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ARITMÉTICA MERCANTILAUMENTOS/ DISMINUCIONES PORCENTUALES

Cfinal=Cinicial· ÍNDICE DE VARIACIÓN= Cinicial· 1± r100

Si hay varios índices encadenados, se multiplicarían todos los índices y eso daría lugar al índice de variación (IV).

1.¿Qué precio se pagará por una tv que cuesta 500 euros si me aplican un descuento del 12%?

Cf = 500· (1− 0,12) =500· 0,88 = 440 euros

2. El precio de una tablet sin IVA es de 700 euros. Calcula el precio que pagaremos si hay que añadirle el 16 % de IVA.

Cf= 700·(1+ 0,16) = 700·1,16 = 812 euros

3. Por un ordenador se ha pagado 406 euros. Si el ordenador tiene un impuesto del 16 % de IVA, ¿cuál es su precio sin incluir el impuesto?

406 = Ci ·(1+ 0,16); Ci = 4061,16 = 350 euros

4. Un comerciante compra zapatillas por 45 euros y los vende con un recargo del 30 %; llega un amigo y, sobre el precio de venta, le rebaja el 30 %. ¿Gano o perdió con la venta de zapatillas al amigo?

IV =(1+0,30)⋅(1−0,30)=0,91Cf= 45· 0,91=40,95El comerciante perdió en la venta: 45 − 40,95 = 4,05 euros

Cf = (1+ 0,30) ⋅ 45 = 1,30 ⋅ 45 = 58,5 euros Cf =(1−0,30)⋅58,5=0,70⋅58,5=40,95euros;

Si el IV>1, entonces la cantidad final será mayor que la inicial y el aumento porcentual será= IV-1Si el IV<1, entonces la cantidad final será menor que la inicial y la disminución porcentual será= 1- IV

+ aumento

- disminución

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/AHORRO

Depositamos en el banco una cantidad inicial Ci, la dejamos un tiempo (nosostros le prestamos al banco el dinero) y al finalizar el tiempo, el banco nos devuelve nuestro dinero más una cantidad correspondiente a los intereses.Dependiendo de cuándo recojamos los intereses, hablaremos de interés simple o compuesto.Si los beneficios se retiran periódicamente estamos ante un interés simple.Ejemplo. Deposito en el banco 100 euros durante un año. EL banco cada mes me da un 5% de interés mensual.

Cuando los intereses no se retiran sino que se acumulan al capital y se mantiene el depósito estamos ante el interés compuesto.

1ERMES. 20MES. 3ERMES. 40MES 1 AÑO. 105€ 105€. 105€ 105€

Dejo en banco 100€ 100€ 100€. 100€ 100€ Intereses. 5€ 10€ 15€ 20€. Int. Total =60€

Total =100+60=160€

1ERMES. 20MES. 3ERMES. 40MES 1 AÑO. 105€ 105€. 105€ 105€

Dejo en banco 105€ 110,25€ 115,76€. 121,55€ 179,59 Intereses. 5€ 10,25€ 15,76€ 21,55€. Int. total=79,59€

Total =179,59€

PAGO ANUAL DE INTERESES: Cf=C0· 1+ r100

n, n años y r % anual

PAGO MENSUAL DE INTERESES: Cf=C0· 1+ r1200

n,n meses y r % anual

PAGO ANUAL DE INTERESES: Cf=C0· 1+ r400

n,n trimestres y r % anual

PAGO ANUAL DE INTERESES: Cf=C0· 1+ r200

n,n semestral y r % anual

PAGO ANUAL DE INTERESES: Cf=C0· 1+ r100

n,n años y r % anual

Cf=CI+I, donde I = Ci· r · t

100 , t expresado en años, r% anual.

Cf=CI+I, donde I =Ci· r · t1200 , t expresado en meses, r% anual.IN

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T.A.E.La Tasa Anual Equivalente (TAE) es el interés producido por 1 euro en un año.El objetivo de la T.A.E. es facilitarnos la comparación de los productos financieros.

1+T.A.E.100 = 1+ r

nn

Ejemplo: queremos contratar un préstamo al 6% de interés anual y no estamos seguros de como pagar las cuotas: mensuales, trimestrales, semestrales o anuales. ¿Que opción nos conviene más?

Pagos mensuales: i= r100 = 6

100 =0,06,

T.A.E.= 1+0,0612

12−1 ·100 ≈ 6,17%

Pagos trimestral: i= r100 = 6

100 =0,06,

T.A.E.= 1+0,064

4−1 ·100 ≈ 6,14%

Pagos semestrales: i= r100 = 6

100 =0,06,

T.A.E.= 1+0,06

2

2−1 ·100 ≈ 6,09%

Pagos anuales: i= r100 = 6

100 =0,06,

T.A.E.= 1+0,06

1

1−1 ·100 ≈ 6%

La mejor opción es hacer los pagos anuales (T.A.E. más pequeño) pero es mas cómodo hacer los pagos mensuales, y a veces no podemos hacer frente a una única cuota anual.

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AHORROS. PLANES DE PENSIONES

Queremos disponer de un capital al cabo de cierto tiempo mediante depósitos iguales realizados todos los años. La cantidad, de nuestros ahorros, que depositamos todos los años es una anualidad de capitalización.

AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 … AÑO t

A A· 1+r t

A A· 1+r t−1

A A· 1+r t−2

Cf=A· 1+r ·[ 1+r t−1]

r

donde Cf es el capital que tendremos al finalizarA es la anualidad que ingresamos en el bancor=R/100, siendo R el rédito en % anualt, tiempo en años .

Si los pagos se hacen en periodos no anuales:

C=A· 1+ r

n ·[ 1+ rn

n·t−1]

rn

donde n es el número de pagos

que se efectúan en un año.

AÑO CANTIDAD ANUAL QUE PAGO

CANTIDAD AL CABO DE 15 AÑOS

0 600 1903,30

1 600 1762,32

2 600 1631,77

3 600 1510,90

4 600 1398,98

5 600 1295,35

6 600 1199,40

7 600 1110,56

8 600 1028,29

9 600 952,12

10 600 881,59

11 600 816,29

12 600 755,83

13 600 699,84

14 600 648

15 600·15=9000 17594,54€ ≈ 17595,57€

Ejemplo. Una entidad bancaria ofrece un plan de pensiones de modo que durante 15 años debemos aportar 600 euros al 8% ¿Que capital tendremos al finalizar el plazo?

Cf=600· 1+0,08 · (1+0,08)15−1

0,08=17595,57€

Beneficio= 1759,57 – 9000 = 8595,57€

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PRÉSTAMOS

Solicitamos un préstamo que hemos de devolver en un determinado plazo de tiempo, abonando cantidades iguales en ciertos períodos de tiempo. Estos

pagos reciben el nombre de anualidades de amortización.

A=D· r· (1+r)t

(1+r)t −1donde A es el valor de la anualidadD es el valor de la deudat es el nº de años en los que queremos pagar la deuda r=R/100,donde R es el %.Si el pago no es anual,

A=D· r

n · (1+ rn )n·t

(1+ rn )n·t −1

donde n es el nº de pagos que se realizan en un año.

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Ejemplo. Para pagar un préstamo de un coche de 7 000 euros en un plazo de 14 años a un interés de 6%, ¿qué cantidad se debe pagar anualmente?; ¿y mensualmente?

Anualmente:

A= 7000· 0,06· (1+0,06)14

(1+0,06)14−1=753,09€

En total pagaríamos: 753,09 · 14=10543,26€Intereses= 3543,26€

Mensualmente:En 14 años deben realizarse 14·12=168 pagos.El 6% anual equivale a 6/12=0,5% mensual

A= 7000· 0,005· (1+0,005)168

(1+0,005)168−1=61,68€

En total pagaríamos: 61,68· 168=10362,24€Intereses= 3362,24€