As matemáticas do veciño 20182Actas do Seminario de Iniciación … · 2019. 10. 10. · As...

As matemáticas do veciñoIniciación á Investigación

Actas do Seminario de

20182019EditoresA. Fanjul HeviaA. Fernández FariñaI. Márquez AlbésL. J. Pérez PérezX. Valle Regueiro

ACTAS DO SEMINARIO

DE

INICIACION A INVESTIGACION

CURSO 2018 – 2019

Editores:Arıs Fanjul HeviaAlejandro Fernandez FarinaIgnacio Marquez AlbesLuis Javier Perez PerezXabier Valle Regueiro

c© 2019 Seminario de Iniciacion a Investigacion.

Instituto de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostela

Coordina:

Seminario de Iniciacion a Investigacion (SII)

[email protected]

Edita:

Instituto de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Imprenta Universitaria

Pavillon de Servizos s/n

Campus Vida

15782 Santiago de Compostela

A Coruna

ISSN: 2171-6536

Deposito Legal: C 1641-2019

The beauty of mathematics only shows itself to more patientfollowers.

Maryam Mirzakhani (1977 – 2017)

All mathematicians live in two different worlds. They livein a crystalline world of perfect platonic forms. An icepalace. But they also live in the common world wherethings are transient, ambiguous, subject to vicissitudes.Mathematicians go backward and forward from one worldto another. They’re adults in the crystalline world, infantsin the real one.

Sylvain Cappell (1913 – )

iii

Prefacio

O conecemento que non se comparte e conecemento morto. De que servirıaadquirir o entendemento ultimo do universo para logo deixalo esmorecer en andeischeos de po? Velaquı a primeira virtude do Seminario: que permite compartir parapoder seguir construındo sobre o traballo comun.

Mais importante aında, o Seminario achega persoas de diferentes ambitos. Vi-vimos nunha epoca paradoxal, en que as novas tecnoloxıas, o acceso inmediato epracticamente global a informacion, en vez de achegarnos, afastanos. Do baleiro pri-mixenio da informacion absoluta xurdiron quistes, pequenas burbullas sociais cuxasuperficie interior reflicte o que hai nas mesmas, mais non permite percibir o vastocosmos alen. A investigacion non saıu indemne desta tendencia. E cada vez maisfrecuente atopar grupos de investigacion encerrados na microscopica e minguanteburbulla da sua disciplina, abocandose a unha hiperespecializacion que mata a ins-piracion e fai que as ramas irmas, mesmo aquelas no que tradicionalmente se tenconsiderado o seu propio campo, resulten alleas, incognoscibles.

O Seminario e unha rara e valiosa pedra de Rosetta, o cruzamento de caminosen que nos encontramos uns aos outros, e que nos permite traducir ao noso idiomao saber dos nosos conxeneres. O Seminario permıtenos conectar e loitar contra oillamento e a soidade intelectual, posibilita a irmandade entre as diferentes areasdas Matematicas que, unha e outra vez, demostra que non son mais que distincionsarbitrarias, nomes que lles damos as diferentes partes dun conecemento que e unicoe sen fronteiras.

A terceira virtude do Seminario e que pon de manifesto a razon de ser da Uni-versidade: por e para os estudantes. Son eles os que toman a iniciativa, os quese arriscan, ensinandose entre si nas diferentes charlas e actividades. Son eles osque pechan o cırculo, tomando o papel de docentes, aında que sexa por un dıa, paracontinuar por si mesmos esta empresa conxunta que e o proceso ensino-aprendizaxe.

Para concluır, gustarıame dicir o orgulloso que estou deles: dos organizadores,dos participantes, dos prologuistas e, en fin, de toda a xente que co seu esforzoe dedicacion fai que o Seminario sexa posible dıa a dıa; e o honor que supon pa-ra min, que no seu dıa fun organizador do mesmo, poder escribir estas palabras.Desexarıavos sorte, pero non a precisades. O exito pertencevos.

Santiago de Compostela, maio de 2019

F. Adrian F. Tojo

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Indice xeral

Introducion 1

Olga Perez Barral“A forma do tempo” 3

Marcos Tella Alvarez“Aspectos topoloxicos do Teorema de Arzela-Ascoli” 9

Laura Davila Pena“Teorıa de colas y su aplicacion a un caso cercano” 15

Alvaro Carballido Costas“Construccion de superficies hiperbolicas” 21

Jorge Rodrıguez Lopez“O Teorema do punto fixo de Schauder: xeneralizacions e aplicacions” 27

Marıa Pilar Paez Guillan“¿Que pintan las superalgebras en Mecanica Cuantica?” 33

Luca Piccotti“Participacion en investigaciones punteras sobre estrellas dobles y multiples enel ambito de la Astronomıa espanola e italiana.” 39

Branca Garcıa Correa“Investigando el interior de un horno industrial” 45

Laura Freijeiro Gonzalez“Big Data para Dummies: introduccion a los modelos de regresion lineal enalta dimension” 51

Rodrigo Marino Villar“Todos temos un punto debil” 57

vii

Brais Gonzalez Rodrıguez“RAPOSa, una herramienta gratuita para resolver problemas de optimizacionpolinomica” 63

Sebastian Buedo Fernandez“La derivada de Schwarz en dinamica discreta” 67

Gonzalo Cao Labora“Problemas de suma-producto” 73

Alfredo Rıos Albores“El metodo de cuadratura de convolucion” 79

Unha xornada de divulgacion“Matematicas: habelas hainas, seguimos contandochas!” 85

Agradecementos 87

Introducion

Se ben pode parecer que as distintas areas das matematicas estan completamen-te separadas, o certo e que e imposible que unha das areas das matematicas progresesen as achegas que se fan nas outras. Con isto en mente nace o Seminario de Inicia-cion a Investigacion (SII) a comezos do ano 2005. Este xorde como unha iniciativado alumnado de Terceiro Ciclo da Facultade e como resposta as necesidades de crearun seminario que cumprise, cando menos, os seguintes obxectivos:

Fomentar o intercambio de conecemento.

Proporcionar un lugar onde poder transmitir e explicar a persoas alleas ao seucampo as ideas fundamentais nas que se centra a sua investigacion.

Facilitar a practica de falar en publico, mais en concreto, dar charlas e afacersea escoitar e participar activamente neste tipo de eventos.

O presente volume conten os resumos das charlas que se impartiron ao longo docurso 2018/2019 no SII. Tal seminario, organizado por alumnado de doutoramento,ten lugar na Facultade de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostelae encadrase dentro das actividades do Instituto de Matematicas. Cabe destacartanto a variedade de tematicas como a procedencia dos relatores, contando tamencon participantes doutros centros. Isto mostra a transversalidade e a capacidade dechamamento do SII.

O comite organizador do SII, encargado de organizar estas actividades, facelaspublicas e ocuparse da loxıstica, ten tamen a responsabilidade de redactar estasactas que mostran o esforzo posto tanto polos organizadores como polos relatores.Estes ultimos son os encargados de revisar os resumos das charlas, tratando semprede que corrixan unha area diferente a propia, o cal propicia a comprension dosresumos por parte de persoas doutras areas.

Por ultimo engadir que o curso que ven habera cambios destinados a melloraras actividades que o SII leva a cabo como, por exemplo, a renovacion de parte doComite Organizador. Desta forma, daselles paso as novas xeracions de investigadorespara manter vivo o espırito iniciador que o SII trata de ter.

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Actas do Seminario de Iniciacion

a Investigacion - ISSN 2171-6536

A forma do tempoArea de Xeometrıa e Topoloxıa

Olga Perez BarralUniversidade de Santiago de Compostela

19 de setembro de 2018

A finais do seculo XIX comenzaron a facerse evidentes as incompatibilidadesexistentes entre as duas teorıas fısicas vixentes no momento: a Mecanica Clasica deNewton e as Leis do electromagentismo de Maxwell. Mentres das leis de Maxwell sededucıa que a velocidade da luz e constante, Newton defendıa que esta depende domovemento do sistema de referencia respecto ao cal se mide.

Grazas aos traballos de cientıficos como Lorentz, Poincare ou Einstein, entreoutros, conseguiuse poner fin a este problema: non existe tal controversia se con-sideramos a Mecanica Clasica como un caso particular doutra teorıa na que tenacabida o estudo dos fenomenos que ocorren a velocidades similares a da luz. Di-ta teorıa foi publicada por Albert Einstein en 1905, e consta dos dous seguintespostulados:

1. Principio de relatividade de Galileo: non existe a nocion de velocidade absolutapara una partıcula material;

2. Universalidade da velocidade da luz (Einstein): a velocidade da luz c e cons-tante no baleiro e independente do sistema de referencia respecto ao cal semide.

A base matematica desta teorıa consiste en realizar un cambio nas coordenadasdo espazo e do tempo, considerandoos agora combinados nunha mesma entidade,o espazo-tempo de Minkowski, L4. O noso obxectivo sera servirnos da xeometrıade dito espazo para comprender a mecanica de Einstein, ası como para dar unhaexplicacion razoable a aqueles fenomenos relativistas que semellaban paradoxaisdende o punto de vista das teorıas fısicas mais clasicas.

Observacion 1. Por simplicidade, asumiremos que a velocidade da luz e c = 1 eadimensional.

A informacion contida no presente resumo esta baseada principalmente nos tra-ballos de [1, 2].

Palabras Clave: espazo-tempo de Minkowski; Relatividade Especial; observador; intervaloou separacion.

3

4 SII A forma do tempo

Xeometrıa no espazo-tempo de Minkowski

Un espazo-tempo e un espazo vectorial de dimension catro dotado dunha metricaque permita definir unha distancia entre os puntos do espazo, que denominamossucesos ou eventos.

O espazo-tempo de Minkowski non e mais que o espazo vectorial R4 dotado dametrica de Minkowski:

d((x0, x1, x2, x3), (y0, y1, y2, y3))2 = −x0y0 +3∑i=1

xiyi,

onde (x0, x1, x2, x3), (y0, y1, y2, y3) ∈ R4. Notemos que se trata dunha expresion bensimilar a do produto escalar usual, pero con sinatura lorentziana, e dicir, coa seguinteconfiguracion de signos: (− + ++). Ao non ser unha metrica definida positiva, asnormas dos vectores do espazo non son necesariamente positivas. En funcion do seusigno, distinguimos tres tipos de vectores.

Definicion 1 (Caracter causal). Denotemos por || · ||2 := d(·, ·)2 o cadrado dadistancia inducida pola metrica de Minkowski. Diremos que un vector v ∈ L4 e:

espacial, se ||v||2 > 0;

temporal, se ||v||2 < 0;

nulo, se ||v||2 = 0.

O comportamento dos vectores do espazo-tempo de Minkowski depende do seucaracter causal. Os vectores nulos, que se corresponden con partıculas luminosas,pertencen ao cono de ecuacion −t2 +x2 +y2 +z2 = 1, conecido como cono de luz. Osvectores temporais son os pertencentes ao interior do cono de luz (cono temporal),e correspondense fısicamente coas partıculas que viaxan a velocidades inferiores ada luz.

Observadores. Diagramas de espazo-tempo

Un observador nun espazo-tempo non e mais que un sistema de eixos coorde-nados, e facer unha observacion consiste en asignar a cada evento do espazo unhascoordenadas (t, x, y, z) nas que o observador observa que dito evento ocorre.

A maneira natural de estudar os observadores e mediante o seu diagrama deespazo-tempo, no cal representamos os sucesos e o movemento das partıculas me-diante puntos e curvas, respectivamente. En concreto, unha partıcula que se movecon velocidade constante v sera representada mediante unha recta de pendente 1/v.Notemos que un foton ou partıcula lumınica correspondese cunha recta de pendenteun, pertencente polo tanto ao cono de luz.

En Relatividade Especial, moitas das conclusions que obtemos poden resultarparadoxais polo feito de comparar medicions tomadas por observadores distintos. A

Olga Perez Barral SII 5

continuacion, e co obxectivo de aprender a comparar ditas observacions, construire-mos o diagrama de espazo-tempo dun obsevador O′, con coordenadas (t′, x′), que semove con velocidade relativa respecto doutro observador O, con coordenadas (t, x),na direcion positiva do seu eixo x. Ao considerar que nos movemos nunha unicadirecion do espazo, x, omitiremos, por simplicidade, a escritura das variables y e z.

En primeiro lugar, o eixo t′, e dicir, o conxunto de sucesos tales que x′ = 0,resulta ser unha recta de pendente 1/v.

Para determinar a posicion relativa do eixo x′ respecto de O, realizaremos pri-meiro unha construcion que nos permita caracterizar os eventos de dito eixo. Consi-deremos o diagrama de espazo-tempo de O′ e sexa P o suceso pertencente o eixo t′

con coordenada t′ = −a. Dado que c = 1, un foton partindo de P intersecara o eixox′ nun suceso Q con x′ = a. Se este raio e reflectido, novamente, pola universalidadeda velocidade da luz, intersecara ao eixo t′ en t′ = a. Ası, podemos caracterizar oseventos do eixo x′ como aqueles que reflicten raios de luz que volven ao eixo t′ = acando partiron deste mesmo eixo en t′ = −a, para todo a.

Realizando esta mesma construcion, agora sobre o eixo t′ relativo a O, obtemoso eixo x′ como a recta que une o suceso Q coa orixe de coordenadas. Vexase aFigura 1.

Figura 1: Construcion do diagrama de O′ relativo ao de O

Notemos que as partıculas lumınicas sempre se moven nunha recta de pendenteun (universalidade de c), mentres que a pendente dos eixos cambia dun diagrama aoutro. Isto permıtenos extraer unha primeira conclusion en relacion a simultaneidadede eventos. Un observador O percibe como simultaneos os eventos pertencentes amesma recta t = constante ou, equivalentemente, os sucesos pertencentes as rectasparalelas ao eixo x. Posto que as rectas t = constante e t′ = constante non sonparalelas, os sucesos simultaneos para o observador O non o seran para O′.

Invarianza do intervalo ou separacion

Un dos conceptos mais importantes da teorıa da Relatividade Especial e o deintervalo. Consideremos dous sucesos P e Q pertencentes ao mesmo raio de luz. Ental caso, e posto que a velocidade da luz e c = 1, satisfaise a seguinte relacion:

0 = −(∆t)2 + (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2.


Se lemos agora estes dous mesmos sucesos en coordenadas do observador O′, polauniversalidade da velocidade da luz tamen se verifica:

0 = −(∆t′)2 + (∆x′)2 + (∆y′)2 + (∆z′)2.

Defınese en xeral a intervalo ou separacion entre dous sucesos calquera P e Qcoma:

∆s2 = −(∆t)2 + (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2.

Notemos que o intervalo ou separacion entre sucesos coincide exactamente cocadrado da distancia inducida pola metrica de Minkowski.

A continuacion amosamos o resultado mais importante desta teorıa, a invarianzado intervalo, que nos permitira extraer consecuencias con relevante significado fısicoa partir dos postulados da Relatividade Especial.

Teorema 1. O intervalo entre dous sucesos P,Q ∈ L4 e independente do ob-servador. E dicir, se O e O′ denotan observadores con coordenadas (t, x, y, z) e(t′, x′, y′, z′), respectivamente, enton ∆s2 = ∆s′2.

Podemos clasificar os diversos sucesos do espazo-tempo de Minkowski segundo osigno da sua separacion. Ası, dous sucesos dinse espacialemte separados se ∆s2 > 0e dinse temporalmente separados se ∆s2 < 0. Diremos que dous sucesos tenenseparacion nula se ∆s2 = 0 ou, equivalentemente, se pertencen ao mesmo raiolumınico.

Os sucesos temporalmente separados dun suceso dado, P , son os pertencentes aoseu cono temporal. Notemos que, por estar estes sucesos temporalmente separadosde P , e posible chegar a eles mediante un obxecto fısico, e dicir, mediante unhacurva con punto inicial P e con velocidade inferior a 1 en cada punto. Por estemotivo, dicimos que os eventos do cono temporal de P constituen o seu pasado e oseu futuro. Non existe tal posibilidade no caso dos eventos espacialmente separados:non e posible chegar dun a outro mediante unha partıcula material. Notemos tamenque non existen sucesos simultaneos con P .

Hiperbolas invariantes e calibrado dos eixos

As hiperbolas definidas mediante as ecuacions −t2 + x2 + y2 + z2 = a2 e −t2 +x2 + y2 + z2 = −b2 constituen os conxuntos de puntos que estan a unha separacionconstante da orixe. Serviremonos destas hiperbolas invariantes para calibrar o eixot′ do observador O′, sendo analogo o procedemento para o calibrado do eixo x′.

Por simplicidade, traballamos unicamente en duas dimensions. Consideremosenton a hiperbola−t2+x2 = −1 e sexanA eB os sucesos que resultan da interseccionde dita hiperbola cos eixos t e t′, respectivamente. Por pertencer A ao eixo t, teracoordenada x = 0. Da ecuacion da hiperbola −t2 + x2 = −1 obtemos que, enton,t = 1. Analogamente, por pertencer B ao eixo t′ tera coordenada x′ = 0. Polainvarianza do intervalo, −t′2 + x′2 = −1 para o observador O′, co que t′ = 1 paraB. Vexase a Figura 2.

Olga Perez Barral SII 7

Notemos que en distancia euclidiana, B esta mais afastado da orixe que B.Poren, a separacion da orixe e a mesma para os dous eventos.

Figura 2: Calibrado dos eixos

Algunhas consecuencias importantes

Das transformacions de Lorentz podemos extraer conclusions con significadofısico realmente utiles. Suponamos que desprazamos un obxecto dende a orixe ata osuceso B (vexase a Figura 2). Ao chegar a B, o obxecto ten coordenada t′ = 1, peroa lectura da coordenada temporal de B respecto do observador O e t = 1/

√1− v2,

polo que semella que o tempo transcorre mais lento para O. Este fenomeno conecesecomo dilatacion temporal, e resumese na seguinte ecuacion:

(∆t)O =(∆t′)O′√

1− v2.

De maneira totalmente analoga deducese que as lonxitudes semellan ser menorespara o observador O, fenomeno conecido como contraccion de Lorentz :

(∆x)O = (∆x′)O′√

1− v2.

Transformacions de Lorentz

Conecida a posicion relativa do observador O′ respecto de O, ası como o cali-brado dos eixos, dispomos das ferramentas necesarias para poder expresar as coor-denadas dun sistema de referencia respecto doutro.

Botando man de ferramentas de alxebra linear, deducimos que as coordenadasdo observador O′ respecto das de O son:

t′ =t− v x√1− v2

, x′ =x− v t√1− v2

.


Destas ecuacions, habitualmente denominadas transformacions de Lorentz, de-ducense de xeito inmediato os fenomenos de dilatacion temporal e contraccion deLorentz expostos na seccion anterior. Dende logo, podense extraer moitas outrasconclusions. Mostramos algunhas delas a continuacion.

Aplicacion: a Lei de Einstein de composicion de velocidades

Como aplicacion, empregaremos estas transformacions para xeneralizar a Lei deGalileo de adicion de velocidades. Sexa α unha partıcula que viaxa con velocidade Wna direcion x′ de O′. En tal caso, ∆x′/∆t′ = W . Tratase de determinar a velocidade

da partıcula α medida agora polo observador O. Denotando esta velocidade por Wobtemos, botando man das transformacions de Lorentz,

W =∆x

∆t=

(∆x′ + v∆t′)/√

1− v2

(∆t′ + v∆x′)/√

1− v2=

W + v

1 + vW.

Esta relacion e conecida como a Lei de Einstein de composicion de velocidades.Notemos esta ecuacion xeneraliza a Lei de Galielo de adicion de velocidades. En

efecto, se |W | 1 e |v| 1, enton, posto que 1 + vW ≈ 1, podemos aproximar o

cociente anterior por W ≈W + v.

Fenomenos relativistas: o paradoxo dos xemelgos

Quizais un dos fenomenos relativistas mais conecidos sexa o paradoxo dos xe-melgos. Tratase de resolver o seguinte problema: Fred comeza unha viaxe espacialafastandose do seu irman xemelgo, George, en lina recta a unha velocidade constan-te v = 24/25. Pasados 7 anos dende a sua partida, medidos polo seu tempo, Fredvolve, simetricamente, xunto ao seu irman George. Que xemelgo e maior ao regresode Fred?

Empregando as transformacions de Lorentz, podemos determinar exactamenteo tempo transcorrido para cada un dos irmans:

Fred: 7 + 7 = 14 anos;

George: 7√1−(24/25)2

+ 7√1−(24/25)2

= 50 anos.

Bibliografıa

[1] O’Neill, B. (1983). Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity,Academic Press.

[2] Schutz, B. (1997). A First Course in General Relativity, Cambridge UniversityPress.



Aspectos topoloxicos do Teorema de Arzela-AscoliArea de Analise Matematica

Marcos Tella AlvarezUniversidade de Santiago de Compostela

3 de outubro de 2018

Resumo

O ben conecido Teorema de Arzela-Ascoli e un resultado clasico enunciado edemostrado a finais do seculo XIX con numerosas e importantes aplicacions. Ini-cialmente entendıase como un resultado puramente analıtico, pero anos despoiscomezouse a descubrir a sua esencia topoloxica, o cal deu pe a novas reformulacionse novos ambitos de aplicacion do mesmo.

Ası, foron aparecendo diversas xeneralizacions analıticas, nas que se require me-nos regularidade as funcions, e topoloxicas, nas que se debilitan as hipoteses do do-minio e codominio das mesmas. A continuacion veremos algunhas das consecuenciastopoloxicas e analıticas destas xeneralizacions e comentaremos as suas semellanzase diferenzas, ası como a sua posible relacion.

O Teorema e algunhas xeneralizacions

Entre os anos 1883 e 1895 os profesores Cesare Arzela e Giulio Ascoli publicaronunha serie de resultados nos que, en resumidas contas, daban condicions necesarias esuficientes para que unha sucesion de funcions contivese subsucesions converxentes.Se ben case todas as ferramentas que empregaron eran xa conecidas na epoca,tiveron que introducir un concepto novo, recollido na seguinte definicion.

Definicion 1. Sexa (fn)n∈N unha sucesion de funcions de variable real definidasno intervalo [a, b]. Diremos que a sucesion (fn)n∈N e equicontinua se, para cadaε ∈ R+, existe δ ∈ R+ tal que, se x, y ∈ [a, b], |x− y| < δ, enton

|fn(x)− fn(y)| < ε,

para todo n ∈ N.

Este concepto debeselle, en concreto, a Ascoli. Esencialmente, o que nos estaa dicir e que unha sucesion sera equicontinua cando todas as suas funcions sexancontinuas e se “parezan” entre si. Mais adiante comprobaremos a importancia destaferramenta.

Palabras Clave: equicontinuidade; compacidade; espazos de funcions.

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10 SII O Teorema de Arzela-Ascoli

Foi no ano 1895 cando o profesor Arzela recolleu en [1] de forma conxunta todosos resultados logrados ata o momento baixo o seguinte enunciado.

Teorema 1. Sexa unha sucesion (fn)n∈N de funcions continuas de variable realdefinidas no intervalo [a, b] uniformemente limitada. Daquela:

1. Se a sucesion (fn)n∈N e converxente enton dita sucesion e equicontinua.

2. Se a sucesion (fn)n∈N e equicontinua enton cada subsucesion de (fn)n∈N ad-mite unha subsucesion converxente.

Apareceu ası o primeiro enunciado do que hoxe se conece como Teorema deArzela-Ascoli. Como se pode ver, a equicontinuidade xoga un papel esencial den-tro do resultado. Tamen e destacable a sua formulacion en termos completamenteanalıticos, pois daquela non existıa a Topoloxıa. Foi nos primeiros anos do seculoXX cando botou a andar esta nova disciplina das Matematicas, e esta deu lugar aseguinte reinterpretacion do Teorema 1.

Teorema 2. Sexa C([a, b]) o espazo das funcions reais continuas con dominio ointervalo [a, b] xunto coa norma do supremo e F ⊂ C([a, b]). Enton F e relativamentecompacto se, e so se, F e uniformemente limitado e equicontinuo para todo x ∈ [a, b].

Co paso do tempo foron aparecendo diversos escenarios nos que a aplicacion doTeorema 1 non e posible. Un exemplo sinxelo obtense se consideramos a seguinteclase de funcions.

Definicion 2. Sexa f unha funcion real de variable real definida no intervalo [a, b].Diremos que f e unha funcion regrada no punto x0 ∈ [a, b] se existen os seus lımiteslaterais f(x+

0 ) e f(x−0 ) en x0.Se f e regrada para todo x ∈ [a, b], enton diremos que f e regrada. Denotaremos

por R([a, b]) o espazo das funcions reais regradas con dominio o intervalo [a, b].

Foi enton cando Theophil Henry Hildebrandt botou man da Topoloxıa paraxeneralizar en [2] o Teorema 1 da seguinte maneira.

Teorema 3. Sexa F un subconxunto da clase R das funcions regradas definidas nointervalo [a, b]. Daquela F sera relativamente compacto se, e so se, se satisfan asseguintes condicions:

1. F e uniformemente limitado,

2. para cada x0 ∈ [a, b] tense que, dado ε ∈ R+, existe δ′ε ∈ R+ ( respectivamente,existe δ′′ε ∈ R+) de xeito que, se x ∈ (x0 − δ′ε, x0), (respectivamente, se x ∈(x0, x0 + δ′′ε ) ), se satisfai que

|f(x)− f(x−0 )| < ε,

(respectivamente, |f(x) − f(x+0 )| < ε), para toda f ∈ F . A esta condicion

chamaremoslle equiconverxencia.

Marcos Tella Alvarez SII 11

Notemos que a equiconverxencia e unha parente directa da equicontinuidade, esegue a xogar un papel esencial. De feito, cando as funcions son continuas ambosconceptos coinciden. Observemos tamen que a xeneralizacion dada polo Teorema 3e analıtica, pois estamos a trocar a clase das funcions continuas do Teorema 1 poladas regradas.

Se nos fixamos, ata o de agora so tratamos con funcions reais de variable real.Grazas a Topoloxıa podense considerar dominios e codominios mais xerais. Ası, esinxelo atoparmonos na literatura con resultados nos que se xeneraliza o Teorema 1para espazos de funcions con dominio un espazo topoloxico compacto e codominio unespazo metrico. Poren, resulta complicado encontrar enunciados onde o codominiosexa algo mais feble como, por exemplo, un espazo uniforme. No que segue X seraun conxunto. Denotaremos por ∆ ao conxunto de puntos (x, x) ∈ X ×X (diagonalde X). Se U ⊂ X ×X, definimos

U−1 := (x, y) | (y, x) ∈ U.

Ademais, se V ⊂ X ×X, definimos

U V := (x, z) | (x, y) ∈ U, (y, z) ∈ V .

Definicion 3. Unha uniformidade diagonal dun conxunto X e unha familia nonbaleira U de subconxuntos de X ×X que satisfan as seguintes propiedades:

1. cada elemento de U conten a ∆,

2. se U ∈ U , enton U−1 ∈ U ,

3. se U ∈ U , logo V V ⊂ U , para algun V ∈ U ,

4. se U, V ∈ U , daquela U ∩ V ∈ U e

5. se U ∈ U e U ⊂ V ⊂ X ×X, logo V ∈ U .

Os elementos U ∈ U recibiran o nome de contornas da uniformidade U .

Definicion 4. Un espazo uniforme e un par (X,U), onde X e un conxunto e U eunha uniformidade de X.

Un espazo uniforme X e, en resumidas contas, un conxunto dotado de certaestrutura que lle sera dada pola uniformidade U . As caracterısticas de tal estrutura,recollidas na Definicion 3, gardan certa similitude coas caracterısticas dunha metrica(condicions 1, 2 e 3) e coas dunha topoloxıa (condicions 4 e 5). Vexamos enton axeneralizacion do Teorema 1 feita por John Leroy Kelley en [3] para funcions concodominio un espazo uniforme.

Teorema 4. Sexa C a familia de funcions continuas con dominio un espazo topo-loxico regular e localmente compacto X e codominio un espazo uniforme Hausdorff(Y,V), xunto coa topoloxıa da converxencia uniforme relativa a familia de subcon-xuntos compactos de X, K. Enton un subconxunto F ⊂ C e compacto coa topoloxıada converxencia uniforme se, e so se,


1. F e pechado en C;

2. F (x) = y ∈ Y | y = f(x), f ∈ F ten clausura compacta para cada x ∈ X e

3. F e equicontinuo.

De novo, a equicontinuidade xoga un papel esencial no Teorema 4. Ademais,tamen podemos ver de forma explıcita o rol que desenvolve a Topoloxıa en todo oresultado.

Para rematar, mostraremos de contado un enunciado no que se leva a cabo unhaxeneralizacion analitica forte do Teorema 1, pois non se lle requirira ningun tipo deregularidade as funcions obxecto de estudo. Esta debeselle a Klaus Vala, e podeseconsultar en [4]. Previamente vexamos dous conceptos necesarios.

Definicion 5. Sexa f unha aplicacion con dominio un conxunto X e codominio unespazo metrico Y . Diremos que f e unha aplicacion precompacta se f(X) ⊂ Y eun subespazo precompacto en Y .

Denotaremos por K(X,Y ) ao conxunto de todas as aplicacions precompactascon dominio X e codominio Y . Esta sera a clase de funcions coas que traballaremos.

Definicion 6. Sexa F ⊂ K(X,Y ). Diremos que F e equivariante se, para cadaε ∈ R+, existe unha cobertura finita Uj | j ∈ J de X tal que, se x, y ∈ Uj, j ∈ J ,daquela

d(f(x), f(y)) < ε,

para toda f ∈ F .

A equivarianza sera o substituto natural da equicontinuidade. Vexamos enton axeneralizacion da que falamos.

Teorema 5. Sexa F ⊂ K(X,Y ). Daquela, F sera un subespazo precompacto se, eso se, se satisfan as seguintes condicions:

1. O conxunto F (x) = y ∈ Y | y = f(x), f ∈ F e precompacto para todox ∈ X.

2. F e equivariante.

Como se pode observar, non estamos a pedir ningunha regularidade as funcions.Ademais, o dominio das mesmas pode ser un conxunto calquera. Vexamos un exem-plo no cal se pode empregar o Teorema 5.

Exemplo 1. Sexa (fn)n∈N unha sucesion de funcions reais de variable real definidasno intervalo [0, 1] onde, para cada n ∈ N, se ten

fn(x) =

1

n, se x ∈ [0, 1] ∩Q,

0, noutro caso.

Marcos Tella Alvarez SII 13

f1

f2

f3

10

.

.

.

Figura 1: Sucesion (fn)n∈N. Este e un exemplo no que observamos con-verxencia claramente, pero no que non se pode aplicar o Teorema 1.

Ata o de agora non podiamos aplicar ningun resultado dos vistos para concluıralgo sobre a sucesion dada. Vexamos que podemos aplicar o Teorema 5.

Claramente, a sucesion (fn)n∈N e precompacta, pois, para cada n ∈ N, fn([0, 1]) =0, 1

n e un compacto. Se agora tomamos como cobertura de [0, 1] os conxuntosU1 = [0, 1]∩Q e U2 = [0, 1]\Q, obtemos de xeito inmediato que a sucesion tamen eequivariante. Logo estamos nas condicions do Teorema 5, polo que podemos asegurara existencia dunha subsucesion converxente, algo que se pode intuır xa na Figura 1.

Conclusions

O primeiro que debe chamar a nosa atencion e a gran diferenza existente entre osdistintos resultados vistos ata o de agora, a pesar de seren xeneralizacions do mesmoteorema. Tal feito debese, en parte, a que moitos deles surxiron a partir necesidadedunha ferramenta para a resolucion dun problema particular. Isto provocou que nonexista ningun tipo de unificacion, e como consecuencia, que moitas veces se estea afalar de cousas case identicas en termos moi distintos.

Con todo, logo da analise dos resultados expostos, chegamos a conclusion de queson precisos dous ingredientes basicos no Teorema 1 e nas suas respectivas xenerali-zacions: a compacidade e a proximidade. Esta ultima fai acto de presenza tanto nascondicions requiridas ao codominio das funcions como na equicontinuidade, equi-converxencia ou equivarianza. Ası, podemos facernos unha idea do tipo de marcosnos que poder tentar aplicar o Teorema 1 ou algunha das suas xeneralizacions. Istoresulta de gran utilidade para saber como enfrontarnos a problemas (tanto analıticoscomo topoloxicos) relacionados coa compacidade en espazos de funcions.

Tamen debemos reparar en que o grao de xeneralizacion que algun dos enuncia-dos alcanza resulta as veces un inconveniente, pois tal abstraccion fai que sexan moicomplicados de empregar. No Exemplo 1 podemos ver un caso onde o Teorema 5 eaplicable pero, en xeral, non e un resultado nada doado de usar. Isto levanos a refle-xionar que serıa interesante traballar en posibles aplicacions a casos mais practicos,


no canto de seguir buscando mais xeneralidade.

Bibliografıa

[1] Arzela, C. (1895). Sulle funzioni di linee, Memorie dell’Acaddemia delle Scienzedell’Instituto di Bologna. Clase di Scienze Fisiche e Matematiche, 5(5), pp. 55–74.

[2] Hildebrandt, T.H. (1966). Compactness in the space of quasi-continuous fun-ctions, The American Mathematical Monthly, 73(4), pp. 144–145.

[3] Kelley, J. L. (1955). General Topology, Springer-Verlag.

[4] Vala, K. (1964). On compact sets of compact operators, Annales AcademiæScientiarum Fennicæ, 1(351).



Teorıa de colas y su aplicacion a un caso cercanoArea de Estadıstica e Investigacion Operativa

Laura Davila PenaUniversidade de Santiago de Compostela

17 de octubre de 2018

Introduccion

La teorıa de colas es una disciplina que se engloba dentro de la InvestigacionOperativa y cuyo objetivo es el estudio y analisis de situaciones en las que uncliente demanda un servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfechoinstantaneamente, por lo cual se provocan esperas.

El termino “cliente” se emplea de modo general y no implica necesariamente quese trate de una persona. Por ejemplo, un cliente serıa un coche esperando en unsemaforo en rojo, un programa de ordenador esperando a ser ejecutado, o bien unabotella en una cadena de produccion esperando a ser etiquetada.

Un sistema sencillo de colas se muestra en la Figura 1.

Figura 1: Esquema basico de un sistema de colas.

El estudio de los procesos de colas se centra en entender caracterısticas como elnumero medio de clientes en el sistema, o el promedio de tiempo que emplean enel. Para ello, se analizan diversas cuestiones, como por ejemplo: ¿cuantos servidoresdeberıan estar disponibles?, ¿cuan rapidos deberıan ser? o ¿como deberıa estar dise-nado el sistema? La teorıa de colas trata de responder a estas preguntas empleandoun analisis matematico detallado.

Palabras Clave: teorıa de colas; clientes; procesos estocasticos; servicio; tiempo de espera.

15

16 SII Teorıa de colas y su aplicacion a un caso cercano

Procesos estocasticos

Los procesos estocasticos juegan un papel fundamental a la hora de modelizarsistemas de colas. En esta seccion realizaremos una introduccion a dichos procesos,definiendo algunos de los mas relevantes en la teorıa de colas, siguiendo la notacionde [1].

Definicion 1. Un conjunto de variables aleatorias X(t), t ∈ T definidas en unespacio de probabilidad comun, Ω, se denomina proceso estocastico. El conjuntoE ⊂ R de los posibles valores que una variable aleatoria X(t) puede tomar se conocecomo espacio de estados, mientras que el conjunto de ındices T se denomina espaciode tiempos.

Segun los conjuntos E y T sean finitos (o infinitos numerables) o contengan,al menos, un intervalo, se hablara de procesos estocasticos con espacio de estadosdiscreto o continuo y en tiempo discreto o continuo, respectivamente.

Los procesos estocasticos que verifican la propiedad markoviana, o propiedad defalta de memoria, se denominan procesos de Markov. De forma intuitiva, decimosque, conocido el presente, la distribucion de probabilidad de posibles valores futurosdel proceso depende solamente del valor del proceso en el presente y no de los valoresque toma el proceso en el pasado. Cuando el espacio de estados es discreto, el procesode Markov se denomina cadena de Markov.

Otro tipo especial de procesos estocasticos son los procesos de contar, que sedenotan como N(t), t ≥ 0, donde N(t) es el numero de eventos ocurridos a partirdel instante 0 pero no despues del instante t.

Definicion 2. Un proceso de contar N(t), t ≥ 0 es un proceso de Poisson conparametro λ > 0 si se cumplen las siguientes hipotesis:

El proceso presenta incrementos independientes.

Los incrementos del proceso son estacionarios.

La probabilidad de que exactamente un suceso tenga lugar en cualquier inter-valo de tiempo de longitud h es λh+ o(h).

La probabilidad de que mas de un suceso ocurra en cualquier intervalo detiempo de longitud h es o(h).

Una generalizacion de estos ultimos son los procesos de nacimiento y muerte, yaque contemplan la posibilidad de que el numero de ocurrencias disminuya.

Definicion 3. Consideremos un proceso estocastico X(t), t ≥ 0 con espacio deestados discreto, E = 0, 1, 2, ... . Supongamos que este proceso describe un sistemaque se encuentra en estado En, n = 0, 1, 2, ... , en el instante t, si y solo si X(t) = n.Entonces se dice que dicho proceso es un proceso de nacimiento y muerte si existentasas de nacimiento y muerte no negativas λn, n = 0, 1, 2, ... y µn, n = 1, 2, ... ,respectivamente, que satisfacen las siguientes condiciones:

Laura Davila Pena SII 17

Los unicos cambios de estado permitidos son del estado En al estado En+1 odel estado En al En−1 para n ≥ 1, y del estado E0 al E1.

Si en el instante t el sistema se encuentra en el estado En, la probabilidadde que ocurra una transicion del estado En al En+1 (lo cual se denota porEn → En+1) entre los instantes t y t+h, es igual a λnh+o(h), y la probabilidadde que ocurra En → En−1 (si n ≥ 1) es µnh+ o(h).

La probabilidad de que ocurra mas de una transicion en el intervalo de tiempoentre t y t+ h es o(h).

Cuando describimos un sistema de colas como un proceso de nacimiento y muer-te, pensamos en el estado En como el momento en el que se encuentran n clientesen el sistema, bien esperando o bien recibiendo el servicio. De tal modo, estaremosinteresados en conocer la probabilidad Pn(t) = P (X(t) = n). Obtenemos ası lasllamadas ecuaciones diferenciales de balance:

dPn(t)

dt= λn−1Pn−1(t)− (λn + µn)Pn(t) + µn+1Pn+1(t) y

dP0(t)

dt= −λ0P0(t) + µ1P1(t).

En ciertas ocasiones nos encontraremos ante sistemas estacionarios, es decir,donde Pn(t) se aproxima a un valor constante pn independiente del tiempo. En talcaso, las ecuaciones de balance serıan:

0 = λn−1pn−1 + µn+1pn+1 − (λn + µn)pn, n ≥ 1 (1)

0 = µ1p1 − λ0p0. (2)

Existe una tecnica mas util e intuitiva para deducir las ecuaciones diferencia-les (1) y (2), que implica el uso de un diagrama de tasa de transicion entre estados,el cual se ilustra en la Figura 2, y el principio que nos dice que, para cada estado,la tasa de flujo entrante coincide con la tasa de flujo saliente.

0 1 2 n− 1 n n+ 1 . . .

λ0 λ1 λn−1 λn

µn+1µnµ2µ1

Figura 2: Diagrama de tasa de transicion entre estados.


Teorıa de colas

Para describir los sistemas de colas utilizaremos la notacion A/B/C/D/E/Fdesarrollada por el matematico ingles David G. Kendall en el ano 1953. Presentamosdicha terminologıa en la Tabla 1.

A Distribucion del M exponencialtiempo entre llegadas D determinıstica

B Distribucion del Ek Erlang (orden k)tiempo de servicio G general

C Numero de servidoresD Capacidad del sistema Puede ser un numeroE Poblacion potencial entero positivo, o bien ∞

de clientes

F Disciplina de la cola FCFS, LCFS, RSS, PRI...

Tabla 1: Notacion de Kendall para un sistema de colas.

En algunas situaciones la notacion sera simplificada como A/B/C, asumiendode este modo que tanto la capacidad del sistema como la poblacion potencial declientes es infinita, siendo la disciplina de la cola FCFS (primero en llegar, primeroen ser servido).

Dos de los modelos estudiados son el M/M/1 y M/M/s. En ambos, tantoel tiempo entre llegadas como el tiempo de servicio siguen una distribucion ex-ponencial. El primero presenta un servidor mientras que en el segundo tenemos sservidores. Estos modelos se pueden ver como casos particulares de los procesos denacimiento y muerte, donde los nacimientos se corresponden con las llegadas de losclientes y las muertes con las salidas una vez atendidos. Por ser casos particularesde estos procesos estocasticos, podemos calcular las probabilidades pn y, a partir deellas, medidas como el numero medio de clientes en el sistema o en la cola (L y Lq)o el tiempo medio de espera en el sistema o cola (W y Wq, respectivamente). Parala realizacion de estos calculos es preciso conocer las formulas de Little:

L = λW,

Lq = λWq.

Sin embargo, podrıamos estar interesados no solo en el tiempo medio de espera,sino en conocer si un determinado cliente va a tener que esperar un tiempo superiora t en la cola o en el sistema. En tal caso, tendrıamos que calcular la distribucionde probabilidad de las variables tiempo de espera en el sistema y tiempo de esperaen la cola, W y Wq, respectivamente.

Pero estos modelos se centran en atender a un cliente que llega en demandade un servicio y se marcha tan pronto como sea atendido. Muy a menudo nosencontramos ante situaciones en las que un usuario requiere mas de un servicio, o

Laura Davila Pena SII 19

diferentes tipos de servicio, proporcionados por distintos servidores. Ası, puede sernecesario esperar en distintas colas para cada uno de los servicios. Para modelizarestos casos se emplean las redes de colas. La red estara formada por un conjunto denodos, donde cada uno de ellos contiene el sistema de una cola. Los clientes que salenservidos de un nodo podran no solo abandonar el sistema, sino tambien dirigirse acualquiera de los otros nodos. Por tanto, para especificar completamente una redde colas, sera preciso conocer no solo las tasas de llegada y servicio asociadas altotal de la misma, sino tambien las probabilidades que rigen las transiciones entrelos distintos nodos de la red.

Las redes de colas se conocen como redes de Jackson en honor al matematicoestadounidense James Jackson. Dependiendo de si se permite o no intercambio declientes con el exterior de la red, se distinguen dos tipos fundamentales de redes decolas: las redes abiertas y las redes cerradas.

Aplicacion de la teorıa de colas

En esta seccion presentamos una aplicacion de la teorıa de colas que hemosestudiado. Se trata de un problema todavıa en desarrollo y que considera incidenciasdetectadas estadısticamente en las muestras de sangre trasladadas a traves de variasrutas de ambulancias al Complexo Hospitalario Universitario de Santiago (CHUS).

El area clınica de Santiago de Compostela esta compuesta por 69 centros medicospertenecientes al Servizo Galego de Saude (SERGAS) y coordinados en gran medidapor el CHUS. Desde este centro se emiten resultados clınicos de diversas pruebasen sangre. Diariamente, se realizan extracciones de sangre en cada ambulatorio delos ayuntamientos que componen el area clınica de Santiago. Estas muestras sonposteriormente trasladadas en ambulancia al CHUS mediante 8 rutas existentes.

Con el paso del tiempo se han ido anadiendo nuevos centros medicos a las rutassin una revision precisa de estas, detectandose ası algunos problemas:

Existencia de una gran cantidad de pacientes cuyas concentraciones de potasioeran mas altas de lo normal.

Diferencias en los valores dependiendo del area del que provengan las muestras.

Despues de realizar una serie de investigaciones y estudios estadısticos, en [2]concluyeron, mediante modelos de regresion, que los pacientes procedentes de laszonas mas alejadas del CHUS eran los que presentaban niveles mas altos de estemineral.

De este modo, surgen diversas cuestiones acerca de las posibles causas. Algunasde ellas son:

Ciertas muestras tardan demasiado en llegar al laboratorio, con su correspon-diente deterioro.

Algunos repartidores tienen que desviarse en exceso, de modo que ciertasmuestras podrıan ser trasladadas al hospital mediante otras rutas.


En algunas ocasiones, varios repartidores llegan al mismo tiempo al hospital.Esto genera un colapso del sistema, dando lugar a una cola a la entrada dellaboratorio que no puede ser procesada a una velocidad adecuada. El hechode que las muestras esten paradas contribuye a su deterioro y da lugar a unresultado erroneo de la analıtica, arrojando niveles de potasio mas altos quelos reales.

Dentro de nuestro contexto de trabajo, nos hemos centrado en estudiar el ultimopunto, modelizando el sistema de colas generado a la entrada de las muestras alhospital. Lo primero que se ha hecho ha sido conseguir una base de datos provenientedel hospital y de los propios repartidores, con los parametros de interes. Una vezanalizada, se plantean una serie de propuestas para solventar este problema:

Modelizar los sistemas de colas en los nodos objeto de estudio, que en nuestrocaso son la recepcion de muestras y el MUT. El MUT es una maquina queclasifica, ordena y separa las muestras atendiendo al tipo de prueba que se vaa realizar. De esta forma, se podrıan tratar de simular las tasas de llegada yservicio optimas de modo que se espaciasen las llegadas para evitar los colapsosque se producen a determinadas horas del dıa.

Modificar la disciplina de la cola: cuando las muestras llegan al MUT, el perso-nal que allı se encuentra las introduce en la maquina de forma aleatoria, dentrode una misma ruta, sin tener en cuenta de donde vienen. Lo que proponemoses que las muestras provenientes de lugares mas lejanos sean las primeras enintroducir en el MUT, de forma que se reduzcan sus tiempos de espera y, enconsecuencia, su posibilidad de deterioro.

Estudios mas profundos acerca de rutas.

Este problema, como ya se ha mencionado, esta todavıa en fase de estudio. Elobjetivo que se pretende con la realizacion de este trabajo es poner de manifiestola utilidad de la teorıa de colas en problemas reales y, en este caso, un problemaproximo.

Bibliografıa

[1] Cao Abad, R. (2002). Introduccion a la Simulacion y a la Teorıa de Colas,Catalogo General, Netbiblo.

[2] Espasandın Domınguez, J., Cadarso Suarez, C., Kneib, T., Casas Mendez, B.,Benitez Estevez, A.J., Barreiro Martınez, T. y Gude, F. (2016). Utilidad delos modelos de regresion distribucional aditivos estructurados en la toma dedecisiones clınicas. A proposito del potasio, in Proceedings of the II EncontroGalaico-Portugues de Biometrıa, Santiago de Compostela, Spain, July 2016.Available in:http://biometria.sgapeio.es/descargas/Libro Actas BIOAPP2016.pdf



Construccion de superficies hiperbolicasArea de Geometrıa y Topologıa

Alvaro Carballido CostasUniversidade de Santiago de Compostela

31 de noviembre de 2018

Acciones propiamente discontinuas

Definicion 1. Sean G un grupo y X un conjunto. Una accion de G sobre X,denotada por Gy X, es una aplicacion

ϕ : G×X −→ X

verificando:

(1) ϕ(1, x) = x, ∀x ∈ X,

(2) ϕ(gh, x) = ϕ(g, ϕ(h, x)), ∀g, h ∈ G,∀x ∈ X.En lo que sigue escribiremos ϕ(g, x) = g.x.

Recordemos que un grupo topologico es un grupo, G, dotado de una topologıade forma que las aplicaciones de multiplicacion

(g, h) ∈ G×G −→ gh ∈ G

y de inversiong ∈ G −→ g−1 ∈ G

son continuas.

Definicion 2. Sean G un grupo topologico y X un espacio topologico. Una accioncontinua de G sobre X es una accion Gy X de forma que ϕ : G×X → X es unaaplicacion continua.

En lo que sigue todas las acciones que consideremos van a ser acciones continuasy las seguiremos denotando por Gy X.

Sea Gy X una accion. Dado x ∈ X, la orbita del punto x es el conjunto

G.x = g.x ∈ X | g ∈ G.

Las orbitas de los puntos definen una relacion de equivalencia en el espacio X de lasiguiente forma:

x, y ∈ X, x ∼ y ⇐⇒ G.x = G.y ⇐⇒ ∃g ∈ G t.q. y = g.x.

Palabras Clave: propiamente discontinua; superficie hiperbolica; grupo fuchsiano.

21

22 SII Construccion de superficies hiperbolicas

Definicion 3. Al espacio cociente definido por la anterior relacion de equivalenciase le llama espacio de orbitas y se le denota por G\X.

Para que el espacio de orbitas tenga un buen comportamiento es necesario que laaccion de G sobre X tenga unas propiedades especiales. Ası tenemos las siguientesdefiniciones:

Definicion 4. Una accion G y X se dice libre si el grupo de isotropıa de cadapunto es trivial, es decir, para cada x ∈ X, Gx = g ∈ G | g.x = x = 1.Definicion 5. Una accion G y X de un grupo discreto G (es decir, dotado dela topologıa discreta) sobre un espacio topologico Hausdorff X se dice propiamentediscontinua si se verifica que:

(1) G\X es un espacio topologico Hausdorff,

(2) Gx = g ∈ G | g.x = x es finito para cada x ∈ X,

(3) para cada punto x ∈ X existe un entorno Vx de x tal que:

(i) g.Vx ∩ Vx = ∅, ∀g /∈ Gx,

(ii) g.Vx = Vx, ∀g ∈ Gx.

La definicion dada de accion propiamente discontinua es en realidad una carac-terizacion. La definicion original de accion propiamente discontinua es accion propiade grupo discreto. Para profundizar en esto y ver la equivalencia se recomienda [1].

Un primer resultado muestra el buen comportamiento de este tipo de acciones.

Teorema 1. Sea G un grupo topologico discreto, X un espacio topologico Haus-dorff y G y X una accion libre y propiamente discontinua. Entonces la aplicacioncociente

π : X −→ G\Xes un homeomorfismo local.

El resultado del teorema anterior es mas fuerte, ya que de hecho, en esas condi-ciones la aplicacion cociente es una cubierta y en particular un fibrado localmentetrivial de fibra discreta. Veanse [4] para cubiertas y [2] o [6] para fibrados localmentetriviales.

Superficies hiperbolicas

El objetivo ahora es dotar a nuestro espacio topologico de una estructura masrica, como la de variedad riemanniana, y ver como se comportan los cocientes delas acciones propiamente discontinuas sobre estas variedades.

Teorema 2. Sean M una variedad riemanniana y de Heine-Borel (i.e. los cerradosy acotados son compactos) y Γ un subgrupo de isometrıas de M . Entonces la accionnatural Γ yM es propiamente discontinua si y solo si Γ es discreto.

Alvaro Carballido Costas SII 23

Observacion 1. En el teorema anterior, cuando decimos que Γ es discreto, nosreferimos a discreto como subespacio de Isom(M) dotado de la topologıa compacto-abierto. Sin embargo, en las hipotesis en las que nos movemos, ser discreto equivalea que la orbita de cada punto x ∈M , Γ.x ⊂M , sea un espacio discreto.

Teorema 3. En las condiciones del teorema anterior, si ademas la accion Γ yM eslibre, entonces el espacio de orbitas G\M adquiere una unica estructura de variedaddiferenciable de forma que la aplicacion cociente

π : M −→ G\M

es una isometrıa local.

La variedad riemanniana que nos interesa es el plano hiperbolico, que es unmodelo de geometrıa hiperbolica (un tipo de geometrıa en la que no se verifica elquinto postulado de Euclides) y que se define formalmente de la siguiente forma:

Definicion 6. Al semiplano complejo H = z ∈ C | Im(z) > 0 dotado de lametrica g = (dx2 + dy2)/y2 se le llama plano hiperbolico.

Figura 1: Geodesicas del plano hiperbolico

Observacion 2. El disco de Poincare, D, es un modelo equivalente al del planohiperbolico.

Figura 2: Geodesicas del disco de Poincare

24 SII Construccion de superficies hiperbolicas

La aplicacion que nos da el paso de H a D se conoce como aplicacion de Cayleyy viene dada por

z ∈ H −→ Ψ(z) =z − iz + i

∈ D.

El plano hiperbolico (y por tanto el disco de Poincare) son variedades rieman-nianas de Heine-Borel con curvatura constante y negativa igual a -1.

Nos vamos a interesar en un subgrupo muy particular de isometrıas del planohiperbolico, aquellas que conservan la orientacion.

Definicion 7. El grupo

PSL(2,R) = SL(2,R)/±Id = Isom+(H)

es el grupo de isometras de H que conservan la orientacion, donde

SL(2,R) =

z ∈ H→ az + b

cz + d∈ H : ad− bc = 1, a, b, c, d ∈ R

.

A los subgrupos discretos Γ < PSL(2,R) se les conoce como grupos fuchsianos.

Definicion 8. Sea Γ un grupo fuchsiano sin torsion (es decir, la accion naturalpor isometrıas Γ y H es libre). Al espacio de orbitas Γ\H se le llama superficiehiperbolica.

Observacion 3. En virtud del Teorema 3 y del Teorema Egregium de Gauss, ca-da superficie hiperbolica admite una unica metrica riemanniana de forma que sucurvatura es constante, negativa e igual a -1 en cada punto.

El objetivo ahora es esbozar la construccion del toro con dos agujeros a travesde la accion de un grupo fuchsiano sobre H, lo que dara lugar a enunciar unageneralizacion conocida como Teorema de Poincare.

Para ello, vamos a trabajar en el disco de Poincare. Los grupos fuchsianos deH se traspasan a los grupos discretos y sin torsion de isometrıas de D y viceversa.Nuestro objetivo es encontrar un subgrupo discreto Γ0 de las isometrıas de D, sintorsion y de forma que su espacio de orbitas sea el octogono regular (donde cadalado es un arco de geodesica) con las identificaciones mostradas en la figura 3.

Para construir tal grupo Γ0, fijamos el area del octogono como 4π. Como engeometrıa hiperbolica fijar areas es equivalente a fijar angulos, haciendo uso detrigonometrıa hiperbolica somos capaces de encontrar una isometrıa, B2, que llevab2 en b′2 con la orientacion que queremos. Una vez tenemos B2, podemos construirfacilmente (mediante rotaciones y reflexiones seguidas de rotaciones) las restantestres isometrıas A1, A2 y B1, que llevan, respectivamente, a1 en a′1, a2 en a′2 y b1 enb′1.

La pregunta es si el grupo generado por estos cuatro elementos,

Γ0 = |A1, A2, B1, B2|,

Alvaro Carballido Costas SII 25

Figura 3: Octogono regular en D

es el grupo discreto buscado. La respuesta, dada por Poincare, es positiva, y comoel octogono con las identificaciones dadas es exactamente el toro con dos agujeros,concluımos que tal superficie es una superficies hiperbolica. Para una construccionun poco mas detallada, vease [3].

De hecho, Poincare generalizo esta construccion para cualquier superficie com-pacta de genero g > 1 sin mas que considerar polıgonos hiperbolicos con suficienteslados. Esta generalizacion es lo que se conoce como Teorema de Poincare:

Teorema 4. Dada una superficie compacta de genero g > 1, Σg, existe un grupofuchsiano sin torsion Γ de forma que

Σg = Γ\H.

Bibliografıa

[1] Bourbaki, N. (1971). Elements de Mathematique. Topologie generale, chapitres1 a 4. C.C.L.S, Paris.

[2] Hector, G. y Hirsch, U. (1986). Introduction to the Geometry of Foliations,Part A. Vieweg & Sohn.

[3] Katok, S. (1992). Fuchsian groups. The University of Chicago Press, Chicagoand London.

[4] Massey, W. S. (1967). Algebraic Topology: An Introduction. Springer, New York.

[5] Ratcliffe, J. (2006). Foundations of Hyperbolic Manifolds. Springer-Verlag, NewYork.

[6] Steenrod, N. (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton UniversityPress.



O Teorema do punto fixo de Schauder: xeneralizacionse aplicacions

Area de Analise Matematica

Jorge Rodrıguez LopezUniversidade de Santiago de Compostela

14 de novembro de 2018

Introducion

O Teorema do punto fixo de Schauder e unha das ferramentas mais usadas enanalise nonlineal a hora de probar a existencia de solucion para problemas diferen-ciais ou integrais. Dito teorema e unha xeneralizacion a espazos de dimension infinitado conecido Teorema de Brouwer, presente en diversas areas das matematicas e queenunciamos a continuacion.

Teorema 1 (Brouwer, 1912, [3]). Sexa B ⊂ Rn un subconxunto non baleiro, limi-tado, convexo e pechado, e f : B → B unha aplicacion continua. Enton f ten unpunto fixo en B, isto e, existe x0 ∈ B tal que f(x0) = x0.

Observese que, grazas ao Teorema de Heine-Borel, en espazos euclidianos dedimension finita ser pechado e limitado equivale a ser compacto. Poren, dita equi-valencia non se obten en dimension infinita. Polo tanto, podemos preguntarnos sealgun dos enunciados do Teorema de Brouwer (ben para subconxuntos pechadose limitados, ou ben para subconxuntos compactos) segue a ser certo en dimensioninfinita. A resposta a esta cuestion atoparemola na seguinte seccion da man doTeorema de Schauder.

A aplicabilidade do Teorema do punto fixo de Schauder deu lugar a diversas xe-neralizacions do mesmo. Nos presentaremos aquı a extension a aplicacions multiva-luadas, que nos sera de gran utilidade a hora de debilitar a condicion de continuidaderequerida neste tipo de teoremas de punto fixo. Como consecuencia podemos obternovos resultados de existencia para problemas diferenciais onde a parte nonlinealpode ser descontinua con respecto da incognita.

O Teorema do punto fixo de Schauder

Sexa (X, ‖·‖) un espazo de Banach, isto e, X e un espazo vectorial normado (connorma ‖·‖) e completo (onde toda sucesion de Cauchy e converxente).

Palabras Clave: punto fixo; existencia de solucion; ecuacions diferenciais descontinuas.

27

28 SII O Teorema do punto fixo de Schauder

Teorema 2 (Schauder, 1930, [8]). Sexa K ⊂ X un subconxunto non baleiro, convexoe compacto, e T : K → K unha aplicacion continua. Enton T ten un punto fixo.

Por outra banda, Dugundji probou que en calquera espazo de dimension infinitaexiste unha aplicacion continua da bola pechada unitaria en si mesma sen puntosfixos. Isto indica que en espazos de dimension infinita o caracter pechado e limitadodo dominio non e suficiente para obter puntos fixos de aplicacions continuas, senonque se necesita unha hipotese mais forte: a compacidade.

Ademais dos espazos Rn, presentamos o seguinte par de exemplos de espazos deBanach, que usaremos a continuacion.

Exemplo 1. O espazo das funcions continuas definidas en [a, b] con valores en R,C0([a, b]), ten estructura de espazo de Banach coa norma do supremo

‖f‖∞ = sup|f(x)| : x ∈ [a, b], f ∈ C0([a, b]).

O espazo das funcions continuamente diferenciables en [a, b] con valores en R,C1([a, b]), tamen e un espazo de Banach coa norma

‖f‖C1 = ‖f‖∞ +∥∥f ′∥∥∞ , f ∈ C1([a, b]).

Como diciamos ao comezo, o interese do Teorema de Schauder en analise nonli-neal e debido a sua aplicabilidade a hora de probar a existencia de solucions paraproblemas diferenciais.

A modo de exemplo, consideremos o seguinte problema de segunda orde concondicions de fronteira tipo Dirichlet:

−x′′(t) = f(t, x) t ∈ I = [0, 1],x(0) = x(1) = 0.

(1)

Hipoteses usuais para garantir a existencia de solucion para o problema (1) son aschamadas condicions de Caratheodory:

(C1) Para cada x ∈ R, a aplicacion t ∈ I 7→ f(t, x) e medible;

(C2) Para c.t.p. t ∈ I, a funcion x ∈ R 7→ f(t, x) e continua;

(C3) Existe M ∈ L1(I) tal que para c.t.p. t ∈ I e todo x ∈ R se ten |f(t, x)| ≤M(t).

Teorema 3. Se f satisfai (C1), (C2) e (C3), enton o problema (1) ten polo menosunha solucion x ∈W 2,1(I).

Observacion 1. Podese identificar o conxunto W 2,1(I) co das funcions con valoresreais tales que a sua derivada e unha funcion absolutamente continua en I.

O Teorema 3 podese probar de xeito sinxelo usando o Teorema do punto fixo deSchauder. Vexamos esquematicamente a maneira de proceder.

O primeiro paso e atopar un operador T ao que aplicarlle o teorema de puntofixo. Integrando duas veces en (1) e aplicando as condicions de fronteira, obtense

Jorge Rodrıguez Lopez SII 29

que atopar solucions para o problema diferencial (1) e equivalente a atopar funcionsx ∈ C1(I) tales que

x(t) =

∫ 1

0G(t, s)f(s, x(s)) ds,

onde G e o que se conece como funcion de Green do problema (1) e ven dada por

G(t, s) =

(1− t)s se 0 ≤ s ≤ t ≤ 1,t(1− s) se 0 ≤ t < s ≤ 1.

E dicir, buscamos puntos fixos do operador T : C1(I)→ C1(I) definido como

Tx(t) =

∫ 1

0G(t, s)f(s, x(s)) ds.

Falta atopar un subconxunto axeitado do espazo de Banach C1(I) no que aplicaro Teorema de Schauder. Consideremos o conxunto

K =

x ∈ C1(I) : x(0) = x(1) = 0,

∣∣x′(t)− x′(s)∣∣ ≤ ∫ t

sM(r) dr

.

Esta claro que o conxunto K e convexo. Ademais, tamen se pode probar, por mediodo Teorema de Ascoli-Arzela, que o conxunto K e un subconxunto compacto deC1(I). Tense que T (K) ⊂ K.

Para rematar vexamos que T e continuo. Para iso, probemos que e secuen-cialmente continuo en K. Sexa xn → x en K: pola condicion (C2) temos quef(t, xn) → f(t, x) para c.t.p. t ∈ I. Enton, grazas a (C3) e ao Teorema da con-verxencia dominada de Lebesgue, obtense que Txn → Tx. Polo tanto, T e continuoen x.

O Teorema do punto fixo de Schauder garante que T ten un punto fixo en K.Dito punto fixo e unha solucion do problema diferencial (1), o que remata a probado Teorema 3.

Observacion 2. A condicion (C2) resulta chave para probar a continuidade dooperador T , a sua vez necesaria para aplicar o Teorema de Schauder.

Poren, diversos procesos fısicos ou bioloxicos poden vir modelados por ecuacionsdiferenciais para as que a condicion (C2) de continuidade na variable espacial nonse cumpre. E por iso que estamos interesados en obter resultados de existencia para(1) baixo condicions mais debiles que a citada (C2). A ferramenta que usaremos nonoso proposito sera a analise de aplicacions multivaluadas.

Teoremas de punto fixo para aplicacions multivaluadas

Sexa K un subconxunto dun espazo de Banach X e consideremos a aplicacionmultivaluada F : K → 2X (observese que unha aplicacion multivaluada non e outra


cousa que unha correspondencia entre elementos de K e subconxuntos de X ou, oque e o mesmo, elementos do conxunto de partes de X, que denotamos por 2X). Noque segue, suponeremos que a imaxe por F de cada elemento de K e un subconxuntonon baleiro, pechado e convexo.

No contexto das aplicacions multivaluadas hai duas nocions de continuidade quese reducen a continuidade usual no caso univaluado (ver [1]): a semicontinuidadesuperior e a semicontinuidade inferior. Centremonos na primeira, xa que e a que secomporta ben para a obtencion de puntos fixos.

Definicion 1. Diremos que F e semicontinua superiormente nun punto x0 se paracalquera vecinanza aberta V de F (x0) existe unha vecinanza aberta U de x0 tal queFU ⊂ V .

O Teorema de Schauder foi xeneralizado a esta clase de funcions.

Teorema 4 (Bohnenblust-Karlin, 1950, [2]). Sexa K un subconxunto non baleiro,compacto e convexo dun espazo de Banach X, e F : K → 2K unha aplicacionmultivaluada semicontinua superiormente e con valores non baleiros, pechados econvexos. Enton F ten un punto fixo, e dicir, existe x0 ∈ K tal que x0 ∈ F (x0).

O resultado anterior e conecido como Teorema de Kakutani na sua version enespazos de dimension finita. Entre as suas aplicacions destaca a proba do Teoremade Nash en teorıa de xogos (ver [4]).

Nos usaremos a teorıa de aplicacions multivaluadas para regularizar operadoresunivaluados descontinuos. Deste xeito, dado T : K ⊂ X → X un operador, nonnecesariamente continuo, asociamos a dito operador a seguinte aplicacion multiva-luada T : K → 2X , definida como:

Tx =⋂ε>0

coT(Bε(x) ∩K

)para cada x ∈ K,

onde Bε(x) denota a bola pechada centrada en x e de radio ε, e co significa envolturapechada e convexa (e dicir, co(A) e o menor conxunto pechado e convexo que contena A).

A aplicacion multivaluada T ten boas propiedades, como mostra o seguinte re-sultado (que pode ser consultado en [1, 7]).

Proposicion 1. A aplicacion multivaluada T definida arriba satisfai que:

1. T(x) e pechado e convexo, e T (x) ∈ T(x) para cada x ∈ K;

2. Se K e pechado e convexo, e T (K) ⊂ K, enton T(K) ⊂ K;

3. Se T leva conxuntos limitados en relativamente compactos, enton T e semi-continua superiormente;

4. Se T (K) e relativamente compacto, enton T(K) tamen e relativamente com-pacto;

Jorge Rodrıguez Lopez SII 31

5. Se T e continuo en x, enton T(x) = T (x).

Polo tanto, se K e un conxunto non baleiro, pechado e convexo e, ademais,T (K) ⊂ K, enton T esta nas hipoteses do Teorema de Bohnenblust-Karlin (senimponer ningunha condicion sobre a continuidade de T !). Tendo en conta isto, oseguinte resultado (ver [7]) e trivial.

Teorema 5. Sexa K un subconxunto non baleiro, compacto e convexo dun espazode Banach X, e T : K → K unha aplicacion tal que:

Fix(T) ⊂ Fix(T ), (2)

onde Fix(S) denota o conxunto de puntos fixos de S. Enton T ten un punto fixo.

Observese que a condicion (2) e mais xeral que a continuidade do operador T , oque permite aplicar o Teorema 5 en situacions onde o Teorema de Schauder non eaplicable.

Aplicacion as ecuacions diferenciais descontinuas

Para finalizar, usando o Teorema 5 e posible debilitar a condicion (C2) no re-sultado de existencia para o problema diferencial (1) dado no Teorema 3. Para isonecesitamos definir certas curvas sobre o grafo das cales permitiremos que a funcionf sexa descontinua.

Definicion 2. Unha curva admisible para a ecuacion diferencial −x′′ = f(t, x) eunha funcion γ : [a, b] ⊂ I → R en W 2,1(I) cumprindo unha das seguintes condi-cions:

(a) −γ′′(t) = f(t, γ(t)) para c.t.p. t ∈ [a, b]; ou

(b) existen ε > 0 e ψ ∈ L1([a, b]), ψ > 0 tal que ou ben:

−γ′′(t) + ψ(t) < f(t, y) para c.t.p. t ∈ [a, b] e todo y ∈ [γ(t)− ε, γ(t) + ε],

ou ben:

−γ′′(t)− ψ(t) > f(t, y) para c.t.p. t ∈ [a, b] e todo y ∈ [γ(t)− ε, γ(t) + ε].

Esencialmente, a curva γ pode ser unha solucion da ecuacion −x′′ = f(t, x) nunsubintervalo de I ou, noutro caso, unha sub ou sobresolucion estrita (ver [5]).

Teorema 6. Suponamos que f satisfai as hipoteses (C1), (C3) e

(C2∗) Existe unha coleccion numerable de curvas adimisibles γn : In ⊂ I → R tal quepara c.t.p. t ∈ I, a funcion x ∈ R 7→ f(t, x) e continua en R\⋃n:t∈Inγn(t).

Enton o problema (1) ten polo menos unha solucion x ∈W 2,1(I).


O resultado anterior foi probado en [7] e xeneralizado mais tarde en [6] a pro-blemas de segunda orde con dependencia da derivada e condicions de fronteira maisxerais que as de tipo Dirichlet.

Para finalizar presentamos un exemplo que ilustra os nosos resultados.

Exemplo 2. O problema−x′′(t) = f(t, x) t ∈ I = [0, 1],x(0) = x(1) = 0,

con

f(t, x) =

1/√t+ senb1/xc se x > 0,

1/√t se x ≤ 0,

onde bxc denota a parte enteira de x, ten polo menos unha solucion no sentidode Caratheodory, ao estar nas hipoteses do Teorema 6. Certamente, a funcion fe descontinua para x = 0 e x = 1/n, n ∈ N. As funcions constantes γ0 ≡ 0 eγn ≡ 1/n, n ∈ N, determinan curvas admisibles para a ecuacion diferencial, xa queγ′′n = 0 e

0 +1

2

(1√t− 1

)<

1√t− 1 ≤ f(t, x) para c.t.p. t ∈ I e todo x ∈ R,

para cada n ∈ N ∪ 0, ası que cumpren a Definicion 2 con ψ(t) = 12

(1√t− 1)

.

Bibliografıa

[1] Aubin, J. P. e Cellina A. (1984). Differential inclusions, Springer–Verlag.

[2] Bohnenblust, H. F. e Karlin S. (1950). On a theorem of Ville, Contributions tothe Theory of Games, Ann. of Math. Stud., Princeton Univ. Press 24, 155–160.

[3] Brouwer, L.E.J. (1912). Ueber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann.71, 97-115.

[4] Casas Mendez, B., Fiestras-Janeiro, G., Garcıa-Jurado, I. e Gonzalez-Dıaz, J.(2012). Introduccion a la teorıa de juegos, Manuais Universitarios, USC Editora(Vol. 15).

[5] De Coster, C. e Habets, P. (2006). Two-point boundary value problems: lowerand upper solutions, Elsevier (Vol. 205).

[6] Figueroa, R., Lopez Pouso, R. e Rodrıguez-Lopez, J. (2018). Extremal solu-tions for second-order fully discontinuous problems with nonlinear functionalboundary conditions, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., No. 29, pp. 1–14.

[7] Lopez Pouso, R. (2012). Schauder’s fixed–point theorem: new applications anda new version for discontinuous operators, Bound. Value Probl., 2012(92).

[8] Schauder, J. (1930). Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen. Studia Math. 2,171-180.



¿Que pintan las superalgebras en Mecanica Cuantica?Area de Algebra

Marıa Pilar Paez GuillanUniversidade de Santiago de Compostela

28 de noviembre de 2016

Introduccion

A menudo escuchamos hablar de las aplicaciones fısicas de todo tipo de teorıasmatematicas, si bien es cierto que no siempre llegamos a profundizar en ellas. Enparticular, las superalgebras de Lie se aplican a la Mecanica Cuantica, mas concre-tamente, aparecen en la teorıa de supersimetrıas, describiendo el paso de un sistemacon una partıcula en estado bosonico a otro con una partıcula en estado fermionico.El objetivo de este resumen sera explicar esta aplicacion. Para poder comprenderla,sera conveniente recordar antes ciertas ideas basicas de Mecanica Cuantica. Un buentexto introductorio es [1], aunque tambien resulta particularmente esclarecedor elprologo de [2].

Preliminares en Mecanica Cuantica

La Mecanica Cuantica surgio en la decada de 1920 gracias a los esfuerzos defısicos de renombre como Bohr, Heisenberg, Pauli, Dirac o Schrodinger por explicarfenomenos a escala subatomica que no se regıan por las leyes del mundo macrosco-pico. Por ejemplo, ninguna de las teorıas establecidas hasta el momento conseguıaexplicar por que los electrones orbitando en torno al nucleo de un atomo no aca-baban colapsando en el. Fue Niels Bohr quien dio con una respuesta satisfactoriapresentando su modelo cuantico del atomo de hidrogeno, basado en el postuladode que la energıa solo puede adoptar unos valores determinados. A esta discretiza-cion (cuantizacion) de la energıa se le une una concepcion probabilista de la teorıa,entendida del siguiente modo: no somos capaces de predecir el comportamiento delas partıculas subatomicas individualmente, pero sı de forma global. Por ejemplo,si lanzamos un rayo de electrones contra una placa, no podremos predecir dondeimpactara cada uno, y de hecho cada vez que repitieramos el experimento obten-drıamos resultados diferentes. Lo que permanecera constante en cada experimentosera la distribucion global de los impactos: habra regiones con mayor densidad decolisiones y otras donde esta sera menor. Esta distribucion sı sera predecible.

De la discretizacion de la energıa y la interpretacion probabilista se desprendeque las mediciones alteran los sistemas microscopicos, ya que los niveles de energıa

Palabras Clave: Mecanica Cuantica; bosones; fermiones; supersimetrıa; superalgebras de Lie.

33

34 SII Superalgebras en Mecanica Cuantica

involucrados en el acto de medir son similares a los del experimento y no se puedenhacer arbitrariamente pequenos, ni se puede hacer un reajuste matematico precisopara anular el efecto de la medicion. A su vez, esto implica que no es lo mismomedir primero la propiedad A de un sistema y despues la B, que hacerlo en ordeninverso. Estas caracterısticas resultan inconcebibles en el ambito macroscopico dela Mecanica Clasica, donde para medir una propiedad de un sistema se le asigna aesta un valor numerico que la determina completamente. Sera necesario plantear unnuevo esquema matematico y de mediciones especıfico para el mundo cuantico.

Introduzcamos un poco de terminologıa. Llamamos estado a cada una de lasformas que puede adoptar un sistema fısico, y observable a cada una de las propie-dades que los caracterizan. Los estados de Mecanica Clasica estan caracterizadospor la posicion y el momento de la partıcula, y los observables son funciones realesdependientes de estas dos variables. La situacion en Mecanica Cuantica es sustan-cialmente mas compleja. Los estados se identifican con vectores en un espacio deHilbert complejo y separable proyectivizado, que denotaremos H, y los observables,con operadores lineales autoadjuntos en H. Notemos que identificar propiedadescon operadores no conmutativos concuerda con que los resultados de las medicionesdependan del orden con que estas son efectuadas; si dos operadores conmmutan, sedice que las propiedades correspondientes son simultaneamente observables.

La interpretacion de las propiedades fısicas en terminos de operadores lineales sehace del siguiente modo. Los posibles valores que se pueden obtener de una medicionseran los autovalores del operador; el Teorema Espectral nos asegura que seranreales. Supongamos que el operador asociado a la propiedad A tiene un espectrodiscreto a1, ... , an, y consideremos ψ1, ... , ψn autovectores unitarios asociados. Seidentifica el valor |(ψ,ψi)|2 con la probabilidad de obtener el valor ai al medir lapropiedad A en el estado (vector) ψ. Notemos que, por formar los vectores ψ1, ... , ψnuna base ortonormal de H, se tiene que ψ =

∑ni=1 |(ψ,ψi)|2ψi y

∑ni=1 |(ψ,ψi)|2 = 1;

por ello, la interpretacion anterior tiene pleno sentido.

Un operador de espectro discreto particularmente importante es el asociadoal spin 1/2 del electron, modelizado en el espacio de Hilbert H = P(C2), y querepresenta un cierto momento angular interno del electron. Este operador admite laexpresion matricial

S1/2 =µB2

(1 00 −1

),

donde µB es una constante denominada magneton de Bohr, y tiene autovaloress± = ±µB

2 . Esta propiedad del electron se determino mediante el experimento deStern-Gerlach en 1922. Posteriormente, experimentos similares en distintas partıcu-las determinaron el spin de estas. Segun el spin tome valores enteros o semienteros,dividimos a las partıculas en bosones (fotones, partıculas α... ) y en fermiones (pro-tones, electrones, neutrones... ), respectivamente.

Marıa Pilar Paez Guillan SII 35

Supersimetrıas

Consideremos ahora un sistema de n partıculas identicas. La imposibilidad deefectuar mediciones sin alterar el sistema nos impide distinguir unas partıculas deotras; por tanto, diremos que son indistinguibles. Si H es el espacio de Hilbertasociado a cada partıcula, el espacio que describira el estado del sistema sera elproducto tensorialH⊗(n)...⊗H, y los vectores seran productos tensoriales ψ = ψ1⊗···⊗ψn, donde cada ψi hace referencia a una partıcula del sistema. La indistinguibilidadde este se traduce en una simetrıa de dichos productos, en el sentido de que siintercambiamos las partıculas etiquetadas como i y j, obtendremos el mismo estadoψ (si trabajamos con un sistema de bosones), o su opuesto −ψ (si trabajamos confermiones). Dicho de otro modo, en el caso bosonico, el estado (vector) ψ perteneceal espacio Sn(H0), y en el caso fermionico, a Λn(H1), si asumimos que H0 denota elespacio de estados del sistema bosonico y H1 el del fermionico, y donde se definen

Sn(V ) =V ⊗ (n)... ⊗ V〈v ⊗ w − v ⊗ w〉 , Λn(V ) =

V ⊗ (n)... ⊗ V〈v ⊗ w + v ⊗ w〉 ,

para un espacio vectorial arbitrario V y para todo v, w ∈ V .

Una consecuencia de la antisimetrıa de los sistemas fermionicos es que no puedentener dos partıculas en el mismo estado, pues esto implicarıa automaticamente queel estado global es 0. Esta propiedad es lo que se conoce como Principio de Exclusionde Pauli.

A partir de ahora, no fijaremos el numero de partıculas en nuestros sistemas.Para ello, consideraremos los espacios

S(V ) =∑n∈N

S(n)(V ), Λ(V ) =∑n∈N

Λ(n)(V ),

donde V es un espacio vectorial arbitrario, y asumiendo S0(V ) = Λ0(V ) = K yS1(V ) = Λ1(V ) = V . Tambien, y dado que todo espacio de Hilbert separable dedimension infinita es isomorfo al espacio de sucesiones de cuadrado sumable, `2,identificaremos tanto S(H0) como Λ(H1) con dicho espacio, y cada estado con unasucesion. El termino n-esimo representara el numero de partıculas individuales quese encuentran en un estado determinado.

A continuacion, presentamos unos operadores destacados en S(H0) y en Λ(H1):los operadores de aniquilacion y creacion de bosones y fermiones, respectivamente,que como su nombre indica, expresan el paso de un sistema de n bosones (fermiones)a otro de n − 1, en el caso de la aniquilacion, y a otro de n + 1, en el caso de lacreacion. Denotamos ar (br) al operador de aniquilacion de un boson (fermion) en el

estado r-esimo, y a†r (b†r) al operador de creacion de un boson (fermion) en el estador-esimo. Aplicando la simetrıa en el caso bosonico y la antisimetrıa en el fermionico,obtenemos las siguientes propiedades de los operadores:


aras − asar = 0,

a†ra†s − a†sa†r = 0, (1)

ara†s − a†sar = δ(r, s),

brbs + bsbr = 0,

b†rb†s + b†sb

†r = 0, (2)

brb†s + b†sbr = δ(r, s).

Consideremos a continuacion sistemas que combinen bosones y fermiones, quemodelizaremos en un espacio de estados H = S(H0) ⊗ Λ(H1). En este nuevo con-texto, el operador de aniquilacion de un boson (fermion) en el estado r-esimo sedenotara como ar ⊗ id (id ⊗ br); analogamente, para los operadores de creacion.Introducimos dos nuevos operadores: la transformacion de un boson en un fermion,

Qrs := (id⊗ b†s)(ar ⊗ id),

y la transformacion de un fermion en un boson,

Q†rs := (a†s ⊗ id)(id⊗ br).

Sumando a lo largo de los ındices r y s, podemos considerar tambien

Q :=∑r,s

Qrs, Q† :=∑r,s

Q†rs.

Las simetrıas que transforman estados bosonicos en fermionicos, y viceversa, sonconocidas como supersimetrıas.

Tambien definimos el operador H := Q†Q + QQ†, que es importante porqueproporciona el numero total de partıculas del sistema. Se cumple que HQ−QH =HQ† −Q†H = 0.

Un tratamiento mas sistematico y profundo de estos operadores puede encon-trarse en [2], y en menor medida, en [3].

Superalgebras de Lie

A la hora de estudiar en profundidad los operadores Q, Q† y H, resultarıaconveniente disponer de un marco mas general donde encuadrarlos. Dicho marcolo proporcionan las superalgebras de Lie, una estructura matematica que se habıadefinido en conexion con el estudio de los supergrupos de Lie en la decada de 1930,casi medio siglo antes de que la Fısica se adentrase en el terreno de la supersimetrıa.

Definicion 1. Sea V = V0⊕V1 una suma directa de espacios vectoriales. Si a V0 leasignamos grado 0, y a V1 grado 1, decimos que V es un superespacio vectorial. Loselementos de V0 ∪ V1 se llaman homogeneos, y V0 y V1, componentes homogeneas.Un subespacio U = U0 ⊕ U1 se dice graduado si U ∩ V0 = U0 y U ∩ V1 = U1.

Lema 1. Sean V = V0 ⊕ V1 y W = W0 ⊕W1 dos superespacios vectoriales.

Marıa Pilar Paez Guillan SII 37

La suma V ⊕W admite la graduacion

(V ⊕W )0 = V0 ⊕W0, (V ⊕W )1 = V1 ⊕W1.

El producto tensor V ⊗W admite la graduacion

(V ⊗W )0 = (V0 ⊗W0)⊕ (V1 ⊗W1), (V ⊗W )1 = (V0 ⊗W1)⊕ (V1 ⊗W0).

Si U es un subespacio de V generado por elementos homogeneos, entonces elespacio cociente V/U hereda la graduacion de V .

Definicion 2. Un superespacio vectorial V = V0 ⊕ V1 es una superalgebra si existeuna aplicacion bilineal p, que llamaremos producto,

p : V × V −→ V

satisfaciendo |p(v, w)| = |v|+ |w| para v, w elementos homogeneos, donde | · | es laoperacion grado. Un subespacio graduado U = U0 ⊕ U1 es una subalgebra graduadasi es cerrado para el producto.

Definicion 3. Una superalgebra de Lie es una superalgebra cuya aplicacion bilineal,que denotaremos [·, ·], satisface:

[v, w] = −(−1)|v||w|[w, v],

[v, [w, u]] = [[v, w], u] + (−1)|v||w|[w, [v, u]],

para v, w, u elementos homogeneos.

Un ejemplo importante de superalgebra de Lie es el siguiente. Consideremos unsuperespacio vectorial V = V0 ⊕ V1, y definamos

End(V )0 = f ∈ End(V ) : |f(v)| = |v|,End(V )1 = f ∈ End(V ) : |f(v)| = |v|+ 1.

Entonces, la suma End(V ) := End(V )0 ⊕ End(V )1 es una superalgebra de Lie conel producto [f, g] = fg − (−1)|f ||g|gf .

Notemos que, aplicando el Lema 1, le podemos dar una graduacion natural anuestro espacio H = S(H0) ⊗ Λ(H1). Supongamos que H0 esta concentrado engrado 0, y H1 en grado 1. Por ello, tanto H0 ⊗H0 como H1 ⊗H1 estaran concen-trados en grado 0. Los subespacios por los que cocientamos para obtener S2(H0)y Λ2(H1) estan generados por elementos homogeneos, y por ello el cociente heredala graduacion. Razonando de este modo recursivamente, llegamos a que todos losSn(H0) y los Λ2n(H1) estan concentrados en grado 0, mientras que los Λ2n+1(H1)lo estan en grado 1. Sumando, obtenemos una graduacion para S(H0) y Λ(H1), yconsecuentemente, para H = S(H0)⊗ Λ(H1).

Ası, estamos en condiciones de considerar la superalgebra de Lie de los endo-morfismos de H, End(H). Notemos que por estar Sn(H0) concentrado en grado 0


para todo n ∈ N, los operadores ar y a†r tendran grado 0; en cambio, dado que losΛn(H0) alternan su grado, los operadores br y b†r tendran grado 1. Por tanto, sepueden unificar las propiedades (1) y (2) en

aras − (−1)|ar||as|asar = 0,

a†ra†s − (−1)|a

†r||a†s|a†sa

†r = 0,

ara†s − (−1)|ar||a

†s|a†sar = δ(r, s),

brbs − (−1)|br||bs|bsbr = 0,

b†rb†s − (−1)|b

†r||b†s|b†sb

†r = 0,

brb†s − (−1)|br||b

†s|b†sbr = δ(r, s).

Tambien se tiene que |Q| = |Q†| = 1, y dado que H = Q†Q + QQ† = Q†Q −(−1)|Q||Q

†|QQ† = [Q†, Q] (producto en End(H)), entonces |H| = |Q†|+ |Q| = 0.Concluimos que Q, Q† y H pertenecen a la superalgebra de Lie End(S(H0) ⊕

Λ(H1)), con corchete [f, g] = fg − (−1)|f ||g|gf . Ademas, como

[Q†, Q] = H,

[Q†, H] = 0,

[Q,H] = 0,

entonces Q,Q†, H es una subalgebra graduada de End(S(H0)⊕ Λ(H1)).Este enfoque permite aplicarles a las supersimetrıas resultados sobre superal-

gebras de Lie ya conocidos, y ayuda a sistematizar y formalizar su estudio, comopuede comprobarse en la referencia [4].

Bibliografıa

[1] Griffiths, D. J. (1995). Introduction to quantum mechanics, Prentice Hall.

[2] Schwinger, J. (2001). Quantum Mechanics. Symbolism of Atomic Measure-ments, Springer.

[3] Vallejo, J. A. (2012). Introduccion a la supersimetrıa,https://arxiv.org/pdf/1205.0863.pdf.

[4] Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduc-tion, Lecture Notes of American Mathematical Society.



Participacion en investigaciones punteras sobre estrellasdobles y multiples en el ambito de la Astronomıa

espanola e italiana.Area de Astronomıa y Astrofısica

Luca PiccottiObservatorio Astronomico Ramon Marıa Aller

Universidade de Santiago de Compostela

12 de diciembre de 2018

Introduccion

Las actividades relacionadas con la Tesis Doctoral de quien subscribe, objeto deesta charla, se estan desarrollando en un centro de gran prestigio internacional enel estudio de las estrellas dobles y multiples, el Observatorio Astronomico RamonMarıa Aller (OARMA). Este Observatorio, fundado por el padre Aller hace ahora75 anos se ha especializado en esta lınea de investigacion desde que el Profesor Allerintrodujera este tema de estudio en Espana.

En las ultimas decadas, bajo la direccion del Profesor Jose Angel Docobo Du-rantez, el Observatorio alcanzo notoriedad en el ambito de la Union AstronomicaInternacional (IAU), gracias a los congresos internacionales organizados y a los tra-bajos realizados en este campo. Destacan un metodo original para el calculo deorbitas disenado por el Profesor Docobo ([4], [5]), con el que se han determinadomas de 300 orbitas, numerosısimas publicaciones en revistas internacionales (ver enla web propia: http://www.usc.es/astro), organizacion de congresos, edicion de laCircular de Informacion de la Comision G1 (anteriormente No. 26) de la IAU, direc-cion de tesis doctorales, campanas de observacion en grandes telescopios de Europa,America y Asia, adquisicion de instrumentacion de ultima generacion, etc. El Pro-fesor Docobo fue vicepresidente de la Comision de Estrellas Dobles y Multiples dela IAU durante el perıodo 2006 - 2009 y Presidente de dicha Comision entre 2009 y2012.

Las estrellas dobles

Una estrella doble o binaria puede definirse como un par de estrellas fısicamenteasociadas por mutua atraccion gravitatoria y, debido a este hecho, cada componentedescribe una orbita periodica en torno al centro de masas del sistema. Las estrellas

Palabras Clave: estrellas dobles; estrellas multiples; binarias eclipsantes; binarias espectros-copicas; binarias visuales; mecanica celeste; agujeros negros; estrellas de neutrones; ondas gravita-torias; modelo newtoniano.

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40 SII Estrellas dobles y multiples

dobles constituyen una fuente fundamental de informacion astronomica y como taltrataremos de mostrar los aspectos mas relevantes, parte de los cuales forman partede las investigaciones incluidas en la Tesis de quien subscribe, realizada bajo ladireccion del Profesor Docobo. Hay dos parametros esenciales en astronomıa estelar:la masa de las estrellas y su distancia a nosotros. La masa marca su camino evolutivo,por lo que es imprescindible determinarla con gran precision y, sin las distancias,nunca podrıamos saber la energıa que realmente estan emitiendo las estrellas. Porejemplo, la estrella Sirio es la mas brillante del cielo pero lo es por estar bastantecerca de nosotros. Precisamos conocer tambien con exactitud dichas distancias parapoder establecer diagramas fundamentales como el de temperatura-luminosidad oel de masa- luminosidad. Todo esto justifica con creces dedicarle tiempo al estudiode las estrellas dobles. En relacion con ellas, hay interesantes lıneas de investigaciontanto para matematicos (Astrodinamica) como para fısicos (Astrofısica).

Hoy en dıa, las mas de cien mil estrellas multiples catalogadas se suelen clasificar,segun la tecnica utilizada para su descubrimiento y posterior estudio, en tres tiposde binarias:

Binarias visuales: se descubren por medios opticos (a traves de la observa-cion visual, con tecnicas fotograficas o mediante interferometrıa).

Binarias espectroscopicas: la aplicacion del efecto Doppler-Fizeau es la ba-se para la deteccion de la naturaleza binaria de muchas estrellas no desdobla-das opticamente. En efecto, puesto que en una estrella doble las componentesestan orbitando en torno a su centro de masas, resulta que cada una se alejay se acerca periodicamente del observador y, por este motivo, las lıneas espec-trales se desplazan en el espectro en torno a una posicion que corresponde a lade reposo relativo. Estos desplazamientos estan relacionados con la velocidadrelativa entre la binaria y nosotros ([2]).

Binarias eclipsantes: son aquellas que muestran variaciones periodicos dela magnitud global de la estrella debido a eclipses periodicas entre las compo-nentes.

La orbita de una estrella doble esta definida por siete constantes llamadas elementosorbitales ([2]): el periodo orbital, P , en anos; la epoca de paso por el periastro, T ,en anos besselianos o bien se indica la fecha del periodo juliano cuando el periodoorbital es solo de meses o incluso dıas; la excentricidad, e; el semieje mayor, a, ensegundos de arco o en milesimas de segundos de arco (mas, en ingles); la inclinacion,i, medida en grados, es el angulo que forma el eje z− con el vector momento angular;el angulo del nodo, Ω, medido en grados, es el angulo formado por la direccion Nortecon la posicion del nodo ascendente (punto en el que la coordenada z pasa a serpositiva); finalmente, el argumento del periastro, ω, contado tambien en grados,es el angulo medido sobre la orbita relativa y que va desde la posicion del nodoascendente hasta el periastro, contado en el sentido del movimiento.

Luca Piccotti SII 41

La paralaje

Para obtener la mayor cantidad posible de informacion de las binarias, es nece-sario conocer la distancia al sistema. Esto se puede lograr midiendo la paralaje deuna estrella, que se define como el angulo con que se verıa la distancia Tierra - Soldesde la estrella. De este modo, se puede definir una unidad de distancia, el llamadoparsec (pc), como la distancia correspondiente a una paralaje de 1”, es decir, 1

3600de un grado sexagesimal. Se tiene entonces la relacion de que la distancia en parseces precisamente la inversa de la paralaje en segundos de arco:

d(pc) = 1/π(′′).

La figura 1 da cuenta de la definicion de parsec. S representa el Sol, y T la Tierraen un punto de su orbita. Ası, como es bien sabido, la distancia TS es una unidadastronomica de distancia (UA). Si el angulo SPT es un segundo de arco, por defi-nicion, P es un punto situado a una distancia de un parsec del Sol (y practicamentede la Tierra). La relacion entre el parsec y la unidad astronomica de distancia seobtiene de la siguiente manera:

1 pc = SP =TS

tan 1′′≈ TS

(1′′)rad=

1 UA1

3600 × π180

=648000

πUA ≈ 206264, 8062 UA.

Figura 1: Diagrama geometrico de la definicion del parsec.

A finales del siglo XX, la medida de paralajes experimento un gran avance gra-cias al satelite astrometrico Hipparcos y, ultimamente, a la mision espacial Gaia.Esta ultima es una sonda lanzada por la Agencia Espacial Europea (ESA) en 2013y en orbita alrededor del punto de Lagrange L2. Su objetivo es crear el mapa tridi-mensional mas completo de nuestra Galaxia.

El catalogo de Gaia se publica en etapas (data releases, DR) que contendrancantidades cada vez mayores de informacion:

DR1: 14 de septiembre de 2016.


DR2: 25 de abril de 2018.

DR3: Probablemente la primera mitad de 2021.⇒ Catalogo de estrellas bina-rias (algunas ya estan publicadas).

Publicacion final para la mision nominal: por definir.

Nuestras investigaciones se centran en aquellas estrellas dobles que son a la vezvisuales y espectroscopicas. De este modo se puede determinar la llamada paralajeorbital que sirve de control para las paralajes medidas por Gaia.

Investigaciones en relacion con la Tesis Doctoral

Mi director de tesis quiso que esta tuviera un caracter transversal en el sentidode que en ella se incluyeran diferentes investigaciones relacionadas entre sı bajo elparaguas de las estrellas dobles y multiples, un amplio campo de la astronomıa conmultiples aplicaciones de metodos matematicos. Quien subscribe estuvo de acuer-do con tal enfoque desde el comienzo. En primer lugar, hemos tratado el llamadoProblema Estelar de Tres o mas Cuerpos. El Profesor Docobo, en su Tesis Docto-ral ([3]) fue el primero que estudio este problema en Espana aplicando la teorıa deperturbaciones. La idea basica ahora es utilizar el paquete informatico TIDES (aTaylor series Integrator for Differential EquationS), desarrollado en 2011 - 2012 porAlberto Abad y otros miembros del Grupo de Mecanica Espacial de la Universidadde Zaragoza ([1]). TIDES es un software que utiliza el desarrollo en series de Taylorpara obtener la solucion numerica de las ecuaciones del movimiento perturbado y,de esta forma, poder hacer una comparacion con las soluciones obtenidas utilizandometodos de integracion analıticos y semi-analıticos. Tambien pretendemos extendereste estudio al caso de exoplanetas en torno a una componente de una estrella do-ble. Por otra parte, estamos llevando a cabo una parte experimental/observacionaltanto en el Observatoire de la Cote d’Azur (Francia), en la cual estamos realizandoobservaciones mediante la tecnica de interferometrıa speckle de sistemas estelarestriples con el uso de la camara Pupil Interferometry Speckle COronagraph (PISCO),instalada en el telescopio Epsilon de 1,04 metros. Tambien estamos trabajando conla camara EMCCD del OARMA, acoplada al telescopio de 2,6 metros del Byura-kan Astrophysical Observatory (Armenia). Este proceso lleva consigo la reduccionde la propias observaciones, lo cual se hace mediante un software especıfico que ensucesivas etapas nos permite pasar de los registros speckle a las coordenadas polaresrelativas de las componentes del sistema e incluso a sus diferencias de magnitud.

Por otra parte, es nuestra intencion profundizar en los contactos ya iniciadoscon grupos italianos que investigan en distintas lıneas en relacion con las binariascon el objetivo de incorporar a la Memoria los resultados de nuestra colaboracioncon ellos con el proposito de, como se menciono al principio, resaltar tambien el altonivel de la astronomıa italiana y espanola en el contesto europeo del siglo XXI.

Como ejemplo, hemos publicado en 2018 un primer trabajo en la revista TheAstronomical Journal ([6]). Su contenido versa sobre la binaria MCA 74 Aa,Ab, que

Luca Piccotti SII 43

tiene a la vez orbita visual y espectroscopica, ademas de paralaje Gaia. Como eshabitual, la masa total del sistema se calcula a partir de la Tercera Ley de Kepler:

M1 +M2 =

(a′′

π′′

)3 1

(P [anos])2=

(a [UA])3

(P [anos])2.

Teniendo en cuenta los valores de los elementos P y a” de la orbita visual:

P = 6, 321± 0, 010 anos

a′′ = 0′′, 189± 0′′, 002

La paralaje Gaia

π′′Gaia = 0′′, 044900± 0′′, 000557,

nos permite obtener el semieje mayor en UA (Unidades Astronomicas), segun:

a =a′′

π′′= 4, 2094± 0, 0686 UA.

El resultado de la suma de masas es: M1 + M2 = 1,867 ± 0,091 M, donde Mdenota la masa solar. Por otra parte, podemos calcular el semieje mayor de la orbitade la componente principal con respecto al centro de masas con esta expresion ([2]):

a1 =K1

√1− e2

n sen i,

donde hemos tomado K1 de la orbita espectroscopica y la excentricidad, e, el mo-vimiento medio, n = 2π

P , y la inclinacion, i, de la orbita visual. Hemos podido asıobtener tambien el semieje mayor de la orbita de la secundaria con respecto al centrode masas, a2, mediante a2 = a - a1. Por ultimo, recordando que M2/M1 = a1/a2,podemos determinar las masas individuales M1 y M2 de las componentes de estesistema.

Pasemos ahora a comentar brevemente otros trabajos conjuntos con colegasitalianos. El primero de ellos esta realizado en colaboracion con un grupo de inves-tigacion del Observatorio Astronomico de Roma, en Monte Porzio Catone. Hemosseleccionado una lista de binarias que tienen a la vez orbita visual, definitiva o casi(de grados 1 y 2 en el Catalogo de Washington, ORB6, [7]), y espectroscopica conte-nida en el Noveno Catalogo de orbitas de binarias espectroscopicas SB9 ([8]). Estasson las binarias que pueden darnos la maxima informacion acerca de su paralajeorbital, masas individuales, luminosidades, edades y caminos evolutivos.

Otro trabajo realizado en colaboracion con el grupo de investigacion italianode la Universidad de Roma ”La Sapienza” es el presentado en las XVII Jornadasde Trabajo en Mecanica Celeste (http://www.usc.es/astro/17jtmc/). Como ya semenciono, este ano se celebraron los 75 anos de fundacion del Observatorio y enesta ocasion el OARMA organizo dichas Jornadas. Usando un modelo newtoniano,nuestro objetivo ha sido estudiar el movimiento de dos y tres objetos compactos


(estrellas de neutrones o agujeros negros) justamente antes de la colision final quegenera la emision de ondas gravitatorias.

En este sentido, los casos que hemos considerado son:1) El problema de dos cuerpos: caso circular; 2) El problema de tres cuerpos: ex-tension al caso elıptico; 3) El problema de tres cuerpos: la solucion triangular (casocircular); 4) El problema de tres cuerpos: la solucion rectilınea (caso circular); 5) Elproblema de tres cuerpos restringido circular (todavıa en progreso).

Bibliografıa

[1] Abad, A., Barrio, R., Blesa, F. y Rodrıguez, M. (2011). TIDES tutorial: In-tegrating ODEs by using the Taylor Series Method, Monografıas de la RealAcademia de Ciencias Exactas, Fısicas, Quımicas y Naturales de Zaragoza.

[2] Abad, A., Docobo, J. A. y Elipe, A. (2017). Curso de Astronomıa. Segundaedicion, Prensas de la Universidad de Zaragoza. ISBN: 978-84-16935-67-3.

[3] Docobo, J. A. (1977). Aplicacion de la Teorıa de Perturbaciones al Estudio deSistemas Estelares Triples, Tesis Doctoral, Universidad de Zaragoza, facultadde ciencias.

[4] Docobo, J. A. (1985). On the analytic calculation of visual double star orbits,Celestial Mechanics, 36, pp. 143-153.

[5] Docobo, J. A. (2012). The use of Docobo’s analytic method for calculating vi-sual double star orbits, Proceedings of Orbital Couples: Pas de Deux in theSolar System and the Milky Way. Editor: Arenou, F. and Hestroffer, D. / Ob-servatoire de Paris. ISBN: 2-910015-64-5.

[6] Docobo, J. A., Tamazian, V. S., Campo, P. P. y Piccotti, L. (2018). VisualOrbit and Individual Masses of the Single-lined Spectroscopic Binary 94 AQRA (HD 219834A; MCA 74), The Astronomical Journal, Volume 156, Issue 3,article id. 85, 5 pp.

[7] Hartkopf, W. I., Mason, B. D. y Worley, C. E. (2001). The Sixth Catalog ofOrbits of Visual Binary Stars, ORB6, The Astronomical Journal, Volume 122,Issue 6, pp. 3472-3479, https://ad.usno.navy.mil/wds/orb6/orb6orbits.html.

[8] Pourbaix, D., Tokovinin, A.A, Batten, A.H., Fekel, F.C., Hartkopf, W.I., Le-vato, H., Morell, N.I., Torres, G. y Udry, S. (2004). SB9: The ninth catalogueof spectroscopic binary orbits, Astronomy & Astrophysics, 424, pp. 727-732,http://sb9.astro.ulb.ac.be.



Investigando el interior de un horno industrialArea de Matematica Aplicada

Branca Garcıa CorreaITMATI - Universidade Santiago de Compostela

6 de febrero de 2019

Introduccion

El objetivo es estudiar el comportamiento fısico de un horno de arco electrico,ası como desarrollar una herramienta de simulacion numerica que permita realizarensayos en cambios de materiales, dimensiones de los componentes o condiciones deoperacion, evitando la construccion de prototipos y a un bajo coste economico.

El horno de arco electrico estudiado se utiliza en la industria para la produccionde silicio y derivados. Este horno consta de tres electrodos suspendidos sobre unacuba (ver Figura 1). Los electrodos son alimentados con corriente electrica, de formaque entre sus puntas y el fondo de la cuba se forma un arco electrico, que dalugar a temperaturas entorno a los 2500oC. Dichas temperaturas provocan que sedesencadenen las reacciones quımicas necesarias para que las substancias contenidasen la cuba se transformen en los materiales que se desean producir. Dado que loselectrodos se consumen en la punta debido a las altas temperaturas, los materialesde los mismos se reponen en la parte superior, al mismo tiempo que los electrodosdescienden.

Figura 1: Horno de arco electrico (izquierda) y detalle de un electrodo (derecha).

Palabras Clave: simulacion numerica; horno de arco electrico; problema 3D; problema mul-tifısico.

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46 SII Investigando el interior de un horno industrial

Modelizacion matematica

La geometrıa sobre la que se resuelven los modelos consta exclusivamente de lostres electrodos, rodeados por sus respectivas placas de alimentacion. Cada uno delos electrodos esta formado por un nucleo de barras de grafito unidas entre sı y poruna pasta carbonosa que lo rodea. Esta pasta, al ser depositada en la parte superiordel electrodo esta en forma de briquetas, pero una vez que alcanza una temperaturaaproximada de 400oC, se cuece y solidifica.

El problema que se plantea incluye la resolucion de tres modelos: mecanico,electromagnetico y termico.

Los modelos electromagnetico y termico estan acoplados: por una parte, laspropiedades electromagneticas de los materiales dependen de la temperatura y porotra, el calor generado por efecto Joule (debido al paso de la corriente a traves delos electrodos) es la principal fuente del modelo termico.

Por otro lado, el modelo mecanico depende del termico, pues las propiedadesmecanicas y la ley constitutiva dependen de la temperatura. Ademas, el dominiode calculo del problema mecanico esta determinado por el campo de temperaturas,pues debe incluir unicamente la parte de la pasta cocida.

Modelo electromagnetico

Partiremos de las ecuaciones de Maxwell, que relacionan los fenomenos electro-magneticos con las cargas y corrientes que los producen. En forma diferencial,

∂D∂t− curlH = −J ,

∂B∂t

+ curlE = 0,

divB = 0,

divD = ρv,

(1)

donde D es el desplazamiento electrico, E es el campo electrico, B es la induccionmagnetica, H es el campo magnetico, J es la densidad de corriente electrica y ρves la densidad de carga electrica. Todos estos campos dependen de las coordenadasespaciales x ∈ R3 y del tiempo t ≥ 0.

Estas ecuaciones se completan con las siguientes leyes constitutivas, que descri-ben el comportamiento electro-magnetico de los materiales. En un caso isotropo (laspropiedades de los materiales no dependen de la direccion) y lineal (las propiedadesson independientes del campo aplicado), se tienen:

B = µH,

D = εE,

donde µ es la permeabilidad magnetica y ε la permitividad electrica, y ambas sonfunciones escalares acotadas que dependen de la posicion x ∈ R3.

Branca Garcıa Correa SII 47

Se considera ademas la llamada ley de Ohm, que relaciona la densidad de co-rriente en los conductores con el campo electrico. En un medio lineal isotropo es:

J = σE,

donde σ es la conductividad electrica, que es positiva en los conductores y nula enel dielectrico.

Dado que la corriente electrica suministrada al horno es alterna con una fre-cuencia muy baja, se puede despreciar el termino del desplazamiento electrico en elsistema (1) y considerar el modelo de eddy currents o corrientes inducidas.

Ademas, debido a la alimentacion con corriente alterna y dado que los materialesson lineales, se tiene que todos los campos varıan sinusoidalmente con el tiempo:

F(x, t) = Re[F(x)eiωt],

donde F es un campo complejo (llamado fasor) y ω = 2πf es la frecuencia angular.Usando esta expresion, se tiene el modelo de eddy currents armonico en tiempo

(para mas detalles, ver [1]):

curl H = J,

iωµH + curl E = 0,

div B = 0,

B = µH,

J = σE.

Estas ecuaciones estan definidas en todo el espacio, pero para resolver el proble-ma usando elementos finitos, es necesario definir un dominio acotado (Ω ⊂ R3), asıcomo condiciones de contorno adecuadas sobre la frontera del mismo. Para poderimponer estas condiciones, se considera el dominio formado por los tres electrodos,con sus respectivas placas de alimentacion rodeados por un cilindro de aire. De estamanera, se puede considerar que el campo magnetico es tangencial a la frontera:

µH · n = 0 en ∂Ω.

Esta condicion no es suficiente para resolver el problema, pues se necesita definir lafuente electromagnetica. Para ello, este modelo distribuido se acopla con un modelode circuito en el que se tienen en cuenta los transformadores, los tubos de alimen-tacion de las placas y los arcos no lineales formados en la punta de cada electrodo.El acoplamiento se define en la zona de las placas en contacto con los tubos dealimentacion y en la punta del electrodo, donde se forma el arco. Una descripcionmas exhaustiva del modelo de circuito se puede encontrar en [2].

Modelo termico

Los electrodos sufren un deslizamiento vertical para reponer los materiales quese consumen en la punta debido a las altas temperaturas, pero este movimiento


es lento, por lo que se considera la ecuacion de transferencia de calor en estadoestacionario:

−div(k(x, T )gradT (x)) = FT (x),

donde T es la temperatura, k es la conductividad termica y FT es la fuente de calordebida al efecto Joule, que se calcula resolviendo el modelo electromagnetico:

FT (x) =ω

2π

∫ 2π/ω

0J (x, t) · E(x, t) dt.

La ecuacion de transferencia de calor se resuelve en el dominio formado por los treselectrodos, y sobre su frontera se imponen condiciones de contorno adecuadas:

En la zona del electrodo sumergida en la mezcla se impone una condicionDirichlet de temperatura dada: T = Tdato

En las zonas en las que el dominio esta en contacto con el aire, que esta adistinta temperatura, se produce una transferencia de calor por conveccion.Ademas, en las zonas donde la frontera se encuentra enfrentada a otra super-ficie a distinta temperatura, se produce un intercambio de calor por radiacionentre ambas superficies a traves del aire. En particular,

k∂T

∂n= h(Tc − T ) + σε(T 4

r − T 4),

donde Tc es la temperatura de conveccion (la del fluido en contacto con lafrontera), Tr es la temperatura de radiacion (la de la superficie enfrente de lafrontera), h es el coeficiente de transferencia de calor, ε ∈ [0, 1] es el coeficientede emisividad y σ es la constante de Stefan-Boltzmann (5,669×10−8W/m2K4).

Modelo mecanico

Debido al interes de construir mallas extremadamente finas en las uniones ros-cadas entre las barras de grafito del nucleo, se decide resolver el problema mecanicoen una seccion meridional del electrodo. Se modela como un problema termoelasticolineal a traves de la ecuacion del equilibrio de la elastostatica:

divσ + f = 0, (2)

donde σ es el tensor de tensiones y f la fuerza volumica (peso del electrodo).

En el caso axisimetrico, el tensor de tensiones y el de deformaciones, que sedefine como la parte simetrica del gradiente del desplazamiento u, tienen la forma:

σ =

σr 0 τrz0 σθ 0τrz 0 σz

, ε =

εr 0 εrz0 εθ 0εrz 0 εz

.

Branca Garcıa Correa SII 49

En consecuencia, se puede reescribir la ecuacion tensorial (2) como:

∂σr∂r

+∂τrz∂z

+1

r(σr − σθ) + fr = 0,

∂τrz∂r

+∂σz∂z

+1

rτrz + fz = 0.

Estas ecuaciones se completan con una ley constitutiva que relaciona el tensor detensiones y el de deformaciones:

σrσθσzτrz

= [D]

εrεθεzγrz

−αr(T − T0)αθ(T − T0)αz(T − T0)

0

,

donde T0 es la temperatura de referencia, (αr, αθ, αz) son los coeficientes de expan-sion termica en cada direccion y [D] es una matriz que depende de los parametroselasticos (ver [3]). Ademas, se tiene que γrz = 2εrz.

Este modelo se resuelve sobre el dominio formado por la parte solida del elec-trodo, es decir, se excluye la parte de la pasta no cocida (que no ha alcanzado latemperatura de coccion). Sobre la frontera se aplican las condiciones:

Desplazamiento vertical nulo en la parte superior del electrodo: uz = 0.

Desplazamiento horizontal nulo en la parte en contacto con la placa: ur = 0.

Peso de la pasta lıquida sobre la frontera en contacto con la misma:

σn = ρg(z(r)− zfree(r))n,

donde ρ es la densidad de la pasta lıquida, g la aceleracion de la gravedad yzfree la coordenada axial maxima de la pasta lıquida.

Fuerza nula en el resto de la frontera: σn = 0.

Ademas, en las zonas roscadas se resuelve un problema de contacto no lineal, queimpide la penetracion de los materiales, pero permite el deslizamiento y una eventualseparacion de los mismos (ver [2]).

Resolucion numerica

Para realizar la simulacion completa de los tres modelos involucrados se sigueel esquema de la Figura 2. En el se parte de una temperatura inicial, a la cualse evaluan las propiedades electromagneticas de los materiales. A continuacion, seresuelve dicho modelo, obteniendo el efecto Joule, que se introduce como fuenteen la siguiente resolucion termica. Este proceso se repite tantas veces como seanecesario hasta que la temperatura de una iteracion sea lo suficientemente similar a


la de la iteracion previa, momento en el que se considera resuelto el modelo termo-electromagnetico. Se extrae una seccion axial de la temperatura obtenida y se utilizapara evaluar las propiedades mecanicas y la ley constitutiva, ası como para recortarla geometrıa eliminando la pasta con una temperatura inferior a los 400oC.

Figura 2: Algoritmo de resolucion del modelo multifısico.

Conclusiones

El comportamiento del horno ha sido correctamente modelado, lo que permitemejorar el proceso industrial reduciendo costes. Ademas, debido a que se ha consi-derado una geometrıa 3D, se han podido tener en cuenta condiciones de contornoy de operacion no axisimetricas, ası como observar los efectos de proximidad (lainfluencia electromagnetica de un electrodo sobre los otros).

Bibliografıa

[1] Bermudez de Castro, A., Gomez, D. y Salgado, P. (2014). Mathematical modelsand numerical simulation in electromagnetism, Springer.

[2] Garcıa-Correa, B. (2018). 3D Multiphysics simulation of electrodes in an elec-tric arc furnace, Trabajo de fin de Master, Universidade de Santiago de Com-postela.

[3] Zienkiewicz, O. C. y Taylor, R. L. (2000). The Finite Element Method. Volume1: the Basis, Butterworth-heinemann.



Big Data para Dummies: introduccion a los modelos deregresion lineal en alta dimension

Area de Estadıstica e Investigacion Operativa

Laura Freijeiro GonzalezUniversidade de Santiago de Compostela

20 de febrero de 2019

¿Que se entiende por Big Data?

El avance de diversos campos y medios tecnologicos hace que cada vez sea mayorel volumen de datos con el que nos encontramos diariamente. Por ejemplo, algo tanusual como internet produce cada segundo una inmensa cantidad de informacion ala que todos contribuimos. Ante la necesidad de saber manejar y aprovechar estainformacion nace el termino Big Data, el cual se define comunmente a traves de lasdenominadas “cinco uves” :

Volumen: caracterıstica que impulsa el nombre. Designa el gran tamano quealcanzan las actuales bases de datos a tratar.

Velocidad: hace referencia a la rapidez de generacion de nuevos datos y portanto a la necesidad de un procesamiento raudo y eficiente de los mismos.

Variedad: expresa la diversidad de formatos en los que puede obtenerse lainformacion hoy en dıa (imagenes, mensajes, sensores, senales de GPS... ).

Veracidad: referente a la calidad de la informacion proporcionada ası comoal grado de confianza suministrado por esta.

Valor: medicion del grado de importancia o relevancia que posee la informa-cion de estudio para un determinado fin.

En este contexto, los modelos de regresion usuales dejan de funcionar deforma adecuada y, por tanto, es necesario recurrir a modificaciones o alternativas.

¿Que es un modelo de regresion?

Los tradicionalmente conocidos como modelos de regresion permiten explicaruna variable de interes, denominada variable respuesta (Y), como puede ser el nivelde glucosa de un paciente diabetico, en base a un determinado conjunto de variables

Palabras Clave: estadıstica; big data; regresion lineal; LASSO; RIDGE.

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52 SII Big Data para Dummies

que guardan relacion con esta, las llamadas covariables explicativas (X). Un ejemplode estas ultimas serıan determinadas medidas sanitarias de dicho paciente.

De forma matematica la regresion se formaliza como

Y = m(X) + ε, (1)

donde m(x) = E(Y |X = x), con x ∈ Rp, es la media condicionada de la variablerespuesta en funcion del valor que tomen las covariables explicativas y ε es un errorno observable. En la Figura 1 se muestran algunos ejemplos de modelos de regresion.

Figura 1: Ejemplos de modelos de regresion en dos dimensiones, tomando comocovariable explicativa X y como variable respuesta Y.

Estos modelos persiguen dos objetivos: realizar predicciones para valores no ob-servados y analizar como influye cada covariable explicativa sobre la variable res-puesta, determinando las covariables mas relevantes.

El modelo lineal multiple

El modelo de regresion lineal multiple es un caso particular de modelode regresion donde m(X) adopta una estructura lineal en (1). De esta forma, seexpresa la dependencia de una variable respuesta continua Y en base a p covaria-bles explicativas que aportan informacion de la variable inicial, (X1, ... , Xp) = X,mediante una combinacion lineal. Para poder expresar y construir este modelo seasumen tradicionalmente cuatro hipotesis: linealidad, homocedasticidad, normalidade independencia.

La suposicion de linealidad se fundamenta en la existencia de una relacion linealentre las variables, obteniendo, por tanto, que el modelo sera de la forma

Y = β0 + β1X1 + ···+ βpXp + ε con β0, β1, ... , βp ∈ R. (2)

Laura Freijeiro Gonzalez SII 53

Por su parte, las hipotesis de normalidad, independencia y homocedasticidad ga-rantizan que si tomamos una muestra de tamano n,

(Yi, Xi = (Xi1, ... , Xip)

t) n

i=1,

los errores del modelo (2), ε, siguen una distribucion normal, son independientes ytienen todos la misma varianza, es decir εi i.i.d. N(0, σ2), ∀i = 1, ... , n. De estaforma, la distribucion de la variable Y sera normal y los datos Y1, ... , Yn seran mu-tuamente independientes. Ver [3] para mas informacion.

Ası, bajo la suposicion de diseno fijo (ver [3]), tras tomar una muestra de nelementos, se puede expresar el modelo (2) de forma matricial por Y = Xβ + ε:Y1

...Yn

=

1 x11 ··· x1p...

. . ....

1 xn1 ··· xnp

β0

...βp

+

ε1...εn

,

con Y, ε ∈ Mn×1, X ∈ Mn×(p+1) y β ∈ M(p+1)×1, donde ahora Y y X seranrespectivamente un vector y una matriz de valores conocidos, dados por los datosmuestrales.

A la hora de estimar los parametros del modelo, es decir, el vector β, el metodomas empleado es el de mınimos cuadrados (Figura 2). La filosofıa de este metodose basa en minimizar los errores cometidos al aproximar el valor de una variable porel obtenido con el modelo, obteniendose el estimador

β = arg mınβ

(Y −Xβ)t(Y −Xβ) = arg mınβ‖Y −Xβ‖2 = arg mın

βφ(β). (3)

De esta forma, puesto que (3) es un problema de optimizacion convexa, bastaderivar e igualar a cero para obtener su mınimo. Esto da lugar a las denominadasecuaciones normales de regresion: XtXβ = XtY . Por tanto, habra solucionunica para las ecuaciones normales cuando exista (XtX)−1 y esta vendra dada por

β = (XtX)−1XtY.

Los problemas aparecen en contextos de alta dimension donde el numero decovariables explicativas es mas grande que el numero de muestras de las que dispo-nemos1, p > n. Dado que X ∈ Mn×(p+1) y XtX ∈ M(p+1)×(p+1), la matriz XtXes singular y por tanto no vamos a poder definir su inversa de forma unica.

Corolario 1. Sean p > n, A ∈ M(p+1)×n y B ∈ Mn×(p+1). Entonces, dado querango(A) ≤ n y rango(B) ≤ n, se tiene que rango(AB) ≤ n:

rango(AB) ≤ rango(A) y rango(AB) ≤ rango(B)⇒ rango(AB) ≤ n.1En el caso de p = n se trabajarıa con los datos centrados (Y = Y − Y y xj = xj − xj ,

∀j = 1, ... , p) para garantizar que ∃(XtX)−1 ∈ Mp×p, pues en este contexto β0 = 0 y se puedeprescindir de la primera columna de X.


Usando el Corolario 1 se puede demostrar que XtX es singular cuando p > n.

Demostracion:Existira la inversa de la matriz XtX ∈ M(p+1)×(p+1), de forma unica, cuando sudeterminante sea distinto de cero, lo cual equivale a que

∃(XtX)−1 ⇔ |XtX| 6= 0 ⇔ rango(XtX) = p+ 1.

Por el Corolario 1 se tiene garantizado que rango(XtX) ≤ n < p de modo que noexiste la inversa de la matriz XtX. 2

Figura 2: Ilustracion del metodo de mınimos cuadrados en tres dimensiones. Estemetodo calcula la hipersuperficie (gris oscuro) que minimiza la suma de los residuosal cuadrado, siendo estos las distancias a los datos muestrales (esferas).

Por tanto, se ve que, tal y como estan formulados los estimadores por mınimoscuadrados en un contexto de Big Data donde p > n, no existe unicidad de losmismos.

¿Que se puede hacer en estos casos?

Para solventar este problema se puede recurrir a versiones penalizadas del me-todo de mınimos cuadrados. En particular, se proponen tres opciones.

Regresion RIDGE

La regresion RIDGE impone una penalizacion de tipo L2 sobre los coefi-cientes de β, solucionando el problema de la no invertibilidad de XtX (vease[2]). De esta forma, el nuevo problema de mınimos cuadrados a resolver serıa:

βRR = mınβ

n∑i=1

yi − β0 −p∑j=1

xijβj

2

+ λ

p∑j=1

βj2

. (4)

Laura Freijeiro Gonzalez SII 55

Regresion LASSO

La regresion LASSO (“Least Absolute Shrinkage and Selection Operator”),vease [5], sigue una filosofıa similar a la regresion RIDGE, salvo que ahora seimpone una penalizacion de tipo L1, obteniendose el problema

βRL = mınβ

n∑i=1

yi − β0 −p∑j=1

xijβj

2

+ λ

p∑j=1

|βj |

. (5)

Tanto en (4) como en (5) las penalizaciones vienen impuestas por el parametroλ > 0. De esta forma, cuanto mayor sea este valor, mas penalizados seran loscoeficientes de β, forzando a que muchos βj sean cero en el caso de la regresionLASSO o a que estos tomen un valor muy proximo a cero sin llegar a anularseen el caso de la regresion RIDGE (ver Figura 3).

Figura 3: Grafica de estimacion de la regresion LASSO (izquierda) y la regresionRIDGE (derecha) en dos dimensiones. Las regiones sombreadas son las areas donde|β1| + |β2| ≤ t y β1

2 + β22 ≤ t2 respectivamente, con t ≈ 1/λ, mientras que las

elipses son los contornos de la funcion de mınimos cuadrados.

Regresion Elastic Net

Finalmente se propone un compromiso entre las penalizaciones L2 y L1 me-diante la regresion Elastic Net (ver [1]), basada en el estimador

βRL = mınβ

n∑i=1

yi − β0 −p∑j=1

xijβj

2

+ λ

p∑j=1

(α|βj |+ (1− α)βj

2) ,

siendo α un parametro tomado de forma que α ∈ (0, 1).

Aplicacion a una base de datos reales

Para ilustrar un ejemplo de esta situacion se va a intentar modelar la tasa demortalidad de los 28 paıses de la UE en el ano 2002 (“Y”), n = 28, en


base a p = 29 variables que describen diversa informacion de los paıses: economıa,bienestar, educacion, salud, estructura social,... Estas se obtuvieron de [4].

Modelo: RIDGE LASSOElastic Net

α = 0,1 α = 0,2 α = 0,5 α = 0,7βj 6= 0 29 10 20 15 12 11% dev. 0,9387 0,9418 0,9425 0,9349 0,9427 0,9416

tiempo (s) 0,13 0,09 0,10 0,11 0,09 0,07

Tabla 1: Resultados de los distintos modelos propuestos. Siendo βj 6= 0 el numero de

variables consideradas (coeficientes no nulos del vector de parametros β), % dev. elporcentaje de deviance explicada (medida de bondad de ajuste, vease [3] para masinformacion) y tiempo (s) el tiempo computacional en segundos.

Los resultados obtenidos se recogen en la Tabla 1. En particular, se expone elmodelo que se obtiene mediante la regresion LASSO en (6), la cual permite explicarla tasa de mortalidad con unicamente 10 covariables (aproximadamente un terciode las p = 29 consideradas):

y ' 7,907−0,023 · x1−0,003 · x3 + 0,334 · x5−1,331 · x6−0,119 · x12

−0,08 · x16−0,141 · x21 + 0,432 · x24 + 0,034 · x26 + 0,380 · x29,(6)

siendo

x1 : poblacion

x3 : % poblacion entre 0-14 anos

x5 : % de poblacion de 65 o mas anos

x6 : % crecimiento de la poblacion

x12 : camas hospitalarias (por cada 1000 per-sonas)

x16 : % desempleo, total jovenes (15-24 anos)

x21 : densidad de poblacion (personas porkm2)

x24 : homicidios intencionados (por cada100000 habitantes)

x26 : trabajadores asalariados (empleados),total ( % del empleo total)

x29 : PIB per capita (UMN actual)

Bibliografıa

[1] Hastie, T., Tibshirani R. y Friedman, J. (2009). The elements of StatisticalLearning: Data Mining, Inference and Prediction, Second Edition, Springer.

[2] Hoerl, A. E. y Kennard R. W. (1970). Ridge regression: Biased estimation fornonorthogonal problems, Technometrics, 12(1), pp. 55-67.

[3] Mccullagh, P. y Nelder J. A. (1989). Generalized Linear Models, Second Edition,Chapman and Hall.

[4] The World Bank (https://datacatalog.worldbank.org).

[5] Tibshirani, R. (1996). Regression shrinkage and selection via the lasso, Journalof the Royal Statistical Society, Series B (Methodological), 58(1), pp. 267-288.



Todos temos un punto debilArea de Xeometrıa e Topoloxıa

Rodrigo Marino VillarUniversidade de Santiago de Compostela

6 de marzo de 2019

Introducion

Sexa (Mn, g) variedade de Riemann de dimension n. Sexa ∇ a conexion de Levi-Civita e sexa R o operador de curvatura con signo R(X,Y ) = [∇X ,∇Y ]−∇[X,Y ].O tensor de Ricci, dado por ρ(X,Y ) = trZ 7→ R(Z,X)Y , e a curvatura es-calar, τ = trg ρ, son invariantes altamente investigados (para ver mais detallesconsultar [4]). Hai outros tensores simetricos que aparecen de forma natural en(M, g). Por exemplo, consideramos o tensor R, que se expresa en coordenadas comoRij = RiαβγRj

αβγ . Este e un tensor de tipo (0, 2) simetrico en M , que pode serconsiderado como o mais simple despois do Ricci. Poren, a condicion de que R sexaun multiplo da metrica, e dicir,

R =‖R‖2n

g, (1)

non parece ter recibido atencion na literatura, en contraste coas metricas Einstein,onde o Ricci e da forma ρ = τ

ng.

Unha metrica de Einstein compacta e crıtica para o funcional SR : g 7→∫M ‖R‖2

restrinxido a metricas de volume 1 se e so se se satisfai (1). Ademais, en dimensioncatro tense a igualdade(

R− ‖R‖2

4g

)+ τ

(ρ− τ

4g)− 2

(ρ− ‖ρ‖

2

4g

)− 2

(R[ρ]− ‖ρ‖

2

4g

)= 0,

onde ρij = ρiaρaj e R[ρ]ij = Riabjρ

ab, e mostrouse en [1] que se cumpre (1) paracalquera variedade de dimension catro a partir desta identidade. Isto levou a Euh,Park e Sekigawa a considerar a condicion (1) de forma separada.

Definicion 1. [1] Unha variedade de Riemann non Einstein (M, g) dise debilmente

Einstein se R = ‖R‖2n g .

Como exemplo mais simple temos o seguinte.

Palabras Clave: metricas Einstein; metricas debilmente Einstein; localmente conformementeplano; hipersupeficies.

57

58 SII Todos temos un punto debil

Exemplo 1. Sexa M unha variedade de Riemann produto de duas variedades deRiemann 2-dimensionais M1 e M2 con curvatura seccional constante c e −c (c 6= 0),respectivamente. Enton, M e debilmente Einstein pero non e Einstein.

O noso proposito e investigar a condicion (1) para dar novos exemplos e clasificaras variedades localmente conformemente planas debilmente Einstein e hipersuper-ficies debilmente Einstein no espazo Euclidiano. Para atopar esta informacion conmais detalle pode consultarse [2], onde se recolle toda a informacion deste traballo.

Variedades localmente conformemente planas debilmen-te Einstein

Queremos demostrar o seguinte teorema.

Teorema 1. Sexa (M, g) unha variedade de Riemann localmente conformementeplana. Enton (M, g) e debilmente Einstein se e so se se cumpre algunha das seguintesposibilidades:

(i) dimM = 4 e (M, g) ten curvatura escalar cero.

(ii) dimM 6= 4 e

(ii.a) (M, g) e localmente homotetica a un produto deformado da forma I ×fN(c), con metrica g = dt2+f2gN , onde I e un intervalo real e (N(c), gN )e unha variedade de curvatura seccional constante c ∈ 0,±1. Ademais,a funcion de deformacion1 ven dada por:

(ii.a.1) f(t)2 = t2 − 1, se c = 1, e I = (1,+∞),

(ii.a.2) f(t)2 = t, se c = 0, e I = (0,+∞),

(ii.a.3) f(t)2 = 1− t2, se c = −1, e I = (−1, 1).

(ii.b) (M, g) e localmente simetrica e localmente isometrica a un produto M =Nm

1 (c)×Nm2 (−c), onde m ≥ 2.

Demostracion. Primeiro veremos como e a estrutura alxebrica para dimension tres,pois hai que tratalo dun xeito distinto.

Sexan λα e λβ autovalores para o operador de Ricci. Para n = 3, (M, g) edebilmente Einstein se e so se

(λα − λβ)τ − (λα + λβ) = 0, para todo α, β = 1, 2, 3 .

Resolvendo o sistema anterior obtense que (M, g) de dimension tres e debilmenteEinstein se e so se o operador de Ricci ten rango un (para mais detalles ver [2]).

1Na literatura o usual e atopar este tipo de produtos co nome de produto warped e a funcionde deformacion como funcion warping.

Rodrigo Marino Villar SII 59

Se n ≥ 4, enton (M, g) e localmente conformemente plana se e so se o tensor deWeyl se anula. Enton

R(X,Y )Z = − τ

(n− 2)(n− 1)g(Y,Z)X − g(X,Z)Y

+1

(n− 2)g(QY,Z)X − g(QX,Z)Y + g(Y,Z)QX − g(X,Z)QY ,

onde Q denota o operador de Ricci.

Empregando esta expresion, podemos obter R. Ası, (M, g) e debilmente Einsteinse e so se

(n− 4)Q2 +2τ

n− 1Q−

((n− 4)

n‖ρ‖2 +

2τ2

n(n− 1)

)Id = 0.

Se n = 4, a ecuacion anterior convertese en τ(Q− 1

4τ) = 0. Enton, ou ben (M, g)

e Einstein ou ben τ = 0. Isto proba (i).

Para probar (ii), resta considerar o caso n ≥ 5, para o cal o operador de Ricciten dous autovalores que estan relacionados por

µ = − 2m+ (n− 4)(n− 1)

2(n−m) + (n− 4)(n− 1)λ,

onde m e a multiplicidade do autovalor λ.

A continuacion introducimos o seguinte resultado tecnico que proporciona aestrutura local dunha metrica en base ao estudo dos autoespazos asociados a untensor Codazzi T (i.e., (∇XT )(Y, Z) = (∇Y T )(X,Z) para todo X,Y, Z ∈ TM).

Lema 1. (Merton. [5]) Sexa T un tensor Codazzi nunha variedade de Riemann(Mn, g), n ≥ 3. Sexa λ unha autofuncion de T con autoespazo asociado Vλ. SedimVλ ≥ 2, enton ∇λ e ortogonal a Vλ. Ademais, se T ten exactamente duasautofuncions distintas λ e µ tal que dimVλ ≤ dimVµ, enton

(i) M e localmente un produto se dimVλ ≥ 2.

(ii) M e localmente un produto deformado con base de dimension un e unha fun-cion de deformacion non trivial se, e so se,

(ii.a) dimVλ = 1,

(ii.b) a autofuncion µ non e constante e ∇λ e ortogonal a Vµ.

Por outra banda, se definimos o tensor de Schouten como

S =1

n− 2(ρ− τ

2(n− 1)g),

tense que ([3]):


Se dimM = 3, M e localmente conformemente plana ⇔ S e Codazzi.

Se dim ≥ 4, W = 0 ⇒ S e Codazzi.

E polo que sabiamos sobre o tensor de Ricci, temos que

Se dimM = 3, Q = diag[0, 0, κ] enton S = diag[−1

4κ,−1

4κ,

3

4κ],

Se dimM ≥ 5, Q ten dous autovalores, polo que S tamen ten dous autovaloresdados por

µ =2m+ n− 4

2m− 3n+ 4λ.

Empregamos agora o lema 1.

dimVλ ≥ 2, dimVµ ≥ 2, M divıdese como un produto M1 ×M2 e por serlocalmente conformemente plana, obtense que M = Nn/2(c) × Nn/2(−c) ouR×N(c).

dimVλ = 1, dimVµ = n− 1, a variedade e localmente un produto deformadoda forma M = R×fN(c). Ademais, tense que R×fN(c) e debilmente Einsteinse e so se

0 =(f ′(t)2 − f(t)f ′′(t)− c

) (f ′(t)2 + f(t)f ′′(t)− c

);

proporcionando unha condicion necesaria para a funcion de deformacion f .

Lema 2. Un produto deformado I×fN con fibra N(c) de curvatura seccionalconstante c e debilmente Einstein se, e so se, e homotetico a un dos seguintes:

(i) f(t)2 = t2 − 1, se c = 1, e I = (1,+∞),

(ii) f(t)2 = t, se c = 0, e I = (0,+∞),

(iii) f(t)2 = 1− t2, se c = −1, e I = (−1, 1).

Isto completa a proba do teorema 1.

Hipersuperficies en Rn+1 debilmente Einstein

Queremos demostrar o seguinte resultado.

Teorema 2. Unha hipersuperficie M → Rn+1 e debilmente Einstein se, e so se, ehomotetica a un produto deformado dado no teorema 1.

Rodrigo Marino Villar SII 61

Demostracion. Pola formula de Gauss o tensor de curvatura ven dado porR(X,Y )Z =g(SY, Z)SX − g(SX,Z)SY , onde S e o operador forma, que e Codazzi. Enton Me debilmente Einstein se e so se se cumpre a seguinte relacion para os autovaloresλi de S

0 = (λi − λj)(λi + λj)(mi − 1)λ2i + (mj − 1)λ2

j +∑i 6=k 6=j

mkλ2k.

Polo tanto, estas son as posibilidades:

S = diag[λ, ... , λ], S = diag[λ, 0, ... , 0], S = diag[λ, m..., λ,−λ, n−m... ,−λ],

das cales a unica que non da unha variedade plana e a terceira. Polo tanto temos oseguinte.

Lema 3. Sexa M → Rn+1 unha hipersuperficie. Enton M e debilmente Einstein se,e so se, o operador forma S ten exactamente duas curvaturas principais distintas±λ, i.e., S = diag[λ, m..., λ,−λ, n−m... ,−λ].

Empregamos agora o lema da demostracion anterior para os tensores Codazzi.Temos logo que

dimVλ ≥ 2, λ ∈ R enton M e isoparametrica. Enton M e un conxunto abertode Rn, Sn, Sm×Rn−m, polo tanto S = λId ou S = diag[λ, m..., λ, 0, n−m... , 0], quenon se corresponden con ningunha configuracion do lema anterior.

Se dimVλ = 1, enton M e localmente conformemente plana ([6]), polo tanto(M, g) queda determinada polo teorema 1-(ii.a) cando n 6= 4, polo que e unproduto deformado.

Se dimM = 4, enton Q = (trS)S −S2, logo Q = diag[−3λ2, λ2, λ2, λ2], e polotanto M = I ×f N(c).

Como conclusion, tense que os teoremas 1 e 2 permiten clasificar localmente asvariedades localmente conformemente planas debilmente Einstein e mais as hiper-superficies en Rn+1 debilmente Einstein.

Bibliografıa

[1] Euh, Y., Park, J. e Sekigawa, K. (2013). A curvature identity on a 4-dimensional Riemannian manifold, Result. Math., 63 , pp. 107–114.

[2] Garcıa-Rıo, E., Haji-Badali, A., Marino-Villar, R. e Vazquez-Abal, M.A.(2018). Locally conformally flat weakly-Einstein manifolds, Arch. Math., 111 ,pp. 549–559.


[3] Kuhnel, W. (2015). Differential Geometry, Student Mathematical Library 77,American Mathematical Society, Providence, RI.

[4] Lee, J. (1997). Riemannian manifolds. An introduction to curvature, GraduateTexts in Mathematics 176, Springer-Verlag, New York.

[5] Merton, G. (2013). Codazzi tensors with two eigenvalue functions, Proc. Amer.Math. Soc., 141 , pp. 3265–3273.

[6] Nishikawa, S. e Maeda, Y. (1974). Conformally flat hypersurfaces in a confor-mally flat Riemannian manifold, Tohoku Math. J., 26, pp. 159–168.



RAPOSa, una herramienta gratuita para resolverproblemas de optimizacion polinomica

Area de Estadıstica e Investigacion Operativa

Brais Gonzalez RodrıguezUniversidade de Santiago de Compostela

20 de marzo de 2019

Reformulation-Linearization Technique

La “Reformulation-Linearization Technique” (RLT), introducida en [1], es unatecnica que sirve para resolver problemas de optimizacion polinomica garantizandola convergencia a un optimo global.

Definicion 1. Se define un problema de optimizacion polinomica como

minimizar φ0(x)sujeto a φr(x) ≥ βr, r = 1, ... , R1,

φr(x) = βr, r = R1 + 1, ... , R,x ∈ Ω ⊂ Rn.

donde φr(x) son polinomios, N = 1, ... , n es el conjunto de variables y Ω = x ∈Rn : 0 ≤ lj ≤ xj ≤ uj < ∞ ∀j ∈ N ⊂ Rn es un hiperrectangulo (las cotas lj y ujson numeros reales no negativos).

Observacion 1. El algoritmo RLT original solamente es capaz de resolver proble-mas con variables no negativas, tal y como se puede deducir de la definicion delconjunto Ω. Sin embargo, esto se puede solucionar sustituyendo las variables quetomen valores negativos por las correspondientes variables trasladadas.

A continuacion, introduciremos el concepto de “bound factor”, clave en el des-arrollo del algoritmo RLT.

Definicion 2. Dado un problema de programacion polinomica de grado δ, se definenlos “bound factors” como las restricciones de desigualdad dadas por xj − lj ≥ 0 yuj − xj ≥ 0 para todo j ∈ N = 1, ... , n.

El algoritmo RLT genera todas las restricciones posibles que surgen del productode δ “bound factors”, dadas por Fδ(J1, J2) =

∏j∈J1 (xj − lj)

∏j∈J2 (uj − xj) ≥ 0

para todo J1 ∪ J2 ⊂ N δ y |J1 ∪ J2| = δ.

Palabras Clave: optimizacion; polinomica; algoritmo; global.

63

64 SII RAPOSa, resolucion de problemas de optimizacion polinomica

Ademas, se puede demostrar que el numero de restricciones ası generadas vienedado por (

2n+ δ − 1

δ

).

Otro de los ingredientes del algoritmo RLT es la definicion de unas nuevas va-riables, que se conocen como variables RLT.

Definicion 3. Dado un problema de programacion polinomica de grado δ, se definenlas variables RLT como XJ =

∏j∈J xj para todo J ⊂ N δ, 2 ≤ |J | ≤ δ. Dado que

distintos subconjuntos de N δ pueden representar el mismo monomio, supondremosque los ındices de J en XJ estan en orden creciente.

Se puede ver facilmente, que el numero de variables RLT viene dado por(n+ δ

δ

)− (n+ 1).

A continuacion, se muestra la linealizacion inicial de un problema polinomico,fundamental en el desarrollo del algoritmo.

Definicion 4. Dado el problema de programacion polinomica PP (Ω) como el de laDefinicion 1, se define el problema linealizado LP (Ω) de la siguiente forma:

minimizar [φ0(x)]Lsujeto a [φr(x)]L ≥ βr, r = 1, ... , R1,

[φr(x)]L = βr, r = R1 + 1, ... , R,[∏j∈J1 (xj − lj)

∏j∈J2 (uj − xj)]L ≥ 0, ∀J1 ∪ J2 ⊂ N δ, |J1 ∪ J2| = δ,

x ∈ Ω ⊂ Rn

donde [·]L denota la linealizacion del polinomio correspondiente que se construyesustituyendo todos los monomios de grado mayor que 1 por sus correspondientesvariables RLT.

Ası, hemos pasado de un problema polinomico PP (Ω) con n variables y R res-tricciones a un problema lineal LP (Ω) con n+

(n+δδ

)−(n+1) variables y R+

(2n+δ−1

δ

)restricciones. Ademas, se puede ver que el problema LP (Ω) es una relajacion delproblema PP (Ω), lo cual implica que cualquier punto factible en el problema PP (Ω)(esto es, que cumpla todas las restricciones del problema) sera factible tambien enla relajacion LP (Ω).

Ahora que ya tenemos todos los ingredientes necesarios, procedemos a explicaresquematicamente como funciona el algoritmo.

Paso 1: Construir la relajacion lineal LP (Ω) y resolverla.

Paso 2: Decidir cual es la variable por la cual debemos ramificar, siguiendo elcriterio explicado en [1]. Ramificar por dicha variable, creando ası dos nuevossubproblemas. Los nuevos subproblemas se meteran en una cola que de ahoraen adelante contendra todos los problemas que aun no se hayan resuelto.

Brais Gonzalez Rodrıguez SII 65

Paso 3:

• Paso 3.1: Decidir, siguiendo un cierto criterio, cual es el siguiente proble-ma a resolver de los que estan en la cola.

• Paso 3.2: Resolver el problema y decidir cual es la variable de ramificacion(si la hubiese). En caso de que la haya, pasar al siguiente paso; en casocontrario volver al paso 3.1.

• Paso 3.3: Crear los dos nuevos subproblemas asociados, meterlos en lacola y volver al paso 3.1.

En [1] se puede ver que el anterior algoritmo converge a un optimo local delproblema polinomico original. Ademas, en el proceso se iran generando cotas, tantosuperiores como inferiores, del valor optimo del problema. Esto nos permitira finali-zar el algoritmo o bien cuando hayamos resuelto todos los nodos y la cola este vacıao bien cuando la diferencia entre las cotas sea relativamente pequena.

Observacion 2. Es importante destacar que el esquema anterior resume las prin-cipales etapas del algoritmo, pero no incluye algunas de ellas debido a la extensionde esta memoria. Tampoco se explicara aquı como calcular las cotas inferiores y su-periores, ası como decidir por que variable ramificar. Todo esto puede verse en [1].

RAPOSa, una implementacion del RLT

RAPOSa (“Reformulation Algorithm for Polynomial Optimization - Santiago”)es una herramienta desarrollada por investigadores1 de la Universidad de Santiago deCompostela (USC) y del Instituto Tecnologico de Matematica Industrial (ITMATI).Dicha herramienta se basa en el algoritmo RLT explicado en la seccion anterior pararesolver problemas de optimizacion polinomica de forma global.

Dicha implementacion se ha realizado de forma eficiente en C++, ademas de sercompatible con el lenguaje de programacion matematica AMPL [3].

Es importante destacar que la actual implementacion incluye diversas mejorascon respecto al algoritmo original. La primera de ellas es la que puede verse en[2], que reduce significativamente el numero de restricciones de los subproblemaslineales. Otra mejora es el uso de arranques en caliente, lo que permite a RAPOSaaprovechar informacion de los subproblemas lineales anteriores para resolver uncierto subproblema.

Por otra parte, tambien se ha desarrollado una version paralela del algoritmo,el cual ha demostrado ser altamente paralelizable.

En la pagina web www.itmati.com/RAPOSa/index.html pueden verse graficascomparativas entre RAPOSa y las principales herramientas de optimizacion globaldisponibles en el mercado. Ademas, se puede descargar la herramienta de formacompletamente gratuita y ver una explicacion detallada de su funcionamiento.

1Julio Gonzalez Dıaz, Brais Gonzalez Rodrıguez, Angel M. Gonzalez Rueda, Joaquın OssorioCastillo, David Rodrıguez Penas y Diego Rodrıguez Martınez

66 SII RAPOSa, resolucion de problemas de optimizacion polinomica

Bibliografıa

[1] Sherali, H. D. y Tuncbilek, C. H. (1992). A global optimization algorithm forpolynomial programming problems using a reformulation-linearization techni-que, Journal of Global Optimization, 2(1), pp. 101–112.

[2] Dalkiran, E. y Sherali, H. D. (2013). Theoretical filtering of RLT bound-factorconstraints for solving polynomial programming problems to global optimality,Journal of Global Optimization, 57(4), pp. 1147–1172.

[3] Fourer, R., Gay, D.M. y Kernighan B. W. (1990). AMPL: A MathematicalPrograming Language, Management Science, 36, pp. 519–554.



La derivada de Schwarz en dinamica discretaArea de Analisis Matematico

Sebastian Buedo FernandezUniversidade de Santiago de Compostela

3 de abril de 2019

Breve introduccion sobre dinamica discreta

La teorıa de sistemas dinamicos esta motivada por el interes en la compren-sion de aquellos fenomenos (fısicos, quımicos, biologicos, ecologicos, sociales...) queevolucionan con el tiempo. Una vez propuesto un modelo que se ajuste a las obser-vaciones, el objetivo es obtener informacion sobre su comportamiento a largo plazo.En ocasiones, las observaciones de dicho fenomeno se realizan de manera periodica,por lo que obtenemos informacion de manera claramente “discreta”. Si queremosestudiar estos modelos desde el punto de vista matematico, debemos seleccionar unconjunto X de estados posibles y analizar como una “regla de evolucion” f dentrode dicho conjunto X, aquella que describa adecuadamente al fenomeno, lleva unosestados en otros. Ası, dado x0 ∈ X, estamos interesados en saber que ocurre con lasucesion

x0 → f(x0)→ f(f(x0))→ f(f(f(x0)))→ ... ,

definida por xn = fn(x0)1 o, en formato recursivo, por

xn+1 = f(xn), n ∈ N, (1)

que denominamos ecuacion en diferencias. Dicho de otro modo, decimos que el par(X, f) forma un sistema dinamico discreto [9].

Una pregunta interesante dentro del estudio de la dinamica de (1) es si existenestados que “atraen” a otros a medida que las iteraciones de f crecen, es decir, si,a largo plazo, el fenomeno tendera a mostrar o a ser cercano a un cierto estadoo conjunto de estados. Para ello, debemos formalizar que significa “estar cerca” y“atraer”. Asumir que X esta dotado de una metrica que lo hace completo y quef : X → X es una funcion continua es una situacion suficientemente manejable ygeneral como para formalizar y estudiar dicho problema en muchos casos de interes.Por ejemplo, podrıamos estudiar dinamica discreta en espacios de Banach [4] y, enparticular, en espacios euclidianos como R, que es el caso en el que nos centraremos.

Palabras Clave: dinamica discreta; derivada de Schwarz; equilibrio; estabilidad global; esta-bilidad local; orbita periodica.

1En dinamica discreta es comun utilizar esta notacion para referirse a la composicion de n vecesla funcion f y no debe confundirse con la potencia n-esima de f [3].

67

68 SII La derivada de Schwarz en dinamica discreta

En nuestro contexto, mostraremos la importancia de los puntos fijos de las ite-radas de f (funciones fm, m ∈ Z+) en el comportamiento a largo plazo de (1).

Pare empezar, decimos que p ∈ X es un equilibrio de (1) si p es un punto fijode f , i.e. f(p) = p. En este contexto, los siguientes conceptos hacen referencia alcomportamiento de (1) en relacion a un equilibrio [3, 4]:

Un equilibrio p es estable si para todo entorno U de p, existe otro entorno V dep, de tal manera que fn(x) ∈ U , para cualesquiera n ∈ N y x ∈ V .

Un equilibrio p atrae puntos localmente si existe W entorno de p, tal que paratodo x ∈ W , fn(x)→ p, cuando n→∞. En particular, si X, que es entorno de p,satisface la anterior condicion, entonces decimos que p atrae puntos globalmente.

La cuenca de atraccion inmediata de un equilibrio p que atrae puntos localmente,If (p), es la componente conexa del conjunto x ∈ X : fn(x) → p, n → ∞ quecontiene a p.

Un equilibrio p es localmente asintoticamente estable (L.A.S.) si es estable yatrae puntos localmente. Analogamente, un equilibrio p es globalmente asintotica-mente estable (G.A.S.) si es estable y atrae puntos globalmente2.

En general, tambien podemos hablar de comportamiento periodico: si m ∈ Z+,decimos que p es un punto m-periodico si es un punto fijo de fm. El conjuntoγp := p, ... , fm−1(p) es una orbita (m-)periodica.

Como fm no es mas que otra aplicacion de X en sı mismo y un punto m-periodico es un equilibrio para la ecuacion en diferencias con fm, los conceptosque anteriormente definimos para equilibrios se extienden directamente a puntosm-periodicos.

Dinamica discreta en R y equilibrios L.A.S.

En particular, el estudio de la dinamica en el caso de una ecuacion en dife-rencias en R ha suscitado gran interes en las ultimas decadas [3, 9]. Ademas, laspeculiaridades de R facilitan la comprension y prueba de muchos resultados.

Una de las facilidades de trabajar con una ecuacion en diferencias en R es quepodemos hacernos una idea del comportamiento a largo plazo de un estado ini-cial utilizando el analisis grafico [3] (ver Figura 1). Para ver como evoluciona unestado inicial x0, lo representamos por (x0, x0), tomamos su “imagen” en el grafo(x0, f(x0)) = (x0, x1) y nos trasladamos a la diagonal. Desde allı, se repite el procesodonde x1 hace el papel de x0 y ası sucesivamente tantas veces como consideremos.

De ahora en adelante, asumiremos que X es un intervalo cerrado de R. Paraempezar, mostramos una interesante propiedad presente en [8] que hace referenciaal comportamiento cerca de un equilibrio de (1) y que no se satisface en Rn, n > 1.

Proposicion 1. Si p es un equilibrio de (1), entonces p atrae puntos localmente siy solo si p es L.A.S.

2L.A.S y G.A.S. son las siglas en ingles de los conceptos que acabamos de definir (locally yglobally asymptotically stable, respectivamente) y suelen usarse en el argot de dinamica discreta.

Sebastian Buedo Fernandez SII 69

xn

xn+1

f

Figura 1: Representacion de unas cuantas iteraciones de f .

Para verificar estas propiedades, la siguiente proposicion proporciona, para fun-ciones suficientemente regulares, una condicion suficiente y relativamente manejable.

Proposicion 2. Si p es un equilibrio de (1), f es de clase C1 y |f ′(p)| < 1, entoncesp atrae puntos localmente.

Ademas, si |f ′(p)| > 1, p no es estable y, por tanto, no es L.A.S. Ası, |f ′(p)| ≤ 1es una condicion necesaria para que un equilibrio sea estable o, en concreto, L.A.S.

La siguiente pregunta es natural: ¿existiran condiciones igual de manejables paragarantizar propiedades de atraccion global en alguna clase general de ecuaciones endiferencias? La respuesta es afirmativa y una de las herramientas que podemosemplear sera la derivada de Schwarz.

Derivada de Schwarz y equilibrios G.A.S.

En lo sucesivo, supondremos tambien que f : X → X es una funcion de claseC3. Definimos la derivada de Schwarz de f como la funcion

Sf(x) :=f ′′′(x)

f ′(x)− 3

2

(f ′′(x)

f ′(x)

)2

, f ′(x) 6= 0. (2)

El concepto de derivada de Schwarz toma forma en el siglo XIX con el estudio deK. Hermann A. Schwarz sobre las transformaciones conformes en variable compleja[9], que estan relacionadas con el siguiente concepto. Sean a, b, c, d ∈ C tales quead− bc 6= 0. Si denotamos por C∞ a la esfera de Riemann, la funcion ϕ : C∞ → C∞definida como

ϕ(z) =az + b

cz + d

es una transformacion de Mobius. Las transformaciones de Mobius son precisamentelas funciones con derivada de Schwarz (en su analogo complejo) nula [5].

En 1978, los trabajos de Allwright [1] y Singer [10] mostraron que la derivada deSchwarz tambien juega un papel importante en la dinamica global de una ecuacionen diferencias en R. Veamos algunos resultados que se derivan de esos trabajos ycomo gran parte de esa importancia descansa en las siguientes dos propiedades.


Proposicion 3. S(f g)(x) = Sf(g(x))(g′(x))2 + Sg(x).

Del anterior resultado (ver p. ej. Proposicion 11.3, Capıtulo 1 de [3]) se deduceque si las derivadas de Schwarz de f y g tienen el mismo signo, la derivada deSchwarz de f g lo conserva. En particular, el signo de S(fm), m ∈ Z+, coincidecon el de Sf y el signo de la derivada de Schwarz se mantiene al iterar f , lo cual esrelevante por la naturaleza de las ecuaciones en diferencias.

Proposicion 4. Si Sf < 0,3 entonces f ′ no puede tener mınimos positivos nimaximos negativos en el interior de X.

Claramente, si q es un punto crıtico de f ′, ha de cumplirse que f ′′(q) = 0 y elsegundo termino de Sf(q) es nulo. De la hipotesis Sf < 0 se deduce que f ′′′(q) y f ′(q)deben tener signos opuestos. Esta propiedad geometrica impide que las funcionescon derivada de Schwarz negativa tengan comportamientos como el de la Figura 2.

q

f

q

f

Figura 2: Comportamientos que no estan permitidos si Sf < 0.

Una de las primeras implicaciones de exigir Sf < 0 para (1), es que la Pro-posicion 2 puede ser ampliada y podemos decir que si p es un equilibrio de (1) yf ′(p) ∈ [−1, 1), entonces p atrae puntos localmente (Lema 5.10 de [9]).

En el siguiente resultado podemos observar el papel de los puntos crıticos en ladinamica global de (1) para funciones con derivada de Schwarz negativa [3, 9]:

Teorema 1. Si f tiene n puntos crıticos y Sf < 0, entonces, como mucho, hayn+ 2 orbitas periodicas que atraen puntos localmente.

En la prueba del anterior teorema se ve que si hay puntos de X a ambos lados(y fuera) de la cuenca de atraccion inmediata (que es un intervalo) de una orbitaperiodica L.A.S., entonces esta “atrae” algun punto crıtico de f . Como mucho solopuede haber hasta dos orbitas periodicas cuyas cuencas de atraccion inmediata nocumplan eso. Por ejemplo, si X = R, serıan aquellas que eventualmente se exten-dieran hasta −∞ y/o +∞. Ası, si Sf < 0, podremos localizar orbitas periodicasatractoras de (1) utilizando a los puntos crıticos de f .

El siguiente resultado muestra un caso particular en el que se puede ir mas allay obtener mas informacion sobre las cuencas de atraccion inmediata de las orbitasperiodicas atractoras.

Teorema 2. Sea I = [a, b] tal que f(I) ⊂ I. Supongamos que f tiene un unicopunto fijo p ∈ I y, a lo sumo, un punto crıtico (maximo) c ∈ I.

Si p es L.A.S. y Sf < 0, entonces p es G.A.S. en [a, b].

3Sf < 0 hace referencia a donde Sf tenga sentido, es decir, Sf(x) < 0, f ′(x) 6= 0.

Sebastian Buedo Fernandez SII 71

A continuacion, explicamos las ideas de la prueba que se ofrece en [7] parailustrar como las propiedades geometricas de las funciones con derivada de Schwarznegativa inducen el paso de atraccion local a atraccion global.

La cuenca de atraccion inmediata de una orbita atractora en R es un conjuntomuy especial. Por definicion, sera un intervalo y f(If (p)) ⊂ If (p). Ademas, por unacuestion de continuidad y conexion, la funcion f aplica la frontera relativa de If (p)en sı misma (son puntos que estan entre los que “van hacia” p y los que no) y ası lospuntos de frontera no pueden tender a p: If (p) es, por tanto, un abierto relativo.

En el contexto del Teorema 2, If (p) solo podrıa ser de la forma [a, b], [a, r), (l, b]o (l, r), a ≤ l < r ≤ b. Por lo dicho sobre su frontera relativa, en el segundo (tercer)caso, r (respectivamente, l) serıa tambien equilibrio, contradiciendo el enunciado.Por el mismo motivo, el cuarto caso solo podrıa ocurrir si f(l) = r y f(r) = l.

En ese subcaso, la contradiccion vendra por otra vıa: c deberıa existir y perte-necer a (l, r) (ver observaciones posteriores al Teorema 1), implicando que f(c) <r = f(l), que no concordarıa con la hipotesis del maximo. Solo queda razonar porque, en este subcaso, se requiere a c en la cuenca de atraccion inmediata.

En primer lugar, la funcion f2 tendrıa tres puntos fijos consecutivos: l, p, r. Ası,usando el Teorema del Valor Medio, existirıan α y β tales que l < α < p < β < r y(f2)′(α) = (f2)′(β) = 1. Ademas, (f2)′(p) = (f ′(p))2 ≤ 1, pues, por hipotesis, p esun equilibrio L.A.S. De este modo, usando sencillos argumentos de funciones realesde variable real, la funcion (f2)′ tendrıa un punto crıtico (mınimo) en (α, β).

Ahora, como S(f2) < 0 (Proposicion 3), ese mınimo no podrıa ser positivo(Proposicion 4), es decir, el grafo de la funcion (f2)′ cortarıa al eje de abscisas:existirıa x∗ ∈ (α, β) ⊂ (l, r) tal que (f2)′(x∗) = 0 [10]. Finalmente, por la regla de lacadena, solo podrıamos tener que x∗ = c o f(x∗) = c, y, en ambos casos, c ∈ (l, r).

En los ultimos anos han surgido resultados del estilo del Teorema 2 (L.A.S.implica G.A.S.). Por ejemplo, puede conseguirse otra version de dicho resultadodonde la condicion Sf(x) < 0 solo se exija para x > c [2]. Tambien, medianteargumentos de cambio de variable [6] se puede sustituir la hipotesis de la negatividadde Sf por otras condiciones mas generales.

Una de las aplicaciones directas de ecuaciones como (1) son los modelos decrecimiento de poblaciones, para los que es logico considerar un espacio X ⊂ [0,∞).Funciones como f(x) = βxγe−δx (tipo Ricker, como la que aparece en la Figura 1)o f(x) = βxγ

1+δxm (tipo Mackey-Glass), donde β, δ,m > 0 y γ ∈ (0, 1], suelen usarsepara modelarlos. Estas funciones son tales que Sf muestra alguna condicion comolas mencionadas anteriormente (ver [6] y sus referencias).

Otro ejemplo clasico es el de tipo logıstico: si en (1) consideramos X = [0, 1](proporcion de poblacion con respecto a un valor) y tomamos f(x) = βx(1 − x),β ∈ (0, 4], entonces (1) tiene un unico punto crıtico c = 1

2 (maximo) y dos equilibrios:el origen y p := 1− 1

β . Ademas f ′(p) = 2− β y, como f ′′′(x) = 0, tenemos Sf(x) =

−6(1−2x)−2 < 0, x 6= 12 . Aplicando el Teorema 2 en un intervalo Iε = [f(1−ε), 1−ε],

con ε > 0 suficientemente pequeno, deducimos que si β ∈ (1, 3], p es G.A.S. en Iε.Ası, p “atrae” a cualquier punto en (0, 1).


Para finalizar, destacamos que la importancia de las ecuaciones en diferenciasen R no solo se queda en la dinamica discreta y tiene aplicaciones en las ecuacionesdiferenciales. Por ejemplo, en [5, 6, 7] y sus referencias se muestran resultados paralos que se obtiene informacion sobre algunas ecuaciones diferenciales con retardo,que involucran dinamica continua en un espacio de Banach de dimension infinita, apartir del estudio de ciertas ecuaciones en diferencias en los numeros reales.4

Bibliografıa

[1] Allwright, D. J. (1978). Hypergraphic functions and bifurcations in recurrencerelations, SIAM J. Appl. Math., 34, pp. 687–691.

[2] El-Morshedy, H. A. y Jimenez Lopez, V. (2008). Global attractors for differenceequations dominated by one-dimensional maps, J. Difference Equ. Appl., 14,pp. 391-410.

[3] Devaney, R. L. (1989). An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley.

[4] Hale, J. K. (1988). Asymptotic behaviour of dynamical systems, MathematicalSurveys and Monographs, 25, American Mathematical Society.

[5] Liz, E. (2006). Sobre ecuaciones diferenciales con retraso, dinamica de pobla-ciones y numeros primos, Materials Matematics, 2006(17), 24 pp. Publicadoonline en http://www.mat.uab.cat/matmat/PDFv2006/v2006n17.pdf.

[6] Liz, E. y Buedo-Fernandez, S. (2019). A new formula to get sharp global stabi-lity criteria for one-dimensional discrete-time models, Qual. Theo. Dynam. Sys-tems. Publicando online en https://doi.org/10.1007/s12346-018-00314-4.

[7] Liz, E., Trofimchuk, S. y Tkachenko, V. (2003). A global stability criterionfor scalar functional differential equations, SIAM J. Math. Anal., 35(3), pp.596–622.

[8] Sedaghat, H. (1997). The impossibility of unstable, globally attracting fixedpoints for continuous mappings of the real line, The American MathematicalMonthly, 104(4), pp. 356–358.

[9] Sharkovsky, A. N., Kolyada, S. F., Sivak, A. G. y Fedorenko, V. V. (1997).Dynamics of one-dimensional maps, Kluwer Academic Publishers.

[10] Singer, D. (1978). Stable orbits and bifurcation of maps of the interval, SIAMJ. Appl. Math., 35, pp. 260–267.

4Este resumen y, en particular, esto ultimo, guarda relacion con una parte del proyecto dedoctorado que el autor esta realizando actualmente. El autor agradece el apoyo del Prof. EduardoLiz y la financiacion por parte del antiguo Ministerio de Educacion, Cultura y Deporte de Espana(FPU16/04416).



Problemas de suma-productoArea de Algebra

Gonzalo Cao LaboraUniversitat Politecnica de Catalunya

24 de abril de 2019

Introduccion

Supongamos A ⊂ N un conjunto finito de n ≥ 2 elementos. Definimos los conjun-tos A+A := a1 + a2| ai ∈ A y A ·A := a1a2| ai ∈ A. Tenemos que

2n− 1 ≤ |A+A|, |A ·A| ≤ n(n+ 1)

2. (1)

La igualdad a la derecha para A + A se alcanza cuando las unicas soluciones dea1 + a2 = a3 + a4 con ai ∈ A, i ∈ 1, 2, 3, 4 son las triviales (es decir, a1, a2 =a3, a4). A dichos conjuntos se les llama conjuntos de Sidon. La igualdad a laizquierda para A+A se alcanza para secuencias aritmeticas, es decir, A = a0+md :0 ≤ m < n con d ∈ N. La igualdad a la izquierda para A · A se alcanza parasecuencias geometricas.

De esta manera, resulta natural decir que un conjunto tiene mas estructuraaditiva cuanto mas pequeno es |A + A|. Concretamente, existe un unico δ+ talque |A + A| = nδ

+, y por (1), δ+ ∈ (1, 2). Decimos que A tiene mas estructura

aditiva cuanto menor es δ+. Analogamente, decimos que A tiene mas estructuramultiplicativa cuanto menor es δ× = logn(|A ·A|).

Erdos y Szemeredi hacen en 1983 la siguiente conjetura. Para todo δ ∈ (1, 2)existe Nδ ∈ N tal que todo A ⊂ N finito con |A| = n ≥ Nδ satisface

max|A+A|, |A ·A| ≥ nδ.

A esta conjetura se la conoce como conjetura suma-producto, e informalmentedice que no hay conjuntos arbitrariamente grandes con mucha estructura aditiva ymultiplicativa. En 2009, usando tecnicas geometricas, Solymosi [3] prueba la conje-tura suma-producto para todo δ < 4/3. Actualmente, la conjetura esta probadapara δ < 4/3 + 5/5277 (Shakan, [2]).

En este resumen nos centraremos en la prueba de Solymosi para δ < 4/3. Paraello, tendremos que introducir los conceptos de energıa aditiva y energıa multipli-cativa. Ademas de estos conceptos, la prueba utiliza tambien argumentos geome-tricos de R2. Tras la prueba, presentaremos un resultado geometrico: el teorema

Palabras Clave: suma-producto; energıa aditiva; combinatoria aditiva; geometrıa de inciden-cia.

73

74 SII Problemas de suma-producto

de Szemeredi-Trotter. Este teorema nos permitira obtener mas resultados de suma-producto. Por ultimo, comentaremos muy brevemente algunas tecnicas recientesdesarrolladas en 2018 por Shakan [2].

Energıa

Como hemos dicho, el maximo valor posible de |A + A| (mınima estructuraaditiva) se alcanza cuando solo hay soluciones triviales de a1 + a2 = a3 + a4, conai ∈ A. Definimos la multiplicidad aditiva r+(t) de un t ∈ A+ A como la cantidadde soluciones de a1 + a2 = t, con ai ∈ A. Tenemos que r+(t)2 es la cantidad desoluciones de a1 + a2 = a3 + a4 = t, por lo que

∑t∈A/A r

+(t)2 es la cantidad desoluciones de a1 + a2 = a3 + a4. Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 1. Sea A ⊂ N un conjunto finito. Definimos su energıa aditiva por

E+(A) =∑

t∈A+A

r+(t)2 = #soluciones de a1 + a2 = a3 + a4 con ai ∈ A.

Sustituyendo la operacion + por la operacion ·, tenemos las definiciones de mul-tiplicidad y energıa multiplicativas. Como hay mas de n2 y menos de n3 solucionesa a1 + a2 = a3 + a4 (o a a1a2 = a3a4), tenemos

n2 ≤ E+(A), E×(A) ≤ n3. (2)

Estas nuevas medidas de aditividad y multiplicatividad son mas debiles que lasanteriores, como muestra el siguiente resultado. En [4] se pueden encontrar esta yotras propiedades interesantes de la energıa.

Proposicion 1. Se cumple que E+(A) ≥ n4/|A+A| y que E×(A) ≥ n4/|A ·A|.

Demostracion:Se trata de aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en R|A+A|. Para E×(A), elcalculo es identico sustituyendo A+A por A ·A y r+ por r×.

n2 =∑

t∈A+A

r+(t) ≤( ∑t∈A+A

r+(t)2)1/2( ∑

t∈A+A

1)1/2

= E+(A)1/2|A+A|1/2.

2

A partir de ahora trabajaremos salvo factor logarıtmico, utilizando la siguientenotacion. Sean f, g : X → R funciones, donde X ⊂ P(N) denota un conjunto desubconjuntos finitos de N. Diremos que f(A) . g(A) si existen C ∈ R y N ∈ Ntales que para todo A ∈ X con |A| ≥ N se tiene f(A) ≤ g(A)(log |A|)C . Diremosf(A) ≈ g(A) cuando f(A) . g(A) y g(A) . f(A). Si el dominio X no es explıcito,se entiende que X esta formado por todos los subconjuntos finitos de N. Cuando seindica una forma explıcita en A, por ejemplo A = 1, 2, 3, ... , n, se entiende que Xesta formado por los subconjuntos de esta forma.

Gonzalo Cao Labora SII 75

Ejemplo 1. Consideremos A1 = 3, 6, ... , 3n y A2 = 2, 4, 8, ... , 2n. Tenemosque |A1 + A1| ≈ n y |A2 · A2| ≈ n por el caso de igualdad izquierda en (1). Comoaplicacion de la Proposicion 1 y la ecuacion (2), E+(A1), E×(A2) ≈ n3. No obs-tante, se tiene que |A1 ·A1|, |A2 +A2| ≈ n2. Vemos que A1 tiene mucha estructuray energıa aditiva, mientras que A2 tiene mucha estructura y energıa multiplicativa.Es interesante ver lo que ocurre al considerar A = A1 ∪ A2 de 2n elementos. Porun lado tenemos que |A + A| ≥ |A2 + A2| ≈ n2 y |A · A| ≥ |A1 · A1| ≈ n2. Esdecir, A tiene poca estructura aditiva y poca estructura multiplicativa. No obstante,E+(A) ≥ E+(A1) ≈ n3 y E×(A) ≥ E×(A2) ≈ n3. Por lo tanto, A es un ejemplo deconjunto donde hay poca estructura pero mucha energıa. Esto muestra que una posi-ble conjetura suma-producto con energıas no serıa cierta para ningun exponente notrivial. Es decir, no existen δ ∈ (2, 3), Nδ ∈ N tales que mınE+(A), E×(A) ≤ |A|δ,para todo A ⊂ N con |A| > Nδ.

La prueba de Solymosi

Jozsef Solymosi en 2009, utilizo argumentos puramente geometricos para rela-cionar la energıa multiplicativa con la estructura aditiva. Antes de entrar en deta-lle, observemos que la energıa multiplicativa es tambien una energıa divisiva. Pa-ra un t ∈ A/A := a1/a2| a1, a2 ∈ A, definimos la multiplicidad divisiva comor÷(t) = #a1/a2 = t| a1, a2 ∈ A. Dado que las ecuaciones a1a2 = a3a4 se puedenreescribir como a1/a3 = a2/a4, se tiene que E×(A) =

∑t∈A/A r

÷(t)2. Esto nos darauna interpretacion geometrica de la energıa multiplicativa.

Teorema 1 (Solymosi, [3]). Sea A ⊂ N finito de n elementos. Se tiene

|A+A|2 & E×(A). (3)

Demostracion:Dibujamos los puntos A× A ⊂ R2 y observamos que cada t ∈ A/A se correspondecon una recta y = tx que pasa por el origen, conteniendo puntos de A×A. Abusandode la notacion, identificamos la recta y = tx con la pendiente t ∈ A/A. Observamosademas que la cantidad de puntos de A×A que tiene la recta t ∈ A/A es r÷(t). Ahorasupongamos un subconjunto ti ⊂ A/A de s rectas (ordenadas por pendiente), conr÷(ti) puntos cada una. Sean u, v ∈ A×A con u ∈ ti y v ∈ ti+1. Tenemos que u+ vqueda en la region entre ambas rectas, y esta unıvocamente determinado por u y v(ver Figura 1). Como u+v ∈ (A+A)× (A+A) sabemos que |A+A|2 vale al menos

|A+A|2 ≥s−1∑i=1

r÷(ti)r÷(ti+1). (4)

Ahora, hemos de escoger ti ⊂ A/A para obtener una buena cota en (4).Dividimos el conjunto de todas las rectas en dlog(n)e clases de la siguiente manera:decimos que una recta es k-rica si tiene entre 2k−1 + 1 y 2k puntos. Recordamos


Figura 1: Dibujo para A = 1, 2, 4. El punto u + v es uno de los (al menos) seispuntos de (A+A)× (A+A) en el sector delimitado por t1 y t2.

ahora que E×(A) =∑r÷(t)2. Como tenemos dlog(n)e clases de rectas, hay alguna

clase que contribuye en mas de E×(A)/dlog(n)e ≈ E×(A) a la energıa. Supongamosque son las rectas k-ricas. Escogiendo las rectas k-ricas como conjunto ti se tiene

E×(A) .s∑i=1

r÷(ti)2 ≤ 22ks. (5)

La cota (4) nos da |A + A|2 ≥ 22k−2(s − 1). Usando (5), si s ≥ 2, se cumple22k−2(s − 1) ≥ 22ks/8 & E×(A) y hemos acabado. Para el caso s = 1 se tieneque E×(A) ≈ r÷(t)2 ≤ n2. Como n2 ≤ |A + A|2 por (1), tambien se satisface ladesigualdad. 2

Una vez probado el Teorema 1, veamos que tenemos todo δ < 4/3 en la conjeturasuma-producto. La proposicion 1 nos dice que el lado derecho de (3) es mayor quen4/|A · A|. Obtenemos que |A+ A||A+ A||A · A| & n4. Por lo tanto, alguno de losfactores es mayor que n4/3. El factor logarıtmico hace que solo podamos asegurarque algun factor es asintoticamente mayor que nδ, para cualquier δ < 4/3.

Mejorando la geometrıa

Informalmente hablando, el argumento de Solymosi explota en poca medida laspropiedades geometricas de R2. Solo se aprovecha la geometrıa de R2 al decir que lasregiones delimitadas por rectas consecutivas son disjuntas. Muchos otros resultadosnecesitan de mas geometrıa, y una herramienta geometrica basica es el teoremade Szemeredi-Trotter. No haremos la demostracion del teorema (ni del lema queutiliza), que se pueden encontrar en el capıtulo 8 del libro de Tao [4].

Gonzalo Cao Labora SII 77

Teorema 2 (Szemeredi-Trotter). Sea P un conjunto finito de puntos de R2 y sea Lun conjunto finito de rectas. Denotamos por I la cantidad de incidencias, es decir,la cantidad de parejas (p, l) ∈ P × L con p ∈ L. Se tiene la cota

I ≤ 4|P |2/3|L|2/3 + 4|P |+ |L|.

En general, domina el termino de orden |P |2/3|L|2/3 (si no, se tiene |L| ≥ |P |2o |P | ≥ |L|2, casos degenerados). La manera moderna de probar este teorema escon teorıa de grafos, a traves del numero de cruces de un grafo. Dado un grafoG = (V,E) definimos su numero de cruces, crossR2(G), como la mınima cantidadde cruces entre aristas de G al embeber G en R2.

Lema 1. Sea G = (V,E) un grafo con |E| ≥ 4|V |. Se tiene

crossR2(G) ≥ |V |364|E|2 .

Al lector familiarizado con el metodo probabilıstico le resultara interesante in-tentar demostrar el lema 1 por esa vıa. La demostracion contiene una tecnica in-teresante llamada amplificacion probabilıstica, que consiste en plantear la cota naıfcrossR2(G′) ≥ |E′| − 3|V ′| siendo G′ un subgrafo aleatorio de G. Esto da la cotadeseada, que es un refinamiento de crossR2(G) ≥ |E| − 3|V |.

Una aplicacion del teorema de Szemeredi-Trotter es el resultado asimetrico desuma-producto de Elekes y Ruzsa que veremos a continuacion. El problema de suma-producto asimetrico consiste en dar cotas no triviales para max|A + B|, |A · B|.Para ello, se define una energıa mixta E+(A,B), que es la cantidad de solucionesde a1 + b1 = a2 + b2 con ai ∈ A y bi ∈ B. Tambien se define, para t ∈ A + B, lamultiplicidad r+

A,B(t) como la cantidad de soluciones de a1 + b1 = t con a1 ∈ A yb1 ∈ B. Se define la version analoga para productos.

Teorema 3 (Elekes-Ruzsa [1]). Sean A,B ⊂ N finitos de n y m elementos, respec-tivamente. Supongamos m < n. La energıa multiplicativa mixta se acota por

E×(A,B) .|A+B|4nm

.

La idea de la demostracion del Teorema 3 pasa por considerar los puntos P =(A ∪ A + B) × (B ∪ A + B) ⊂ R2. Para cada par (a0, b0) ∈ A × B y cada solucionde a1/a2 = b1/b2 tenemos que los puntos P0 = (a0, b0), P1 = (a0 + b1, b0 + a1)y P2 = (a0 + b2, b0 + a2) forman una terna colineal de puntos de P . Esto nos da|A||B|E×(A,B) ternas colineales en P . Una recta k-rica (en el sentido de la demos-tracion del teorema 1) generara del orden de (2k)3 ternas colineales. Si probamosque hay menos de |A + B|4/(2k)3 rectas k-ricas habremos acabado. Eso es unaconsecuencia del teorema de Szemeredi-Trotter.

Veamos las consecuencias del teorema. La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos daE×(A,B) ≥ n2m2/|A ·B| (analogo a la Proposicion 1). Sustituyendo en el Teorema


3, se obtiene n3m3 . |A + B|4|A · B|. Bajo la hipotesis m & n2/3+α (α > 0) seconcluye que max|A+B|, |A ·B| & n1+3α/5. Hemos probado el analogo asimetricoa la conjetura suma-producto, para exponentes δ < 1 + 3α/5.1 La hipotesis m ≥n2/3+α se puede relajar, pero no se puede eliminar.

Nuevas tecnicas

A partir de la prueba de Solymosi, aparecieron nuevas tecnicas que mejoraban suresultado. Estas nuevas tecnicas se basan en terceros momentos mixtos E+

3 (A,B) =∑r+A,B(t)3. Se define una nueva medida de la aditividad

d+(A) := supB 6=0

E+3 (A,B)

|A||B|2 ,

y su analoga en producto d×(A). Utilizando esta nueva cantidad, Shakan [2] no soloha conseguido el mejor exponente hasta la fecha, sino que ha conseguido desacoplarla conjetura suma-producto con el siguiente teorema.

Teorema 4 (Shakan, [2]). Todo conjunto A ⊂ N se puede recubrir como A = X∪Ycon |X|, |Y | ≥ |A|/2 de forma que d+(X)d×(Y ) . |A|.

Tras este teorema, Shakan conjetura que |A + A| & |A|2/d+(A). La conjeturaanaloga en productos es equivalente. Si la conjetura de Shakan fuera cierta, juntocon el teorema 4, se concluirıa

|A+A||A ·A| & |X +X||Y · Y | & |X|2|Y |2/(d+(X)d×(Y )) & |A|3,y se tendrıa la conjetura suma-producto para cualquier δ < 3/2. El interes de estaformulacion es que la conjetura de Shakan depende unicamente de la operacionsuma. Es decir, con un conocimiento exclusivo de la suma, se podrıa probar laconjetura suma-producto para todo δ < 3/2.

Bibliografıa

[1] Elekes Gy, G. y Ruzsa, I. Z. (2003). Few sums, many products, Studia Scien-tiarum Mathematicarum Hungarica, 40(3), pp. 301–308.

[2] Shakan, G. (2018). On higher energy decompositions and the sum-product phe-nomenon, in Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical So-ciety, pp. 1–19.

[3] Solymosi, J. (2009). Bounding multiplicative energy by the sumset, Advances inmathematics, 222(2), pp. 402–408.

[4] Tao, T. y Vu, V. H. (2006). Additive combinatorics, Cambridge UniversityPress.

1Tomando A = B, esto prueba la conjetura de suma-producto simetrica para δ < 1 + 1/5.



El metodo de cuadratura de convolucionArea de Matematica Aplicada

Alfredo Rıos AlboresUniversidade de Santiago de Compostela

8 de mayo de 2019

Introduccion

Con el objetivo final de aproximar numericamente el valor de una integral deconvolucion, de la forma

h (x) :=

∫ x

0f (t) g (x− t) dt, x ∈ R+, (1)

uno podrıa escoger implementar el metodo de cuadratura de convolucion (MCV,vease [1]), mediante el cual la aproximacion vendra dada por la convolucion discreta∑

0≤nh≤xωn (h)g (x− nh) . (2)

Los pesos de cuadratura ωn (h) resultan ser los coeficientes de la expresion en serie

de potencias centrada en 0 ∈ C de una funcion compleja, F(δ(·)h

), analıtica en un

entorno del origen.

El MCV presenta varias ventajas frente a otros metodos de cuadratura masclasicos. Bajo suficiente regularidad de los datos, permite obtener altos ordenes deaproximacion. Puede aplicarse sin conocer a priori la funcion f (t) , t ∈ R, en eldominio del tiempo sino en el dominio de Laplace, F (s) , s ∈ C. Ademas, permitelidiar con f (·) singular en algunos casos (vease [2]).

En lo que sigue se justificara la construccion de (2).

Construccion del MCV

Suponemos conocidos los valores de g (·) ∈ C ([0,∞)) sobre una malla de discre-tizacion de [0, x] con N + 1 nodos equiespaciados, de la forma:

0 = x0 < x1 < ··· < xN−1 < xN = x,

Palabras Clave: metodos numericos; cuadratura de convolucion; integrales de convolucion.

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80 SII El metodo de cuadratura de convolucion

con xn = nh, para n = 0, ... , N , donde h = xN es el correspondiente paso de

discretizacion.

Transformada de Laplace de f (·)Habitualmente, f (·) se denomina nucleo de convolucion de (1). Supongamos que

f (·) admite transformada de Laplace, es decir, existe una funcion F : Ω ⊂ C → Ctal que

F (s) = L [f ] (s) :=

∫ ∞0

e−stf (t) dt, (3)

donde Ω es un subconjunto no vacıo de complejos donde la anterior integral es finita(vease [6]). Bajo ciertas condiciones de regularidad esta transformacion es invertible,y aplicando la transformada inversa de Laplace sobre F (s) se obtiene de nuevo f (t).Siendo ese el caso, podemos expresar f (·) en funcion de su transformada a partirde la formula de inversion de Laplace

f (t) =1

2πi

∫ΓF (λ)eλtdλ, t > 0, (4)

donde Γ denota un contorno adecuadamente escogido en C de forma que la anteriorigualdad se satisfaga. La eleccion de dicho contorno sera discutida mas adelante.Sustituyendo (4) en (1) se obtiene

h (x) =

∫ x

0f (t)g (x− t) dt =

∫ x

0

1

2πi

∫ΓF (λ)eλtdλ g (x− t) dt. (5)

Sera necesario conocer analıticamente la transformada de Laplace F (·) del nu-cleo de convolucion f (·) y que se satisfagan las relaciones dadas por (3) y (4). Estose traduce en una serie de hipotesis sobre F (·), que condicionaran la construcciondel metodo.

Supondremos, con caracter suficiente, que F (s) es analıtica en un sector U dela forma |arg (s− c)| < π − ϕ, con ϕ < π

2 y c ∈ R. En dicho sector, satisface

|F (s)| ≤M |s|−µ para M <∞, µ > 0. (6)

Bajo estas hipotesis, el contorno Γ se puede escoger como dos semirrectas que vande ∞e−i(π−ϕ) hasta ∞ei(π−ϕ) dentro del sector U , tal y como esta representado enla Figura 1.

Desarrollos formales

Una vez obtenida la transformada de Laplace F (·) y suponiendo que esta verificalas condiciones de regularidad descritas en (6) para unos c ∈ R y ϕ < π

2 adecuados,intercambiando el orden de integracion en (5) se sigue que

h (x) =1

2πi

∫ΓF (λ)

∫ x

0eλt g (x− t) dtdλ. (7)

Alfredo Rıos Albores SII 81

Figura 1: Contorno Γ, dentro del sector U descrito en (6).

Aquı, la integral interior∫ x

0 eλt g (x− t) dt es solucion del problema de valor inicial

(PVI) λ-dependiente dyλdx

(x) = λ yλ (x) + g (x) ,

yλ (0) = 0.(8)

Fijado λ ∈ C, consideramos la solucion aproximada de (8) mediante la aplicacion deun metodo lineal multipaso (MLM) de k pasos (vease en [5]). El esquema numericoresultante es de la forma

k∑j=0

αjyn+j−k = hk∑j=0

βj (λyn+j−k + g ((n+ j − k)h)) , n ≥ 0, (9)

donde αjkj=0 y βjkj=0 son los coeficientes reales que caracterizan al MLM es-cogido. Se toman como valores de arranque y−k = ··· = y−1 = 0, y se extiendeg (·) como 0 en el eje real negativo. Ahora, para cada n ∈ N tomamos la ecuacionasociada a yn ≈ yλ (xn) dada por (9) y la multiplicamos por ξn. Sumando todasestas igualdades y reagrupando terminos, se obtiene

(α0ξk + ...+αk−1ξ

1 +αk)y (ξ) = h(β0ξk + ...+ βk−1ξ

1 + βk) (λy (ξ) + g (ξ)) , (10)

con

y (ξ) :=

∞∑n=0

ynξn, g (ξ) :=

∞∑n=0

g (nh)ξn,

dos series de potencias formales. Resolvemos la ecuacion (10) para y (ξ),

y (ξ) =

(δ (ξ)

h− λ)−1

g (ξ) . (11)

donde se ha definido la funcion δ : C→ C como


δ (ξ) :=

(α0ξ

k + ...+ αk−1ξ1 + αk

)(β0ξk + ...+ βk−1ξ1 + βk)

. (12)

Es decir, yn, que aproxima el valor yλ (xn) de la solucion al problema λ-dependiente(8) en xn = nh (nodo n-esimo de nuestra malla sobre [0, x]) es, por construccion, elcoeficiente n-esimo de la serie del lado derecho de (11). Entonces, si consideramosel valor de h (·) para xn = nh en (7),

h (xn) =1

2πi

∫ΓF (λ)

∫ xn

0eλt g (xn − t) dtdλ =

1

2πi

∫ΓF (λ) yλ (xn)dλ.

Se tiene que

∞∑n=0

h (xn) ξn =1

2πi

∫ΓF (λ)

∞∑n=0

yλ (xn) ξndλ ≈ 1

2πi

∫ΓF (λ)

∞∑n=0

ynξndλ

=1

2πi

∫ΓF (λ)y (ξ)dλ = g (ξ)

1

2πi

∫ΓF (λ)

(δ (ξ)

h− λ

)−1

dλ.

Suponiendo suficiente regularidad, aplicaremos la formula integral de Cauchy (veaseen [3]) en el termino derecho de esta ultima igualdad, obteniendo

∞∑n=0

h (xn) ξn ≈ 1

2πi

∫ΓF (λ)

(δ (ξ)

h− λ)−1

dλ g (ξ) = F

(δ (ξ)

h

)g (ξ) . (13)

Supongamos ademas que la composicion F (δ (·) /h) es analıtica en un entorno delorigen en el plano complejo y recordemos que en la malla considerada inicialmentex = Nh. Ası, se tiene que h (x) se ve aproximado por el N -esimo coeficiente delproducto de Cauchy1 de las series de potencias

F

(δ (ξ)

h

)=

∞∑n=0

ωn (h)ξn y g (ξ) =

∞∑n=0

g (nh)ξn.

Es decir,

∞∑n=0

h (xn) ξn ≈( ∞∑n=0

ωn (h)ξn

)( ∞∑n=0

g (nh)ξn

)=

∞∑n=0

(n∑k=0

ωk (h)g ((n− k)h)

)ξn,

1El producto de Cauchy de dos series formales∑∞n=0 anξ

n y∑∞n=0 bnξ

n de numeros reales ocomplejos se define mediante una convolucion discreta:(

∞∑n=0

anξn

)(∞∑n=0

bnξn

)=∞∑n=0

cnξn, con cn =

n∑k=0

akbn−k, n = 0, 1, 2, ...

Alfredo Rıos Albores SII 83

Figura 2: Contorno ΓR, dentro del sector U descrito en (6).

En consecuencia, se tiene que

h (x) = h (xN ) ≈∑

0≤nh≤xωn (h)g (x− nh) ,

tal y como querıamos ver.

Hipotesis para la formula integral de Cauchy

Falta razonar si la formula integral de Cauchy es aplicable en (13), pero noentraremos a justificarlo rigurosamente, sino que esbozaremos a continuacion losaspectos clave. Por claridad, comenzamos recordando el resultado a aplicar.

Teorema 1 (Formula integral de Cauchy). Sea F (·) una funcion holomorfa en unabierto arbitrario de U de C y Γ un ciclo homologo a cero en U . Entonces:

F (s) IndΓ (s) =1

2πi

∫Γ

F (λ)

λ− sdλ, ∀s ∈ U \ Γ. (14)

Tomaremos como U del teorema el sector de analiticidad de F (·) en (6). Re-cordemos que el contorno Γ se tomo en la formula de inversion de Laplace comodos semirrectas contenidas en U que van de ∞e−i(π−ϕ) hasta ∞ei(π−ϕ). Puede de-mostrarse que Γ es, asintoticamente, un contorno adecuado para (14). Bastarıaconsiderar R→∞ para la familia de ciclos cerrados representada en la Figura 2

ΓR = ω+Reiθ : − (π − ϕ) ≤ θ ≤ π−ϕ∪(ω +Rei(π−ϕ), ω

]∪(ω, ω +Re−i(π−ϕ)

).

con ω ∈ R, ω > c, y donde(ω +Rei(π−ϕ), ω

]y(ω, ω +Re−i(π−ϕ)

)denotan segmen-

tos uniendo los complejos ω +Rei(π−ϕ) con ω y este con ω +Re−i(π−ϕ).

Solo queda discutir que MLM habrıa que escoger para que δ (·), definida en (12),sea adecuada para la construccion del MCV. Se tiene el siguiente resultado de [1].


Proposicion 1. Sea un MLM de k-pasos, caracterizado por los coeficientes αjkj=0

y βjkj=0, verificando ser2: A(α)-estable, con α > ϕ, donde ϕ es el dado en (6),estable en un entorno del infinito, fuertemente cero-estable y consistente de ordenp ≥ 1. Entonces la funcion δ (·) definida por (12) verifica ser analıtica y sin cerosen un entorno del disco unidad |ξ| ≤ 1, con excepcion de un cero (simple) en ξ = 1.Ademas, | arg δ (ξ) | ≤ π − α para |ξ| < 1, y 1

h δ(e−h)

= 1 +O (hp) .

Por tanto, para h suficientemente pequeno, podemos hallar un entorno de 0 ∈ Ctal que en su imagen por δ (·) /h se satisfaga (14). Ademas, en dicho entorno lacomposicion F (δ (·) /h) resulta ser analıtica y por tanto puede expresarse como

F

(δ (ξ)

h

)=∞∑n=0

ωn (h) ξn,

donde los ωn (h) son los pesos de cuadratura del metodo de cuadratura de convolu-cion en (2).

Bibliografıa

[1] Lubich, C. (1988). Convolution quadrature and discretized operational calculus.I, Numerische Mathematik, 52(2), pp. 129–145.

[2] Lubich, C. (1988). Convolution quadrature and discretized operational calculus.II, Numerische Mathematik, 52(4), pp. 413–425.

[3] Rudin, W. (1987). Real and complex analysis, Tata McGraw-Hill Education.

[4] Suli, E. y Mayers, D. (2003). An introduction to numerical analysis, Cambridgeuniversity press.

[5] Hairer, E., Norsett, S. y Wanner, G. (2010). Solving Ordinary Differential Equa-tions: Nonstiff problems. v. 2: Stiff and differential-algebraic problems, SpringerVerlag.

[6] Schiff, J. L. (2013). The Laplace transform: theory and applications, SpringerScience & Business Media.

2La definicion de las propiedades numericas en las hipotesis de la Proposicion 2 pueden consul-tarse en [4] y [5].

Unha xornada de divulgacion.“Matematicas: habelas hainas,seguimos contandochas!”

O mercores 7 de novembro de 2018 celebrouse na Aula Magna da Facultadede Matematicas a segunda edicion das Xornadas “Matematicas: habelas hainas,queremos contarchas!”que mudou o nome a“Matematicas: habelas hainas, seguimoscontandochas!” para darlle continuidade a este evento que se quere afianzar na nosafacultade.

Estas xornadas, promovidas pola Comision de Normalizacion Linguıstica e or-ganizadas polo Comite do SII, pretende a normalizacion do galego no ambito dasmatematicas e da divulgacion cientıfica. Sen perder de vista este obxectivo, a esenciadas charlas consiste en amosar problemas de matematicas presentes ou relacionadoscoa investigacion que se esta a desenvolver na nosa facultade.

Nestas segundas xornadas de divulgacion tiveron lugar sete charlas de tematicadiversa asociadas a diferentes ramas das matematicas. Coa intencion de que todasas areas de investigacion presentes na facultade se visen representadas neste evento,contamos coas seguintes contribucions orais:

“A vida e un xogo”, por Alejandro Saavedra Nieves.

A teorıa de xogos e a disciplina matematica que permite modelar aquelassituacions conflitivas e baseadas na interaccion dun grupo de axentes. Nestacharla pretendese dar unha vision xeral da teorıa dos xogos cooperativos e dassuas multiples aplicacions na vida cotia. Entre outras, destacan a xestion doinventario dun determinado produto para grupos de axentes, a distribuciondo poder dos partidos con representacion nun parlamento ou o reparto dosaforros obtidos de reordenar as posicions no procesamento de traballos porunha maquina.

“As ecuacions do amor”, por Lucıa Lopez Somoza.

E ben sabido que do amor ao odio hai un pequeno paso pero, podemos real-mente predicir a evolucion do amor (ou do odio) nunha relacion? Serıa posibleconecer de anteman se unha relacion esta destinada ao fracaso? Nesta charla

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falaremos destas e doutras cuestions, aproveitando esta escusa para falar deamor, de matematicas e do amor polas matematicas.

“Vida noutros mundos. A Astrobioloxıa”, por Carlos Vazquez Monzon.

Co posible descubrimento de auga lıquida en Marte, unha pregunta que sem-pre inquietou a humanidade cobra mais forza ca nunca: existe vida noutrosplanetas do Sistema Solar (ou fora do Sistema Solar)? A exploracion espacialparece aında moi distante para aclarar estas cuestions, polo tanto por agoraconven formular outra pregunta: cales son os sinais de vida que se nos podenpresentar cando apuntamos o noso telescopio ao ceo nocturno? Desta cuestionocupase a Astrobioloxıa, que consiste en estudar as condicions de habitabili-dade que debe reunir un corpo celeste para que nel haxa vida, e sera o temadesta charla.

“Ata o infinito e mais ala!”, por Beatriz Alvarez Dıaz.

Os sistemas de ecuacions estan presentes nas nosas vidas desde antes de quesexamos conscientes: desde os problemas matematicos do colexio ata as cone-xions neuronais nos nosos cerebros, pasando por toda situacion na que precise-mos despexar unha incognita. O noso obxectivo sera atopar cantas e cales sonas suas solucions valendonos da xeometrıa do problema. Para iso viaxaremos,se e preciso, ata o infinito e mais ala.

“Matematicas no teu corazon”, por Marcos Loureiro Garcıa.

Nesta presentacion poderas conecer unha pequena parte das matematicas queempregamos no Servizo de Cardioloxıa do Hospital Alvaro Cunqueiro de Vigo- Instituto de Investigacion Sanitaria Galicia Sur. Actualmente tratamos deponer a punto unha metodoloxıa, na que se integra a simulacion numericaempregando o metodo de elementos finitos (FEM), para facer unha analisedo comportamento da valvula aortica en certas intervencions. Deste xeitopretendese obter resultados de utilidade para o cardiologo que axuden natoma de decisions clınicas.

“Buracos: as matematicas do vaqueiro”, por David Mosquera Lois.

Nesta charla trataremos de amosar algunhas das ideas precursoras do que hoxese conece como Topoloxıa Alxebrica. Con mais precision, presentaremos unhadas formalizacions da idea de buraco.

“Pero ti estas seguro diso?”, por Mercedes Conde Amboage.

A estas alturas todos somos conscientes de que vivimos rodeados de datos.Pero realmente podemos fiarnos de toda a informacion que temos ao nosoalcance? E rigoroso todo o que vemos no telexornal ou lemos na prensa? Aolongo desta charla presentaremos diferentes novas enganosas que poneremosao descuberto empregando os nosos conecementos estatısticos.

A informacion anterior pode atoparse xunto aos vıdeos das charlas na seguinte li-gazon: http://www.usc.es/gl/centros/matematicas/CNL/seguimoscontandochas.html.

Agradecementos

O Comite do SII deste curso academico 2018/19 quere agradecer a colaboracionde todas e cada unha das persoas que fan posible que este seminario goce de tanboa saude e continue a ser un referente dentro e fora da nosa Universidade.

En primeiro lugar, gustarıanos mencionar ao persoal do Instituto de Matema-ticas, especialmente a Alberto Cabada Fernandez, Juan Jose Nieto Roig, BalbinaCasas Mendez, Alejandro Fraga Fontoira e Manuel Porto Canosa.

Por suposto, temos que facer especial agradecemento as e aos relatores destaedicion do seminario, sen os cales nada disto serıa posible. Grazas a Olga PerezBarral, Marcos Tella Alvarez, Laura Davila Pena, Alvaro Carballido Costas, JorgeRodrıguez Lopez, Marıa Pilar Paez Guillan, Luca Piccotti, Branca Garcıa Correa,Laura Freijeiro Gonzalez, Rodrigo Marino Villar, Brais Gonzalez Rodrıguez, Sebas-tian Buedo Fernandez, Gonzalo Cao Labora e Alfredo Rıos Albores.

Tamen temos que agradecer a elaboracion do prefacio destas actas a AdrianFernandez Tojo, antigo membro do Comite do SII que chegou a participar nel ataen catro ocasions.

Este ano ademais queremos estender os nosos agradecementos as e aos relatoresque nos permitiron desfrutar dunha xornada de divulgacion matematica como foi“Matematicas: habelas hainas, seguimos contandochas!”. Referımonos a AlejandroSaavedra Nieves, Lucıa Lopez Somoza, Carlos Vazquez Monzon, Beatriz AlvarezDıaz, Marcos Loureiro Garcıa, David Mosquera Lois e Mercedes Conde Amboage.Con motivo desta xornada tamen queremos facer mencion a todo o equipo decanal,polo seu apoio e motivacion na organizacion, e a Elena Vazquez Abal por estarsempre disposta a axudar, sendo un ano mais a responsable do deseno do cartel edos dıpticos da xornada.

Santiago de Compostela, xullo de 2019

O Comite do SII

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