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Unidad 2. Aplicacin de la integracin

Actividad 4. Valor medio de una funcin

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Alumno: Javier Cervantes Palacios

Matrcula: ES1111!"!11

Asignatura:C#lculo $ntegral

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Docente: %ernando &enac'e Varela

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(E)*E&A +E, VA,)* &E+$) PA*A $-(E*A,ES

Este teorema es importante porque asegura que una funcin continua en un intervalocerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, !, e"iste un n#mero c en este intervalo tal

que

Demostracin:

Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, ! el resultado es trivial puesto que cpuede ser cualquier punto.

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Segundo caso: Si f no es constante en [a, ! elegimos m $ M como el menor $ ma$orvalor que toma f en el intervalo. Dado que m % f&"' % M ( " ) [a, ! por el teorema deconservacin de desigualdades. Aplicando propiedades:

entonces

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valorentre su mnimo $ su m*"imo. +or lo tanto permite deducir que dee alcanzar el valor

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en alg#n punto c del intervalo. [a, !. ueda demostrado que e"iste alg#n c tal que

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$nterpretacin gr#fica del teorema para una funcin positiva:

rect*ngulo inscripto &*rea menor que la dela regin'

rect*ngulo del valor medio &*rea igual quela de la regin'

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rect*ngulo circunscripto &*rea ma$or que la de la regin'

El valor de c no es necesariamente #nico. Este teorema no especifica cmo determinar c.Solamente garantiza la e"istencia de alg#n n#mero c en el intervalo. +ermite unainterpretacin interesante para el caso en que f es no negativa en [a, !. En este caso

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es el *rea a-o la gr*fica de f entre a $ . El teorema asegura que e"iste un valor c delintervalo al que est* asociado f&c' que corresponde a la altura del rect*ngulo de longitudde la ase & a' $ su *rea coincide con la de la regin.

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El valor de f&c' /allado seg#n el teorema del valor medio para integrales coincide con elvalor promedio o medio de una funcin por eso a

se le llama valor medio de f en el intervalo [a, !.

Cone/in 0ue e/iste entre el (eorema del valor medio del c#lculo diferencial delc#lculo integral.

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a c

f&' 0 f &a'

0 a

Si tenemos una funcin 1 continua en el intervalo cerrado [a, ! $ adem*s es diferencialeen el intervalo aierto &a, ' entonces e"iste un n#mero c tal que:a 2 c 2 $ la derivada de la funcin en ese punto ser*:

3r*ficamente lo podemos representar de la siguiente manera:

De esta grafica se desprende la definicin del valorpromedio de una funcin

4 podemos ver la relacin de

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4 si nomramos a una funcin g&"' 5 f6&"' podemos reescriir la e"presin de la siguientemanera:

que resulta ser el 7eorema del valor medio para integrales.

g&"' es continua en [a, !, entonces e"iste c tal que g&c' 5 gpromedio