Apuntes Ed

INGENIERÍA EN

MANTENIMIENTO

INDUSTRIAL APUNTES DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

NOMBRE DEL ALUMNO

_____________________________________________________

Nazario Sampayo Carballo

1. NOTAS SOBRE LA EVALUACIÓN

1. Tienes tres oportunidades durante el curso (ordinaria, recuperación y extraordinaria) para acreditar cada unidad.

2. Para tener derecho a examen de recuperación DEBES acreditar a la primera oportunidad al menos 60% de la unidad

o unidades.

3. Para el extraordinario, en el examen recuperación deberás alcanzar el 70%.

4. La calificación de los exámenes de recuperación sustituye a la calificación anterior.

5. La participación en el curso tomará en cuenta aspectos como: actitud, participación en clase, contribuciones, calidad

de las intervenciones.

2. FUNCIONAMIENTO DE LA CLASE Y SUGERENCIAS

1. LO MÁS IMPORTANTE: se aceptan sugerencias y críticas de tu parte. El éxito de nuestro curso depende de que

exista una comunicación constante en ambos sentidos.

2. Las dudas más generales se resolverán en clase, las otras en ASESORÍA.

3. Al inicio de cada unidad se te proporcionarán unas NOTAS DE CLASE. Estas notas incluyen casi todas las

definiciones y casi todas las proposiciones que veremos, de tal manera que tengas una idea clara y precisa del

contenido y de la extensión del curso.

4. La intención principal de darte las notas es la de evitar que te la pases escribiendo durante la clase, tu atención

debe estar centrada a la comprensión de los conceptos que vayamos viendo. A la clase NO debes llegar con una

ACTITUD PASIVA sino que debes llegar a discutir con el maestro y con tus compañeros.

5. Subraya en las notas lo que sea más importante y escribe sobre ellas notas complementarias. En tu cuaderno escribe

los ejemplos vistos en clase y todas las observaciones que creas pertinentes sobre lo discutido en clase.

6. Las matemáticas NO SE APRENDEN DE MEMORIA, es más importante saber dónde hallar las cosas y como

utilizarlas por lo que en el examen puedes usar tus notas de clase, libros, apuntes o calculadoras.

7. Regularmente habrá en las clases INTERROGACIONES ORALES lo que servirá para evaluar tu participación.

8. Trata de hacer tus TAREAS y PRÁCTICAS lo más rápido posible para que haya el necesario TIEMPO DE

MADURACIÓN de los conceptos. Si no haces las tareas y prácticas esto se reflejará en la evaluación.

9. El EXAMEN de cada unidad lo debes comenzar a preparar el día que iniciamos el estudio de la unidad respectiva:

- está atento en clase y participa en la discusión;

- después de clase repasa los conceptos que se estudiaron;

- consulta si es necesario alguno de los libros de la bibliografía;

- comienza a hacer tus tareas y prácticas;

- todas las dudas que tengas consúltalas con tus compañeros o con el maestro en la clase siguiente;

- LO PEOR QUE PUEDES HACER es tratar de estudiar dos o tres días antes del examen: aprendes menos y corres

el riesgo de reprobar la materia.

10. Trata de ENTENDER todos los conceptos y las proposiciones que estudiemos:

- a que se refieren;

- en qué contexto surgen;

- cuáles son los supuestos y

- cuáles las conclusiones.

De esta manera podrás aplicar dichos conceptos a la solución no sólo de ejercicios rutinarios sino incluso a ejercicios

más complejos y a la solución de problemas.

11. Buscaremos que trabajes en EQUIPO, de esta manera se hace un menor esfuerzo, se aprende de una manera más

rápida y te enseñas a colaborar con un grupo aparte de que conoces a otras gentes y te conoces mejor a ti mismo.

Trata de ser responsable con el equipo y no esperar que los demás hagan lo que a ti te corresponde y no seas

egoísta con tus compañeros que aprenden más lentamente que tú. Tú das algo a alguien y recibes algo de alguien.

12. Por respeto a los demás, queda ESTRICTAMENTE PROHIBIDO, durante la clase:

- el uso de celulares y audífonos.

- el uso de iPod y mp’s.

- salir del salón (salvo alguna emergencia).

- tomar alimentos y bebidas (incluye golosinas).

- tirar basura.

13. Se MANTENDRÁ la limpieza y el orden.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE XICOTEPEC DE JUÁREZ

INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

NOMBRE DEL ALUMNO: __________________________________________________________________ APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)

MAESTRO: NAZARIO SAMPAYO CARBALLO

INSTRUCCIONES: CONTESTE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. TRABAJE EN FORMA

CLARA Y ORDENADA Y JUSTIFIQUE DEBIDAMENTE SU RESPUESTA.

1.- ¿Qué es para ti una función?

2.- ¿Para qué sirven las funciones?

3.- ¿Has utilizado un software de matemáticas en alguno de tus cursos precedentes? ¿Cuáles?

4.- ¿Qué son para ti las matemáticas?

5.- ¿Te gustan las matemáticas?

6.- ¿Para qué sirve el Cálculo Diferencial?

a) Analizar procesos físicos

b) Realizar gráficas

c) Determinar máximos y mínimos

d) Todas las anteriores

7.- ¿Qué es la derivada de una función?

a) Ruta de cambio de una función

b) En un punto dado de la curva que representa la función, equivale a la pendiente de la recta secante a

dicha curva en un punto dado.

c) Cambio de una variable con respecto a otra.

d) Representa el valor de la pendiente de una recta tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

8.- ¿Qué es una Integral?

a) Es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

b) Es la operación contraria a la derivada

c) Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños

trozos verticales.

9.- ¿A cuánto equivale 2+2?

a) 5 b) 4 c) 22 d) 44

10.- ¿A cuánto equivale 23/4?

a) 5 b) 5>x>6 c) 5.7 d) ninguna

INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL

HOJA DE ASIGNATURA CON DESGLOSE DE UNIDADES TEMÁTICAS

1. NOMBRE DE LA ASIGNATURA Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

2. COMPETENCIAS Diseñar estrategias de mantenimiento mediante el análisis de factores

humanos, tecnológicos, económicos y financieros, para la elaboración y

administración del plan maestro de mantenimiento que garantice la

disponibilidad y confiabilidad de planta, contribuyendo a la competitividad de la

empresa.

3. CUATRIMESTRE Segundo

4. HORAS PRÁCTICAS 45

5. HORAS TEÓRICAS 30

6. HORAS TOTALES 75

7. HORAS TOTALES POR SEMANA

CUATRIMESTRE

5

8. OBJETIVO DE LA ASIGNATURA El alumno aplicará las ecuaciones diferenciales, las transformadas de Laplace y

las series de Fourier para mejorar las condiciones de operación de la empresa

mediante la modelación y evaluación de condiciones de los fenómenos

eléctricos, electrónicos y mecánicos en los equipos que intervienen en los

procesos productivos de la misma.

UNIDADES TEMÁTICAS HORAS

PRÁCTICAS TEÓRICAS TOTALES

I. Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales 5 5 10

II. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 10 5 15

III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior 10 10 20

IV. Transformada de Laplace. 10 5 15

V. Series de Fourier. 10 5 15

TOTALES 45 30 75

1. Unidad Temática I.- Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales

2. Horas Prácticas 5

3. Horas Teóricas 5

4. Horas Totales 10

5. Objetivo

Comprender qué es una ecuación diferencial, su origen, sus tipos, su solución y su

interpretación en problemas de ingeniería, para modelar sistemas electromecánicos, mediante

el estudio de casos.

Temas Saber Saber hacer Ser

Definiciones y

terminología.

Describir los criterios de

clasificación de las ecuaciones

diferenciales.

Identificar los tipos de ecuaciones

diferenciales, grado y linealidad

Comprobar soluciones de ecuaciones

diferenciales.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Teorema de existencia y

unicidad.

Enunciar el teorema de existencia y

unicidad.

Emplear el teorema de existencia y unicidad

en soluciones de ecuaciones.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Problemas de valor

inicial y condiciones de

frontera.

Describir los problemas con valores

iniciales y con condiciones de

frontera.

Emplear condiciones iniciales y de frontera

en soluciones de ecuaciones.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Las ecuaciones

diferenciales como

modelos matemáticos.

Describir los modelos de sistemas

que emplean ecuaciones

diferenciales.

Interpretar los modelos matemáticos de

sistemas por medio de ecuaciones

diferenciales.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Introducción general a la problemática relativa a la teoría de las ecuaciones diferenciales. La teoría de las Ecuaciones Diferenciales (ED) comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi

simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral y constituyen una rama extensa y muy importante

de las matemáticas modernas. Desde su inicio, han sido y continúan siendo un campo importante de investigaciones

teóricas y aplicaciones prácticas. Ahora

1. ¿Qué es una ED? y ¿qué significa?

2. ¿Dónde y cómo se originan las ED? y ¿cuál es su utilidad?

3. Cuando se encuentra una ED, ¿Qué debo hacer?, ¿cómo se debe hacer? y ¿cuáles son los resultados de

tal actividad?

Estas preguntas señalan tres aspectos importantes del tema: teoría, métodos y aplicación. En esta unidad veremos

los aspectos básicos de las ED al mismo tiempo que nos haremos haciendo una idea general de los aspectos antes

citados y que abordaremos en las siguientes unidades, es decir, se presenta un panorama general del curso.

Las ecuaciones que habías encontrado hasta ahora respondían en su mayor parte la necesidad de obtener los valores

numéricos de ciertas magnitudes. Cuando, por ejemplo, al buscar los máximos y mínimos de funciones se resolvía una

ecuación y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba la velocidad de variación de una función o cuando se

consideraba el problema de hallar las raíces de un polinomio, se trata de hallar siempre números concretos.

Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente:

problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas

variables respecto a otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar

cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo, para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o

de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc.

Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas

ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa, de hecho

podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una ecuación funcional: las funciones

implícitas.

La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ED, esto es, ecuaciones en las que además de la función

desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversas órdenes.

La enorme importancia de las ED en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al

hecho de que la investigación de muchos problemas de la ciencia y tecnología, pueden reducirse a la solución de

tales ecuaciones.

Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de los dispositivos radiotécnicos, el cálculo de las

trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción

química, todo ello depende de la solución de ED.

En el momento actual, las ED se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de fenómenos

naturales. En la Mecánica, la astronomía, la física y la tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de

las ED del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas

empíricamente por Kepler. En 1846 Leverrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el

cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.

La física y las ecuaciones diferenciales

Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ED, por lo que éstas,

en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo, las leyes de conservación de la masa y de

la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ED.

Por ejemplo la siguiente ecuación expresa la ley de la conservación de la materia en un volumen Ω que delimitaremos

mentalmente en el espacio y mantenemos fijo:

0

z

vρ

y

vρ

x

vρ

t

ρ zyx

En donde ρ representa a la densidad de la masa en el instante t y v es la velocidad.

La siguiente ecuación expresa la ley de la conservación de la energía calorífica ( C es la capacidad calorífica, T la

temperatura en el instante t , representa el vector conducción de calor y q es la densidad de productividad de la

fuente):

qzyxt

TC zyx

El siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones representa la segunda ley de Newton:

zz

yy

xx F

z

ρ

dt

dvρ,F

y

ρ

dt

dvρ,F

x

ρ

dt

dvρ

ρ representa la densidad de partículas en el volumen dado, p es la presión sobre el fluido, v es la velocidad en el

instante t y F representa a las fuerzas exteriores.

Los fenómenos oscilatorios de diferente naturaleza (vibraciones de cuerdas, membranas, oscilaciones acústicas de

gases en tubos, oscilaciones electromagnéticas, etc.) se describen mediante ED, entre semejantes ecuaciones la más

simple es la ecuación que de una cuerda vibrante que está dada por:

2

2

2

2

t

uρ

x

uT

Aquí T representa la tensión en la cuerda, ρ la masa contenida en cada centímetro de longitud de la cuerda y u(x,t)

representa desplazamiento.

La ecuación dt

dxabx

dt

xdm

2

2

Figura 1

Describe el movimiento de una masa m moviéndose en un medio resistente bajo la influencia elástica de dos resortes.

Figura 2

La ecuación xV

kps

dt

xdρl

2

2

Describe el movimiento de una masa a través del resonador acústico de

Helmholtz, aquí, ρ es la densidad del aire, l la longitud del cuello, k es la

constante de la ley adiabática, p es la presión, s el área de la sección

transversal del cuello, V es el volumen y x representa el desplazamiento de

la masa del aire en el instante t .

En el análisis de un tubo electrónico generador de oscilaciones

electromagnéticas aparece la ecuación:

0vdt

dvv3av2aaMR

dt

vdL 2

3212

2

Donde L es la inductancia, R la resistencia, M el coeficiente de

acoplamiento de las bobinas y v el voltaje en el instante t . Figura 3

Los procesos de la conductibilidad térmica y difusión conducen a ED. En el caso unidimensional la ecuación más simple

de conductibilidad térmica tiene la forma:

2

2

x

u

cρ

k

t

u

Donde k es el coeficiente de conductibilidad térmica, c el calor específico y ρ la densidad del medio.

Definición y clasificación de las ecuaciones diferenciales A partir de esta unidad realizaremos un estudio sistemático sobre los métodos de solución de las ED. Cada método

depende del tipo de ecuación o del tipo de sistema de ecuaciones por resolver por lo que debes tener la habilidad

para identificar el tipo de ecuación o del sistema de ecuaciones, luego elegir un método adecuado, y finalmente

utilizar dicho método para hallar la solución de la ecuación o del sistema dado

Definición 1 (ED).

Una ecuación diferencial, es una ecuación que contiene las derivadas (o diferenciales) de una o más variables

dependientes con respecto a una o más variables dependientes y en donde la incógnita es la variable dependiente o

algunas de las variables dependientes (o todas).

Definición 2 (ED ORDINARIA).

Una ED se dice ordinaria si sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a

una sola variable independiente.

Los problemas de la física y la tecnología conducen a menudo a un sistema de ED ordinarias con varias funciones

incógnitas, dependiendo todas de la misma variable y de sus derivadas respecto a esa variable.

Definición 3 (ED PARCIAL)

Una ED se dice parcial si contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a más de

una variable independiente.

La teoría de las ED en derivadas parciales tiene muchos rasgos peculiares que la hacen esencialmente diferente de la

teoría de las EDO.

Definición 4 (ORDEN DE UNA ED)

El orden de una ED se define como el orden de la más alta derivada que contiene la ecuación

Definición 5 (FORMA ESTÁNDAR)

Dada una EDO de n-ésimo orden en la variable dependiente y y la variable independiente t, decimos que se halla en

forma estándar si está escrita de la siguiente manera: g(t)(t)y,(t);y(t),yy(t),t,F n

es decir, del lado izquierdo se hallan todos los términos que contienen a la incógnita y a sus derivadas y del lado

derecho sólo los términos que contiene a la variable independiente.

Definición 6 (ECUACIÓN HOMOGÉNEA)

Si en la ecuación de la definición anterior 0g(t) la ecuación se dice homogénea, en caso contrario se dice no

homogénea y en este último caso g(t) se dice término homogéneo.

Ejercicio 1.- Dadas las siguientes ecuaciones, clasifícalas según su tipo (ordinarias o parciales) y según su

orden.

Ecuación Ordinaria o Parcial Orden

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Ejercicio 2.- De cada una de las ecuaciones anteriores, escribe la función incógnita así como la o las

variable(s) independiente(s).

Ecuación Función incógnita Variables independientes

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Definición 7 (ED LINEAL)

Dada una EDO de n-ésimo orden en la variable dependiente y y la variable independiente t se dice lineal si tiene (o se

puede expresar en) la siguiente forma: g(t)(t)yayay(t)a(t)ya(t)ya 012

1n1n

nn

En caso contario la ecuación se dice no lineal.

Observa que la característica central es que una vez que la ecuación se ha escrito en forma estándar los coeficientes

de y y de sus derivadas no dependen de y , pero además no deben aparecer potencias de y ni de sus derivadas, ni

tampoco funciones trascendentes aplicadas ni a y ni a sus derivadas.

Este tipo de ecuaciones se clasifican también, según sean los coeficientes de la ecuación en ecuación con

coeficientes constantes o coeficientes variables.

Observa que en el caso de las ecuaciones lineales homogéneas, la función constante 0y(t) siempre es solución.

Ejercicio 3.- Dadas las siguientes EDO, escríbelas en la forma estándar de la definición 5, determina si las

ecuaciones son homogéneas o no y en su caso da el término no homogéneo, luego da los coeficientes de la

función incógnita y de cada una de las derivadas (en orden decreciente), clasifica las ecuaciones según tengan

coeficientes constantes o variables. Finalmente determina si las ecuaciones son lineales o no, en caso de que

no lo sean escribe el o los términos no homogéneos.

Ecuación ¿forma ESTÁNDAR SI o NO? ¿Homogénea SI o NO? Término no homogéneo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Ecuación Coeficientes de las derivadas

(en orden decreciente)

Coeficientes ¿constantes

o variables?

¿Lineal SI o

NO? Términos no lineales

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

En la siguiente figura, se da una clasificación de las ecuaciones de acuerdo a los métodos analíticos de solución.

Figura 4.- Clasificación de las ED de acuerdo a los métodos de solución.

Definición 8.- (SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL)

Dada la EDO de n-ésimo orden g(t)(t)y,(t);y(t),yy(t),t,F n

Una función (t) se dice solución de la ED si al sustituir y(t) por (t) , (t)y

por ,(t), (t)y n

por (t)n ,

resulta una identidad.

Para describir en términos generales los problemas de la teoría de las ED, observemos primero que toda ED tiene, en

general, no una, sino un número infinito de soluciones, así, cualquier ED define, en general toda una clase de funciones

que la satisfacen. El problema básico de la teoría consiste en estudiar las funciones que satisfacen las ED.

Por ejemplo, en la gráfica de la figura 5 se presentan en algunas soluciones de la ecuación 22 4x2yxy

y en la

gráfica de la figura 6 se presentan las soluciones de la ecuación dydxy1x 2

Figura 5: gráfica de 22

x

cxy Figura 6: gráfica de

c

2

xseny

2

ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS

LINEALES

COEFICIENTES CONSTANTES

HOMOGÉNEAS NO

HOMOGÉNEAS

TÉRMINO NO HOMOGÉNEO CONTINUO

TÉRMINO NO HOMOGÉNEO

DISCONTÍNUO

DE ACUERDO AL ORDEN

PRIMER SEGUNDO TERCER ... N-ÉSIMO

COEFICIENTES VARIABLES

NO LINEALES

PARCIALES

La teoría de estas ecuaciones debe proporcionar una idea suficientemente amplia de las propiedades de todas las

funciones que satisfacen la ecuación, requisito que es particularmente importante al aplicar estas ecuaciones a las

ciencias naturales. Además, la teoría debe suministrar el medio de encontrar valores numéricos de una función

cuando éstos se necesiten en el transcurso de un cálculo.

A continuación damos una serie de definiciones que serán muy importantes en todo el curso.

DEFINICIONES BÁSICAS

En la tema anterior, durante la discusión se los sistemas masa-resorte, observaste que la forma de la solución

depende de los valores iniciales que toman tanto la variable dependiente como su derivada, a continuación se

generaliza esta situación para ED generales.

Definición 9 (CONDICIONES INICIALES)

Dada la ecuación de la definición 8, si para un “valor inicial” de la variable independiente asignamos un “valor inicial” a

la función desconocida y a todas sus derivadas hasta la de orden n-1, se dice entonces que hemos asignado a la

ecuación condiciones iniciales.

Se puede advertir que los valores iniciales de la función y de las n-1 primeras derivadas pueden fijarse

arbitrariamente. Cada elección de estos n valores definirá un “estado inicial” para la solución buscada.

Definición 10 (PROBLEMAS DE VALORES INICIALES Y DE VALORES EN LA FRONTERA)

Si la ecuación de la definición 8 viene acompañada por condiciones iniciales, se dice que se tiene un problema de

valores iniciales. Si se dan condiciones relativas diferentes de la variable independiente se dice que tiene un

problema de valores en la frontera.

En general, puede demostrarse, bajo hipótesis muy amplias, que la ED de la definición 8 tiene infinitas soluciones.

Para hallar una fórmula que incluya, de ser posible, todas las soluciones de una ED de orden n, aquella deberá

contener n constantes independientes, lo que permitirá imponer n condiciones iniciales, lo que justifica la definición.

Definición 11 (SOLUCIÓN GENERAL)

La solución de una ED de orden n que contiene n constantes arbitrarias independientes recibe el nombre de solución

general de la ecuación.

Pero, bajo las condiciones señaladas en el siguiente teorema (que es el más importante del curso y que mencionamos

sin demostración), puede probarse que la solución es única.

TEOREMA 1 (TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD)

Dada la ecuación de la definición 8, esta está acompañada de condiciones iniciales, entonces, existe una sola

solución de la ecuación con estos valores iniciales asignados.

En el caso anterior, la solución está completamente determinada, lo que justifica la siguiente definición.

Definición 12 (SOLUCIÓN PARTICULAR)

A la solución de un problema de valores iniciales asociado a la ecuación de la definición 8, se le llama solución

particular de la ecuación.

Definición 13 (SOLUCIONES EXPLÍCITAS Y SOLUCIONES IMPLÍCITAS)

Si la función solución de una ED es una función explícita, se dice que tenemos una solución explícita, en caso

contrario se dice que tenemos una solución implícita.

NOTA 1.- Una solución implícita es tan válida como una explícita ya que utilizando computadoras es posible obtener

y(t) para cada valor de t con la precisión deseada.

OTROS PROBLEMAS DE LA TEORÍA

La obtención de fórmulas que permitan calcular la solución en forma explícita será uno de los primeros problemas de

la teoría. Tales fórmulas sólo podrán obtenerse en casos muy sencillos, pero, si se encuentran, serán de gran ayuda

en el cálculo y estudio de la solución.

La teoría deberá suministrar algún medio para obtener propiedades referentes al comportamiento de una solución: si

es monótona u oscilatoria, si es periódica o se aproxima a una función periódica, etc.

También deberá proporcionar un cuadro cualitativo, y si fuese posible cuantitativo, del comportamiento, no sólo de

las soluciones particulares de una ecuación, sino también de una solución general.

Si variamos los valores iniciales de la función incógnita y de sus derivadas, esto es, si modificamos el estado inicial

del sistema físico, entonces variará también la solución, puesto que el proceso físico tendrá lugar ahora de manera

diferente. La teoría deberá suministrar la posibilidad de predecir cuál será ese cambio. en particular, para pequeños

cambios en los valores iniciales, ¿se modificará también la solución en una pequeña cantidad, siendo por tanto

“estable” a este respecto, o podrá ocurrir que pequeños cambios en las condiciones iniciales dan lugar a grandes

modificaciones en la solución, de modo que esta última sea “inestable”?

En la construcción de maquinaria se plantea a menudo la cuestión de elegir los parámetros que caracterizan a un

aparato o máquina, de modo tal que garanticen un funcionamiento satisfactorio. Los parámetros de un aparato

aparecen en forma de ciertas magnitudes en la ED correspondiente. La teoría deberá ayudar a aclarar que le

sucederá a la solución (al aparato) si se modifica la ecuación (los parámetros del aparato)

Finalmente, cuando sea necesario realizar un cálculo se necesitará encontrar la solución numérica de una ecuación, y

la teoría deberá proporcionar al ingeniero y al físico los métodos más rápidos y económicos de calcular las soluciones.

Nota 2.- A partir de esta unidad trabajaremos mucho con funciones logarítmicas y exponenciales por lo que conviene

recordar las siguientes propiedades (y conviene tomar en cuenta que las propiedades de la 1 a la 6, la 9 y la 10 se

usan en ambos sentidos.

a) Propiedades para transformar expresiones

lnblnaabln1) lnblnab

aln2) lna naln3) n

lnbb

1ln4) baba eee5) a

a

e

1e6)

b) Valores particulares importantes 0ln17) 1lne8)

c) Propiedades para despejar flne9) f f10)elnf

d) Derivadas ff

1lnf 11)

fee 12) ff

e) Integrales ttlntlntdt13) tt edte 14)

f) Exponencial compleja iSenββCoseeC,βiαzdado15) αz

ESQUEMA GENERAL DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA CON ECUACIONES DIFERENCIALES

Terminamos esta unidad haciendo una breve discusión sobre las etapas de construcción y análisis de un modelo

matemático general pero pensando al caso específico de las ecuaciones diferenciales.

El primer problema central de la teoría de las ED se refiere al origen de las ED. Hasta antes del nacimiento de la

informática, el proceso de modelación matemática de un proceso físico (ve el esquema de la Figura ) podía

describirse de una manera más particularizada mediante las siguientes etapas:

1. Descripción del fenómeno físico que se desea analizar;

2. Planteamiento del problema en lenguaje común;

3. Planteamiento del problema en lenguaje matemático (construcción del modelo matemático).

4. Solución del problema. (En el caso de que el modelo sea una ecuación, solución de la ecuación)

5. Análisis e interpretación de la solución.

6. Validación del modelo confrontándolo con el proceso físico analizado para decidir si el modelo es

adecuado dentro de la exactitud requerida o si es necesario ajustarlo, si la respuesta es positiva, el

problema está resuelto si la respuesta es negativa se debe ajustar el modelo.

7. En su caso ajustar el modelo y repetir el proceso con el nuevo modelo obtenido. En ocasiones un modelo

funciona bien durante un determinado tiempo por lo que el ajuste está determinado en base a que

nuevos requerimientos o nuevos descubrimientos acerca del fenómeno vuelven obsoletos los datos con los

que se trabajó.

Implementación del modelo.

Fenómeno de la "realidad" "matematizable"

MODELO MATEMATICO(problema en lenguaje matemático)

Confrontación con la realidad.El modelo:

1) ¿Explica?2) ¿Describe?

3) ¿Predice?

Ajustar

Poner un problema en lenguaje cotidiano

NoSi

Fenómeno de la "realidad" "matematizable"

MODELO MATEMATICO(problema en lenguaje matemático)

Confrontación con la realidad.El modelo:1) ¿Explica?2) ¿Describe?

3) ¿Predice?

Ajustar

Poner un problema en lenguaje cotidiano

MODELO COMPUTACIONAL(algoritmos - programación)

NoSi

Figura 4: esquema de la modelación matemática en las eras pre-informática (izquierda) e informática (derecha).

En el caso particular de la modelación matemática con ED, las etapas 1, 2 y 7 son idénticas, las demás pueden

describirse de la siguiente manera:

3. Construcción de una ecuación diferencial o de un sistema de ED.

4. Solución de la ecuación diferencial o solución del sistema de ED.

5. Análisis y estudio de la función o de las funciones obtenidas así como interpretación de sus propiedades con

respecto al proceso físico que se está estudiando.

6. Determinar si la función o las funciones obtenidas describen adecuadamente el proceso con la exactitud

requerida, si la respuesta es positiva puede pasarse a la etapa 8.

8. Uso de la función o de las funciones obtenidas para hacer predicciones, en cuyo caso se debe tener mucho

cuidado en determinar el intervalo de tiempo para el que las predicciones son válidas.

Naturalmente, esta no es la única propuesta para describir las etapas del proceso de modelación, por ejemplo, en

Dreyer (1993, pp. 1-2) se describen las siguientes 7 etapas (y como señala el autor, en un problema específico puede

ser que no se usen todas o que algunas de ellas sean banales):

1. Reconocimiento. Debe clarificarse la cuestión que debe resolverse. En el caso de situaciones

físicas los mecanismos subyacentes deben identificarse cuidadosamente. Se formula el problema con

palabras y se documentan los datos relevantes.

2. Hipótesis. Debe analizarse el problema para decidir cuáles factores son importantes y cuáles

pueden ignorarse en manera tal que puedan hacerse suposiciones realísticas.

3. Construcción. Se trata de la traducción del problema al lenguaje matemático, usualmente una

colección de ecuaciones y/o desigualdades una vez que han sido identificadas las variables. El

problema “en palabras” se transforma en un problema matemático abstracto.

4. Análisis. Se resuelve el problema matemático en manera tal que las cantidades desconocidas se

expresen en términos de las conocidas y/o se analiza para obtener información acerca de los

parámetros.

5. Interpretación. La solución del problema abstracto debe compararse con el problema original “en

palabras” para ver si tiene sentido en la situación real. Si no es así, se reformulan hipótesis más

realistas y se construye un nuevo modelo.

6. Validación. Se verifica que la solución sea congruente con los datos reales del problema. Si la

correlación no es satisfactoria, se regresa al problema “en palabras” y se revisan tanto los datos como

las suposiciones para luego modificar o agregar hipótesis y se construye un nuevo modelo.

7. Implementación. Si la solución concuerda con los datos, el modelo puede ser usado para predecir lo

que pasará en futuro o pueden extraerse conclusiones que pueden ser útiles en una planeación futura,

etc. En el caso de predicciones debe tenerse mucho cuidado para determinar el intervalo de tiempo en

el que las predicciones son válidas.

Implementación

Validación

Interpretación

Análisis

Construcción

Hipótesis

Reconocimiento

Proceso de evaluación

Resultado de aprendizaje Secuencia de aprendizaje Instrumentos y tipos de reactivos

Elaborará un mapa conceptual en el que

identificará los tipos (orden, grado,

linealidad, ordinaria/parcial) y

aplicaciones de las ecuaciones

diferenciales.

1.- Identificar las ecuaciones diferenciales y

sus tipos

2.- Comprender el proceso de verificación de

soluciones de ecuaciones diferenciales.

Ejercicios prácticos

lista de verificación

1. Unidad Temática II.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden



4. Horas Totales 15

5. Objetivo

El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de ecuaciones

diferenciales de primer orden, para su aplicación a modelos relacionados con la ingeniería en

mantenimiento industrial, mediante las técnicas básicas de solución y el uso de software para

matemáticas.

Capítulo 2.- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden (págs. 34-81)

Ecuaciones Diferenciales 7ª. Edicion, Con Valores en la Frontera, Denis G. Zill


Ecuaciones de variables

separables.

Explicar el proceso de solución de

ecuaciones de variables separables Resolver ecuaciones de variables separables

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Ecuaciones exactas. Explicar el proceso de solución de

ecuaciones exactas Resolver ecuaciones exactas

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Solución de ecuaciones

por sustitución.


ecuaciones por sustitución Resolver ecuaciones mediante sustitución

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Ecuaciones lineales y de

Bernoulli.


ecuaciones lineales y de Bernoulli Resolver ecuaciones lineales y de Bernoulli

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Aplicaciones de las

ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer

orden.

Explicar las aplicaciones en

cinemática de mecanismos y

circuitos en serie RC y RL

Resolver modelos de sistemas mecánicos y

eléctricos que requieren de ecuaciones

diferenciales (circuitos RC, RL), ley de

enfriamiento, entre otros

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación



Solucionará problemas orientados al

mantenimiento, empleando las

ecuaciones diferenciales ordinarias de

primer orden como cinemática, circuitos

eléctricos (RC, RL), enfriamiento y

resistencia de materiales.

1.- Identificar los tipos de ecuaciones

diferenciales ordinarias de primer orden

2.- Comprender el procedimiento para

resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

de primer orden

3.- Analizar las aplicaciones de las

ecuaciones diferenciales ordinarias de

primer orden relacionadas con

mantenimiento (circuitos RC y RL, dinámica,

enfriamiento).


Lista de verificación.

1. Unidad Temática III.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior



4. Horas Totales 20

5. Objetivo

El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de ecuaciones

diferenciales de orden superior, aplicándolas a modelos relacionados con la ingeniería en

mantenimiento industrial, mediante el análisis de los casos más representativos.

Capítulo 4.-Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior (págs. 117-180) Ecuaciones Diferenciales 7ª. Edicion, Con Valores en la Frontera, Denis G. Zill


Ecuaciones homogéneas y

no homogéneas.

Explicar los conceptos de:

• Ecuaciones homogéneas y no

homogéneas

• Principio de unicidad

• Dependencia e Independencia

lineal

• Wronskiano

Resolver problemas del valor inicial y de

frontera.

Utilizar el criterio de funciones

linealmente independientes. Dependencia

lineal e independencia lineal y el principio

de súper posición.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Ecuaciones lineales

homogéneas con

coeficientes constantes.

Explicar los conceptos de: Método

de coeficientes constantes. (raíces

reales, raíces reales repetidas,

raíces complejas conjugadas)

Resolver ecuaciones diferenciales lineales

homogéneas con coeficientes constantes

mediante los métodos de:

• raíces reales,

• raíces reales repetidas,

• raíces complejas conjugadas

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Ecuaciones lineales

homogéneas con

coeficientes

indeterminados.

Explicar los conceptos del método

de coeficientes indeterminados.

Resolver problemas de ecuaciones

diferenciales lineales homogéneas con

coeficientes indeterminados por medio del

los métodos:

Superposición.

Anulador.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Aplicaciones de las

ecuaciones diferenciales

de segundo orden.

Explicar los conceptos

fundamentales de porque estas

ecuaciones sirven como modelos

matemáticos que facilitan el análisis

de fenómenos físicos y de ingeniería

eléctrica, mecánica y química.

Aplicar las ecuaciones diferenciales

ordinarias de orden superior al estudio de:

Movimiento armónico simple.

Movimiento amortiguado.

Movimiento forzado.

Circuitos eléctricos RLC.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación



Solucionará problemas orientados al

mantenimiento, aplicando las ecuaciones

diferenciales ordinarias de orden

superior en como cinemática, circuitos

eléctricos (RLC), enfriamiento y

resistencia de materiales.

1.- Identificar los tipos de ecuaciones

diferenciales ordinarias de orden superior

2.- Resolver ecuaciones diferenciales

ordinarias de orden superior

3.- Analizar las aplicaciones de las

ecuaciones diferenciales ordinarias de orden

superior relacionadas con mantenimiento

(circuitos RLC, sistemas amortiguados)


Lista de verificación

1. Unidad Temática IV.- Transformada de Laplace



4. Horas Totales 15

5. Objetivo

El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de sistemas de

ecuaciones diferenciales a través de transformadas de Laplace, aplicándolas a modelos

relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante la compresión de los

conceptos básicos.

Capítulo 7.- La transformada de Laplace (págs. 255-302)



Definición de la

transformada de Laplace.

Explicar los conceptos de:

• Transformada de Laplace.

• Linealidad.

• Funciones continuas por tramos.

• Existencia de la Transformada de

Laplace.

Calcular transformadas de Laplace

directas.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Transformada inversa. Explicar los conceptos de transformada

de Laplace inversa.


inversas de funciones potenciales,

exponenciales y trigonométricas.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Teoremas de traslación y

derivadas de una

transformada.

Explicar el teorema de derivada de una

transformada basados en el primero y

segundo teorema de traslación.


basados en los teoremas de translación

y derivada de una transformada.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Transformadas de

derivadas, integrales y

funciones periódicas.

Explicar los teoremas de:

•transformada de una derivada,

• convolución,

• transformada de una función periódica.

Calcular transformadas de:

• derivadas,

• integrales,

• funciones periódicas.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Aplicaciones. Explicar la función delta de Dirac Solucionar problemas relacionados con

mecánica de mecanismos y circuitos en

serie RC y RL

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Sistemas de ecuaciones

lineales.

Explicar los métodos de:

• Operaciones,

• Transformadas de Laplace.

Determinar sistemas de ecuaciones

lineales de primer orden.

Solucionar problemas relacionados con

mecánica de mecanismos, circuitos

eléctricos sistemas degradados.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación



Solucionará ecuaciones diferenciales

aplicadas al mantenimiento aplicando las

transformadas de Laplace como en

dinámica, circuitos eléctricos (RLC),

resistencia de materiales y fluidos.

1.- Comprender los conceptos de

transformadas directas e inversas de

Laplace.

2.- Analizar las aplicaciones de la

transformada de Laplace relacionadas con el

mantenimiento industrial (sistemas

amortiguados).



1. Unidad Temática V.- Series de Fourier



4. Horas Totales 15

5. Objetivo

El alumno utilizará las series de Fourier en el modelado y análisis de problemas relacionados

con el mantenimiento industrial, en particular en estudios de calidad de la energía y

vibraciones, mediante la comprensión de los conceptos básicos.

Capítulo 11.- Funciones Ortogonales y Series de Fourier (págs. 397-435.)



Funciones

ortogonales

Explicar el concepto de

ortogonalidad de la función.

Resolver problemas definiendo la ortogonalidad de

la función en el intervalo y por medio de la integral

de la función de peso indicada.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Series de Fourier Explicar el teorema de

convergencia de una serie de

Fourier.

Solucionar problemas relacionados con convergencia

de una serie en intervalos dados.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Series de Fourier

de senos y cosenos

Explicar los conceptos y

propiedades matemáticas de las

funciones pares e impares.

Resolver problemas de las series pares e impares

por medio de las series de senos y cosenos.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación

Aplicaciones. Explicar las aplicaciones de las

series de Fourier en el área

electromecánica.

Modelar y analizar aplicando las series de Fourier

en el vibraciones mecánicas

Aplicar las series de Fourier en el modelado y

análisis de armónicas conceptos.

Responsabilidad

Puntualidad

Proactividad

Motivación



Realizará estudios de generación de

formas de onda de corriente o tensión

eléctrica, análisis de comportamiento

armónico de señales y estudios de

respuesta en el tiempo de una variable

de circuitos eléctricos aplicando las

series de Fourier al mantenimiento.

1.- Comprender los conceptos de las series

de Fourier

2.- Analizar la aplicación de las series de

Fourier en problemas relacionados con

mantenimiento (vibraciones).



CAPACIDADES DERIVADAS DE LAS COMPETENCIAS PROFESIONALES A LAS QUE CONTRIBUYE LA ASIGNATURA

Capacidad Criterios de Desempeño

Diagnosticar maquinaria y equipo mediante técnicas

predictivas con ensayos no destructivos (termografía,

vibraciones, ultrasonido, tribología, entre otras) aplicando

modelos matemáticos y otras herramientas para la

detección oportuna de fallas y optimización de las

actividades de mantenimiento.

Presenta el diagnóstico de las condiciones de operación de los

sistemas electromecánicos utilizando técnicas predictivas

(inspección visual, lubricación, termografía, ultrasonido, vibraciones,

alineación con láser y otras pruebas no destructivas).

FUENTES BIBLIOGRÁFICAS

Autor Año Título del Documento Ciudad País Editorial

D.G. Zill (2002) Ecuaciones Diferenciales con

aplicaciones

Madrid España Iberoamericana

Isabel Carmona

Jover

(1998) Ecuaciones diferenciales México México Pearson

Daniel A. Marcus (1993) Ecuaciones diferenciales México México CECSA

E.D. Rainville (1999) Ecuaciones diferenciales

elementales

México México Trillas

Paul Blanchard et al (1999) Ecuaciones diferenciales México México Thomson

M.Braun (1990) Ecuaciones diferenciales y sus

aplicaciones

México México Iberoamericana

C.C. Rolando & G.R.

Rodrigo

Ecuaciones diferenciales (Curso

de introducción)

México México Trillas

Bronson/ Costa (2008) Ecuaciones diferenciales México México McGraw-Hill

Simmons (2007) Ecuaciones diferenciales (Teoría,

Técnica y Práctica)

México México McGraw-Hill

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