Apuntes de Oleaje

INGENIERA MARTIMA Y COSTERA.

Unidad 01 - Oscilaciones del mar

Apuntes

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9

Apuntes de Oleaje e Ingeniera de Costas

1

INGENIERA MARTIMA Y COSTERA. Unidad 01 - Oscilaciones del mar

Apuntes

1 CONTROL DE CALIDAD

Referencia Tni090101

Autores Jos Mara Medina Villaverde

Revisin Nombre del documento Revisor Autoriz. Fecha

04 Apuntes_01_REV04.docx JMV JMV 15/02/09

Fecha de ltima versin: 22/02/2009 21:59 Nmero total de pginas: 85

Cliente ALUMNOS ING. MARITIMA UEM

Representante ----

Palabras clave UEM, Oleaje, Marea, Resonancia, Oscilaciones, Apuntes

Contenido El presente documento recoge los temas ms importantes tratados en clase.

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ALUMNOS ING. MARITIMA UEM NAUTILUS I.M., S.L. OTRAS

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2

2 NDICE

Tabla de contenido

1 CONTROL DE CALIDAD ............................................................................ 1

2 NDICE ................................................................................................. 2

3 INTRODUCCIN ..................................................................................... 6

4 TIPOS DE ONDAS EN EL MAR ............................................................. 7

5 ALGUNOS TIPOS DE ONDAS RELEVANTES ........................................ 7

5.1 OLEAJE DE VIENTO .................................................................................... 7

5.2 MAREAS ................................................................................................... 9

5.3 ONDAS LARGAS ....................................................................................... 10

5.3.1 SEICHES ........................................................................................... 11

5.3.2 STORM SURGES ................................................................................ 11

5.4 TSUNAMI ................................................................................................. 12

6 OLEAJE DE VIENTO ............................................................................... 13

6.1 CARACTERSTICAS GENERALES DE UNA ONDA ........................................... 13

6.2 GENERACIN DEL OLEAJE DE VIENTO ....................................................... 14

6.3 TEORAS DE OLEAJE ................................................................................ 20

6.4 TEORA LINEAL DE ONDAS ........................................................................ 21

6.4.1 CELERIDAD, LONGITUD Y PERIODO ..................................................... 24

6.4.2 DISPERSIN DEL OLEAJE ................................................................... 24

6.4.3 CLASIFICACIN DE LAS ZONAS EN QUE SE PROPAGA EN OLEAJE........... 26

6.4.4 ECUACIONES GENERALES Y SOLUCIONES TERICAS ............................ 27

6.5 VALIDEZ DE LAS DISTINTAS TEORAS DE OLEAJE. BACOS DE LE MEHAUTE. 27

7 ROTURA DEL OLEAJE ............................................................................ 29

7.1 DESCRIPCIN DEL FENMENO .................................................................. 29

7.2 TIPOS DE ROTURA .................................................................................... 31

7.2.1 SPILLING .......................................................................................... 33

7.2.2 PLUNGING ........................................................................................ 33

7.2.3 SURGING .......................................................................................... 33

7.2.4 COLLAPSING .................................................................................... 33


3

7.3 TENSIONES DE RADIACIN ....................................................................... 33

8 DESCRIPCIN DEL OLEAJE ..................................................................... 34

8.1 DESCRIPCIN ESTADSTICA ...................................................................... 34

8.1.1 ALTURAS DE OLA CARACTERSTICAS .................................................. 34

8.1.2 REPRESENTATIVIDAD DE LOS PARMETROS ESTADSTICOS .................. 36

8.1.3 PERIODOS CARACTERSTICOS DEL OLEAJE ......................................... 38

8.2 DESCRIPCIN ESPECTRAL ........................................................................ 38

8.2.1 INTRODUCCIN ................................................................................. 38

8.2.2 UN ESPECTRO BSICO ....................................................................... 42

8.2.3 EL ESPECTRO DE UN ESTADO DEL MAR ............................................... 43

8.2.4 LOS PARMETROS ESPECTRALES ....................................................... 48

8.2.5 ESPECTROS MS COMNMENTE EMPLEADOS ...................................... 49

8.3 DESCRIPCIN ESTADSTICA O DESCRIPCIN ESPECTRAL? ........................ 52

9 OLEAJE EN LA COSTA ESPAOLA ............................................................. 52

9.1 FUENTES DE DATOS DE OLEAJE ................................................................ 52

9.1.1 DATOS VISUALES .............................................................................. 52

9.1.2 DATOS INSTRUMENTALES .................................................................. 55

9.1.3 DATOS DE MODELO MATEMTICO ....................................................... 62

9.2 LA ROM 0.3 ........................................................................................... 76

9.2.1 EL PROGRAMA ROM ......................................................................... 76

9.2.2 LA RECOMENDACIN ROM 0.3.......................................................... 77

9.2.3 ESTRUCTURA ................................................................................... 77

9.2.4 TIPOS DE DATOS ............................................................................... 78

9.2.5 INFORMACIN ................................................................................... 78

10 RESACAS EN DRSENAS ..................................................................... 83

10.1 ARMNICOS DE UNA DRSENA .............................................................. 86

10.2 APLICACIN PRCTICA ......................................................................... 88

ndice de figuras


4

figura 1 .- Abaco de Kinsmann ............................................................................. 7

figura 2 .- Mar de viento (SEA) .............................................................................. 8

figura 3 .- Mar de fondo (SWELL) ......................................................................... 9

figura 4 .- Baha de Fundy. Pleamar (izquierda) y bajamar (derecha) ........... 10

figura 5 .- Storm surge ........................................................................................ 12

figura 6 .- Diferencia entre oleaje de viento (arriba) y tsunami (debajo) ....... 12

figura 7 .- Perfil vertical de dos olas sucesivas. ............................................... 13

figura 8 .- Generacin del oleaje ........................................................................ 14

figura 9 .- Diagrama esquemtico, ilustrando la dependencia del oleaje de la

velocidad del viento (U), de la duracin de la tormenta (D) y de la longitud del

fetch (F). Modificado de (Komar, 1.983) .............................................................. 15

figura 10 .- Modelo de Jeffrey. Tomada de (Brown, Colling, Park, Phillips,

Rothery, & Wright, 1.989) ...................................................................................... 16

figura 11 .- Esquematizacin del problema. Tomada de (Janssen, 2.004) .. 17

figura 12 .- Izquierda: Espectro JONSWAP para un oleaje en desarrollo, de

varias longitudes de fetch, representadas por la variable X. Derecha: Una

comparacin de los espectros JONSWAP y PM para una velocidad de viento

U = 20 m/s y longitudes de fetch de 200 km e infinito, respectivamente.

Tomado de (Massel, 1.996) ................................................................................... 17

figura 13 .- Relacin entre borrasca y fetch .................................................... 18

figura 14 .- Fetch supuesto ................................................................................ 19

figura 15 .- Fetch real ......................................................................................... 19

figura 16 .- Ejemplo de validez de las diferentes teoras de oleaje ............... 20

figura 17 .- Comparacin de ondas en diferentes teoras .............................. 21

figura 18 .- Representacin de una onda de Airy. .......................................... 23

figura 19 .- Grupos de olas ................................................................................ 24

figura 20 .- Rango de validez de las diferentes teoras de oleaje (Le

Mhaut, 1.976) ...................................................................................................... 29

figura 21 .- Ola rompiendo ................................................................................. 30

figura 22 .- Rotura de pequeas olas junto a la lnea de orilla ....................... 31


5

figura 23 .- Tipos de rotura. Tomado de (Brown, Colling, Park, Phillips,

Rothery, & Wright, 1.989) ...................................................................................... 32

figura 24 .- Parmetros representativos del oleaje. Tomado de (CEM, 2.001)

34

figura 25 .- Espectro Jonswap .......................................................................... 37

figura 26 .- Parmetros estadsticos para un mismo espectro de energa .. 37

figura 27 .- Error cometido en la estimacin del estado del mar con cada

parmetro estadstico ........................................................................................... 38

figura 28 .- Oleaje propagndose hacia la orilla ............................................. 39

figura 29 .- Series temporales ........................................................................... 41

figura 30 .- Serie temporal y su espectro energtico ..................................... 42

figura 31 .- Funcin coseno ............................................................................... 43

figura 32 .- Espectro energtico de la serie temporal de la figura 31 .......... 44

figura 33 .- Onda senoidal suavizada con ventana triangular, T = 10s ......... 44

figura 34 .- Espectro de energa de una onda senoidal T = 10 s .................... 45

figura 35 .- Detalle del suavizado de la serie temporal de la figura 33 ......... 45

figura 36 .- Detalle del pico del espectro de la figura 34 ................................ 46

figura 37 .- Superposicin de estados del mar ............................................... 46

figura 38 .- Espectros energticos ................................................................... 47

figura 39 .- Espectro de sea vs. Espectro de swell ......................................... 47

figura 40 .- Comparacin de los espectros JONSWAP y PM. Tomado de

(CEM, 2.001) ........................................................................................................... 51

.- Ubicacin de datos visuales en la costa espaola ......................................... 53

.- Comparacin de las formulaciones empricas de la 0 .................................... 54

.- Posicin de puntos instrumentales y de modelo matemtico. Tomado de

Puertos del Estado ................................................................................................. 56

.- Puntos en la costa cantbrica ........................................................................... 57

.- Datos on line de una boya .................................................................................. 57

.- Serie temporal de altura de ola significante .................................................... 58


6

.- Serie temporal de periodo de pico ................................................................... 59

.- Histograma frecuencial de Hs ........................................................................... 60

figura 41 .- Red WANA ....................................................................................... 64

figura 42 .- Puntos WANA (crculos azules) en el mar de Alborn ................ 66

figura 43 .- Ubicacin del punto WANA 2005009 ............................................ 66

figura 44 .- Rosa de oleaje correspondiente a 2.007 en el punto WANA

2005009 67

figura 45 .- Red WASA ........................................................................................ 69

figura 46 .- Puntos SIMAR-44 en la zona Mediterrnea .................................. 72

figura 47 .- Puntos SIMAR-44 en la zona Atlntica .......................................... 72

figura 48 .- reas en que la ROM divide el litoral espaol.............................. 79

figura 49 .- Ubicacin de las fuentes de datos instrumentales ..................... 80

figura 50 .- Informacin proporcionada en el Atlas de Oleaje de la ROM 0.3

/1 81

figura 51 .- Informacin proporcionada en el Atlas de Oleaje de la ROM 0.3

/2 82

figura 52 .- Resonancia en una drsena. tomado de (Brown, Colling, Park,

Phillips, Rothery, & Wright, 1.989) ....................................................................... 83

figura 53 .- Seiche. Oscilacin en una drsena (Lizano R.) ........................... 84

figura 54 .- Registro del maregrafo de Palma de Mallorca .......................... 85

figura 55 .- Perfiles de ondas largas. Tomado de (CEM, 2.001) .................... 86

figura 56 .- Puerto de Llanes (Asturias) ........................................................... 89

figura 57 .- Otra vista del puerto de Llanes ..................................................... 89

figura 58 .- Relaciones en las ondas de resaca. Tomado de (Iribarren &

Nogales, 1.948) ...................................................................................................... 90

figura 59 .- Representacin de los resultados de la tabla 4 .......................... 91

figura 60 .- Ubicacin de puntos de control .................................................... 91

figura 61 .- Oscilaciones de la superficie del mar en puntos de control del

puerto de Llanes .................................................................................................... 92


7

ndice de tablas

tabla 1 .- Formas asintticas de las funciones hiperblicas ......................... 27

tabla 2 .- Zonas de propagacin de oleaje ...................................................... 27

tabla 3 .- Resumen de las principales relaciones en teora lineal. Tomado de

(CEM, 2.001) ........................................................................................................... 28

.- Relaciones empricas entre datos de oleaje visuales e instrumentales ....... 55

.- Tabla de Hs - Tp .................................................................................................... 62

tabla 4 .- Periodos de grupos de olas, modos de vibracin y profundidades

peligrosas ............................................................................................................... 92

3 INTRODUCCIN

En estos apuntes se pretende recoger las cuestiones ms importantes que se

expliquen en clase. La idea es intentar que se disponga de los apuntes de la clase

correspondiente al menos un da antes de que sta tenga lugar. El objetivo es darte

la oportunidad de que leas sobre lo que se va a contar, con objeto de facilitar el

planteamiento de dudas, e incluso la posibilidad de tomar apuntes sobre el

documento, ya lo hagas con un porttil sobre el pdf, que ir sin proteger, como si lo

imprimes y tomas notas sobre el documento en papel.

A este respecto, fjate en la revisin del documento (REV, en su ttulo; la revisin

tendr el mismo nmero que la semana correspondiente). Cada nueva revisin

contendr tambin todo lo anterior. As, al final del curso podrs disponer de un

documento completo de apuntes.

Al margen, y como consulta, espero que puedas disponer del libro Oscilaciones del

mar, que se encuentra en este momento en proceso de edicin por el Colegio de

Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. No ha sido posible disponer de l al

comienzo del curso. Se trata de un libro de consulta, que espero te pueda ser til

una vez terminado el curso (proyecto de fin de carrera, trabajo profesional, etc.).


8

Por ltimo te ruego que ton toda confianza me hagas ver cualquier posible

deficiencia, o propuesta de mejora, de estos apuntes: me ayudars, te ayudars a ti

mism@ y ayudars tambin a tus compaeros del curso que viene.

4 TIPOS DE ONDAS EN EL MAR

El baco de Kinsmann muestra de forma sinttica el conjunto de oscilaciones que

se pueden dar en el mar (figura 1). Las zonas sombreadas muestran los tipos de

ondas que se vern en este curso.

figura 1 .- Abaco de Kinsmann

La lnea roja muestra una estimacin relativa de la energa presente en estas

oscilaciones.

5 ALGUNOS TIPOS DE ONDAS RELEVANTES

5.1 Oleaje de viento

Es la oscilacin tpica que vemos en nuestras costas. No mueve masas de agua,

excepto durante los procesos de rotura. Lo que se propaga es la perturbacin, no la


9

masa de agua. Como smil para entender mejor esto, se tiene el caso de una

bandera, cuyas ondulaciones generadas por el viento se mueven desde el asta

hacia su borde libre, pero la tela queda fija, no se desplaza.

En este nivel, se distinguen dos tipos fundamentales de oleaje de viento:

i. El SEA, o mar de viento (figura 2), que es el que se produce en la zona de

generacin (tambin denominada FETCH). Es un oleaje muy desordenado,

con frentes pequeos y en muchas direcciones, aunque predomina la del

viento.

ii. El SWELL, o mar de fondo (figura 3), que se da fuera de la zona de

generacin, con olas de diferentes periodos, pero ms ordenadas y viajando

en una misma direccin principal, aunque se suele abrir lateralmente unos 15

figura 2 .- Mar de viento (SEA)


10

figura 3 .- Mar de fondo (SWELL)

5.2 Mareas

Las olas ocenicas de mayor longitud de onda estn asociadas con las mareas y se

caracterizan por una elevacin y cada rtmicas del nivel del mar durante un perodo

de varias horas. Desde tiempos antiguos se ha sabido que las mareas tienen una

conexin con el sol y la luna. En efecto las mareas resultan de la atraccin de la

tierra y su hidrsfera por el sol, la luna y otros cuerpos celestes. En realidad las

mareas son el paso de una onda de gran tamao por las cuencas ocenicas:

longitud de media circunferencia de la tierra, velocidad de 80 km/h, altura de 50 cm y

hasta 5 m en algunas costas, e incluso 18 m en la baha de Fundy (Canad), al

mezclarse la propagacin de la onda de marea con fenmenos de resonancia (figura

4). En las costas las mareas controlan la posicin y amplitud de la zona de accin

del oleaje, generan corrientes y controlan la circulacin de algunos cuerpos de agua.


11

figura 4 .- Baha de Fundy. Pleamar (izquierda) y bajamar (derecha)

5.3 Ondas largas

Se denominan ondas largas a aquellas cuyo periodo es notablemente ms alto que

el de las olas de viento (comnmente periodos mayores de 30 segundos).


12

5.3.1 Seiches

Se producen en puertos, bahas y lagunas costeras al entrar una onda o

perturbacin externa, cuando sta entra en resonancia con la baha. Originadas por

el viento (generalmente tormentas) y restaurada por gravedad.

5.3.2 Storm surges

Un storm surge, o tidal surge, es una elevacin del nivel del mar asociada a un

sistema de bajas presiones, tpicamente un cicln tropical.

El storm surge est causado generalmente por vientos fuertes soplando sobre la

superficie del mar en sentido hacia la costa. El viento produce una elevacin del mar

superior a sus valores ordinarios. Es una componente de lo que se denomina marea

meteorolgica.

Las bajas presiones causan tambin una elevacin del nivel del mar, que puede

cifrarse, grosso modo en 1 cm por cada milibar que descienda la presin por debajo

de los 1.013 mb.

Generalmente se utiliza este trmino para designar la elevacin del nivel del mar

producida por la suma de varios factores:

Depresin baromtrica

Marea

Run-up del oleaje

Set-up del oleaje

Inundaciones por causas fluviales

La figura 5 esquematiza este efecto.


13

figura 5 .- Storm surge

5.4 Tsunami

El trmino tsunami, en japons, significa ola de puerto. Son olas generadas por

fenmenos ssmicos, cada de grandes bloques de laderas en el mar, , en suma,

son desplazamientos bruscos de la masa de agua que se propagan con una gran

velocidad.

Su diferencia con el oleaje de viento es notable: en el primero se desplaza la

perturbacin, con un mnimo movimiento del agua, salvo en rotura; en el segundo,

es el agua lo que se desplaza, adquiriendo, por tanto una mayor energa cintica,

que es lo que hace peligroso este fenmeno.

figura 6 .- Diferencia entre oleaje de viento (arriba) y tsunami (debajo)


14

6 OLEAJE DE VIENTO

6.1 Caractersticas generales de una onda

La figura 7 muestra el perfil vertical de dos olas sucesivas, idealizadas. En ella se

pueden observar los principales parmetros que las definen.

figura 7 .- Perfil vertical de dos olas sucesivas.

Estos parmetros son:

Altura de ola H

Distancia vertical entre un seno y una cresta

sucesivos

Amplitud a Mxima desviacin desde el nivel medio

Longitud de onda L Distancia horizontal entre dos crestas sucesivas

Periodo T

Tiempo que tardan en pasar dos crestas sucesivas

por el mismo punto

Frecuencia f

Nmero de crestas que pasan cada segundo por un

punto fijo (f = 1/T)

Otros parmetros importantes son los siguientes:

Frecuencia angular

Nmero de onda k

Celeridad c


15

Peralte

Profundidad relativa

Altura de ola relativa

Los parmetros anteriores definen la onda e intervienen en los clculos que

posteriormente se realizarn con el objeto de describir los estados del mar de la

forma ms aproximada posible.

6.2 Generacin del oleaje de viento

De la radiacin solar incidente sobre la superficie de la Tierra, una fraccin se

invierte en un calentamiento desigual de la misma, lo que provoca en la atmsfera

zonas de altas y bajas presiones, generando desplazamientos del aire (viento) de

mayor o menor intensidad.

El oleaje es una consecuencia del rozamiento del aire sobre la superficie del mar;

supuesta una constante solar del orden de 375 W/m2, aproximadamente 1 W/m2 se

transmite al oleaje, que acta como un acumulador de energa, por cuanto al tiempo

que la recibe, la transporta de un lugar a otro, y la almacena; la intensidad del oleaje

depende de la intensidad del viento, de su duracin y de la longitud (fetch) sobre la

cual ste transmite energa a la ola.

figura 8 .- Generacin del oleaje


16

El mecanismo con que se generan las olas debidas al viento no est aun

perfectamente esclarecido; se trata probablemente de la accin de oscilaciones de la

presin atmosfrica de perodo corto combinadas con la accin del viento. Por su

turbulencia, una corriente de viento que fluye paralela a la superficie del mar se

puede asimilar a una sucesin de oscilaciones de la presin atmosfrica que actan

en un plano vertical, ortogonalmente a la direccin del viento. Tales oscilaciones,

que incluso pueden superar la amplitud de un milibar, llegan a tener perodos del

orden de uno a varios segundos, y se corresponden con autnticos golpes

alternados con acciones de reflujo, que se desplazan con el avance del viento, por lo

que la superficie aparece afectada por una agitacin.

figura 9 .- Diagrama esquemtico, ilustrando la dependencia del oleaje de la velocidad

del viento (U), de la duracin de la tormenta (D) y de la longitud del fetch (F). Modificado de (Komar, 1.983)

Cuando dos capas fluidas con diferente movimiento se mantienen en contacto,

existiendo una cierta friccin entre ellas, se verifica una transmisin de energa entre

ambas.

Existen diferentes teoras que explican la generacin de oleaje por viento. Una de

ellas es la debida a Jeffrey, quien en 1.925 afirm que las olas obtienen energa del

viento en virtud de las diferencias de presin causadas por el efecto de bloqueo

ejercido por las crestas. La figura 10 ilustra el modelo de Jeffrey. En ella, las lneas


17

sobre la superficie del mar representan el viento, y las inferiores a la superficie, el

movimiento del agua; la zona trasera de la ola experimenta una sobrepresin, en

tanto que la delantera sufre una depresin (lo que se indica con signos + y -); este

gradiente de presin impulsa la ola hacia delante.

figura 10 .- Modelo de Jeffrey. Tomada de (Brown, Colling, Park, Phillips, Rothery, &

Wright, 1.989)

El modelo de Jeffrey funciona en los casos en que la velocidad del viento excede la

del oleaje, y es superior a 1 m/s; asimismo, el peralte del oleaje debe ser suficiente

para bloquear el viento.

Hay dos parmetros fundamentales en este proceso: el peralte del oleaje y la

relacin de densidades entre el agua y el aire. Debido a la baja densidad del aire en

relacin con la del agua del mar, existe una baja tasa de transferencia de energa y

momento entre el viento y el mar, por lo que son necesarios muchos periodos de

oleaje para obtener una transferencia de energa apreciable.


18

figura 11 .- Esquematizacin del problema. Tomada de (Janssen, 2.004)

Como se ver ms adelante, los espectros energticos dan una medida de la

energa del oleaje, que es proporcional al rea que encierran (su momento de orden

cero, m0, como se explicar en el epgrafe citado). La figura 12 muestra un ejemplo y

su relacin con la generacin del oleaje. Mostrando esta figura, se pretende dar una

idea de la importancia de los parmetros citados en la comunicacin al mar de la

energa del viento.

figura 12 .- Izquierda: Espectro2 JONSWAP para un oleaje en desarrollo, de varias

longitudes de fetch, representadas por la variable X. Derecha: Una comparacin de los espectros JONSWAP y PM para una velocidad de viento U = 20 m/s y longitudes de fetch de 200 km e infinito, respectivamente. Tomado de (Massel, 1.996)

Una cuestin que ha de tomarse en consideracin es que el fetch est

intrnsecamente ligado a la zona de actuacin del viento. Bajo una borrasca, el fetch

2 Se definir el espectro energtico al abordar la descripcin del oleaje


19

de un lugar se extiende a la zona donde sopla el viento. La figura 13 esquematiza

esta idea.

Abundando en lo anterior, la figura 14 muestra el fetch que podra suponerse hacia

el NW en las islas Ces. En realidad esto es falso: equivaldra a que una borrasca

estuviera afectando a todo el Atlntico Norte. En realidad, el fetch es el que muestra

figura 15.

figura 13 .- Relacin entre borrasca y fetch


20

figura 14 .- Fetch supuesto

figura 15 .- Fetch real


21

6.3 Teoras de oleaje

Las teoras que describen el oleaje son aproximaciones a la realidad. Pueden

describir bien aquellos fenmenos cuyas condiciones satisfagan las asunciones

hechas en su derivacin. Asimismo, pueden no describir otros fenmenos que violen

esas asunciones. Al adoptar una teora, ha de asegurarse de que el fenmeno de

inters est descrito razonablemente bien por la teora adoptada; la proteccin del

litoral, que es uno de los objetivos del estudio del oleaje, depende de la habilidad

para predecir los perfiles de la superficie del mar y el movimiento del agua, as como

de la precisin de esas aproximaciones.

La figura 16 adelanta un ejemplo de cmo las diferentes teoras de oleaje se aplican

a zonas distintas.

figura 16 .- Ejemplo de validez de las diferentes teoras de oleaje

En la figura 17 se puede comparar la forma de las diferentes ondas, en funcin de

sus teoras.


22

figura 17 .- Comparacin de ondas en diferentes teoras

6.4 Teora l ineal de ondas

Es la teora de oleaje ms simple, tambin denominada teora de Airy.

Aunque con limitaciones a su aplicabilidad, la teora lineal puede ser muy til si las

hiptesis de partida se cumplen:


23

1. El agua es homognea e incompresible; (lo que implica que la

densidad, , es constante.

2. La tensin superficial puede ser despreciada.

3. El efecto de Coriolis debido a la rotacin de la tierra puede ser

asimismo despreciado.

4. La presin en la superficie libre del mar es uniforme y constante.

5. El agua del mar carece de viscosidad.

6. No existe interaccin del oleaje con ningn otro movimiento marino. El

flujo es irrotacional.

7. El fondo del mar constituye un lmite horizontal, fijo e impermeable, lo

que implica que la velocidad vertical en l es nula.

8. La amplitud de onda es pequea y su forma es invariable en el tiempo

y espacio.

9. Las ondas son planas (de dos dimensiones).

De las hiptesis anteriores, la 1, 2 y 3 pueden ser asumidas en la mayor parte de

problemas de Ingeniera Martima. Las tres ltimas han de asumirse necesariamente

en la mayor parte de los problemas de Ingeniera Costera y Portuaria.

Una conclusin de la 1 hiptesis estriba en que las lneas de corriente en un fluido

incompresible son paralelas. En efecto, la ecuacin de conservacin de masa dice

que:

[1]


24

Si el fluido es incompresible, la densidad es constante, esto es = 0. Por tanto, la

ecuacin anterior se puede escribir:

[2]

lo que quiere decir que la divergencia de la velocidad es nula, o lo que es lo mismo,

que las lneas de flujo son paralelas.

El hecho de que el flujo sea irrotacional implica que el campo correspondiente deriva

de un potencial, es decir, que puede escribirse, para las velocidades horizontal, u, y

vertical, w, las siguientes ecuaciones:

[3]

La ecuacin anterior implica que si se conoce el potencial (x, z, t) en todo el

mbito del estudio, se pueden conocer tambin las velocidades de las partculas.

En general, la onda se caracteriza (ver figura 18) por su longitud, L, su altura, H, su

periodo, T, y la profundidad, d, sobre la que se propaga.

figura 18 .- Representacin de una onda de Airy.


25

6.4.1 Celeridad, longitud y periodo

La velocidad con que se propaga la ola se denomina celeridad, c. Hay autores que la

denominan tambin velocidad de fase. Dado que la distancia de una longitud de

onda se recorre, por definicin, en un tiempo igual al periodo de la ola, es fcil

comprender que la celeridad se puede obtener como

[4]

6.4.2 Dispersin del oleaje

La llamada ecuacin de dispersin relaciona la celeridad con la profundidad y la

longitud de onda. El concepto de dispersin es de capital importancia para

comprender fenmenos como el agrupamiento del oleaje y los efectos que ste

puede causar, principalmente la resonancia en drsenas portuarias.

La ecuacin de dispersin se escribe

[5]

Combinando las dos ecuaciones anteriores, se puede escribir la celeridad como:

[6]

En la ecuacin anterior se puede comprobar que una ola viaja tanto ms rpido

cuanto mayor es su periodo. El concepto de dispersin implica que las olas se

separan en su propagacin hacia la costa, ordenndose por sus periodos.

Comnmente, dentro de un mismo tren de ondas, las olas de mayor periodo suelen

tener tambin mayor altura, por lo cual al salir del rea de generacin, o fetch, el

registro de oleaje tiende a ordenarse en grupos de olas (figura 19).

figura 19 .- Grupos de olas


26

En funcin del nmero de onda, k, y la frecuencia angular, y de la ecuacin de

dispersin, puede escribirse la longitud de onda como:

[7]

Como puede observarse, la ecuacin que proporciona la longitud de onda ha de

resolverse necesariamente por iteraciones.

Esta ecuacin indica que la longitud de onda decrece con la profundidad, debido al

comportamiento de la funcin tanh(kd), que se incrementa linealmente con valores

pequeos de kd, pero tiende asintticamente a la unidad en profundidades

indefinidas.

En profundidades indefinidas, puede considerarse que la tangente hiperblica tiende

a la unidad, y por tanto, la longitud de onda es:

[8]

Para evitar el problema que representa la resolucin de la ecuacin de la longitud de

onda, se han desarrollado numerosas aproximaciones; una de las ms empleadas

es la de Fenton y McKee (1.990), que se escribe como:

[9]

La tabla 1 recoge las formas asintticas de las funciones hiperblicas.

Funcin

cosh (kd) 1

senh (kd) kd


27

tanh (kd) 1 kd

tabla 1 .- Formas asintticas de las funciones hiperblicas

6.4.3 Clasificacin de las zonas en que se propaga en oleaje

Las zonas a travs de las cuales se propaga el oleaje se clasifican segn su

profundidad relativa, d/L. as, se pueden distinguir las tres zonas que se indican en la

tabla 2:

Zona d/L kd tanh(kd)

Profundidades

indefinidas

a a ~ 1

Aguas de transicin 1/20 a 1/2 /10 a tanh (kd)

Profundidades

reducidas

0 a 1/20 0 a /10 ~ kd

tabla 2 .- Zonas de propagacin de oleaje


28

6.4.4 Ecuaciones generales y soluciones tericas

tabla 3 .- Resumen de las principales relaciones en teora lineal. Tomado de (CEM,

2.001)

6.5 Validez de las distintas teoras de oleaje . bacos de Le Mehaute

Existe un parmetro adimensional nico que es utilizado para clasificar los diferentes

tipos de movimientos. Este parmetro es conocido como el nmero de Ursell, Ur, y

se define como:

[10]

Llegados a este punto, ha de manifestarse que el nmero de Ursell se puede definir

en funcin de la amplitud de la onda o del nmero de onda en lugar de la altura y


29

longitud respectivamente, segn los autores. Por ello, y aunque conceptualmente el

significado de este parmetro es siempre el mismo, sus valores numricos varan de

forma importante por lo cual es preciso tener clara la definicin empleada antes de

realizar cualquier interpretacin.

El nmero de Ursell es un parmetro importante pues sirve para definir el rgimen al

que corresponden las ondas y, por tanto, ayuda a seleccionar la teora ms

adecuada en cada caso. Es una medida de la no linealidad del oleaje. Un oleaje

lineal presentar un parmetro de Ursell tal que .

La figura 20 muestra el grfico de Le Mhaut (1.976), en el cual se representan las

reas de validez de las diferentes teoras de oleaje. En ella no aparece la teora de

Fenton, puesto que es posterior a la confeccin del grfico.


30

figura 20 .- Rango de validez de las diferentes teoras de oleaje (Le Mhaut, 1.976)

7 ROTURA DEL OLEAJE

7.1 Descripcin del fenmeno

La rotura del oleaje es quiz el fenmeno ms espectacular que se produce en la

cercana de la costa. Es en la zona de rompientes donde se produce la mayora de

los procesos litorales, y la mayor parte de los que se deben al oleaje, se producen

debido a su rotura.


31

figura 21 .- Ola rompiendo

En trminos fsicos, una ola en rotura (figura 21) es una ola cuya amplitud alcanza

un nivel crtico, a partir del cual se desatan sbitamente ciertos procesos que

producen una gran prdida de energa. Una gran parte de los modelos que

describen el comportamiento del oleaje no resultan vlidos a partir de rotura, puesto

que asumen un comportamiento lineal.

El tipo de rotura que resulta ms familiar es el que se observa junto a la costa (figura

22). Debido a los procesos de asomeramiento, las olas se peraltan hasta que las

crestas se desestabilizan, a causa de la componente horizontal de su velocidad, y

caen (segn el tipo de rotura).

La rotura de oleaje puede ocurrir en cualquier lugar en que se den las circunstancias

oportunas, incluso en alta mar, aunque es mucho ms corriente en las playas u otros

lugares de profundidad somera.


32

figura 22 .- Rotura de pequeas olas junto a la lnea de orilla

7.2 Tipos de rotura

Hay cuatro tipos bsicos de rotura de oleaje (ver figura 23): spilling, plunging,

collapsing y surging. Se producen en orden creciente de pendiente del fondo,

longitud de onda y periodo, y decreciente de altura de ola y peralte.


33

figura 23 .- Tipos de rotura. Tomado de (Brown, Colling, Park, Phillips, Rothery, &

Wright, 1.989)


34

7.2.1 Spill ing

En este tipo de rotura, se deprime y desestabiliza, transformndose en un roller

sobre el frente de la ola, que adquiere un aspecto espumoso. Tiene lugar sobre todo

en playas de pendiente suave.

7.2.2 Plunging

Es la forma ms dramtica de rotura del oleaje. La cresta de la ola gira sobre s

misma y se desploma hacia su pie, creando una considerable salpicadura. Tiende a

producirse en playas de pendiente relativamente pronunciada.

7.2.3 Surging

En playas muy empanadas se da este tipo de rotura, en la cual la ola avanza sin

llegar a romper, deformndose y alisndose desde el fondo. El frente de ola avanza

hacia la cresta, producindose reflexin.

7.2.4 Collapsing

Este tipo de rotura se encuentra a caballo entre el plunging y el surging. La cresta

nunca llega a romper, si bien su frente se peralta y colapsa, producindose espuma.

7.3 Tensiones de radiacin

Aunque no es propio de la rotura de oleaje, el concepto de tensin de radiacin es

fundamental a la hora de evaluar la corriente producida por el oleaje, como se ver

ms adelante.

Las tensiones de radiacin son las fuerzas por unidad de rea que surgen debido al

exceso de flujo de momento producido por la presencia del oleaje. Simplificando el

problema, existe ms flujo de momento en la direccin de avance del oleaje por el

hecho de que la velocidad toma la direccin de la propagacin bajo la cresta de la

ola y la opuesta bajo el seno. Al mismo tiempo, la presin es mayor bajo la cresta

que bajo el seno, como es evidente, lo que conduce a una tensin neta a lo largo de

un periodo.


35

La teora lineal permite aproximar las tensiones de radiacin y explica fenmenos

como la sobreelevacin del nivel del mar, la generacin de corrientes longitudinales

o la depresin del nivel del mar.

8 DESCRIPCIN DEL OLEAJE

8.1 Descripcin estadstica

La descripcin estadstica del oleaje se basa en un anlisis pormenorizado, ola por

ola, del registro de estado del mar. En la figura 24 se observa un registro de oleaje

en el cual, con una serie de criterios, se separan las olas, obteniendo para cada una

su altura, H, periodo, T, longitud, L, etc.

figura 24 .- Parmetros representativos del oleaje. Tomado de (CEM, 2.001)

De esta manera se obtendr una muestra, consistente en una serie de datos

representando cada una de las caractersticas de cada una de las olas. Y es en esta

muestra en la que se obtienen los parmetros estadsticos que representan el

estado del mar. Parmetros como la altura de ola significante, la altura de ola media

cuadrtica, altura de ola media, altura de ola mxima, periodo de paso por cero, etc.,

que se describen en los apartados siguientes.

8.1.1 Alturas de ola caractersticas

8.1.1.1 Altura de ola signif icante

Tradicionalmente, se ha definido la altura de ola significante como aquella que

percibe un observador habituado al mar.


36

Es uno de los parmetros caractersticos del oleaje ms importantes. Fue definida

por Sverdrup y Munk (Sverdrup & Munk, 1.947), intentando establecer una

correlacin entre las alturas medidas y las informadas por marineros (de ah la

afirmacin del prrafo anterior).

Para calcularla, supngase que se ordena de mayor a menor el registro de oleaje.

Pues bien, la altura de ola significante, denotada como Hs o H1/3, es la media

aritmtica del tercio de olas ms altas del registro.

Es decir, si un registro de oleaje contiene las siguientes alturas de ola (en metros): 6,

6, 5, 4.5, 4, 3.5, 3, 3, 3, 2, 2, 1.5, el tercio de olas ms altas son las cuatro primeras,

y su media aritmtica, la altura de ola significante del temporal, es decir:

Escrito matemticamente, si el registro ordenado de mayor a menor tiene N olas, la

altura de ola significante ser:

[11]

Se ver en 8.2.4.1 que la altura de ola significante espectral se puede calcular

tambin a partir del momento de orden cero del espectro.

8.1.1.2 Altura de ola media cuadrtica

Algunos autores sostienen que es la ola que mejor representa la energa de un

estado del mar. Su expresin es la siguiente:

[12]


37

8.1.1.3 Altura de ola media

La altura de ola media del registro es simplemente, la media de las alturas de ola

simples, es decir:

[13]

8.1.1.4 Otras alturas de ola

De la misma manera que H1/3 se pueden definir otras alturas de ola, como H1/10,

H1/100, H1/X, etc, de forma anloga (ordenado de mayor a menor el registro de oleaje):

[14]

8.1.2 Representatividad de los parmetros estadsticos

Supongamos un estado del mar definido por un espectro Jonswap determinado. Es

sabido que cada espectro define un estado energtico concreto, pero no reproduce

exactamente la serie temporal que lo gener. En cualquier caso, en la mayor parte

de las aplicaciones de Ingeniera Martima, es la energa del oleaje la que preocupa,

por lo que esta descripcin es muy razonable.

Obviamente, los parmetros estadsticos deberan ser muy similares para cualquier

espectro que conserve el rea bajo l, o lo que es lo mismo, su energa.

A continuacin se realizar una comprobacin con un espectro Jonswap y varias

semillas. Las caractersticas del espectro son las siguientes:

Hm0 = 4.0 m

TP = 10 s

= 3.3

a = 0.07

b = 0.09

Tmin = 4 s

La figura 25 muestra el espectro calculado.


38

A partir de este espectro se generan varias series de oleaje. Todas tienen un

denominador comn: la misma energa, y Hm0 = 4 m.

En la figura 26 se muestra la variacin de los parmetros estadsticos. Se observa

que se puede cometer un gran error en funcin del parmetro que se escoja para

describir un estado del mar.

figura 25 .- Espectro Jonswap

figura 26 .- Parmetros estadsticos para un mismo espectro de energa


39

Vistos los resultados, parece razonable emplear la altura de ola significante

espectral, Hm0, la media cuadrtica, Hrms, o la significante estadstica, H1/3, por este

orden.

En la figura 27 se muestran los errores cometidos al escoger uno u otro parmetro.

figura 27 .- Error cometido en la estimacin del estado del mar con cada parmetro

estadstico

8.1.3 Periodos caractersticos del oleaje

Existen distintos periodos del oleaje segn se mida dentro del registro: periodo de

paso por cero (Tz), periodo entre crestas (Tc), periodo significante (T1/3), periodo

medio ( ), etc.

8.2 Descripcin espectral

8.2.1 Introduccin

El espectro de energa describe como la energa se distribuye sobre un rango de

frecuencias y direcciones. La energa (m2s m2/Hz) en el dominio de frecuencias se

representa por el espectro de frecuencia S(f), mientras que la distribucin de la


40

energa en el dominio de la direccin se representa por la funcin de dispersin

direccional D(f,).

La descripcin espectral del oleaje es muy til para comprender y sintetizar

determinadas caractersticas. Es especialmente til en ingeniera de Puertos. En lo

que sigue se tratar de fijar el concepto fsico con un ejemplo, apoyado en un

modelo de Boussinesq3. Supngase un temporal propagndose hacia la costa

(figura 284). Imaginemos que en los puntos sealados sobre el perfil transversal de

la playa se colocan sensores de oleaje, que permiten obtener series temporales.

figura 28 .- Oleaje propagndose hacia la orilla

Esas series temporales constituyen funciones complicadas de la elevacin del nivel

del mar respecto del tiempo, = f(t), y son discretas, puesto que el sensor del oleaje

obtiene puntos (elevacin del nivel del mar) cada cierto tiempo. No obstante lo

3 Mike21 BW

4 Las zonas azules representan el roller de una ola rota


41

anterior, en lo que sigue se representan mediante lneas uniendo los puntos

obtenidos, pero no deben confundirse con funciones continuas.

La figura 29 muestra las seis series temporales obtenidas en los seis puntos

indicados.

Como dato adicional, que no tiene relacin directa con el anlisis espectral, se invita

al lector a estudiar esta figura; obsrvese como a medida que el oleaje se aproxima

a la playa, aumenta la no linealidad de las ondas, es decir, se alejan

progresivamente de la forma senoidal y se aproximan a la forma cnoidal.

A partir de esas series discretas de parejas ( , t) de superficie del mar y tiempo,

podemos hallar el espectro energtico del oleaje. El espectro energtico representa

el oleaje objeto de inters en el dominio de la frecuencia, de la misma forma que la

serie temporal lo representa en el dominio del tiempo. As, la figura 30 muestra una

serie temporal (dominio del tiempo) y su espectro energtico (dominio de la

frecuencia) en el punto 1 del perfil transversal de la figura 28.


42

figura 29 .- Series temporales


43

figura 30 .- Serie temporal y su espectro energtico

8.2.2 Un espectro bsico

Supngase una serie temporal formada por un seno (por ejemplo, una onda de Airy).

Sea la onda de ecuacin

[15]

que tiene longitud de onda L y periodo T.

Si se representa esta funcin, con ayuda de MATLAB, se obtiene la grfica discreta

de la figura 31. Se ha supuesto que el periodo es T = 14 s, la altura de ola H = 4 m, y

la longitud de onda es . Se ha representado un intervalo de tiempo

correspondiente a cuatro periodos (de 0 a 56 segundos) y una separacin entre

puntos t = 0.50 segundos. La serie temporal se ha obtenido en x = 0.

Es fcil entender que toda la onda presenta un nico periodo (14 segundos), por lo

que tendr una sola frecuencia (1/14 hz); por tanto, su representacin terica en el

dominio de la frecuencia ser una lnea vertical en la abcisa f = 1/14 hz (figura 32).

Realmente, no ser exactamente una lnea, pues depende de la discretizacin del

espectro en frecuencias; su ordenada ser tal que el rea bajo ella sea igual a 4Hs.

De esta forma se habra construido el espectro energtico de la onda.


44

8.2.3 El espectro de un estado del mar

En este punto se ha de recurrir al teorema de Fourier, que expresado de forma

sencilla, viene a decir que cualquier funcin, por complicada que sea, puede

expresarse por una combinacin ms o menos larga, de senos y cosenos.

Por tanto, se puede descomponer la serie temporal correspondiente a un temporal,

cualquiera que este sea, en una suma de senos y cosenos simples, en ondas de

Airy. Hallando y superponiendo los espectros (lneas verticales) de cada oleaje

simple, podramos hallar el espectro energtico del temporal (figura 37), que tendr

un aspecto similar a los representados en la figura 38. Obviamente, ese sistema es

inabordable, y por ello se usan herramientas como la FFT (transformada rpida de

Fourier). El propsito de este captulo no es calcular el espectro, sino comprenderlo

y ver qu se puede extraer de l.

figura 31 .- Funcin coseno


45

figura 32 .- Espectro energtico de la serie temporal de la figura 31

Supngase que se ampla el nmero de puntos a 100 periodos, y se aplica una

ventana triangular al comienzo y al final de la serie temporal (figura 33). Su espectro

se muestra en la figura 34. Su pico estar en fp = 1/10 = 0.10 hz (figura 36).

figura 33 .- Onda senoidal suavizada con ventana triangular, T = 10s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Espectro

frecuencia [hz]

Den

sida

d es

pect

ral [

m/

hz]

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Serie temporal

tiempo [s]

Ele

vaci

n [m

]


46

figura 34 .- Espectro de energa de una onda senoidal T = 10 s

figura 35 .- Detalle del suavizado de la serie temporal de la figura 33

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

50

100

150

200

250Espectro

frecuencia [hz]

Den

sida

d es

pect

ral [

m/

hz]

20 40 60 80 100 120 140

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Serie temporal

tiempo [s]

Ele

vaci

n [m

]


47

figura 36 .- Detalle del pico del espectro de la figura 34

figura 37 .- Superposicin de estados del mar

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

50

100

150

200

250

Espectro

frecuencia [hz]

Den

sida

d es

pect

ral [

m/

hz]


48

figura 38 .- Espectros energticos

figura 39 .- Espectro de sea vs. Espectro de swell


49

8.2.4 Los parmetros espectrales

En este apartado se proporcionarn algunas herramientas que, a partir de su

espectro energtico, ayuden a conocer perfectamente un temporal determinado.

Los principales parmetros que se utilizan en anlisis espectral son:

Frecuencia de pico

Los momentos espectrales

El coeficiente de apuntamiento

El coeficiente de simetra

A continuacin se ver su utilidad.

8.2.4.1 Momentos espectrales

Los momentos espectrales se designan como mi, donde i es su orden, y se definen

como:

[16]

De los cuatro primeros momentos se pueden aproximar numerosos datos

estadsticos (ver 8.1) del registro de oleaje:

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]


50

Es fcil entender que m0 representa la energa total del registro de oleaje, pues

constituye el rea que encierra el espectro. As, mediante el anlisis espectral de

diferentes series de oleaje de un mismo temporal mientras se propaga hacia la

costa, puede calcularse la reduccin de energa en el mismo.

8.2.4.2 Anchura espectral y ancho de banda espectral

Se representan respectivamente mediante las letras griegas y y se definen como:

[23]

Ambos oscilan entre 0 y 1. Para un espectro muy estrecho, ambos se encontrarn

cerca de 0. Para un Pierson-Moskowitz (ver 8.2.5.2), y = 1, en tanto que

para el JONSWAP (ver 8.2.5.1), son y = 1 (CEM, 2.001).

8.2.5 Espectros ms comnmente empleados

Para reproducir determinados estados del mar, muy comunes en zonas concretas,

se han desarrollado espectros de energa tericos que ajustan bien a las

condiciones generales del mar. Se suelen utilizar con fines de clculo,

parametrizacin de oleaje en las distintas zonas martimas con un sistema

normalizado, generacin de oleaje en ensayos en modelo fsico, etc.

A continuacin se muestran las caractersticas ms sobresalientes de los dos

espectros tericos ms utilizados: el JONSWAP y el Pierson-Moskowitz.

8.2.5.1 JONSWAP

Desarrollado por Hasselmann (Hasselmann_et_al, 1.973) en 1.973 para trabajos en

el Mar del Norte. Su nombre es un acrnimo que significa Joint North Sea Wave

Project. Se aplica a reas que presentan un fetch limitado, y su expresin es la

siguiente:


51

[24]

En la ecuacin anterior, los parmetros empleados tienen la siguiente definicin:

[25]

[26]

[27]

[28]

En ellas, los parmetros tienen el siguiente significado:

: Parmetro de escala

F : Longitud del fetch

fp : Frecuencia de pico

: Coeficiente de apuntamiento

U10 : Velocidad del viento a 10 m sobre la superficie del mar

8.2.5.2 Pierson-Moskowitz

Creado por Pierson y Moskowitz (Pierson & Moskowitz, 1.964), el PM es un espectro

sencillo, uniparamtrico (slo depende de la velocidad del viento a 19.5 m sobre el

mar), del cual el JONSWAP es una extensin, creado para oleajes totalmente

desarrollados. Asume que tanto el fetch como la duracin del temporal son infinitos.

Ello se justifica cuando el viento sopla constantemente en la misma direccin

durante decenas de horas sobre un rea grande.

Su expresin es la siguiente:

[29]


52

En la figura 40 se compara un espectro JONSWAP con un Pierson-Moskowitz.

Como se puede comprobar a simple vista, el primero presenta un mayor

agrupamiento de la energa en torno a la frecuencia de pico. Estas diferencias entre

espectros tericos aconsejan estudiar cual de ellos aplicar en cada caso. Por

ejemplo, en la costa Cantbrica, donde el fetch no est limitado, en principio, podra

llegar a ser conveniente en algunos casos aplicar un espectro diferente al

JONSWAP, creado para condiciones reinantes en el mar del Norte.

figura 40 .- Comparacin de los espectros JONSWAP y PM. Tomado de (CEM, 2.001)


53

8.2.5.3 Otros espectros

Existen otros espectros tericos similares a los anteriores, que pueden encontrarse

en la literatura cientfica, pero que exceden el objetivo del presente libro. Ver por

ejemplo, (Goda, 2.000) y (CEM, 2.001), para ampliar estos conocimientos.

8.3 Descripcin estadstica o descripcin espectral?

A menudo se plantea la disyuntiva de recurrir a la descripcin estadstica o a la

espectral del oleaje. Ello depende del uso a que se destine esta informacin. En

primer lugar, para obtener una descripcin espectral es necesario disponer de la

serie de oleaje, discretizada en un nmero de puntos lo suficientemente denso como

para ser compatible con el clculo de la FFT que se ha de realizar.

En general, el autor de este libro suele emplear el anlisis espectral en problemas

relacionados con agitacin y resonancia portuaria, as como en anlisis de oleaje

que incluyen reflexin (como por ejemplo, la determinacin de la altura de ola frente

a un dique vertical (por ejemplo, para clculos de rebase).

Los problemas relacionados con evaluacin de transporte slido (dinmica litoral, en

trminos generales), se suelen acometer con una descripcin estadstica direccional,

con una discretizacin suficiente en direcciones (usualmente 16 sectores de dos

cuartas -22.50-) y en alturas (normalmente se emplean escalones de 0.50 m).

En trminos generales, se suele emplear la distribucin estadstica cuando se debe

analizar un periodo de tiempo largo, y la descripcin espectral, para el anlisis de

estados del mar concretos.

9 OLEAJE EN LA COSTA ESPAOLA

9.1 Fuentes de datos de oleaje

9.1.1 Datos visuales

Los datos visuales se obtienen generalmente por marineros entrenados a bordo de

barcos en ruta. Durante mucho tiempo han sido la nica fuente de datos


54

direccionales de que se dispona en Espaa, y han servido para mltiples fines,

entre otros el de aportar direccionalidad a los datos instrumentales, escalares en su

mayor parte en aquella poca.

.- Ubicacin de datos visuales en la costa espaola

Presentan una serie de limitaciones que los hacen caer ms y ms en desuso

conforme se va disponiendo de ms volumen de datos instrumentales direccionales,

y de resultados de hindcasting de modelo matemtico.

Algunas de estas limitaciones son:

Falta de datos extremales suficientes, pues los buques evitan lgicamente las

derrotas que atraviesan tormentas.

Tendencia al sobredimensionamiento de las alturas de ola superiores a los

seis metros.


55

Los datos estn muy heterogneamente espaciados, pues se cien a las

rutas martimas (ver en la 0 los puntos en los que se dispone de datos

visuales en la costa espaola).

Por todo ello, es preciso conocer qu relacin guardan con los datos instrumentales.

En el estado del arte actual existen diferentes formulaciones empricas que relacin

el dato visual de altura de ola significante, Hv, y su periodo, Tv, con una altura de ola

significante, Hs, periodo de pico, Tp, y periodo medio, Tz, obtenidas a partir de

registros visuales obtenidos en diferentes lugares. La 0 recoge algunas de ellas.

Formulacin Ecuacin

Hogben & Lumb (1.967)

Jardine (1.979)

Soares (1.986)

PCM (1.991)

GIOC (1.993)

.- Relaciones empricas entre datos de oleaje visuales e instrumentales

.- Comparacin de las formulaciones empricas de la 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10

Hs

[m]

Hv [m]

Hogben & Lumb (1.967)

Jardine (1.979)

PCM (1,991)

GIOC (1.993)


56

9.1.2 Datos instrumentales

La fuente ms importante de datos instrumentales en la costa espaola la constituye

la base de datos de Puertos del Estado, accesible a travs de Internet en el portal

del Organismo Pblico: http://www.puertos.es. Estos datos son gratuitos, y procesados,

previa peticin son realmente asequibles, en contraposicin con los precios

impuestos por otros organismos pblicos y privados, a excepcin de la

Administracin Norteamericana.

En la 0 se muestra la posicin de los puntos fuente de datos instrumentales (Boyas

y Radar) y de modelo (Datos) proporcionados por Puertos del Estado en la costa

espaola.

Un ejemplo de una zona martima se muestra en la 0. A partir de los mapas activos

se accede a los datos.


57

.- Posicin de puntos instrumentales y de modelo matemtico. Tomado de Puertos del Estado


58

.- Puntos en la costa cantbrica

Accediendo, por ejemplo, a la boya Gijn II, se obtienen los datos que muestra la 0.

.- Datos on line de una boya

En primer lugar, proporciona el nombre de la boya, su ubicacin, la red a la que

pertenece y el periodo de cobertura, dato fundamental para conocer la validez del

registro frente a regmenes medios y extremales de un periodo de retorno

determinado.

Se pueden obtener las series temporales anuales de altura de ola significante o

periodo de pico en una imagen rster, como las mostradas en la 0 (Hs) y 0 (TP).

Pueden obtenerse asimismo histogramas de las distintas variables, como el

mostrado en la 0.

Los datos frecuenciales ms importantes se recogen en tablas de doble entrada (Hs

Tp), de las que un ejemplo es la 0, y sobre todo, las (Hs Direccin), que slo se


59

muestran en los resultados de instrumentos direccionales. Las boyas REMRO son

escalares y por ello no aparecen.

.- Serie temporal de altura de ola significante


60

.- Serie temporal de periodo de pico


61

.- Histograma frecuencial de Hs


62

.- Tabla de Hs - Tp

Un parmetro importante es la eficacia, que mide el porcentaje de datos obtenidos

sobre el total que se podra obtener en el ao. Cuanto ms cercano al 100 % sea

ste, ms calidad tendrn los datos desde el punto de vista de su aprovechamiento.

Por ejemplo, los datos de 2.006 presentan una eficacia del 97,4 %, en tanto que los

de 2.007, en el momento de obtenerlos presentaban una eficacia del 68,1 %, que sin

duda ir aumentando hasta fin de ao. En el caso de boyas y otros instrumentos,

reflejan los tiempos de paradas por avera, mantenimiento, etc.

Finalmente, es posible obtener en formato pdf los informes de rgimen medio y

rgimen extremal de la boya.


63

9.1.3 Datos de modelo matemtico

Los datos de modelo matemtico son una relativamente reciente fuente de datos,

que presentan una gran ventaja: se puede disponer de ellos en todo el mundo, si

bien el coste fuera de Espaa puede ser realmente alto.

Es preciso hacer notar que estos datos, si bien sufren un serio control de calidad en

Espaa por parte de Puertos del Estado, no son datos instrumentales. Al proceder

de simulaciones con modelo matemtico han de tomarse en consideracin sus

limitaciones en funcin de las hiptesis de partida, las ecuaciones que gobiernan el

modelo y las condiciones de contorno.

En Espaa se dispone de los puntos de las redes WANA, WASA e HIPOCAS. La

documentacin actualizada de estos datos se puede consultar en (Puertos del

Estado, 2.006 a), (Puertos del Estado, 2.006 b) y (Puertos del Estado, 2.006 c).

Para generar los campos de oleaje se utiliza el modelo numrico WAM. Dicha

aplicacin es un modelo espectral de tercera generacin que resuelve la ecuacin

de balance de energa sin establecer ninguna hiptesis, a priori, sobre la forma del

espectro de oleaje.

9.1.3.1 Red WANA

Los datos WANA proceden del sistema de prediccin del estado de la mar que

Puertos del Estado ha desarrollado en colaboracin con el Instituto Nacional de

Meteorologa. No son datos de prediccin sino datos de diagnstico o anlisis. Esto

supone que para cada instante el modelo proporciona campos de viento y presin

consistentes con la evolucin anterior de los parmetros modelizados y con las

observaciones realizadas. Las series de viento y oleaje del conjunto WANA no son

homogneas, pues el modelo de vientos se modifica de modo peridico.


64

El modelo numrico utilizado para generar los campos de vientos es el HIRLAM. Se

trata de un modelo atmosfrico mesoescalar5 e hidrosttico cuya resolucin es de

0.5 grados en el Atlntico y 0.2 grados en el Mediterrneo. Dicho modelo incluye

asimilacin de datos instrumentales. Los datos de viento facilitados son promedios

horarios a 10 metros de altura sobre el nivel del mar. Debido a la resolucin con la

que se ha integrado el modelo de Atmsfera, los datos de viento no reproducen ni

efectos orogrficos de escala inferior a 15 Km, ni procesos con escala temporal

inferior a 6 horas. No obstante, el modelo reproduce correctamente los vientos

regionales inducidos por la topografa como el Cierzo, Tramontana, Mistral, etc. Por

otro lado, de modo general, ser ms fiable la reproduccin de situaciones con

vientos procedentes del mar.

9.1.3.1.1 Puntos de la red

Los puntos de la red WANA a lo largo de la costa espaola se muestran en la figura

41.

5La mesoescala en Meteorologa es el estudio de sistemas del tiempo atmosfrico ms pequeos que

la escala sinptica meteorolgica, pero ms grandes que la microescala y la escala de tormenta de

los sistemas de nubes cmulos. Sus dimensiones horizontales generalmente oscilan de cerca de 9

km a varios centenares de km. Ejemplos de sistemas de mesoescala meteorolgica son las brisas de

mar, complejos mesoescalas convectivos, etc. La escala sinptica (tambin citada como escala

grande o escala ciclnica) es una escala de longitud horizontal del orden de los 1.000 km o ms. Esto

corresponde con una escala horizontal tpica de depresiones de media latitud. Muchas reas de

presiones altas y bajas] se leen en cartas meteorolgicas como sistemas de escala sinptica.


65

figura 41 .- Red WANA

9.1.3.1.2 Precauciones de uso

Es importante tomar en consideracin unas ciertas precauciones de uso, derivadas

del procedimiento operativo empleado. Se indican las recomendaciones

proporcionadas por Puertos del Estado, a las que se aaden otras comprobadas por

el autor:

En el Estrecho de Gibraltar no se reproducen bien los oleajes propagados de

una cuenca a otra, ya que en la aplicacin el Estrecho se encuentra cerrado.

En el Norte de la Costa Catalana y Golfo de Len, pueden sobrestimarse las

velocidades de viento y las alturas de ola en situaciones de temporal muy

extremo. Se aconseja no eliminar los datos sobrestimados, sino ms bien,


66

cotejar la magnitud aproximada del temporal con datos instrumentales de la

zona.

En el Sur del Archipilago Canario pueden no reproducirse bien condiciones

procedentes del Sur Oeste.

En general, el polgono de tierra utilizado no coincide con el mostrado en las

figuras de la pgina web (por razones de discretizacin, aquel es ms basto).

Ello da ciertos problemas:

o apantallamiento (sombras) en la propagacin del oleaje, que producen

calmas donde no las hay.

o inexistencia de tierra, particularmente en el caso de cabos estrechos

(como Gibraltar), que no produce abrigo donde lo hay.

Por ello, aunque los datos son realmente tiles, es imprescindible realizar una

comprobacin previa a su uso, particularmente en casos en los que el punto WANA

se encuentra muy cerca de la costa.

Especial referencia se merece el caso de la baha de Algeciras. La figura 42 muestra

los puntos WANA en el Mar de Alborn. A la izquierda de la imagen se observa el

punto WANA 2005009, ubicado en las coordenadas 36.125 N, 5.375 W. La figura 43

muestra su ubicacin, a poniente de Gibraltar. Ello implica que no es posible que

reciba oleajes del E y ESE, salvo que la Punta de Europa no est correctamente

representada en el modelo a causa de la resolucin empleada.


67

figura 42 .- Puntos WANA (crculos azules) en el mar de Alborn

figura 43 .- Ubicacin del punto WANA 2005009


68

figura 44 .- Rosa de oleaje correspondiente a 2.007 en el punto WANA 2005009

9.1.3.2 Red WASA

Los datos del conjunto WASA fueron generados en el marco del proyecto europeo

Waves and Storms in the North Atlantic. El objetivo de dicho proyecto fue realizar un

retroanlisis de oleaje a partir de campos de viento que cubran un periodo de 40

aos.

Ello se realiz en dos fases modelando reas distintas, con diferentes datos de

viento.

Cada uno de estos pasos dio lugar a un conjunto de datos WASA distintos:

Conjunto WASA de malla Gruesa.

o En la primera fase se modelo el oleaje sobre todo el Atlntico Norte con

una resolucin espacial de 1.5 Lat * 1.5 Lon y una resolucin

temporal de un campo cada 6 horas. Dicha aplicacin utiliza datos de


69

viento facilitados por el instituto FNOC (Fleet Numerical Oceanography

Center).

Conjunto WASA de malla Fina

o En la segunda fase se model el oleaje sobre el Atlntico Nororiental,

con una resolucin espacial de 0.5 Lat * 0.75 Lon y una resolucin

temporal de un campo cada 3 horas. Dicha aplicacin utiliza datos de

viento facilitados por la Oficina Meteorolgica Noruega (DNMI).


Los puntos disponibles, en las dos mallas de clculo, se muestran en la figura 45.


70

figura 45 .- Red WASA

9.1.3.2.2 Precauciones de Uso

Es importante tomar en consideracin unas ciertas precauciones de uso, derivadas

del procedimiento operativo empleado. Se transcriben las recomendaciones

proporcionadas por Puertos del Estado:

En el Cantbrico se reproducen con ms fiabilidad los estados de mar

procedente del Oeste que los estados de mar procedentes del Este.


71

En el Golfo de Cdiz, el estrecho de Gibraltar est cerrado, por lo que se

reproducen con ms fiabilidad las situaciones de Poniente y que las

situaciones de Levante.

En el Archipilago Canario los modelos de viento y oleaje no contemplan la

existencia fsica de las islas, por lo que no se modela el efecto de pantalla que

stas producen.

Al comparar los datos de altura significante de ola del conjunto WASA de

malla fina con los datos de boyas situadas en el Cantbrico, se obtienen

ndices medios de correlacin de 0.85, siendo la altura de las boyas

aproximadamente 0.8 veces la generada por el modelo.

Por otro lado, la comparacin de los datos WASA de malla gruesa con boyas

situadas en el Golfo de Cdiz y en Las Palmas produce ndices de correlacin

de 0.7, siendo la altura en las boyas aproximadamente 0.6 veces la generada

por el modelo.

9.1.3.2.3 Datos que proporciona la red

Los datos que proporciona la red se refieren a oleaje y viento. Son los siguientes:

Oleaje

o Altura significante espectral

o Periodo de pico espectral

o Periodo medio espectral (momentos 0 y 2)

o Direccin Media de Procedencia del Oleaje


72

o Dispersin Angular

o Altura, Periodo, Direccin y Dispersin angular de Mar de Viento

o Altura, Periodo, Direccin y Dispersin angular de Mar de Fondo

Viento

o Velocidad media

o Direccin medida de Procedencia del Viento

9.1.3.3 Red SIDMAR

Se trata de la ltima red incorporada al banco de datos de Puertos del estado.

El conjunto SIMAR-44 se constituye a partir de modelado numrico de alta

resolucin de atmsfera, nivel del mar y oleaje que cubre todo el entorno litoral

espaol. La simulacin de atmsfera y nivel del mar en todo el dominio de trabajo,

as como la simulacin de oleaje en la cuenca mediterrnea han sido realizadas por

Puertos del Estado en el marco del Proyecto Europeo HIPOCAS. La simulacin de

oleaje en el dominio Atlntico ha sido realizada por Puertos del Estado de modo

independiente.


La figura 46 y la figura 47 muestran respectivamente los puntos SIDMAR-44 en las

zonas Mediterrnea y Atlntica.


73

figura 46 .- Puntos SIMAR-44 en la zona Mediterrnea

figura 47 .- Puntos SIMAR-44 en la zona Atlntica


74

9.1.3.3.2 Consideracin del viento

Los datos de viento de este conjunto se han obtenido mediante el modelo

atmosfrico regional REMO, forzado por datos del reanlisis global NCEP. Dicho

reanlisis, asimila datos instrumentales y de satlite. El modelo REMO se ha

integrado utilizado una malla de 30' de longitud x 30' de latitud (aproximadamente 50

Km x 50 Km) con un paso de tiempo de 5 minutos. Los datos de viento facilitados

son promedios horarios a 10 m de altura sobre el nivel del mar.

La malla utilizada para integrar el modelo REMO no permite modelar el efecto de

accidentes orogrficos de extensin inferior a 50Km. Tampoco quedan modelados la

influencia en el viento de procesos de conveccin de escala local. No obstante, el

modelo reproduce correctamente los vientos regionales inducidos por la topografa

como el Cierzo, Tramontana, Mistral, etc. De modo general es ms fiable la

reproduccin de situaciones con vientos procedentes de mar.

9.1.3.3.3 Nivel del mar

La marea meteorolgica ha sido simulada mediante el modelo de circulacin

HAMSOM. La integracin se ha realizado en modo barotrpico sobre una malla de

15' de latitud x 10' de longitud con datos de atmsfera procedentes del modelo

REMO.

Los datos de residuo meteorolgico slo describen la variacin de nivel debida a la

accin atmosfrica. Para su uso prctico es necesario sumar la contribucin de

marea astronmica.

Cuando no se conozca la onda de marea astronmica y se necesite tener una

valoracin aproximada de la magnitud de situaciones de riesgo se deber sumar a la

serie de residuos una estimacin de la pleamar viva para la zona de estudio.

9.1.3.3.4 Oleaje

Los datos se han generado con una cadencia horaria. Se ha realizado

descomposicin de mar de viento y mar de fondo. Con el fin de describir situaciones


75

con mares de fondo cruzados, se ha considerado la posibilidad de dos

contribuciones de mar de fondo.

Para el rea mediterrnea se ha utilizado una malla de espaciamiento variable con

una resolucin de 15 de latitud x 15 de longitud para el borde Este de la malla y de

7.5' de latitud x 7.5' de longitud (aproximadamente 12.5 Km x 12.5 Km) para el resto

del rea modelada.

Para el rea atlntica se ha utilizado una malla de espaciamiento variable que cubre

todo el Atlntico Norte con una resolucin de 30' de latitud x 30' de longitud para las

zonas ms alejadas de la Pennsula Ibrica y de Canarias. Para el entorno del Golfo

de Cdiz y del Archipilago Canario se han anidado a la malla principal, mallas

secundarias con una resolucin de 5' de longitud x 5' de latitud De modo anlogo,

para el Mar Cantbrico y Galicia se han utilizado mallas anidadas con una resolucin

de 2.5' de longitud x 2.5' de latitud

El modelo WAM utilizado incluye efectos de refraccin y asomeramiento. Dada la

resolucin de la malla, se pueden considerar despreciables los efectos del fondo.

Por tanto, para uso prctico los datos de oleaje deben de interpretarse siempre

como datos en aguas abiertas a profundidades indefinidas.

9.1.3.3.5 Calibrado de Datos

Para el rea del mediterrneo, adems de los datos originales, se dispone de un

conjunto de datos calibrados. En dicho conjunto los valores de Altura Significante y

de Periodo Medio se han calibrado a partir de datos procedentes de Boyas.

Los parmetros de correccin, se estiman de modo que sea mnima la distancia

entre la distribucin de probabilidad de los datos instrumentales y la distribucin de

probabilidad de los datos modelados. Para cada nodo, la Altura Significante y el

Periodo de Pico se corrigen segn una expresin del tipo:

[30]


76

En la ecuacin [30] Hsc es la Altura Significante corregida y Hso la Altura Significante

generada por el modelo. Los parmetros a y b son factores de calibracin

especficos para cada nodo de malla.

9.1.3.3.6 Parmetros Disponibles

Puertos del Estado puede suministrar los siguientes datos:

Nivel del Mar

o Residuo de Nivel del Mar (Marea Meteorolgica)

Oleaje

o Altura significante espectral

o Periodo de pico espectral

o Periodo medio espectral (momentos 0 y 2)

o Direccin Media de Procedencia del Oleaje

o Altura, Periodo Medio, y Direccin de Mar de Viento

o Altura, Periodo Medio, Direccin de Mar de Fondo

Oleaje Calibrado

o Altura significante calibrada

o Periodo medio calibrado

Viento

o Velocidad media

o Direccin medida de Procedencia del Viento


77

9.2 La ROM 0.3

9.2.1 El programa ROM6

El Programa ROM se inici en 1987 por orden del Director General de Puertos y

Costas del Ministerio de Obras Pblicas y Urbanismo, mediante la constitucin de

una Comisin Tcnica con el mandato de redactar un conjunto de

Recomendaciones, o Normas Tcnicas, que reunieran la tecnologa ms avanzada

en el campo de la ingeniera martima y portuaria y que se constituyeran en

instrumento tcnico para proyectistas, constructores y administraciones portuarias,

facilitando a todos el acceso a la informacin especializada, la disponibilidad de un

conjunto ordenado de criterios que contribuyan a la optimizacin de sus actuaciones

profesionales e institucionales, el progresivo desarrollo del prestigio internacional de

la tecnologa portuaria espaola y asimismo a fomentar la exportacin de dicha

tecnologa.

El Organismo Pblico Puertos del Estado, como organismo que asumi

esencialmente las competencias y obligaciones de la extinta Direccin General de

Puertos, asumi asimismo, desde su creacin en el ao 1992, la continuidad en el

desarrollo, ininterrumpido hasta la fecha, de las citadas Recomendaciones de Obras

Martimas (ROM), impulsando para ello en todo momento las posibles frmulas

diversas de colaboracin disponibles para una sucesiva incorporacin de cuantas

nuevas instituciones pblicas y empresas privadas pudiesen contribuir al

enriquecimiento o a la potenciacin de todo el Programa.

Habindose aprobado por Puertos del Estado ltimamente la realizacin del

"Programa ROM 2001-2003", se considera preciso definir para el mismo una nuevo

marco general permanente, al objeto de garantizar simultneamente la mayor

agilidad, rigor, calidad, transparencia y seguridad en todo el proceso. En particular,

6 Los datos introductorios sobre el programa ROM se han tomado de Fuente especificada no vlida.


78

ello ha de permitir reforzar la actual participacin de entidades pblicas y privadas de

todos los sectores cuya experiencia cientfico-tcnica es de inters para el Programa

de Recomendaciones de Obras Martimas.

9.2.2 La recomendacin ROM 0.3

La recomendacin ROM 0.3 se refiere al clima martimo en la costa espaola. En la

actualidad se est redactando una nueva versin, denominada Oscilaciones del

mar, a cuyo grupo de trabajo pertenece el autor del presente libro.

Dado que esta versin an no ha visto la luz, se hablar aqu del documento

existente en la actualidad, y que, junto con el banco de datos oceanogrficos de

Puertos del Estado, constituye una gran ayuda para la descripcin del clima

martimo en nuestro litoral.

La ROM 0.3-91, en su versin actual es realmente, y como su subttulo indica, un

atlas de clima martimo del litoral espaol, que pasar a ser, una vez actualizado, un

anejo de la nueva ROM 0.3.

Rene toda la Informacin y criterios necesarios para la caracterizacin y previsin

aproximada del Clima Martimo en el litoral espaol y por tanto para la determinacin

de oleajes de proyecto en aguas profundas a lo largo de prcticamente toda la costa

espaola, tanto para condiciones extremas como para condiciones normales de

operacin. Asimismo permite establecer el espectro de clculo del oleaje para

condiciones extremas en dicho mbito geogrfico.

9.2.3 Estructura

Se divide en dos partes bien diferenciadas:

Parte 1. General. Incluye todos los aspectos generales necesarios para la

correcta aplicacin y comprensin del documento: mbito de aplicacin,


79

descripcin general de su contenido, definiciones, unidades utilizadas.

notaciones y simbologa y documentacin de referencia

Parte 2. Clima Martimo en el Litoral Espaol. Establece, a los efectos de

caracterizacin del clima martimo, una zonificacin del litoral espaol en 10

reas diferenciadas definidas en base a caractersticas climticas

homogneas, a la configuracin de la costa y al emplazamiento de la

informacin instrumental disponible.

9.2.4 Tipos de datos

Los datos que utiliza la ROM 0.3 son de dos tipos: visuales e instrumentales. Los

datos visuales proceden del National Climatic Data Center, de Asheville (Carolina del

Norte, EE.UU.), organismo dependiente de la NOAA. Los datos instrumentales

proceden de las boyas de la REMRO, propiedad de Puertos del Estado.

9.2.5 Informacin

En la figura 48 se muestran las diez reas en que se divide el litoral espaol. En

cada una de estas reas se proporcionan los datos precisos para escoger los

estados del mar necesarios para un clculo concreto.


80

figura 48 .- reas en que la ROM divide el litoral espaol

En la figura 49 se ubican las fuentes de datos instrumentales empleadas para la

confeccin de la edicin actualmente en vigor de la ROM 0.3.


81

figura 49 .- Ubicacin de las fuentes de datos instrumentales

La figura 50 y la figura 51 muestran un ejemplo de la informacin procesada e

incluida en el Atlas. Estas figuras muestran los resultados obtenidos para el rea I.


82

figura 50 .- Informacin proporcionada en el Atlas de Oleaje de la ROM 0.3 /1


83

figura 51 .- Informacin proporcionada en el Atlas de Oleaje de la ROM 0.3 /2


84

10 RESACAS EN DRSENAS

Los fenmenos de resonancia son provocados por la incidencia de ondas de baja

frecuencia (de largo periodo, del orden de minutos), con longitudes de onda

comparables a las dimensiones de la drsena; en estos casos es posible que la

energa incidente a travs de la bocana no salga en su totalidad y se produzca una

acumulacin de energa en el interior con la consiguiente amplificacin de las

oscilaciones inducidas por las ondas. El fenmeno de resonancia se produce cuando

las frecuencias de excitacin de las ondas coinciden con las frecuencias de

oscilacin propias de la drsena. Un ejemplo cotidiano se muestra en la figura 52.

Para dimensiones tpicas

Apuntes de Oleaje

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