1 "ESTADSTICA DESCRIPTIVA" 1.1 Parte bsica

2 1.1.1 Introduccin a la Estadstica 1.1.1.1 Concepto de Estadstica y Estadsticas La primera acepcin del trmino "Estadstica", que tiene origen histrico, hace referencia a una determinada informacin numrica; esta acepcin se encuentra cada da ms arraigada en nuestra sociedad debido al abultado conjunto de nmeros y cifras en el que se encuentra inmersa: P. I. B., ndices de precios, tasas de inflacin, evolucin del paro, cotizaciones burstiles, accidentes de circulacin, porcentajes de votantes, porcentajes de personas que padecen una determinada enfermedad, etc. Una segunda acepcin entiende la estadstica como una ciencia que facilita los mtodos precisos para la obtencin de informacin numrica, y que tambin proporciona mtodos de anlisis de esa informacin recogida y mtodos de investigacin aplicables al resto de las Ciencias. La primera se corresponde bsicamente con la estadstica descriptiva y la segunda con la estadstica inferencial. 1.1.1.2 Etapas del anlisis estadstico Las diversas fases por las que atraviesa el anlisis estadstico son: a) Recogida de datos, que no por ser elemental, est exenta de dificultades e indicaciones que hay que observar, ya que una recogida mal efectuada puede ocasionar un sesgo de la informacin y del posterior anlisis, por lo que el objeto de la investigacin debe plantearse de una manera minuciosa, as como la organizacin del trabajo de campo necesario para la recogida de datos. b) Ordenacin y presentacin de los datos, y que suele presentarse mediante unas tablas de simple o de doble entrada. c) Resumen de la informacin, para tratar de describir las caractersticas ms relevantes que pueden tener los datos, y que se realiza mediante la determinacin de parmetros estadsticos que intentan resumir toda la informacin que aporte el conjunto de datos.

3 d) Anlisis estadstico, a travs de mtodos facilitados por la Estadstica Matemtica, para tratar de verificar hiptesis sobre regularidades que pueden detectarse en las etapas previas. 1.1.1.3 Poblacin y muestra Recibe el nombre de Poblacin, Colectivo o Universo, todo conjunto de individuos o elementos que tienen unas caractersticas comunes. Dado que no siempre es posible estudiar todos los elementos de la poblacin, ya sea por razones econmicas, de rapidez de obtencin de la informacin, o porque los elementos se destruyen en el proceso de la investigacin, con frecuencia es necesario examinar slo una parte de la poblacin, que se denomina muestra; para que una muestra sea vlida como objeto de estudio, ha de ser representativa de la poblacin, es decir ha de tener las mismas caractersticas, en los caracteres estudiados, que la poblacin. 1.1.1.4 Caracteres de una poblacin Llamaremos variable al carcter objeto de estudio, que puede tomar distintos valores. Las variables pueden ser cuantitativa o cualitativas, segn que tomen, o no, valores cuantificables. Las variables de tipo cuantitativo, que estudian caracteres cuantificables, pueden clasificarse de diversas formas: variables discretas o continuas, segn que slo puedan tomar valores aislados o, por el contrario, todos los valores de un intervalo. 1.1.1.5 Tipos de escalas En determinado tipo de estudios, quiz tenga mayor relevancia diferenciar las variables segn el tipo de escala utilizada, distinguiendo: . Escala nominal: el carcter estudiado se clasifica en categoras no numricas, sin que puedan establecerse ninguna relacin de orden entre ellas,

4 por ejemplo: las profesiones laborales, el estado civil, la ideologa poltica, el sexo, etc. . Escala ordinal: el carcter estudiado es de tipo no numrico, pero se pueden establecer algn tipo de orden entre las distintas categoras. Este es el caso del nivel de estudios (primarios, medios, superiores), los tipos de clases sociales (baja, media, alta),etc. . Escala de intervalo: puede establecerse alguna unidad de medida y cuantificar numricamente la distancia existente entre dos observaciones. Es la escala cuantitativa, encontrndose en este caso gran nmero de variables entre ellas, como por ejemplo: salarios, presupuestos, gastos, etc. . Escala de proporcin: son aquellas variables en las que adems de una unidad de medida, se fija un punto origen, que marca el cero. En este tipo pueden considerarse la edad, el peso, el nmero de unidades en stock en un inventario, etc.

5 1.1.2 Variables estadsticas unidimensionales 1.1.2.1 Distribucin de frecuencias. Clases. Vamos a tratar ahora de estructurar y ordenar los conjuntos numricos de los datos obtenidos en la observacin de una muestra o poblacin para as poder proceder con ms facilidad a su estudio. Empezaremos estudiando las frecuencias en sus diversas clases: . Frecuencia absoluta: es el nmero de veces que se repite cada valor de la variable en el conjunto de todas las observaciones de la misma. En general la frecuencia absoluta del dato xi se representa por f i . Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nmero total de datos u observaciones. El nmero total de datos lo representamos por n, y la frecuencia relativa del dato xi se representa por hi Se verifica por lo tanto: hi = fi/n . Frecuencia absoluta acumulada: es la suma de las frecuencias absolutas de los valores inferiores o iguales al considerado. Evidentemente los valores de la variable deben de estar ordenados en forma creciente. En general, la frecuencia absoluta acumulada del dato xi se representa por Fi Evidentemente, la ltima frecuencia absoluta acumulada coincide con el tamao de la muestra. Se verifica pues: Fi = f j j=1 i ! . Frecuencia relativa acumulada: es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el nmero total de datos u observaciones. Anlogamente a la anterior, los valores de la variable deben de estar ordenados en forma creciente, es decir, la escala debe de ser numrica o, al menos, ordinal.

6 La ltima frecuencia relativa acumulada es 1. Generalmente la frecuencia relativa acumulada del dato xi de la variable se representa por Fi, y verifica: Hi = Fi n = f j j=1 i !n 1.1.2.2 Propiedades de las frecuencias 1 La suma de las frecuencias absolutas coincide con tamao de la muestra: f i i ! = n 2 Todas las frecuencias absolutas son positivas y menores o iguales que n . 0 = fi = n 3 La suma de las frecuencias relativas es 1: hi i ! =1 4 Todas las frecuencias relativas son positivas y menores o iguales que 1: 0 = hi = n 5 La frecuencia absoluta acumulada correspondiente a un valor de la variable se obtiene sumando la frecuencia absoluta acumulada del valor anterior, con la frecuencia absoluta del dato. DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS Llamaremos distribucin de frecuencias al conjunto de los valores que toma una variable, junto con sus frecuencias correspondientes. As pues, para determinar una distribucin de frecuencias debemos conocer todos los valores xi de la variable y cualquiera de las columnas de frecuencias (pues el paso de una a otra es inmediato).

7 Distinguiremos dos tipos fundamentales de distribucin de frecuencias: las no agrupadas en intervalos y las agrupadas en intervalos. La distribucin de frecuencias no est agrupada en intervalos cuando cada valor de la variable tiene asociado su frecuencia. Pero ocurre frecuentemente, sobre todo en variables de tipo continuo, que el nmero de valores distintos que toma la variable es demasiado grande; en este caso, para mayor comodidad en el tratamiento de la informacin, parece aconsejable agrupar esos valores en intervalos, teniendo en cuenta que lo que ganamos en manejabilidad lo perdemos en informacin de la distribucin. En la agrupacin en intervalos hay que tener en cuenta tres aspectos: a) Que el mximo de informacin se obtiene en la recogida de datos y que sta se pierde al agrupar en intervalos. b) Las distribuciones agrupadas en intervalos no se presentan realmente as, sino que es el investigador el que las agrupa para manejar mejor los datos. c) Al agrupar hay que tener en cuenta las frecuencias. Un intervalo queda determinado por sus extremos y, en general, el intervalo isimo se representa por [Li-1,Li), donde Li es el extremo superior del intervalo y Li-1 el extremo inferior del mismo. Llamaremos amplitud del intervalo, ai, a la diferencia entre sus extremos superior e inferior: ai = Li - Li-1 Esta amplitud puede ser constante para todos los intervalos, o variable, aunque es ms cmodo que sea constante. Cuando un investigador decide agrupar los datos en intervalos se encuentra con dos cuestiones iniciales: 1.- Cmo se debe tomar la amplitud, constante o variable? 2.- Cuntos intervalos conviene tomar ? La respuesta a estas pregunta depende de la naturaleza del problema, y aunque hay muchas reglas escritas en los textos de estadstica, en la prctica suelen resultar estriles.

8 Posteriormente se hace un recuento de los datos que corresponden a cada intervalo, para determinar la frecuencia de cada uno de ellos. Aparece un problema cuando un dato coincide con alguno de los extremos de los intervalos; como regla general, se toman los intervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha [Li- 1,Li), es decir, se incluirn dentro del intervalo los datos que coincidan con el extremo inferior del mismo, y se excluirn de ste los que coincidan con su extremo superior, incluidos, por lo tanto, en el intervalo posterior. Para evitar este problema de incluir o no incluir los datos en los intervalos, los extremos se suelen tomar con un decimal ms que los de los datos, siendo, normalmente este decimal un 5. Por ltimo cabe destacar que tomaremos como representante de cada intervalo su punto medio, que denominaremos marca de clase, y designaremos por ci. As la marca de clase del intervalo [Li-1,Li) ser: ci = Li!1 + Li 2 EJEMPLO 1.1: Investigados los precios por habitacin de 50 hoteles de una ciudad, se han obtenido los siguientes resultados: 7000 3000 5000 4000 5000 7000 4000 7500 8000 5000 5000 500 3000 7000 10000 15000 5000 7500 12000 8000 4000 5000 3000 5000 10000 3000 4000 5000 7000 5000 3000 4000 7000 4000 7000 5000 4000 7000 10000 7500 7000 8000 7500 7000 7500 8000 7000 7000 12000 8000 Determinar la distribucin de precios: a) Sin agrupar en intervalos. b) Agrupadas en 5 intervalos de amplitud constante. Solucin: a) Precio (xi) en miles 3 4 5 7 7.5 8 10 12 15 N de hoteles (fi) 5 7 10 11 6 5 3 2 1

9 b) Precio en intervalos marca de clase (xi) N de hoteles (fi) [3000, 5500) [5500, 8000) [8000, 10500) [10500, 13000) [13000, 15500) 4250 6750 9250 11750 14250 22 17 8 2 1

10 1.1.3 Representaciones grficas La informacin proporcionada por las tablas de distribucin de frecuencias es bastante completa, pero tiene la dificultad de que su lectura requiere un cierto tiempo y capacidad de comparacin para relativizar la informacin de unas clases respecto de las otras. Adems, en la experiencia del lector, al comenzar a leer un determinado artculo (cientfico o no), su vista se dirige primero al ttulo, luego a los grficos y, finalmente, a las tablas. As pues, las representaciones grficas constituyen uno de los principales y ms sencillos mtodos de exponer la informacin, por su capacidad de impactar al lector con muy poco esfuerzo por su parte, dando una informacin rpida y global de los datos, siendo tiles incluso al investigador, pues le permiten tener una idea general de los resultados y, a veces, sugerir nuevas hiptesis. 1.1.3.1 Tipos de representaciones grficas Los diversos tipos de grficos utilizados son: 1 DIAGRAMAS DE BARRAS PARA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS NO AGRUPADAS: En un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, se representan en el eje de abscisas los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias. Posteriormente, sobre cada valor de la variable se levanta una barra vertical de altura proporcional a la frecuencia, ya sea absoluta o relativa. Sobre el eje de abscisas la escala de medida puede ser cualquiera y no coincidir con la escala del eje de ordenadas. Incluso el cero del eje de abscisas no tiene porque coincidir con el cero de la medida utilizada. EJEMPLO 1.2: Supongamos una variable X que presenta los siguientes valores : xi = { a, e, i, o, u } con las siguientes frecuencias: f1 = 1 f2 = 2 f3 =1 f4 = 3 f5 = 3, correspondientes a las veces que aparecen dichas vocales en una frase.

11 Construya el diagrama de barras correspondiente y el diagrama de barras acumulado, o diagrama de escalera. Solucin: Podemos presentar entonces la siguiente tabla: xi fi Fi hi Hi a 1 1 0,1 0,1 e 2 3 0,2 0,3 i 1 4 0,1 0,4 o 3 7 0,3 0,7 u 3 10 0,3 1 El diagrama de barras correspondiente aparece en la figura 1.1: . 01234 VOCALES a e i o u FRECUENCIAS Figura 1.1: Diagrama de brarras Si lo que queremos representar son las frecuencias acumuladas, se procede igual que en el caso anterior con los ejes cartesianos y levantando sobre cada valor de la variable, una altura proporcional (igual) a la frecuencia acumulada, uniendo mediante trazos horizontales el extremo de cada coordenada con el siguiente; este diagrama recibe el nombre de diagrama de escalera (ver figura 1.2).

12 Figura 1.2: Diagrama de barras acumulado. (Diagrama de escalera) Los grficos de diagrama de barras y de escalera suelen utilizarse en variables de tipo cualitativo, o en las de tipo cuantitativo discretas. 2 POLGONOS DE FRECUENCIAS PARA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS NO AGRUPADAS EN INTERVALOS: Sobre unos ejes cartesianos, anlogos a los anteriores, se levanta en cada valor de la variable una ordenada de altura igual a la frecuencia absoluta (o relativa) de dicho valor, uniendo a continuacin con una poligonal dichas ordenadas. La primera ordenada se une con el cero del eje de abscisas, teniendo en cuenta que si hay algn valor de la variable con frecuencia cero tambin ha de ser considerado y unir dicho dato con los anteriores. Veamos el polgono de frecuencias del ejemplo anterior (ver figura 1.3):

13 Figura 1.3: Polgono de frecuencias. Anlogamente se procedera con las frecuencias acumuladas (ver figura 1.4). . VOCALES FRECUENCIAS ACUMULADAS 5 10 a e i o u Figura 1.4.: Polgono de frecuencias acumulado. Estos polgonos de frecuencias se utilizan cuando la variable es de tipo cualitativo o cuando es de tipo cuantitativo discreta. 3 HISTOGRAMA PARA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS EN INTERVALOS Se construyen levantando, sobre cada intervalo de la variable, un rectngulo de rea proporcional a la frecuencia absoluta de dicho intervalo. Si los intervalos son de amplitud constante, las alturas de los rectngulos sern iguales a las frecuencias absolutas respectivas, pues al ser las bases iguales las reas son proporcionales a las alturas; pero si las amplitudes de los intervalos son diferentes, las alturas de los rectngulos deben calcularse dividiendo la frecuencia absoluta por la longitud del intervalo; sta se puede representar por ai y vale pues: ai = f i ci y de esta forma, el rea del rectngulo coincide con la frecuencia: Si = ai ci = f i ci ci = f i

14 La altura ai correspondera a la frecuencia correspondiente a cada unidad de medida de la variable en cada intervalo, y se le conoce a veces, con el nombre de densidad de frecuencia del intervalo. EJEMPLO 1.3: La distribucin del saldo de imposiciones en las Cajas de Ahorros viene dada en la tabla siguiente: Saldo N provincias 4-6,9 7-8,9 9-14,9 15-29,9 30-59,9 60-99,9 =100 6 7 17 13 4 2 1 Representar el histograma correspondiente Solucin: Como los intervalos son de amplitud no constante, hay que calcular las alturas de los mismos, obtenindose la siguiente tabla: intervalos fi alturas Fi hi Hi Grados 4 -6.9 6 2 6 0.12 0.12 43.2 7 -8.9 7 3.5 13 0.14 0.26 50.4 9 -14.9 17 2.8 30 0.34 0.60 122.4 15 -29.9 13 0.8 43 0.26 0.86 93.6 30 -59.9 4 0.1 47 0.08 0.94 28.8 60 -99.9 2 0.05 49 0.04 0.98 14.4 = 100 1 0 50 0.02 1.00 7.2 Total 50 1.00 360.0 que da lugar al histograma de la figura 1.5:

15 Figura 1.5: Histograma. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros). 4 POLGONO DE FRECUENCIAS PARA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS Para construir este grfico se levanta en el extremo superior de cada intervalo una ordenada igual a su frecuencia, uniendo a continuacin dichas ordenadas. La primera ordenada se une al extremo inferior del primer intervalo, prolongando el polgono desde ese punto a la izquierda sobre el eje x, y prolongando tambin por la derecha a partir del extremo superior del ltimo intervalo, con una recta paralela al eje de abscisas. Suele utilizarse esta representacin sobre todo en el caso de que las frecuencias sean acumuladas. En este caso la altura correspondiente al extremo superior del ltimo intervalo, coincide con n, si las frecuencias son absolutas, y con 1 si las frecuencias son relativas. EJEMPLO 1.4: El polgono de frecuencias acumuladas para el ejemplo estudiado de las distribuciones del saldo de las Cajas de Ahorros viene dado por el grfico que aparece en la figura 1.6:

16 Figura 1.6: Polgono de frecuencias acumuladas. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros). En el caso de representar las frecuencias no acumuladas se procede de diferente forma, uniendo los puntos medios de los lados superiores de los rectngulos del histograma y prolongando por los extremos hasta cortar al eje X en los puntos medios de las bases del primer y del ltimo rectngulo (ver figura 1.7). 54321 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100x i Alturas Figura 1.7: Polgono de frecuencias. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros). El rea del polgono cerrado resultante es igual al rea de los rectngulos formados mediante el histograma.

17 A veces se representan en el mismo grfico el histograma y el polgono de frecuencias. 5 DIAGRAMA DE SECTORES Este caso, en una circunferencia se representan sectores circulares cuyo ngulo central coincida con la frecuencia absoluta (no se puede utilizar para acumuladas) o relativa del elemento, representando, mediante colores o incluyendo dentro de dicho sector el nombre de la clase o elemento a representar. Vale tanto para frecuencias agrupadas, como no agrupadas. Previamente hay que calcular los grados que corresponde a cada elemento multiplicando la frecuencia correspondiente a cada dato por el cociente entre 360 y el total de datos: gi = f i 360 n EJEMPLO 1.5: Obtener el grfico de sectores correspondiente a los datos anteriores de las cajas de ahorros: Solucin: intervalos fi alturas Fi hi Hi Grados 4 -6.9 6 2 6 0.12 0.12 43.2 7 -8.9 7 3.5 13 0.14 0.26 50.4 9 -14.9 17 2.8 30 0.34 0.60 122.4 15 -29.9 13 0.8 43 0.26 0.86 93.6 30 -59.9 4 0.1 47 0.08 0.94 28.8 60 -99.9 2 0.05 49 0.04 0.98 14.4 = 100 1 0 50 0.02 1.00 7.2 Total 50 1.00 360.0 y su representacin en sectores en la figura 1.8:

18 Figura 1.8: Diagrama de sectores. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros). EJEMPLO 1.6: Los datos siguientes corresponden a gastos de inversin publicitaria en los pases de la C.E.E. durante el ao 1.986 PASES INVERSIN (MILLONES $) R.F.A INGLATERRA FRANCIA ESPAA HOLANDA ITALIA DINAMARCA BLGICA GRECIA IRLANDA 8.234 6.915 4.663 3.000 2.970 2.846 1.084 464 164 127 No se poseen datos de Portugal y Luxemburgo Representar el correspondiente diagrama de sectores Solucin: El grfico de sectores aparece en la figura 1.9:

19 INGLATERRA FRANCIA ESPA A HOLANDA ITALIA DINAMARCA IRLANDA BELGICA GRECIA R.F.A Figura 1.9: Diagrama de Sectores. Inversin publicitaria en la C.E. (datos de 1.986) En este grfico se observa que cuando ciertos datos presentan una frecuencia baja, en relacin con los dems, su sector circular seria no detectable visualmente, por lo que se une con otros de frecuencias tambin bajas, dndole el nombre de "otros", o bien, si es posible, indicando todos los elementos que lo forman. 6 PICTOGRAMAS Son dibujos alusivos a la distribucin que se pretende estudiar y que mediante su forma, tamao, etc., ofrecen una descripcin, lo ms expresiva posible, de la misma. Consideremos el siguiente ejemplo: EJEMPLO 1.7: Representar el pictograma correspondiente a la tabla de datos siuiente: PASES INVERSIN (MILLONES $) BRASIL MJICO ARGENTINA VENEZUELA CHILE PERU COLOMBIA ECUADOR URUGUAY BOLIVIA PARAGUAY 101.750 100.000 50.300 35.880 20.690 14.300 13.430 7.540 4.990 3.340 1.890

20 Solucin: BRASIL MEXICO ARGENTINA VENEZUELA CHILE PERU ECUADOR BOLIVIA URUGUAU PARAGUAY DEUDA EXTERNA DE AMERICA LATINA (Diciembre 1986) COLOMBIA Figura 1.10: Pictograma (Deuda externa de Amrica Latina) En el caso anterior, el rea de la figura debe de ser proporcional a la frecuencia, aunque existe tambin la posibilidad de que una figura represente un nmero determinado de frecuencias, y entonces contenga este dato. Este tipo de representacin suele utilizarse en las distribuciones cualitativas, como por ejemplo en la siguiente: EJEMPLO 1.8: El censo ganadero espaol, en el mes de Septiembre de 1.977, segn fuentes del Ministerio de Agricultura, era: GANADO N DE CABEZAS (EN MILES) BOVINO OVINO CAPRINO PORCINO EQUINO 4.538 14.539 2.206 9.804 762 TOTAL 31.846 Represente el correspondiente pictograma

21 Solucin: El correspondiente pictograma sera de la forma que aparece en la figura 1.11: Figura 1.11: Pictograma (Censo ganadero espaol) 7 CARTOGRAMAS Son los grficos realizados sobre mapas, representando el carcter estudiado en ciertas regiones, sealando las zonas con distintos colores o tramas, poniendo de manifiesto las diferencias existentes entre las regiones del plano. Se suelen utilizar para representar densidades demogrficas de una nacin, la renta per capita, ndices de lluvia, etc. 8 DIAGRAMAS DE PERFIL RADIAL: Se toma un punto de partida y se trazan tantos radios como modalidades tenga la variable estudiada y despus, sobre estos radios, se toma una distancia al centro proporcional a la frecuencia de cada modalidad. Uniendo los puntos extremos de cada radio se obtiene un polgono cerrado, que es el perfil radial. En el ejemplo del censo ganadero en Septiembre de 1977 seria (ver figura 1.12):

22 Equino Caprino Bovino Porcino Ovino 0 5000 10000 Figura 1.12: Perfil radial (Censo ganadero espaol) 9 DIAGRAMAS LINEALES Se utilizan para mostrar las fluctuaciones de un determinado carcter estadstico con el paso del tiempo. Interesa nicamente la altura de la lnea, referida a la base del diagrama, que se levanta con una longitud proporcional al valor del carcter estudiado en dicho mes. Con frecuencia se aprovecha para representar sobre la misma escala varios diagramas lineales muy relacionados entre s. Por ejemplo, ingresos y gastos, nacimientos y defunciones, etc. ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTOSEPTIEMBRE EVOLUCION DE LA TASA DE INFLACION 6'0 6'3 6'2 5'8 4'9 4'9 4'5 4'4 0'7 1'1 1'7 2 1'9 1'9 2'9 2'9 3'8 6'0 EVOLUCION DEL IPC (Acumulado en 1987) Figura 1.13: Diagrama lineal

23 El grfico anterior (figura 1.13) reproduce un diagrama aparecido en DIARIO 16, que expresa la evolucin del IPC y la tasa de inflacin durante los nueve primeros meses del ao 1.987. A veces se unen en un mismo grfico varios grupos para considerarlos conjuntamente, compararles y observar donde las distribuciones coinciden o se separan, permitiendo as un anlisis grfico comparativo. As, el grfico siguiente (figura 1.14) muestra los polgonos de frecuencias porcentuales correspondientes a las distribuciones de ingresos en familias de poblacin blanca y negra en los Estados Unidos. Poblacin negra Poblacin blanca Indice de integracin=0'71 0 2'0 4'0 6'0 8'0 10'0 12'0 14'0 1000$ 2000$ 5000$ 10000$ 15000$ 25000$ 50000$ % Figura 1.14: Polgonos de frecuencias porcentuales

24 1.1.4 Medidas de tendencia central Las tablas de distribuciones de frecuencia ofrecen toda la informacin disponible, pero a veces, debido a su extensin nos encontramos con dificultades a la hora de su interpretacin, por lo que interesa resumirla con el fin de facilitar, tanto su anlisis como la comparacin entre distintas muestras o poblaciones. En este proceso de sntesis se buscan valores que determinen el comportamiento global del fenmeno estudiado Las medidas de sntesis de la distribucin se consideran operativas cuando: a) Intervienen todos y cada uno de los elementos en su formacin. b) Es siempre calculable. c) Es nica para cada distribucin de frecuencias. Estos valores se denominan medidas de posicin, en general son promedios de los valores y pueden ser de tendencia central o no. Slo tienen sentido si la variable es cuantitativa. Entre las ms importantes estn la media aritmtica, la mediana, la moda y los cuantiles; adems de stos, tambin estudiaremos la media geomtrica, la media armnica, la media cuadrtica y la media aritmtica ponderada. 1.1.4.1 Media aritmtica Se define como la suma de todos los valores de la distribucin, dividida por el n total de datos. Si designamos por xi al valor de la variable X, que se repite fi veces, la media aritmtica ser: x = x1 n f1 + x2 n f2 +!+ xk n f k = xif i i=1 k !n = xif i n i=1 n! = xihi i=1 k!

25 EJEMPLO 1.9: Por ejemplo, sea la variable X que representa los pesos en kilogramos de 10 estudiantes y que presenta los valores: xi={ 54, 59, 63, 64 } con las siguientes frecuencias fi={ 2, 3, 4, 1 }. Calcular la media aritmtica. Solucin: La media aritmtica vendr dada por: x = 54.2 + 59.3 + 63.4 + 64.1 10 = 108 +177 + 252 + 64 10 = 601 10 = 60.1Kg En el caso de que las variables estuvieran agrupadas en intervalos no se podra utilizar dicha expresin, por no saber el valor exacto de la variable, usndose en este caso como xi la marca de clase del intervalo. Vemoslo con el siguiente ejemplo: EJEMPLO 1.10: Consideraremos la siguiente tabla de distribucin de frecuencias: Intervalo fi Marca de clase 30-40 40-50 50-60 3 2 5 35 45 55 Total 10 Calcular la media aritmtica de los datos Solucin: Resultar, segn la definicin dada, que x = xif i n ! = 35.3 + 45.2 + 55.5 10 = 47

26 No obstante, y dado que la media aritmtica est muy influenciada por los valores extremos de las observaciones, no siempre sirve para representar lo que ocurre en cada una de stas, tal y como puede observarse en el siguiente ejemplo: EJEMPLO 1.11: La tabla siguiente recoge el nmero total de goles marcados en los ocho primeros campeonatos de liga de primera divisin correspondientes a las temporadas en que han participado en el mismo 20 equipos: Temporada Nmero de goles 87-88 909 88-89 868 89-90 921 90-91 822 91-92 913 92-93 954 93-94 989 94-95 966 Calcular e interpretar la media aritmtica. Solucin: Calculada la media aritmtica se observa que es 917,75; no obstante, este valor es poco representativo de lo ocurrido en cada temporada, puesto que solamente en los aos 89-90 y 91-92 se obtuvo un nmero de goles prximo a dicho valor, mientras que en el resto de temporadas se obtuvieron bastantes ms ( 92-93, 93-94 y 94-95 ) o bastantes menos ( 87- 88, 88-89, 90-91). Por otro lado qu sentido tiene decir que se marcaron 917,75 goles?, acaso hubo alguna ocasin en la que solamente penetr en la portera el 75% del baln?.

27 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICA: 1. La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su media es 0. (xi ! x )f i i=1 k" = xif i i=1 k" ! x f i i=1 k" = n xif i i=1 k"n ! x n = nx ! x n = 0 2. Si a todos los valores de la variable les sumamos una constante k, la media aritmtica queda aumentada en esa constante. Si consideramos la distribucin ( xi + k, fi ) su media ser: x' = xi' fi n i=1 k! = x( i + k) f i n i=1 k ! = xi fi n i=1 k! + k f i n i=1 k ! = x + k 3. Si a todos los valores de la variable los multiplicamos por una constante k, su media aritmtica queda multiplicada por esa constante. Para demostrar esta propiedad basta considerar la distribucin ( xik , fi ), su media ser: x ' ' = xi ' ' f i n i=1 k! = xi( k) f i n i=1 k ! = k xi f i n i=1 k ! = kx 4. Si a una variable X le efectuamos una transformacin lineal de la forma Y = aX + b, con a y b constantes, la media de la nueva variable queda afectada por dicha transformacin lineal: y = ax + b La demostracin es consecuencia inmediata de las propiedades 2 y 3 de la media.

28 VENTAJAS E INCONVENIENTES Como ventajas de utilizar la media aritmtica como un promedio para sintetizar los valores de la variable podemos citar las siguientes: - Considera todos los valores de la distribucin. - Es siempre calculable (en variable cuantitativa). - Es nica. Como inconvenientes de la utilizacin de la media aritmtica cabe citar que, a veces, puede dar lugar a conclusiones errneas, cuando la variable presenta valores muy extremos, que influyen mucho en la media, hacindola poco representativa. 1.1.4.2 Media aritmtica ponderada Se calcula esta media aritmtica cuando cada valor de la variable tiene asociado una ponderacin o un peso, distinto de la frecuencia, y que le haga tener ms o menos importancia en la distribucin. En este caso si el dato xi tiene un peso wi, su media ponderada sera: x p = xiwi i=1 k ! wi i=1 k ! Si cada dato presenta una frecuencia fi, la media ponderada sera: x p = xi f iwi i=1 k ! f iwi i=1 k !

29 EJEMPLO 1.12 Veamos un ejemplo de un estudiante que realiza tres exmenes de media hora, una hora y una hora y media respectivamente, obteniendo unas puntuaciones de 50, 80 y70. Por la duracin de los exmenes cabra atribuirles las ponderaciones de 1, 2 y 3 respectivamente. xi 50 80 70 Ponderacin 1 2 3 Calcular la puntuacin media del alunno. Solucin: Obtendramos la siguiente media aritmtica ponderada: x = 50.1 + 80.2 + 70.3 1 + 2 + 3 = 420 6 = 70 1.1.4.3 Media geomtrica Se define como la raz n-sima del producto de todos los n valores de la distribucin: G = x1f1x2f2!xkf n k Tomando logaritmos quedara: logG = 1n f i logxi i=1 k!" # $ % & ' Es decir, el logaritmo de la media geomtrica es la media aritmtica de los logaritmos de los valores. En su clculo se suele utilizar esta propiedad. Veamos, por ejemplo, cmo calcular la renta media durante varios periodos de tiempo.

30 EJEMPLO 1.13 Si invertimos 100.000 pts al 3% durante un ao, al 5% durante otro ao y al 8% durante un tercero, cul es la renta media a la que est invertido el dinero durante los tres aos?. Solucin: Cabra esperar que la solucin fuera la media aritmtica de las tres rentas, es decir el 5%, pero la realidad es otra; en efecto: Teniendo en cuenta que: C 1 + rm ( )3 =C 1 + r1 ( ) 1 + r2 ( ) 1 + r3 ( ) Se verificar que 1 + rm = 1 + r1 ( ) 1 + r2 ( ) 1+ r3 ( ) 3 Es decir, que 1+rm es la media geomtrica de las rentas de cada anuales, expresadas en tanto por uno, ms uno. En nuestro problema: 1 + rm = 3 1.03!1.05!1.08 = 1.0497 es decir, el rdito medio es del 4,97% ( media geomtrica de los rditos anuales ), y no el 5% como pareca ser. Veamos otro ejemplo en el que interese utilizar logaritmos. EJEMPLO 1.14 Sea una clase de 22 nios, cuya talla se distribuye del modo siguiente: Talla en cm. 100 120 125 140 Frecuencia 10 5 4 3 Calcular la talla media Solucin: La media geomtrica sera: G = 10010 !1205 !1254 !14022 3

31 Para calcular el valor de G tomaremos logaritmos, de manera que: logG = 1 22 10 log100 ( + 5 log120 + 4 log125 + 3 log140) = = 1 22 45.22193 = 2.05554 G = anti log 2.05554 = 113.6cm La media geomtrica tiene una ventaja sobre la media aritmtica y es que es menos sensible a los valores extremos. Como inconvenientes principales sealar que tiene un significado estadstico menos intuitivo que la media aritmtica, su clculo es difcil y a veces no se puede calcular (si un valor de la variable es 0). 1.1.4.4 Media armnica Se define como el inverso de la media aritmtica de los inversos de los valores de la variable. Es decir: A = n1 xi f i i=1 k ! Como ventajas podemos mencionar que intervienen todos los valores de la variable y que, en ciertos casos, es ms representativa que la media aritmtica. Como inconvenientes hay que citar la gran influencia de los valores pequeos y que a veces no se puede calcular (si un valor de la variable es 0). Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, etc. EJEMPLO 1.15: Supongamos un mvil que efecta un recorrido de 100 km, en dos sentidos. En un sentido va a una velocidad constante v1 = 60 Km/h y en el otro tambin circula a una velocidad constante v2=70 Km/h y, por tanto, diferente de la anterior.

32 Calcular la velocidad media del recorrido total debemos calcular la media armnica. Solucin: En este caso, si queremos calcular la velocidad media debemos calcular la media armnica. v = espacio timpo = 2s t1 + t2 Pero t1 = s v1 = 100Km 60Km h t2 = s v2 = 100Km 70Km h Luego, sustituyendo, obtenemos que: v = 2s t1 + t2 = 200Km 100Km 60Km h + 100Km 70Km h = 2Km 1 60 h + 1 70h = 64.62Km h RELACION ENTRE LAS MEDIAS La relacin existente entre estas tres medias es: H ! G ! x cuando las tres medias existen. 1.1.4.5 Mediana Es el valor de la distribucin que, una vez ordenados los valores de la variable de menor a mayor, deja igual nmero de frecuencias a su izquierda que a su derecha, es decir, el valor que ocupa el lugar central. Puede entenderse tambin como aquel valor cuya frecuencia absoluta acumulada es n/2.

33 DATOS SIN AGRUPAR . N impar de trminos Si la distribucin est sin agrupar, y hay un n impar de trminos, la mediana ser el que ocupa la posicin central. Por ejemplo, si los valores de la variable son { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } la mediana sera Me = 3 . N par de trminos Pero si hay un n par de trminos habra dos trminos centrales y se toma como mediana la media aritmtica de ellos. Por ejemplo, si los valores de la variable son {1 , 2 , 5 , 7 , 9 , 10 , 13 , 14} La mediana seria: Me = 7 + 9 2 = 8 DATOS CON FRECUENCIAS . Variable discreta Si los datos presentan diferentes frecuencias, el mtodo ms prctico es buscar en la columna de frecuencias acumuladas n/2. EJEMPLO 1.16: Si la distribucin es: xi fi Fi 1 3 3 2 4 7 5 9 16 7 10 26 10 7 33 13 2 35 Total 35 Calcular la mediana

34 Solucin: n2 = 35 2 =17.5 La mediana es Me = 7, puesto que desde el que ocupa el lugar 17 hasta el de lugar 26 todos los valores son 7. Es decir, si Fi-1 < n/2 < Fi, entonces, Me = xi . Variable continua o datos agrupados en intervalos En el caso de estar la distribucin agrupada en intervalos (sean o no de la misma amplitud) al buscar el valor que ocupa el lugar n/2 nos encontramos con un intervalo, el intervalo mediano, y no con un dato. Para determinar un nico representante de dicho intervalo como mediana, determinaremos el elemento que en el polgono de frecuencias acumuladas toma de frecuencia n/2. Figura 1.15: Polgono acumulativo de frecuencias para el clculo de la Mediana

35 En el grfico de la figura 1.15 se observa la forma de determinar la mediana. La mediana vale: Me = Li-1 + m Como los tringulos ABC Y AB'C' son semejantes, resulta que: AC AC' = BC B' C' es decir: mci = n2 ! Fi!1 Fi ! Fi!1 por lo tanto: m = n2 ! Fi!1 f i ci De lo anterior se deduce que la Mediana se calcula de la siguiente forma: Me = Li!1 + n2 ! Fi!1 f i ci VENTAJAS E INCONVENIENTES Como ventajas de la mediana podemos citar que no est influida por los valores extremos como en el caso de la media, y adems tiene sentido en casos de distribuciones en escala ordinal (datos que pueden ser ordenados), siendo la medida ms representativa de estos por describir la tendencia central de los mismos. Como inconvenientes puede ser la determinacin de sta en los casos de variables agrupadas en intervalos.

36 EJEMPLO 1.17: Sea la siguiente distribucin de salarios y calculemos el salario mediano. Clase Salario anual N de obreros N acumulado de obreros 1 2 3 4 5 20000 a 25000 25000 a 30000 30000 a 35000 35000 a 40000 40000 a 45000 100 150 200 180 41 ------- 671 100 250 450 630 671 Solucin: Tenemos que n2 = 671 2 = 335.5, valor que nos indica que el salario anual mediano pertenece a la tercera clase. La amplitud del tercer intervalo es ci = 5000, luego: Me = 30000 + 335.5 ! 250 200 5000 = 3000 + 2137.5 es decir, Me = 321375 1.1.4.6 Moda Es el valor de la variable que ms veces se repite en una distribucin de frecuencias, es decir, el que tiene mayor frecuencia absoluta. Para calcular la moda, en el caso que la distribucin no est agrupada o est agrupada en intervalos, se procede de forma diferente: DISTRIBUCIN SIN AGRUPAR EN INTERVALOS DE CLASE La moda es el valor ( o valores ) que presenten mayor frecuencia absoluta.

37 EJEMPLO 1.18: Consideremos la siguiente distribucin: xi 1 2 5 7 10 13 fi 3 4 9 10 7 2 Observando la fila de frecuencias, se ve que Mo = 7 Puede ocurrir que una distribucin presente ms de una moda (bimodal, trimodal, etc.), e incluso que presente una moda absoluta y alguna moda relativa. Las representaciones serian (ver figuras 1.16 y 1.17): Figura 1.16: Representacin de una distribucin con una nica moda y otra bimodal Figura 1.17: Modas en una distribucin bimodal

38 DISTRIBUCIN AGRUPADA EN INTERVALOS DE CLASE Si la distribucin est agrupada en intervalos, se proceder de forma diferente segn que la amplitud sea constante o no. . Amplitud constante Si la amplitud es constante, la mxima frecuencia nos determina un intervalo, el intervalo modal, pero hay que seleccionar un valor de ese intervalo que haga el papel de moda. En este caso hay varios criterios: unos seleccionan el extremo inferior del intervalo, otros el extremo superior y otros la marca de clase, pero habr que tener en cuenta que la moda estar ms cerca del intervalo contiguo de mayor frecuencia. Figura 1.18: Histograma para el clculo de la Moda Es claro que Mo = Li-1 + m . Veamos la determinacin de "m". Dado que los tringulos OAA' y OBB' son semejantes por tener los ngulos iguales, se puede establecer la proporcin: OQ PO = BB' AA' ! OQ PO +1 = BB' AA' +1! OQ+ PO PO = BB' +AA' AA' invirtindola resulta:

39 PO OQ+ PO = AA' BB' +AA' ! m ci ( " m) + m = d1 d1 + d2 siendo d1, d2 las diferencias de frecuencias absolutas entre el intervalo modal y los intervalos anterior y posterior respectivamente. Por lo tanto la moda valdra: Mo = Li!1 + d1 d1 + d2 ci EJEMPLO 1.19: Calculemos la Moda de la siguiente distribucin: Intervalo Frecuencia 0 - 25 25 - 30 50 - 75 75 - 100 20 40 100 60 Total 220 Solucin: El intervalo modal es el 50 - 75, y como d1 = 100 - 40 = 60 , d2 = 100 - 60 = 40 resulta que Mo = 50 + 60 60 + 40 25 = 50 +15 = 65 . Amplitud no constante Si la amplitud de los intervalos es variable, teniendo en cuenta que la altura del rectngulo indica la densidad de frecuencia, el intervalo modal ser el que tenga mayor densidad de frecuencia, es decir mayor altura. EJEMPLO 1.20: Calculemos la Moda de la siguiente distribucin:

40 Intervalo fi ci ai 4 -7 7 - 9 9 - 15 15 - 30 30 - 60 60 - 100 ms de 100 6 7 17 13 4 2 1 3 2 6 15 30 40 -- 2 3,5 2,8 0,8 0,1 0,05 --- Total 50 Solucin: Primero se procede a buscar la mayor altura: ai = fi / ci Se contina como en el caso anterior sustituyendo la frecuencia por la altura. El intervalo modal es el 7-9, y por lo tanto: d1 = 3,5 - 2 = 1,5 d2 = 3,5 - 2,8 = 0,7 As la moda ser: Mo = 7 + 1.5 1.5 + 0.7 25 = 7 +1.36 = 8.36 VENTAJAS E INCONVENIENTES Como ventajas de la moda cabe citar que cuando la distribucin es de escala nominal (no susceptible de ordenacin) es la medida ms representativa, pues no es posible hacer operaciones con sus observaciones, y por tanto no se pueden calcular las otras medidas. Adems igual que la mediana, no viene influida por los valores extremos de la variable. Como inconveniente cabe citar el modo de calcularla en los casos de variables agrupadas en intervalos y el hecho de que utiliza un nico dato de la distribucin.

41 Calculemos en un ejemplo la media aritmtica, la moda y la mediana de una distribucin para hacernos una idea de cul de ellas es la medida de centralizacin ms representativa en la situacin estudiada. EJEMPLO 1.21: El sueldo anual de los 25 trabajadores de una empresa viene expresado en la tabla siguiente: Director 10.000.000 pts. Gerente 6.000.000 pts. Dos ingenieros 4.000.000 pts. cada uno. Tres peritos 2.500.000 pts. cada uno. Cinco encargados 2.000.000 pts. cada uno. Contable 1.800.000 pts. cada uno. Resto plantilla 1.300.000 pts. cada uno. Calcular la media, la moda y la media y efectuar un estudio comparativo de los resultados. Solucin: Calculando la media aritmtica de los sueldos vemos que es de 2.356.000 pts. cantidad que, adems de no ser el sueldo de ningn empleado de la compaa, da una idea poco aproximada de la realidad, toda vez que la mayora de los trabajadores ganan bastante menos de esa cantidad. La moda, por su parte, vale 1.300.000 pts., mientras que la mediana es 1.800.000 pts. Estas dos medidas indican ms claramente la situacin en la empresa, siendo la moda la que mejor resume la situacin.

42 1.1.5 Medidas de posicin no centrales Estos valores no reflejan ninguna tendencia central, sino una posicin de la distribucin, dividindola a sta en partes iguales. Cabe citar entre los de uso ms frecuente: cuartiles, deciles y percentiles. 1) Los cuartiles son tres valores que dividen a la distribucin en cuatro partes iguales, estando en cada una de ellas el 25% de sus observaciones. Se indican con Qi. 2) Los deciles son nueve valores que dividen a la distribucin en diez partes iguales, estando en cada una de ellas el 10% de las observaciones. Se indican por Di. 3) Los percentiles son noventa y nueve valores que dividen a la distribucin en cien partes iguales, dejando un 1% de las observaciones entre cada dos de ellos consecutivos. Se nombran por Pi. Hay que tener en cuenta algunas relaciones entre ellos, como son: Me = Q2 = D5 = P50 Q1 = P25 ; Q3 = P75 D1 = P10 ; D2 = P20 ; D3 = P30 ; D4 = P40 ; D6 = P60 Para el clculo de todos los cuantiles el proceso es anlogo al clculo de la mediana, sustituyendo n/2 por r.n/k, siendo r el orden del cuantil y k las partes en que dicho cuantil divide a la distribucin. As en los cuartiles k = 4 y r = 1, 2, 3 ; en los deciles k = 10 y r = 1, 2,....., 9, y en los percentiles k = 100 y r = 1, 2, 3,....., 99. Se procede pues buscando en las frecuencias acumuladas el valor de rn/k, y si la distribucin est agrupada, el cuantil r/k ser: Cr k = Li!1 + r nk ! Fi!1 f i ci

43 VENTAJAS E INCONVENIENTES Las ventajas e inconvenientes son las mismas que los de la mediana. EJEMPLO 1.22: En el ejercicio de la distribucin de salarios, calculemos Q1, Q3, D4, P88 Solucin: Para Q1: como 1.671/4 = 167,75 , el intervalo del primer cuartil es el 25000 - 30000 Q1 = 25000 + 671 4 !100 150 5000 = 25000 + 2258.3 = 27258.3 Para Q3: como 3.671/4 = 503,25 ,el intervalo del tercer cuartil es el 35000 - 40000 Q3 = 35000 + 3671 4 ! 450 180 5000 = 35000 +1479.16 = 36479.16 Para D4: como 4.671/10 = 2684 , el intervalo del cuarto decil es el 30000 - 35000 D4 = 30000 + 4 671 4 ! 2500 200 5000 = 30000 + 460 = 30460 Para P88: como 88.671/4 = 590,48, el intervalo del percentil ochenta y ocho es el 35000 - 40000 P88 = 35000 + 88 671 4 ! 450 180 5000 = 35000 + 3902.2 = 38902.2

44 1.1.6 Medidas de dispersin En el apartado anterior hemos definido una serie de medidas de tendencia central, cuyo objetivo era tratar de sintetizar toda la informacin disponible, pero cabe preguntarse posteriormente si esa medida es o no representativa de la distribucin de frecuencias. Si consideramos dos variables X e Y con distribuciones: xi 0 500 1000 yi 499 501 fi 1 1 1 fi 1 1 Las medias son : x = 0 + 500 +1000 3 = 500 y = 499 + 501 2 = 500 Las dos medias son iguales y sin embargo las dos distribuciones son muy diferentes pues los valores de X estn mucho ms dispersa que los de Y. As pues, para intentar medir la representatividad de una determinada medida debemos de cuantificar la separacin de los valores de la distribucin respecto de dicha medida. As pues, resulta necesario que, para completar la informacin de un promedio (por ejemplo media aritmtica), ste vaya acompaado de uno o varios coeficientes que nos midan el grado de dispersin de la distribucin de la variable con respecto a l. Distinguiremos dos tipos de medidas de dispersin: absolutas y relativas. 1.1.6.1 Medidas de dispersin absoluta Cabe citar entre stas el recorrido, el recorrido intercuartlico, la desviacin media, la varianza y la desviacin tpica. Todas son referidas en general a un promedio.

45 RECORRIDO O RANGO: Hemos dicho ya que ste es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la distribucin: Re = Max (xi) - Min (xi) Si este recorrido es pequeo respecto al nmero de datos puede entenderse que existe poca dispersin. Tiene el inconveniente de que se ve totalmente influenciado por los valores extremos (con los que se calcula). RECORRIDO INTERCUARTLICO: Es la diferencia existente entre el tercer y el primer cuartil RI = Q3 - Q1 En esta medida se suprimen el 25% superior e inferior de la distribucin, y por lo tanto no se ve influenciado por los valores extremos, y nos indica la longitud del intervalo en el que estn el 50% central de los valores En algunos casos se utiliza el recorrido semiintercuartlico que se define como la mitad del recorrido intercuartlico. RSI = (Q3 -Q1)/2 DESVIACIN MEDIA: Esta medida de dispersin hace referencia a un promedio, cosa que no hacen las anteriores; puede entenderse como la media de las desviaciones de los datos de la variable respecto al promedio utilizado; no obstante, para evitar que las desviaciones positivas queden compensadas por las negativas y que esta desviacin media resulte igual a 0, (que nos hara pensar que no hay dispersin) se utiliza el valor absoluto de la desviacin de los datos respecto del promedio. As se definir la desviacin media respecto de la media como:

46 Dx = xi ! x f i n i=1 k " Tambin se puede utilizar la desviacin media respecto de la mediana como: DMe = xi ! Me f i n i=1 k" Las dos nos indicaran la dispersin de los datos respecto del promedio utilizado, en el caso de que sta fuera grande el promedio sera poco representativo. VARIANZA: Se define como la media de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto de la media aritmtica, es decir: s2 = (xi ! x )2 f i n = xi ( ! x )2 hi i=1 k" i=1 k " Se utiliza el cuadrado para lograr que todas las desviaciones sean positivas; nos indica la mayor o menor dispersin de los valores de la variable respecto de la media aritmtica, y por lo tanto, su representatividad. Tiene el inconveniente de no venir expresada en las mismas unidades que la variable, sino en el cuadrado de las mismas, por ello se utiliza ms la siguiente. DESVIACIN TPICA O ESTNDAR: Se define como la raz cuadrada positiva de la varianza, es decir: s = xi ( ! x )2 f i n i=1 k" = xi ( ! x )2 hi i=1 k" Al ser la raz cuadrada de la varianza viene expresada en las mismas unidades que la variable, lo que la hace ms apta como medida de dispersin que la varianza, siendo en la actualidad la ms utilizada.

47 A menudo, en lugar de dividir entre el tamao de los datos, n, se divide entre n-1, obtenindose la llamada cuasivarianza: s 2 = xi ( ! x )2 f i n !1 i=1 k " y cuasidesviacin tpica: s = xi ( ! x )2 f i n !1 i=1 k" Siendo la relacin entre la varianza y la cuasivarianza la siguiente: s 2 = n n !1s2 PROPIEDADES DE LA VARIANZA Y DE LA DESVIACIN TPICA: . La varianza y la desviacin tpica no pueden ser negativas, por ser suma de cuadrados: s2 = 0, s = 0 . Si en una distribucin le sumamos a todos los valores de la variable una constante, la varianza y la desviacin tpica no varan. Si en la distribucin (xi fi) de media x = xi f i n i=1 k ! , y de varianza s2 = xi ( ! x )2 f i n i=1 k " sumamos a todos los elementos una constante k, obtenemos otra distribucin de variable x'i = xi + k . Como, x ' = x + k resulta que la varianza de la nueva distribucin ser:

48 s'2 = xi ( ' ! x' )2 f i n i=1 k " = x[( i + k) ! (x ! k)]2 f i n i=1 k" = = xi ( ! x )2 f i n i=1 k " = s2 es decir, que la varianza no varia, y por lo tanto, la desviacin tpica tampoco. . Si en una distribucin multiplicamos a todos los valores de la variable por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante y la desviacin tpica queda multiplicada por la constante. En efecto: Si tomamos la distribucin xi '' = kxi teniendo en cuenta que x ' = kx , resulta que la varianza de la nueva distribucin vale: s' '2 = xi ' ' ( ! x' ')2 f i n i=1 k" = kx( i + kx ) f i n i=1 k " = = k2 xi ( ! x )2 f i n i=1 k" = k2s2 y por ser la desviacin tpica la raz cuadrada de la varianza queda: s' ' = s' ' 2 = k2s2 = ks CLCULO PRCTICO DE LA VARIANZA* En la prctica, al calcular la varianza conviene tener en cuenta la siguiente expresin: * La media, la varianza y la desviacin tpica las proporciona directamente cualquier calculadora de bolsillo, luego nomerece la pena hacer perder tiempo al alumno escribiendo tablas con xifi etc.

49 s2 = (xi ! x )2 f i n i=1 k " = xi2 ! 2xix + x 2 ( ) f i n i=1 k" = = xi2 f i n i=1 k " ! 2x xi f i n i=1 k " + x 2 f i n i=1 k" = xi2 f i n i=1 k" ! 2x 2 + x 2 = x2 ! x 2 Veamos el clculo de la varianza y desviacin tpica en los ejemplos 1.9 y 1.10: xi fi 54 59 63 64 2 3 4 1 10 x = xi f i i n ! = 60.1Kg s2 = s2 = xi2 f i n i=1 k ! " x = 36247/10 -(60,1)2 = 3624,7 - 3612,01 = 12,69 Kg2 s = 12.69 = 3,5623 Kg. En el ejemplo de datos agrupados en intervalos es: Intervalo marca de clase fi 30-40 40-50 50-60 35 45 55 3 2 5 10 x = 470/10 = 47 S2 = 22850/10 -(47)2 = 2285 - 2209 = 76 S = 76 = 8,718

50 1.1.6.2 Medidas de dispersin relativas En el caso de intentar comparar la dispersin de dos distribuciones mediante alguna de las medidas de dispersin halladas antes, no podramos efectuar tal comparacin porque las distribuciones, en general, no vendrn dadas en las mismas unidades y tampoco porque los promedios en general tambin sern diferentes. Por ello, para poder comparar las dispersiones, es preciso definir medidas de dispersin adimensionales. Entre stas se encuentra el coeficiente de variacin de Pearson. COEFICIENTE DE VARIACIN DE PEARSON: Es el cociente entre la desviacin tpica y el valor absoluto de la media aritmtica. CV = sx Este coeficiente es adimensional luego permite comparar las dispersiones de dos distribuciones diferentes. A menudo se le suele utilizar en forma de porcentaje, empleando CV = sx 100 Obviamente, a mayor CV menor es la representatividad de x , pues la desviacin tpica ser mayor comparada con la media. 1.1.7 Momentos Existen dos tipos de momentos: 1.1.7.1 Momentos centrales (respecto a la media aritmtica)

51 Se define el momento central de orden r respecto de la media aritmtica x como la media aritmtica de las potencias de orden r de las desviaciones de los datos respecto de la media: mr = (xi ! x )r f i n i=1 k " En particular, se verifica que: - El momento central de orden 0 vale 1: m0 = xi ( ! x )0 f i n i=1 k" = f i n i=1 k " = nn = 1 - El momento central de orden 1 vale 0: m1 = xi ( ! x )1 f i n i=1 k" = xi f i n i=1 k" ! x f i n i=1 k" = x ! x nn = 0 - El momento de orden 2 es la varianza. 1.1.7.2 Momentos con respecto al origen Se define el momento de orden r con respecto al origen como la media aritmtica de las potencias de orden r de los datos de la variable: ar = xir f i n i=1 r ! Como casos particulares cabe destacar: - El momento de orden 0 vale 1: a0 = xi0 f i n i=1 k ! " x f i n i=1 k! = 1 - El momento de orden 1 es la media aritmtica

52 Existe una relacin entre los dos momentos, que nos da una forma reducida de calcular la varianza: s2 = m2 = (xi ! x )2 f i n i=1 k" = xi2 f i n i=1 k" ! x 2 = a2 ! a12

53 1.1.8 Medidas de forma Para tratar de conocer una distribucin no basta con conocer sus medidas de dispersin y de posicin, sino que es necesario, en general, conocer algunos aspectos ms de la misma. Dado que la diversidad de comportamientos de las xi de la distribucin se haca ms patente al realizar la representacin grfica, vamos a tratar de determinar a continuacin ms medidas, segn la "forma" de la representacin; clasificaremos estas medidas en dos grupos: medidas de asimetra y medidas de curtosis o apuntamiento. 1.1.8.1 Medidas de asimetra Tienen por objeto establecer el grado de simetra (o asimetra) de una distribucin sin necesidad de realizar la representacin grfica. Entenderemos la simetra respecto al eje determinado por la media aritmtica, de tal forma que diremos que una distribucin es simtrica cuando los valores de la variable equidistantes de este valor central tengan la misma frecuencia, en caso contrario diremos que es asimtrica, siendo esta asimetra negativa o a izquierda si es ms larga la rama de la izquierda, es decir, las frecuencias descienden ms lentamente por la izquierda que por la derecha; analogamente llamaremos asimetra positiva o a derechas aquella en que la rama de la derecha es ms larga, es decir las frecuencias descienden ms lentamente por la derecha que por la izquierda. COEFICIENTE DE ASIMETRA DE FISHER Debemos buscar ahora una medida adimensional que recoja las desviaciones positivas y negativas de los valores respecto de la media. La figura 1.19 nos muestra las distintas distribuciones:

54 Mo g1 >0 x_ g =0 1 Distribucin simtrica Distribucin asimtrica a la derecha Mo g 0 si la curva tiene asimetra negativa o a izquierdas, m3 < 0 Para que no tenga dimensin debemos dividirla por una medida con las mismas unidades (cbicas), obtenindose el coeficiente de asimetra de Fisher.

55 g1 = m3 s3 = (xi ! x )3 f i i=1 n k" xi ( ! x )2 f i i=1 n k"# $ % & ' ( 32 Siendo su interpretacin: Si g1 > 0 la distribucin es asimtrica positiva o a derecha. Si g1 = 0 la distribucin es simtrica. Si g1 < 0 la distribucin es asimtrica negativa o a izquierda. COEFICIENTE DE ASIMETRA DE PEARSON Otra medida de asimetra es el coeficiente de asimetra de Pearson definido por: Ap = x !Mo s Teniendo en cuenta que si la curva es simtrica, x = Me = Mo, si la distribucin es asimtrica positiva o a derechas x > Mo y si la distribucin es asimtrica negativa o a izquierdas x < Mo, su interpretacin ser: Ap = 0 la distribucin es simtrica. Ap > 0 la distribucin es asimtrica positiva (derechas) Ap < 0 la distribuciones asimtrica negativa (izquierdas) Tiene el inconveniente de que no puede utilizarse en distribuciones bimodales, por ello Pearson demostr empricamente que x ! Mo " 3(x !Me) por lo que algunos autores utilizan como coeficiente de asimetra de Pearson Ap = 3(x ! Me) s Existen otros tipos de coeficientes de asimetra, pero son menos utilizados.

56 1.1.8.2 Medidas de curtosis o apuntamiento Estas medidas, aplicadas a distribuciones unimodales simtricas o con ligera asimetra, tratan de estudiar la distribucin de frecuencias en la zona central, dando lugar a distribuciones muy apuntadas, o poco apuntadas. Para estudiar el apuntamiento, debemos hacer referencia a una distribucin tipo que consideraremos la distribucin "Normal"; sta corresponde a fenmenos muy corrientes en la naturaleza cuya representacin grfica es la campana de Gauss. Si una distribucin tiene mayor apuntamiento que la normal diremos que es "leptocrtica", si tiene menor apuntamiento que la normal la llamaremos "platicrtica", y a las que tengan igual apuntamiento que la normal las llamaremos "mesocrticas". Veamos esto en unas figuras 1.20a y b: Figura 1.20: Diferentes distribuciones segn su apuntamiento. Comparacin con la Normal En la distribucin normal m4 = 3.s4, por lo tanto utilizaremos como coeficiente de apuntamiento o curtosis. g2 = m4 s4 = (xi ! x )4 f i i=1 n k" xi ( ! x )2 f i i=1 n k"# $ % & ' ( 2 siendo la interpretacin la siguiente:

57 Si g2 > 3 la curva es ms apuntada que la normal (leptocrtica). Si g2 = 3 la curva tiene el mismo apuntamiento que la normal (mesocrtica). Si g2 < 3 la curva es menos apuntada que la normal (platicrtica). A veces se utiliza como coeficiente de curtosis: g2 = m4 s4 ! 3 y la comparacin ser con 0, obtenindose: g2 = 0 (mesocrtica). g2 > 0 (leptocrtica). g2 < 0 (platicrtica) NOTA: El clculo de m3 y m4 es ms prctico utilizando las frmulas: m3 = a3 - 3a2a1 + 2a13 m4 = a4 - 4a3a1 + 6a2a12 - 3a14 siendo a1 = x . 1.1.9 Medidas de concentracin Aunque "dispersin" y "concentracin" tengan significados opuestos en el lenguaje coloquial, en estadstica no coincide el concepto de concentracin con la acepcin normal del vocablo. La "dispersin" hace referencia a la variabilidad de los datos, a las diferencias existentes entre ellos y la representatividad de los promedios. La "concentracin", por su parte, se refiere al mayor o menor grado de igualdad en el reparto de todos los valores de la variable. Estas medidas de concentracin tienen especial aplicacin a variables econmicas (rentas, salarios, etc.), pues lo que interesa es la mayor o menor igualdad en el reparto entre los componentes de la poblacin, es decir, que est equitativamente repartida.

58 Llamaremos, pues, concentracin al grado de equidad en el reparto de la suma total de la variable considerada. La concentracin es mxima si uno solo de los elementos recibe el total de la variable, mientras que la concentracin ser mnima o equidistribuida si todos los elementos perciben la misma cantidad. Entre los ndices de concentracin que estudiaremos se encuentran el ndice de Gini y la curva de Lorenz. 1.1.9.1 Curva de Lorenz Es una representacin grfica de la concentracin. Llamando ur = xif i i=1 r ! , pr = Fr n 100 , qr = ur n 100 Si representamos los valores pr en el eje de abscisas y los valores qi en el eje de ordenadas, dibujando en el cuadrado de lado 100 los puntos pi y qi, y unindolos, queda determinada una poligonal llamada "curva de Lorenz". Vemoslo en un ejemplo econmico (tengamos en cuenta que lo anterior no es aplicable a todo tipo de variables): Supongamos que tenemos k trabajadores, con salarios x1 = x2 = ... =xk ordenados en sentido creciente. Queremos saber como se reparte la suma total de salarios S = xi i=1 k ! entre los k trabajadores. La concentracin es mxima si x1 = x2 = ........= xk-1 = 0; xk = S es decir, un solo trabajador recibe todo y el resto nada.

59 La concentracin es mnima si x1 = x2 = .........= xk, es decir, todos los trabajadores reciben lo mismo. Para determinar el ndice de concentracin se forman las columnas siguientes: 1- xifi que denota el salario recibido por los ni trabajadores. 2- Fi columna de frecuencia absolutas acumuladas. 3- ur, acumulador de la primera columna que denota el salario total recibido por los Fr primeros trabajadores, siendo su valor ur = xif i i=1 r ! 4- pr, que es la frecuencia relativa acumulada en tantos por 100: pr = Fr n 100 5- qr, que es el porcentaje del salario total que reciben los Ni primeros trabajadores: qr = ur n 100 Si la concentracin fuese mnima, pr = qr igualmente repartida. Si la concentracin fuese mxima, q1 = q2 =..........= qk-1 = 0, qk = 100 La representacin de la curva de Lorenz sera:

60 Figura 1.21: Curva de Lorenz Los casos extremos nos daran las siguientes grficas (figura 1.22 y b): pi % qi % Distribucin de concentracin mnima pi % qi % Distribucin de concentracin mxima (a) (b) Figura 1.22: Casos extremos de concetracin Como propiedades de esta curva de Lorenz pueden citarse las siguientes: - La curva es siempre creciente, pues la ordenacin de salarios es de menor a mayor. - La curva empezar en el origen O = (0,0) y terminar en el (100,100)B - La curva est siempre situada por debajo de la diagonal. - La concentracin ser menor cuanto ms prxima est la curva de Lorenz a la diagonal. 1.1.9.2 ndice de Gini Se define el ndice de concentracin de Gini por : IG = (pi ! qi ) i=1 k!1 " pi i=1 k!1 "

61 Si la concentracin es mnima (pi = qi) vale 0 y si la concentracin es mxima (q1 = q2 =........= qk-1 = 0) vale 1. As pues el ndice de Gini varia de 0 a 1, siendo menor la concentracin y en consecuencia ms justa y equitativa la distribucin cuanto ms prximo est a cero, mientras que la concentracin ser mayor cuanto ms prximo est a 1 (Ver figura 1.23). Por ltimo cabe sealar, que aunque el ndice de Gini tiene la ventaja de resumir en un solo nmero lo recogido en la curva de Lorenz, a veces, dos distribuciones de aspectos muy diferentes pueden tener dos ndices de concentracin de Gini iguales, como indican las curvas de la figura 1.23. Figura 1.23: Diferentes curvas de Lorenz

62 "REPRESENTACIONES GRAFICAS" 1.2 Ampliacin

63 Quizs fuese interesante, presentar el tema de las representaciones grficas al alumno, mediante una introduccin desde la perspectiva del lenguaje grfico y de su utilidad y difusin en el mundo que nos rodea. Sera una buena forma de motivarle para que prestase atencin sobre la importancia de saber leer de forma correcta los grficos ms usuales. 1.2.1 El lenguaje grfico El lenguaje grfico es el "conjunto de smbolos y convenios que permiten comunicar una informacin cuantitativa de la manera ms eficiente posible" (GETE-ALONSO y del BARRIO, 1990). Este lenguaje se sirve de numerosos signos y smbolos que han evolucionado con el tiempo y que encontramos en casi todas las manifestaciones de la actividad humana, emplendose para expresar de manera rpida y sucinta ideas, objetos y situaciones, en muchas ocasiones con significado universal. 1.2.1.1 El lenguaje grfico en la vida cotidiana Si nos detenemos un momento a pensar en el mundo que nos rodea vemos como el lenguaje grfico se utiliza en absolutamente todo nuestro entorno (figura 1.24). Lo encontramos en las instrucciones de lavado de cualquier prenda de vestir, en la informacin sobre los transportes metropolitanos de cualquier ciudad, en las teclas que hacen funcionar los electrodomsticos, en los mapas de carreteras, en la informacin acerca de la calidad y categora de restaurantes y hoteles, en las seales que regulan el trfico, en el parte diario acerca del estado del tiempo, en los emblemas y distintivos de organizaciones y sociedades, etc. etc.

64 Figura 1.24.- Importancia y actualidad del lenguaje grfico (Tomada de AVILA-ZARZA, 1993) 1.2.1.2 El lenguaje grfico como herramienta de comunicacin social Hace ya tiempo que las representaciones grficas abandonaron las publicaciones especializadas, en las que se utilizan como herramienta de comunicacin y anlisis de datos estadsticos, para pasar a formar parte de las herramientas de comunicacin social (televisin, prensa, propaganda...). La generalizada utilizacin de las representaciones grficas es sin duda sorprendente. Podemos encontrarlas en billetes, como el de diez Marcos alemanes de la figura 1.25, en el que aparece representada la curva normal de Gauss.

65 Figura 1.25: Billete de diez marcos alemanes, en el que est impresa la Curva Normal de Gauss Tambin es posible encontrarlas ya en obras dirigidas al gran pblico, cuya nica intencin es entretener. As ocurre, por ejemplo, con la conocida novela de ficcin "Parque Jursico" (CRICHTON, M. 1990-92) en la que un Diagrama de perfil - (ver figura 1.26) sirve de base argumental. Figura 1.26. Esto se debe a que sin duda, y cada vez con mayor intensidad, nos vemos inmersos en una "sociedad estadstica", entendiendo como tal aqulla en la que los ciudadanos piensan, razonan y toman decisiones en base a anlisis estadsticos de datos.

66 Aunque en Espaa la Estadstica dista an de ocupar un lugar como el que, por ejemplo, tiene en un pas como Japn, donde los peridicos de mayor difusin e importancia incluyen los viernes una seccin dedicada al control estadstico de calidad y en el que, por ejemplo, el diagrama horario del tren de Tokio se presenta mediante un clsico Steam and Leaf (ROMERO, 1991)* , somos en la actualidad espectadores de un cambio significativo. Cada vez en mayor medida se recurre a datos y anlisis estadsticos para transmitir la informacin, siendo los Mtodos Grficos de carcter descriptivo la herramienta de la que no se puede prescindir** . Un claro ejemplo de esta situacin de transicin, se produjo a raz de las elecciones generales realizadas en los dos ltimos comicios en nuestro pas, donde no slo los resultados de las encuestas, sino tambin los aspectos relacionados con aqullas eran objeto de anlisis estadstico, siendo los mtodos grficos las autnticas estrellas en la transmisin de la informacin. 1.2.2 El poder de los mtodos grficos "Una imagen vale ms que mil palabras"*** . No slo el lenguaje grfico es importante; el poder de las representaciones grficas es un hecho. La visin es la modalidad sensorial dominante del ser humano; nuestro cerebro est altamente capacitado para el manejo de informacin visual, siendo capaz de reconocer y procesar imgenes grficas con una simple inspeccin ocular. As, est comnmente aceptado por la comunidad cientfica que, en general, una representacin grfica proporciona mayor informacin acerca de las caractersticas y patrones de los datos, que un texto o una presentacin tabular de los mismos. * Nos preguntamos, cuntos lectores en Espaa, sin y con conocimientos estadsticos bsicos podran ser capaces de interpretar uno similar...?. ** Todo ello ha motivado no sacrificar en el apartado de mtodos grficos la inclusin de aqullos, que an no siendo histricamente recientes, son an "grandes desconocidos". *** Provervio Chino

67 1.2.2.1 Los riesgos del Anlisis de Datos sin la utilizacin de grficos LOS DIAGRAMAS DE ANSCOMBE El peligro de llevar a cabo anlisis de datos sin la utilizacin de grficos puede ponerse de manifiesto con los conocidos Diagramas de Anscombe (ANSCOMBE, 1973) (ver figura 6.19), los cuales evidencian cmo cuatro grupos de datos que producen idnticas rectas de Regresin (incluida la ordenada en el origen y la pendiente), idnticos coeficientes de correlacin e idnticos errores estndar, corresponden en realidad a casos muy diferentes. Como seala TUKEY (1962), gran parte del poder e importancia de los Mtodos Grficos, es que nos permiten percibir aquello que nunca esperbamos ver. 1.2.2.2 Los grficos como herramienta de engao ESPACIO PERCEPTIVO Y ESPACIO MATEMTICO EUCLDEO A pesar de la reconocida importancia y poder del lenguaje grfico, el proceso perceptivo y cognoscitivo que se produce durante la inspeccin de un grfico no es del todo conocido. En las Matemticas los espacios se construyen a partir de unos axiomas, y se describen y definen por una geometra. Hay varios tipos de espacios matemticos, definidos por sus correspondientes geometras (topolgico, proyectivo, afn, eucldeo...). El ms conocido y utilizado, es el Espacio Eucldeo. El espacio fsico en el que vivimos, puede considerarse aproximadamente, y teniendo en cuenta el alcance de nuestra percepcin, como un espacio matemtico eucldeo. Admitir que el espacio fsico es eucldeo no equivale a que el perceptual lo sea, y as, aun no est claro que la idea subjetiva de distancia, por ejemplo, coincida con la distancia fsica definida en relacin con las coordenadas rectangulares. Segn VURPILLOT (1979), el espacio visual binocular es un espacio de curvatura negativa al que la geometra hiperblica de Lobatchefsky describra de forma ms adecuada.

68 Sin embargo, y a pesar de esta controversia acerca de si el espacio perceptivo coincide con en el espacio matemtico eucldeo, es ste -por aproximacin al espacio fsico- el que generalmente utilizamos para representar el mundo. No obstante, representadas en un espacio Eucldeo, las cosas no son siempre aquello que parecen ser. Como seala PINILLOS (1973 ) "En realidad, lo que ocurre es que la mente humana funciona como una totalidad, y no son los sentidos, sino el sujeto, quien percibe". ILUSIONES GEOMTRICAS Lo que acabamos de comentar se pone especialmente de manifiesto en las conocidas distorsiones perceptivas o ilusiones geomtricas. (Ver figura 1.27a y b) Fig. 1.27 (a): Ilusin de Mller-Lyer (dos rectas de igual longitud, parecen de diferente tamao (b): Ilusin de PoggendorfLas lneas oblicuas son colineales Estas distorsiones perceptivas, conocidas ya a principios de siglo, deberan ser tenidas en cuenta en el contexto de los Mtodos Grficos. Son sin embargo pocos los estudios experimentales realizados que examinan el papel de las distorsiones perceptivas (ilusiones geomtricas) en relacin con la utilizacin de los grficos, y la mayora de ellos no son conocidos por el usuario medio, como afirman SPENCE & LEWANDOWSKY (1990). POULTON (1985) ha investigado ilusiones similares a la clsica de Poggendorf, mediante experimentos que sugieren que las relaciones de lneas inclinadas sobre los ejes vertical y horizontal de los grficos pueden producir errores de lectura, que se incrementan a medida que aumenta la distancia a los ejes.

69 SOLUCIONES PARA MITIGAR LAS ILUSIONES GEOMETRICAS POULTON (1985) propone: . que los todos los grficos muestren los cuatro ejes. . que todos los ejes estn graduados. INCONVENIENTES DE LAS REPRESENTACIONES GRFICAS Las representaciones grficas tienen ventajas, pero tambin sus inconvenientes. La frase "una imagen vale ms que mil palabras" podra cambiarse por esta otra "una imagen miente ms que 1000 nmeros" (SWOBODA, 1975). Las representaciones grficas deberan proporcionar con una sola mirada aquella idea del material estadstico que vena dada por la comparacin de muchos nmeros y datos. Pero... no siempre es as. Los errores y malentendidos surgen cuando el lector es distrado o no est suficientemente preparado y adquiere una idea que no se corresponde con los datos originales. 10000 9000 8000 7000 6000 I II III IV (a) 9500 9000 8500 8000 7500 I II III IV (b) I/II II/III III/IV 9% 8% 7% 6% 5% (c) Figura 1.28: La ascensin lenta de la curva (a) pone de manifiesto un crecimiento moderado. Los mismos datos pueden expresar un crecimiento explosivo y optimista (b). Se puede obtener una curva ascendente primero, y descendente despus si se toman los ndices de crecimiento de uno a otro perodo en lugar de los nmeros absolutos (c). (Adaptada de SWOBODA, 1975).

70 No se pueden juzgar nunca las imgenes solas, sino que siempre deben considerarse tambin los nmeros y las escalas. 1.2.3 Representaciones grficas ms usuales 1.2.3.1 Introduccin El artculo publicado por TUKEY en 1962, "The Future of Data Analysis", fue el germen que proporcion un inusitado auge de Mtodos Grficos en la Estadstica, inaugurando una nueva era en este campo, al otorgarles un papel central en anlisis exploratorios. Sin embargo, la importancia y protagonismo que entonces se prevea, no lleg a hacerse realidad hasta ms tarde. Fue en la dcada de los 70 cuando aparecen publicaciones sobre el tema, tanto histricas (ROYSTON, 1970), como de recapitulacin (FIENBERG, 1977), o de carcter novedoso (CHERNOFF, 1973; TUKEY, 1977). Incluso tiene lugar un Simposio sobre el tema (WANG & LAKE,1978). La aparicin, desarrollo y generalizada utilizacin de los ordenadores fue y es, sin duda, la causa fundamental. 1.2.3.2 Clasificacin Existen diversos criterios para clasificar los mtodos de representacin grfica: SNEE & PFEIFER (1985), siguiendo el criterio del propsito del mtodo, realizan una clasificacin de los distintos mtodos grficos en tres grandes grupos: -Grficos utilizados en Anlisis Exploratorios. -Grficos usados en Anlisis Confirmatorios. -Grficos para la Comunicacin y/o Presentacin de los resultados.

71 Esta clasificacin de los Mtodos Grficos, resulta de un gran atractivo por su sencillez y didctica. En la figura 1.29 podemos ver un esquema sobre de las fases del mtodo cientfico en donde tienen cabida las representaciones grficas. Figura 1.29: Posible implementacin de los mtodos grficos en el proceso del Anlisis de Datos, segn NAGEL & DOBBERKAU (1988) ALONSO (1982) realiza una clasificacin en funcin de la finalidad estadstica y las caractersticas tcnicas de los distintos mtodos grficos. En ella, stos son clasificados en cuatro grupos de tcnicas. -Tcnicas de Representacin Grfica de la distribucin de Probabilidad, para una o varias variables. -Tcnicas que proporcionan el Perfil (o evolucin) a lo largo del tiempo, o del espacio, etc., de una o varias variables, bien para individuos, bien para poblaciones. -Tcnicas que presentan las proximidades entre individuos y poblaciones, de acuerdo con los valores que toman para varias variables. -Tcnicas que permiten obtener grupos jerarquizados de individuos o poblaciones, en base a los valores que toman para varias variables.

72 En base al procedimiento grfico y la tcnica estadstica subyacente, en el Anlisis Multivariante pueden distinguirse claramente dos grandes grupos de tcnicas grficas: . Mtodos Multivariantes Grficos (MMG). . Mtodos Grficos Multivariantes (MGM). Los Mtodos Multivariantes Grficos son potentes herramientas de diagnosis basadas en el anlisis de grandes matrices de datos, que mediante complejos procesos algebraicos asentados sobre mtodos numricos, permiten representar la informacin del hiperespacio de partida en un subespacio de dimensiones reducidas. Evidentemente se trata de procedimientos sumamente interesantes, pero que escapan al contenido del presente captulo. Los Mtodos Grficos Multivariantes slo exigen efectuar una transcripcin geomtrica de los datos correspondientes a un conjunto de variables, en una representacin grfica. Este tipo de mtodos permiten resumir la informacin, y constituyen directamente un procedimiento grfico descriptivo. Entre ellos tenemos: .Diagramas de Dispersin Mltiple. .Figuras de Representacin (Grficos Pictoriales o Iconos). .Curvas de Andrews. Estos mtodos sern tratados con mayor profundidad ms adelante. (Ver figura 1.30) 1.2.3.3 Representaciones grficas en el anlisis multivariante MTODOS GRFICOS UNIVARIANTES MULTIPLES Muchas de las representaciones utilizadas en anlisis multivariante no son en s mismas multidimensionales ya que, a pesar de ser un conjunto de grficas que forman una representacin unitaria, cada una de ellas por separado slo muestra una dimensin (o a lo sumo dos) de los datos referidos a varias variables o dimensiones. Desde ellas no

73 se puede mostrar una variacin comn. Son por ello Mtodos Grficos Univariantes Mltiples, ms que multivariantes. Evidentemente, son muchas las posibilidades que permiten las representaciones univariantes en el anlisis de los datos correspondientes a varias variables. Sin embargo, estas representaciones no difieren en sus caractersticas de los mtodos grficos univariantes pero debido a su importancia, popularidad y utilizacin en todos los mbitos, merece la pena hacer referencia a tres tcnicas: .Stem & leaf, Box-plot * .Diagrama de dispersin** . Curvas de Andrews Mapas Estadsticos Grficos Pictoriales o Figurativos Diagrama de Dispersion Mltiple Figura 1.30: Algunos Mtodos Grficos Multivariantes (Tomado de AVILA-ZARZA (1993) con permiso del autor) .Stem & leaf * Ambos son mtodos grficos de gran utilidad en la comparacin de dos o ms series de datos, de ah su importancia dentro del anlisis multivariante ** Mediante esta representacin grfica es como generalmente se presentan los resultados en la mayora de los mtodos multivariantes grficos (MGM).

74 La representacin Stem & Leaf*** es una representacin intermedia entre una tabla y un grfico. Muestra los valores con cifras, aunque su perfil es el de un histograma. Este tipo de representacin se debe a TUKEY (1977). (Ver figura 1.31). Construccin de un diagrama Steam & Leaf 1.- Se debe escribir a la izquierda de una lnea vertical, de arriba hacia abajo, todos los posibles dgitos principales del conjunto de datos. 2.- Luego se representa cada dato a la derecha de la lnea, escribiendo sus dgitos secundarios en la fila apropiada. Lectura del grfico La longitud de cada fila nos muestra el nmero de valores en cada intervalo, por lo que representa esencialmente un histograma lateral, solventando una limitacin del histograma, ya que permite identificar los valores originales de cada intervalo. La figura siguiente (figura 1.31) muestra el grfico Stem & leaf de los 50 estados de Estados Unidos ordenados segn la variable "voto medioambiental", cuyos datos aparecen en la tabla 1.1. Esta variable mide cmo la delegacin congresista de cada estado vot en relacin a temas de medioambiente durante el ao 1984. Refleja el porcentaje de veces que sus votos estuvieron de acuerdo con las recomendaciones del grupo "The League of Conservation Voters". As el valor de Idaho, 12, significa que el voto de sus representantes estuvo de acuerdo con la liga en el 12% de las ocasiones. 1 267 2 6 3 33345699 4 01477779 5 123456667799 6 224999 7 02222499 8 26 9 6 Figura 1.31: Representacin Stem & leaf de la tabla 1.1 *** Literalmente traducido, diagrama de tallo y hojas

75 Se observa claramente cmo el rango del porcentaje vara desde 12 hasta 96. Tambin puede apreciarse como la distribucin es aproximadamente simtrica de modo que el valor mediano (siendo este valor 55%) se encuentra en el intervalo de 50 a 60 (opcionalmente puede indicarse poniendo entre parntesis el tallo correspondiente).

76 Estado Porcentaje de voto medioamb. Estado Porcentaje de voto medioamb. Idaho 12 S. Dakota 55 Utah 16 Illinois 56 Alaska 17 Montana 56 Wyoming 26 Missouri 56 Alabama 33 Ohio 57 Mississippi 33 Washington 57 Virinia 33 California 59 Nebraska 34 N. Dakota 59 Arizona 35 Maryland 62 Arkansas 36 Pnnsylvania 62 Texas 39 Hawaii 64 Kansas 39 Delaware 69 Louisiana 40 Michigan 69 Kentucky 41 W. Virginia 69 N. Carolina 47 Minnesota 70 Tennessee 45 New York 72 New Mexido 47 Wisconsin 72 Nevada 47 New Hampsh. 72 S. Carolina 47 New Jersey 72 Colorado 47 Iowa 74 Georgia 49 Maine 79 Florida 51 Connecticut 79 Oclahoma 52 Massachusetts 82 Oregon 53 Rhode Island 86 Indiana 54 Vermont 96 Tabla 1.1: Lista ordenada de los votos al congreso de los 50 Estados de EE.UU. en 1984: Porcentaje de acuerdo con "The League of Conservation Voters". (Tomado de HAMILTON, 1990) Este mtodo tambin es de gran utilidad para la comparacin de dos o ms series de datos, como hemos dicho con anterioridad, representando un diagrama steam & leaf para cada serie. .Box-plot Esta representacin grfica, tambin debida a TUKEY (1977), puede ser traducida como Caja con Bigotes o Representacin Caja, aunque se conoce usualmente con el nombre de Box-plot o bien Box and Whiskers plot. Es un mtodo grfico simple para resumir la informacin, proporcionando una rpida impresin de las caractersticas ms importantes de una distribucin.

77 Figura 1.32: Diagrama que muestra un Box-plot, en el que se indican los percentiles que son representados en el grfico Esta representacin (Figura 1.32), consiste bsicamente en una caja dispuesta verticalmente que 'encierra' el recorrido intercuartlico; es decir, la lnea inferior indica el primer cuartil (25 percentil), y la lnea superior seala el tercer cuartil (75 percentil). Otra lnea intermedia marca el 50 percentil o Mediana as como su posicin relativa en relacin al rango intercuartlico. Los Whiskers (bigotes), o lneas que se prolongan verticalmente, marcan los valores extremos en algunos casos. En grandes conjuntos de datos, marcan el 10 y 90 e incluso 5 y 95 percentil. Usualmente, los 'bigotes' indican el 10 y 90 percentil, siendo sealados los puntos extremos o aberrantes ("Outliers"), con pequeos crculos o estrellas* . Una variante del mtodo anterior es la que se conoce con el nombre de Notched Box-plot (McGILL et al, 1978), y que puede observarse en la Figura 1.33; dicha variante no es ms que un 'Box-plot con muescas', siendo las muescas la indicacin del intervalo de confianza para la medida de tendencia central usada, es decir, la Mediana. Ambos mtodos son especialmente convenientes para comparar dos o ms conjuntos de datos. * Usualmente aparece as implementado en la mayora de los programas de ordenador, por ejemplo en el programa Stat-View 4.01 (ABACUS, 1993)

78 Figura 1.33: Diagrama de un Notched Box-plot, en el que se indica el nuevo valor que es representado. En el grfico de la figura 1.34 podemos comparar la presencia (en porcentaje) una especie de lagartija (Podarcis muralis) en tres hbitats diferentes en la Sierra de Guadarrama (tomado de MARTIN-VALLEJO, 1990). Figura 1.34: Comparacin, mediante Box Plot, del porcentaje que Podarcis muralis presenta en la ocupacin de tres tipos de hbitat en la Sierra de Guadarrama: Talud, Roquedo y Muro (A partir de los datos de MARTN VALLEJO, 1990).

79 Incluso en algunos programas combinan informacin en un mismo grfico, como puede observarse en el siguiente (figura 1.35) realizado con el JMP (SAS Institute Inc. 1989-94), en el cual adems de un Box-plot aparece la informacin sobre la media y su intervalo de confianza.* Figura 1.35: Grfico obtenido con el programa JMP. Adems de un Box-plot aparece informacin sobre la media aritmtica y su intervalo de confianza. .Diagramas de dispersin Un Diagrama de puntos, ms conocido como Diagrama de Dispersin, es un mtodo simple pero eficiente para ilustrar un determinado comportamiento o bien analizar una distribucin en particular; su finalidad puede ser la de poner de manifiesto una relacin entre variables, analizar proximidades entre individuos y/o poblaciones, localizar outliers... Por ser un mtodo suficientemente conocido, no se realizar un estudio detallado de dicha representacin, si bien -dada su importancia- se comentarn algunas de las posibilidades que permite en el estudio de datos multivariantes. La informacin visual de un diagrama de dispersin puede ser incrementada mediante varias herramientas adicionales (CHAMBERS & KLEINER, 1982); por ejemplo, mediante un Box-plot paralelo marginal para cada variable. (Ver figura 1.36). * Ver el apartado 4.1.3 relativo a intervalos de confianza

80 . 25 20 15 1050 0 10 20 30 SA AV SG LE SO P BU VA ZA BARBECHO PASTIZAL Figura 1.36: Diagrama de Dispersin, con Box Plot paralelo marginal, de la superficie de cultivo dedicada a Barbecho y Pastizal, en las provincias de Castilla y Len. (A partir de los datos del Anuario de Estadstica Agraria, 1990) Para representar las relaciones entre ms de dos variables, una posibilidad es aadir una tercera, obteniendo as un Diagrama de Dispersin Tridimensional, como se muestra en la figura 1.37. Figura 1.37: Diagrama de Dispersin Tridimensional, de la superficie de cultivo dedicada a Barbecho, Prado y Herbceo en las provincias de Castilla y Len. (A partir de los datos del Anuario de Estadstica Agraria, 1990)

81 Existen sistemas grficos de ordenador (SYSTAT, JMP, SPSS), que permiten - mediante la opcin denominada 'SPIN'- la 'exploracin multivariante' de estas representaciones tridimensionales, al rotar la nube de puntos alrededor de cualquier eje en la pantalla, y visualizar de este modo todos los puntos, y sus posiciones relativas. El resultado puede llegar a ser realmente espectacular con el uso del color en la representacin. De acuerdo con los modernos Analistas de Datos (GABRIEL (1971) entre otros), esta importante innovacin grfica constituye una de las ms potentes tcnicas de anlisis visual de datos multivariantes existentes en la actualidad. Quizs sea sta la razn por la cual todos los nuevos 'paquetes grficos' que salen al mercado, incluyan esta opcin. Opcin, por otra parte, que ha sido posible por el desarrollo que en los ltimos tiempos han sufrido los ordenadores; el movimiento en tiempo real de la nube tridimensional exige operar con una gran cantidad de datos con potencia y rapidez. .Matriz de Diagramas de Dispersin Otra forma de representar relaciones entre ms de dos variables, es dibujando pares de variables mediante diagramas de dispersin, que son ordenados en una Scatterplot Matrix , o Matriz de Diagramas de Dispersin (figura 1.38), proporcionando de este modo, en una nica imagen visual, todos los pares posibles; todas las variables. Aunque cada diagrama por separado muestra tan slo dos dimensiones de los datos (no es posible detectar una variacin comn), en ocasiones esta representacin univariante mltiple puede ser efectiva en la deteccin de 'outliers', o patrones de los datos. Los Diagramas de Dispersin Mltiples, nombre con el cual tambin se conoce a este tipo de representacin, son anlogos grficos de las matrices de covarianzas o correlaciones utilizadas en la mayor parte de las tcnicas grficas multivariantes. En este sentido podran considerarse tcnicas grficas multivariantes.

82 Figura 1.38: Matriz de diagramas de dispersin de la superficie de cultivo dedicada a Barbecho, Prado, Herbceo y Pastizal en las provincias de Castilla y Len. (A partir de los datos del Anuario de Estadstica Agraria, 1990) MTODOS GRFICOS MULTIVARIANTES (MGM) Los Mtodos Grficos Multivariantes, como hemos apuntado con anterioridad, son mtodos que simplemente exigen efectuar una transcripcin geomtrica de los datos (correspondientes a un conjunto de n variables, n>2 ), en una representacin grfica. Constituyen directamente por ello un procedimiento descriptivo. Cmo podemos representar grficamente valores de ms de tres variables en una representacin grfica? Cuando los datos tienen ms de dos o tres dimensiones, la representacin grfica se hace complicada: las dimensiones del plano no son capaces de acoger un mayor nmero de variables que los que acoge la representacin cartesiana convencional, o la tridimensional; por lo tanto se requiere otro tipo de representacin. Existen diferentes mtodos para representar datos multivariantes, prcticamente tantos como autores se han ocupado del tema. No se realizar por ello una revisin exhaustiva ni una descripcin detallada de los MGM; solamente se enumerarn algunas de las tcnicas existentes en la actualidad, y nicamente se expondrn con cierto detalle las ms importantes y actuales que permiten la representacin grfica de entidades definidas por varias variables, como son las Caras de Chernoff (CHERNOFF, 1973), y las Curvas de Andrews (ANDREWS, 1972), o las Gotas de Fourier.

83 Como en todo Anlisis Multivariante, se parte de una matriz de datos que contiene la informacin de los valores que los individuos toman para cada una de las variables a estudiar, que ser la que se representar de forma grfica. Antes de representar dicha matriz pictricamente, debe cuestionarse cual ser el uso que se dar a dicha representacin, y el objetivo final de la misma; teniendo en cuenta, adems, que por lo general sern los individuos las entidades representadas. Todo ello en base a elegir el mtodo de representacin ms adecuado. La prctica totalidad de los Mtodos Grficos Multivariantes que se conocen, no son otra cosa que 'constructos pictricos', (tambin conocidos como grficos pictoriales o figurativos, o simplemente 'Iconos'), formados por elementos geomtricos (puntos, rectas, curvas, tringulos, crculos...) que varan en funcin de los valores que toman las variables en los individuos a los que representan. Algunos de los muchos MGM existentes, son los que aparecen esquematizados en la figura 1.39. (Tomada de AVILA-ZARZA, 1993). Entre los mtodos representados en esta figura, unos se caracterizan porque las variables se representan como longitudes de las componentes grficas; es el caso de los Polgonos o Estrellas (rayos circulares emanando de un origen comn), o los Glifos, (segmentos que se extienden desde un crculo); otros -es el caso de las Caras de Chernoff- representan las variables mediante caractersticas faciales (excentricidad de la cara, la curvatura de la boca o la inclinacin de los ojos...), etc.. La mayora de las tcnicas se encuentran ya informatizadas, de modo que el investigador tan slo deber determinar el orden de asignacin de las variables para su construccin.

84 Grficos de veleta Polgonos o estrellas Glifos Gotas de Fourier Caras de Chernoff Figura 1.39: Algunos tipos de Mtodos Grficos Multivariantes (tomada de AVILA-ZARZA, 1993) Interpretacin de las representaciones grficas multivariantes Cada elemento de un icono no puede ser convertido al valor numrico; las transformaciones que en general suelen realizarse, son lo suficientemente complejas para que nosotros podamos interpretar esos valores mentalmente con la simple observacin visual de los mismos. La correcta interpretacin de estos mtodos consiste, fundamentalmente, en buscar grficos similares. Entidades con similares valores para las variables tendrn formas parecidas; y entidades con diferentes valores, presentaran formas diferentes. Esto nos permitir encontrar patrones de variacin similares, en contraposicin con otros tipos de patrn, y por tanto, por ejemplo, establecer grupos o 'Clusters'. Si se desea obtener informacin acerca de los valores de partida, deber volverse sobre los datos originales y examinar los valores correspondientes, y cmo estos determinan los grficos.

85 Veamos, de manera simplificada, alguno de estos mtodos. .Polgonos o Estrellas Determinan perfiles configurados por segmentos que parten de un origen comn, y cuya longitud corresponde al valor que -para cada entidad- toma la variable a la cual dicho segmento representa. Las figuras 1.40 y 1.41, son un ejemplo de este tipo de representacin ASALTOS ROBOS ALLANAMIENTOS DE MORADA HURTOS ROBOS DE COCHESASESINATOS VIOLACIONES Figura 1.40: Icono de estrella para la ciudad de New York mostrando la asignacin de las variables a cada segmento, para el ejemplo de la figura 1.41 Figura 1.41: Iconos de estrella representando los datos de la criminalidad en diversas ciudades de EE.UU. (datos originales de EVERITT, 1993).

86 Para hacer la representacin ms visible, los extremos de los segmentos pueden ser conectados entre si. El programa de ordenador SYSTAT (WILKINSON & EVANSTON, 1988), presenta los resultados (tras la aplicacin de este mtodo), mediante los polgonos que resultan de la conexin de estos segmentos, pero sin que los mismos aparezcan. Como en otros grficos figurativos, es conveniente ordenar las variables de tal manera que aquellas que estn correlacionadas aparezcan prximas. .Gotas o Manchas de Fourier Se trata de otro mtodo de representacin grfica multivariante (Ver figura. 1.42) Esta est determinada por la funcin de Fourier: f ( t) = y12 + y2sen(t) + y3 cos(t) + y4sen(2t) + y5 cos(2t) donde y es una variable p-dimensional y t vara desde -3,14 hasta 3,14. El resultado de esta transformacin es un conjunto de formas onduladas hechas a partir del seno y el coseno, que trasladadas a coordenadas polares, toman el parecido de manchas, gotas o amebas. Cada individuo vendr representado por una gota, de modo que podremos encontrar clusters de individuos "parecidos" cuando las gotas que los representan tengan