Introduccion a la teorıa de flexagonos

David Laredo Razo *

Escuela Superior de ComputoVerano de la investigacion 2012 con el Dr. Harold V. Mcintosh

Agosto del 2012

Resumen

Este documento sirve como introduccion a la teorıa de los flexagonos pre-sentando su construccion y algunas de sus propiedades abstractas. Se pre-senta como reporte de investigacion del trabajo realizado durante el veranodel 2012 con el Dr. Harold V. Mcintosh en el departamento de aplicacion demicrocomputadoras de la Universidad Autonoma de Puebla.

Indice

1. Un poco de Historia 2

2. Hexaflexagonos 3

3. Pilas de polıgonos 10

4. Construccion general 13

5. Representaciones de los flexagonos 185.1. Mapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.1.1. Mapa externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.1.2. Mapa interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.1.3. Arbol de Tuckerman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6. Un ejemplo de principio a fin 21

7. ¿Cuantos flexagonos es posible construir? 24

*davidlaredo1@hotmail.com

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1. Un poco de Historia

Los flexagonos son objetos curiosos estudiados por la topologıa, que es una ra-ma de las matematicas que estudia las propiedades de los cuerpos geometricos quepermanecen inalterados por transformaciones continuas.

El primer flexagono fue descubierto por Arthur H. Stone un estudiante ingles dematematicas que se encontraba en Princeton. La estructura descubierta por Stonees tan curiosa como el modo en que hizo este descubrimiento, pues fue mientrasrecortaba los bordes de hojas A4 para que cupieran en sus carpeta de tamanoingles que decidio plegar algunas de las tiras y una de las figuras obtenidas fueparticularmente interesante [1]. Este primer flexagono descubierto es el mas sencillode una familia llamada hexaflexagonos y consiste como su nombre lo indica enun“hexagono flexible”

Figura 1: Hexaflexagono

El descubrimiento de Stone atrajo la atencion de otros estudiantes en Princetonlos cuales decidieron formar un “Comite de flexagonos” para el estudio de estasestructuras. El comite estaba conformado ademas de Stone por Bryant Tuckerman,Richard P. Feynman y John W. Tukey. En 1940 Tukey y Feynman desarrollaron unateorıa matematica acerca de los flexagonos y su construccion general, sin embargoesta nunca ha sido publicada.

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Durante la segunda guerra mundial el comite fue separado para dedicarse a ta-reas belicas y la investigacion sobre flexagonos tuvo que ser suspendida. Sin embargodurante la decada de los 60’s Martin Gardner, un divulgador cientıfico, popularizolos flexagonos introduciendolos en sus publicaciones para la revista Scientific Ame-rican. La primera de estas publicaciones llevaba el titulo Flexagonos [2] y a partirde ese momento los flexagonos comenzaron a formar parte de la vida cotidiana ac-tuando como juegos matematicos, metodos para enrollar el periodico [3], postalesnavidenas y un sin fin de detalles curiosos hechos con flexagonos.

2. Hexaflexagonos

Los hexaflexagonos constituyen una familia completa de flexagonos, reciben elprefijo “hexa” debido a que son flexagonos cuya forma plana es la de un hexagono.El flexagono mas simple de esta familia es el trihexaflexagono, que como su nom-bre lo indica es un hexaflexagono de 3 caras distintas. Siguiendo esta nomenclaturapara nombrar a los flexagonos primero debemos anteceder el numero de caras quetiene el flexagono (tri), posteriormente la forma del flexagono (hexa) y finalmentela palabra “flexagono”.

Mencionamos que los hexaflexagonos son “hexagonos flexibles” y que esta esuna de sus propiedades mas interesantes, sin embargo la propiedad mas sorpren-dente es que podemos encontrar distintas caras (cuyo numero depende el orden delflexagono) en cada Hexaflexagono, ası pues como ha sido mencionado el trihexa-flexagono tiene 3 caras distintas.

Por cara nos referimos a cada una de las superficies que obtenemos al concluirel proceso de “flexigacion” en un flexagono. Pero ¿en que consiste el proceso deflexigacion?

Antes de explicar el proceso de la flexigacion debemos construir nuestro primerflexagono, esto nos permitira poner manos a la obra y realizar el proceso por noso-tros mismos. Para construir un trihexaflexagono necesitamos una tira de papel lossuficientemente larga para que nos permita trazar 10 triangulos equilateros. Porconveniencia numeramos los triangulos en la tira de papel del 1 al 10.

Figura 2: Tira de papel para formar un flexagono

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Con la tira de papel construida procedemos a doblar los triangulos para crear elflexagono. La regla general para que cualquier tipo de flexagono sea flexible es quela suma de sus angulos centrales sea mayor o igual a 360 grados (aunque para que elflexagono permanezca plano en una superficie esta suma debe ser estrictamente 360grados). Un triangulo equilatero tiene 3 angulos iguales de 60 grados y el flexagonoresultante (figura 1) tiene en total 6 de estos triangulos, por lo cual necesitaremosdar 3 vueltas a nuestra tira de triangulos para poder formar el flexagono.

La primer vuelta consiste en plegar el triangulo 3 por arriba del 4

Figura 3: Primer vuelta a la tira para formar un trihexaflexagono

La segunda vuelta consiste en plegar el triangulo 7 por debajo del triangulo 6

Figura 4: Segunda vuelta a la tira para formar un trihexaflexagono

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Antes de la tercer vuelta se debe pasar el triangulo 9 por arriba del triangulo 1.Esto permitira que la configuracion del flexagono se acomode y que al dar la tercervuelta las bisagras del flexagono esten acomodadas y se permita la flexigacion.

Figura 5: Acomodo de la tira para formar un trihexaflexagono

Finalmente la tercer vuelta consiste el plegar el triangulo 10 sobre el triangulo1. Resultando finalmente el trihexaflexagono.

Figura 6: Tercera vuelta a la tira para formar un trihexaflexagono

En este punto tenemos completa la construccion del trihexaflexagono, solo restapegar con lapiz adhesivo el triangulo 10 al 1 y nuestro primero flexagono estara fi-nalizado. El triangulo 10 no se cuenta en la figura 6 puesto que solo sirvio comopestana para pegarlo al triangulo 1.

Ahora que tenemos el flexagono armado podemos experimentar con el y realizarel proceso de flexigacion por nosotros mismos. Se trata en realidad de un procesosencillo de ejecutar pero que debe ser practicado antes de dominarlo. Si observa-mos el flexagono esta construido de 6 triangulos equilateros y tiene 2 caras visibles(superior e inferior). Cualquier flexagono tendra siempre estas 2 caras. Cada uno

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de los triangulos es conocido como “pat” [4], una palabra en ingles de la cual noexiste una traduccion apropiada al espanol para este contexto, y por lo tanto seranllamados de la misma manera. Si observamos con atencion podremos ver que tene-mos 3 “pats” sencillos, es decir compuestos de 1 solo triangulo y 3 “pats” doblescompuestos por 2 triangulos que tienen una abertura entre ellos. Estos “pats” do-bles son los que permiten la flexigacion.

Para flexionar el flexagono debemos tomarlo de uno de los bordes de algun “pat”doble y empujar este borde hacia al centro auxiliandonos de los otros bordes paraque esta operacion resulte mas sencilla. Esta operacion hara que 3 de los bordesdel flexagono converjan en el centro (valles) mientras que los otros 3 bordes seencontraran hacia fuera (montanas). Finalmente tomamos el flexagono del centroy lo abrimos revelando una nueva cara.

Figura 7: Flexigacion de un Hexaflexagono

Este proceso puede repetirse infinitamente siempre y cuando tomemos los bor-des de los “pats” que son dobles pues estos son los que permiten realizar la fle-xigacion. Ademas, si observamos podremos ver que los “pats” dobles se muevenhacia los triangulos contiguos con cada flexigacion, esto implica que para realizarde nuevo la flexigacion tenemos que rotar el flexagono sobre el centro en un angulode 60 grados. De igual manera podemos observar que los vertices del triangulo semueven 60 grados con cada flexigacion, una buena manera de observar esto, esdibujar figuras en los vertices de los triangulos y ver como con cada flexigacion lasfiguras se mueven al siguiente vertice.

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Figura 8: Ilustracion del movimiento de los vertices tras la flexigacion

Es buen momento para colorear las caras (o numerarlas) y comprobar que eltrihexaflexagono tiene efectivamente tres caras. Siendo un poco observadores po-demos notar que el orden en que aparecen las caras no es arbitrario, sino que porel contrario forman un ciclo infinito. Existe un grafo muy sencillo que nos permiterepresentar este ciclo para estudiar algunas propiedades abstractas del flexagono.Cabe mencionar que el siguiente grafo asume que se flexionara en un sentido “haciaadelante”, si decidimos flexionar “hacia atras” debemos invertir el sentido de lasflechas en el grafo.

Figura 9: Grafo de los ciclos del trihexaflexagono

Si desdoblamos nuestro hexaflexagono y lo volvemos de nuevo a la tira originalcon la cual lo construimos podremos observar que de un lado de la tira tenemosuna secuencia de numeros y del otro lado otra secuencia. La cual es la siguiente:

1 2 3 1 2 3 1 2 3 . . .2 3 1 2 3 1 2 3 1 . . .

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Esta serie de numeros es llamado codigo del friso [5] y representa los numerosque hay de un lado y del otro de la tira de polıgonos. De momento bastara conpresentar este codigo aunque mas adelante hablaremos de el un poco mas.

El trihexaflexagono es un modelo de hexaflexagono sencillo de construir y porlo mismo no aporta demasiado al estudio de los flexagonos, sera necesario entoncesconstruir un modelo un poco mas complejo para poder observar mejor el compor-tamiento de los hexaflexagonos.

Como ya se menciono los “pats” dobles son los que permiten la flexigacion.Si quisieramos flexionar empleando un “pat” sencillo nos toparıamos con que lasbisagras del flexagono lejos de abrirse se obstruyen el paso entre si, es por estoque con cada flexigacion debemos rotar nuestro flexagono 60 grados sobre el centropara poder realizar la siguiente flexigacion. Es posible agregar mas “pats” dobles anuestro modelo de 3 caras, esto implica anadir mas vueltas y por consiguiente mastriangulos. En general numero de caras del flexagono = ((numero de triangulos deun lado de la tira – 1) * 2)/6.

Supongamos que la cara expuesta cuando agregamos los “pats” dobles era lacara 1. Si flexionamos iremos a una nueva cara que llamaremos 4 y si volvemos aflexionar iremos a la cara 3. Una flexigacion mas y estaremos de nuevo en la cara1. Podemos observar que la cara 1 ahora tiene 6 “pats” dobles en lugar de 3 comonuestro flexagono anterior. Esto nos brinda 2 posibilidades, por un lado podemosir a la cara 4 y por otro lado, girando nuestro flexagono 60 grados sobre su centroantes de flexionar, iremos a la cara 2 y de la cara 2 a la 3 al flexionar de nuevo.

Figura 10: Grafo de los ciclos de un flexagono de 4 caras.

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Como se ve en la figura 10 tenemos 2 opciones posibles al flexionar desde lacara 1. En general tenemos la regla de que la ultima cara visitada, la cara siguientea visitar y la cara en la cual nos encontramos deben ser los vertices de un mismotriangulo en el mapa. Por tanto las posiciones en las cuales podemos agregar nuevascaras son aquellas en el borde el mapa donde cada lınea del mapa es miembro desolo un triangulo. Agregar una nueva cara al flexagono implica agregar un nuevotriangulo en el mapa y por consiguiente un ciclo mas. Cabe mencionar que cadaborde exterior del mapa es una cara del flexagono en la cual 3 de los “pats” sonsencillos, mientras que los bordes internos representan “pats” dobles.

Vale la pena echar un vistazo a otro flexagono de esta familia, se trata del he-xahexaflexagono y como podran adivinar se trata de un hexaflexagono de 6 caras ysu construccion es muy simple pero ademas es un proceso generico que nos permi-te construir mas flexagonos de esta clase. Construir un hexahexaflexagono consistesimplemente en tomar una tira del doble de largo de la empleada para nuestro trihe-xaflexagono y construir el doble de triangulos (18 triangulos mas 1 para pegar),teniendo una tira de 19 triangulos en total. Lo que debe hacerse con esta tira es ple-gar los triangulos adyacentes de manera que obtengamos una tira de 10 triangulos(semejante a la del trihexaflexagono de la figura 2) pero con todos los “pats” dobles.

Una vez que tenemos la tira de 10 triangulos procedemos a construir el hexahe-xaflexagono empleando el mismo metodo que el empleado para la construccion deltrihexaflexagono mostrado anteriormente. Como ya se menciono este es un procesode construccion generico y puede ser empleado para construir hexaflexagonos cuyonumero de caras sea multiplo de 3. Lo unico necesario es una tira con suficientestriangulos y realizar el doblado de la tira como lo muestra la figura 11 para despuesproceder al armado de la misma manera que el trihexaflexagono.

Figura 11: Tira de construccion de un hexahexaflexagono.

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Es buena practica para lograr una mayor comprension de los flexagonos laconstruccion del mapa del hexahexaflexagono, pero esta tarea la dejaremos abiertaal lector.

3. Pilas de polıgonos

Los triangulos no son los unicos polıgonos con los cuales podemos construirflexagonos, es posible usar cuadrados, pentagonos, hexagonos, etc. Cualquier ti-po de polıgono convexo podrıa ser empleado para construir un flexagono (aun-que no todos son buenos candidatos). Es posible construir flexagonos incluso conpolıgono irregulares pero su construccion implica mucha imaginacion y dominio delos flexagonos.

Sin embargo la construccion de flexagonos con polıgonos distintos a los triangu-los difiere un poco del proceso estudiado (principalmente en el numero de vueltas).Es conveniente ver el flexagono desde otra perspectiva, como una pila de polıgo-nos en espiral. Comenzaremos nuestra construccion con un polıgono distinto a lostriangulos, elegiremos cuadrados por simplicidad.

Para construir la pila de polıgonos debemos construir primero un molde o plan-tilla del polıgono elegido, es conveniente trazar este molde en un pedazo de cartonpara mayor durabilidad. Numeramos las esquinas del molde comenzando por el ex-tremo inferior y continuando la numeracion hacia la derecha, poniendo los numerosen el mismo orden por los 2 lados.

Figura 12: Vistas frontal y trasera respectivamente del molde para un tetra-flexagono.

Ahora que tenemos el molde procedemos a trazar en papel la tira de polıgonos.Colocamos el molde en el papel y trazamos los bordes, debemos copiar tambienlos numeros del molde en la figura trazada, reflejamos el polıgono por el vertice2 y repetimos el proceso, despues reflejamos por el vertice 3 y ası sucesivamente.Pero ¿cuantos polıgonos son necesarios? El numero depende de los angulos de cadapolıgono, en el caso del cuadrado necesitaremos 1 tira de 5 cuadrados.

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Una observacion interesante es que despues de 4 cuadrados trazados los verticesdel molde vuelven a estar en su posicion inicial debido a que cada reflexion es de90 grados y por lo tanto despues del 4to cuadrado hemos sumado 360 grados(la suma de los angulos internos del cuadrado). Esto se cumple en general paracada polıgono, respondiendo a la pregunta ¿cuantos polıgonos debemos trazar? Elnumero de polıgonos que debemos trazar es el numero de lados que tiene cadapolıgono mas 1 para pegar al primero, ası para cuadrados debemos trazar 5, parapentagonos 6, para hexagonos 7, etc.

Figura 13: Forma de la tira para construir un tetraflexagono (se necesitan 2 paraque sea operacional)

Una vez con la tira dibujada debemos recortarla por los bordes y doblar cadavertice en ambos sentido en aras de la flexibilidad y pegar el ultimo polıgono conel primero (esto formara una de las vueltas) formando ası una pila de polıgonosen espiral. Esta pila es la construccion basica para el flexagono pero nos daremoscuenta que si lo intentamos flexionar los bordes de los cuadrados chocaran entre siy la flexigacion no es posible. Para tener una estructura que permita la flexigacionnecesitamos de una tira identica y pegarla al ultimo polıgono de la primer tira(primer vuelta) y despues unir el ultimo polıgono de la segunda tira con el primerode la primer tira (segunda vuelta), esto hara al flexagono operacional.

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Figura 14: Vista aerea de un tetraflexagono.

El proceso de flexigacion de este tipo de flexagonos es intuitivo, basta con jugarun poco con el y se descubrira rapidamente el proceso.

Un punto importante sobre las espirales de polıgonos es que cuando consistende 2 o mas vueltas las aristas por donde pueden ser doblados se vuelven paralelasen lugar de bloquearse a si mismas, entonces la espiral puede ser acomodada enuna figura plana que puede flexionarse. Con triangulos 3 vueltas son necesarias; larazon es que la suma de los angulos alrededor del centro debe ser de 360 si es quela figura ha de mantenerse plana.

Vale la pena numerar las caras de nuestro flexagono y observar que podemosencontrar 4 caras distintas. Es meritorio tambien observar el mapa de este te-tratetraflexagono y ver que tambien en general el mapa de cada flexagono estarepresentado por el polıgono empleado para su construccion.

Figura 15: Mapa del tetratetraflexagono

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4. Construccion general

Al momento debemos tener un par flexagonos construidos y podemos conti-nuar construyendo mas siguiendo los procedimientos explicados, sin embargo exis-te un procedimiento aun mas general que sirve para la construccion de cualquierflexagono, con cualquier numero de caras y construidos a base de cualquier polıgono.Este proceso esta basado en los mapas del flexagono que construimos anteriormente[figuras 10 y 14]. Para esta construccion debemos construir primero el mapa delflexagono que queremos. A modo de ejemplo elegimos el siguiente mapa:

Figura 16: Diagrama del hexahexaflexagono

Note que cada lado del flexagono es solo tocado por 2 de los vertices externosdel mapa. Para comenzar una red de lıneas internas al mapa debe ser trazado. Estared es conocida como triangulo de Tukey y consiste en trazar una lınea desde elpunto medio de la arista 1(situada entre los vertices 1 y 2) y hacerla continua hastachocar con alguna arista exterior, entonces ocupando el angulo de reflexion entrela arista y la lınea continuar el trazado de la lınea hasta chocar con otra aristaexterior y ası sucesivamente hasta que la lınea llegue a su punto de origen y sehalla formado el triangulo de Tukey.

Figura 17: Trazo del triangulo de Tukey del diagrama del hexahexaflexagono

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Debemos numerar cada vertice exterior del triangulo de Tukey en secuencia dela siguiente manera: El vertice de la red del triangulo entre 1 y 2 debe ser numerado1, entre 2 y 3 debe ser numerado 2 y ası sucesivamente.

Figura 18: Numeracion del triangulo de Tukey

Esta numeracion nos sirve para crear el codigo del friso; el friso es la tira depapel con los polıgonos dibujados que despues debe ser recortada y doblada parala construccion del flexagono [5]. El codigo del friso no es mas que la secuencia denumeros que veremos tanto de un lado del friso como del otro cuando este yaceplano y sin dobleces. Su representacion es muy sencilla, consiste solo de una lıneahorizontal que representa los 2 lados del friso, una secuencia de numeros por arribade lınea representa los numeros de un lado del friso y otra secuencia por debajo dela lınea representa los numeros del otro lado del friso, finalmente una lınea verticalal final de la secuencia de numeros representa un nuevo ciclo y una vuelta completaa traves del triangulo de Tukey.

Para generar el codigo o secuencia del friso se debe hacer un recorrido por eltriangulo de Tukey en el orden en que fue trazado copiando los numeros de losvertices externos alternando en diagonal sobre la lınea del codigo, iniciando por laparte superior.

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La razon de esta forma del codigo se debe a que antes de doblar las caras de lospolıgonos en el friso estos estarıan numerados 1, 2, 3, 4, 5, 6, x en la parte superiordel friso. Sin embargo despues de hacer el doblado de los polıgonos cada segundonumero pasa de la parte superior a la parte posterior del polıgono visible [6].

Para completar el codigo del friso debemos sumar 1 a cada numero de la secuen-cia y colocar el resultado de esta suma en lado opuesto de la lınea. Es importantenotar que despues del 6 el ciclo se repite por lo tanto al sumar 1 a 6 en lugar deponer 7 ponemos 1 pues es el inicio de un nuevo ciclo y es lo indicado por la lıneavertical.

Cada vertice externo del triangulo de Tukey ocurre en un punto medio de unaarista del mapa. Ponga una “D” en el vertice 1 del triangulo de Tukey, despues sila arista en la cual ocurre el siguiente vertice del triangulo de Tukey es paralela a laarista del vertice anterior coloque de nuevo una “D”, de lo contrario se coloca una“I” y ası sucesivamente hasta concluir con cada uno de los vertices del triangulode Tukey. En general si existe un paralelismo entre aristas de vertices subsecuentesdel triangulo de Tukey colocamos la misma letra (“D” o “I”), si no hay paralelismocambiamos de “D” a “I” o de “I” a “D” segun sea el caso.

Figura 19: Indicacion del sentido en el mapa del flexagono

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Copiamos los signos (“D” e “I”) debajo del codigo del friso en el orden en queeste fue formado.

El codigo del friso es lo que necesitamos para la construccion del flexagono.Comenzamos realizando un triangulo equilatero (puesto que este es el polıgonoempleado en el mapa del flexagono) en una orilla de una tira de papel indicandocon una flecha algo que llamaremos “punto de entrada”. El punto de entrada nossirve como referencia para definir los 2 sentidos (izquierda o derecha) en los quepodemos trazar el siguiente triangulo.

Figura 20: Trazado del triangulo que inicia la tira

A partir del primer triangulo y siguiendo la secuencia de sımbolos “D” e “I”continuamos trazando triangulos en la direccion indicada por la serie de sımboloshasta terminar la secuencia. Notese que cada que trazamos un triangulo y elegimosun sentido (”D.O I”) este sentido elegido se convertira en el nuevo punto de entradadel nuevo poligono trazado. Finalmente debemos escribir los numeros del codigodel friso de un lado y del otro de la tira de papel.

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Figura 21: Friso para la construccion del hexahexaflexagono. La nomenclatura (1/2)indica que uno de los numeros va de un lado de la tira y el otro en el lado opuesto

Como mencionamos en el capitulo anterior debido a que para que sea posibleconstruir un flexagono funcional es necesario que los angulos al centro del flexagonosumen 360 grados o mas en el caso de triangulos se necesita de 3 tiras identicas ala de la figura 21 para poder realizar las 2 vueltas que nos permitiran construir elflexagono.

Una vez con las 3 tiras formamos el friso uniendo las tiras por los extremos.Podemos notar que el ultimo polıgono de una de las tiras es el primero de otra deellas, para unirlas simplemente pegamos estos 2 polıgonos. Ahora que las 3 tirasestan pegadas y el friso esta completo podemos formar el flexagono.

Para formar el flexagono simplemente debemos plegar los polıgonos adyacentesque tengan en el mismo lado del friso numeros iguales y repetir este proceso has-ta que solo 2 numeros distintos queden y ası formar la figura del flexagono (queen este caso corresponde a un hexagono). Ahora podemos pegar los extremos delfriso (obedeciendo a la numeracion) y cerrar el flexagono quedando de una formaidentica a la figura 1.

Es importante comenzar a notar las relaciones entre el mapa, el triangulo deTukey, el friso y finalmente el flexagono en si. Es notable que el mapa tiene 6 verticesexternos (los cuales estan numerados), que el triangulo de Tukey tambien tiene 6vertices externos (tambien numerados) que cada una de las 3 tiras para formar elfriso consta de 6 polıgonos (el septimo es para pegarlo y conectar la primer tiracon la segunda tira y segunda tira con la tercera) conectados por sus aristas y queel flexagono consta de 6 caras. Todas estas relaciones no son coincidencia y formanparte de la teorıa del flexagono que sera explicada en los capıtulos posteriores.

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5. Representaciones de los flexagonos

Como se ha podido observar existen un mapa y un codigo que nos brindanmucha informacion acerca de los flexagonos. Este capitulo tratara de relacionar yanalizar esa informacion entre si con el proposito de tener una mejor comprensionacerca de las propiedades abstractas de los flexagonos.

5.1. Mapa

Si comenzamos con el mapa es posible observar que el mapa de un flexagonoesta compuesto de varios elementos los cuales explicaremos a continuacion.

5.1.1. Mapa externo

Este mapa indica una relacion entre las caras o lados de un flexagono. Indicael orden consecutivo en el que apareceran las caras de un flexagono y las transi-ciones entre las caras. Cada transicion esta indicada por una arista que conecta 2vertices externos (que representan a las caras). Es posible indicar el sentido de lastransiciones mediante flechas, sin embargo dado que no existe un sentido estrictopara la flexigacion las flechas no son necesarias. Cada polıgono en este mapa indicatambien un ciclo (formado por los vertices de ese polıgono) y que representa unasucesion cıclica de las caras que estan en ese polıgono.

(a) Tetraflexagono (b) Hexaflexagono

(c) Pentaflexagono

Figura 22: Diagramas externos de algunos tipos de flexagonos comunes.

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5.1.2. Mapa interno

Este mapa indica la secuencia de los polıgonos en uno de los lados de la tirao friso, se construye a partir del mapa externo mediante el trazo del triangulo deTukey, por lo tanto podemos decir que el triangulo de Tukey es en si el mapainterno del flexagono.

(a) Tetraflexagono (b) Hexaflexagono

(c) Pentaflexagono

Figura 23: Diagramas internos de algunos tipos de flexagonos comunes.

5.1.3. Arbol de Tuckerman

El tercer y ultimo diagrama que representa alguna propiedad abstracta de losflexagonos es el arbol de Tuckerman. Este diagrama es probablemente el mas senci-llo de todos los que hemos visto, sin embargo reserve su presentacion hasta el finalpues su comprension no resulta sencilla sin antes conocer toda la teorıa que hemosvisto.

Si han jugado lo suficiente con el flexagono y han observado el mapa externo (elde los ciclos) seguramente habran notado que cada polıgono del que esta compuestoel mapa representa un ciclo (sucesion de caras) que puede ser repetido de maneraindefinida. Tomemos como ejemplo el hexahexaflexagono y su mapa externo.

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Figura 24: Mapa externo del hexahexaflexagono

Si observamos el mapa podemos notar que segun lo indicado por el mapa esposible pasar de la cara 1 a la cara 2 y de la cara 2 a la cara 3 y viceversa. Sin em-bargo si intentamos esta operacion con el flexagono veremos que no es posible pasardirectamente de la cara 2 a la cara 3 habiendo partido de la cara 1, lo mismo sucedesi intentamos la transicion 1-6-5 o la transicion 3-4-5. Esto es debido a los ciclos delflexagono que fueron mencionados anteriormente. Cada polıgono del mapa (cadatriangulo en este caso) representa un ciclo (sucesion de caras de manera indefinida).

Este flexagono tiene 4 ciclos representados en el mapa por 4 triangulos distintos(que en su conjunto forman el mapa externo del flexagono). El primer ciclo estaformado por la sucesion 1-2-6, el segundo por la sucesion 2-3-4, el tercero por lassucesion 2-4-6 y el ultimo por la sucesion 6-4-5. Las unicas transiciones permitidasentre caras de un flexagono son las que tienen ciclos adyacentes.

Visualizar los ciclos es mas sencillo con el arbol de Tuckerman y es aquı dondese convierte en un diagrama util. Este diagrama es una representacion de los ciclosde un flexagono tomando los ciclos como cırculos y conectando los ciclos adyacentescon lıneas.

Mediante este diagrama podemos ver facilmente los ciclos y sus conexiones,ası podemos notar que no es posible hacer las transiciones 1-2-3 debido a que losciclos 1-2-6 y 2-3-4 no estan conectados entre si, para llegar de 1 a 3 primero de-bemos pasar del ciclo 1-2-6 al ciclo 2-4-6 y despues cambiar al ciclo 2-3-4.

El arbol de Tuckerman es tambien el primer diagrama que debemos considerarpara la construccion de cualquier flexagono, pues el definir los ciclos define la cons-truccion del mapa externo, el mapa externo define a su vez al mapa interno y elmapa interno es lo que define la construccion del friso a partir del cual formaremosel flexagono.

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Figura 25: Mapa externo del hexahexaflexagono con arbol de Tuckerman

6. Un ejemplo de principio a fin

Para la construccion cualquier flexagono debemos seguir los paso que se enu-meran a continuacion:

1. Construccion del Arbol de Tuckerman

2. Construccion del Mapa externo

3. Construccion del Mapa interno

4. Trazado de los sentidos del friso

5. Construccion del codigo del friso

6. Construccion del Friso

7. Construccion del flexagono

Veamos un ejemplo de la construccion de un flexagono cubriendo todos los pa-sos desde la concepcion del arbol de Tuckerman hasta el trazado del friso. Solo semostraran los pasos principales debido a que el procedimiento general ya ha sidoexplicado.

Comenzamos por elegir un arbol de Tuckerman, elegiremos uno con 4 ciclos enlınea recta.

Figura 26: Arbol de Tuckerman de 4 ciclos en secuencia recta

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Ahora empleando el arbol de Tuckerman se traza el mapa externo del flexagono,quedando de esta manera.

Figura 27: Mapa externo del flexagono

Despues se debe trazar el mapa interno, siguiendo el procedimiento ya conocido.

Figura 28: Trazado del mapa interno del flexagono.

Posteriormente se trazan los sentidos del codigo del friso.

Figura 29: Mapa completo del flexagono.

Con el diagrama terminado podemos generar el codigo del friso

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Finalmente trazamos el friso del flexagono.

Figura 30: Friso del decatetraflexagono.

La figura terminada sera un decatetraflexagono, es decir un flexagono formadopor cuadrados que tiene 10 caras distintas. El lector debe jugar con el flexagonopara poder descubrir todas las propiedades de las cuales hemos hablado.

7. ¿Cuantos flexagonos es posible construir?

El arbol de Tuckerman es la base para la construccion de cualquier flexagonoempleando el metodo de construccion general. Acomodando los ciclos de una ode otra manera afectara la construccion del flexagono. Observemos los siguientesarboles de Tuckerman y veremos que son distintos.

Figura 31: Arboles de Tuckerman.

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Lo importante a notar es el angulo entre las conexiones, debido a que estas sonlas que deciden que porcion del ciclo ha sido extendido.

Entonces podemos notar que tenemos 4 mapas distintos para flexagonos con4 ciclos. Lo importante es que si podemos crear un ciclo nuevo, tendremos unflexagono nuevo tambien. Por lo tanto el numero de flexagonos distintos que sepueden construir del mismo orden (numero de caras) depende directamente de laspermutaciones distintas que podamos hacer con el arbol de Tuckerman. Si tomamostriangulos para saber cuantos podemos hacer de distinto orden debemos tomartodas las permutaciones distintas de 2 menos que el orden del flexagono y asiobtenemos la Tabla 1 [7].

Orden Numero de Flexagonos3 14 15 16 37 48 129 2710 8211 22812 73313 2282

Cuadro 1: Numero de flexagonos triangulares que podemos construir segun el ordendel flexagono.

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Referencias

[1] Martin Gardner, Juegos Matematicos, Editorial Selector, 1998, pp 73-76

[2] Martin Gardner, “Flexagon”, Scientific American, Diciembre 1956, pp 162-166

[3] Harold V. Mcintosh, A quick flexagon survey, Diciembre 2003, pp 3-4

[4] Anthony S. Conrad, The theory of the flexagon, RIAS, pp 2

[5] Patricia Santiago Hernandez, Glosario de Flexagonos, Agosto 2006

[6] Harold V. McIntosh, A quick flexagon survey, Diciembre 2003, pp 9

[7] Anthony S. Conrad, The theory of the flexagon, RIAS, pp 14

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