ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE ARITMÉTICA

1) Conocer los criterios de divisibilidad más usuales (del 3, del 4, del 5, del 9, del 11

etc.)

2) Para demostrar que un número entero x es múltiplo de n, es necesario expresar x en la

forma: x=kn.

Si a y b son múltiplos de n, también lo son a+b y a-b.

3) Dos números enteros a y b son congruentes módulo m y se representa: (m) ba si y

sólo si su diferencia es múltiplo de m.

mb-a (m) ba

Si se suman, se restan o se multiplican miembro a miembro dos congruencias, esta se

mantiene.

Si los dos miembros de una congruencia se elevan a una misma potencia, la congruencia

se mantiene.

4) Cualquier número natural se puede expresar en forma polinómica, por ejemplo:

abcd= abcd 32 101010

5) Al escribir k números enteros consecutivos, uno de ellos siempre es múltiplo de k.

Por ejemplo uno de los números n-1, n ó n+1 es múltiplo de 3; uno de los números n-2,

n-1, n, n+1 ó n+2 es siempre múltiplo de 5.

6) Si n y k son números enteros, entonces n sólo puede ser:

k ó

k +1 ó

k +2 ó ......

k +(k-1)

Por ejemplo N sólo puede ser

3 ó

3 +1 ó

3 +2. Que equivale a

3 ó

3 +1 ó

3 -1.

N Sólo puede ser

5 ó

5 +1 ó

5 +2 ó

5 +3 ó

5 +4 que equivale a

5 ó

5 +1 ó

5 +2 ó

5 -1 ó

5 -2, etc.

7) Para demostrar que un número no es primo (es compuesto), basta con descomponerlo

en producto de al menos dos factores.

8) Para demostrar que un número N es un cuadrado perfecto hay que expresarlo en la

forma: N=K2. A veces puede intentarse expresar la forma polinómica del número como

un cuadrado.

9) Las terminaciones de las potencias de los números naturales de una cifra son cíclicas.

Por ejemplo: 21 termina en 2; 2

2 termina en 4; 2

3 termina en 8; 2

4 termina en 6 y a partir

de aquí, las potencias de 2, terminan en 2,4,8,6 de forma cíclica.

En general, 2n termina en 6, si n es

4 ; termina en 1, si n es

4 +1; termina en 4, si n es

4 +2 y termina en 8 si es

4 +3.

10) Teniendo en cuenta la terminación de los cuadrados de 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, el

cuadrado de cualquier número natural n sólo puede terminar en 0,1,4,5,6 ó 9. Es decir si

un número termina en 2,3,7 u 8, no puede ser cuadrado perfecto.

11) Para demostrar la validez de alguna propiedad p(n) para cualquier valor de n

(natural), se puede utilizar la inducción completa que consiste en:

a) Comprobar que se verifica la propiedad para n=1.

b) Suponer que la propiedad se verifica para n (hipótesis de inducción) y demostrar que

también se verifica para n+1.

12) En cualquier división entera, se verifica:

Dividendo (D)=divisor(d) x cociente (c) + resto (r)

La igualdad anterior se puede expresar en la forma: d

rc

d

D que separa la parte

entera c y la parte decimal d

r.

13) Cualquier número natural n se puede descomponer en producto de factores primos y

expresarse en la foma: N= p1a1

p2a2

........pnan

El número de divisores de N es: D(N) = 1.....11 21 naaa

La suma de todos los divisores es S(n) =1

1

1

1

1

11

2

122

1

111

n

ann

aa

p

p

p

p

p

p

14) Si el m.c.d. de a y b es d, al dividir a y b entre d, se obtienen dos números primos

entre si.

15) Si un número primo p divide al producto de otros dos, p divide al menos a uno de

ellos.

Si p/a.b entonces p/a ó p/b

16) Si m.c.d. (a,b)=d y m.c.m (a,b)=m. Se verifica badm

17) Se define el factorial de un número n y se denota n!, al producto:

n!= n(n-1)(n-2).......3.2.1

(2n)!= (2.4.6.....2n)(1.3.5....(2n-1))= 2n(1.2.3.....n)(1.3.5.....(2n-1))= 2

nn!(1.3.5.....(2n-1))

18) Se definen los números combinatorios de la siguiente forma:

Sean n y m números naturales con n>m. El número combinatorio "n sobre m" se

simboliza:

m

n y se define:

)!( !

!

m

n

mnm

n

que es siempre un número natural.

19) Algunas propiedades interesantes de los números combinatorios son:

1

1

1

m

n ;

;1 ;

1 ;1

0 m

n

m

n

mn

n

m

n

n

nn

nn

20) El desarrollo de la potencia de un binomio a+b es:

nnnnnb

n

nba

nba

na

nba

........

210

2211

Conocida como fórmula del binomio de Newton.

En particular si a=1 y b=1, se verifica:

21) Los números combinatorios se pueden obtener en el triángulo de Tartaglia, donde

en la fila "n" aparecen los números combinatorios cuyo índice superior es n-1 :

15101051

14641

1331

121

11

1

n

nnnnn ........210

2

PROBLEMAS DE ARITMÉTICA

1.- Determinar que condición han de cumplir las cifras de las decenas de dos números

acabados en 6 para que su producto acabe en 36.

Indicación

Si un número termina en a6 y otro en b6, la cifra de la decena del producto es 6a+6b+3

que debe terminar en 3, de aquí se deduce que a+b debe ser múltiplo de 5.

2.- El número 9 687 600 se puede escribir como producto de números enteros

consecutivos, uno de los cuales es primo. Calcular cuales son estos factores.

Indicación Descomponer en factores 9 687 600 y agrupando estos factores de forma conveniente,

se obtiene: 9 687 600=23.24.25.26.27

3.- Determinar las cifras x,y,z en el número 33xy49z para que sea múltiplo de 693.

Indicación

Al ser 693=7.9.11, el número buscado debe ser múltiplo de 7, de 9 y de 11. Utiliza los

criterios de divisibilidad por 9 (

91zyx ) y por 11 (

115yzx ). Del

segundo se deduce que x+z=y+5 ó x+z=y+16. Sustituye en el primero y prueba los

distintos casos. La solución es: 3 346 497.

4.- Demostrar que para todo número entero n, se cumple:

a) n3-n es divisible por 3

b) n5-n es divisible por 5

c) n7-n es divisible por 7

Indicación

a) Si tres números son consecutivos, uno de ellos es múltiplo de 3.

b) Todo número n es de una de estas formas: 25 ,25 ,15 ,15 ,5

.

Como n5-n=n(n

2-1)(n

2+1), prueba que si n toma alguna de las cinco formas anteriores,

uno de estos tres factores es múltiplo de cinco.

c) Puede hacerse por inducción completa.

5.- Probar que si los tres lados de un triángulo rectángulo vienen expresados por tres

números naturales en progresión aritmética, entonces su perímetro es múltiplo de 12.

Indicación

Si llamas a al lado mediano, el perímetro es 3a. Demuestra que a es múltiplo de 4

aplicando el teorema de Pitágoras.

6.- Probar que para todo entero positivo n, n19

-n7 es divisible por 30.

(Extremadura 2 009)

Indicación

Descompón en factores: )1)(1()1( 33364719 nnnnnnn

Para que sea múltiplo de 30, debe serlo de 2, de 3 y de 5. Al haber tres factores

consecutivos, sólo falta probar que lo es de 5, para ello te puedes apoyar en que n es de

una de estas cinco formas: 25 ,25 ,15 ,15 ,5

.

7.- Probar que 2 2225 555

+ 5 5552 222

es divisible por 7.

Indicación Utiliza las congruencias módulo 7:

(7) 53222 2(7) 3222 2 555 5555 5

5 555 (7) 4 (7) 24555 5 222 2222 2

Sumando miembro a miembro se deduce que la suma es múltiplo de 7.

8.- Demostrar que para todo n natural, 32n+2

+ 26n+1

es múltiplo de 11.

Indicación

Puede hacerse por inducción o utilizando congruencias.

9.- Demostrar que 5n

+ 2. 3n-1

+ 1 es múltiplo de 8 para todo entero positivo n.

Indicación Puede hacerse por inducción.

10.- Encontrar todos los números naturales n tales que 2n-1 es divisible por 7.

Demostrar que no hay ningún natural p tal que 2p+1 es divisible por 7.

Indicación

En la congruencia módulo 7, (7) 12(7) 12 3k3 . Deduce de ello los números n

que se piden.

La segunda parte puede hacerse por reducción al absurdo, si existiese p tal que 2p+1 es

divisible por 7 (7) 612 p , que es imposible.

11.- Sea n un número natural cualquiera. Demostrar que, para todo nk , la expresión:

(n+1)(n+2).......(2n-1)(2n) es divisible por 2k.

Indicación

Puedes utilizar las siguientes igualdades: (n+1)(n+2).......(2n-1)(2n)=!

)!2(

n

n.

(2n)!=(1.3......(2n-1))(2.4....2n)=2n(1.2...n)(1.3...(2n-1))= 2

n.n!.(1.3...(2n-1))

12.- Demostrar que n4+4 (siendo n natural) sólo es primo para n=1

Indicación Expresar n

4+4 como producto de dos polinomios de segundo grado.

13.- Sea m un entero positivo. Demostrar que no existen números primos de la forma:

25m

+2m

+1 (Extremadura 2 009)

Indicación Si a 2

m le llamas x, expresa el polinomio x

5+x+1 como producto de un polinomio de

tercer grado por uno de segundo grado.

14.- Calcular el entero más pequeño x para el cual x2+x+41 es compuesto.

Indicación

Para que sea compuesto, x2+x debe ser k41 .

15.- Hallar los valores de n (entero positivo) para los que N=28+2

11+2

n es un cuadrado

perfecto.

Indicación

Expresa el número N como cuadrado de un binomio:

2

24 22

n

16.- Encontrar un número de cuatro cifras de la forma aabb que sea cuadrado perfecto.

Indicación El número aabb es igual a 11(100a+b); 100a+b debe ser de la forma 11k

2, es decir el

número a0b debe ser múltiplo de11.

17.- Hallar los valores naturales de x que convierten la expresión E=x2+5x+160 en un

cuadrado perfecto.

Indicación

x2+5x+160=k

2 01605 22 kxx . El discriminante de esta ecuación de segundo

grado debe ser un cuadrado perfecto: 4k2-615=n

2, de donde 4k

2-n

2=615, es decir:

(4k+n)(4k-n)=615=3.5.41

18.- Demostrar que los números de la serie: 16, 1156, 111556, 11115556, ....... que se

van obteniendo intercalando 15 entre las cifras centrales, son siempre cuadrados

perfectos.

Indicación Un número cualquiera de esta serie, consta de n unos, (n-1) cincos y un seis, luego se

puede expresar como 6+5(10+102+10

3+....10

n-1)+10

n+10

n+1+.....10

2n-1

Sumando las dos progresiones geométricas, se obtiene

2

3

210

n

19.- Demostrar que el número 3n

+ 2.17

n no es cuadrado un perfecto para ningún número

natural n.

Indicación Si un número termina en 2,3,7 u 8, no puede ser cuadrado perfecto. Estudia las

terminaciones de las potencias de 3 y de 17 y deduce que el número dado siempre

termina en 3 o en 7.

20.- Calcular los valores enteros de x que hacen entera la expresión 6

2

x

x.

Indicación

6

366

6

2

xx

x

x Luego x+6 debe ser un divisor de 36.

21.- Determinar los números naturales N que tienen como factores primos solamente a 2

y 3 y, tales que el número de divisores de N2

es triple del número de divisores de N.

Indicación N=2ª.3

b y N

2=2

2a.3

2b

El número de divisores de N es (a+1)(b+1) y el de N2

es (2a+1)(2b+1)

22.- Encontrar un número natural N sabiendo que admite solamente dos divisores

primos diferentes, que el número de sus divisores es 6 y que la suma de todos sus

divisores es 28.

Indicación N es de la forma p

a.q

b, por tener 6 divisores, se verifica (a+1)(b+1)=6=3.2, de donde se

deduce que a+1=3 y b+1=2 ó a+1=2 y b+1=3. Utiliza ahora la suma de los divisores.

23.- Un número tiene 216 divisores, su doble tiene 270 divisores, su tercera parte tiene

180 divisores y su quinta parte tiene 144 divisores. Encontrar este número con la

condición de que sea el mas pequeño posible.

Indicación Para que la tercera y la quinta parte sean números naturales, debe tener como factores al

3 y al 5, deduce que además debe tener los factores 2 y 7 para que sea el más pequeño

posible, es decir debe ser de la forma 2ª.3b.5

c.7

d

Utiliza ahora la expresión del número de divisores.

24.- Un número descompuesto en factores primos n=ax. b

y. c

z disminuye el número de

sus divisores en 72, 48 o 54 al dividirlo por a, por b o por c, respectivamente. Hallar el

valor de n.

Indicación

Sean D(n),

c

nD ,

b

nD ,

a

nD , el número de divisores de cada uno de estos números,

relaciona estos valores utilizando los datos y deduce que:

54)1)(1(

48)1)(1(

72)1)(1(

yx

zx

zy

Resuelve

este sistema y obtén x,y,z.

25.- Probar que la única pareja de enteros positivos (a,b) para la que la suma coincide

con el producto, es la (2,2)

Indicación

a+b=a.b1

a

ab pues a debe ser distinto de 1. Esta división debe ser entera y

positiva.

26.- Resolver en el conjunto de los números naturales la ecuación:

4375,11642

zyx

Indicación Expresando el decimal como fracción y quitando denominadores se deduce:

z=23-4(y+2x). Teniendo en cuenta que z es natural obtén los posibles valores de y+2x.

27.- Encontrar todas las soluciones enteras de la ecuación p(x+y)=xy donde p es un

número primo. (Extremadura 2.007)

Indicación

Es una ecuación simétrica, es decir si (x,y) es una solución, también lo es (y,x). Las

soluciones dobles, es decir x=y, son muy fáciles.

Despejando, se obtiene: x+y=p

yx . Al ser p primo, debe ser x o y múltiplos de p. Si

x=kp, despeja y de la última igualdad y obtienes: y=1k

kp que es un número entero,

para ello, k-1 debe ser divisor de p que es primo.

28.- Resolver en el conjunto de los números naturales el sistema de ecuaciones:

xy=51 840

m.c.d (x,y)=24

Indicación Al ser una ecuación simétrica, si (x,y) es una solución, también lo es (y,x).

24/x y 24/y luego x=24k; y=24k´ con k y k´primos entre si. Entonces:

xy=24k.24k´=51 840 90´. kk . Descompón 90 en producto de dos factores primos

entre si de todas las formas posibles.

29.- Resolver en el conjunto de los números naturales el sistema de ecuaciones:

xy=983 016

m.c.m (x,y)= 546 212

Indicación Ten en cuenta que el m.c.d por el m.c.m es igual al producto de los números. Deduce el

m.c.d. y procede como en el problema anterior.

30.- Encontrar todas las soluciones naturales de la ecuación x3+y

3=1 729

Indicación

x3+y

3 es divisible por x+y, luego 191371729))(( 2233 yxyxyxyx y

ten en cuenta que buscas soluciones naturales.

31.- Encontrar todos los pares de números enteros (x,y) tales que x2=21+4y

2

Indicación

21)2)(2(214 22 yxyxyx y ten en cuenta que x e y son números enteros.

32.- Demostrar que la ecuación x2+y

2-z

2-x-3y-z-4=0 posee infinitas soluciones en el

conjunto de los números enteros. (Extremadura 2 005)

Indicación Haz el cambio de variable z=-x, y obtienes una ecuación con una sola incógnita.

También pueden completarse cuadrados con los términos en x, en y, y en z y llegar a:

4

25)

2

1()

2

3()

2

1( 222 zyx

33.- Determina justificadamente todos los pares de números enteros (x,y) que verifican

la ecuación x2- y

4=2 009. (Fase Nacional 2 009)

Indicación Factoriza cada miembro de la ecuación y ten en cuenta que x e y son números enteros.

34.- Hallad todas las posibles formas de escribir 2 003 como suma de dos cuadrados de

números enteros positivos. (Extremadura 2 004)

Indicación Uno de los dos cuadrados debe ser par y el otro impar. En cuyo caso uno de los números

debe ser par 2a y el otro impar 2b+1, de donde 2002444 22 bba que es imposible

por no ser 2 002 múltiplo de 4.

35.- Completar la siguiente fila del triángulo de Tartaglia:

1...................... 3 003, 2 002, 1 001 .......................1

Indicación

Ten en cuenta que: 10011

;2002

k

n ;3003

1

k

n

k

n. Divide la 1ª entre la

segunda y esta entre la 3ª y resuelve el sistema de ecuaciones.

36.- Averigua qué números de cuatro cifras significativas abcd (con a 0), son iguales

a cdcdab 22

. (Extremadura 2 010)

Indicación

Escribe el número abcd en la forma cdab 00 y llama al número de dos cifras ab =x,

y a cd =y. Entonces 100x+y=x2+y

2-y. Agrupa los términos en x y los términos en y, y

completando cuadrados, se obtiene: 250115022 yx .

37.- Busca todos los números enteros n tales que la suma: 1!+2!+......+n! Sea un

cuadrado perfecto- (Calendario Editorial S.M. 5 - 9 - 2.010)

Indicación

Dos soluciones evidentes son n=1 y n=3. Si n=4, la suma 33. Si n>5, n! Termina en 0

pues siempre están el factor 2 y el 5. Es fácil deducir que la suma de factoriales siempre

termina en 3 y no puede ser cuadrado perfecto.

38.- Calcula la suma: 999x1.000

1.........

4x5

1

3x4

1

2x3

1

2

1

(Calendario Editorial S.M. 25 - 11 - 2.010)

Indicación

Descompón )1(

1

nnen suma de fracciones simples, es decir:

1

11

)1(

1

nnnn

39.- Cierto número de coches se pueden colocar en forma de cuadrado con n filas y n

columnas. Calcula el número de coches, de manera que todos ellos se puedan colocar

formando un rectángulo con 5 filas más que al principio.

Indicación

Al ser n2=(n+5)k, despeja k, divide y ten en cuenta que k es entero.

40.- Demuestra que para cualquier número natural N, existe algún múltiplo no nulo

suyo cuyas únicas cifras son ceros y unos.

Indicación

Los posibles restos de dividir cualquier número entre N, son:0,1,2.......N-1.

Considera los N+1 números siguientes:1;11;111;1111;.......111...(N+1)..........111. Como

hay más de N, dos de ellos deben dar el mismo resto al dividirlos por N y su diferencia

es múltiplo de N.

41.- Encontrar el menor número primo p>100 y otro número q entero, tal que la media

aritmética, la geométrica y la armónica, sean números naturales.

Indicación

Para que la media geométrica sea un número natural, p.q debe ser un cuadrado perfecto.

Luego q debe ser de la forma p.x2 e impar. Además al ser p primo, es impar, luego q

también debe serlo para que la media aritmética sea natural y por tanto x2 es impar.

La media armónica es:2

2

2

22

1

2

)1(

22

x

px

xp

xp

qp

pq

; 1+x

2 debe ser divisor de 2p y al ser

p primo, debe ser igual a 2p.