APUNTES DE MINERALOGA PTICA

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APUNTES DE MINERALOGA PTICABasado en el Syllabus de Mineralogie Optique de M. Dumont (Universit Libre de Buxelles, 1979) y en el libro Introduccin a los mtodos de cristalografa ptica de Donald Bloss (Ediciones Omega, 1970).

I. TEORIA DE LA LUZ1. Introduccin histrica.En el transcurso del tiempo, dos teoras aparentemente contradictorias se han confrontado para explicar la naturaleza y el comportamiento de la luz: la teora corpuscular y la teora ondulatoria.

La teora corpuscular es la ms antigua y en ella se postula que una fuente luminosa, como por ejemplo el sol, emite una corriente de pequeas partculas que se propagan en lnea recta y en todas las direcciones. Asociado ntimamente con esta teora se desarroll la nocin de rayo luminoso, el que constituye la base de la ptica geomtrica. Newton, en el siglo XVIII, fue un gran defensor de esta teora.

Sin embargo, la teora corpuscular se mostr incapaz de explicar una serie de fenmenos como la polarizacin, la difraccin y los fenmenos de interferencia, y por ello se fue configurando una nueva teora que s era capaz de explicarlos: la teora ondulatoria. Esta nueva teora postula que la luz se propaga como una onda, resultado de la transmisin partcula a la partcula de una vibracin generada por la fuente luminosa. Esta teora fue desarrollada por Huygens (1690), Young (1799) y Fresnel (1815-1823).

En 1873 Maxwell precis esta teora ondulatoria al considerar que si bien la luz estaba formada por ondas, ellas resultan de la propagacin de un campo electromagntico. De esta manera la luz visible no era un todo en s, sino formaba parte del espectro de radiaciones electromagnticas, al igual que las radiaciones ultravioleta (1802), los rayos infrarrojos (1803), los rayos X (1895), los rayos gamma (1900) y las ondas de radio (1900).

Con el descubrimiento de las diferentes radiaciones electromagnticas mencionadas anteriormente, pareca que la teora ondulatoria se impona universalmente y que la teora corpuscular deba definitivamente ser abandonada. Sin embargo, a fines del siglo XIX empezaron a descubrirse ciertos fenmenos que la teora electromagntica de la luz era a su vez incapaz de explicar. Por ejemplo, esta teora no poda dar una explicacin a lo que implicaba el efecto fotoelctrico descubierto por Hertz en 1887, y que consiste en el hecho de que cuando un metal es expuesto a la luz, este metal puede convertirse en conductor de electricidad.

Diez aos ms tarde, con el descubrimiento del electrn, se estableci que este fenmeno era debido a la emisin de electrones por parte del metal, lo que era originado por el traspaso de energa necesaria para la expulsin de esos electrones, de la onda luminosa al metal. Posteriormente, Max Planck, al estudiar los fenmenos de emisin por un cuerpo negro, estableci que esos intercambios de energa entre la radiacin electromagntica y el metal no se efectuaban de manera continua, sino que se producan cada vez que se lograba un mltiplo entero de una cantidad elemental, llamada cuanta, igual a h en donde h es la constante de Planck y la frecuencia de la radiacin.

La existencia de esta relacin discontinua entre la materia y la radiacin, condujo a pensar que la luz estaba concentrada en puntos y no distribuida uniformemente en la radiacin; por ello se empez a hablar de "granos" de partculas de luz, llamados fotones, lo que trajo de nuevo a la actualidad la teora corpuscular de la luz, esta vez bajo la forma de la teora de los cuanta.

Sin embargo, esta teora de los cuanta no poda ofrecer una explicacin sobre los fenmenos de polarizacin y de interferencia, fenmenos que si eran explicados por la teora ondulatoria. Por lo tanto, en vez de 2 teoras contradictorias y antagnicas, la teora ondulatoria y la teora corpuscular parecan ser complementarias. Esto ltimo fue demostrado por de Broglie (1924) y Schdinger (1926), quienes a travs de desarrollos matemticos largos y complicados, logran conciliar los aspectos corpuscular y ondulatorio de las radiaciones electromagnticas.

Ahora bien, en mineraloga ptica los problemas que se plantean estn ligados a la propagacin de las radiaciones electromagnticas y no a su emisin o a los intercambios de su energa con los metales. Por consiguiente, para comprender cabalmente los fenmenos que ocurren cuando la luz incide y atraviesa un mineral, bastar la ptica geomtrica y la teora ondulatoria de Huygens-Fresnel-Maxwell, no siendo necesario por ello entrar en los desarrollos matemticos complejos de la teora de los cuanta.

2. Nociones fundamentales de la ptica geomtrica:

Refraccin y reflexin de la luz por un medio istropo.

Antes de entrar a considerar los fenmenos de la refraccin y de la reflexin, debemos diferenciar los medios istropos de los medios anistropos. Los medios istropos son aquellos medios en los cuales las propiedades fsicas y pticas son idnticas cualquiera sea la direccin que se considere (ejemplos de medios istropos son los cristales del sistema cbico, los vidrios, la mayora de los lquidos y todos los gases). Por su parte, los medios anistropos son aquellos en los cuales las propiedades del medio varan segn la direccin que se considere (ejemplos de medios anistropos son todos los cristales que no pertenecen al sistema cbico).

Consideremos ahora un rayo luminoso que se propaga por un medio istropo de ndice de refraccin n1, y que incide sobre otro medio istropo de ndice de refraccin n2. Dos casos pueden presentarse (Fig. 1):

Figura 1. Refraccin y reflexin de un haz de luz en un medio istropo. a) El medio istropo de ndice de refraccin n2 es ms denso que el medio de ndice n1. b) Reflexin total de la luz al pasar de un medio ms denso n2 a un medio menos denso n1 (ic indica el ngulo crtico de reflexin total).Primer caso: n2 > n1

-El rayo reflejado OA' se encuentra en el plano de incidencia, definido por el rayo incidente OA y la normal de incidencia ON (normal a la superficie de contacto entre los 2 medios).

-El ngulo de reflexin i' es idntico al ngulo de incidencia i. - El rayo refractado OB se encuentra en el plano de incidencia y ms cerca de la normal que el rayo incidente.

La refraccin se traduce entonces por un cambio en la direccin de propagacin de la luz, cuando esta pasa de un medio a otro distinto.

Existe una relacin constante, expresada por la Ley de Snell (1621) y llamada ndice de refraccin del segundo medio en relacin al primero, entre la razn de los senos de los ngulos de incidencia y de refraccin:

n2,1 = sen i/sen r = n2/n1 = constante (ecuacin 1)

en donde n1 y n2 designan los ndices de refraccin absolutos, es decir en relacin al vaco.

Ahora, el ndice de refraccin absoluto del aire seco es igual a 1,000274 a una presin de 1 atmsfera y a una temperatura de 15 C. Por lo tanto, el ndice de refraccin de un medio respecto al aire -que es lo que utilizaremos en mineraloga ptica- puede escribirse:

n2 = sen i/sen r

ya que n1 es muy prximo a la unidad.

-Si el rayo incidente es perpendicular al plano de separacin de los 2 medios (i = 0), penetra sin desviarse en el segundo medio (r = 0).

Segundo caso:n2 < n1En este caso la luz pasa de un medio ms denso a otro menos denso, como por ejemplo cuando el rayo refractado que se propaga a travs de n2 en el caso anterior vuelve a entrar en el medio n1 (parte inferior de la figura 1A). En este caso el nuevo rayo refractado est ms alejado de la normal de incidencia que el rayo incidente; esto ltimo resulta obvio adems, puesto que lo que ocurre es lo mismo que si invirtisemos el trayecto de los rayos en el primer caso considerado.

Cabe subrayar que si las dos interfases n1-n2 son paralelas como es el caso en la figura 1A, tras la segunda refraccin la luz sigue una trayectoria paralela a la que tena antes de la primera refraccin.

Por otra parte, al aumentar el ngulo de incidencia, el rayo refractado se acerca cada vez ms a la superficie que separa los 2 medios considerados, de manera tal que existe un valor lmite de ngulo de incidencia sobre el cual el rayo incidente sufrir una reflexin total y no entrar en el segundo medio (Fig. 1B). Este ngulo crtico de reflexin total (ic), se obtiene reemplazando r por 90 en la ecuacin 1, de tal manera que se obtiene:

sen ic = n2/n1

(ecuacin 2)

Finalmente, notemos que las consideraciones anteriores son vlidas para medios istropos. En un medio anistropo la situacin es ms compleja puesto que ocurre generalmente una doble refraccin y adems el ndice de refraccin vara segn la seccin del cristal que se considere. Volveremos sobre este punto al considerar los fenmenos de doble refraccin.

3. Teora ondulatoria de Huygens.

Huygens (1629-1695), substituye el rayo luminoso por una onda luminosa. De esa manera el ndice de refraccin, que se expresaba por una razn de senos segn la Ley de Snell, pasa a expresarse por una razn de las velocidades de la onda luminosa en los medios considerados. Para demostrar esto, Huygens ide una construccin que sirve adems para determinar la normal de onda de la onda refractada, es decir la direccin de propagacin de la onda luminosa (el rayo refractado) en el medio istropo considerado.

Consideremos una fuente luminosa (S) situada dentro de un medio istropo (Fig. 2). En ese medio la luz va a propagarse en todos los sentidos con una misma velocidad, de manera que, despus de una unidad de tiempo, todos los rayos luminosos que provienen de S habrn alcanzado un cuerpo esfrico llamado Superficie de la Velocidad de los Rayos del medio istropo. El radio de este cuerpo (D) es exactamente igual a la velocidad de propagacin de la luz en ese medio (V), ya que V = D/ t y t = 1.

Figura 2. Propagacin de una onda luminosa en un medio istropo segn Huygens. S= fuente luminosa, V= velocidad de la luz, t1= unidad de tiempo, SVR= superficie de la velocidad de los rayos del medio istropo, F= frente de onda, w= normal de onda.Para Huygens todos los puntos de la superficie de la velocidad de los rayos, es decir todos aquellos puntos alcanzados al tiempo t = 1, se convierten a su vez en fuente luminosa, de manera que, tras una nueva unidad de tiempo, la luz llega a una nueva superficie esfrica de radio igual a 2V, la cual cubre a todas las nuevas ondas que se originaron en cada uno de los puntos de la superficie de la velocidad de los rayos inicial.

A medida que la luz va propagndose, los nuevos cuerpos que se van generando presentan curvaturas cada vez ms pequeas, por lo cual, finalmente, estos cuerpos pueden asimilarse a un plano llamado frente de onda (F). Notemos que, siendo SW la direccin de propagacin de la onda, el frente de onda es paralelo a F', que es la tangente al crculo de radio V en el punto W. Esta recta SW, que marca la direccin de propagacin de la onda y que es perpendicular al frente de onda, es llamada normal de onda (W).

En un medio istropo, la direccin de propagacin de los rayos luminosos siempre coincide con la normal de onda de la onda asociada a esos rayos. Por consiguiente, al determinar la normal de onda se est determinando la direccin del rayo refractado. Para visualizar esto, construyamos el trayecto que tendra un rayo luminoso en un prisma de vidrio (Fig. 3).

Figura 3. Construccin de la onda refractada por un prisma de vidrio segn Huygens.

Consideremos un rayo incidente IO al cual se asocia un frente de onda OS, el cual se propaga en el aire con una velocidad V. Esa onda incide sobre un prisma de vidrio PAP' de ndice de refraccin nv. Supongamos adems que la velocidad de la luz en el prisma de vidrio (Vv) es inferior a la velocidad V de la luz en el aire.

En el punto de incidencia O, tracemos 2 crculos concntricos de radio V y Vv los cuales representan respectivamente la superficie de la velocidad de los rayos en los medios aire y prisma.

Si la onda hubiese seguido propagndose en el aire, tras una unidad de tiempo, su frente de onda ocupara la posicin O'S', tangente al crculo de radio V y perpendicular a la normal de onda IO', prolongacin del rayo incidente IO. Sin embargo, cuando la onda OS entra en el punto O del prisma, ella genera una vibracin luminosa que se propaga a la velocidad Vv y que tiene una direccin de propagacin diferente a la onda incidente.

Para obtener la posicin de la onda refractada es necesario trazar el frente de onda de la luz dentro del prisma. Para ello se traza desde el punto B la tangente al circulo de radio Vv (esto es debido a que B pertenece al frente de la onda en el aire BS' y al frente de la onda dentro del prisma BZ, el cual es tangente al crculo de radio Vv). La recta perpendicular a este frente de onda BZ, representa la normal de onda de la luz dentro del prisma, es decir la direccin del rayo refractado OR.

Ahora, de acuerdo con la Ley de Snell tenemos que:

nv = sen i/sen ry, segn la figura, i = ION = ABS'= OBO'

por consiguiente: sen i = sen OBO'

= OO'/BO

Por otra parte, segn la figura, r = RON'=OBR

por consiguiente: sen r = sen OBR

= OR/BO

Por lo tanto: nv = sen i/ sen r

= (OO'/BO) x (BO/OR)

= OO'/OR

es decir nv = V/Vv

(ecuacin 3)

Relacin que expresa el ndice de refraccin de un medio en funcin de las velocidades de la luz en los dos medios que ella recorre.

En esta relacin, V representa la velocidad de la luz en el aire, es decir C, que es igual a 300.000 Km/s. Ahora, para facilitar los clculos y puesto que las velocidades con las cuales se trabaja en mineraloga ptica son relativamente prximas a C, se considera esta velocidad como unidad de velocidad (es decir C = 1) y por lo tanto el ndice de refraccin en un medio, es igual al inverso de la velocidad de la luz en ese medio.

Notemos finalmente que la construccin de la onda refractada a la salida del prisma se efecta en un orden inverso a aquel aplicado a la entrada del prisma: en el punto D se construyen dos crculos de radios respectivos Vv y V. Enseguida se construye la tangente al crculo de radio Vv y que es perpendicular a la direccin del rayo refractado (ORD), definiendo con ello el punto E al interceptar esa tangente la prolongacin de la direccin AP'. A partir de este punto E se traza la tangente al crculo de radio V, siendo EF el frente de onda a la salida del prisma y DF su normal de la onda.

EJERCICIOUn rayo se propaga con una velocidad V0 en un prisma de vidrio istropo y con una velocidad V en el aire.

a) Dibuje el rayo refractado a la salida del prisma (punto d).

b) Cual es el ndice de refraccin del prisma en relacin al aire?

4. Teora ondulatoria de Fresnel.

A diferencia de Huygens que consideraba que la luz vibraba longitudinalmente, para Fresnel (1788-1827) la luz resulta de la propagacin partcula a partcula de una vibracin mecnica de un medio elstico (ter) que se efecta transversalmente, es decir perpendicularmente a la direccin de propagacin de la onda luminosa. Al mismo tiempo Fresnel estableci que esta vibracin es peridica, es decir que ella se reproduce idntica a si misma tras intervalos regulares de tiempo, llamados Perodos (T).

Para expresar matemticamente esta periodicidad, Fresnel adopta la funcin sinusoidal y asimila la propagacin de la luz a la combinacin de dos movimientos simultneos (Fig. 4): una oscilacin estacionaria segn OY, es decir un movimiento perpendicular a la direccin de propagacin de la luz, y un movimiento rectilneo segn OX de velocidad C constante, paralelo a la direccin de propagacin.

La oscilacin estacionaria es un movimiento armnico simple que puede interpretarse como el resultado la proyeccin sobre el dimetro AOM, de la posicin de un punto mvil A, B, C, D, E..., que recorre la circunferencia a una velocidad angular uniforme w (Fig. 4).

La ecuacin que describe ese movimiento armnico es:

y = A sen wt

(ecuacin 4)

en donde y es la elongacin de la vibracin alcanzada al tiempo t, y A la amplitud del movimiento vibratorio, es decir el valor mximo de elongacin que corresponde al radio OA de la circunferencia. Cabe recordar que para una radiacin -y esto ser utilizado ms adelante-, el cuadrado de la amplitud es proporcional a la intensidad de la radiacin.

Ahora, si simultneamente a este movimiento oscilatorio estacionario se produce un movimiento rectilneo uniforme segn el eje OX de velocidad constante C, el movimiento resultante de esta combinacin describe una curva de forma sinusoidal A, N, P, Q, R,... que grafica la propagacin del movimiento ondulatorio (Fig. 4).

Figura 4. Teora de Fresnel.En este movimiento sinusoidal, la longitud de onda representa la distancia entre dos puntos sucesivos en la curva que estn en idntica posicin relativa (por ejemplo los dos mnimos sucesivos de la Fig. 4, o los puntos a1 y a2 de la Fig. 5).

La frecuencia es el nmero de vibraciones por unidad de tiempo. En el caso de las ondas luminosas, ella es del orden de varios miles de millones de vibraciones por segundo. La frecuencia y la longitud de onda estn ligadas a su vez a la velocidad de la luz, mediante la siguiente relacin:

C =

(ecuacin 5)

Ahora, puesto que n = 1 / V y que la frecuencia de una radiacin no varia al penetrar en un medio diferente, el ndice de refraccin puede expresarse como sigue:

nA / nB = B / A

(ecuacin 6)

Esta ecuacin significa, por una parte, que el ndice de refraccin de un medio depende de la longitud de onda de la radiacin que lo atraviesa y, por otra parte, que la longitud de onda de una radiacin sufre pequeas variaciones cuando ella penetra en un medio diferente.

Combinacin de dos ondas de idntica frecuencia:

La ecuacin 4 que describe el movimiento oscilatorio estacionario de una vibracin, est definida para una vibracin cuya elongacin inicial es nula. Si una segunda vibracin parte con una elongacin inicial y2 (Fig. 5), es decir si al momento de partir ella forma un ngulo con la primera vibracin, la ecuacin que describe su movimiento ser:

y = A sen (wt + )

(ecuacin 7)

en donde es un ngulo que representa la diferencia de fase de la segunda vibracin en relacin a la primera. Considerando el movimiento sinusoidal, la diferencia de fase puede tambin definirse como la fraccin de longitud de onda que le falta a la segunda vibracin para confundirse con la primera.

Figura 5. Diferencia de fase entre dos ondas.Si dos ondas se propagan segn una misma trayectoria y presentan una idntica frecuencia y una diferencia de fase constante entre ellas, estas ondas se combinan componiendo una nueva onda R, la que puede construirse grficamente sumando las elongaciones de las dos ondas, en cada punto de la direccin de propagacin (por ejemplo en la Fig. 6, la adicin de las elongaciones a y b origina la elongacin r de la onda resultante).

Figura 6. Combinacin de dos ondas A y B.Existen algunas denominaciones especiales para determinados valores de la diferencia de fase y ellas son ilustradas en la figura 7, en donde se muestra tambin la onda resultante:

Figura 7. Diferencias de fase y combinacin de dos ondas.

Fig. 7asi = 0 las dos vibraciones estn en concordancia de fase, es decir ellas pasan simultneamente por el cero y los valores de sus elongaciones son simultneamente positivos o negativos. Si las dos ondas tienen idntica amplitud, ellas se propagan confundidas.

Fig. 7bsi = 180 las vibraciones estn en oposicin de fase, es decir las dos vibraciones alcanzan simultneamente una elongacin nula, y cuando una vibracin est en su valor mximo positivo la otra est en su valor mximo negativo. Si la amplitud de las dos ondas es idntica, la onda resultante es nula (Fig. c).Fig. 7dsi = 90 las vibraciones estn en cuadratura de fase, es decir cuando una vibracin alcanza el mximo de amplitud, sea ste positivo o negativo, la otra vibracin tiene una elongacin nula.

5. Teora electromagntica de Maxwell.

Segn Maxwell (1831-1879), la luz es producida por el movimiento oscilatorio de una carga elctrica, lo que provoca un cambio peridico del campo elctrico E que rodea a la carga y origina al mismo tiempo un campo magntico oscilatorio H. Estas perturbaciones elctricas y magnticas se propagan simultneamente como dos ondas acopladas que se mueven a la velocidad de la luz. Las ondas elctrica y magntica estn en concordancia de fase, vibran perpendicularmente entre s y, en un medio istropo, vibran perpendicularmente a la direccin de propagacin (Fig. 8).

Figura 8. propagacin de una onda electromagntica segn Maxwell.En esta teora, la velocidad de propagacin de la onda electromagntica tiene como expresin:

VA = C / (AA

(ecuacin 8)

en donde es la constante dielctrica o permititividad elctrica del medio A en el cual se propaga la luz, y la permeabilidad magntica del medio.

En la mayora de los medios transparentes, como por ejemplo los cristales, la permeabilidad magntica es igual a 1 y por consiguiente, considerando que n = C / V, el ndice de refraccin puede tambin definirse como:

n = (A

(ecuacin 9)

Espectro electromagntico.Como fue mencionado en la introduccin, la luz visible forma parte de algo mucho ms amplio que constituye el espectro de las radiaciones electromagnticas (Fig. 9). Dentro de este espectro, las radiaciones se dividen en funcin de la longitud de onda que ellas poseen.

Figura 9. Espectro de las radiaciones electromagnticas.Como se puede apreciar en la figura 9, las radiaciones que conforman el espectro visible, es decir aquellas a las cuales nuestra retina es sensible, constituyen una fraccin relativamente estrecha de longitudes de onda del espectro electromagntico.

Dispersin de la luz solar y luz monocromtica.Si un haz de luz solar, es decir un grupo de ondas solares que poseen una misma trayectoria, es enviado sobre un prisma de vidrio (Fig. 10), se observar a la salida del prisma una serie de colores que pasan gradualmente de uno a otro y que en su conjunto constituyen los colores del espectro visible. Este fenmeno -llamado dispersin- resulta de la separacin de las diferentes radiaciones que constituyen la luz solar, al ser refractadas con diferente ngulo por el prisma, en funcin de sus respectivas longitudes de onda.

Figura 10. Dispersin de la luz por un prisma.Recordemos que:n = sen i / sen ry que

n = 1 / x

(ecuacin 5)

por lo tanto sen r = x sen i

(ecuacin 10)

Esta ltima ecuacin expresa que las diferentes radiaciones contenidas en la luz solar poseen ngulos de refraccin diferentes, que dependen exclusivamente de sus respectivas longitudes de onda puesto que i y son constantes (mismo ngulo de incidencia para todas las radiaciones y no vara al entrar en un medio diferente). Por consiguiente, a la salida del prisma estas radiaciones estn separadas entre s y poseen cada una de ellas longitudes de onda especficas.

Si colocsemos a la salida del prisma una rendija que deje pasar solamente una radiacin de longitud de onda determinada (Fig. 10), esta radiacin, al incidir sobre la retina, produce una sensacin que es interpretada por el cerebro como un color determinado. Moviendo la rendija de manera tal que cada vez pase una sola longitud de onda determinada, se puede distinguir 6 colores principales (los colores de Newton: violeta, azul, verde, amarillo, naranja y rojo), los que al combinarse restablecen la luz solar; por esta razn la luz solar tambin es llamada luz blanca. Por otra parte, si cualquiera de estas radiaciones incidiese sobre un nuevo prisma, ella no sufrira la dispersin, mostrando con ello que esta radiacin est exclusivamente compuesta de una longitud de onda especfica.Se llama luz monocromtica aquella luz que posee una longitud de onda determinada y que por lo tanto corresponde a un color determinado. Por su parte, la luz policromtica es aquella que contiene varias o todas las longitudes de onda del espectro visible.

La ecuacin 10 permite tambin apreciar que las radiaciones correspondientes al color rojo ( = 7000 ) son las ms desviadas en relacin a la normal de incidencia, en tanto que las radiaciones correspondientes al color violeta ( = 4000 ) son las que sufren menor desviacin.

Smbolos de Fraunhfer.Al mover la rendija desde la radiacin violeta a la roja (Fig. 10), se encuentran numerosas lneas oscuras que indican que determinadas longitudes de onda estn ausentes en el espectro solar. Fraunhfer individualiz estas lneas, llamndolas respectivamente por una letra (A, B, C, D, E y F). Cada una de estas lneas posee una longitud de onda bien definida y puesto que el ndice de refraccin de un medio depende de la longitud de onda de la luz incidente, ellas se utilizan para hacer referencia a una longitud de onda particular: por ejemplo la lnea D tiene una longitud de onda = 5893 , y nD se refiere al ndice de refraccin medido con esa longitud de onda.

En los trabajos de precisin de mineraloga ptica los ndices de refraccin se determinan con radiaciones monocromticas correspondientes a las lneas C, D y F. Las longitudes de onda de esas radiaciones y el medio para obtenerlas estn dadas en la tabla 1.

Tabla N1: principales radiaciones monocromticas usadas en mineraloga ptica.

L ()

Color

Medio para producirlas

C6563

rojo

descarga elctrica en un tubo de H

D5893

amarillollama de volatilizacin del sodio

F4861

azul

descarga elctrica en un tubo de H

Si en algn texto de mineraloga ptica solo se da un ndice de refraccin, este es implcitamente nD puesto que la luz emitida por una lmpara de vapor de sodio es ms accesible para los microscopistas.

Luz natural y luz polarizada.Como vimos anteriormente, una radiacin electromagntica visible resulta de la propagacin simultnea de una onda elctrica y de una onda magntica que vibran en planos perpendiculares entre s y, en un medio istropo, perpendicularmente a la direccin de propagacin. Sin embargo -y esto es lo que interesa en mineraloga ptica- experimentalmente se ha demostrado que la direccin de vibracin de la luz corresponde al desplazamiento elctrico, y por lo tanto se puede asimilar la luz a una sola vibracin perpendicular a la direccin de propagacin.

En un medio istropo, la luz natural (o luz ordinaria) vibra en cualquier direccin perpendicular a la trayectoria y varan de direccin de un instante a otro (Fig. 11). Por su parte, la luz polarizada plana es aquella en la cual las vibraciones ocurren en un solo plano.

Figura 11. Direcciones de vibracin de la luz natural y polarizada.Existen dispositivos especiales, llamados polarizadores, que convierten la luz natural en luz polarizada: la luz que atraviesa un polarizador queda vibrando paralelamente a su plano de vibracin.

Ahora, si se colocase un polarizador en el trayecto de un haz de luz de intensidad IO, la intensidad de la luz que l va a transmitir es igual a IO / 2, ya que ocurre una prdida de la intensidad inicial debido a la absorcin de las vibraciones que no estaban paralelas a la direccin de vibracin del polarizador.

Si a la experiencia anterior le agregamos un nuevo dispositivo de polarizacin, llamado esta vez analizador, la intensidad de la luz transmitida por el analizador va a variar en funcin del ngulo entre su plano de vibracin y el plano de vibracin del polarizador: cuando ambos planos estn paralelos la intensidad luminosa es igual a IO / 2; esta intensidad disminuye gradualmente al aumentar el ngulo , llegando a ser nulo cuando = 90, es decir, cuando los dos planos de polarizacin estn ortogonales entre s.

La intensidad de la luz a la salida del analizador est dada por la Ley de Malus:

IA = IP cos2

(ecuacin 11)

Absorcin de la luz y color de transmisin.Al atravesar un medio transparente, las ondas luminosas disminuyen su intensidad y por ende su amplitud, ya que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud. Esto se debe a que parte de la energa de la onda electromagntica es absorbida, bajo la forma de calor, por los electrones del medio que atraviesa.

La absorcin mencionada depende del medio atravesado: hay medios que presentan una absorcin general de todas las longitudes de onda del espectro de la luz visible y, en tal caso, a la salida del medio transparente se observar luz blanca de menor intensidad que la luz incidente (Fig. 12); otros medios presentan una absorcin selectiva absorbiendo ciertas longitudes de onda, en tanto que otras no son afectadas y, en este caso, la luz transmitida tendr una coloracin correspondiente a la resultante de las longitudes de onda no absorbidas. Por ejemplo, un filtro rojo (o una ampolleta pintada) absorbe preferencialmente la longitudes de onda azules del espectro solar, de manera que la luz transmitida es una luz rojiza (Fig. 12).

La absorcin selectiva puede ser diferente incluso dentro de un mismo cristal, dependiendo en este caso de la orientacin del cristal en relacin a la direccin de vibracin de la luz incidente. Esto obviamente ocurre solamente en ciertos medios anistropos, puesto que en ellos las propiedades varan segn la direccin que se considere. Este fenmeno, que en la prctica se expresa en la variacin de la coloracin de un mineral al variar la direccin de vibracin de la luz incidente, es llamado pleocrosmo y se observa solamente con luz polarizada plana, puesto que de esa manera la luz vibra en una sola direccin.

Figura 12. Absorcin general y selectiva por un medio transparente (Bloss).Por otra parte, este fenmeno de la absorcin selectiva es utilizado en el equipamiento de los microscopios polarizante modernos. En efecto estos microscopios utilizan como fuente de emisin una lmpara de tungsteno, la que genera una luz policromtica en la cual las intensidades de las longitudes de onda "largas", es decir correspondientes al color rojo, son superiores al resto de las longitudes de onda del espectro visible (Fig. 12). Para atenuar esa intensidad superior del color rojo, estos microscopios contienen un filtro azul que absorbe preferencialmente esas longitudes de ondas, de manera que la luz que despus de pasar por el filtro es enviada al polarizador, con una intensidad parecida para todas las longitudes de onda del espectro solar, siendo por ello semejante a la luz solar (por esta razn el filtro azul se denomina "filtro de luz de da"). Este ajuste en las intensidades de las diferentes longitudes de onda mediante filtros, tiene como objetivo el que las observaciones que se efectan con cualquier microscopio usen un mismo espectro de intensidades y por consiguiente que ellas sean similares.

6. Doble refraccin y direccin de vibracin.Todos los cristales anistropos presentan el fenmeno ptico de la doble refraccin, consistente en el desdoblamiento del rayo de luz incidente en dos rayos refractados (birrefringencia). Este fenmeno fue observado y descrito por primera vez por Erasmo Bartholin en 1669, al estudiar cristales de calcita transparente (Espato de Islandia).

Si se enva un haz de luz natural perpendicularmente a una cara de un cristal de calcita transparente y si a la salida del cristal se coloca una pantalla, se observar en ella dos puntos de igual intensidad, que manifiestan el fenmeno de la doble refraccin por el cristal (Fig. 13).

Figura 13. Doble refraccin en un cristal de calcita.Si se gira el cristal, uno de los puntos permanece fijo en tanto que el otro describe una circunferencia concntrica alrededor del punto fijo. Como las caras del cristal por donde pasa la luz son paralelas, es evidente que el punto fijo corresponde a un rayo luminoso que no es desviado al atravesar el cristal, es decir, la trayectoria de este rayo obedece a la Ley de Snell (i=O; r=O). Como la trayectoria de este rayo es la que normalmente debera tener, se le denomina rayo ordinario (). El otro rayo no obedece a la Ley de Snell y por ello se le llama rayo extraordinario ().El rayo extraordinario gira al mismo tiempo que el cristal y por lo tanto este rayo se propaga por una posicin bien determinada dentro del cristal. Esta posicin est contenida en la seccin principal del cristal, es decir en el plano definido por la direccin del rayo incidente, la direccin del rayo ordinario y la direccin del eje c del cristal de calcita (en este caso corresponde al plano de la hoja).

Si se colocase un filtro polarizador en la trayectoria de los rayos a la salida del cristal, se observar que los dos rayos transmitidos estn polarizados y que vibran en direcciones ortogonales entre s: el rayo extraordinario vibra en el plano de la seccin principal y el rayo ordinario vibra en un plano perpendicular.

Puesto que la luz que se propaga dentro del cristal vibra en direcciones perfectamente definidas, esto nos permite concluir que en un mineral anistropo existen direcciones privilegiadas de vibracin, es decir, la luz que se propaga dentro de ellos est obligada de vibrar segn esas direcciones.Recordemos que en un medio istropo las vibraciones ocurren perpendicularmente a su trayectoria, es decir perpendicularmente a su normal de onda. Por otra parte, si la incidencia es perpendicular a la cara plana de un cristal, las vibraciones de los rayos refractados son siempre paralelas a esa cara; por consiguiente, si consideramos la incidencia sobre el cristal de calcita de la figura 13, podemos constatar que en un mineral anistropo las vibraciones del rayo ordinario tambin ocurren perpendicularmente a su trayectoria, en tanto que las del rayo extraordinario ocurren inclinadas en relacin a ella (posteriormente se estudiar ms en detalle la direccin de vibracin de este rayo extraordinario, puesto que ella vara segn la direccin que se considere dentro del cristal).

Finalmente, si la luz incidiese paralelamente al eje c del cristal, se observar un slo punto en vez de dos, expresando con ello que dentro de un medio anistropo existen direcciones de monorrefringencia llamadas ejes pticos. En el caso especfico de la calcita, existe un eje ptico y este est confundido con el eje c del cristal.

II. METODOS DE MEDICION DE LOS INDICES DE REFRACCIONEn un medio istropo, en donde las propiedades son las mismas en todas las direcciones, existe un slo ndice de refraccin. Por su parte en los medios anistropos, donde las propiedades varan segn la direccin que se considere, existe dos o tres ndices de refraccin.

Existen diferentes mtodos que sirven para evaluar los ndices de refraccin de un mineral o de un lquido. A continuacin se describirn los mtodos ms comnmente utilizados en mineraloga ptica, as como tambin aquellos que por los aspectos tericos que implican, hacen fructfero su estudio.

a) Mtodo de la reflexin total.

En este mtodo se utiliza un refractmetro -que es un instrumento que sirve para medir ngulos de refraccin-, que contiene en su interior un hemisferio de vidrio de ndice de refraccin nh elevado y conocido (generalmente entre 1.7 y 1.9), y un lente L que puede girar concntricamente en relacin al centro I del hemisferio (Fig. 14).

Figura 14. Medicin de ndices de refraccin usando mtodo de la reflexin total (A) e incidencia tangente (B).Sobre la parte superior central del hemisferio de vidrio, se coloca el material cuyo ndice de refraccin desea determinarse, sea ste un lquido o la cara pulida de un cristal. Se debe poner atencin en que el ndice de refraccin de este medio (nmineral) sea inferior al ndice de refraccin nh del hemisferio.

Si se enva luz monocromtica sobre la parte inferior del hemisferio de vidrio (Fig. 14 A), los rayos de luz incidente normales a los bordes del hemisferio, van a continuar su trayectoria sin desviarse, llegando al punto I. En este punto y segn el ngulo de incidencia de los diferentes rayos, algunos sern refractados y reflejados simultneamente (rayos 1 a 4), en tanto que aquellos cuyo ngulo de incidencia es igual o superior al ngulo crtico de reflexin total (ic), van a ser totalmente reflejados (rayos 5 y 6).

Recordemos que habr reflexin total si i ic y que en este caso: sen ic = n2 / n1. En el refractmetro n1 = nh , ic se mide con el lente mvil y n2, es decir nmineral, se extrae de la frmula anterior.

Para medir el ic, se mueve el lente hasta que se observe en el ocular un lmite neto entre un campo dbilmente aclarado (zona de los rayos que son refractados y reflejados simultneamente) y un campo fuertemente aclarado (zona de los rayos que sufren la reflexin total). El ngulo entre esta posicin y la normal a la cara plana del hemisferio, es el ngulo crtico de reflexin que se desea determinar.

Ahora, como la posicin del rayo reflejado correspondiente al rayo incidente de ngulo de incidencia ic, posee una direccin totalmente definida dentro del cristal (contenido en el plano de incidencia y paralelo a la interfase hemisferio-cristal), este mtodo es muy til en la determinacin de los ndices de refraccin de un mineral anistropo. En este caso, los ndices medidos correspondern a una direccin especfica dentro del cristal: aquella paralela al eje mayor del hemisferio.

En un mineral anistropo generalmente son reflejados dos rayos que vibran perpendicularmente entre s, por lo cual se observarn con el lente mvil dos zonas oscurecidas-iluminadas. Este lente est equipado de un filtro polarizante, de tal manera que girndolo se puede observar sucesivamente cada uno de los dos rayos; en cada caso un ndice de refraccin es medido.

b) Mtodo de la incidencia tangente.

En este caso la luz penetra lateralmente en el mineral (Fig. 14 B) y es refractada o reflejada posteriormente por el hemisferio de vidrio; en la prctica los rayos siguen un trayecto inverso al del mtodo anterior. En este caso el contraste entre los dos campos estar ms acentuado y esta vez la mitad superior del ocular estar ensombrecida, en tanto que la mitad inferior estar aclarada.

c) Mtodo de la desviacin mnima (mtodo del prisma)

En este mtodo se utiliza un refractmetro y un pequeo prisma del medio cuyo ndice de refraccin desea determinarse.

Para determinar el ndice del prisma, ste se coloca dentro del refractmetro (ej. refractmetro de Babinet) y a travs del colimador se le enva un haz de luz monocromtica (Fig. 15). Al incidir sobre el prisma, los rayos son desviados y se acercan a la normal de incidencia puesto que el ndice de refraccin del prisma es superior al ndice de refraccin del aire; a la salida del prisma los rayos tambin son desviados, pero esta vez se alejan de la normal de incidencia.

D

Figura 15. Medicin de ndices de refraccin usando mtodo de la desviacin mnima, mostrando la trayectoria de los rayos dentro del prima.El ngulo formado por la direccin de incidencia de la luz sobre el prisma y la direccin de su salida de l, es llamado ngulo de desviacin (D) y se mide colocando alternativamente el lente en esas dos direcciones.

Observando la figura, se puede constatar que este ngulo es igual a:

D = (i - r ) + (i'- r')

= (i + i') - (r + r')

Por otra parte, el ngulo (r + r') es idntico al ngulo formado por las normales a las caras del prisma, el que por construccin es a su vez igual al ngulo entre las caras del prisma (A).

De tal manera, la ecuacin anterior puede rescribirse como sigue:

D = (i + i') - A

En donde A puede medirse desplazando sucesivamente el lente entre las direcciones de reflexin de las dos caras del prisma, puesto que por construccin A es igual al ngulo formado por las reflexiones.

Ahora bien, este ngulo de desviacin D vara en funcin del ngulo de incidencia i y pasa por un valor mnimo cuando i = i', es decir cuando la direccin de propagacin de los rayos dentro del prisma es perpendicular a la bisectriz del ngulo A. En esas condiciones i = i', r = r' y por consiguiente D = 2i -A.

S D es mnimo, el ndice de refraccin del prisma es dado por la Ley de Snell:

np = sen i / sen r

np = sen D+A / sen A

2 2

Por lo tanto cual para obtener el ndice de refraccin del prisma, solo se debe efectuar las medidas de los ngulos D y A, determinndose as np con una alta precisin (hasta la octava decimal).

d) Mtodo del duque del Chaulnes - espesor aparente de un cristal.

Este mtodo utiliza el espesor aparente de un cristal para la determinacin de su ndice de refraccin. El espesor aparente es el espesor que se evala cuando se mira a travs del mineral (Fig. 16) y ocurre porque los rayos que salen del cristal son refractados por un medio menos denso, alejndose de la normal y originando una imagen virtual diferente a la imagen real.

Figura 16. Medicin de ndices de refraccin usando mtodo del duque de Chaulnes, mostrando la trayectoria de los rayos dentro del cristal (Bloss).La medida del ndice de refraccin se efecta como sigue:

1 se enfoca la parte superior del mineral y se lee la graduacin del tornillo micromtrico.

2se enfoca el porta objeto a travs del cristal y se mide el espesor aparente del mineral (Ea).

3se enfoca el porta objeto y se mide con el tornillo el espesor real del mineral (Er).

4 el ndice de refraccin del cristal est dado por la relacin:

n = Er / Ea

La ecuacin anterior se demuestra como sigue:

-n = sen i / sen r y, segn la figura, i = u y r = d

-Para ngulos pequeos sen u / sen d = tg u / tg d

En la figura sen u = Ox / p'x y cos u = Op' / p'x,

por consiguiente tg u = Ox / Op' = Ox / Ea

-de la misma manera tg d = Ox / Op = Ox / Er

-tg u / tg d = Er / Ea

e) Mtodo de la lnea de Becke

Este es un mtodo de inmersin, es decir un mtodo consistente en la comparacin del ndice de refraccin de un cristal con el ndice de refraccin conocido de un lquido (o de un mineral).

En el uso del microscopio polarizante, se determina si el ndice del mineral es superior o inferior al blsamo de Canad, que es el pegamento que adhiere el corte de la roca al porta objeto, y cuyo ndice de refraccin es 1,539 (en la prctica se considera que este ndice es igual a 1,54 puesto que la sensibilidad del mtodo es 0.002).

Al aumentar la distancia entre el corte y el objetivo, una franja luminosa -la lnea de Becke- se desplaza hacia el medio con ndice de refraccin superior. Inversamente, si se disminuye la distancia, la lnea de Becke se desplaza hacia el medio menos refringente.

Si consideramos dos medios en contacto con ndices de refraccin n y N respectivamente (N > n), siempre se podr encontrar contactos entre ambos como los observados en la Fig. 17 a y 17 b.

En el primer caso, si se enva un haz de luz sobre el corte transparente, los rayos luminosos adyacentes al contacto entre los dos medios siguen su trayectoria sin desviarse, mientras que los rayos centrales son refractados tanto al pasar al medio N como al pasar al aire. Puesto que estos rayos al pasar de n a N pasan a un medio ms refringente, ellos se acercan a la normal de incidencia; inversamente, al pasar de N al aire, ellos se alejan de la normal. Estas dos refracciones tienen como efecto final que estos rayos vienen a aumentar la luminosidad arriba del mineral ms refringente. Puesto que al aumentar la distancia entre el objetivo y el corte la distancia de focalizacin se mantiene constante, los rayos que se observarn focalizados estarn esta vez desplazados en relacin a la primera posicin, de tal manera que al hacer este movimiento la lnea brillante se desplazar hacia el medio N.

Figura 17. Lnea de Becke.

Si repitisemos la experiencia, pero est vez considerando el caso de la Fig. 17 b, los rayos centrales al entrar al medio n se alejan de la normal, produciendo como en el caso anterior la lnea de Becke sobre N. Sin embargo si el contacto entre los dos medios es ms pronunciado, se puede llegar al caso en que algunos rayos incidentes llegarn al medio n con un ngulo de incidencia superior a ic, por lo que ellos sufrirn una reflexin total que originar otra lnea, la falsa lnea de Becke, que se desplazar en sentido inverso a la lnea de Becke. En estos casos, puesto que no se sabe cul es la verdadera lnea de Becke, se recomienda buscar otra seccin.

Tal como fue descrito, el mtodo de la lnea de Becke es un mtodo simple, rpido y cualitativo, ya que determina si el ndice del mineral es superior o inferior al ndice de refraccin conocido, pero no indica cun inferior o superior es.

Este mtodo puede transformarse en un mtodo cuantitativo cuando por ejemplo se utilizan granos sueltos del mineral cuyo ndice de refraccin se desea conocer y se sumergen en lquidos con ndices de refraccin diferentes y conocidos. De esta manera, por aproximaciones sucesivas, se puede llegar a encontrar un lquido cuyo ndice de refraccin sea igual al del mineral.

RELIEVE.

Como fue sealado, la lnea de Becke no determina cun diferente es el ndice de la refraccin de un medio en relacin a otro. Esto puede sin embargo estimarse de una manera rpida al considerar el relieve, es decir la profundidad de las sombras a lo largo de los bordes de un grano o, lo que es lo mismo, la apariencia de resaltar del grano en relacin al medio que lo rodea (sea este otro mineral o un lquido).

Si los ndices de lquido y del mineral son similares, el grano presentar poco o nada de relieve; si estos ndices son muy diferentes, el relieve ser elevado. Esto ocurre puesto que mientras ms diferente es el ndice de refraccin del segundo medio en relacin al primero, mayor (o menor) son los ngulos de refraccin, lo que provoca la formacin de sombras y de luminosidades que en su conjunto dan la impresin de mayor relieve.

Figura 18. Visualizacin del relieve de un mineral de ndice similar al pegamento (A) y muy diferente de este (B).Un relieve elevado indica entonces una gran diferencia entre los ndices de refraccin de los medios en contacto, pero ello no indica si el ndice del mineral es superior o inferior al del lquido que lo rodea.

La combinacin entonces de la lnea de Becke y del relieve sirve para formarse rpidamente una idea del ndice de refaccin de un mineral.

En el trabajo con el microscopio polarizante, se ha establecido una escala de relieve en relacin al blsamo de Canad (ver tabla 1), llamndose relieve positivo aquel cuyo ndice de refraccin es superior al del blsamo y negativo al que es inferior.

Tabla N2: Escala de relieve

RELIEVE

MINERAL

INDICES

moderadamente negativo (-m)

fluorita

n = 1.434

dbilmente negativo (-l)

leucita

n = 1.508-1.511

neutro (n)

cuarzo

= 1.544 = 1.553

dbilmente positivo (+l)

labradorita = 1.560

= 1.564

= 1.568

moderadamente positivo (+m)

apatito

= 1.667 = 1.624

fuertemente positivo (+h)

augita

= 1.662

= 1.670

= 1.688

muy fuertemente positivo (vh)

zircn

= 1.923 = 1.968

extremamente positivo (e)

rutilo

= 2.605 = 2.899

III. MODOS DE GENERACIN DE LUZ POLARIZADASe puede obtener luz polarizada de distintas maneras:

a) por reflexin sobre una superficie pulida.

b) por medio de prismas de calcita (NICOL) [doble refraccin].

c) por absorcin con cristales de turmalina o herapatita (polaroide).

A. Polarizacin por reflexin:

Este fenmeno fue descubierto por MALUS en 1810 y fue interpretado por Brewster en 1815. Cuando un haz de luz es reflejado por una superficie pulida (por ejemplo una ventana, espejo, mesa, camino, etc.), estos rayos reflejados estn parcialmente polarizados (esto explica por ejemplo que para no ser encandilado, un automovilista utiliza lentes con polarizadores que anulan esos rayos polarizados). Esta polarizacin por reflexin alcanza su mximo de intensidad cuando la direccin del rayo reflejado es perpendicular a la direccin del rayo refractado, que tambin est polarizado (Fig. 19).

Figura 19. Polarizacin por reflexin.En esas condiciones el medio tiene un ndice de refraccin que se expresa por:

n = sen i = sen i = tg i

Ley de Brewster

sen r cos i

NOTA: sen r = cos i ya que r es el ngulo complementario de i (i + r = 90)

El plano de polarizacin del rayo reflejado, es decir el plano en el cual se efectan sus vibraciones, es perpendicular al plano de incidencia, en tanto que la polarizacin del rayo refractado se realiza en el plano de incidencia.

El rendimiento de esta operacin es muy bajo: la intensidad del rayo polarizado reflejado corresponde solamente a alrededor del 7% de la intensidad del rayo incidente.

B. Polarizacin por refraccin (prisma de NICOL):Este mtodo, imaginado por William Nicol en 1828, consiste en la eliminacin, por reflexin total, de uno de los 2 rayos polarizados que transmite el cristal anistropo (fig. 20). Para este efecto Nicol usa un prisma de calcita ya que este mineral posee 2 ndices de refraccin muy distintos ( = 1.486 y = 1.658).

Figura 20. Prisma de nicol.Es justamente esa gran diferencia de ndices que es responsable de que se pueda observar el desdoblamiento de un punto a simple vista, cuando se observa a travs de un Espato de Islandia. Minerales con menor diferencias de ndices, necesitan un espesor mucho ms grande para observar ese fenmeno.

Para construir un polarizador de este tipo, llamado prisma de Nicol, se corta un cristal en 2 pedazos y se les vuelve a pegar con blsamo de Canad (fig. 20). Previamente se calcula el ngulo de corte de manera tal que esa superficie provoque la reflexin total del rayo ordinario .

Para que haya reflexin total sobre esa superficie, el ngulo de incidencia del rayo ordinario debe ser superior o igual a:

sen ic = n2 = 1.540 = 0.92883 6815sen 90 n1 1.658

Por lo tanto, para que haya reflexin total, se debe cortar el cristal de tal manera que el rayo ordinario incida sobre la superficie de corte con un ngulo > 6815. Esto se hace de la siguiente manera (v. Fig. 20): se elige un cristal de calcita alargado en un sentido (3 veces ms largo que ancho; direccin AB'). En esas condiciones, el ngulo de esta cara con la cara ABCD es igual a 7052' (valor especfico de la calcita). Se pulen entonces las caras AB y A'B' de tal manera que ese ngulo sea vecino a 68. Se corta enseguida el prisma siguiendo una lnea perpendicular a estas caras pulidas. El corte ser entonces paralelo a la normal de incidencia a la entrada del cristal en tanto que las caras pulidas externas del prisma sern paralelas a la normal de incidencia a la superficie que separa los medios blsamo-cristal.

De la manera anterior se puede estar seguro que un rayo luminoso incidente, dirigido paralelamente al alargamiento del cristal, llegar a la superficie de corte con un ngulo i de incidencia superior al ngulo 6815' y por lo tanto sufrir una reflexin total al entrar en contacto con el blsamo de Canad: Ello ocurrir puesto que:

aBa y BIR son ngulos opuestos por un vrtice e iguales a 68 i = 22; por su parte r es determinado a partir de la ley de Snell (sen r = sen 22/ 1.658 r = 13) y, como la normal de incidencia es paralela a la superficie de corte, ese rayo al incidir al blsamo tiene un i = 77, es decir netamente superior a 68.

Por su parte, el rayo posee un ndice de refraccin inferior al del blsamo (en esta posicin particular es alrededor de 1,516) y por lo tanto seguir su trayecto, ligeramente desviado, pero sin sufrir la reflexin total. Cabe notar que al entrar en el segundo prisma, este rayo polarizado no se desdobla, ya que su direccin de vibracin coincide con la direccin de vibracin del segundo pedazo de cristal y por lo tanto sigue su trayectoria vibrando en la misma direccin que tena (en la seccin principal). Por consiguiente, la luz que sale del prisma est compuesta exclusivamente de rayos que vibran en un mismo plano, obtenindose as luz polarizada plana.

Antes de la segunda guerra mundial, los dispositivos polarizadores eran estos prisma de Nicol, de tal manera que la palabra Nicol se transform en sinnimo de polarizador. Sin embargo, actualmente estos prismas de Nicol se reemplazaron por los filtros polaroides.

C) Polarizacin por absorcin (filtros polaroides):Todos los minerales anistropos transmiten, al igual que la calcita, dos ondas de luz polarizada que vibran ortogonales entre si. En el caso de los minerales con color, las ondas que atraviesan el cristal pueden ser absorbidas de manera muy desigual segn la trayectoria que tome la luz al atravesarlos. Se habla entonces de minerales pleocroicos, como por ejemplo la turmalina.

Si se corta dos cristales de turmalina paralelamente al eje c del cristal y si se enva un haz de luz perpendicularmente a uno de ellos, se constata que la luz est obligada a vibrar segn 2 direcciones ( y ). La vibracin lenta, es decir aquella que corresponde al ndice de refraccin mayor y que vibra perpendicularmente al eje c del cristal, es absorbida de manera casi completa, en tanto que la vibracin rpida, es decir aquella que corresponde al ndice de refraccin menor y que vibra paralelamente al eje c del cristal, no sufre ninguna absorcin. De esta manera, los nicos rayos que atraviesan el cristal son los que estn vibrando en la direccin del eje c, obtenindose de este modo luz polarizada plana. Que pasara si al cristal A se le coloca un cristal B cuyo eje C sea perpendicular al primero?

Desgraciadamente, la luz polarizada transmitida por una lmina de turmalina es fuertemente coloreada, lo que molesta la observacin de los fenmenos de polarizacin y de interferencia. Las investigaciones se orientaron entonces a ver como se poda suprimir esa coloracin.

En 1852, William Bird Herapath descubri unos cristales delgados fuertemente absorbentes: el sulfato de yodo quinina. Este material pleocroico fuertemente absorbente fue llamado herapatita. Posteriormente Edwin Land fabric polarizadores a partir de pequeos cristales pleocroicos de herapatita, incorporados en hojas de materia plstica o celuloide. Estos cristales son orientados con un campo elctrico durante la preparacin, de tal manera que con un espesor de 100 se puede absorber completamente una vibracin, en tanto que la otra es transmitida sin absorcin sensible y sin coloracin. Estos son los filtros polaroides que equipan los microscopios actuales.

IV. SUPERFICIES E INDICATRICES OPTICAS: MINERALES ISTROPOS Y UNIAXIALES.Introduccin

En un cristal anistropo las propiedades pticas varan segn la direccin de propagacin de la luz en el cristal. Ahora, justamente, son las variaciones de las propiedades pticas segn la orientacin de los cristales ante un haz de rayos luminosos, las que nos interesa visualizar para tener una mejor comprensin de los fenmenos observados con el microscopio polarizante. En ese sentido, para facilitar esa comprensin se han construido una serie de superficies que veremos a continuacin, entre las cuales cabe destacar la indicatriz ptica, que es una superficie a partir de la cual se pueden deducir todos los fenmenos luminosos que pueden ocurrir en un cristal.

INDICATRIZ ISOTROPA

En los medios istropos el ndice de refraccin no vara segn la direccin de propagacin de la luz. En consecuencia, la indicatriz istropa es una esfera perfecta, con un radio igual al ndice de refraccin. Puesto que n=f(l), la dimensin de este radio vara de acuerdo con la longitud de onda de la luz monocromtica utilizada para medir los ndices de refraccin. Por tanto, las indicatrices de un mineral difieren ligeramente de radio en funcin de la longitud de onda de la luz monocromtica utilizada. Por ejemplo un cristal de halita (NaCl) tiene los siguientes ndices y por consiguiente los siguientes respectivos radios de la indicatriz:

nc = 1.541 (rojo)

nd = 1.544 (amarillo)

nf = 1.553 (azul)

en donde c, d y f son los smbolos de Fraunhfer.

Para saber como se comporta la luz dentro de un cristal, se coloca imaginariamente la indicatriz dentro del cristal y se la corta perpendicularmente al rayo incidente. La superficie de corte en la indicatriz define un crculo cuyo radio corresponde a la direccin de vibracin y es adems proporcional al ndice de refraccin del cristal.

Puesto que por definicin en un cristal istropo no hay direccin privilegiada de vibracin, la luz que entra en el cristal sigue vibrando en la misma direccin que lo hacia antes de entrar en el cristal. De tal manera que si la luz no est polarizada (Fig. 21) permanece sin polarizar al atravesar el cristal. Si la luz incidente est polarizada, ella conserva el mismo plano de polarizacin que tena anteriormente, de tal manera que si se observase con el microscopio polarizante y en nicoles cruzados (Fig. 21), el mineral aparecer siempre extinto (negro). Esto es debido a que al atravesar el cristal la luz sigue vibrando paralelamente al polarizador, y por ello es parada por el analizador (ley de Malus). Esta extincin permanece constante si se gira la platina, ya que siempre la luz vibrar paralela al polarizador. Obviamente, no se observar esta extincin si los nicoles no estn ortogonales entre s, pero en este caso la intensidad de la luz observada ser constante al girar la platina (IA = Ip cos2y en este caso es constante).

Figura 21. Indicatriz istropa.SUPERFICIES ANISOTROPAS

Los minerales anistropos se dividen en minerales uniaxiales (1 eje ptico) y biaxiales (2 ejes pticos). A la primera categora pertenecen los minerales de alta simetra (hexagonal A6, hexagonal rombodrico y tetragonal), en tanto que a la segunda categora pertenecen los minerales de baja simetra (ortorrmbico, monoclnico y triclnico).

SUPERFICIE DE LOS INDICES DE UN MINERAL UNIAXIAL.

La variacin de los ndices de refraccin de un cristal se puede representar por una superficie, la superficie de los ndices, cuyos radios son proporcionales a los ndices de refraccin en la direccin de esos radios. Para construir entonces esta superficie es necesario medir los ndices de refraccin.

Medida de los ndices de refraccin de un mineral uniaxialUno de los mtodos utilizados para medir los ndices de refraccin de un mineral uniaxial, es aquel basado en la reflexin total (v. Fig. 22). Recordemos que el rayo incidente cuyo ngulo de incidencia es igual al ngulo crtico, no va a penetrar en el cristal sino va a desplazarse en el plano de incidencia paralelamente a la interfase hemisferio-cristal. De tal manera que los ndices medidos correspondern a esa direccin particular (paralela al eje mayor del hemisferio). En tales circunstancias, el ndice de refraccin es dado por n2 = n1 sen ic , en donde n1 es el ndice de refraccin del hemisferio e ic el ngulo crtico de reflexin total. El ngulo crtico de reflexin puede ser medido desplazando el ocular mvil, hasta ver en l una zona oscurecida y una zona iluminada.

Figura 22. Mtodo de la reflexin total en un cristal uniaxial.

En un mineral uniaxial generalmente son reflejados dos rayos: el rayo ordinario y el rayo extraordinario, de tal manera que, con el ocular mvil, se observarn dos zonas oscurecidas-iluminadas. El ocular mvil est equipado de un filtro polarizante que puede girarse para observar sucesivamente cada uno de los dos rayos. En cada uno de esos casos un ndice de refraccin es medido.

Consideremos un cristal hexagonal uniaxial positivo cuyos ndices queremos determinar. Si cortamos una seccin del cristal paralela a su eje c y la colocamos sobre el hemisferio de manera que este est en la misma direccin que el eje mayor del hemisferio, un solo ndice ser medido puesto que esta es una direccin de monorrefrigencia o eje ptico. Si hacemos girar el cristal en relacin a un eje que est confundido con la normal de incidencia, dos ndices sern medidos ( y '). Si giramos ms an el cristal, igualmente obtendremos dos ndices ( y '') pero '' ser mayor que '. Si volvemos a girar el cristal, el ndice extraordinario seguir creciendo hasta llegar a un valor mximo cuando el eje mayor del hemisferio est perpendicular al eje c del mineral, es decir cuando se haya girado el cristal de 90 en relacin a su posicin inicial (Fig. 23B).

Figura 23. Indices de refraccin de un mineral uniaxial en funcin de los grados de rotacin y orientacin del cristal.

Si consideramos ahora secciones del cristal cuyas direcciones de corte respectivas hagan un ngulo de 20, 55 y 90 grados con el eje ptico, y si repetimos la operacin anterior, mediremos siempre dos ndices de refraccin ( que permanece constante y que vara al girar el cristal), pero, a medida que el ngulo de corte sea mayor al girar el cristal sobre el hemisferio, el ndice extraordinario medido tendr un valor menos variable y ms prximo al valor mximo de (comparar los planos 2 y 3 de la Fig. 23C). Cuando la seccin considerada est cortada perpendicularmente al eje ptico del mineral, de tal manera que los rayos se propagan perpendicular a l, el ndice extraordinario medido tendr su valor mximo y ste permanecer constante al girar el cristal sobre el hemisferio (v. Fig. 23D).

Podemos concluir entonces que efectivamente el eje ptico es una direccin de monorrefrigerancia y que por tanto si la luz se propaga paralela al eje c la birrefringencia es nula. Por otra parte, si la luz se propaga perpendicularmente al eje c, se observar la mayor diferencia entre los ndices y y en esas direcciones habr birrefringencia mxima.

Ahora, si se integran todas las observaciones ya hechas con el fin de construir una superficie cuyos radios sean proporcionales a los ndices de refraccin medidos, tenemos que:

-Los ndices de refraccin ordinarios son idnticos en todas las direcciones posibles y por consiguiente la superficie que expresar esa igualdad en un plano ser un crculo y en el espacio ser una esfera.

-Por su parte, los ndices de refraccin extraordinarios tienen un mismo valor para las distintas direcciones posibles en el plano perpendicular al eje ptico y, por consiguiente, la superficie que expresar esa igualdad en ese plano ser un crculo. En los planos que contienen el eje ptico, la superficie ser una elipse con radios iguales a yn planos oblicuos al eje ptico, el ndice extraordinario vara entre un valor mximo ( y un valor inferior ('; en estos planos, la superficie que expresar la variacin del ndice de refraccin extraordinario ser tambin una elipse. Integrando las observaciones efectuadas, la superficie que expresar en el espacio la variacin del ndice de refraccin extraordinario es, por consiguiente, un elipsoide de revolucin, el cual es un slido engendrado por la revolucin de un elipse alrededor de un dimetro principal que es el eje de revolucin y que en este caso es el eje ptico.

Teniendo en cuenta las formas de las superficies de los ndices y , se llega a la conclusin que la superficie de los ndices de un mineral uniaxial es una superficie doble que contiene una esfera para los ndices ordinarios, de radio igual al ndice de refraccin ordinario, y un elipsoide de revolucin para los ndices extraordinarios, con semi-ejes iguales a y (Fig. 24). Ambas superficies son tangentes en el eje c, expresando con ello que esa es una direccin de monorrefringencia. Por otra parte, las dos superficies estn ms separadas en la direccin perpendicular al eje ptico, expresando con ello que esas direcciones son de birrefringencia mxima.

Figura 24. Superficie de los ndices y de la velocidad de los rayos de un mineral uniaxial.

Finalmente, ntese que el eje de revolucin coincide con el eje de mayor simetra del cristal (el cual coincide con el eje ptico), y por ello la posicin del superficie de los ndices est perfectamente definida dentro del cristal (existe una y una sola manera de ubicarla dentro del cristal).

SUPERFICIE DE LA VELOCIDAD DE LOS RAYOSLa superficie de los ndices que acabamos de ver, en realidad no es muy utilizada por la dificultad de su uso. Sin embargo, a partir de este slido se puede construir la superficie inversa, llamada superficie de las velocidades de los rayos (Fig. 24), al pasar de los ndices a las velocidades usando las siguientes relaciones:

1 = V 1 = V Un mineral uniaxial puede ser negativo ( > ) o positivo ( < ). En el primer caso v < v, es decir v es la vibracin lenta y v la vibracin rpida, en tanto que en el segundo caso ocurre lo inverso.

Esta superficie de los rayos es una figura geomtrica doble en la cual los radios de ella son proporcionales a la velocidad de los rayos que se propagan por esos radios. En ella, la superficie de las velocidades de los rayos extraordinarios es un elipsoide de revolucin en tanto que la superficie de las velocidades de los rayos ordinarios es una esfera, que es tangente a la superficie de los rayos extraordinarios en los puntos de emergencia del eje de revolucin (Fig. 24). Esto ltimo expresa el hecho de que los rayos que se propagan a lo largo del eje de revolucin, o eje ptico, poseen todos la misma velocidad.

La superficie de las velocidades de los rayos es tambin un cuerpo doble y por lo tanto su uso es dificultoso. Sin embargo, este slido nos permite trazar la trayectoria de los rayos luminosos en el cristal gracias a la construccin de Huygens.

Modo de uso del superficie de la velocidad de los rayosSe corta un plano perpendicular a la normal de incidencia que pase por el centro de la superficie. La superficie de corte comprende un crculo de radio v y una elipse v. Se prolonga en el dibujo la normal de incidencia y se construyen los frentes de onda (Fig. 25). Perpendicularmente a estos frentes de onda, se encuentran las normales de onda.

Trayectoria del Rayo OrdinarioEl rayo ordinario obedece a la Ley de Snell. Se puede usar entonces la construccin de Huygens para determinar la direccin de este rayo refractado: el rayo ordinario, al igual que en las substancias istropas, ser perpendicular al frente de onda. El rayo ordinario coincide entonces con la normal de onda (v p, 7).

Trayectoria del Rayo Extraordinario

A diferencia del rayo ordinario, la velocidad del rayo extraordinario vara segn la direccin de propagacin dentro del cristal. En el caso de la calcita, el ndice de refraccin extraordinario vara entre 1.486 (valor mnimo perpendicular al eje ptico) y 1.658 (valor mximo paralelo al eje ptico); las velocidades varan entre 0.673 y 0.603. Esta ltima velocidad es aquella del rayo en la direccin del eje ptico y ella es igual a la velocidad del rayo , es decir corresponde a la direccin de monorrefringencia.

Figura 25. Construccin de Huygens para el rayo extraordinario.Hagamos la construccin de Huygens para el rayo extraordinario (Fig. 25). Se dibuja la tangente al crculo de radio V que sea perpendicular al rayo incidente, definiendo el punto B en la superficie que separa los 2 medios refringentes. Se traza enseguida el frente de onda en el medio a partir de B y que sea tangente a la elipse (lnea BB). Se define el punto R. La lnea OR representa el rayo refractado extraordinario. En el dibujo podemos constatar lo siguiente:

1El rayo refractado extraordinario NO es perpendicular al frente de onda y por tanto NO obedece a la Ley de Snell.

2OK es perpendicular al frente de onda , es decir OK es la normal de onda y es esa direccin particular que se aplica la Ley de Snell N= sen i

sen r

Por consiguiente la Ley de Snell no puede predecir la trayectoria del rayo extraordinario, pero sin embargo, ella puede servir para determinar la direccin de la normal al frente de onda que le est asociado.

3OK, velocidad normal, no se puede determinar directamente con la superficie de la velocidad de los rayos extraordinarios (cae fuera).

4En el rayo extraordinario, a diferencia del rayo ordinario, el rayo y la normal de onda no estn confundidos.

Nota: . La normal al frente de onda, o normal de onda, coincide con el rayo refractado extraordinario solamente en las direcciones de los ejes principales del elipsoide.

. La vibracin del rayo se efecta perpendicular a la normal de onda y no a la trayectoria del rayo , salvo en las direcciones de los ejes principales.

EJERCICIO

Verificar que el rayo extraordinario no sufre la reflexin total en un prisma de nicol al entrar en contacto con el blsamo de Canad (v. Fig.).

1) Trace los rayos refractados y y determine los ngulos de refraccin respectivos.

El ngulo de incidencia vale 22 a la normal y unos 65 al eje ptico; se busca esa direccin en la superficie de la velocidad de los rayos. Se corta un plano perpendicular a la normal de incidencia que pase por el centro de esta superficie. Se copian enseguida el crculo v y la elipse v dentro del cristal. Se traza enseguida el crculo correspondiente a la velocidad de la luz en el aire v = 1 (a la escala 1 cm = 0.2 v). Posteriormente, se traza la tangente a este crculo que sea perpendicular a la propagacin del rayo incidente R, definiendo el punto x en la interfase. De ese punto x se traza la tangente al crculo y a la elipse. Ello define, respectivamente, un punto en el crculo y otro punto en la elipse. Esos puntos se unen con el punto de incidencia I, lo que define una recta que corresponde al rayo refractado ordinario y extraordinario, respectivamente. Habiendo trazado los rayos ordinarios y extraordinarios, los ngulos de refraccin se miden directamente sobre el dibujo (v. Fig.).

= 13 y = 19

2) Cul es el ndice de refraccin extraordinario de esa seccin, considerando la velocidad de propagacin de la onda extraordinaria?

. La velocidad se mide en el dibujo (0.664) y el ndice de refraccin es igual a su inverso.

n= 1 ' = 1 = 1.506

v

0.664

3) Justifique por qu el rayo no ser totalmente reflejado al entrar en contacto con el blsamo.

El valor de ' recin calculado es inferior al ndice del blsamo de Canad (n = 1.54) y por consiguiente no sufrir una reflexin total al entrar en contacto con el blsamo.

4) Calcule el valor del ngulo de refraccin a partir del valor de ' calculado (ley de Snell) y concluya al respecto.

= sen i sen r = sen i = sen 22 r = 14.4

sen r 1.506

Este valor es diferente al medido en el dibujo. Por consiguiente el rayo extraordinario no obedece a la Ley de Snell. Cabe sealar eso si que el valor obtenido corresponde a la normal de onda extraordinaria.

LA INDICATRIZ UNIAXIAL

Como hemos visto, la velocidad del rayo extraordinario (OR en fig. 25) se determina gracias a la superficie de la velocidad de los rayos, en tanto que la velocidad normal al frente de onda extraordinario (OK en fig. 25) no se puede determinar directamente a partir de ese cuerpo, puesto que cae afuera de ella.

Ahora, justamente, en ptica cristalina se trabaja con ondas y por lo tanto el conocimiento de las velocidades normales al frente de onda son de gran utilidad.

Por la complejidad del uso de las superficies dobles que hemos visto, se busc la manera de reemplazar esas superficies por una ms simple, y que permitiera deducir a partir de ella todos los fenmenos luminosos que se pueden producir en los cristales. Esta superficie, que en algunos libros de ptica cristalina admiten a priori su existencia, es un elipsoide de revolucin, parecido a aquel de la superficie de la velocidad de los rayos extraordinarios, y que es llamado elipsoide inverso de Fresnel, elipsoide de los ndices o simplemente indicatriz.Esta superficie convencional puede ser construida gracias a una propiedad especial de las elipses relativa a los dimetros conjugados. Un dimetro o radio conjugado de una direccin se construye de la siguiente manera: si una serie de rectas paralelas de direccin cortan a una elipse (Fig. 26), en general, ellas lo hacen cortando a la elipse en 2 puntos M y M. El punto N es la mitad del segmento MM.

A partir de los puntos N de los distintos segmentos paralelos, se construye una recta DD que pasa por el centro de la elipse. Esta recta es el dimetro conjugado a la direccin (ntese que esa es la nica direccin conjugada posible a ). Como se puede apreciar en la figura, el dimetro DD' es el conjugado a las tangentes de direccin que pasan por los bordes de la elipse. Por lo tanto, el radio conjugado de se construye trazando una paralela a esa direccin que sea tangente a la elipse. Se define as el punto D y uniendo este punto con el centro se construye OD, radio conjugado de .

Figura 26. Propiedad de los dimetros conjugados de las elipses.Consideremos ahora dos radios conjugados r y r' (Fig. 26B). Estos radios y las tangentes a la elipse en las extremidades de estos radios, determinan un paralelogramo OMTM' cuya rea es constante cualquiera sea el valor de ' (ngulo entre r y el dimetro principal de la elipse). Ahora, como los semi-ejes a y b de la elipse son radios conjugados entre s y perpendiculares entre ellos, se puede escribir la igualdad:

r x h = a x b = constante

en donde h designa la altura del paralelogramo OMTM', es decir op, ya que op es perpendicular al radio r (recordar que el rea de un paralelogramo = base x altura).

Esta propiedad de los radios conjugados nos va a permitir visualizar la variacin de los ndices de refraccin conjuntamente con las direcciones de vibracin, al pasar de la superficie de la velocidad de los rayos a la indicatriz.CONSTRUCCION DE LA INDICATRIZ

Consideremos una seccin de la superficie de la velocidad de los rayos paralela al eje de mayor simetra de la calcita (A3) (Fig. 27 ), es decir una seccin principal, y la trayectoria en ella de los rayos ordinarios y extraordinarios.

Figura 27. Superficie de la velocidad de los rayos de una seccin principal.En esa figura, Or representa la direccin de propagacin de un rayo extraordinario cuya velocidad es justamente Or, y a la cual corresponde la onda plana extraordinaria Vr, tangente al elipsoide en rSabemos que la vibracin del rayo extraordinario est contenida en el plano de la seccin principal (plano del dibujo) y que vibra ortogonalmente a la normal de onda Of, es decir vibra paralelamente al frente de onda Vr. Of representa entonces la normal de onda extraordinaria que se propaga a una velocidad Vn.

Construyamos ahora el radio conjugado del rayo Or, lo que se hace trazando una paralela a Or tangente a la elipse. Se define as el punto R que unido con el punto central define la recta OR , que es el radio conjugado de Or. Este segmento OR es perpendicular a Of puesto que OR es paralela al frente de onda VrPodemos escribir entonces:

Of x OR = OA x OC = k

OR = k = k = K '

Of vNPodemos constatar entonces que el rayo OR - que es el radio conjugado de Or - es proporcional al inverso de la velocidad de la normal de onda extraordinaria, es decir, es proporcional al ndice de refraccin de la onda extraordinaria '. Notemos adems que OR es perpendicular a la direccin de la normal de la onda extraordinaria, es decir, la direccin de OR corresponde a la direccin de vibracin de la onda extraordinaria.

Examinemos ahora el caso de la onda ordinaria: siguiendo la misma direccin Of (normal de onda extraordinaria), se propaga tambin un rayo ordinario con una velocidad Or al cual est asociado la onda ordinaria rv. En el caso de la onda ordinaria la velocidad del rayo y la velocidad normal de la onda asociada son idnticas (v = Or = OC), puesto que la onda ordinaria se propaga con la misma velocidad en todas las direcciones.

El ndice de refraccin de la onda ordinaria es una constante y por lo tanto la onda se propaga en todas las direcciones con la misma velocidad . En el caso de la seccin observada en la Fig. 27, la velocidad v = Or es igual a OC, que es la mitad del eje menor de la elipse.

Aplicando otra vez la propiedad de los radios conjugados tenemos que:

OC x OA = v x OA = K

OA = K = k vEl ndice de refraccin de la onda ordinaria es entonces proporcional a la mitad del eje mayor de la elipse, es decir es proporcional al radio de la seccin circular del elipsoide que expresa la velocidad de los rayos extraordinarios.Recordemos que esta seccin circular es perpendicular al eje de revolucin del elipsoide (que coincide con el eje ptico y el eje C de los cristales uniaxiales). De tal manera OA = OR(Fig.28), que es el radio del elipsoide perpendicular a la seccin principal considerada y que corresponde adems a la direccin de vibracin de la onda ordinaria, ya que esta vibra perpendicular al plano de la seccin principal (plano de la hoja).

Figura 28. Derivacin de la indicatriz uniaxial negativa.Aplicando el mismo mtodo utilizado para el rayo Or a todas las direcciones de propagacin posibles del rayo extraordinario, obtendremos un cuerpo simple, la indicatriz (fig. 28), que es un elipsoide de revolucin semejante a aquel que expresa la variacin de la velocidad de los rayos extraordinarios. Ahora, si > el cristal es uniaxial positivo y la forma de la indicatriz es prolada (alargada, Fig. 29B), en tanto que si < el cristal es uniaxial negativo y, como lo acabamos de ver, la forma de la indicatriz es oblada (achatada, Fig. 29A) . Ntese que estas indicatrices poseen secciones principales (que contienen el eje ptico), secciones al azar y una seccin circular (Fig. 30).

Figura 29. Indicatriz uniaxial negativa y positiva.

Figura 30. Diferentes tipos de secciones de la indicatriz uniaxial.ORIENTACIN DE LA INDICATRIZ DENTRO DE UN CRISTAL UNIAXIAL.

Para poder visualizar el comportamiento de la luz dentro del cristal, se puede posicionar imaginariamente la indicatriz dentro de este. Existe solo una posibilidad para ello: El eje ptico del cristal, es decir su eje de mayor simetra, debe coincidir con el eje de revolucin de la indicatriz (Fig. 31).

Figura 31. Posicionamiento de la indicatriz uniaxial dentro del cristal.APLICACION DE LA INDICATRIZ AL ESTUDIO CON EL MICROSCOPIO POLARIZANTE

La utilidad de la indicatriz es evidente ya que en el caso de la observacin con el microscopio los rayos incidentes son casi paralelos entre s e inciden perpendicularmente sobre el corte transparente. Ahora, para una incidencia normal (i=0), las normales de las ondas que atraviesan el cristal obedecen a la Ley de Snell y sus trayectorias no son desviadas (r=0). Ahora, puesto que las vibraciones de las ondas se efectan siempre perpendicularmente a las normales de onda, las direcciones de vibracin dentro del cristal sern siempre paralelas a la superficie del cristal. En consecuencia, las direcciones precisas de las vibraciones que ocurren dentro de una seccin de un mineral dado y sus ndices de refraccin correspondientes se pueden determinar considerando la seccin correspondiente de la indicatriz, cortada perpendicularmente a la normal de onda (Fig. 32).

Figura 32. Cortes de la indicatriz para diferentes caras de un cristal.As por ejemplo, siguiendo una normal de onda al azar dentro del cristal se propagan 2 ondas polarizadas que vibran ortogonalmente entre s. Si consideramos la seccin perpendicular a esa direccin en la indicatriz, obtendremos una elipse cuyo radio mayor es igual al ndice de refraccin ordinario, en tanto que el radio menor es igual al ndice de refraccin ' (' es un valor del ndice extraordinario para una seccin al azar). Por otra parte, las direcciones de esos radios de la elipse corresponden a las direcciones de vibracin de esas ondas.

Generalizando lo anterior, si se desea conocer las propiedades pticas de un corte de un mineral cuya orientacin es conocida, bastar con considerar la seccin homloga en la indicatriz. Todas las propiedades pticas de esa seccin pueden deducirse de la seccin correspondiente de la indicatriz.

Ejemplos:

a) Seccin perpendicular al eje ptico:

Esta seccin est representada en la indicatriz por un crculo de radio igual a (v. Fig. 6-16 Bloss), lo que expresa que la luz que se dirige segn el eje ptico - que es una direccin de monorrefringencia- no sufre la doble refraccin. Esta seccin circular es anloga a la obtenida efectuando un corte al azar en la indicatriz istropa, es decir ser una seccin en la cual no existen direcciones privilegiadas de vibracin y, por ende, la luz permanece vibrando dentro del cristal tal como lo haca antes de penetrar en l (Fig. 33).

Figura 33. Comportamiento de la luz en una seccin perpendicular al eje ptico de un mineral uniaxial, inferido a partir de la indicatriz.

b) Seccin paralela al eje ptico:

En este caso la seccin homloga en la indicatriz es una elipse cuyos ejes principales son y (Fig. 34). Esos ejes representan las direcciones privilegiadas de vibracin del mineral, paralelas a las cuales la luz est obligada a vibrar cuando atraviesa el cristal. As, un rayo de luz ordinaria que incide normalmente al cristal, sufre la doble refraccin originando una onda ordinaria que vibra paralelamente a y una onda extraordinaria que vibra paralelamente a (caso A en Fig. 34).

Figura 34. Comportamiento de la luz en una seccin paralela al eje ptico de un mineral uniaxial, inferido a partir de la indicatriz.Si la luz incidente es luz polarizada plana, ella se ver afectada de diferente forma de acuerdo con el ngulo que formen las direcciones privilegiadas de vibracin del mineral con la direccin de vibracin de la luz polarizada incidente. As, si la luz polarizada incidente vibra paralela a una de las direcciones privilegiadas de vibracin del mineral, no ocurrir la doble refraccin y la luz proseguir vibrando en el cristal tal como lo haca antes de entrar en el cristal (caso B y C en Fig. 34). En estos casos no ocurre doble refraccin puesto que las segundas direcciones de vibracin ( en el caso B y en el caso C), estn ortogonales a la direccin de transmisin y por ende, en virtud de la ley de Malus, no pueden transmitir la segunda onda. Por consiguiente, en estos 2 casos, la luz pasa vibrando como y respectivamente, presentando en cada caso un solo ndice de refraccin.

Nota: Lo anterior nos permite comprender por que para la determinacin de la frmula del pleocrosmo, se lleva sucesivamente las direcciones de vibracin lenta y rpida a la direccin de vibracin del polarizador. Slo de esa manera se asegura observar en luz polarizada plana un color que est asociado exclusivamente a una direccin de vibracin (v. laboratorio). Del mismo modo, para medir los ndices de refraccin y se efecta un operacin similar.Ahora, si la direccin de vibracin de la luz polarizada incidente formase un ngulo con las direcciones privilegiadas de vibracin del mineral (caso D en Fig. 34), la luz al penetrar en el cristal se descompondr vectorialmente en dos rayos que vibraran paralelos a las direcciones privilegiadas de vibracin del mineral. Recordemos que un vector puede descomponerse en 2 vectores componentes y ser reemplazados por ellos (regla del paralelogramo de las fuerzas).

c) Seccin al azar.

Esta seccin est presentada en la indicatriz por una elipse cuyos ejes principales son ' y . Si la luz no est polarizada, el cristal transmite 2 ondas que vibran paralelamente a ' y a respectivamente. Trayectoria del rayo extraordinario

Generalmente la trayectoria del rayo extraordinario no est confundida con la normal de onda extraordinaria. Su posicin se determina como sigue (Fig. 35):

Figura 35. Construccin de la trayectoria del rayo extraordinario a partir de la indicatriz.

-ella est contenida en el plano de la seccin principal, definido por la direccin de vibracin del rayo extraordinario, el eje ptico y la direccin de la normal de onda extraordinaria.

-ella es el radio conjugado de la direccin de vibracin extraordinaria. Se construye entonces trazando la paralela a la direccin de vibracin que sea tangente a la elipse, definiendo as un punto que unido al centro representa la direccin del rayo.

EJERCICIO: determine la posicin del rayo refractado extraordinario cuando la luz incide perpendicularmente sobre una seccin cortada a 45 del eje ptico de un mineral uniaxial positivo y de un mineral uniaxial negativo. Deduzca a partir de lo anterior el porqu los minerales uniaxiales positivos eran llamados "atractivos" y los negativos "repulsivos".FORMULAS DE LA INDICATRIZ UNIAXIAL

La indicatriz de los cristales uniaxiales es un elipsoide de revolucin cuya frmula general es:

X2 + Y2 + Z2 = 1

a2 a2 c2en donde a y c son los semidimetros principales correspondientes a los ejes x y z. El elipsoide posee una seccin ecuatorial que es un crculo y por ello en la ecuacin de ms arriba a es igual a b.

En el caso de la indicatriz uniaxial a = y c = , por lo cual la ecuacin de la indicatriz es:

X2 + Y2 + Z2 = 1

2 2 2

se ubica siguiendo Z puesto que siempre coincide con el eje de mayor simetra, el que est siempre ubicado en esa direccin.

BIRREFRINGENCIA MAXIMA Y BIRREFRINGENCIA DE UNA SECCION AL AZAR

La cantidad positiva: = - (U+) o = - (U-) es llamada birrefringencia mxima del mineral y ella es un valor especfico del mineral. Por ejemplo, la birrefringencia mxima de la calcita (U-) y del cuarzo (U+) son respectivamente:

CALCITA

CUARZO = 1.6584

= 1.55336

= 1.4864

= 1.54425

= - = 0.1720 = - = 0.00911

Todas las secciones que contienen el eje ptico presentan la birrefringencia mxima. Para tales secciones principales (como por ejemplo la seccin de la figura 36, en donde y = 0), la indicatriz es cortada en una elipse cuyos semiejes son y ycuya ecuacin es:

X2 + Z2 = 1

2 2

Figura 36. Seccin principal de un mineral uniaxial negativo.A partir de esta figura podemos deducir la frmula que permite el clculo de ' (birrefringencia de una seccin al azar). Consideremos una seccin al azar que corta a la seccin principal y cuya traza en ese plano corresponde a OM (Fig. 36). Esta elipse al azar tiene como semiejes y '.

Si ' designa el vector OM que hace un ngulo con el eje x, se puede escribir las coordenadas polares:

x = ' cos z = ' sen Reemplazando estos valores en la ecuacin de la elipse, obtenemos:

'2 cos2 + '2 sen2 = 1

2 2De donde se deduce:

'2 = 2 2 = 2 2_______________ 2 cos2 + 2 sen2 2 sen2+ 2 cos2En donde ' es el ndice de refraccin extraordinario de una seccin cualquiera al azar y el ngulo entre esa seccin y el eje C.

Finalmente, la birrefringencia de esa seccin es igual a - , lo que se puede calcular a condicin de conocer la inclinacin de la seccin, es decir en relacin al eje ptico del mineral que se est considerando.

Por otra parte, la seccin perpendicular al eje ptico es una seccin circular cuya ecuacin es:

x2 + y2 = 2

cuya birrefringencia es nula (seccin de monorrefringente) y tiene el mismo comportamiento que un mineral istropo.

V. SUPERFICIES E INDICATRIZ OPTICA DE UN MINERAL BIAXIAL

Los minerales de baja simetra, es decir aquellos que poseen a lo mximo ejes de simetra binarios como los pertenecientes a los sistemas ortorrmbico, monoclnico y triclnico, presentan 2 ejes pticos y por esa causa son llamados biaxiales.

Para construir la indicatriz biaxial, se procede de la misma manera que se hizo con la indicatriz uniaxial, es decir se determina la superficie de los ndices, se deriva enseguida la superficie de la velocidad de los rayos y finalmente se construye la indicatriz, gracias a los radios conjugados.

Superficie de los ndices de un mineral biaxialConsideremos un mineral biaxial tal como la Enstatita, que es un ortopiroxeno, es decir un piroxeno ortorrmbico. Para tener una idea de la variacin de los ndices de refraccin de este mineral, se pueden efectuar medidas de los ndices en la direccin de los tres ejes binarios del mineral. Para esto, se utiliza el mtodo de la reflexin total y se cortan 3 secciones perpendiculares a cada uno de los ejes binarios, obteniendo las secciones (100), (001) y (010). Si colocsemos estas secciones sobre el hemisferio de vidrio del refractmetro, de tal manera que el eje mayor del hemisferio coincida consecutivamente con la direccin Z de la seccin (100), X de la seccin (010) e Y de la seccin (001). En cada caso se obtiene 2 rayos reflejados (ya que se trata de un mineral anistropo) los cuales determinarn 2 medidas de ndices de refraccin correspondientes a las direcciones particulares Z, X e Y respectivamente .

Con la informacin obtenida, ya se puede prever que la superficie de los ndices ser un slido doble. Para definir la forma exacta de la superficie de los ndices, se pueden medir los ndices de refraccin de las tres secciones consideradas al girarlas en relacin a un eje perpendicular a ellas que pasa por el centro del hemisferio. De esta manera se pueden medir todos los ndices contenidos en los planos (001), (010) y (100). Los resultados obtenidos se pueden observar en la figura 37 C, D y B. Se constata entonces que al hace