BANCO DE PREGUNTAS DE ARITMETICA

SEMANA N 02 TEMA: SISTEMAS DE NUMERACINCOORDINADOR: LIC EN MAT. SEGUNDO BASILIO CORREA ERAZO 1. SISTEMA DE NUMERACIN. Se define a un sistema de numeracin como el conjunto de reglas y principios para leer y escribir correctamente a los nmeros. En la presente seccin describiremos cada uno de estos principios, y para eso usted debe estar predispuesto, con la finalidad de no caer en algo incomprensible; por el contrario, sentir la importancia que aquellos principios tienen en la correcta lectura y escritura de los nmeros. 1.1. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIN Aqu es necesario introducir algunos conceptos que en nuestra formacin acadmica quedaron ambiguos. Esto es: Orden. Se llama orden a la posicin que ocupa cada una de las cifras dentro del nmero en estudio. Estas rdenes se deben considerar de derecha a izquierda. Por ejemplo. En el nmero o numeral 3478, se tendr. Asimismo un numeral de cuatro cifras ser

abcd ( n ) ,donde: a, b, c, d < nY as sucesivamente. 6. Las condiciones anteriores se pueden resumir literalmente de la forma siguiente Para que un numeral este bien representado (o este bien escrito) es necesario que todos los dgitos sean estrictamente menores que la base. 7. El comentario anterior nos obliga a establecer los principales sistemas de numeracin en el siguiente cuadro.BASE 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 SISTEMABINARIO TERCIARIO CUATERNARIO QUINARIO SENARIO EPTAL OCTAL NONARIO DECIMAL UNDECIMAL DUODECIMAL

CIFRAS A UTILIZAR0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8 0,1,2,3,4,5,6,,9 0,1,2,3,4,5,6,, a 0,1,2,3,4,5,6,, a , b

3478Unidades (primer orden) Decenas (Segundo orden) Centenas (Tercer orden) Millares (Cuarto orden) . . .

Base. Es un numeral que nos indica la cantidad de smbolos o cifras diferentes que se emplean para escribir un nmero en un sistema dado. 1.2. PRINCIPIOS IMPORTANTES 1. Cualquier numeral que usted escriba debe poseer una base y aquella aparece escrita como un sub ndice, en la parte inferior derecha del numeral. Por ejemplo El numeral

equivalen Las letras griegas a y b en numeracin numricamente a 10 y 11 respectivamente. Si analizamos en el cuadro, el sistema Eptal, significa que para escribir un nmero en base 7 usted cientfico solo puede utilizar los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, es decir el mximo valor que puede tomar un digito ser siempre una unidad menos que la base. 2.- CAMBIOS DE BASE Cualquier nmero dado en cualquier base se puede rescribirle en una base diferente; para esto explicaremos con ms detalle en los prximos algoritmos. 2.1. CONVERSIN DE BASE DECIMAL (BASE 10) A BASE DIFERENTE DE 10 (base n) Este algoritmo es muy simple y se emplea para convertir un nmero escrito en nuestro sistema (base 10) a cualquier base diferente de 10. Vemoslo con un ejemplo concreto. Ejemplo. Convertir 8975 al sistema de base 6. El algoritmo consiste en dividir el numeral dado por la base a la que me piden llevar hasta donde sea posible la divisin y los dgitos sern todos los residuos ms el ltimo cociente, empezando por el ltimo cociente. As

872567 (9)

es un nmero escrito en base 9 o

tambin llamada base nonal. 2. Existe un convenio universal de matemticas, en el que se manifiesta que cuando se trate de un nmero en base decimal (o base 10) ya no se le escriba la base 10, puesto que es el sistema utilizado por la gente de todo el mundo, Por ejemplo; si se tratara de escribir nuestro nmero 578, lo correcto sera escribirlo de la siguiente forma:

578(10)

Pero por el comentario antes indicado solo se escribe 578. 4. Los nmeros con los que se escribe un numeral ms considerable numricamente hablando, se les llama cifras o dgitos. Por ejemplo en el numeral

5676521046(8)

los

dgitos o cifras serian: 5, 6, 7, 5, 2, 1 ,0 y 4. 5. En forma general se acostumbra a denotar a cada uno de los dgitos de cualquier numeral con letras minsculas del alfabeto y a su base con la letra n, Adems cuando el numeral tiene mas de una cifra se le coloca una rayita sobre el Por ejemplo: Un numeral de una cifra ser

a( n ) ,donde: a < n ab ( n ) ,

As pues el nmero en base 6 ser

Un numeral de dos cifras se denota por donde:

105315(6)

a, b < nUn numeral de tres cifras se representar por

abc ( n ) , donde: a, b, c < n

Propiedad. A menor base le corresponde mayor nmero y viceversa a mayor base menor nmero. Por ejemplo:

681a(11) = 8975(10) = 13272(9) = 105315(6)

BANCO DE PREGUNTAS DE ARITMETICA2.2. CONVERSIN DE BASE n 10 A BASE DECIMAL (BASE 10) El algoritmo es muy simple de comprender, se le llama Descomposicin Polinmica, y lo veremos con un ejemplo concreto. Ejemplo. Convertir 2.4 CONVERSION DE BASE 10 A BASE n PARA EL CASO DE NMEROS DECIMALES Para mejor comprensin vemoslo con un ejemplo. Ejemplo. Expresar en el sistema quinario el nmero 0,32

105315(6)

a base decimal

105315(6) = 1(6)5 + 0(6)4 + 5(6)3 + 3(6)2 +1(6) + 5 = 7776+ 0 +1080 +108 +6 =8975Otra forma de convertir de base diferente de 10 a base 10 es el llamado mtodo de Rufini. Este mtodo consiste en los siguientes pasos. 1. Se trazan dos lneas perpendiculares y se anota la base del sistema en la que esta escrito el numero. As

+5

Entonces: 0,32= 0,13(5) . 2.5. CONVERSIN DE BASE n 10 A BASE 10 PARA EL CASO DE NMEROS DECIMALES. Practiquemos con un ejemplito para que el aprendizaje sea ms fcil. Ejemplo. Convertir 0,13(5) a base decimal.

2. Se anotan los dgitos del nmero en forma horizontal en la parte superior. Del ejemplo anterior se tendra:

0,13(5) = 1.5-1 + 3.5-2 = =

1 3 5+3 8 + = = = 0,32 5 25 25 25

OBSERVACIONES INTERESANTES Un numero de dos cifras se descompone como sigue:

ab( n ) = a.n + b3. El paso 3 consiste en multiplicar el primer digito por la base, anotar en la siguiente columna, sumarle con el siguiente digito y repetir el proceso hasta el ltimo. Esto es: Un numeral de tres cifras se descompone como sigue:

abc ( n ) = a.n 2 + b.n + cUn numeral de tres cifras se descompone como sigue: . De lo comentado anteriormente se deduce fcilmente que As

abcd ( n ) = a.n3 + b.n 2 + c.n + d

ab = a.10 + b = 10a + b pues ab = 10a + b , ojo es muy utilizado.

PROPIEDADES INTERESANTES

As pues el numero en base decimal ser el que aparece en el recuadro 2.3. CONVERSIN DE BASE n A BASE m, DONDE n m 10 Se lleva de base n a base decimal mediante el algoritmo de descomposicin Polinmica y posteriormente se le lleva a base m utilizando divisiones sucesivas. Para mayor visualizacin se presenta un cuadro sinptico.

1.

(n - 1)(n - 1)( n - 1)L ( n - 1) 14444244443 4 4k cifras (n)

= nk - 1

2. Mtodos de conversin simples

a)

0, ab( n= )

ab ( n ) 100( n )

b)

) 0, ab( n= )

ab( n ) - a (n - 1)0( n )= n + ( a + b + c + K + x)

3. Bases sucesivas

1a 1b 1c O 1x( n )

BANCO DE PREGUNTAS DE ARITMETICA a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 11. Efectuar 8a 95(13) - 238c(13) a) 5806(13) c) 116 d) 8806(13) b) 6706(13) e) 9506(13) c) 3

1.

Si se sabe que los nmeros 1aa (4) , 2cc ( a ) , bb( c ) estn bien escritos, adems

a, b, c

son c) 7906(13)

diferentes. Hallar abc (6) . a) 112 d) 118 2. b) 114 e) 120

Calcular 3m + 2n - p , si se sabe que los siguientes numerales estn correctamente escritos.

12. Efectuar 5642(7) 42(7) . Dar como respuesta el cociente. a) 132(7) d) 136(7) b) 124(7) e) 156(7) c) 143(7)

31m ( 4) ,21n ( m ) , pp0( n )a) 12 d) 15 3.5

b) 13 e) 164

c) 142

Si N = 14.13 + 21.13 + 27.13 + 5.13 + 17 . Cul ser la suma de cifras del numeral N al expresarlo en base 13? a) 20 d) 23 b) 21 e) 24a b

13. Si:

ab121111( 3) = ba14( 6 ) . Adems:b) 12 e) 18 c) 14

bab = xyzw(5) . Hallar b + x + y + z + wa) 10 d) 16 14. Sabiendo que:

c) 22c d e

4.

Sabiendo que 2541= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 . Hallar a + b + c + d + e . a) 20 d) 23 b) 21 e) 24 c) 22

abm ab ab m - veces O ab(3) Hallar a + b + m a) 2 d) 8 b) 6 e) 12

= 14(1 + m) + 10(2)

5.

Expresar en el sistema quinario el nmero 0,6088 a) 0, 30102 c) 0, 30104

) )

b) 0, 30102 d) 0,4 e) 0,45

c) 7

6.

Hallar n , si 554( n +2) = 444( n +3) . a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

15. El nmero 44444447 , esta escrito en base 8. Cules son las tres ltimas cifras que se obtienen al representarlo en base 4? a) 313 d) 013 b) 213 e) 143 c) 113

7.

Hallar a + b si 15425( a ) = a1( b ) b3(8) a) 9 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11

16. Al expresar el nmero

ab 841(16) en el sistema

8.

Hallar w - x si 2( x + 4) w = 120( xw ) a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

binario Cuntas cifras no significativas se utilizan? ANULADA a) 12 d) 10 b) 9 e) 4 c) 7

9.

Si ww...w 123 a) 13 d) 16

= 1xyz . Hallar w + x + y + z + k .b) 14 e) 17 c) 15

k - cifras (2)

17. Cuntos numerales se escriben con 3 cifras en el sistema octonario y nonario a la vez? a) 340 d) 447 18. Cuantos b) 294 e) 431 nmeros c) 198

10. Al convertir el nmero ( a - 3)(a )( a + 2)(7) , al sistema quinario se obtiene un nmero capica de tres cifras. Dar como respuesta la suma de las cifras diferentes de dicho nmero capica.

abc (9)

igual

a

( a - 1)(b - 1)c (11) existen?a) 1 d) 9 b) 2 c) 8 e) ms de nueve

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19. L a suma de las dos nicas cifras que tiene un nmero es 9 y la mitad del nmero es igual a cinco veces la cifra de las decenas. Dicho numero esta comprendido en el intervalo. a) 81 < N < 94 c) 45 < N < 58 e) 62 < N < 70 b) 95 < N < 100 d) 70 < N < 79

20. En dos sistemas de numeracin cuyas bases se diferencian en 6 unidades, el mayor numeral de 3 cifras de una de las bases excede al mayor numeral de 3 cifras de la otra base en abcd ; si

cd = 3ab . Dar la suma de ambas bases desconocidas.a) 14 d) 9 b) 20 e) 7 c) 31

21. Hallar un numero de 4 cifras que termina en uno; sabiendo que si esta cifra se traslada a la izquierda del este disminuye en 108 unidades. Indicar la suma de sus cifras. a) 7 d) 12 b) 8 e) 13 c) 10

22. Hallar a + b + n . Si 11ab( n ) = 79( n 2 ) . a) 9 d) 13 23. Hallar b) 10 e) 14 s c) 11 Si:

aaa(k ) 0,= kak ( p ) - a0 p (4) quarksa) 6 c) 8 b) 7 d) 9 e) 4

24. Si 4(b + 1)3(6) = bbb 4( n ) , expresar bbb4( n ) en el sistema decimal: a) 149 c) 169 b) 159 d) 205 e) 309

25. Determinar cuantos numerales de la forma

( w - 3)( x - 4)( x + 6)(2 w) , en base 33 existen cuyas cifras sean significativas.a) 416 d) 286 b) 260 e) 252 c) 326

26. En la numeracin de las pginas de un libro de

ab pginas se han utilizado 506 cifras menos que en la numeracin de otro de 2ba pginas. Hallar a - b .a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

BANCO DE PREGUNTAS DE ARITMETICA TRABAJO PRCTICO 1. Hallar un nmero sabiendo que al agregarle la suma de sus cifras se obtiene 551. Dar como respuesta la cifra mayor. a) 5 d) 3 b) 4 e) 7 c) 6Curso: ARITMTICA Semana: 02 Pregunta Clave Tiempo (min.) Dificultad

2. Si (2a )(2a )(2a ) (8) = a 06( n -1) . Hallar a + n . a) 12 d) 16 b) 14 e) 10 c) 8

3. Si el nmero 242424...24 (9) de 30 cifras se convierte al sistema de base 3. Cuntos ceros habrn en su escritura? a) 13 d) 16 b) 14 e) 30 c) 15

4. Hallar a.b , si ab = a ( a + b) . a) 30 d) 34 b) 31 e) 36 c) 32

5. Si se cumple: 122(a - b)(a - b )(50) = 31abba (6m) 4m 2(5) Calcular: a x b + m a) 2 c) 5 b) 4 d) 6 e) 3

TRABAJO PRCTICO Pregunta Clave Tiempo (min.) Dificultad