reas de las matemticas1reas de las matemticasEsta es una lista de todas las reas de las matemticas modernas, con una breve explicacin de su alcance y enlaces aotras partes de esta enciclopedia, de un modo sistemtico.La forma en que se organizan las matemticas de alto nivel est determinada sobre todo por los usos, y cambia cadacierto tiempo; esto contrasta con los planes, al parecer atemporales usados en la educacin de las matemticas, dondeel clculo parece ser el mismo hace siglos. El clculo en s mismo no aparece como un ttulo ya que la mayor partedelcontenidoallestudiadoseencuentrabajoelttulodeAnlisis.Esteejemploilustra,enparte,ladificultaddecomunicarlosprincipiosdecualquiersistemagrandedeconocimientos.Lainvestigacinsobrelamayoradelosasuntos del clculo fue realizada en siglo XVIII, y ha sido asimilado largamente.Fundamentos/generalMatemtica recreativaDesde los cuadrados mgicos al Conjunto de Mandelbrot, los nmeros han sido una fuente de diversin y placer paramillones de personas a lo largo de los aos. Muchas ramas importantes de las matemticas "serias" tienen sus racesen lo que inicialmente no era ms que un juego o un puzzle.Historia y biografasLahistoriadelasmatemticasestfuertementeinterconectadaconsgomisma.Estoesperfectamentenatural:lasmatemticas tienen una estructura orgnica interna, derivando nuevos teoremas de los que se han demostrado antes.Cada nueva generacin de matemticos basa sus logros en los de sus antepasados, y as, el los conocimientos crecenformando nuevas capas, como la estructura de una cebolla.Lgica matemtica y fundamentos, incluyendo teora de conjuntosLosmatemticoshantrabajadosiempreconlgicaysmbolos,peroporsigloslasleyessubyacentesdelalgicafueronsupuestas,ynuncaexpresadassimblicamente.Lalgicamatemtica,tambinconocidocomolgicasimblica,fuedesarrolladacuandolagentefinalmentenotquelasherramientasdelasmatemticassepuedenutilizarparaestudiarlaestructuradelalgicamisma.Lasreasdeinvestigacinenestecamposehanampliadorpidamente, y se subdividen generalmente en varias reas distintas.Teora de modelosLa teora modelo estudia las estructuras matemticas en un marco general. Su herramienta principal es la lgica deprimer orden. Teora de la Computabilidad y teora de la recursinTeora de conjuntosUn conjunto puede ser pensado como si fuera una coleccin de objetos distintss unidas por una cierta caractersticacomn. La teora de conjuntos se subdivide en tres reas principales: Teora informal de conjuntos es la teora bsica desarrollada por los matemticos a fines del siglo XIX. Teora axiomtica de conjuntos es un teora axiomtica rigurosa desarrollada en respuesta al descubrimiento dedefectos serios (por ejemplo la Paradoja de Russell) en la teora informal. Para esta teora los conjuntos son "loque satisface los axiomas", y la nocin de colecciones de objetos sirve solamente como motivacin para losaxiomas. Teora interna de conjuntos es una extensin axiomtica de la teora de conjuntos que apoya una identificacinlgicamente consistente de cantidades ilimitados (infinitamente grandes) e infinitesimales (infinitamentepequeos) dentro de los nmeros reales. Ver tambin la Lista de tpicos de la teora de conjuntos.Teora de la demostracin y constructivismoreas de las matemticas2LateoradelademostracinnacidelaambicindeDavidHilbertporformalizartodaslasdemostracionesenmatemticas. El resultado ms famoso del campo se encapsula en los Teoremas de incompletitud de Gdel. Otra idearelacionada y muy conocida en la actualidad son las Mquinas de Turing. El Constructivismo es la consecuencia delas opiniones poco ortodoxas de Brouwer sobre la naturaleza de la lgica misma; hablando desde el punto de vistadel constructivismo, los matemticos no pueden afirmar "si un crculo es redondo o no" hasta que han mostrado uncrculo y han medido realmente su redondez. Lgica algebraica Educacin matemticalgebraElestudiodelamatemticacomienzaconlosnmeros;primerolosnmerosnaturalesylosenterosysusoperacionesaritmticas,queseclasificarandentrodellgebraelemental.Lascaractersticasmsavanzadassobrenmeros enteros se estudian dentro de la teora de nmeros. La bsqueda de mtodos para resolver ecuaciones nosllevaalcampodellgebraabstracta,que,entreotrascosas,estudiapolinomios,anillosycampos,estructurasquegeneralizanlascaractersticasdelosnmeroscorrientes.Preguntasmuyantiguassobreconstruccionesconreglaycomps finalmente fueron resueltos usando la Teora de Galois. El concepto fsicamente importante de los vectores,generalizado a espacios vectoriales, se estudia dentro del lgebra lineal.CombinatoriaEstudia colecciones finitas de objetos que satisfacen criterios determinados. Particularmente, se refiere a "contar" losobjetosenesascolecciones(combinatoriaenumerativa)ycondecidirsiexistenciertosobjetos"ptimos"(combinatoriasextremas).Incluyetambinalateoradegrafos,usadaparadescribirobjetosinterconectados(ungrafo en este sentido es una coleccin de puntos conectados). Mientras que stas son las definiciones clsicas, ciertogrado de combinatoria est presente en muchas partes de la resolucin de problemas.Teora del ordenCualequier conjunto de numeros reales se puede ordenar en forma ascendente. La teora del orden ampla esta idea alos sistemas en general. Incluye nociones como retculos y estructuras algebraicas ordenadas.Estructuras algebraicasDado un conjunto, diversas maneras de combinar o de relacionar a miembros de eso fijaron pueden ser definidas. Sistos obedecen ciertas reglas, entonces un detalle estructura algebraica se forma. lgebra universal es el estudio msformal de estas estructuras y sistemas.Teora de nmerosLateoradelnmeroserefieretradicionalmentealascaractersticasdenmerosenteros.Msrecientemente,havenido ser referido a clases ms anchas de los problemas que se han presentado naturalmente del estudio de nmerosenteros.Puedeserdivididoenteoraelementaldelnmero(dondelosnmerosenterosseestudiansinlaayudadetcnicasdeotroscamposmatemticos);teoraanalticadelnmero(dondeclculoyanlisiscomplejoseutilizancomo herramientas); teora del nmero algbrico (de que estudia los nmeros algbricos - las races polinomios connmero entero coeficientes); teora geomtrica del nmero; teora combinatoria del nmero y teora de cmputo delnmero. Vea tambin lista de los asuntos de la teora del nmero.Teora de campos y polinomiosLateoradelcampoestudialascaractersticasdecampos.Acampoesunaentidadmatemticaparalacuallaadicin, la substraccin, la multiplicacin y la divisin estn bien definido. A polinmico es una expresin en la cualse combinan las constantes y las variables usando solamente la adicin, la substraccin, y la multiplicacin.Anillos conmutativos y lgebras conmutativasreas de las matemticas3Enteoradeanillos(unramadellgebraabstracta),unanilloconmutativoesunanilloenelcuallaoperacindemultiplicacinobedecelaleydeconmutatividad.Estosignificaquesiaybsonelementosdelanillo,entoncesab=ba. El lgebra conmutativa estudia los anillos conmutativos y sus ideales, mdulos y lgebras. Es fundamentalparalageometraalgebraicayparalateoradenmerosalgebraicos.Losejemplosmsprominentesdeanillosconmutativos son los anillos de polinomios.15: lgebra lineal y multilineal; teora de matrices.16: Anillos sociables y lgebra sociables17: anillos No-sociables y lgebra no-sociables18: Teora de la categora; lgebra homological19: K-teora20: Teora del grupo y generalizaciones22: Grupos topolgicos, Grupos de mentira, y anlisis sobre ellos(Tambin grupos de la transformacin, anlisis armnico abstracto)AnlisisDentrodelmundodelasmatemticas,anlisisestelramaeselosfocosencambio:ndicesdelcambio,cambioacumulado, y cosas mltiples que cambian concerniente (o independientemente de) a una otra.Elanlisismodernoesunramaextensoyrpidamentequeseampladelasmatemticasquetocancasicadaotrasubdivisindeladisciplina,encontrandousosdirectoseindirectosenlosasuntostandiversoscomoteoradelnmero, criptografa, y lgebra abstracta. Es tambin la lengua de la ciencia s mismo y se utiliza a travs qumica,biologa, y fsica, de astrofsica a Cristalografa de la radiografa. 26: Funciones verdaderas, incluyendo derivados yintegrales28:Medidayintegracin30:Funcionescomplejas,incluyendoteoradelaaproximacinendominiocomplejo31:Teorapotencial32:Variasvariablescomplejasyespaciosanalticos33:Funcionesespeciales34:Ecuaciones diferenciales ordinarias 35: Ecuaciones diferenciales parcialesSistemas dinmicosElestudiodelassolucionesaecuacionesdelmovimientodelossistemasqueestnsobretodomecnicoennaturaleza;aunqueestoseextiendederbitasplanetariasconelcomportamientodecircuitoselectrnicosalassoluciones de ecuaciones diferenciales parciales eso se presenta adentro biologa. Mucha de investigacin modernasecentraenelestudiodesistemascaticos.Veatambinlistadelosasuntosdinmicosdelsistema37:Teoraergdica39:Ecuacionesdediferenciayecuacionesfuncionales40:Secuencias,serie,summability41:Aproximaciones y extensiones 42: Anlisis de Fourier, incluyendo Fourier transforma, aproximacin trigonometric,interpolacintrigonometric,yfuncionesorthogonal43:Extractoanlisisarmnico44:Elintegraltransforma,clculooperacional45:Ecuacionesintegrales46:Anlisisfuncional,incluyendoolomorfiainfinito-dimensional,elintegraltransformaenespaciosdeladistribucin47:Teoradeloperador49:Clculodevariacionesycontrolptimo; optimizacin (incluyendo teora geomtrica de la integracin) 58: Anlisis global, anlisis en los mltiples(que incluyen olomorfia infinito-dimensional)(Tambin: teora potencial probabilistic, aproximacin numrica, teora de la representacin, anlisis en mltiples)reas de las matemticas4Geometra y topologaGeometraseocupaderelacionesespaciales,usandocalidadesfundamentalesoaxiomas.Talesaxiomassepuedenutilizar conjuntamente con las definiciones matemticas para los puntos, las lneas rectas, las curvas, las superficies,y los slidos para dibujar conclusiones lgicas. Vea tambin Lista de los asuntos de la geometraGeometra convexa y geometra discretaIncluye el estudio de objetos por ejemplo polytopes y poliedros. Vea tambin Lista de los asuntos de la convexidadGeometra combinatoria o discretaElestudiodeobjetosgeomtricosycaractersticasquesondiscretoocombinatorio,porsunaturalezaoporsurepresentacin. Incluye el estudio de formas tales como Slidos Platonic y la nocin de tessellation.Geometra diferencialEl estudio de la geometra usando clculo, y se relaciona muy de cerca con topologa diferenciada. Cubre las reastalescomoGeometradeRiemannian,curvaturaygeometradiferenciadadecurvas.Veatambinglosariodelageometra y de la topologa diferenciadas.Geometra algebraicaA dada polinmico de dos verdaderos variables, entonces los puntos en un plano donde est forma esa funcin cerode la voluntad a la curva. curva algebraica ampla esta nocin a los polinomios sobre a campo en un nmero dado devariables.Lageometraalgebraicasepuedevercomoelestudiodeestascurvas.Veatambinlistadelosasuntosalgebraicos de la geometra y lista de superficies algebraicas.TopologaSeocupadelascaractersticasdeunafiguraquenocambiancuandolafiguraestdeformidacontinuamente.Lasreas principales son topologa determinada del punto (o topologa general), topologa algebraica, y la topologa demltiples, definido abajo.Topologa generalTambinllamadotopologadeterminadadelpunto.Caractersticasdeespaciostopolgicos.Incluyelasnocionestalescomoabiertoycerradosistemas,espacioscompactos,funcionescontinuas,convergencia,axiomasdelaseparacin,espaciosmtricos,teoradeladimensin.Veatambinglosariodelatopologageneralylistadelosasuntos generales de la topologa.Topologa algebraicaLascaractersticasdeobjetosalgebraicosseasociaronaunespaciotopolgicoycmoestosobjetosalgebraicoscapturanlascaractersticasdetalesespacios.Contienereascomoteoradelahomologa,teoradelcohomology,teora homotopy, y lgebra homological, algunos de ellos ejemplos de functors. Homotopy trata de grupos homotopy(incluyendogrupofundamental)ascomocomplejossimplicialyALADERECHAcomplejos(tambinllamadocomplejos de la clula). Vea tambin lista de los asuntos algebraicos de la topologa.VariedadesUnavariedadsepuedeimaginarcomounageneralizacinn-dimensionaldeunasuperficietridimensionalenunespacioeucldeo.Elestudiodevariedadesincluyealatopologadiferencial,queestudialascaractersticasdelasfunciones diferenciables definidas sobre una variedad. Vase tambin variedades complejas.reas de las matemticas5Matemticas aplicadasProbabilidad y estadsticaVea tambin glosario de la probabilidad y de la estadsticaTeora de probabilidadesElestudiodecmounacontecimientodadoesprobablementeocurrir.VeatambinCategora:teoradelasprobabilidades, y lista de los asuntos de la probabilidad. Procesos estocsticos (MSC 60G/H) Considera con efectoagregadodeunafuncinalazar,oenunciertoplazo(aseriedetiempo)oespaciofsico(acampoalazar).Veatambin Lista de los asuntos estocsticos de los procesos, y Categora: Procesos estocsticos.EstadsticaAnlisis de datos, y cmo es el representante l. Vea tambin lista de asuntos estadsticos.Ciencias de cmputoAnlisis numricoMuchos problemas en matemticas no pueden resolverse en forma general de modo exacto. El anlisis numrico eselestudiodemtodositerativosyalgoritmosparaproporcionarunasolucinaproximadaalosproblemasconundeterminado grado de error. Incluye derivacin numrica, integracin numrica y mtodos numricos.68: Ciencias de la computacinCiencias fsicasMecnicaTrata qu sucede cuando un objeto fsico verdadero se sujeta a las fuerzas. Esto se divide naturalmente en el estudiode los slidos rgidos, slidos deformable, y los lquidos, detallados abajo.Mecnica de partculasEn matemticas, una partcula es a punto-como, objeto perfectamente rgido, slido. Los mecnicos de la partcula seocupan de los resultados de sujetar partculas a las fuerzas. Incluye mecnicos celestiales - el estudio del movimientode objetos celestiales.Mecnica de los slidos deformablesLamayoradelosobjetosdelmundorealnoestnpunto-comoniperfectamentergido.Msimportantemente,losobjetos se desforman cuando estn sujetados a las fuerzas. Este tema tiene un traslapo muy fuerte con mecnicos delaseriecontinua,queserefierealamateriacontinua.Seocupadelasnocionestalescomotensin,tensinyelasticidad. Vea tambin mecnicos de la serie continua.Mecnica de fluidosLquidosenestesentidoincluyenoapenaslquidos,perofluyendogases,eigualeslidosbajociertassituaciones.(Porejemplo,secoarenapuedecomportarsecomounlquido).Incluyelasnocionestalescomoviscosidad,flujoturbulentoyflujolaminar(sucontrario).Veatambindinmicaflida.78:Laptica,teoraelectromgnetica80:Clsicotermodinmica,traspasotrmico81:TeoradeQuantum,incluyendolapticadelquntum82:Mecnicosestadsticos,estructuradelamateria83:Relatividadyteoragravitacional,incluyendomecnicosrelativistas85:Astronoma y astrofsica 86: Geofsicareas de las matemticas6Otras ciencias matemticas90: Investigacin de operaciones, la programacin matemtica Investigacin de operaciones (OR), tambin conocidocomo investigacin operacional, proporciona ptima o cerca de ptimas soluciones a problemas complejos. OR usosmodelizacinmatemtica,anlisisestadsticoyoptimizacinmatemtica.Programacinmatemtica(ooptimizacin)minimiza(omaximiza)unafuncinrealsobreundominioqueesamenudoespecificadoporlasrestricciones sobre las variables. Programacin matemtica estudia estos problemas y desarrolla mtodos iterativos yalgoritmosparasusolucin.91:Lateoradejuegosymatemticascienciassociales(economa,sociologaypsicologa).92:Biologa(vasetambinlabiologamatemtica)yotrascienciasnaturales93:Teoradesistemas;control,incluyendouncontrolptimo94:Informacinylacomunicacin,circuitos97:Educacinmatemtica97:Educacin de las matemticasReferenciasEnlaces externos Esta obra deriva de la traduccin parcial de Areas_of_mathematics,concretamente de esta versin (http:/ / en.wikipedia. org/ wiki/ Areas_of_mathematics?oldid=30/ 04/ 2010), publicada bajo la Licencia de documentacinlibre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribucin-CompartirIgual 3.0 Unported por editores de laWikipedia en ingls.