Arch Ivo 1010

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Conceptos Básicos Sobre La Aproximación De Ecuaciones Diferenciales a Diferencia Finitas Simulación de Yacimientos Universidad Industrial de Santander 2014
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Diapositiva 1

Conceptos Bsicos Sobre La Aproximacin De Ecuaciones Diferenciales a Diferencia FinitasSimulacin de Yacimientos

Universidad Industrial de Santander2014

ContenidoIntroduccin.Condiciones para obtener ecuacin diferenciales.2.1. Discretizacin.2.2. Series de Taylor.2.3. Aproximaciones (Progresivo, regresivo, centra, segunda derivada, trascendentales) 3. Criterios tenido en cuenta para la seleccin de un esquema de aproximacin.3.1. Errores de truncamientos.3.2. Errores de estabilidad. 3.3. Errores de convergencia.3.4. Errores de consistencia.3.5. Errores de redondez.Conclusiones.Bibliografa.

IntroduccinEl mtodo de las diferencias finitas sirve para aproximar la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.Fuente: http://newtonyleibnizcalculomatematico.blogspot.com/

DiscretizacinAccin de dividir el yacimiento en un nmero determinado de bloques e intervalos de tiempo.

DiscretizacinSimulacin de yacimientos I, Gildardo Osorio, pagina 4

FORMA ANALTICAFORMA NUMRICA

Discretizacin

Simulacin de yacimientos I, Gildardo Osorio, pagina 4

CondicionesEl mtodo ms comnmente utilizado para dar solucin numrica.Series de Taylor.

Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulacin de yacimientos, Pg. 7

Condiciones

Fuente: Notas de Espinoza y Nio sobre mtodos de diferencial finitas, Pg. 8.

El incremento entre dos puntos sucesivos, Xi y Xi + 1 , est dado por la diferencia finita x .Aproximaciones progresiva.Condiciones

Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulacin de yacimientos, Pg. 9

El incremento entre dos puntos sucesivos, Xi-1 y Xi , est dado por la diferencia finita -x .Aproximaciones regresiva.Condiciones

Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulacin de yacimientos, Pg. 12

Basados en una diferencia entre la aproximacin progresiva y la regresiva obtenemos:Aproximaciones central.Condiciones

Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulacin de yacimientos, Pg. 13-14

Basados en una suma entre la aproximacin progresiva y la regresiva obtenemos:Aproximaciones segunda derivada.

Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulacin de yacimientos, Pg. 16Condiciones

CondicionesLas diferencias espaciales finitas, son expandidas con respecto a particiones finitas con respecto al tiempo, evaluando valores de presin con respecto al tiempo en un punto del espacio. Aproximaciones trascendentales.

Su principal uso es saber en tiempo futuros que sucede en el bloque.Aproximaciones trascendental.CondicionesProgresivaRegresivaCentrada

Aproximaciones trascendental de la segunda derivada.CondicionesExplicito

Implcito

Crank-Nicholson

Condiciones

Forma de los esquemas explcito, implcito y Crank-Nicholson.Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulacin de yacimientos, Fig 3.11.

Criterios

ECUACIN DIFERENCIALECUACIN EN DIFERENCIA FINITA

T=-EJEMPLO : ERROR DE TRUNCAMIENTO PARA EXPLCITO

Criterios :Truncamiento18

Criterios :Truncamiento

Criterios :Estabilidad

Cambio de presin en un punto en funcin del tiempo.Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulacin de yacimientos, Fig 3.13.

Estabilidad

Mtodo de karplus Mtodo de Von Neumman Anlisis Armnico

Criterios :

Criterio de Karplus

EJEMPLO: Determinar si la aproximacin explcita es estable

PASO 1

PASO 2*Si todos los coeficientes son negativos, la aproximacin es estable. PASO 3Si algunos de los coeficientes son negativos, su suma debe ser 0

ESTABLECRITERIOS :Estabilidad

EJEMPLO: Determinar si la aproximacin explcita es estable

PASO 1

PASO 2No todos los coeficientes son menores que 0. PASO 3Para que sea estable la condicin es que su suma debe ser menor o igual a 0

ESTABLEEstabilidadCriterios :

Criterios :EstabilidadMtodo de Von Neumman Anlisis Armnico

Para un esquema implcito estable se cumple: Restando la aproximacin y expandiendo mediante series de Fourier: LA SOLUCIN EXACTA SATISFACE EL ESQUEMA

ConvergenciaCuando las particiones tienden a cero quiere decir que en un punto Xi+1 y Xi tienden hacer aproximadamente iguales, ocasionado convergencia.

Fuente: http://procalmetsl.blogspot.com

Criterios :

Consistencia Un esquema numrico es consistente si la ecuacin en diferencias finitas tiende a la ecuacin diferencial cuando x y t tienden a cero.x t 0ECUACIN EN DIFERENCIA FINITA

ECUACIN DIFERENCIAL=0CuandoCriterios :

Consistencia Usando la ecuacin de error de truncamiento se puede decir que el esquema numrico es consistente si el error de truncamiento tiende a cero cuando x y t tienden a cero.x t 00CuandoT=0Criterios :

EJEMPLO260 F400 FLX (m)t (h)0510152012345T(x,0)= 100F, 0 X LT(0,t)= 260F, t > 0T(L,t)= 400F, t > 0Condiciones de frontera:

EXPLCITOX=5, t=0PUNTO DE PARTIDAX=10, t=0100 F100 F100 F100 F100 F100 F100 F100 FEjemplo

X=15, t=0X=5, t=1TIME STEPEjemplo100 F100 F100 F100 FX=10, t=1100 F100 F260 F100 F100 F100 F100 F100 F

IMPLCITOX=15, t=1100 F100 F100 F400 FX=5, t=1CAMBIA EL PUNTO DE PARTIDA100 F260 FEjemplo

EJEMPLOX=10, t=1100 FX=15, t=1100 F400 F

RESOLVIENDO EL SISTEMA 3x3CRANK NICHOLSONX=5, t=1100 F100 F100 F100 F260 FEjemplo

X=10, t=1EJEMPLOX=10, t=1100 F100 F100 F100 F100 F100 F100 F100 F400 F

RESOLVIENDO EL SISTEMA 3x3Ejemplo

Osorio, Gildardo. Conceptos bsicos sobre aproximacin de ecuaciones diferenciales a diferencias finitas. Notas de simulacin de yacimientos, Maestra en Hidrocarburos. Febrero de 2002, p.51-92.

Azis, K and Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. Elsevier Applied Science Publishers.

Espinoza y Nio, Modelacin Numrica en Ingeniera Hidrulica y Ambiental, Semestre Primavera 2001, p.1-24.Bibliografa

GRACIAS!