Astrofísca AvanzadaMáster Fisymat

Bloque III: Introducción amétodos numéricos en

astrofísica

Curso 2010-2011 Isabel Pérez

Introducción a métodosnuméricos en astrofísica

Parte I–Formalismos Euleriano y Lagrangiano–Aproximaciones numéricas a las ecuaciones diferencialesParte II–Metodos N-cuerpos, SPH, hidrodinámica Euleriana–Condiciones iniciales, realizaciones N-cuerpos–Código Gadgethttp://www.mpa-garching.mpg.de/gadget/–Detalles de la prácticaParte IIISimulación de la evolucion de una galaxia con halo, bulbo ydisco usando un código de N-cuerpos (Gadget)

Entender los flujos hidrodinámicos, la mecánicaorbital y el transporte de radiación es crucialpara entender como funciona el universo. Sonprocesos muy complejos

Los métodos analíticos (también teoría de la perturbación) involucran unaaproximación en las leyes físicas que regulan los diferentes procesos. Aveces estas aproximaciones están justificadas y nos ayudan a comprendermejor que procesos f ísicos que dominan.

Ejemplo: para resolver analíticamente las ecuaciones de la estructuraestelar se asume que la densidad y/o la temperatura varian linearmentecon la distancia al centro, se asumen ciertas condiciones de contorno,que el coeficiente de producción de energia es constante hasta z=R/4 ycero de ahí a la superficie, etc. asi podemos simplificar las ecuacionesdiferenciales que describen el problema( equilibrio hidrostático +ecuación de continuidad de masa + ecuación de conservación de laenergía + ecuación del transporte de radiación) en un conjunto deecuaciones simples que nos dan cualitativamente resultados válidossobre la estructura estelar

Cuando empezamos a explorar regímenes en los que no podemos resolverLas ecuaciones analíticas utilizamos metodos numéricos. Es muy util obteneruna estimación analítica de los ordenes de magnitud involucradospara compararlos a nuestros resultados numéricos. Incluso los tratamientosnuméricos mas complejos involucran aproximaciones y también hay numerososefectos numéricos no físicos que necesitan ser tratados, pero nos permiteninternarnos en la exploración de regiones en las que los procesos físicos sondesconocidos.

Weiqun Shang, S.E. Woosley,University of California, SantaCruz, and A. Heger, Los AlamosNational Laboratory

• La función de distribución describe en número departículas en un tiempo t que están entre x y x+dx y tienenmomento entre p y p+dp

Asumimos que las partículas están sujetas a un campo defuerza externo F que no cambia en una distancia comparablea la distancia entre partícula• Las ecuaciones hidrodinámicas y las de transporte de

radiación se derivan de los diferentes momentos de laecuación de Boltzman que describe la evolución de lafunción de distribución en el espacio de fase

Leyes de la hidrodinámicaEcuación de laconservacion de la masa

Ecuación de laconservación delmomento

Momento por unidad devolumen, densidad demomento

Momento por unidad dearea y tiempo, flujo demomento

Fuerza que aparece por el gradiente de presión, queresulta del intercambio de energía de la velocidad delfluido y las velocidades peculiares de las partículasdel fluido

Ecuación de la energia Este término describe laexpansión o contracción delmedio

Para resolver estas ecuaciones,necesitamos una relación entre la presión yla energía interna por unidad de volumen(ecuación de estado)

Leyes de la hidrodinámica

En las ecuaciones anteriores se describe la evolución delestado del medio a una posición fija (formulación Euleriana) laderivada del tiempo se refiere a los cambios que ocurren comoresultado del flujo del medio por una posición determinada

En una formulación Lagrangiana la derivada d/dt esta en unsistema que co-mueve con el medio, y se refiere a los cambiosen un elemento/parcela del fluido al cambiar de estado yposicion.

A la posición ocupada por un elemento del fluido en un tiempot, la velocidad Lagrangiana tiene que ser igual a la velocidadEuleriana con la que el elemento de fluido pasa la posición

Leyes de la hidrodinámica

Ecuaciones Lagrangianas delmovimiento de fluidos:

La velocidad Lagrangiana representa la velocidad en una parcela de fluido,mientras que la velocidad Euleriana representa la velocidad de un fluido aun tiempo y espacio determinado. Las leyes de la hidrodinámica soninherentemente lagrangianas puesto que se aplican a un fluido enmovimiento en vez de a un fluido que esta en en un lugar del espacio en ntiempo determinado.

• Podemos generalizar las ecuaciones anteriores suponiendoque el intercambio de partículas entre las diversas parcelasde fluido no es despreciable(fricción interna o viscosidad)Ecuación de Navier-Stokes

• Transferencia de radiación (la energía interna no estransportada por el flujo del medio, es transportada porfotones) momentos de la ecuación de Boltzman parafotones

• Medio conductor y magnetizado (ecuaciones de lamagnetohidrodinámica)

Aproximaciones numéricas a lasecuaciones diferenciales parciales

(EDPs)modelar EDPs implica resolver los valores iniciales(la evolución de un sistema descrito por una EDP esseguido en el tiempo) o resolver los valores decontorno (una o mas funciones describiendo elsistema se encuentran a cada momento dado)• Ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicasPara resolver una EDP en un ordenador tenemos quediscretizar, es decir transformar la ecuación en unsistema algebraico de ecuaciones.

Aproximaciones numéricas a lasecuaciones diferenciales parciales

(EDPs)Discretización (cont.)Para ayudarnos en esta transformación usamos puntos decuadricula o ‘mesh points’ elegidos en el interior y borde deldominio de interés (dominio computacional) todos los puntosconstituyen la red-cuadricula grid (mesh) si tenemosderivadas en tiempo también podemos contruir un grid. Lasderivadas son remplazadas por incrementos finitos

Aproximaciones numéricas a lasecuaciones diferenciales parciales

(EDPs)Discretizacion (cont.)

Que le pedimos a un esquemapara resolver nuestras EDPs

• Estabilidad• Precisión• Consistencia• Eficiencia en CPU

Estabilidad• Incondicionalmente estable si el error decrece con el

tiempo• condicionalmente estable si decrece (y el intervalo de

tiempo esta por debajo de un valor crítico.• El error crece y termina enmascarando las solucion fisica

realVarios esquemas para probar la estabilidad (analisis von

Neumann , esquem de DuFort-Frankel…)

Soluciones numericas de du/dt=-u(t)Con la condicion inicial u(0)=1

Difusión, dispersión y resolución del ‘grid’En muchos esquemas de discretización se introducen términosen las ecuaciones diferenciales que no estaban en las originales• Si los errores están dominados por el termino compuesto de

las derivadas espaciales de segundo orden, habrá perdida deprecisión através de la difusión numérica (resolver conintervalos espaciales y temporales menores..esquemas deordenes más altos mejoran el problema)

• Si los errores están dominados por la tercera derivadaespacial se introduce dispersión numérica (la velocidad depropagación de la onda en el grid depende la longitud deonda (problemática al alcanzar la resolución de la red)

http://www.lifelong-learners.com/pde/SYL/s1node13.php• Un esquema también tiene que ser consistente..la ecuación

original se tiene que poder recuperar en el limite ∆t, ∆x → 0

Hundimiento de la plataformapetrolifera Sleipner A en 1991

La plataforma de arriba pesa 57000toneladas con un equipo de 40000toneladas, cuando se hundió seprodujo un seismo de 3.0 en la escalade Richter involucro una perdida de700 millones de dólares.

El fallo se produjo por una imprecisión en la aproximación delmodelo elástico de uno de los componentes, el cizallamientode subestimó por un 47%. Un análisis de elementos finitosmás detallado después del desastre predijo que se produciríaun fallo a 62 metros, se produjo a 65 metros