste en determinar los elementos desconocidos de un tringulo esfrico a partir de los conocidosmediante la utilizacin de las expresiones obtenidas en el captulo anterior o combinaciones de stas.

A este efecto se realiza un proceso inductivo anlogo al que, de forma clsica, se sigue en laTrigonometra Plana, constando de las siguientes etapas sucesivas: resolucin de tringulos esfricosrectngulos, rectilteros y oblicungulos.

Las frmulas apropiadas para la resolucin de tringulos esfricos rectngulos, seccin 3.1, se ob-tienen sustituyendo en las expresiones generales obtenidas en el captulo 2, los valores correspon-dientes de las funciones trigonomtricas del ngulo recto. Estas frmulas se sintetizan en la reglamnemotcnica denominada Pentgono de Neper. En ella, los elementos distintos del ngulo rectose sitan en los vrtices de un pentgono segn la secuencia: lado opuesto al ngulo recto, nguloadyacente, complementario del lado no opuesto a este ngulo adyacente, complementario del ladoopuesto y el otro ngulo adyacente. Puesto que dados tres elementos distintos puede ocurrir quesean consecutivos o que uno de ellos est separado de los otros dos, las reglas que resuelven eltringulo rectngulo vienen dadas por: El coseno de un elemento cualquiera es igual al productode los senos de los elementos opuestos, y El coseno de un elemento cualquiera es igual al producto delas cotangentes de los elementos adyacentes.

En la resolucin de tringulos esfricos rectngulos y, a fin de discernir el valor de un elemento queviene determinado por la funcin arcoseno, tendremos en cuenta que el nmero de lados superioresa un recto es siempre par y que cada cateto y su ngulo opuesto han de ser de la misma especie.

Como en todo tringulo esfrico rectngulo el ngulo recto es siempre un elemento conocido a priori,ser suficiente que conozcamos dos de los cinco elementos restantes para determinar completamenteel tringulo. Las combinaciones esencialmente distintas a que esos elementos darn lugar vienendadas por el conocimiento de la hipotenusa y un cateto, o los dos catetos, o la hipotenusa y unngulo oblicuo, o un cateto y el ngulo oblicuo adyacente, o dos ngulos oblicuos, o un cateto y elngulo oblicuo opuesto.

Cuando nuestros datos son la hipotenusa y un cateto, una condicin necesaria y suficiente para la

existencia de solucin es que el valor de la hipotenusa est comprendido entre el valor del cateto y

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del suplementario de ste. Por otra parte, como el clculo del ngulo opuesto al cateto dado procedede un arcoseno, existir una indeterminacin en la unicidad de la solucin que queda resuelta sinms que aplicar la mencionada condicin de igualdad de especie entre dicho ngulo y el catetodado.

En el caso de que los elementos conocidos sean un cateto y el ngulo oblicuo opuesto, y dadoque todos los elementos desconocidos se determinan mediante la funcin arcoseno, se presentansituaciones en las que no podemos asegurar ni la existencia ni la unicidad de la solucin. Existirnuna, dos o ninguna solucin, segn sean los valores relativos entre los elementos conocidos.

En el resto de los casos el problema siempre tiene solucin que, adems, nica. En cualquiera delos casos existen frmulas que relacionan los elementos desconocidos, que sirven para comprobarlos resultados obtenidos.

Para resolver un tringulo esfrico rectiltero, seccin 3.2, bastar tener en cuenta que su tringulopolar es un tringulo esfrico rectngulo, que se resolvera utilizando la metodologa desarrolladaen la seccin anterior. No obstante, tambin existe una versin del Pentgono de Neper para estecaso, pero ahora la secuencia de los elementos del tringulo esfrico es: complementario del nguloopuesto al lado recto, complementario de uno de los lados oblicuos, el suplementario del ngulo noopuesto a este lado con el signo contrario, el suplementario del otro ngulo tambin con el signocontrario, y el complementario del otro lado no oblicuo. En esta distribucin siguen siendo vlidaslas mismas reglas establecidas para el Pentgono de Neper de los tringulos esfricos rectngulos.Podemos establecer una metodologa propia para la resolucin de estos tringulos que deberresponder a los casos donde los elementos conocidos pueden ser el ngulo opuesto al lado recto yun ngulo adyacente, o los dos ngulos adyacentes al lado recto, o el ngulo opuesto al lado rectoy un lado oblicuo, o un ngulo adyacente al lado recto y el lado oblicuo adyacente a dicho ngulo,o los dos lados oblicuos, o un ngulo adyacente al lado recto y el lado oblicuo opuesto a dicho lado.Las discusiones relativas a cada caso se efectan de forma anloga a la realizada en la resolucinde los tringulos esfricos rectngulos.

La seccin 3.3 se ocupa de la resolucin de tringulos esfricos oblicungulos, entendiendo por stos,aquellos tringulos esfricos que no tienen ningn ngulo recto. Cuando alguno de sus lados searecto, se resuelve aplicando los mtodos explicados en la seccin anterior. En general, un tringuloesfrico oblicungulo puede resolverse de forma directa mediante la aplicacin de las expresiones

obtenidas en el captulo 2, u otras deducidas a partir de stas, o tambin, resolviendo los dostringulos esfricos rectngulos que se obtienen al trazar desde uno de sus vrtices el arco decrculo mximo perpendicular al lado opuesto y denominado perpendculo. Cuando el tringulooblicuo sea issceles o si entre los elementos dados existen dos lados o dos ngulos suplementariosno ser necesario resolver los dos tringulos obtenidos mediante el perpendculo, bastando conla resolucin de uno de ellos. En cualquier caso, para la resolucin de un tringulo esfrico sersuficiente conocer tres de sus elementos pudiendo ocurrir que conozcamos los tres lados, o los tresngulos, o dos lados y el ngulo comprendido, o un lado y los ngulos adyacentes, o dos lados y elngulo opuesto a uno de ellos, o dos ngulos y el lado opuesto a uno de ellos.

En los dos primeros casos siempre existe una nica solucin, y se resuelve aplicando las frmulasde Borda, que para el primer caso, proporcionan la tangente de cada ngulo mitad en funcin delsemipermetro y los tres lados, y en el segundo caso, la tangente de cada lado mitad en funcin del

semiexceso esfrico y los tres ngulos.

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Cuando se conocen dos lados y el ngulo comprendido, el problema tambin tiene una nicasolucin. En este caso, los otros dos ngulos se obtendrn aplicando las Analogas de Neper, queproporcionan la tangente de la semisuma y de la semidiferencia de estos ngulos; obtenindoseun sistema compatible determinado cuyas incgnitas son dichos ngulos. El tercer lado se obtieneaplicando directamente la 1a frmula de Bessel.

En el caso de conocer un lado y los ngulos adyacentes el mtodo es idntico al utilizado en el casoanterior, salvo que ahora, para el clculo del tercer ngulo, se puede aplicar la Analoga de Nepercorrespondiente, en donde el ngulo vendr dado por su cotangente, o bien, utilizando la frmulaanloga a la 1a de Bessel de los tringulos polares, en cuyo caso el ngulo vendr dado por sucoseno. En esta situacin la solucin existe y es nica.

Si los datos del tringulo esfrico son dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos, la resolucindel tringulo presenta mayores dificultades. Como el valor del ngulo desconocido y opuesto allado dado se calcula aplicando la 2a frmula de Bessel, existir una ambigedad procedente de lafuncin seno. El clculo del otro lado y su ngulo opuesto se obtiene aplicando las correspondientesfrmulas de las Analogas de Neper que proporcionan la tangente y la cotangente, respectivamente.Como en estas frmulas, adems de los lados y ngulo dados, tambin participa el ngulo calculado,la ambigedad de ste se propagar a estos dos ltimos elementos calculados.

En el texto se expresan las condiciones necesaria y suficiente para la existencia y la unicidad en cadauna de las situaciones posibles. Las demostraciones de estas condiciones pueden realizarse segn dosmtodos diferentes. El primero de ellos, basado en el perpendculo, consiste en un anlisis detalladode las posibles situaciones que se obtienen a medida que se aplican las frmulas mencionadasanteriormente. En el segundo mtodo partiendo de la aplicacin al lado desconocido de la 1 a

frmula de Bessel, se obtiene una ecuacin de segundo grado cuya incgnita es el seno del ladodesconocido y los coeficientes son funciones de los datos del problema; analizando los coeficientes,se determinarn, en cada uno de los casos posibles, el nmero de soluciones, si las hubiese, queexisten. Como ejemplo de aplicacin del primer mtodo se efecta la demostracin del caso en queel ngulo y el lado no opuesto a ste sean agudos; y se aplica el segundo mtodo para el caso deque estos elementos sean obtuso y agudo, respectivamente; dejndose como prctica para el lectorla demostracin de los dems casos.

Por ltimo, para resolver un tringulo esfrico del cual se conocen dos ngulos y el lado opuesto

a uno de ellos, bastar establecer el tringulo polar del dado y aplicar los resultados y mtodosexplicado para el caso anterior.

Prescindiendo de los casos ambiguos estudiados en las secciones precedentes, en general podemosasegurar que conocidos tres elementos de un tringulo esfrico se pueden calcular cada uno de losotros tres elementos. Una consecuencia inmediata de esta dependencia es que una pequea variacinen cualquiera de los elementos conocidos producir una variacin en los elementos desconocidos.

Aunque no podemos olvidar que en este curso la justificacin principal de la presencia de laTrigonometra Esfrica radica en su aplicacin a la Astronoma de Posicin que se estudiar encaptulos posteriores, en el captulo 4 se indican algunas aplicaciones de esta disciplina a otrascuestiones distintas de nuestra intencin primera.

En este sentido, se obtiene el rea de un tringulo esfrico en funcin del exceso esfrico del

mismo. Se demuestra la Frmula de LHuilier que proporciona el exceso esfrico en funcin del

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semipermetro y los lados del tringulo esfrico. Esta expresin suele utilizarse para calcular losngulos de un tringulo esfrico cuando se conocen los lados del mismo. El exceso esfrico interviene,tambin, en el Teorema de Legendre de la Trigonometra Esfrica, que relaciona las reas y losngulos de un tringulo esfrico suficientemente pequeo y de un tringulo plano tal que sus ladostengan las longitudes de los lados de los anteriores. Asimismo, se proporcionan expresiones para elclculo de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a un tringulo esfrico en funcin

del semipermetro y los lados, y en funcin de los ngulos y la semisuma de estos, respectivamente.Finalmente, se definen conceptos geodsicos meridiano, paralelo, latitud y longitud terrestresy de navegacin rumbo y derrota, de tal suerte que, a partir de estas definiciones, se puedenplantear diversos problemas sobre el arte de navegar, como clculos de rumbos, o determinacionesde la distancia mnima entre dos puntos de la superficie terrestre o estima de tiempos de llegada adestino de barcos o aviones.

En cualquier caso, el problema consiste en la resolucin de un tringulo esfrico que, bsicamente,viene dado por las coordenadas geogrficas de los dos puntos y el polo norte de la Tierra, siendosus lados las colatitudes respectivas y la derrota ortodrmica seguida, y los ngulos, relativos alpolo norte y a ambos puntos de la superficie terrestre, sern las diferencias de longitudes y losrumbos recprocos, respectivamente.

Palabras claves

Trigonometra Esfrica. Triedro y triedros polares. Distancia esfrica, polos de una circunferenciamxima y ngulos esfricos. Tringulo esfrico, tringulos esfricos issceles, equilteros, rectn-gulos, rectilteros y oblicungulos, y tringulos esfricos polares. Exceso esfrico, semipermetro ydefecto esfrico. Perpendculo, mediatriz esfrica y bisectriz de un ngulo esfrico. Polos y circun-

ferencia tangente a una circunferencia menor. Meridiano, paralelo, latitud y longitud de un lugar.Derrota y rumbo geogrfico.

Objetivos especficos perseguidos en esta parte del texto

Con el presente texto, y guindonos por el manejo del lenguaje matemtico, la resolucin de pro-blemas y la conceptualizacin nos proponemos alcanzar los siguientes objetivos especficos:

Enunciar e identificar los elementos ms importantes de la geometra de la esfera, definirel tringulo esfrico, utilizar dicha geometra para introducir un ejemplo de geometra noeucldea, e ilustrar las principales diferencias entre las trigonometras plana y esfrica.

Relacionar los elementos de los triedros con los elementos de los tringulos esfricos, y obtenerlas propiedades y los criterios de igualdad de los tringulos esfricos a partir de esta relacin.

Obtener las principales relaciones existentes entre los elementos de un tringulo esfrico: 1a,2a y 3a frmulas de Bessel, frmula de las cuatro partes, frmulas anlogas a las de Bessel paratringulos polares, frmulas de Cagnoli y Borda y analogas de GaussDelambre y Neper.

Resolver tringulos esfricos rectngulos, rectilteros y oblicungulos, cualesquiera que seanlos elementos conocidos, mediante diversas estrategias generales.

Operar con los principales mtodos de resolucin de tringulos esfricos: expresiones genera-

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les, pentgono de Neper y perpendculo.

Contrastar, interpretar y validar los resultados obtenidos en la resolucin de tringulos es-fricos.

Ilustrar algunas aplicaciones de la Trigonometra Esfrica.

Modelizar y resolver problemas de la Navegacin, aplicando las estrategias de resolucin de

tringulos esfricos.

De esta manera se favorecer la abstraccin y comprensin del concepto de tringulo esfrico y eldesarrollo de estrategias para la resolucin de cualquier tringulo esfrico.

Se perseguir la adquisicin de soltura en el manejo de las expresiones y estrategias para la re-solucin de tringulos esfricos, y la identificacin de la terminologa y conceptos bsicos de laTrigonometra Esfrica.

En el texto se acenta la comprensin de los conceptos de triedro y tringulo esfrico y la interre-lacin entre ellos, la resolucin de tringulos esfricos y la modelizacin y resolucin de situacionesque se producen en Navegacin.

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1. La Geometra de la Esfera

1.1. Los triedros y sus propiedades

Definicin 1.1 SeaR3 el espacio afn eucldeo y sean a, b y c, tres semirrectascon origen comn V. Se denomina triedro a la figura convexa formada por elconjunto de puntos deR3 que son comunes a los semiespacios limitados por losplanos ab, bc y ca y que contienen a la semirrecta restante.

Definicin 1.2 En todo triedro se definen los siguientes elementos: vrticeo pun-to comn V de las tres semirrectas, aristas o semirrectas a, b y c; caras o n-gulos convexos(ab), (bc) y(ca); diedros del triedro o diedros convexos for-mados por dos caras consecutivas y superficie del triedro o conjunto de puntospertenecientes a las caras de un triedro.

V

a

b

c

Figura 1.1: Triedro Una consecuencia de las definiciones anteriores es que si tres planos concurrenen un punto, sin pasar por una misma recta, entonces dividen el espacio en ochotriedros.

Teorema 1.1 Sea un diedro convexo y sea P un punto de la arista de dichodiedro. Si por el punto P se trazan las semirrectas a y b perpendiculares a lascaras del diedro, y situadas con respecto de cada cara en distinto semiespacio queel que contiene el diedro, entonces el ngulo (ab) formado por las semirrectas ay b es suplementario del diedro .

Demostracin. Por ser las semirrectas a y b perpendiculares a las caras y del diedro,respectivamente, tambin lo sern a la arista del mismo. Consecuentemente, el planodeterminado por ambas semirrectas ser perpendicular a dicha arista cortando al diedrosegn el ngulo (mn) denominado seccin recta. Por tanto,

(mn) + (nb) + (ab) + (am) = 4R,

y puesto que

(nb) =

(am) = R, se cumple finalmente que

(mn) +

(ab) = 2R.

P

n

m

ba

Figura 1.2: ngulo plano y die-dro suplementario Teorema 1.2 SeaV el vrtice del triedro T formado por las semirrectas a, b yc.

Si se consideran las semirrectas a, b y c perpendiculares a las caras del triedroT con origen en V, estando situadas cada una de ellas en distinto semiespacioque el que contiene al triedro, entonces dichas semirrectas definen otro triedro T

cuyas caras son suplementarias de los diedros de T.

Demostracin.a cbb ac

(ab) + diedro (acb) = 2R.

Anlogamente

(ac) + diedro (abc) = 2R, (bc) + diedro (cab) = 2R.

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Definicin 1.3 El triedro T(abc) considerado en el teorema anterior se de-nominatriedro polar del triedro T(abc).

Proposicin 1.1 En las mismas condiciones establecidas anteriormente, el triedroT es el triedro polar de T y, consecuentemente, los diedros de T son suplemen-tarios de las caras de T.

Teorema 1.3 SeaT(abc) un triedro cualquiera de vrtice V. Entonces se verificaque cualquiera de sus caras es menor que la suma de las otras dos.

Demostracin. Si suponemos que la cara ab es mayor que las otras dos, obviamente lademostracin del teorema consistir en demostrar que:

(ab) < (bc) + (ac).a

b

c

a'

b'

c'

T '

T

V

Figura 1.3: Triedros polares Consideremos sobre la cara ab la semirrecta d, tal que (ad) = (ac). Sea AB unsegmento arbitrario perteneciente a la cara ab con extremos A y B pertenecientes a lassemirrectas a y b, respectivamente. Sea D el punto de interseccin de este segmentocon la semirrecta d y sea C un punto de la semirrecta c tal que V C = V D. En estascondiciones se cumple que

(AV C) =

(AV D),

pues ambos tringulos tienen iguales dos lados y el ngulo comprendido, y consecuente-mente AC = AD.

Ahora bien, en el tringulo (ABC), se verifica que:

BC + AC > AB BC > AB AC = AB AD = DB.

Por lo que los tringulos (V BC) y (V BD) tienen un lado comn V B, un lado igualV D = V C y el tercer lado BC > DB desigual. Por tanto:

(bc) > (bd) = (ab) (ac) (ab) < (bc) + (ac).a

b

c

d

V

A

B

C

D

Figura 1.4Corolario 1.1 Toda cara de un triedro es mayor que la diferencia entre las otrasdos.

Teorema 1.4 La suma de las caras de un triedro es menor que cuatro rectos.

Demostracin. Consideremos el triedro formado por las aristas a, b, c y la semirrecta a

opuesta a la arista a. Aplicando el teorema 1.3 a este triedro se tiene

(bc) < (ab) + (ac) = (2R (ab)) + (2R (ac)) == 4R (ab) (ac) (ab) + (ac) + (bc) < 4R.

Teorema 1.5 La suma de los diedros de un triedro T(abc) est comprendida entredos y seis rectos.

10 1 La Geometra de la Esfera


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Demostracin. Sea T(abc) el triedro polar de T(abc). Sus caras sern suplementariasde los diedros del triedro T(abc). Aplicando, pues, el teorema 1.4 a las caras del triedroT(abc) se tiene

0 < (ab) + (ac) + (bc) < 4R,0 < (2R ) + (2R ) + (2R ) < 4R,

0 < 6R < 4R, 6R > + + > 2R.

a

b

c

V

a'

Figura 1.5

Teorema 1.6 El menor de los diedros de un triedro difiere de la suma de los otrosdos en menos de dos rectos.

Demostracin. Sea el menor de los diedros de un triedro T(abc). Aplicando el teorema1.3 a las caras del triedro polar T(abc) del triedro dado, se tiene

(bc) < (ac) + (ab).

Teniendo en cuenta la mencionada propiedad de los diedros del triedro y las caras deltriedro polar, la anterior ecuacin se puede expresar mediante 2R < 2R+2R,y, por tanto, + < 2R.

a

b

c

a'

b'

c'

T '

T

2R-

2R-2R-

Figura 1.6

Proposicin 1.2 Si dos caras de un triedro son iguales entonces tambin son

iguales los diedros opuestos; y, anlogamente, si dos diedros de un triedro soniguales entonces tambin son iguales las caras opuestas.

Definicin 1.4 Se llamatriedro isscelesa un triedro que tiene dos caras o, con-secuentemente con la proposicin anterior, dos diedros iguales.

1.1.1. Igualdad de triedros

Definicin 1.5 Dos triedros son iguales cuando tienen sus caras y diedros respec-tivamente iguales.

Las condiciones que establecen la igualdad de triedros expresadas en la definicinanterior, caras y diedros respectivos iguales, no son independientes, de tal suerteque bastar que se verifiquen algunas de ellas para poder asegurar las igualdades

restantes y, consiguientemente, la igualdad de los triedros. Los siguientes teore-mas, denominados criterios de igualdad, establecen restricciones a la condicinde totalidad de igualdad de caras y diedros respectivos. En dichos teoremas seconsideran los triedros T(abc) y T(abc).

Teorema 1.7 (1er Criterio de Igualdad) Si dos triedros tienen iguales dos carasy el diedro comprendido, entonces ambos triedros son iguales.

Demostracin. Consideremos que las caras limitadas por las semirrectas (a, b) y (a, c)del triedro T son, respectivamente, iguales a las limitadas por (a, b) y (a, c) del triedroT; siendo el diedro comprendido aqul cuya arista comn es a y a en cada uno de lostriedros. En esta situacin se tiene

(ab) = (ab), (ac) = (ac), = .

1.1 Los triedros y sus propiedades 11


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Si hacemos coincidir las caras (ab) y (ab) de forma que tambin coincidan los semies-pacios en que se sitan las aristas c y c, tendremos que por ser = coincidirn lossemiespacios que contienen a las caras (ac) y (ac) y por ser (ac) = (ac), coin-cidirn las aristas c y c y por tanto los triedros T y T sern iguales.

Teorema 1.8 (2o Criterio de Igualdad) Si dos triedros tienen iguales una cara ylos diedros contiguos entonces, ambos triedros son iguales.

La demostracin de este teorema se realiza de forma anloga a como se ha de-mostrado el teorema 1.7, o tambin, aplicando dicho teorema a los triedros polaresde los triedros dados.

Teorema 1.9 (3er Criterio de Igualdad) Si dos triedros tienen sus caras igualesentonces, dichos triedros son iguales.

V

OA

B

C

V'

O'A'

B'

C'

Figura 1.7

Demostracin. Consideremos sobre las aristas de los triedros T y T los puntos A, B,C, A, B y C tales que se verifique

V A = V B = V C = VA = VB = VC.

Puesto que las caras de los triedros son iguales se verifica que

V AB = V

A

B

, V AC = V

A

C

, V BC = V

B

C

,

y por tanto AB = AB, AC = AC, y BC = BC, luego ABC = ABC.Al ser los vrtices V y V equidistantes de A, B, C y A, B, C, respectivamente,estarn sobre las perpendiculares de los planos ABC y ABC trazadas por los circun-centros O y O de los tringulos respectivos. Como AO = AO y AV = AV entoncesV O = VO, por lo que ambos triedros sern iguales.

Teorema 1.10 (4o Criterio de Igualdad) Si dos triedros tienen los diedros igualesentonces son iguales.

La demostracin de este teorema se realiza aplicando el teorema 1.9 a los triedrospolares de los triedros dados.

1.2. Principales conceptos de la geometra esfrica

La geometra de la esfera se basa en los conceptos de circunferencias mximas,circunferencias menores y arcos de estas figuras.

Definicin 1.6 Se llamacircunferencia mximaa la interseccin de la esfera conun plano que contiene el centro de dicha esfera.

Si el plano que interseca la esfera no contiene al centro, entonces la interseccindel plano con la esfera es una circunferencia menor.

Definicin 1.7 Dados dos puntos A y B de la esfera, se denomina distancia es-frica entre ambos al menor de los arcos de extremos A y B de la circunferencia



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mxima obtenida mediante la interseccin de la esfera con el plano que contieneal centro de la esfera y a dichos puntos.

O

A

B

Figura 1.8: Distancia esfrica

Si A y B son diametralmente opuestos entonces existirn infinitas circunferenciasmximas que pasan por ellos, tomndose en este caso la semicircunferencia comodistancia esfrica entre ambos puntos.

Por conveniencia, se considera la esfera de radio unidad y consecuentemente, las

distancias esfricas son proporcionales a los ngulos centrales que las proyectan,adoptando para su medida la de dicho ngulo central.

Dos circunferencias mximas se cortan en un dimetro de la esfera por pasar losplanos que las contienen por el centro de la esfera.

Definicin 1.8 Se llamanpolos de una circunferencia mximaa los puntos de laesfera que equidistan de todos los puntos de la circunferencia mxima. Tambinse pueden definir como los extremos del dimetro de la esfera perpendicular adicha circunferencia mxima.

Obviamente, todas las circunferencias mximas que son perpendiculares a unadada pasan por sus polos y la distancia esfrica entre cada punto de una circun-ferencia mxima y sus polos es 90o.

Definicin 1.9 Se denominanhusos o ngulos esfricos a cada una de las cuatroregiones en que queda dividida la esfera como consecuencia de la interseccin dedos circunferencias mximas. Tambin se pueden definir como la interseccin dela esfera con un diedro cuya arista es uno de sus dimetros.

O

Figura 1.9: ngulo esfrico La medida de cada uno de estos diedros se toma tambin como medida del nguloesfrico o abertura del huso correspondiente. De esta forma, dos circunferenciasmximas sern perpendiculares cuando el diedro que definan sea recto.

Definicin 1.10 Se llama distancia de un punto A a una circunferencia mxi-ma c a la distancia esfrica entre A y el punto interseccin de la circunferenciamxima dada con la circunferencia mxima perpendicular a ella que pasa por A.

P

P'

O

B

A

Figura 1.10

Definicin 1.11 Dado un arco AB, se denomina mediatriz esfrica a la circun-ferencia mxima perpendicular a la circunferencia mxima que contiene a lospuntos A y B trazada por el punto medio del arco dado.

Obviamente, todos los puntos de dicha circunferencia mxima equidistan de lospuntos A y B.

Definicin 1.12 Dado un ngulo esfrico A, se denomina bisectriz del ngulo auna semicircunferencia mxima equidistante de sus lados.

Definicin 1.13 Se llaman polos de una circunferencia menor a los extremosdel dimetro perpendicular al plano que la contiene. El polo que est situadoa una distancia esfrica menor se le denomina centro y a esta distancia radioesfrico. Todos los puntos que disten del centro menos que el radio esfrico se

1.2 Principales conceptos de la geometra esfrica 13


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A

P (Centro)

r

P'

CircunferenciaMenor

CircunferenciaTangente

B

MediatrizEsfrica

Bisectrizdel huso

Figura 1.11: Elementos definidos sobre una esfera

dicen interiores a la circunferencia menor, y exteriores todos aquellos que distenms que el radio esfrico.

Todos los puntos de una circunferencia menor equidistan de cada uno de suspolos. Recprocamente, todos los puntos esfricos equidistantes de uno fijo estnen una circunferencia, que es menor si esta distancia no es igual a un cuadrante.

Definicin 1.14 Se llamacircunferencia tangente a una circunferencia menor poruno de sus puntos a la circunferencia mxima perpendicular a la que contiene alradio esfrico de dicho punto.

Definicin 1.15 Se denomina tringulo esfrico a la superficie esfrica obtenidamediante la interseccin de la esfera y de un triedro cuyo vrtice es el centro dedicha esfera.

A

B

CO

a

b

c

Figura 1.12: Tringulo esfrico Las intersecciones A, B y C de las aristas del triedro con la esfera son los vrticesdel tringulo esfrico. Puesto que a todo ngulo central le corresponde una dis-tancia esfrica sobre la superficie de la esfera y a cada diedro un ngulo esfrico,entonces las caras del triedro sern los arcos de circunferencias mximas y a losdiedros del triedro les correspondern los ngulos del tringulo esfrico. Esto es,se puede establecer una correspondencia biunvoca entre las caras y los diedrosde un triedro y los lados y los ngulos de un tringulo esfrico.

Definicin 1.16 La trigonometra esfrica trata de las relaciones trigonomtricasque existen entre los seis elementos, tres lados y tres ngulos, de un tringuloesfrico, o, lo que es lo mismo, entre las caras y los diedros del triedro que definedicho tringulo esfrico.



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Una de las principales diferencias entre la trigonometra plana y la esfrica es queen la primera los lados se miden en unidades lineales mientras que en la segundatodos los elementos de un tringulo esfrico se miden, generalmente, en unidadesangulares.

Dado que las caras de un triedro dividen el espacio en ocho triedros, las cir-cunferencias mximas a las cuales pertenecen los lados de un tringulo esfricodividirn la superficie esfrica en ocho tringulos esfricos.

Si A, B y C son los puntos diametralmente opuestos a los vrtices A, B y Cdel tringulo esfrico, entonces los tringulos en que queda dividida la esfera son:

ABC, tringulo dado.

ABC, ABC y ABC, tringulos adyacentes al ABC por tener con l unlado comn.

ABC, tringulo simtrico al dado respecto del origen.

ABC, ABC y ABC, tringulos adyacentes al ABC, o simtricos deABC, ABC y ABC, respectivamente, respecto del origen.

A

A'

B

B'

C

C'

o

Figura 1.13 Definicin 1.17 Un tringulo esfrico se denomina issceles si tiene dos ladosiguales y equiltero si tiene iguales los tres. Se denomina rectngulosi tiene un

ngulo recto, birrectngulo si tiene dos, en cuyo caso tambin tiene rectos loslados opuestos, y trirrectngulou octante si tiene los tres ngulos rectos siendo,por tanto, sus lados tres cuadrantes de circunferencia mxima.

1.2.1. Propiedades de los tringulos esfricos

Las propiedades de los tringulos esfricos se deducen de la propia definicin detringulo esfrico de tal forma que a cada propiedad relativa a los triedros lecorresponde una propiedad anloga de los tringulos esfricos.

Adems, dado que las caras y los diedros de un triedro con vrtice en el centro dela esfera no cambian en magnitud si se vara el radio de dicha esfera, las relacionesentre los lados y los ngulos de un tringulo esfrico sern independientes de lalongitud de dicho radio.

Proposicin 1.3 Entre los elementos de todo tringulo esfrico se verifican lassiguientes propiedades:

Los lados de un tringulo esfrico son menores que una semicircunferencia.

La suma de los lados de un tringulo esfrico es menor que cuatro rectos.

Cualquier lado de un tringulo esfrico es menor que la suma de los otrosdos y mayor que su diferencia.

La suma de los ngulos de un tringulo esfrico es mayor que dos rectos ymenor que seis.

El menor de los ngulos de un tringulo esfrico difiere de la suma de los

1.2 Principales conceptos de la geometra esfrica 15


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otros dos en menos de dos rectos.

Un tringulo esfrico issceles tiene iguales los ngulos opuestos a los la-dos iguales y, consecuentemente, si un tringulo esfrico tiene dos ngulosiguales, tambin es issceles.

En todo tringulo esfrico, a mayor lado se opone mayor ngulo y, recpro-camente, a mayor ngulo se opone mayor lado.

1.3. Tringulos polares e igualdad de tringulos esfricos

Definicin 1.18 La interseccin de una esfera con un tringulo esfrico y su polarde vrtice en el centro, origina dos tringulos esfricos denominados polares.

Los vrtices de cada uno de ellos son polos de las circunferencias mximas a lascuales pertenecen los lados del otro. El tringulo polar de un tringulo esfrico seconstruye uniendo por arcos de crculo mximo los polos de los lados del tringulodado. De los dos polos que tiene cada lado se toma el que se encuentra, respectode la circunferencia mxima, en el hemisferio que no contiene al vrtice opuesto.

Proposicin 1.4 Los lados de un tringulo esfrico son suplementarios de losngulos de su tringulo polar y viceversa, de forma que a toda relacin mtricaentre los lados de uno, corresponde otra entre los ngulos del otro.

Demostracin. Aplicando el resultado del teorema 1.1 al diedro CAB y al ngulo a seobtiene que

a + A = 2R.

De forma anloga, tomando respectivamente, los diedros CB A y ACB y los ngulos b

y c se tienen las relaciones buscadas b + B = 2R, c + C = 2R..

De igual modo se obtendran a + A = 2R, b + B = 2R, c + C = 2R.

A

B

C

o

A'

B'

C'

a

b

c

a'

b'

c'

Figura 1.14: Tringulos polares

a'

C'

B'

A B

C

Figura 1.15

Definicin 1.19 Dos tringulos esfricos se dicen iguales si tienen iguales, res-pectivamente, sus lados y sus ngulos.

Anlogamente a como suceda entre las caras y diedros de un triedro, las condi-ciones de igualdad entre los lados y los ngulos de un tringulo esfrico no son

independientes, por lo que se pueden establecer los siguientes criterios suficientespara la igualdad de tringulos esfricos.

Proposicin 1.5 Dos tringulos esfricos son iguales cuando o tienen iguales doslados y el ngulo comprendido (1er criterio de igualdad), o tienen iguales un ladoy los dos ngulos contiguos (2o criterio de igualdad), o tienen sus lados iguales(3er criterio de igualdad),o tienen sus ngulos iguales (4o criterio de igualdad).

Definicin 1.20 Dado un tringulo esfrico ABC, se denomina:

i) Exceso esfrico a = A + B + C 2R.

ii) Permetrodel tringulo esfrico a 2p = a + b + c.

iii) Defecto esfrico a d = 2 = 4R 2p.



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Proposicin 1.6 La suma de los excesos esfricos/defectos de un tringulo es-frico y sus adyacentes es 360o.

Proposicin 1.7 El exceso/defecto esfrico de un tringulo esfrico es igual aldefecto/exceso esfrico de su tringulo polar.

1.4. Comparacin entre la geometra esfrica y la geometra del plano

Aunque existe una cierta analoga entre algunos conceptos y propiedades de lageometra esfrica y de la plana, como pueden ser: recta-circunferencia mxima,segmento-arco de circunferencia mxima, ngulo plano-ngulo esfrico, semi-plano-hemisferio, etc., no ocurre as con otras propiedades. Por ejemplo:

Dos rectas en el plano se cortan en un nico punto, mientras que dos cir-cunferencias mximas se cortan en dos puntos.

Dos perpendiculares a una recta, en el plano, son paralelas; en la esfera doscircunferencias mximas perpendiculares a otra se cortan en los polos desta, desapareciendo el paralelismo entre ambas circunferencias mximas.

Como consecuencia del axioma del paralelismo, en el plano, la suma de losngulos de un tringulo vale dos rectos, en la esfera es mayor que dos rectos.

El lugar geomtrico de los puntos de un semiplano equidistantes de unarecta es otra recta paralela a la dada. En la esfera, el lugar geomtrico queequidista de una circunferencia mxima es una circunferencia menor.

Estas diferencias hacen de la geometra esfrica un ejemplo clsico de geometrano eucldea.

Para entender el significado de las geometras no eucldeas es esencial familiarizar-se con la geometra desarrollada por la escuela griega, de la que son representantesdestacados Thales de Mileto y Platn. sta alcanz su mximo apogeo en el 300a.C. con la aparicin de la obra de Euclides titulada Elementos, un tratado detrece volmenes en el que Euclides, organizando 465 proposiciones, sintetiz ydesarroll las ideas ms notables que se conocan hasta ese momento, no slo engeometra, sino tambin en teora de nmeros y lgebra.

Euclides perteneca a la escuela de Alejandra y su gran inters por la geometrale llev a estudiar y recopilar todo el saber de la poca en una obra de granrigor matemtico, siendo uno de los primeros tratados en los que se hace uso deun mtodo axiomtico y sosteniendo, durante veinte siglos e incluso hoy da, losprincipios matemticos ms importantes.

Aseguraba la existencia de ciertos enunciados que tenan que ser aceptados comobsicos y obvios ante la imposibilidad de ser demostrados: los axiomas. En estelistado de axiomas Euclides distingui entre los postulados o cuestiones de natu-raleza geomtrica, y las nociones comunes a todas las matemticas. Algunas deestas nociones que aparecen en la obra de Euclides son:

Un punto es aquello que no tiene partes.

1.4 Comparacin entre la geometra esfrica y la geometra del plano 17


26/256

Una lnea es una longitud sin anchura.

Una recta es una lnea que yace por igual con respecto a todos sus puntos.

Las rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y por msque se prolonguen en ambos sentidos, nunca se encuentran.

A pesar de la importancia de las definiciones de superficie, plano, ngulo y lasdistintas clases de polgonos que hace Euclides, lo verdaderamente significativo

es el enunciado de una serie de postulados en los que se fundamenta su propiodesarrollo de la geometra. Estos postulados son:

1. Por dos puntos pasa una nica recta.

2. Un segmento rectilneo puede ser siempre prolongado.

3. Hay una nica circunferencia con un centro y un dimetro dados.

4. Todos los ngulos rectos son iguales.

5. Si una secante corta a dos rectas formando a un lado ngulos interiores cuyasuma es menor de dos rectos, las dos rectas suficientemente prolongados secortan en ese mismo lado.

Los esfuerzos por demostrar este quinto postulado quedan de manifiesto en lasnumerosas pruebas falsas que de l se han dado desde la aparicin de los Elementoshasta bien entrado el siglo XVIII. Finalmente, los matemticos llegaron a laconclusin de que el postulado de las paralelas era independiente de los otros cua-tro, de modo que podan existir geometras en las que la negacin de este quintopostulado fuese un axioma; nacen as las llamadas geometras no eucldeas. Esde destacar, pues, la finura y el rigor matemtico de Euclides al enunciar esteaxioma ante la imposibilidad de su demostracin.

Un axioma equivalente al quinto de Euclides es el llamado axioma de Playfair:

Dada una lnea recta y un punto que no est en esa lnea slo se puede dibujaruna lnea conteniendo el punto y sin cortar a la otra lnea.

De este modo, las geometras no eucldeas se basan en los postulados 1-4 de

Euclides y la negacin de este axioma de Playfair. En 1825, el matemtico JohanBolyai dice haber construido una geometra de este tipo y as se lo hace sabera Gauss, quien al parecer haba llegado por su cuenta a los mismo resultadosque Bolyai. Gauss, sin embargo, no public sus descubrimientos por temor alescndalo que causara entre los filsofos kantianos que opinaban que la geometraeucldea era una consecuencia de la forma de ser del espacio fsico en el quevivimos.

Las dos posibles negaciones del axioma de Playfair dan lugar a dos geometras noeucldeas bien diferentes: la geometra hiperblica o del ngulo obtuso basada enque desde una recta y un punto que no est sobre la lnea existen, al menos, doslneas que pasan por ese punto y que no intersecan a la lnea dada; y la geometraelptica o del ngulo agudo en donde dos rectas siempre se cortan.



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1.5. Problemas

1. Demostrar que los lados de un tringulo esfrico son menores que una semi-circunferencia.

2. Demostrar que la suma de los lados de un tringulo esfrico es menor quecuatro rectos.

3. Demostrar que la suma de los ngulos de un tringulo esfrico es mayor que

dos y menor que seis rectos.4. Demostrar que el menor de los ngulos de un tringulo esfrico difiere de la

suma de los otros dos en menos de dos rectos.

5. Demostrar que cualquier lado de un tringulo esfrico es menor que la sumade los otros dos y mayor que su diferencia.

6. Demostrar los criterios de igualdad de tringulos esfricos a partir de losrespectivos criterios de igualdad de triedros.

7. Demostrar que un tringulo esfrico issceles tiene iguales los ngulos opues-tos a los lados iguales y, en consecuencia, si un tringulo esfrico tiene dosngulos iguales tambin es issceles.

8. Demostrar que en todo tringulo esfrico a mayor lado se opone mayorngulo y recprocamente, a mayor ngulo se opone mayor lado.

9. Demostrar que la suma de los excesos esfricos de un tringulo esfrico ysus adyacentes vale 360o.

10. Demostrar que el defecto esfrico de un tringulo esfrico es igual al excesoesfrico de su tringulo polar.

11. Demostrar que la mayor de las distancias esfricas que unen los puntos deuna circunferencia menor de radio esfrico r con un punto C de la superficieesfrica distinto de sus polos est en la circunferencia mxima CO y es iguala d + r 360o d r segn que C sea exterior o interior a la circunferenciasimtrica de la dada respecto del centro de la esfera.

12. Demostrar que toda circunferencia mxima que dista del centro de una

circunferencia menor menos que su radio esfrico la corta en dos puntos.13. Demostrar que dos circunferencias menores de radios r > r cuyos centros

distan d son exteriores una a otra si d > r + r; son tangentes exterioressi d = r + r; son secantes en dos puntos si r r < d < r + r; yson tangentes interiores si d = r r; y son interiores la una a la otra sid < r r.


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2. Relaciones entre los elementos de un tringulo esfrico

2.1. Primera, segunda y tercera Frmulas de Bessel

Teorema 2.1 En todo tringulo esfrico, ABC se verifican las siguientes rela-ciones:

(Teorema del coseno: 1a Frmula de Bessel) El coseno de un lado es igual alproducto de los cosenos de los otros dos, ms el producto de sus senos multiplicadopor el coseno del ngulo comprendido,

cos l1 = cos l2 cos l3 + sen l2 sen l3 cos A1.

(Teorema del seno: 2a Frmula de Bessel) Los senos de los lados son propor-cionales a lo senos de los ngulos opuestos,

sen A1sen l1

=sen A2sen l2

=sen A3sen l3

.

(Analogas de Bessel: 3a Frmula de Bessel) El seno de un lado por el cosenode un ngulo adyacente a l es igual al producto del coseno del lado opuesto alngulo anterior por el seno del otro lado menos el producto del seno de dicholado opuesto por el coseno del otro lado por el coseno del ngulo opuesto al ladoinicial,

sen l1 cos A2 = cos l2 sen l3 sen l2 cos l3 cos A1.

Z

Z'

X'

X

Y=Y'

O

A1

A2

A3

A1

A2

l1

l1

l2

l2

l3

l3

l1

l2

Demostracin. Sean A1, A2, A3 y l1, l2, l3, los ngulos y los lados de un tringulo esfri-co. Sea {O; X , Y , Z } un sistema de referencia eucldeo tridimensional tal que su origen

21


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coincide con el centro de la esfera que contiene al tringulo esfrico, el eje Z vienedeterminado por la direccin del vrtice A2 y el plano XZ contiene al lado l3.

En estas circunstancias las coordenadas cartesianas (x,y,z) del vrtice A3 vendrn dadaspor:

(x,y,z) = (cos l1 cos A

2, cos l

1 sen A

2, sen l

1),

donde l1 = 90o l1 y A2 = 180o A2.

Consideremos ahora el sistema de referencia eucldeo tridimensional

{O; X , Y, Z

}de

tal forma que Y Y y el eje Z est definido por la direccin del vrtice A1. Conse-cuentemente, el eje X tambin pertenece al plano que contiene a los ejes X, Z y Z.Entonces respecto a este sistema de referencia las coordenadas cartesianas (x, y, z) delvrtice A3 vendrn dadas por:

(x, y, z) = (cos l2 cos A

1, cos l

2 sen A

1, sen l

2),

donde l2 = 90o l2 y A1 = A1.

Realizando una rotacin de ngulo l3 alrededor del eje Y haremos coincidir ambossistemas de referencia y, consecuentemente, las respectivas coordenadas cartesianas delvrtice A3. As, tendremos:

xy

z

=

cos l3 0 sen l30 1 0

sen l3 0 cos l3

x

y

z

desarrollando esta expresin se tiene:

cos l1 cos A

2 = cos l3 cos l

2 cos A

1 sen l3 sen l2,cos l1 sen A

2 = cos l

2 sen A

1,sen l1 = sen l3 cos l

2 cos A

1 + cos l3 sen l

2.

Por tantosen l1 cos A2 = cos l2 sen l3 sen l2 cos l3 cos A1,

sen l1sen A1

=sen l2

sen A2=

sen l3sen A3

,

cos l1 = cos l2 cos l3 + sen l2 sen l3 cos A1.

2.1.1. Relaciones anlogas

Proposicin 2.1 El coseno de un ngulo es igual al producto de los senos de losotros dos ngulos por el coseno del lado opuesto menos el producto de los cosenosde dichos ngulos,

cos A1 = cos A2 cos A3 + sen A2 sen A3 cos l1.

Demostracin. Aplicando la primera frmula de Bessel a uno de los lados del tringulopolar del tringulo esfrico dado, se tiene

cos l1 = cos l

2 cos l

3 + sen l

2 sen l

3 cos A

1.

22 2 Relaciones entre los elementos de un tringulo esfrico


31/256

Puesto que

l1 = A1, l2 = A2, y l3 = A3, A1 = l1,

sustituyendo estas igualdades en la ecuacin anterior nos queda finalmente

cos A1 = cos A2 cos A3 sen A2 sen A3 cos l1.

Proposicin 2.2 El seno de un ngulo por el coseno de un lado adyacente esigual al producto del coseno del ngulo opuesto a dicho lado por el seno del otrongulo ms el producto del seno y coseno de dichos ngulos, respectivamente, porel coseno del lado opuesto al ngulo inicial,

sen A1 cos l2 = cos A2 sen A3 + sen A2 cos A3 cos l1.

2.2. Frmulas de las cuatro partes, de Cagnoli y de Borda

Proposicin 2.3 (Frmula de las cuatro partes) Dados dos lados (l1, l2), el n-gulo comprendido (A3) y el ngulo opuesto a uno de ellos (A2), se verifica que

cos l1 cos A3 = sen l1 cot l2 sen A3 cot A2.

Demostracin. Partimos de las expresiones correspondientes a la 1a frmula de Besselaplicadas a los lados l2 y l3

cos l2 = cos l1 cos l3 + sen l1 sen l3 cos A2, (1)

cos l3 = cos l1 cos l2 + sen l1 sen l2 cos A3. (2)

Sustituyendo la ecuacin (2) en (1), y operando se tiene

cos l2 (1 cos2 l1) = cos l1 sen l2 sen l1 cos A3 + sen l3 sen l1 cos A2.

Sustituyendo 1 cos2 l1 por sen2 l1 y dividiendo por sen l1 sen l2 se obtiene

cot l2 sen l1 = cos l1 cos A3 +sen l3sen l2

cos A2.

Finalmente, aplicando la 2a frmula de Bessel se concluye

cos l1 cos A3 = sen l1 cot l2 sen A3 cot A2.

Proposicin 2.4 (Frmula de Cagnoli) Los elementos de un tringulo esfricoquedan relacionados por la siguiente expresin:

sen l2 sen l3 + cos l2 cos l3 cos A1 = sen A2 sen A3 cos A2 cos A3 cos l1.

2.2 Frmulas de las cuatro partes, de Cagnoli y de Borda 23


32/256

Demostracin. Consideremos las relaciones

cos l1 = cos l2 cos l3 + sen l2 sen l3 cos A1, (3)

cos A1 = cos A2 cos A3 + sen A2 sen A3 cos l1. (4)

Multiplicando la ecuacin (3) por cos A1 y la (4) por cos l1, y restndolas, se obtiene

0 = cos l2 cos l3 cos A1 + sen l2 sen l3 cos2 A1 + cos l1 cos A2 cos A3

sen A2 sen A3 cos2 l1,

es decir,

cos l2 cos l3 cos A1 + sen l2 sen l3 cos2 A1 = cos l1 cos A2 cos A3 +

+sen A2 sen A3 cos2 l1,

sustituyendo cos2 A1 = 1 sen2 A1 y cos2 l1 = 1 sen2 l1, resulta

cos l2 cos l3 cos A1 + sen l2 sen l3 sen l2 sen l3 sen2 A1 == cos l1 cos A2 cos A3 + sen A2 sen A3 sen A2 sen A3 sen2 l1. (5)

De la segunda frmula de Bessel se obtiene que

sen2 l1 sen A2 sen A3 = sen l2 sen l3 sen2 A1,

luego suprimiendo estos trminos comunes en la expresin (5), se tendr finalmente


Proposicin 2.5 (Frmulas de Borda) En un tringulo esfrico, el seno y elcoseno de un semingulo vienen dados por

sen

A12 =

sen(p l2)sen(p l3)sen l2 sen l3 , cos

A12 =

senp sen(p l1)sen l2 sen l3 .

siendo p el semipermetro de dicho tringulo.

Demostracin. Demostremos el primero de estos resultados. Despejando cos A1 de laprimera frmula de Bessel se deduce

cos A1 =cos l1 cos l2 cos l3

sen l2 sen l3.

Sustituyendo este valor en las expresiones

sen2A

2=

1 cos A2

, cos2A

2=

1 + cos A

2,



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se obtiene

2sen2A12

= 1 cos l1 cos l2 cos l3sen l2 sen l3

=cos(l2 l3) cos l1

sen l2 sen l3

=2sen 1

2(l1 + l2 l3)sen 12 (l1 + l3 l2)

sen l2 sen l3

= 2sen(p l2)sen(p l3)sen l2 sen l3

,

de donde

senA12

=

sen(p l2)sen(p l3)

sen l2 sen l3.

Efectuando un proceso anlogo se demostrara que

cosA

2=

senp sen(p l1)

sen l2 sen l3.

Corolario 2.1 En un tringulo esfrico, la tangente de un semingulo viene dadapor

tan A12

=

sen(p l1) sen (p l3)senp sen(p l2)

.

Las frmulas de Borda se aplican en la resolucin de tringulos esfricos me-diante la aplicacin del clculo logartmico. Si utilizamos calculadoras resultaconveniente usar las siguientes expresiones

senA12

=

cos(l2 l3) cos l1

2 sen l2 sen l3, cos

A12

=

cos l1 cos(l2 + l3)

2 sen l2 sen l3,

y, en consecuencia: tanA12

=

cos(l3 l2) cos l1cos l1 cos(l2 + l3) .

Proposicin 2.6 El seno y el coseno de un semilado en un tringulo esfricovienen dados por

senl12

=

sen E sen(A1 E)

sen A2 sen A3, cos

l12

=

sen(A2 E) sen( A3 E)

sen A2 sen A3.

dondeE denota el semiexceso esfrico del tringulo.

Corolario 2.2 La tangente de un semilado viene dada por

tanl12

=

sen E sen(A1 E)

sen(A2 E) sen (A3 E).

2.2 Frmulas de las cuatro partes, de Cagnoli y de Borda 25


34/256

De forma anloga al caso anterior, en el clculo prctico con calculadoras se sue-len utilizar las siguientes expresiones:

senl12

=

cos(A2 + A3) + cos A1

2 sen A2 sen A3cos

l12

=

cos(A2 A3) + cos A1

2 sen A2 sen A3

y, consecuentemente: tanl1

2

= cos(A2 + A3) + cos A1

cos(A2 A3) + cos A1

.

2.3. Analogas de Gauss-Delambre y de Neper

Proposicin 2.7 Las cuatro analogas de Gauss-Delambre se expresan por:

senA1 + A2

2

cosA32

=cos

l1 l22

cosl32

,sen

A1 A22

cosA32

=sen

l1 l22

senl32

,

cosA1 + A2

2

senA32

=cos

l1 + l22

cosl32

,cos

A1 A22

senA32

=sen

l1 + l22

senl32

.

Demostracin. Si en las frmulas

senA1 A2

2= sen

A12

cosA22

cos A12

senA22

,

cosA1 A2

2= cos

A12

cosA22

sen A12

senA22

,

sustituimos los valores obtenidos por la frmula de Borda para:

cosA12

, cosA22

, senA12

, senA22

,

tendremos

senA1 A2

2=

senp sen(p l3)

sen l1 sen l2

sen(p l2) sen(p l1)

sen l3

= cosA32

sen(p l2) sen(p l1)

sen c

,

cosA1 A2

2=

sen(p l1)sen(p l2)

sen l1 sen l2

senp sen(p l3)

sen l3

= cosA32

senp sen(p l3)

sen l3

.



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Pero

sen(p + l1) + sen (p l2) = 2sen l32

cosl1 l2

2,

sen(p l2) sen(p l1) = 2cos l32

senl1 l2

2,

senp + sen (p l3) = 2sen l1 + l22

cosl32

,

senp sen(p l3) = 2cos l1 + l22

senl32

,

sen l3 = 2 senl32

cosl32

,

luego sustituyendo y separando valores, se tiene

senA1 + A2

2

cosA32

=cos

l1 l22

cosl32

,sen

A1 A22

cosA32

=sen

l1 l22

senl32

,

cosA1 + A2

2

sen A32

=cos

l1 + l22

cos l32

,cos

A1 A22

sen A32

=sen

l1 + l22

sen l32

.

Al participar en estas expresiones los seis elementos del tringulo, suelen ser muytiles para comprobar los valores de dichos elementos calculados mediante otrasexpresiones.

Proposicin 2.8 Las cuatro analogas de Neper se enuncian como sigue:

tanA1 + A2

2

cotA32

=cos

l1 l22

cosl1 + l2

2

,tan

A1 A22

cotA32

=sen

l1 l22

senl1 + l2

2

,

tan l1 + l22

tanl32

=cos A1 A2

2

cosA1 + A2

2

,tan l1 l2

2

tanl32

=sen A1 A2

2

senA1 + A2

2

.

Demostracin. Una demostracin obvia resulta de considerar las expresiones de laproposicin anterior. No obstante, a continuacin, veremos cmo se demuestran estasecuaciones directamente. Partimos de las ecuaciones

cos A1 = cos A2 cos A3 + sen A2 sen A3 cos l1,cos A2 = cos A1 cos A3 + sen A1 sen A3 cos l2.

Sumando ambas expresiones, resulta

(cos A1 + cos A2)(1 + cos A3) = sen A3 (sen A2 cos l1 + sen A1 cos l2). (6)

2.3 Analogas de Gauss-Delambre y de Neper 27


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De la segunda frmula de Bessel

sen l1sen A1

=sen l2

sen A2=

sen l3sen A3

=1

m,

se obtienesen A1 = m sen l1, sen A2 = m sen l2, (7)

que al sustituir en la ecuacin (6), se transforma en

(cos A1 + cos A2)2 cos2 A3

2= 2 sen

A32

cosA32

m sen(l1 + l2), (8)

de donde

cos A1 + cos A2 = 2 m tanA32

senl1 + l2

2cos

l1 + l22

. (9)

De las relaciones en (7), se deduce

sen A1 + sen A2 = 2 m senl1 + l2

2cos

l1 l22

,

sen A1 sen A2 = 2 m cos l1 + l22

senl1 l2

2,

y dividiendo cada una de estas igualdades por la expresin (9), se obtiene

sen A1 + sen A2cos A1 + cos A2

=cos

l1 l22

cosl1 + l2

2

cotA32

, (10)

sen A1 sen A2cos A1 + cos A2

=sen

l1 l22

senl1 + l2

2

cotA32

, (11)

puesto que los primeros miembros de las igualdades (10) y (11) equivalen, respectiva-mente, a

2 senA1 + A2

2

cosA1 A2

22 cos

A1 + A22

cosA1 A2

2

,

2 cosA1 + A2

2

senA1 A2

22 cos

A1 + A22

cosA1 A2

2

se tiene, finalmente, que

tanA1 + A2

2

cotA32

=cos

l1 l22

cosl1 + l2

2

,tan

A1 A22

cotA32

=sen

l1 l22

senl1 + l2

2

.

Procediendo de igual modo, y partiendo de las ecuaciones

cos l1 = cos l2 cos l3 + sen l2 sen l3 cos A1,cos l2 = cos l1 cos l3 + sen l1 sen l3 cos A2,



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se obtendran las otras dos expresiones buscadas, esto es

tanl1 + l2

2

tanl32

=cos

A1 A22

cosA1 + A2

2

,tan

l1 l22

tanl32

=sen

A1 A22

senA1 + A2

2

.

2.4. Frmulas diferenciales

Proposicin 2.9 La variacin que experimenta un lado al variar los otros doslados y el ngulo comprendido viene dada por:

dl1 = cos A3 dl2 + cos A2 dl3 + sen l3 sen A2 dA1.

Demostracin. Consideremos la 1a frmula de Bessel:

cos l1 cos l2 cos l3 sen l2 sen l3 cos A1 = 0.Diferenciando se obtiene:

sen l1 dl1 + (sen l2 cos l3 cos l2 sen l3 cos A1) dl2++(cos l2 sen l3 sen l2 cos l3 cos A1) dl3 + sen l2 sen l3 sen A1 dA1 = 0.

Sustituyendo las expresiones de los parntesis por las correspondientes igualdades dadaspor las Analogas de Bessel (3a frmula de Bessel), utilizando la relacin del seno ydividiendo por sen l1, se obtiene finalmente:

dl1 = cos A3 dl2 + cos A2 dl3 + sen l3 sen A2 dA1.

En esta expresin si uno de los elementos conocidos no vara el miembro corres-pondiente se anula.

Proposicin 2.10 La variacin que experimenta un lado viene dada por:

1. En funcin de las variaciones de dos ngulos y el lado comprendido

sen A3 dl1 = sen l2 dA1 + cos A3 sen l1 dA2 + sen A1 cos l2 dl3

sen A3 dl2 = sen l1 dA2 + cos A3 sen l2 dA1 + sen A2 cos l1 dl3

2. En funcin de las variaciones de dos ngulos, uno de los cuales es su o-puesto, y el lado opuesto al otro ngulo adyacentes

cot l1 dl1 = cot l2 dl2 + cot A1 dA1 cot A2 dA2cot l1 dl1 = cot l3 dl3 + cot A1 dA1 cot A3 dA3

Proposicin 2.11 La variacin que experimenta un ngulo viene dada por:

1. En funcin de las variaciones de los tres lados

sen l1 dA2 = sen A3 dl2 cos l1 sen A2 dl3 sen l2 cos A3 dl1sen l1 dA3 = sen A2 dl3 cos l1 sen A3 dl2 sen l3 cos A2 dl1

2.4 Frmulas diferenciales 29


38/256

2. En funcin de las variaciones de los otros dos ngulos y del lado compren-dido

dA1 = sen l2 sen A3 dl1 cos l3 dA2 cos l2 dA3

Las frmulas precedentes proporcionan directamente las variaciones que experi-menta un lado o un ngulo al variar tres de los otros elementos del tringulo ypermiten estudiar la influencia que el error existente en un elemento produce enlos otros; posibilitando la eleccin previa de las frmulas ptimas que minimizanla influencia de estos errores.

2.5. Problemas

1. Demostrar las frmulas de Bessel en un tringulo esfrico a partir del trin-gulo plano obtenido como la proyeccin radial del tringulo esfrico sobreel plano tangente a la esfera y que contiene a un vrtice de dicho tringuloesfrico.

2. Demostrar la 2a frmula de Bessel a partir de combinaciones sumas yrestas de las ecuaciones que conforman el grupo de la 1 a frmula de Bessel.

3. Demostrar que: sen A1 cos l2 = cos A2 sen A3 + sen A2 cos A3 cos l1.

4. Demostrar que: cos l2

cos A1

= sen l2

cot l3 sen A

1cot A

3.

5. Demostrar que:


6. Demostrar que:

cosA22

=

senp sen(p l2)

sen l1 sen l3=

cos l2 cos(l1 + l3)

2 sen l1 sen l3

siendo p el semipermetro del tringulo esfrico.

7. Demostrar que:

senl22

=

sen E sen(A2 E)

sen A1 sen A3=

cos Scos(SA2)

sen A2 sen A3

siendo E y S el semiexceso esfrico y la semisuma de los ngulos del trin-gulo esfrico, respectivamente.

8. Demostrar que:

cosl12

=

sen(A2 E) sen(A3 E)

sen A2 sen A3=

cos(A2 A3) + cos A1

2 sen A2 sen A3

siendo E el semiexceso esfrico del tringulo esfrico.



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9. Demostrar que:

i)sen

A1 A22

cosA32

=sen

l1 l22

senl32

, ii)cos

A3 + A22

senA12

=cos

l3 + l22

cosl12

.

10. Demostrar que:

i)sen

A1 + A32

cosA22

=cos

l1 l32

cosl22

, ii)cos

A2 A32

senA12

=sen

l2 + l32

senl12

.

11. Expresar en funcin de los lados el producto: sen A1 sen A2 sen A3; y enfuncin de los ngulos el producto: sen l1 sen l2 sen l3.

12. Demostrar que si D es un punto del lado BC del tringulo esfrico ABCentonces: cos AD sen BC = cos AB sen DC + cos AC sen BD.

13. Demostrar que:

i) dA1 = sen l2 sen A3 dl1 cos l3 dA2 cos l2 dA3.

ii) sen A3 dl1 = sen l2 dA1 + cos A3 sen l1 dA2 + sen A1 cos l2 dl3.

iii) cot l1 dl1 = cot l2 dl2 + cot A1 dA1 cot A2 dA2.

iv) sen l1 dA2 = sen A3 dl2 cos l1 sen A2 dl3 sen l2 cos A3 dl1.


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3. Resolucin de tringulos esfricos

3.1. Resolucin de tringulos esfricos rectngulos

Sustituyendo los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo recto enlas frmulas obtenidas en el captulo anterior se obtendrn las correspondientesexpresiones que permiten resolver los tringulos esfricos rectngulos. Sin perdidade generalidad supondremos A1 = 90o.

Proposicin 3.1 En todo tringulo esfrico rectngulo se verifican las siguientesrelaciones:

i) cos l1 = cos l2 cos l3

ii) sen l2 = sen l1 sen A2

iii) tan l2 = tan l1 cos A3

iv) tan l2 = sen l3 tan A2

(v) cos l1 = cot A2 cot A3

(vi) cos A2 = sen A3 cos l2

Como en todo tringulo esfrico rectngulo existe siempre un elemento conocidoa priori, el ngulo recto, ser suficiente que conozcamos dos de los cinco elementosrestantes para que el tringulo quede determinado por completo.

Las combinaciones esencialmente distintas a que esos cinco elementos darn lugarvienen dadas por el conocimiento de la hipotenusa y un cateto; o los dos catetos;o la hipotenusa y un ngulo oblicuo; o un cateto y el ngulo oblicuo adyacente;dos ngulos oblicuos; o, finalmente, un cateto y el ngulo oblicuo opuesto.

Corolario 3.1 En todo tringulo esfrico rectngulo el nmero de lados superioresa 90o es siempre par; esto es, o son los tres lados menores que 90o, o tan solouno de ellos lo es.

Demostracin. Pueden ocurrir los siguientes casos:

1. Si l1 < 90o entonces cos l1 > 0 y como cos l1 = cos l2 cos l3 debe verificarse que:

{cos l2 > 0, cos l3 > 0} o {cos l2 < 0, cos l3 < 0}. Luego {l2, l3} < 90o o {l2, l3} >90o.

2. Si l1 > 90o, entonces cos l1 < 0 y de forma anloga al caso anterior debe verifi-carse que: {cos l2 > 0, cos l3 < 0} o {cos l2 < 0, cos l3 > 0}, y consecuentemente{l2 < 90o, l3 > 90o} o {l2 > 90o, l3 < 90o}.

Corolario 3.2 En todo tringulo esfrico rectngulo, cada cateto y su ngulo

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opuesto son de la misma especie; esto es, o los dos son agudos, o los dos ob-tusos.

Demostracin. En las ecuaciones tan l2 = sen l3 tan A2 y tan l3 = sen l2 tan A3, tanto elsen l2 como el sen l3 son siempre positivos, luego sig(tan l2) = sig(tan A2) y sig(tan l3) =sig(tan A3), con lo cual, o ambos son agudos o ambos son obtusos.

De igual modo, se podra haber demostrado a partir de las ecuaciones

cos A2 = sen A3 cos l2 y cos A3 = sen A2 cos l3,

pues en ellas sen A2 y sen A3 son siempre positivos; y por tanto sig(cos l2) = sig(cos A2)y sig(cos l3) = sig(cos A3).

Si el tringulo esfrico tiene dos ngulos rectos, los lados opuestos son iguales a90o, y el tercer ngulo es igual al tercer lado; y si el tringulo es trirrectngulo,los tres lados son iguales a 90o. En ninguno de ambos casos habra problema queresolver.

3.1.1. Pentgono de Neper

La frecuencia con que se utilizan las frmulas relativas a los tringulos rectngu-

los ha hecho que se hayan buscado diversas reglas mnemotcnicas que permitanrecordarlas u obtenerlas con suma sencillez. De entre todas ellas, la utilizada conmayor frecuencia es el denominado Pentgono de Neper que consiste en situaren cada uno de los vrtices de un pentgono, segn el orden que se indica, loselementos siguientes:

l1 A2 90o l3 90

o l2 A3

l1

A2 A3

90o l3 90o l2

A1 = 90o

Figura 3.1: Pentgono de Neper para tringulos esfricos rectngulos

Dados tres elementos podr ocurrir que sean consecutivos o que uno de ellos estseparado de los otros dos. Por ello, nicamente sern suficientes para obtenertodas las frmulas anteriores, las reglas siguientes:

34 3 Resolucin de tringulos esfricos


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Regla 1 El coseno de un elemento cualquiera es igual al producto de lossenos de los elementos opuestos.

Regla 2 El coseno de un elemento cualquiera es igual al producto de lascotangentes de los elementos adyacentes.

A continuacin se analizarn dos posibles situaciones dejndose el resto comoejercicio para el lector.

1. Resolucin conociendo la hipotenusa y un cateto

Supongamos que A1 = 90o y que los datos son l1 y, por ejemplo, l2. Para resolverel tringulo procedemos como sigue:

Del Pentgono de Neper se obtienen las expresiones:

cos l1 = sen(90o l2) sen(90o l3),

cos(90o l2) = sen l1 sen A2,

cos A3 = cot l1 cot(90o l2),

luego

cos l3 = cos l1cos l2, sen A2 = sen l2sen l1

, cos A3 = tan l2tan l1. (12)

Al proceder de un coseno, estas expresiones proporcionan sin ambigedad losvalores de l3 y A3. El valor del ngulo A2 procede de un seno y consecuentemente,podra pertenecer al primer o segundo cuadrante, pero teniendo en cuenta que hade ser de la misma especia que el lado l2, agudos u obtusos, dicha ambigedad noexiste.

Proposicin 3.2 La condicin necesaria y suficiente para que este caso tenga

solucin es que el valor de la hipotenusa est comprendido entre el valor del cateto

y el suplementario de ste.

Demostracin. Para que el problema tenga solucin es preciso que cada una delas razones de (12) sea en valor absoluto menor que la unidad. As, por ejemplo,

sen A2 =sen l2sen l1

< 1 sen l2 < sen l1.

Teniendo en cuenta los valores relativos de l1 y l2, se cumplir que

l1 < 90o

l2

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