[Araujo] Modelo Bilinear Lajes CoAo

7/26/2019 [Araujo] Modelo Bilinear Lajes CoAo

1/9

Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.8, p.11-19, Abril, 2006

Modelo bilinear para anlise de lajes de concreto armado

Bilinear model for reinforced concrete slabs analysis

Jos Milton de ArajoDepartamento de Materiais e Construo FURG Rio Grande, RS

e-mail: [email protected]

RESUMO: Neste trabalho apresenta-se um mtodo bilinear para anlise de lajes macias e de lajesnervuradas de concreto armado. O modelo permite obter as deformaes das lajes no estdio I e no estdioII. Para as lajes nervuradas, emprega-se o conceito de espessura equivalente. A comparao comresultados experimentais demonstra a eficincia do modelo proposto.

ABSTRACT:A bilinear method for analysis of solid and waffle reinforced concrete slabs is presented inthis work. The model allows to obtain the deflections in both cracked and noncracked stages. The conceptof equivalent thickness is used for waffle slabs. The comparison with experimental results demonstratesthe efficiency of the proposed model.

1. INTRODUO

Em trabalhos anteriores [1,2], foram discutidosalguns mtodos para determinao da espessuraequivalente das lajes nervuradas de concreto

armado. Uma vez determinada a espessuraequivalente, as lajes nervuradas podem sercalculadas como se elas fossem macias.

Tambm foi salientado que a espessuraequivalente deve ser determinada no estdio I, paraevitar os erros de modelagem do comportamentono-linear aps a fissurao do concreto. Alis,esse comportamento no-linear tem levado ainterpretaes erradas quanto rigidez toro daslajes nervuradas, como foi salientado em [1].

Tem sido mostrado em trabalhos de pesquisa

que as lajes macias de concreto armado secomportam no estdio I para toda a faixa docarregamento de servio [3]. Em alguns casos degrandes vos e/ou cargas de servio elevadas,surgem algumas fissuras nas regies maissolicitadas das lajes macias. Entretanto, mesmonesses casos, possvel admitir umcomportamento elstico linear, com razovel

preciso.Por outro lado, deve-se esperar que as lajes

nervuradas sofram um moderado processo defissurao, ainda para as cargas de servio. Dessa

forma, o modelo elstico linear no ser suficientepara a anlise dessas lajes.

O objetivo deste trabalho complementar asinformaes contidas em [1,2], introduzindo osefeitos da fissurao do concreto na anlise das

lajes nervuradas de concreto armado. Como foimostrado que essas lajes podem ser analisadascomo lajes macias de espessura equivalente,emprega-se um modelo nico para as lajes maciase para as lajes nervuradas.

O modelo bilinear apresentado a seguir permiteanalisar o comportamento das lajes de concretoarmado at a ocorrncia do primeiro escoamentoda armadura, no ponto mais solicitado da laje.Aps esse estgio, inicia-se o processo de

propagao das linhas de ruptura, o que no

considerado no modelo.

2. MODELO BILINEAR PARA LAJES DECONCRETO ARMADO

As lajes de concreto armado, assim como asvigas, sofrem uma reduo da rigidez na passagemdo estado no fissurado (estdio I) para o estadofissurado (estdio II). Quando a taxa de armadura

pequena, a diminuio no valor da rigidez pode ser

to grande que a laje entra em ruptura logo aps afissurao. Por isso, as normas de projeto exigem


2/9

Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.8, p.11-19, Abril, 200612 .

uma armadura mnima para as peas fletidas deconcreto armado.

Para calcular corretamente as flechas das lajesno estdio II, necessrio levar em conta acolaborao do concreto tracionado entre fissuras.Isto pode ser feito de diversas maneiras, como

apresentado na referncia [4].A forma mais simples de se modelar o

comportamento descrito, consiste em fazer umainterpolao linear dos resultados obtidos noestdio I e no estdio II. Assim, a relao carga-flecha da laje pode ser representada pelo modelo

bilinear indicado na fig. 1.

Pr

Wr We

Pe

carga

flecha

Estdio I

Estdio II

P

W

Fig. 1 Modelo bilinear para clculo de flechas

em lajes de concreto armadoA rigidez da laje no estdio I dada por

( )23

1112

= ecshE

D (1)

onde o mdulo de deformao longitudinal

secante ecsE

o coeficiente de Poisson doconcreto.

Para as lajes macias, representa a espessurareal da laje. Para as lajes nervuradas, a

espessura equivalente, conforme definido em [2].

eh

eh

Na fig. 2, representa-se uma seo transversaltpica de uma laje nervurada.

b

h

hf

b

S

lo

Fig. 2 Seo transversal de laje nervurada

Empregando o processo simplificado sugeridona referncia [2], obtm-se a espessura equivalenteda laje nervurada

( )[ ] 31331 fe hhh += (2)

onde a espessura total da laje e a

espessura da mesa.

h fh

O coeficiente dado por

( )

yx

yyxx

SS

bSbS = (3)

onde , so as larguras das nervuras e ,

so as distncias entre os eixos das nervurassegundo as direes

xb yb xS

ySx e y , respectivamente.

O momento de fissurao rM obtido pormeio da expresso

cte

r fh

M6

2

= (4)

onde a resistncia trao do concreto.ctf

A carga de fissurao rP aquela que provocaum momento fletor mximo na laje, , igual

ao momento de fissuraomaxM

rM . Esse momentomximo determinado atravs de uma anliseelstica linear, empregando-se a teoria de placas econsiderando a rigidez no estdio I dada naequao (1). Para as lajes retangularessimplesmente apoiadas, ocorre no centro,

onde se admite iniciar o processo de fissurao.maxM

Assim, se a carga P menor ou igual carga

de fissurao rP , obtm-se a flecha Wconsiderando a rigidez dada na equao (1).1D

Se rPP> , necessrio fazer uma interpolaolinear, como indicado na fig.1.

A rigidez da laje no estdio II puro determinada para as sees transversais indicadasna fig. 3.

As taxas de armadura nas duas direes so

d

Asxx = ; d

Asyy = (5)


3/9

Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.8, p.11-19, Abril, 2006 13 .

onde e so as reas de ao por unidade de

comprimento, segundo as direessxA syA

x e y ,respectivamente, e d a altura til mdia.

Para a altura til , considera-se o valor real,ou seja, a distncia do centride das armadurastracionadas at a face superior comprimida da laje.Assim, no caso das lajes nervuradas, deve resultar

, pois a espessura equivalente menor que a

espessura real da laje.

d

ehd>

d he

dAsx Asy

1 1

Direo x Direo y

Fig. 3 Sees da laje nas direes x e y

A profundidade da linha neutra no estdio II,segundo as duas direes, dada por

( ) xxxx nnn 22 ++= (6)

( ) yyyy nnn 22 ++= (7)

onde css EEn= a relao entre o mdulo de

elasticidade do ao, , e o mdulo secante do

concreto, .sE

csE

Nas lajes nervuradas, deve-se ter dhfx e

dhfy para garantir que apenas a mesa

contribui para a rigidez no estdio II.A rigidez no estdio II nas direes x e y

dada por

( )( )

32

22

163 dED xxcsx

=

(8)

( )( )

32

2

216

3dED

yycsy

=

(9)

como apresentado na referncia [4].Conforme se observa, se as armaduras forem

diferentes nas duas direes, a laje serortotrpica. Para simplificar a anlise, considera-se

a laje isotrpica com a rigidez equivalentedada por

2D

yxDDD 222 = (10)

Os momentos de escoamento das armaduras,segundo as duas direes, so dados por

( )( ) yx

xxex fd

nM 2

2

16

3

= (11)

( )( ) yy

yyey fd

nM 2

2

16

3

= (12)

onde a tenso de escoamento do ao.yf Atravs de uma anlise elstica linear, obtm-seos momentos fletores positivos mximos e

, segundo as direesxM

yM x e y , respectivamente.

Esses momentos so obtidos para uma carga dereferncia.

Como a anlise linear, os momentos fletoresso proporcionais carga. Ento, pode-sedeterminar a carga , tal queexP exx MM = .

Analogamente, determina-se a carga , tal queeyPeyy MM = . A carga de escoamento o menor

dos dois valores de carga obtidos.eP

Considerando a carga de escoamento e a

rigidez no estdio II dada na equao (10), obtm-se a flecha , atravs de uma anlise linear.

Desse modo, ficam definidos todos os valores decarga e flecha indicados na fig. 1.

eP

eW

Finalmente, a flecha W, correspondente carga

rPP> , dada por

t

rr

K

PPWW

+= (13)

onde

re

ret

WW

PPK

= (14)

3. ANLISE DE LAJES NERVURADAS

As lajes nervuradas ensaiadas por Abdul-Wahab e Khalil[5] so utilizadas para a verificaodo modelo de laje macia equivalente, associado


4/9


ao modelo bilinear descrito anteriormente. Essesautores ensaiaram 6 lajes nervuradas armadas emcruz.

Todas as lajes so quadradas e simplesmenteapoiadas no contorno. As lajes foram submetidas auma carga concentrada P aplicada no centro. A

carga foi distribuda em uma rea de 15 x 15 cm,por meio de uma placa de ao colocada sob acarga, como indicado na fig. 4.

a=150cm

b=150cm

c=15

q=P/c2

c=15

y

x

Fig. 4 Carregamento das lajes nervuradas

Na tabela 1, apresentam-se as dimenses das

lajes nervuradas.Tabela 1 Dimenses das lajes nervuradas (cm)

Laje fh h b ol S

S1 2,0 9,5 5,2 8,4 13,6S2 2,0 9,5 5,2 11,5 16,7S3 2,0 9,5 5,2 16,2 21,4S4 2,0 9,5 5,2 24,8 30,0S5 2,0 12,5 5,7 11,0 16,7S6 2,0 6,5 4,7 12,0 16,7

Na utilizao do modelo bilinear, emprega-se omdulo secante do concreto , o qual

estimado por meio da relaocsE

31

102150085,0

= cmcs

fxE , MPa (15)

conforme sugerido pelo CEB/90[6].

A resistncia trao do concreto estimadacomo

32

1040,1

= cmct

ff , MPa (16)

Nas equaes (15) e (16), representa a

resistncia mdia compresso do concreto aos 28

dias de idade. Os valores de foramdeterminados para cada uma das lajes ensaiadas.

cmf

cmf

Para o coeficiente de Poisson do concreto,adota-se 2,0= .

A tenso de escoamento das armadurasempregadas nos ensaios MPa. Para o

mdulo de elasticidade do ao, adota-se

398=yf

200=sE GPa.

Na tabela 2, apresentam-se as propriedades doconcreto utilizadas na anlise.

Tabela 2 Propriedades do concretoLaje cmf (MPa) csE (MPa) ctf (MPa)

S1 31,3 26732 3,00S2 32,0 26930 3,04S3 31,4 26760 3,00S4 28,9 26030 2,84S5 29,9 26327 2,91S6 29,1 26090 2,85

Na tabela 3, apresentam-se as reas de ao

sysxs AAA == , por unidade de comprimento, a

altura til d e a espessura equivalente das lajesnervuradas , obtida com o emprego da equao

(2). Conforme se observa, a altura til maior quea espessura equivalente.

eh

Tabela 3 Armaduras e espessura equivalente

Laje eh (cm) d(cm) sA (cm2/m)

S1 8,11 8,30 3,70S2 7,69 8,30 3,01S3 7,18 8,30 2,35S4 6,52 8,30 1,68S5 10,35 11,30 3,01S6 5,15 5,30 3,01

Nos ensaios, as lajes foram submetidas a umacarga P , aplicada no centro sobre uma placa deao de 15 x 15 cm, conforme indicado na fig. 4.

Para a anlise numrica, pode-se admitir que acarga se distribui ao longo da espessura da lajeconforme indicado na fig. 5. Essa distribuio a


5/9


mesma empregada na verificao da resistncia puno das lajes, conforme os critrios do CEB/90[6] e da NBR-6118 [7].

c+4d

c=15 cm

d2

1

q

q'

Fig. 5 Distribuio da carga aplicada em

uma rea reduzida

De acordo com a fig. 5, pode-se fazer a anliseconsiderando as seguintes hipteses de carga:

A) Sem levar em conta a distribuio da carga aolongo da espessura da laje

Considera-se a carga distribuda na rea

cm22 15=c 2. O valor da carga uniforme nesta

rea 2cPq= .

B) Considerando a distribuio da carga ao longoda espessura da laje Considera-se a carga distribuda na rea

, onde a altura til da laje. A carga

uniforme nesta rea vale

( 24dc+ ) d

( )24dcPq += .

Enquanto a laje estiver no estdio I, os doisprocedimentos fornecem valores prximos para aflecha no centro da laje. Entretanto, aps afissurao as diferenas so muito grandes.

Isto ocorre porque a carga de fissurao rP e a

carga de escoamento , usadas na definio domodelo bilinear, so muito influenciadas pelotamanho da regio carregada. medida que essarea reduzida, os momentos fletores obtidos pelateoria de placas crescem muito. No limite, quandoa rea carregada tende a zero, os momentosfletores tendem a infinito.

eP

Uma vez que os momentos mximos soutilizados para o clculo das cargas rP e ,

verifica-se que a soluo varia bastante com o

tamanho da rea carregada. Para mostrar essainfluncia, consideram-se essas duas hipteses decarga.

eP

As relaes carga flecha no centro da laje soapresentadas nas figuras 6 a 11.

Conforme se observa por essas figuras, osresultados experimentais evidenciam que a cargaaplicada na face superior da laje se distribui comuma inclinao 1:2 ao longo da espessura. A carga

de fissurao rP e a carga , correspondente aoincio do escoamento da armadura, podem ser

obtidas para a carga distribuda

eP

( )24dcPq += .Se essa distribuio no for feita, haver umasubavaliao da rigidez da laje no estdio II.

Finalmente, verifica-se que o modelo bilinear adequado para representar o comportamento daslajes nervuradas at o incio do escoamento dasarmaduras. Aps essa carga de escoamento, ocorrea propagao das linhas de ruptura at o colapso

final da laje. A carga de ruptura sensivelmentemaior que a carga .eP

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Flecha no centro da laje (mm)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Carg

aP

(kN)

q'=P/(c+4d)**2

q=P/c**2

Experimental

Laje S1

Fig. 6 Resposta para a laje nervurada S1


6/9


0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0


0

10

20

30

40

50

60

70

80

CargaP

(kN)

q'=P/(c+4d)**2

q=P/c**2

Experimental

Laje S2


0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0


0

10

20

30

40

50

60

CargaP

(kN)

q'=P/(c+4d)**2

q=P/c**2

Experimental

Laje S3


0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0Flecha no centro da laje (mm)

0

10

20

30

40

50

CargaP

(kN)

Experimental

q'=P/(c+4d)**2

q=P/c**2

Laje S4


0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

CargaP

(kN)

Experimental

q'=P/(c+4d)**2

q=P/c**2

Laje S5


0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0


0

10

20

30

40

CargaP

(kN)

Laje S6

Experimental

q'=P/(c+4d)**2

q=P/c**2


4. ANLISE DE LAJES MACIAS

Duas lajes macias, com o carregamento e os

vos indicados na fig. 4, tambm foram ensaiadaspor Abdul-Wahab e Khalil[5]. As propriedades doconcreto, dimenses e armaduras dessas lajes sofornecidas na tabela 4.

Nas figuras 12 e 13 so apresentadas as relaescarga flecha no centro das lajes macias.

Conforme se observa, o modelo acompanha osresultados experimentais at a carga de fissuraoterica. Entretanto, a carga terica rP menorque a carga de fissurao verificada nos ensaios,mesmo quando se considera a carga distribuda

( )24dcPq += . Isto indica que esseprocedimento de distribuio da carga aplicada em


7/9


uma rea reduzida fica a favor da segurana. Acarga de ruptura e a rigidez das lajes, verificadasexperimentalmente, so superiores quelasdeterminadas com o modelo terico.

Tabela 4 Lajes macias de Abdul-Wahab e

KhalilLaje cmf (MPa) csE (MPa) ctf (MPa)

S7 36,0 28008 3,29S8 28,5 25910 2,81

Laje eh (cm) d(cm) sA (cm2/m)

S7 7,50 6,30 3,01S8 9,50 8,30 3,01

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0


0

10

20

30

40

50

CargaP

(kN)

Laje S7

Experimental

q'=P/(c+4d)**2

q=P/c**2

Fig. 12 Resposta para a laje macia S7 de

Abdul-Wahab e Khalil

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

CargaP

(kN)

Laje S8

Experimental

q'=P/(c+4d)**2

q=P/c**2

Fig. 13 Resposta para a laje macia S8 de

Abdul-Wahab e Khalil

Trs lajes macias ensaiadas por Taylor et al [8]tambm so analisadas com o modelo bilinear.

Neste caso, as lajes so quadradas e possuem vos183== ba cm. As lajes so simplesmente

apoiadas no contorno e submetidas a uma cargauniformemente distribuda em toda a sua

superfcie.Na tabela 5 apresentam-se as propriedades do

concreto das trs lajes.

Tabela 5 Propriedades do concreto das lajes deTaylor et al

Laje cmf (MPa) csE (MPa) ctf (MPa)

S1 35,0 27747 3,23S7 38,2 28568 3,42S9 33,2 27263 3,12

A tenso de escoamento das armadurasempregadas nos ensaios MPa. As lajes

so armadas com armaduras diferentes nas duasdirees, conforme se indica na tabela 6.

376=yf

Tabela 6 Armaduras das lajes de Taylor et alLaje eh

(cm)

d(cm)

sxA

(cm2/m)syA

(cm2/m)S1 5,10 4,15 2,34 2,80

S7 4,40 3,45 2,80 3,18S9 7,60 6,65 1,46 1,56

Nas figuras 14 a 16 so apresentadas as relaescarga total flecha no centro das lajes. Observa-seque o modelo bilinear acompanha bem osresultados experimentais at a carga deescoamento . Para as lajes S1 e S7, a carga de

ruptura bem maior que .eP

eP

A laje S9 tem uma ruptura brusca, aps a

fissurao, pois a taxa de armadura muito baixa.Entretanto, a carga de ruptura maior que ,

mesmo neste caso.eP


8/9


0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0


0

20

40

60

80

100

120

Cargato

tal(kN)

Laje S1

Experimental

Modelo

Fig. 14 - Resposta para a laje macia S1 de

Taylor et al

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0


0

20

40

60

80

100

120

140

Cargatotal(kN)

Laje S7

Experimental

Modelo

Fig. 15- Resposta para a laje macia S7 de

Taylor et al

0.0 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0Flecha no centro da laje (mm)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Cargatotal(kN) Laje S9

Experimental

Modelo

Fig. 16 - Resposta para a laje macia S9 de

Taylor et al

5. CONCLUSES

Em funo dos resultados apresentados nestetrabalho, podem ser tiradas as seguintesconcluses: O modelo bilinear satisfatrio para a

avaliao das deformaes das lajes macias e daslajes nervuradas de concreto armado. Essas ltimas

podem ser analisadas como laje macia com umaespessura equivalente. Isto demonstra que as lajesnervuradas possuem boa rigidez toro e que elas

podem ser analisadas como laje macia, conformefoi mostrado nos trabalhos anteriores [1,2]. Uma carga aplicada em rea reduzida pode serdistribuda segundo uma inclinao 1:2 at o nveldas armaduras, para o clculo das flechas e dacapacidade de carga das lajes de concreto armado. O modelo bilinear representa bem osresultados experimentais no estdio I e no estdioII, at o incio do escoamento das armaduras. A carga , correspondente ao incio do

escoamento das armaduras, bem inferior cargade ruptura. As lajes de concreto armado possuemgrande capacidade de redistribuio de esforos eapresentam uma boa reserva de segurana.

eP

REFERNCIAS

1. Arajo, J. M. Consideraes sobre a rigidez toro das lajes nervuradas de concreto

armado. Revista Teoria e Prtica na EngenhariaCivil, n.7, p.1-8, Setembro, 2005.

2. Arajo, J. M. A rigidez equivalente das lajesnervuradas de concreto armado. Revista Teoriae Prtica na Engenharia Civil, n.8, p.1-9, Abril,2006.

3. Arajo, J. M. Avaliao dos procedimentos deprojeto das lajes nervuradas de concreto

armado. Revista Teoria e Prtica na EngenhariaCivil, n.3, p.15-25, junho, 2003.

4. Arajo, J.M. Curso de Concreto Armado, v.2,2a. ed., Editora Dunas, Rio Grande, 2003.

5. Abdul-Wahab, H. M. S., Khalil, M. H. -Rigidity and strength of orthotropic reinforced

concrete waffle slabs. Journal of StructuralEngineering, ASCE, Vol. 126, n. 2, p.219-227,2000.

6. Comit Euro-International du Bton CEB-FIP

Model Code 1990.Lausanne, 1993.


9/9


7. Associao Brasileira de Normas Tcnicas Projeto de Estruturas de Concreto. NBR-6118.Rio de Janeiro, 2003.

8. Taylor, R.; Maher, D. R. H.; Hayes, B. Effectof the arrangement of reinforcement on the

behaviour of reinforced concrete slabs.

Magazine of Concrete Research, vol. 18, n. 55,p.85-94, 1966

[Araujo] Modelo Bilinear Lajes CoAo

Documents

Transcript of [Araujo] Modelo Bilinear Lajes CoAo