Autor: WILLIAM RODRIGUEZ CHAMACHE

PM

C

Q

B

A

ÁREAS SOMBREADAS

NOTAS DE CLASE

www.wirocha.blogspot.com

INICIOS DE CICLOS PREUNIVERSITARIOS

Ciclo Thales trimestral alumnos que postularon solo pagan 250 soles

Ciclo Thales Semestral alumnos que postularon solo pagan 450 soles

Informes e Inscripciones:Urb. Trupal G lote 1 * teléfono 653642por la Av. Antenor Orrego

inicio de clases 4 de abril 2011

24 1

1) Según el gráfico, A y D son puntos de tangencia, DH=2 y R=5 Calcule el área de la región triangular ABC.

Resolución:

D

A

C

BH

R

D

A

C

BH

R

2

5

5

8

4

2

Observen que las tangentes AB=DB=10luego HB=8. y AH=6Ahora en el triángulo rectángulo DCB:por relaciones métricas obtenemos CH=4finalmente:

(2)(8)8

2xS ==

(2)(8)

4

h

h

=

=

2 8

h

luego AC=2

8) El lado de un cuadrado ABCD mide con centro en “C” y radio igual a se traza un arco que interseca a la circunferencia de diámetro AD en el punto “H”. la prolongación de AH interseca a BD en el punto “F” determinar el área(AFD)

Rpta: 60

9) Desde el vértice “A” de un cuadrado, de lado 8, se traza la tangente AN hacia la circunferencia de diámetro CD. con centro en “C” y radio igual a 8. se traza un arco que interseca a AN en el punto “M” determinar el área(MBN).

Rpta: 11,1

10) Por los vértices A y C de un triángulo rectángulo ABC, se traza dos circunferencias tangentes a los catetos las cuales se intersecan en los puntos D y F; tal que BF=4. hallar el área (ABC)

Rpta: 8

11) En un cuadrilátero ABCF se tiene que AF=AC, FAC=ABC=90º, AB=c y BC=a hallar el área (BFC)

12) En la figura se mostrada. hallar el área(ABC) si AC=32 y CH=7. Rpta: 192

13) En la figura mostrada se tiene que AP=9 y PB=6. hallar el área (ABC)

14) La circunferencia inscrita a un triángulo ABC, interseca a CD en el punto “P”, siendo “O” el centro de esta. Hallar el área (BPC) si AB=5, BC=12 y AC=13. Rpta: 9,65

15) La circunferencia inscrita a un triángulo ABC determina en BC el punto “P” la prolongación de OP interseca a la circunferencia circunscrita en el punto “F”, siendo “O” el circuncentro hallar el área FOI si “I” es el incentro, AB=10, BC=24 y AC=26

16) Hallar el área de una región triangular formada al unir los centros de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, cuyos catetos suman 2.

Rpta: 1

( ):

2

a a cRpta

+

A

B

C

A

P

B

C

: 75 5Rpta

208 89:

89Rpta

Autor: william rodriguez chamachegeometriawch@hotmail.comwww.wirocha.blogspot.com

232

2) Según el gráfico, B es punto de tangencia, BA es bisectriz exterior del triángulo BDC. BD=3 y CD=1. calcule el área de la región triangular BDC.

Resolución:

A

B

C D

A

B

C D

3

18

qq

8/3

4/9

H

Aplicando el teorema de la tangente obtenemos AD

y AC=8. luego por propiedad de la bisectriz externa se cumple que:

Ahora en el triángulo BCD. Aplicamos el teorema de Euclidespara calcular el segmento HC.

luego calculando la altura BH: para eso aplicamos el teoremade pitágoras.

finalmente:

2

2

.

3 (1)........ 9

BD AD CD

AD AD

=

= =

3 8......

9 8 3

BCBC= =

2 2 283 1 ( ) 2(1)

3HC=++

64 49 1 2 ...........

9 9m m=++ =

4 35

9H =

2 35

9xS =

En el triangulo BCH:

H

H

B

C

8/3

4/9

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) En un triángulo ABC se traza la mediana BM y la ceviana AP; tal que el área(ABP)=48. Calcular el área(PBM) Rpta: 24

2) En la figura mostrada se pide el área(APO) si CD//AB y AO=BO=4

Rpta: 3

3) En la figura mostrada se pid el área de la región sombreada si AO=BO y r=2

4) Sobre el radio OB de un cuadrante AOB, se ubica el punto “F”; tal que las mediatrices de AF y BF se intersecan en el punto “G”, el cual pertenece al arco AB. Calcular el área de la región cuadrangular limitada por dichas mediatrices, AF y FB; si FG=2

5) La circunferencia inscrita a un triángulo RBC, es tangente a RB y BC en los puntos G y F. las prolongaciones de FG y CR se intersecan en el punto “A”. Calcular la relación de las área de los triángulos GAR y ABC si RB=5 y RC=6.

Rpta: 1/5

6) Se tiene dos circunferencias ortogonales de radios 8 y 9 calcular el área del triángulo acutángulo formado al unir un punto común con los puntos de tangencia determinados por la tangente común.

Rpta: 86,4

7) La circunferencia inscrita a un triángulo ABC, AB=BC determina sobre los lados AB y BC los puntos M y N; además interseca a la altura BH en el punto P, tal que PB=PH. hallar el área(MPN) si el área(ABC)=9

Rpta: 1

1( 2 2)

2Rpta =+

2 2Rpta =

CD

P

BOA

A

O B

r

3

Resolución:

A

B

C

G E

L

D

b

2b

m m

3m2m/3

x

y

H

sea la altura del triángulo equilátero BH=3b y la base AC=2mentonces el área del triángulo ABC=(3b)(m)y como el triángulo EBD es equivalente con ABC entonces ED=(3m), Ahora aplicamos teorema de thales para calcular GE.

2 2.......

3 3

b GE mGE

b m= =

Luego la relación de las áreas x/y será igual a la relaciónde los segmentos BL/LD pero como BG//LE entonces

2 2

(3)(3 ) 9

x BL GE m

y LD ED m=== =

3) En la figura G es el baricentro de la región triangular equilátera ABC la cual es equivalente con la región BED, GE//AC. calcule la razón entre las áreas de las regiones BEL y LED.

A

B

C

G E

L

D

30) Según el gráfico, T es punto de tangencia, Calcule el área de la región triangular.

5R =

A

T

D

O B

R

Resolución:

A

T

D

O B

R

m

m

2m

2m2m

q

q

q

q

1

1

25

5Del gráfico observamos que los segmentos AO=OB=OD=TB=también observamos que OT AD entonces AT=TDAhora si observan los triángulos AOD y TBO son congruentes luego AD=OT. por lo tanto el triángulo ATO es notable de 53/2y como la hipotenusa OA= entonces AT=1=TD y OT=2finalmente el Área del triángulo AOD será:

5

( )( ) (2)(2)2

2 2x

AD OTS = ==

22

60º60º

30º 30º

a

b

c d

se cumple:

a c

b d=

214

4) las medianas de un triángulo miden 9 y 12 y se cortan perpendicularmente Calcular el área de dicho triángulo

5) Las bases de un trapecio miden 4 y 6 y su altura es de 2. calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de las diagonales y el punto de corte de los lados no paralelos.

Resolución:

A

B

CD

E

G

2m

m2n

nxS

xS

xS

xS

xS

xS

Según el enunciado 3m=9 ....m=3y 3n=12 ...............................n=4

luego el área del triángulo BGE:

pero sabemos que las tres medianas dividen al triangulo en 6partes equivalentes luego:

(2 )( ). 12

2x

m nS BGE m n== ==

6 6(12) 72xS ==

Resolución:

A B

CD

P Q

4

2

x

1

R

6

21(5)2,5

2PRQS cm==

( 2)

4 6

4

x x

x

+=

=

ARB DRCV:V

Con los datos dados podemos obtener PQ=1pero cuando se prolonga PQ este segmento corta alos lados AD y BC en sus puntos medios.luego hallando el valor de x aplicando la semejanza de triángulos:

luego el área del triángulo será:

29) En el gráfico (MO)(BC)=6. Calcule el área de la región sombreada.

M

OB C

Resolución:

M

OB C

R

R

x

n n

(R-2n)

D

6xS p=

2 2 2 2a b c mc=++

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

( 2 ) 2 ( 2 )

4 4 2 4

2

6

R x R n n R n

R x R Rn n Rn n

x Rn

x

=+-+-

=+-++-

=

=

La perpendicular trazada desde D al BC cae en el punto medioluego por dato sabemos que:(R)(2n)=6......R.n=3Ahora en el triángulo ODB: aplicamos el teorema de Euclides

Finalmente el Área de la circunferencia será

Teorema de Euclides:

ab

cm a

20 5

6) En el gráfico, ABCO es un romboide y . Calcule el área de la región sombreada. (T y B son puntos de tangencia)

()()2 2

16CO AT-=

A

T

O

B C

Resolución:

A

T

O

B C

a

bR

R

m

m

m-R

R

2 2 16a b-=Sabemos que:luego aplicando el teorema de la tangente

Ahora en el triángulo OBC:

2

2 2 2

2 2 2

( )( )

................(1)

b m R m R

b m R

m b R

=+-

=-

=+

2 2 2

2 2 2

2

.................(2)

(1) (2)

2

8

a R m

resolviendo y

R a b

R

=+

=-

=el área pedida será:

8xS p=

28) Si AB y AC son diámetros, AB=2(BC)=12. y , Calcule el área de la región sombreada.

¼»AM MB=

A

B

M

C

Resolución:

A

B

M

C

6

6

66

O

T

269

4xS

pp==

Al trazar MO se determinan los triángulos rectángulos iguales MOT y TBC:luego sus áreas son congruentes, Ahora el área buscadase reduce al área del cuadrante MOB.finalmente operando obtenemos:

R

196

A BO

T

7) En el gráfico T es punto de tangencia, OB=9 y TB=12. Calcule el área de la región sombreada.

Resolución:

A BO

T

18

9

12

y=8

x=5

1

9

N

212 (18)( )

8

NB

NB

=

=

Aplicando el teorema de la tangente obtenemos BN:

2 29 5

56

x

x

S

S

pp

p

=-

=

2 2

2 2( )

x

x

S R r

S R r

pp

p

=-

=-

luego observamos que AN=10 luego el radio menor es 5.finalmente calculamos el Área sombreada

27) Según el gráfico T es punto de tangencia y . calcule el área de la región paralelográmica APTC.

( )( ) 16 2BT AC =

A

B

C

TP

Resolución:

. 16 2

16 2

a b

S

=

=Y

2A TOC= =qRR

BT=TH. por el teorema de la bisectriz

A

B

C

TP

aa

a

2a

b

a

a

H

Nota:

rR

Nota: Triangulo AOT (isósceles) AO=OT

q

q

2qq

A

B

T

OC

718

8) En el gráfico AB=BC y BD=2. calcule el área de la región sombreada.

OC

DB

A

Resolución

Como B es punto medio entonces OB es perpendicular a AC luego observamos que AH//OB y forman 45º con el diámetro HCAhora observamos que HABO es un trapecio rectángulo por lo tanto las áreas de los triángulos ABN y HON son congruentesfinalmente el Área buscada se reduce a calcular el área del cuadrante.también observamos que el triángulo rectángulo HAB es notable de 53/2y el triángulo rectángulo BDC también es notable de53/2 luego como BD=2 entonces CD=4y en el triángulo rectángulo HDC es notable de 37/2luego HD=12 finalmente podemos calcular AC.

2 2 212 4

4 10

2 10

AC

AC

R OC

=+

=

==

luego calculando el área sombreada:2(2 10)

104

xSp

p= =

OC

DB

A

m

m

2m

45º53/2

m

45º53/2

37/2

2

104

H

N

25) Según el gráfico, hallar la región sombreada si AM=4 y MH=6

LH HB

AH LB

LB HB

=

^

\=

26) Según el gráfico, LD=2; DC=3 y AB=7. calcule el área de la región sombreada.

A B

C Q

L

M

H

A B

CD

L

Resolución

.

. 10.4

. 40

40

x

x

S a b

a b

a b

S

=

=

=

=

(3 7).3 3

2

15 3

x

x

S

S

+=

=

A B

C Q

L

M

H

xSb

ab

4

6

N

Resolución:

A B

CD

L

234

4 3

63 3

xS

Nota:

A

B

A=B

Como H es perpendicular a LB entonces

Propiedad:

a

b

x

y

a.b=x.y

8

9) En la circunferencia de radio R, m<PCD=m<ADQ. calcule el área de la región sombreada

10) En el gráfico, AB=6; y T es punto de tangencia. Calcule el área de la región sombreada.

¼74ºAMC =

A T

C

M

B

Resolución

A

P

C

Q

B

D

R

Resolución

A

P

C

Q

B

D

R

q

q45º

45º

q-45º

q-45º

q

2q-90º180-2q

O

Sx

RR

El triangulo POC es isósceles: entonces el ángulo POC=180º-2qtambién el triangulo DOQ es isósceles luego el ángulo COQ=2q-90ºfinalmente observamos que el ángulo POQ=90º

Ahora el área buscada será:área del cuadrante POQ menos área del triangulo rectángulo POQ:

2

2

.

4 2

( 2)4

x

x

R R RS

RS

p

p

=-

=-

AT

C

M

B

R

r

6

8

5 5

R r

74º

37º

O

N

Como el arco AMC=74º entonces el ángulo ANC=37ºluego observamos que el triángulo rectángulo ABN esnotable de 37º y 53º.por lo tanto BN=8 y AN=10, pero OT cae en el puntomedio de AN. finalmente en le triángulo rectángulo AOT: aplicamos el teorema de pitágoras obteniendola siguiente relación:

finalmente el área de la corona circular será: 25p

2 2 2

2 2

5

25

R r

R r

=+

-=

23) Calcule el área de la región trapecial ABCD, si AM=MB y R.(CD)=10

17

A

BC

DM

R

Resolución:

A

B

C

DM

T

R

R R 30º

a

2ABCDS S=

2( )

1.(2 ). (30º )

2

.5

2

10

ABCD MCD

MCD

MCD

ABCD

S S

S a R sen

a RS

S

=

=

==

=

dato: a.R=10triángulo MTD: notable de 30º y 60ºy por propiedad:

S

A

B C

D

24) Según el gráfico, C es punto de tangencia, AB=BC, CD=DE y ,si (AC)(CE)=8, calcule el área de la región sombreada.

»150ºmFD =

A C E

D

B

F

Resolución:

A C E

D

B

F

m n

m

n

2a

2a

3a

2a

2a

a a

a

30

150

Del gráfico observamos que en el triángulos FAC: (AC=FC=m, y el triángulo BCE (BC=CE=n)finalmente el área del triángulo BFC será:

.. (30)

2

2

m nSx sen

Sx

=

=

R

A

B

F

D

EC

80º

50º

3a=75a=252a=50

luego angulo FCB=30º

916

11) Del gráfico, ABCD es un rombo. si AB=8, m<ABC=120º y AE=3(EC), calcule el área de la región triangular AED.

A

B C

D

E

Resolución:

12) Del gráfico, DBFE es un rectángulo y (AC)(DE)=36, calcule el área de la región triangular ABC.

A

B

F

E

D

Caa

Resolución:

A

B C

D

E

3k

k

8

8

8

8

Sx

3S x

4Sx

120º

4

4

Según los datos que tenemos, el paralelogramo esta formado por dos triángulos equiláteros de lado 8 luego podemos calcular el área del paralelogramo ABCD

22(8) 3

4

32 3

ABCD

ABCD

S

S

=

=

8 32 3 4 3

3 12 3

x x

ABCD

S S

S

=Þ=

=

A

B

F

E

D

Caa

n

n

n

m

T

Sx

por dato sabemos que: m.n=36ademas observamos que. DE=BF=ny por el teorema de la bisectriz se cumple que BF=BT=n

finalmente el área del triángulo será:

.

2

18

x

x

m nS

S

=

=

22)

PM

C

Q

B

A

Según la figura C es punto de tangencia, si AM=MB, AP=a, BQ=b, calcule el área de la región triangular ABC

Resolución:

En los gráficos mostrados se cumple que:

a

b

x.X a b=

2 22 a b+

x

a

ba

a

PM

C

Q

B

A

2 2a b+

.H a b=

2 2a b+

ab

b

a

2 22 a b+

a

ab

b

N

Del gráfico observamos que: .CN H a b==

También observamos que los triángulos APM yMQB son congruentes por el caso (ALA).

finalmente el área buscada será:

2 2

2 2

2 2

2 . .

2

2 ( )

2

( )

2

ABC

ABC

ABC

a b a bS

ab a bS

ab a bS

+=

+=

+=

observacion:

a+b

a+ba

bb

a-b

Entonces:

1510

21) Del gráfico, ABCD es un rectángulo y N es punto de tangencia. si AP=8, calcule el área de la región triangular BCP.

A

B C

D

N

P

Resolución:

A

B C

D

N

P

8

4

2

53º/2

53º/2

m

m

m

m

2m

k

4k

53º/2

T

Q

Observen el triángulo ABC es notable de 53º/2 ahora trabajando en la figura observamos que los ángulos, CAD=PDC=53º/2según esto en el triángulo rectángulo APD: PD=4y el triángulo rectángulo CPD: PC=2.Ahora observen que los triángulos rectángulo PQCy APT son semejantes. luego como las hipotenusas de estos triángulo estan en la relación de 1 a 4 entonces los segmentos PQ=k y PT=4kluego por relaciones métricas en el triangulo APD tenemos que: (8)(4)=(2m)(4k)...... m.k=4

finalmente el área sombreada será: (2 )( )

42

x

m kS mk= ==

. .a b c h=

13) En el gráfico, OA=OB=2. calcule le área de la región sombreada.

A

C

D

BO

45º

Resolución

A

C

D

BO

45º

2 2

2

2

a

b

90º

Del gráfico observamos que:

Ahora el área buscada seria.área del cuadrante COD menos área del triángulo rectángulo COD.

»

45º2

90º

90º

90º

CD

m COD

ab

ab

+=

+=

\=

=R

22 2.2

4 2

2

x

x

S

S

p

p

=-

=-

2

4

Rp2

2

R 2

( 2)4

Rp-

Sx

Nota:

R

R Propiedad:

a b

c

h

11

14

A O B

R

P

C

S1

S2

Resolución:

14) En la figura R y P son puntos de tangencia. Calcular , si CO=a y OB=b (S1 y S2 son área de regiones sombreadas)

1 2

2

S S

S

+

AO

B

R

P

C

S1

S2

a

b

m

b

a

a

H

Del gráfico observamos que:2

2

.b m a

bm

a

=

=

finalmente remplazando obtenemos.

2

1 2

2

21 2

22

.2

.

2

b HS S a

a HS

S S b

S a

+=

+=

19) M y N son puntos de tangencia, MN=2 y PS=6, calcule el área de la región paralelogramica MNPR.

M N

PR

S

45º

M N

PR

S

O

45º

45º

45º

20) del gráfico se sabe que AB=4 y BC=6. calcule el área de la región sombreada.

A B Ca

a

Resolución:

26 2( )

36 (2 2).2

18 2 2

PQ

a

a

=

=+

=+

(8)(2) 16xS ==

unimos el radio con el punto M y con el punto R luego el triángulo MOR es isósceles de 45º de donde nos damos cuenta que los puntos P, R y O son colinealesy por relaciones métricas

luego: a=8 finalmente el área buscada será:

a

a

6

2

2

4 5

4 5

A

D

P

BH

Q

Caa

a

62 2

42 5

Resolución:

2 5=PB

4 5.2 520

2= =xS

4 5=PC

El cuadrilátero PQCB es inscriptible luego el triángulo APB es isósceles, trazamos la altura PHentonces AH=HB=2 y por relaciones métricas PH=4luego calculando los segmentos PB y PC aplicando.pitágoras observen el triángulo PHB:y en le triángulo PHC:pero PC=PQfinalmente el área buscada será:

11

1312

A

B C

D

M

E

F

G

15) En la figura, ABCD y EFMD son cuadrados. AE=3; y ED=2. Calcule el área de la región triangular AGM.

Resolución:

A

B C

D

M

E

F

G

3 2

3k

2k

3S

2S

5

el lado del cuadrado es 5 luego el área del cuadrado será 25Ahora observen que el área del triángulo ABM es la mitad delárea del cuadrado es decir 12,5pero la ceviana AG del triángulo BAM divide a este en dos triángulos cuyas áreas están en la relación de 3s y 2sfinalmente 5S=25/2S=5/2 y el área buscada será: 2S=5

16) Según el gráfico, AN=2. calcule el área de la región triangular NDC.

Resolución:

A

B C

D

N

a

a

A

B C

D

N

a

a2

2

2

a a

2 (2)(4)h =

P

Del gráfico BN=PD, y ademas AN=PC=2ahora trabajando con los ángulos nos damos cuenta que el triángulo NCD es isósceles entonces PC=PN=2luego en el triángulo rectángulo ADC se cumple que:

2(2)(4) 8

2 2

PD

PD h

==

==

h nm=

finalmente el área del triángulo será:

(4)(2 2)4 2

2xS = =

17) Calcule el área de la región sombreada del gráfico que se muestra si PH=4

A H B

P45º

A H B

P

Q

45º

45º

45º

18) Del gráfico se sabe que CD=3, MD=4 y BM=2. calcule el área de la región AMD si ABCD es un paralelogramo

A

B

M

C

D

m

m

n

del gráfico AH=HQ=my por propiedad sabemos que:

2.PH m n=

pero el área del rectángulo es m.n luego mn=16Área del rectángulos 16

Resoluciíon:

A

B

M

C

D

2 3

4

33

2

5.(2 3)5 3

2= =AMD

2 3unimos B y D luego el triángulo ABD es rectángulo en B luego por pitágoras calculamos BD=

también observamos que AB=CD=3finalmente el área del triángulo

Propiedad:

m n

h