Apuntes de Tratamiento Digital de...

2008

Fernando Cruz Roldán

17/09/2008

Apuntes de Tratamiento Digital de Señales

Tema 1. Conceptos Básicos de Señales y Sistemas. 1

Tema 2. Introducción al filtrado Digital. Tipos de Sistemas. 13

Tema 3. Cálculo de los coeficientes del filtro. 45

Bibliografía. 67

1

Capítulo 1

Conceptos Básicos de Señales y Sistemas

1.1 INTRODUCCIÓN

En este primer capítulo se realiza un breve repaso de los conocimientos adquiridos

en las asignaturas de señales y sistemas, y que resultan de gran utilidad para abordar

el estudio del diseño de filtros digitales.

Partimos de la definición de sistema como todo proceso o transformación de una o

varias señales de entrada en otra(s) de salida. Existen sistemas de múltiples entradas

y salidas (sistemas MIMO), pero en estos apuntes nos centraremos en los de una

única entrada y salida (sistemas SISO). Las propiedades más importantes que

pueden satisfacer dichos sistemas son las de linealidad, invarianza en el tiempo,

estabilidad (BIBO), causalidad, memoria e invertibilidad [Jac 91, Opp 97]. El repaso

que se realiza en este capítulo se centra en los sistemas que operan con señales de

tiempo discreto, y satisfacen simultáneamente las propiedades de linealidad e

invarianza en el tiempo (sistemas discretos LTI).

La nomenclatura y notación que utilizaremos en los apuntes es la siguiente. Cuando

la variable independiente es continua, se indica entre paréntesis, y en caso de ser

2 ♦ Conceptos básicos de señales y sistemas ♦

discreta, se denota entre corchetes. Las señales en el dominio del tiempo se

representan con letras minúsculas, y las correspondientes a un dominio

transformado con letras mayúsculas. Por ejemplo una secuencia de tiempo discreto

podría ser [ ]x n , y su correspondiente transformada z, que es una señal de variable

continua, se representaría como ( )X z . La variable independiente correspondiente a

la transformada de Fourier de señales de tiempo continuo es ω , mientras que la

correspondiente a la variable pulsación para señales de tiempo discreto es Ω .

1.2 CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS LTI

Dado el sistema discreto LTI de la figura 1.1, existen diversas formas de

caracterizarlo. En el dominio del tiempo, la función que permite obtener la salida a

partir de cualquier entrada es la respuesta al impulso [ ]h n , que se define como la

respuesta del sistema cuando a su entrada se aplica una función [ ]nδ . Conocida la

función [ ]h n , se puede obtener la respuesta del sistema frente a cualquier entrada a

través de la suma de convolución (expresión 1.1), y determinar las propiedades del

mismo.

Fig. 1.1. Sistema discreto lineal e invariante en el tiempo.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k

y n x n h n x k h n k h n x n h k x n k∞ ∞

=−∞ =−∞

= ∗ = ⋅ − = ∗ = ⋅ −∑ ∑ (1.1)

El sistema es causal si su respuesta al impulso cumple que [ ] 0h n = para 0n < , es

estable (BIBO) si la respuesta al impulso es sumable en valor absoluto, es decir,

[ ]n

h n∞

=−∞

< ∞∑ , tiene memoria cuando [ ] 0h n ≠ y [ ] [ ]h n c nδ≠ ⋅ , siendo c una

♦ Conceptos básicos de señales y sistemas ♦ 3

constante compleja, y es invertible cuando existe otro sistema, denominado inverso,

también LTI, cuya respuesta al impulso [ ]ih n satisface que [ ] [ ] [ ]ih n h n nδ∗ = .

En determinadas ocasiones, operar en el dominio del tiempo puede entrañar una

dificultad excesiva. El cálculo de la suma de convolución puede no ser trivial, y

cuando hay que obtener una de las funciones que se convolucionan, el problema

puede ser inabordable en el dominio del tiempo. A modo de ejemplos, se puede

citar el problema en el que dado un sistema [ ]h n , se intenta obtener el sistema

inverso [ ]ih n , o el caso en el que conocida la respuesta al impulso del sistema [ ]h n

y la señal de salida [ ]y n , se trata de calcular la secuencia de entrada [ ]x n que la

ocasiona.

Alguno de los anteriores problemas puede resultar más fácil de resolver en los

dominios transformados. De este modo, es conveniente recordar que el sistema LTI

también se puede caracterizar mediante la función del sistema, la cual se define

como

( ) [ ] n

n

H z h n z∞

−

=−∞

= ⋅∑ , (1.2)

es decir, la transformada z de la respuesta al impulso. Ésta es una función continua

compleja de variable continua compleja, con lo que es necesario para su

representación emplear dos gráficos tridimensionales.

Es muy importante asociar a la expresión en z su correspondiente región de

convergencia, ya que la primera por sí sola puede dar lugar a ambigüedades, es decir,

puede no definir unívocamente al sistema.

Ejemplo 1.1. Dada la expresión

( )1

1112

H zz−

=− ⋅

, (1.3)


dependiendo de la región de convergencia asociada al mismo, tendremos dos

sistemas diferentes: uno causal y estable cuya respuesta al impulso es

[ ] ( ) [ ]1 2 nh n u n= ⋅ y un segundo sistema no causal e inestable cuya respuesta al

impulso viene dada por la expresión [ ] ( ) [ ]1 2 1nh n u n= ⋅ − − . Ambos sistemas se

obtienen en función de la región de convergencia asociada a la expresión en z. A

saber, 1 2z > para el primero, y 1 2z < en el caso del segundo sistema.

La función del sistema es una función de transferencia, tal y como se indica en la

expresión (1.4), y en el caso de ser una función racional, es posible determinar las

propiedades del sistema a partir de su región de convergencia. En este caso, cuando

el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador, el sistema

es causal si la región de convergencia se extiende desde el polo que presente el

mayor módulo hasta infinito (inclusive). El sistema es estable si la región de

convergencia incluye la circunferencia de radio unidad, y el sistema es sin memoria si

su región de convergencia es todo el plano z.

( ) ( )( )

Y zH z

X z= (1.4)

Como ya se ha indicado, la función del sistema simplifica el cálculo de determinados

problemas en los que aparece involucrada la operación suma de convolución. Sin

embargo, presenta como inconvenientes de destacar los siguientes aspectos. En

primer lugar, la variable z no tiene un sentido físico claro, en segundo lugar, es

difícil la representación tridimensional de las dos funciones asociadas a ( )H z

(módulo y fase, o parte real y parte imaginaria), y en tercer lugar, hay que determinar

la región de convergencia que va asociada a la expresión en z, y operar

correctamente con la misma.


Ejemplo 1.2. Dada una convolución (expresión (1.5)) y una suma de señales

(expresión (1.6)) en el dominio del tiempo:

[ ] [ ] [ ]nynhnx =∗ z→ ( ) ( ) ( )zYzHzX =⋅ (1.5)

[ ] [ ] [ ]nxnxnx =+ 21 z→ ( ) ( ) ( )zXzXzX =+ 21 (1.6)

Para resolver los anteriores problemas en el dominio z, además de obtener el

producto o la suma de ambas señales transformadas, hay que calcular la nueva

región de convergencia de la señal resultante. En primer lugar, debe existir

intersección entre las regiones de convergencia de las funciones que se multiplican o

se suman para realizar dichas operaciones. En caso de que exista, la nueva región se

obtiene a partir de dicha intersección, pudiéndose modificar la misma por la

cancelación de alguno de los polos que la delimitan [Jac 91, Opp 97].

Otra función que caracteriza al sistema es la respuesta en frecuencia, definida como

la transformada de Fourier de la respuesta al impulso [ ]h n :

( ) [ ]∑∞

−∞=

Ω−⋅=Ωn

njenhH . (1.7)

Esta función sí tiene un sentido físico claro, y además no es necesario incluir ningún

condicionante adicional a la expresión en Ω , puesto que si existe, es para toda la

variable independiente. Al ser una función compleja de variable continua real, basta

con dos gráficos bidimensionales para llevar a cabo su representación. Es también

una función de transferencia que se puede obtener como el cociente de la señal de

salida y la de entrada:

( ) ( )( )ΩΩ

=ΩXYH . (1.8)


Cuando la función del sistema ( )zH incluye la circunferencia de radio unidad en la

región de convergencia, se puede calcular la respuesta en frecuencia a partir de la

anterior del siguiente modo:

( ) ( ) Ω==Ω jez

zHH . (1.9)

En el diseño de filtros digitales se emplean dos tipos de descripciones para la

respuesta en frecuencia. Por un lado, la descripción módulo y fase de la respuesta en

frecuencia:

( ) ( ) ( )Ω⋅Ω=Ω HjeHH ϕ , (1.10)

donde la función módulo de la respuesta en frecuencia ( )H Ω se define como

( ) ( ) ( )Ω+Ω=Ω 22IR HHH , (1.11)

y la fase de la respuesta en frecuencia ( )Hϕ Ω , definida a través de la expresión

( ) ( ) ( )( )ΩΩ=Ω RIH HHarctgϕ , (1.12)

donde ( )ΩRH representa la parte real de la función ( )ΩH y ( )ΩIH su parte

imaginaria. Tanto la función del módulo como la de fase de la respuesta en

frecuencia presentan como principal inconveniente que en general no son funciones

analíticas, y en ocasiones es necesario calcular la derivada de alguna de ellas. Sirva a

modo de ejemplo el cálculo del retardo de grupo de un filtro [Opp 99]. En estos

casos, puede resultar de utilidad la descripción de la respuesta en frecuencia del filtro

a partir de la función de amplitud ( )A Ω y de la función de fase ( )Hθ Ω , tal y como

se indica en la expresión (1.13). Ambas contienen la misma información,

respectivamente, que las funciones módulo y fase de la respuesta en frecuencia, y

además son funciones analíticas.

( ) ( ) ( )Ω⋅Ω=Ω HjeAH θ . (1.13)


Ejemplo 1.3. Consideremos el filtro cuya respuesta al impulso viene definida por

[ ] [ ] [ ]1−−= nnnh δδ . Su respuesta en frecuencia se puede especificar como se indica

en la expresión (1.14) –descripción módulo y fase-, o como la expresión (1.15) –

funciones de amplitud y de fase-. La figura 1.2 representa a las mismas.

( ) ( )( )( )1 cos2 2cos

senjarctg

H e⎛ ⎞Ω⎜ ⎟⎜ ⎟− Ω⎝ ⎠Ω = − Ω ⋅ (1.14)

( ) 2 222

jH sen e

π Ω⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠Ω⎛ ⎞Ω = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.15)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

pulsacion

Modulo de la Respuesta en Frecuencia

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

pulsacion

Funcion de Amplitud

(a) (b)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

pulsacion

Fase de la Respuesta en Frecuencia

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

pulsacion

Funcion de Fase

(c) (d) Fig. 1.2. Ejemplo. (a) Módulo, (b) función de amplitud, (c) fase y (d) función de fase de la

respuesta en frecuencia.


1.3 SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES EN DIFERENCIAS

LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES

Los filtros digitales lineales e invariantes en el tiempo pueden ser descritos mediante

una ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes como la de la expresión

(1.16). Cuando el sistema descrito mediante esta expresión parte del reposo inicial,

cumple las propiedades de linealidad, invarianza y causalidad [Opp 97].

[ ] [ ] [ ]0 0

M N

k kk k

y n b x n k a y n k= =

= ⋅ − + ⋅ −∑ ∑ (1.16)

Atendiendo a la duración en el tiempo de la respuesta al impulso del sistema

descrito por la ecuación en diferencias (1.16), se pueden encontrar dos grandes

grupos de filtros: los sistemas de respuesta al impulso de duración finita (FIR) y los

de duración infinita (IIR). Obsérvese en la expresión (1.16) cómo para que el

sistema sea IIR, es necesario que se satisfaga que algún coeficiente 0ka ≠ . Sin

embargo, esta no es una condición suficiente.

Ejemplo 1.4. Consideremos el filtro cuya respuesta al impulso viene definida por

[ ] ( ) [ ] [ ]( )1 2 8nh n u n u n= ⋅ − − . Este sistema, cuya respuesta al impulso es de

duración 7 (FIR), se puede caracterizar por dos ecuaciones en diferencias

equivalentes, a saber:

[ ] [ ]7

0

12

k

ky n x n k

=

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ , (1.17)

[ ] [ ] [ ] [ ]81 18 1

2 2y n x n x n y n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (1.18)

Dado un sistema LTI caracterizado por la expresión (1.16), la función del sistema

se puede calcular aplicando la transformada z a dicha expresión y considerando que


es una función de transferencia (1.19). Los ceros se definen como aquellos puntos

del plano z en los que se anula la función del sistema, y los polos como aquellos

puntos del plano z en los que dicha función tiende a infinito. Obteniendo las raíces

de los polinomios numerador y denominador encontramos, respectivamente, los

ceros ic y polos ip que se encuentran en puntos finitos del plano z.

( ) ( )( )

( )

( )

1

0 10

1

0 1

1

1 1

MMk

ikk i

N Nk

k ik i

c zb zY zH z b

X z a z p z

−−

= =

− −

= =

− ⋅⋅= = = ⋅

− ⋅ − ⋅

∑ ∏

∑ ∏, ,i ic p ∈ . (1.19)

Cuando los coeficientes ka y kb de la ecuación en diferencias son números reales,

los polos y ceros complejos aparecen por parejas conjugadas, y en el diagrama de

polos y ceros existe simetría con respecto al eje real. Es decir, todos los polos y

ceros que se sitúan en el semiplano superior, tienen su correspondiente pareja en el

semiplano inferior (el complejo conjugado). En el diagrama de polos y ceros

tenemos toda la información de la función del sistema, salvo la constante de

ganancia 0b del mismo.

La respuesta en frecuencia del filtro estable se puede obtener mediante la expresión

(1.20).

( ) ( )( )

( )

( )0 1

0

0 1

1

1 1

MMjj

ikk i

N Nj j

k ik i

c eb eYH b

X a e p e

− Ω− Ω

= =

− Ω − Ω

= =

− ⋅⋅Ω

Ω = = = ⋅Ω − ⋅ − ⋅

∑ ∏

∑ ∏, ,i ic p ∈ . (1.20)

Ejemplo 1.5. Dado el sistema LTI causal caracterizado por la ecuación en

diferencias

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]20 1.7321 1 2 0.9 1 0.81 2y n x n x n x n y n y n= ⋅ − ⋅ − + − + ⋅ − − ⋅ − . (1.21)

En la figura 1.3 se representan el diagrama de polos y ceros, la función

( )( )20log H z , para { }1.1 Re 1.1z− < < y { }1.1 Im 1.1z− < < , y la que sería la función


módulo de la respuesta en frecuencia. Esta última, junto con la fase de la respuesta

en frecuencia, se representan de manera conjunta en la figura 1.4.

Fig. 1.3. Ejemplo1.5. Representación del diagrama polo cero y de funciones relacionadas con el filtro dado.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−200

−100

0

100

200

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−40

−20

0

20

40

Mód

ulo

(dB

)fa

se (

grad

os)

Pulsación Normalizada (×π rad/muestra)


Fig. 1.4. Ejemplo1.5. Representación del módulo y de la fase de la respuesta en frecuencia del filtro dado.


diferencias

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]20 1.7321 1 2 0.9 1 0.81 2y n x n x n x n y n y n= ⋅ − ⋅ − + − − ⋅ − − ⋅ − . (1.22)





en frecuencia, se representan de manera conjunta en la figura 1.6. A diferencia del

ejemplo 1.5, en este caso los polos están más próximos al punto 1z = − , y la

ganancia de la respuesta en frecuencia del filtro aumenta en πΩ = , mientras que la

ganancia del sistema en 0Ω = disminuye (compárese con la figura 1.4).


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−200

−100

0

100

200

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−60

−40

−20

0

20

40

60



Mód

ulo

(dB

)fa

se (

grad

os)



diferencias

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]20 1 2 0.9 1 0.81 2y n x n x n x n y n y n= ⋅ − − + − + ⋅ − − ⋅ − . (1.23)





en frecuencia, se representan de manera conjunta en la figura 1.8.


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−100

−50

0

50

100

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−5

0

5

10

15

20

25

30

Mód

ulo

(dB

)fa

se (

grad

os)




Al estar los polos muy próximos a los ceros, la función del sistema es prácticamente

constante y del mismo valor para todos los puntos del plano z alejados de dichos

polos y ceros.

Capítulo 2

Introducción al Filtrado Digital. Tipos de Sistemas

2.1 DEFINICIONES

Un filtro es un sistema que va a producir cambios selectivos en las características de

amplitud y/o de fase de una señal, con el objetivo de mejorar la calidad de la misma

(reduciendo el ruido) o de extraer determinada información de dicha señal. Un filtro

digital es el sistema que realiza las operaciones anteriores con técnicas digitales, y

como veremos más adelante, será un programa que lleva a cabo un algoritmo

matemático con multiplicaciones y sumas de distintos elementos.

Al igual que los analógicos, los filtros digitales pueden presentar también

características selectivas en frecuencia, del tipo paso-bajo, paso-banda, banda-

eliminada, etc. Los filtros digitales presentan diversos inconvenientes frente a los

analógicos y numerosas ventajas, la mayoría de ellos relacionados con la tecnología

que lleva a cabo el proceso de filtrado [Che 92, Ell 87, Ham 89, Mit 93, Par 87]. Se

pueden destacar los siguientes aspectos:

a) Los filtros analógicos que presentan fase lineal [Sch 00] son poco selectivos y

discriminantes en frecuencia. Sin embargo, los filtros digitales que presentan

13

14 ♦ Introducción al filtrado digital. Tipos de Sistemas ♦

esta característica pueden ser diseñados con una banda de transición muy

estrecha y una elevada atenuación en la banda eliminada.

Ejemplo 2.1. La figura 2.1 muestra la respuesta al impulso y el módulo y la fase de la

respuesta en frecuencia de un filtro digital de fase lineal. Este filtro es FIR, de 64

coeficientes, y como se aprecia en la figura 2.1 (a), la respuesta al impulso es

simétrica. En la figura 2.1 (b) puede observarse la elevada discriminación que

presenta dicho sistema.

10 20 30 40 50 60−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Respuesta al Impulso de un Filtro FIR de Fase Lineal

Am

plitu

d

n

(a)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1400

−1200

−1000

−800

−600

−400

−200

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−120

−100

−80

−60

−40

−20

0


Mód

ulo

(dB

)fa

se (

grad

os)

Pulsación Normalizada (×π rad/muestra) (b)

Fig. 2.1. Ejemplo 2.1. (a) Respuesta al impulso y (b) módulo y fase de la respuesta en frecuencia de un filtro digital de fase lineal.

♦ Introducción al filtrado digital. Tipos de Sistemas ♦ 15

b) El comportamiento de los filtros digitales en la región de muy bajas

frecuencias es excelente. Por ello, se utilizan constantemente en aplicaciones

biomédicas [Aka 01].

c) Los filtros digitales, trabajando de manera conjunta con sistemas que

producen la interpolación o el diezmado de una señal de tiempo discreto

[Opp 99], se aplican frecuentemente en la codificación de señales

biomédicas, de audio, imágenes o video [Str 97], e incluso en la transmisión

de señales digitales con modulaciones multiportadora [Aka 96, Aka 99].

Además de los citados anteriormente, existen diversos libros en los que se

analiza el diseño y la aplicación de los filtros digitales en este entorno de

trabajo [Vai 93, Fli 99, Vet 95].

d) El principal inconveniente que impide la utilización de los filtros digitales en

determinadas aplicaciones es la limitación de la velocidad a la que opera el

sistema, impuesta por el ciclo de reloj o ciclo de trabajo del sistema digital.

Éste delimita el ancho de banda máximo de las señales con que se puede

operar.

e) Otro inconveniente de los filtros digitales se debe a los efectos derivados de

la utilización de registros con un número de bits limitado (de longitud de

palabra finita). En el sistema digital aparecen, entre otros, los ruidos debidos

a la cuantificación de la señal de entrada del convertidor A/D, los debidos a

la cuantificación de los coeficientes del filtro digital, los ocasionados durante

las operaciones al efectuar procesos de redondeo o truncamiento, los efectos

de saturación o desbordamiento en los registros, etc.

2.2 CLASIFICACIÓN DE LOS FILTROS DIGITALES

En el capítulo anterior se clasificaron los filtros digitales atendiendo a la duración de

su respuesta al impulso, encontrándonos con sistemas IIR y FIR. Para filtros IIR la

relación entrada-salida siempre viene establecida por una expresión como la (2.1), ya

que es condición necesaria en los mismos que algún 0ka ≠ para 1 . Por k N≤ ≤


tanto, el cálculo de la señal de salida se realizará de forma recursiva. El orden del

filtro IIR será el mayor de los números M o , siendo N ,M N +∈Z

]k

ka b

y . ,M N < ∞

( )H z

[ ] [∑=

−+=0

k

M

kk nynxbny [ ]− k

[h k

[kh0

∑Ν

=1ka

[nδ

[n −

(2.1)

Los filtros FIR son sistemas que por definición presentan una respuesta al impulso

de duración finita. Si se considera el sistema causal, la expresión (2.2) también

caracteriza a un filtro FIR. La longitud o número de coeficientes del filtro FIR es ,

y el orden .

L

1L −

[ ] ] ]1

0

L

kh n k

−

=

= ⋅∑ − (2.2)

Un algoritmo que lleve a cabo el cálculo de la salida mediante la expresión (2.1)

requiere N+M+1 multiplicaciones y N+M sumas de dos en dos elementos. Si el

algoritmo utilizado desarrolla la expresión (2.2), el número de multiplicaciones y el

de sumas es y , respectivamente. En los sistemas IIR, no es posible llevar a

cabo el cálculo de la salida mediante convolución directa (expresión (2.3) si

suponemos el sistema causal), debido a que el número de operaciones necesarias es

infinito.

L 1L −

(2.3) [ ] ] ]kxnyk

= ∑∞

=

La función del sistema IIR causal se rige por la expresión (2.4), y será siempre el

cociente de dos funciones polinómicas. Si los coeficientes y de son

reales, los polos y los ceros que aparecen en el sistema son números reales, o

complejos acompañados del correspondiente conjugado. Para que el sistema sea

estable y causal, todos los polos deben situarse en cualquier punto situado en el

interior de la circunferencia de radio unidad, y al menos uno situado fuera del

origen, no habiendo restricción para la posición de los ceros. La presencia de los

polos en cualquier punto tal que

k

pz 1pz < , proporciona mayor flexibilidad en la


fase de diseño: si se desea más ganancia en una banda de frecuencias, basta con

situar algún polo en un punto del plano z próximo a dicha región.

( ) [ ] 0

0

1

1

Mk

kn k

knk

k

b zH z h n z

a z

−∞

− =Ν

−=

=

= =−

∑∑

∑ (2.4)

Si el sistema es FIR causal, la función del sistema (expresión (2.5)) tiene los 1L −

ceros situados en cualquier punto del plano z, mientras que los polos están

todos situados en el origen. Lo anterior implica que dadas unas especificaciones de

un filtro digital, normalmente el filtro IIR necesita menos coeficientes que el

correspondiente FIR. El riesgo que se corre es que, al utilizar aritmética de precisión

finita, en el filtro IIR se pueden degradar notablemente las características en

frecuencia, e incluso, si presenta polos muy cercanos a la circunferencia de radio

unidad, el filtro se puede convertir en inestable.

1L −

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1

1

00 1 1

Ln n

nH z h n z h h z h L z

−L− −

=

= = + ⋅ + + − ⋅∑ L − − (2.5)

La respuesta en frecuencia se obtiene, si el sistema es estable, sustituyendo por

. Con respecto a la fase de la respuesta en frecuencia, los sistemas I.I.R. causales

no van a poder presentar una característica exactamente lineal. Como se verá más

adelante, los filtros FIR que tienen una respuesta al impulso simétrica o

antisimétrica, sí presentan una característica de fase lineal.

zje Ω

Ejemplo 2.2. Uno de los métodos de diseño de filtros IIR se basa en técnicas de

aproximación de filtros analógicos. La figura 2.2 muestra el módulo y la fase de un

filtro digital IIR diseñado a partir de un filtro elíptico analógico. Se puede observar

cómo la fase de la respuesta en frecuencia es aproximadamente lineal en la banda de

paso, pero este comportamiento se degrada en frecuencias próximas a la banda de

transición.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−500

−400

−300

−200

−100

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−100

−80

−60

−40

−20

0

Pulsación Normalizada (×π rad/muestra)M

ódul

o (d

B)

fase

(gr

ados

)


Fig. 2.2. Ejemplo 2.2. Módulo y fase de la respuesta en frecuencia de un filtro digital diseñado a partir de un filtro elíptico analógico.

A la hora de abordar el diseño de un filtro digital hay que elegir entre un sistema

FIR o IIR. En los apartados anteriores se han comentado algunos aspectos

referentes a la función del sistema y la respuesta en frecuencia que pueden

condicionar la elección. Más adelante, se estudiarán distintas técnicas de diseño y

estructuras para la realización de los filtros, las cuales proporcionarán más elementos

de juicio para realizar una elección acertada entre los mismos. En dicha elección

entre FIR e IIR intervienen numerosos factores, y no siempre hay una opción

claramente favorable, siendo en ocasiones conveniente realizar dos diseños

completos, uno FIR y otro IIR antes de tomar una decisión basada en factores de

tipo práctico [Che 92, Ell 87, Ham 89, Mit 93, Par 87].

2.3 SISTEMAS ESPECIALES

2.3.1 Sistema Inverso

Como se explicó con anterioridad, dado un sistema LTI, el sistema inverso es aquel

que conectado en cascada con el inicial, proporciona como señal de salida la señal

de entrada al primero (figura 2.3). Es fácil demostrar que el sistema inverso a uno


LTI debe cumplir también las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo

[jac 91, Opp 97].

Fig. 2.3. Interconexión en cascada de un sistema LTI y su inverso.

El cálculo del sistema inverso en el dominio del tiempo es bastante complicado, y en

ocasiones, inabordable. La resolución en el dominio z se plantea en la expresión

(2.6), que establece que la función del sistema del inverso a uno dado, se obtiene

intercambiando los polos y los ceros entre sí. Con respecto a la región de

convergencia (R..C.) de la función del sistema inverso hay que considerar varios

aspectos. Inicialmente, debe tener intersección con la del sistema original, y en este

caso, elegirla de modo que satisfaga las condiciones de diseño, ya que puede haber

más de un sistema inverso al dado. La expresión 2.6 también indica que la

intersección de ambas regiones de convergencia es todo el plano z.

( ) ( ) zCRCRzHzHiHHi ∀=∩=⋅ ....1 ⇒ ( ) ( )zH

zHi1

= (2.6)

Ejemplo 2.3. Dado el sistema LTI causal

( )( )1 1

1 1

11 2 14

1 11 12 4

z zH z

z z

− −

− −

⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

podemos encontrar varios inversos al mismo. En primer lugar, la función del

sistema

( )( )

1 1

11 1

1 11 12 4

11 2 14

i

z zH z

z z

− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝=

⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎠ , 2z > ,


representa a un sistema inverso causal. En segundo lugar,

( )( )

1 1

21 1

1 11 12 4

11 2 14

i

z zH z

z z

− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝=

⎛− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎠⎞

, 1 4 2z< < ,

se corresponde con un sistema inverso estable, y por último,

( )( )

1 1

31 1

1 11 12 4

11 2 14

i

z zH z

z z

− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝=

⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎠ , 1 4z < ,

es una función cuya región de convergencia no cumple el criterio de tener

intersección con la región de convergencia del sistema original.

La figura 2.4 representa el diagrama de polos y ceros, con la correspondiente región

de convergencia, de cada uno de los sistemas.

−1/2 −1/4 1/4 1 2

R.C. |z|>0.5Parte Imaginaria

Parte Real

−1/2 2 1/4 −1/4 1

Parte Imaginaria

R.C. |z|>2

Parte Real

(a) (b)

−1/2 2 1/4 −1/4 1

Parte Imaginaria

R.C. 0.25 < |z| < 2

Parte Real

−1/2 2 1/4 −1/4 1

Parte Imaginaria

R.C. |z| < 0.25

Parte Real

(c) (d)


Fig. 2.4. Ejemplo 2.3. Diagrama de polos y ceros de varios sistemas. (a) Sistema dado. (b) Sistema inverso causal. (c) Sistema inverso estable. (d) Sistema inestable y no causal, cuya región de

convergencia no tiene intersección con el sistema dado.

2.3.2 Sistemas Paso-Todo

Un sistema paso todo es aquel cuyo módulo de la respuesta en frecuencia es

constante y del mismo valor para todo Ω . En general, la función del sistema de un

filtro paso-todo causal de orden N se representar como [Vai 93]

( ) ( )( )

N

ap

z A zH z

A z

− ⋅=

%, (2.7)

donde y ( )0

Nk

kk

A z a z−

=

= ⋅∑ ( ) ( )* *1A z A z=% . Supongamos un filtro paso todo

sencillo de orden uno, con dos coeficientes, tal que

( ) ( )( )

* *0 11

10 1

ap

a a zH z z

a a z−

−

+ ⋅= ⋅

+ ⋅. (2.8)

Si el filtro presenta un polo en 00

ja r e Ω= ⋅ , con a∈ , (los coeficientes serían 0 1a =

y ), la función del sistema se puede expresar como 1a = −a

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )* 1*

1 *1

1 11

1 1ap

a za zH z z a

a z a z

−

−−

−− ⋅= ⋅ = − ⋅

− ⋅ − ⋅ 1−. (2.9)

En este caso, se observa que además del polo 00 0

jp a r e Ω= = ⋅ , en el filtro paso todo

debe aparecer un cero situado en ( ) ( )00 01 1 0*

01j jc a r er e− Ω⋅ Ω= = = ⋅ . Es decir, cada

polo va acompañado por un cero en una posición inversa conjugada, con la misma

fase que el cero, pero de módulo inverso.

Si el sistema es estable, la respuesta en frecuencia del sistema paso todo viene dada

por


( ) ( )( )

( )( )

* *1

1

jj j

ap j

a e FH e e

Fa e

Ω− Ω − Ω

− Ω

− ⋅ ΩΩ = ⋅ = ⋅

Ω− ⋅, (2.10)

donde . Se puede comprobar fácilmente en (2.10) que ( ) (1 jF a e− ΩΩ = − ⋅ )( ) 1Ω =apH . Un sistema paso todo de orden se obtiene mediante la

interconexión en cascada de sistemas paso todo de orden uno. La expresión

general del sistema paso todo cuando presenta

N

r

N

M polos y ceros reales, y cM

polos y ceros complejos es la dada en (2.11) [Opp 99], con kd ∈ y . , kc e ∈

( ) ( )( )

( )( )

( )( )∏∏

=−

−

−

−

=−

−

⋅−−

⋅⋅−−

⋅⋅−

−⋅=

2

11*

1

1

*1

11

1

111

cr M

k k

k

k

kM

k k

kap ze

ezzeez

zddzczH (2.11)

Si el filtro paso todo causal es de coeficientes reales, es decir, ka ∈ , se satisface

que ( ) ( 1 )A z A z−=% . En este caso, la expresión (2.7) se puede simplificar a

( ) ( )( )

( )( )

1 11 0

10 1

N NN NN

ap NN

z A z a a z a zH z z

A z a a z a z

− − − −−−

−

⋅ + ⋅ + + ⋅= = ⋅

+ ⋅ + + ⋅

L

L −. (2.12)

La fase de la respuesta en frecuencia del sistema paso todo se puede expresar como

se indica en la expresión (2.13) [Pei 94]. Si la función racional ( )H z tiene todos los

polos dentro de la circunferencia de radio unidad, como le ocurre a los sistemas

paso todo estables y causales, se satisface [Opp 99] que ( )Hϕ Ω es monótnona

decreciente, lo que implica que el retardo de grupo es siempre positivo.

( )( )

( )0

0

2arctancos

ap

N

kk

H N

kk

a sen kN

a kϕ =

=

⎛ ⎞⋅ Ω⎜ ⎟⎜Ω = − Ω+⎜ ⎟

⎟⋅ Ω⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑ (2.13)

Ejemplo 2.4. La función del sistema de un filtro paso todo causal y estable presenta

un polo en el punto


34

1 0.8j

p eπ

= ⋅ .

Si la respuesta al impulso es real, además del anterior polo es necesario añadir otro

polo conjugado, y los correspondientes ceros en posiciones inversas conjugadas:

34

2 0.8j

p eπ

−= ⋅ ,

34

1 1.25j

c eπ

= ⋅ y 34

2 1.25j

c eπ

−= ⋅ .

La función del sistema resultante es

( ) ( )( )

( )( )

1 2 1 2

1 2 1

1 1.767767 1.5625 1 1.767767 1.562510.641 1.13137085 0.64 1.5625 1.767767ap

z z z zH z

z z z z

− − − −

− − −

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = ⋅

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + 2−,

con región de convergencia 0.8z > .

La figura 2.5 representa el diagrama de polos y ceros,, la función ( )( )20log H z ,

para { }1.4 Re 1.4z− < < y { }1.4 Im 1.4z− < < , y la función módulo de la respuesta en

frecuencia. Esta última, junto con la fase de la respuesta en frecuencia, y el retardo

de grupo, se representan en las figuras 2.6 y 2.7, respectivamente.

Parte Imaginaria

Parte Real

1 0.8

R.C. |z|>0.8

(a) (b) Fig. 2.5. Ejemplo 2.4. (a) Diagrama polo cero y (b) representación de funciones relacionadas

con el filtro paso todo.


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−800

−600

−400

−200

0

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 12.5

3

3.5

4

4.5

5

Mód

ulo

(dB

)fa

se (

grad

os)



Fig. 2.6. Ejemplo 2.4. Representación del módulo y de la fase de la respuesta en frecuencia del filtro paso todo.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ret

ardo

de

Gru

po (

mue

stra

s)


Fig. 2.7. Ejemplo 2.4. Retardo de grupo del filtro paso todo.

En la figura 2.4b se puede comprobar que el filtro paso-todo cumple el teorema del

módulo máximo [Vai 93]. De este teorema se desprende que si ( )apH cΩ = ,

entonces

( )1

1

1ap

para zcH z c para z

c para z

<>⎧⎪= =⎨⎪< >⎩

,


salvo en el caso de sea constante para todo z. Con la excepción de los

sistemas paso todo elementales de la forma

( )H z

( ) 0nH z c z−= ⋅ , cualquier sistema que

satisfaga la expresión (2.11) es IIR, ya que presentará polos en puntos finitos del

plano z distintos del origen, que no se cancelarán con ningún cero.

2.3.3 Sistemas de Fase Mínima

En general, un sistema LTI no puede ser descrito únicamente a partir del módulo de

la respuesta en frecuencia, ya que una función ( )H Ω dada puede provenir de

distintas funciones del sistema ( )H z [Opp 99]. Se puede demostrar fácilmente a

partir de la función , definida en la expresión (2.14). Particularizando z en la

circunferencia de radio unidad, se obtiene (2.16).

( )C z

( ) ( ) ( )C z H z H z= ⋅ % (2.14)

( ) ( ) ( ) ( ) 2* 1j j j jC e H e H e H eΩ Ω − Ω= ⋅ = Ω (2.15)

Sea una función definida como en la expresión (1.19). Si suponemos los

coeficientes y reales, se cumple lo siguiente. Si

( )H z

kb ka ( )H z presenta un cero (polo)

en , la función presenta un cero (polo) en oz ( )H z% *1 oz . Así, al representar el

diagrama de polos y ceros de la función ( )C z , nos encontramos con que por cada

polo o cero que exista en un punto finito del plano z, debe aparecer otro polo o cero

en una posición inversa conjugada. Seleccionando adecuadamente polos y ceros de

, podemos encontrar distintos sistemas que tengan el mismo módulo de la

respuesta en frecuencia –salvo una constante de ganancia, que no está especificada

en dicho diagrama de polos y ceros-.

(C z )


Ejemplo 2.5. De una función ( ) ( ) ( )C z H z H z= ⋅ % racional de coeficientes reales se

conoce que presenta un cero y un polo en los siguientes puntos del plano z:

Cero: , 1 0 '25 0 '25c j= − −

Polo: 1 0 '25 0 '25p j= +

Se puede completar los polos y ceros que faltan para obtener la función de

orden mínimo que cumple los requisitos anteriores:

( )C z

Ceros: , 2 0 '25 0 '25c = − + j 3 2 2c j= − − y 4 2 2c j= − + .

Polos: 2 0 '25 0 '25p j= − , 3 2 2p j= + y 4 2 2p j= − .

Por tanto, la función será de la forma ( )C z

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )

1 1 1 11 2 3 4

0 1 1 1 11 2 3 4

1 1 1 1

1 1 1 1

c z c z c z c zC z k

p z p z p z p z

− − − −

− − − −

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

Todas las funciones del sistema que se indican a continuación, presentan el mismo

módulo de la respuesta en frecuencia, salvo una constante de ganancia , 1 1 : kl 6

))

≤ ≤l

( ) ( )(( )(

1 11 4

1 1 1 11 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅, ( ) ( )( )

( )( )1 1

1 42 2 1 1

2 3

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅,

( ) ( )(( )(

))

1 11 4

3 3 1 11 2

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅, ( ) ( )( )

( )( )1 1

1 44 4 1 1

3 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅,

( ) ( )(( )(

))

1 12 3

5 5 1 11 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅, ( ) ( )( )

( )( )1 1

2 36 6 1 1

2 3

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅,

( ) ( )(( )(

))

1 12 3

7 7 1 11 2

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅, ( ) ( )( )

( )( )1 1

2 38 8 1 1

3 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅,


( ) ( )( )( )( )

1 11 2

9 9 1 11 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅, ( ) ( )( )

( )( )1 1

1 210 10 1 1

2 3

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅,

( ) ( )( )( )( )

1 11 2

11 11 1 11 2

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅, ( ) ( )( )

( )( )1 1

1 212 12 1 1

3 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅,

( ) ( )( )( )( )

1 13 4

13 13 1 11 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅, ( ) ( )( )

( )( )1 1

3 414 14 1 1

2 3

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅,

( ) ( )( )( )( )

1 13 4

15 15 1 11 2

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅, ( ) ( )( )

( )( )1 1

3 416 16 1 1

3 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

− −

− −

− ⋅ − ⋅= ⋅

− ⋅ − ⋅.

Con la constante de ganancia k adecuada, la diferencia entre las funciones l ( )H Ωl ,

, se encuentra en la fase de la respuesta en frecuencia. La figura 2.8

representa el diagrama de polos y ceros de la función

1 1≤ ≤l 6

( )C z .

Parte Imaginaria

Parte Real

1 2− 2

− 2j

2j

Fig. 2.8. Ejemplo 2.5. Diagrama de polos y ceros de la función dada.

En lo siguiente, nos centraremos en los sistemas que cumplen simultáneamente la

propiedad de estabilidad y causalidad, es decir, aquellos que tienen todos los polos

en el interior de la circunferencia de radio unidad, y la región de convergencia se

extiende desde el módulo mayor de todos sus polos hasta infinito. El sistema de fase

mínima se define como aquel que presenta un retardo de fase o de grupo ( )minH z


mínimo. Si no presenta ningún cero situado en la circunferencia de radio

unidad, se puede obtener a partir de él un sistema inverso

( )minH z

( ) ( )min1invH z H z= que

también es causal y estable.

Los sistemas de fase mínima presentan varias propiedades [Opp 99], de la que

también conviene destacar, además de las anteriores, que son sistemas de retardo de

energía mínimo [Opp 99].

Ejemplo 2.6. Si se considera que la función del sistema ( )H z que produce la

del ejemplo 2.5 se corresponde con un sistema causal y estable, las únicas soluciones

posibles son , ,

( )C z

(3H z) ( )7H z ( )11H z y ( )15H z . El motivo es que con las

condiciones anteriores, los polos deben estar situados en el interior de la

circunferencia de radio unidad. Si además se impone la condición de que la

respuesta al impulso del sistema sea real, la soluciones se restringen a y

, ya que cada cero debe ir acompañado de su correspondiente conjugado.

( )z11H

( )15H z

La figura 2.9 representa el diagrama de polos y ceros,, la función ( )( )20log H z ,

para { }4.1 .1− < Re 4z < y { }4.1 Im 4.1z− < <

( )15H z

, y la función módulo de la respuesta en

frecuencia de y . El retardo de grupo de cada una de ellas se

representan en las figura 2.10. El sistema de fase mínima es

(11H )z

( )11H z , el cual tiene

todos los polos y los ceros situados en el interior de la circunferencia de radio

unidad.


(a) (b)

−3 −2 −1 0 1 2 318

20

22

24

26

28

30

32

34

Mód

ulo

(dB

)

Módulo de la respuesta en frecuencia de los sistemas H11(z) y H15(z)

Pulsación (rad/muestra)

(c) Fig. 2.9. Ejemplo 2.6. Representación de funciones relacionadas con (a) y (b)

. Las constantes de ganancia son

( )11H z

( )15H z 11 20.8k = y 15 2.6k = . (c) Módulo de la respuesta en frecuencia de ambos sistemas.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

Ret

ardo

de

Gru

po (

mue

stra

s)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.9

1.95

2

2.05

2.1



Sistema H11(z)

Ret

ardo

de

Gru

po (

mue

stra

s)

Sistema H15(z)

Fig. 2.10. Ejemplo 2.6. Retardo de grupo de los filtros ( )11H z y . Las constantes de

ganancia son

( )15H z

11 20.8k = y 15 2.6k = .


Ejemplo 2.7. Cualquier sistema se puede descomponer de la siguiente forma ( )H z

( ) ( ) ( )zHzHzH ap min⋅= A modo de ejemplo, supongamos el sistema estable caracterizado por la función

( ) ( )( ) ( )( )1 11 1 1 1H z j z j z− −= − + ⋅ − − ⋅ .

Este sistema no es paso todo, ni tampoco es el que menor retardo de grupo

presenta de todos los que tienen el mismo módulo de la respuesta en frecuencia. Sin

embargo, se puede expresar como la interconexión en cascada de otros dos

sistemas:

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )min

1 11 1

1 1

1 1 1 11 0.5 0.5 1 0.5 0.5

1 0.5 0.5 1 0.5 0.5

ap

H zH z

j z j zH z j z j z

j z j z

− −− −

− −

− + − −= ⋅ − +

− + − −− −

1444444424444444314444444244444443

La figura 2.11 representa el diagrama de polos y ceros de cada uno de los sistemas

anteriores, y la figura 2.12 el módulo y la fase de la respuesta en frecuencia de los

mismos.

2

(a) (b)

2


(c) Fig. 2.11. Ejemplo 2.7. Diagrama de polos y ceros de (a) ( )H z , (b) y (c) ( )apH z ( )minH z .

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−800

−600

−400

−200

0

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−5

0

5

10

15

Mód

ulo

(dB

)


fase

(gr

ados

)

Pulsación Normalizada (×π rad/muestra)−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−800

−600

−400

−200

0

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 15

5.5

6

6.5

7

7.5

Mód

ulo

(dB

)


fase

(gr

ados

)


(a) (b)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−100

−50

0

50

100

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10

−5

0

5

10

Mód

ulo

(dB

)


fase

(gr

ados

)


(c) Fig. 2.12. Ejemplo 2.7. Módulo y fase de la respuesta en frecuencia de (a) , (b) ( )H z ( )apH z

y (c) ( )minH z .

2.3.4 Sistemas de Fase Lineal

Una de las propiedades más importantes que pueden presentar los filtros digitales es

una fase de la respuesta en frecuencia exactamente lineal, ya que en numerosas

aplicaciones es imprescindible que no se distorsione la característica de fase de la

señal de entrada. Como es bien sabido, cuando dicha señal atraviesa un filtro se

modifica su característica de amplitud y de fase. Esta variación va a depender del

módulo y de la fase de la respuesta en frecuencia que presente el filtro. El retardo de

fase y de grupo proporcionan una medida de cómo el filtro va a llevar a cabo estas


modificaciones [Opp 99]. Un filtro que presente una característica de fase no lineal

puede ocasionar una distorsión de fase en la señal que lo atraviese, pues cada

componente en frecuencia puede sufrir un retardo no proporcional a dicha

frecuencia, modificándose la relación entre armónicos. Se puede evitar de diversas

maneras. Una de ellas es mediante el diseño y la realización de filtros de fase cero

[Mit 01], pero al no poder cumplir simultáneamente la causalidad y la propiedad de

fase nula, son sistemas no aplicables para tratamiento de señales en tiempo real.

Se pueden diseñar filtros FIR con una característica de fase exactamente lineal.

Como se demuestra en diversos trabajos (por ejemplo, en [Mit 01] en la sección

4.4.3), basta con que se satisfaga una de las dos condiciones mostradas en la

expresión (2.16) impuestas a la respuesta al impulso. Estas condiciones imponen la

propiedad de simetría o antisimetría en dicha , y en función de la longitud del

filtro FIR, se pueden distinguir cuatro tipos distintos de filtros de fase lineal (tabla

2.1). Para los cuatro tipos de filtros, se pueden determinar exactamente las funciones

de amplitud y de fase de la respuesta en frecuencia con los valores de los

coeficientes de la respuesta al impulso y de la longitud del filtro.

[ ]h n

]1[][ nLhnh −−±= (2.16)

Los filtros que tienen retardo de fase y de grupo constantes (tipos I y II) son filtros

de fase lineal, mientras que los que tienen sólo el retardo de grupo constante (tipos

III y IV) se denominan filtros de fase lineal generalizada [Opp 99].


TABLA 2.1 FILTROS FIR DE FASE LINEAL.

Número de Coeficientes L

Tipo de Filtro ( )A Ω ( )Hθ β αΩ = − Ω Respuesta al Impulso

Impar I ( )IA Ω 0β = Simétrica

[ ] [ ]1h n h L n= − − Par II

( )IIA Ω ( )1 2Lα = −

Impar III

( )IIIA Ω 2β π= Antisimétrica

[ ] [ ]1h n h L n= − − − Par IV ( )IVA Ω ( )1 2Lα = −

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2

11 2 2 1 2 cos

L

Ik

A h L h L k k−

=

Ω = ⎡ − ⎤ + ⋅ ⎡ − − ⎤ ⋅ ⋅Ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑

( ) [ ] ( )( )2

12 2 cos 0.5

L

IIk

A h L k k=

Ω = ⋅ − ⋅ − ⋅Ω∑

( ) ( ) ( )( )1 2

12 1 2

L

IIIk

A h L k sen−

=

Ω = ⋅ ⎡ − − ⎤ ⋅ ⋅Ω⎣ ⎦∑ k

( ) [ ] ( )( )2

12 2 0.5

L

IVk

A h L k sen k=

Ω = ⋅ − ⋅ − ⋅Ω∑

Es importante indicar que en los cuatro tipos de filtros de fase lineal se puede

demostrar que, si aparece un cero en cualquier punto finito del plano z, debe

aparecer otro cero en una posición conjugada, es decir, en

0z

( )01 z . En efecto, si el

filtro cumple la expresión (2.16), entonces se satisface lo siguiente:

( ) ( ) ( ) (1 1 1

1 1 1

0 0 0[ ] [ 1 ] [ ]

L L LL p Ln n

n n pH z h n z h L n z h p z z H

− − −− − − − −− −

= = =

= ⋅ = ± − − ⋅ = ± ⋅ = ± ⋅∑ ∑ ∑ )z− (2.17)

En la expresión (2.17) se puede comprobar fácilmente si en (punto finito del

plano z) existe un cero de la función del sistema, es obligatorio que también haya

otro en

0z

( )01 z :

Si ( )0 0H z = , ⇒ ( )10 0H z− = ya que (2.18) ( )1

0 0L

z− −

≠

Si además la respuesta al impulso es real, la función del sistema será una

función racional con coeficientes reales, y cada cero debe ir acompañado por su

( )zH


conjugado. En consecuencia, en este tipo de sistemas los ceros aparecen por

cuartetos recíprocos conjugados con las siguientes excepciones:

1. Los ceros sobre la circunferencia unidad (salvo en 1±=z ) aparecen por

parejas, ya que coinciden con sus recíprocos.

2. Los ceros reales no situados en la circunferencia unidad aparecen por

parejas, pues coinciden con sus conjugados.

3. Los ceros en coinciden con su recíproco y su conjugado, pudiendo

aparecer solos.

1±=z

Además, se puede demostrar lo siguiente [Opp 99]. En los filtros tipo II debe

aparecer al menos un cero en 1−=z , lo que significa que no pueden realizar

características del tipo paso alto, que en los filtros tipo III deben aparecer al menos

un cero en y otro en , con lo que no sirven para sistemas que permitan

el paso de las bajas y/o de las altas frecuencias, y que para los tipo IV, existe al

menos un cero obligatorio situado en

1=z 1−=z

1=z , con lo que no se pueden emplear como

filtros paso bajo. Los filtros de fase lineal tipo I no presentan ninguna de las

restricciones anteriores. En todos ellos, si el filtro es causal (expresión 2.5), los

polos están situados en el origen. ( 1L − )

Ejemplo 2.8. Un filtro de fase lineal tipo I, causal, y de respuesta al impulso real,

presenta los siguentes ceros en puntos del plano z:

Ceros: , 1 1c = − 2 0 '25 0 '25c j= − −

El sistema de orden mínimo que cumple los requisitos anteriores tiene los siguientes

ceros y polos:

Ceros: , 3 0 '25 0 '25c = − + j 4 2 2c j= − − , 5 2 2c j= − + y . 6 1c = −

Polos: (de orden 6). 1,6 0p =


La condición de fase lineal impone que, acompañando a , aparezca el cero 2c

5 1c c= 2 j. Los ceros y 3c 4 2 2c = − − son consecuencia de que la respuesta al

impulso sea real, lo que obliga a que cada cero vaya acompañado de su conjugado.

Por último, el cero permite que el filtro de fase lineal sea tipo I. 6c

La figura 2.13 representa la respuesta al impulso (simétrica) y el diagrama de polos

del filtro. En la figura 2.14 se dibuja el módulo y la fase de la respuesta en frecuencia

del mismo.

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

n

Am

plitu

d

Respuesta al impulso de un filtro de fase lineal tipo I

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

2 6

(a) (b) Fig. 2.13. Ejemplo 2.8. (a) Respuesta al impulso y (b) diagrama de polos y ceros de un filtro de

fase lineal tipo I.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1000

−800

−600

−400

−200

0

200

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−100

−50

0

50

Mód

ulo

(dB

)fa

se (

grad

os)



Fig. 2.14. Ejemplo 2.8. Módulo y fase de la respuesta en frecuencia de un filtro de fase lineal.

Ejemplo 2.9. El filtro del ejemplo 2.1 es de fase lineal tipo II (simétrico y 64

coeficientes reales). La figura 2.15 muestra el diagrama de polos y ceros del mismo.


Se puede ver claramente cómo los ceros que se encuentran en el eje real o en la

circunferencia de radio unidad aparecen por parejas, con la excepción del cero que

está situado en . Los ceros restantes se pueden agrupar en cuartetos. Los

polos están todos ubicados en el origen.

1z = −

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

63

Fig. 2.15. Ejemplo 2.9. Diagrama de polos y ceros del filtro de fase lineal del ejemplo 2.1.


2.4 ETAPAS EN EL DISEÑO DE FILTROS DIGITALES

El diseño de un filtro digital, entendido como el proceso completo que comprende

desde el punto inicial de partida dónde se indican las características del filtro, hasta

la construcción del mismo, se puede dividir en cinco etapas diferentes [Ife 02]:

1. Especificación de los requisitos de filtro.

2. Cálculo de los coeficientes del filtro o etapa de aproximación.

3. Representación del filtro empleando una estructura o etapa de realización.

4. Análisis de los efectos de la longitud de palabra finita.

5. Construcción del filtro.

Para diseñar con éxito el filtro deseado, no es obligatorio (pero sí recomendable)

abordar todas las etapas anteriores y en ocasiones, puede ser necesario iterar varias

veces en alguna de ellas. A modo de ejemplo, nos podemos encontrar con que tras

obtener los coeficientes del filtro (etapa 2), y elegir una estructura (etapa 3), al

emplear registros de longitud de palabra finita y analizar o simular los efectos que se

producen en el sistema diseñado (etapa 4) no se satisfagan las especificaciones

iniciales. Podemos vernos obligados a cambiar de estructura (es decir, volver a la

etapa 3), y tras probar con varias, superar con éxito el análisis de los efectos de

longitud de palabra finita.

En los siguientes subapartados se comentan algunos de los detalles más importantes

de cada una de las anteriores etapas.

2.4.1 Especificaciones del Filtro

En esta primera etapa, en lo que atañe al filtro digital, se suele indicar la siguientes

aspectos


• Características de la señal de entrada a filtrar, con respecto a si se trata de

una secuencia de tiempo discreto, o por el contrario, es una señal de tiempo

continuo. En este último caso, se indica su ancho de banda, el

procedimiento mediante el cual se realiza la selección de muestras (con el

correspondiente período de muestreo). Si la señal filtrada resultante hay que

convertirla de nuevo en una de tiempo continuo, también se indicará como

se lleva a cabo el proceso de reconstrucción.

• Con respecto a las características del filtro que hay que diseñar,

generalmente se especifica el módulo y fase de la respuesta en frecuencia

deseadas, así como las tolerancias permitidas para la obtención de las

anteriores funciones.

• El coste del filtro, la forma de construirlo, etc.

Las características del filtro digital normalmente se suelen especificar en el dominio

de la frecuencia. Para filtros selectivos (por ejemplo, paso bajo), las especificaciones

del módulo de la respuesta en frecuencia del filtro se dan como esquemas de

tolerancia o de atenuación, siendo más frecuente la primera manera.

En la figura 2.16 se muestran dos ejemplos de esquemas de tolerancia para el

módulo de la respuesta en frecuencia de un filtro IIR (figura 2.16a) y de un filtro

FIR (figura 2.16a). Las líneas rayadas indican los límites permitidos.

En dichas plantillas se indican una serie de parámetros:

pδ : desviación de la banda de paso

2ε : parámetro de rizado de la banda de paso

sδ : desviación de la banda eliminada

pΩ : pulsación de corte de la banda de paso

sΩ : pulsación de corte de la banda eliminada


p

1

1 2+ ε

(a)

p

(b) Fig. 2.16: Esquemas o plantillas de tolerancia para filtros paso bajo de respuesta al impulso real

(a) IIR y (b) FIR.

La desviación de las bandas de paso y eliminada se pueden expresar en escala lineal

o en decibelios, indicando las atenuaciones requeridas. De esta manera, se

especifican los parámetros rizado en la banda de paso pA y atenuación mínima en

la banda eliminada sA :

( )1020 log 1p pA δ= − ⋅ − dB (2.19)

( )1020 logs sA δ= − ⋅ dB (2.20)

Para filtros de respuesta al impulso infinita (IIR) la desviación máxima en la banda

de paso es 21 1 ε+ . En este caso, la atenuación máxima de la banda de paso maxA

viene dada por

( )2max 1020 log 1A ε= + dB (2.21)


Cuando se cumple que 1pδ << , se puede llevar a cabo la siguiente aproximación:

( )max 1020 log 1 2 2p pA Aδ≅ − ⋅ − ≅ dB (2.22)

La fase de la respuesta en frecuencia no se especifica de manera tan meticulosa

como el módulo. En numerosas ocasiones se indica que se desea una característica

de fase lineal. Sin embargo, hay aplicaciones donde los filtros se emplean para

compensar distorsiones de fase introducidas en etapas anteriores, y es necesario

especificar dicha fase con mayor detalle.

2.4.2 Aproximación o Cálculo de los Coeficientes del Filtro

El objetivo de esta etapa es seleccionar un método de aproximación para calcular los

coeficientes de la función del sistema ka y kb o de la respuesta al impulso [ ]h n , de

manera que el módulo y la fase de la respuesta en frecuencia se ajusten a las

especificaciones iniciales.

Hay distintos métodos, dependiendo de si desea un filtro F.I.R. o I.I.R..

Destacamos:

• Diseño de filtros empleando prototipos analógicos (IIR)

• Invarianza de impulso (IIR)

• Transformación bilineal (IIR)

• Ubicación de polos y ceros (IIR o FIR)

• Enventanado (FIR)

• Muestreo en frecuencia (FIR)

• Aproximaciones óptimas (FIR)


2.4.3 Realización

La etapa de realización implica pasar de la función de sistema a un algoritmo

computable a través de una estructura, que va a indicarnos el procedimiento

computacional que hay que seguir para construir el filtro digital. Para la

representación de ésta se emplean con frecuencia diagramas de bloques o

flujogramas. En la figura 2.17 se dibujan los elementos básicos que representan las

operaciones de un filtro lineal e invariante en el tiempo.

x[n] x[n-1] k

x[n] k·x[n]

(a) (b) x[n] x[n]+y[n]

y[n]

(c) Fig. 2.17: Representación mediante diagramas de flujo de las operaciones y elementos de un filtro

LTI. (a) Retardo. (b) Multiplicación por una constante. (c) Suma.

La estructura va a depender de si deseamos un sistema FIR o IIR:

• Formas Directas (IIR y FIR).

• Estructuras en cascada (IIR y FIR).

• Estructuras en paralelo (IIR).

• Estructuras en celosía (IIR y FIR).

• Estructuras de fase lineal (FIR).

• Estructuras de muestreo en frecuencia (FIR).


2.4.4 Análisis de los efectos de Longitud de Palabra Finita

En las etapas de aproximación y realización se asume precisión infinita. Sin

embargo, cuando se lleva a cabo la realización práctica del sistema es necesario

representar los coeficientes del filtro empleando un número limitado de bits y usar

precisión finita en las operaciones aritméticas de la ecuación en diferencias.

Lo anterior se deriva de que las ecuaciones que se emplean para describir los filtros

digitales están idealizadas, ya que utilizan coeficientes y secuencias de muestras de

precisión infinita. Sin embargo, las realizaciones prácticas se llevan a cabo con

elementos con precisión limitada, medida en número de bits. Por esta razón, el

análisis de un filtro digital no termina hasta que no se determinan los efectos

producidos por dicha precisión finita.

Los datos en un sistema digital se representan como conjuntos de números binarios

con dos formatos aritméticos posibles:

• Coma fija, basada en la representación nQ . Suponiendo que la longitud del

código que se emplea es de l bits, se emplean n bits para la parte

fraccionaria y n−l bits para el módulo y el signo. El margen dinámico es

reducido y puede presentar serios problemas de desbordamiento.

• Coma flotante, la cual utiliza una factorización mantisa-exponente. Los bits

dedicados a representar la mantisa dan cuenta de la precisión mientras que

los del exponente se relacionan con el margen dinámico, solventando en

este aspecto el problema de la coma fija.

El efecto de la cuantificación se mantiene constante para el sistema de coma flotante

durante un gran margen de valores de la cantidad que se cuantifica. Sin embargo, en

los sistemas de coma fija este tipo de distorsión depende del valor a cuantificar y

sólo es comparablemente alto para un margen dinámico mucho menor. Desde el

punto de vista del coste del filtro es más cara la circuitería que opera en coma

flotante y suele conllevar un mayor consumo eléctrico que la de coma fija.


Pueden aparecer formatos sin signo y con signo, reservando el bit de mayor peso

para indicar si se trata de un número positivo o negativo (si se trata de números con

signo). Los números negativos se representan en complemento a uno o en

complemento a dos.

Los efectos de usar un número finito de bits serán degradar la respuesta del filtro y

en algunos casos hacerla inútil. El diseñador debe analizar estos efectos y elegir

longitudes de palabra adecuadas (es decir, un número suficiente de bits) para los

coeficientes del filtro, las variables del filtro (las muestras de entrada y salida) y para

las operaciones aritméticas.

Las principales fuentes de degradación al efectuar el filtrado son:

a) Cuantificación de las señales de entrada y reconstrucción de las de salida.

b) Cuantificación de los coeficientes del sistema.

c) Errores aritméticos de redondeo y/o truncamiento.

d) Errores de desbordamiento, los cuales ocurren al sumar o acumular

resultados parciales en un registro de longitud limitada y cuando el

resultado excede del valor máximo representable.

La degradación de estos errores depende de la longitud de palabra y del tipo de

aritmética usada para desarrollar el filtro, del método empleado para cuantificar los

coeficientes y las variables, y de la estructura del filtro. De los conocimientos de

estos factores el diseñador puede reducir los efectos indeseados.

En la realización de la práctica se van a analizar los efectos producidos al cuantificar

los coeficientes de la función del sistema, y se va a estudiar la importancia que tiene

la estructura elegida. Se operará con datos en coma fija con truncamiento, y

corrigiendo el desbordamiento mediante saturación.


2.4.5 Construcción del Filtro

Una vez superadas las etapas anteriores debe llevarse a cabo la construcción del

filtro. Por ejemplo, si se ha obtenido un programa de una ecuación en diferencias

como la siguiente

[ ] [ ] [ ]∑∑==

−⋅+−⋅=N

kk

M

kk knyaknxbny

10 (2.23)

tendremos que emplear un sistema en el que se realicen de forma rápida y efectiva

multiplicaciones, sumas y actualizaciones en los registros de almacenamiento o

posiciones de memoria para los retardos. Por tanto, para construir el filtro es

conveniente emplear

• Memoria (por ejemplo ROM) para almacenar los coeficientes.

• Memoria (RAM) para almacenar los valores presentes y pasados de la señal

de entrada y salida.

• Multiplicadores hardware o software.

• Sumadores o unidades de cálculo aritmético-lógicas.

Capítulo 3

Cálculo de los Coeficientes del Filtro

3.1 DISEÑO DE FILTROS IIR

3.1.1 Ubicación de polos y ceros

Este método se basa en la propia definición de polo y cero. Un cero es un punto del

plano z en el que la función del sistema se hace nula, mientras que en un polo el

valor de dicha función tiende a infinito. En puntos del plano z próximos a un polo,

el valor del ( )H z es elevado, mientras que en puntos cercanos a un cero el valor

del ( )H z se reduce considerablemente.

Este método consiste en colocar los polos y los ceros en el plano z de manera que

se obtenga un módulo de la respuesta en frecuencia aproximado al que se desea.

Como la respuesta en frecuencia se evalúa en la circunferencia de radio unidad del

plano z, si existe un polo próximo a dicha circunferencia, el valor de ( )jH e Ω será

elevado en aquellos puntos cercanos a dicho polo. Si se coloca un cero cercano a

♦ Cálculo de los coeficientes del filtro ♦ 46

dicha circunferencia, se conseguirá reducir el valor del ( )jH e Ω . Se obtiene

atenuación total en una frecuencia 0Ω situando un cero en 0jz e Ω= .

Así, se pueden diseñar distintos filtros en los que no se especifica de manera

meticulosa la plantilla de especificaciones y calcular de manera sencilla filtros paso

bajo, paso alto,... . Es obvio que este método se emplea en contadas ocasiones y

para funciones de sistema extremadamente simples.

3.1.2 Diseño de filtros digitales empleando prototipos analógicos

Es la forma tradicional de diseño de sistemas I.I.R. por varias razones:

• El diseño de filtros analógicos es un problema muy estudiado.

• En bastantes aplicaciones interesan filtros digitales que simulen el

funcionamiento de un filtro analógico.

• Los métodos de aproximación convencionales funcionan bien en los filtros

analógicos pero no dan lugar a fórmulas sencillas de diseño cuando se

aplican directamente a los sistemas discretos.

Los métodos se basan en el diseño del equivalente analógico que cumpla las

plantillas dadas para convertirlo posteriormente en uno digital.

Fig. 3.1: Diseño de filtros digitales empleando prototipos analógicos.


La especificación de partida se hará siempre en el dominio discreto. Aprovechando

que el diseño de filtros analógicos es un campo bien estudiado, se traslada el

problema de la aproximación al dominio s. De aquí se obtendrá una función del

sistema analógico ( )aH s (expresión (3.1)).

( )( )

( )∏

∏

∑

∑

=

=

=

=

−

−

=

⋅

⋅

= N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

a

ds

cs

s

ssH

1

1

0

0

α

β (3.1)

Una vez que se han obtenido los coeficientes kβ y kα , o bien los ceros y los polos

kc y kd del filtro analógico, se emplean algunas transformaciones para convertirlo

en un filtro digital. Esta técnica será efectiva si tiene unas propiedades:

a. El eje jω del plano s debería transformarse en la circunferencia unidad del

plano z. De esta forma la transformación conserva en lo esencial el

comportamiento en frecuencia del sistema continuo.

b. La transformación debe conservar la estabilidad del sistema. Cada punto del

semiplano izquierdo del plano s debería transformarse en otro interior a la

circunferencia unidad.

Existen diversos métodos para realizar la conversión de la función de sistema

analógica en la digital, destacando por su utilización la transformación invariante de

impulso y la transformación bilineal. La relación dificultad/eficiencia de estas

técnicas es muy baja.

Invarianza al impulso

Se basa en tomar como respuesta al impulso del filtro digital una versión muestreada

de la respuesta al impulso del sistema de tiempo continuo empleando un período de

muestreo T (expresión 3.2). Dicho valor es irrelevante cuando la especificación


original se da en el dominio discreto. Además, no tiene porqué coincidir con el valor

del período que introduce el convertidor A/D.

[ ] ( )Tnhknh a ⋅⋅= (3.2)

Cuando empleamos la transformación invariante de impulso para diseñar un sistema

de tiempo discreto a partir de una especificación de su respuesta en frecuencia, es

especialmente importante la relación entre las respuestas en frecuencia de los

sistemas de tiempo continuo y discreto. Si prescindimos del solapamiento

(suponiendo espectros limitados en banda muestreados a suficiente velocidad), las

frecuencias de los sistemas de tiempo discreto y de tiempo continuo se relacionan

de forma lineal como se indica en la expresión (3.3). El primer problema surge

porque no hay sistemas analógicos limitados en banda y el solapamiento será

inevitable.

TωΩ = ⋅ (3.3)

Para demostrar como se consigue el sistema de tiempo discreto, vamos a partir de la

función de sistema dada en la expresión (3.1). Supondremos que M < N y que todos

los polos de ( )aH s son simples. En caso contrario el método se complica,

necesitando realizar algunas modificaciones en lo que se explica a continuación.

En primer lugar se desarrolla en fracciones simples la función de sistema (3.4),

donde las constantes kA se calculan a partir de la expresión (3.5).

( ) ( )∑= −

=N

k k

Ka ds

AsH1

(3.4)

( ) ( )kdskak dssHA =−⋅= (3.5)

La respuesta al impulso del sistema causal de tiempo continuo resultante (3.6) se

obtiene calculando la Transformada Inversa de Laplace. La respuesta al impulso del


sistema de tiempo discreto (3.7) será la del sistema analógico muestreada a 1 T

muestras por segundo.

( ) ( )∑=

⋅ ⋅⋅=N

k

tdka tueAth k

1

(3.6)

[ ] ( ) [ ]∑=

⋅⋅ ⋅⋅==N

k

nTdka nueAnThnh k

1

(3.7)

La función del sistema se obtiene calculando la Transformada z de la respuesta al

impulso [ ]h n .

( ) [ ] ( )∑∑∑∞

= =

−⋅∞

=

− ⋅⋅=⋅=0 10 n

N

k

nnTdk

n

n zeAznhzH k (3.8)

( ) ( ) ( )∑∑ ∑=

−⋅=

∞

=

−⋅

⋅−=⋅⋅=

N

kTdk

N

k n

nTdk ze

AzeAzH

k

k

11

1 0

1

1 (3.9)

De las expresiones (3.4) y (3.9) se deduce que un polo en kds = en el plano s se

transforma en un polo en Tdkez ⋅= , siendo los residuos de los desarrollos en

fracciones simples iguales.

Fig. 3.2: Transformación de planos empleando la transformación invariante de impulso.


La figura 3.2 muestra la transformación del plano s en el plano z. Cada banda horizontal del plano s de anchura 2 Tπ se transforma en todo el plano z. Por tanto, para que el filtro digital se corresponda exactamente con el analógico de partida es necesario que este último sea de banda limitada, es decir, que ( ) 0aH ω = para

Tω π> .

Las características del filtro digital diseñado son:

• Tiene el mismo número de polos que el prototipo analógico.

• La transformación de los polos kds = en Tdkez ⋅= garantiza el

mantenimiento de la estabilidad en la transformación.

• Cuando el solapamiento sea irrelevante, la respuesta en frecuencia es una

versión plegada de la respuesta en frecuencia del filtro analógico,

conservándose las propiedades óptimas de este.

En resumen:

a. La respuesta al impulso del filtro discreto es idéntica a la del filtro analógico

en los instantes Tnt ⋅= .

b. La frecuencia de muestreo afecta a la respuesta en frecuencia del filtro

invariante al impulso. Se necesita una frecuencia muy alta para que el

sistema discreto sea igual que el analógico.

c. El método debe usarse para filtros paso bajo con banda de transición muy

reducida, y empleando una frecuencia de muestreo elevada. No puede

emplearse para filtros paso alto o filtros banda eliminada, pues el

solapamiento en estos es inevitable.


Transformación bilineal

El método descrito en el apartado anterior tiene un grave inconveniente: la

transformación de cada tramo de longitud 2 Tπ del eje jω del plano s en toda la

circunferencia de radio unidad va a conllevar en ocasiones un solapamiento, de

forma que la técnica es impracticable en algunos tipos de filtros. Con la

transformación bilineal evitamos esos problemas. Las relaciones algebraicas que la

caracterizan son las indicadas en 3.10.

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+−

= −

−

sT

sT

zzz

Ts

21

21

112

1

1 (3.10)

Esta transformación conserva el comportamiento en frecuencia del sistema

continuo, ya que si s jω= , se tiene el cociente de dos números complejos

conjugados, luego 1z = para cualquier valor de ω . Con esto se demuestra que el eje

jω se transforma en la circunferencia unidad del plano z. Cada uno de los valores

de ω se transforma en un solo punto de Ω , de forma que ππ ≤Ω<− . Podemos

establecer que si ∞→s , en el plano z tenemos 1z = − . Si 0=s , el nuevo punto es

1z = .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=ω

ω

jT

jT

z

21

21

(3.11)

La transformación bilineal también mantiene la estabilidad del sistema, ya que si

0σ < (cualquier punto del semiplano izquierdo de s) se obtiene que 1z < . Esto

significa que dicho semiplano izquierdo de s se transforma en el interior de la

circunferencia unidad del plano z. El resultado de la transformación se puede

observar en la figura 3.3.


( )

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

221

221

21

21

TjT

TjT

jT

jT

zωσ

ωσ

ωσ

ωσ (3.12)

Fig. 3.3. Transformación de planos empleando la transformación bilineal.

La función del sistema del filtro digital se obtiene mediante un cambio de variable

en la función de sistema del filtro analógico (expresión 3.13). Hay que advertir que si

bien se conserva el orden del denominador en ambos sistemas, sin embargo, el

orden del numerador puede ser mayor en el sistema discreto que en el continuo

debido a que los ceros en ∞ del plano s se transforman en ceros en 1z = − .

( ) ( ) ( )( )1

1

1

12−

−

+

−=

=

z

zT

ssHzH (3.13)

La transformación bilineal presenta como inconveniente que aparece distorsión en

el eje de frecuencia digital Ω . Si se estudia la relación entre los dos ejes de

frecuencia se podrá corregir la distorsión en la etapa de diseño del filtro. Esta

relación se puede obtener comprobando en qué se transforma el eje jω

(expresiones 3.14 y 3.15).


( )( )

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω⋅⋅=

ΩΩ

⋅⋅=+−

→ Ω

Ω

2tg2

2cos2sen2

112 j

Tj

Tee

Tj j

jω (3.14)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω⋅=⋅

2tg2Tω (3.15)

ω

Ωπ

−π

Fig. 3.4. Transformación del eje de frecuencias de tiempo continuo en la circunferencia de radio unidad.

ω

Ω

22Td

tan ΩFHGIKJ

Fig. 3.5. Representación del efecto de la no linealidad en la aplicación de la transformación bilineal..

En la figura 3.4 se representa la función establecida por (3.15). En la figura 3.5 se

puede observar el efecto que trae consigo la relación no lineal que existe entre la

frecuencia analógica y la digital. Esta no linealidad limita la aplicación de la

transformación bilineal a respuestas en frecuencia analógicas idealmente formadas


por tramos constantes, caso en el que se mantienen las características del diseño

analógico (decrecimiento monótono, rizado constante, etc.).

Por ello, cuando las especificaciones se dan en el dominio discreto es conveniente

realizar una predistorsión de los valores extremos de las bandas para fijar la

especificación del filtro analógico de partida.

Se puede resumir el método de la transformación bilineal en los pasos siguientes:

• Especificar el conjunto de frecuencias críticas kΩ del filtro digital deseado.

No hay limitación para el número de estas frecuencias.

• Predistorsionar dichas frecuencias críticas para obtener las frecuencias

críticas analógicas kω mediante la expresión (3.16).

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω⋅=

2tg2 k

k Tω (3.16)

• Diseñar un filtro analógico con las frecuencias críticas analógicas calculadas.

Las aproximaciones más utilizadas en esta fase son las de Butterworth,

Chebyshev o elíptica.

• Obtener la función del sistema discreto empleando la transformación

bilineal (expresión 3.13)

Cuando no interesa mantener la respuesta al impulso o la fase de la respuesta en

frecuencia del filtro analógico, la transformación bilineal siempre resulta mejor que

la invariante de impulso debido a que no tiene problemas de solapamiento.

Simulación de sistemas de tiempo continuo

En numerosas aplicaciones, el filtro digital a diseñar está destinado a procesar

señales de tiempo continuo, mostrándose la señal filtrada resultante como una


función también de tiempo continuo, tal y como se muestra en la figura 3.6. El

bloque denominado C/D convierte la señal de tiempo continuo en tiempo discreto,

empleando un muestreador ideal con período de muestreo sT , ( )dH Ω es el filtro de

tiempo discreto que hay que diseñar, y el bloque D/C realiza el proceso de

reconstrucción de la secuencia de tiempo discreto resultante [ ]dy n en una de

tiempo de continuo ( )cy t . El sistema D/C contiene un filtro analógico paso bajo

ideal de ganancia rT y pulsaciones de corte rTπ− y rTπ . Cuando el período de

reconstrucción rT coincide con el de muestreo sT , la señal de entrada ( )cx t está

limitada en banda a 0ω , y 02 2s sTω π ω= > , el sistema de la figura 3.6 equivale a un

sistema de tiempo continuo cuya respuesta en frecuencia efectiva ( )aH ω se

relaciona con la del filtro digital ( )dH Ω tal y como se indica en la expresión (3.17).

Fig. 3.6. Procesado de señales de tiempo continuo mediante sistema de tiempo discreto.

( ) ( )0

sd sa

s

TH TH

T

ω πωω

ω π

<⋅⎧⎪= ⎨>⎪⎩

(3.17)

Del mismo modo, si el sistema analógico es de banda limitada, y se elige el período

de muestreo s rT T= de manera que ( ) 0aH ω = para sTω π> , puede ser simulado

por un sistema de tiempo discreto de manera que la relación entre las respuestas en

frecuencia es la indicada en la expresión (3.18).


( ) ( ) periódica 2d a sH H T π πΩ = Ω Ω < (3.18)

Cuando las especificaciones de partida del filtro se indican en el dominio analógico,

y se satisfacen los requisitos indicados en el párrafo anterior, al problema del diseño

del filtro digital le precede la resolución de la simulación del sistema de tiempo

continuo empleando filtros de tiempo discreto. La figura 3.7 resume todo el proceso

de diseño, suponiendo que el filtro digital se obtienen empleando una de las dos

técnicas expuestas con anterioridad basadas en prototipos analógicos. Es importante

no confundir el proceso de simulación con el diseño del filtro digital.

Fig. 3.7. Proceso de simulación y diseño del filtro de tiempo discreto empleando prototipos analógicos.

Transformación de frecuencias

Hasta aquí hemos estudiado cómo obtener filtros paso bajo digitales a partir de

prototipos analógicos, también paso bajo. Cuando se desean filtros con otro

comportamiento en frecuencia como paso alto, paso banda o banda eliminada se


parte también de un prototipo analógico paso bajo al que hay que aplicar dos

transformaciones:

• Una para convertir el filtro analógico en digital.

• Otra para trasladar la banda de paso donde sea conveniente (será la

transformación de frecuencias).

Estas dos operaciones se pueden hacer en el orden que se desee (figura 3.8), pero si

se realiza en primer lugar la transformación de frecuencias, no podremos aplicar la

transformación invariante de impulso en todas las ocasiones.

Fig. 3.8. Proceso de transformación de un filtro paso bajo analógico en un filtro digital.

Las transformaciones de frecuencia en el plano z son muy similares a la

transformación bilineal. Sea ( )H ϑl la función del sistema discreto paso bajo

obtenida a partir del prototipo analógico, y ( )H z la función del sistema discreto

transformado.

La proyección del plano ϑ sobre el plano z se define a través de una función ( )G

(expresión 3.19). Si ( )H ϑl es la función racional de un sistema causal y estable, se


debe conseguir que ( )H z (3.20) sea una función racional también de un sistema

causal y estable.

( )11 −− = zGϑ (3.19)

( ) ( ) ( )1 1G zH z H

ϑϑ − −=

= l (3.20)

Por otra parte, la transformación ( )G debe controlar el comportamiento en

frecuencia del filtro transformado a partir del comportamiento en frecuencia del

filtro prototipo. Para satisfacer estas necesidades, la función de transformación

( )G debe presentar las siguientes características:

1. ( )1−zG debe ser una función racional de 1z− .

2. El interior del circulo unidad del plano ϑ debe proyectarse en el interior del

circulo unidad del plano z.

3. La circunferencia unidad del plano ϑ debe proyectarse en la circunferencia

del plano z.


Las funciones que realizan las transformaciones de frecuencias más utilizadas se

indican en la tabla 3.1, donde Γ y Ω representan respectivamente las variables de

frecuencia en los planos ϑ y z.

TABLA 3.1 TRANSFORMACIONES DE FRECUENCIAS MÁS USUALES.

Tipo de Filtro Transformación Parámetros de diseño

Paso Bajo ϑ

α

α

−−

−=

−

−

11

11

z

z

α =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

sen

sen

frecuencia de corte deseada

Γ Π

Γ Π

Π

p p

p p

p

2

2

:

Paso Alto ϑ

α

α

−−

−= −

+

+

11

11

z

z

α = −

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

cos

cos

frecuencia de corte deseada

Γ Π

Γ Π

Π

p p

p p

p

2

2

:

Paso Banda

ϑ

α

αΚ−

− −

− −= −

−+

+−

+−

+−

++

1

2 1

2 1

2

1

1

11

1

2

11

zK

z

z z

Κ

Κ

ΚΚ

Κ Κ

α = −

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

cos

cos

cotg . tg

frecuencia inferior de corte deseada

frecuencia superior de corte deseada

Π Π

Π Π

ΚΓ Π Γ

Π

Π

p p

p p

p p p

p

p

2 1

2 1

2 1

1

2

2

2

2 2

:

:

Banda Eliminada

ϑ

α

α−

− −

− −=

−+

+−

+−

+−

++

1

2 1

2 1

2

1

1

11

1

2

11

z z

z z

Κ

Κ

ΚΚ

Κ Κ

α = −

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

cos

cos

tg . tg

frecuencia inferior de corte deseada

frecuencia superior de corte deseada

Π Π

Π Π

ΚΠ Π Γ

Π

Π

p p

p p

p p p

p

p

2 1

2 1

2 1

1

2

2

2

2 2

:

:


3.2 DISEÑO DE FILTROS FIR

3.2.1 Método de la ventana

En la etapa de aproximación, el objetivo final consiste en calcular los coeficientes

del filtro (o valores de la respuesta al impulso [ ]nh ) de forma que se cumplan las

especificaciones de partida. Hay distintos métodos para obtener dichos coeficientes,

destacando entre ellos los métodos de la ventana, de muestreo en frecuencia y de

Parks-McClellan. Aunque en este apartado se analiza con detalle el primero, en la

realización de la práctica se diseña un filtro empleando el tercer método.

El método de la transformada de Fourier o de la ventana consiste en obtener una

aproximación del filtro ideal mediante un FIR de duración L, multiplicando las

muestras de este filtro ideal por distintas funciones de ventana. Es un procedimiento

muy sencillo y flexible que puede aplicarse a cualquier respuesta en frecuencia.

Partimos de la función de transferencia ideal ( )ΩIH , la cual se puede relacionar con

la respuesta al impulso [ ]nhI a través de las ecuaciones de análisis y síntesis de la

Transformada de Fourier (expresiones (3.21) y (3.22)).

( ) [ ]∑∞

−∞=

Ω−=Ωn

njII enhH (3.21)

[ ] ( )∫ ΩΩ= Ω

ππ 221 deHnh nj

II (3.22)

En bastantes ocasiones la respuesta en frecuencia del filtro a aproximar ( )ΩIH

contiene discontinuidades o transiciones abruptas, como es el caso del filtro ideal,

que no presenta banda de transición. Estos requisitos van a implicar que la respuesta

al impulso [ ]nhI presente una duración muy larga o incluso infinita, lo cual puede

conducir a soluciones muy difíciles de realizar o, a veces, imposibles. La opción sería


llegar a un compromiso entre el comportamiento en el dominio del tiempo y en el

dominio de la frecuencia.

Para realizar aproximadamente el filtro dado se puede truncar la respuesta al

impulso deseada [ ]nhI , ignorando los valores de las muestras de las colas (cuya

amplitud es muy pequeña), obteniendo de esta forma una [ ]nhA (respuesta al

impulso aproximada) finita que desplazada puede representar a un filtro F.I.R.

causal. Cuantas más muestras se tomen de [ ]nhI , mejor será la aproximación de la

característica en frecuencia, pero el filtro será más caro de realizar y presentará

mayor retardo.

El truncado efectuado sobre la respuesta al impulso deseada [ ]nhI para obtener la

aproximada [ ]nhA se puede expresar como el resultado de multiplicar la primera por

una secuencia de duración limitada [ ]nw que recibe el nombre de ventana de

observación o simplemente ventana. La operación que realizamos en el dominio del

tiempo viene indicada por (3.23), y su respuesta en frecuencia resultante por (3.24).

[ ] [ ] [ ]nwnhnh IA ⋅= (3.23)

( ) ( ) ( )[ ]Ω⊗Ω=Ω WHH IA π21 (3.24)

La ventana ideal sería aquella en que ( ) ( )Ω=Ω δW , pero la secuencia asociada a esta

transformada es [ ] 1=nw n∀ , la cual no produce ningún truncado.


0 10 20 30 40 50 60

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Indice

Amplitud

Fig. 3.9: Ventana rectangular de duración L=63.

0.5 1 1.5 2 2.5 3-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

dB`s

Fig. 3.10: Módulo del espectro de la ventana rectangular (L= 63).


La ventana más simple es la rectangular (figura 3.9), que tiene como transformada

de Fourier ( )ΩRW una función sinc (figura 3.10). Al convolucionar ( )ΩRW con

( )ΩIH da lugar a un filtro ( )ΩAH cuyo módulo de la respuesta en frecuencia

presenta oscilaciones y una banda de paso distorsionada. Estos efectos indeseados

son ocasionados por los lóbulos secundarios de ( )ΩRW . Según aumenta la longitud

de la ventana (o el número de muestras de [ ]nhA ), el lóbulo principal y los laterales

de ( )ΩRW se hacen más estrechos.

Por tanto:

• La ventana ideal es ( ) ( )Ω=Ω δW . Esta no produce truncado.

• Si la anchura del lóbulo principal del espectro de la ventana es distinta de

cero, aparece la banda de transición.

• Si existen lóbulos laterales en dicho espectro, tendremos distorsión en la

banda de paso y en la atenuada.

• Para una ventana dada, la amplitud relativa de los lóbulos permanece

invariante al modificar el valor de la longitud.

Veamos como se puede evitar el efecto de las oscilaciones en las bandas de paso y

eliminada. Es evidente que la amplitud de los lóbulos secundarios viene determinada

por la forma de [ ]nw . Si la ventana presenta cambios abruptos en el dominio del

tiempo (como la ventana rectangular) los lóbulos secundarios tendrán amplitudes

considerables. Entonces, una forma de evitar el efecto de dichas oscilaciones

consiste en utilizar ventanas cuyos valores en amplitud en el dominio del tiempo

caigan a cero gradualmente. Sin embargo, con este tipo de ventanas la anchura del

lóbulo principal de ( )ΩW aumenta considerablemente y con ella la banda de

transición de ( )ΩAH . Cuanto mayor es la anchura del lóbulo principal de ( )ΩW , más

considerable es ese efecto. De este modo, el precio que se paga en ( )ΩAH al reducir


el efecto de las oscilaciones en las bandas de paso y eliminadas (utilizando ventanas

con lóbulos secundarios de amplitud pequeña) es aumentar la anchura de la banda

de transición. Para reducir la anchura de dicha banda basta con aumentar la longitud

de la ventana, pero el filtro aumenta el orden.

Así, se puede establecer que la anchura de la banda de transición del filtro

aproximado depende de la anchura del lóbulo principal del espectro de la ventana.

Al estrecharse el lóbulo principal, la anchura de la banda de transición se reduce. Por

otro lado, el rizado y las oscilaciones dependen de la amplitud máxima relativa del

lóbulo principal con respecto a los laterales, y ésta permanece constante siempre que

se emplee la misma forma de ventana. La reducción de la anchura de la banda de

transición y las oscilaciones de forma simultánea no es posible, ya que son efectos

contradictorios. Sin variar la duración N, cambiando de ventana se puede disminuir

la amplitud máxima relativa, pero a costa de aumentar la anchura del lóbulo

principal.

Hay distintas funciones de ventana que se caracterizan por una respuesta en

frecuencia adecuada para el diseño de filtros. Algunas de las más populares son las

que se indican en la tabla 3.2. La ventana triangular o de Bartlett se puede obtener

como el resultado de la convolución de dos rectangulares, y consigue aumentar la

amplitud máxima relativa del lóbulo primario al secundario (de -13'5 dBs a -27 dBs)

a costa de ensanchar el lóbulo principal (de Lπ4 a Lπ8 ). Otras ventanas de gran

aceptación son las Hanning y Hamming, ya que llegan a un buen compromiso entre

la selectividad del filtro deseado (lóbulo principal estrecho) y el rizado en las bandas

de paso y atenuada (lóbulos laterales de amplitud pequeña).

En todas las ventanas de la tabla 3.2 el compromiso entre lóbulo principal y

secundarios es fijo. En la ventana de Kaiser, definida por la expresión (3.25), dicho

compromiso puede variarse. El término ( )•0I es la función de Bessel modificada de

primera clase y de orden cero y ( ) 21−= Lα . Cuando 0=n , [ ]nw vale 1 para


cualquier valor de β y de L. Para distintos valores de β se obtienen ventanas más o

menos suavizadas en los bordes. Para 0=β se obtiene la ventana rectangular y con

44.5=β aparece una ventana muy parecida a la de Hamming. Incrementando el

valor de β se ensancha el lóbulo principal y disminuye la amplitud de los lóbulos

secundarios.

[ ]( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤≤⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⋅=

resto

LnI

nInw

0

0

1

0

2

0

β

ααβ

(3.25)

Si expresamos el rizado máximo ( )δ± como una atenuación (A) en decibelios, se

podrá calcular el valor de β a partir de las fórmulas indicadas en las expresiones

(3.26) y (3.27).

( )δlog20−=A (3.26)

TABLA 3.2 FUNCIONES DE VENTANAS TÍPICAS.

Ventana [ ] ( )MnMnw ≤≤− *LPA iA sbA ΔΩ

Rectangular 1 ( )124 +Mπ

13'3 20.9 Mπ92.0

Hanning

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

122cos1

21

Mnπ ( )128 +Mπ 31.5 43.9 Mπ11.3

Hamming

122cos46.054.0+

⋅+M

nπ ( )128 +Mπ 42.7 54.5 Mπ32.3

Blackman

124cos08.0

122cos5.042.0

+⋅+

+⋅+

Mn

Mn ππ ( )1212 +Mπ

58.1 75.3 Mπ56.5

A*LP: anchura del lóbulo principal.

A*i: amplitud máxima relativa (en dB's) de los lóbulos laterales.

Asb: atenuación mínima (en dB's) en la banda eliminada.

ΔΩ: anchura de la banda de transición.


( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤≤−⋅+−⋅

>−⋅

=210

50212107886.0215842.0

507.81102.04.0

AAAA

AA

β (3.27)

Se puede sintetizar en tres pasos el diseño de filtros F.I.R. empleando el método de

la ventana:

1 Especificar la respuesta en frecuencia deseada ( )ΩIH . A partir de ésta se

calcula la respuesta al impulso [ ]nhI .

2 Seleccionar la ventana adecuada, de forma que se satisfagan las

especificaciones deseadas en la banda de paso o atenuación. El número de

coeficientes del filtro se puede seleccionar considerando las relaciones entre

la longitud de la ventana y la anchura de la banda de transición.

3 Calcular los valores de [ ]nhA , multiplicando muestra a muestra [ ]nhI y [ ]nw .

El método de la ventana ofrece como ventajas la simplicidad y que la atenuación de

la banda eliminada no depende del valor de la longitud de la ventana. Como

inconvenientes aparecen la desviación de las frecuencias de corte del diseño inicial al

convolucionar ( )ΩIH y ( )ΩW y la falta de flexibilidad del método.

Capítulo 4

Bibliografía

4.1 BIBLIOGRAFÍA

En este último capítulo se incluyen todas las referencias realizadas y otra bibliografía útil para el

estudio de los temas considerados en estos apuntes. Se muestran ordenadas alfabéticamente

por el primer apellido del primer autor, y por año.

[Ant 92] A. Antoniou, Digital Filters: Analysis and Design (7th Edition). McGraw-Hill, 1992.

[Ant 93] A. Antoniou, Digital Filters: Analysis, Design, and Applications (2nd Edition). McGraw-

Hill, 1993.

[Bur 98a] C. S. Burrus, J. H. McClellan, A. V. Oppenheim, T. W. Parks, R. W. Schafer, R.

W. Schuessler, Ejercicios de Tratamiento de la Señal Utilizando MATLAB v.4.

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[Che 92] W.-K. Chen (Editor), The Circuits and Filters Handbook. CRC Press, 1995.

[Chu 86] R. V. Churchill and J. W. Brown, Variable Compleja y Aplicaciones, 4/e. McGraw-Hill,

1986.

[Cun 92] E. P. Cunningham, Digital Filtering: An Introduction. Houghton Mifflin Company,

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[Ing 00] V. K. Ingle, J. G. Proakis, Digital Signal Processing using MATLAB, Brooks/Cole

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[Jac 91] L. B. Jackson, Signals, Systems, and Transforms. Addison-Wesley Publishing, 1991.

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[Lut 01] M. D. Lutovac, D. V. Tošić, B. L. Evans, Filter Design for Signal Processing Using

MATLAB and Mathematica. Prentice-Hall, 2001.

[Mar 99] J. B. Mariño, F. Vallverdú, J. A. Rodríguez and A. Moreno, Tratamiento Digital de la

Señal: Una Introducción Experimental 3/e. Edicions UPC, Barcelona, 1999.

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Schafer, H. W. Schuessler, Computer-Based Exercises for Signal Processing Using Matlab 5

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[Mit 01] S. K. Mitra, Digital Signal Processing. A Computer Based Approach. McGraw-Hill, 2001.

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