Aritmética - Jorge Hernández Docente Conalep · Web viewCuarto Semestre Ing. Jorge Hernández...

Colegio de Educación Profesional Técnica del Estado de México

Ing Jorge Hernández Sánchez

Tratamiento de datos y azar

Cuarto Semestre

Ing. Jorge Hernández Sánchez


Tratamiento de datos y azar PROGRAMA Tratamiento de datos de azar.

UNIDAD I Interpretación de información.1.1 Agrupa y grafica conjunto de datos cualitativos y cuantitativos con base en su distribución de frecuencias A. Descripción e interpretación de la estadística descriptiva 1. Naturaleza de la Estadística. Etapas de la investigación. Población, datos, muestra, tamaño de la muestra, muestreo aleatorio, variable estadística, experimento, parámetros de decisión. 2. Distribución de frecuencias con datos no agrupados. Frecuencia absoluta, relativa, absoluta acumulada y relativa acumulada 3. Distribución de frecuencias con datos agrupados. Número de clase y Amplitud, Marcas de clase o punto medio. Límites reales o fronteras reales. B. Construcción e interpretación de gráficas. Gráfica circular, histograma, diagrama de barras, polígono de frecuencias, ojivas y de tallo y hojas. 1.2 Calcula y grafica las medidas de tendencia central y de dispersión de un conjunto de datos, mediante fórmulas estadísticas A. Determinación e interpretación de las medidas de tendencia central poblacional y muestral. Rango.Datos no agrupados: media aritmética, media geométrica, mediana, moda y graficas. Datos agrupados: media aritmética, media geométrica, mediana, moda, cuartiles, deciles, percentiles y graficación. B. Determinación e interpretación de medidas de dispersión poblacional y muestral. Datos no agrupados: Desviación media, varianza, desviación estándar, coeficiente de asimetría, coeficiente de Kurtosis y graficas.Datos agrupados: Desviación media, varianza, desviación estándar, coeficiente de asimetría, coeficiente de Kurtosis y graficas. UNIDAD II INTERPRETACIÓN DE EVENTOS ALEATORIOS.2.1 Calcula la probabilidad de eventos aplicando las técnicas de conteo fórmulas y leyes relacionadas.A. Determinación de la probabilidad. Elementos básicos: Experimento, espacio muestral con y sin reemplazo, eventos simples y compuestos.Enfoques:Clásico, de frecuencias relativas, subjetivo. Cálculo: Simple y conjunta Eventos: Unión, intersección, complemento y mutuamente excluyentes. Leyes: De adición, condicional, independencia estadística, multiplicación y BayesB. Cálculo con técnicas de conteo Principio fundamental del conteo: diagrama de árbol, permutaciones y combinacionesA. Determinación de la probabilidad.• Elementos básicos de probabilidad.• Algebra de eventos.• Cálculo de probabilidades• Axiomas de probabilidad.• Eventos mutuamente excluyentes.• Eventos independientes• Técnicas de conteo.


Ing Jorge Hernández Sánchez- Principio fundamental del conteo, Diagrama de árbol, Permutaciones y Combinaciones.

B. Análisis de la probabilidad condicional.• Teorema de la multiplicación para probabilidad condicional.• Eventos dependientes.• Teorema de la probabilidad total.• Eventos independientes• Teorema de Bayes2.2 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria conforme su distribución de probabilidad discreta.A. Análisis de las medidas de una distribución Variable aleatoria. Función de probabilidad. Esperanza matemática. Varianza. Desviación estándar. Gráfica. B. Análisis de modelos probabilísticos especiales. Modelo de Bernoulli. Distribución binomial. Distribución de Poisson. Distribución hipergeométrica. Distribución geométrica. 2.3 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria conforme su distribución de probabilidad continua.A. Cálculo de la probabilidad en la distribución normal. Variable aleatoria. Fórmula: características y tablas de valores z Gráfica: Área bajo la curva, intervalos de confianza e intervalos de significancia. B. Relación entre la distribución normal y la binomial: Factor de corrección por continuidad y fórmulas y gráficas. C. Calculo de la Distribución T Student Fórmula. Características, tablas de valores Gráfica. Área bajo la curva, intervalos de confianza e intervalos de significancia. D. Cálculo de la probabilidad en la distribución uniforme. Fórmula, gráfica y problemas. E. Cálculo de la probabilidad en la distribución


Tratamiento de datos y azar REGLAS DEL CURSO

Deberás tener el 80% de asistencia para ser evaluado.

Deberás estar atento al pasar lista, si no contestas cuando se te nombre tienes falla.

El no asistir no es pretexto para no cumplir, si faltas deberás preguntar que se vio en

clase y cual fue la actividad realizada y la evidencia a presentar.

Se revisará el cuaderno sin previo aviso, así que deberás tenerlo siempre el corriente.

En el cuaderno se integra el portafolio de evidencia del trabajo realizado, si lo pierdes,

también pierdes la evidencia contenida hasta ese momento en el mismo.

Toda evidencia de aprendizaje como cuadernos, tareas, investigaciones, trabajos, etc.,

deberán estar completos, con buena presentación, asentando nombre, grupo y matrícula,

además de entregarse en las fechas establecidas, de lo contrario no se registrarán en la

base de datos.

Los trabajos anteriores deberán integrarse en el cuaderno de la materia.

Si se te sorprende haciendo tareas de otra materia o con objetos que no son de la clase

(como maquillaje, radios, celulares, etc.) se te recogerán y serán devueltos en Orientación

Educativa.

La tolerancia para entrar al salón con asistencia es de 10 minutos empezando la hora de

clase, después de este tiempo, puedes pasar teniendo la falta correspondiente.

Se debe conservar el mobiliario, instalaciones y equipo, si lo deterioras deberás repararlo.

Debes conservar el orden y la alineación de las sillas en clase, si las mueves por

cualquier motivo, las ordenaras al finalizar la actividad.

No debes comer en clase, para ello se tienen lugares destinados para tal fin.

El padre de familia es un elemento valioso dentro del proceso enseñanza aprendizaje,

teniendo varias responsabilidades, entre ellas el compromiso de vigilar el buen desempeño

de su hijo (a) en el transcurso del semestre, y dar seguimiento a su desarrollo, firmando de

enterado en la evaluación obtenida en las listas de cotejo que se encuentran en el cuaderno

de su hijo (a), para su registro en la base de datos vía Internet de la institución y la bitácora

de clase correspondiente.

Firma del alumno Firma del padre o tutor Firma del profesor

Fecha de _______________________de 2010.


Ing Jorge Hernández SánchezUNIDAD I INTERPRETACIÓN DE INFORMACIÓN.1.1 Agrupa y grafica conjunto de datos cualitativos y cuantitativos con base en su distribución de frecuencias A. Descripción e interpretación de la estadística descriptiva Definición de Estadística. Es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección, organización, análisis e interpretación de datos.

Estadística descriptiva. Comprende técnicas que se emplean para resumir y describir los datos numéricos. Estos métodos pueden ser gráficos o implicar un proceso de análisis.

Estadística inferencial. Comprende las técnicas con las que, con base únicamente en una muestra sometida a observación, se toman decisiones sobre una población o proceso estadístico.

Las características medidas de una muestra se llaman estadísticas muestrales y las características medidas de una población estadística, o universo, se les llaman parámetros de la población.

Población. Conjunto completo de individuos, objetos o medidas que tienen alguna característica común observable.

Población finita. La que posee un tamaño limitado o contable. Por ejemplo: las personas que estudian en CONALEP.

Población infinita. Es aquella en que teóricamente es imposible observar todos los elementos, es decir no tiene fin, por lo que no es contable.

Muestra. Es un subconjunto de mediciones seleccionadas de la población.

Tamaño de la muestra. Esta se determina por la confiabilidad del estudio que se requiere, o bien por el numero de piezas que se realizan.

Muestreo. Es el proceso de selección de objetos, personas o cosas de una población.

Muestreo aleatorio. Es un tipo de muestreo en el que todos los elementos de la población de interés o población objetivo, tienen una oportunidad conocida, usualmente igual, de ser elegidos para la inclusión en la muestra.

Muestreo aleatorio simple. Es la selección de elementos en forma individual en una población objetivo entera con base en el azar. Se puede utilizar una tabla o un generador de números aleatorios.

Muestra de conveniencia. Incluye las medidas y observaciones a las que se tiene acceso más fácilmente, tal y como su nombre lo sugiere.

Muestra ponderada. Es a la que se le da un peso a las observaciones para equilibrar o desequilibrar a la muestra.

Muestra aleatoria estratificada. Los elementos de la población se clasifican en grupos o estratos, sobre la base de una o más características importantes. Después en cada estrato se toma por separado una muestra simple o sistemática.

Muestra agrupada. La población se divide en grupos o conglomerados, seleccionándose una muestra aleatoria de ellos. Suponemos que los grupos son representativos de la población.

Muestra representativa. La que contiene las características relevantes de la población, en la misma proporción de la que fue extraída ésta.


Tratamiento de datos y azar Variable estadística. Son todos los posibles valores que puede tomar una población, por ejemplo, el número de hermanos de cada uno de los integrantes del grupo.

Dato. Cada uno de los valores, medidas o magnitudes obtenidas.

Tipos de datos.

Numéricos. Son observaciones que se pueden establecer por medio de un número, por ejemplo, las edades de los alumnos de un grupo.

Categóricos. Son aquellas observaciones que tienen una característica, por ejemplo, las pinturas de autos, donde los datos son colores.

Experimento. Es una acción bien conocida que genera datos o resultados.

Representación gráfica de datos.Grafica de tallo y hojas.Es una modalidad relativamente simple de organización y representación de medidas en un formato de gráfica de barras y jerárquicamente ordenado, es un gráfico muy semejante al histograma.

Ejemplo. Realiza el gráfico de tallo y hojas de los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un examen.

58 88 65 96 8574 69 63 88 6585 91 81 80 9065 66 81 92 7182 98 86 100 8272 94 72 84 7376 78 78 77 7483 82 66 76 6362 62 59 87 97100 75 84 96 99

Tallo Hojas 5 8 96 2 2 3 3 5 5 5 6 6 97 1 2 2 3 4 4 5 6 6 7 8 88 0 1 1 2 2 2 3 4 4 5 5 6 7 8 89 0 1 2 4 6 6 7 8 9

10 0 0

Distribuciones de frecuencias.Agrupación de datos. Para que los datos sean útiles, debemos de organizar nuestras observaciones de manera que podamos observar tendencias y llegar a conclusiones. Los datos provienen de observaciones reales o documentos que se conservan para su uso diario.

Frecuencia. Número de veces que se repite un dato.

Distribución de frecuencias. Ordenación tabular de un conjunto de datos, agrupados en clases o “renglones”.

Clase. Número de datos que pertenecen a un intervalo.

Una aproximación razonable para determinar el número de clases o renglones, lo proporciona la regla de Sturges: o= 1 + 3.3 log N


Ing Jorge Hernández Sánchezno es el número de clases a calcular N el número de datos totales

La amplitud de cada clase se calcula:

A = valor máximo – valor mínimo o

Límites de clase. Son los valores mínimo y máximo que distinguen a los datos agrupados en ésta.

Intervalos de clase. Los diferentes estratos de agrupación de la población total, que tienen una característica determinada por un valor mínimo y un máximo.

Frecuencia relativa (fr). Frecuencia de cada clase dividida entre la frecuencia total (n).

Frecuencia acumulada. Frecuencia total o sumatoria de los valores anteriores a la clase estudiada.

Ojiva. Representación gráfica de la frecuencia acumulada contra las clases o intervalos de 0% a 100%.

El histograma es una representación gráfica hecha en un plano cartesiano, que consiste en una serie de rectángulos que se caracterizan por que sus bases caen en el eje horizontal x, estando referidos a las marcas de clase, y la altura de los rectángulos es igual a las frecuencias de clase en el eje vertical y.

El polígono de frecuencias es la gráfica que resulta de unir por un trazo continuo, a todas las marcas de clase. El histograma y polígono de

frecuencias del ejemplo propuesto anterior esta dado por:

Gráfica de pastel o pay. Consiste en representar los intervalos de clase regularmente en porcentajes y presentarlos como porción del círculo que representa el 100 de las observaciones o datos.

2.2 Calcula las medidas de tendencia central y

dispersión de un conjunto de datos, para establecer los valores representativos y de variación en una población.En una tabla de distribución de frecuencias hay una zona en donde los valores son más altos, es decir, hay magnitudes de las variables que se presentan más frecuentemente. Así surge el concepto de medidas de tendencia central, que

clase f fr fa30-39 5 11.11 11.1140-49 10 22.22 33.3350-59 20 44.44 77.7760-69 8 17.77 95.5470-79 2 4.44 100.00total 45 100


Tratamiento de datos y azar indican alrededor de qué valor se agrupa el mayor número de casos de estudio. Las mediadas de tendencia central son representativas de toda la población, las principales son: la media, la mediana y la moda.

1.2 Calcula y grafica las medidas de tendencia central y de dispersión de un conjunto de datos, mediante fórmulas estadísticas.Media X.Se le define como la suma de todos los datos entre el número total de ellos, es decir el valor promedio. Existen diversas formas de calcularla; su utilización depende del tipo de serie en que se presentan los datos: simple, de frecuencias y de clases y frecuencias.

a. Serie simple. Cuando los datos son pocos, pueden manejarse en una serie simple, por ejemplo: el promedio de las calificaciones obtenidas en un semestre de un estudiante, se puede calcular con la expresión:

x = ∑ x1 + x2 + x3 + ... + xn = ∑ xi

n nen donde:∑ significa sumax valores de cada característica o variablen número de datos o valores

b. Serie de frecuencias. Cuando el número de datos es relativamente grande, conviene transformar la serie simple en una serie de frecuencias, si los datos están muy repetidos, de la manera siguiente:

Variable conteo frecuencia 5 IIIII 5 utilizando la expresión6 IIIII I 6 x = f x , tenemos:7 IIIII IIIII 10 n8 IIIII II 79 IIIII 5

x f xf5 5 25 x = 232 = 7.036 6 36 337 10 708 7 569 5 45 33 232c. Serie de clases y frecuencias. La serie de clases y frecuencias pueden transformarse en una serie de clases y frecuencias, aplicándose a serie de números muy dispersos, aunque se corre el riesgo de que el resultado no sea tan preciso como el de los métodos anteriores.

Clase f utilizando la expresión:3-4 5 x = f P M 5-6 11 n 7-8 179-10 10 en donde P M = punto medio11-12 7 50


Ing Jorge Hernández SánchezEl punto medio se obtiene sumando los límites inferior y superior de la clase y dividiendo el resultado entre dos.

Clase f PM f PM3-4 5 3.5 17.55-6 11 5.5 60.5 x = 381 = 7.627-9 17 7.5 127.5 509-11 10 9.5 95.011-13 7 11.5 80.5 50 381.0Clase. Es el conjunto de los números reales que tienen una frontera superior y una inferior.

Al agrupar variables, se pierde inevitablemente parte de la información, las variables ya no se identifican al estar agrupadas en los intervalos y son inevitables pequeños errores estadísticos.

Mediana En el histograma de una distribución de frecuencias, la mediana es el valor en el eje horizontal x que corresponde a la vertical que divide al gráfico en dos partes de igual área. Este valor se escribe como x tildada.Para datos cuya frecuencia es la unidad, se emplea la siguiente regla para su cálculo: la mediana es valor central, si el número de datos es impar, y la media aritmética de los dos valores centrales si el número de datos es par.

Ejemplo. Encuentra la mediana del siguiente grupo de datos: 3, 3, 7, 11 y 19. La mediana es 7.Ejemplo 2. Para el conjunto de datos 3, 3, 7, 11, 19 y 22

Los valores centrales son 7 y 11 y la mediana es (7+ 11) / 2 = 9, la mediana es 9.Cuando los datos son agrupados en una tabla de frecuencias, la mediana esta dada por la siguiente expresión:

En donde Li es el límite de la clase medianaN el número de datos(f1) suma de frecuencias de todas las clases por debajo de la clase medianafmediana es la frecuencia de clase medianaA es el tamaño del intervalo Ejemplo: calcular la mediana de la siguiente

tabla de frecuenciasClase f solución127-135 5 n/2 = 35/2 = 17.5136-144 9 se busca por inspección, donde esta145-153 12 la frecuencia acumulada 17.5154-162 5 intervalo 145 – 153163-171 4

35Li = 144.5; (f1)= 5+9= 14; n= 35; fmediana = 12; c= 12

Mediana = 144.5 + 17.5 -14 9 = 147.125 12


Tratamiento de datos y azar Moda o Modo Mo.Se le define como la medida o valor que se repite con mayor frecuencia. En una serie simple o de frecuencias, el modo se obtiene observando el valor que aparece más veces.Ejemplo: encuentre la moda de las siguientes series.

Edad 8, 9, 10, 9, 7 moda = Mo = 9

Ejemplo:X 5 6 7 8 9F 2 5 9 6 3 Moda = Mo = 7

Ejemplo: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6Se tienen dos modas 4 y 5 y se considera una distribución bimodal.Cuando los datos se presentan en una serie de clases y frecuencias, se utiliza la expresión: Mo = L1 + 1 A, donde:L1 es el límite inferior de la clase modal (donde se encuentra la frecuencia más alta)frecuencia más alta menos la frecuencia anteriorfrecuencia más alta menos la frecuencia posteriorA tamaño del intervalo de la clase modal

Ejemplo: calcule la moda de los siguientes datos:Clase f L1= 6.5 3 – 4 5 1= 6 5 – 6 11 2= 7 7 – 8 17 clase modal A= 2 9 – 10 1011 – 12 7 50 Mo = 6.5 + 6 2 = 7.42 moda = 7.42 6 + 7Cuartiles. Si una serie de datos se colocan en orden de magnitud, el valor medio que divide al conjunto de datos en dos partes iguales es la mediana. Por extensión de esta idea, se puede pensar en aquellos valores que dividen a los datos en cuatro partes iguales, estos valores representados por Q1, Q2 y Q3 se llaman primero, segundo y tercer cuartil respectivamente, el valor de Q2 es igual a la mediana.

Clase f 50.00 – 59.99 8 se calculan como si fueran medianas 60.00 – 69.99 10 Q1= n / 4 70.00 – 79.99 16 80.00 – 89.99 14 Q2= 2n / 4 para encontrar la clase 90.00 – 99.99 10 mediana100.00 – 109.99 5 Q3= 3n / 4110.00 – 119.99 2

∑ = 65Q1= n / 4 = 65 / 4 = 16.25

16.25- 8 = 8.25


Ing Jorge Hernández SánchezQ1= 59.995 + 8.25 (10.00) = 68.25 10

Q2= 2n / 4 = 130 / 4 = 32.5 f1= 18 = f1 + f2

32.5 – 18 = 14.5

Q2= 69.995 + 14.5 ( 10.00) = 79.06 16Q3= 3n / 4 = 48.75

48.75 – 48 = 0.75

Q3= 89.995 + 0.75 ( 10.00) = 90.75 10

CLASE f Q1= n / 4 = 52 / 4 = 1331 – 35 536 – 40 12 13 – 5 = 841 – 45 1846 – 50 10 Q1= 35.5 + 8 (5) = 38.83 51 – 60 7 12Q2= 2n / 4 = 2 x 52 / 4 = 26

f1= f1 + f2 = 5 + 12 = 17

26 – 17 = 9

Q2= 40.5 + 9 ( 5) = 43 18Q3= 3n / 4 = 3 x 52 / 4 = 39

39 – 35 = 4

Q3= 45.5 + 4 ( 5) = 47.5 10Medidas de Variabilidad.Al grado en que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio, se le llama dispersión o variación de los datos.

Una población no tiene dispersión cuando, todos los datos tienen el mismo valor, así, por ejemplo, la población 3, 3, 3, 3, 3 tiene una media igual a 3 y la población no se dispersa de dicho valor. En cambio, la población 1, 3 ,3, 3, 5posee una cierta dispersión, ya que no todas las variables son iguales. La dispersión de datos se mide mediante la varianza, la desviación estándar, el coeficiente de variación y el rango.

Rango o Recorrido R.El rango o recorrido es la diferencia entre la variación máxima y la mínima en un grupo de datos. R = valor máximo – valor mínimo

R = Vmáx – Vmín Ejemplo: Para el conjunto de datos 1, 3, 3, 3, 5 el rango es R= 5 – 1 = 4El rango como medida de dispersión es deficiente puesto que sólo considera los valores extremos y no toma en cuenta los restantes.


Tratamiento de datos y azar Desviación Estándar (S).Entre las medidas de dispersión de mayor uso, está la desviación estándar. A través de ésta, se podrá determinar que tanto se desvía cada dato, en promedio, respecto a la media aritmética u otra medida de tendencia central. Al aumentar la desviación estándar el grado de dispersión de los datos será mayor y viceversa. La expresión matemática de la desviación estándar, es la siguiente:

Varianza S2.Se define como la suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos con

respecto a la media, dividida entre el número total de datos, o simplemente como el cuadrado de la desviación estándar.

Coeficiente de Variación (C V).Las medidas de dispersión que se han tratado anteriormente, son valores absolutos y no resultan adecuadas cuando se lleva a cabo una comparación entre dos o más distribuciones. Se obtiene dividiendo la desviación estándar entre la media aritmética.C V = S / xEsta medida es adimensional y generalmente está expresada en porcentaje. Un inconveniente de esta, es que deja de ser útil cuando la media está próxima a cero.

Simetría o sesgo.El sesgo es el grado de asimetría, o falta de esta de una distribución. Si la curva de frecuencias de una distribución tiene una “cola” más larga a la derecha del

máximo central que a la izquierda, se dice que la distribución está sesgada a la derecha o que tiene el sesgo positivo. Si es al contrario, se dice que está sesgada a la izquierda o que tiene sesgo negativo. En distribuciones sesgadas, la media tiende a situarse con respecto a la media al mismo lado que tiene la “cola” más larga.

Así una medida de la asimetría viene dado por el primero y segundo coeficientes de sesgo de Pearson.El coeficiente generalmente toma valores entre –3 y 3 y cuando una distribución es simétrica es cero.

Distribución simétrica Distribución con sesgo Distribución con sesgo en forma de campana positivo negativo


Ing Jorge Hernández SánchezUNIDAD II INTERPRETACIÓN DE EVENTOS ALEATORIOS.2.1 Calcula la probabilidad de eventos aplicando las técnicas de conteo fórmulas y leyes relacionadas.Conteo. Diagrama de árbol. Es la representación gráfica del método de conteo, y recibe este nombre debido a su apariencia de árbol. Ejemplo si se tienen dos camisas y dos pantalones, la manera de escoger las prendas es la siguiente:

camisa 1 con pantalón 1 existen 4 formas o arreglos camisa 1 con pantalón 2 para la combinación de la camisa 2 con pantalón 1 ropa. camisa 2 con pantalón 2

en forma de árbol se tiene:

Árbol ArreglosC1 P1 C1P1

P2 C1P2

C2 P1 C2P1 P2 C2P2

Regla del producto. Si en un experimento, un evento se puede realizar de n maneras y otro evento de m maneras, entonces los dos eventos pueden efectuarse de n x m maneras totales.

Del ejemplo anterior, se pueden escoger 2 camisas y 2 pantalones, entonces, el número de formas para escoger una camisa y un pantalón es 2 x 2 = 4 formas C1P1, C1P2, C2P1 Y C2P2.

En general, si hay n1 resultados del primer evento, n2 del segundo evento, n3 del tercero y nk del késimo evento, entonces hay: n1 x n2 x n3 x ... x nk posibles resultados del los k eventos.

Ejemplo: si se lanzan 3 dados al aire y se observan las caras superiores de éste, los posibles resultados del experimento serían: 6 x 6 x 6 = 216 arreglos. Comprobar por diagrama de árbol.Factorial (n!). Es el número de cambios de posición (permutación) de n objetos diferentes sin repetición.

Ejemplo. Se solicitan 3 jóvenes para repartir propaganda, si se tienen que cubrir 3 rutas diferentes. ¿De cuantas formas se pueden hacer los recorridos?

Respuesta. Se pueden trazar n! = n(n-1)(n-2)(n-3) ... 3 x 2 x 1 3! = 3 x 2 x 1 = 6 rutas, Comprobar por diagrama de árbol.Ejemplo. Se van a fabricar credenciales usando como folio vocal solamente, ¿cuántas credenciales se pueden hacer, si no se repiten letras?n! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 credenciales.

Permutaciones. Cuando se trata de hacer grupos más pequeños del grupo total se utiliza la siguiente expresión:El número de permutaciones de r objetos tomados de un

total de n objetos se designa como nPr.

Ejemplo. Del caso anterior si sólo se toman tres letras: 5P3= 5! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 2 = 60 credenciales (5 – 3)! 2!


Tratamiento de datos y azar Combinaciones. Si el orden no es importante en los arreglos, esto es, si eliminamos los arreglos repetidos, aunque tengan diferentes posiciones los elementos, entonces se llaman combinaciones.

La combinación es una permutación en la que se eliminan los arreglos repetidos. Las combinaciones numeradas de n objetos tomando r a la vez son:

Ejemplo. Se tienen 3 personas de las cuales se seleccionaran 2 para realizar una actividad ¡ de cuantas formas podemos seleccionar a

las 2 personas?Antonio ABenito BCarlos C

Los arreglos son: AB BA CA AC BC CB, ya que hay arreglos repetidos como: AB=BA, AC=CA y CB=BC (ya que por ejemplo Antonio y Benito y Benito y Antonio es el mismo equipo), aplicando la expresión.

3C2 = 3! = 3 x 2 x 1 = 3 arreglos diferentes 2!(3 – 2)! 2 x 1 x 1 Experimento. Es una acción bien conocida que genera datos o resultados.

Propiedades: Cada experimento tiene varios resultados posibles Los resultados tienen igual oportunidad de ocurrencia (aleatorios)

Definición de probabilidad. En sentido ordinario, la palabra probabilidad implica la certeza o posibilidad relativa con que se espera la ocurrencia de un evento.

Si un experimento se repite n veces en condiciones idénticas, entonces la probabilidad P de un evento E [se escribe P(E) y se leerá P de E], es el cociente que resulta de dividir el número de veces que acontece un evento favorable o buscado F, entre el número total de experimentos o intentos n.

P(E) = número de eventos favorables del suceso E = F número total de sucesos (favorable y no favorables) n

P(E) = # de eventos favorables o esperados = F # de eventos totales nEjemplo. Calcular cual es la probabilidad que al lanzar un dado al aire y posteriormente su cara superior sea un 6.

F es el número de eventos favorables, sólo una cara tiene seis puntos por lo que F = 1. los dados tienen 6 caras y este es el número total de eventos totales o posibles, entonces n = 6.

P(un seis) = 1 / 6 una de seis posibilidadesCabe hacer notar que la probabilidad es un número entre 0 y 1, relacionado con el evento especificado. Una probabilidad de 1 o cercano a este, indica una máxima certeza en la ocurrencia del evento, si el valor va disminuyendo, también la probabilidad de que ocurra disminuye, si esta es 0 se considera una probabilidad imposible.

Ley de los grandes números.Esta nos dice que: si una situación se continúa repitiendo, la proporción de veces que ocurre un evento se acerca a la probabilidad del evento.


Ing Jorge Hernández SánchezEjercicios de técnicas de conteo.Ejercicio No 1. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en una mesa en una reunión de siete personas?

Ejercicio No 2. ¿De cuántas maneras pueden escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

Ejercicio No 3. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger tiene?

Ejercicio No 4. ¿Cuántas maneras, si las tres primeras son obligatorias?

Ejercicio No 5. Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden bajar en un tobogán.

Ejercicio No 6. Hallar el número de maneras en que se pueden colocar en un estante 5 libros grandes, 4 medianos y 3 pequeños de modo que los libros de igual tamaño estén juntos.

Ejercicio No 7. Se tienen 3 técnicos que tienen que realizar 2 trabajos de reparación. ¿De cuántas formas podemos seleccionar a las 2 personas?

Ejercicio No 8. Se solicitan 4 demostradores por tienda, si se tienen que cubrir 4 tiendas diferentes. ¿De cuantas formas se pueden hacer los recorridos?

Ejercicio No 9. Si se lanzan 4 dados y 2 monedas al aire y se observan las caras superiores de éste, cuántos serían los posibles resultados del experimento.

Ejercicio No 10. Se van a fabricar credenciales usando como folio 4 vocales solamente, ¿cuántas credenciales se pueden hacer, si no se repiten letras?

Ejercicio No 11. Del caso anterior si sólo se toman tres vocales. Cuál es el nuevo número de arreglos. Ejercicio No 12. Desarrolla las posibilidades de un juego de volados entre un merenguero y un estudiante, si el estudiante tiene $1 y el merenguero tiene 3 merengues.


Tratamiento de datos y azar Solución a los ejercicios.Ejercicio No 1. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en una mesa en una reunión de siete personas?

En fila nt = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! En una mesa redonda la primer persona se puede sentar en cualquier punto, las otras seis en 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6!.En círculo entonces pueden distribuirse de (n – 1)! maneras.

Ejercicio No 2. ¿De cuántas maneras pueden escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

7P3= 7! = 7! = 35 3!(7 – 3)! 3! x 4!

5P2= 5! = 5! = 10 2!(5 – 2)! 2! x 3!

nt= 35 x 10 = 350 comités Ejercicio No 3. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger tiene? nt = 10C8 = 45 arreglos10C8 = 10! = 45 arreglos 8!(10 – 8)!

Ejercicio No 4. ¿Cuántas maneras, si las tres primeras son obligatorias?nt = 7x6 / 1x2 = 21 maneras

Ejercicio No 5. Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden bajar en un tobogán. nt = 6! = 720 maneras repetidas (con orden)

Ejercicio No 6. Hallar el número de maneras en que se pueden colocar en un estante 5 libros grandes, 4 medianos y 3 pequeños de modo que los libros de igual tamaño estén juntos. nt = 5! x 4! x 3! x 3! = 103680 formas

Ejercicio No 7. Se tienen 3 técnicos que tienen que realizar 2 trabajos de reparación. ¿De cuántas formas podemos seleccionar a las 2 personas?

3C2 = 3! = 3 x 2 x 1 = 3 arreglos diferentes 2!(3 – 2)! 2 x 1 x 1 Ejercicio No 8. Se solicitan 4 demostradores por tienda, si se tienen que cubrir 4 tiendas diferentes. ¿De cuantas formas se pueden hacer los recorridos?

n! = n(n-1)(n-2)(n-3) ... 3 x 2 x 1 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 arreglos Comprobar por diagrama de árbol.Ejercicio No 9. Si se lanzan 4 dados y 2 monedas al aire y se observan las caras superiores de éste, cuántos serían los posibles resultados del experimento.

n! = 6x6x6x6x2x2 = 5184 arreglos.

Ejercicio No 10. Se van a fabricar credenciales usando como folio 4 vocales solamente, ¿cuántas credenciales se pueden hacer, si no se repiten letras?n! = 5 x 4 x 3 x 2 = 120 credenciales.

Ejercicio No 11. Del caso anterior si sólo se toman tres vocales. Cuál es el nuevo número de arreglos. 4P3= 4! = 24 credenciales (4 – 3)!


Ing Jorge Hernández SánchezEjercicio No 12. Desarrolla las posibilidades de un juego de volados entre un merenguero y un estudiante, si el estudiante tiene $1 y el merenguero tiene 3 merengues.

3.2 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria conforme su función de densidad.Espacio Muestral. Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. A cada elemento de dicho conjunto se le denomina punto muestral.Así el espacio muestral correspondiente al lanzar un dado es:S = 1, 2, 3, 4, 5 y 6

Para la selección de un tornillo S = defectuoso, no defectuoso

Evento o suceso. Es el conjunto de uno o más puntos muestra. Se representa mediante una letra mayúscula.

E = conjunto de resultados = subconjunto del espacio muestra

Ejemplo. En el lanzamiento de un dado, el evento es la cara vuelta arriba que sea un número par.

S = 1, 2, 3, 4, 5 y 6 E = 2, 4, y 6

Operaciones con conjuntos.Al igual que ocurre con los números, dos conjuntos pueden dar lugar a un tercero, que se formará mediante una regla a partir de los conjuntos originales, las principales operaciones son:

Intersección Unión Diferencia

Intersección. A B = {xx A x B}

Se lee: la intersección de A y B está formado por los elementos que pertenecen a A y B (simultáneamente).

Ejemplo.A = { 2, 5, 6, 7, 8} y B = { 1, 2, 3, 4, 5}, entonces: A B = {2 y 5}

Unión.A B = {xx A V x B}

Se lee: la unión de A y B está formado por los elementos que pertenecen a A o a B (y, simultáneamente, también a los que pertenecen a ambos conjuntos).Ejemplo:A = { 2, 5, 6, 7, 8} y B = { 1, 2, 3, 4, 5}, entonces: AB = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Diferencia.Elimina los elementos repetidos del primer conjunto y se escribe A – B

Ejemplo: A = { 2, 5, 6, 7, 8} y B = { 1, 2, 3, 4, 5}, entonces: A – B = {6, 7 y 8}

Reglas básicas de probabilidad. Las probabilidades son números reales entre 0 y 1 La probabilidad total (segura) de que ocurra un evento es 1 y la

probabilidad de un evento imposible es 0.


Tratamiento de datos y azar Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces

P(AUB)= P(A) + P(B) La probabilidad P de un evento negado es P(Ac) = 1 – P(A)

Reglas para el cálculo de probabilidades.Eventos independientes. Dos o más eventos se consideran independientes entre sí, si el resultado de uno no afecta en ninguna forma el resultado del otro. Así, A y B son sucesos independientes, cuando la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia del evento B y viceversa.

La probabilidad de ocurrencia de A y B se escribirá como: P (A y B) = P(A) x P(B)

Ejemplo: una bolsa contiene 5 fichas blancas y 3 negras; se extrae una ficha de la bolsa al azar y después se remplaza, si se saca otra ficha, encuentra la probabilidad de que las fichas extraídas sean blancas.

El primer evento no tiene efecto sobre el segundo, debido a que la ficha se remplaza; por lo que son independientes.

A= suceso de obtener una ficha blanca en el primer caso.B= suceso de obtener una ficha blanca en el segundo caso.

Hay ocho fichas blancas de ocho totales, entonces:

P(A y B) = P(A) x P(B) = 5/8 x 5/8 = 25/64Eventos dependientes. Dos o más eventos se consideran dependientes entre sí, si el resultado de uno afecta al del otro. Así, A y B son sucesos dependientes o condicionales, cuando la ocurrencia de A afecta la ocurrencia de B. La probabilidad de que ocurra B depende de A, y así la probabilidad condicional de B será P(B/A) y se lee: la probabilidad de B dado que ocurra A, es: P (B) = P (A) x P (B/A)Ejemplo: del caso anterior, si la ficha no es regresada a la bolsa antes de sacar la segunda ficha, la probabilidad de ocurrencia de los dos eventos será: P(A) = 5/8 y P (B/A) = 4/7 dado que la primera fue blanca y no se regresó, por lo que solo quedan 7 blancas en la bolsa

P (A y B) = (5/8) (4/7) = 20 / 56 = 5 / 14

Eventos mutuamente excluyentes. Son dos o más eventos que no pueden ocurrir al mismo simultáneamente, es decir, la ocurrencia de uno excluye completamente la posibilidad de ocurrencia de los otros eventos. Entonces la ocurrencia de un evento A o el evento B se escribe:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Donde P(A) es la probabilidad de ocurrencia de A y P(B) es la probabilidad de ocurrencia de B.

Ejemplo: al lanzar un dado, no pueden estar al mismo tiempo en la cara superior un 1 y un 2; de este modo, el evento A (extraer un 1) y el evento B (extraer un 2) son mutuamente excluyentes; además:

P (A) = 1 / 6 y P (B) = 1 / 6

Por lo tanto, si se lanza una moneda, la probabilidad de que caigan dos 1, queda definida: P (A o B) = P (A) + P (B) = 1/6 + 1/6 = 2 / 6


Ing Jorge Hernández SánchezEventos no excluyentes. Si A y B son eventos no excluyentes, la probabilidad de ocurrencia del evento A o el evento B es:P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Ejemplo: En el departamento de mantenimiento se tienen 12 técnicos, 5 electricistas y 4 mecánicos, y 6 conocen las dos áreas y se incluyeron en los conteos anteriores. ¿Cual es la probabilidad de que un técnico seleccionado al azar sea técnico electricista o mecánico?P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A B)P(A) = 5/12; P(B) = 4/12; P(AB) = 6/12P(A o B) = 5/12 + 4/12 – 6/12

= 9/12 – 6/12 = 3/12

P(A o B) = 3/12 = 1/4

Regla del la multiplicación.Si en un experimento, un evento tiene la probabilidad n y otro evento tiene la probabilidad de ocurrencia de m, entonces la probabilidad de ocurrencia de los dos eventos se obtiene por n x m.

Ejemplo: se tira un dado y una moneda al mismo tiempo, cual es la probabilidad de que “caigan” un sol y un 4

P (sol) = ½ y P (de un cuatro) = 1/6

P (sol y cuatro) = ½ x 1/6 = 1/12

Teorema de Bayes.Frecuentemente, tratamos de encontrar la probabilidad condicional de un suceso A, dado que un suceso B ha ocurrido en un momento anterior. Por ejemplo, podría interesarnos la probabilidad de que llueva mañana, dado que ha llovido durante los siete días anteriores.

Ejemplo: tres máquinas A, B y C producen 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de esas máquinas son: 3%, 4% y 5%. Si se selecciona al azar un artículo, hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso y que fue producido por la máquina A.

P(A) P(XA)P(AX) = P(A) P(XA) + P(B) P(XB) + P(C) P(XC)

(0.50)(0.03)P(AX) = (0.50)(0.03) + (0.30)(0.04) + (0.20)(0.05)P(AX) = 15 / 37

Esperanza matemática E(X).Definición. La media, valor esperado o esperanza matemática de x, se denota por E(x) o , se define como:

E(x) = x1 (x1) + x2 (x2) + . . . + xn (xn) = xi (xi)


Tratamiento de datos y azar Ejemplo. Se realizará una rifa que consta de 100 boletos a $20 cada uno, el premio es de $1500. Si se compran 2 boletos ¿cuál es la ganancia esperada?

Solución: La ganancia puede tomar uno dedos valores. O bien pierde $40 (su ganancia es de – $40) o gana $1460, con probabilidades 98/100 y 2/100, respectivamente. La distribución de probabilidad para la ganancia es la siguiente:

x1 (x1) La ganancia esperada es – 40 98/100 E(x) = (– 40)(98/100) + (1460)(2/100) 1460 2/100 E(x) = – 39.2 + 29.2 = – 10 Problemas propuestos.

1. Una señora vende calaveritas de azúcar, por la noche gana $70 con probabilidad de 0.6 y en el día $30 con probabilidad de o.4. ¿Cuál es su Esperanza matemática?

2. Encuentra la Esperanza matemática de la siguiente distribución:

X -18 -35 40 25P(x) 1/7 ¾ 2/6 3/143. Si se compra un boleto de rifa con premio mayor de $50,000 o un segundo premio de $20,000 con probabilidades de 0.001 y 0.004 respectivamente, ¿cuál sería el precio justo que se debería pagar por el boleto?

4. Se tiene una bolsa con dulces: 15 con picante y 25 agridulces, si se extraen dos al azar, ¿cuál es la probabilidad que ambos sean picantes?

5. Si Mari tiene 4 pantalones, 3 blusas y 5 pares de zapatos combinables, ¿de cuantas maneras diferentes de puede vestir?

6. En una fiesta hay 7 mujeres y 6 hombres, si se hacen parejas mujer-hombre para bailar, ¿cuántas parejas se pueden formar?

7. En un restaurante hay 4 platos fuertes, 2 sopas y 5 postres diferentes, ¿de cuántas formas se puede pedir un menú que consiste en plato fuerte, sopa y postre?

8. Se pintará la fachada de una casa utilizando dos colores básicos, si se tiene preferencia por 5 colores diferentes, ¿cuántos arreglos de colores se tienen para realizar esta actividad?

9. En una urna de sorteo se tienen los siguientes premios: 7 planchas, 4 televisores, 3 DVD, 2refrigeradores. Si se realiza la primera rifa, ¿cuál es la probabilidad que el premio sea una plancha o un DVD?

10. Rebeca tiene que dar una información por teléfono a Pedro, José, Ricardo y Felipe aunque no precisamente en ese orden, ¿de cuántas maneras puede hacer las llamadas?


Ing Jorge Hernández Sánchez2.2 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria conforme su distribución de probabilidad discreta.

Distribuciones de probabilidad.Variables aleatorias: discretas y continuas. Variables Aleatorias. Se definen como una función que asigna un valor a cada resultado de la lista compuesta por resultados mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos de un experimento.

En otras palabras: característica o fenómeno al cual se le pueden asignar números o atributos.

Las variables son discretas si el número total de valores que pueden tomar es finito (contable). En caso contrario son continuas (infinitas o no contables).

Una variable aleatoria es una función cuyo valor es un número real determinado por cada elemento del espacio muestra del experimento estadístico, se usan letras mayúsculas como la X, Y o Z, para representar una variable aleatoria, y la letra minúscula correspondiente, es decir, x, y o z, representa cada uno de sus valores.

Funciones de probabilidad discretas.Cuando se estudiaron la media, la desviación estándar y la varianza, las fórmulas y ejemplos que se emplearon estaban asociados con distribuciones empíricas. Existen medidas similares para las distribuciones de probabilidad teóricas. Los valores X, S y S2 son estadísticos calculados a partir de los datos de la muestra. Los valores , y 2, que representan propiedades similares de distribuciones de probabilidad teórica, son constantes.

Distribuciones Empíricas Distribuciones TeóricasX media mu S desviación estándar sigmaS2 varianza 2 sigma al cuadrado

Las expresiones básicas son:

= E(x) = x (x) caso discreto = E(x) = x (x) dx caso continuo = V(x) = x2 (x) - 2 caso discreto2 = V(x) = x2 (x) dx - 2 caso discreto


Tratamiento de datos y azar Construcción de una distribución de probabilidad.Para construir una distribución de probabilidad completa, nos podemos valer de los diagramas de árbol, para visualizar todo el espacio muestra.

Ejemplo. Para el lanzamiento de un dado, su distribución es:

x 1 2 3 4 5 6f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 ∑= 6/6 = 1Ejemplo. Si se tienen tres fichas numeradas del 1 al 3, depositadas en una urna, y se seleccionan 2 fichas con reemplazo, su distribución de probabilidades se construye:

Diagrama de árbol arreglos Distribución de probabilidades x f(x)

1 1 + 1 = 2 suma de puntos 1 2 1 + 2 = 3 2 1/9

3 1 + 3 = 4 3 2/9 4 3/9

1 2 + 1 = 3 5 2/92 2 2 + 2 = 4 6 1/9

3 2 + 3 = 5 ∑=9/9 = 1

1 3 + 1 = 43 2 3 + 2 = 5

3 3 + 3 = 6

Ejemplo. En una producción se tienen 10 piezas, de las cuales 2 son defectuosas, si se seleccionan dos piezas al azar. Construye la distribución de frecuencias.

Piezas defectuosas x D 0.2 X 0.2 = 0.04 x f(x)

0.2 D 0 0.64

0.2 0.8 1 0.32 N 0.2 X 0.8 = 0.16 2 0.04

D 0.8 X 0.2 = 0.16 ∑ = 1.00

0.8 0.2N 0.8 N 0.8 X 0.8 = 0.64

∑ = 1.00 Distribución Binomial.Para presentar esta distribución utilizaremos el caso siguiente: en una bolsa se tienen 3 fichas, 1 blanca y 2 negras, el experimento consiste en seleccionar dos fichas con reemplazo, cual es la probabilidad que en las dos extracciones una ficha sea la blanca. Definiremos entonces que un éxito es extraer una ficha blanca y la probabilidad asociada es ⅓. Este proceso de selección lo observaremos con el diagrama de árbol.


Ing Jorge Hernández SánchezCaracterísticas de la Distribución Binomial.

El experimento consiste en una serie de ensayos.

Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles: éxito y fracaso.

La probabilidad de éxito es exactamente la misma en cada ensayo.

Todos los ensayos sucesivos son independientes.

La probabilidad P(x) de obtener exactamente x éxitos en n ensayos es:

Donde : x es el número de éxitos n el numero de ensayosp probabilidad de éxito1 – p = q probabilidad de fracasodel ejemplo anterior: x = 1; n = 2; p = 1 / 3; 1 – p = 2 / 3, sustituyendo tenemos:

2! P(x= 1) = (1 / 3)1 (2 /3)2–1 = 2 (1 / 3)(2 /3) = 4 / 9 1! (2 – 1)! Ejemplo. El 10% de semiconductores de un lote son defectuosos, determina la probabilidad de que en 6 elementos escogidos al azar, 2 sean defectuosos.

Éxito = defectuoso; x = 2; n = 6; p = 10% = 0.1; 1 – p = 1 – 0. 1 = 0.9 n! P(x) = px (1 – p)n– x x! (n – x)!

6! P(x= 2) = (0.10)2 (0.90)6–2

2! (6 – 2)!

720 P(x= 2) = (0.01)(0.6561) = 0.0984 (2)(24)Propiedades de la distribución binomial.

Media = npVarianza 2 = np(1 – p)Desviación estándar = √np(1 – p)Ejemplo. En 100 lanzamientos de una moneda, el número de águilas es: = np = 100(1/2) = 50 y = √np(1 – p) = √100(1/2)(1/2) = 5Probabilidad Hipergeométrica.


Tratamiento de datos y azar Cuando el muestreo se realiza sin reemplazo de cada elemento muestreado tomado de una población finita de elementos, no se aplica el proceso de Bernoulli, porque cuando se eliminan elementos de la población existe un cambio sistemático en la probabilidad de éxito.

Conociendo que x es el número de éxitos, N el número total de elementos de la población, T el número total de éxitos incluidos en la población y n el número de elementos en la muestra, la expresión se expresa:

N – T Tn – x x

P(x│N, T, n) = N nEjemplo. De seis empleados, tres han permanecido en la compañía por cinco o más años. Si se eligen a cuatro empleados al azar de este grupo, la probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan una antigüedad de cinco años a más es:

6–3 3 3 2 3! 3! 4–2 2 3 2 2! 1! 2! 1! (3)(3)

P(x=2│N=6, T=3, n=4) = = = = = 0.60 6 6 6! 15 4 4 4! 2!Propiedades de la distribución hipergeométrica.

Media = n (T / N)Varianza 2 = N – n ( n ) (T/N) ( 1 - T/N) N – 1 Desviación estándar = √ varianza


Ing Jorge Hernández SánchezEjercicios

1. Determinar que un beisbolista batee 4 home runs en sus 6 oportunidades siguientes; dado que en sus últimas 150 bateó 30 home runs.

2. En el último lote de 100 piezas producidas por una máquina, 10 son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que esa máquina produzca menos de 3 piezas defectuosas en las próximas 20?

3. En un campeonato de bolos un equipo ha ganado 15 de sus últimos 20 juegos. Con esta información, ¿cuál es la probabilidad de que este equipo gane:

a. 4 ó menos de los 10 que le faltan.b. Exactamente 4 de los 10 que le faltan.c. Más de 8 de los 10 que le faltan.

4. Un estudiante ha reprobado en 5 de sus 15 pruebas parciales. ¿cuál es la probabilidad de que en las próximas 10:

a. No repruebe ningunab. Repruebe 1 ó menos.

5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 águilas o menos en el lanzamiento de 7 monedas?

6. Un jugador de básquetbol tiene un promedio de encestes de 0.9800 en tiros libres. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte 7 veces en los próximos 9 tiros?

7. Un agente de bienes raíces ha vendido 3 casas exactamente a 3 de sus últimos 100 clientes. Con base en esta información, ¿cuál es la probabilidad de que venda por lo menos dos casas en sus próximos 50 clientes?

8. Una prueba escolar consta de 10 aseveraciones a las que se debe contestar con “falso” o “verdadero”. Desconociendo las respuestas correctas, ¿cuál es la probabilidad de acertar 6 ó más respuestas?

9. Se sabe que un tratamiento médico es efectivo para el 90% de los casos. ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 10 pacientes, 2 de ellos no responsan al tratamiento?

10. La cuarta parte de los alumnos del último año de una carrera profesional tienen licencia para conducir automóvil, ¿cuál es la probabilidad que en 6 alumnos elegidos al azar, por lo menos 2 tengan licencia de conducir?

Distribución de Poisson Los cálculos que involucran al binomio, son a menudo laboriosos, sobre todo si n es grande; de aquí que sea muy útil una aproximación a cualquier término del binomio, a esta aproximación llamada “límite del binomio exponencial de Poisson”, se le conoce como Distribución de Poisson y se define matemáticamente como:

(np)x P(x) = e- np x!en donde:x es el numero de éxitos en la muestran el tamaño de la muestrap la probabilidad de éxitoe es la base de los números naturales (2.71828)


Tratamiento de datos y azar Ejemplo. Se tiene un recipiente con 13 piezas A y 7 piezas B si se extraen 7 piezas al azar. Cual es la probabilidad que en la muestra aparezcan 3 piezas A.

Binomial éxito = Piezas An = 4x = 3p = 13 / 20 = 0.65 1 – p = 0.35 4! P(x= 3) = (0.65)3 (0.35)4–3 = 4(0.274625)(0.35) = 0.384475 3! (4 – 3)!Poisson np = 4 x 0.65 = 2.6

(2.6)3 17.576P(x= 3) = e- 2.6 = (0.0742) = 0.2175 3! 6Por tablas de distribución de PoissonPara = np = 4(0.65) = 2.6x = 3 P(x=3) = 0.736 – 0.518 = 0.218

Ejemplo. Se está investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos del departamento de tránsito indican una media de cinco accidentes por mes. El número de accidentes está repartido conforme una distribución binomial, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de ocurrencia de exactamente 0, 1, 2, 3 y 4 accidentes en un mes determinado.

(5)0 1P(x= 0) = e- 5 = (0.00674) = 0.00674 0! 1buscando en tablas para = 5 , P(x=0) = 0.00674

Medidas de tendencia central de una distribución de probabilidad.Cuando se estudiaron la media, la desviación estándar y la varianza, las fórmulas y ejemplos que se emplearon estaban asociados con distribuciones empíricas. Existen medidas similares para las distribuciones de probabilidad teóricas. Los valores X, S y S2 son estadísticos calculados a partir de los datos de la muestra. Los valores , y 2, que representan propiedades similares de distribuciones de probabilidad teórica, son constantes.

Distribuciones Empíricas Distribuciones TeóricasX media mu S desviación estándar sigmaS2 varianza 2 sigma al cuadrado

Las expresiones básicas son: = E(x) = x (x) caso discreto = E(x) = x (x) dx caso continuo = V(x) = x2 (x) - 2 caso discreto


Ing Jorge Hernández Sánchez2 = V(x) = x2 (x) dx - 2 caso discreto

2.3 Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria conforme su distribución de probabilidad continua

La distribución Normal.En el caso de variables aleatorias continuas, su distribución de probabilidad se puede describir mediante una distribución continua llamada distribución normal o gaussiana. El hecho sobresaliente de esta distribución consiste en asignar un valor a una variable aleatoria con respecto a un grupo de referencia, a fin de comparar la posición del valor de la variable con respecto a dicho referencial. La distribución normal se constituye a partir de las siguientes características:

a. el comportamiento de una variable aleatoria continua se establece en relación con el valor de referencia, que generalmente se toma como el valor promedio del conjunto de variables aleatorias.

b. La desviación de la variable aleatoria con respecto al valor promedio se toma con referencia a la desviación estándar.

La medida de la diferencia Z de la variable aleatoria x con respecto a la media, y en función de la desviación estándar es:

Es decir, Z es el número de desviaciones con respecto a la media, en que se encuentra el valor x de la variable aleatoria. La forma de la distribución normal, así definida tiene forma de campana. Se caracteriza por ser simétrica alrededor de .En aplicaciones de estadística, la distribución normal es importante a causa de que las probabilidades normales pueden utilizarse para aproximar otras distribuciones de probabilidad, como la binomial.

Esta distribución está dada por la siguiente ecuación:

Propiedades de la distribución normal.Media varianza

desviación estándarcoeficiente de sesgo

desviación media 20.7979

Limites Área bajo la curva x ± 0.6745 50.00%x ± 68.26%x ± 2 95.46%x ± 3 99.73%

para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento x, empleando la distribución normal, procedemos según los siguientes pasos:


Tratamiento de datos y azar 1. Se determina el valor promedio ()y la desviación estándar() de un

grupo de variables aleatorias.2. la distribución normal es una gráfica en la que el eje horizontal

representa los valores de la variable aleatoria, en tanto que el eje vertical representa la probabilidad asignada a cada valor de la variable aleatoria; el valor de dicha probabilidad varia entre 0 y 1. de este modo, la

probabilidad de ocurrencia del evento x con respecto al valor de la media, es proporcional al área bajo la curva, cuya base está entre x y , como se muestra en la siguiente gráfica.

El área bajo la curva es igual a 1, y de acuerdo a las tablas utilizadas, el área sombreada será proporcional a la probabilidad de ocurrencia del evento x.

Ejemplo. Se producen artículos cuyo peso promedio es de 175 Kg. con una desviación estándar de 23 Kg.

Calcule la probabilidad de que el producto pese:

a. de 150 a 180 Kg.b. Más de 180 Kg.c. Menos de 130 Kg.

Datos 175 Kg. = 23 Kg.P(150 < x < 180)

Z1 = (150 – 175) / 23 = –1.08

Z2 = (180 – 175) / 23 = 0.2173

Cálculo del área BB = D(Z) / 2 para Z = -1.08

B = 0.7199 / 2 = 0.35995

Cálculo del área C

C = D(Z) / 2 para Z = 0.21

C = 0.1663 / 2 = 0.08315

P(150 < x < 180) = 0.35995 + 0.08315 = 0.4431

Solución al inciso b. Z = (180 – 175) / 23 = 0.2173

P(x > 180) = (-Z) = 0.4168Para Z = 0.21

Solución del inciso c.Z = (130 – 175) / 23 = - 1.956


Ing Jorge Hernández SánchezP(x < 130) = (-Z) = -1.95 Para Z = -1.95P(x < 130) = 0.0256

Bibliografía Básica: INITE Probabilidad y Estadística. Ediciones Instituto Internacional de Investigación de Tecnología Educativa S. C., Edición México, 2010.

Murray Spiegel. Probabilidad y Estadística. Tercera Edición, México, Mcgraw-Hill Interamericana, 2010.

Wealpole, M. Probabilidad y Estadística para Ingeniería, Octava edición, México, Prentice hall hispanoamericana, 2007.

Complementaria: Gamiz Casarrubias, Beatriz E. Gamiz Casarrubias, Oscar T. Probabilidad y Estadística con Prácticas en Excel. Segunda edición, México,Justin time press, S.A. de C.V., 2008.

Jonshon, Robert. Kuby, Patricia. Estadística elemental. Décima edición, México, Cengage learning editores S.A de C.V., 2008.

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