Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniera

Escuela de Ingeniera Civil Departamento de Ingeniera Vial

TOPOGRAFA

TEORA Y APLICACIN PRCTICA

Planteamiento de Trabajo de Ascenso para optar al escalafn de profesor Agregado

Profesor Responsable: Manuel Fara.

Valencia, Mayo del 2008

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IN MEMORIAM

Al Dr. Manuel Felipe Fara Vargas

Nunca me he considerado un latinista, pero sta antigua cita siempre la sent como un reflejo de lo que fue mi padre para mi:

. . . pater mihi erat incorruptissimus custor, laus illi, debetur et a me gratia mayor . . .

que en una traduccin libre sera:

. . . mi padre fue siempre para mi un guardin incorruptible, le debo alabanza y el mayor agradecimiento . . .

HORACIO

iii

Contenido

CAPTULO I.........................................................................................................................7 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TOPOGRAFA ...................................................7

Geodesia .........................................................................................................................7 Diferencia entre Geodesia y Topografa..........................................................................9 Unidades de medida empleadas en topografa ...............................................................9 Conceptos bsicos ..........................................................................................................9

Unidades de Longitud................................................................................................11 Unidades Angulares ..................................................................................................12 Unidades de Superficie..............................................................................................14

Operaciones con medidas de ngulos en sexagesimal ................................................14 Sumas de ngulos.....................................................................................................14 Resta de ngulos ......................................................................................................15 Multiplicacin de la Medida de un ngulo por un Nmero Natural ............................16 Divisin de la Medida de un ngulo por un Nmero Natural .....................................16

Cifras significativas ........................................................................................................17 Redondeo de nmeros ..................................................................................................18

Referencias .......................................................................................................................20 CAPTULO II......................................................................................................................21 MEDICIONES....................................................................................................................21

Distancias ......................................................................................................................21 Medicin por pasos....................................................................................................21 Medicin con cinta mtrica ........................................................................................22 Medicin de distancias entre dos puntos fijos ...........................................................22

Problemas de campo que pueden resolverse con uso de cinta mtrica exclusivamente.......................................................................................................................................24

Levantar una perpendicular a una lnea en un punto dado (a) de sta: ....................24 Bajar de un punto (d), una perpendicular a una lnea................................................26 Bajar de un punto (d) visible pero inaccesible, una perpendicular a una lnea..........26 Por un punto (d) pasar una paralela a una recta (AB) ...............................................27 Prolongacin de un alineamiento cuando hay un obstculo......................................28 Determinacin de la distancia a un punto inaccesible pero visible (B) ......................28 Trazo de ngulos con cinta mtrica ...........................................................................29

iv

Correcciones a la cinta mtrica .....................................................................................31 Correccin por pendiente o Reduccin al horizonte ..................................................31 Correccin por cambios de temperatura....................................................................34 Correccin por tensin...............................................................................................35 Correccin por catenaria............................................................................................38 Correccin por graduacin.........................................................................................44

Teora de Errores...........................................................................................................44 Error...........................................................................................................................44 Clasificacin de los Errores .......................................................................................44 Propagacin de Errores .............................................................................................46 Estimacin del Error de una Medida Directa .............................................................46 Valor Probable o Media .............................................................................................47 Dispersin y Error ......................................................................................................47 Representacin Grfica de los Errores......................................................................48 Error Medio de la Media Cuadrtica ..........................................................................54 Error Relativo.............................................................................................................55 Estimacin del Error de una Medida Ponderada .......................................................57

Medidas de forma y concentracin................................................................................61 Curtosis: coeficiente de Fisher...................................................................................63

CAPTULO III.....................................................................................................................67 BRJULA ..........................................................................................................................67

Declinacin Magntica...................................................................................................69 Variaciones en la declinacin ....................................................................................69

Direccin de Alineamientos ...........................................................................................69 Rumbo de un alineamiento........................................................................................70 Acimut de un alineamiento ........................................................................................70 Acimut inverso de un alineamiento............................................................................71 Rumbo inverso de un alineamiento ...........................................................................71

Atraccin Local ..............................................................................................................72 Levantamientos con brjula...........................................................................................74

Condicin de cierre angular .......................................................................................75 Referencias .......................................................................................................................82 CAPTULO IV ....................................................................................................................83 TEODOLITO......................................................................................................................83

Partes de un teodolito....................................................................................................83 Errores de los ejes de un teodolito ................................................................................86

v

Clasificacin...................................................................................................................87 Teodolitos repetidores ...............................................................................................87 Teodolitos reiteradores ..............................................................................................90 Ventajas y desventajas de los mtodos de repeticin y reiteracin ..........................92

Estacionando un teodolito .............................................................................................93 Estacin Total ................................................................................................................97

Referencias .....................................................................................................................102 CAPTULO V ...................................................................................................................103 PLANIMETRA.................................................................................................................103

Mtodos topogrficos ..................................................................................................103 REA DE UN POLGONO ..............................................................................................107

rea por cuadratura Gaussiana...................................................................................107 rea por Polo Externo .................................................................................................108 rea por Polo Interno...................................................................................................110 rea por Bezout...........................................................................................................110 rea por Simpson ........................................................................................................111

ESTADA o TAQUIMETRA.............................................................................................114 Medicin Indirecta de Distancias .................................................................................116

POLIGONACIN.............................................................................................................123 Control de un Polgono ................................................................................................124

Clculo y error de cierre angular..............................................................................124 Tolerancia angular ...................................................................................................124 Compensacin de ngulos ......................................................................................125 Clculo de acimutes o rumbos entre alineaciones (ley de propagacin de los acimutes) .................................................................................................................126 Clculo de las proyecciones de los lados................................................................127 Clculo del error de cierre lineal ..............................................................................127 Compensacin del error lineal .................................................................................128 Clculo de las coordenadas de los vrtices.............................................................129 Variantes en poligonacin abierta............................................................................130

Referencias .....................................................................................................................142 CAPTULO VI ..................................................................................................................143 ALTIMETRA ...................................................................................................................143 Tipos de Nivelacin .........................................................................................................145

Nivelacin Indirecta .....................................................................................................145 Baromtrica .............................................................................................................145

vi

Clisimtrica ..............................................................................................................147 Nivelacin trigonomtrica desde el extremo............................................................150 Nivelacin trigonomtrica desde el centro ...............................................................152

Nivelacin directa ........................................................................................................153 Nivelacin geomtrica .............................................................................................153

Errores y Tolerancias...................................................................................................158 Compensacin de la nivelacin ...................................................................................159

Compensacin proporcional a la distancia nivelada................................................159 Compensacin por Horizontes.................................................................................160

Planimetra y altimetra simultneas................................................................................167 Procedimiento para dibujar las curvas de nivel .......................................................169 Perfil longitudinal o perfil de una lnea.....................................................................172

Referencias .....................................................................................................................173 Apndice..........................................................................................................................174

Generalidades .............................................................................................................174 Geoide .........................................................................................................................174 Estaciones Mareogrficas en las costas Venezolanas................................................176

Amuay......................................................................................................................176 Puerto Cabello .........................................................................................................176 La Guaira .................................................................................................................177 Cuman ...................................................................................................................177 Punta de Piedras, Margarita ....................................................................................178 Carpano .................................................................................................................178 Puerto Hierro, Pennsula de Araya, Estado Sucre...................................................179 Golfo de Venezuela .................................................................................................179 Lago de Maracaibo ..................................................................................................181 Baha El Tablazo .....................................................................................................182 Estrecho de Maracaibo............................................................................................184

Sistema de proyeccin ................................................................................................185 Sistemas de Coordenadas ..........................................................................................188

Coordenadas geogrficas........................................................................................189 Referencias .....................................................................................................................191

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CAPTULO I PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TOPOGRAFA

Geodesia El trmino Geodesia, del griego ("tierra") y ("divisiones" o "yo divido") fue usado inicialmente por Aristteles y puede significar, tanto "divisiones geogrficas de la tierra", como tambin el acto de "dividir la tierra", por ejemplo, entre propietarios.

La Geodesia trata del levantamiento y de la representacin de la forma y de la superficie de la Tierra, global y parcial, con sus formas naturales y artificiales [1].

En lo que respecta a la forma de la tierra, los primeros estudiosos mantenan la hiptesis que era plana, pero en el siglo V a.c., algunos sabios basndose en observaciones apoyaron la hiptesis de una tierra esfrica. En la actualidad, la forma de la tierra ya no es considerada plana y tampoco esfrica, actualmente podemos decir, que la figura geomtrica que ms se asemeja a la verdadera forma globo terrqueo, es la de un elipsoide de revolucin, achatado en sus dos polos y ensanchado en el ecuador, gracias al movimiento de rotacin alrededor de sus ejes.

Pero en realidad la verdadera forma de la tierra es mucho ms compleja de lo que imaginamos, de manera que no puede definirse geomtricamente o matemticamente solo como un elipsoide. La forma fsica y real de la tierra que se ajusta a todas sus irregularidades, recibe el nombre de geoide y se caracteriza por ser la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre, que de manera prctica se relaciona con el nivel medio del mar en reposo, extendindose por los todos los ocanos y continentes. La superficie del geoide tiene particularidad de ser siempre perpendicular al vector de gravedad local en cada punto de ella, pero tambin resulta en una figura irregular, pues el campo vara como se muestra en la figura I.1.

Figura I.1 Anomalas del campo gravitatorio terrestre

8

Estas anomalas en el campo gravitacional terrestre hacen que el geoide adopte formas extraas, como se muestran en la serie de imgenes de la figura I.2

Figura I.2 Formas que adopta el geoide por las variaciones en la gravedad segn el modelo

EIGEN-CG01C.1

1 Gravity Recovery And Climate Experiment (GRACE) es un proyecto cuyo principal objetivo es el estudio del campo gravitatorio terrestre utilizando mtodos satelitales. Puesto en marcha por la NASA en colaboracin con otras organizaciones cientficas en marzo de 2002 obteniendo el ms detallado modelo gravitatorio calculado hasta ahora. Tomado de: http://www.gfz-potsdam.de/grace/results/grav/g003_eigen-cg01c.html Febrero 10 del 2008.

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Diferencia entre Geodesia y Topografa Es necesario hacer una aclaratoria a fin de delimitar dos ciencias que tienen ms o menos la misma finalidad: medir extensiones de tierra. La Geodesia y la Topografa difieren entre si en cuanto a las magnitudes consideradas en cada una de ellas.

La Topografa opera sobre porciones pequeas de tierra, no teniendo en cuenta la verdadera forma de sta, pues la considera como un plano. El error cometido al considerar esta hiptesis es despreciable, tratndose de pequeas extensiones de tierra. La Geodesia estudia la superficie de la tierra pero a gran escala y por tanto abandona la idea del plano, para adentrarse en la del geoide.

As pues, la topografa se fundar en las siguientes hiptesis:

La lnea ms corta que une dos puntos sobre la superficie de la tierra es una recta.

Las direcciones de la plomada, colocada en dos puntos diferentes cualesquiera, son paralelas.

La superficie imaginaria de referencia, respecto a la cual se tomarn las alturas, es una superficie plana.

El ngulo formado por la interseccin de dos lneas sobre la superficie terrestre es un ngulo plano.

Unidades de medida empleadas en topografa Actualmente todas las unidades de medida empleadas en la topografa estn fundamentadas en el Sistema Internacional - Systme International d'Units - (SI), establecido en Octubre de 1960 en la 11 Conferencia General sobre Pesas y Medidas est basado en el antiguo sistema mtrico establecido en Francia el 22 de junio de 1799, y del cual todos los pases en el mundo son signatarios, con las nicas excepciones de los Estados Unidos de Norteamrica (aunque oficialmente est obligado a acatarlo), Birmania y Liberia.

Conceptos bsicos Dos tipos de mediciones son de uso extendido en la topografa y de las cuales derivan el resto, as, debemos definir:

Longitud

La Real Academia de la Lengua Espaola define la longitud (del latn longitdo) como la magnitud fsica que expresa la distancia entre dos puntos[2] o cuantas veces entra una unidad de medida en el largo del objeto.

Existe una acepcin al trmino, y si bien est relacionado con la topografa, no es el alcance de este documento pues est aplicado a la geodesia; es la que expresa la distancia angular, medida paralelamente al plano del Ecuador terrestre, entre el Meridiano de Greenwich y un determinado punto de la Tierra.

ngulo

La Real Academia de la Lengua Espaola define el ngulo (del latn anglus, del griego , encorvado) como la figura geomtrica formada en una superficie por dos lneas

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que parten de un mismo punto; o tambin la formada en el espacio por dos superficies que parten de una misma lnea[2].

Euclides define un ngulo plano como la inclinacin el uno al otro, en un plano, de dos lneas que se satisfacen. Eudemus, mir un ngulo como desviacin de una lnea recta; Carpus de Antioch, lo mir como el intervalo o el espacio entre las lneas que se intersecaban.

Finalmente, denominaremos ngulo en el plano a la porcin de ste comprendida entre dos semirrectas con un origen comn denominado vrtice o la figura formada por dos rayos con origen comn[3].

En topografa es de comn empleo dos tipos de ngulos, estos son:

ngulo horizontal: definido como l ngulo que dos puntos P y R forman con el punto estacin o la seccin recta del diedro formado por los planos verticales () y () que pasan por dos puntos y por la estacin, tal y como se muestra en la figura I.3

Figura I.3 Definicin de ngulo horizontal

ngulo vertical: Si llamamos vertical (V-V) del punto estacin, la direccin que ese punto tiene la fuerza de gravedad materializada por la direccin de la plomada y definimos esfera celeste a una esfera imaginaria, de radio infinito, sobre la cual proyectamos loa astros y sus movimientos, entonces, el punto en el cual la vertical penetra en la esfera celeste, lo llamaremos cenit y a su opuesto a 180 el nadir, as, el ngulo vertical, ser el ngulo que tiene la direccin del punto visado con la vertical cenit-nadir (cenital) o con el plano horizontal (elevacin). Se muestra dicha definicin en la figura I.4.

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Figura I.4 Definicin de ngulo vertical

Unidades de Longitud Metro [m]:

Entre 1792 y 1799 cientficos franceses, considerando que la Tierra era una esfera perfecta, estimaron la distancia entre el ecuador y el polo norte a lo largo del meridiano que pasaba por Pars, y la dividieron en 10 millones de partes iguales, as el metro qued definido como la diezmillonsima parte de esa distancia.

Al percatarse que la forma de la Tierra no es esfrica, en 1872 [4], el metro se defini como la distancia entre dos lneas finas trazadas en una barra de aleacin de platino (90%) e iridio (10%), naca as, el metro patrn internacional, conservado en el Observatorio Breteuil, en Pars [5].

En 1960, en la 11 Conferencia General sobre Pesas y Medidas se redefini el metro como 1.650.763,73 longitudes de onda en el vaco de la luz anaranjada-rojiza (correspondientes a la transicin entre los niveles 2p10 y 5d5) emitida por el istopo criptn 86 [6].

En 1983, en la resolucin N 1 de la 17 Conferencia General sobre Pesas y Medidas, se estableci la actual definicin de metro, como la longitud del espacio recorrido por la luz en el vaco durante un intervalo de tiempo de 1/299.792.458 de segundo, definicin esta

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basada en otra unidad de medida (tiempo) pero que puede ser obtenida con extrema confiabilidad [7].

Unidades Angulares Grado

Si se supone una recta que tenga un extremo fijo y que d una vuelta entera alrededor de ste, hasta volver a su posicin primitiva y se divide el ngulo total descrito por la misma (un crculo) en 360 partes iguales, se tiene el grado sexagesimal [], y si la divisin se hace en 400 partes, se obtiene el grado centesimal [op.cit.]. El grado, es una unidad no mtrica de uso permitido en el SI, y posee unidades derivadas de ste, usualmente empleadas en el sistema sexagesimal, como el minuto [] equivalente a (1/60) y el segundo [] equivalente a (1/3600). En el grado centesimal [g], las unidades derivadas son el minuto centesimal [c], equivalente a (1/100)g, y cada minuto en segundos centesimales [cc], equivalente a (1/100)c=(1/10.000)g

Radian [rad]:

Es la base del sistema analtico [A], considerada como una unidad derivada (20 Conferencia General sobre Pesas y Medidas 1995), se hace mencin ac, pues casi en su totalidad, los programas para computadoras actualmente disponibles, realizan las operaciones trigonomtricas en este sistema. Se define radian a la unidad de ngulo equivalente al ngulo central formado por un arco de longitud igual al radio del crculo.

La relacin que existe entre el grado sexagesimal [], el grado centesimal [g] y el analtico [A] es el siguiente:

2400360

Ago

== (I.1)

Ejemplo N 1

Convertir al sistema centesimal y al sistema analtico el ngulo =5352'06".

Solucin

Para poder aplicar (I.1), debe estar en el sistema sexadecimal.

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El proceso de conversin del ngulo al sistema sexadecimal se realiza de la siguiente manera:

Pasamos los segundos a minutos, dividiendo entre 60 y lo sumamos a los minutos enteros.

1,52526006 =+

Pasamos los minutos a grados dividiendo entre 60 y los sumamos a los grados.

3868,535360

1,52 )=+

El ngulo en el sistema sexadecimal ser: 53,86833

La conversin a analtico viene del empleo de (I.1)

2360

Ao

=

2360

=o

A

23603868,53 =)

A

9402,0= A Si en cambio, lo quisiramos en centesimal sera:

400360 go =

400360

= o

g

400360

3868,53 =)

g 8537,59gg =

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Unidades de Superficie Se emplean derivaciones del metro, pero se menciona ac, por su vasto empleo en la topografa, como lo es la Hectrea [Ha] y no es mas que la sinonimia a un hectmetro cuadrado o 104 metros cuadrados.

Factor Prefijo Smbolo Factor Prefijo Smbolo

1024 yotta y 10-1 deci d

1021 zetta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 mili m

1016 peta P 10-6 micro

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-16 fento f

103 kilo K 10-18 atto a

102 hecto H 10-21 zepto z

101 deca Da 10-24 yocto y Tabla 1. Prefijos del Sistema Internacional (SI).

Unidad Nombre Smbolo Equivalencia S.I.

ngulo grado 1=(/180)rad minuto ' 1'=(/10.8)rad=(1/60) segundo " 1"=(1/60)=(1/3600)=(/648)rad

rea hectrea Ha 1Ha=1Hm2=104m2 Tabla 2. Equivalencias en el Sistema Internacional (SI)

Operaciones con medidas de ngulos en sexagesimal

Sumas de ngulos Se colocan los sumandos de manera que queden en una misma columna los grados, en otra los minutos y en otra los segundos.

Se suman los segundos con los segundos, los minutos con los minutos y los grados con los grados.

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Si una vez sumados los segundos son ms de 60 se pasan a minutos.

Si una vez sumados los minutos son ms de 60 se pasan a grados.

Ejemplo N 2

Realizar la siguiente operacin: 21 3854 + 31 21 16

Solucin

21 38 54

+ 31 21 16

= 52 59 70

+1 -60

= 52 60 10

+1 -60

= 53 0 10

Resta de ngulos Se colocan los sumandos de manera que queden en una misma columna los grados, en otra los minutos y en otra los segundos.

Si el nmero de segundos del minuendo es menor que el nmero de segundos del sustraendo se resta un minuto a los minutos del sustraendo y se suman sesenta segundos a los segundos de dicho sustraendo.

Si el nmero de minutos del minuendo es menor que el nmero de minutos del sustraendo se resta un grado a los grados del sustraendo y se suman sesenta minutos a los minutos de dicho sustraendo.

Se restan los grados con los grados, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos.

Ejemplo N 3

Realizar la siguiente operacin: 65 3815 - 34 21 58

Solucin

16

65 38 15

- 34 21 58

= -1 15+60-58

17

= 31 16 17

Multiplicacin de la Medida de un ngulo por un Nmero Natural Se multiplican los grados, minutos y segundos por dicho nmero.

Si una vez multiplicados los segundos por el nmero son ms de 60 se pasan a minutos.

Si una vez multiplicados los minutos por el nmero y sumados los minutos procedentes del paso anterior son ms de 60 se pasan a grados.

Ejemplo N 4

Realizar la siguiente operacin: 21 3854 x 6

Solucin

21 38 54

x 6

= 21 x 6 38 x 6 54 x 6

126 228 324

= 324=5 x 60+24

228+5

= 126 233 24

233=3 x 60+53

= 126+3 53 24

129 53 24

Divisin de la Medida de un ngulo por un Nmero Natural Se dividen los grados entre dicho nmero y el resto se multiplica por 60 para pasarlo a minutos. stos se suman a los minutos del dividendo.

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Se dividen los minutos entre el nmero y el resto se multiplica por 60 para pasarlo a segundos. stos se suman a los segundos.

Se dividen los segundos entre el nmero.

Ejemplo N 5

Realizar la siguiente operacin: 21 3854 6

Solucin

21 38 54

6

= entero(21 6)

entero[A=fraccin(216)x60+entero(386)]

3 36

= 3 {fraccin[A]}x60+entero(546)

29

= 3 36 29

Cifras significativas Se considera cifras significativas de un nmero aquellas que tienen significado real o aportan alguna informacin, y vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posicin igual o superior al orden o posicin del error, es por ello que siempre incluye guarismos de certeza confiable y uno impugnable, el que designa el error de la medida.

Algunas pautas simples para determinar las cifras significativas de un cifra pueden ser las siguientes [8]:

Cualquier dgito diferente de cero es significativo.

Ejemplo: 1234,56 implica 6 cifras significativas

Ceros entre dgitos distintos de cero son significativos.

Ejemplo: 1002,5 implica 5 cifras significativas

Ceros a la izquierda del primer dgito distinto de cero no son significativos.

Ejemplo: 000456 implica 3 cifras significativas

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0,0056 implica 2 cifras significativas

Si el nmero es mayor que uno (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos.

Ejemplo: 457,12 implica 5 cifras significativas

400,00 implica 5 cifras significativas

Si el nmero es menor que uno, entonces nicamente los ceros que estn al final del nmero y entre los dgitos distintos de cero son significativos.

Ejemplo: 0,01020 implica 4 cifras significativas

El nmero de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la suma o la diferencia es determinada por el nmero con menos cifras significativas a la derecha del punto decimal de cualquiera de los nmeros originales.

Ejemplo: 6,2456 + 6,2 = 12,4456 redondeado a 12,4

El nmero de cifras significativas en el producto final o en el cociente es determinado por el nmero original que tenga la cifra significativa ms pequea.

Ejemplo: 2,51 x 2,30 = 5,773 redondeada a 5,77

2,4 x 0,000673 = 0,0016152 redondeado a 0,0016

Redondeo de nmeros Todos los nmeros resultantes de una medida tienen cierta incertidumbre. Es necesario eliminar de estos nmeros aquellas cifras que carecen de significado porque el error es mayor que lo que estas cifras significan.[9]

Ejemplo: Imaginemos que el ngulo de variacin del norte magntico est dado por la expresin; AZ=2,3840,1X , esta aseveracin resulta incorrecta puesto que las dos ltimas cifras (84) no tienen significado alguno, al ocupar una posicin menor que el error. La forma de expresar el resultado anterior podra ser AZ=2,40,1X

Existen tres reglas bsicas para efectuar un redondeo de nmeros, estas son las siguientes:

Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin ms.

Ejemplo: 3,142 redondeada a dos decimales se convierte en 3,14

Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la ltima cifra retenida.

Ejemplo: 3,146 redondeada a dos decimales se convierte en 3,15

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Si la cifra eliminada es 5, se toma como ltima cifra el nmero par ms prximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.

Ejemplo: 3,155 redondeada a dos decimales se convierte en 3,16 o si el nmero era 3,165 queda igualmente 3,16

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Referencias

[1] Wikipedia, enciclopedia libre. Geodesia. [Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia] Febrero 09 del 2008

[2] Real Academia Espaola. Diccionario de la Lengua Espaola - Vigsima segunda edicin. [Disponible en: http://buscon.rae.es/draeI/] Febrero 10 del 2008

[3] Wikipedia, enciclopedia libre. ngulo. [Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Angulos] Febrero 10 del 2008

[4] Irving, W. (1975). Topografa. Mxico: Mc Graw Hill.

[5] Jordan, W. (1961). Tratado General de Topografa. Tomo I. Tercera Edicin.

[6] Universidad de Santiago de Chile. (2004, Enero) Sistema Internacional de Unidades. Santiago: Departamento de Fsica.

[7] Wolf, P. R. y Brinker, R. C. (1997). Topografa. Santaf de Bogot: Alfaomega.

[8] Documento en lnea, http://tochtli.fisica.uson.mx/fluidos%20y%20calor/ cifras_significativas_y_redondeo.htm

[9] Documento en lnea, http://vppx134.vp.ehu.es/fisica/agustin/errores/ node10.html

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CAPTULO II MEDICIONES

Cuando se desea representar sobre un plano una pequea extensin de terreno, con todos sus detalles y accidentes, se acude a la Topografa. Esta a su vez se apoya en la medicin, que proviene del latn metri, y no es mas que el resultado de la comparacin cuantitativa de la variable de un fenmeno o situacin con un patrn pre-establecido, el cual debe ser estable, reproducible y universalmente conocido y aceptado [1].

Para nuestros fines, las mediciones objeto de la topografa plana (planimetra), son las distancias y los ngulos.

Distancias Las distancias, se miden en topografa para fijar la posicin de un punto respecto a otro, estn contenidas siempre en el plano vertical que determinan las verticales de los dos puntos.

Figura II.1 Distancia topogrfica

Si stos puntos son A y B (figura II.1), la traza del plano ZAZ con la superficie del terreno dar la lnea ondulada AB (geodsica) que define el perfil. Este perfil desarrollado se le llama distancia natural entre AB, distancia geomtrica a la lnea que los une, la proyeccin horizontal de sta: como distancia horizontal o reducida y la distancia BC: desnivel entre los puntos A y B.

Esta actividad bsica en un trabajo topogrfico, puede efectuarse bsicamente usando equipo topogrfico, pero para muchas situaciones resulta todava prctico utilizar mtodos ms sencillos.

Medicin por pasos Consiste en contar el nmero de pasos que toma recorrer cierta distancia. Sin embargo, previamente ha de conocerse la longitud del patrn, es decir, del paso de la persona que realiza la medida.

Este procedimiento se emplea para detectar grandes equivocaciones al emplear procedimientos ms exactos y resulta muy til, al no requerir equipo alguno. Para personal experimentado, este mtodo, usado en lotes de terreno despejado y a nivel, consigue precisiones de 1/50~1/100 para distancias que incluso exceden los 35 metros. [2]

22

Medicin con cinta mtrica Las cintas mtricas generalmente empleadas en topografa son de acero o acero recubierto en tefln. Cuando se van a realizar mediciones de precisin, se emplean cintas INVAR y jams son empleadas cintas de tela, lona, plstico o tefln.

De manera comercial se encuentran cintas de 30, 50 y 100 m. de longitud, siendo generalmente la ms utilizada la de 50 m. Los anchos de la cinta varan desde los 3/8 (9,53 mm) a 5/16 (7,94 mm) con espesores que tambin varan de mm a mm.

Toda cinta para uso en topografa viene calibrada de fbrica para que indiquen la longitud nominal a una temperatura y tensin patrn, apoyada en toda su longitud. Es de uso estandarizado que las cintas de 30 m estn calibradas para una tensin de 4,5 Kg. (10 lb.) mientras que las de 50 y 100 m lo estn para 9 Kg. (20 lb.), en todos los casos, para en una temperatura de 20C.

Figura II.2 Tipos de cintas mtricas. Tomado de Topografa Plana por L.

Casanova, 2002

Medicin de distancias entre dos puntos fijos En un terreno plano

Equipo necesario:

dos o ms jalones un juego de fichas una cinta.

Los jalones se colocan en los puntos extremos y sirven para mantener el alineamiento. La medida la efectan dos individuos, que se denominan cadenero trasero y cadenero delantero. El primero coloca el cero de la cinta en el punto de partida mientras que el segundo, con el extremo de la cinta que tiene la caja, avanza hacia el otro punto; cuando ha recorrido una longitud igual a la de la cinta, se detiene. Por medio de seales de mano, el cadenero trasero, observando el jaln situado en el otro extremo, alinea al cadenero delantero, y ste pone una ficha sobre la recta. Luego tensa la cinta y cuando el cadenero trasero la tenga sujeta, coincidiendo la ficha con el cero de la cinta, coloca el cadenero delantero, frente a la divisin final, la ficha. Como comprobacin se vuelve a tensar la cinta y se ve si est correcta la medicin; si esto ocurre, se avanza, arrancando el cadenero trasero la ficha y llegando hasta donde el cadenero delantero dej clavada la otra, y luego se repite la operacin. As, el nmero de fichas que el cadenero trasero tenga, ser igual al nmero de veces que se midi con la cinta completa y tensada. Popularmente se denomina una "cintada" a una medida con la cinta tensionada en toda

23

su longitud. La comprobacin con las fichas es importante, pues es fcil, por distraccin, equivocarse en el nmero de "cintadas".

Cuando el alineamiento se hace por medio de un trnsito o teodolito (ver Captulo IV) puesto en uno de los extremos de la lnea que se quiere medir, entonces el que est en el trnsito dirige por medio de seales de mano al cadenero delantero para mantenerlo alineado.

Cuando se requiere ir estacando la lnea medida a distancias dadas, se coloca una estaca en el sitio del piquete que marca cada cintada; luego, manteniendo tensa la cinta, se ve sobre qu punto de la cabeza de la estaca cae la divisin correspondiente de la cinta y, tomando en cuenta las indicaciones dadas por quien tiene a cargo la alineacin, se clava sobre dicho punto una estaca. Enseguida se verifican la medida y el alineamiento.

Cuando el terreno es inclinado o irregular

Es necesario mantener siempre la cinta horizontal. Entonces se usa la plomada para proyectar el cero o extremo de la cinta sobre el punto donde debe ir la ficha. Cuando no se requiere demasiada precisin, basta con un jaln, en vez de plomada, cuidando que ste permanezca vertical.

La cinta se debe mantener bien tensa para evitar que forme una catenaria. Cuando el terreno es muy inclinado (Figura II.3) se mide por partes, tomando tramos tan largos como sea posible, manteniendo la cinta horizontal.

Para contabilizar el nmero de "cintadas" se procede como est indicado en la figura: se coloca una ficha en B, la proyeccin de un nmero completo de metros (8); luego el cadenero trasero avanza, le da una ficha al cadenero delantero, y sostiene la cinta sobre B, marcando el mismo nmero de metros (8) ledos hasta B; avanza el cadenero delantero hasta completar otro nmero de metros (14) y proyecta sobre C dicha cantidad. Avanza de nuevo el cadenero trasero, le entrega al delantero otra ficha y ste sigue hasta completar la cintada, proyectando sobre D el extremo de la cinta, mientras el cadenero trasero mantiene el punto correspondiente de la cinta (14) en C. Al llegar al punto D, el cadenero trasero ya no entrega ninguna ficha; de esta manera se puede llevar el control del nmero de "cintadas" con el mismo mtodo anterior (cuando el terreno era plano). Para mantener la cinta horizontal se recomienda llevar un nivel de mano, pues a simple ojo se cometen errores de apreciacin en la horizontalidad. [5]

24

Figura II.3 Uso de la cinta mtrica en terreno inclinado

Problemas de campo que pueden resolverse con uso de cinta mtrica exclusivamente

Levantar una perpendicular a una lnea en un punto dado (a) de sta: Mtodo I:

Se emplean lados de 3, 4 y 5 m o mltiplos de ellos. Con una sola cinta se puede formar el tringulo, sostenida por tres personas, una en la marca (3), otra en la (7) y otra juntndola (0) y la otra (12)

25

Mtodo II:

Haciendo centro en (a), con distancia (ab), y con centro (b) y la misma distancia (ab), se marca un punto (c). Sobre la prolongacin del lado (bc), se marca el punto (d) a una distancia (bc), a partir del punto (c). El punto (d), resuelve el problema

Mtodo III:

Con una cinta en el punto (a), se mide una longitud arbitraria sobre la lnea (ab) a ambos lados de (a), con ello se obtendrn los puntos (b) y (c). Ahora con centro en (b) y con la distancia (bc) se trazar un arco, haciendo el mismo procedimiento pero centrado en (c) se obtendr la interseccin de los dos arcos, el punto (d) que resuelve el problema

.

26

Bajar de un punto (d), una perpendicular a una lnea

Se marca un punto (b) sobre la lnea (AB) y se marca un punto (c) a la mitad de (bd). A partir de (c), se mide una distancia igual a (cb) y se marca el punto (a) sobre la lnea (AB). El punto (a), resuelve el problema.

Bajar de un punto (d) visible pero inaccesible, una perpendicular a una lnea Se forma un tringulo con los auxiliares (1) y (2) sobre la lnea, y se bajan de ellos, normales a los lados opuestos, es decir, alturas del tringulo. Siguiendo paso a paso, escogido un punto arbitrario (2) contenido en la visual de (d) y en la lnea (AB), se traza, centrado en (2), un arco de radio 3m y se corta la visual (2d) en el punto (c), luego, haciendo centro en (c), se traza un arco de 4m, que se ha de interceptar con un arco de centro en (2) y radio 5m para producir el punto (e). Construyendo otro tringulo simtrico al anterior Por la interseccin de ambas alturas pasar la normal (altura que baja de (d))

27

Por un punto (d) pasar una paralela a una recta (AB) Mtodo I

Se marcan dos puntos sobre (AB), el punto (a) y el punto (b), se marca el punto (c) a la mitad del segmento (db) y sobre la lnea (ac) se marca el punto (e), a partir del punto (c), a una distancia a (ac). El punto (e) resuelve el problema

.

Mtodo II

Establecer un cuadriltero que contenga dos puntos de la recta (AB) y al punto (d), de tal manera que los puntos abd queden a la mitad de su lado correspondiente

.

28

Prolongacin de un alineamiento cuando hay un obstculo

Se lleva una lnea recta AB que libre el obstculo. Por los puntos a, b y c se levantan perpendiculares, por lo que se tienen definidos tringulos semejantes y, por tanto, se pueden hallar las distancias bb y cc con las que se pueden marcar los puntos b y c que resuelven el problema.

Determinacin de la distancia a un punto inaccesible pero visible (B) Se forma un tringulo rectngulo con un punto auxiliar (P), y de (A) se baja una normal al lado BP, que cae en (Q). Son semejantes ABP y QAP:

grande pequeo

APAB

= QPQA

AB = QPAPQA

Las distancias QA, AP y QP se miden para obtener as la distancia AB.

29

Trazo de ngulos con cinta mtrica

Se desea fijar en campo el ngulo empleando cinta mtrica. Se hace el largo de la cinta a usar igual al permetro del tringulo:

(1) a + b + c = K

(2) a = c x sin (3) b = c x cos

Sustituyendo (2) y (3) en (1): c x sin + c x cos + c = K c x (1 + sin + cos ) = K

30

cossin1 ++=Kc

Sustituyendo el valor de c en (2): sincossin1

++=Ka

Dividiendo numerador y denominador entre sen

sin

cos1sin

1 ++= Ka

csccot1 ++=Ka

Sustituyendo el valor de c en (3): coscossin1

++=Kb

Dividiendo numerador y denominador entre cos 1

cossin

cos1 ++

=

Kb

sectan1 ++=Kb

La suma de (a + b + c) debe ser igual a la longitud de la cinta (K). Tensando la cinta sostenida en las marcas calculadas, se fija el ngulo () que debe trazarse.

31

Correcciones a la cinta mtrica Cuando la cinta no est siendo usada bajo las condiciones en que fue calibrada, las mediciones deben ser sometidas a correcciones de la siguiente manera:

Correccin por pendiente o Reduccin al horizonte

Figura II.4 Medida inclinada y su reduccin al horizonte

Bajo esta condicin de medicin, el topgrafo deber medir la distancia DH valindose de un nivel a fin de garantizar la horizontalidad de la cinta o bien medir la distancia Di, con la condicin necesaria de medir adicionalmente el ngulo cenital o el de elevacin . De ser este el caso, la DH estara dada por:

( )( )

cossin

==

DDDDiH

iH (II.1)

(II.2)

Ejemplo N 1

32

Si AC = 126,300 m y = 234 Empleando la Ec. (II.2) AB = 126,300 x cos 234

= 126,300 x 0,9990

= 126,174 m

c = L(1-cos ) = 126,300 x (1-0,999)

c = 126,300 x 0,001

= 0,126 m

AB = 126,300-0,126

= 126,174 m

En otro caso, si

d = 5,650 m

AB = ( ) ( )650,5300,126650,5300,126 + = 126,174 m

o

c =300,1262

650,5 2

= 0,126 m

AB = 126,300-0,126

= 126,174 m

Ejemplo N 3

En encadenamientos o mediciones por tramos, la medicin debe tomar en cuenta cualquier efecto significativo de la pendiente del terreno para efectos de la exactitud en la longitud horizontal. Calcule el ngulo mnimo de la inclinacin que da lugar a exactitudes relativas de 1/1000 y 1/3000.

Solucin:

Sabemos que c = L-h = L(1-cos )

Lc

= 1000

1 = 1-cos

33

cos = 1-0,00100 = 0,99900 = 234 = 1:22

Para 1/3000: Lc

= 3000

1 = 1-cos

cos = 1-0,00333 = 0,99967 = 129 = 1:39

Imaginemos que conocemos el desnivel d

h = ( )dL 22 = ( ) ( )[ ]dLdL + L2 = h2+d2

= (L-c)2+d2

= L2-2Lc+c2+d2

c2-2Lc = -d2

c = Lcd2

2

c Ld2

2

porque c es pequeo comparado con 2L

Ahora, siendo rigurosos y empleando una expansin binomial tendramos:

c = ( )dLL 22

=

LdLL

2

2

1

=

+ LLd

LdL

4

4

2

2

8211

= L++Ld

Ld

3

42

82

Empleando solo el primer trmino tenemos las siguientes precisiones relativas:

Pendiente Error en 100 m Precisin relativa

1:4 0,0510 m 1/2.000

1:8 0,0031 m 1/30.000

1:10 0,0013 m 1/80.000

1:20 0,0001 m 1/1.000.000

34

Correccin por cambios de temperatura Si al realizar una medida de distancia, esta se hace a una temperatura (t) diferente a la temperatura a la cual fue estandarizada la cinta (to), debe realizarse una correccin por temperatura:

( )ttl otc = (II.3)donde:

l = longitud de la medida

= coeficiente de expansin lineal del material de la cinta El coeficiente de expansin lineal o dilatacin () de un slido esta definido como el incremento de longitud por unidad de longitud del slido cuando su temperatura cambia en un grado.

El rango de coeficientes de expansin lineal o dilatacin () de los materiales ms comunes empleados en cintas para topografa son: [3]

Cinta por 1F por 1 C

Acero 5,96,8 (x10-6) 10,612,2 (x10-6) Invar 34 (x10-7) 5,47,2 (x10-7)

Ejemplo N 4:

Un alineamiento de 152,400 m de longitud fue medido en campo con una cinta de 50,000 m. nominal de acero estandarizada a 17 C. Qu correccin deber ser aplicada si la temperatura al momento de la medicin era de 23 C? (Suponga =11,2x10-6 /C)

Solucin:

De la ecuacin (II.3) tenemos:

( )( )

m

ttl

ccc

t

t

ot

010,0

1723102,11400,152 6

+==

=

Ejemplo N 5:

Si en campo una cinta a 17,2C y de longitud nominal 100,0000 m midi 100,0052 m., a qu temperatura exactamente fue estandarizada. (Suponga =11,2x10-6 /C)

Solucin:

De la ecuacin (II.3) tenemos:

35

( )( ) ( )

( )Ct

tt

ttl

s

s

s

otc

==

==

6,122,171012,10052,0

2,17102,111001000052,1003

6

Correccin por tensin Midiendo con una cinta estandarizada a una tensin (To) con una tensin diferente a sta (T), ella se expandir o contraer de manera elstica en concordancia con la ley de Hooke. As, este factor de correccin estara dado por:

( )EATTL o

Tc = (II.4)

donde:

L= longitud medida (las unidades de cT sern las mismas de L)

A= rea de la seccin transversal del la cinta.

E= Mdulo de Young o de Elasticidad del material de la cinta

Para los materiales usualmente empleados en la elaboracin de cintas se tiene los siguientes valores para el mdulo de Young: [3]

Sistema ingls Sistema mtrico Sistema Internacional

Acero 2830 (x106) lbf/in2 2022 (x105) kgf/cm2 19,320,7 (x1010) N/m2 Invar 2022 (x106) lbf/in2 1415,5 (x105) kgf/cm2 13,815,2 (x1010) N/m2

Ejemplo N 6:

Una cinta de 30,000 m estandarizada a una tensin de 100 N, de seccin transversal 6,0 mm x 0,2 mm y un mdulo de Young de 1,93 x 105 N/mm2, es empleada con una tensin de 78 N. Se pide la correccin a ser aplicada.

Solucin:

Empleando la ecuacin (II.4)

( )mc

cT

T

003,01093,12,00,6

10078000,305

=

=

36

Cuando la medida est contenida en el plano vertical, es decir, la cinta est fija en uno de sus extremos y el otro libremente suspendido, su longitud se ver afectada por la tensin a la que la somete la fuerza gravitacional debido al propio peso de la cinta.

La tensin en el extremo de la cinta es cero y alcanza el mximo valor (mgl) en el punto de fijacin. De no ser homognea la cinta, el esfuerzo variar a lo largo de sta.

Si una masa M se coloca en la parte libre de la cinta, B, sta ejercer una tensin sobre la cinta en un punto P segn:

( )xlmgMgT += (II.5)

donde:

M = masa en el extremo de la cinta

m = masa de la cinta por unidad de longitud

g = aceleracin de gravedad

l = longitud total de la cinta

x = longitud desde el punto de fijacin al punto P

T = Tensin debida a la accin de la gravedad de una masa unida en el punto P de la cinta

Figura II.5 Efecto de la tensin en una cinta suspendida

As, la relacin general para una medida precisa estara dada por la siguiente expresin que ofrece la elongacin (s) de la cinta.

( )

+=

gTxLmM

AEgxs o2

21

(II.6)

37

Ejemplo N 7

Calcule la elongacin de una cinta de (a) 300 m y (b) 1000 m en una mina de 1000 m. que cuelga verticalmente debido a su propio peso. El mdulo de elasticidad es 2x105 N/mm2, la masa de la cinta es 0,07 kg/m y posee un rea de seccin transversal de 9,7 mm2.

Solucin:

Empleando la Ec.(II.6). s = ( )

+

gTxLmM

AEgx o2

21

Como M=0, s = ( )xLAEmgx 22

Caso (a) s =( )

1027,923001000230081,907,0

5

= 1,7698 x 10-7 x 300 x 1700

= 0,090 m.

Caso (b) x = L

s =AELmg

2

2

= 1,7698 x 10-7 x 10002

= 0,177 m.

Ejemplo N 8

Si la misma cinta de longitud estndar 1.000,000 m con tensin de 180N, cual ser su longitud real si se midi 999,532 m ?

Solucin:

s1 = ( )

+ xLmMAEgx 2

21

= ( )

+ 532,99910002

207,00

1027,9532,999807,9

5

= 0,1770 m.

La elongacin debida a la tensin estndar:

s2 = AETL s

38

= 1027,9

180532,9995

= 0,0927 m.

La elongacin total estara dada por:

s = 0,1770 - 0,0927 m.

= 0,0843 m (como lo describira Ec (II.6)

As, la longitud real sera:

L = 999,532 + 0,084

= 999,616 m.

Correccin por catenaria Se presenta por efecto del peso de la cinta que impide extenderla en toda su longitud y en forma horizontal (cuando no est apoyada directamente sobre el terreno, aspecto que tambin se debe considerar en su momento). La cinta describe, pues, una curva muy parecida a la parbola que le da su caracterstico nombre a sta correccin. [4]

Figura II.6 Medida en catenaria

Si pensamos en un desarrollo en base a las caractersticas de la parbola, haciendo un momento respecto al punto B, se tiene que:

042

=

LwLTy

TLwy

8

2

= (II.7)

El valor de la flecha (y) se sustituye en la serie de la parbola desarrollada, despreciando por su pequeez los trminos de orden superior, quedando el desarrollo:

L+

+

LyL

2

2

381

39

Como el error por catenaria es de signo negativo, la misma se aplicara con signo contrario de tal manera:

cc= L-desarrollo de la catenaria

LTLw

c

Ly

c

LLLyLc

LLyLc

c

c

c

c

38

8

38

38

381

2 2

2

2

2

2

2

=

=

+=

+

+=

TLwcc 2

2 3

24= (II.8)

donde:

w = Peso de la cinta por unidad de longitud (mg)

L = Longitud nominal de la cinta

T = Tensin a la que se estandariz la cinta

Puede deducirse de igual manera que si la cinta es tensada con una tensin diferente a la de estandarizacin, la correccin es la diferencia entre las dos correcciones relativas:

=TT

Lwco

c 22

2 3 1124

(II.9)

La correccin por catenaria previamente mostrada es una aproximacin aceptable basada en la suposicin que los apoyos de la cinta se encuentran al mismo nivel. Cuando la variacin de nivel entre los apoyos es considerable, la correccin vendra dada por la siguiente expresin:

40

= sin1cos21 TwL

ccc (II.10)

Ahora bien, se pierde poco en exactitud y se gana mucho en simplicidad, si empleamos la siguiente relacin para calcular la correccin por catenaria de una cinta cuyos apoyos no estn a nivel:

cos21ccc =

TLwcc 2

232

24cos = (II.11)

Ejemplo N 9

Calcule la longitud horizontal entre los dos soportes que se encuentran aproximadamente a nivel, si la longitud registrada es de 30,5522 m., la cinta posee una masa en su longitud de 0,425 Kg. y la tensin aplicada es de 90 N.

Solucin:

Empleado la Ec.II.8

( )

( )

m

mc

c

T

LMgc

5495,30Horizontal Longitud0027,05522,30Horizontal Longitud

0027,09024

5522,30807,9425,0

24

2

2

2

2

==

=

=

=

Ejemplo N 10

Una cinta de 30m. nominales se estandariz por catenaria marcando una longitud de 29,9850 m. al emplearse con una tensin de 110 N, posteriormente se us en campo con una tensin de 90 N. Se pide la correccin por catenaria si la masa de la cinta es de 0,0312 Kg/m.

Solucin: Longitud de la cuerda con 110 N = 29,9850 m

Correccin por catenaria segn Ec.(II.8) ( )

110243081,90312,0

2

32

= = + 0,0087 m

Longitud del arco a 110 N = 29,997 m

41

Correccin por catenaria en campo = ( )

90243081,90312,0

2

32

= - 0,0130 m

Longitud ajustada en campo = 29,9807 m

Ejemplo N 11

Una cinta de 30 m. suspendida en catenaria con una tensin de 130 N. es usada para medir una longitud de 29,3655 m. entre los soportes. En el punto medio de la catenaria, la flecha es de 0,168 m. Se pide la masa de la cinta por unidad de longitud.

Solucin:

mkgm

m

LgTym

021,0

3655.29807,9168,01308

8

2

2

=

=

=

Ejemplo N 12

Una cinta de longitud nominal 30 m. est estandarizada en catenaria a 45 N. de tensin y se encontr de 29,9850 m. Si la masa de la cinta es 0,015 kg/m., se pide la longitud horizontal de una luz medida de 15,3645 m.

Solucin: Longitud de la cuerda con 45 N = 29,9850 m

Correccin por catenaria segn Ec.(II.8) = ( )

45224

30381,9015,02

= + 0,0120 m

Longitud del arco a 45 N = 29,9970 m Error en la estandarizacin por cada 30 m = - 0,0030 m Longitud del arco medido = 15,3645 m

Error parcial motivado a la estandarizacin = 0030,0303645,15 = - 0,0015 m

Longitud del arco en campo estandarizado = 15,3630 m

42

Correccin por catenaria del arco medido = ( ) ( )0120,0303645,15 3 = - 0,0016 m

Longitud estandarizada de la cuerda = 15,3614 m

Ejemplo N 13

Un cable de transmisin hecho en cobre de 12 mm. de dimetro est sujeto entre dos puntos separados 300 m. a nivel, con una tensin de 5000 N., y la temperatura es de 32C. Es necesario definir si la posicin es limitante cuando la temperatura cambia. Haciendo uso de las correcciones por catenaria, temperatura y aceptando que las flechas se rigen por y-12C =y32C (L1/L2)2, encuentre la tensin a una temperatura de -12C y la catenaria en los dos casos. Para el cobre, el mdulo de Young es 7x104 N/mm2, la densidad es 9x103 kg/m y el coeficiente de expansin lineal es de 1,7x10-5/C

Solucin:

Masa por unidad de longitud es m = r2 = 1416,3109006,0 32 = 1,018 kg/m

Longitud de cable necesaria a 32C = L+000,300

L = ( )TLmg

2

32

24

L = ( )500024

000,300807,9018,12

32

= 4,485 m.

Una aproximacin de la longitud del cable sera 304,49 m y ste valor podra ser usado para la siguiente expresin para conseguir una mejor aproximacin.

L = ( )500024

49,304807,9018,12

32

= 4,690 m.

Una mejor aproximacin de la longitud en catenaria = 304,69 m.

43

La flecha, estara dada por Ec. (II.7): y = ( )

8

2

TLmg

= 50008

69,304807,9018,1 2

y = 23,17 m.

Cuando la temperatura desciende a 12C

La contraccin del cable es = tl = 44107,169,304 5 = 0,23 m

Entonces, la longitud ajustada del cable sera: = 304,69 0,23

= 304,46 m.

Como sabemos que l2y

y C12 = ( )yyy CCC 1232 232 = ( )

69,30446,304

17,232

= 23,14 m

De manera similar, sabemos que Ty 1

T C12 = ( )yy

TC

CC

12

3232

= ( )14,2317,23

5000

= 5006 N

el incremento en la tensin de la cinta har que sta se alargue segn la expresin (II.4):

l = AETl

44

= 1074

121416,3646,304

42

= 0,0002 m

lo que resulta despreciable

Correccin por graduacin Por diferentes causas, la longitud original o nominal de una cinta puede no coincidir con su longitud actual introduciendo, por tanto, errores en la medicin de distancias.

A fin de documentar este error, es necesario comparar la cinta con una distancia patrn, medida con precisin sobre una base de longitud igual a la longitud de la cinta y bajo las condiciones normales especificadas por el fabricante.

Dicha correccin es lineal y puede ser calculada empleando la ecuacin:

Cg =( )L

LLL oactual0

(II.12)

Teora de Errores El resultado de toda medicin siempre tiene cierto grado de incertidumbre. Esto se debe a las limitaciones de los instrumentos de medida, a las condiciones en que se realiza la medicin, as como tambin, a las capacidades del topgrafo. Es por ello que para tener una idea correcta de la magnitud con la que se est trabajando, es indispensable establecer los lmites entre los cuales se encuentra el valor real de dicha magnitud. La teora de errores establece estos lmites.

Error Para efectos de ste texto, entenderemos por error a la indeterminacin o incerteza propia del proceso de medicin y no lo tomamos como si fuera una equivocacin por el operador, simblicamente expresaremos el resultado de una medicin como:

X = Vm (II.13)

donde es la incertidumbre, incerteza o error cometido en el proceso de medicin.

Clasificacin de los Errores Error de escala, de exactitud o de apreciacin:

45

Todo instrumento de medida tiene un lmite de sensibilidad o de fidelidad. Este error corresponde al mnimo valor que puede discriminar el instrumento de medida.

Error sistemtico Se caracteriza por su reproducibilidad cuando la medicin se realiza bajo condiciones iguales, es decir siempre acta en el mismo sentido y tiene el mismo valor. Este error puede ser eliminado si se conoce su causa. Por ejemplo, si el inicio de la cinta mtrica del topgrafo est un poquito corrida del cero, el valor de la medida de la distancia sufrir sistemticamente una incertidumbre por exceso o por defecto respectivamente. As podemos cometer errores sistemticos de medicin cuando:

el instrumento est mal calibrado (nuestro ejemplo) fallas en el aparato de medicin (cinta mtrica mal construida, milmetros muy

grandes o pequeos)

operador con poca o ninguna experiencia en las mediciones (mala ubicacin del ojo para mirar es decir error de paralaje)

influencia del ambiente (cambios en la temperatura)

Error accidental o aleatorio Se caracteriza por ser de carcter variable, es decir que al repetir una medicin en condiciones idnticas, los resultados obtenidos no son iguales en todos los casos. Las diferencias en los resultados de las mediciones no siguen ningn patrn definido y son producto de la accin conjunta de una serie de factores que no siempre estn identificados. Este tipo de error se trabaja estadsticamente. El error accidental se puede minimizar aumentando el nmero de mediciones.

El error total es igual a la suma de estos tres tipos de errores [6]. Aun cuando el error total se pueda minimizar, es imposible eliminarlo del todo debido a que el error de escala (exactitud) siempre est presente. Por lo tanto, el error total no tiende a cero sino a cierto valor constante.

Cuando la medicin se realiza una sola vez el error est dado por:

EEE OSISTEMTICEXACTITUD += (II.14)

Cuando la medicin se realiza varias veces el error est dado por:

EEEE ACCIDENTALOSISTEMTICEXACTITUD ++= (II.15)

46

Propagacin de Errores En muchos casos podr plantearse el Ejemplo de acceder a mediciones de ciertas magnitudes a travs de otras en forma indirecta, ya sea por no poseer los instrumentos adecuados o por slo poseer una expresin matemtica a travs de la cual se la define cuantitativamente.

Tal es el caso de la distancia obtenida indirectamente con el empleo del teodolito y la mira.

Reflexionando, podemos concluir que el valor medido (Vm) de la medicin indirecta depender de los valores promedios o mejores valores de las magnitudes que se miden en forma directa.

Para facilitar el proceso de acotacin de los errores ejemplificaremos con:

Si V = A + B entonces ( ) ( )BError AError VError 22 += (II.16) Si V = A x B entonces ( ) ( )AError BError VError 222 2 += BA (II.17) Si V = A x n entonces n= AError VError (II.18)

Ocurre que al medir las distintas magnitudes directas, no todas son medidas con el mismo nmero de cifras significativas. En este caso, se tomar como criterio determinar el orden del error de la magnitud indirecta como aquella del orden de la menor nmero de cifras significativas. Para ello se realizar el redondeo correspondiente.

Ejemplo N 25:

Se ha medido una distancia en 12 tramos que es igual a 1.705,46 m. El error en cada tramo es de 2 cm. Se pide el error de la distancia total.

Solucin:

Empleando la Ec. (II.17), sabemos que:

mDistcmcm

ntramo

07,046,705.17DistError

9,6 DistError 122 DistError

Error DistError

=

==

=

Estimacin del Error de una Medida Directa La estimacin del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto, nadie mejor que un observador experimentado para saber con buena

47

aproximacin cul es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar cmo se ha obtenido un error como su propio valor. [7]

Sin embargo, la aplicacin de algunos mtodos estadsticos permite objetivar en gran medida la estimacin de errores aleatorios. La estadstica permite obtener los parmetros de una poblacin a partir de una muestra, considerando como poblacin: el conjunto de todas las medidas que es posible tomar de una magnitud, y como muestra: el nmero limitado de medidas que podemos tomar.

Valor Probable o Media Supongamos que medimos una magnitud un nmero n de veces. Debido a la existencia de errores aleatorios, las n medidas (x1, x2,...,xn ) sern en general diferentes.

El mtodo ms razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto como por exceso, y al hacer la media se compensarn, por lo menos parcialmente. El valor medio se define por:

=

==n

iip Xn

XV1

1 (II.19)

y este es el valor que deber darse como resultado de las medidas.

Dispersin y Error Evidentemente, el error de la medida debe estar relacionado con la dispersin de los valores; es decir, si todos los valores obtenidos en la medicin son muy parecidos, es lgico pensar que el error es pequeo, mientras que si son muy diferentes, el error debe ser mayor. De ste razonamiento surge el concepto de Error Aparente, que no es otra cosa que la dispersin de una medida respecto a la media, as tenemos:

=

==

===

n

ii

nn XX

XX

XX

XX

1

33

22

11

0

M

Como corolario, podramos asumir un criterio pesimista, diciendo que el error es la semi diferencia entre el valor mximo y el mnimo (amplitud de la muestra). Este error es sin embargo excesivamente grande, adems de que el criterio utilizado es discutible. Parece ms apropiado tomar como error la desviacin media, es decir, el valor medio de la diferencia de los datos respecto al valor central. Sin embargo, como los datos difieren tanto por defecto como por exceso del valor medio, tal desviacin se aproximara a cero,

48

como se acaba de mostrar. Para evitarlo suele tomarse, no el valor medio de las desviaciones, sino el valor medio de las desviaciones al cuadrado. De esta forma todos los sumandos son positivos. Para que la unidad de este nmero sea homognea con la de los datos, se extrae la raz cuadrada. El valor resultante se llama desviacin tpica o desviacin estndar del conjunto de datos.

( )=

=n

iXX in 1

21 (II.20)

Cuando el nmero de datos es pequeo, suele preferirse el clculo de la desviacin estndar por la ecuacin:

( )=

=n

iXX in 1

2

11 (II.21)

La primera suele llamarse desviacin estndar de poblacin (insesgado), y la segunda desviacin estndar de la muestra (sesgado). Uno de los motivos de preferir la segunda,

es que cuando medimos una sola vez, el resultado de la ecuacin es 00= , es decir,

una indeterminacin. Efectivamente, midiendo una magnitud una sola vez, no tenemos informacin alguna sobre su error, y por lo tanto ste debe permanecer indefinido. Sin embargo la expresin insesgada conducira a un error nulo.

Las dos expresiones se emplean, aunque en la prctica, y si el nmero de medidas es grande, la diferencia entre emplear una u otra es muy pequea. La ms empleada es la segunda, ecuacin y es la que usaremos nosotros en topografa.

Representacin Grfica de los Errores Los valores de la desviacin estndar que hemos calculado previamente, son realmente estimadores de este parmetro. El conjunto de las medidas de una magnitud, siempre que exista un error accidental o aleatorio, pueden caracterizarse por medio de una distribucin estadstica. Cuando el error es debido a un gran nmero de pequeas causas independientes, la distribucin se aproxima a la llamada distribucin normal.

49

Figura II.7 Funcin de la Distribucin Normal

La funcin de la distribucin normal tiene el aspecto reflejado en la figura II.7 recibe tambin el nombre de Campana de Gauss debido a su forma. Est caracterizada por dos parmetros: la media y desviacin estndar. La media es el valor que con mayor probabilidad aparecer en una medida. La desviacin estndar refleja lo abierta o cerrada que es la campana de Gauss correspondiente. Una distribucin muy cerrada se corresponde con una serie de medidas muy poco dispersas, y por tanto con poco error. Por el contrario si la distribucin es abierta, la desviacin estndar es grande.

Una de las propiedades de la distribucin normal es que la probabilidad que encierra en el intervalo (x-,x+) es del 68,3 % aproximadamente. Es decir, es de esperar que el 68,3 % de las medidas de una magnitud estn comprendidas en ese intervalo. Dicho de otra forma, si medimos una magnitud un nmero grande de veces, el 68,3 % de los valores obtenidos estarn comprendidos en el entorno de una desviacin estndar en torno a la media. La probabilidad se ampla al 95,4% y al 99,7% si consideramos los intervalos (x-2,x+2) y (x-3,x+3) respectivamente, valores que en nuestra practica resultan ser la tolerancias.

50

Figura II.8 Relacin entre el error y el rea bajo la curva de probabilidad en una distribucin

normal

De la figura II.8, se puede inferir que para un error del 50%, es decir, 50 sera de 0,6745 tambin llamado error probable, el que fija el lmite dentro del cual, deben estar las mediciones un 50% de las veces. De manera similar, se fijan los 90=1.6449 y 95=1.9599.

Ejemplo N 26:

Se ha medido el ngulo interno de una poligonal cerrada y se han obtenido los siguientes resultados:

1 51023 2 51011 3 51001 4 505951 5 505943 6 505948 Se pide calcular el Valor probable y su desviacin estndar.

Solucin:

Valor probable:

Empleando la ecuacin =

==n

iip Xn

XV1

1 obtenemos:

51

69991,30561 )== XV p

"00'0051199986,50 == )XV p

Desviacin tpica o estndar:

Empleando la ecuacin ( )=

=n

iXX in 1

2

11 obtenemos:

2= ( 51023 - 505959,5 )2 ==> 000,153 22= ( 51011 - 505959,5 )2 ==> 000,037 32= ( 51001 - 505959,5 )2 ==> 000,001 42= ( 505951 - 505959,5 )2 ==> 000,020 52= ( 505943 - 505959,5 )2 ==> 000,076 62= ( 505948 - 505959,5 )2 ==> 000,037

2= 00'0,323"

( ) = "323,0'00161 =15

52

51000015

(ste rango incluira un espacio muestral que agrupara el 68,3% de las mediciones realizadas)

53

51000031

(ste rango incluira un espacio muestral que agrupara el 95,4% de las mediciones realizadas)

54

51000046

(ste rango incluira un espacio muestral que agrupara el 99,7% de las mediciones realizadas)

Error Medio de la Media Cuadrtica Por brevedad se le llama error cuadrtico, y es el que nos define el error que tenemos con el valor verdadero al tomar como valor de este ltimo el ms probable, el cual ya dijimos era la media aritmtica.

Si llamamos m a ste, su valor ser

)1(

2

==nnn

m (II.22)

y por tanto podemos decir que:

mxx = (II.23)

Ejemplo N 27:

Continuando con los datos del ejemplo anterior, se nos pide calcular el error medio cuadrtico (m)

55

Solucin:

De las operaciones anteriores sabemos que: = 0015 ; as aplicando la ecuacin

nm

= tenemos == mm 6

"15'00006

Entonces podramos decir que el ngulo medido ser;

=5100 6

Error Relativo Tampoco el error, aunque lo conociramos, nos dara una medida cierta de su importancia, ya que sta depender no de la magnitud de dicho error, sino de la magnitud de la medida a valorar y de la necesidad de aproximacin a su valor real.

Una diferencia, por ejemplo, de 0,1 mm en la medida del espesor de un cabello, no se podr considerar como buena, pero esa misma diferencia en la medida de la distancia entre Caracas y San Cristbal podra considerarse como extraordinaria. Es as entonces que debemos formularnos el concepto de error relativo, y no es ms que la relacin entre el error absoluto o total y el valor real, que podramos denotar de la siguiente manera:

XEEr = (II.24)

Ahora bien, sabemos que los valores del error absoluto lo desconocemos o resulta casi imposible conocerlo y por lo tanto, el valor real de la medida, as que una buena aproximacin, es el emplear el error medio cuadrtico por el error absoluto y el valor probable o media por el valor real, quedando as reducida la ecuacin a la siguiente expresin:

X

E mr = (II.24)

Ejemplo N 28:

Continuando el ejemplo anterior, tendamos: "0'051

"6= XE

mr

Er = 3,3x10-5 es decir 0,0033%

Ejemplo N 29:

Se hicieron varias mediciones de un ngulo en idnticas condiciones. Se pide calcular el valor ms probable, el error probable de una sola observacin y el error probable de la media.

56

342640 2 342635 3 342645 4 342630 5 342625

Solucin:

Hemos visto previamente que el valor con mayor probabilidad de ocurrencia en una serie de medidas es la media, as, haciendo uso de ello:

[ ]

"35'2634

"55'1217251

26'253426'303426'453426'353426'403451

11

====

++++==

== =

XV

XV

XV

XnXV

p

p

p

n

iip

Hemos tratado con anterioridad que el llamado error probable, est dado por la siguiente relacin y nos ofrece el error de una sola observacin:

( )

"12

"8,1115

12256745,0

16745,0

50

50

50

2

50

===

====

p

p

p

p nxx

El error probable de la media o error cuadrtico estara dado por la relacin:

"8"8,7

)15(51225

)1(

2

=

=

==

m

m

m

mnnn

Interpretando stos resultados queda claro que el valor ms probable es 342635 con un error probable de 8 y el error medio en cada medicin puede llegar hasta 12.

57

Estimacin del Error de una Medida Ponderada Media Aritmtica ponderada: En ocasiones no todos los valores de la variable tienen el mismo peso. Esta importancia que asignamos a cada variable, es independiente de la frecuencia absoluta que tenga. Ser como un aumento del valor de esa variable, en tantas veces como consideremos su peso.

Es la media aritmtica que se utiliza cuando a cada valor de la variable (xi) se le otorga una ponderacin o peso distinto de la frecuencia o repeticin. Para poder calcularla se tendr que tener en cuenta las ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la variable. [9]

=npnpx

Xii

iiiP (II.25)

Cuando las observaciones no poseen la misma precisin, debe aplicarse un peso que ser proporcional al nmero de observaciones e inversamente proporcional al cuadrado de sus errores. De ste razonamiento puede demostrarse que tales pesos relativos o ponderaciones son inversamente proporcionales a la varianza de la medida, o sea:

iiP 2

1 (II.26)

Ejemplo N 30:

Los ngulos internos tomados de cierto cuadriltero y sus pesos relativos correspondientes son los siguientes: = 762815 ; p = 4 ; =884539 ; p=3 ; =1011116 ; p=2 ; = 933459 ; p=1. Se pide el ajuste de los ngulos de acuerdo a su ponderacin.

Solucin:

Dado un cuadriltero se sabe que = 360int ernos , as que: 762815 884539 1011116 933459 360 0 09 Observemos que el error es:

= 360009-360 =+9 El ajuste, por consiguiente es c= -, es decir; c=-9 Puede demostrarse que el ajuste de cada medida es inversamente proporcional a los pesos relativos o ponderaciones de cada una, o sea:

58

ngulo interno Peso (pi) pi1

Ajuste

p i

p i1

1 ngulo ajustado

762815 4 -1,08 762814 884539 3 1/3 -1,44 884537 1011116 2 -2,16 1011114 933459 1 1 -4,32 933455 360 0 09 10 25/12 -9,00 360

Ejemplo N 31:

Se han medido dos distancias parciales y su suma: D1=234,56 m ; D2=56,80 m. y D1+D2=291,42 m.

Se pide hallar los valores ms probables.

Solucin:

Haciendo la suma de las distancias parciales tenemos que: D1+D2=291,36 m, pero la medida hecha fue de 291,42 m, por tanto, el error ser:

( )m,

m,,060

4229136291=

=

si suponemos, como es vlido suponer, que a mayores distancias, mayor ser la probabilidad de error, cabra entonces decir que el ajuste vendr dado por:

mC

C

mC

C

ddC

total

i

01,042,291

80,5606,005,0

42,29156,23406,0

2

2

1

1

=

==

=

=

as, las distancias parciales ajustadas quedaran:

59

mDD

81,5661,234

2

1

==

Ejemplo N 32

Se ha medido una base de D=1 km, utilizando una cinta de acero L=50 m, y de peso 1,12 Kg. Se obtuvieron las siguientes mediciones:

1 tramo: D1=407,82 m, con pendiente Pd1=4%, temperatura t1=29C, tensin T1=7 Kg, tramos de 25 m

2 tramo: D2=592,34 m, con pendiente Pd2=6%, temperatura t2=23C, tensin T2=4 Kg, tramos de 50 m

La cinta, a una temperatura de 28C, apoyada en el suelo y bajo una tensin de 5 Kg tena una longitud de 50,0018 m. Se pide la distancia verdadera de la base. (E=2,2 x 106 Kg/cm2 y de peso especfico 8,0 Kg/dm3)

Solucin:

Correccin por temperatura:

Ct1 = ( )ttl o (II.3) = ( )2829102,101 6 = 1,02 x 10-5 m/m

Ct2 = ( )2823102,101 6 = -5,10 x 10-5 m/m

Correccin por tensin:

CT1 =( )

EATTL o

(II.4)

=( )

102,212,1008,0500571

6x

= 3,247 x 10-6 m/m

CT2 =( )

102,212,1008,0500541

6x

= -1,623 x 10-6 m/m

60

Correccin por graduacin:

Cg =( )L

LLL oactual0

(II.12)

=( )

0000,500000,500018,501

= 3,6 x 10-5 m/m

Correccin por catenaria:

Cc =TLw

2

2 3

24 (II.8)

Cc1 =

724

255012,1

2

2 3

= -6,667 x 10-3 m/25m

Cc2 =

424

505012,1

2

2 3

= -0,1633 m/50m

Entonces, la longitud de la base estara dada por:

D1 = 407,82

= 407,82 + (1,02 x 10-5 + 3,247 x 10-6 + 3,6 x 10-5) x 25

25

82,40710 x 6,667 3-

= 407,82 + (-1.1753 x 10-5)x25 0,10876

D1 = 407,711 m

Correccin por pendiente o distancia reducida al horizonte:

DH1 = D1 x cos (II.1)

=

100

4arctancos711,407

= 407,39 m

61

D2 = 592,34

= 592,34 + (-5,1 x 10-5 - 1,623 x 10-6 + 3,6 x 10-5) x 50 -

50

34,5921633,0

= 592,34 + (-1.662 x 10-5 ) x 50 1.9346

= 590,40 m

Correccin por pendiente o distancia reducida al horizonte:

DH2 = D2 x cos (II.1)

=

100

6arctancos40,590

= 589,34 m

Medidas de forma y concentracin Asimetra: coeficientes de asimetra de Fisher y Pearson

Medidas de forma:

Asimetra Curtosis o apuntamiento.

Hasta ahora, hemos estado analizando y estudiando la dispersin de una distribucin, pero parece evidente que necesitamos conocer ms sobre el comportamiento de una distribucin. En esta parte, analizaremos las medidas de forma, en el sentido de histograma o representacin de datos, es decir, que informacin nos aporta segn la forma que tengan la disposicin de datos.

Las medidas de forma de una distribucin se pueden clasificar en dos grandes grupos o bloques: medidas de asimetra y medidas de curtosis.

Cuando al trazar una vertical, en el diagrama de barras o histograma, de una variable, segn sea esta discreta o continua, por el valor de la media, esta vertical, se transforma en eje de simetra, decimos que la distribucin es simtrica. Diremos pues, que es simtrica, cuando a ambos lados de la media aritmtica haya el mismo n de valores de la variable, equidistantes de dicha media dos a dos, y tales que cada par de valores equidistantes tiene la misma frecuencia absoluta. En caso contrario, dicha distribucin ser asimtrica o diremos que presenta asimetra.

62

Para calcular la asimetra, una posibilidad, es utilizar el llamado coeficiente de FISHER que representaremos como g1 y responder a la siguiente expresin matemtica:

3

3

1

)(sxx

g i = (II.27)

Segn sea el valor de g1, diremos que la distribucin es asimtrica a derechas o positiva, a izquierdas o negativa, o simtrica, o sea:

Si g1 > 0 la distribucin ser asimtrica positiva o a la derecha (desplazada hacia la derecha).

Si g1 < 0 la distribucin ser asimtrica negativa o a la izquierda (desplazada hacia la izquierda).

Si g1 = 0 la distribucin ser simtrica.

63

Otra posibilidad de calcular la asimetra, es por medio del coeficiente de PEARSON (Ap), el cual responde a la siguiente expresin:

S

MoXAp= (II.28)

Aunque en la prctica este coeficiente sera ms fcil de calcular que el anterior, casi no lo utilizaremos ya que

solo es cierto cuando la distribucin tiene las siguientes condiciones:

Unimodal

Campaniforme

Moderada o ligeramente asimtrica.

Si Ap > 0 la distribucin ser asimtrica positiva o a derechas (desplazada hacia la derecha).

Si Ap < 0 la distribucin ser asimtrica negativa o a izquierdas (desplazada hacia la izquierda).

Si Ap = 0 la distribucin ser simtrica.

NOTA: Otro coeficiente es el coeficiente de asimetra de Bowley, menos utilizado. El cual esta basado en la posicin de los cuartiles y la mediana, para lo cual los relacionaremos de acuerdo con la siguiente expresin:

13

13 2CC

MeCCAb +

+= (II.29)

Curtosis: coeficiente de Fisher Miden la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a la moda. Se definen 3 tipos de distribuciones segn su grado de Curtosis:

g10

64

Distribucin mesocrtica: presenta un grado de concentracin medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribucin normal).

Distribucin leptocrtica: presenta un elevado grado de concentracin alrededor de los valores centrales de la variable.

Distribucin platicrtica: presenta un reducido grado de concentracin alrededor de los valores centrales de la variable. [http://endrino.cnice.mecd.es/~jhem0027/estadistica/estadistica02.htm]

Para calcularlo utilizaremos la expresin:

3)(

4

4

2 = sXx

g i (II.30)

Si g2 > 0 la distribucin ser leptocrtica o apuntada

Si g2 = 0 la distribucin ser mesocrtica o normal

Si g2 < 0 la distribucin ser platicrtica o menos apuntada que lo normal.

65

66

Referencias

[1] Real Academia de la Lengua Espaola. Diccionario de la Lengua Espaola. Vigsima segunda edicin. Madrid 2001.

[2] Wolf, Paul R y Brinker, Russell C., Topografa. Capitulo 4. Alfaomega. Santaf de Bogot 1997

[3] Shepherd, F.A., Engineering Surveying: problems and solutions. Primera edicin. Londres 1978

[4] Alcntara G., Dante A. Topografa. Universidad Autnoma del Estado de Mxico. Mxico D.F. 2001

[5] Torres N., lvaro y Villate B., Eduardo. Topografa. Editorial Escuela Colombiana de Ingeniera. SantaF de Bogot:2001

[6] Documento en lnea, http://vppx134.vp.ehu.es/fisica/agustin/errores/ node10.html

[7] Documento en lnea, http://www3.uji.es/~mateu/Tema2-D37.doc del 12/11/2007

67

CAPTULO III BRJULA

Poco se sabe sobre el origen de la brjula, aunque los chinos afirman que ellos la haban inventado ms de 2.500 aos antes de Cristo. Es probable que se haya usado en los pases del Asia Oriental hacia el tercer siglo de la era cristiana. Hay quienes opinan que un milenio ms tarde, Marco Polo la introdujo en Europa.

El fenmeno del magnetismo se conoca; se saba desde haca mucho tiempo que un elemento fino de hierro magnetizado sealaba hacia el norte, hay diversas teoras sobre quin invent la brjula. Ya en el siglo XII existan brjulas rudimentarias. La primera referencia a un dispositivo magntico usado como sealador de direcciones est en un libro de la Dinasta Song con fechas de 1040-44. All se encuentra una descripcin de un "pez que seala al sur" en un tazn de agua, que se alineaba a s mismo hacia el sur [1]. En 1269, Pietro Peregrino de Maricourt, alquimista de la zona de Picarda, describi y dibuj en un documento, una brjula con aguja fija (todava sin la rosa de los vientos", un disco con marcas de divisiones de grados y subdivisiones, que sealaba 32 direcciones celestes). Los rabes se sintieron muy atrados por este invento; la utilizaron inmediatamente, y la hicieron conocer en todo Oriente.

Posteriormente se logr un nuevo avance, cuando el fsico ingls Sir William Thomson (Lord Kevin) logr independizar a este instrumento, del movimiento del barco durante tempestades, y anul los efectos de las construcciones del barco sobre la brjula magntica. [2]

Una brjula (del italiano bussola) no consiste ms que en un objeto imantado y dispuesto de manera que oscile sin rozamiento, de esta manera aprovecha el natural magnetismo terrestre para disponer de una referencia fiable para orientarse indicando en norte magntico.

Figura III.1 Brjula del Tipo Brunton (Tomado de: http://www.brunton.com)

68

Figura III.2 Seccin transversal tpica de una brjula

La figura III.2 muestra el corte transversal tpico de una brjula. Consiste de una aguja magntica que gira sobre un pivote agudo de acero duro apoyado sobre un soporte cnico ubicado en el centro de la aguja. La aguja magntica esta ubicada dentro de una caja, la cual, para medir el rumbo, contiene un circulo graduado generalmente dividido en cuadrantes de 0o a 360o, (para el caso de brjulas acimutales) marcando los cuatro puntos cardinales (Rosa de los Vientos); teniendo en cuenta que debido al movimiento aparente de la aguja los puntos Este (E) y O