Asentamientos

Problemas resueltos de mecánica de suelos

24

CAPITULO NUEVE

Asentamientos

9.1. Introducción.

El asentamiento en las fundaciones superficiales está compuesto por tres componentes, el

asentamiento inmediato (Si), el asentamiento por consolidación primaria (Sc) y el

asentamiento por consolidación secundaria (Ss). El cálculo del asentamiento inmediato en

general se basa en la teoría elástica. Los otros dos componentes de asentamiento resultan de

la expulsión gradual de agua y del reordenamiento de partículas bajo carga constante,

respectivamente. La importancia relativa de los componentes de asentamiento según el tipo

de suelo, es presentada en la Tabla.

Tipo de suelo S i S c S s

Arena Si No No

Arcilla Relativa Si Relativa

Suelo orgánico Relativa Relativa Si

Asentamiento inmediato. Es estimado a partir de los parámetros elásticos del suelo. Para

suelos predominantemente cohesivos, esta teoría es buena, debido a que se asumen

condiciones de homogeneidad e isotropía no tan alejadas de la realidad. Como datos para el

cálculo, se requieren el módulo de elasticidad no drenado EU y el coeficiente de Poisson .

Por otro lado, para la estimación del asentamiento inmediato de suelos granulares sin

cohesión, se recomienda utilizar los métodos semi empíricos en los que sí se toma en cuenta

la variación de los parámetros elásticos, como por ejemplo el método de Schmertmann.

Asentamiento por consolidación primaria. El asentamiento por consolidación es propio de

suelos saturados cohesivos o de baja permeabilidad sujetos a un incremento en el esfuerzo

efectivo que se traduce en un incremento en la presión de poros. Si bien el agua y las

partículas de suelo son virtualmente incompresibles, el cambio de volumen en la masa de

suelo se debe a la expulsión gradual del agua de los poros. Para predecir el asentamiento por

consolidación, es necesario conocer las propiedades esfuerzo – deformación en una masa de

suelo. Para esto, se desarrolla una prueba de laboratorio denominada consolidación

unidimensional (prueba del edómetro), en la cual la muestra puede deformarse solamente en

dirección vertical. La deformación horizontal es impedida.

Las ecuaciones para la estimación del asentamiento por consolidación primaria a partir de los

parámetros obtenidos en laboratorio, son presentadas en el Anexo I.

De forma meramente casual, el método de consolidación primaria unidimensional resulta

muy acertado para la estimación del asentamiento total (Si + Sc). Para arcillas rígidas el

asentamiento total es igual al asentamiento edométrico (total = edómetro). Para arcillas blandas

el asentamiento total es igual a 1,1 veces el asentamiento edométrico (total = 1,1 x edómetro).

Finalmente, en cuanto a la estimación del tiempo de consolidación, el Anexo I presenta las

ecuaciones y tablas basadas en la teoría de consolidación unidimensional de Terzaghi.

Asentamiento por consolidación secundaria. A diferencia de la consolidación primaria, el

proceso de consolidación secundaria no contempla la expulsión de agua de los poros, sino

más bien se refiere a la reorientación, fluencia y descomposición de materiales orgánicos en

el suelo por lo que tampoco es preponderante un cambio en el esfuerzo efectivo para su

desarrollo. Las ecuaciones para su estimación son presentadas en el Anexo I.

Capítulo 9 Asentamientos

25

9.2. Problemas resueltos.

PROBLEMA 1

La estratigrafía de un terreno está formada por 5 m de arcilla normalmente consolidada, todo

ello sobre un macizo rocoso compuesto de arenisca de permeabilidad alta. El nivel freático se

halla a 2 m de la superficie del terreno (Figura 9.1). El peso unitario saturado de la arcilla es

21 kN/m3.

Con una muestra inalterada obtenida a 2,5 m de profundidad se realizó un ensayo de

consolidación, habiéndose alcanzado los siguientes resultados:

Índice de vacíos inicial = 0,58

Índice de compresibilidad = 0,11

Coeficiente de consolidación = 0,20 m2/año ( parámetro correspondiente al rango de

presiones al que estará sometido el suelo)

En la superficie del terreno se proyecta construir un tanque de almacenamiento de

combustible de 5m de diámetro, mismo que ejerce una presión vertical sobre el suelo de 143

kN/m2. Este tanque duplicará la presión vertical efectiva que existe en la arcilla actualmente.

5

eo=0,58cc=0,11cv=0,2 m /año

2

Arcilla N.C.

Macizo rocoso muy fracturado

Figura 9.2. Carga sobre el suelo.

Se requiere:

a) Calcular el asentamiento.

b) ¿Qué tiempo en años será necesario para alcanzar el 50 % del asentamiento en la capa de

arcilla?


26

Solución .

aa)) Calcular el asentamiento.

El asentamiento debido a la consolidación de la arcilla NC es calculado, por la ecuación:

o

pro

o

ccC

p

pp

e

HcS log

1

Reemplazando los valores se tiene que:

mmSC 422 log 58,01

)2000)(11,0(

Este valor resulta ser el asentamiento por consolidación del ensayo del edómetro (ensayo de

consolidación), o sea:

mmoedSC 42)(

Éste debe ser corregido por factores empíricos para obtener el asentamiento por

consolidación real. En este caso se puede emplear el criterio de Skempton & Bjerrum (Tabla

9.2) para arcillas suaves normalmente consolidadas, según el cual el valor del factor

corrección es de 1

)(oedSS CC

Entonces:

SC = 42 mm

El asentamiento inmediato producido en la arena puede ser calculado según la ecuación E-3

propuesta por Harr (en este caso para fundaciones flexibles). Para el ejemplo, B = 5 m, ES =

25 MN/m2, S = 0,3. El coeficiente av se puede obtener de la Figura E,1 del Anexo E.

b) Tiempo en años para alcanzar el 50 % del asentamiento en la capa de arcilla.

El esfuerzo vertical efectivo inicial en el punto medio de la arcilla, empleando un valor para

el peso unitario del agua de 10 kN/m3.

o = (2)(18) + (1)(20) + (1)(21) – (2)(10)

o = 57 kN/m2


27

Entonces, el incremento de esfuerzo promedio efectivo en ese punto es igual a

pav = 57 kN/m2

A continuación se procede a estimar la carga neta en la superficie mediante un proceso

inverso utilizando la ecuación de incremento de esfuerzo por debajo de una fundación

circular flexible.

2

32

2/1

11

zB

qp o

Para B = 5 m y z = 3 m, 4 m, 5 m se obtiene que:

2

322

322

32

52

51

11

42

51

114

32

51

11

6

oav

qp

57 = qo (0,399)

Por lo que la carga neta a nivel de fundación es:

qo = 143 kN/m2

Como las hipótesis de Harr H = no se cumple, se deben hacer correcciones mediante los

coeficientes F1 y F2. Estos coeficientes se pueden obtener de las figuras E.2 y E.3 del Anexo

E.

Para:

1

6,0

BL

BH

075,0

08,0

2

1

F

F

Finalmente se tomará la ecuación E-4 del Anexo E.

2

2

1

22111

2

FFEs

qBS ssss

oi

)075,0()3,0(23,01)08,0(3,013,0125000

)143)(5( 222 iS

Si = 0,00291 m = 3,0 mm


28

El asentamiento calculado corresponde al asentamiento en la parte central del tanque.

Empleando la Tabla E.1 del Anexo E, para un grado de consolidación del 50 %, se obtiene

que el factor del tiempo correspondiente a un 50% de consolidación es:

Tv = 0,197

Mediante la ecuación E-14 del anexo E, se sabe que:

v

drv

c

HTt

2

Para el ejemplo, cv = 0,20 m2/año, Hdr = 1 m (doble drenaje), ya que el agua de los poros en la

arcilla será expulsada hacia el estrato superior de arena y hacia la base rocosa fracturada,

20,0

)1( )197,0( 2

t

t 1 año

Finalmente, se concluye que al cabo de un año (50% de consolidación) el asentamiento

máximo de la fundación será:

St (42)(0,50) + 2,0

St = 23 mm


29

PROBLEMA 2

Se planea construir un edificio de hormigón armado de 10 niveles (incluyendo sótano). La

presión aplicada al terreno por nivel es de 10 kN/m2. La fundación de la estructura consiste

de una losa rectangular flexible de 10 m de ancho y 20 m de largo, apoyada a 4 m de

profundidad. La estratigrafía del terreno consiste de 8 m de arcilla sobre - consolidada que

descansa sobre roca impermeable (Figura 9.3). Los parámetros obtenidos del estudio

geotécnico son los siguientes:

Profundidad del nivel freático respecto a la superficie del terreno = 1 m

Peso unitario de la arcilla = 19 kN/m3

Coeficiente de compresibilidad volumétrica = 0,14 m2/MN

Coeficiente de consolidación = 10 m2/año

(Estos dos últimos parámetros corresponden al rango de presiones al que será

sometido el suelo).

Se requiere:

a) Calcular el asentamiento total del punto central de la losa de fundación, en mm

b) Calcular el asentamiento total en una de las esquinas de la losa de fundación, en mm.

c) Calcular la magnitud del asentamiento diferencial producido entre el punto central y la

esquina de la losa.

d) Suponiendo en principio un exceso de presión de poros uniforme (uo constante), y una

longitud o trayectoria de drenaje de 4 m, estimar el tiempo en años que será necesario

para alcanzar el 90% del asentamiento total.

Figura 9.3. Edificio en estrato de suelo.

Solución.

a) Calcular el asentamiento total del punto central de la losa de fundación

El edificio tiene 10 plantas, por lo tanto la carga bruta es:

q = (10)(10) = 100 kN/m2


30

La carga neta a nivel de fundación es:

fon Dqqqq ''

Para = 19 kN/m3 y una profundidad de fundación Df = 4 m, se tiene:

qn = 100 – (4)(19) = 24 kN/m2

Para el caso de una fundación flexible se puede emplear la ecuación D-7 del Anexo D

p = q I3

En este caso q = 24 kN/m2 y el factor I3 puede ser determinado de la Tabla D.4 del Anexo D.

Para determinar el asentamiento del centro de la losa, se analiza la cuarta parte del

rectángulo.

L = 20 / 2 = 10 m, B = 10 / 2 = 5 m, z = 2 m

De este modo se obtiene que el esfuerzo vertical por debajo de la esquina es:

p = 5,85 kN/m2

Entonces, el incremento de esfuerzo vertical en el centro de la fundación

p = (4)(5,85) = 23,4 kN/m2

Ahora, para hallar el asentamiento de consolidación del ensayo del edómetro se tiene que:

c(oed) = mv ' H

c(oed) = (0,00014)(23,4)(4)

c(oed) = 0,0131 m = 13 mm

Valor que debe ser corregido para obtener el asentamiento total de la arcilla. En este caso se

puede emplear el criterio de Burland para arcillas rígidas sobreconsolidadas, según el cual,

Stotal = Sc(oed) = c(oed)

Entonces:

Stotal = 13 mm

b) Calcular el asentamiento total en una de las esquinas de la losa de fundación.

En este caso q = 24 kN/m2 y el factor I3 puede ser determinado de la Tabla D.4 del Anexo D.

Para determinar el asentamiento de la esquina de la losa, se analiza toda la losa.

L = 20 m, B = 10 m, z = 2 m


31

De este modo se obtiene que el esfuerzo vertical por debajo de la esquina es:

p = 5,98 kN/m2

El asentamiento de consolidación del ensayo del edómetro

c(oed) = mv H

c(oed) = (0,00014)(5,98)(4)

c(oed) = 0,0033 m = 3,3 mm

Valor que se corrige para obtener el asentamiento total de la arcilla. En este caso se empleará

el criterio de Burland para arcillas rígidas sobreconsolidadas, según el cual:

Stotal = Sc(oed) = c(oed)

Entonces:

Stotal = 3,3 mm

c) Se pide encontrar el asentamiento diferencial entre los puntos previamente analizados.

Asentamiento diferencial producido:

= 13 – 3,3 = 9,7 mm

d) Empleando la Tabla E.1 del Anexo E, se obtiene el valor del factor tiempo,

correspondiente al 90% de consolidación

Tv = 0,848

Además se sabe que:

v

v

c

HTt

2

Para el ejemplo, cv = 10 m2/año, H = 4 m (trayectoria de drenaje), entonces:

10

)4)(848,0( 2

t

t 1,4 años


32

PROBLEMA 3

Una zapata flexible de fundación de 1,0 m x 1,0 m, soportando una carga de contacto sobre el

nivel de fundación de 200 kN, es construida a una profundidad de 1,0 m debajo de la

superficie del terreno.

El depósito de suelo está conformado por un estrato de 2,0 m de arena. El nivel freático se

encuentra a 1,0 m de profundidad respecto a la superficie. Debajo de la arena se halla un

estrato de arcilla normalmente consolidada de 2,0 m de espesor que a su vez descansa sobre

arena densa (Figura 9.4).

1m

1m

2m

200 kN

1.0m x 1.0m

Arena

Arcilla compresible

Arena densa

Figura 9.4. Zapata en perfil de suelo.

Mediante el estudio de suelos se han determinado los siguientes parámetros:

Depósito de arena

Peso unitario por encima del nivel freático = 17,0 kN/m3

Peso unitario por debajo del nivel freático = 19,0 kN/m3

Módulo de elasticidad = 20 MPa

Arcilla

Peso unitario saturado = 18,0 kN/m3

Índice de vacíos inicial = 0,7

Índice de compresión = 0,25

Índice de expansión = 0,06

Módulo de elasticidad = 25 MPa

Peso unitario del agua = 9,8 kN/m3

Se pide encontrar el asentamiento total en el centro de la fundación.


33

Solución.

El incremento de esfuerzo promedio en el estrato de arcilla está dado por:

)4(6

1bmt pppp

Si empleamos la ecuación:

p = q I

En este caso, la carga neta es:

kPaqn 0,183)17)(1()0,1)(0,1(

0,200

Asimismo, I = f (B, L, z), Para L = 1,0 / 2 = 0,5 m B = 1,0 / 2 = 0,5 m, se tiene que el

incremento de esfuerzo vertical en la esquina es:

z = 1,0 m p = 15,37 kN/m2

z = 2,0 m p = 4,94 kN/m2

z = 3,0 m p = 2,32 kN/m2

Entonces, el incremento de esfuerzo vertical bajo el centro de la fundación es:

pt = (4)(15,37) = 61,48 kN/m2

pm = (4)(4,94) = 19,76 kN/m2

pb = (4)(2,32) = 9,28 kN/m2

Y el incremento de esfuerzo promedio en el estrato, será:

)28,9)76,19)(4(48,61(6

1)4(

6

1 bmtav pppp

pav 25 kN/m2

Asentamiento inmediato en la arcilla

Se puede emplear la ecuación propuesta por Janbu, que será:

S

Oe

E

BqAAS

21

Los factores A1 y A2 se obtienen de la Figura E.5 del Anexo E.

Para estimar el asentamiento inmediato en la arcilla, se asume que el estrato de arcilla se

extiende hasta la superficie y que tiene una base rígida. En este caso, para Df/B = 1,0 / 1,0 =

1,0 se tiene:

A2 0,94


34

Además, para H / B = (3,0) / 1,0 = 3,0 se tiene:

A1 0,6

Entonces:

25

(183)(1,0))94,0)(6,0(eS

Se = 4,13 mm

Se asume luego que el primer estrato es arcilla con características iguales al segundo estrato y

con una base rígida.

En este caso, para Df / B = 1,0 / 1,0 = 1,0, se tiene:

A2 0,94

Además, para H / B = (1,0) / 1,0 = 1,0 se tiene:

A1 0,34

Luego:

25

(183)(1))94,0)(34,0(eS

Se = 2,34 mm

Entonces el asentamiento inmediato en la arcilla es la diferencia entre los dos asentamientos

anteriores.

Se = 4,13 – 2,34 = 1,79 mm

Asentamiento por consolidación en la arcilla

El esfuerzo vertical efectivo inicial en el punto medio de la arcilla

'o = (1,0)(17,0) + (1,0)(19,0–9,8) + (1,0)(18,0–9,8)

'o = 34,4 kN/m2

El asentamiento debido a la consolidación de la arcilla está dado por:

'

'

log 1

o

o

O

Coed

p

e

HCS

Por lo que,

34,4

25+34,4 log

70,01

)2000)(25,0(oedS


35

SOED = 69,77 mm

Valor que deberá ser corregido para obtener el asentamiento por consolidación real. En este

caso se puede emplear el criterio de Burland para arcillas rígidas normalmente consolidadas,

según el cual

SC = Soed

Entonces

Stotal = 69,77 + 1,79 = 71,6 mm

Asentamiento en la arena

Para calcular el asentamiento en el estrato de arena, se recurre al método propuesto por

Schmertmann, para el que se procede a dibujar un esquema del factor de influencia.

El esfuerzo efectivo inicial al nivel de la fundación (Df) y a la profundidad del factor máximo

de influencia (Df + B/2) es:

'vo = (1)(17) = 17 kPa

'vp = (1)(17) + (0,5)(19–9,8) = 21,6 kPa

El valor máximo del factor de influencia Iz y los factores de corrección C1, C2 y C3 son (v,

Ecuaciones 8.2, 8.3, 8.4):

IZ = 0,5 + (0,1)(183 / 21,6)1/2

= 0,79

C1 = 1 – (0,5)(17 / 183) = 0,95

C2 = 1,0

C3 = 1,03–0,03(1,0/1,0) = 1,0

Figura 9.5. Incremento de esfuerzo verticales.


36

Para zapatas :

zf = 0 a B/2: Iz = 0,1+(zf/B)(2Izp–0,2]

zf = 0,25 m: Iz = 0,1+(0,25/1,0)[(2)(0,79)–0,2] = 0,4450

zf = B/2 a 2B: Iz = 0,667Izp(2–zf/B)

zf = 0,75 m: Iz = (0,667)(0,79)(2–0,75/1,0) = 0,6587

Tabla 9.5. Propiedades del estrato.

Estratoi Hi [m] Izi Izi Hi/Ei

1 0,5 0,4450 0,011125

2 0,5 0,6587 0,016468

n

iE

HI

i

izi

1

027593,0

Si = (0,95)(1)(1)(183)(0,027593)

Si = 4,8 mm

Finalmente, el asentamiento total en el centro de la fundación

Stotal = Sarcilla + Sarena

Stotal = 71,6 + 4,8

Stotal 76,4 mm


37

PROBLEMA 4

Una zapata de 2,0 m x 2,0 m transmite una carga bruta de contacto de 700 kN al nivel de la

fundación que se encuentra a 1,5 m de profundidad. El estudio geotécnico ejecutado

contempló la realización de una perforación y un ensayo de penetración de cono.

Los resultados indican que el subsuelo está conformado por un depósito de arena

medianamente densa a densa, El peso unitario de la arena seca es de 16 kN/m3 y se estima

que el peso unitario saturado de la misma, es de 18 kN/m3. El nivel freático se encuentra a 2,0

m de profundidad a partir de la superficie del terreno. El agua tiene un peso unitario de 9,81

kN/m3. La Figura 9.6 muestra la variación de la presión en la punta del cono de penetración

con la profundidad. Se pide, determinar el asentamiento producido por la carga de fundación.

Figura 9.6 Resultados de la prueba CPT

Solución .

Para analizar el problema se procede a elaborar una tabla.

Como se puede apreciar en la Figura 9.6, la profundidad de influencia fue dividida en cinco

estratos según el valor promedio de presión en la punta del cono y según el índice de

influencia. La carga neta transmitida por la estructura, el esfuerzo efectivo al nivel de

fundación y al nivel del valor máximo de Iz, son:

kPaqn 151)16)(5,1()2)(2(

700

'vo = (1,5)(16) = 24 kPa

'vp = (2)(16) + (0,5)(18 – 9,81) = 36,1 kPa

Entonces, el valor máximo del factor de influencia Iz y los factores de corrección C1, C2 y C3

son (Ecuaciones 8.2, 8.3, 8.4, 8.5):


38

IZ = 0,5 + (0,1)(151 / 36,1)1/2

0,7

C1 = 1 – (0,5)(24 / 151) = 0,92

C2 = 1

C3 = 1,03–(0,03)(2,0 / 2,0) = 1

Estrato Hi [m] zi [m] Izi qc [MPa]

promedio

Es [MPa]

Promedio Izz/Es

[m/MPa]

1 0,50 0,25 0,2500 4 10 0,01250

2 0,50 0,75 0,5500 7 17,5 0,01571

3 1,00 1,50 0,5833 7 17,5 0,03333

4 1,25 2,625 0,3208 4 10 0,04010

5 0,75 3,625 0,0875 10 25 0,00263

zi es la profundidad hasta el punto medio del estrato analizado (IzHi/Ei) 0,10427

Nota: El módulo Es = 2,5 qc (para condiciones axisimétricas, B/L=1)

Finalmente, el asentamiento de la estructura es igual a:

S = (0,92)(151)(0,10427) = 14,5 mm

S = 14,5 mm


39

6 m

4m

PROBLEMA 5

Una losa de fundación de 8,0 m x 12,0 m transmite una carga neta de 80 kPa. El nivel de

fundación se encuentra a 2,0 m de profundidad.

El estudio geotécnico ejecutado determinó el perfil presentado en la Figura 9.7 el cual está

conformado por arcilla magra y arena limosa, sobre un lecho rocoso impermeable. El nivel

freático se encuentra muy cerca a la superficie.

Asumiendo que la fundación está dotada de un sistema de drenaje que permite el ingreso de

agua en toda su área, y que la deformación de la arena es despreciable.

Se pide determinar:

a) El asentamiento total de la fundación a partir de los parámetros obtenidos.

b) El tiempo que debe transcurrir para el desarrollo del 80 % de la consolidación.

A

B

5.0 m

1.0 m

5.0 m

2.0 m

B x L = 8 x 12 m1.5 m

2.5 m

nq = 80 kPa

Roca impermeable

Arena limosa

Arcilla magra

Arcilla magra

= 20 kN/mCc = 0.22Cs = 0.09e = 0.6Cv = 0.804 m /añopc = 135 kPa

3

2o

= 19 kN/mCc = 0.30Cs = 0.12e = 0.9Cv = 0.432 m /añopc = 95 kPa

o2

3

= 19 kN/m3

Figura 9.7 Perfil de suelo

Solución .

a) El asentamiento total de la fundación a partir de los parámetros obtenidos.

Para determinar el asentamiento total de la fundación, es necesario estimar el incremento de

esfuerzo efectivo vertical debido a la carga neta transmitida por la fundación.

Se analiza ¼ de fundación (ver figura).


40

A partir de las ecuaciones D-7, D-9, D-10 y la Tabla D.4 del Anexo D, se obtiene lo

siguiente:

Sea A el punto medio del estrato superior de arcilla magra (CL)

Sea B el punto medio del estrato inferior de arcilla magra (CL)

Para el punto A del estrato superior de arcilla:

pt = 80 kPa

m = 4/1,5 = 2,666 I3 = 0,2443 p m = 4 x 0,2443 x 80 78 kPa

n = 6/1,5 = 4

m = 4/4 = 1 I3 = 0,2178 p b = 4 x 0,2178 x 80 70 kPa

n = 6/4 = 1

Entonces:

pAV(A) = 77 kPa

Para el punto B del estrato inferior de arcilla:

m = 4/4 = 1 I3 = 0,1934 p t = 4 x 0,1934 x 80 62 kPa

n = 6/4 = 1,5

m = 4 / 6,5 = 0,615 I3 = 0,1341 p m = 4 x 0,1341 x 80 43 kPa

n = 6 / 6,5 = 0,923

m = 4/8 = 0,5 I3 = 0,1069 p b = 4 x 0,1069 x 80 34 kPa

n = 6/8 = 0,75

Entonces:

pAV(B) = 45 kPa

A continuación se determina el esfuerzo efectivo promedio en cada uno de los estratos de

arcilla, antes de la construcción de la fundación.

'A = (3,5)(20 – 9,81) = 35,6 kPa < Pc = 135 kPa SC

'A + pA = 113,6 kPa < Pc = 135 kPa SC

'B = (5,0)(20–9,81)+(3,5)(19 – 9,81) = 83,1 kPa < Pc = 95 kPa SC

'B + pB = 126,1 kPa > Pc = 95 kPa NC

Como se puede observar, inicialmente ambas arcillas están sobre consolidadas. Después de la

carga la arcilla superior se mantiene sobre consolidada, mientras que la arcilla inferior cambia

de estado a normalmente consolidada.

A continuación, los asentamientos de los estratos de arcilla superior (SA) e inferior (SB) son

calculados, según las ecuaciones B-7 y B-8 del Anexo B respectivamente.


41

mmSA 4,846,35

776,35log

6,01

)3000(09,0

mmSB 12195

451,83log

9,01

)5000(30,0

1,83

95log

9,01

)5000(12,0

1214,84 TOTALS

Stotal = 205,4 mm

b) El tiempo que debe transcurrir para el desarrollo del 80 % de la consolidación.

El grado de consolidación de 80% está referido al asentamiento total, por lo tanto:

U = 80% S80 = 0,80 x 205,4 = 164,32 mm

Para un tiempo t en el estrato superior de arcilla se tiene:

2

Adr

Av

AvH

tCT

Para un tiempo t en el estrato inferior de arcilla se tiene:

2

Bdr

BB

H

tCvTv

Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene:

68,205,1

5

432,0

804,02

2

2

2

Adr

Bdr

B

A

B

A

H

H

Cv

Cv

Tv

Tv

)(68,20 BA TvTv

Nótese que la altura de drenaje para la arcilla superior es de 1,5 m debido a que puede

expulsar el agua hacia la fundación y hacia el estrato de arena. La altura de drenaje para la

arcilla inferior es igual a su espesor debido a que solamente puede drenar hacia la arena.

La siguiente ecuación muestra el desarrollo del asentamiento total de la fundación en función

del tiempo.

BBAA StUStUtS )()()(

Donde:

S(t) Asentamiento total de la fundación en función del tiempo.

UA(t), UB(t) Grado de consolidación en función del tiempo.

SA, SB Asentamiento total por consolidación en cada estrato.

Se requiere determinar un tiempo t en el que S(t) = 164,32 mm.


42

A continuación se sigue un proceso indirecto para calcular t:

Suponemos primeramente un 90% de consolidación para la arcilla superior, ¿cuanto será el

asentamiento total?

UA = 90% TvA = 0,848 (de la Tabla B.1, Anexo B)

TvB = 0,848 / 20,68 = 0,0410 UB = 23% (de la Tabla B.1, Anexo B)

Entonces el asentamiento total es: (0,90)(84,4) + (0,23)(121) = 104 mm

añosCv

HTvt

A

AdrA 3,2804,0

)5,1(848,0)( 22

Esto significa que transcurridos aproximadamente 2,3 años después de la aplicación de la

carga, el asentamiento ha alcanzado una magnitud de 104 mm para un grado de consolidación

de 90% y 23% de los estratos de arcilla superior e inferior respectivamente.

El valor calculado aún está alejado de los 164,32 mm (correspondientes al 80% del

asentamiento total) que se requieren alcanzar, lo cual significa que el estrato superior se

consolida totalmente antes de alcanzar el asentamiento total de 164,32 mm, quedando el

estrato inferior como el limitante o el crítico para este análisis.

El problema ahora, se reduce a hallar el tiempo en que el estrato inferior de arcilla alcance

una deformación igual a la diferencia de la deformación total requerida y la deformación total

del estrato superior.

El asentamiento del estrato B en el tiempo t requerido es

SB(t) = 164,32 – 84,4 = 79,92 mm

UB = 79,92 / 121 = 66,05% TvB = 0,352 (de la Tabla E.1, Anexo E)

TvA = (0,352)(20,68) = 7,3 UA = 100% CUMPLE! (de la Tabla E.1, Anexo E)

Entonces el asentamiento total es: (1,00)(84,4) + (0,66)(121) = 164,32 mm

Finalmente, el tiempo es:

432,0

)5(352,0)( 22

B

BdrB

Cv

HTvt

t = 20,4 años


43

PROBLEMA 6

Se desea construir una zapata flexible sobre una arcilla saturada con las dimensiones que se

muestran en la Figura 9.7. Considere que los parámetros de deformación de la arcilla son cc =

0,22, cs = 0,05. El índice de vacíos varia desde la superficie según la ecuación e = 0,80 –

0,05H, donde H es la profundidad en metros, el límite inferior de e es 0,50. Asimismo se sabe

que la presión de preconsolidación en la superficie es 170 kPa y disminuye según la siguiente

ecuación:

pc = 170 – 8H2

a) Calcule la magnitud del asentamiento producida por una carga segura igual a 150 kPa.

b) Calcule el coeficiente de consolidación promedio del estrato si el tiempo para que se

produzca el 50% del inciso a) es 1 año.

Figura 9.8. Fundación.

Solución.

a) Calcule la magnitud del asentamiento producido por una carga segura.

La carga segura es una carga bruta al nivel de fundación, pero para el cálculo de los

asentamientos necesitamos un incremento neto al nivel de fundación; por lo tanto para

obtener este incremento, se puede proceder de la siguiente manera:

fsn Dqq

kPa 12020)5,1(150 nq

Los siguientes gráficos corresponden al esfuerzo efectivo inicial y carga de preconsolidación,

y a el incremento de esfuerzos, respectivamente:


44

0

1

2

3

4

5

6

152

120

72

42

8

25

35

45

55

65

Carga de

preconsolidación

Esfuerzo efectivo

inicial

0

1

2

3

4

5

6

120

79

20

37

8

27

12

Incremento

de esfuerzos

Figura 9.9. Trayectorias de esfuerzo.

A partir de una profundidad 5,5 m el incremento de esfuerzos se hace menor al 10% del

incremento al nivel de fundación, por lo cual el análisis se realizará sólo hasta esta

profundidad.


45

Cuando z = 4,0 se produce una intersección formada por las curvas de carga q, y carga de

preconsolidación pc ( suponemos que los valores 40 y 42 son demasiado próximos); a partir

de esta intersección la curva se encuentra a la izquierda de la curva q, lo cual no es posible en

ninguna circunstancia debido a la concepto mismo de carga de preconsolidación, por lo cual

se deduce que a partir de una profundidad igual a 5,5 m nos encontramos con una arcilla.

Normalmente consolidada. Por el contrario, hasta una profundidad de 4,0 m la curva pc se

encuentra a la derecha de la curva q, es decir para un punto dado pc > q, lo cual significa que

estamos en presencia de una arcilla sobre consolidada.

En resumen: 1,5 z 4,0 SOBRECONSOLIDADA

4,0 z 5,5 NORMALMENTE

CONSOLIDADA

A partir de estas conclusiones, podemos hacer el análisis tratando a nuestra arcilla como si se

tratase de dos diferentes estratos. De esta manera, realizamos el cálculo del índice de vacíos,

esfuerzo inicial e incremento promedio en el centro de cada estrato.

eo = 0,8 –(0,05)(2,75) = 0,6625

Arcilla sobre consolidada

2,75 m Pc = 109,5 kPa

'o = 27,5 kPa

kPa 5,686

27)66)(4(120

avp

4,0 m

eo = 0,8 – (0,05)(4,75) = 0,5625

Arcilla normalmente consolidada

4,75 m 'o = 47,5 kPa

kPa 83,176

12)17)(4(27

avp

En la arcilla sobre consolidada 'o + ∆pav < Pc, por lo tanto el asentamiento estará dado por:

'

'

log1

o

avo

o

soed

p

e

HcS

Para arcillas sobre consolidadas, el asentamiento total es igual al edométrico:

mmSS oedt 8,40


46

De la misma manera: que será:

'

'

log1

o

avo

o

coed

p

e

HcS

mmSoed 36,2925,47

83,1725,47log

5625,01

)1500)(22,0(

En las arcillas normalmente consolidadas, el asentamiento total es el siguiente:

mmSS oedt 3,321,1

Por último, el asentamiento total en la arcilla será:

3,328,40 totalS

Stotal = 73 mm

b) Calcule el coeficiente de consolidación promedio del estrato.

De la relación:

v

drv

c

HTt

2

El valor de Tv correspondiente al 50% de grado de consolidación es 0,197.

1

)4)(197,0(

t

HT 22

drv vc

vc = 3,152 m2/año


47

PROBLEMA 7

Se ha realizado la exploración geotécnica de un sitio, la Figura 9.8 muestra el perfil de suelo

encontrado y sus propiedades. Se va construir una zapata flexible y rectangular a 2 m de

profundidad, con las dimensiones que se presentan en el esquema. Considere que la zapata a

se construye en un instante de tiempo, en el que adicionalmente el nivel freático desciende al

nivel de fundación y permanece en esa posición por tiempo indefinido. El peso unitario de la

arena en la parte no saturada es el 90 % del valor en el sector saturado. Asimismo, considere

que no existe asentamiento secundario en la arcilla y que el asentamiento inmediato es el

50% del total.

Se pide:

a) Determinar el asentamiento total de la zapata.

b) Determinar el tiempo que toma para que se de el 50% del asentamiento total.

0.30x0.30m

P = 1500 kN

muestra 1

2 m

3 m

muestra 3

muestra 2

2 m

3 m

B= 2.0mL= 6.0m

45

E (MN/m2)

40

E (MN/m2)

35

arena = 20 kN/m3Dr = 60%

arcilla = 19 kN/m3

arena = 20 kN/m3

Figura 9.10. Zapata.

De la muestra 2:

eo = 0,75; cc = 0,2; cs =0,03

Pc = 85 kPa ( método Casagrande)

Presión 25 50 100 200 400 800

cv(cm2 /min) 0,0194 0,009 0,006 0,008 0,011 0,018


48

Solución:

a) Determinar el asentamiento total de la zapata.

En primera instancia calculamos el incremento de carga neta al nivel de fundación, que es la

diferencia entre las cargas efectivas antes y después de la construcción.

La carga inicial efectiva al nivel de fundación qo es la siguiente:

qo = (2)(20 – 9,8) = 20,4 kPa

La fuerza total al nivel de fundación Ft, después de la construcción, debe incluir el peso

propio de la zapata y el peso del suelo, además de la carga transmitida por la columna.

Ft = 1500 + (24)[(0,3)(2)(6)+(0,3)2(1,7)] + (0,9)(20)[(2)(6)–0,3

2)](1,7) = 1954,52 kN

kPa 88,162)2)(6(

52,1954

A

Fq t

Por lo tanto:

qn = q – qo = 162,88– 20,4 = 142,48 kPa

Cálculo de asentamientos en la arena (Según Schmertmann)

El método de Schmertmann fue propuesto para zapatas axisimétricas y corridas (L / B >10),

por lo cual en una zapata como la que se trata en este problema se debe realizar una

interpolación de valores, entre valores obtenidos considerando a la zapata como cuadrada y

los valores obtenidos considerándola corrida.

Análisis como una zapata cuadrada

vp

qIz

´)1,0(5,0

´vp = 3(20–9,8)=30,6

716,06,30

48,142)1,0(5,0 Iz

48,142

4,20)5,0(1)5,0(11

n

vo

qC =0,928

C2 = 1

94,02

6)03,0(03,1

73,003,003,1

3

3

C

B

LC

0

1

2

3

4

5

6

0.1

0.716

0.418

0.477

0.239


49

)1000()2()10)(43(

477,0)1(

)10)(40(

408,0)48,142)(94,0)(1)(928,0(

331

S

S1 = 4,025 mm

Considerado como una zapata corrida

vp

q

´0,1)(0,5Izp

vp = 4(20–9,8) = 40,8

Izp = 0,687

Los coeficientes C1, C2, C3, se mantienen constantes,

1° estrato

)1(

44000

630,0)2(

41000

443,0)48,142)(94,0)(1)(928,0(2S

S2 = 4,465mm

2° estrato

)2(

40000

114,0)48,142)(1)(94,0)(928,0(3S

S3 = 0,709mm

A partir de los valores obtenidos para los casos anteriores, se debe realizar la correspondiente

interpolación para la zapata de 6m x 2m en análisis.

Interpolando valores:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.443

0.2

0.687

0.630

0.572

0.229

0.114


50

1° estrato mmSi 123,4)2(9

025,4465,4025,4

2° estrato mmSi 158,09

2)709,0(

El asentamiento total en las arenas es la sumatoria de los asentamientos en los dos estratos de

arena, será:

Si arenas = 4,28 mm

Cálculo de asentamientos en la arcilla:

La arcilla se encuentra a una profundidad de 5 m. y tiene un espesor de 3 m., en consecuencia

el incremento promedio en el estrato se calcula de la siguiente manera:

pt (5m) = 49,60

pm (6,5m) = 29,03

pb (8m) = 18,53

707,306

4

bmt

av

pppp

Po=(5)(20) + (1,5)(19) – (6,5)(9,8)=64,8kN/m2

c

avo

o

c

o

c

o

s

P

PP

e

HC

P

P

e

HCSoed

log

1log

1

mmSoed 41,2385

707,308,64log

75,01

)3)(2,0(

8,64

85log

75,01

)3)(03,0(

En arcillas sobre consolidadas:

St = Soed

Finalmente, el asentamiento total en los estratos se obtiene de la sumatoria de los

asentamientos correspondientes a la arena y la arcilla.

ST = 23,41+ 4,28=27,70 mm

b) Determinar el tiempo que toma para que se de el 50% del asentamiento total.

El asentamiento total para un tiempo dado, estará en función del grado de consolidación que

la arcilla haya alcanzado.

St (t) = Si Arcilla + Si arena +Sc Arcilla (U%)

Además sabemos que la arcilla tiene un 50% de asentamiento inmediato, por lo tanto el 50%

restante será una sentamiento por consolidación.

Sc Arcilla = 0,5(St arcilla) y Si Arcilla = 0,5(St_arcilla)


51

Combinando las anteriores igualdades, para un tiempo cero:

St (0) = Si = 0,5 St_arcilla +Si arena + 0,5 Soed (0) = 0,5 St_arcilla + Si arena

Como:

0,5 St_arcilla + Si arena > Sc Arcilla = 0,5 St_arcilla

Deducidos que el asentamiento inmediato supera el 50%.


52

PROBLEMA 8

A continuación se presentan los resultados de un ensayo de consolidación practicados en una

muestra obtenida en la parte media del estrato de arcilla mostrado en la Figura 9.9.

Peso seco del espécimen = 116,74 g

Altura del espécimen al inicio del ensayo = 25,4 mm

Diámetro del espécimen = 63,5 mm

Gs = 2,72

Presión kPa Altura final de la muestra al final de la consolidación,

mm

0,00 25,400

47,88 25,189

95,76 25,004

191,52 24,287

383,04 23,218

766,08 22,062

Se pide:

a) Determine la presión de preconsolidación.

b) Determinar la curva de compresión en campo.

c) Determinar los coeficientes de compresión y expansión.

d) Calcular el tiempo que toma el estrato de arcilla el alcanzar 95% de consolidación, Asumir

el valor de coeficiente de consolidación encontrado a partir de los siguientes datos:

Altura del espécimen antes del ensayo: 25.4 mm

Deformación de la

muestra, mm Tiempo, min

0,170 0,1

0,174 0,25

0,180 0,5

0,196 1

0,211 2

0,241 4

0,274 8

0,305 15

0,335 30

0,364 60

0,386 120

0,401 240

0,406 480

0,411 1440

0,412 1900


53

e) En caso de que el valor del coeficiente de consolidación en el inciso d) no sea asumido,

indicar la forma correcta de obtenerlo.

Arena sat= 22 kN/m

83

4

Arena

Arcilla = 20 kN/m

Arena = 21 kN/m 4

3

3

3

Figura 9.11. Características de los estratos de suelo.

Solución .

Para poder obtener la carga de preconsolidación Casagrande sugirió un método gráfico

basado en la curva e - log p obtenida en laboratorio. Por lo cual debemos encontrar, a partir

de las alturas obtenidas en el ensayo de consolidación, la variación del índice de vacíos con

las diferentes cargas. El cálculo del índice de vacíos se lo puede resumir de la siguiente

manera:

1. Calcular la altura de sólidos, Hs, en la muestra de sólidos:

mmGA

WH

ws

ss 55,13

))()((

donde: Ws: peso seco de la muestra.

A: área de la muestra.

Gs: gravedad específica de los sólidos.

w: peso unitario del agua.

2. Calcular la altura inicial de vacíos, Hv:

Hv = H – Hs = 11,85 mm

donde H: Altura inicial de la muestra,

3. Calcular el índice de vacíos inicial, eo, de la muestra:


54

874,055,13

85,11

s

vo

H

He

4. Para el primer incremento de carga, p1, el cual provoca una deformación H1, calcular

el cambio en el índice de vacíos e1:

0156,011

sH

He

H1 es obtenido de la diferencia entre lecturas inicial y final para la carga.

5. Calcular el nuevo índice de vacíos, e1, después de la consolidación causada por el

incremento de presión p1:

e1 = e0 – e1 = 0,8586

Para la siguiente presión p2, el nuevo índice de vacíos e2, puede ser calculado como:

sH

Hee 2

12

Donde H2, es la deformación adicional causada por el incremento de presión.

Siguiendo este procedimiento, se puede encontrar la variación del índice de vacíos

correspondiente a las diferentes presiones a las que se somete la muestra durante el

ensayo, y por lo tanto la curva e - log p.

La siguiente tabla resume el cálculo efectuado para obtener la variación del índice de

vacíos:

Presión,

kPa h, mm h e e

0,00 25,400 - - 0,8742

47,88 25,189 0,211 0,0156 0,8586

95,76 25,004 0,185 0,0137 0,8450

191,52 24,287 0,717 0,0529 0,7921

383,04 23,218 1,069 0,0789 0,7132

766,08 22,062 1,156 0,0853 0,6279


55

Obtenida la curva de laboratorio e - log p, pasamos a desarrollar el procedimiento

sugerido por Casagrande:

1. Por simple observación, establecer un punto a, en el cual la curva e - log p tiene un

radio de curvatura mínimo.

2. A partir de este punto trazar una línea horizontal ab.

3. Dibujar una línea ac tangente a la curva en el punto a.

4. Dibujar la línea ad, la cual es bisectriz del ángulo bac.

5. Proyectar la parte recta gh de la curva hacia atrás hasta intersecar a la línea ad en el

punto f.

La abscisa del punto f es la carga de preconsolidación, pc.

En el anterior gráfico podemos apreciar la carga de preconsolidación, en

aproximadamente

138 kPa.

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

10 100 1000

Presión, kPa

Ind

ice d

e v

ací

os

ba

c

d

f

h

g

pc


56

b) El procedimiento para determinar la curva de compresión en campo depende de si el

estrato se encuentra sobre consolidado o no, por lo tanto debemos verificar en que estado

se encuentra nuestro estrato:

po = 4(21) + 4(22 – 9,81) + 2(20– 9,81) = 153,14 kPa

Se puede ver claramente que la carga po, a la que está sometida la parte central del estrato

es mayor a la carga de preconsolidación, cosa que teóricamente es imposible, por lo cual

debemos asumir que se trata de una arcilla normalmente consolidada.

El procedimiento que se sigue en arcillas normalmente consolidadas es el siguiente:

- Determinar la carga de preconsolidación pc = po, Conociendo esta dibujar una línea

vertical ab.

- Calcular el índice de vacíos en campo, eo, Dibujar la línea horizontal cd.

- Calcular 0,4eo y dibujar la línea horizontal ef, ( Nota: f es el punto de intersección de la

línea con la curva, o con la proyección lineal de esta,)

- Unir los puntos f y g, Note que g es el punto de intersección de las líneas ab y cd.

Esta es la curva de compresión virgen.

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

10.00 100.00 1000.00 10000.00

Presión, kPa

Ind

ice d

e v

acío

s

153.14

eo = 0.8742

a

b

dc

g

f

0.4eo = 0.35

e


57

c) Como nuestra arcilla es normalmente consolidada, solo contamos con un coeficiente de

compresión, y no así con uno de expansión. Por otra parte, conocemos 2 puntos que

pertenecen a la curva virgen de consolidación, el punto (eo, po) y el punto de intersección

de la proyección de la curva e - log p con la línea horizontal 0,4eo, Tomando estos puntos

para definir el coeficiente de compresión tenemos:

14,153log7200log

35,08742,0

p loglog

oo

cpp

eC

cc = 0,313

d) Para calcular el coeficiente de consolidación se dispone de varios métodos, de los

cuales tomaremos el método del logaritmo del tiempo, el cual indica los siguientes pasos:

Extender las porciones rectas de las consolidaciones primaria y secundaria hasta

intersecarlas en A. La ordenada de A es representada por d100 - que es, la deformación en

el fin de 100% de consolidación primaria.

Elegir dos tiempos t1 y t2, sobre la porción de la curva inicial tal que t2 = 4t1. De la gráfica

se eligen: t2 = 4, t1 =1. Sea la diferencia de la deformación de la muestra durante el tiempo

(t2 – t1) igual a x = 0,045.

Trazar una línea horizontal DE tal que la distancia vertical BD sea igual a x = 0,045, La

deformación correspondiente a la línea DE es do ( que es, la deformación en 0% de

consolidación).

La ordenada del punto F sobre la curva de consolidación representa la deformación a 50%

de consolidación, y su abscisa representa el correspondiente tiempo (t50).

Para un 50% de grado de consolidación Tv = 0,197, entonces:

dr

v

H

tcT

2

5050

ó

)60)(8(

2

)0412,054,2()197,0(

197,0

2

50

2

t

Hc

dr

v

cv = 6,41(10–4

) cm2/s


58

donde Hdr = distancia de drenaje promedio más larga durante la consolidación.

Figura 9.12. Gráfico deformación versus tiempo.

Obtenido ya el valor del coeficiente de consolidación, podemos hallar el tiempo para un

95 % de consolidación de la siguiente manera:

dr

v

H

tcT

2

9595

de donde:

v

dr

c

THt 95

2

95

para un 95% de consolidación el factor T95 correspondiente es 1,129, por lo tanto:

4

2

95)10)(41,6(

)129,1(2

400

t

t95 = 2,23 años


59

e) Un buen valor de cv debe haber sido obtenido a partir de un ensayo en el que se ha

sometido la muestra a un rango de cargas al cual pertenece la carga en análisis. En caso de no

contar con un cv de estas características, se procede a ponderar el valor requerido en base a

coeficientes obtenidos para otros rangos de cargas.


60

PROBLEMA 9

Para la Figura 9.10, calcular el asentamiento total en el suelo (en el centro de la fundación).

Figura 9.13. Fundación en una excavación.

LEYENDA

Fundación Flexible

= Peso unitario

C = Peso unitario del concreto

C = 24 kN/m3

B = Ancho de la zapata

L = Largo de la zapata

P = Carga puntual

E = Módulo de elasticidad

Arena

E1 = 22 MN/m 2

= 16 kN/

0,4m x 0,4m

B = 4m x L = 4m

0 .

1 .

2 .

3 .

4 .

5 .

6 .

7 .

8 .

9 .

10.

Posición Inicial

Posición Final

P = 4000 kN

2E2 = 40 MN/m

E3 = 60 MN/m 2

E4 = 15 MN/m 2

E5 = 10 MN/m 2

= 20 kN/

Arena

Arena

m3

3m

0,40m


61

Solución .

Figura 9.14. Esfuerzos bajo la fundación.

Se procede a calcular los factores de influencia para una zapata cuadrada que están mostradas

en la grafica

737.0

28.919216

5.2711.05.01.05.0

'0

xx

qI

v

nzp

Donde qn carga neta a nivel de fundación y ’vo esfuerzo efectivo inicial

A continuación se calcula los factores por corrección que son los siguientes,

926.0

5.271

18.9182165.015.05.01

'0

1

xx

qC

n

v

12 C

00.103.003.13 B

LC

P = 4000 kN

10.

9 .

8 .

7 .

6 .

5 .

4 .

3 .

2 .

1 .

0 .

= 20 kN/

Posición Final

Posición Inicial

m3

Arena

Arena

= 16 kN/

Arena

0,4m x 0,4m

m3

11.

0.4

0.578

0.419

0.614

0.369

0.260

0.1 0.2 0.6Iz

z

0.260

z3 = 2

z2 = 1

z1 = 1

z4 = 2

z3 = 2

zp

B = 3m x L = 6m


62

Entonces la ecuación de asentamiento inmediato es el siguiente;

E

zIqCCCS z

ni 321

Reemplazando valores calculados se tiene;

10

2123.0

15

2369.0

60

2614.0

40

1578.0

22

126.05.27111926.0

xxxxxxxxxSi

mmS

xxS

i

i

30

121.05.271926.0


63

PROBLEMA 10

Para la Figura 9.11, se pide calcular:

a) Carga neta

b) Incremento de esfuerzos en el centro de la fundación, en función de la profundidad

c) Asentamiento total en el centro de la fundación.

d) Tiempo de consolidación total

Figura 9.10

Figura 9.15. Dimensiones de la fundación.

Presión Cv ( m^2/s)

0-5 5,0*10-9

25-50 6,0*10-8

50-100 9,9*10-7

100-200 8,1*10-8

200-400 7,9*10-8

400-800 7,5*10-7

LEYENDA

Fundación Flexible

P = Carga rápida

= Peso unitario

C = Peso unitario del concreto

C = 24 kN/m3

Pc = Presión de pre-consolidación

Pc = Igual en todo el estrato

B = Ancho de la zapata

L = Largo de la zapata

E = Módulo de elasticidad

Estrato incompresible, impermeble y

rugoso

B = 3m x L = 6m

0,40m

0,35m x 0,35m

P = 2900 kN

pc = 108 kPaeo = 0,8cc = 0,23cs = 0,08

cu = 59 kPac' = 5 kPa

'= 30º

9 .

8 .

7 .

4 .

6 .

5 .

3 .

2 .

1 .

0 .

Arcilla

= 18 kN/m3


64

Solución .

a) Carga neta

Como el nivel freático no varia, entonces la carga

neta es,

casoesteen

qqqqq

f

n

0

0'0

'

KPaxxDqA

Fq 60320; 0

KPaxxxx

xxxxxF

07.40106.2)35.035.063(20

)6.235.035.04.063(242900

378.222

m

KNq

KPaqn 79.162

Estrato incompresible, impermeble y

rugoso

B = 3m x L = 6m

0,40m

0,35m x 0,35m

P = 2900 kN

pc = 108 kPaeo = 0,8cc = 0,23cs = 0,08


'= 30º

9 .

8 .

7 .

4 .

6 .

5 .

3 .

2 .

1 .

0 .

Arcilla

= 18 kN/m320 KN/m3


65

b) Incremento de esfuerzo

Opción 1 Boussinesq que asume las siguientes hipótesis del suelo

Figura 9.16. Incremento de esfuerzos verticales.

Opción 2 Milovic & Tournier (Base rígida rugosa)

Utilizando esta opción se considera un estrato finito.

Se procede a calcular el incremento de esfuerzos a diferentes profundidades, realizando

interpolaciones para,

H1 = 5 m ; B = 3 m ; L/B = 6/3 = 2 ; H1/B = 5/3 = 1.667

A 1m

P = 2900 kN

9 .

7 .

8 .

5 .

6 .


'= 30º

3 .

4 .

1 .

2 .

0 .

= 20 kN/3m

Arcilla

0,35m x 0,35m

148.60

110.75

P [KPa]

162.78

55.87

78.25

z[m]

40.98

20015010050

93.17

942.0 333.0z

; 1 1

s

z

qBB

H

918.0 667.1

906.0 0.333B

z ; 2

1

1

s

z

s

z

qB

H

qB

H

KPaxP 43.14978.162918.0

Hipótesis:

Estrato de suelo Semi infinito

Homogéneo

Isotropito

Nota: No cumple especialmente con la

Hipótesis de espacio semi infinito


66

00.23

6

333.03

1

667.13

51

B

L

B

z

B

H

A 2m

00.23

6

667.03

2

667.13

51

B

L

B

z

B

H

A 3m

00.23

6

00.13

3

667.13

51

B

L

B

z

B

H

A 4m

00.23

6

333.13

4

667.13

51

B

L

B

z

B

H

796.0 667.0z

; 1 1

s

z

qBB

H

736.0 667.1

0.706 0.667B

z ; 2

1

1

s

z

s

z

qB

H

qB

H

KPaxP 81.11978.162736.0

638.0 00.1z

; 1 1

s

z

qBB

H

566.0 667.1

0.530 1.00B

z ; 2

1

1

s

z

s

z

qB

H

qB

H

KPaP 13.92

478.0 333.1z

; 1 1

s

z

qBB

H

431.0 667.1

074.0 1.333B

z ; 2

1

1

s

z

s

z

qB

H

qB

H

KPaP 16.70


67

A 5m

00.23

6

667.13

5

667.13

51

B

L

B

z

B

H

A continuación se calcula el incremento de

esfuerzos promedio

KPaP

xP

av

av

55.106

6

52.52106478.162

Figura 9.17. Incremento de esfuerzos bajo la zapata.

c) Asentamiento Total

Para calcular el asentamiento en el estrato de arcilla se tiene que calcular el índice de vacíos

que corresponde al punto medio del estrato.

318.0 667.1z

; 1 1

s

z

qBB

H

321.0 667.1

328.0 1.667B

z ; 2

1

1

s

z

s

z

qB

H

qB

H

KPaP 25.52

Hipótesis:

= 0.3

Se puede interpolar y extrapolar.

Considerando que el rango del coeficiente de poisson para

una arcilla está entre 0.2 y 0.4 entonces se puede utilizar 0.3,

que es un valor razonable.

Por lo tanto la opción 2 es la más adecuada

100

119.81

90.13

0,35m x 0,35m

Arcilla

= 20 kN/

z[m]

9 .

8 .

7 .

52.52

70.16

6 .

5 . cu = 59 kPac' = 5 kPa

'= 30º

4 .

3 . 50

2 .

1 .

0 .

P = 2900 kN

149.43

150 200

162.78

P [KPa]

m3

106


68

p0 pc

Cs

ec

eo

Cc

e

log '

e1

p1

Figura 9.18. Trayectoria e versus log ´.

Entonces de la grafica e vs. log’ para una arcilla sobre consolidada se puede observar que

utilizando la ecuación de la pendiente cs (índice de expansión), se calcula el nuevo índice de

vacíos a la profundidad que deseamos .

La ecuación de la pendiente cs (índice de expansión) es,

1

0

01

logp

p

eecs

Despejando índice de vacíos inicial se tiene,

1

010 log

p

pcee s

Esfuerzo efectivo inicial a la profundad que se

estrajo la muestra

KPaxp 8.408.92041

El esfuerzo efectivo inicial en la parte central del

estrato de arcilla

KPaxp 1.268.9205.50


69

5 .

3 .

2 .

1 .

0 .

Hdr=5 m

52.52

162.78

0 50 100 200

4 .

Reemplazando valores se obtiene;

8.40

1.56log08.0800.00 xe

789.00 e

p0 pc Arcilla S.C

Como se trata de una arcilla sobre consolidada se tiene que sumar el incremento de esfuerzo

efectivo promedio para saber que ecuación utilizar.

KPapp 65.16255.1061.560

La ecuación para calcular asentamiento de consolidación del edometro es:

c

ccsoed

p

pp

e

Hc

p

p

e

HcS

0

000

log1

log1

Reemplazando valores se tiene;

108

55.1061.56log

789.1

10523.0

1.56

108log

789.1

10508.0 33

xxxxSoed

9.1773.1146.63 oedS

Para calcular el asentamiento total se debe utilizar el criterio de burland que dice. Para una

arcilla sobre consolidada el asentamiento total es igual al asentamiento del edometro,

entonces se tiene;

Arcilla rígida mmSS oedT 178

Nota: Si alguien supone que la arcilla es blanda

mmxST 1969.1771.1 , lo cual es también correcto

d) Tiempo de consolidación

Figura 9.19. Tiempo de consolidación

10.352.52

78.162 pr

2.1%100 vTU


70

Incremento de esfuerzo de 56.1 a 162.65

Los coeficientes de consolidación están ubicados en dos rangos

seg

mxc

seg

mxc vv

28

27 101.8;109.9

20010010050

Obteniendo la media ponderada, se pude obtener

un coeficiente de consolidación aceptable

87 101.8

55.106

65.62109.9

55.106

9.43xxcv

seg

mxcv

2710555.4

Despejando tiempo de consolidación se tiene;

v

drv

dr

vv

c

HTt

H

tcT

2

2

Reemplazando valores se tiene.

añost

díast

hrt

segx

xt

09.2

762

9.18294

6586169010555.4

52.17

2


71

Arena

Arena

Arcilla A

PROBLEMA 11

Demostrar la ecuación de la teoría de consolidación de Terzagui.

2

2

z

uc

t

uv

Donde: u = exceso de presión de poros causado por el incremento de esfuerzos,

t = tiempo,

cv = coeficiente de consolidación,

z = distancia de la parte superior del estrato al punto en consideración.

Solución .

En un perfil de suelo se considera un

elemento diferencial en el punto A :

En donde se tiene el caudal de entrada y

salida en el elemento diferencial

Figura 9.20. Característica del perfil de suelo.

Figura 9.21. Elemento diferencial.

El cambio del caudal está definido a continuación como la razón entre el cambio de volumen

y el cambio del tiempo en la dirección del eje z.

t

VQ

El caudal también puede ser definido como el producto de la velocidad por el área, entonces

tenemos;ç

t

Vdydxvdydxdz

z

vv z

zz

dydxdzz

vvQ z

zf

dz

dy

dx

iz Qdydxv


72

Donde:

Área en la dirección z; dxdyA

Velocidad de entrada del flujo en la dirección z;zv

Velocidad de salida del flujo en la dirección z; dzz

vv z

z

Realizando operaciones aritméticas se tiene la siguiente expresión;

t

Vdydxvdydxdz

z

vdydxv z

zz

Simplificando la expresión se tiene lo siguiente;

)1(t

Vdzdydx

z

vz

La ley de Darcy dice que la velocidad ( v ) es igual al producto de el gradiente hidráulico (k)

por el coeficiente de permeabilidad ( i ); kivz

En la base del elemento diferencial A, el gradiente hidráulico esta definido como z

hiz

El exceso de presión de poros ( u ) ocasionado por el incremento de esfuerzos, es igual al

producto de la altura piezométrica ( h ) por el peso unitario del agua constante ( w ),

despejando se tiene; w

p

uh

, entonces desarrollando las ecuaciones se obtendrá;

z

uk

z

hkkv

w

p

iz

)2(z

ukv

w

z

Reemplazando la ecuación (2) en (1), y despejando se obtiene

)3(1

)1()2(2

2

t

V

dzdydxz

uken

w

Durante la consolidación, la razón de cambio de volumen del elemento del suelo es igual a la

razón de cambio en el volumen de vacíos

t

V

t

V v


73

Además se sabe que el volumen total es igual a la sumatoria del volumen de sólidos del suelo

y el volumen de vacíos vs VVV

El índice de vacíos esta definido como la razón de el volumen de vacíos y el volumen de

sólidos del suelo s

v

V

Ve , despejando se tiene sv eVV

Reemplazando y realizando operaciones aritméticas se tiene,

)4(

t

Ve

t

eV

t

V

t

eVV

t

V

t

V ss

sssv

Suponiendo que los sólidos del suelo son incompresibles,

Se asume )5(0

t

Vs

Además el volumen ( V )del elemento diferencial A es igual a dzdydx y el volumen de

sólidos ( Vs) es igual a 01 e

V

reemplazando se tiene;

)6(11 00 e

dzdydx

e

VVs

La ecuación (5) y (6) se reemplaza en (4) para obtener la siguiente expresión;

)7(1 0 t

e

e

dzdydx

t

V

Se define

'p

eav

El cambio de la relación de vacíos es causado por el incremento en el esfuerzo efectivo (es

decir, el incremento de la presión de poro del agua en exceso). Suponiendo que esos valores

están linealmente relacionados, se tiene

upcomo

)8(' uaae vv

donde

' = cambio de presión efectiva

va = Coeficiente de compresibilidad ( va se considera constante para un

rango estrecho de incremento de la presión)


74

Combinando las ecuaciones (8) y (7) se tiene

)9(1 0

2

2

t

u

e

a

z

uk v

w

Se define:

)10(1 0e

am v

v

donde vm = Coeficiente de compresibilidad del volumen

Reemplazando la ecuación (10) en (9) se tiene

)11(2

2

t

um

z

ukv

w

Se define el coeficiente de consolidación como:

)12(vw

vm

kc

Entonces combinando las ecuaciones (12) en (11) se obtendrá la ecuación diferencial básica

de la teoría de consolidación de Terzaghi

2

2

z

uc

t

uv

Esta ecuación se puede resolver con las siguientes condiciones de borde:

0,0

0,2

0,0

uut

uHz

uz

dr


75

PROBLEMA 12

Demostrar la siguiente ecuación:

c

occs

p

pp

e

Hc

p

p

e

HcS

log

1log

1 000

Donde Sc = asentamiento de consolidación a partir del ensayo del edómetro,

Cs = coeficiente de expansión,

eo = índice de vacíos inicial,

pc = presión de preconsolidación,

po =presión efectiva antes de la carga,

H = espesor del estrato,

ppr = incremento de carga promedio en el estrato

Solución

Se considera un estrato de arcilla saturada de espesor H y área de la sección transversal A

bajo una presión de sobrecarga efectiva promedio. Debido a un incremento de presión ,

sea el asentamiento primario igual a S. Al final de la consolidación, = ’. Entonces. El

cambio de volumen es

Figura 9.22. Variación del volumen en el asentamiento.

110 ASASHAHVVV

Donde V0 y V1 son los volúmenes inicial y final, respectivamente. Sin embargo, el cambio en

el volumen total es igual al cambio en el volumen de vacíos Vv. por lo tanto el cambio de

volumen solo se da en los vacíos. Entonces,

2vVV

vvv VVVASV 10


76

Donde Vv0 y Vv1 son los volúmenes de vacíos inicial y final, respectivamente.

De la definición de relación de índice de vacíos. Despejando se tiene

3sv

s

v

s

v VeVV

Ve

V

Ve

Además:

10000

ss

s

s

v

V

V

V

VV

V

Ve

Donde e0 es la relación de vacíos inicial en el volumen V0, despejando volumen de sólidos se

tiene

41

10

000

e

VV

V

Ve s

s

Entonces reemplazando la ecuación (4) en (3) y (2) en (1), se obtiene

ASe

Ve

0

0

1

Despajando asentamiento se tiene

51 0

He

eS

H = Altura inicial del estrato a comprimirse

En las arcillas sobre consolidadas, para ’0 + ’ ’c la variación de índice de vacíos y

logaritmo de esfuerzo efectivo e-log(’) esta definida por dos pendientes.

La pendiente de la curva de expansión cs se denomina índice de expansión, por lo que se tiene

0loglog ppce cs

Desarrollando y despejando índice de expansión

0

01

loglogp

p

ee

p

p

ec

c

c

o

cs


77

e1

e

log '

eo

ef

p0 pc p0 + p

ec

Cs

e2

Cc

Figura 9.23. Curva de e versus log ´.

Donde pc es la pre consolidación y p0 es el esfuerzo efectivo inicial.

Igualando la ecuación (6) = (7) entonces se obtiene

c

cfc

sp

ppce

p

pce 0

0

0 loglog

Entonces el incremento de índice de vacíos es e,

8loglog 00

c

c

o

csf

p

ppc

p

pceee

Reemplazando la ecuación (8) en (5), se obtiene,

c

cc

sp

ppc

p

pc

e

HH

e

eS 0

000

loglog11

Por lo tanto la ecuación es:

c

occs

p

pp

e

Hc

p

p

e

HcS

log

1log

1 000

6log0

0p

pcee c

sc

c

fc

c

c

p

pp

ee

p

pp

ec

00

2

loglog

7log 0

c

cfcp

ppcee

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