AREA DE MECANICA DE FLUIDOS Y...

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Máster de Ensayos en Vuelo

AREA DE MECANICA DE FLUIDOS Y AERODINÁMICA

José Meseguer, Ángel Sanz

www.idr.upm.es

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ÍndiceCaracterísticas generales de los fluidosEquilibrio de gases. Atmósfera estándarEcuaciones generalesRegímenes de vuelo

Ecuación de Bernoulli. Régimen incompresibleMagnitudes de remanso en gases idealesOndas de choque Interacción onda de choque - capa límite

Movimiento irrotacional.Aerodinámica. Efecto de la viscosidadFuerzas sobre un perfil. Teorema de Kutta-YukovskiBorde de salida afilado de los perfilesCapa límite

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Características generales de los fluidos

Capacidad para deformarse indefinidamente bajo la acción de fuerzas exteriores

Carecen de forma, adaptándose a las condiciones externas (gases, líquidos)

No presentan resistencia a la deformación, pero sía la velocidad de deformación (viscosidad)

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Estructura molecular de la materia

Fluido como medio continuo

Energía interna

Presión

Temperatura

Entropía

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Termodinámica del equilibrio

Equilibrio mecánico y térmico

Variables de estado (p, ρ, T, e, s,..)

Ecuaciones de estado

líquidos ρ = cte ; gases p/ρ = RgT

Principios de la termodinámica

Equilibrio termodinámico local

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Características generales de los fluidosFenómenos de transporte por difusión

Calor por conducción. Ley de Fourierconductividad térmica

Masa. Ley de Fickdifusión de especies

Cantidad de movimiento.viscosidad

Fenómenos de transporte por convección

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Equilibrio de gases. Atmósfera estándarEquilibrio de una columna de gas

p

p+dp

dz

d dd d( )gg

p g z gp zT zp R Tρ ρ

ρρ= − ⎫

=⎬= ⎭

0

d d dln( ) ( )

z

g o g

p g p gz zp R T z p R T z= → = − ∫

Se supone una distribución T(z), obtenida experimentalmente

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Equilibrio de gases. Atmosfera estándarEquilibrio de una columna de gas

ESTRATOSFERA

TROPOSFERA

z (km)

T (K)

32

23

11

216 228 270 2880

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Equilibrio de gases. Atmosfera estándarTroposfera: ( ) ( 288 K; 6.5 K/km)o oT z T z Tα α= − = =

1g gg gR R

o

o o o

T zp zp T Tα αα α−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1

1g gg gR R

o

o o o o o

T z p T zT p T Tα ααρ α

ρ

− − −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Atmósfera estable:ρ disminuye con la altura

→

1 0g

gRα − > 34,9 K/km

g

gRα <

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Equilibrio de gases. Atmosfera estándarAtmósfera estable:ρ disminuye con la altura

1 0g

gRα − > 34,9 K/km

g

gRα <

Condición necesaria, pero no suficiente:Hay otros efectos (p.e calentamiento del suelo)

Inversión térmica, dT/dz>0. Niveles de contaminación altos.Estratosfera: marcadamente estable, peligro para contaminación.

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Ejemplo: Aerodinámica

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A380

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Sistema de ejes viento

U∞

x

yz

sustentación L M. guiñada

fuerza lateral FyM. cabeceo

resistencia aerodinámica D M. balance

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Los medios continuos satisfacen cuatro principios fundamentales: 1) conservación de la materia, 2) segunda ley de Newton (balance de la cantidad de movimiento), 3) primer principio de la Termodinámica (conservación de la energía), y 4) segundo principio de la Termodinámica.

La formulación se completa con las relaciones constitutivas; p. e., la o las ecuaciones de estado para los fluidos, o la ley de viscosidad de Stokes

Ecuaciones generales

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Ecuación de conservación de la masa

D

dv

ds n

V

S

d d d 0d

v st

ρ ρ+ ⋅ =∫ ∫ V nD S

Dρ/Dt = ∂ρ/∂t + V·∇ρ

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Balance de cantidad de movimiento

d d ( )d d d dd

v s p s s vt

ρ ρ τ ρ′+ ⋅ = − + ⋅ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ mV V V n n n FD S S S D

ρ τ ρDD

V Fmt p= −∇ + ∇ ⋅ ′ +

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Ecuación de la energía (1/2)

( )DD v rq

e k T p Qt

ρ = ∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅ + Φ − ∇ ⋅ +rV q

( ) ( )v τ τ′ ′Φ = ∇ ⋅ ⋅ − ∇ ⋅ ⋅V V

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Ecuación de la energía (2/2)

( )pD DD D v rq

T pc k T Qt t

ρ = + ∇ ⋅ ∇ + Φ − ∇ ⋅ +rq

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ρ τ ρDD

V Fmt p= −∇ + ∇ ⋅ ′ +

ˆC

=xx ˆ ρρ

ρ∞= ˆ tt

C U ∞= ˆ

U∞=

VV ˆ ppp∞

= ˆg

= mm

FF

2 2

ˆ 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ( )ˆ 3p gCp

t U CU Uμρ ρ ρ

ρρ∞

∞ ∞∞ ∞ ∞

∂ ⎡ ⎤+ ⋅∇ = − ∇ + Δ + ∇ ∇ ⋅ +⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦ mV V V V V F

22M U

pργ ∞ ∞

∞∞

=2

Fr UgC

∞=Re U Cρμ

∞ ∞=

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2Fr 1U

gC∞= >>Re 1U Cρ

μ∞ ∞= >>

ρ DD

Vt p= −∇

2D 1 1( ) ( )D 2

V pt t t ρ

∂ ∂= + ⋅∇ = + ∇ − × ∇× = − ∇

∂ ∂V V VV V V V

Puede integrarse en algunos casos

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Re 1U Cρμ

∞ ∞= >>

Efecto de la viscosidad despreciable salvo en ciertas zonas localizadas del dominio fluido (capas limites y estelas)

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Ecuación de la energía

( )pD DD D v

T pc k Tt t

ρ = + ∇ ⋅ ∇ + Φ

pc T UC

ρ∞ ∞ ∞2

2UC

μ ∞2

kTC

∞

2

p

MD ReD

vTct

ρ

∞Φ( )

p

1D Re PrD

k TTct

ρ

∇ ⋅ ∇⋅

adiabático viscosidad despreciable

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Ecuación de la energía

DD

st

st s= + ⋅∇ =∂

∂V 0

Si la entropía es constante (y la misma) en el infinito corriente arriba, es la misma constante en

todo el camporelación de barotropía: la relación entre la presión y la

densidad es única en todo el campo fluido, no dependiendo de la temperatura de forma independiente,

- movimientos de líquidos (ρ =cte)- movimientos isentrópicos de gases (p/ργ =cte)

Ecuación de estado

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- líquidos ρ = cte- gases perfectos p = ρRT

R= 287 m2·s-2·K-1

Ecuación de estado

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Regímenes de vuelo

Número de Mach

Regímenes de vuelo

Número de Mach

Régimen incompresible: 0 ≤ M∞ ≤ 0,3Régimen incompresible: 0 ≤ M∞ ≤ 0,3

Régimen compresibleRégimen compresible

Subsónico: 0,3 ≤ M∞ ≤ 0,8

Transónico: 0,8 ≤ M∞ ≤ 1,1

Supersónico: 1,1 ≤ M∞ ≤ 5,0

Hipersónico: 5,0 ≤ M∞

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Compresibilidad

Propagación de una perturbación en diversos regímenes de vueloa) Subsónico bajo, b) subsónico alto, c) supersónico

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Compresibilidad

Configuraciones fluidas alrededor de un perfil para diversos números de Mach

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Ecuación de Bernoulli

2 20

1 12 2

U p U p pρ ρ∞ ∞ ∞ ∞+ = + =

Movimiento incompresible

Movimiento compresibleEcuación de Euler- Bernoulli

222 2 21 1 ; / ; 1.4

2 1 2 1aaU U a pγ ρ γ

γ γ∞

∞+ = + = =− −

p. dinámica p. estática p. remanso

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Magnitudes de remanso en gases ideales

Movimiento sin adición de calor, fluido ideal. Se conserva la entropía.En proceso estacionario, despreciando efectos de las fuerzas másicas (v2 >> gL) se conserva la entalpía de remanso.

212oh h v= +

212oh h v= +

2 2 221 1 1 12 2 2 2o

p o p op p

pg

Tv v vc T c T v T T c T c T pc Rρ

= + → = + → = + = + =

2 2 22

1 1 11 1 12 2 2v v Mp a

γ γ γ

γ ρ

− − −+ = + = + 1/2211 2

o oa T Ma Tγ −⎡ ⎤= = +⎢ ⎥⎣ ⎦

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Condiciones críticas: cuando se alcanza M = 1

1/ 1 1/ 1 / 11 1 1 11 ; ;* 2 2 * 2 * 2o o op T

p T

γ γ γ γρ γ γ γ γρ

− − −− + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1/ 1 / 12 21 11 ; 12 2

o opM Mp

γ γ γρ γ γρ

− −− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Utilizando la ecuación de estado y evolución isentrópica

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0

1

0,528

0

M

1

x

p/po ps1/po

ps2/po

Ms2

Ms1


12( 1)211* 1 2

* * 12

MUAA U M

γγγ

ρρ γ

+−−⎡ ⎤+⎢ ⎥= = ⎢ ⎥+

⎢ ⎥⎣ ⎦

A*: área necesaria para alcanzar condiciones críticas a partir de un área dada A

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Ondas de choque

Normales

v1 v2

M1 > 1

ρ1

p1

M2 < 1

ρ2

p2

v1 v2d1d2

1 11 1

1 1

d vt fv d= = 2 22 2

2 2

d vt fv d= =

Se conserva la entalpía de remanso

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Ondas de choque

M1>M2 > 1

M1 > 1

M1 > 1δ < δmax δ > δmaxOblicuas

M1 > 1 M2 < 1

M3 > 1

Curvas

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Ondas de choque

Expansión de Prandtl-Mayer

M1 > 1M2 > M1p1

ρ1

ρ2 < ρ1

p2 < p1

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Interacción onda de choque - capa límiteOnda de choque normal y una capa límite turbulenta

Corriente principal: fluido que pasa a través de la onda de choque.Capa intermedia: fluido pasa a través de la onda oblicua (tendrá una presión de remanso diferente de la del flujo principal)Capa viscosa: incluye la zona de separación.

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La forma de la interacción depende del espesor de la capa límite

Interacción onda de choque - capa límite

Sistemas de ondas en presencia de :(a) una capa límite delgada, y (b) una capa límite gruesa

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Movimiento irrotacional.

dΓ = ⋅∫ V lC

Circulación

( )d d d dU WU x W z x zz x

∂ ∂⎛ ⎞Γ = + = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫∫C S

Circulación a lo largo de C, es el flujo del rotor a través de S (Teorema de Stokes)

( )d dσΓ = ⋅ = ∇× ⋅∫ ∫∫V l V nC S

d d dU W x zz x

∂ ∂⎛ ⎞Γ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠Giro de la partícula

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Hilos de torbellinos

Conservación de la Circulación

( ) 3

d4π

o

r×Γ

= ∫x rV x

C

Ley de Biot-Savart

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Movimiento irrotacional

Si el irrotacional en S es nulo, la circulación a lo largo de C también

Si la circulación es nula en cualquier línea, no depende del dominio de integración, el integrando es una diferencial exacta, V·dl = dΦ .

V = ∇Φ,

.d d d d d d d d .dU x V y W z x y zx y z

∂Φ ∂Φ ∂Φ= Φ = + + = + + = ∇Φ

∂ ∂ ∂V l l

Φ(x,y,z,t), potencial de velocidades

( , , )x y z

∂Φ ∂Φ ∂Φ= = ∇Φ

∂ ∂ ∂V

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AerodinámicaDe las hipótesis de número de Reynolds alto y capa límite adherida, fuerzas másicas despreciables y número de Mach pequeño (la densidad del aire se puede suponer constante), se deduce que la circulación del vector velocidad a lo largo de una línea fluida cerrada se debe mantener constante. Como además se supone que el avión se mueve a través del aire en calma, el movimiento es irrotacionalcorriente arriba y por tanto irrotacional en todo el dominio fluido.

En estas circunstancias la velocidad del fluido deriva de un potencial de velocidades, Φ, que ha de satisfacer la ecuación de Laplace

2 2 2

2 2 2 0x y z

∂ Φ ∂ Φ ∂ ΦΔΦ = + + =

∂ ∂ ∂( ) 0∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇Φ = ΔΦ =V

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Efecto de la viscosidad

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Máster de Ensayos en VueloIDR/UPM, E.T.S.I. AERONÁUTICOS

Fuerzas sobre un perfil. Teorema de Kutta-Yukovski

Fuerzas sobre un perfil. Teorema de Kutta-Yukovski

Cálculo de las fuerzas aerodinámicas globales sobre el perfil

Volumen de control para aplicar el teorema de conservación de la cantidad de movimiento

Cálculo de las fuerzas aerodinámicas globales sobre el perfil

Volumen de control para aplicar el teorema de conservación de la cantidad de movimiento

θ

l = ρ∞ΓU∞ fórmula de Kutta

d = 0 paradoja de D´Alembert

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Borde de salida afilado de los perfiles. Hipótesis de Kutta

Borde de salida afilado de los perfiles. Hipótesis de Kutta

La corriente se acelera en el extradós y se frena en el intradós

La corriente se acelera en el extradós y se frena en el intradós

¿Qué pasa si el borde de salida es romo?

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Generación de sustentación


Borde de salida afilado de los perfiles. Generación de circulación

Borde de salida afilado de los perfiles. Generación de circulación

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Borde de salida afilado de los perfiles. Hipotesis de KuttaBorde de salida afilado de los perfiles. Hipotesis de Kutta



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Distribución de fuerzas sobre un perfilDistribución de fuerzas sobre un perfil

La distribución de presión genera una fuerza vertical neta

La distribución de presión genera una fuerza vertical neta

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Números de Reynolds altos: la viscosidad se aprecia sólo en la capa límite, que es muy delgada, y en la estela viscosa.

capa límite 1/6capa límite 1/6

- La presión es constante a lo largo de rectas perpendiculares a la superficie del perfil

- No influye en el campo exterior de presiones

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capa límite 2/6capa límite 2/6

Ensanchamiento: va gastando la cantidad de movimiento

gradiente de presiones favorable: la capa límite se acelera y gana cantidad de movimiento, lo que ayuda a equilibrar el rozamiento en la pared

τw

p p + dp

fricción, deceleración de láminas contiguas gradientes adversos de presión

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capa límite 3/6capa límite 3/6 desprendimiento

-gradiente adverso de presión: las láminas fluidas más cercanas a la pared se deceleran comparativamente más que las más alejadas

-las partículas próximas a la pared terminan por retroceder en vez de avanzar

p1

p2 p3

p1 < p2 < p3

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La hipótesis de que la capa límite es delgada puede dejar de ser válida incluso antes del desprendimiento.

En estas condiciones la viscosidad influye en el campo de presiones sobre el obstáculo.

capa límite 4/6capa límite 4/6 desprendimiento

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Laminar: las láminas fluidas se mueven ordenadamente y entre ellas hay sólo un intercambio viscoso (a escala molecular) de cantidad de movimiento. - inestable (pasa a turbulenta: transición)- mezcla poco eficaz, perfil poco lleno, baja fricción, poco resistente

capa límite 5/6capa límite 5/6 Laminar/turbulenta

a) b)

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Turbulenta: las partículas fluidas, que inicialmente se movían paralelamente entre sí, siguen trayectorias que se entrecruzan de forma muy complicadaIntercambio de cantidad de movimiento tiene lugar a escala macroscópica.

- mezcla muy eficaz- perfil muy lleno- alta fricción - resistente a gradientes adversos de presión

Régimen de crucero: interesa retrasar la transición (perfiles laminares)Retrasar desprendimiento: generadores de turbulencia

capa límite 6/6capa límite 6/6 Laminar/turbulenta

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