Apuntes Unidad 1 (2)

Instituto Tecnológico de Orizaba Sistemas Dinámicos

UNIDAD 1APUNTES DE LA MATERIA DE SISTEMAS DINAMICOS.

Aportación de la asignatura al perfil del egresado:Esta asignatura es integradora de conocimientos y unificadora de teorías de diferentes áreas de las ciencias que forman la mecatrónica (Mecánica de sólidos, de fluidos y térmica, Electricidad y magnetismo), sobre todo si se usa el enfoque de variables generalizadas que permite aplicar una metodología y análisis común a todos los componentes de las diferentes áreas mencionadas.

El aporte al perfil del egresado es en: proporcionar esa cualidad integradora propia de la mecatrónica, al aportar una nueva visión sistemática con base en el manejo de la energía y no en el tipo de elementos o de energía. Proporcionar herramientas de vanguardia para la solución de problemas de diseño, modelado, simulación y evaluación de sistemas, comprensión y análisis de sistemas procesos y productos mecatrónicos.

Objetivo General. Al Término del curso el alumno será capaz de hace todas las etapas de un ciclo de modelado- simulación y análisis con un método de modelado generalizado para todo tipo de sistemas Mecatrónico, para con esto poder efectuar un análisis y modificación del comportamiento dinámico y energético de ese sistema.

Temario:

1. Introducción al modelado y simulación.2. Variables generalizadas y elementos del sistema.3. Métodos para modelado matemáticos sistemático.4. Construcción y prueba del código para simulación de modelos.5. Análisis de sistemas dinámicos con simulación.

Unidad # 1.

Tema 1.- Introducción al modelado y simulación.1.1Repaso de conceptos como sistema, sus clasificaciones, sistema dinámico, lazo de control.

Introducción a la Dinámica de Sistemas

Temas:

Dinámica de sistemasDefinición de la DS Historia de la DSLa dinámica de sistemas en el contexto de la ingeniería de sistemasModelos y ayuda en la toma de decisiones

Catedrático: MC. Eduardo Hernández Vargas. 1


Dinámica de Sistemas:

Durante los últimos treinta años se ha estado desarrollando un campo conocido como dinámica de sistemas. La dinámica de sistemas combina la teoría, los métodos y la filosofía para analizar el comportamiento de los sistemas (Jay Forrester).

La dinámica de sistemas surgió de la búsqueda de una mejor comprensión de la administración. Su aplicación se ha extendido ahora al cambio medio ambiental, la política, la conducta económica, la medicina y la ingeniería, así como a otros campos.

La dinámica de sistemas muestra cómo van cambiando las cosas a través del tiempo. Un proyecto de dinámica de sistemas comienza con un problema que hay que resolver en un comportamiento indeseable que hay que corregir o evitar.

Definición de la DS

El primer paso sondea la riqueza de información que la gente posee en sus mentes. Las bases de datos mentales son una fecunda fuente de información acerca de un sistema. La gente conoce la estructura de un sistema y las normas que dirigen las decisiones. En el pasado, la investigación en administración y las ciencias sociales han restringido su campo de acción, indebidamente, a datos mensurables, habiendo descartado el cuerpo de información existente en la experiencia de la gente del mundo del trabajo, que es mucho más rico.

La dinámica de sistemas usa conceptos del campo del control realimentado para organizar información en un modelo de simulación por ordenador. Un ordenador ejecuta los papeles de los individuos en el mundo real. La simulación resultante revela implicaciones del comportamiento del sistema representado por el modelo.Texto inédito: Jay Forrester (universidad de Sevilla, Sevilla España) diciembre de 1998ftp://sysdyn.mit.edu/ftp/sdep/papers/D-4808.pdf

Historia de la Dinámica de Sistemas

Forrester, ingeniero de sistemas del Instituto Tecnológico de Massachussets (MIT) desarrolló esta metodología durante la década de los cincuenta. La primera aplicación fue el análisis de la estructura de una empresa norteamericana, y el estudio de las oscilaciones muy acusadas en las ventas de esta empresa, publicada como Industrial Dynamics. En 1969 se publica la obra Dinámica Urbana, en la que se muestra cómo el "modelado DS" es aplicable a sistemas de ciudades. En 1970, aparece El modelo del mundo, trabajo que sirvió de base para que Meadows realizasen el I Informe al club de Roma, divulgado posteriormente con el nombre de Los límites del crecimiento. Estos trabajos y su discusión popularizaron la Dinámica de Sistemas a nivel mundial.

Forrester estableció un paralelismo entre los sistemas dinámicos (o en evolución) y uno hidrodinámico, constituido por depósitos, intercomunicados por canales con o sin retardos, variando mediante flujos su nivel, con el concurso de fenómenos exógenos.la dinámica de sistemas, permite en estos días ir más allá de los estudios de casos y las teorías descriptivas. La dinámica de sistemas no está restringida a sistemas lineales,


ftp://sysdyn.mit.edu/ftp/sdep/papers/D-4808.pdf


pudiendo hacer pleno uso de las características no-lineales de los sistemas. Combinados con los ordenadores, los modelos de dinámica de sistemas permiten una simulación eficaz de sistemas complejos. Dicha simulación representa la única forma de determinar el comportamiento en los sistemas no-lineales complejos.

La Dinámica de Sistemas en el contexto de la Ingeniería de Sistemas.

Un Sistema lo entendemos como una unidad cuyos elementos interaccionan juntos, ya que continuamente se afectan unos a otros, de modo que operan hacia una meta común. Es algo que se percibe como una identidad que lo distingue de lo que la rodea, y que es capaz de mantener esa identidad a lo largo del tiempo y bajo entornos cambiantes. Javier Aracil

Al hablar de dinámica de un sistema nos referimos a que las distintas variables que podemos asociar a sus partes sufren cambios a lo largo del tiempo, como consecuencia de las interacciones que se producen en ellas. Su comportamiento vendrá dado por el conjunto de trayectorias de todas las variables, que suministra algo así como una narración de lo acaecido en el sistema.

Modelos y ayuda en la toma de decisiones.

La dinámica de sistemas es una metodología ideada para resolver problemas concretos. Los campos de aplicación de la dinámica de sistemas son muy variados. Por ejemplo, para construir modelos de simulación informática, sistemas sociológicos, ecológicos y medioambientales. Otro campo interesante de aplicaciones es el que suministran los sistemas energéticos, en donde se ha empleado para definir estrategias de empleo de los recursos energéticos. Se ha empleado también para problemas de defensa, simulando problemas logísticos de evolución de tropas y otros problemas análogos.

El Concepto de control.

Planteamiento.- Dar definiciones generales sobre una disciplina es una tarea difícil arriesgada. Difícil, porque se trata de resumir el contenido de varios millares de líneas en unas cuantas, y arriesgada, porque siempre cabe la posibilidad de dejar fuera de la definición algunos aspectos importantes de la disciplina. Por ello se ha optado por recurrir a una serie de ejemplos y, ya formada una idea intuitiva de los problemas que se plantean en la ingeniería de control, se darán definiciones más exactas, empleando para ello un lenguaje matemático.

De una manera informal, el problema de control consiste en seleccionar, de un conjunto específico o arbitrario de elementos (o parámetros, configuraciones, funciones del tiempo etc.) aquellos que, aplicados a un sistema fijo, hagan que éste se comporte de una manera deseada. Así un problema de control es seleccionar el punto de apoyo de



la palanca de un regulador de nivel (Fig. 1) para que la altura del líquido en el recipiente se mantenga constante a pesar de las variaciones en el gasto de salida.

Figura 1.- Regulador de nivel.

Otro problema de control sería: Un inversionista posee cierta cantidad de dinero al principio del año y desea colocarla en el mercado de valores. Suponiendo que el inversionista no puede solicitar préstamos y que su única fuente de información son las cotizaciones que se publican en la sección financiera del periódico, ¿Cuál debe ser su política de inversión para tener el mayor capital posible al finalizar el año?

Un tercer problema de control sería: La composición del torrente de salida de un reactor químico depende de la temperatura y composición del flujo de entrada. ¿Cómo debe variarse dicha temperatura para obtener una conversión máxima a cierto producto en la salida?Los problemas presentados anteriormente presentan tres elementos en común (figura 2):

a) Se puede modificar el llamado de entrada.b) El llamado de salida se desea que tenga ciertas características.c) El llamado planta relaciona la entrada con la salida pero no puede ser modificado.

Catedrático: MC. Eduardo Hernández Vargas.

P L A N T AEntrada Salida

Figura 2.- Representación esquemática de un sistema.

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La siguiente tabla 1 identifica la entrada, salida y planta de los ejemplos arriba mencionados.Podemos decir que el problema de control consiste en escoger, para un sistema dado, una entrada que haga responder a la planta de una manera deseada; esto es, que se obtenga una salida con cierta característica. En el primer ejemplo sería mantener invariable el nivel de fluido; en el segundo ejemplo, máximo capital al finalizar el año; en el tercero la máxima conversión a un producto de la salida.

Problema Entrada Salida PlantaControl de nivel Localización del

punto de apoyoVariaciones en el nivel del líquido

Relaciones mecá-nicas del sistema

Inversionista Cantidad de accio-nes a comprar y vender en cierta fecha

Cantidad de efectivo al finalizar el año

Mecanismo de la bolsa de valores

Reactor químico Temperatura del flujo de alimenta-ción

Composición del torrente de salida

Relaciones de balan-ce y cinética del reactor

Al tratar de resolver en un caso concreto el problema de control, definido anteriormente; surgen las preguntas: ¿Cómo a de modelarse la planta? ¿Cómo verificar el comportamiento de este modelo? ¿Qué hacer cuando la planta es desconocida parcialmente y afectada por fenómenos aleatorios? ¿Cómo lograr que el sistema se comporte de acuerdo a una política prescrita? Las interrogaciones anteriores plantean las siguientes facetas del problema de control:

a) Modelado. Para poder hacer un análisis es necesario tener una representación de la planta; esto se logra mediante un modelo. La selección del modelo depende fundamentalmente de los usos que se le darán y el costo de su elaboración. Así en el sistema de la figura 1, el flotador pude considerarse como un elemento con o sin masa, según el caso.

b) Simplificación. Un modelo muy preciso de la planta suele resultar demasiado complejo. Entonces conviene indagar cuáles son las suposiciones simplificadoras posibles y su influencia sobre la verosimilitud del modelo.

c) Simulación. Una vez elaborado el modelo, es posible verificar su validez por medios analíticos o de simulación. Este último suele usarse para familiarizarse con el comportamiento del sistema. Por ejemplo, antes de probar un avión en el aire, se hacen en tierra simulaciones de vuelo. Las simulaciones pueden lograrse con modelos a escala, con computadoras analógicas o digitales, mediante cálculos manuales, etc.

d) Estabilidad. Uno de los aspectos de mayor importancia sobre el comportamiento de un sistema es el referente a su estabilidad. Un sistema es estable si al aplicársele una entrada pequeña los efectos que produce son pequeños. Para determinas si un sistema es o no estable puede utilizarse métodos de simulación o estudios analíticos.

e) Estimación. Muchas veces es necesario indagar el valor de ciertas variables internas del sistema a partir del conocimiento de la entrada y de la salida, porque algunas decisiones para controlarlo deben tomarse en función del valor de esas variables.



f) Identificación. Al estimar el valor de ciertos parámetros desconocidos de una planta basándose únicamente en el conocimiento de la entrada y la salida, es el propósito de la identificación, es un problema de identificación, por ejemplo, determinar la posición del punto de apoyo del sistema de la figura 1 a partir del conocimiento de los flujos de suministro y de consumo.

g) Regulación. Es el problema de control que consiste en mantener la planta en un estado prefijado. Ejemplo de regulación es mantener la temperatura de un frigorífico en -50C a pesar de las variaciones de la temperatura exterior.

h) Optimización. Cuando el objetivo de un problema de control es minimizar o maximizar alguna cantidad se tiene un problema de optimización.

Concepto de Realimentación.

Dado un sistema con sus tres elementos: entrada, planta y salida, el problema de control consiste en seleccionar una entrada para que la salida tenga ciertas características. En particular, cuando la entrada y la salida son funciones del tiempo, puede resolverse el problema de dos maneras diferentes. Una llamada de “malla cerrada”, consiste en seleccionar de antemano la entrada, en función del tiempo, con la cual se obtendrá la salida deseada. Esta entrada se aplica al sistema de manera programada.La otra forma es de “malla abierta” o de realimentación, es generando la entrada en función de la salida que se vaya produciendo (se usa el enfoque de retroalimentación), por medio del cual se toman los valores de salida para modificar la entrada.Ejemplos:

En el caso del inversionista el puede darle a su corredor de bolsa dos tipos de órdenes: a) “El 15 de Abril venda todas la acciones del tipo A que posea”, ó b) “Venda las acciones tipo A, cuando lleguen a 180 puntos”. La primera orden (a) equivale a un control de malla abierta. La segunda (b) en donde se toma el valor de las acciones, equivale a una malla cerrada. El mecanismo fisiológico para escribir una línea manuscrita puede considerarse como un sistema de malla cerrada, ya que a medida que se escribe, se tiene el conocimiento a través de la vista de la dirección de la línea (salida). Si esta sale torcida entonces el



cerebro envía una orden (entrada) al brazo (planta) para que se corrija el defecto. El mismo sistema, en su versión de malla abierta es el usado al escribir un dictado con los ojos cerrados.Es conveniente aclarar lo siguiente:La diferencia entre el control de malla abierta y el de malla cerrada depende de que parte del sistema se considere planta.

Ejemplo, el sistema mecánico mostrado en la figura 4, en donde la fuerza f es la entrada y el desplazamiento x, la salida, relacionadas por la ecuación

puede considerarse como un sistema de control de malla abierta o uno de malla cerrada.

En efecto, cuando se toma la masa como planta la entrada a ésta será la fuerza neta fN

dada por

fN = f – kx

y por lo tanto la salida (x) afecta la entrada de la planta. De allí que el sistema sea de malla cerrada (figura 5)



Por otra parte, cuando se considera al conjunto masa-resorte como planta y se escribe la ecuación del sistema en la forma

la entrada a la planta (f) no es afectada por la salida (x) , por esto el sistema es de malla abierta ( figura 6)

Efectos de realimentación.A continuación se presentarán algunos ejemplos que señalan ciertas diferencias entre el comportamiento de los sistemas de control de maya abierta y los de maya cerrada.

Ejemplo 1Considérese un amplificador electrónico (figura 7) cuyo objetivo es obtener a la salida de un voltaje y(t) que sea replica exacta del de entrada u(t), pero de mayor amplitud. Esto es

y(t) = Au(t) donde A>1



En algunos casos, sin embargo, el factor de amplificación A (ganancia) varía con el tiempo. En la figura 8 se muestra un caso de dicha variación.

Si se aplica un tren de pulsos a la entrada del amplificador de las características descritas, la salida no es una réplica exacta de la entrada (figura 9). Así vemos en las siguientes gráficas:

El efecto de la variación de la ganancia con el tiempo, puede disminuirse mediante realimentación. Para ello se realimenta el amplificador como lo índica la figura 10.

Las ecuaciones que describen el sistema son:

e = u – rr = kyy = Ae

y eliminando r y e de las ecuaciones anteriores se obtiene

y = A(u – ky)



Si se escoge que k de tal modo que kA (la ganancia de maya) sea mucho mayor que la unidad, la relación entre la entrada y la salida puede aproximarse por

Las variaciones de las simplificaciones (ganancias) para el caso no realimentado eran o sea 25%. Al examinar lo que sucede cuando se incluye la realimentación con k

= 0.1, se obtiene que si A = 1000, la ganancia para el sistema realimentado es

y cuando A = 600 se obtiene

o sea que la variación de la ganancia es 0.3% entre los casos extremos. Nótese que sin embargo, que la ganancia del nuevo sistema (aprox. 9.9%) es como un centésimo de la ganancia sin realimentación (aprox. 800). Se concluye que la salida del sistema realimentado es menos sensible a la variación de la ganancia que el amplificador original.

Ejemplo 2

Tómese como caso un servomotor cuya función es cambiar su velocidad angular de acuerdo con un voltaje (V) que se aplica a la entrada de un amplificador ( figura 11).

La ecuación que relaciona la entrada V (voltaje) con la salida (velocidad angular) es

J= momente de inercia = I

J≠ momento polar de inerciaen donde J es la inercia de la carga, A es una constante y B, el coeficiente de fricción del motor.



Al aplicar una entrada como la que se muestra en la figura 12, se obtiene la salida mostrada allí mismo.

En la gráfica de la figura 12 se puede observar que la salida no es una fiel reproducción de la entrada. La razón de esto es que el efecto transitorio es muy prolongado. Es posible lograr una salida más parecida a la entrada mediante realimentación.

Para ello se mide la velocidad angular por medio de un voltaje generado por un tacómetro que se acopla al vástago del motor (figura 13). Este voltaje se resta al de entrada y dicha diferencia se aplica al amplificador.

Si Vt = k entonces Ve = V – k y en este caso la ecuación que describe el sistema es



Con la nueva configuración la salida corresponde a la entrada dada como se muestra en la gráfica de la figura 14 en donde se observan dos efectos:

a) La salida es una mejor reproducción de la entrada que en el caso de malla abierta.b) Hay una disminución en la velocidad angular que se obtiene con el mismo voltaje

V.

Para compensar esta último efecto sólo hace falta aumentar V. En la figura 15 se muestra el resultado obtenido cuando V se aumenta 3 veces.

A través de este ejemplo se ha mostrado como los efectos transitorios de la respuesta son menos prolongados al usar una realimentación. Aunque por medio de la realimentación es posible mejorar el comportamiento de los sistemas, como se ha ilustrado en los dos ejemplos anteriores, cuando la realimentación es excesiva el sistema puede presentar características indeseables tales como oscilaciones con amplitudes cada vez mayores.



Ejemplo 3.

Supóngase que se cuenta con una planta en la cual la relación entre la entrada u(t) y la salida y(t) está dada por

y( t +1) = 0.7 y(t) + 2 u(t)

y supóngase por caso que se desea que y(t) tenga la misma forma que u(t). Si para , y el sistema se opera en maya abierta con , a partir de t = 0, y(t)

será la que se muestra en la figura 16.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9u(t) 1 1 1 1 1 1 1 1 1y(t) 2.00 3.40 4.38 5.06 5.54 5.87 6.10 6.27 6.66

Para disminuir el tiempo en que la salida alcanza el 90% de su valor final, se puede utilizar sistema de control de malla cerrada, como se hizo en el ejemplo anterior. El sistema de control propuesto se muestra en la figura 17.

La ecuación que describe al sistema realimentado es

y(t +1) = 0.7y(t) + 2e(t) = 0.7y(t) + 2 [u(t) – ky(t)]y(t+1) = (0.7 – 2k)y(t) + 2u(t)



En la figura 18 se presenta la salida que se tiene para el caso en que k = 0.1.Como puede observarse, con la realimentación se producen los dos efectos que fueron comentados en el ejemplo 2: disminución del valor final de la salida y un transitorio mas rápido. Podría pensarse entonces

t 1 2 3 4 5 6 7 8u(t) 1 1 1 1 1 1 1 1y(t) 2.00 3.40 3.50 3.75 3.88 3.94 3.97 3.98

t 1 2 3 4 5u(t) 1 1 1 1 1y(t) 2.00 1.40 1.58 1.53 1.54



t 1 2 3 4 5 6 7 8u(t) 1 1 1 1 1 1 1 1y(t) 2.00 -0.60 2.78 -1.61 4.09 -3.33 6.33 -6.22

Que al continuar aumentando el valor de k se disminuiría el tiempo del transitorio. Sin embargo, como puede apreciarse en la figura 19, para valores de k mayores de 0.35, se producen oscilaciones en el sistema.Concluimos que por medio de la realimentación se puede lograr que la relación de entrada y salida de un sistema sea menos sensible a variaciones de algunos parámetros de la planta y que los efectos transitorios del sistema sean mas rápidos. Sin embargo, en algunos casos el aumento excesivo de la realimentación puede producir una degradación del comportamiento del sistema.(TAREA 2 ENTREGAR 12/09/09)

Definición de sistema.

El término sistema es ampliamente utilizado. Al respecto, es fácil escuchar expresiones tales como “el sistema económico”, “el sistema métrico decimal”, “el sistema eléctrico central”etc., por lo que surge la pregunta: ¿Qué es un sistema? Podría considerarse como “un conjunto de entes ligados por una relación “, pero es demasiado general para nuestros propósitos; de ahí que conviene hacer una división entre los entes separándolos en dos categorías, una que llamaremos conjunto de entradas y otra, conjunto de salidas, por lo que una definición factible es “una relación entre entradas y salidas”.Un ejemplo de un sistema, de acuerdo con la definición anterior, puede ser una fábrica de coches que transforma materias primas como láminas de acero, hule, pintura, etc. y otros insumos como mano de obra, energía eléctrica, (entradas), en automóviles (salidas).Otro ejemplo podría ser un motor de inducción, que transforma energía eléctrica (entradas) en energía mecánica (salidas).Si la entrada se representa como (u) y la salida como (y), el tipo de sistemas que veremos podría denotarse matemáticamente por la relación:



………………………. (1)

Si además se hace la suposición de unicidad (o determinismo), esto es, que a cada entrada le corresponde una y solo una salida, entonces la ecuación (1) es una función.

Sistemas causales.(Tarea 2 Funciones, intervalos promesa 13/10/08 24.00hrs)Se consideran aquellos sistemas en que para cualquier , el valor de la salida

depende únicamente de la entrada (u) en el intervalo donde es el “tiempo de creación” del sistema. Estos sistemas se llaman causales o no anticipatorios, pues la salida en un instante dado no depende del valor de la entrada en instantes posteriores. Por ejemplo:

Catedrático: MC. Eduardo Hernández Vargas.

Su(Entrada) Y(Salida)

Representación esquemática de un sistema.

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La figura 20 siguiente ilustra un sistema que no es causal, ya que aun cuando las entradas u1 y u2 coinciden con el intervalo , resulta que y1 es diferente a y2 el mismo.

Clasificación de sistemas dinámicos.

Los sistemas dinámicos, o sea aquellos que son causales y determinísticos, pueden clasificarse de acuerdo con varios criterios: número de estados, linealidad de la relación entrada-salida, invariancia con el tiempo de la relación entrada-salida.

Clasificación de acuerdo con el número de estados.

O sea conforme al número de clases de equivalencia de segmentos de entrada; así es factible de distinguir los siguientes tipos de sistemas:a) Si solo hay una clase de equivalencia, o sea que todos los segmentos de entrada son equivalentes, el sistema es algebraico.b) Si el número de clases de equivalencia es finito, se dice que el sistema es autómata finito.



c) Si el número de clases de equivalencia es infinito pero numerable (esto es, que existe una correspondencia uno a uno entre las clases de equivalencia y los números naturales 1, 2, 3……….), el sistema es un autómata infinito.d) Si existe un número infinito no numerable de clases de equivalencia, pero se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los números reales y las clases de equivalencia, entonces se dice que el sistema es parámetros concentrados.e) Si existe un número infinito no numerable y además no es posible establecer una correspondencia biunívoca entre los números reales y las clases de equivalencia, el sistema es de parámetro distribuidos.

Ejemplos de las clasificaciones anteriores.

a) Sistemas algebraicos:Considérese una báscula ideal cuya entrada es la función del tiempo que representa el peso que se coloca sobre ella, y la salida se toma como la función del tiempo que representa la desviación de la aguja indicadora del peso. En dicho sistema, el valor de la salida en el tiempo depende únicamente del valor de la entrada en y es independiente del peso de los cuerpos que se hallen colocados sobre la báscula anteriormente. Por esta razón a los sistemas algebraicos también se les denomina amnésicos.

b) Autómata finito

Si para cualquier tiempo t el número de clases de equivalencia de las entradas es finito, se dice que el sistema es un autómata finito.

Considérese ahora un sistema en el cual la relación entre la entrada y la salida es

= [signo u(t)]n donde n es el número de veces que u(t) pasa de un valor positivo a un valor cero o negativo (que llamaremos cambios) en el intervalo , y signo u(t) es una función que vale 1 cuando u(t) es positivo y -1 cuando u(t) es cero o negativo. La figura siguiente muestra una entrada y su salida correspondiente.



c) Autómata infinito.

Los autómatas infinitos son aquellos sistemas en los cuales se puede establecer una relación biunívoca entre las clases de equivalencia y los números naturales; por ejemplo, considérese el sistema creado en tc = 0 cuya relación entrada-salida es

donde la función g está definida como= mayor número entero menor o igual a ;

de esta manera, el valor de la salida del sistema en un tiempo t es igual a la suma de los valores enteros g[u(0)], g[u(1)],…………g[u(N)], donde > t – 1.No es difícil verificar que dos entradas, u1 y u2 pertenecen a la misma clase de equivalencia en , si y solo si

=

Pero como g[u1 (k)] un número entero y la suma de éstos también lo es, a cada clase de equivalencia se la puede hacer corresponder un número entero y viceversa, de tal manera que a dos clases de equivalencia diferentes le corresponden dos números distintos, por lo que el sistema es un autómata infinito.

d) Sistemas de parámetros concentrados.



Cuando existe una correspondencia biunívoca entre las clases de equivalencias de las entradas para t > tc y la línea real (todos los números reales), entonces se dice entonces que el sistema es de de parámetros concentrados.

e) Sistemas de parámetros distribuidos.

Son aquellos en los cuales a cada estado le corresponde un segmento (o segmentos) de función y viceversa. Por ejemplo, considérese el sistema esquemático de la figura 22 que consiste en una banda transportadora en la cual se deposita arena mediante una tolva colocada a una distancia (x) del extremo de la banda, la que se mueve con velocidad (v) en el sentido de las manecillas del reloj.

Si se considera como entrada la función del tiempo que representa el gasto de arena en la boquilla de la tolva, y la salida del gasto en el extremo derecho de la banda, la relación entrada salida del sistema es cuestión es

y(t) = u

porque el gasto en el extremo en un instante es igual al gasto a la salida de tolva (x/v) segundos antes.Un sistema que tiene una relación entrada entrada-salida de la forma

Y(t) = u ( t – T)

Se denomina retraso de T unidades.


Apuntes Unidad 1 (2)

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