UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, METALÚRGICA Y MINAS

INTRODUCCION A LA MINERÍA

CODIGO: MI102- R

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TUNEL

NOMBRES Y APELLIDOS:

MINCHEZ ALDERETE, JUAN DIEGO

FECHA: 18 DE SETIEMBRE DEL 2015

ÁREA DE UNA ELIPSE

El área total de la elipse es igual a cuatro veces el área del primer cuadrante es, decir:

A=4∫0

4

ydx

∴ AT=23ab+

16ab π

ÁREA TOTAL DE UNA ELIPSE

la integral

A=4 ab∫0

1

√1−u2da

A=4 ab[12 u√1−u2+12arcSen(u )]

0

1

entonces el área de la elipse es

⇒ A=abπ (área de la elipse )

PERÍMETRO DE UNA ELIPSE

El perímetro total de la elipse es igual a cuatro veces el perímetro del primer cuadrante, es decir

P=4∫0

4

ds

ds=√dx 2+dy2

x2

a2+ y

2

b2=1 ¿ {x=acosθ ¿ ¿¿

¿¿

P=4 a[∫0

π /2dθ−ε

2

2∫0

π /2(cos2θ )dθ−∑

n=2

∞ 1 .3 . 5 .. .(2n−3 )ε2n

2n .n !∫0

π /2(cos2 nθ )dθ]

Antes de resolver este, por Wallis

∫0

π /2(cos2 nθ)dθ=

1 .3 . 5. . .(2n−1)2n .n!

.π2

; Para n=1 ,2 ,3 ,4 ,. . .

Entonces

P=4 a[ π2 −ε2

2.π4

−∑n=2

∞ [1 .3 .5 .. .(2n−3 )(2n−1 )εn]2

[2n .n! ]2(2n−1 ).π2 ]

P=2πa {1−(14ε2)−∑

n=2

∞ [(1 .3.5 .. .(2n−1 )2 .4 . 6 . ..(2n ) )

2

.ε2n

2n−1 ]}Entonces el perímetro de la elipse es

⇒ P=2 πa {1−∑n=1

∞ [( 1 .3 .5. . .(2n−1)2 .4 .6 .. .(2n) )

2

.ε2 n

2n−1 ]}

ÁREA DE UN TUNEL

El túnel está formado por dos formas geométricas por un lado tenemos la parte

alta que tiene la forma de una simielipse y la parte baja que tiene forma de un

rectángulo.

AT=A1+A2

Entonces

A1=a (23 b)=23ab

A2=a ´ b ´ π , donde ¿

{a ´=a2 ¿ ¿¿¿

∴ AT=23ab+

16ab π

ÁREA TOTAL DE UNA TÚNEL (FRONTAL)

PERÍMETRO DE UN TUNEL

∴ PT=a+43b+1

2aπ (1−1

2ε 2−3

64. ε4)

Perímetro total del tunel (frontal )

PT=P1+P2

Entonces

P1=a+2(23b)=a+4

3b

P2=

2πa ´ {1−∑n=1

∞ [(1 .3 .5. . .(2n−1)2 . 4 . 6 .. .(2n) )

2

.ε2 n

2n−1 ]}2

donde a´=12a

Entonces

P2=

2π (12a){1−∑

n=1

∞ [(1 .3 . 5 .. .(2n−1 )2 .4 . 6 .. .(2n) )

2

.ε 2n

2n−1 ]}2

P2=12aπ {1−∑

n=1

∞ [(1.3 .5 . ..(2n−1)2.4 .6 . .. (2n ) )

2

.ε2 n

2n−1 ]}Para n=2

P2=12aπ {1−1

4ε2−1

4ε2−(1. 3

2. 4 )2

.ε4

3 }P2=

12aπ (1−1

2ε2−3

64. ε 4)