aritmetica

1.- Recordando lo bsico. 2.- Sistema de Numeracin. 3.- Nmeros Primos y Compuestos. 4.- Divisibilidad. 5.- Mximo comn divisor y mnimo comn Mltiplo. 6.- Operaciones en Z. 7.- Potenciacin y Radicacin 8.- Nmeros Racionales. 9.- Operaciones en Q. 10.- Nmero decimal. 11.-Fraccion Generatriz. 12.-Nmeros Irracionales y Reales. 13.-Valor absoluto. 14.- Razones. 15.- Proporciones.

DESCOMPOSICIN POLINMICA DE UN NUMERAL 4675 = 4000 + 600 + 70 + 5 = 4 x 103 + 6x102 + 7x 10 + 5 3427 = 3000 + 400 + 20 + 7 =3x103 + 4x102 + 2x10 + 7

FACTORIZACIN O DESCOMPOSICIN DE UN NMERO

Descomponer en factores:

a) 240 240 2 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1

240 = 24 x 3 x 5

POTENCIACIN

Propiedades: a b 0 Ejemplo Aplicativo

1) nmnm aaxa 1) 243333x3 53232

2) nm

n

m

aa

a 2) 4222

2 2131

3

3) n

n

a

1a 3)

3

13 1

4) nxmnm aa 4) 64222 62323 .

5) nnn bxaab 5) 363x23x2 222

6) n

an

b

a

b

a

6)

64

27

4

3

4

33

33

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuacin es una relacin de igualdad que establece entre 2 expresiones algebraicas que tienen como mnimo una variable.

Recordando lo bsico

b) 140

140 2 70 2 35 5 7 7 1

140 = 22 x 5 x 7

OBSERVA:

Qu fcil

es

aprender!

Los orgenes empricos de la

matemtica egipcia la

despojaron de las fantasias

de la magia. La rigurosa

experiencia como fuente de la

Aritmtica puede

comprobarse en el

documento matemtico ms

antiguo que se posee: el

papiro descubierto por Rhind

en el siglo XIX, que el escriba

Ahmes (Ahmes (A h mose) copi en 1650 A.C., de una

obra anterior. Este papiro,

llamado de Rhind o Ahmes,

figura en el Museo Britnico.

Thales era un hombre

esencialmente prctico:

comerciante, hbil en

ingeniera, astrnomo,

gemetra, estadista. Se le

incluye por tradicin entre

los Siete Sabios.

Como lo que ahora

llamaramos ingeniero,

estuvo dirigiendo obras

hidrulicas y se dice que

desvi el curso del ro Halis

mediante la construccin de

diques.

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Calcular: A = - 25 17 5 (6 7) - 3 (- 5) B = -15 + 19 6 (8 7) 2 (-3)

Hallar: A x B 2. Si:

M = 4 15 + 19 2 (16 23) N = -19 35 3 (5 7) ( - 8)

Hallar: M x N 3. Descomponer 420 en:

I. El producto de 2 factores Z+ consecutivos:

......................................................................

II. El producto de 4 factores Z+ consecutivos.

......................................................................

III.El producto de 5 factores Z+ consecutivos.

......................................................................

IV.El producto de 7 factores Z+ consecutivos.

...................................................................... 4. Descomponer 1260 en:

I. El producto de 2 factores Z+ consecutivos.

......................................................................

II. El producto de 6 factores Z+

......................................................................

III. El producto de 7 factores Z+

......................................................................

IV. El producto de 10 factores Z+

...................................................................... 5. Si:

356x8M 323

4332x2N 2323 Hallar: M N 6. Si:

333 5264125A

223 2x33x121144B Hallar: A + B 7. Colocar verdadero (V) o falso (F), segn

corresponda:

004 162I . ( )

002

93II . ( )

40503 22x2III . ( )

8. Hallar un nmero cuyo cuadrado, disminuido

en 119 es igual a 25. 9. Si n entero positivo, adems n(n+2)=80,

hallar n. 10. De lo anterior, hallar n.

Si n(n + 1) = 210 11. Si se sabe que la suma de 3 nmeros enteros

consecutivos es igual a 30, hallar el nmero mayor:

12. Una persona tiene S/.2000 y otra S/.7500

cada una ahorra anualmente S/.5000, dentro de cuntos aos la fortuna de la primera ser el doble de la segunda?

13. Se compra cierto nmero de relojes por

S/.5625, sabiendo que el nmero de relojes comprados es igual al precio de unos relojes en soles, Cuntos relojes se han comprado?

14. Si la suma de 2 nmeros es 38 y

su diferencia 12, hallar el nmero menor. 15. Cul es la edad actual de un padre que

duplica la edad de su hijo y hace 24 aos su edad era 10 veces que la edad de su hijo?

16. La suma de los cuadrados de 2 nmeros es

125. Si uno de ellos es el doble del otro, hallar el nmero menor.

17. Cul es el nmero cuyo cuadrado

aumentado en 30 es igual 430?

(1616 1716) Lingista, filsofo y

matemtico alemn en 1698

propuso utilizar: (.) El punto

como signo de multiplicar.

(, ) La coma para separar la

parte entera de la decimal.

Nmero: Ente matemtico nos permite cuantificar

los elementos de la naturaleza Numeral: Es la representacin de un nmero

mediante smbolos o guarismos. 5, CINCO, V, ....... Cifra: Son smbolos que por convencin se

utilizan para representar un numeral.

CIFRAS= DGITOS=GUARISMOS=TIPO DE IMPRENTA

SISTEMA DE NUMERACIN Conjunto de reglas que permiten formar, expresar y representar nmeros. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIN POSICIONAL

Es un entero positivo mayor que la unidad que indica la cantidad de unidades que formar una unidad del orden inmediato superior. VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA (VA)

Es el valor que representa la cifra. VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (VR)

Es el valor que tiene la cifra por la posicin que ocupa. Ejemplo:

Indique el VA y VR de las cifras que se indican por Un circulo.

LECTURA Y ESCRITURA DE NMEROS ENTEROS POSITIVOS

Sistema Decimal: Es aquel sistema que emplea

base 10, se le llama tambin sistema dcuplo, segn la historia el 10 se debe a los dedos de las manos Este sistema emplea al representar sus nmeros las cifras del 0 al 9. Del 1 al 9 se les llama cifras significativas: mientras al 0 (cero) se le llama cifra auxiliar.

PRINCIPALES SISTEMA DE NUMERCIN

OBSERVACIN:

Toda cifra de un numeral es necesariamente

menor que su base y adems es un entero no negativo.

Cifra: {0; 1; 2; 3; ; (b - 1)} Consecuencia:

Cifra mxima = Base -1 Cifra < Base

Cifra mnima = 0 Base = {2; 3; 4; 5; }

CAMBIO DE BASE 1. DE BASE DIFERENTE A BASE 10

Este mtodo denominado Descomposicin Polinmica

)n(abcde = a.n4 + b.n3 + c.n2 + d.n + e

Ejemplos:

1234(n) = 1.n3 + 2.n2 + 3.n + 4

)13(06 = 6 . 133 + . 132 + 0.13 +

2. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10

Este mtodo denominado Divisiones Sucesivas

Sistema de numeracin

EJERCICIOS DE APLICACIN 1.- Expresar 12345 a base 10 a) 194 b) 149 c) 491 d) 914 e) 419 2.- Expresar 31425 a base 8

a) 573018 b) 375018 c) 753018 d) 103578 e) 105378

3.- Expresar 1342526 al sistema decimal

a) 12326 b) 12623 c) 12362 d) 12632 e) 16232 4.- Expresar 2314 al sistema quinario

a) 332245 b) 422335 c) 223345 d) 224335 e) 334225

5.- Hallar en base 15, el equivalente de (12)0

a) 5785(15) b) 5875(15) c) 8575(15) d) 7585(15) e ) 5578(15)

6.- Hallar n si: 1668 = 226n a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

7.- Calcular el valor de b, si: 740 1 6b b a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8.- Si: 5 7ab a ; Calcular el valor de: (a + b) a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 4

9.- Si: 761115 abc ; Hallar: (a + b + c)

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

10.- Si los numerales estn bien escritos:

5110 , 1 , 2 ,21b ca aa c b ; Calcular: (a.b.c)

a) 18 b) 6 c) 24 d) 36 e) 15

11.- El mayor numeral de dos cifras del sistema decimal, escribirlo en

el sistema binario.

a) 1000102 b) 11000112 c) 10010112 d) 11000012 e) 10002 12.- Representar en el sistema cuaternario, el mayor numeral de tres

cifras diferentes del sistema decimal.

a) 331324 b) 331234 c) 332314 d) 231324 e) 213234 13.- Convertir: 54326 al sistema decimal. a ) 1243 b) 1242 c) 1244 d) 1424 e) 1024

14.- Convertir: 1122334 al sistema senario. a) 104226 b) 104236 c) 120236 d) 102436 e) 102346

15.- Convertir: 0,1345 al sistema decimal. a) 0,352 b) 0,25 c) 0,353 d) 0,232 e) 0,233

16.- Convertir: 0,432 al sistema quinario. a) 0,2035 b) 0,2025 c) 0,2045 d) 0,2015 e) 0,2005 17.- Hallar n , en: 114(n) = 2346 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 18.- En qu sistema de numeracin se cumple? 54 + 43 = 130 a) Quinario b) Senario c) Heptal d) Octal e) Nonario

19.- Hallar x , en: 123x = 53(x+2) a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 4,5

20.- Hallar: a + b , en: 7 9ab ba a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 21.- Hallar la representacin decimal del mayor numeral de cuatro

cifras diferentes del sistema senario. a) 1244 b) 1442 c) 1241 d) 1243 e) 1245 22.- convertir: 34216 al sistema nonario.

a) 10839 b) 10849 c) 10089 d) 10489 e) 10249 23.- Convertir: 0,216 al sistema quinario. a) 0,2015 b) 0,1025 c) 0,1035 d) 0,2035 e) 0,2045

24.- Convertir: 0,3425 al sistema decimal. a) 0,677 b) 0,767 c) 0,776 d) 0,778 e) 0,678

25.- En qu sistema de numeracin se cumple? 34 + 21 = 110 a) Quinario b) Senario c) Heptal d) Octal e) Nonario

26.- Hallar a en: (8)75 25a a

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

27.- Hallar n en: 455(n) = 354(n+1) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4

28.- Hallar x + y , en: ( )(6)3(2 ) 4 yx x

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

29.- Hallar: a y b , en: (7) (2 )bbaa a b a

a) 4 ; 3 b) 3 ; 1 c) 4 ; 1 d) 1 ; 2 e) 2 ; 3

30.- Si: a + b = 9 ........ (1); 9ab ba ....... (2) Hallar: (a2 + b2 ) a) 41 b) 42 c) 43 d) 37 e) 38

31.- En qu sistema de numeracin se cumple? 63 + 15 = 100 a) Quinario b) Senario c) Heptal d) Opta e) Nonario

32.- Si a un nmero de 2 cifras, se le invierte el orden de sus cifras,

se obtiene un segundo nmero que excede en 9 unidades al cudruplo del primero. Dar como respuesta la suma de las cifras

de dicho nmero. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 33.- Un numeral capica de tres cifras del sistema quinario se

escribe en base x como 3a a . Calcular ( x + a) , Si x es la cifra central del numeral capica.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

34.- Al convertir 0,1025 al sistema decimal, se obtuvo 0,abc ;

Hallar: E = a + b + c a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

35.- Hallar un nmero de tres cifras que cumpla las siguientes

condiciones: la primera sea el doble de la tercera y la segunda sea el triple de la primera. Dar como respuesta la suma de las

cifras del nmero. a) 12 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

36.- El cudruplo de un nmero es de la forma ab , pero si al nmero se le multiplica por tres y luego se le divide entre dos se

obtiene ba . Hallar: ( a b ). a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 8

37.- Una persona naci en el ao 19aa y en el ao 19bb cumpli (4 a + 5 b) aos. Cul fue el ao en que tuvo ( a + b )2 aos de edad?.

a) 1981 b) 1976 c) 1967 d) 1971 e) 1955 38.- Convertir: 0,528 al sistema quinario. a) 0,2325 b) 0,2345 c) 0,3215 d) 0,3245 e) 0,2315

39.- El nmero telefnico de Rosita es capica. Si la primera cifra se

multiplica por 11, se le aade la segunda; luego todo se multiplica por 11 y f inalmente aadimos la tercera cifra y

obtenemos 985. Cul es el nmero telefnico de Rosita? a) 985589 b) 640046 c) 816618 d) 327723 e) 648846

40.- Si: (7) (12) (6)0ab ba ab ; Hallar: ( a + b )

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

41.- Si:( )121n ab ; Tal que: a + b = 13. Hallar el valor de: (n + a)

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

42..- Si: (8)( )35 14nx x ; Determinar el valor de: x + n

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

43.- Si: (6) ( )3 4 aaba x x ; Hallar el valor de: a + b + x

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

44.- Si: ( 1)( )146 nn abc ; Hallar: a + b + c

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 45.- Hallar un nmero que sea igual a 6 veces la suma de sus cifras.

Dar como respuesta la diferencia de sus cifras a) 1 b) 5 c) 2 d) 15 e) 8

46.- Una persona naci en 19ab observa que en 19ba cumplir (a + b) aos. En qu cumpli (axb) aos?.

a) 1955 b) 1963 c) 1938 d) 1965 e) 1970 47.- Hallar un nmero de 2 cifras tal que al sumarle el mismo

nmero pero con las cifras invertidas se obtiene 11 veces la

diferencia de dichos nmeros. Dar como respuesta el producto de sus cifras.

a) 28 b) 20 c) 24 d) 30 e) 35

48.- Si: N = 2(17)4 + 4(17) + 2(17)3 + 26, como se escribe el nmero N en base 17?.

a) 22509 b) 22095 c) 22059 d) 23509 e) 22490

49.- El nmero 800. En qu base se representa 1331?. a) Base18 b) Base19 c) Base20 d) Base21 e) Base 22

50.- En qu base 68877 se representa como un nmero de tres cifras diferentes y lo mayor posible?

a) Base39 b) Base40 c) Bas41 d) Base42 e) Base 43

51.- Hallar (m + n + p), si: (6)00 1m m np

a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11

52.- Hallar el valor de ( x + y ), si: (5) (8)aaaa xy

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

53.- Hallar (a + b), si: (6)( )( )( )a b a b a b abab

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 3

54.- Si 400803(m) = 30034342(n) y m + n = 14. Hallar: m n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

55.- Hallar: (a + b + c), si: ( ) (9)7 856nab c

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 56.- Efectuar: 666666(7) + 555555(7) + 442244(7) + 2233344(7)

a) 2454505(7) b) 2554505(7) c) 2454515(7) d) 2453505(7) e) 2453215(7)

57.- Si: (3 ) (7)2 6xxx x x , determine el valor de x.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

58.- Si: (6)00 1m m np , determine m + n + p

a) 13 b) 14 c) 10 d) 11 e) 12

59.- Si: 3 1000ab bca , determine abc a) 120 b) 100 c) 196 d) 138 e) 172

60.- Si la suma de los complementos aritmticos de ab y ba es 79. Calcular: a + b

a) 13 b) 15 c) 9 d) 11 e) 12

61.- Hallar el mayor nmero de 4 cifras tal que la suma de sus cifras

sea igual a 17. Dar como respuesta el nmero expresado en base 8.

a) 7433(8) b) 47211(8) c) 36710(8) d) 23110(8) e) 16313(8) 62.- En que sistema de numeracin se cumple que el menor

nmero de 3 cifras es igual a 6 veces la base?

a) 8 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 63.- El nmero 764 esta escrito en el sistema de base ocho. Cmo

se escribira en el sistema ternario?

a) 200112(3) b) 101212(3) c) 210111(3) d) 101112(3) e) 210112(3)

64.- Un nmero de dos cifras de base 7 al convertirse a base 4 se representa por las dos cifras pero dispuestas en el orden inverso. Dicho nmero es:

a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9

65.- La suma de las dos cifras de un nmero en base decimal es 11 y

si al nmero se le aumenta 27, el orden de su cifras se invierte.

Hallar la suma de los cuadrados de las cifras del nmero. a) 65 b) 73 c) 61 d) 85 e) 72

66.- Hallar: a + b ; si: (8) (9) (7)1ab ba ab

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

67.- Hallar el valor de n; si: ( ) (7)102 234n

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

68.- Hallar el valor de n; si: ( ) ( 2)401 203n n

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

69.- Cmo se escribe en base 9 el menor de los siguientes

nmeros? 87 3a ; 545b ; 6 5ab a) 2529 b) 3529 c) 3339 d) 4189 e) 1289

70.- Escriba en base 9 el nmero:(6)( 3)( 2)x x x

a) 147(9) b) 174(9) c) 135(9) d) 186(9) e) 153(9)

71.- Representar en el sistema octal, el menor nmero de tres cifras diferentes del sistema senario.

a) 56(8) b) 46(8) c) 72(8) d) 11(8) e) 16(8)

72.- Expresar: N = 4x174 + 6x173 + 9x172 + 56? A base 17 a) 46956(17) b) 46953(17) c) 40695(17 d) 46935(17) e) 46933(17)

73.- Si los siguientes numerales estn bien representados, calcular:

mxnxp (4)1 1m ; ( )pnn ; ( )12 mp

a) 5 b) 6 c) 12 d) 18 e) 15

74.- Hallar: a + b + c, si los numerales estn correctamente

escritos: ( )256 a ; ( )2 4 ba ; ( )43 cb ; 75c

a) 24 b) 22 c) 32 d) 20 e) 36

75.-Hallar el valor de n; si

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

12 12

12

12

n 21

veces

= 46

I. NMEROS SIMPLES

Son aquellos que tienen a lo ms dos

divisores.

I.A. La unidad

Es el nico entero positivo que posee un solo divisor, el mismo.

I.B. Nmero primo

Tambin llamado Primo absoluto, es aquel que posee exactamente dos divisores el mismo y la unidad.

II. NMEROS COMPUESTOS

Son aquellos que poseen ms de dos divisores.

Observacin:

1. La unidad es un divisor universal. 2. El nmero 2 es el nico primo

absoluto par. El 2 y el 3 son los nicos primos

consecutivos.

III. NMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)

Tambin denominados primos relativos o

coprimos, y son aquellos nmeros que poseen como nico divisor comn a la

unidad. Ejm:

12, 10 y 15 son PESI?

Divisores

12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

10 : 1 , 2 , 5 , 10

15 : 1 , 3 , 5 , 15

El nico divisor comn de 12, 10 y 15 es la unidad, por lo tanto son PESI.

IV. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA

ARITMTICA

Todo nmero compuesto se descompone en una

multiplicacin de potencias de exponentes enteros

positivos de sus divisores primos.

Ejm:

24 = 23 x 3

882 = 2 x 32 x 72

720 = 24 x 32 x 5

* Observacin:

A esta descomposicin se le conoce con el

nombre de DESCOMPOSICIN CANNICA.

La descomposicin cannica de un nmero

es nica.

V. PRINCIPALES FRMULAS

Cantidad de Divisores (C.D.)

CD(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1)

Ejm:

Hallar la cantidad de divisores de 180.

180 = 22 . 32 . 5

CD(180) = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 18

Suma de Divisores (S.D.)

SD(N) = . . .1C

1C

1B

1B

1A

1A 111

Ejm:

Hallar la suma de divisores de 180.

180 = 22 . 32 . 5

SD(180) = 54615

15

13

13

12

12 233

Suma de las inversas de los divisores (S.I.D.)

SID(N) = N

SD )N(

Nmeros primos y compuestos


1.- Determinar el nmero de divisores de 90. a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14

2.- Cuntos divisores menos tiene 240 que el nmero 720? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15

3.- Cuantos divisores ms tiene A que B, si: 2 22 .3 .7A ;

25.7 .11B a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

4.- Cuntos ceros debe tener: 300......0A , para que admita 72

divisores? a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 10

5.- Determinar n, sabiendo que 40ntiene 65 divisores.

a) 5 b) 6 c) 3 d) 2 e) 4

6.- Si 3 24 .6A y

2 34 .6B , Cuntos divisores comunes tienen A y B?

a) 24 b) 16 c) 32 d) 28 e) 20

7.- Hallar el menor nmero que tiene 12 divisores. De cmo resultado

la suma de sus cifras a) 4 b) 5 c) 6 d) 9 e) 10

8.- Cuntos divisores de 30 son nmero primos? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

9.- La suma de divisores de 35 es: a) 36 b) 42 c) 48 d) 45 e) 54 10.- Cuntos divisores mltiplos de 5 tiene el nmero 130?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

11.- Si 12 .8n

tiene 60 divisores. Cunto vale n?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 12.- Cunto divisores de 72 tiene raz cuadrada exacta? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

13.- De todos los nmeros que dividen a 56. Cuntos son pares? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

14.- Cuntos divisores de 84, tienen dos cifras? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

15.- Cuntos divisores de 150, son mltiplos de 5? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

16.- Si 9.10aW tiene 27 divisores, hallar cuantas cifras tiene W.

a) 9 b) 7 c) 6 d) 3 e) 8

17.- Cuntos ceros debe tener 200......0W , para que admita 56

divisores? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

18.- Si W tiene 1 369 divisores, determinar el valor de n, donde:

2 3 410.10 .10 .10 .......10 nW

a) 10 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

19.- Cuntos divisores mltiplos de 6 tiene el nmero 720? a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 18

10.- Encontrar el valor de a, si 34 4a a tiene 28 divisores. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 21.- Hallar n para que el nmero de divisores de N sea el doble

que el nmero de divisores de M. Si 30nN y 15.18

nM

a) 9 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

22.- Calcular el valor de n si se sabe que 29.12 n tiene 33 divisores

ms que el nmero 13.12n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

23.- Al multiplicar 23 .5a por 8 su nmero de divisores se incrementa

en 45. Hallar el valor de a. a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

24.- Cuntos divisores mltiplos de 20 tiene el nmero 240? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

25.- Cuntos factores tiene 2 32 .3.5N son mltiplos de 100?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

26.- Si 28 8k kA tiene 88 divisores, Cuntos divisores tiene

28k ? a) 27 b) 28 c) 26 d) 25 e) 64

27.- Si el nmero de divisores de los nmeros 300n

y 16.90n

son

iguales, hallar n a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

28.- Hallar k, sabiendo que 8.12kN tiene 40 divisores.

a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

29.- Hallar k, sabiendo que 6.15kN ; tiene 112 divisores.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 30.- Cuntos divisores mltiplos de 5 tiene 360?

a) 16 b) 12 c) 24 d) 14 e) 18 31.- Hallar la suma de todos los divisores propios de 360 a) 820 b) 810 c) 960 d) 720 e) 760

32.- Hallar la suma de las inversas de todos los divisores de 120. a) 3 b) 6 c) 9 d) 4 e) 8

33.- Si: 6n

tiene 30 divisores ms que 7n . Cuntos divisores tiene

8n ? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

34.- Si 2.3 .7a bN tiene 40 divisores mltiplos de 9 y 30 divisores

mltiplos de 2. Hallar: (a + b)

a) 4 b) 5 c) 8 d) 9 e) 12

35.- Halla N 20.10nN sabiendo que el producto de sus divisores

es 9 272 .10 veces el nmero.

a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) 5000

36.- El nmero 22 3 5x xA tiene 30 divisores: Hallar x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 37.- Hallar el valor de x sabiendo que el nmero N tiene el mismo

nmero de divisores que 63 000. 2 6.28xN

a) 10 b) 12 c) 30 d) 40 e) 21

38.- Cuntos divisores tiene el nmero 108 800? a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 54 39.- Cuntos divisores menos tiene 360 que el nmero 1800?

a) 12 b) 2 c) 6 d) 10 e) 5 40.- La suma de los divisores de 144 es: a) 288 b) 312 c) 366 d) 403 e) 503

41.- La suma de los divisores de 360 es. a) 2340 b) 1170 c) 351 d) 1404 e) 1240

42.- El producto de divisores de 18 es:

a) 2916 b) 5832 c) 8748 d) 1166 e) 5020

43.- Hallar x sabiendo que el nmero 1125.15xA tiene el doble de divisores que el nmero 2016.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

44.- La suma de los divisores de 22 5 7xC es 3720. Hallar la suma

de los divisores de 2x a) 15 b) 31 c) 7 d) 63 e) 24

45.- El producto de los divisores de 2 .7xR es 21 952. Hallar R a) 28 b) 56 c) 112 d) 224 e) 144

46.- El nmero 42 6xA tiene 8 divisores menos que el nmero

46 2xB . Hallar su diferencia? a) 6912 b) 2196 c) 6294 d) 1926 e) 1026

47.- La suma de las inversas de los divisores de 12 3 5x xT es 3,25.

El nmero es: a) 72 b) 180 c) 144 d) 360 e) 120 48.- Calcular el nmero de divisores de 1080

a) 32 b) 30 c) 35 d) 36 e) 40

49.- Calcular la suma de divisores del nmero 600. a) 1860 b) 1380 c) 4002 d) 4102 e) 3430

50.- Cuntos divisores de ms posee el 720 que el 150?

a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 12

51.- Cuntos nmeros compuestos posee el nmero 2400?

a) 32 b) 33 c) 36 d) 39 e) 43

52.- Calcular la suma de divisores compuestos del nmero 200. a) 450 b) 452 c) 457 d) 465 e) 446

53.- Si ab es primo Cunto divisores tiene ababab ? a, b 3. a) 16 b) 32 c) 8 d) 24 e) 36

54.- Cuntos divisores de 1200 son mltiplos de 12? a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 14

55.- Hallar n si se sabe que el nmero 189n

tiene 133 divisores.

a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

56.- Si 115 .10n n tiene 160 divisores. Cunto vale n?

a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 8

57.- Hallar a si se sabe que: 25.45aN tiene 117 divisores.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

58.- Si: 24 .4a aN tiene 29 divisores. Hallar a a) 1 b) 3 c) 5 d) 4 e) 8

59.- Hallar (a + b) si 5 .6a bN tiene 143 divisores compuestos.

a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 8

60.- En qu cifra termina el producto de los 47 primos nmeros primos?

a) 1 b) 3 c) 5 d) 0 e) F.D.

61.- Cul es el menor nmero que tiene 8 divisores compuestos? a) 48 b) 32 c) 72 d) 60 e) Ninguna

62.- Halle la suma de todos los divisores compuestos de:

2 13 215 .2 .63N

a) 48 b) 32 c) 72 d) 60 e) Ninguna 63.- Hallar la suma de los divisores de 540 que sean mltiplos de 6. a) 1504 b) 1600 c) 1404 d) 1540 e) 144

64.- Hallar la suma de los divisores de 4680 que sean primos con 351.

a) 30 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90

65.- Cuntos nmeros menores que 300 son primos con 300? a) 30 b) 80 c) 140 d) 200 e) 300

66.- Cuntas cifras ceros es necesarios colocar a la derecha del

nmero 35 para que el nmero resultante tenga 112 divisores? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

67.- Si: " "

30.30.30.......30n factores

M , tiene 343 divisores. Hallar n

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

68.- Si a un nmero de la forma 2 .3a bN , se le multiplica por 2, el

nmero de divisores aumenta en 3, y si se le divide por 6, su nmero de divisores disminuye en 8. Hallar el nmero.

a) 144 b) 288 c) 298 d) 882 e) 972

69.- Cuntos de los siguientes nmeros son primos? 14(9); 21(7); 35(8); 17(9); 79(12)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

70.- Hallar x si: 1 2 3 42 2 2 2 2x x x x xN , tiene 20 divisores no primos.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

71.- El nmero 4 12 .3 .7x xB , tiene 30 divisores pares. Hallar el

valor de B a) 336 b) 2016 c) 4032 d) 8064 e) 12096

72.- Cuntos divisores de 240 no son mltiplos de 6? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 20

73.- La suma de los divisores de 36.9kN es 84. Cuntos

divisores tiene N? a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 30

74.- El producto de divisores de 2 .3xA es 1728. Hallar el valor de

A + x. a) 7 b) 14 c) 27 d) 52 e) 96

75.- Cuntos de los diversos de 360 tiene 2 cifras? a) 10 b) 12 c) 16 d) 14 e) 13 76.- Cuntos ceros se deben poner a la derecha de 9 para que el

resultado tenga 239 divisores compuestos? a) 6 b) 8 c) 9 d) 5 e) 4

77. Hallar la cantidad de divisores compuestos de: i) N = 23 x 7 x 132 a) 20 b) 21 c) 23 d) 24 e) 3

ii) N = 53 x 72 a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 2

78. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:

i) N = (23 x 3)2 a) 21 b) 20 c) 19 d) 12 e) 18 ii) N = (72 x 5)2

a) 15 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6

79. Cuntos divisores primos tiene: (, , 1)?

i) N = 2 x 7 x 3 x 5 + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

ii) N = 2 + x 7 x 13 a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

80. Dos nmeros primos suman 14. Calcular el producto de

estos dos nmeros. a) 22 b) 26 c) 33 d) 34 e) 35

81. Indicar la pareja de nmeros PESI :

a) 8 y 24 b) 21 y 44 c) 42 y 14 d) 15 y 70 e) 20 y 18

La divisibilidad es una parte de la teora de

los nmeros que analiza las condiciones que

debe tener un nmero para que sea divisible

por otro.

Y cundo un nmero es divisible por otro?

Se dice que A es divisible por B, si al

dividir A entre B la divisin resulta exacta (cociente entero y residuo cero).

A es divisible por B

A B

0 q cociente entero

residuo cero

1. Definicin de Divisor

Se dice que B es divisor de A, cuando lo

divide en forma entera y exacta.

Es decir:

Si A B

0 k

Donde: A es un entero

B es un nmero natural

k es un nmero entero

Se lee: B es divisor de A

A es divisible por B

2. Definicin de MLTIPLO

Se dice que A es mltiplo de B, cuando lo

contiene un nmero entero y exacto de

veces.

A = B(k) : A es mltiplo de B.

Notacin: A = B

OBSERVACIONES

Cero es mltiplos de todos los nmeros

naturales.

La unidad es divisor o factor de cualquier

nmero entero.

Todo nmero tiene infinitos mltiplos

pero finitos divisores.

3. NMEROS NO DIVISIBLES

Sabemos que un nmero es divisible

por otro cuando la divisin es entera y

exacta. Pero cuando dicha divisin

tiene residuo, diremos que el dividendo

es mltiplo del divisor ms el residuo.

Es decir: A B

r q A = Bq + r

Ejemplo:

43 7 43 = 7 (6) + 1

1 6

43 = 7 + 1

43 7 43 = 7(7) - 6

6 7

43 = 7 - 6

Ntese:

Por defecto Por exceso

7 + 1 =

7 - 6

suman 7

4. OPERACIONES CON MLTIPLOS

a) nnn

b) nnn

c) nnxn

d) n)n( E

e)

n

n

n

Divisibilidad

5. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Llamamos Criterios de Divisibilidad a ciertas

reglas prcticas que aplicadas a las cifras de un

numeral permitirn determinar su divisibilidad

respecto a cierto mdulo.

A. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 3 9 3abcd a + b + c + d =

3

9abcd a + b + c + d =

9

B. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 11

abcde =

11

a b + c d + e =

11

C. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE POTENCIAS

DE 2

2abcde e =

2

4abcde

4de

8abcde

8cde

D. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE POTENCIAS

DE 5 5abcde e = 0 o 5

25abcde

25de

125abcde

125cde

E. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 7

gfedcba

1321321 a 2b 3c d + 2e + 3f + g =

7

F. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 13


1. Indique verdadero o falso segn corresponda:

a) 35 = 5 ( )

b) 5 =

15 ( )

c) 48 = 4 ( )

d) 111 = 3 ( )

e) 48 = 9 ( )

f) 10 =

1000 ( )

g) 36 = 5 + 2 ( )

h) 38 = 5 + 3 ( )

i) 43 = 6 - 5 ( )

j) 50 = 7 + 1 ( )

2. Indique verdadero o falso segn corresponde:

a) 42 = 6 ( )

b) 39 =

13 + 3 ( )

c) 55 =

11 ( )

d)

11 = 8 ( )

e) 100 = 3 + 1 ( )

f) 100 = 3 - 1 ( )

g) 150 = 5 ( )

h) 30 = 4 + 2 ( )

i)

33 =

11 + 3 ( )

j) 67 = 7 + 5 ( )

1.- Si el nmero 375x es divisible por 4. Hallar la suma de los

valores que toma x a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 9

2.- El nmero 2 45x y es divisible por 72. Hallar el valor de x + y

a) 11 b) 6 c) 7 d) 8 E) 10

3.- Cul es el valor de x si se sabe que el numeral 2 45x y es

divisible entre 72? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

4.- Calcular: (a + b). Si: 5 46ab a es divisible entre 24.

a) 7 b) 6 c) 5 d) 10 e) 11

5.- Si: 4(2 )32 4N m m es mltiplo de 11. Hallar m .

a) 3 b) 2 c) 0 d) 1 e) 5

6.- Cuntos nmeros de la forma: 9 33b son mltiplos de 7?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7.- Halar z, si 52 15z es mltiplo de 13. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

8.- Hallar a + b, si 542a ba es mltiplo de 45. a) 12 b) 7 c) 8 d) 10 e) 11

9.- Si el nmero 15 98ab s mltiplo de 99. Hallar a2 + b2

a) 72 b) 81 c) 36 d) 89 e) 54

10.- Si el nmero 5 58x y es divisible entre 88, cul es el residuo

de dividirlo entre 9?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11.- El nmero 1245x es divisible por 8. Hallar x a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

12.- Cuntos nmeros de la forma 3 2x y son mltiplos de 36?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13.- Si el nmero 8126y es mltiplo de 3. Dar la suma de los valores

de y a) 15 b) 18 c) 21 d) 9 e) 24

14.- El nmero 47 2x es mltiplo de 4. Los posibles valores de x son:

a) 2; 4; 6; 7; 9 b) 4; 5; 6; 7 c) 0; 4; 8 d) 0; 4; 5; 7; 9 e) 1; 3; 5; 7; 9

15.- Hallar x para que el nmero 475x sea mltiplo de 8? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) T.A.

16.- Los nmeros: 36 50;218 67;12 31x y z son divisibles por 9. Hallar

la suma de los valores de x , y , z a) 9 b) 10 c) 8 d) 12 e) 15

17.- Los nmeros: 536 34;2814 5;3 7042x y z son mltiplos de 11.

Hallar x y + z a) 4 b) 5 c) 9 d) 10 e) 8

18.- En el nmero 2 7 13o

x . Hallar la cifra x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

19.- El nmero 5473x es mltiplo de 12. Hallar el complemento

aritmtico del nmero xx . a) 22 b) 66 c) 77 d) 44 e) 55

20.- Si 47xy es divisible por 45, el valor de x puede ser:

a) 3 5 b) 4 6 c) 2 5 d) 2 7 e) 3

21.- El nmero 21 3 36o

x y . Qu valores puede tomar x?

a) 2 4 b) 1 6 c) 3 6 d) 1 4 e) 4

22.- En el nmero 56x y mltiplo de 72, x es una cifra par. Entonces

el valor de, E = 2x + 5y, es:

a) 14 b) 22 c) 56 d) 38 e) 54

23.- Hallar a, si 52 15a , es mltiplo de 13. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

24.- Si se cumple:

88 23 7b ;

98 827 11c

Adems: 2 2

7

b cP

. Hallar p

a) 3 b) 1/4 c) 2/7 d) 3/4 e) 81

25.- Hallar x + y en:

64 0 64 72y x y

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

26.- Calcular: (a + b). Si: 5 46ab a es divisible entre 24.

a) 5 b) 6 c) 12 d) 18 e) 15

27.- Si el nmero: 5 10x y es divisible por 12. Cul es el valor de x

+ y? a) 6 b) 7 c) 9 d) 5 e) 8

28.- Si: 1 2 3 .... 10 9o

a a a a . Hallar: a a) 12 b) 13 c) 15 d) 10 e) 14

29.- Hallar el residuo que deja la siguiente divisin: 667167 11

a) 6 b) 7 c) 5 d) 3 e) 2

30.- Hallar el residuo de la siguiente divisin: 2838 7

a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5

31.- Cul es el residuo al dividir: 9868 11UNI a) 2 b) 1 c) 8 d) 7 e) 3

32.- Hallar el residuo de dividir 754436

8 11 a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) 4 33.- Calcular a + b + c + m + n + p sabiendo que todas son

signif icativas y diferentes entre s y que abc es el mayor

posible y mnp el menor posible. Adems: 728 6 2mnpabc

o

a) 18 b) 25 c) 29 d) 30 e) 31

34.- Hallar el residuo de dividir N entre 5;

120

104

102N a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4

35.- Cuntos valores toma a para que se cumpla la igualdad:

1 3o

a a ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1. Cuntos nmeros de 2 cifras son divisible por 11?

a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7

2. El mayor nmero de 2 cifras es un mltiplo de:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. Relaciona correctamente:

91 es mltiplo de 8

154 es mltiplo de 3

2000 es mltiplo de 13

1941 es mltiplo de 11

4. Indicar la suma de cifra del mayor nmero que sea

8 .

I. 648 II. 1000 III. 2008 IV. 7580

a) 18 b) 1 c) 10 d) 20 e) 9

5. Si el siguiente nmero x453 es divisible por 7, calcular el valor de x.

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

6. Del 1 al 3000. Cuntos nmeros no son mltiplos de 11?

a) 272 b) 273 c) 2727 d) 2728 e) 2726

7. Del 240 al 1500. Cuntos nmeros son

15 ?

a) 83 b) 84 c) 85 d) 86 e) 82

8. Cuntos mltiplos de 7 estn comprendidos entre 30 y 300?

a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40

9. Cuntos mltiplos de 13, que no terminan en 5, hay entre

800 y 1000?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

10. Cuntos nmeros de 4 cifras mltiplos de 8 que terminan en

6, existen?

a) 220 b) 225 c) 230 d) 250 e) 300

11. Por qu nmero es siempre divisible un nmero de la forma

abba ?

a) 2 b) 7 c) 13 d) 11 e) 9

12. Un nmero de la forma ab)b3()a3(

es siempre mltiplo

de ?

a) 41 b) 43 c) 11 d) 17 e) 9

13. Cuntos nmeros pares de 3 cifras se convierten en

mltiplos de 32 al sumarles 20 unidades?

a) 28 b) 27 c) 30 d) 32 e) 40

14. Si el nmero a92 es mltiplo de 13 ms 5. Calcular a

a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 11

15. Si el siguiente nmero a162 es divisible por 8. Cul es el valor de a? a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 e) 7

16. Cuntos nmeros del 1 al 100 son

9 + 3?

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 10

17. Cuntos nmeros de 3 cifras son divisibles por 14?

a) 61 b) 62 c) 63 d) 64 e) 65

18. Cuntos nmeros de 3 cifras son divisibles por 7?

a) 127 b) 128 c) 129 d) 130 e) 124

1. Cuntos nmeros d 4 cifras son mltiplos de 8 pero no de

6?

a) 40 b) 36 c) 31 d) 28 e) N.A.

2. Del 1 al 200. Cuntos nmeros son

12 ?

a) 17 b) 18 c) 15 d) 14 e) 16

3. Si el numeral x58101 es 7 hallar x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

4. Cuntos nmeros de dos cifras son

5 ?

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

5. Hallar el menor dgito p que cumple:

3p + 19 =

4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Hallar n si cumple:

17n127

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

7. Hallar a si:

37a5a4a3a2a1

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 1. Sabiendo que 22xy7 es divisible entre 7 y que la

suma de sus cifras es 25. Cul es el valor de y?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

2. Cuntos nmeros de la forma ababa1 son

divisibles entre 28?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Si ba2a13 es divisible entre 63. Cul es la suma

de todos los posibles valores de a y b?

a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

MXIMO COMN DIVISOR (MCD) Y

MNIMO COMN MLTIPLO (MCM)

1. MXIMO COMN DIVISOR (MCD)

Es el mayor divisor que tienen en comn dos

o ms nmeros. Ejm:

Hallar el MCD de 12 y 18

Divisores

12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

18 : 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18

divisores comunes de 12 y 18: 1, 2, 3, 6

Pero el mayor es 6.

6 es el mximo comn divisor de 12 y 18.

MCD (12, 18) = 6

2. MNIMO COMN MLTIPLO (MCM)

Es el menor mltiplo que tienen en comn dos o ms nmeros. Ejm:

Hallar el MCM de 12 y 18.

Mltiplos

12 : 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 ,

18 : 18 , 36 , 54 , 72 ,

Mltiplos comunes de 12 y 18: 36 y 72, Pero el menor es 36:

36 es el mnimo comn mltiplo de 12 y 18.

MCM (12, 18) = 36

3. MTODOS DE CLCULO DEL MCD Y

MCM

I. Por descomposicin cannica

Hallar el MCD y MCM de 40 y 60. Paso 1: Descomposicin cannica

Paso 2: Comparacin:

Para el MCD

23 > 22 22

5 = 5 5

Para el MCM

23 > 22 23

5 = 5 5 3

II. Por descomposicin simultnea

Hallar el MCD y MCM de 60 y 84

60 - 84 2 30 - 42 2

15 - 21 3 5 - 7

Mcd y mcm

40 2 20 2

10 2 5 5

1

= 23 x 5

60 2 30 2

15 3 5 5

1

= 22 x 3 x 5

Coloco a los menores o

iguales

Qu pasa con el 3?

Como no hay con quien

compararlo no se coloca

MCD (40, 60)

= 22 x 5 = 20

Coloco a los mayores o

iguales

Qu pasa con el 3? Como no hay con quien

compararlo se coloca

MCM (40, 60)

= 23 x 5 x 3 = 120

Como 5 y 7 son PESI entonces:

La descomposicin simultnea para el MCD llega a su fin.

MCD (60 y 84) = 22 x 3 = 12

Para el MCM Se sigue dividiendo, no importa si solo uno tiene divisores diferentes

del otro.

60 - 84 2

30 - 42 2

15 - 21 3

5 7 5 1

1 7 7 2

1 - 1

La descomposicin simultnea para el MCM

llega a su fin cuando se obtienen puros unos.

CONCLUSIONES

Para el MCD:

La descomposicin simultnea acaba cuando se obtienen nmeros PESI.

Para el MCM: La descomposicin simultnea llega a su

fin cuando se obtienen puros unos.

Adems:

Para 2 nmeros:

MCM(A, B) x MCD(A, B) = A x B


1. Hallar el MCD de:

i) 72 y 86 ii) 135 y 90

iii) 54 y 144

2. Hallar el MCD de A y B si:

A = 22 x 33 x 7 x 1110

B = 23 x 34 x 56 x 1310

a) 2 x 32 b) 22 x 34 c) 23 x 33 d) 22 x 33

e) 24 x 33

3. Hallar el valor de n si el MCD de A y B tiene 15 divisores.

A = 2n x 34 B = 2n1 x 32 x 52

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Hallar el valor de n si el MCD de A y B

tiene 24 divisores. A = 3n x 52n+1 x 7

B = 32n x 2 x 5n + 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Hallar el MCD de A y B:

A = 4 x 9 x 15

B = 2 x 6 x 14 a) 12 b) 10 c) 4 d) 6 e) 18

6. Si MCD( b4,a5 ) = 14. Hallar (a + b)

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7. Si MCD ( a)a2(,a7 ) = 6. Hallar a

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

8. Un negociante tiene 3 barriles de vino de 360, 480 y 600 litros, desea venderlos en recipientes

pequeos de modo que no sobre ni falte vino en

ninguno de los barriles. Cul es la mxima capacidad de los recipientes?

a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 9. Calcular el MCM de:

i) 360 y 150

ii) 82 y 7 iii) 27 y 54

10. Hallar el MCM de A y B si:

A = 23 x 5

4 x 7

6

B = 22 x 5 x 11

a) 23 x 5

4 x 7

6 x 11 d) 5

4 x 7

6 x 2

2 x 11

b) 22 x 5 e) 5

4 x 11

6 x 7 c) 2

3 x 11 x 7

6

11. Hallar el valor de n si el MCM de A y B, tiene 60 divisores.

A = 2n + 1

x 34 x 7

B = 22n

x 35

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12. Hallar el valor de n si el MCM de A y B tiene 48

divisores (n es un nmero primo)

A = nn x 2

3 x 11

2

B = n x 11 x 22

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

13. Si MCM ( b4,a9 ) = 90. Hallar (a + b)

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

14. Si MCM ( a2,a9 ) = 196

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

15. El MCM de A y 36 es 180 y su MCD es 9. Hallar el

valor de A. a) 45 b) 30 c) 35 d) 40 e) 48

16. Colocar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

i) MCD significa mnimo comn divisor ii) El MCM de dos nmeros contiene

exactamente a dichos nmeros siempre.

iii) El MCM y MCD de dos nmeros pueden ser iguales.


A = 72 x 113 x 5

B = 52 x 7 x 13 a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 65

18. Hallar el MCD de A y B:

A = 16 x 3

B = 8 x 15 a) 20 b) 16 c) 24 d) 30 e) 35

19. Si MCD ( b1,a5 ) = 6

Hallar (a + b) a) 2 b) 5 c) 3 d) 4 e) 6

20. Si MCD ( 9)a2(1,7a1 ) = 21

Hallar el valor de a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

21. Hallar el valor de n si el MCD de A y B tiene 12

divisores.

A = 2n x 7

5

B = 22n

x 72

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22. Hallar el valor de n si el MCD de A y B tiene 20

divisores.

A = 7n x 11 x 13

2

B = 2 x 7

2n x 11

x 13

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


A = 6 x 14 x 72 B = 21 x 11 x 9

a) 33 x 2 b) 3

3 x 7 c) 2

3 x 3 d) 2

3 x 3

2

e) 11 x 32

24. Relacione correctamente ambas columnas: I. 24 y 48 A) Su MCD es 24

II. 21 y 16 B) Su MCD es 1

III. 26 y 52 C) Su MCD es 26

25. Hallar el MCM de A y B si:

A = 32 x 7 x 11

B = 2 x 72 x 3

a) 2 x 7 x 3 b) 2 x 3 x 7 x 11 c) 72 x 3

d) 7 x 11 x 32

e) 2 x 32 x 7

2 x 11

26. Hallar el valor de n si el MCM de A y B tiene 56 divisores.

A = 11n 1

x 13n

B = 11n + 2

x 132

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

27. Hallar el valor de n si el MCM de A y B tiene 60

divisores.

A = 73 x 14

B = 7 x 2n x 3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Hallar (a + b) si MCM( b17,a10 ) = 525

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

3. Hallar a si MCM ( 7a,5)a2( ) = 135

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. El producto de dos nmeros es 1750 y su MCM es

350. Hallar su MCD.

a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 11

La primera operacin aritmtica que se conoci fue la suma.

Para resolver esta operacin siempre se recurra a elementos

concretos, puesto que no se haba llegado a un grado

suficiente de abstraccin matemtica. En Amrica, los incas,

que alcanzaron un elevado nivel de cultura, practicaban la

suma haciendo nudos en unas cuerdas de vivos colores que

iban juntando hasta formar el llamado equipo.

ADICIN

Es una operacin directa que consiste en reunir un conjunto de cantidades homogneas en una

sola: cada una de las cantidades se denomina sumando y al resultado suma.

Donde; etc., son los sumandos; y S es la suma.

SUSTRACCIN

Es la operacin en la que dadas dos cantidades llamadas minuendo (M), sustraendo

(S) respectivamente, se trata de hallar una tercera cantidad llamada diferencia (D).

M S = D M = D + S M + S + D = 2M

COMPLEMENTO ARITMTICO (CA)

Es lo que le falta a un nmero para ser su respectiva unidad inmediata superior.

abcabcCA 1000)(

La operacin resultaba muy compleja para los antiguos.

Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagrica, que ya

conocan antes de nacer Pitgoras. Los babilonios

empleaban tablas de cuadrados. Entre los romanos, la

operacin era lenta y trabajadora, como se observa en la

ilustracin, debido a su notacin numeral. el signo de

multiplicar, Cruz de San Andrs, se atribuye a

W. Oughtred, hacia 1647.

MULTIPLICACIN

Podemos afirmar que en la prctica la multiplicacin es una operacin que abrevia la

suma. Regla de Signos para la Multiplicacin de Nmeros Enteros

Si dos nmeros enteros tienen el MISMO

SIGNO, su producto tendr SIGNO POSITIVO.

Si dos nmeros enteros tienen DISTINTO

SIGNO, su producto tendr SIGNO NEGATIVO.

DIVISIN

Dividir es calcular el nmero de veces que

contiene un nmero llamado dividendo (D) a otro llamado Divisor (d). Este "Nmero de veces" recibe el nombre de cociente (q)

Divisin Exacta.- Si el DIVIDENDO (D)

contiene una cantidad EXACTA de veces al divisor (d), entonces tenemos una DIVISIN EXACT

Sna3a2a1a ............

Operaciones en Z


Hallar los nmeros enteros a colocar en los casilleros

1. (+1) - = (+3) - (-2)

2. (+8) - (-2) - = (+3)

3. - (+2) = (+3)

4. - (-6) = (-2)

5 .Si: Hallar el valor de (a+b+c)

6 .Si: Hallar el valor de (a+b)

7 .Hallar la suma:

S=5+17+29+41+... (30 sumandos)

8.Hallar la suma de todos los nmeros de tres cifras que

empiezan y terminan en cifra 7. Dar como respuesta la

suma de sus cifras. 9. La suma de los trminos de una sustraccin es 964. La

suma de las cifras del minuendo es:

10.La diferencia entre los complementos aritmticos de un

nmero de 4 cifras y otro de 3 cifras es 5 380. Si la suma de dichos nmeros es 4 780.

Hallar la suma de las cifras del menor.

11.Sabiendo que y adems a+c=11. Hallar el valor de

(a+2c)

12.Despus de vender una moto perdiendo $120 preste $200 y me quede con $380. Cunto me haba costado la

moto?

13.Jefrey naci en 1888 se cas en el ao 1924; dos aos

despus naci su primer hijo y muri cuando su hijo tena 38 aos. En qu ao muri?

14.Si recibiera $ 2480 podra comprarme un auto Mazda

ltimo modelo de $ 11500. Cunto tengo? 15.El menor de dos nmeros es 15239 y la diferencia entre

ambos es 257. Hallar el mayor.

16.El mayor de dos nmeros es 3592 y la diferencia entre

ambos es 649. Hallar el menor y dar como respuesta la menor cifra empleada en su escritura.

17.La suma de dos nmeros es 2491 y la mitad del menor es

521. Hallar el mayor. 18.En cunto excede la suma de 193 y 249 a la diferencia

entre 1982 y 1647?

19.Si Enrico tuviera 10 aos menos tendra 36 aos y si

Mara Fe tuviera 13 aos ms tendra 28 aos. Cunto ms joven es Mara Fe que Enrico?

20.Rocio gast S/. 20 soles en comprarse golosinas y 2

soles ms en comprar un polo. Cunto gastara si se

compra 6 polos? 21.Jorge gast S/. 10 en comprarse un CD en la "Cachina" y

30 soles ms en comprarse un telfono celular en el

mismo sitio. Cunto gastara en comprarse tres CD y un telfono celular?

22.Lula se pone a dieta. El primer mes baj 1200 gr, el

segundo mes bajo 400 gr ms que el mes anterior y el

tercer mes, subi 900 gr por comerse tortas y dulces. Cuntos gramos baj Lula hasta el tercer mes?

23.En un juego un apostador gana S/. 60 y luego pierde S/.

85, despus gana

S/. 72 y por ltimo vuelve a perder S/. 35. Cunto gan o perdi?

24.Si Pablo naci en el centenario de la independencia del

Per. Qu edad cumplir en el ao 2001? 25.Cunto cost lo que al venderse en

S/. 2937 deja una ganancia de S/. 129?

26.Cunto cost lo que al venderse en

$ 600 deja una prdida de $ 123? 27.Rmulo gast al comprar por partes su computadora

$490. Si quiere ganar

$ 230, A cunto lo tiene que vender?

28. (+2)(+7) - = +6

29. (-1)(+5) + (-3)(-2) =

30. (-7)(+2) - (+3) = 31. (-5)(-6) (-2) +7 =

32.Le preguntan a Javier por su edad y ste responde: Si al

doble de mi edad le suman 4, obtienen 40 aos. Cul es

la edad de Javier? 33.Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 filas de

6 cada una, pero observa que le faltaran 4 soldados,

entonces los forman en 4 filas de 5. Cuntos le sobran ahora?

34.La suma de dos nmeros es 406, su cociente es 2 y el

resto 91. Cules son los nmeros?

EJERCICIOS DE APLICACIN DE MULTIPLICACION

1. Efectuar:

A = (2 + 2 + 2 + 2 + + 2) (3 + 3 + + 3)

a) 200 b) 240 c) 100 d) 150 e) 120

2. Efectuar:

B = [(-3) + (-3) + (-3) + + (-3)] x [(-2) (5)]

a) -33 b) -10 c) 330 d) -330 e) -110

5088acccabcc

9225b9ab3ab2ab1a ......

mn4cbaabc

8 veces 5 veces

11 veces

3. Entre Too y Jorge tienen S/. 126. Si la cantidad

que tiene Too es 17 veces la que tiene Jorge.

Cunto ms tiene Too que Jorge?

a) 129 b) 112 c) 17 d) 34 e) 68

4. Las edades de Olinda y Manuela suman 78 aos. Si la

edad de Olinda es el doble que la de Manuela. Cul

es la edad de Olinda?

a) 26 aos b) 52 c) 13 d) 39 e) 42

5. Entre dos personas tienen S/. 400 si la cantidad que

tiene una de ellas es el triple de lo que tiene la otra.

Hallar la cantidad mayor.

a) S/. 100 b) 200 c) 150 d) 250 e) 300

6. Alberto tiene 10 aos y Lucho tiene el triple de su

edad. En cunto se diferencian sus edades?

a) 20 aos b) 40 c) 15 d) 25 e) 30

7. Cecilia va de compras, y gasta el triple de lo que

gast Paco ms S/. 10. Si Paco gasto S/. 30,

Cunto gast Cecilia?

a) S/. 60 b) 70 c) 80 d) 100 e) 80

8. Carola compra 6 polos y Susan la tercera parte de la

que compr Paula que fueron el doble de las que

compr Carola. Cuntos polos compraron en total?

a) 20 b) 16 c) 12 d) 14 e) 22

9. Francisco tiene S/. 30 y Luca tiene el doble de lo

que tiene el menos S/. 10. Calcular la diferencia de

dinero que tienen.

a) S/. 60 b) 70 c) 50 d) 20 e) 30

10. Le preguntan a Juan Pablo por su edad y este

responde si el doble de mi edad le suman 8, obtienen

40 aos. Cul es la edad de Juan Pablo?

a) 48 aos b) 50 c) 32 d) 24 e) 18

11. Un teniente quiere formar a sus soldados en 6 filas

de 7 cada, pero observa que le faltaran 4 soldados,

entonces la forma en 7 filas de 5. Cuntos

soldados le sobran ahora?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. Se tiene una multiplicacin de 2 factores. Si se

triplica uno de ellos y se duplica el otro. En cunto

vara el producto inicial?

a) 5 veces b) 6 c) 2 d) 3 e) 4

13. El producto de 2 nmeros es 396, si se aaden 3

unidades al multiplicador, el producto aumenta en 66

unidades. Hallar el factor mayor.

a) 25 b) 18 c) 7 d) 22 e) 66

14. Si a 2 nmeros enteros se le aumenta y disminuye 6

unidades respectivamente. El producto de ellos

aumenta en 204 unidades. Hallar la diferencia de los

nmeros.

a) 60 b) 80 c) 40 d) 50 e) 100

15. En qu cifra termina el resultado de multiplicar:

E = 2(2 + 1) (22 + 1) (23 + 1) (24 + 1) (224 + 1)

a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 0

EJERCICIOS DE APLICACIN DE LA DIVISION

1. En una divisin el cociente es 78. El divisor

27 y el residuo 19. Calcular el dividendo

a) 2125 b) 2106 c) 2123 d) 2120 e) 2115

2. En una divisin el cociente es 83, el divisor 65 y el

residuo 54. Calcular el dividendo.

a) 5449 b) 5445 c) 5495 d) 5395 e) 5415

3. En una divisin el cociente es 19. El divisor 37 y el

residuo es mnimo. Calcular el dividendo.

a) 703 b) 702 c) 721 d) 704 e) 720

4. Calcular el dividendo si se sabe que en una divisin

el cociente resulto 31, el divisor 23 y el residuo

result mnimo.

a) 713 b) 712 c) 731 d) 714 e) 733


el cociente result 53, el divisor es 37. El residuo

result mximo.

a) 1997 b) 1996 c) 1961 d) 1962 e) 1998


en cociente result 49, el divisor es 21 y el residuo

result mnimo.

a) 1029 b) 1030 c) 1031 d) 1059 e) 1050

7. En una divisin el cociente es 37, el divisor 52,

calcular el dividendo si se sabe que el residuo

result mximo.

a) 1975 b) 1943 c) 1934 d) 1974 e) 1933

8. En una divisin el cociente es 63, el divisor 49,


result mximo.

a) 3135 b) 3134 c) 3087 d) 3088 e) 3098

9. En una divisin el cociente es 73, el divisor es 84,


result mximo.

a) 6215 b) 6124 c) 6130 d) 6131 e) 6214

10. Hallar la suma de cifras del cociente que se obtienen al

dividir el nmero 47 256 entre 12. Siendo los trminos

de su divisin nmeros enteros.

a) 12 b) 13 c) 23 d) 22 e) 21

11. Al dividir 8743 entre 13, la suma de sus cuatro

trminos es:

a) 9435 b) 8763 c) 8948 d) 9415 e) 8838

12. Al dividir A entre B el cociente fue 7 y el residuo el

ms grande posible. El ms grande posible. Si A + B

= 107. Hallar A x B

a) 107 b) 95 c) 1120 d) 1140 e) 1020

13. En una divisin inexacta el cociente es 8 y el

residuo 20. Al sumar el dividendo con el divisor con

el cociente y con el residuo se obtiene 336. Hallar

el dividendo.

a) 256 b) 20 c) 320 d) 276 e) 308

14. Si: W + R = 410

Adems al dividir W entre R se obtiene 20 de

cociente y 11 de residuo.

Hallar: W R

a) 391 b) 372 c) 399 d) 389 e) 381

15. La suma de dos nmeros es 13, su cociente es 1 y el

residuo 3. Hallar el mayor de dichos nmeros.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

16. Calcular la edad de Luis sabiendo que si al

triple de la edad que tendra dentro de 3 aos

se le resta el triple de la que tuvo hace 3

aos, se obtiene el triple de su edad.

a) 2 aos b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

17. El producto de 3 nmeros enteros

consecutivos es igual a 35 veces el segundo.

La suma de los nmeros es:

a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

18. Se repartieron 858 soles en partes iguales

entre 37 pobres y sobraban 7 soles. Cunto

le correspondi a cada uno?

a) 23 soles b) 30 c) 32 d) 40 e) 45

19. Un nio tendr 17 aos dentro de 4 aos,

Qu edad tuvo hace 8 aos?

a) 4 aos b) 7 aos c) 5 aos

d) 21 aos e) 13 aos

20. Cunto te tardar en cortar una pieza de tela

de 70 m. de largo, en trozos de 10 m., si se

emplea 5 seg. en hacer cada corte?

a) 45 seg. b) 35 c) 40 d) 30 e) 50

21. Una persona tiene 4000 soles y otra 1500

soles cada una ahorra 200 soles mensuales.

Dentro de cuntos meses, la cantidad que

habr acumulado la primera ser el doble de

la segunda?

a) 4 b) 5 c) 7 d) 9 e) 8

22. Por cada docena de manzanas que compro

me obsequian una manzana. Si he recibido

780 manzanas, Cuntas decenas compr?

a) 85 b) 60 c) 68 d) 72 e) 75

23. Dos nmeros enteros de distintos signos dan

como producto -432 y como cociente -3,

Cul es la diferencia positiva de ambos

nmeros?

a) 48 b) -36 c) 12 d) -24 e) N.A.

POTENCIACIN Y RADICACIN EN Z

CONCEPTO DE POTENCIACIN: Es una operacin en la que dada una base entera (nmero

entero) y un exponente natural, hallamos un tercero llamado POTENCIA P. As:

El exponente natural n indica la cantidad de

veces que se repite la base entera a como factor,

as tenemos:

an = veces"n"

a a a ........

SIGNOS DE POTENCIACION EN Z

(+a)Par o Impar = +P

(a)Par = +P

(a)Impar = P PROPIEDADES

am . an = am+n

nm

aa = amn

(an)m = anm = (am)n

(a c)n = an cn CONCEPTO DE RADICACIN : Es la operacin

inversa a la potenciacin, que dados 2 nmeros llamados NDICE y RADICANDO, consiste en

calcular un tercer nmero llamado RAZ que elevado a un exponente igual al ndice resulta el radicando.

PROPIEDADES DE LA RADICACIN EN Z

n ba. =

n a . n b

mn )a( =

n ma

n ma = mn )a( = n

m

a

m n p

a = mnp

a


I. Efectuar:

1. (4)2 =

2. (3)3 =

3. (5)3 =

4. (2)5 =

II. Resolver

(3)5 (3)6 =

5. (7)10 (7)2 (7)3 =

6. (2)5 (2)7 (2)2=

7. (3)3 (3)4 (3)5=

8. 7

10

)5(

)5(

=

9. 10

12

)3(

)3(

=

10. 11

15

)2(

)2(

=

11. 5

7

)7(

)7(

=

12. [(5)3]8=

13. [(11)7]9=

Base Potencia

Exponente

an = P a Z; n N; P Z

Radicando Raz

ndice

= R K = Rn

14. [(3)10]5=

15. [(13)9]2=

16. (3)3 (7)3=

17. (5)2 (9)2=

18. (7)5 (11)5=

19. (13)8 (2)8=

20. 121=

21. 3 8 =

22. 3 27 =

23. 10000=

24. 4 625 =

25. )4()25( =

26. )49()81( =

27. 3

)22()42()33( =

28. )64()16( =

29. 3 6)15(3)17(

=

30. (4

16 )5 =

31. (3 )343( )2 =

32. (3 )27( )5 =

33. ( )64( )3 =

34. (5 )32( )2 =

35. 3 )343( 5

32 4 16 =

36. 10000 225 7 )128( =

37. 36 3

8 =

38. 3 9)5( .

8 4)16( =

39. 4 8)5( .

54 = 100

40. 6 18)13( . 3 )64( =

41. 3 6)16( =

42. 6 3)4( =

43. 5 10)3( =

44. (m4

49 )2m =

45. ( m6 )2m = 8

46. P = 3

3 735

)9()3(16

)9()81()2()2()2(

47. L = 5 8)5(2)5(10)2(3)2(7)2( .

48. A = 4

5 3 320

)81()64(

)3()27()81()1024(2

49. D = 3 415

10 51281218

)9()3()27()8()2(

)9()3()3()2()2( ....

50. 5 2

4 =

51. 5

)42(6)2( =

52. 4 7 7)12( =

53. m m6)( = 64

Nmeros racionales (Q)

bab

af ;1

Nmero fraccionario:

Dnde: a ------- , b ---------

o

ba , es decir b

a nmero entero

Clasificacin de fracciones Fraccin Propia: es aquella menor que la Unidad.

bab

af ;1

Fraccin Impropia:

.

Fraccin Irreductible

= 5

2

Completa:

2 y ___ son nmeros primos Luego:

Fracciones Equivalentes

Ahora aydame a completar

la secuencia

10

6

5

3 = = =

Completa:

Cmo son sus trminos? _____________

Las fracciones representa la ___________

_______________

Luego:


1. Une con flechas:

A. 5

2,

6

3 F. Irreductible

B. 3

7,

5

6 F. Propias

C. 5

2,

7

4 F. Impropias

D. 4

2,

2

1 F. Equivalentes

2. Completa y relaciona:

A. N D Propia

B. N D Impropia

1. Colocar < > = segn sea el caso

a) 5

2

3

6 e)

20

40

70

50

b) 7

6

9

8 f)

36

58

60

51

c) 4

5

9

7 g)

56

36

45

90

d) 5

4

10

20 h)

36

36

45

90

b

a f

Fraccin Irreductible:

es aquella cuyo

________________ y

______________ son

primos entre _____.

Recuerda:

Las fracciones

irreductibles no se pueden

simplificar.

Fraccin Equivalentes: Son aquellas

que ___________ la misma

___________.

Recuerda:

= 1

F. Mixta

2. Relacione las fracciones equivalentes. Unir

mediante flechas.

Columna I Columna II

100

20

35

10

5

4

40

4

7

2

5

12

9

6

27

18

3. Tengo un terreno, el que he dividido en cinco partes,

si regalo tres partes del mismo Cmo le puedo

representar? Rpta.: _________________

4. Cuntas fracciones equivalentes hay?

I) 4

10

2

5 II)

9

14

4

7

III) 2

3

5

9 IV)

2

3

4

9

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

5. Simplificar: 60

35

a) 5/12 b) 7/5 c) 5/7 d) 35/7 e) N.A.

6. Simplificar: 85

305

a) 15/20 b) 55/10 c) 20/10 d) 17/13 e) N.A.

7. Hallar la fraccin de 2

15

a) 13/2 b) 17/2 c) 36/2 d) 52/9 e) N.A.

8. Simplificar:

24

36

a) 3/2 b) -3/2 c) -2/3 d) -2 e) -3/4

9. Hallar la fraccin de: 2

123

a) 47/3 b) 49/2 c) 57/2 d) 46/2 e) N.A.

10. Hallar el mixto de 13/5

a) 5

32 b)

5

12 c)

5

42 d)

5

22 e) N.A.

11. Simplificar: 112

236

a) 36/12 b) 44/50c) 77/12 d) 57/17 e) N.A.

12. Hallar la fraccin impropia de 5

12

a) 11/5 b) 10/5 c) 2/5 d) 3/5 e) N.A.

13. Simplificar: 320

356

a) 34/40 b) 32/40 c) 52/36 d) 56/70 e) N.A.

14. Hallar el nmero mixto: 7

18

a) 7

42 b)

7

12 c)

7

32 d)

4

25 e) N.A.

15. Hallar la fraccin equivalente de:

a) 3/7

a) 9/21 b) 9/20 c) 4/28 d) 30/7 e) 3/70

b) 3/11

a) 3/33 b) 30/110 c) 33/11 d) 33/10 e) 35/20

c) 11/15

a) 121/165 b) 11/5 c) 11/25 d) 121/25 e)121/225

d) 20/22

a) 60/22 b) 40/22 c) 60/6 d) 10/22 e) 20/1

Operaciones en Q

ADICIN DE FRACCIONES HOMOGNEAS

5

3

5

12

5

1

5

2

ADICIN DE FRACCIONES HETEROGNEAS

Observa el siguiente ejemplo:

6

7

5

7

3

2

PASO N 1

M.C.M. (3, 5, 6) = 30

PASO N 2

30

354220

6

7

5

7

3

2

Sigamos, observa:

6

7

6

34

2

1

3

2

PROPIEDADES DE LA ADICIN

1) Conmutativa

6

4

6

2

6

2

6

4

6

6 =

6

6

2) Asociativa

5

1

5

2

5

4

5

1

5

2

5

4

5

6 +

5

1 =

5

4 +

5

3

5

7 =

5

7

MULTIPLICACIN Solo tiene que multiplicar numerador con

numerador y denominador con denominador

30

8

6x5

2x4

6

2x

5

4

DIVISION Para dividir una fraccin con otra se multiplica la fraccin por el inverso multiplicativo del Divisor.

OBSERVA:

3

2

4

3

9

x4

x

2

3x

4

3

A)

6

25

3

= 2x5

6x3 =

10

18

Recuerda:

F. Homogneas

son aquellas que tiene el mismo

denominador.

Recuerda:

F. Heterogneas

son aquellas que poseen diferentes

denominadores

x x

x

Solo tiene que dividir el

MCM con el denominador y multiplicarlos

con el

Numerador.

Tambin lo puedes hacer as:

esto solo es posible cuando los denominadores son

primos entre s.

Conmutar

significa cambiar de posicin.

Asociar significa

Agrupar

Observa otra forma de dividir

fracciones

Producto de extremos

(Numerador)

Producto de medios

(Numerador)

LEY DE SIGNOS

( - ) ( - ) = +

( + ) ( + ) = +

( + ) ( - ) = -

( - ) ( + ) = -

EJERCICIOS DE APLICACIN 1. Coloca una (X) a la respuesta correcta:

En la suma de fracciones heterogneas es

necesario hallar el MCD?

2. Resolver: 4

13

6

15

a) 64/12 b) 68/12 c) 72/12 d) 14/12 e) N.A.

3. Efectuar las siguientes operaciones:

3

1

3

18

3

13

a) 29/5 b) 29/4 c) 29/3 d) 28/5 e) 26/4

4. Coloca V F segn corresponda:

a) 3

5,

3

2 F. Homogneas ( )

b) 3

6,

3

3 F. Heterogneas ( )

c) 7

5,

7

2 F. Nula ( )

5. Efectuar:

4

7

4

8

4

6

4

5

a) 25/4 b) 27/4 c) 28/4

d) 29/4 e) N.A.

6. Efectuar: 3

2

3

5

a) 6/3 b) 5/3 c) 7/3 d) 8/3 e) N.A.

7. Desarrollar: 13

15

5

13

a) 142/15 b) 143/15 c) 144/15 d) 145/16 e) N.A.

8. Efectuar:

10

30

10

100

5

20

5

15 =

a) 20/5 b) 10 c) 4 d) 25/5 e) N.A.

9. Coloca V F segn convenga

A) 7

4,

5

3 F. Homognea ( )

B) 5

7,

5

6 F. Heterognea ( )

C) 5

6

5

7 F. Homognea ( )

RESOLVER:

10. 3

66

3

1

4

6 21 =

11. 5

25

12

144

4

29

4

26 =

12. 100

600

5

525

6

48 =

13.

9

3

15

4

5

1 =

14. 7

59

7

48

7

14

7

28 =

15. 10

50

20

640

150

300

20

640 =

1. Colocar (V) (F) segn convenga:

A) En la sustraccin homognea se coloca el mismo

denominador. ( )

Al dividir signos

iguales siempre

resulta (+)

Al dividir signos diferentes siempre

resulta (-)

Si No

B) En la sustraccin se puede aplicar la propiedad

asociativa. ( )

EFECTUAR:

2. 5

15

5

5

5

12

5

13 =

3. 6

2

6

36

6

42

6

24 =

4. 9

13

9

4

9

81

9

45 =

5. 5

125

12

144

9

81

2

4 =

6. Desarrollar:

7

49

3

27

9

81

a) 5 b) 6 c) 7 d) 12 e) N.A.

Desarrollar:

7. 17516

516

12

144

5

25

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.

Efectuar:

8. 645

645

50

50

20

400

100

1500

a) 35 b) 45 c) 55 d) 75 e) N.A.

9. Para restar fracciones __________ restamos los

____________ y conservamos el mismo

______________

a) Homogneas denominadores signo

b) Heterogneas numeradores denominadores

c) Homogneas signos denominadores

d) N.A.

Efectuar:

10.

5

1

2

1

5

1

7

2

6

1

11.

2

3

5

21

3

2

6

12

5

13

12.

3

1

25

1

5

1

7

5

5

37

13.

2

1

4

1

8

1

3

2

2

1

8

1

2

1

3

2

14.

14

1

6

1

7

1

9

13

3

21

7

4

15.

7

11

2

5

3

1

2

12

7

11

16.

3

1

18

1

7

17

3

4

9

5

7

32

17.

6

1

5

11

3

11

5

12

2

13

18.

2

4

3

7

52

7

5

2

1

Simplificar:

19.

6

7

6

13

6

51

5

11 =

20.

9

52

9

73

9

111

9

13 =

21.

3

51

3

43

3

12

3

10 =

22.

11

52

11

21

11

13

11

9

11

12 =

1. Resolver aplicando la propiedad distributiba

a)

3

6

8

2x

6

4 =

b)

5

2

4

6x

12

10 =

c)

9

2

6

14x

7

3 =

2. Resuelve:

a)

6

5x

4

2 e)

3

6x

5

3 =

b) 6

7x

8

6 = f)

7

6x

5

8 =

c) 4

9x

9

5 = g)

9

9x

3

3x

4

6=

d) 5

20x

4

8= h)

3

2x

5

6x

4

5=

3. Resuelve aplica propiedad asociativa

a) 6

15x

5

3x

4

2

b) 2

1x

4

3x

8

6

c) 5

2x

3

3x

2

3

4. Desarrollar:

12

144x

9

81x

25

5x

4

8 =

5. Efectuar:

24

1

4

1xx

2

1

6. Completar:

a) 4

x7

5x

3

4

b) 2

x7

2

c) 13

5xx

5

3

7. Colocar verdadero o falso:

a) 30

6

3

7x

10

4 .... ( )

b) 30

22

10

11x

3

2 .... ( )

c) 5144

144x

81

81x

5

25 .... ( )

8. Relaciona el inverso multiplicativo:

a) 3

5

6

3

b) 5

6

7

2

c) 2

7

5

3

9. Colocar V F segn corresponda:

a) 42

15

2

1.

3

5.

7

3 .. ( )

b) 7

24

4

8.

5

7.

9

4 .. ( )

c) 5

29

3

8.

5

6.

4

5 .. ( )

10. 7 de cada 9 alumnos poseen reloj, si en un saln

asistieron 90 alumnos. Cuntos usan reloj?

a) 20 b) 70 c) 80 d) 30 e) N.A.

11. Calcular el nmero cuyos 3

2 es 34.

a) 26 b) 62 c) 51 d) 63 e) N.A.

12. Cul es el nmero cuyos 7

5 es 85?

a) 117 b) 129 c) 119 d) 139 e) N.A.

13. De qu nmero es 78 sus 4

3?

a) 89 b) 93 c) 102 d) 104 e) N.A.

14. Los 7

4 de la propina de Luis equivalen a 52 nuevos

soles, Cunto es la propina?

a) S/. 103 b) 90 c) 91 d) 97 e) N.A.

15. Un tanque tiene agua hasta la septima parte de su

capacidad, total si se aadimos 100 litros ahora el

tanque tiene la quinta parte. Cul es la capacidad

del tanque?

a) 240 b) 300 c) 320 d) 1750 e) N.A.

16. Desarrollar:

2

1

7

5

17. Efectuar:

81

81

2

3

4

53

2

4

3

18. Resuelve: 3

13

4

12

19. Resuelve:

2

1x

4

33

2x

3

1

20. Resuelve usando el mtodo de multiplicacin en cruz

a) 14

4

2

7 d)

12

4

16

12

b) 2

3

4

6 e)

12

144

5

25

c) 12

10

5

8 f)

100

200

10

30

21. Colocar verdadero falso

a) 167

4

7

48 . ( )

b) 5

14

7

3

5

2 . ( )

c) 10

4

2

5

4

3 . ( )

22. Desarrollar:

5

25

2

45

25

2

4

23. Efectuar:

6

36

8

64

7

495

25

12

144

9

81

24. Efectuar:

a) 18

6

7

4 b)

18

6

12

9 c)

7

2

5

4 d)

5

4

2

6

25. Disminuir 180 en sus 15

11

a) 36 b) 48 c) 40 d) 12 e) N.A.

26. Al dividir un nmero entre su inversa se obtiene 81. Hallar dichos nmeros. a) 19 b) 9 c) 1/18 d) 3 e) N.A.

27. Cuntos cuartos hay en 2

16 ?

a) 26 b) 13 c) 39 d) 24 e) 25

28. Se divide la edad de una persona por 1/5 resulta 25 aos. Cul es la edad de la persona? a) 125 b) 20 c) 5 d) 30 e) N.A.

29. Un barco recorre 30 km. por una hora, Cuntos

km. recorrer en 3

22 de hora?

a) 80 b) 100 c) 40 d) 50 e) N.A.

30. Si A 3 de cada 5 jvenes de un colegio le gusta la matemtica y el colegio tiene 500 alumnos. A cuntos de ellos no les gusta la matemtica? a) 200 b) 300 c) 400 d) 500 e) N.A.

Nmero decimal

FRACCIN DECIMAL:

Cuando sus denominadores son potencias de 10

1000

2,

100

8,

10

4

FRACCIN ORDINARIA

6

1,

7

2,

5

3 D de potencia 10

NMERO DECIMAL

Se lee la parte entera, luego la parte decimal nombrando el lugar que ocupa la ltima cifra.

1. Decimal exacto: es el que tiene un nmero

limitado de cifras decimales.

625,08

5

2. Decimal peridico puro: Es el que tiene una

o varias cifras decimales que se repite infinitamente.

.....44444,09

4

3. Decimal Peridico Mixto: Es aquel que tiene una parte no peridico y otra peridica

.....38888,018

7

OPERACIONES CON DECIMALES

a) ADICIN Y SUSTRACCIN: Primero

tenemos que tener en cuenta que la coma debe estar una debajo de otra. La suma y

resta se realiza como en los nmeros naturales.

4, 2 + 0,23 + 4,216

4 , 2

0 , 23

4 , 216

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