Apunts Probabilitat

55
TEORIA DE LA PROBABILITAT 1 INTRODUCCI A la natura observem dos tipus de fenmens: a. Fenmens deterministes .- Donada locurrLncia dun grup K de circumstncies, es produeix necessri- ament un esdeveniment A. b. Fenmens aleatoris .- Havent-se donat la concurrLncia dun grup K de circumstncies, lesdeveniment A tant pot ocrrer com no ocrrer. Per exemple, si observem durant cert interval de temps un tom de Radi, Øs possible que aquest tom es desintegri en el transcurs de lobservaci, per Øs possible que no. L instant de la desintegraci depLn de fets que es produeixen en el nucli de ltom, que no coneixem i que no podem observar. La teoria de la Probabilitat Øs doncs un branca de la Matemtica que proporciona models adients per la descripci dels fenmens aleatoris. Entre aquests ja hem fet esment de la desintegraci nuclear, per tambØ ho sn lemissi electrnica, les trucades de telLfon, la detecci per radar, el control de qualitat, les mesures preses en un laboratori experimental, ..... 2 ESPAIS DE PROBABILITAT 2.1 Espai mostral, esdeveniments. Algebra desdeveniments El conjunt de possibles resultats dun experiment aleatori constitueix el conjun mostral o espai mostral corresponent a aquest experiment. Els esdeveniments associats a un determinat experi- ment aleatori corresponen a subconjunts de lespai mostral. El mateix espai mostral representa lesdeveniment segur i el subconjunt buit lesdeveniment impossible. El llenguatge i les idees elementals de la teoria de cojunts serveixen per descriure les relacions entre esdeveniments. Conjunts.- Un conjunt Øs una collecci nita o innita dobjectes que es deneix: a) per extensi : A = fa 1 ;a 2 ;a 3 ; :::::::; a n g b) per una propietat: a = fx j p(x)g = felements "x" que satisfan la propietat "p"g Exemples.- A = fpersones de raa negrag = fx j x Øs persona i de raa negrag B = fx 2Rjjx aj dg Operacions amb conjunts.- 1. REUNI (SUMA LGICA) : A [ B = fx j x 2 A o x 2 Bg 1

Transcript of Apunts Probabilitat

Page 1: Apunts Probabilitat

TEORIA DE LA PROBABILITAT

1 INTRODUCCIÓ

A la natura observem dos tipus de fenòmens:

a. Fenòmens deterministes.- Donada l�ocurrència d�un grup K de circumstàncies, es produeix necessàri-ament un esdeveniment A.

b. Fenòmens aleatoris.- Havent-se donat la concurrència d�un grup K de circumstàncies, l�esdevenimentA tant pot ocórrer com no ocórrer.

Per exemple, si observem durant cert interval de temps un àtom de Radi, és possible que aquestàtom es desintegri en el transcurs de l�observació, però és possible que no. L�instant de la desintegraciódepèn de fets que es produeixen en el nucli de l�àtom, que no coneixem i que no podem observar.La teoria de la Probabilitat és doncs un branca de la Matemàtica que proporciona models adients

per la descripció dels fenòmens aleatoris. Entre aquests ja hem fet esment de la desintegració nuclear,però també ho són l�emissió electrònica, les trucades de telèfon, la detecció per radar, el control dequalitat, les mesures preses en un laboratori experimental, .....

2 ESPAIS DE PROBABILITAT

2.1 Espai mostral, esdeveniments. Algebra d�esdeveniments

El conjunt de possibles resultats d�un experiment aleatori constitueix el conjun mostral o espaimostral corresponent a aquest experiment. Els esdeveniments associats a un determinat experi-ment aleatori corresponen a subconjunts de l�espai mostral. El mateix espai mostral represental�esdeveniment segur i el subconjunt buit � l�esdeveniment impossible. El llenguatge i les ideeselementals de la teoria de cojunts serveixen per descriure les relacions entre esdeveniments.Conjunts.- Un conjunt és una col�lecció �nita o in�nita d�objectes que es de�neix:

a) per extensió : A = fa1; a2; a3; :::::::; ang

b) per una propietat: a = fx j p(x)g = felements "x" que satisfan la propietat "p"g

Exemples.-A = fpersones de raça negrag = fx j x és persona i de raça negragB = fx 2 R j jx� aj � dgOperacions amb conjunts.-

1. REUNIÓ (SUMA LÒGICA):

A [B = fx j x 2 A o x 2 Bg

1

Page 2: Apunts Probabilitat

Noteu:en el llenguatge propi dels esdeveniments, l�esdeveniment A [ B, suma lògica, ocorresi esdeveniments de A o de B (o d�ambdós) ocorren.

Exemples.-

- Donat un dau, espai mostral = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, i els esdeveniments A = f1g i B = f2; 4g,llançant el dau l�esdeveniment A[B ocorre si surten 1 o 2 o 4, és a dir A[B = f1; 2; 4g.

2. INTERSECCIÓ (PRODUCTE LÒGIC):

A\B = fx j x 2 A i x 2 Bg

o

Noteu: l�esdeveniment A \ B, producte lògic, ocorre si esdeveniments de A i de B ocorrenplegats.

Exemples.-

- Donat un dau, = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, A = f1; 2; 3g, BP = f"nombres parells"g i BS =f"nombres senars"g, llançant el dau l�esdeveniment A\BP = f2g ocorre si surt 2, mentreA \BS = f1; 3g ocorre si surten 1 o 3.

Donats dos daus, 2 = 1 1 = f"parells ordenats de 1 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g"g, A = f"6 alprimer dau"g, B = f"6 al segon dau"g, A \B = f(6; 6)g ocorre 6 als dos daus plegats.

3. COMPLEMENTARI (d�A respecte ) (OPOSAT d�A)

A = fx 2 j x =2 Ag

Noteu:A és l�esdeveniment oposat d�A; ocorre si esdeveniments de A no han ocorregut.

4. DIFERÈNCIA

A�B = fx j x 2 A i x =2 Bg

2

Page 3: Apunts Probabilitat

A�B = A \B

A = � ANoteu: A�B ocorre si ocorren aquells esdeveniments d�A que no són de B.

5. INCLUSIÓ (IMPLICACIÓ)

A � B (A és subconjunt deB) quan, sempre que x 2 A, també val x 2 B

Noteu: A � B, si A ocorre implica que també B ocorre.

6. PRODUCTE CARTESIÀEl producte cartesià de dos conjunts A i B és el conjunt A B, format per tots els parellsordenats de la forma

(a; b) on a 2 A i b 2 B. Per exemple: el conjunt de punts del pla resulta el producte cartesiàRR. És útil observar que en el lleguatge de la probabilitat AB ocorre quan A i B alhoraes compleixen, és a dir A \B.

Propietats.-

1. A � B i B � A =) A = B (tenen els mateixos elements)

2. A � B =) A \B = A

3

Page 4: Apunts Probabilitat

3. A � B =) A [B = B

4. A � B =) B � A

5. A = A ; = � ; = �

6. Lleis de Morgan:

(a) A [B = A \B

(b) A \B = A[B

7. Propietats distributives:A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C)

A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C)es poden comprovar fàcilment amb diagrames.

2.2 Elements de combinatòria

4

Page 5: Apunts Probabilitat

De quantes maneres podem ordenar els elements de un conjunt, per exemple l�espai mostral? i comcomptem els conjunts obtinguts? A aquestes preguntes respondrem aquí.

� Variacions.- D�un conjunt de n elements es volem separar d�un en un, �ns a un total der � n elements per formar un subconjunt ordenat. Tenim n elements accesibles per la primeraextracció, n� 1 per la segona y n� (r � 1) per a l�última. En total podrem formar

n � (n� 1) � (n� 2) � (n� 3) � � � � (n� r + 1)

subconjunts de r elements ordenats, un nombre que en forma compacta es pot representar pelquocient

n!

(n� r)! � Vnr

� Variacions amb repetició.- Disposem ara de n simbols per formar sobre el paper cadenes grà-�ques de r simbols un a continuació de l�altre. Tenim n simbols accesibles per a la primeraposició, els mateixos n per la segona. Per tant podrem formar

n � n � n � � � �n = nr � V Rnr

cadenes diferents. En aquest cas, no tenim cap cota superior per a r.

Es pot comprovar fàcilment quen!

(n� r)! � n! � nn

� Permutacions.- En el cas de les variacions quan n = r tenim les permutacions

n! = V nn � Pn

doncs 0! = 1

� Combinacions.- D�un conjunt de n elements es volem separar r elements tot d�una per formarun subconjunt. Com que ara l�ordre no importa i dos subconjunts són diferents si difereixenalmenys en un element, el quocient

n!

(n� r)!r! =V nrr!��n

r

�� Cnr

ens proporciona el nombre de subconjunts d�aquest tipus que es podem formar. El simbol�nr

�s�anomena coe�cient binomial doncs es pot comprobar que

(a+ b)n =

nXr=0

�n

r

�an�rbr

En conseqüència

2n =

nXr=0

�n

r

5

Page 6: Apunts Probabilitat

� Permutacions amb repetició (coe�cient multinomial).- Un conjunt de n elements es vol dividiren k grups, tal que el primer conté r1 elements, el segon r2, etc. El nombre de maneres en queaixò es pot fer ve donat per

n!

r1! � r2! � � � rk!��

n

r1; :::; rk

�� Cnr1;:::;rk

Fixemnos que�n

r1; :::; rk

�=

�n

r1

���n� r1r2

�� � � � � �

�n� r1 � r2 � ::::� rk�2

rk�1

�=

n!

r1! (n� r1)!� (n� r1)!r2! (n� r1 � r2)!

� � � � � �(n� r1 � r2 � ::::� rk�2)!rk�1!rk!

Aquí�

nr1;:::;rk

�s�anomena coe�cient multinomial doncs es pot comprobar que

(a1 + a2 + ::::::::+ ak)n =

r1+:::+rk=nX(r1;:::;rk)

�n

r1; :::; rk

�ar11 � ar22 � ::::: � a

rkk

Com una conseqüència s�obté

kn =

r1+:::+rk=nX(r1;:::;rk)

�n

r1; :::; rk

� Combinacions amb repetició.- Suposem que tenim una capsa contenint n boles diferents. D�aquestacapsa treiem una bola i la tornem a deixar. Ens podem preguntar quants grups amb k bolesextretes d�aquesta forma i sense importar l�ordre d�extracció podem formar. La resposta és elnombre de combinacions amb repetició de n elements en grups de k elements

CRnk = Cn+k�1k =

�n+ k � 1

k

�=

�n+ k � 1n� 1

�Aquesta expressió s�obté com a solució de l�equació de recurrència

CRnk = CRnk�1 + CR

n�1k

amb la condicióCR1k = 1

Una forma més intuitiva de resoldre el problema és la següent: suposem que tenim n cel�lesdiferents i k objectes distinguibles (representats per una x) per colocar en les cel�les que repre-sentem amb n� 1 barres verticals

xxxjxxjxxxxjjjxxjxxx

Com resulta intuitiu, hem de considerar permutacions de un conjunt ampliat format per cel�lesi barres en nombre n � 1 + k tenit en compte que les permutacions de cel�les entre si i delsobjectes entre si no s�han de considerar, això és�

n+ k � 1k

6

Page 7: Apunts Probabilitat

2.3 De�nició clàssica de probabilitat

Tal com ja hem dit en la introducció, la teoria de la Probabilitat tracta els fenòmens aleatoris. Aquestssón fenòmens que observan-los repetidament donen resultats diferents que hom no pot preveure deforma determinista. En lloc d�una determinació exacta i previsible dels resultats hom veu que aquestsobeeixen una regularitat estadística en el sentit que es pot preveure de forma aproximada la freqüènciarelativa que hom obtingui un resultat. Un exemple clàssic de fenòmen o experiment aleatori és elllançament d�una moneda. En aquest cas només hi han dos resultats possibles: cara (H) i creu (T).Encara que no és possible preveure si un determinat llançament donarà cara o creu hom pot esperarque després d�un gran nombre de llançaments tindrem que aproximadament la meitat dels resultatsseran cares i l�altre meitat seran creus:

experimentador nollançaments no cares freqüènciaBu¤on 4040 2048 0.5080

K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 12000 12012 0.5005

En base a aquestes consideracions hom pot dir que la "probabilitat" de sortir cara és 1/2 iguala la de sortir creu. Això portarà en els segles XVII i XVIII a la de�nició clàssica de Probabilitatdesenvolupada per Pascal, Fermat i Laplace:La probabilitat d�un esdeveniment o resultat d�un fenòmen aleatori és el quocient del nombre de

casos favorables dividit pel nombre de casos possibles, sempre que tots els casos siguim igualmentprobables.Exemple 1.- Donada una baralla de 36 cartes en treiem 3 a l�atzar. (i) Quina és la probabilitat

que només una d�elles sigui un as (ii) Quina és la probabilitat que al menys una sigui un asSolució.-Per ambdues situacions el nombre de casos possibles és

N =

�36

3

�=

36!

(36� 3)!3!

(i) En aquestes circunstàncies el nombre de casos favorables pot ser calculat en la forma següent: comque hi ha 4 asos un d�ells el podem treure de

�41

�maneres diferents, mentre que les altres dues cartes

(que no són asos) les podem treure de�322

�maneres diferents. Així el nombre de casos favorables és�4

1

��32

2

�i la probabilitat és

P =

�41

��322

��363

� =496

1785' 0:2778

(ii) Ara la probabilitat P = P1 + P2 + P3 on Pn és la probabilitat que hi hagin n asos

P1 = 0:2778; P2 =

�42

��321

��363

� ' 0:0269; P3 =�43

��363

� ' 0:0006Per tant P ' 0:3053.Alternativament aquest problema es pot resoldre considerant P la probabilitat que no hi hagi cap

as en 3 cartes,

P =

�323

��363

� ' 0:69477

Page 8: Apunts Probabilitat

llavors P = 1� P ' 0:3053.Exemple 2.- Una baralla de 36 cartes es divideix de forma aleatoria en dues parts iguals. Quina

és la probabilitat que cada part contingui un mateix nombre de cartes vermelles i negres?.Solució.- Hem de trobar la probailitat que de 18 cartes escollides a l�atzar 9 siguin negres i 9

vermellescasos possibles =

�3618

�casos favorables =

�189

��189

�així P = (189 )(

189 )

(3618)= (18!)4

36!(9!)4

utilitzant la aproximació de Stirling

n! ' (2�n)1=2 nne�n

tenimP ' 2p

18�' 0:26

Probabilitat geomètrica.(espai mostral continu)- Sigui A una regió del pla i sigui B una part deA. Suposem que es llança un punt sobre A, llavors la probabilitat de que el punt estigui sobre B(probabilitat geomètrica) és

P =S(B)

S(A)

on S(B) i S(A) són, respectivament, les àreas de B i A. Aquesta és una generalització del concepteclàssic de probabilitat quan tenim un in�nit numerable o no numerable de successos igualmentprobable.Exemple 3.- Dues persones A1 i A2 queden de trobar-se en un lloc determinat entre les 12 i la una.

La primera en arribar s�espera 20 min. i després marxa. Quina és la probabilitat de que ambdues estrobin?Solució.- Sigui xi el temps en que Ai arriba. Perque A1 i A2 es trobin és necessari i su�cient que

jx1 � x2j � 20 =) �20 � x1 � x2 � 20

d�acord amb la �gura,

casos possibles=tots els punts del quadratcasos favorables= els punts de la regió marcada

) P =area marcadaarea total

P =602 � 402602

=5

9

8

Page 9: Apunts Probabilitat

2.4 De�nició estadística de la probabilitat

La formulació clàssica del concepte de probabilitat no resulta completament satisfactòria doncs im-plica un coneixement a priori de tots els resultats d�un experiment. A més no proporciona un criteriper dilucidar, en un determinat experiment, quan els diferents casos possibles poden considerarseigualment problables. Amb l�intenció de superar aquestes di�cultats, R. von Mises l�any 1928 vaintroduir la probabilitat com un concepte empíric. D�acord amb von Mises la probabilitat estarelacionada amb la freqüència d�observació de l�esdeveniment ! en N repeticions independents del�experiment. De�nint la freqüència com a

fN! �n!N;

amb n! les vegades que s�obté el resultat ! en N experiments, el límit per a N �! 1 de�neix laprobabilitat de !

P! � limN�!1

fN!

en la de�nició freqüèntista. Aquesta de�nició es basa en:

a. La existència del límit;

b. Que el límit no depengui del procés de mesura, el que vol dir aleatorietat.

Aquesta interpretació estadística conté inconsistències lògiques com va posar de manifest Khinchin.Tot i això, tant la de�nició clàssica com la de�nició estadística de probabilitat serveixen com a puntde partença i funcionen en una amplia majoria de casos.

2.5 De�nició axiomàtica de la probabilitat (Kolomogorov, 1956)

Sigui Q = fA1; A2; ::::::; An; :::::g una colecció �nita o in�nita numerable de subconjunts de . Aque-sta familia Q de conjunts s�anomena �-algebra si:

(a) Q conté i �

(b) Q és tancat sota unions, interseccions i complementacions d�un nombre �nit o in�nit numerabled�elements de Q, i.e.,A1 [ A2 [ :::::: [ Am [ :::::: 2 Q

A1 \ A2 \ :::::: \ Am \ :::::: 2 Q

si Ai 2 Q llavors Ai 2 Q

Exemple 4.- (a) Llancem una moneda, l�espai és = f!1; !2g on !1 =cara i !2 =creu. La�-algebra d�esdeveniments ésQ = f�; f!1g ; f!2g ; f!1; !2gg. (b) En l�exemple 3 l�espai és el conjunt de punts (in�nit no

numerable) = f! = (x; y) j 0 � x � 60; 0 � y � 60gDe�nició.- Donat un conjunt no buit i una �-algebra Q de subconjunts de s�anomena espai de

probabilitat a la terna (; Q; P ) on P és una funció real anomenada mesura de probabilitat de�nidasobre Q

P : Q �! RA �! P (A)

amb les propietats següents:

9

Page 10: Apunts Probabilitat

1. P (A) � 0 8A 2 Q

2. P () = 1

3. Per qualsevol successió (�nita o in�nita) A1; A2; ::::::; An; ::::: d�esdeveniments mutuament ex-cloents (i.e. Ai \ Aj = �)

P (A1 [ A2 [ :::: [ An [ :::) = P (A1) + P (A2) + :::::+ P (An) + :::::

Teorema.- La probabilitat veri�ca les propietats:

1. P (�) = 0

2. P (A) = 1� P (A) (A complementari de A)

3. Si A � B llavors P (A) � P (B)

4. 8A 2 Q tenim 0 � P (A) � 1

5. Per qualsevol successióA1; A2; ::::::; An; ::::: d�esdeveniments (no necessariament disjunts) tenim:P [[1n=1An] �

P1n=1 P (An)

6. Si B � A llavors P (A�B) = P (A)� P (B)

Demostració del teorema.-

1. = [ � ademes \ � = � (disjunts) per tant i d�acord amb la propietat 3 de la de�nicióanterior

1 = P () = P () + P (�) =) P (�) = 0

2. = A [ A i A \ A = � =) 1 = P () = P (A) + P (A) =) P (A) = 1� P (A)

3. Observem que B = A [�A \B

�i A \

�A \B

�= � =) P (B) = P (A) + P (A \ B) � P (A)

(per les propietats 1 i 3 de la de�nició anterior)

4. Obviament A � =) P (A) � P () = 1

5. Demostrem-ho per n = 2, per inducció hom pot demostra-ho per tot n. Així doncs hem dedemostrar:

P (A1 [ A2) � P (A1) + P (A2)

10

Page 11: Apunts Probabilitat

tenim:

A1 [ A2 = A1 [ (A2 � A1 \ A2) amb A1i (A2 � A1 \ A2) disjunts

A2 = (A1 \ A2) [ (A2 � A1 \ A2) amb A1 \ A2i A2 � A1 \ A2 disjunts

així per la propietat 3 de la de�nició anterior:

P (A1 [ A2) = P (A1) + P (A2 � A1 \ A2)P (A2) = P (A1 \ A2) + P (A2 � A1 \ A2)

=)

P (A1 [ A2) = P (A1) + P (A2)� P (A1 \ A2) � P (A1) + P (A2)

6. Si B � A llavors A = B [ (A�B) amb B i (A�B) disjunts =) P (A) = P (B) + P (A�B)

Exemple.- Sigui un espai mostrtal �nit amb N elements

= f!1; !2; :::::::; !Ng

de�nim la probabilitat d�un esdeveniment A � mitjançant

P (A) � nAN(nA = nombre d�esdeveniments elementals en A)

Demostrar:

(i) Els esdeveniments elementals són igualment probables

(ii) P (A) és una probabilitat

Solució.-

(i) Sigui Ai = f!ig (i = 1; 2; :::; N) llavors P (Ai) =nAiN

=1

N8i

(ii) P (A) veri�ca els axiomes 1-3 de la de�nició de probabilitat:

1. (1) P (A) � 0 ja que nA � 0(2) P () � N=N = 1

(3) P (A1 [ ::::: [ Am) =n1 + n2 + :::::::::+ nm

N= P (A1) + :::+P (Am); sempre que Ai \

Aj = �

3 PROBABILITAT CONDICIONADA

De�nició.- La probabilitat condicionada de A donat B es de�neix per

P (A j B) � P (A \B)P (B)

(P (B) 6= 0)

P (A j B) ens dona la probabilitat de A sabent que B ha ocorregut

11

Page 12: Apunts Probabilitat

Exemple.- Quina és la probabilitat al llançar dos daus de que la suma de punts doni 8 si sabemque la suma és un nobre parell?Solució.-

= f(1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3) ; ::::; (6; 6)g =) N = 36A = f(2; 6) ; (3; 5) ; (4; 4) ; (5; 3) ; (6; 2)g =) nA = 5B = f(1; 1) ; (1; 3) ; (1; 5) ; :::::; (6; 2) ; (6; 4) ; (6; 6)g =) nB = 18

llavors

P (A) =5

36; P (B) =

18

36; P (A \B) = P (A) = 5

36; P (A j B) = 5=36

18=36=5

18Teorema.- La probabilitat condicionada satisfà els axiomes de probabilitat.Demostració.-

1. Es evident que P (A j B) � 0

2. P ( j B) � P ( \B)P (B)

=P (B)

P (B)= 1

3. A1; A2; :::::; An; :::: disjunts =) B \ A1; B \ A2; :::::; B \ An; :::: també disjunts=) P ([nB \ An) =

Pn P (B \ An)

així

P ([nAn j B) �P ([nB \ An)

P (B)=

Pn P (B \ An)P (B)

=P

n P (An j B)

Teorema (regla de multiplicació).- Siguin A0; A1; :::::; An n+ 1 esdeveniments tals que

P (A0 \ A1 \ ::::: \ An) 6= 0

llavors:

P (A0 \ A1 \ ::::: \ An) = P (A0)P (A1 j A0)P (A2 j A1 \ A0):::::P (An j A0 \ A1 \ ::::: \ An�1)

Demostració.- Per induccióper n = 1 =) P (A0 \ A1) = P (A0)P (A1 j A0) cert de la de�nicióper n+ 1 =) P (An+1 j A0 \ A1 \ ::::: \ An) �

P (A0 \ A1 \ ::::: \ An \ An+1)P (A0 \ A1 \ ::::: \ An)

=

=P (A0�A1�:::::�An�An+1)

P (A0)P (A1 j A0)::::::::P (An j A0�A1�:::::�An�1)=)

=) P (A0:::::An+1) = P (A0)P (A1 j A0)::::::::P (An+1 j A0:::::An)

en el penúltim pas s�ha utilitzat la hipòtesi d�inducció. A més per simpli�car la notació es potinterpretar la intersecció com a un producte, com així en fet.Exemple.- Considerem el laberint de la �gura següent i calculem la probabilitat d�arribar al tresor

creuant la cruïlla 5.

12

Page 13: Apunts Probabilitat

El mapa del tresor. Camins per arribar al tresor.

El camí cap a la cruïlla 5 vol dir passar per les cruïlles 1; 2; 3; 4 i 5. Associem a la cruïlla númerok el simbol Ek i el nostre camí és representat per a l�esdevenidment E1 \E2 \E3 \E4 \E4;és a dirque occorri E1; E2; : : :i E5, la qual probabilitat és

P (E1 \ E2 \ E3 \ E4 \ E5) = P (E1)| {z }12

P (E2 j E1)| {z }13

P (E3 j E1 \ E2)| {z }12

� � �|{z}13

P (E5 j E1 \ E2 \ E3 \ E4)| {z }12

=1

72

Teorema (Fòrmula de la Probabilitat total).- Sigui A un esdeveniment arbitrari i siguinB1; :::::::::; Bn;n esdeveniments disjunts tals que

(i) P (Bi) 6= 0 (i = 1; :::; n)

(ii) A = [ni=1A \Bi

llavors

P (A) =nXi=1

P (Bi)P (A j Bi)

Demostració.- És evident que A\B1; A\B2; :::; A\Bn són esdeveniments disjunts (mireu la �gura)i així per l�axioma 3 de probabilitat, (ii) i la de�nició de probabilitat condicionada tenim:

P (A) = P ([ni=1A \Bi) =nXi=1

P (A \Bi) =nXi=1

P (Bi)P (A j Bi)

13

Page 14: Apunts Probabilitat

Exemple.- Tenim 5 urnes (a) 2 urnes amb 2 boles blanques i una bola negra cadascuna; (b) 1 urna amb10 boles negres i (c) 2 urnes amb 3 boles blanques i 1 negra cadascuna. Seleccionem aleatoriamentuna urna i treiem a l�atzar una bola d�ella. Quina és la probabilitat de que la bola sigui blanca?Solució.-B1 = fescollir una de les urnes (a)g =) P (B1) =

2

5

B2 = fescollir l�urna (b)g =) P (B2) =1

5

B3 = fescollir una de les urnes (c)g =) P (B3) =2

5Obviament només podem escollir una urna =) Bi \ Bj = ? (i.e. B1; B2; B3 són esdevenimentsmutuament excloents)Sigui A = fescollir una bola blancag con que una bola es pot treure només de les urnes (a), (b) o (c)tenim: A = A \B1 [ A \B2 [ A \B3així P (A) = P (A \ B1) + P (A \ B2) + P (A \ B3) = P (A j B1)P (B1) + P (A j B3)P (B3) peròP (A j B1) = 2=3 , P (A j B3) = 3=4 �nalment

P (A) =4

6

2

5+6

8

2

5=17

30= 0:5667

Teorema (Fórmula de Bayes).- Sigui A un esdeveniment arbitrari i siguin B1:::::Bn n esdeveni-ments que veri�quen les condicions (i) i (ii) del teorema anterior, llavors:

P (Bi j A) =P (Bi)P (A j Bi)Pni=1 P (Bi)P (A j Bi)

Demostració.- De la de�nició de probabilitat condicionada tenim

P (A j Bi) �P (A \Bi)P (Bi)

=) P (A \Bi) = P (Bi)P (A j Bi)

P (Bi j A) � P (Bi \ A)P (A)

=P (A \Bi)P (A)

=) P (A \Bi) = P (A)P (Bi j A)

per tant

P (Bi j A) =P (Bi)P (A j Bi)

P (A)

i del teorema anterior P (A) =Pn

i=1 P (Bi)P (A j Bi), en resum

P (Bi j A) =P (Bi)P (A j Bi)Pni=1 P (Bi)P (A j Bi)

Exemple.- Tenim 5 urnes: (a) 2 urnes amb 2 boles blanques i 3 de negres cadascuna; (b) 2 urnes amb1 bola blanca i 4 de negres i (c) 1 urna amb 4 blanques i 1 negra. S�escull a l�atzar una bola d�unade les urnes i resulta que és una bola blanca. Quina és la probabilitat de que aquesta bola s�hagiescollit de la urna (c)?Solució.-B1 = fescollir urnes (a)gB2 = fescollir urnes (b)gB3 = fescollir urnes (c)gA = fescollir una bola blancag

14

Page 15: Apunts Probabilitat

tenimP (B1) = P (B2) = 2=5; P (B3) = 1=5 ; P (A j B1) = 2=5 ; P (A j B2) = 1=5 ; P (A j B3) = 4=5així

P (B3 j A) =P (B3)P (A j B3)

P (B1)P (A j B1) + P (B2)P (A j B2) + P (B3)P (A j B3)= 2=5

de la mateixa manera tenim P (B2 j A) = 1=5 ; P (B1 j A) = 2=5.De�nició.- Dos esdeveniments A i B són independents si

P (A \B) = P (A)P (B)Fixem-nos que si A i B són independents llavors

P (A j B) = P (A\B)P (B)

= P (A)

P (B j A) = P (A\B)P (A)

= P (B)

és a dir que el coneixement d�un d�ells no afecta l�ocurrència de l�altre: ocorren indiferentementl�un de l�altre.Teorema.- Si A i B són independents llavors (i) (A;B); (ii) (A;B); (iii) (A;B) també són inde-

pendents.Demostració.-

(i) A = (A \B) [ (A \B) éssent A \B i A \B disjunts. Per tant P (A) = P (A \B) + P (A \B) i�nalment veiem que P (A \B) = P (A) (1� P (B)) = P (A)P (B)(ii) Arribarem a les mateixes conclusions si comencen per B = (A \B) [ (A \B)(iii) Tenim A \B = A [B el que implica

P (A \B) = P (A [B) = 1� P (A [B) =1� P (A)� P (B) + P (A \B) = P (A)� P (B) + P (A)P (B) =

P (A)� P (B)(1� P (A)) = P (A)� P (B)P (A) =P (A) (1� P (B)) = P (A)P (B)

En general n esdeveniments A1; A2; :::::; An són independents si

P (Ai1Ai2) = P (Ai1)P (Ai2)

P (Ai1Ai2Ai3) = P (Ai1)P (Ai2)P (Ai3)

��������������P (A1A2; :::::An) = P (A1)P (A2)::::::::P (An)

De�nició.- Dos esdeveniments A i B són incompatibles si són mutuament excloents A \ B = �.Doncs tindrem sempre

P (A \B) = 0i

P (A j B) = P (A\B)P (B)

= 0

P (B j A) = P (A\B)P (A)

= 0

és a dir que el coneixement d�un d�ells afecta l�ocurrènciala de l�altre: si ocorre un d�ells no ocorrel�altre. Són incompatibles i no són independents. Mireu a la taula dels esdeveniments compatibles ino.

15

Page 16: Apunts Probabilitat

4 VARIABLES ALEATÒRIES DISCRETES I CONTÍNUES

4.1 Variables aleatòries

En un espai de probabilitat (; Q; P ) els esdeveniments elementals ! 2 no ha de ser necessariamentnúmeros. Per exemple al llançar una moneda els esdeveniments elementals són dos: cara o creu. Noobstant això és convenient associar un nombre real a cada esdeveniment elemental fent necessariintroduir el concepte de variable aleatòria.De�nició.- Una variable aleatòria X és una funció real de�nida sobre

X : �! R! �! X (!)

que és mesurable segons Q:f! 2 j X (!) � xg 2 Q 8x 2 R

De tal manera que tots els valors de X tenen una probabilitat de�nida, ja que tan sols els esdeveni-ments, i.e. els elements de la �-algebra Q tenen probabilitat de�nida.Quan no hi hagi confusió possible escriurem X en lloc de X(!) i

fX � xg = f! 2 j X(!) � xgfX 2 Bg = f! 2 j X(!) 2 Bg

on B és qualsevol subconjunt de la recta real (B 2 R).Un dels exemples més senzills de variable aleatòria és l�indicador d�un esdeveniment A, de�nit

per

IA(!) =

�1 si ! 2 A0 si ! =2 A

Exemple.- Un experiment aleatòri consisteix a llançar una moneda tres vegades. Suposem que lamoneda està carregada per el que la probabilitat de que surti cara és 2/3 i de sortir creu 1/3 (noteuque estem parlant de probabilitat axiomàtica). Sigui la variable aleatòria X el nombre de cares enles tres tirades, així tenim

16

Page 17: Apunts Probabilitat

! X(!) P (f!g) P fX = xg

HHH 3

�2

3

�3=8

27P fX = 3g = 8

27

HHT 2

�2

3

�21

3=4

27

HTH 2

�2

3

�21

3=4

27P fX = 1g = 12

27

THH 2

�2

3

�21

3=4

27

HTT 12

3

�1

3

�2=2

27

THT 12

3

�1

3

�2=2

27P fX = 2g = 6

27

TTH 12

3

�1

3

�2=2

27

TTT 0

�1

3

�3P fX = 0g = 1

27

També tenim les probabilitats

P fX � xg =

8>>>><>>>>:0 x < 01=27 0 � x < 17=27 1 � x < 219=27 2 � x < 31 x � 3

17

Page 18: Apunts Probabilitat

La funció P fX = xg rep el nom de funció de probabilitat de X mentre que P fX � xg s�anomenafunció de distribució de X. A més

3Xi=0

P fX = xig = P fX = 0g+ P fX = 1g+ P fX = 2g+ P fX = 3g = 1

4.2 Funcions de distribució

De�nició.- La funció de distribució F (x) d�una variable aleatòria X(x) es de�neix com

FX(x) � P fX � xg 8x 2 R

Dues variables aleatòries són equivalents si tenen la mateixa funció de distribució. (Quan no hi hagiconfusió escriurem F (x)).Exemple.- Sigui = f!1; !2g amb P (!1) = 1=2 ; P (!2) = 1=2. De�nim les variables aleatòries

X i Y perX(!1) = 0 Y (!1) = 1X(!2) = 1 Y (!2) = 0

llavors

FX(x) = FY (x) =

8<:0 x < 01=2 0 � x < 1 (X o Y només poden ser 0)1 x � 1 (X o Y poden ser 0 o 1)

Teorema.- Tota funció de distribució veri�ca les propietats següents

1. FX(x2)� FX(x1) = P fx1 < X � x2g (x1 < x2)

2. FX(x) és no decreixent: FX(x2) � FX(x1) si x1 < x2

18

Page 19: Apunts Probabilitat

3. FX(x) és contínua per la dereta

4. limx�!1

FX(x) = 1 ; limx�!�1

FX(x) = 0

Demostració.-

1. Sigui A = f! j X(!) � x2g ; B = f! j X(!) � x1g i C = f! j x1 < X(!) � x2g amb x1 < x2.Tenim:

A = B [ C (B \ C = ?), per tant

P (A) = P (B) + P (C), però�P (A) = P fX � x2g � FX(x2)P (B) = P fX � x1g � FX(x1)

que implica P (C) = P fx1 < X � x2g = FX(x2)� FX(x1)

2. De (1) tenim P fx1 < X � x2g = FX(x2) � FX(x1) (x1 < x2); com que P fx1 < X � x2g � 0(doncs és una probabilitat), FX(x2) � FX(x1) per x1 < x2.

3. Hem de demostrar que FX(x+ 0) = FX(x) (8x 2 R), o el que és equivalent

limn�!1

FX(x+1

n) = FX(x) (8x 2 R)

De�nim els esdeveniments An � f! j x < X(!) � x+ 1=ng, la succesió A1; ::::; An; ::: és monò-tona decreixent (An+1 � An) i el seu límit és lim

n�!1An �

1\Ak = ?

Per altra banda de (1) tenim:

P (An) = FX(x+1

n)� FX(x)

19

Page 20: Apunts Probabilitat

així limn�!1

P (An) = limn�!1

[FX(x+ 1=n)� FX(x)] = FX(x + 0) � FX(x) però per la continuitat

de la probabilitat limn�!1

P (An) = P�limn�!1

An

�= P (?) = 0. Finalment

FX(x+ 0)� FX(x) = 0

Semblantment podríem calcular el límit per l�esquerra de FX(x). Per fer-ho formen la suc-cessió d�esdeveniments B1; ::::; Bn; :::monòtona decreixent, on Bn � f! j x� 1=n < X(!) � xgamb lim

n�!1Bn �

1\Bk = f! j X(!) = xg. D�una banda P (Bn) = FX(x) � FX(x � 1=n) i

limn�!1

P (Bn) = limn�!1

[FX(x)� FX(x� 1=n)] = FX(x)�FX(x�0). D�altra banda limn�!1

P (Bn) =

P�limn�!1

Bn

�= P fX = xg : Per tant, trobem que

FX(x)� FX(x� 0) = P fX = xg

el que ens diu que la funció de distribució en principi té una discontinuitat de salt per l�esquerra.

4. limx�!1

FX(x) = P fX � 1g = P fg = 1. limx�!�1

FX(x) = P fX � �1g = P f?g = 0

4.3 Tipus de variables aleatòries

De�nició.- Una variable aleatòria es diu discreta si només pot prendre un nombre �nit o un nombrein�nit però numerable de valors x1; x2; ::::; xn; ::::: diferents.Fixem-nos que si X és discreta es pot escriure de la forma

X (!) =Xi

xiIfX=xig (!)

on

IfX=xjg(!) =

�1; ! 2 fX = xjg0; ! =2 fX = xjg

a mésP

i P fX = xig = 1.Per una variable aleatòria discreta X (!) = fx1; x2; :::::::g la funció de distribució FX(x) és

una funció esglaonada amb salts situats a x1; x2; ::::; xn; :::: de magnitud p(x1); p(x2); :::::; p(xn); ::::onp(xk) = P fX = xkg :Així

FX(x) =Xxk�x

p(xk)

També es pot de�nir la funció de probabilitat per

pX(x) =

�P fX = xkg � p(xk) ; x = xk

0 ; x 6= xk

20

Page 21: Apunts Probabilitat

EvidentmetP

k p(xk) =P

k P fX = xkg = 1. Fixem-nos que fent us de la funció de Hevisaid ofunció esglaó

u(x) =

�1 ; x > 00 ; x < 0

podem escriureFX(x) =

Xxk<x

pX(xk)u(x� xk) .

La derivada formal de l�anterior expressió és

dFX(x)

dx= pX(xk)�(x� xk) , �1 < x <1

on �(x) la "funció" delta de Dirac. La "funció" delta de Dirac satisfà

1Z�1

f(x)�(x� xo)dx = f(xo)

y1Z�1

�(x)dx =

"Z�"

�(x)dx = 1

per qualsevol " > 0.De�nició.- Una variable aleatòria X rep el nom de contínua si existeix una funció no negativa

pX(x) que satisfà la condició

FX(x) =

Z x

�1pX(z)dz

21

Page 22: Apunts Probabilitat

pX(x) rep el nom de densitat de probabilitat

pX(x) =dFX(x)

dx

Teorema.- La densitat de probabilitat te les propietats

(i) p(x) � 0

(ii)R1�1 p(x)dx = 1

(iii) p(x)dx = P fx < X � x+ dxg

(iv) P fa < X � bg =R bap(x)dx

Demostració.- Exercici

4.4 Exemples de variables aleatòries discretes

(I) Distribució binomialEn estadística, la distribució binomial s�introdueix pel següent experiment aleatòri: tenim un es-deveniment ! (èxit) amb probabilitat d�ocurrència, p, i volem saber la probabilitat que ! ocorrik vegades en una seqüència de n proves independents (amb p �x a cada prova). L�experimentbinomial tipus és llançar un dau n vegades i calcular-ne l�ocurrència d�un cert resultat per k � nvegades. Un altre ús tipus de la distribució binomial és per a problemes d�e�ciències en apar-ells de laboratori. Per exemple, es pot estar interessat a quantes vegades un dispositiu detectiuna partícula, o diagnostiqui una certa malaltia, suposant p igual la probabilitat (l�e�ciència)que a cada mesura l�aparell detecti l�esdeveniment. Aleshores, introduïda la variable aleatòriaX(!) com el nombre d�èxits (d�ocurrències d�!) en n proves independents, la probabilitat deX(!) = k èxits, PfX(!) = kg, es calcula mitjaçant el càlcul combinatori i dóna

Bn;p(k) =�n

x

�pk (1� p)n�k , amb k = (0; 1; 2; ::; n) i 0 < p < 1;

on s�ha indicat amb p la probabilitat d�èxit a cada prova i per consegüent 1� p és probabilitatde fracàs (cap ! ocorregut).

De�nim que una variable aleatòria discreta X(!) = f0; ::; k; :::; ng segueix una distribucióbinomial de parametre p i n si la seva funció de probabilitat, Bn;p(x), és

Bn;p(x) =�Bn;p(k) 8x = k0 8x 6= k

amb k = (0; 1; 2; ::; n). Bn;p(x) compleix les proprietats d�una funció de probabilitat. Perexemple, comprovem la proprietat de normalització,

nXk=1

Bn; p(k) =nXk=1

�n

k

�pk (1� p)n�k = (p+ 1� p)n = 1

El cas especial n = 1 de la distribució binomial és coneguda com a distribució de Bernoulli.Per contra, la distribució binomial Bn,p(k), és la suma de n assajos independents de Bernoulli.

22

Page 23: Apunts Probabilitat

A la �gura, hem dibuixat la funció de probabilitat Bn;p(x) per a diferents valors dels seusparametres p; n. La funció Bnp(x) té un màxim al voltant de xmax = np o del número sencermés proper a xmax = np: es pot comprovar que Bn; p(k + 1) � Bn; p(k) per a k � np, mentreBn; p(k + 1) � Bn; p(k) implica k � np.Que el màxim sigui np és el que s�espera de de�nició freqüentista de la probabilitat: en crèixer n,la freqüència, x=n; tendeix a p, ja que els valors de x diferents de xmax = np tenen probabilitatd�ocurrència nul�la

Exemples.- Si un jugador té una probabilitat de succés de tir de 0:25 i en un partit fa 4 tirs, quinaés la probabilitat de marcar 1; 2; 3 o 4 gols?. El nombre de gols que es poden marcar estàmodelat per a B4;0:25(k) i les probabilitats són els següents:

PfX(!)= 0 golsg = B4;0:25(0) =�4

0

��4

0

�0:250(1� 0:25)4�0 ' 0:32

PfX(!)= 1 golsg = B4;0:25(1) =�4

1

�0:251(1� 0:25)4�1 ' 0:42

PfX(!)= 2 golsg = B4;0:25(2) =�4

2

�0:252(1� 0:25)4�2 ' 0:21

PfX(!)= 3 golsg = B4;0:25(3) =�4

3

�0:253(1� 0:25)4�3 ' 0:05

PfX(!)= 4 golsg = B4;0:25(4) =�4

4

�0:254(1� 0:25)4�4 ' 0:004

La distribució binomial té un rol especial en estadística, perquè ofereix un test senzill i ràpidper estabilir quan la freqüència de ! mesurada en n proves, fn! aproximi bé la probabilitatd�!, p = lim

n�!1fn! . Per exemple, suposem que volem estudiar la reacció de 10 conillets d�Índies

a un estímul acústic; 3 d�ells reaccionen de la mateixa manera !, mentre les reaccions delsaltres 7 formen l�esdeveniment complementari �!. La freqüència experimental observada d�! és3=10 = 0:3. Per testar la hipòtesi que la probabilitat p d�! sigui igual a la freqüència observada,p = 0:3 i calculem la probabilitat que ! ocorri exactament 3 sobre 10 vegades:

PfX(!) = 3g = B10; 0:3(3) = 0:27Això vol dir que el 27% de les probabilitats són a favor de la nostra hipòtesi p = 0:3. D�altrapart, el nombre de proves 10 era prou petit i les probabilitats que ! ocorri 2 o 4 vegades sónencara altes

PfX(!) = 2g = B10;0:3(2) = 0:23PfX(!) = 4g = B10; 0:3(4) = 0:20

Llavors per a p = 0:3 ! es pot veri�car indistintament per 2, 3, 4 conillets d�Índies: doncs hemde concloure que posar p igual a la freqüència observada sobre 10 proves és prou arriscat.

Tot i que 10 conillets són pocs per identi�car la freqüència amb la probabilitat, és però possibleestimar un interval de valor per a p. De fet

p = 0:3 ! B10; 0:3(3) = 0:27p = 0:4 ! B10; 0:4(3) = 0:21p = 0:5 ! B10; 0:3(3) = 0:12p = 0:2 ! B10;0:2(3) = 0:20p = 0:1 ! B10; 0:1(3) = 0:05

23

Page 24: Apunts Probabilitat

Figure 1: La funció de probabilitat Bnp(x) per a diferents valors dels seus parametres p; n. Noteuque per a p = 0:5, és simètrica respecte a n, Bnp(x) = Bnp(n� x)

24

Page 25: Apunts Probabilitat

Figure 2: Comparació de les distribucions Bnp(x) i P�(x) per diferents valors de n i p amb � = np = 1�x.

doncs és raonable escollir 0:2 � p � 0:5, ja que l�80% de les probabilitas són a favor d�un valorde p en aquest interval.

Un cas especial de la distribució binomial, Bnp(x) és per a n molt gran i p petit. Aquest casde�neix el límit de Poisson de la distribució binomial: n!1 i p = �=n! 0 amb � constantpositiva:

limn�!1;�=const

Bn; �=n(x) =n!

x!(n� x)!

��

n

�x �1� �n

�n�1� �

n

�x

=�x

x!

�!nxz }| {n(n� 1)(n� 2) � � � (n� x+ 1)

nx

�!e��z }| {�1� �

n

�n�1� �

n

�x| {z }

�!1

P�(x) = limn�!1;�=const

Bn; �=n(x) =�x

x!e��; amb x = (0; 1; 2; ::;1) i � > 0

En aquest límit obtenim una nova distribució de probabilitat, la Distribució de Poisson, P�(x);caracteritzada només per un paràmetre, �. En la propera secció, introduïrem amb detall ladistribució de Poisson. Per al moment, és només important saber que per a n gran P�=np(x) espot usar en lloc de Bn; p(x). A més, com que en P�=np(x) no apareixen coe¢ cients binomials,els càlculs són més ràpids.

(II) Distribució de PoissonEn el cas de la distribució de Poisson, es consideren fenòmens que ocorren repetidament ialeatòriament durant intervals de temps o d�espai i deriven de causes, les quals es repeteixeninvariades durant els intervals d�observació. Exemples de fenòmens de Poisson són:

25

Page 26: Apunts Probabilitat

- trucades a una centraleta telefònica durant un minut, hora, dia, etc;

- defectes d�una tela en un cm2; m2; etc;

- defectes de fabricació d�un cable en un estoc;

- avions que aterren en una hora, en un dia;

- errors d�empresa per pagina en libre;

- desintegracions de nuclis radioactius en un temps;

- nombre de glcbuls blancs observables al microscopi en un camp optic;

- nombre de molècules continguts a petits volums de gas.

Sigui X(!) la variable aleatòria que representi el nombre d�ocurrències d�! (trucades, defectes,errors i etc) en un interval t de temps (de longitud, d�àrea o de volum), es de�neix que ! és unprocess de Poisson si

1) la probabilitat de X(!) = 1 ocurrències en un interval in�nitesimal dt sigui:

dP (fX(!) = 1g; dt) = rdt amb r constant per _ dt 2 [0; t]

és a dir, el nombre de trucades, errors i etc és proporcional a t i per a dt! 0 va cap a 0amb una taxa r constant;

2) la probabilitat que en dt hi hagi més d�una occurrència sigui negligible:

dP (fX(!)m 1g; dt) = 0 amb r constant per _ dt 2 [0; t]

3) el nombre d�occurrències en intervals de temps disjunts sigui independent entre ells.

Contrari al cas binomial, X(!) = f0; 1; :::; k; :::;1g pot assumir valors sencers de 0 a 1. Pelcàlcul de la funció de probabilitat de X(!), podem observar que si l�interval [0; t] es reparteixen n intervals iguals disjunts,

�t =t

ntornem al cas binomial de n = t=�t proves i amb p = r�t com a probabilitat d�ocurrènciad�! a cada �t. Passant al límit n ! 1, �t ! 0 i p ! 0 amb � = np = rt constant i doncsla funció de probabilitat de X(!) és la funcio P�=rt(x) introduïda a la secció precedent com alímit de la distribució binomial.

Alternativament, P�=rt(x); es pot derivant directament raonant que la probabilitat de X(!) =k � 0 occurrències en l�interval de temps [0; t+ dt] és

P (k; t+ dt) = P (k; t)dP (0; dt) + P (k � 1; t)dP (1; dt)= P (k; t)� (P (k; t)� P (k � 1; t)) rdt

d�on tenim l�equació diferencial per a P (x; t)

dP (k; t)

dt= �r (P (k; t)� P (k � 1; t)) amb k � 0

que resolta amb la condició inicial P (0; 0) = 1 (cap occurrències abans d�iniciar l�experiment)ens dóna

P�(k) =�k

k!e��; amb k = (0; 1; 2; ::;1) i � = rt > 0

on � = np = rt representa el nombre mitjà d�occurrències (trucades, defectes, errors i etc) enel temps t, (mireu a les properes seccions per més detall).

26

Page 27: Apunts Probabilitat

Figure 3: La funció de probabilitat P�(x) per a diferents valors del seu parametre �:

27

Page 28: Apunts Probabilitat

(III) Distribució discreta i uniformeX(!) = fx1; x2; :::::; xNg té una distribució uniforme si

p(xk) =1

N; (k = 1; 2; :::::; N)

4.5 Exemples de variables aleatòries contínues

(I) Distribució uniforme o rectangular

Sigui X una variable aleatòria que pot prendre qualsevol valor real dins d�un interval (a; b):

X(!) = fx 2 (a; b) � Rg

i suposem que la probabilitat de que X estigui en algun interval (inclós en (a; b)) és proporcionala la longitut del�interval:

P fx1 < X < x2g = k (x2 � x1) (a � x1 < x2 � b)com que fa < X � bg és l�esdeveniment segur llavors

1 = P fa < X < bg = k(b� a)

aixík =

1

b� a =) P fx1 < X < x2g =x2 � x1b� a

La funció de distribució de X, FX(x) � P fX � xg = P fa < X � xg

FX(x) =

8<:0 ;x � ax�ab�a ; a < x < b

1 ;x � b

Ara demostarem que FX(x) =R x�1 pX(x

0)dx0 (i.e. X és contínua) amb

pX(x) =

8<:0 ;x � a1b�a ; a < x < b

1 ;x � b

�Z 1

�1p(x)dx = 1

En efecte:

� si x � a tenim x0 � x � a =) pX(x0) = 0 =) FX(x) = 0

� si a < x < b tenim:FX(x) =

R a�1 pX(x

0)dx0 +R xapX(x

0)dx0 =R xa

1b�adx

0 = x�ab�a , on

R a�1 pX(x

0)dx0 = 0

28

Page 29: Apunts Probabilitat

� si x � b tenim:FX(x) =

R a�1 pX(x

0)dx0+R bapX(x

0)dx0+R xbpX(x

0)dx0 = 1, onR a�1 pX(x

0)dx0 =R xbpX(x

0)dx0 = 0

(II) Distribució exponencial

Sigui X una variable aleatòria contínua amb rang tota la recta real

X (!) = f�1 < x <1g

Considerem la funció densitat

pX(x) =

�0 ;x < 0

�e��x ;x � 0

29

Page 30: Apunts Probabilitat

així doncs:

(a) x < 0 tenimR x�1 pX(x

0)dx0 = 0

(b) x � 0 tenim:R x�1 pX(x

0)dx0 =R 0�1 pX(x

0)dx0+R x0pX(x

0)dx0 = 1�e�x, onR 0�1 pX(x

0)dx0 =0. Per tant la funció de distribució és

FX(x) =

�0 ; x < 0

1� e��x ;x � 0

(III) Distribució de Laplace

Sigui X una variable aleatòria contínua amb rang tota la recta real

X (!) = f�1 < x <1g

30

Page 31: Apunts Probabilitat

considerem la densitatpX(x) =

1

2be�

jx��jb ; b > 0 ; �1 < x <1

pX(x) és efectivament una funció densitat doncs:

(a) pX(x) � 0 ; 8x 2 R

(b)R1�1 pX(x)dx =

1

2b

R1�1 e

� jx��jb dx =

1

2b

R ��1 e

� jx��jb dx+

1

2b

R1�e�

jx��jb dx = 1

La funció de distribució que li correspon és

FX(x) =

(12e(x��)b x � �

12� 1

2e�

(x��)b x > �

31

Page 32: Apunts Probabilitat

(IV) Distribució de Cauchy

Sigui X una variable aleatòria contínua amb rang tota la recta real

X (!) = f�1 < x <1g

considerem la densitat

pX(x) =1

"1 +

�x� x0

�2# ; (�1 < x <1)

a partir de la qual es pot cosntruir la següent funció de distribució

FX(x) =

Z x

�1

1

"1 +

�z � x0

�2#dz = 1

�arctan

�x� x0

�+�

2

32

Page 33: Apunts Probabilitat

(V) Distribució Gaussiana o Normal

Sigui X una variable aleatòria contínua amb rang tota la recta real

X (!) = f�1 < x <1g

considerem la densitat

pX(x) =1p2��

exp

"�(x� �)

2

2�2

#; (�1 < � <1 ; � > 0 ; �1 < x <1)

és evident que pX(x) � 0 iR1�1 pX(x)dx = 1 (8�; a)

La funció de distribució és

33

Page 34: Apunts Probabilitat

FX(x) �Z x

�1pX(x

0)dx0 =1p2��

Z x

�1exp

"�(z � �)

2

2�2

#dz � � (x) (Funció error)

Quan � = 0 i � = 1 la Gaussiana es diu que està normalitzada, també s�anomena distribució normal.

34

Page 35: Apunts Probabilitat

(VI) Distribució �2 (Ji-quadrat)

Siguin X1; :::::; Xk, k variables aleatòries independents, cadascuna amb una distribució normal.La suma dels quadrats X2

1 + ::::+X2k de�neix la variable aleatòria �

2: Per tal de calcular la densitatde probabilitat de �2 que anomenarem fk(x) primer hem calcular la funció de distribució fent us dela densitat de probabilitat conjunta de les k variables Xj

f(x1; :::; xk) =1

(2�)k2

e�12(x21+::::+x2k):

D�aquí la funció de distribució de �2, Fk(x) ve donada per

Fk(x) = P��2 � x

=

1

(2�)k2

Z:::::

Zx21+::::+x

2k�x

e�12(x21+::::+x2k)dx1:::::dxk:

En aquest punt com que sabem que la derivada de la funció de distribució és la densitat de probabilitat

Fk(x+ h)� Fk(x) =1

(2�)k2

Z::::::::

Zx<x21+:::+x

2k�x+h

e�12(x21+::::+x2k)dx1:::::dxk

=1

(2�)k2

e�12(x+�h) [Sk (x+ h)� Sk(x)] ;

on 0 < � < 1 i

Sk(x) =

Z:::::

Zdx1:::::dxk

x21+::::+x2k�x

és el volum d�una esfera de k dimensions i radipx. Fen el canvi de variables x� = y�

px l�anterior

relació es transforma en

Sk(x) = xk2

Z:::::

Zdy1:::::dyk

y21+::::+y2k�1

= Const xk2 :

Per tantFk(x+ h)� Fk(x)

h= Conste�

12(x+�h) (x+ h)

k2 � x k

2

h:

Finalment, en el límit h �! 0

fk(x) =dFk(x)

dx= Const x

k2�1e�

x2 :

La constant es determina imposant la normalitzacióZ 1

0

fk(x)dx = 1:

Finalment s�arriba afk(x) =

1

2k2�(k

2)xk2�1e�

x2 ;

35

Page 36: Apunts Probabilitat

on k és el nombre de graus de llibertat de la distribució, és a dir el nombre de quadrats donen lloc ala variable �2.

La probabilitat de que la variable aleatòria �2 prengui un valor superior a una quatitat donada�2o és:

P��2 > �2o

�=

Z 1

�2o

fk(x)dx:

Si d�altra banda, volem trobar una quantitat �2p tal que la probabilitat P��2 > �2p

�igual a p%,

haurem de resoldre l�equacióP��2 > �2p

�=

p

100:

El valor numèric de la quantitat �2p que és solució de l�anterior equació per un p donat s�anomena

36

Page 37: Apunts Probabilitat

valor p per cent de la variable �2 per k graus de llibertat.

La distribució �2 és important perquè s�utilitza per evaluar la �abilitat d�una llei inferida a partird�una estadística elaborada en base a un conjunt de mesures experimentals.

4.6 Distribucions mixtes

Una distribució de probabilitat pot contenir una component contínua i una altra discreta. En generales podrà escriure

FX(x) = �

xZ�1

dFXC (y) + (1� �)xZ�1

dFXD(y)

o bé

FX(x) = �

xZ�1

fXc(y)dy + (1� �)Xxk<x

fXd(xk)u(x� xk)

on fXc(x) és una densitat contínua que satisfà

fXc(x) =dFXc(x)

dx,

el conjunt de punts fxkg constitueix la localització dels salts de tamany fXd(xk).Exemple.- Sigui la variable aleatòria X amb

P fX = 1=8g = 1=4 ; P fX = 1g = 1=8

37

Page 38: Apunts Probabilitat

i amb probabilitat de 5=8 d�estar uniformement distribuida en l�interval (1=8; 1)Solució.-

4.7 Distribucions conjuntes de variables aleatòries. Distribució bidi-

mensional

De�nició.- La funció de distribució conjunta de les variables X i Y ve donada per

F (x; y) = P fX � x; Y � yg :

F (x; y) ens dona la probabilitat que el vector aleatori (X; Y ) de�neixi un punt dins del rectangle(�1; x] � (�1; y]. Igual que en el cas d�una variable, la funció de distribució conjunta determinacompletament la distribució de probabilitat.

a. Distribucions discretes.- Es caracteritzan perquè el vector aleatori (X; Y ) genera els nusos d�unaxarxa bidimensional. La funció de probabilitat ve donada per

p�� = P fX = x�; Y = y�g ; (�; � = 1; 2; ::::)

i rep el nom de funció de probabilitat conjunta de les variables X i Y . La condició de normal-ització imposa que X

�;�

p�� = 1:

38

Page 39: Apunts Probabilitat

D�altra banda la funció de probabilitat de tan sols la variable X o tan sols la variable Yconegudes com funcions de probabilitat marginal, venen donades per

p� =X�

p��

ip� =

X�

p�� :

Per exemple p� ens dona la probabilitat que X = x� independenment del valor que prengui Yi al revés.

Si les variables són independents llavors p�� = p�p�

b. Distribucions contínues.- Es caracteritzan per l�existència d�una densitat de probabilitat f(x; y)conjunta, tal que

F (x; y) =

Z x

�1

Z y

�1f(x0; y0)dx0dy0:

La densitat de probabilitat ha de satisfer la condició de normalitzacióZ 1

�1

Z 1

�1f(x; y)dxdy = 1:

En aquest cas les densitats marginals venen donades per

f(x) =

Z 1

�1f(x; y)dy

i

f(y) =

Z 1

�1f(x; y)dx:

Quan les varable siguin independents, f(x; y) = f(x)f(y).

En els dos casos anteriors es pot parlar de distribucions condicionades en base al concepte deprobabilitat condicionada, ja introduït. Reduint-nos a una distribució contínua, tenim que

P fy < Y < y + dy j x < X < x+ dxg

=P fy < Y < y + dy; x < X < x+ dxg

P fx < X < x+ dxg

=f(x; y)dxdy

f(x)dx=f(x; y)

f(x)dy:

D�on

f(y j x) = f(x; y)

f(x):

39

Page 40: Apunts Probabilitat

Aquí, f(y j x) és una densitat de probabilitat que satisfà la condició de normalitzacióZ 1

�1f(y j x)dy =

R1�1 f(x; y)dy

f(x)=f(x)

f(x)= 1:

El que hem dit per un vector bidimensional es pot extendre de manera natural a un n-vector(X1; :::::; Xn). Per il�lustrar aquesta generalització considerem la suma de les n variables (X1; :::::; Xn)independents

X = X1 +X2 + :::+Xn:

La funció de distribució de X ve donada per

F (x) =

Z:::::

Zx1+::::+xn�x

f(x1)f(x2)::::f(xn)dx1:::::dxn:

Si es tractés de dues variables

F (x) =

Z Zx1+x2�x

f(x1)f(x2)dx1dx2

Z 1

�1f(x1)dx1

Z x�x1

�1f(x2)dx2

i a partir d�aquí

f(x) =dF (x)

dx=

Z 1

�1f(x� x1)f(x1)dx1

=

Z 1

�1f(x� x2)f(x2)dx2:

Aplicant reiteradament aquesta darreres fórmules podem obtenir la distribució de probabilitat de lasuma en el cas n-dimensional.Exemple.- Siguin X, Y dues variables aleatòries uniformement distribuides en l�interval [0; 1] i

independents, és a dir la densitat de probabilitat de X, Y és

fXY (x; y) =

�1 (x; y) 2 Q0 (x; y) =2 Q

on Q = f0 � x � 1 i 0 � y � 1g i fXY (x; y) = fX(x)fY (y). fX(x) i fY (y) densitats uniformesrespectivament per a X, i a Y . Trobeu la densitat de probabilitat de la variable suma Z = X + Y;fZ(z) i resta W = X � Y; fW (w). Noteu que el domini de Z serà Z = fz 2 [0; 2]g, mentreW = fw 2 [�1; 1]g.Solució.-Fem servir directament la fórmula, fZ(z) =

R 10fY (z � x)fX(x)dx i trobem �xat z els extrems

d�integració de x on fY (z � x)fX(x) és no nul�la:

fY (z � x)fX(x) 6= 0 =) 0 < z � x � 1 i 0 < x � 1implica 3 condicions per a x, x < z, x � z � 1 i 0 < x � 1, les quals no són totes independentscanviant z. Ara

0 < z � 1 =) 0 < x � z1 < z � 2 =) z � 1 < x � 1:

40

Page 41: Apunts Probabilitat

Calcolats els extrems d�integració, tenim

fZ(z) =

Z 1

0

fY (z � x)fX(x)dx =

8>><>>:0 z � 0R z

0dx = z 0 < z � 1R 1

z�1 dx = �(z � 2) 1 < z � 20 z > 2

Alternativament, podem calcolar fZ(z) de la de�nició, és a dir

FZ(z) =

Z Z 1

�1x+y�z

fXY (x; y)dxdy =

8>>><>>>:0 z � 0R z

0dxR �x+z0

dy = z2

20 < z � 1

1�R 1�1+z dx

R 1�x+z dy = 1�

(z�2)22

1 < z � 21 z > 2

Noteu: apro�tant de la �gura, la integral doble, FZ(z), es pot solucionar per via grà�ca mitjançantel concepte d�àrea: per a z � 1 és l�àrea del triangle A, (z2=2), �gura a l�esquerra, mentre per a1 � z � 2 és la resta de l�àrea del quadrat unitari Q i de la del triangle B, ((z � 2)2=2), �gura a ladreta.Per tant la densitat de probabilitat és la densitat triangular

fZ(z) =d

dzFZ(z) =

8>><>>:0 z � 0z 0 < z � 1

� (z � 2) 1 < z � 20 z > 2

En el cas de variables ortogonals com a W i Z;es pot calcular directament la densitat de prob-abilitat conjunta fZW (z; w), ja que la probabilitat fZW (z; w)dwdz = fXY (x; y)dxdy i pel canvi devariable el volumet dxdy = dwdz=j det(J)j = dwdz=2. Doncs

fZW (z; w) =

�12(z; w) 2 R

0 (z; w) =2 R

�Z Z 1

�1fZW (z; w)dwdz = 1

41

Page 42: Apunts Probabilitat

on R = f0 � z � 1 =) z � w � �z : 1 � z � 2 =) z � 2 � w � 2� zg. La fZ(z) i la fW (w)s�obtenen de les integrals unidimensionals

fZ(z) =

Z 1

�1fZW (z; w)dw =

8>><>>:0 z � 0R z

�z12dw = z 0 < z � 1R 2�z

z�212dw = � (z � 2) 1 < z � 2

0 z > 2

fW (w) =

Z 1

�1fZW (z; w)dz =

8>><>>:0 w � �1R 2+w

�w12dz = 1 + w �1 < w � 0R 2�w

w12dz = 1� w 0 < w � 10 w > 1

4.8 Funcions de variables aleatòries

Sigui X una variable aleatòria i h : R �! R una funció. Es pot dir que h(X) és també una variablealeatòria?. Com que h(X) = h(X(!)), la resposta és que h ha de ser mesurable segons Q. Això és,si B � R és un esdeveniment, A amb B = h(A), també és un esdeveniment. Per tant, si B = h(A)llavors X�1(A) 2 Q, és a dir que X�1(A) és un subconjunt de l�espai mostral .En general calcularem la distribució de probabilitat de Y = h(X) a partir de la funció de dis-

tribució de X, FX(x):Exemple.- Calculeu FZW (z; w) si fXY (x; y) = 1

2��2e�(x

2+y2)=2�2; Z =pX2 + Y 2, W = Y=X.

Solució.-

FZW (z; w) =

Z ZU

fXY (x; y)dxdy =1

2��2

Z ZU

e�(x2+y2)=2�2dxdy

on U =n(x; y) 2 R2 :

px2 + y2 � z , y=x � w

o.

42

Page 43: Apunts Probabilitat

La integració resulta més fàcil si fem el canvi a polars

x = r cos'y = r sin'

�; dxdy = rdrd'

0 � r � z ; � �2� ' � arctanw i � arctanw � ' � �

2

Per tant

FZW (z; w) =1

2��2

Z z

0

re�r2=2�2dr

"Z arctanw

��=2d'+

Z �=2

� arctanwd'

#=�

1

2+1

�arctanw

��1� e�z2=2�2

�Si ens �xem , Z i W són independents, ja que FZW (z; w) = FZ(z) FW (w) amb FZ(z) = 1� e�z

2=2�2

( distribució de Rayleigh) i FW (w) = 12+ 1

�arctanw (distribució de Cauchy).

Exemple.- Si la transformació és Y = X2 i X té la densitat de probabilitat fX(x)

P fY � yg = P f�py � X � pyg

o

FY (y) =

Z py

�pyfX(x)dx:

Obtenim la densitat de Y derivant

fy(y) =dFY (y)

dy= fX(

py)d

dy

py � fX(�

py)d

dy(�py)

o

fy(y) =

(0; y < 0

fX(py)+fX(�

py)

2py

; y � 0 :

Si posem per cas X té una distribució gaussiana

fX(x) =1p2�e�x

2=2 , �1 < x <1;

llavors la densitat de probabilitat de Y és

fy(y) =

�0; y < 0

1p2�y�1=2e�y

2=2 y � 0

Si X té una densitat de probabilitat fX(x) i h és diferenciable i invertible es pot calcular direc-

43

Page 44: Apunts Probabilitat

tament la relació entre les densitats de probabilitat. Si h(x) és no decreixent

d�acord amb la �gura tenim FX(x0) = FY (y0) i per tant dFY (y) = dFX(x)jh(x)=y. D�altra banda sih(x) és no creixent

d�acord amb la segona �gura FX(x0) = 1 � FY (y0) i per tant dFY (y) = � dFX(x)jh(x)=y. Per tant,pel cas creixent i decreixent es dedueix que

fY (y) =1

jh0(x)j fX(x)jh(x)=y :

Noteu que hem fet servir el fet que dFX(x)=dx = fX(x) i dFY (y)=dy = fY (y), també en tingut encompte el caracter negatiu de h0(x) en el cas no creixent.Exemple.- Sigui X una variable uniformement distribuida en l�interval [0; 1] i sigui y = e�x. Del

que acabem de comentar és fàcil deduir que

fY (y) = fX(x)ex = 1=y

o bé

fY (y) =

�1=y; (1=e) � y � 10; en d0altres casos

44

Page 45: Apunts Probabilitat

La generalització a més d�una variable aleatòria involucra el jacobià de la transformació. En elcas més simple de dues variables (X1; X2)! (Y1; Y2) tenim

fY1;Y2(y1; y2) = fX1;X2(x1; x2)

����J �x1; x2y1; y2

�����on

J

�x1; x2y1; y2

�=

����� @x1@y1

@x1@y2

@x2@y1

@x2@y2

�����Quan la variable X és discreta, com que en aquest cas FX(x) no és derivable a tot arreu hem de

procedir d�un altre manera. SiX =

Xi

xiIfX=xig

llavorsY =

Xi

h(xi)IfX=xig:

La funció de probabilitat de Y , pY (y) es pot trobar en termes de la funció de probabilitat de X,pX(x)

pY (y) =X

fxijh(xi)=yg

pX(xi)

Exemple.- Sigui X amb una funció de probabilitat

pX(x) =

�1=4; x = 1; 2; 3; 40; en d0altres casos

:

Considerem la transformació y = 2x. Es clar que

pY (y) =

�1=4; x = 2; 4; 6; 80; en d0altres casos

5 VALORESPERATS, FUNCIONS CARACTERISTIQUES,FUNCIONS GENERADORES DE MOMENTS I CU-MULANTS

5.1 Valors esperats

De�nició.- Sigui X una variable aleatòria i sigui f(X) una funció de X, llavors el valor esperat ovalor mitjà de f(X) és

hf(X)i �Z 1

�1f(x)dFX(x)

si X és una variable aleatòria contínua llavors

hf(X)i =Z 1

�1f(x)pX(x)dx

si X(!) = fx1; x2; :::; xn; ::g és discreta llavors

hf(X)i =Xn

f(xn)P fX = xng

Teorema.- El valor esperat de f(X) veri�ca les propietats següents:

45

Page 46: Apunts Probabilitat

1. hc1f1(X) + c2f2(X)i = c1 hf1(X)i+ c2 hf2(X)i

2. jhf(X)ij � hjf(X)jiSi f(X) és real tenim a més

3. hf1(X)i � hf2(X)i si 0 � f1(X) � f2(X)

4. hf1(X)i � 0 si f1(X) � 0

5. min [f(x)] � hf(X)i � max [f(x)]

Demostració.- 1-4 directe de les propietats de la integral de�nida.

5 hf(X)i �R1�1 f(x)dFX(x) � max [f(x)]

R1�1 dFX(x) = max [f(x)], doncs

R1�1 dFX(x) = 1

De�nició.- S�anomenen moments d�una variable aleatòria X als valors mitjans de les potenciesde X; així hom de�neix el moment d�ordre n per:

hXni �Z 1

�1xndFX(x)

El primer moment s�anomena valor mitjà de X:

� � hXi =Z 1

�1xdFX(x) =

� R1�1 xpX(x)dx (X contínua)Pn xnP fX = xng (X discreta)

S�anomenen moments centrals d�ordre n de X a:

h(X � hXi)ni =Z 1

�1(x� �)n dFX(x)

El segon moment central s�anomena variança de X

Var (X) � �2 �(X � hXi)2

�=

� R1�1 (x� �)

2 pX(x)dxPn (xn � �)

2 P fX = xng

� �q(X � hXi)2

�és la desviació típica o standard. La variança també es pot escriure com

�2 = hX2i � hXi2.Exemple.- (i) Poisson; (ii) Uniforme; (iii) NormalSolució.-

(i) En aquest cas X (!) = f0; 1; 2; ::; n; ::g amb distribució

P fX = xng = P fX = ng = �n

n!e��

així

hXi �Xn

xnP fX = xng =1Xn=0

n�n

n!e�� =

1Xn=1

n�n

(n� 1)!e�� =

�e��1Xn=1

�n�1

(n� 1)! = �e��

1Xm=0

�m

m!= �e��e� = �

46

Page 47: Apunts Probabilitat

�2 �(X � hXi)2

�= hX2i � hXi2 = hX2i � �2

X2�=Xn

x2nP fX = xng =1Xn=0

n2�n

n!e�� =

�e��

" 1Xn=1

n�n�1

(n� 1)!

#= �e��

" 1Xm=0

(m+ 1)�m

m!

#=

�e��

"�

1Xm=1

m�m�1

(m� 1)! +1Xm=0

�m

m!

#= �2 + �

així �2 = �

(ii) Uniforme

pX(x) =

�1b�a x 2 (a; b)0 x =2 (a; b)

� � = hXi =R1�1 xpX(x)dx =

1b�aR baxdx =

b2 � a22 (b� a) =

a+ b

2

��2 =

Z b

a

�x� a+ b

2

�2dx =

(b� a)2

12

(iii) Gaussiana

pX(x) =1p2�b

exp

"�(x� a)

2

2b2

#�

� = hXi =Z 1

�1x

1p2�b

exp

"�(x� a)

2

2b2

#dx =

1p2�

Z 1

�1(bz + a) exp

��z2=2

�dz =

bp2�

Z 1

�1z exp

��z2=2

�dz+

ap2�

Z 1

�1exp

��z2=2

�dz = a

on hem fet el canvi de variables z = (x� a) =b i del fet que per simetria la integral de zs�anula.

�2 =1p2�b

Z 1

�1(x� a)2 exp

"�(x� a)

2

2b2

#dx =

b2p2�

Z 1

�1z2 exp

��z2=2

�dz =

b2p2�

���z exp

��z2=2

��1�1 +

Z 1

�1z2 exp

��z2=2

�dz

�= b2

47

Page 48: Apunts Probabilitat

5.2 Funció generadora de moments i cumulants

De�nició.-La funció generadora de moments (f.g.m.) d�una variable aleatòria X és el valor esperatde la variable aleatòria exp (tX) (t 2 R)

MX (t) � hexp (tX)i =Z 1

�1exp (tx) dFX(x) (�1 < t <1)

Teorema.- La funció generadora de moments satisfà :

(I) hXni = dn

dtnMX(t) jt=0 (n = 1; 2; 3; ::::)

(II) Si Y = aX + bMY (t) = e

btMX(at)

Demostració.-

(I)

MX(t) �Z 1

�1exp (tx) dFX(x) =)

dn

dunMX(t) =

Z 1

�1xn exp (tx) dFX(x) =)

=) dn

dunMX(t) jt=0=

Z 1

�1xndFX(x) � hXni

(II)

MY (t) � hexp (tY )i = hexp [t (aX + b)]i =hexp (atX) exp(tb)i = exp(tb) hexp (atX)i � exp(tb)MX(at)

Exemple.- Quina és la funció generadora de moments i l�expressió dels dos primers moments?

(i) per la distribució binomial

pX(x) =

�n

x

�px (1� p)x ; x = 0; 1; :::; n

MX(t) � hexp (tX)i =nXx=0

etx�n

x

�px (1� p)n�x =

nXx=0

�n

x

��pet�x(1� p)n�x =

�pet + 1� p

�nd

dtMX(t) jt=0= n

�pet + 1� p

�n�1pet jt=0= �

d2

dt2MX(t) jt=0= np(1� p) + n2p2 = �2 + �2

48

Page 49: Apunts Probabilitat

(ii) per la distribució de Poisson

P fX = xng = P fX = ng = �n

n!e��

MX(t) � hexp (tX)i =1Xx=0

etx�x

x!e�� =

e��1Xx=0

(�et)x

x!= e��e�e

t

= e�(et�1)

pels moments tenimd

dtMX(t) jt=0= e�(e

t�1)�et jt=0= � = �

d2

dt2MX(t) jt=0= �+ �2 =

X2�= �2 + �2

Exercici.- Quina és l�expressió de la funció generadora de moments d�una Gaussiana?.De�nició.- La funció generadora de cumulants KX(t) es de�neix com

KX(t) = lnMX(t)

La derivada n-èsima de KX(t) s�anomena n-èsim cumulant de la variable aleatòria X

kn =dn

dtnKX(t) jt=0

De tal manera que es pot escriure

KX(t) =1Xn=1

kntn

n!

Tenim quek1 = hXi = �

k2 = �hXi2 +X2�= �2

k3 = 2 hXi3 � 3 hXiX2�+X3�

En general l�n-èsim cumulant es pot escriure en funció dels n primers moments. Al revés l�n-èsimmoment es pot escriure en funció dels n primers cumulants

X2�= k2 + k

21

X3�= k3 + 3k2k1 + k

31

Si X i Y són variables independents es pot demostrar que

KX+Y (t) = KX(t) +KY (t)

Per tant l�n-èsim cumulant de la suma X + Y és igual a la suma dels n-èsims cumulants. Aquestaadditivitat és l�avantatge fonamental dels cumulants sobre els moments. En general només els primersmoments són additius.Exemple.- Trobar els cumulants d�una GaussianaSolució.-

pX(x) =1p2��

exp

"�(x� �)

2

2�2

#

KX(t) � lnMX(t) = t�+t2�2

2per tant k1 = � i k2 = �2; kn = 0 per n > 2.

49

Page 50: Apunts Probabilitat

5.3 Funcions característiques

De�nició.- La funció característica d�una variable aleatòria X és el valor esperat de la variablealeatòria exp (iuX) (u 2 R):

'X (u) � hexp (iuX)i =Z 1

�1exp (iux) dFX(x) (�1 < u <1)

Per una variable aleatòria discreta tenim

'X (u) =Xn

exp (iuxn)P (X = xn)

i per una variable aleatòria contínua amb densitat de probabilitat p(x)

' (u) =

Z 1

�1exp (iux) p(x)dx

(quan no hi hagi confusió ometrem el subindex)Exemple.-

(i) Per una distribució de Poisson P (X = n) = �n=n! exp(��) la funció característica és

' (u) =Xn

exp (iuxn)P (X = xn) =Xn

exp (iun)�n

n!exp(��) =

exp(��)Xn

(� exp (iu))n

n!= exp(��) exp

��eiu

�= exp

���eiu � 1

��(ii) Per una distribució gaussiana (normalitzada) tindrem

' (u) =

Z 1

�1exp (iux) p(x)dx =

1p2�

Z 1

�1exp (iux) exp

��x2=2

�dx =

1p2�

Z 1

�1exp

���x2=2� iux

��dx =

1p2�

Z 1

�1exp

��12(x� iu)2 � u2=2

�dx

exp��u2=2

� � 1p2�

Z 1

�1exp

��12(x� iu)2

�dx

�= exp

��u2=2

�on hem fet us de la condició de normalització de la Gaussiana.

Teorema.- La funció característica d�una variable aleatòria arbitraria X veri�ca les propietats:

1. '(0) = 1 ; j'(u)j � 1 8u 2 R

2. Per un canvi lineal Y = aX + b tenim:

'Y (u) = eiub'X(au) (a; b 2 R)

3.

hXni = 1

indn

dun'(u) ju=0 (n = 1; 2; 3; ::::)

4. '(�u) = '�(u) , '� és el complex conjugat de '

50

Page 51: Apunts Probabilitat

Demostració.-

1.

'(0) �Z 1

�1dFX(x) = 1

j'(u)j �����Z 1

�1exp (iux) dFX(x)

���� � Z 1

�1jexp (iux)j dFX(x) = 1

2.

'Y (u) � hexp (iuY )i = hexp [iu (aX + b)]i =hexp (iauX) exp(iub)i = exp(iub) hexp (iauX)i � exp(iub)'X(au)

3.

'(u) �Z 1

�1exp (iux) dFX(x) =)

dn

dun'(u) =

Z 1

�1inxn exp (iux) dFX(x) =)

=) dn

dun'(u) ju=0= in

Z 1

�1xndFX(x) � in hXni

4.

'�(u) =

�Z 1

�1exp (iux) dFX(x)

��=

Z 1

�1exp (�iux) dFX(x) = '(�u)

6 TEOREMA DEL LIMIT CENTRAL

6.1 Teorema del límit central

Teorema1.- Sigui X1; X2; ::::: una colecció de variables independents amb la mateixa distribució deprobabilitat amb

hXri = �; 0 < var (Xr) = �2 <1

Si de�nim la nova variable Sn =Pn

r=1Xr, llavors var(Sn) = n�2:Demostració.- ExerciciTeorema2 (continuitat de les distribucions).- Enunciem sense demostrar el següent teorema: Sigui

X;X1; X2; ::::: una colecció de variables aleatòries amb funcions de distribució F (x); F1(x); :::: i fun-cions generadores de moments M(t);M1(t);M2(t)::::; jtj < d. Llavors si

limn�!1

Mn(t) =M(t) ; jtj < d

se segueixlimn�!1

Fn(x) = F (x)

Teorema2 (teorema del límit central).- En les condicions dels teoremes 1 i 2 tenim que

P

�Sn � n�n1=2�

� x��! �(x)

on com ja hem vist previament �(x) és la funció error.Demostració.- Sigui Yr = (Xr � �) =�; r � 1. Llavors hYri = 0 i var(Yr) = 1, de manera que

MY (t) =etYr

�= 1 +

t2

2+1

6

Y 3r�t3 + ::::::

51

Page 52: Apunts Probabilitat

Ara calcularem la funció generadora de moments de la suma n-èsima standaritzada�exp

�t

�Sn � n�n1=2�

���=

*exp

(t

n1=2

nXr=1

Yr

)+

=

�MY

�t

n1=2

��n; per la independència

=

�1 +

t2

2n+1

6

Y 31� t3

n3=2+ ::::

�n; pel resultat previ

�! exp

�t2

2

�; quan n �!1.

Però exp�t2

2

�és la funció generadora de moments de una variable gaussiana standaritzada. Per tant

pel teorema 2, la funció de distribució de (Sn � n�) =�n1=2�

�convergeix a una gaussiana standar-

itzada N(0; 1) quan n �!1:Exemple.- Un generador de nombres aleatoris proporciona nombres distribuits uniformement en

l�interval [0,1] amb mitjana � = 1=2 i variància �2 = 1=12: Repetim 5000 vegades l�experiment queconsisteix en:A) prendre un nombre generat d�aquesta manera obtenint el següent histograma

B)prendre dos nombres generats d�aquesta manera obtenint el següent histograma

52

Page 53: Apunts Probabilitat

C)prendre tres nombres generats d�aquesta manera obtenint el següent histograma

D)prendre dotze nombres generats d�aquesta manera obtenint el següent histograma

6.2 Approximació contínua d�una distribució discreta

Aquí examinem el procediment d�aproximació d�una distribució de probabilitat discreta per unacontínua. Suposem que es vol aproximar la distribució de probabilitat d�una variable discreta Xrepresentada pel corresponent histograma per una densitat de probabilitat contínua donada per lafunció f .

Com que l�histograma es construeix de tal manera que l�area de cada rectangle coincideix amb lafreqüència relativa o probabilitat, tenim que

P fX � bg = Area sota l�histograma a l�esquerra de b+ h=2� Area sota f a l�esquerra de b+ h=2

=

Z b+h=2

�1f(x)dx = F (b+ h=2)

53

Page 54: Apunts Probabilitat

on F és la funció de distribució de la distribució de probabilitat contínua. En particular

P fX = bg �Z b+h=2

b�h=2f(x)dx

Si els valors de X són enters consecutius, llavors h = 1 i

P fX � bg � F (b+ 1=2)

Teorema (aproximació gaussiana de la binomial).- Aquest és un cas particular de la forma generaldel teorema del límit central just vista. SiguiX una variable aleatòria amb distribució binomial (n; p) :La distribució d�aquesta variable tendeix a una distribució gaussiana quan n �!1.Demostració.- Estandaritzem la variable X de tal manera que

m �! xm =m� np�

on � =pnpq i q = (1� p). Com que la variable X pren valors sencers, la diferència entre dos dels

seus valors consecutius és la unitat mentre que entre valors consecutius de la variable estandaritzadaés 1=� = h:Per tant, quan n �! 1, h �! 0 i l�error que inherent a l�aproximació és negligible.Resta per tant dilucidar l�expressió de f . Sabem que

p(m) =n!

m! (n�m)!pmqn�m

segons la fórmula de Stirlingn! � (2�)1=2 nn+1=2e�n

així

p(m) ��

n

2�m (n�m)

�1=2 �npm

�m� qn

n�m

�n�mque en termes de la variable xm després de treure el logaritme s�escriu

ln p(xm) � ln�2�

�rpq

nx+ p

���rpq

n+ q

�n

��1=2� (np+pnpqxm) ln

�1 + xm

rq

np

�� (nq �pnpqxm) ln

�1� xm

rp

nq

�Finalment fent us de la sèrie de Taylor corresponent a ln (1 + �) = � � �2=2 + �3=3::::: pel segon itercer terme, obtenim

ln p(xm) � ln (2�npq)�1=2 �x2

2+O

�1pn

�Quan n �!1

p(xm) =1p2�exp

��x2m=2

� 1pnpq

Però com que dx = 1=pnpq deduïm que

f(xm) =1p2�exp

��x2m=2

�54

Page 55: Apunts Probabilitat

Figure 4: Proprietats asimptòtiques per a les Distribucions de Poisson i Binomial.

55