APUNTES DIDÁCTICOS DE GEOLOGÍA DE MINAS

Cátedra de Geología de Minas Facultad de Ciencias Naturales y Museo

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA

APUNTES DIDÁCTICOS DE GEOLOGÍA DE MINAS

Contenido: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera

Raúl Fernández

Revisión: Julio de 2015

La serie de notas o apuntes didácticos de la Cátedra de Geología de Minas, constituyen sólo una guía de los temas abordados en la materia y no pretenden tener la categoría ni de material completo ni de libro de texto. En los años en que se ha dictado la materia, los hallazgos, por parte de los alumnos y docentes, de errores y/o desarrollos confusos así como cambios introducidos a los efectos de su actualización, llevan a continuas revisiones de estos apuntes. En ciertas ocasiones el contenido de estos apuntes cubre la totalidad del desarrollo que se da en clase, pero en otras sólo se presentan algunos fundamentos y su profundización y aplicación se brinda en las clases correspondientes. Estos apuntes fueron confeccionados tomando como base la experiencia y conocimientos de los docentes, pero también tienen una fuente bibliográfica de gran amplitud, dada la diversidad de temas que se tratan. Se han consultado tanto libros de texto específicos como artículos de revistas periódicas, los que figuran al final de cada tema. La mayor parte de esa bibliografía puede ser proporcionada a los alumnos de la materia por los docentes de la cátedra. Debe mencionarse que por ser Geología de Minas una materia optativa de la Facultad de Ciencias Naturales y Museo de la UNLP, que es tomada por estudiantes avanzados en la carrera o por estudiantes de postgrado, hay numerosos temas, definiciones y términos que se considera, fueron desarrollados previamente en otras materias y por lo tanto no están comprendidos en estos apuntes.

Raúl Fernández GEOLOGÍA DE MINAS FCNyM-UNLP

Apuntes didácticos: Aplicaciones estadísticas en la exploración minera 2

APLICACIONES ESTADÍSTICAS EN LA EXPLORACIÓN MINERA En cada una de las etapas de la exploración minera se obtiene una gran cantidad de información tanto cualitativa como cuantitativa; sin embargo esa información conforma sólo una parte muy pequeña del conjunto, es decir del depósito mineral. Todos esos datos, aún clasificados de acuerdo a su origen, difícilmente puedan manejarse en forma individual y deducir a partir de ellos las características totales del conjunto y de allí la importancia del tratamiento estadístico. Las herramientas estadísticas comenzaron a utilizarse en la exploración minera en la década del ’40 y por sus resultados su uso se ha ido incrementando notoriamente, tanto en las etapas de exploración preliminar como en las avanzadas para la determinación de leyes medias y tonelajes, así como durante la producción. Debido a que la estadística se desarrolla en esta Facultad en una materia específica, este apunte pretende sólo repasar sus aspectos fundamentales y desarrollar sus aplicaciones en la exploración minera.

INTRODUCCIÓN

La estadística analiza una población sobre la base de muestras aleatorias y equiprobables procedentes de ella y, a partir del conjunto de muestras (desde el punto de vista estadístico esto es una muestra de la población) define las principales características de la variable estudiada, por ejemplo su media y varianza.

En un depósito mineral todos los valores que puede tomar una determinada variable (p.ej. el contenido en un metal) constituyen una población y por lo tanto puede ser analizada con los métodos estadísticos. Desde esta concepción una concentración mineral estará compuesta por numerosas variables (xi) que, en la práctica, pueden tomar valores entre un xi mínimo y un xi máximo y por lo tanto podría definirse por la distribución de los valores de la variable. En la exploración (y en una ulterior explotación) las variables de mayor importancia suelen ser: la ley de un metal o de varios metales (cada uno es una variable); la proporción de un mineral (por ejemplo el % de caolinita en yacimientos de arcillas de uso refractario); el espesor de la mineralización; la “acumulada” (ley x espesor); la granulometría de un determinado mineral y las propiedades geotécnicas.

Los conceptos fundamentales y detallados acerca del método estadístico se brindan en numerosos libros de texto; particularmente entre los que desarrollan el tratamiento de datos geológicos puede mencionarse a Krumbein y Graybill (1965), Koch y Link (1980), Merodio (1985), Davis (1986), Wellmer (1998), este último orientado a la exploración minera. Alperín (2013), publicado por la editorial de la Universidad de La Plata (edulp) desarrolla bases teóricas y prácticas sobre el tema (www.editorial.unlp.edu.ar/naturales_libros_catedra).

En este apunte sólo se abordan, a través de las metodologías uni- y bivariables, los aspectos de mayor relación con la investigación minera desde las etapas tempranas de la exploración hasta la de estimación de recursos. PARTICULARIDADES DE LOS DATOS DE EXPLORACIÓN

Debido a razones operativas propias de la exploración minera, el conjunto de las muestras no siempre siguen estrictamente los requisitos establecidos por la estadística “pura”. Al respecto puede mencionarse que:

- la población se estudia a partir de un pequeño número de muestras que son de un volumen (o peso) “insignificante” respecto a ella; - a menudo se tienen que tratar muestras de distinto origen, p.ej. muestras en esquirlas de trincheras, muestras de perforaciones con diamantina o con circulación reversa, o de distinto volumen, p.ej. muestras de testigos de diámetro NQ o HQ, muestras de distinta longitud de testigo, etc. - es normal que en zonas de alta ley se tome mayor cantidad de muestras y más cercanas entre si que en el resto del área, pero aunque esto infringe el concepto de aleatoriedad, es necesario para los objetivos de la exploración.

http://www.editorial.unlp.edu.ar/naturales_libros_catedra



Desde el punto de vista estadístico, el objetivo de la exploración será reconocer el tipo de distribución, los estadísticos que la definen y el error de la estimación. Por lo tanto las variantes mencionadas sobre las muestras deberán ser tenidas en cuenta en dicho análisis. DIFERENCIAS ENTRE ESTADÍSTICA Y GEOESTADÍSTICA APLICADAS A ESTUDIOS DE YACIMIENTOS

Estas dos herramientas, actualmente muy utilizadas en la Investigación Minera, no son exactamente iguales: tienen distintas concepciones acerca de la distribución de los datos y por lo tanto las metodologías de estudio son diferentes. Es común a ambas, la recolección de una gran cantidad de datos numéricos (o transformados a números) y la obtención de resultados a partir de esta compleja información, muchas veces con arreglos muy distintos.

La diferencia entre estadística y geoestadística radica esencialmente en ese arreglo, o sea la estructuración de las series de datos.

Para la estadística hay una estructuración numérica de la información geológica. Los datos son tomados solamente en la estructura matemática de la variable (x) que para un fenómeno geológico cualquiera puede tomar valores entre x mínimo y x máximo. Si ordenamos la serie de datos confrontados con la frecuencia con que se presentan, se pueden estructurar numéricamente tanto en una distribución normal o una lognormal. El conocimiento de esa distribución, no sólo hará más fácil y barata la investigación, sino que también contribuirá a resolver otra importante cuestión que es el problema del muestreo

La geoestadística, tiene en cuenta que las variables geológicas no solamente poseen una dimensión numérica (los valores que puede tomar x) sino que cada observación o cada dato (p.ej. una muestra) tiene una ubicación y un alcance espacial en el volumen de roca de su entorno; esta componente espacial no es considerada por la estadística clásica. La geoestadística es una metodología para comprender como los valores de la variable se relacionan unos con otros en el campo de lo geométrico o geográfico. Es así que el histograma o la curva de frecuencias de la estadística clásica no son útiles ya que además de la distribución numérica aleatoria que ésta considera, hay una componente geométrica (espacial) que la afecta, por lo que la geoestadística utiliza otras herramientas (p.ej. el variograma, que se trata en otro apunte) para analizar esa composición doble: aleatoria y estructurada en el espacio. Debe tenerse en cuenta, no obstante, que la geoestadística necesita que previamente se realice el tratamiento estadístico de datos.

La estadística es una herramienta indispensable en las etapas tempranas de la exploración, cuando se están recogiendo los datos primarios y se desea ajustar el método para el reconocimiento del blanco. En estas etapas debido a la calidad de los datos no es posible asignarles alcances geométricos, ni tampoco es conveniente o confiable utilizar métodos más complicados para evaluar unos pocos datos y un imperfecto conocimiento del sistema.

En las etapas de evaluación y estimación de recursos y en la de la factibilidad del proyecto minero, hoy en día la geoestadística se hace indispensable ya que con ella se logra ajustar el método para establecer un suficiente grado de confiabilidad de la información (disminución del riesgo) sobre la cual se basarán todos los cálculos económicos antes de emprender inversiones de mayor importancia como la construcción de la planta e inicio de la explotación.

VARIABILIDAD

La variabilidad es inherente a cualquier tipo de mineralización (como a cualquier cuerpo geológico o fenómeno natural) y se debe a la distribución de la variable, que puede estar más o menos dispersa. Su conocimiento es de suma importancia para la exploración y eventual explotación. En un tratamiento



estadístico, esta variabilidad puede reconocerse en la amplitud de un histograma y definirse numéricamente por la varianza.

Si bien la variabilidad siempre será considerada, tendrá distinta influencia en la estrategia de exploración y en la confiabilidad de los resultados, de acuerdo a la etapa de investigación. En la Fig. 1 se esquematizan variabilidades desde una escala regional de reconocimiento hasta la de observación puntual dentro de una mina; a medida que se avanza en la exploración, la variabilidad incrementará su influencia y será necesario establecerla con mayor certeza.

Fig. 1. Croquis de las variaciones naturales, morfológicas y de concentración de mineral útil para distintas escalas

de trabajo. a) regional, b) distrital, c) de mina, d) para tratamiento del mineral. CAUSAS DE LA VARIABILIDAD

Las concentraciones minerales poseen distintas morfologías y variabilidad en las leyes, espesores, tamaño de grano, intercrecimientos de minerales y de las características geotécnicas de la mena y sus encajantes; ésta dependerá de los fenómenos geológicos que contribuyeron su formación y las modificaciones post-mineralización; por lo que la variabilidad debida a la génesis se denomina variabilidad natural (o geológica).

La variabilidad en la ley de yacimientos vetiformes es originada por las condiciones fisico-químicas (temperatura, presión, pH, etc) que permiten la precipitación de los minerales, así como por la existencia de más de un pulso de mineralización. La variabilidad de espesores dependerá de las características estructurales de la fractura que los aloja; p.ej. un cuerpo vetiforme que rellena una fractura simple de tensión es más constante que aquel que rellena una fisura producida por cambios de orientación en un fallamiento de desplazamiento de rumbo (vetas “arrosariadas”, “lazos cimoides”). Los depósitos tipo "porphyry copper" muestran una zonación horizontal de la ley también debida a cambios en las condiciones de los fluidos mineralizantes, pero además es común que presenten variación de los tenores en el sentido vertical, debido a fenómenos sobreimpuestos de origen supergénico. En yacimientos de cualquier tipo puede producirse (o adicionarse) una variabilidad debida a procesos posteriores a su formación, los cuales pueden cambiar la morfología del cuerpo o disminuir localmente sus leyes. Yacimientos sedimentarios aluvionales, suelen tener una variabilidad relacionada a las condiciones morfológicas del cauce donde se depositaron o a condiciones físico-mecánicas del medio de transporte. Por otro lado hay yacimientos de origen sedimentario (p.ej. yacimientos ferríferos) que presentan baja variabilidad, ya que las condiciones de depositación en la cuenca fueron más o menos homogéneas.

Además de la variabilidad natural (que se expresa como la varianza de la población) hay otras causas que introducen variabilidad y que están vinculadas con: a) procedimientos de muestreo y el tamaño y forma de las muestras, b) preparación de las muestras (cuarteo, trituración, molienda) y c) factores analíticos (métodos, reproducibilidad, errores). Se las engloba como variabilidad técnica. La figura 2 ilustra como el muestreo (asumiendo que la toma de muestras es correcta) puede influenciar la variabilidad de acuerdo al soporte, es decir al tamaño y forma de la muestra.

Zonas ricasZona con mineralizción

Diseminación

Cuerpos mineralizados

Mineral útil

Ganga Men

a

a c

b d



La variabilidad técnica debe ser correctamente definida y tratada cuidadosamente para que no resalte u oculte la variabilidad natural del yacimiento, lo que puede ocasionar graves imprecisiones en la evaluación.

Fig. 2. Variabilidad ocasionada por el tamaño y forma de las muestras.

El muestreo de un depósito mineral debe ser diseñado para estimar, no sólo las leyes (u otra variable)

de los distintos sectores, sino también para reconocer su variabilidad. Por consiguiente resulta imprescindible que la información de campo (o de mina) que acompaña al muestreo sea lo más completa posible y que permita distinguir las características geológicas de los sectores muestreados; esto permitirá una orientación muy importante sobre la dependencia de la variabilidad, es decir geológica o técnica y esta información será fundamental al momento de evaluar el muestreo efectuado. En la Fig. 3 se esquematizan distintas variabilidades geológicas que deberán ser coherentes con los resultados del muestreo.

Fig. 3. La información que acompaña al muestreo debe permitir identificar si la variabilidad corresponde a: (a) una mineralización homogénea, (b) una distribución al azar de las muestras sobre mineral distribuido heterogéneamente (c) relacionada a factores geológicos que controlan la mineralización (podrán ser poblaciones distintas).

ESTADÍSTICA UNIVARIABLE

En una exploración minera se acumula una gran cantidad de datos de diversa índole (leyes, espesores, diaclasas, etc.) a los que debe darse un tratamiento y realizar un análisis objetivo, de modo de obtener los resultados más confiables y susceptibles de contrastar.

Las herramientas estadísticas más utilizadas en la exploración minera, son los parámetros estadísticos de tendencia central, de dispersión (o amplitud) y de forma. Además es fundamental establecer el modelo de distribución de la variable, ya que esos estadísticos y las aplicaciones del tratamiento estadístico dependerán de dicho modelo. Se desarrollará primero algunos aspectos estadísticos básicos y luego serán tratadas sus aplicaciones en la exploración, en ciertos casos con algunos ejemplos sencillos.

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Los parámetros estadísticos de tendencia central (se utiliza simplemente el término estadísticos cuando se refieren a un conjunto de muestras y no a la población) muestran donde está el mayor agrupamiento de la serie de datos; los más utilizados son la media y la mediana. Los de dispersión señalan cuan amplia es la distribución respecto al estadístico de tendencia central; los más usados son la varianza y el desvío

Muestras de alta Ley

mineral

mineral

Muestras de Ley intermedia Muestras estériles

canaletas de muestreo



estándar. Los estadísticos de forma dan idea de la simetría y curtosis de la distribución y para ello se utilizan los coeficientes de asimetría y de variación. Las ecuaciones de estos estadísticos se muestran en la figura 4.

Fig. 4. Ecuaciones de los estadísticos más utilizados

Los estadísticos de mayor importancia en la exploración minera son la media y la varianza (o desvío

estándar) que en la teoría estadística corresponden a los dos primeros momentos de una distribución (el tercer momento es el coeficiente de asimetría). DISTRIBUCIONES

El reconocimiento del tipo de distribución de la serie de datos, es un aspecto de suma importancia antes de iniciar cualquier cálculo estadístico ya que la confianza en los resultados obtenidos dependerá de que se utilicen coherentemente con el tipo de distribución. Es por eso que las representaciones gráficas de las distribuciones (histogramas, curvas de frecuencias absolutas o relativas) es el inicio del tratamiento de los datos.

Dos tipos de distribuciones estadísticas son las que más se ajustan a los datos geológicos y específicamente al comportamiento de las variables en una concentración mineral: la distribución normal y la lognormal.

En la distribución normal (o Gaussiana), la variable presenta una forma de campana (“campana de Gauss”) cuya forma teórica es definida por la ecuación:

( )2

2

2).21( s

mxi

es

y−

−=

π (1)

donde xi es el valor de la variable, m es la media y s es el desvío estándar. La curva definida por esta ecuación es la función de densidad de probabilidad.

En la distribución lognormal los valores reales de la variable presentan una forma asimétrica, pero cuando son transformados a logaritmos, adquiere una forma similar a la de la distribución normal. La función de densidad de probabilidad tiene una ecuación similar a (1) reemplazando los valores de xi, m y s por sus logaritmos (para profundizar sobre las distribuciones lognormales puede consultarse el texto de Aitchison y Brown, 1964).

∑=

=n

iixnm

1)/1(

2/)1( += nxM2/)( 1)2/(2/ ++= nn xxM

∑=

−=n

ii mxn

1

22 )()/1(

2=

13 QQRIQ −=

21

3)()/1( ∑=

−=

n

ii mxn

CA

mCV =

s

s s

ss

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media:

Mediana:

Varianza:

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

MEDIDAS DE FORMA

Desvío estándar:

Rango intercuartil:

Coeficiente de asimetría:

Coeficiente de Variación:



Para la construcción de esas representaciones gráficas el primer paso es ordenar la serie de datos (en forma creciente o decreciente según los objetivos) y dividirlos en clases (intervalos de valores) de un mismo tamaño; el intervalo y cantidad de clases dependerán de la diferencia entre el valor máximo y mínimo. Luego se cuenta el número de muestras que entra en cada clase (frecuencia). Con esta síntesis de los datos se construye el histograma.

En la figura 5 se presentan tres ejemplos de histograma (hipotéticos) a partir de los cuales, visualmente, podemos establecer ciertas diferencias en la distribución.

Fig. 5. Ejemplos de histograma de distintos tipos de yacimientos. En el de Fe la distribución es asimétrica (negativa); en el de Cu la distribución es simétrica con la forma típica de la distribución normal (se ha ajustado la curva de frecuencias). En el de Au, la distribución es asimétrica (positiva) con algunas pocas muestras alejadas de los resultados más frecuentes que sugieren que se trata de una distribución lognormal. En cada histograma se muestra el número de datos (N), la media (m) y el desvío estándar (s)

El histograma es un gráfico de datos discretos (las clases del eje x) y también puede construirse con proporciones relativas de la frecuencia (llevadas a 100%, en el eje y). Las curvas de frecuencia (como la que se muestra en la distribución de Cu de la Fig. 5) representan datos continuos y se las construye a partir de las frecuencias relativas o relativas acumuladas. También constituyen representaciones graficas útiles para comprender la distribución (Fig. 6). Fig. 6. Histograma relativo (blanco) y relativo acumulado (gris) con las correspondientes curvas de frecuencia, del yacimiento de Cu de la Fig. 5.

La diferencia entre la distribución normal y lognormal se esquematiza en la figura 7 que ilustra las curvas de frecuencia y de frecuencia relativa acumulada, donde el eje x son las clases y el eje y las frecuencias. Puede verse que la distribución lognormal, cuando se utilizan los valores reales presenta una “cola” a la derecha (sesgo positivo) que desaparece y se hace similar a la forma de la distribución normal si los valores son transformados a logaritmos. Para graficar estos valores, en vez de transformarlos numéricamente, suele utilizarse el eje x con escala logarítmica. La frecuencia relativa acumulada posee una forma de “S” si el eje y es de escala aritmética, pero si se lo transforma en una escala probabilística (de acuerdo a la ecuación de Gauss [1]), se obtiene una recta, que hace facilita la comparación de distintas series de datos (p.ej. las pendientes).

frecu

enci

a

10

20

30

40

50

20 6040

N= 280m= 47 %s= 3,8 %

% Fe

frecu

enci

a

20

40

60

80

100

0,1 0,5 1,0% Cu

0 15 30

frecu

enci

a

10

20

30

40

50

60

g/t Au

m= 0,74 %s= 0,13 %

m= 11,4 g/ts= 7,7 g/t

40

20

60

80

100

00,50,1 1,0

%

Frec

uenc

ia

Clases % Cu

curva de frecuenciasrelativas acumuladas

curva de frecuenciasrelativas



Fig. 7. Distribuciones Normal y Lognormal Distribución normal estandarizada

Los valores de la variable (xi) que siguen una distribución normal (definida matemáticamente por la ecuación [1]) pueden transformase a valores zi de acuerdo a:

smxz ii /)( −= la diferencia de la variable (xi) respecto a la media (m) será una proporción del desvío estándar (s). Esta transformación produce una distribución de valores estandarizados (zi) con una media igual a 0 y una desvío estándar igual a 1. El área bajo la curva es de un 68,26%, 95,44% y 99,74% para ±1, ±2 y ±3 desvíos estándar, respectivamente (Fig. 8).

Fig. 8. a) Distribución normal estandarizada y áreas bajo la curva, correspondientes a ±1, ±2 y ±3 desvíos estándar. b) Curvas de frecuencia relativa acumulada de una distribución normal estandarizada con distintas (1 y 2) formas según la escala del eje y.

La proporción de área bajo la curva para distintos desvíos estándar (además de los señalados) se presentan en tablas que pueden encontrarse en la mayoría de los libros de estadística. Este concepto estadístico es de mucha utilidad en la exploración minera, particularmente en la estimación de recursos.

La frecuencia relativa acumulada también responde a esta función, dando una curva con forma de “S” si el eje y es dividido linealmente (aritmético) o una recta cuando este eje se escala de acuerdo a la ecuación de Gauss [1], denominada escala probabilística (Fig. 8b). En las curvas de frecuencia relativa acumulada la media coincide con la mediana (el 50 % de los valores) y con ellas puede obtenerse la proporción (%) de datos que están por encima (o por debajo) de cualquier valor del eje x.

DISTRIBUCIÓN NORMAL DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

Escala aritméticaEscala aritmética

Esc

ala

aritm

étic

a

Esc

ala

aritm

étic

a

Escala logarítmicaEscala logarítmica

Esc

ala

prob

abilí

stic

a

Esc

ala

prob

abilí

stic

a

CURVA DE FRECUENCIACURVA DE FRECUENCIA

CURVAS DE FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA

CURVA DE FRECUENCIA

Esc

ala

aritm

étic

a

(valores transformadosa logaritmos)

(valores reales)

Esc

ala

aritm

étic

a

Escala aritmética Escala aritmética Escala aritmética

CURVAS DE FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA

Esc

ala

aritm

étic

a

97,7%

50

100

84%

50%

16%

2,3%

ejetransformado (Gauss)

y

eje divididolinealmente

y

z68,26%

95,44%

99,74%

DistribuciónNormal Estandarizada

-2s-3s -s s 2s 3s

12

-ss

-2s

2s

z

ba



APLICACIONES DE LOS MODELOS DE DISTRIBUCIÓN Y LOS ESTADÍSTICOS EN LA EXPLORACIÓN MINERA

DISTRIBUCIÓN NO SESGADA

Desde el inicio del tratamiento de datos, al construir el histograma, debe prestarse atención para que la distribución no sea sesgada. Este sesgo es propio de la exploración minera debido a que suele requerir mayor información (se produce mayor cantidad de datos) en las zonas donde las leyes son más elevadas. Un ejemplo de esta situación se muestra en la figura 9. En un hipotético depósito tipo “pórfido cuprífero” se realizó una exploración con sondeos espaciados en una malla de 60 x 60 metros. Por los resultados obtenidos, se decidió realizar otra etapa de perforaciones de relleno (“infill”) separadas a 30 metros; en esta segunda etapa se comprobó la extensión de las zona de alta ley (> 1,2% Cu).

Fig. 9. Ubicación de sondeos en un depósito tipo “porphyry copper”. Etapa 1 (grilla de 60 x 60 m) y Etapa 2 (relleno en grilla de 30 x 30 m).

La construcción del histograma con todos los datos de perforaciones producirá una distorsión (sesgo)

debido a que en la segunda etapa de sondeos se atravesaron zonas de alta ley contiguas a las establecidas en la primera, por lo tanto la frecuencia de valores elevados (> 1,2% Cu) se incrementará. Esto puede conducir a definir una ley media más alta que la real (y también a un mayor tonelaje de alta ley), además puede interpretarse que se trata de una distribución lognormal cuando no lo es. Por lo tanto debe construirse un histograma no sesgado en el que se elimine la influencia que produce el agrupamiento de las muestras (los métodos de desagrupamiento se desarrollan en otro apunte). EL MODELO DE DISTRIBUCIÓN

El reconocimiento del tipo de distribución es de gran importancia en cualquier tratamiento estadístico. La estimación de los estadísticos (media y varianza) así como la proporción de muestras o de bloques de mineral que están por encima de un valor especificado (p.ej. la ley de corte) dependerá del tipo de distribución.

Como se ha mencionado los histogramas suelen dar una idea bastante aproximada del tipo de distribución (ver Fig. 5), pero uno de los métodos estadísticos de verificación del tipo distribución es el “test chi cuadrado” (x2). Sin embargo en la práctica, los gráficos de distribución de frecuencias acumuladas se consideran aceptables para definir este aspecto; en ellos se vuelca el límite de clases y la frecuencia relativa acumulada sobre un papel con las escalas adecuadas de los ejes x e y (Fig. 10). En esta figura, como se interpretó de los histogramas, puede verse que las leyes de Cu tienen una distribución normal y se ajustan bastante bien a una recta (hasta ~98 % de la acumulación) en la grilla aritmético-probabilística, mientras no lo hacen las de Au. En la grilla log-probabilística el Au se ajusta a una recta indicando que se distribuye lognormalmente (estas grillas se brindan en un Anexo).

60 m

30 m

0,2 - <0,6 %Cu 0,6 - 1,2 %Cu >1,2 %Cu



Fig. 10. Frecuencia relativa acumulada (por clases) de los yacimientos de Cu y de Au de la figura 5. La escala del eje y es la división que se obtiene de la ecuación de Gauss [1] y representa el % del área bajo la curva (proporción) que está por encima o por debajo de un determinado valor, donde 0 y 100 % se alcanzan en valores de clase que tienden a infinito (son asintóticos respecto al eje x). La distribución del Au se desvía de la recta en la grilla aritmético-probabilística pero se ajusta a una recta en la log-probabilística (a la derecha) sugiriendo una distribución lognormal.

Debe mencionarse que hay distintas formas de presentar los gráficos de frecuencia relativa acumulada.

La disposición de los ejes tal como se muestra en la Fig. 10, sigue el uso europeo. Los autores de América del Norte, por el contrario, dividen el eje x según la escala probabilística (%) y el eje y (con los valores de las muestras o de las clases) en escala aritmética o logarítmica (según la distribución). Por otra parte, en la Fig. 10 la acumulación (sumatoria) de los valores de muestras o clases es de menor a mayor, pero hay casos donde esta sumatoria se realiza de mayor a menor valor, por lo que gráficamente tendrá una pendiente opuesta. Los resultados que se obtienen son iguales, pero debe prestarse atención a estas variantes.

La forma del histograma o de la curva de frecuencia dependerá del tipo de distribución por lo que estos gráficos son una buena aproximación para definirla; no obstante las expresiones numéricas de los estadísticos de forma (ver figura 4) pueden ser más objetivos y constituyen herramientas útiles para establecerla. El coeficiente de asimetría (CA) en la distribución normal teórica es igual a cero; si la distribución es sesgada a la derecha CA>0 (sesgo positivo) y si es sesgada a la izquierda CA<0 (sesgo negativo). En la práctica el coeficiente de variación (CV), que es la relación entre el desvío estándar y la media, proporciona mucha información acerca de la distribución; cuando CV es <0,5 sugiere que la distribución es normal y si CV es >0,5 probablemente es lognormal (el coeficiente de variación se suele expresar en forma porcentual: 0,5 = 50 %).

El coeficiente de variación toma distintos valores según los tipos de yacimientos, como demuestran los ejemplos del Cuadro 1 (de Wellmer, 1998). Este rango de valores del CV es, no sólo indicativo de la amplitud del coeficiente de variación, sino también indica que debe ser considerado para cada tipo de yacimiento.

Cuadro 1. Coeficientes de variación comunes de algunos tipos de depósitos minerales (tomado de Wellmer, 1998) Localidad Depósito Coeficiente de Variación

América del Norte Varios tipos de depósitos de Pórfidos cupríferos 0,5 – 0,8

Ramsbeck, Alemania Vetas Pb-Zn 0,9 – 1,9

Montcalm Depósitos magmáticos de sulfuros de Cu-Ni 0,32

99,5

99

98979695

90

80

70

60

5040

30

20

10

5432

10,5

84

16

LIMITE SUPERIOR DE CLASE DE “x”

GRILLA ARITMÉTICO-PROBABILÍSTICA %

0,2 0,5 1,0 %Cu % Cu 0,31,5 3,0 g/t Au g/t Au

99,5

99

98979695

90

80

70

60

5040

30

20

10

5432

10,5

84

16

%

1,0 3,0 4,0 g/t Au

GRILLA LOG-PROBABILÍSTICA

g/t Au




Nanisivik, Canadá Depósitos de Pb-Zn en carbonatos 0,3 – 0,7

Australia occidental Vetas de cuarzo aurífero 0,8 – 1,6

Cayelli, Turqía Depósitos vulcanogénicos Cu-Zn (Pb-Ag-Au) 0,35

Greenbushes, Australia Pegmatitas con espodumeno 0,25

Yeelirrie, Australia Depósitos de uranio tipo Calcrete 1,2

Meggen, Alemania Depósitos estratiformes de Zn (Pb) barita en sedimentos lá i

0,20

Varios depósitos de hierro Aprox. 0,25

Hungría Varias morfologías de depósitos de bauxita 0,2 – 0,9

Koch y Link (1970) propusieron un gráfico basado en las relaciones entre la ley media y el coeficiente

de variación (Fig. 11) en el que se destaca que en los tipos de yacimientos de alta ley (p.ej. de hierro) la distribución puede ser normal, mientras que en los de baja ley, es lognormal.

Fig. 11. Tipos de depósitos (según su ley) en los que puede darse la distribución normal o la lognormal (Koch y Link, 1970)

Como fue mencionado, la variabilidad de depósitos minerales tiene una gran componente en los aspectos genéticos o bien relacionada a la tipología de yacimientos. Dos yacimientos del mismo metal pero de distinto tipo (p.ej yacimientos de Cu tipo “porphyry copper” o tipo “Kupferschiefer”) tendrán variabilidades naturales muy distintas; y aún yacimientos del mismo metal y del mismo tipo pueden tener variabilidades naturales distintas, conforme a los procesos que han actuado en su formación. Por lo tanto la exploración, tratamiento de datos y evaluación de resultados debe ser muy cuidadosa y debe tener en cuenta tanto los aspectos genéticos de formación de yacimientos como los de generación de datos numéricos. LEY MEDIA PONDERADA (mp) Y VARIANZA PONDERADA (s2

p) Como se ha mencionado, en la exploración minera las muestras no siempre son del mismo volumen (o

masa). Por lo tanto la ley media y la varianza debe ser ponderada conforme a esas diferencias y las ecuaciones de los estadísticos presentadas en la Fig. 4 se modifican como sigue:

∑∑=

i

iip p

xpm

.

[ ]∑

∑ −=

i

piip p

mxps

22 ).(

donde pi son los ponderadores.

DE: Koch y Link (1970)Valores “excepcionales”(outliers) ejercen unainfluencia significativa

Región enla cual la nor-malidad es impro-bable o imposible

Región en la cual lanormalidad es posible

Límite inferior empírico

Límite superior empírico

0 10 15 25 30 35 40 (%)205

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Ley media del deposito

Coe

ficie

nte

de v

aria

ción

Cv



Como ejemplo esquemático, la ley media ponderada del tramo de testigo (6 m de longitud) de la figura 12, se calcula tomando en cuenta la longitud y densidad de cada muestra; mp= 2,02 % Cu.

Fig. 12. Ley media ponderada de muestras de testigo (3 muestras de distinta ley, longitud y densidad)

TAMAÑO DE LAS MUESTRAS (SOPORTE)

El tamaño y forma de las muestras recibe la denominación de soporte (término asiduamente utilizado en el tratamiento estadístico o geoestadístico). El soporte no produce cambios en la ley media, pero si cambia notablemente la varianza; cuanto mayor es el soporte menor será la varianza. Un ejemplo hipotético se muestra en la figura 13

Fig. 13. Influencia del soporte en la varianza de un testigo muestreado cada metro y posteriormente compuesto cada 2 y 4 metros; estos se utilizarán para estimar la ley media de un bloque mayor (a la izquierda) que también será otro soporte.

Ese cambio en la varianza se conoce como “efecto soporte” por el cual, cuanto más pequeñas son las muestras mayor será la dispersión de la variable. Estadísticamente este efecto producirá las curvas de frecuencia que se muestran en la figura 14; por lo que poblaciones estimadas a partir de muestras de distinto soporte no pueden compararse entre si. En la práctica, para el tratamiento estadístico o geoestadístico de datos de exploración, se prefiere utilizar muestras del mismo soporte y es común proceder a su “composición” (composite en inglés), es decir a promediar un conjunto de muestras para que todos los datos tengan el mismo soporte.

Fig. 14. Ejemplo de curvas de frecuencia relativa que muestran menor dispersión cuanto mayor es el soporte.

El tamaño de ese “composite” (p. ej. 2 m, 4 m, etc. de largo de testigo) tiene que ser cuidadosamente analizado, ya que también conduce a perder información sobre la variabilidad natural. Un caso diferente es el efecto soporte del bloque a estimar, que se verá más adelante. LIMITES DE CONFIANZA

Como se ha mencionado, los minerales (de mena y de ganga) que constituyen un depósito se distribuyen conforme a los procesos de formación, y estos son los responsables de su variabilidad natural. La variabilidad de las leyes –en teoría- estaría comprendida en un rango que depende del o de los

1 m 3 m2 m

p.e.: 2,9 p.e.: 4,2p.e.: 3,4

0,6 % Cu 2,7 % Cu1,9 % Cu

12 m

1,225 1,225 1,6

1,2 1,25 1,0 1,45 2,2 1,0

1,0 1,4 0,8 1,7 1,1 0,9 1,6 1,3 2,4 2,0 0,7 1,3

Ley % Cu

1 m de largo: m= 1,35; s = 0,2572

2 m de largo: m= 1,35; s = 0,2022

4 m de largo: m= 1,35; s = 0,0472

m-s-2s 2ss

m-s-2s 2ssLey %

Frec

uenc

ia %

Frec

uenc

ia %

Soporte A

SoporteB>A



minerales de mena presentes. Por ejemplo, si en una mineralización de cobre el único mineral que lleva este metal es calcopirita, las leyes de las muestras estarán comprendidas entre 0 % Cu y 34,6 % Cu (contenido de Cu teórico de la calcopirita); en cambio si es calcocita, el máximo teórico podría alcanzar a ~80 % Cu (contenido de Cu teórico de la calcocita). En la realidad será muy difícil que obtengamos esos resultados máximos (correspondientes a masas de mineral puro del tamaño de la muestra), pero igualmente los resultados están dentro un rango de valores más o menos dispersos. Esta dispersión puede establecerse por medio de la varianza (s2) y de allí estimar, por ejemplo, que proporción de los datos (Fig. 15) estará por debajo de un determinado límite (límite de confianza). Fig. 15. Proporción bajo la curva para intervalos de confianza del 68 y 95% (± s y ± 2s) repartidos hacia ambos lados ERROR

Conforme a los conceptos estadísticos, en una distribución normal la media de las muestras (m) puede desviarse de la media de la población (µ) de la cual provienen. Esto lleva a la pregunta de con que precisión el valor de la media de las muestras refleja el de la población, es decir cual es la incertidumbre del valor de la media o cual es la magnitud del error.

El error de la media generalmente se determina a partir de la distribución de Student (tablas con el valor t de Student pueden encontrarse en la mayoría de los libros de estadística). Estos valores t deben utilizarse para muestras pequeñas (< 30) no obstante en la exploración minera, que normalmente supera ese número de muestras, puede reemplazarse el valor de t por 2 (para el 95% de confianza) o por 1,7 (para 90% de confianza).

Error promedio y error estándar

Cuando se realizan mediciones con un alto grado de seguridad sobre una misma muestra (p.ej. determinaciones de densidad o análisis químicos) el error del promedio de esas mediciones respecto a la media de la población, se expresa simplemente como error promedio (e) que indica la precisión de numerosas mediciones.

sme ±= El error de las leyes en un depósito mineral representa otro problema, ya que los datos analíticos se

distribuyen en un rango amplio. Por esta razón debe aplicarse el error estándar de la media esm:

ntsme ms /).(±= Donde m es la media, s el desvío estándar, t el valor de Student y n el número de muestras

También, debido a que el valor del desvío estándar (s) de la muestra, es un estimador del desvío estándar de la población (σ) este valor oscilará dentro de ciertos límites de confianza, es decir tendrá un error. Una forma sencilla de calcular el error típico del desvío estándar es es mediante la fórmula:

ntsses 2/).(±= Los valores de t (de Student) serán también asignados de acuerdo al intervalo de confianza elegido.

Regiones de probabilidad

Este término ha sido establecido por Hazen (1968) quien sobre la base de los errores estándar de la media y del desvío estándar, lo usó para señalar un espacio en el cual hay una determinada probabilidad de que se encuentre la verdadera media y desvío estándar de la población. El tamaño de las regiones de probabilidad se incrementa con el aumento del desvío estándar y disminuye con el incremento del número

Ley % Zn

s s

9,5%Znm

8%Zn-s

11%Zn+s

-2s6,5%Zn

+2s14%Zn

valorestodos los2,3% de

valorestodos los2,3% de

f68%

94,8%



de muestras. Ejemplos sencillos se muestran en la Fig. 16 (para el límite de confianza del 95 % para el cual, si n > 30, t= 2)

Fig. 16: Regiones de probabilidad (en gris) basadas en los errores estándar de la media y del desvío estándar.

VALORES EXCEPCIONALES Y DETERMINACIÓN DE ESTADÍSTICOS DE

DISTRIBUCIONES ASIMÉTRICAS La gran mayoría de las distribuciones presentes en depósitos minerales no son simétricas, sino que son

sesgadas a la derecha y muchas veces responden a una distribución lognormal. Ese sesgo positivo se debe a la presencia de muestras con valores elevados que sobresalen o son inconsistentes con el resto de los resultados del muestreo, valores que en este apunte, se denominan excepcionales (en inglés se utiliza el término “outliers”).

En la exploración minera y particularmente en la etapa de estimación de recursos, se presta especial atención a los excepcionales debido a que:

a) introducen una variabilidad sustancial en los parámetros estadísticos (media, varianza, etc.), b) tienen fuerte impacto en el tratamiento geoestadístico de los datos, c) provocan problemas de sobreestimación de leyes y tonelajes. La experiencia de minas en producción ha mostrado que, ante la presencia de excepcionales, del

simple promedio se obtienen leyes muy altas en comparación con la ley que surge de la planta de procesamiento. Como manejar estos valores excepcionales en la estimación de recursos de modo de obtener leyes medias lo más cercanas posibles a la realidad es un problema extremadamente complejo y no tiene aún una solución única o aceptable; distintos procedimientos se han ensayado en depósitos particulares con resultados muy variables. Pero hay un acuerdo generalizado que el tratamiento de los excepcionales es de importancia decisiva durante la evaluación económica de un depósito.

Ciertas consideraciones generales sobre los excepcionales deben tenerse en cuenta para desarrollar posteriormente su tratamiento.

Pueden ser “errores”: p.ej. de muestreo, de tratamiento de la muestra, analíticos y/o, aún, de tipeo; o bien pueden ser reales y reflejar ciertas condiciones geológicas particulares dentro de un depósito mineral. Debe hacerse un esfuerzo por examinar estos valores inmediatamente que se detectan (p.ej. en una etapa temprana de exploración) de modo de distinguir si son “errores” o reales; especialmente si se trata de los primeros y no fueron debidamente controlados, pueden permanecer como datos fidedignos y utilizarse erróneamente en la estimación de recursos.

Los problemas más serios se producirán si los excepcionales se tratan de la misma manera que el resto de los valores de ley notablemente más baja; por ejemplo si se les asigna el mismo ponderador generarán un tonelaje de mena de alta ley que no existe. Especialmente en los depósitos de metales preciosos, la experiencia ha demostrado que una proporción muy pequeña de excepcionales puede producir errores muy serios de sobreestimación de la ley media y el tonelaje por encima de una ley de corte. En muchas ocasiones las poblaciones excepcionales son distinguibles geológicamente y tienen una continuidad espacial limitada respecto al conjunto de valores de ley más baja, por lo tanto puede asumirse que no se

0,88

0,88

0,92

0,92

0,96

0,96

1,00

1,00

1,04

1,04

1,08

1,08

1,12

1,12

1,2640,632

0,660

0,604

1,320

1,208

-0,08-0,04

+0,028

-0,028+0,08

+0,056

-0,056

media: m

media: m

N= 1000; m= 1,00; s= 1,264; t= 2N= 1000; m= 1,00; s= 0,632; t= 2

desv

ío s

tand

ard:

s

desv

ío s

tand

ard:

s

0,70

0,40

0,80

0,60

0,90

0,80

1,00

1,00

1,10

1,20

1,20

1,40

1,30

1,60

1,2641,264

1,344

1,184

1,514

1,014

-0,36-0,11

+0,08

-0,08+0,36

+0,25

-0,25

media: m

media: m

N= 50; m= 1,00; s= 1,264; t= 2N= 500; m= 1,00; s= 1,264; t= 2

desv

ío s

tand

ard:

s

desv

ío s

tand

ard:

s

a

b



extenderán a la misma distancia. En la figura 17 puede verse que se ha dado una menor área de influencia a una muestra que puede ser un valor excepcional: 68 g/t Au (Fig. 17b); el promedio ponderado de estas muestras otorgará un valor de la media, más cercano a la realidad. Fig. 17. Veta vertical de cuarzo aurífero (gris claro) y área de influencia que se le otorga a la muestra de valor excepcional (gris oscuro) TRATAMIENTO DE EXCEPCIONALES

El primer paso es controlar si los excepcionales son reales o corresponden a errores. Si son reales pueden seguirse los siguientes criterios:

- Investigación: un avance muy importante es reconocer si la distribución de los valores se debe a una mezcla de distintas poblaciones; si este es el caso, pueden tratarse de forma independiente. La información geológica que acompañe a las muestras (ver Fig. 3) será imprescindible para este fin. - Eliminación: no es la decisión adecuada ya que tal vez estos valores excepcionales suelen conducir a que un depósito mineral pueda ser económico; - Reducción: Una forma de reducción es asignarle un ponderador de modo que tenga menos influencia en la estimación, como se ha visto en el ejemplo más arriba. Otras metodologías, que se desarrollan más adelante, proponen reducir directamente el excepcional a un valor determinado. - Omisión: en algunos procedimientos geoestadísticos (p. ej. en la construcción del variograma) se omiten los excepcionales para evitar distorsiones en la correlación espacial, aunque posteriormente se utilicen en la estimación.

Reducción y transformación de los excepcionales Como se ha señalado, los excepcionales producen una sobreestimación de la ley media, por lo cual se

han implementado metodologías que darán una ley media más baja, aplicables de acuerdo a la cantidad de excepcionales presentes:

1) Cuando hay un escaso número de excepcionales, se examinan uno por uno, con el fin de establecer si verdaderamente tienen esa cualidad respecto al resto de los valores (más bajos) y si lo son, como puede reducirse su valor. Una vez reducidos la ley media se calculará como un promedio aritmético normal.

2) Cuando hay un gran número de excepcionales, el conjunto se ajusta bastante a una distribución lognormal. En estos casos la media geométrica que puede estimarse con bastante precisión por la mediana (M) es siempre menor que la media aritmética y más estable, es decir menos afectada por los valores elevados. Evaluación de pocos excepcionales

Es una práctica bastante común, establecer un límite para los excepcionales, algunos son empíricos y otros basados en conceptos estadísticos, por ejemplo los valores mayores a: (m + 2s), o al decil 90 % (en el histograma) se reducen a ese umbral. También se han utilizado otros procedimientos como los expuestos por Wellmer (1998) que parcialmente se desarrollan a continuación. Correcciones gráficas

6,24,5

3,73,8

685,3

4,1

g/t Au

68 g/t Au

10 m

4,5 m

1 m

10 m

4,5 m

1 m

3 m

a b



Cuando se vuelcan los valores de frecuencia relativa acumulada en una grilla aritmético-probabilística, si la distribución es asimétrica, puede observarse que los 5-10% finales se desvían significativamente de la recta a la que se ajusta el resto de los datos; estos valores podrían ser considerados excepcionales y por lo tanto deben ser corregidos. Un método práctico (Fig. 18) es llevar “hacia atrás” dichos valores, en forma paralela al eje x, hasta cortar la recta y asignarle ese nuevo valor. La ley media se calcula con estos valores corregidos. Fig. 18. Frecuencia relativa acumulada de leyes de Au, en grilla aritmético-probabilística. Los valores que se apartan de la recta de Henry pueden corregirse de llevándolos a dicha recta Correcciones numéricas

Pueden corregirse los valores altos, llevándolos al valor inmediato inferior. Sin embargo debe definirse previamente cuales son los valores excepcionales que deben ser reducidos. Para ello Wellmer (1998) propuso el ábaco (de Doerffel) que se ilustra en la Fig. 19 con el cual se establece el límite entre excepcionales y el resto de los valores.

Fig. 19: Ábaco de Doerffel

Se debe calcular la media y la desviación estándar sin el valor alto. Un valor xE se considerará excepcional si cae fuera del rango definido por el ábaco, conforme a la siguiente ecuación:

gsmxE .+≥ donde g, es el umbral que surge del ábaco mencionado. El procedimiento se desarrollará en clase, con un ejercicio. Series con numerosos excepcionales: distribución lognormal

Como fue señalado precedentemente en esta distribución los logaritmos de los valores reales se ajustan a la distribución normal; comúnmente se usan los logaritmos naturales (base e). Esta transformación se ilustra en la figura 20. Este modelo de distribución es el más común en depósitos minerales.

60

40

20

10

5,0

2,0 5,0 7,0 10 20 30 50 70 100 200 300 500 700

Si= 5%

Si= 1%

Número de muestras

Um

bral

99,5

99

98979695

90

80

70

60

5040

30

20

10

5432

84

16

FRE

CU

EN

CIA

AC

UM

ULA

DA

% D

E “x

”

GRILLA ARITMÉTICO--PROBABILÍSTICA

2 10 20 30 g/t Au



Fig. 20. Transformación de una curva asimétrica a una normal, aplicando los logaritmos de los valores.

Al trabajar con logaritmos debe tenerse en cuenta que el promedio de los valores sin transformar (reales) no es igual al antilogaritmo del promedio de los valores logarítmicos (cuadro a la derecha). El promedio de los valores reales es la media aritmética, mientras que del promedio de los logaritmos (α) se deriva la media geométrica: mg (mg= antilogaritmo α).

La media geométrica (mg) tiene algunas ventajas, por un lado es siempre menor a la media aritmética

(en distribuciones con asimetría positiva) y por lo tanto tiende a disminuir la sobrevaluación que, como se señaló, produce la media aritmética (o promedio) cuando hay excepcionales; pero además es mucho menos sensible a los valores extremos respecto a la media aritmética, por lo cual si la ley media se obtiene a partir de ella puede asumirse que el resultado está menos afectado por los excepcionales. Esto se debe a la propia composición de la media geométrica, ya que en realidad deriva del producto de los valores que toma la variable, como puede verse a continuación:

El promedio de los logartimos (α) es: ∑=

=n

iixn

1ln/1α y n

n

iig xem ∏

=

==1

α

Por ejemplo para n=3: α= (ln x1 + ln x2 + ln x3)/3 y la media geométrica es: αemg = (antilogaritmo de α)

o mg= (3√x1.x2.x3). La influencia de valores excepcionales sobre la media aritmética se demuestra con el siguiente ejemplo: Supongamos que los resultados de 6 muestras de una mineralización de Au son:

La media aritmética ∑= ixnm /1 , es: m= 7 g/t Au

La media geométrica es: mg= 5,3 g/t Au Sólo a los efectos de demostrar la influencia de los valores extremos, se modifican los resultados anteriores, como sigue:

La media aritmética es: m= 27,9 g/t Au, pero la media geométrica se mantiene igual: mg= 5,3 g/t Au

No obstante, debe remarcarse que la ley media de un depósito está constituida por el promedio de las

leyes individuales. Por esta razón, si la distribución es lognormal, se trabaja con la media geométrica para luego estimar la media aritmética (promedio) mediante algunos procedimientos de corrección.

1 4 5 8 10 14 g/t Au

0,1 4 5 8 10 140 g/t Au

frecuencia

frecuencia

h=

h

moda

ModaM=

M=mediana

= mediaaritmética

valores normales, no logarítmicos

x

x

y

y

ln (logaritmo de la media geométrica)

valores logarítmicos

Transformación a una distribuciónnormal por los logaritmos naturales de los valores

Valorlogaritmo

natural3 1,0996 1,792

12 2,485promedio 7 1,792

6antilogaritmo



Correcciones gráficas

Como cuando hay sólo unos pocos excepcionales, también se utilizan las frecuencias relativas acumuladas. Se ha visto (Fig. 7) que, si la distribución es lognormal estas frecuencias se ajustan a una recta cuando son volcadas en una grilla log-probabilística.

Krige (1978) propuso sobre la grilla log-probabilística, una curva (centrada en la mediana: M= 50 % de los valores acumulados) a partir de la cual puede derivarse el valor de la media (también incluye la moda, aunque este estadístico no es utilizado normalmente en la exploración minera). Si bien el procedimiento no puede ser generalizado a todos los depósitos minerales, es sencillo y brinda una primera aproximación de la reducción de la ley promedio para acercarla a la real. Este método se ejemplifica a continuación: la ley media estimada para el depósito de Au de la Fig. 5 es: m= 11,4 g/t Au. Los datos de la frecuencia relativa acumulada se volcaron en la grilla log-probabilística (círculos llenos de la Fig. 21) y se ajustaron manualmente a una recta (línea llena en la figura mencionada). Esta recta se traslada paralelamente al eje x haciendo coincidir la mediana (M= 50 %= mg) y resulta la línea de trazos; esta recta trasladada corta la porción de la curva de Krige (línea gruesa continua) que representa a la media en el punto A. Este valor se traslada “hacia atrás” hasta cortar la recta original (punto B) y de allí puede leerse leer el valor de la media: m= 9,6 g/t Au.

Fig. 21: Corrección de la media en un grilla log-probabilística a partir de la curva de Krige. En esa grilla también puede leerse el valor de la varianza de los logaritmos (β2) en la parte superior derecha (prolongando la recta trasladada). La grilla se adjunta en el Anexo 1. Factor de Corrección

Si bien las frecuencias relativas acumuladas de los datos volcadas en la grilla log-probabilística se ajustan a una recta, en ocasiones esto no sucede. Krige demostró que este desvío puede corregirse con la suma de una constante θ (factor de corrección). Este factor de corrección puede establecerse como se

99,5

99

98 97 96 95

90

80

70

60

40

30

20

10

5 4 3 2

1

0,5 2 3 4 5 6 8 1 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

2 0 0 3 0 0

4 0 0 5 0 0

6 0 0 8 0 0

1 0 0 0 2 0 0 0

4 0 0 0 6 0 0 0

límite superior de clase de “x”

GRILLA LOG-PROBABILÍSTICA

1

%

84

50

16

0 , 0 5

0 , 1 0

0 , 1 5

0 , 2 0

0 , 3 0

0 , 4 0

0 , 5 0

0 , 6 0

0 , 7 0

0 , 8 0

0 , 9 0

1 , 0 0

1 , 2 5

1 , 5 0

1 , 7 5

2 , 0 0

2 , 2 5

2 , 5 0

mediana

m o d a

m e d i a

A B

Curva de Krige (1978)



muestra en la Fig. 22: la frecuencia relativa acumulada está representada por los círculos llenos; se traza una recta de ajuste sobre las clases de mayor valor y puede verse que las clases de valores menores se desvían de esa recta; el promedio de las diferencias (tramos A-B, C-D, E-F y G-H) será el factor de corrección que se sumará a todos los datos (obviamente tendrá mayor influencia en los valores más bajos). La recta quedará ajustada con este factor de corrección (θ) y luego para estimar la media se procede como en el ejemplo visto anteriormente. Al valor que se obtenga debe finalmente restarse el factor de corrección. Fig. 22. Ejemplo para definir gráficamente el factor de corrección (θ) y estimar la ley media. Se mantienen los datos originales del ejemplo donde la ley está en pennyweights/pulgada (dwt/inch) utilizada en la minería sudafricana. Correcciones numéricas

A los efectos de una mayor claridad en el uso de la nomenclatura, para la distribución lognormal la media de los logarítmos es α y a la varianza de los logarítmos es β2. En la Fig. 20, se mostraron los cambios que se producen al transformar una distribución lognormal (asimétrica) a una normal utilizando el logaritmo de los valores: los valores de la moda, mediana y media de la distribución sufren una traslación debido al cambio de escala en el eje x. La diferencia entre la media aritmética y la media

geométrica es: 2/2βe o 2/2β , para la curva sin transformar y transformada, respectivamente; es decir dependerá de la varianza. En la distribución lognormal la mediana (M= 50 % de los valores acumulados) coincidirá con la media geométrica (mg)

Los parámetros de la población son:

∑=

=n

iixn

1ln/1α → gmln=α → αα eMemg == ~

La varianza logarítmica β2 puede calcularse con la fórmula clásica (Fig. 4) pero con ln xi y α, o bien obtenerse gráficamente en la grilla de la figura 21 (se han propuesto otras aproximaciones que se omiten aquí).

Como se ha señalado, la ley promedio “verdadera” de un depósito mineral está representada por la media aritmética; sin embargo cuando se trata de distribuciones lognormales o con influencia de valores excepcionales, se han demostrado las ventajas de emplear la media geométrica (da valores menores y no es afectada por los valores extremos). Por lo tanto, a partir de la media geométrica (mg) es necesario derivar la media aritmética (m) ya que esta será la ley media real del depósito.

Si la distribución lognormal es una aproximación a la verdadera distribución de las muestras, la media aritmética de dicha distribución satisface las siguientes relaciones:

)2/( 2

. βemm g= y αemg = , por lo tanto:

)2/()2/( 22

. βαβα +== eeem Cuando se utiliza el factor de corrección (θ) se denominan distribución lognormal de tres parámetros

(α, β y θ), la ecuación anterior es:

θβα −= + )2/( 2

em

0 ,05

0 ,10

0 ,1 5

0 ,2 0

0 ,30

0 ,40

0 ,50

0 ,6 0

0,7 0

0,80

0,90

1,0 0

1,25

1,50

1,7 5

2,00

2,25

99,5

99

98979695

90

80

70

60

5040

30

20

10

5432

10,5 2 3 4 5 6 8 10 20 40 60 80 10

0

200

300

400

500

600

800

1000

2000

4000

6000

84

16


media

moda

mediana

Factor deCorrección



Para resolver estas ecuaciones es necesario conocer los valores de α y β2 (y θ en la de tres parámetros). Estos valores, dado que se trata de distribuciones que se aproximan en mayor o menor medida a la distribución lognormal serán estimadores más o menos precisos del valor real.

Otra forma de corregir la media aritmética a partir de la media geométrica, es con el “estimador t de Sichel”. Sichel (1966) calculó un factor que contribuye a solucionar el problema de la estimación de la media aritmética en distribuciones lognormales (aunque no es aceptado por todos). Ese estimador debe ser multiplicado por la media geométrica para obtener la media aritmética y ha sido tabulado por este autor (ver Anexo 2). Por ejemplo, con los datos de la figura 21, la media geométrica (mg) es derivada de la mediana (M): mg= 7,8 g/t Au; la varianza logarítmica obtenida prolongando la recta de Henry trasladada es: β2= 0,54 y para 12 muestras (n=12) se entra a la tabla del Anexo 2; interpolando entre β2= 0,5 y 0,6, el valor tSichel es: 1,3032. Con estos datos la media aritmética estimada será: m= mg . tSichel= 7,8 x 1,3032= 10,16 La media aritmética obtenida por el simple promedio de los valores (aquellos utilizados para construir el histograma de oro de la Fig. 5) fue de 11,44 g/t Au. Podemos compararla con las obtenidas en dos de los métodos arriba mencionados: - media aritmética estimada gráficamente mediante la grilla log-probabilística y curva de Krige (en el ejemplo que acompaña a la Fig. 21): 9,6 g/t Au - media aritmética estimada por la media geométrica multiplicada por el factor de Sichel: 10,16 g/t Au.

Tanto la media aritmética obtenida por el método gráfico como por el estimador de Sichel, son menores (entre 1,8 y 1,3 g/t Au, respectivamente) a la resultante del promedio y, aunque no hay un consenso total, los métodos señalados parecen apropiados para eliminar (o disminuir) el efecto de los valores elevados sobre la ley media que hacen que sea más alta que la ley “verdadera” POBLACIONES MÚLTIPLES

Las distribuciones asimétricas también pueden deberse a que están integradas por dos (o más) poblaciones que no han sido percibidas en el tratamiento de los datos. En la figura 24 se muestran ejemplos (con curvas de frecuencia relativa) de 2 poblaciones distintas; si estas se tratan como un solo conjunto la distribución tendrá una asimetría positiva y asemejarse a una distribución lognormal, cuando en realidad son dos distribuciones normales (o bien dos poblaciones lognormales) parcialmente superpuestas.

Fig. 24. Ejemplos de curvas de frecuencia relativa de múltiples (dos) poblaciones, la de baja ley (a la izquierda) es la más frecuente. (a) Las poblaciones no están superpuestas. (b y c) las poblaciones están parcialmente solapadas (mayor en b que en c). En (b) la población de alta ley tiene una dispersión (varianza) mayor que en (c).

La información geológica resultará de suma utilidad para reconocer la presencia de distintas

poblaciones, de modo de no proceder a una separación arbitraria de ellas. Una vez reconocidas se procederá a tratarlas independientemente tanto por métodos estadísticos como geoestadísticos. Una mezcla de dos poblaciones se muestra la curva de frecuencias relativas acumuladas volcada en una grilla log-probabilística (Fig. 25). Sinclair y Blackwell (2010) proponen algunas metodologías de tratamiento aplicables a estos casos (no desarrolladas en este apunte).



Fig. 25. Distribución de frecuencias relativas acumuladas de un yacimiento de Au en grilla log-probabilística (escalas según uso en Norteamérica). Los círculos negros son los valores de clase (en g/t) sobre los que se ajustó manualmente una curva (línea llena). El cambio de pendiente de dicha curva puede indicar la presencia de dos poblaciones (líneas cortadas), una de baja ley (A) y otra de alta ley (B) que se restringe a pequeños “clavos”

ANALISIS BIVARIABLE Muchas veces resulta útil comparar dos distribuciones o dos variables entre sí de modo de obtener de

resultados adicionales para el conjunto de la investigación. El primer paso para efectuar las comparaciones mencionadas, es asegurarse que cada una de las poblaciones a comparar tengan el mismo tipo de distribución (normal o lognormal) y obtener los estadísticos básicos de cada una de ellas. Posteriormente, al igual que en la estadística univarible, es conveniente representar gráficamente la información mediante el “diagrama de dispersión” (scatterplot), una herramienta que permite visualizar rápidamente el comportamiento conjunto de las dos variables. En estos diagramas los datos formarán una “nube de puntos” más o menos dispersa; cuanto más dispersa, menor será la interdependencia (correlación); además su pendiente respecto las coordenadas dará una idea del signo (+ ó -) de la correlación (Fig.26)

Fig. 26: Esquema de diagramas de dispersión (scatterplots). Puede apreciarse visualmente el distinto grado de correlación y signo.

El grado de relación entre dos variables, además, se determina numéricamente por la covarianza (Cx,y) y por el coeficiente de correlación (r), que tienen las siguientes ecuaciones:

Covarianza: ∑=

−−=n

iyixiyx mymxnC

1, )).((/1

Coeficiente de correlación (de Pearson): yx

n

iyixi

ss

mymxnr

.

)).((/11∑=

−−=

Donde: xi e yi son los valores de las variables; mx y my son las medias de las variables x e y; sx y sy son los desvíos estándar de esas variables.

Puede verse que el coeficiente de correlación es la covarianza dividida por el producto de los desvíos estándar; este cociente tiene el efecto de hacer que el coeficiente de correlación varíe entre +1 y –1 e indica el grado de correlación lineal entre las variables.

y

x x

y y

x

r ~ 1 r ~ -1 r ~ 0

0,02

0,05

0,10

0,20

0,50

1,00

2,00

3,00

5,00

10,0

0

20,0

0

30,0

040

,00

50,0

060

,00

70,0

0

80,0

0

90,0

0

95,0

097

,00

98,0

099

,00

99,5

099

,80

99,9

099

,95

99,9

8

0,3

0,2

0,40,50,60,81,0

3,0

2,0

4,05,06,08,010

20

40506080

100

%

s

3s

s2s 2s

3s

A

B

g/t



El valor del coeficiente de correlación tendrá un nivel de significación (para distintos límites de confianza) que dependerá del número de pares de datos considerados. Estos valores se han tabulado y publicado en varios textos de estadística. Por debajo del nivel las variables son independientes entre sí.

El mejor ajuste de la “nube de puntos” a una recta se establece con la recta de regresión que permite predecir los valores de una variable respecto a otra (análisis de regresión). La recta de regresión (lineal) es:

Ecuación de la recta: bxay += . ; donde x

y

ss

ra = y xy mamb .−=

APLICACIONES DEL ANÁLISIS BIVARIABLE EN LA EXPLORACIÓN MINERA El análisis de la interrelación entre 2 variables suele ser de gran utilidad en la exploración minera. Se lo ha empleado en:

- Detección de errores de “tipeo” de los datos y de valores excepcionales - Control de resultados analíticos de distintos laboratorios y de muestras duplicadas - Para establecer modelos de una variable en función de otra (p.ej. de uranio determinado por gammametría y de uranio determinado por análisis químicos; de leyes de plata a partir de leyes de plomo, etc.) - Para examinar interrelaciones entre muchas variables, incluyendo interpretaciones zoneográficas. - Para comparar resultados de muestras de distinta calidad o de distinto soporte - Para estimar la autocorrelación (esto se verá en un apunte específico de geoestadística) Algunas de estas aplicaciones se desarrollan sintéticamente a continuación. Los diagramas de dispersión permiten visualizar

rápidamente muestras cuyos datos se cargaron erróneamente o si se trata de un excepcional (Fig. 27).

Fig. 27. Gráficos de dispersión. En el de la derecha debe revisarse si se trata de un error

Con el objeto de asegurar la calidad del muestreo es necesario tomar muestras duplicadas en forma sistemática (ver Procedimientos de Aseguramiento y Control de Calidad en apunte: Actividades en la Exploración minera). Es de esperar que la muestra duplicada tenga el mismo valor que la original; sin embargo a causa de la variabilidad natural o técnica suele haber discrepancias. La figura 28 ilustra los resultados de análisis químicos (Au y Ag) de muestras originales y duplicadas de testigos de perforación. Los resultados son comparados en gráficos de dispersión (también se muestra la recta de regresión y el coeficiente de determinación R2).

Fig. 28. Gráficos de dispersión de resultados de muestras originales y duplicadas, recta de regresión (línea continua) y ecuación de regresión. Los resultados no se ajustan exactamente a la recta que indica concentraciones

Au g/t

y = 0,9738x - 0,0005R2 = 0,9905

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 1 2 3 4 5

original

dupl

icad

o

Ag g/t

y = 0,8763x + 0,2643R2 = 0,8927

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25original

dupl

icad

o

150

100

50

500

1000

1500

x

y150

100

50

500

1000

1500

x

y

Error?



idénticas (línea punteada con origen en 0,0 y pendiente igual a 1= 45º), pero poseen altos coeficientes de correlación: rAu= 0,995; rAg= 0,945 (raíz cuadrada de R2). En principio estos resultados parecen aceptables; los de Au están más cerca de la línea de 45º (x=y) que los de Ag y esto puede deberse a que se analizó mediante el método “Au a fuego” (“fire-assay”) que es más preciso que el utilizado para Ag.

Si bien hay diversas estrategias estadísticas para el tratamiento de muestras duplicadas (por ejemplo análisis de la varianza: ANOVA) Thompson y Howarth (1978) propusieron un método para estimar la precisión analítica, en el que utilizan promedios de las diferencias entre pares de muestras (original y duplicado) como aproximación al desvío estándar y el promedio de esos pares como aproximación de la concentración y con ellos se obtiene la recta regresión (Fig. 29).

Fig. 29. Recta de regresión

Esta recta de regresión es la base para calcular la precisión como: Precisión %= 200

[(Ds/concentración) + K]. Un ejemplo de los resultados para duplicados de distintos tipos de perforación, se muestra en la figura 30 (en este caso, la precisión disminuye de 0 a 100%) Fig. 30. Plot de análisis de la precisión analítica de muestras duplicadas de testigos HQ y de cutting (en realidad mide la imprecisión, cuanto mayor es el número, menos preciso). Para bajas concentra-ciones (~<0,3 g/t de Au) la imprecisión aumenta notablemente. En este caso las muestras duplicadas de circulación reversa (RC) fueron más precisas (precisión del orden de 20 %) que las de testigo (~ 60 %)

Los controles de calidad de los análisis químicos deben realizarse con frecuencia y sistemáticamente. El procedimiento normal es, a partir de muestras debidamente homogeneizadas, tomar submuestras que serán analizadas en el laboratorio de la mina (o al que rutinariamente envía las muestras) y en otro u otros laboratorios calificados. Si el laboratorio de la mina funciona bien, en un gráfico de dispersión los resultados se ajustarán a la línea de 45º (x=y) con una cierta dispersión debido a la variabilidad natural y técnica (Fig. 31, caso A), y tendrán un alto coeficiente de correlación. Con los gráficos de dispersión también puede detectarse algún error (Fig. 31, caso B): aunque el coeficiente de correlación también es alto, la recta de regresión está por encima de la línea de 45º y se aparta más en los valores altos; esto significa que el laboratorio de la mina registra valores más elevados que el de control; esto tendrá gran influencia en las leyes de producción (la estimación dará leyes más altas que las reales). A diferencia del caso anterior donde el error es aleatorio, este es un error sistemático y deberá calibrarse el instrumental y/o comprobarse los patrones de referencia.

100

80

60

40

20

00 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Pre

cisi

ón %

(impr

ecis

ión)

Concentración (ley g/t Au)

Muestras de testigo HQ (diám. 63,5 mm)

Muestras de RC (diám. 120 mm)

Plot Thompson-Howarth

Límite de detecciónpráctico

0,1

0 0,5 1 1,5 2

0,2

media de duplicados

med

ia d

e di

fere

ncia

abs

olut

a

y= 0,0923x + 0,0129Ds= 0,0129K= 0,0923



Fig. 31. Gráficos de dispersión de muestras de distintos laboratorios. Línea de 45º (x=y) cortada y recta de regresión continua. El caso (B) registra un error sistemático.

Wellmer (1998) empleó un gráfico (Fig. 32) para evaluar las diferencias entre los resultados de distintos laboratorios. Se basa en el factor “t de Student” y el número de pares de muestras. Si dicho factor cae debajo del nivel de significación, las diferencias entre laboratorios no será significativa. Fig. 32. Factor “t de Student” para 3 niveles de significación

También puede emplearse el análisis bivariable para predecir el valor de una variable a partir de otra que tal vez es más fácil de obtener (o menos costosa). La figura 33 ilustra un gráfico de dispersión de mediciones instrumentales de radioactividad (ra) contra los resultados químicos de las mismas muestras (n= 37). Las mediciones de radioactividad son de menor costo, más fáciles y rápidas de obtener que los resultados de laboratorio. La recta de regresión obtenida es: y= 1,178.ra + 0,177. Suponiendo que esta recta está adecuadamente calibrada y probada, es decir es suficientemente confiable, puede obtenerse la ley de U3O8 a partir de los valores de radioactividad empleando esa ecuación de la recta. Por ejemplo: ra= 2: 1,178 x 2 + 0,177= 2,53 % U3O8

ra= 3: 1,178 x 3 + 0,177= 3,71 % U3O8

Fig. 33. Gráfico de dispersión radioactividad/tenor Muestras de distinto soporte

En la exploración minera es muy común que deba analizarse información proveniente de muestras de distinto soporte y como se ha visto previamente, el soporte tiene una gran influencia sobre la varianza.

Si bien durante todas las etapas de exploración deben tomarse todas las precauciones al comparar los datos de distinto soporte (y también de distinta calidad de muestras), el efecto soporte es particularmente importante en la etapa de estimación de recursos y en la producción. La experiencia ha corroborado que

% Zn (A)

y = 0,9984x + 0,0972R2 = 0,9624

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4 6 8 10 12 14LabControl

LabM

ina

% Zn (B)

y = 1,1102x - 0,4206R2 = 0,9694

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4 6 8 10 12 14LabControl

LabM

ina

11

2

2

4

4

6

6

10

10

20 40 60 100

Si= 0,1= altamente

Si= 1%= significativo

Si= 5%= probablementesignificativo

significativo

Número de pares (n)

Valo

res

de t

Factores t de Student para diferentes niveles de significación

radioactividad/ley

y = 1,178x + 0,1769R2 = 0,9497

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

ra

% U

3O8



las leyes predichas por las muestras para los bloques de explotación (aún corrigiendo valores excepcionales y aplicando la dilución) no son iguales a las que resultan de la planta de tratamiento (corregidas por pérdidas). Por ejemplo: si a la planta de tratamiento entra un bloque de 3000 t con ley media (definida por perforaciones) de 1% Cu y la planta tiene una recuperación del 90%, deberían obtenerse 27 t de Cu metal (en el concentrado). Sin embargo se registran notables diferencias (positivas y negativas) entre lo que realmente se obtiene respecto a lo que debería obtenerse de acuerdo a la ley definida por perforaciones.

El análisis pionero realizado por Daniel Krige a principios de los ’60 en minas de oro de Sudáfrica (Witwatersrand) demostró estas diferencias (Fig. 34). Allí se comparan las leyes determinadas por las muestras incluidas en cada bloque con las que resultaron del tratamiento de cada bloque. El ajuste de estos datos comparativos se logra con la “línea de comparación volumen-varianza” que tiene una pendiente menor a la línea de 45º, que resultaría si las leyes de muestras son exactamente iguales a las de bloques.

Fig. 34. Gráfico histórico de Krige. Línea de Comparación Volumen-Varianza (KL) de las leyes obtenidas por el muestreo y las leyes “verdaderas” de los bloques. La línea punteada es de la de 45°.

A partir de la menor pendiente de la “línea volumen-varianza” con respecto a la línea de 45º y tomando como centro la ley media estimada por las perforaciones, surgen las siguientes observaciones:

a- Las muestras cuya ley es menor que la media, representan bloques con una ley promedio más alta que la de las muestras

b- Las muestras cuya ley es mayor que la media, representan bloques con una ley promedio más baja que la de las muestras

Un ejemplo que apoya estas observaciones puede verse en la figura 35. Fig. 35. Gráfico de dispersión de valores de leyes de perforaciones contra las leyes de los bloques estimadas por esas perforaciones

1 11

1 1 1 111

11

11111

2

1333

3 3 3

24

4 4466

7 777

49

1520 20

159

4

413

2931

144

14

67 7

41

1

41

14

63

1Ley de Muestras

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ley

de b

loqu

es m

iner

os

KL es la líneaComparaciónvarianza-volumen(Línea V V C)

V

V’

Distribucióntotal

Dis

tribu

ción

tota

l

Fila 5

Col

umna

8

Col

umna

4

De: Krige (1962)

2

2

4

6

8

10

12

14

16

4 6 8 10 12 14 16 18

% Pb+Zn debloques en planta

% Pb+Zn estimadopor perforaciones

mb.ley alta

mb.ley baja

mp.ley baja mp.ley alta

mb

mp

línea de 45º

línea CVV



El “efecto soporte” tiene esas consecuencias. Las muestras de pequeño volumen (muestras) con respecto al que se estima (bloque) producen: a) para las leyes bajas –en promedio- una sub-valoración de las leyes “verdaderas” y, b) para las leyes altas –en promedio- una sobre-valoración.

Esto no es un problema de muestreo (se asume que el procedimiento fue el adecuado, así como los controles de pérdidas de la planta de tratamiento) sino que se debe a la variabilidad natural de la mineralización y al efecto soporte. Como se ha desarrollado previamente (ver Fig. 13) cuanto mayor es el soporte de la muestra menor será la varianza, por lo tanto la curva de distribución de frecuencias para muestras pequeñas (como testigos de perforación) será más amplia que la de los bloques aunque la ley media será la misma, como se ilustra en la figura 36. Fig. 36. Ley media total estimada por muestras de perforaciones (mp) y por bloques (mb). Leyes medias de las subpoblaciones de ley inferior (mimp) y superior (msmp) a la ley media de perforaciones y de la subpoblaciones de ley inferior (mimb) y superior (msmb) a la ley media de bloques.

Por este motivo si en cada distribución se calcula separadamente el promedio del conjunto de valores

menores y mayores a la media total, puede verse en la Fig. 35 que en las muestras de mayor soporte (bloques) esas leyes medias tienden a acercarse a la media total, entonces los bloques de ley inferior a la media total (<mb) tendrán en promedio una la ley (mimb) mayor que las estimadas a partir de perforaciones (mimp); en tanto que los bloques de ley superior a la media total (>mb) tendrán una ley (msmb) menor a las estimadas por perforaciones (msmp).

Uno de los principales problemas del efecto soporte se verifica en la estimación local de bloques de estéril y de mena a partir de una determinada ley ya que genera el llamado “error de clasificación” (Fig. 37).

Fig. 37. Diagrama de dispersión de la ley de bloques que resulta de las muestras dentro de cada bloque contra la ley real de los bloques conforme a la planta de tratamiento (la elipse envuelve todos los pares de valores). Se muestra la línea de comparación Volumen-Varianza, la línea de 45º y los bloques mal clasificados (2) y (4) de acuerdo a una ley estipulada (LC).

En la figura 37 se muestra que la ley media del depósito estimada a partir de las muestras (mx) y de las leyes reales de los bloques (my) son iguales y corresponden al valor donde la “línea volumen-varianza” corta la línea de 45º. Los bloques son clasificados como mena cuando superan una determinada ley LC (esta puede ser la “ley de corte”: se explicará en otras clases) y como estéril cuando son iguales o inferiores a esa ley. En la figura del ejemplo puede verse que de acuerdo a la ley, los bloques de los campos 1 (mineral) y 3 (estéril) están bien clasificados. Pero cuando analizamos los bloques de los campos 2 y 4 vemos que hay un error de clasificación. Ese error será más grave cuanto mayor sea LC.

Otro aspecto que surge del ejemplo de la figura 37, es que para los bloques de alta ley (p.ej. mayores a la ley media del depósito) las leyes de los bloques de mena serán, en promedio, menores a las esperadas y esto tendrá gran influencia en el cálculo económico y productividad del depósito.

mp

mb

mi<mp mi>mp

mi<mb ms>mb

Ley de bloques

Frec

uenc

ia %

Frec

uenc

ia %

Ley porperforaciones

Ley

real

de

bloq

ue

Ley de bloqueasignada por muestras

Línea

de 45

°

SECTOR DESOBRESTIMACIÓN

SECTOR DE SUBESTIMACIÓN

2

3

1

4

Regresión

Vol-Var

mx

LC

my

LC



La geoestadística propone herramientas tendientes a disminuir el efecto soporte y de esta forma contribuye a minimizar el “error de clasificación” y ajustar los parámetros económicos.

Bibliografía citada Aitchison, J. y Brown, J.A.C. (1969). The lognormal distribution. Cambridge University Press. London, 176 pp. Alperín, M. (2013). Introducción al análisis estadístico de datos geológicos. Edulp. Universidad Nacional de La Plata.

ISBN 978-950-34-1029-5. Davis, J.C. (1986). Statistics and data analysis in geology. John Wiley and Sons. New York, 646 pp Hazen. S.W. (1968). Ore Reserve calculations. In: Ore Reserve Estimation and Grade Control. Canadian Institute of

Mining and Metallurgy. Special vol. 9: 11-32. Koch, G.S. y Link, R.F. (1980). Statistical analysis of geological data. John Wiley and Sons, New York 1ª edición: I

(1970): 375 pp y II (1971): 438 pp. Ediciones en un solo tomo: 1980 y 1986, Dover Publications, New York. Krumbein, W.C. y Graybill, F. (1965). An introduction to statistical models in geology. McGraw-Hill Book Co., New

York, 475 pp. Merodio, J.C. (1985). Métodos estadísticos en geología. Asociación Geológica Argentina, Serie B Didáctica y

Complementaria Nº 13. 230 pp. Sinclair, A.J. y Blackwell, G.H. (2010). Applied Mineral Inventory Estimation. Cambridge University Press (2ª

edición), 381 pp. Thompson, M. y Howart, R.J. (1978) A new approach to the estimation of analytical precision. Journal of

Geochemical Exploration, 9: 23-30. Wellmer, F.-W. (1998). Statistical evaluations in exploration for Mineral Deposits. Springer, Berlin Heidelberg, 379

pp. Anexos ( a continuación)


Apuntes didácticos: Estadística aplicada a la investigación minera 1

Anexo 1 Grilla aritmético-probabilística. Disposición de los ejes según uso europeo

99,5

99

98979695

90

80

70

60

5040

30

20

10

5432

10,5

84

16

%



Anexo 1 Grilla log-probabilística. Disposición de ejes según uso en América del Norte

0,02

0,05

0,10

0,20

0,50

1,00

2,00

3,00

5,00

10,0

0

20,0

0

30,0

040

,00

50,0

060

,00

70,0

0

80,0

0

90,0

0

95,0

097

,00

98,0

099

,00

99,5

099

,80

99,9

099

,95

99,9

8%

s

3s

s2s 2s

3s



Anexo 1 Grilla log-probabilística (Krige, 1978). Disposición de los ejes según uso europeo.

99,5

99

98

979695

90

80

70

60

40

30

20

10

543

2

1

0,5 2 3 4 5 6 8 10 20 40 60 80 100

200

300

400

500

600

800

1000

2000

4000

6000

límite superior de clase de “x”

1% 0,

050,

10

0,15

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1 ,00

1,25

1,50

1 ,7 5

2,00

2,25

2,50

mediana

moda

media



Anexo 2 Estimador t-Sichel: V= varianza de los valores logarítmicos. n= número de muestras

APUNTES DIDÁCTICOS DE GEOLOGÍA DE MINAS

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