APUNTES ESTADÍSTICA CUANTI PSICOLOGÍA 2010 RAÚL ZARZURI

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 UNIVERSIDAD ACADEMIA DE HUMANISMO CRISTIANO ESCUELA DE PSICOLOGÍA RAÚL ZARZURI CORTES/ CUANTITATIVA 2010 1 NOTAS SOBRE EL ANÁLISIS DE DATOS INTRODUCCIÓN Los presentes apuntes, son notas introductorias al componente de estadística del curso. En el se recogen elaboraciones que he realizado para este curso, más otras sacadas de textos y aportes Profesor Alejandro Vásquez, las cuales se encuentran debidamente señaladas. EL ANÁLISIS DE DATOS. INTRODUCCIÓN Una primera aproximación al concepto de datos, se puede realizar desde el enfoque positivista, donde dato alude a una realidad externa, independiente del sujeto. Así dato, haciendo referencia a la etimología de la palabra significa “lo dado”. Sin embargo desde otros enfoques, como el interpretativo, los datos “ son todas aquellas informaciones relativas a las interacciones de los sujetos entre sí y con el investigador, sus actividades y los contextos en que tiene lugar, la información proporcionada por los sujetos bien a iniciativa propia bien a requerimientos del investigador, o por los artefactos que construyen y usan (documentos escritos u objetos materiales)” (Gil Flores, 1994:25). Aparece en este enfoqu e la idea del dato como una construcción, a partir de las creencias y supuestos previos que están atravesados por la cultura  Análisis estadístico univariado El análisis de datos depende de l a calidad y cantidad de éstos. Este tipo de análisis involucra el análisis de cada variables de estudio, lo que implica la construcción de una tabla de frecuencias, en la cual se incluyen los distintos valores que toman las variables, acompañado por su frecuencia, es decir, el número de veces que aparece. Utilización de estadísticos Medidas de tendencia central  Media la medida más representativa siempre y cuando la variable sea cuantitativa. Incluye a todos los valores de la distribución. Se ve afectado por valores muy extremos  Mediana valor que divide la distribución en dos partes iguales, o sea, se sitúa al medio de la distribución. Supone variable de medida ordinal y no se necesitan todos los datos.  La moda es el valor de mayor frecuencia en la distribución y puede ser unimodal (una sola moda) o bimodal o multimodal. Se utiliza para cualquier tipo de variable. Cuál elegir? Debe ser la media, por su mayor nivel de medida, porque al basarse en todos los datos puede describir mejor éstos. Es el mejor estimador

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NOTAS SOBRE EL ANÁLISIS DE DATOS

INTRODUCCIÓN

Los presentes apuntes, son notas introductorias al componente de estadística delcurso. En el se recogen elaboraciones que he realizado para este curso, más otrassacadas de textos y aportes Profesor Alejandro Vásquez, las cuales se encuentrandebidamente señaladas.

EL ANÁLISIS DE DATOS. INTRODUCCIÓN

Una primera aproximación al concepto de datos, se puede realizar desde el enfoquepositivista, donde dato alude a una realidad externa, independiente del sujeto. Así dato, haciendo referencia a la etimología de la palabra significa “lo dado”. Sin embargodesde otros enfoques, como el interpretativo, los datos “son todas aquellasinformaciones relativas a las interacciones de los sujetos entre sí y con el investigador,sus actividades y los contextos en que tiene lugar, la información proporcionada por los sujetos bien a iniciativa propia bien a requerimientos del investigador, o por losartefactos que construyen y usan (documentos escritos u objetos materiales)”  (GilFlores, 1994:25). Aparece en este enfoque la idea del dato como una construcción, apartir de las creencias y supuestos previos que están atravesados por la cultura  

Análisis estadístico univariado

El análisis de datos depende de la calidad y cantidad de éstos. Este tipo de análisisinvolucra el análisis de cada variables de estudio, lo que implica la construcción de unatabla de frecuencias, en la cual se incluyen los distintos valores que toman lasvariables, acompañado por su frecuencia, es decir, el número de veces que aparece.

Utilización de estadísticos

Medidas de tendencia central

•  Media la medida más representativa siempre y cuando la variable sea

cuantitativa. Incluye a todos los valores de la distribución. Se ve afectado porvalores muy extremos •  Mediana valor que divide la distribución en dos partes iguales, o sea, se sitúa al

medio de la distribución. Supone variable de medida ordinal y no se necesitantodos los datos. 

•  La moda es el valor de mayor frecuencia en la distribución y puede serunimodal (una sola moda) o bimodal o multimodal. Se utiliza para cualquier tipode variable.

Cuál elegir? Debe ser la media, por su mayor nivel de medida, porque albasarse en todos los datos puede describir mejor éstos. Es el mejor estimador

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de los parámetros de una población.

Medidas de dispersión

Referida a la representatividad, ligado a la mayor o menor variabilidad

•  Rango o recorrido•  La desviación típica que es el promedio de la desviación de los casos con

respecto a la media. Se utiliza calculando la media. Sólo variables cuantitativas•  La varianza definida como el cuadrado de la desviación típica. Expresa el grado

de heterogeneidad de una población respecto de la variable medida

Análisis bivariables

El análisis bivariado es aquella rama de la estadística que estudia el comportamientosimultáneo de dos variables, representativas de dos tipos distintos de fenómenos.

El análisis bivariado es un caso especial del análisis multivariado, es decir, aquelanálisis que estudia la existencia de relaciones de asociación o dependencia entrevarias variables. El análisis bivariado permite descubrir si dos fenómenos se comportanen forma simultánea, pues la ocurrencia de uno de ellos puede ocasionar la ocurrenciadel otro. En tal caso hablaremos de la existencia de una relación de causalidad entreambos fenómenos, y uno de ellos podrá ser considerado la causa del otro. Sinembargo, y como veremos más adelante, sólo en raras ocasiones puede llegar ademostrarse una relación de causalidad entre dos o más variables. Pero sí es posiblemuchas veces descubrir la existencia de una asociación o correlación entre variables,que indica que dos fenómenos varían en forma simultánea. Esto puede ser analizado através de dos tipos de pruebas estadísticas: pruebas paramétricas y pruebas noparamétricas. Entre las primeras la más conocida es el análisis de regresión, y entralas segundas, la prueba de Ψ 2 (Chi-Cuadrado).

SE utiliza tanto con fines descriptivo como explicativos.

•  Tablas de contingencia cruce de al menos dos variables. Si se toma el total defilas el porcentaje será horizontal y las comparaciones entre sub grupos seharán verticalmente.

Análisis multivariable

El análisis estadístico multivariado permite estudiar el comportamientosimultáneo de una gran cantidad de variables. Ejemplos de análisismultivariados más conocidos son el análisis de regresión múltiple, el análisisfactorial, el análisis de conglomerados (clusters), el análisis discriminante, elanálisis de varianza multifactorial, el análisis de correspondencias múltiples yel análisis log-lineal.

Operan con un número elevado de variables de manera simultánea.

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 Cuadro 1. Características de los métodos cuantitativos y cualitativos de reunión de

datos

Fuentes: UNICEF, 1991. Gosling, 1995; USAID TIPS No 2, 1996.

Métodos cuantitativos Métodos cualitativos

Uso Para medir numéricamente “quién, qué, cuándo,dónde, cuánto, cuántos,con qué frecuencia”.

Para analizar cualitativamente “cómo ypor qué”.

Ejemplos Entrevistas normalizadas;encuestas utilizandopreguntas de respuestaslimitadas; observación.

Entrevistas libres y dirigidas (incluidosgrupos focales); encuestas utilizandopreguntas de respuestas abiertas;observación; interpretación de

documentos.Ventajas    Proporcionan “datos

irrefutables” cuantitativos, exactos yprecisos para probarque algunos problemasexisten

  Pueden analizar lasrelaciones estadísticasentre un problema y lascausas evidentes

  Pueden proporcionar un

amplio panorama detoda una población

  Permiten hacercomparaciones

  Establecen informaciónde referencia que sepuede utilizar para

  Útiles al planificar un programainteresado en el cambio social

  Proporcionan una comprensión cabaldel contexto del programa/proyectopara interpretar los datoscuantitativos

  Permiten conocer las actitudes,creencias, motivos ycomportamientos de una pequeñamuestra de la población (familias,comunidades)

  Establecen información de referenciaque se puede utilizar para evaluarlas conclusiones cualitativas(cambios en cuanto al conocimiento,actitudes, comportamientos,procesos institucionales, etc.)

  Útiles en caso de limitaciones de

Desventajas    Podrían ser precisospero no medir lo que sedesea

  No pueden explicar las

causas subyacentes delas situaciones.

  Por lo general no sonrepresentativos; no permiten hacergeneralizaciones

  Susceptibles de sesgo por parte de

entrevistadores, observadores einformantes.

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II.- ORDENAMIENTO Y PRESENTACIÓN DE DATOS EN LA LÓGICACUANTITATIVA

El primer paso para la realización de un análisis, es ordenar y organizar los datos quese han recogido o creado. Cuando se trabaja con información cuantitativa, y más aúncon información que proviene de muestras, tendremos una cantidad considerable devalores numéricos que provienen de las mediciones que se han realizado. Cuando sehabla de mediciones, nos estamos refiriendo a las observaciones que se han realizadoen un conjunto o parte del universo lo cual permite obtener información que estraducida en valores numéricos.

Por ejemplo, si en un cuestionario hemos preguntado por el sexo del entrevistado,podemos tener la siguiente matriz de datos considerando que para cada uno de lascategorías o recorrido de la variable se han utilizado los siguientes valores numéricos:

Matriz1 1 2 2 1 1 2 2 2 12 2 2 2 1 1 1 2 2 2Hombre : 1

Mujer : 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

La lectura de esta matriz y el ordenamiento es bastante sencilla, ya que presupone suagrupamiento en dos categorías (hombre y mujer). También, conociendo los valoresasignados a sexo, la matriz es de fácil lectura respecto de identificar y contar siquienes respondieron son hombres o mujeres.

Sin embargo, esta situación se puede volver un poco más compleja si se trabaja convariables con un alto nivel de medición. Por ejemplo. Si se ha preguntado por la edadde los entrevistados, podemos tener la siguiente matriz:

Matriz18 35 67 43 20 34 35 62 21 3454 19 19 43 23 28 34 39 68 19Edad de los entrevistados

(respuesta abierta) 23 27 56 34 34 51 58 46 49 50

Al observar la matriz, nos encontramos con una dificultad. Si bien podemos entenderque los valores que están contenidos en la matriz corresponden a la edad de losentrevistados, es muy difícil proceder a ordenarlos inmediatamente y a contarlos, porlo tanto, este paso, requiere que se introduzca un elemento adicional, que esdeterminar la forma en que estos datos se van a ordenar, cuestión que en lorelacionado con el sexo presentado más arriba es mucho más sencilla.

Esto está suponiendo, que al momento de enfrentarnos a los datos necesitamos dealguna estructuración que nos permita llegar a ese orden. La forma que en lainvestigación cuantitativa se ordenan y estructuran los datos es a través de laTABULACIÓN DE LOS DATOS.

Como señala Fernández; Olea y Collantes “tabular lo datos consiste en disponerlos detal forma que, a partir de tal disposición, podemos empezar a representarlos o a

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obtener valores representativos de los mismos” (1987:37). Esto va a dar origen a loque se conoce como DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS, que en el fondo es una

representación gráfica que permite agrupar los datos para que estos quedendisponibles para su manipulación y cálculo y que se conocerá también como TABLASDE FRECUENCIAS.

Los datos siguientes corresponden a los años de escolaridad en 60 mujeres bajotratamiento en un consultorio de Salud Mental A en el primer semestre del año 2000.

El primer paso para el ordenamiento de la información, que es construir la tabla defrecuencias, es determinar los valores mínimos y máximos que se pueden encontraren los datos. Por ejemplo si analizamos la matriz de datos, podemos identificar que elvalor mínimo es 0 y e valor máximo es 14

8 12 11 10 0 10 8 2 10 13 9 109 13 6 12 11 10 11 8 13 14 12 1312 9 11 11 12 13 7 10 12 8 12 124 12 12 9 5 10 6 8 12 12 4 10

13 8 14 7 7 13 8 12 12 12 12 10

La “fórmula para calcular entonces la amplitud total de los datos, o sea, cuantosvalores tenemos en la matriz es la siguiente:

At= Xmax – Xmin. + 1

Entonces, tendríamos que reemplazar esos valores en la “formula.

At= 14 –0 + 1= 15

Esto quiere decir, que los valores que tenemos en la matriz sin repetir es de 0 a 14, osea, 15 datos. Por eso a la “formula” se agrega “más uno”, ya que si contamos de 0 a14, tendremos 15 valores.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14( 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13, 14, 15)

Una vez realizado este procedimiento se define el número de intervalos a construir,que en este caso serán 3. Para esto, habría que dividir la Amplitud del Intervalo (AT)por el número de intervalos a construir, que en este caso son 3

I= 15= 53

El valor obtenido por la división, es la amplitud para cada uno de los intervalos aconstruir, o sea, cada intervalo tendrá una amplitud de 5 valores. De esta forma, sepuede comenzar a construir los intervalos, para lo cual tenemos que realizar elsiguiente procedimiento:

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•  Tomar el valor mínimo del intervalo, que en este caso coincide con el valormínimo de la matriz, en este caso cero (0)

•  Sumar el valor obtenido para la amplitud del intervalo, que en este caso es 5•  Restar uno (1), ya que compensa el número de valores que se necesita, en

este casi 5. Por ejemplo, si se observa el primer intervalo, y nos quedamos sólocon la suma de 0 más 5, tendríamos un intervalo de 6 valores y no de 5(0,1,2,3,4,5,). Por lo tanto, el menos uno, corrige la diferencia.

I1 = 0 + 5 -1 = 4I2 = 5 + 5 -1 = 9I3 = 10 + 5 -1 = 14

Realizado esto, es posible entonces construir la tabla de frecuencia y proceder a contarlos valores que estarían dentro de cada intervalo, tal como se observa en la tabla a

continuación y que representa la distribución de datos de la matriz que estamostrabajando.

 Años de escolaridad de mujeres bajo tratamiento en un consultoriode Salud Mental en el primer semestre del año 2009.

na fr0-4 4 6,75-9 17 28,310-14 39 65,0Total 60 100

Presentación de la información. Para que sirve un cuadro?

Cuando se trata de analizar un cuadro, hay que recordar como primera cuestiónfundamental, ¿para qué se construyó? ¿cuál es el fin y su utilidad? ¿quérepresenta?

Todo cuadro o tabla tiene que tener

•  Un encabezamiento que incluye número correlativo y título claro y precisoreferido a su contenido 

•  Un cuerpo que abarca la o las variables, sus categorías o intervalos y las

casillas con los datos correspondientes presentados en cuanto a frecuenciasabsolutas y relativas, ordenada en filas y columnas.

Otras recomendaciones:

•  Letras mayúscula solo para el encabezamiento y nombrar las variables•  Evite rayas innecesarias•  Si datos muy númerosos prefiera un cuadro más largo que ancho•  No use abreviaturas

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•  Destaque los totales

La presentación a partir de tablas de frecuencias, puede ser acompañada por lautilización de gráficos, como:

•  el diagrama de barras el cual consiste en una serie de barras donde lasfrecuencias son expresadas por barras,

•  el histograma, es similar al anterior aunque se utiliza más para graficarvariables métricas o sea de razón. 

•  Polígonos, el cual es un gráfico lineal que se traza sobre los punto medios decada intervalo a una altura proporcional a su frecuencia. Los límites se calculansumando los límites de los intervalos, y dividiéndolos entre 2, obteniendo elvalor que representará al intervalo.

•  Ojivas que son polígonos de frecuencias acumulada que muestran la frecuenciade casos por encima o debajo de un determinado valor de la distribución.

III.- LA UTILIZACIÓN DE PORCENTAJES EN LA PRESENTACIÓN DE DATOS

La palabra porcentaje significa  por ciento y se emplean con mayor frecuencia que lasproporciones. Las cifras de porcentajes sirven para indicar con más claridad, lamagnitud relativa de dos a más números. Esto se realiza de dos maneras:

a)  reducen todos los números a un orden que facilite su multiplicación y división yb)  Transforma uno de los números que es la base, en la cifra 100, que es fácil de

dividir entre y por otros números, lo que permite apreciar con mayor facilidad

la relación que guardan entre sí la parte y el final.

El empleo de porcentajes comporta por lo regular una estabilidad mucho mayor de lascifras. Por lo tanto hay dos reglas importantes:

A)  Hay que indicar siempre el número de casos juntamente con losporcentajes o las proporciones, y

B)  no se calcule un porcentaje, a menos que el número de casos en queestá basado se halle a proximidad de los 50 a más ( no se calculan porcentajes cuando la base es inferior a 50). Si el número de casos esmuy pequeño será preferible indicar el número efectivo de ellos en cadacategoría.

LA UTILIZACIÓN DE PORCENTAJES PERMITE REALIZAR DE MANERA MÁSSENCILLA COMPARACIONES, QUE AL INTENTAR HACERLO CON FRECUENCIAS

ABSOLUTAS.

Ejemplo: Si se observa el cuadro I-1 expresada en frecuencias absolutas, se verá,que es difícil hacer comparaciones. Sin embargo el cuadro I-2 expresado en cifras deporcentaje nos permitirá describir mejor la situación, para así ver el grado en quedifieren las proporciones de ventas en las dos regiones. 

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Cuadro I-1 Registro de automóviles nuevos en dos zonas en 1965 

Nueva York Carolina del NorteGeneral Motors 453.569 87.083Ford 172.748 57.260Chriysler 128.359 28.424American motors y otros 31.241 7.424

Total 785.917 180.209

Cuadro I-2 Proporciones de automóviles nuevos por fabricantes en dos zonas en1965 

Nueva York Carolina del NorteGeneral Motors 57.7 48.3

Ford 22.0 31.8Chrysler 16.3 15.8American Motors y otros 4.0 4.1

Total(Número de automóviles)

100.0(785.917)

100.0(180.209)

PRESENTACIÓN DE LAS CIFRAS DE PORCENTAJES

La función principal de las cifras de porcentajes es simplificar y, por tanto, aumentar laclaridad de ciertas relaciones numéricas. Generalmente, la utilización de porcentajes

conlleva la utilización de decimales, pero el uso de estos, puede tender a desvirtuar eluso de las cifras de porcentajes. Cada decimal que se agrega. implica perder lasencillez original de estos.

Por ejemplo, si utilizamos dos decimales en las siguientes relaciones:

número 97 129 292porcentaje 27.55 42.14 84.88base(=100%) (352) (306) (344)

La exactitud conseguida al incorporar dos decimales, no permite una lectura fácil. Sin

embargo, redondeándolas podemos simplificarlas y hacer que cumplan una mejorfunción.

porcentaje 28 42 85base (352) (306) (344)

Esto no significa, que debemos obviar el uso de decimales. Al contrario, enalgunos casos es necesario recurrir a ellos, cuando las diferencias sonsignificativas, por lo tanto no es tan importante la presentación. Por ejemplo:

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porcentaje 11.5 11.9 12.4base (9.367) 10.072) (10.031)

En este ejemplo, si no utilizáramos los decimales, se eliminarían todas las diferenciasperceptibles entre las cifras, ya que todas se leerían 12 %, y siendo diferenciaspequeñas provenientes de muestras grandes tienen importancia estadística. estocarecería de importancia en una muestra de unos cuantos cientos de casos.

Los decimales deberán conservarse también cuando se piensa repetir la investigación yse necesite comparar los resultados. Por otra parte, a menos que los decimales tenganuna función especial, deberán omitirse.

Otra sugerencia, es evitar los porcentajes que excedan considerablemente de 100.Cuando no es posible evitar esto, es aconsejable explicar la diferencia con una nota apie de página donde aparezcan el número de casos considerados en la parte inferior dela columna.

La mayor amenaza contra la función simplificadora de la cifra de porcentajes provienede la tendencia a amontonar demasiadas cifras en un solo cuadro, que incluyanfrecuencias absolutas y relativas. Lo fundamental es preguntarse si hay o nonecesidad de presentar los números y porcentajes. Como respuesta, hay queconsiderar si los números absolutos se basan en operaciones de muestreo, ypor lo tanto carecen de significado directo, sería un error llenar una tabla decifras sin sentido. Lo que se necesita solamente es la base (nº de casos) de lacual se calculan los porcentajes. Por ejemplo el siguiente cuadro:

Suicidios e intentos de suicidios en Japón en 1961 

Reales Intentoshombres mujeres hombres mujeres

nº % nº % nº % nº %menos de 20años 1.115 10.4 797 11.8 898 16.7 1.299 23.3de 20 a 40 años

4.904 45.8 3.202 45.8 3.995 74.6 3.892 69.9de 40 años omás 4.687 43.8 3.257 44.9 467 8.7 381 6.8

TOTAL 10.706 100.0 7.256 100.0 5.360 100.0 5.572 100.0

En este cuadro. no se puede distinguir los números absolutos de losporcentajes, y esto es mucho más complicado ya que contienen al mismotiempo decimales innecesarios. Además como la intención del autor eracontrastar los suicidios con los intentos de suicidios se debiera haberreordenado las columnas, tal como se presentan en el siguiente cuadro:

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Suicidios e intentos de suicidios en Japón por sexo y edad en 1961 

Hombres MujeresReales Intentos

% %Reales Intentos

% %menos de 20 años 10 17 11 23De 20 a 40 años 46 74 44 70De 40 años o más 44 9 45 7

TOTAL 100 100 100 100(Número de casos) (10.706) (5.360) (7.256) (5.572)

Solo sí los números representan un recuento completo, y tienen un significado directo,deben entonces conservarse. En estos casos es necesario recurrir a ciertos recursos

tipográficos, para hacer más fácil la comparación: a) Cursivas 18 ; b) Negritas 18, ó c)Paréntesis (18) 

LA DIRECCION EN LA ANOTACION DE PORCENTAJES

Los porcentajes pueden calcularse tanto en sentido vertical como horizontal. Estoimplica que hay que examinar cuidadosamente los cuadros para ver la forma en quehan sido calculados.

Para el caso en que por la teoría sabemos cual es la variable dependiente y

independiente, situamos la Vi en la parte alta del cuadro, y la Vd al lado izquierdo, losporcentajes sumaran 100 hacia abajo, y las comparaciones se harán de izquierda aderecha.

En que dirección deben calcularse los porcentajes? Para Seizel, deben calcularse enla dirección del factor causal siempre y cuando la muestra sea representativaen esa dirección. Esto no quiere decir que uno de los factores tiene que ser laverdadera causa del otro, sino que en la mente del analista, se ve a uno de ellos comosi influyera en el otro. Los porcentajes de los totales se pueden calcular en formahorizontal o vertical.

Sin embargo, a menudo este principio causal no será tan claramente

aplicable, ya que la ambigüedad de la información no lo permitirá, debido porejemplo, a las limitaciones estadísticas de la muestra.

Los problemas planteados por el análisis de datos están directamente relacionados conla complejidad de la, o las, hipótesis. También se pueden plantear dos tipos depreguntas en relación al análisis: a) relacionado con las técnicas de representación dedatos, y b) los métodos para ordenar los datos lógicamente.

La distribución de frecuencias o tabulación, es la forma más sencilla derepresentar los descubrimientos de una investigación. Estos términos dan aentender la presentación en una columna de las distintas cualidades de un atributo, o

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los distintos valores de una variable, junto a lo cual, se agrega otra columna, queindica la frecuencia en que se presenta cada una de las clases.

Para la construcción de una distribución de frecuencias, se puede utilizar el sentidocomún respecto a tres cosas.

1.- Las unidades que se anotan en la columna de la izquierda, y que describen lascualidades o valores, tienen que excluirse mutuamente, y deben incluir casi la totalidadde las observaciones.2.- Para que la tabulación alcance la máxima utilidad debe tener lógica y ordeninterno. Así si estamos tabulando una variable como estatura, lo haríamos siguiendoun orden. Sin embargo, cuando se tabulan cantidades donde el orden puede no ser tanmanifiesto, es necesario un orden lógico. Por ejemplo, en una encuesta se les pedía alas mujeres los motivos que tenían para comprar determinada crema, los resultadosson los siguientes:

Motivos para la compra de crema facial 

Motivos Porcentaje de contestantes

Recomendación 28.0beneficiosa para el cutis 21.0Oí anunciarla por radio 18.0La vi en el mostrador 15.0Es de precio razonable 10.0Su aroma es atractivo 8.0Debido a un estado especial de cutis 7.0

Total 107.0

Al apreciar los resultados, vemos que el total alcanza un 107%, lo que implica que estatabla no tiene el primer requisito: las categorías deben excluirse mutuamente. Lapregunta que nos haremos, es ¿cómo es posible mejorar la utilidad de la tabulaciónpara fines analíticos? La respuesta está en buscar agrupamientos lógicos derespuestas. Así es posible descubrir tres categorías más grandes, lo que aumenta lautilidad de la tabla

La realización de los que se denomina técnicamente el análisis de los datos, es unprocedimiento que tanto para la lógica cuantitativa y cualitativa, conlleva la realizaciónde dos pasos:

•  Ordenamiento de los datos y presentación de estos•  Interpretación

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IV.- MEDIDAS DE POSICIÓN1 

También llamadas de centralización o de tendencia central. Sirven para estudiar lascaracterísticas de los valores centrales de la distribución atendiendo a distintoscriterios. Veamos su significado con un ejemplo:

Supongamos que queremos describir de una forma breve y precisa los resultadosobtenidos por un conjunto de alumnos en un cierto examen; diríamos:

a)  La nota media de la clase es de 6,5.b)  La mitad de los alumnos han obtenido una nota inferior a 5.c)  La nota que más veces se repite es el 4,5.

En la expresión a) se utiliza como medida la media aritmética o simplemente lamedia.En la b) se emplea como medida la mediana, que es el valor promedio que deja pordebajo de ella la mitad de las notas y por encima de ella la otra mitad. Y en la c) seusa el valor de la nota que más veces se ha repetido en ese examen, este valor es lamoda.

1.- MEDIA ARITMÉTICA

Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética

ponderada.

Media aritmética simple: Es la suma de todos los elementos de la serie dividida porel número de ellos. Se calcula como:

n

 x

 x

i

i∑== 1  

siendo: x : la media

∑=

i

i x1

: suma de elementos

n : número de elementos (incluyendo a los de igual valor)k : número de elementos con distinto valor.

Ejemplos:1.  Hallar la media aritmética de los siguientes valores: 5, 7, 8, 10, 15.

1 Fuente: Estadística; Fernando García y Fernando Garzo, Editorial McGraw-Hill; Madrid

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∑ x = 5 + 7 + 8 + 10 + 15 = 45

n = 5

 x = 9

2.  Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de un curso durante unaevaluación fueron: 7; 5; 6,5; 3,7; 5, 6,2. Hallar la nota media de la evaluación.(Resp. 5,5666...)

3.  La media de 6 elementos se sabe que es 10. Sabiendo que cinco de ellos son: 8,12, 13, 5 y 9, hallar el elemento que falta. (Resp. 13)

Media aritmética ponderada: Por lo general, en Estadística, los datos se nospresentan agrupados mediante una distribución de frecuencias que hace que no todoslos elementos de la serie tengan el mismo peso específico, y eso influye a la hora decalcular la media, por eso se llama media ponderada.

Se define como la suma de los productos de cada elemento de la serie por sufrecuencia respectiva, dividida por el número de elementos de la serie.

n

n x

 x

i

ii∑=

=1  

donde ni es la frecuencia o número de veces que se repite un valor. También n i puedeser la ponderación de cada valor xi.

Ejemplos:

1.  Durante el mes de octubre de 1981 los salarios recibidos por un obrero fueron:

Salario enpesos

Frecuencia endías

200.000 5220.000 15300.000 4

Hallar el salario medio durante ese mes.

24

4000.30015000.2205000.200 x x x x

++=  

2.  Un alumno obtiene en tres exámenes parciales las siguientes notas: 7, 5 y 3; en elexamen final consigue un 6. Suponiendo que esta nota final tenga doble valor quelas parciales, ¿cuál será su nota media? (Resp. 5,4)

3.  Si la renta anual media de los trabajadores del campo es de 1.000.000 de pesos yla renta anual media de los trabajadores de la construcción en esa población es de

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1.200.000 pesos, ¿sería la renta anual media para ambos grupos de 1.100.100pesos? Explica.

Sin embargo, lo normal es Estadística es que los datos vengan agrupados enclases o intervalos, o que nosotros mismos hagamos esa agrupación cuandoel número de elementos sea muy extenso, ya que en ese caso el cálculo de lamedia por los procedimientos vistos para datos sin agrupar sería muylaborioso.

Antes de estudiar los métodos más usuales para el cálculo de la media con datosagrupados, vamos a ver algunas propiedades de la media aritmética que nos ayudarána comprender mejor el contenido de esos métodos.

Propiedades de la media aritmética: Las propiedades más importantes son

1.  La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números respecto de sumedia aritmética es cero.

2.  La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números conrespecto a cualquier otro número es mínima cuando ese otro número esprecisamente la media aritmética.

3.  Si suponemos, antes de calcularla, que la media de un conjunto de números escualquier número A, resulta que la verdadera media aritmética es:

n

d  A x

∑+=  

donde

A: media supuesta

∑d : suma de las desviaciones respecto de A.

n : número de elementos.

4.  Si A1 números tienen una media m1, A2 números una media m2, ...., An númerosuna media mn, entonces la media de todos ellos es:

n

nn

 A A A

m Am Am A x

⋅⋅⋅++

⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=

21

2211  

o sea, es la media aritmética ponderada de todas las medias.

Ejemplo: En una cierta empresa de 80 empleados, 60 de ellos ganan 500.000 pesos almes y los 20 restantes ganan 700.000 pesos al mes, cada uno de ellos. Se pide:a)  Determinar el sueldo mediob)  ¿Sería igual la respuesta si los primeros 60 empleados ganaran un sueldo medio de

500.000 pesos y los otros 20 un sueldo medio de 700.000 pesos?c)  Comentar si ese sueldo medio es o no representativo.

Cálculo de la media aritmética a partir de datos agrupados en clases.

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Hay dos métodos principalmente para calcular la media de una distribución con datos

agrupados: método directo (o largo) y método abreviado (o corto).

Método directo

Consiste en aplicar la fórmula ya vista para el cálculo de la media ponderada, con laúnica salvedad de que se toman como valores representativos de la variable los puntosmedios de cada intervalo, que se denotan con xm.O sea:

n

n x x

im∑ ⋅=  

Ejemplo: Hallemos la media aritmética por el método directo de la siguiente serie:

25 33 27 20 14 21 33 29 25 1731 18 16 29 33 22 23 17 21 2613 20 27 37 26 19 25 24 25 2025 29 33 17 22 25 31 27 21 1424 27 23 15 21 24 18 25 23 24

(Resp: 23,76)

2.- MEDIANA

Una vez dispuestos todos los valores que toma la variable en una serie creciente odecreciente, el valor central de esa serie, si existe, es la mediana. Así pues, la medianadeja el mismo número de valores a su izquierda como a su derecha. Cuando no existeun valor central se puede definir como la media aritmética de los valores medios.Para su cálculo distinguiremos tres casos:a)  Mediana de una serie con datos no agrupados.b)  Mediana de una serie con datos agrupados por frecuencias y agrupados en

intervalos.

c)  Mediana de una serie con datos agrupados sólo por frecuencias, pero sin agruparen intervalos.

Cálculo de la mediana con datos no agrupados

Para calcular la mediana con datos no agrupados se ordenan los elementos en orden

creciente o decreciente, y la mediana es el valor que ocupa el lugar2

1+n 

Ejemplos: Determinar la mediana de la serie 5, 6, 9, 11, 15, 19, 23, 26, 27. Luego dela serie 5, 7, 10, 15, 20, 21, 24, 27.

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16

En los dos ejemplos anteriores ocurría que la frecuencia de cada elemento era 1. Perono siempre sucede así.

Sea ahora la serie: 3, 4, 4, 4, 6, 8 donde el elemento 4 tiene una frecuencia 3.Consideremos el intervalo que comprende cada elemento desde 0,5 unidades a loaizquierda hasta 0,5 unidades a la derecha. En nuestra serie, los tres elementos 4 sedistribuyen entre 3,5 y 4,5. Los representamos en el eje real de la siguiente forma:

Vemos que el valor 4,16 deja a su izquierda tres elementos (3, 4 y 4) y a su derechaotros 3 (4, 6 y 8), luego la mediana es 4,16.

De la misma forma determina la mediana de 5, 6, 8, 8, 8, 8, 10, 12, 13. (Resp.8,125)

Cálculo de la mediana con datos agrupados

Cuando los datos conviene agruparlos por intervalos, debido al elevado número deellos, la mediana se calcula de la siguiente forma:

1.  Se calcula n/2.2.  A la vista de las frecuencias acumuladas, se halla el intervalo que contiene a la

mediana.3.  Se calcula la frecuencia del intervalo que contiene a la mediana.4.  Se halla uno cualquiera de los límites exactos (el superior o el inferior) del intervalo

que contiene a la mediana. Sabiendo que límites exactos de un intervalo a – b, serefiere a los números a-0,5 y b+0,5.

5.  Se halla la frecuencia de los valores que quedan “por debajo” del intervalo que

contiene a la mediana, o la frecuencia de los valores que quedan “por encima”, ysegún hayamos decido hacer, calculamos la mediana por alguna de estas dosfórmulas, respectivamente:

)2

( i M 

 f  n

 f  

 I  I  M  −+=  

)2

(  s M 

 f  n

 f  

 I  L M  −−=  

siendo:

M: Medianal: Límite inferior del intervalo de la mediana.L: Límite superior del intervalo de la medianaI: Amplitud del intervalo de la mediana.f M: Frecuencia del intervalo de la mediana.f i: Frecuencia acumulada de los valores inferiores al intervalo de la mediana.f s: Frecuencia acumulada de los valores superiores al intervalo de la mediana.n: Número total de valores.

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17

Ejemplo 1:

Clases Frecuencias

Frecuencias

Acumuladas

118 – 126 3 3127 – 135 5 8136 – 144 9 17145 – 153 12 29154 – 162 5 34163 – 171 4 38172 - 180 2 40

40

Con los tres primeros intervalos o clases, abarcamos 17 elementos y con lascuatro primeras abarcamos 29, luego está claro que la mediana se encuentraen la cuarta clase, pues n/2 = 20. Entonces

l = 144,5 (límite inferior de la clase mediana)I = 9 (amplitud de cada intervalo)f M = 12 (frecuencia de la clase mediana)f i = 17 (frecuencia acumulada en el intervalo inmediatamente anterior al de lamediana)n = 40 (número total de elementos de la serie)

Luego

8,146)1720(12

95,144 =−+= M   

Ejercicio: Determinar la mediana de la siguiente serie de valores, agrupando los datospor intervalos y por frecuencia con amplitud 4 y como primera clase la 10 – 14. Tenpresente para este caso que los límites se hacen coincidir con los extremos. (Resp. M= 23)

Cálculo de la mediana con datos agrupados sólo por frecuencias

Se puede decir que es un caso particular del método anterior. El procedimiento es elsiguiente: Una vez calculado el número alrededor del cual se encuentra la mediana, seconsidera este número como centro de un intervalo de amplitud 1; a continuación seaplica la fórmula anterior para el cálculo con datos agrupados en intervalos.

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18

Ejemplo:

x f f a 1 5 52 7 123 6 184 12 305 20 506 15 657 11 768 6 829 5 8710 2 89

n = 89/2 = 44,5

Por tanto, la mediana es un valor próximo a 5.

225,5)305,44(20

15,4 =−+= M   

MODA

La moda de una serie de números es el valor que se presenta con mayor frecuencia;es decir, el que se repite un mayor número de veces. Es por tanto, el valor común.

Por ejemplo, en la serie: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, la moda es 5.En una distribución puede ocurrir que haya dos o más modas, entonces se habla dedistribución bimodal, trimodal, etc. Incluso puede no existir la moda, como en la serie2, 3, 4, 5, 7, 10.

Cálculo de la moda con datos agrupados

En el caso de una distribución de frecuencias con datos agrupados, si hiciéramos unagráfica o curva de frecuencias, la moda sería el valor (o valores) de la variablecorrespondiente al máximo (o máximos) de la curva.La moda se puede calcular aplicando la siguiente fórmula:

 I l  M o ⋅∆+∆

∆+= )(21

1  

donde:

l: límite inferior de la clase que contiene a la moda. (Clase Modal)∆1: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contiguainferior.∆2: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contiguasuperior.I: Amplitud del intervalo de la clase.

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19

Ejemplo: Determinemos la moda de la siguiente distribución de frecuencias:

Clase Frecuencia

10 – 20 1120 – 30 1430 – 40 2140 – 50 3050 – 60 1860 – 70 1570 – 80 780 – 90 3

119

28,410129

940 =⋅

++= Mo  

Ejercicio: Hallar las tres medidas de tendencia central, media, mediana ymoda, de la siguiente tabla:

Clases ni f a d f ⋅⋅⋅⋅ d10 – 20 1120 – 30 1430 – 40 2140 – 50 3050 – 60 1860 – 70 1570 – 80 780 – 90 3

Resp: 44,91; 44,5; 44,28 respectivamente. 

Consideraciones finales

En general, la media aritmética es la medida más utilizada ya que se puede calcularcon exactitud y se basa en el total de las observaciones. Se emplea preferentementeen distribuciones simétricas y es el valor que presenta menores fluctuaciones al hacervariar la composición de la muestra. Finalmente, la media aritmética es especialmenteútil cuando se precisa después calcular otros valores estadísticos, como desviaciones,coeficientes de correlación, etc.

La mediana es preferida cuando la distribución de los datos es asimétrica, y cuandolos valores extremos están tan alejados que distorsionarían el significado de la media.También se calcula la mediana en aquellas distribuciones en las que existen valores sindeterminar, por ejemplo, aquellas cuya primera clase es del tipo “menos que x”, y laúltima clase: “más de y”. En definitiva, lo más importante de esta medida es que no se

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20

ve afectada por los valores extremos. Tiene, sin embargo, como inconveniente que sepresta menos a operaciones algebraicas que la media aritmética.

La moda es una medida que no suele interesar especialmente, a no ser quehaya tal concentración de datos en la distribución que un valor destaqueclaramente sobre todos los demás. Puede servir también para cuandoqueramos estimar de una forma rápida, y no muy precisa, una medida detendencia central. La moda, al igual que la mediana, es un valor que no se veafectado por los valores extremos de la distribución y también es pocosusceptible de efectuar con él operaciones algebraicas.

MEDIDA DE VARIABILIDAD2 

•  Desviación estándar: La desviación estándar de una variable es una medidade variabilidad que se obtiene sumando los cuadrados de las diferencias entrelos valores que toma la variable y su media aritmética, y dividiendo el resultadode esta suma por el número de valores:

La fórmula para la desviación estándar para distribuciones de frecuencias es lasiguiente:

 N 

 x x

 s

 N 

i

i∑=

= 1

2)(

, donde N = Σ f i  

El valor de la desviación estándar es una medida de la dispersión o variabilidadde los valores de la variable. Esto se traduce en que un valor bajo de lavarianza indicará escasa variabilidad de la variable, es decir, valores muysimilares entre sí; en cambio, un valor alto de la desviación estándar indicaráuna gran variabilidad para x, es decir sus valores difieren mucho entre sí.

•  Varianza: La Varianza de una variable es una medida de variabilidad que seobtiene simplemente elevando al cuadrado la desviación estándar.

∑=

−=

 N 

i

i

 N 

 x x s

1

22 )(

, donde N = Σ f i  

Su interpretación es análoga a la de ésta última medida: un valor alto de lavarianza indicará una gran dispersión en los valores que toma la variable, esdecir, una gran variación en los distintos valores que toma la variable, y un

2 La parte de variabilidad y de asociación y correlación fueron confeccionados por el ProfesorAlejandro Vásquez.

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21

valor bajo de la varianza indicará baja dispersión, es decir, gran similitud en losvalores.

ANALISIS DE ASOCIACION Y CORRELACIÓN

1.- Análisis no paramétricos

Este tipo de análisis no supone que la distribución poblacional sea normal y se utilizacon variables de medición nominal u ordinal, aunque se puede utilizar variables demayor nivel de medición siempre y cuando sean recategorizadas a nivel ordinal

1.1.- La prueba de ψ 2 

La prueba de Ψ  2 (Chi-cuadrado) es una prueba de diferencia de proporciones, quepermite verificar si existe diferencia en la proporción en que algún atributo definido poruna variable relevante está presente en dos o más grupos. También como test deindependencia para comprobar la asociación entre las variables de la tabla, o searechazar la hipótesis nula de independencia entre ambas variables, por lo tanto, hayque señalar que la Ψ 2 no considera relaciones causales.

El nivel de medición de las variables a utilizar en esta prueba, corresponden anominales u ordinales. Se pueden utilizar variables de nivel de medición de intervaloo razón siempre y cuando se reduzcan a ordinales.

Por otra parte, hay que señalar que el ideal de números de casos a utilizar en este tipode pruebas es mayor a 50, aunque se puede utilizar con un número menor no inferiora 30. Sin embargo habría que considerar que con números pequeños, hay que ver lafactibilidad de que los casilleros de la tabla no queden vacíos o con un número decasos menor a 5. Si esto sucede, hay que recategorizar las categorías de las variablespara que se cumplan estos requisitos

La prueba, suponen contar con información para dos variables cualitativas ocategóricas: la primera variable (posible variable dependiente) corresponderá a lavariable de estudio, y la segunda (variable independiente) a la variable que define losgrupos para los que queremos verificar la diferencia o no en la proporción para elatributo definido por la variable dependiente. La información corresponderá a unadistribución de frecuencias bivariada debe ser ordenada en un cuadro de doble entrada

(cuadro de contingencia), cuyas filas estarán definidas por las categorías de la variablede estudio, y cuyas columnas indicarán los grupos a comparar y estarán dadas por lascategorías de la variable independiente.

Con el fin de someter a verificación la hipótesis de ausencia de relación entre lasvariables (igualdad de proporciones para el atributo), es necesario comparar los datos(frecuencias observadas f o) con que se cuenta con las que deberían presentarse si lahipótesis fuese cierta (frecuencias esperadas f e ). Para esto se seguirá los siguientespasos:

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22

1.  Se calcula en cada casilla del cuadro de contingencia la diferencia entre lafrecuencia observada y la frecuencia esperada (f o - f e);

2.  Se elevará al cuadrado para evitar trabajar con posibles resultados negativos, y sedivide por la frecuencia esperada f e;

3.  Se suman estos resultados obtenidos para cada una de las casillas. El valor de estasuma recibe el nombre de Ψ 2 (Chi-cuadrado) observado.

4.  A partir de la distribución de muestreo del parámetro Ψ 2 se obtiene el valor quedefine el inicio de la región critica o de rechazo (valor critico), y se comprueba si Ψ 2

observado se sitúa dentro de la región de aceptación o de la de rechazo.

EJERCICIO 1:

Se tiene la siguiente tabla de contingencia para la actitud de aceptación o rechazo delos métodos anticonceptivos en una muestra de mujeres de áreas urbanas y unamuestra en áreas rurales. ¿Existe dependencia entre las variables al nivel designificación α=0,05 ?.

Zona urbana Zona rural TotalAceptación 420 330 750Rechazo 300 360 660Total 720 690 1.410

Solución: Las variables para este ejercicio son de tipo cualitativo y corresponden a:

Variable dependiente: actitud de las mujeres hacia los métodos anticonceptivos.Variable independiente: zona (urbana o rural)

La Hipótesis Nula para este ejercicio será la no existencia de dependenciaentre las variables, lo que equivale a decir que no hay diferencia en lasproporciones con que el atributo de interés (en este caso, la aceptación de losmétodos anticonceptivos) se presenta en ambas poblaciones. Es decir:

H0: p1 = p2 

donde:

p1 = proporción de aceptación en la población 1, y

Probablilidad

Región de

rechazo  ¡ 

 

Región deaceptación

¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ ¢ §  

 

(f o – f e)2 

  2o = Σ --------------

f e 

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23

p2 = proporción de aceptación en la población 2.

Calculamos las frecuencias que se presentarían en las casillas si la hipótesisfuera cierta, es decir, si la proporción de aceptación no presentase diferenciassegún se trate de zonas urbanas o rurales; estas frecuencias para unahipótesis verdadera reciben el nombre de frecuencias esperadas.

Las proporciones de aceptación y rechazo a nivel del total de mujeres son:

Proporción de aceptación: 750 / 1.410 = 0,53Proporción de rechazo: 660 / 1.410 = 0,47

Calculamos a continuación las frecuencias esperadas distribuyendo las

mujeres urbanas en las proporciones calculadas, y luego hacemos lo mismopara las mujeres rurales:

Identificaremos a cada una de las cuatro casillas con una letra:

Zona urbana Zona ruralAceptación a bRechazo c d

Las frecuencias esperadas son:

Casilla a (mujeres urbanas que aceptan): f e = 0,53 • 720 = 381,6

Casilla b (mujeres rurales que aceptan): f e = 0,53 • 690 = 365,7Casilla c (mujeres urbanas que rechazan): f e = 0,47 • 720 = 338,4Casilla d (mujeres rurales que rechazan): f e = 0,47 • 690 = 324,3

El valor observado para Ψ 2 es:

(f o – f e)2 (420 – 381,6)2 (330 –365,7)2 (300 – 338,4)2 (360 – 324,3)2 Ψ 2 = Σ ---------------- = ------------------- + ------------------- + ------------------- + -------------------

f e 381,6 365,7 338,4 324,3

(38,4)2 (-35,7)2 (38,4)2 (35,7)2

= ---------------- + ---------------- + --------------- + ------------------381,6 365,7 338,4 324,3

1.474,56 1.274,49 1.474,56 1.274,49= ---------------- + ----------------- + ------------------ + -------------------

381,6 365,7 338,4 324,3

= 3,86 + 3,49 + 4,36 + 3,93

Casilla dCasilla cCasilla bCasilla a

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Ψ 2 observado = 15,64

De la tabla para Ψ  2 se obtiene, para un nivel de significación α=0,05 y grados delibertad df = (m-1) (n-1) = (2-1) (2-1)= 1•1= 1, el valor crítico, es decir, el valor deΨ 2 que marca el inicio de la región crítica o de rechazo:

Ψ 2 CRÍTICO = 3,841

Dado que Ψ 2 OBSERVADO >Ψ 2 CRÍTICO, se rechaza la hipótesis nula, es decir, se concluyeque sí existe dependencia entre las variables. Esto quiere decir que LA ACTITUD DELAS MUJERES FRENTE A LOS ANTICONCEPTIVOS ES DISTINTA EN ZONAS URBANAS YRURALES.

EJERCICIO 2:

Cierta encuesta de opinión entregó los siguientes datos relativos a la aprobación de laconducción del gobierno entre personas de ambos sexos mayores de 18 años:

Hombres MujeresAprueban 120 115Desaprueban 101 104

¿Es posible afirmar que hombres y mujeres difieren en su evaluación de la gestión degobierno?.

Solución:

Hipótesis nula (H0): No hay diferencia en aprobación de la conducción del gobiernopara hombres y mujeres

De los datos se obtiene: Ψ 2 observado = 0,170De la tabla se obtiene: Ψ 2 crítico = 3,841

Dado que

Ψ 2 observado < Ψ 2 crítico,,

La diferencia de proporciones correspondiente a los datos cae dentro de laregión de aceptación, por lo que se acepta la hipótesis, y se concluye que nohay diferencia significativa para la opinión de hombres y mujeres.

EJERCICIO 3:

Se ha consultado a los habitantes de una ciudad si aprueban o no el nuevo planregulador propuesto por las autoridades. Se desea saber si es posible afirmar o no que

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los habitantes del centro de la ciudad tienen una opinión distinta de quienes viven enla periferia de ella.

Sector de la ciudadCentro Periferia

Aprueba 56 89Opinión ante el planregulador Desaprueba 71 62

Solución:

El valor de Ψ 2 que se obtiene a partir de estos datos es:

Ψ 2 observado = 6,094

De la tabla para Ψ 2 se obtiene, para α=0,05 y df = (m-1) (n-1) = (2-1) (2-1)= 1•1=1el valor crítico, es decir, el valor de Ψ  2 que marca el inicio de la región crítica o derechazo:

Ψ 2 CRÍTICO = 3,841

Dado que Ψ 2 OBSERVADO >Ψ 2 CRÍTICO, se rechaza la hipótesis nula, es decir, se concluyeque sí existe dependencia entre las variables. Esto quiere decir que la actitud de lasmujeres frente a los anticonceptivos es distinta en zonas urbanas y rurales.

Hay que señalar además que existen otras pruebas para evaluar si las variables enuna tabla de contingencia están “correlacionadas”. Siguiendo a Hernández, Fernándezy baptista, se pueden señalar los siguientes coeficientes de correlación:

Coeficiente Tablas decontigencia

Nivel de mediciónde ambas variables

Interpretación

Fi  2 x 2 nominalVaría entre 0 y +1. 0 es ausencia decorrelación y +1 correlación perfecta

Coeficiente decontingencia p C

de PearsonCualquier tamaño nominal

0 es ausencia de correlación. El valormáximo varía según el tamaño de lastablas. Así, para una de 2 x 2 varía de0 a 0 .707. Para tablas de 3 x 3 varía

de 0 a o.816V de Cramer (V) Mayores de 2 x 2 nominal Varía entre 0 y +1. 0 es ausencia de

correlación y +1 correlación perfectaLambda Cualquier tamaño

nominalVaría entre 0 y +1. 0 es ausencia decorrelación y +1 correlación perfecta

Gamma Cualquier tamañoordinal

Varía de –1 a +1. –1 relación negativaperfecta y +1 una relación positiva

perfectaTau-b de Kendall Cualquier tamaño,

pero es mejor utilizaren tablas de igual

número de columnas yfilas

Ordinal Varía de –1 a +1.

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2.- Análisis paramétricos

El análisis de tipo paramétricos, es un tipo de análisis que supone que la distribuciónpoblacional de la variable dependiente es normal. Por otra parte, este tipo de análisisconsidera el uso de variables en su nivel de intervalo o razón.

2.1.- Correlación y regresión

El análisis de correlación hace posible el estudio de la existencia de relaciones deasociación o dependencia entre variables. Un análisis de este tipo permite descubrir sidos fenómenos se comportan en forma simultánea, pues la ocurrencia de uno de ellospuede ocasionar la ocurrencia del otro. En tal caso hablaremos de la existencia de unarelación de causalidad entre ambos fenómenos, y uno de ellos podrá ser considerado lacausa del otro. Sin embargo, sólo en raras ocasiones puede llegar a demostrarse unarelación de causalidad entre dos o más variables, dado que ello requiere unconocimiento muy profundo y detallado del fenómeno estudiado, e informaciónempírica previa muy precisa. No obstante, sí es posible muchas veces descubrir laexistencia de una asociación o correlación entre variables, que indica que dosfenómenos varían en forma simultánea. En este caso, una vez descubierta estarelación de asociación o correlación, debe analizarse cuál puede ser el posiblesignificado de esta asociación. Como se ha dicho, a partir de una asociación estadísticano es posible deducir una relación de causalidad, pues puede ocurrir que ambasvariables están variando en forma simultánea debido a la acción de una terceravariable que ocupa una posición cronológicamente anterior, como se muestra en lasiguiente figura:

Figura 1: la relación de asociación (correlación) existente entre las variablesA y B se debe a la acción de una tercera variable desconocida C.

Ejemplo:

Se tiene el siguiente cuadro que muestra, para siete ciudades, su porcentaje depoblación rural y su tasa de cesantía:

% de Cesantía en la Comuna 5 6 7 9 9 12 11% de Población Rural en la Comuna 15 24 28 32 36 40 46

1.  ¿Es posible afirmar que existe una relación entre la ruralidad y la cesantía paraestas ciudades?.

VARIABLE B 

VARIABLE C 

VARIABLE A 

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2.  ¿Qué % de cesantía (aproximado) cabría esperar en una ciudad con 65% depoblación urbana?.

3.  Grafique los datos del cuadro y la recta de regresión correspondiente.

SOLUCIÓN:

a.- Cálculo del coeficiente de correlación de pearson (r):

La fórmula para el coeficiente de correlación es:

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑−−

−=

2222 )()(

xy N

 y y N  x x N 

 y xr   

Las variables dependiente e independiente son las siguientes:

y = variable dependiente = % de cesantía en la comunax = variable independiente = % de población rural en la comuna

Para saber si existe una relación de dependencia entre estas dos variables debemoscalcular el valor del coeficiente de correlación de Pearson (r). Para ello necesitamoscalcular las siguientes sumatorias: Σx, Σx2, Σy , Σy2, y Σxy:

Σx = 15 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 46= 221

Σx2 = (15)2 + (24)2 + (28)2 + ... + (46)2 = 225 + 576 + 784 + ... + 2.116= 7.621

Σy = 5+ 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11= 59

Σy2 = (5)2 + (6)2 + (7)2 + ... + (11)2 = 25 + 36 + 49 + ... + 121= 537

Σxy = (15.5) + (24.6) + (28.7) + ... + (46.11)

= 75 + 144 + 196 + ... + 506= 2.013

N = 7

Luego reemplazamos en la fórmula de r:

22 )59()537(7)221()621.7(7

)59)(221()013.2(7

−−

−=  

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481.3759.3841.48347.53

039.13091.14

−−

=  

06,119.1

052.1

67,16*13,67

052.1

278506.4

052.1===  

El coeficiente de correlación tiene un valor muy cercano a 1, lo que indica que

la relación de dependencia entre las variables es lineal y muy fuerte. Algraficar la recta de regresión que aproxima estos datos, los puntos estaránmuy cercanos a dicha recta, es decir, la dispersión de los datos respecto deella será pequeña.

El signo positivo de r indica que la relación entre las variables es directa, esto significaen este caso que, para la muestra de 7 ciudades estudiadas, aquellas con mayorporcentaje de población rural presentan mayor porcentaje de cesantía, y viceversa. Elgráfico de la recta de regresión será por lo tanto ascendente.

b.- Obtención de la recta de regresión para predecir valores de y a partir de

valores de x:La recta de regresión tendrá la forma Y = A + BX. Debemos, por lo tanto,encontrar los valores de las constantes A y B:

NΣxy - ΣxΣy 1.052B = ---------------------- = ----------- = 0,23

NΣx2 - (Σx2) 4.506Σy 59

A = Y – BX Y = ------- = ---- = 8,43N 7

Σx 221X = ------ = ------ = 31,57

N 7

Luego: A = 8,43 – 0,23(31,57)= 8,43 –7,26

A = 1,17

Por lo tanto, la ecuación de la recta regresión es la siguiente:

r = 0,94 

Y = 1,17 + 0,23X

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La ecuación de la recta regresión nos permitirá predecir, en forma

aproximada, el porcentaje de cesantía que tendría una ciudad con 65% depoblación urbana:

Si X = 65 (%), entonces:

Y = 1,17 + 0,23(65)= 1,17 + 14,95= 16,12

Por lo tanto, se puede predecir que en una ciudad con 65% de poblaciónurbana habría, aproximadamente, un 16,12% de cesantía.

c.- Gráfico de los datos y de la recta de regresión:

El gráfico de los datos y la recta de regresión es el siguiente. Para graficar la rectabasta ubicar dos puntos cualesquiera que pertenezcan a ella, y unirlos con un trazorecto. Dado que conviene tomar puntos extremos de la recta dentro del gráfico, seprocederá a utilizar la ecuación de regresión de la siguiente forma: se dará a X unvalor bajo y calcular el valor de Y correspondiente, y luego a hacer lo mismo para unvalor alto de X.

Entonces podemos ubicar dos puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) de la recta utilizandola ecuación de regresión de la siguiente forma:

Si x1 = 10 y1 = 1,17 + 0,23(10) = 1,17 + 2,30 = 3,47

Por lo tanto, el punto P2 = (x1, y1) = (10 ; 3,47) pertenece a la recta.

Por otro lado, si x2 = 50 y2 = 1,17 + 0,23 (50) = 1,17 + 11,5 = 12,67

Por lo tanto, el punto P2 = (x2, y2) = (50 ; 12,67) pertenece a la recta.

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30

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50

% Poblacion rural

% de

Cesantía