Apuntes y Ejercicios de Polinomios

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    UNIDAD 5 Polinomios

    Introduccin

    Con el lgebra se pasa del nmero al smbolo, de lo particular a lo general. La granexpresividad del lenguaje algebraico facilita la obtencin de relaciones, propiedades y laresolucin de problemas.

    Para trabajar eficazmente en matemtica se debe operar convenientemente conexpresiones algebraicas de forma tal que se puedan transformar en otras expresionesequivalentes ms fciles de manejar.

    Adems, en Ingeniera, al realizar el modelado matemtico de un problema, es frecuenteobtener un polinomio. Para encontrar la solucin de la situacin planteada es necesarioconocer las races de dicho polinomio.

    5.1.- Expresiones algebraicas

    Se llama expresin algebraica a cualquier combinacin de nmeros representados por letraso por letras y cifras, vinculados entre s por las operaciones de suma, resta, multiplicacin,divisin, potenciacin y radicacin.

    Son ejemplos de expresiones algebraicas:

    zxyx ++ 32 3 23 3

    yy

    y +yx

    yx

    +

    3

    2

    xx

    13 + 25 zyx

    En este curso se considerarn expresiones algebraicas en las que intervengan solamentenmeros reales.

    5.1.1.- Clasificacin de las expresiones algebraicas

    Expresiones algebraicas

    RacionalesNo hay letras afectadas por el

    signoradical

    IrracionalesHay por lo menos unaletra afectada por el

    signo radical

    Ejemplo:2

    3xx +

    FraccionariasHay por lo menos una

    letra en el divisor.

    Ejemplo:1

    32

    2+

    +

    xx

    EnterasNo hay letras en el

    divisor.

    Ejemplo: 72 2 ++xyzyx

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    5.2.- Expresiones algebraicas enteras

    Se estudiarn ahora expresiones algebraicas enteras.

    5.3.- MonomiosLos monomios son expresiones algebraicas de un solo trmino.

    Ejemplo:

    yx35

    En el monomio yx35 :

    el nmero 5 recibe el nombre de coeficiente,

    yx3

    constituye la parte literal.

    5.3.1.- Grado de un monomio

    Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que aparecen enl.

    Ejemplo:

    El monomio zyx 242 es de grado 7 .

    5.3.2.- Monomios semejantes

    Dos o ms monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

    Ejemplo:

    cb23 y cb25 son monomios semejantes.

    Los monomios semejantes pueden sumarse o restarse dando por resultado otro monomiosemejante a los anteriores.

    Ejemplo:

    cbcbcbcb 2222

    2)53(53 =+=+

    5.4.- Polinomios

    Un polinomio es una suma algebraica de monomios de distinto grado.

    Ejemplo:

    123 24 ++ yxx

    Observacin

    Durante el desarrollo de este tema nos referiremos a polinomios donde la parte literal estconstituida solamente por una variable elevada a cualquier exponente natural.

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    Los polinomios que se estudiarn en esta Unidad son expresiones algebraicas de la forma

    012

    21

    1)( axaxaxaxaxP n

    nn

    n +++++=

    K

    donde:

    01 ,,, aaa nn K son nmeros reales llamados coeficientes.

    na es el coeficiente principal.

    0a es el trmino independiente.

    x es la variable, tambin conocida con el nombre de indeterminada.

    Los exponentes 0,1,2,,1, Knn , son nmeros naturales.

    n es el grado del polinomio y se indica ( ) nxPgrado =)( .

    Ejemplos:

    1273)( 235 ++= xxxxQ es un polinomio de grado 5 , que tiene coeficiente

    principal 35 =a y el trmino independiente es 10 =a .

    2)( =xG es un polinomio de grado cero.

    0)( =xS se llama polinomio nulo y no tiene grado.

    5.4.1.- Funciones polinmicas

    Cada polinomio 012

    21

    1)( axaxaxaxaxP n

    nn

    n +++++=

    K tiene asociada una funcin

    polinmica f con dominio y codominio en R , definida por la frmula

    012

    21

    1)( axaxaxaxaxf n

    nn

    n +++++=

    K .

    En esta Unidad se hablar indistintamente de polinomios o de funciones polinmicas.

    En la Unidad 3 se analizaron en particular las funciones polinmicas de grado uno ofunciones lineales y las funciones polinmicas de grado dos o funciones cuadrticas.

    5.4.2.- Igualdad de polinomios

    Los polinomios

    012

    21

    1)( axaxaxaxaxP n

    nn

    n +++++=

    K y

    012

    21

    1)( bxbxbxbxbxQ m

    mm

    m +++++=

    K

    son iguales si:

    tienen el mismo grado, es decir mn =

    mn ba = , 11 = mn ba , ....... , 00 ba =

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    5.4.3.- Valor numrico de un polinomio

    Se llama valor numrico de un polinomio )(xP en kx = , al valor que toma el polinomio

    cuando se reemplaza por k.

    Si 012

    21

    1)( axaxaxaxaxP n

    nn

    n +++++=

    K , entonces el valor de )(xP en kx = es

    012

    21

    1)( akakakakakP n

    nn

    n +++++=

    K .

    Ejemplo:

    Sea 1523)( 23 += xxxxQ .

    El valor de )(xQ en 2=x es 431)2(5)2(2)2(3)2( 23

    =+=Q

    5.5.- Operaciones con polinomios

    5.5.1.- Suma

    La suma de dos polinomios )(xP y )(xQ es el polinomio )()( xQxP + que se obtiene

    sumando los monomios semejantes que se encuentran en )(xP y )(xQ .

    Ejemplo:

    Dados xxxxP += 34 52)( y 92)( 23 += xxxQ calcular )()( xQxP + .

    Para sumar polinomios resulta conveniente ordenarlos segn potencias decrecientes de xy completar los trminos que faltan escribiendo dichos trminos con coeficiente cero.

    902)(

    0052)(

    23

    234

    ++=

    +++=

    xxxxQ

    xxxxxP

    932)()( 234 ++=+ xxxxxQxP

    El grado de )()( xQxP + es 4.

    5.5.2.- Producto de un nmero real por un polinomio

    Si 012

    21

    1)( axaxaxaxaxP n

    nn

    n +++++=

    K y k es un nmero real, entonces:

    )()()()()()( 012

    21

    1 akxakxakxakxakxPk n

    nn

    n +++++=

    K .

    Ejemplo:

    Si 2525)( 23 ++= xxxxP ,

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    615615)()3( 23 += xxxxP

    El grado de )()3( xP es 3

    5.5.3.- Resta

    La resta de dos polinomios )(xP y )(xQ , es el polinomio )()1()()()( xQxPxQxP += .

    Ejemplo:

    Dados 333)( 24 += xxxxP y 1324)( 23 ++= xxxxQ calcular )()( xQxP .

    Para restar polinomios resulta conveniente ordenarlos segn potencias decrecientes de x ycompletar los trminos que faltan escribiendo dichos trminos con coeficiente cero.

    1324)()1(

    3303)(

    23

    234

    +=

    ++=

    xxxxQ

    xxxxxP

    22543)()( 234 += xxxxxQxP

    El grado de )()( xQxP es 4.

    5.5.4.- Producto de polinomios

    Para realizar el producto de dos polinomios es necesario aplicar la propiedad distributiva dela multiplicacin con respecto a la suma y las propiedades del producto y de la potenciacin.

    Ejemplo 1:

    53)( 2 += xxxP xxQ 2)( =

    xxx

    xxxxx

    xxxxQxP

    1062

    25232

    )2()53()()(

    23

    2

    2

    +=

    +=

    +=

    El grado de )()( xQxP es 3.

    Ejemplo 2:

    53)( 2 += xxxP 34)( 23 += xxxR

    15917177

    15205912334

    )34()53()()(

    2345

    2334245

    232

    ++=

    ++++=

    ++=

    xxxxx

    xxxxxxxx

    xxxxxRxP

    El grado de )()( xRxP es 5.

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    Observacin

    Dados dos polinomios )(xP y )(xQ , se verifica que:

    ( ) ( ) ( ))()()()( xQgradoxPgradoxQxPgrado +=

    5.5.5.- Algunos productos especiales

    Los productos que se muestran en el siguiente cuadro suelen presentarse con frecuencia enclculos algebraicos.

    Producto Nombre

    2222)()( axaaxaxxaxax =+=+

    22)()( axaxax =+Diferencia de cuadrados

    Cuadrado de un binomio

    222 )()()( aaxaxxaxaxax +++=++=+

    222 2)( aaxxax ++=+

    Trinomio cuadrado perfecto

    222 )()()( aaxaxxaxaxax +==

    222 2)( aaxxax += Trinomio cuadrado perfecto

    Cubo de un binomio

    3223

    322223

    22

    3

    33

    22

    )()2(

    )()()()(

    axaaxx

    axaxaaxaxx

    axaaxx

    axaxaxax

    +++=

    +++++=

    +++=

    +++=+

    32233

    33)( axaaxxax +++=+

    Cuatrinomio cubo perfecto

    32233 33)( axaaxxax += Cuatrinomio cubo perfecto

    5.5.6.- Divisin de polinomios

    Cuando se realiza una divisin entre nmeros se procede del siguiente modo:

    9 4

    1 2Se verifica que 1249 +=

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    dividendo divisor

    .

    resto

    cociente Dividendo = divisor cociente + resto

    La divisin de polinomios se efecta empleando el mismo procedimiento que se usa paradividir los nmeros reales.

    Se recuerda que es necesario ordenar los polinomios segn las potencias decrecientes dex y completar los trminos que faltan escribiendo dichos trminos con coeficiente nulo.

    Ejemplo: Dados 54572)( 234

    +++= xxxxxP y 12)( 2 += xxxQ , el polinomio

    cociente entre )(xP y )(xQ es el polinomio )(xC que se obtiene siguiendo el procedimiento

    que se muestra a continuacin.

    1) Se divide el primer trmino del dividendo

    )(xP por el primer trmino del divisor

    )(xQ .

    224 2:2 xxx =

    Se obtiene el primer trmino del cociente

    )(xC .

    54572 234

    +++ xxxx 122

    + xx

    22x

    2) El trmino de )(xC se multiplica por el

    divisor.El producto se resta al dividendo (o secambia de signo y se suma).

    54572 234

    +++ xxxx 122

    + xx

    234242 xxx +

    5433 23 +++ xxx

    22x

    3) Con 5433 23 +++ xxx como nuevodividendo se repiten los pasos 1) y 2).

    As se obtiene otro trmino del cociente.

    xxx 3:3 23 =

    54572 234

    +++ xxxx 122

    + xx

    234242 xxx +

    5433 23 +++ xxx

    xxx 363 23

    +

    573 2 ++ xx

    xx 32 2

    4) El proceso contina hasta que no sepuedan obtener ms trminos delcociente.

    Cociente: 332)( 2

    = xxxC

    Resto: 8)( += xxR

    54572 234

    +++ xxxx 122

    + xx

    234 242 xxx +

    5433 23 +++ xxx

    ( )xxx 363 23 +

    573 2 ++ xx

    ( )363 2 + xx8+x

    332 2

    xx

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    Es importante tener en cuenta que:

    La divisin )(:)( xQxP puede efectuarse siempre que ( ) ( ))()( xQgradoxPgrado .

    )()()()( xRxCxQxP += .

    El grado del resto debe ser menor que el grado del divisor, o bien 0)( =xR .

    ( ) ( ))()( xQgradoxRgrado