Aritmética 2do 4bim 2005

CEP Santa María de la Providencia

Cuarto Periodo 2do. de Secundaria1

C.E.P. Santa María de la Providencia



Capítulo 1


REGLA DE TRES

Es una aplicación de las magnitudes proporcionales que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, comparando dos o más magnitudes proporcionalesHay dos clases de regla de tres:

1. Regla de Tres Simple

Una regla de tres simple es cuando intervienen solamente dos magnitudes Puede ser:

1.1 DIRECTA

La regla de tres simple es directa cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales, con sus respectivos valores correspondientes

D.P Como A D.P B, se cumple

A Ba1 b1

a2 x

Ejemplo:



Una cuadrilla de 42 obreros cavan 140 metros de zanja en cierto tiempo. ¿Cuántos metros de zanja harán 60 obreros en el mismo tiempo?

Resolución: D.P Se cumple

Obreros Zanja

42 140m 60 x

x = 200m1.2 INVERSALa regla de tres simple es inversa cuando las magnitudes que invierten son inversamente proporcionales Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales, con sus respectivos valores correspondientes

I.P Como A I.P B, se cumple

A Ba1 b1

a2 x

Ejemplo:Una cuadrilla de 35 obreros pueden hacer una obra en 18 días. ¿En cuántos días 21 obreros harán la misma obra?

Resolución: I.P Se cumple

Obreros Días 35 18m 21 x x = 30 días

2. Regla de Tres Compuesta



Una regla de tres es compuesta cuando intervienen más de dos magnitudes

En general:

(Obreros) I.P (Rendimiento)(Obreros) I.P (Días)(Obreros) I.P (h/d)(Obreros) D.P (Obra)(Obreros) D.P (Dificultad)

En consecuencia:

Ejemplo:Treinta obreros en 20 días trabajando 8 horas diarias pueden hacer 600 m de zanja. ¿En cuántos días 24 obreros trabajando 10 horas diarias harán 450 m de zanja?

Resolución:

Obreros Días h/d Obra30 20 8 60024 X 10 450

Se cumple que:

Reemplazando:

x = 15 días

PROBLEMASBLOQUE I



01.- Un grupo de 5 jardineros iban apodar un jardín en 6 horas. Sólo fueron 3 jardineros. ¿Qué tiempo emplearán en podar el jardín?

a) 12h b) 9h e) 10h d) 8h e) 14h

02.- El precio de 2 ½ docenas de naranjas es S/. 24. ¿Cuál será el precio dé 18 naranjas?

a) S/. 12,20 b) S/. 15,30 c) S/. 16,20d) S/. 14,40 e) S/. 10,50

03.- Un terreno se vende por partes, los 2/5 se vendieron en $3000. ¿En cuánto se vendería 1/3 del terreno?

a) $2800 b) $ 1 600 c) $ 2 200d) $ 2 750 e) $ 2 500

04.- Se vendió los 5/9 de un terreno en $ 2 500. ¿En cuánto se venderá la otra parte?

a) $ 2 000 b) $ 1 800 c) $ 1 750d) $ 1 500 e) $ 2 250

05.- Un automóvil consume 3 ¾ galones de gasolina cada 120km. ¿Cuántos galones consumirá para recorrer una distancia de 180 km?

a) 6 3/8 gl b) 3 4/5 g c) 5 5/8 gld) 5 4/5 gl e) 6 ½ gl

06.- Una secretaria escribe a máquina, a razón de 180 palabras por minuto. ¿A qué hora terminará con un dictado de 5400 palabras, si comenzó a las 9:52 a.m.?a) 10:42 a.m. b) 10:18 a.m.c) 10:28 a.m. d) 10:22 a.m. e) 10:24 a. m.07.- Un grupo de amigos disponía de S/. 360 para gastar vacacionando durante 4 días. ¿Para cuántos días les alcanzarían S/. 630?



a) 7 b) 6 c) 8 d) 6 ½ e) 8 ½

08.- Un grupo de gallinas, tiene maíz para 18 días; después de 3 días, se sacrifica a la tercera parte. ¿Cuántos días durará el maíz para las restantes?

a) 24 b) 26 c) 20 1/3 d) 22 1/2 e) 21 1/2

09.- En el Hogar de los Petizos, hay desayuno para 24 niños durante 20 días. Después de 5 días, se retiraron 9 niños. ¿Calcular el número de días que habrá desayuno para los restantes?

a) 2l b) 24 c) 22 d) 25 e) 23

10.- El anfitrión de una fiesta calculó que para sus 40 invitados tendría licor durante 4 horas. Pero resultó que después de 1 hora que comenzó la fiesta, llegaron a un mismo tiempo 20 amigos de su promoción. ¿Qué tiempo más durará el licor?

a) 3h b) 3 ¼ h c) 2 ¼ h d) 2 ½ e) 2 h

11.- Un pintor emplea 45 minutos en pintar una pared cuadrada de 3 metros de lado. ¿Qué tiempo empleará en pintar otra pared de 4 metros de lado?

a) 75 min b) 81 min c) 80 min d) 72 min e) 76 min

12.- Un agricultor demoró 8 horas en sembrar un terreno de forma cuadrada, de 120 m de lado. ¿Qué parte de otro terreno de 160 in de lado podrá sembrar en 12 horas?

a) 5/6 b) 25/48 c) 27/32 d) 9/16 e) 15/36

13.- Un ciclista recorre 75 m cada 3 segundos; ¿cuántos kilómetros recorrerá en 1/4 hora?

a) 37,5 km b) 43,5 km c) 17,2 km



d) 22,5 km e) 24,5 km

14.- Si 18 obreros pueden terminar una obra en 65 días, ¿cuántos obreros se requieren para terminarla en 26 días?

a) 45 b) 42 c) 36 d) 48 e) 40

15.- Un grupo de 9 peones puede cavar una zanja en 4 días. ¿Cuántos peones más se deberían contratar, para cavar la zanja en sólo 3 días?

a) 12 b) 3 c) 6 d) 9 e) 15

16.- En 12 días, 8 obreros hicieron 2/3 de una obra. ¿En cuántos días más harán el resto de la obra?

a) 12 días b) 3 días c) 9 días d) 8 días e) 6 días

17.- Por pintar todas las caras de un cubo, se cobró S/. 15. ¿Cuánto se cobrará por pintar sólo 2 de sus caras?

a) S/.2,50 b) S/. 5 c) S/. 7,50 d) S/. 4,50 e) S/. 6

18.- Tres de cada 576 encendedores que sé fabrican resultan defectuosos; ¿cuántos encendedores, sin defecto, habrán en un lote de 2 880 encendedores?

a) 2877 b) 2 875 c) 2 868 d) 2 865 e) 2 855

19.- Un grupo de 9 secretarias se comprometió en hacer un trabajo de mecanografía en 6 horas. Después de 2 horas de trabajo, se retiran 3 secretarias. ¿En cuántas horas más, del tiempo acordado, terminarán el trabajo las secretarias que quedan?a) 3 h b) 1,5 h c) 2 h d) 3,5 h e) 2,5 h20.- Un burro atado a una soga de 4 m demora 6 horas en comer el pasto que está a su alcance. ¿Qué tiempo hubiera empleado en comer el pasto a su alcance, si la soga fuera de 6 m?



a) 10 ½ h b) 7 1/3 h c) 13 ½ h d) 15 ½ h e) 14 1/3 h

BLOQUE II

01.- Cinco cocineras pueden preparar un banquete para 36 personas, en 4 horas. ¿Cuánto tiempo emplearán 8 cocineras, en preparar otro banquete para 45 personas?

a) 5 1/3 h b) 7 1/3 h c) 13 ½ h d) 15 ½ e) 14 ½ h

02.- En cierta población de 2500 habitantes, se consumen 1500kg de harina en 3 días. ¿Cuántos habitantes consumirán 450kg en 2 días?

a) 1 150 b) 1 125 c) 1 075 d) 1 175 e) 1 025

03.- Un labrador puede sembrar un campo en 6 días, empleando 6 bueyes durante 4 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias debe hacer trabajar a 9 bueyes, para sembrar otro campo similar, en 8 días?

a) 1 ½ b) 3 ½ c) 3 d) 2 e) 2 ½

04.- Doce obreros demoraron 5 días en hacer los 3/5 de una obra; ¿en qué tiempo terminarán la obra 8 obreros?


05.- En un estudio contable trabajan 6 contadores que llevan la contabilidad de 4 empresas. Si demoran 8 días en dar el balance de dichas empresas, ¿cuántos contadores más se deben contratar sise necesita el balance de 3 empresas en 4 días?

a) 3 b) 1 c) 4 d) 5 e) 606.- Cinco niños se comieron 5 chocolates en 5 segundos. ¿En qué tiempo se comió un chocolate, un niño?

a) 1 s b) 10 s c) 5 s d) 6 s e) 8 s



07.- Tres jardineros, trabajando 5 horas diarias, podaron un jardín en 4 días. ¿Qué tiempo emplearán 8 jardineros en podar otro jardín similar, pero trabajando sólo 3 horas diarias?

a) 2 1/3 días b) 3 ½ días c) 4 ½ díasd) 2 ½ días e) 2 2/3 días

08.- Un grupo de 8 peones realizan un trabajo, empleando para ello 4 días, de 6 horas diarias de trabajo. ¿Cuántos peones como mínimo se deberían contratar, para que trabajando 8 horas diarias, se pueda realizar el trabajo en 2 días?

a) 12 b) 4 c) 6 d) 2 e) 5

09.- Una flota de 160 camiones tiene gasolina para 10 días, a razón de 3 galones diarios por cada camión. Si aumenta la flota en 40 camiones, ¿para cuántos días durará la gasolina, a razón de 2 galones diarios por camión?

a) 10 b) 9 c) 12 d) 15 e) 8

10.- Una familia de 4 personas, gasta S/. 1500 en 3 meses. ¿Cuánto gastará la familia en 5 meses, si uno de sus miembros se va?

a) S/. 1 620 b) S/. 1 275 c) S/. 1 850d) S/. 1 825 e) S/. 1 875

11.- Un grupo de 30 obreros, se comprometió en hacer una obra en 15 días. Después de 9 días, sólo han hecho 3/11 de la obra. ¿Cuántos obreros se deberán contratar para terminar la obra en el tiempo acordado?

a) 60 b) 80 e) 120 d) 90 e) 15012.- Quince latas de leche son necesarias para 7 niños, por 2 días. ¿Cuántas latas de leche necesitan 4 niños, para 7 días?

a) 25 b) 45 c) 18 d) 20 e) 30



13.- Seis alumnos demoran 48 minutos en resolver 3 separatas de 12 problemas cada una. ¿Qué tiempo emplearán 9 alumnos en resolver 6 separatas de 18 problemas cada una?

a) 105 min b) 92 min c) 90 min d) 96 min e) 94 min

14.- 44 obreros, trabajando 10 horas diarias, han empleado 12 días en cavar una zanja de 440 m de largo. ¿Qué largo tendrá la zanja cavada por 24 obreros, trabajando 8 horas diarias, durante 15 días?

a) 250 m b) 240 m c) 260 m d) 280 m e) 270 m

15.- Tres pintores demoraron 4 horas en pintar 4 paredes de 8m2

cada una. ¿Cuántas horas deberán emplear 8 pintores en pintar 2 paredes de 16 m2 cada una?

a) 1 1/3 h b) 2 ½ h c) 3/4 h d) 3/5 h e) 1 1/2 h

16.- Doce vacas producen 150 litros de leche, en 2 días. ¿Cuántos litros de leche producirán 8 vacas en 6 días?

a) 450 b) 300 c) 280 d) 320 e) 360

17.- Doce ratones comen 2½ kg de queso en 3 horas; 18 ratones, ¿qué tiempo demoran en comer4 kg de queso?

a) 3 1/3 h b) 2 ¾ h c) 4 ½ h d) 3 1/5 e) 4 ¾ h

18.- Cinco tuberías abiertas durante 45 minutos, llenaron un depósito de 250 litros de capacidad. ¿Qué tiempo deberían estar abiertas 3 de las tuberías, para llenar otro depósito de 2/5 de la capacidad del primero?a) 25 min b) 36 min c) 60 min d) 30 min e) 27 min19.- Diez enfermeras, aplican 10 inyecciones a 10 pacientes, en 10 min. Entonces 1 enfermera aplicará 1 inyección a 1 paciente en:



a) 1 min b) 5 min c) 10 min d) 100 min e) 11min

20.- Debido a las inundaciones, 1 250 familias tuvieron que ser ayudadas por el gobierno. Se calculó que dando 6 panes a cada familia, se tendría harina para 150 días. Como el número de damnificados aumentó en 250, ¿para cuántos días durará la harina, dando la misma cantidad de panes a cada familia?

a) 125 b) 175 c) 160 d) 120 e) 130

BLOQUE III

01.- 30 pintores tardan 40 días en pintar una casa. Si duplicamos el número de pintores, ¿cuántos días tardarán en pintar otra casa de iguales dimensiones a la primera?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

02.- Una expedición de 80 hombres tiene víveres para 30 días. Si se incrementan 20 hombres, ¿para cuántos días alcanzarán los víveres?

a) 20 b) 24 c) 28 d) 26 e) 32

03.- El costo de 17 cuadernos es de S/. 91. ¿Cuánto costarán 85 cuadernos?

a) S/.455 b) 637 c) 273 d) 182 e) 364

04.- De cada 120 alumnos se sabe que 35 viven en zona residencial. Cuántos no viven en zona residencial de un total de 1080 alumnos.

a) 825 b) 810 c) 729 d) 765 e) 85505.- Una cuadrilla de campesinos tarda 18 horas en cosechar un terreno de forma cuadrada de 12m de lado. Cuántas horas tardarán en cosechar otro terreno de forma cuadrada, pero de 16 m de lado.



a) 24h b) 26h e) 30h d) 32h e) 36h

06.- Una vaca atada a un poste, con una cuerda de 2 m, tarda 16 horas en comer todo el pasto que está a su alcance. Si la cuerda fuese de 5 m, ¿cuántas horas tardaría la vaca, en comer todo el pasto que está a su alcance'?

a) 40 h b) 45 h c) 60 h d) 70 h e) 100 h

07.- Un cubo de hielo de 40 cm de arista, cuesta S/. 64. Cuánto costará otro cubo de Hielo, de 50 cm de arista.

a) 80 b) 90 c) 105 d) 125 e) 150

08.- En un balón esférico de 20 cm de diámetro caben 1,6 kg de maíz. En otro balón de 50 cm de diámetro, ¿qué peso de maíz podrá caber?

a) 4 kg b) 10 kg c) 15 kg d) 25 kg e) 30 kg

09.- 90 litros de agua de mar contienen 3 libras de sal. ¿Cuánto de agua dulce habrá que agregarle para que en cada 12 litros de la nueva mezcla haya 1/3 de libra de sal?

a) 15 b) 18 c) 20 d) 21 e) 24

10.- Se mezclan 80 litros de agua con 2 kg de azúcar. ¿Qué cantidad de agua se debe agregar para que en cada 10 litros de la mezcla, haya 1/6 de kg de azúcar?

a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20

11.- El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Un diamante cuesta S/. 16 000 y pesa el doble de otro diamante, del cual no se conoce su precio. Calcúlelo.



a) S/. 1 000 b) S/. 2 000 c) S/. 3 000 d) S/. 4 000 e) S/. 5 000

12.- Dos corredores parten al mismo tiempo en una pista circular de longitud media de240m. Si las velocidades de los corredores son respectivamente 35 m/min y 30 m/min, ¿al cabo de cuántos minutos volverán a estar juntos?

a) 42 min b) 48 min e) 50 min d) 55 min e) 60 min

13.- Una expedición de1800hombres tiene víveres para 40 días. Al cabo del 7° día, se retiran 150 hombres. ¿Cuántos días durarán los víveres para el resto de los hombres?

a) 34 b) 35 c) 36 d) 37 e) 38

14.- 35 obreros inician un trabajo, que lo entregarán en 24 días. Al cabo del sexto día de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Cuántos días más necesitarán el resto de los obreros para culminar la obra?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15.- Se contratan 30 obreros de igual rendimiento para hacer un trabajo en 20 días, Antes de iniciarlos trabajos, el capataz decide remplazar a 10 de estos por otros 10 obreros, pero doblemente hábiles. ¿Con cuántos días de anticipación entregarán la obra?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16.- 40 obreros de igual rendimiento pueden realizar una obra en 36 días. Si antes de empezar se reemplaza a 10 de estos obreros, por otros tantos cuya eficiencia es el triple, ¿con cuántos días de anticipación entregarán la obra?a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 1417.- Dos engranajes de 240 dientes y 60 dientes se acoplan. Si el engranaje de mayor tamaño da 7 vueltas, ¿cuántas vueltas dará el otro?

a) 24 b) 26 c) 25 d) 28 e) 30



18.- Dos engranajes acoplados tiene respectivamente 75 y 40 dientes. Si la de menor tamaño da 15 vueltas, ¿cuántas vueltas dará la de mayor tamaño?

a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2

19.- Un obrero trabajó 16 días, en lugar de 12, por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántas horas diarias trabajó?

a) 4h b) 6h c) 7h d) 5h e) 3h

20.- Con cierto número de máquinas de igual potencia se puede realizar un trabajo en 15 días. Si aumentamos en 6 el número de máquinas, el trabajo se entregaría con 5 días de anticipación. ¿Cuántas máquinas hay?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e)14

BLOQUE IV

01.- Una obra puede ser hacha por 8 hombres en 16 días trabajando 10 h/d. Si antes de empezar la obra, 4 de ellos aumentan su rendimiento en 50%, ¿Cuántos días de 8 h/d de trabajo demoran en realizar la obra?

a) 3 b) 7 c) 8 d) 2 e) 16

02.- Un grupo de 21 hombres han hecho en 12 días e 8 h/d “a” metros de una carretera. Otro grupo de 40 obreros 1/5 más eficientes que los anteriores han hecho “b” metros de la misma carretera en 7 días, trabajando 10 h/d. Hallar la relación a/ba) 2/7 b) 1/5 c) 3/5 d) 2/5 e) 3/703.- Si 8 obreros levantan una pared de 50 m de largo por 2 m de altura en 8 días, ¿Cuántos días necesitarán 12 obreros para levantar una pared de 20 m de largo por 10 m de altura siendo la eficiencia del primer grupo a la del segundo grupo como 3 es a 2?



a) 29 b) 27 c) 25 d) 20 e) 16

04.- 15 obreros se comprometen a realizar una obra en 25 días trabajando 8 h/d. al cabo del quinto día se les exige que entreguen la obra 8 días antes de los acordado, razón por la cual deciden trabajar 10 h/d y contratar más obreros. ¿Cuántos obreros se contrataron?

a) 4 b) 6 c) 5 d) 8 e) 10

05.- Una cuadrilla de obreros pueden termina una obra en 40 días. Si después de haber trabajado 15 días se retiró la tercera parte de la cuadrilla y los que quedan continúan el trabajo hasta terminar la obra, pero con un 25% menos de rendimiento. ¿En qué tiempo se termino toda la obra?


06.- Un grupo de obreros puede hacer una obra con 15 días trabajando 6 horas por días. Los primeros 9 días sólo trabajó la tercera parte de los obreros. Si lo que falta puede ser terminada por 27 obreros en 17 días de 8 hora diarias de trabajo, ¿Cuántos obreros componen el primer grupo?

a) 36 b) 45 c) 51 d) 58 e) 60

07.- Quince personas pueden hacer 1500 cerámicas en 6 días trabajando 6 h/d. si luego de hacer 500 cerámicas, 6 personas se retiran y los restantes deciden trabajar dos horas más por día, ¿Cuántos días en total emplearon para hacer toda la obra?

a) 10 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

08.- Una secretaria piensa que si escribe al día 2 páginas más de lo establecido normalmente completará el trabajo a realizar 3 días antes de lo previsto, mientras que si escribe 4 páginas demás al día, acabará 5 días antes de lo previsto. ¿Cuántas páginas tiene que escribir?a) 12 b) 36 c) 72 d) 90 e) 120



09.- En la costa, 100 obreros pueden hacer 150 km de carretera en 40 días trabajando 9 h/d, en una zona cuya dificultad se puede representar por E. ¿Cuántos días demorarán 200 obreros con una eficiencia 0,5 mayor que los anteriores en hacer 350 km de carretera en la selva, cuya dificultad se puede representar por 3, trabajando 8 h/d?a) 75 b) 105 c) 90 d) 120 e) 135

10.- Se emplearon 10 hombres durante 5 días trabajando 4 horas diarias para cavar una zanja de 10m de largo, 6m de ancho y 4 de profundidad. ¿Cuantos días necesitarán 6 hombres trabajando 3 horas diarias para cavar otra zanja de 15 m de largo, 3 de ancho y 8 de profundidad en un terreno de doble de dificultad que el primero?a) 91/3 b) 100/3 c) 110/3 d) 82/3 e) NA

11.- Ocho hombres construyen 10 casas 10 años trabajando con cierto esfuerzo. ¿Cuántos hombres con la misma habilidad pero que trabajan con el doble de esfuerzo se necesitaran para construir el doble de casas en la mitad del tiempo anterior?a) 16 b) 40 c) 25 d) 30 e) 128

12.- Cuarenta obreros se comprometieron a entregar una obra en 30 días, trabajando a razón de 8 horas diarias. Se observó que en 10 días habían realizado solamente 2/9 de la obra, así que con la finalidad de entregar la obra en el plazo estipulado se tuvo que contratar más obreros y aumentar en 2 las horas de trabajo diario. ¿Cuantos obreros se tuvo que contratar?a) 16 b) 25 c) 14 d) 18 e) 19



Departamento de Publicaciones


Capítulo 2


EL TANTO POR CUANTO

Para empezar, veamos un ejemplo:

Un comerciante de huevos acostumbra agrupar sus productos de 5 en 5, de modo que en cada grupo de 5 haya2 huevos rosados y 3 huevos blancos. Como se muestra e el siguiente gráfico:

Esto significa que:

2 de cada 5 huevos son rosados El 2 por 5 del total de huevos son rosados y vistos como

fracción, significa que:

del total de huevos son rosados

Luego se deduce: el 2 por 5 < >

Nota:

El 2 por 5 de una cantidad equivale a 2/5 de dicha cantidad; es decir, dividimos la cantidad en 5 partes iguales y tomamos 2 de esas partes.

el 2 por 5 de C = (C)

Ahora consideremos una regla dividida en 8 partes iguales, de la cual se va a tomar 3 de aquellas partes:



Las 3 partes tomadas equivalen al 3 por 8 del total es decir los

del total.

El 3 por 8 < >

Ejemplos:

Calcule:

a) el 7 por 9 de 45

b) el 1,5 por 20 de 80

c) el 2 por 3 de 15

d) el 3 por 10 del 17 por 20 de 200

EL TANTO POR CIENTO (%)



En particular, si dividimos a una cantidad en 100 partes iguales y tomamos cierto número “m” de esas partes, nos estamos refiriendo entonces al tanto por ciento; luego:

Las “m” partes tomadas equivalen al “m” por 100 del total o al

“m” por ciento del total, es decir, los del total.

El “m” por ciento es igual a

el m% =

Ejemplos:

1)

2)

3) 32 % < > …

4) 200% < > ….

Equivalencias importantes

1% < > 0,015% < > 0,05



10% < > 0,125% < > 0,2550% < > 0,575% < > 0,75

FORMULA FUNDAMENTAL DE PORCENTAJES

P % N = R

Donde: P : es el porcentaje a calcular

N : es el número del cual se halla el porcentaje

R : el resultado

CASO I

P: conocido

N: conocido

R: incógnita

Ejm. Hallar el 70% de 8000

P % N = R

70% 8000 = R

70 8000 = R R = 5600

CASO II

P: conocido



N: incognita

R: conocido

Ejm: ¿25% de qué número es 60?

P % N = R

25% N = 60

25 N = 60 N = 240

CASO III

P : incognita

N : conocido

R : conocido

Ejemplo: ¿Qué % de 120 es 48?

P % N = R

P % 120 = 48

P.120/100 = 48 P = 40 Rpta: es el 40%

OPERACIONES CON TANTO POR CIENTO



En determinadas situaciones se nos puede presentar la necesidad de sumar o restar dos o más tantos por ciento referidos a una misma cantidad. En tales casos a veces es conveniente reducir toda la expresión a un solo tanto por ciento (referido a la misma cantidad) como veremos a continuación.

Ejemplo:

1) 40%A + 60%A + 20%A = 120%A

2) 70%B - 40%B - 10%B = 20%B

3) C + 130%C = 230%C

4) D - 40%D = 60%D

5) 30%(70%A) + 50%(70%A) = 80%(70%A)

OBESERVACIÓN

Sabemos que toda cantidad representa el 100% de sí misma, entonces si a una cantidad le quitamos o le restamos por ejemplo el 20%, nos quedará el 80% de la cantidad.O por otro lado, si a una cantidad le agregamos o le sumamos el 30% de sí misma, entonces ahora tendremos el 30% de sí misma, entonces ahora tendremos el 130% de la cantidad.

Si pierdo o gasto Queda

20% 80%

35% 65%

2,5% 97,5%

m% (100-m)%

Si gano o agrego Resulta

22% 122%



45% 145%

2,3% 102,3%

m% (100+m)%

DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS

Cuando tengamos que hacer descuentos sucesivos, recordemos que el primer descuento se aplica a la cantidad inicial, y a partir del segundo descuento, éstos se aplican a la cantidad que han quedado del descuento anterior.

De manera análoga también se hace cuando se trata de aumentos sucesivos. El primer tanto por ciento de aumento se aplica a la cantidad inicial; el segundo aumento se aplica a lo que ha resultado luego del primer aumento; el tercer aumento se aplica a lo que ha resultado luego del segundo aumento; y así sucesivamente.

Ejemplo: ¿A que descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 30%?

Solución:

( 80% ) ( 70% )

70%= 56%

Du = 100% – 56% = 44%

Ejemplo: ¿A que aumento único equivalen tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 50%?



Solución:

150% = 198%

Au = 198% - 100% = 98%

OBSERVACIÓN:

Si se tuviera que hacer dos descuentos sucesivos del a% y del b% se podría calcular el descuento único, rápidamente con esta fórmula:

En el caso de tener dos aumentos sucesivos del a% y del b%, el aumento único equivalente se puede calcular con esta formula:

VARIACIÓN PORCENTUAL



Si el valor de una magnitud cambia, este cambio nos indica una variación que puede ser de aumento o de disminución, entonces habrá un valor inicial y un valor final para la magnitud. La variación porcentual se expresa indicando ¿qué tanto por ciento representa el aumento o disminución respecto del valor inicial?

Representando:

=

El aumento o la disminución, según sea el caso que se presente, se obtiene mediante la diferencia entre el valor final y el valor inicial.

Ejemplo: El lado de un cuadrado aumenta en 20%. ¿En que tanto por ciento aumentará su área?

Solución:

Sabemos que el área de un cuadrado se calcula así: A = L2, donde “L” es la medida del lado.Como el lado va a aumentar en 20%, entonces el lado va a aumentar en 1/5 de su valor. Luego, nos conviene que el lado, al inicio sea un valor numérico que tenga 5 partes, es decir que tenga quinta; por eso le asignamos 5k donde k es constante.

Linicio : 5k A = (5k)2 = 25k2

Lfinal : 6k A = (6k)2 = 36k2

Veamos:

Observamos que el área aumenta de 25k2 a 36k2 en 11k2


VariaciónPorcentual


Pero expresado en tanto por ciento es:

x 100% = 44%

Por lo tanto, el área aumenta en 44%

Ejemplo:

El ancho de un rectángulo aumenta en 20% mientras que el largo disminuye en 20%. ¿En que tanto por ciento varía su área?

Observamos que el área disminuye de 25k2 a 24k2 en 1k2. Pero, expresado en tanto por ciento es:

= 4%

Por lo tanto, el área disminuye en 4%

APLICACIÓN COMERCIAL



El tanto por ciento es muy utilizado en las operaciones comerciales, por ejemplo en el banco, en las tasas de interés activo y pasivo, cuando el banco otorga préstamos o cuando el banco recibe dinero en depósito.

También cuando se realiza compra y venta de artículos, se utiliza el tanto por ciento, por ejemplo para indicar el descuento, la ganancia o la pérdida.

“Lo que aquí vamos a ver es la aplicación del tanto por ciento para los casos de compra y venta”

Empezaremos con un ejemplo. Supongamos que un comerciante se dedica a la compra y venta de artículos electrodomésticos. Primero va a la fábrica y compra un artefacto en 500 soles, este precio representa el precio de compra o precio de costo para el comerciante. Luego, el comerciante, ya en su tienda, va a fijar un precio para ofrecerlo a sus clientes y le aplica un aumento al precio de costo, digamos que este aumento es de 100 soles, es decir que está fijando un precio para la venta que es de 600 soles, este precio se conoce como precio fijado o precio de lista. Entonces, cuando un cliente vaya a la tienda y le pregunte por el precio del artefacto, el comerciante le dirá que el precio es de 600 soles o sea le dará el precio fijado.

Puede ocurrir que el cliente pague dicho precio o que pida una rebaja. Veamos el caso en que pide rebaja, entonces el comerciante puede otorgarle una rebaja, digamos que le rebaja 20 soles y se realiza la venta del artefacto. En otras palabras, el comerciante vende el artefacto en 580 soles, éste es el precio de venta, ganando finalmente 80 soles.

Si graficamos todo esto tendremos:



Se puede observar que:

PVENTA = PCOSTO + PGANANCIA

Si hay ganancia, es porque el precio de venta es mayor que el precio de costo.

La ganancia de 80 soles es también conocida corno ganancia bruta, porque, como es lógico, el comerciante, para realizar la compra-venta ha tenido que incurrir en gastos, digamos que estos gastos sean de 30 soles.

Entonces, de la ganancia bruta (80 soles), que gasta 30 soles, sólo le quedaría una ganancia neta de 50 soles.

Gráficamente:

En otras palabras:

= + gastos

Pero no siempre se va a ganar en una compra-venta, también puede haber pérdida. Esto ocurre cuando el artefacto (para el



ejemplo que estamos viendo) se vende a un precio menor del que ha costado.

Digamos que se vende en 460 soles, y como sabemos que costó 500 soles, se pierde 40 soles.

Gráficamente:

Se observa que:

PVENTA = PCOSTO - pérdida

NOTA:

Si en una venta no hay descuento, entonces el precio de lista o precio fijado es igual al precio de venta. En una venta, si hay descuento, entonces el precio de lista es mayor que el precio de venta. Generalmente el descuento o rebaja se expresa como un tanto por ciento del precio fijado. Es decir, cuando no se especifica de quién es el tanto por ciento de descuento, se asume que es del precio fijado.Cuando no se especifica de quién es el tanto por ciento de ganancia o de pérdida, se asume que es del precio de costo.

PROBLEMAS



BLOQUE I

01.- De 56, el 25 % es:

a) 18 b) 14 e) 12 d) 7 e) 9

02.- ¿Qué % de 192 es 144?

a) 66% b) 72 % c) 80 % d) 75% e) 63%

03.- 240 es el 80 % de:

a) 280 b) 320 e) 360 d) 310 e) 300

04.- 64, de 320, ¿qué % es?

a) 25% b) 20 % e) 30 % d) 32 % e) 22 %

05.- El 25 % más de 360 es:

a) 480 b) 420 c) 500 d) 450 e) 560

06.- ¿Qué % menos es 240 de 300?

a) 80% b) 20% e) 10% d) 40% e) 60%

07.- Si Rosa Elvira ganaba S/. 520 y ahora gana S/. 650, ¿en qué % aumentó su sueldo?

a) 20% b) 25 % c) 75 % d) 21 % e) 22%

08.- En una población de 24 600 habitantes, el 63 % son menores de 18 años. ¿Cuántos menores de 18 años hay en dicha población?

a) 15 498 b) 15 948 c) 16 248 d) 15 844 e) 14 94509.- En una tienda, se venden camisas a S/. 15 cada una, pero si se desea una docena, descuentan el 20 %. ¿Cuánto se pagará por 3 docenas de camisas?



a) S/. 423 b) S/. 512 c) S/. 460 d) S/. 450 e) S/. 432

10.- Una empresa encuestadora, manifiesta que en el horario que pasan El Chavo del 8, 3 de cada 5 televisores encendidos sintonizan dicho programa. ¿Qué % representa dicha sintonía?

a) 45% b) 37,5 % c) 40 % d) 33,3 % e) 60 %

11.- Una casa está valorizada en $ 64 000. Para comprarla se pide el 15 % de cuota inicial y el resto en 80 letras mensuales iguales. ¿Cuál es el pago mensual de cada letra?

a) $ 520 b) $ 860 c) $ 580 d) $ 680 e) $ 620

12.- Un anciano padre dispone en su testamento la repartición de su fortuna entre sus 3 hijos. El primero recibirá el 36 %, el segundo recibirá el 24 %, el tercero recibirá el resto. Si la fortuna asciende a $ 75 000, ¿cuánto recibirá el tercer hijo?

a) $ 27000 b) $ 25 000 c) $ 30 000 d) $ 32 000 e) $ 36 000

13.- Un vendedor recibe una comisión de 20 % sobre la venta de cierta mercadería. Si sus ventas fueron de S/. 640, ¿cuánto recibirá de comisión?

a) S/. 120 b) S/. 128 c) S/. 162 d) S/. 96 e) S/. 108

14.- A inicios del mes, una familia gastaba $120. Si la inflación durante dicho mes fue de 4,5 %, ¿cuánto gastará dicha familia a fines de mes?

a) $ 124,50 b) $ 125,40 c) $ 122,50 d) $ 145,20 e) $ 132

BLOQUE II

01.- El 15 % del 20 % de 8 500 es:



a) 2550 b) 850 c) 255 d) 205 e) 265

02.- El a% del b% del c% de “N” es:

a) b) c) d) e) NA

03.- Un horno microondas cuesta $ 420. El vendedor descuenta el 10%, pero por una pequeña "yaya", rebaja el 5% al nuevo precio. ¿Cuánto se pagó, finalmente por el horno?

a)$378 b) $ 345,50 c) $ 395,20 d) $ 359,10 e) $ 369,10

04.- En lugar de descontar sucesivamente el 10% y luego el 20% a un artículo cuyo valor es S/. 360, se puede hacer un único descuento de:

a) 38% b) 30% c) 28% d) 26,6 % e) 32 %

05.- En un gran almacén de ropa, se ofrecen descuentos sucesivos del 20% y 30% en el departamento de lencería. ¿Cuál sería el descuento único?

a) 44% b) 50 % c) 64 % d) 54 % e) 36 %

06.- Un empleado gana S/. 500; si se le aumenta el 20% y luego se le descuenta el 20% de su nuevo sueldo, entonces el empleado recibirá:

a) S/.420 b) S/. 520 c) S/. 460 d) S/. 480 e/ S/. 560

07.- Dos descuentos sucesivos del 28% y 75% equivalen a un único descuento de:

a) 68% b) 93% c) 82% d) 46% e) 86%



08.- Aumentos sucesivos de 10%, 20% y 30% equivalen a un único aumento de:

a) 60% b) 66,6% c) 72 % d) 71,6% e) 73,3%

09.- Se vendió un escritorio en S/. 240, ganando el 20% del costo. ¿Cuál es el precio del escritorio?

a) S/. 180 b) S/. 196 c) S/. 200 d) S/. 216 e) S/. 220

10.- Se vendió un escritorio en S/. 240, ganando el 20% del precio de venta. ¿Cuánto costó el escritorio?

a) S/. 192 b) S/. 180 c) S/. 196 d) S/. 200 e) S/. 205

11.- En cierto negocio, se vendió en S/. 600 lo que había costado S/. 560; ¿qué % del costo se ganó? (aproximadamente)

a) 8,2% b) 7,1 % c) 6,5 % d) 7,8 % e) 6,7 %

12.- El costo de fabricación de un producto es S/. 260; si se vendió en S/. 480, ¿qué % del costo de fabricación se ganó? (aproximadamente)

a) 79,4% b) 84,6 % c) 82,1 % d) 86,4 % e) 85,3 %

13.- El dueño de una tienda compra mercadería por S/. 420; si vendió dicha mercadería en S/. 600, ¿qué % de la venta ganó?

a) 27% b) 33% e) 30% d) 26,6 % e) 32 %

14.- Se adquirió un lote de camisas por S/. 120; se quiere vender ganando el 10 % del costo. ¿Cuál será dicho precio de venta?

a) S/. 132 b) S/. 144 c) S/. 142 d) S/. 148 e) S/. 16015.- Una persona compró un reloj en S/. 69. Como tenía necesidad urgente de dinero, tuvo que vender el reloj perdiendo el 15 % de la venta. ¿Cuál fue el precio de venta?



a) S/. 62 b) S/. 48 c) S/. 58 d) S/. 52 e) S/. 60

16.- Si el lado de un cuadrado se incrementa en 10%, ¿en qué % se incrementa su área?

a) 10% b) 20% c) 100% d) 21% e) 42%

17.- El largo de un rectángulo aumenta en 20% y su ancho disminuye en 10%. ¿Qué variación porcentual tiene su área?

a) Aumenta en 16% b) Aumenta en 8%c) Disminuye en 12% d) Aumenta en 15%

e) Disminuye en 9%

18.- La base de un triángulo aumenta en 25%. ¿En qué % debe disminuir su altura, para que el área no varíe?

a) 25% b) 22,5 % c) 17 % d) 19 % e) 20 %

19.- Se mezclan 12g de una sustancia "A" y 18g de una sustancia "B". ¿Cuántos g de "A" se deben añadir a la mezcla, para que el % sea de 50 %?

a) 12g b) 9g e) 8g d) 6g e) 4g

20.- Se tienen 15 L de alcohol al 20 %. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar para rebajar el alcohol al 10 %?

a) 12 L b) 15 L c) 10 L d) 9 L e)18 L

BLOQUE III

01.- Hallar el 20% de 250



a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

02.- Hallar el 20% del 30% de 600

a) 18 b) 36 c) 54 d) 72 e) 90

03.- Hallar el 10% del 20% de los 2/3 de 900

a)10 b) 12 e) 14 d) 16 e) 18

04.- Hallar el 10% de la cuarta parte del 40% de los 3/7 de 5 600.

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

05.- Sumar el 20% del 15% de 300 y el 40% del 10% de 150

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

06.- ¿Qué porcentaje de 32 es 8?

a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40%

07.- ¿Qué porcentaje de 0,001 es 0,0003?

a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 60%

08.- De qué número es 15 el 5%

a) 200 b) 250 c) 300 d) 350 e) 600

09.- De qué número es 160 el 20% menos.

a) 180 b) 190 c) 200 d) 220 e) 250

10.- De qué número es 330 el 10% más.

a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500



11.- Juan tenía 120 lápices. Regala a su hermano el 20%, a su prima el 10% y a su vecina el 30%. ¿Con cuántos lápices se queda Juan?

a) 40 b) 48 c) 60 d) 72 e) 80

12.- Pedro reparte su herencia de la siguiente manera: El 20% a su esposa, el 35% a su hijo mayor, el 25% a su hija, y los S/. 200 000 restantes para el jardinero. ¿A cuánto ascendía la herencia de Pedro?

a) 1 200 000 b) 1 500 000 c) 1 600 000d) 9 000 000 e) 1 000 000

13.- Dos descuentos sucesivos del 10% y del 30%, equivalen a un descuento único de:

a) 39% b) 37% c) 35% d) 33% e) 31%

14.- María compra una cartera y le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y el 30%. Si pagó S/. 11,20, ¿cuánto costaba la cartera?

a) S/. 18 b) S/. 20 c) S/. 24 d) S/. 28 e) S/. 30

15.- Dos aumentos sucesivos del 10% y el 20%, equivalen a un aumento único de:

a) 30% b) 31% c) 32% d) 33% e) 34%

BLOQUE IV

01.- De qué número es 315 el 5% más.a) 345 b) 320 c) 310 d) 300 e) 290



02.- De qué número es 575 el 15% más.

a) 500 b) 520 c) 540 d) 560 e) 480

03.- De qué número es 720 el 10% menos,

a) 910 b) 880 c) 800 d) 780 e) 750

04.- De qué número es 357 el 15% menos.

a) 400 b) 420 c) 440 d) 460 e) 480

05.- Hallar el 20% del 30% del 10% de 9 000

a) 45 b) 72 c) 63 d) 54 e) 36

06.- Qué porcentaje de 2 400, es igual al 20% del 30% de 4 800.

a) 10% b) 12% c) 15% d) 18% e) 20.%

07.- Qué porcentaje de 920 es igual a la suma del 10% del 20% de 3 200 y el 20% del 15% de 4000.

a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%

08.- De 60 empleados que hay en una empresa, el 40% son mujeres. Cierto día faltó a trabajar el 50% de las mujeres y el 25% de los varones. ¿Cuántos asistieron a trabajar?

a) 35 b) 39 c) 42 d) 48 e) 52

09.- En una oficina trabajan 24 empleados, de los cuales el 25% son mujeres. ¿Cuántas más se deben contratar para que las mujeres representen el 40% del total de empleados?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12



10.- Una embarcación tenía 120 tripulantes; al naufragar perece el 30%. De los sobrevivientes el 25% son casados. ¿Cuántos de los sobrevivientes son solteros?

a) 56 b) 63 c) 49 d) 35 e) 84

11.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 150 para ganar el 30%.

a) S/. 180 b) S/. 190 c) S/. 195 d) S/. 200 e) S/. 21012.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 270 para ganar el 10% del precio de venta.

a) S/.300 b) S/. 310 c) S/. 292 d) S/. 297 e) S/. 350

13.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 160 para ganar el 10% del precio de costo, más el 20% del precio de venta.

a) S/.200 b) S/. 220 c) S/. 240 d) S/. 260 e) S/. 280

14.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 270 para ganar el 20% del precio de costo; más el 10% del precio de venta, más S/.18.

a) S/.350 b) S/. 360 c) S/. 380 d) S/. 400 e) S/. 420

15.- Si el radio de un círculo se incrementa en un 30%, ¿en qué porcentaje se incrementa el área?

a) 30% b) 60% c) 69% d) 72% e) 96%

16.- Si el área de un triángulo se incrementa en un 32%, habiendo aumentado la base en un 20%, ¿en qué porcentaje aumentó la altura?

a) 10% b) 15% c) 12% d) 22% e) 25%

17.- El área de un rectángulo no varía, habiendo aumentado su base en un 25%. ¿En qué porcentaje ha disminuido la altura?



a) 10% b) 15% c) 18% d) 20% e) 25%

18.- Si el radio de un círculo se duplica, ¿en qué porcentaje se incrementa el área de un círculo?

a) 400% b) 200% c) 250% d) 300% e) 350%

19.- En una fiesta había inicialmente tal cantidad de personas que, el número de mujeres era 25% mayor que el número de hombres. Además, al retirarse diez mujeres y cuatro hombres, ninguno se quedó sin pareja. El número inicial de personas fue:

a) 60 b) 54 c) 56 d) 64 e) 52

20.- En la figura, las longitudes de AB y AC se incrementan en un50%. Luego de que esto ocurra, ¿cuánto medirá el ángulo

a) 20º b) 30° c) 40° d) 25° e) 70°

BLOQUE V

01.- En la figura:

BD = DE = EF = FC



DG = GH = HA

A) Que % de la zona sombreada es la zona no sombreada?.B) Que % representa la zona achurada del sector triangular

ABC.C) Que % de la zona no achurada es la zona sombreada

a) 110% ; 8,3% ; 9,1%b) 200% ; 7,4% ; 3,4%c) 800% ; 8,4% ; 7,2%d) 725% ; 12,3% ; 6,6%e) 1000% ; 7,5% ; 9,1%

02.- De la figura:

¿Qué porcentaje de los cubos son los cubos con asteriscos?

a) 35% b) 45% c) 25% d) 32% e) 31,25%

03.- De la figura:

¿Qué porcentaje de los cuadrados sin asterisco que se puedan formar, son los que se pueden formar con al menos 1 asterisco?

a) 62,5% b) 20% c) 30% d) 25% e) 75%04.- En la figura mostrada: ¿Qué porcentaje del área total son las áreas de las regiones achuradas?

a) 40%b) 33%c) 50%

d) 33 %



e) 75%

05.- En la figura mostrada: ABCD es un cuadrado; “P” , “Q” , “R” y “S” son puntos medios. ¿Qué porcentaje del área del cuadrado ABCD son las áreas de las regiones sombreadas?

a) 38%b) 40%c) 37,5%d) 50%e) 35,7%

06.- En la figura mostrada. ¿Que porcentaje del área total representa las partes “achuradas”?

;

a) 50%b) 60%c) 62%d) 38%e) faltan datos

07.- La figura mostrada: ABCD es un cuadrado; siendo “P” y “Q” puntos medios. Calcular que porcentaje del área del cuadrado es el área de las regiones sombreadas?

a) 50%b) 60% c) 62,5%d) 37,5%



e) faltan datos

08.- La figura mostrada: ABCD, es un rectángulo; siendo “P” y “Q” puntos medios. Calcular que porcentaje del área del rectángulo es el área de la región sombreada?

a) 60% b) 50%c) 70%d) 40% e) faltan datos

09.- Si un cuadrado de 100m2 de área, se reduce a uno de 36m2; el perímetro del nuevo cuadrado será:

a) 72% del anteriorb) 25% del anteriorc) 60% del anteriord) 90% del anteriore) 80% del anterior

10.- Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganará el 20% de lo que me quedaría perdería S/.640. ¿Cuánto tengo?

a) 2000 b) 2400 c) 3800 d) 4000 e) 4400


Aritmética 2do 4bim 2005

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