Apuntes de Metodos Estadisticos Unprg 2014 II

Apuntes de clase METODOS ESTADISTICOS CICLO2014 II

1

PRUEBA DE HIPOTESIS

HIPTESIS

a

PRUEBA DE HIPTESIS

PROCEDIMIENTO PARA PROBAR UNA HIPTESIS:

1.- Plantear la hiptesis nula y la hiptesis alternativa .

Hiptesis nula .- Hiptesis planteada con el objetivo de ser probada. Podemos

aceptarla o rechazarla. Tal hiptesis es una afirmacin que se aceptar si los datos

muestrales no pueden proporcionar evidencia convincente que es falsa.

Hiptesis alternativa .- Denominada tambin hiptesis de investigacin.

Afirmacin que se aceptar si los datos muestrales proporcionaron amplia

evidencia de que es falsa

2.- Seleccionar el nivel de significancia.- Nivel de significancia es la probabilidad de

rechazar la hiptesis nula cuando es verdadera. Al nivel de significacin se le

denomina , tambin se le conoce con el nombre de nivel de riesgo. Tambin se le

conoce como nivel de significacin.

Generalmente se usa el nivel del 5% para proyectos de investigacin, 1% para el

aseguramiento de calidades y 10% para encuestas polticas.

En el proceso de probar una hiptesis podemos cometer dos tipos de errores: error

del tipo I usualmente denotado por la letra griega alfa () mientras que la

probabilidad de cometer el error tipo II est representada por la letra griega beta (

)

Error tipo I () es rechazar la hiptesis nula ( cuando en realidad es verdadera.

Error tipo II ( es aceptar la hiptesis nula ( cuando en realidad es falsa

Es el enunciado acerca de una poblacin, elaborado con el propsito de ponerlo a aprueba

Procedimiento basado en la evidencia muestral y la teora de probabilidad que se emplea para determinar

si la hiptesis es un enunciado razonable.


2

Poblacin

es verdadera

rechaza Ho

Ho

es falsa

Ho Muestra Se acepta Decisin Correcta

Error Tipo II

Se rechaza Error Tipo I Decisin correcta

3.-Calcular el valor estadstico de prueba.- Existen muchos valores estadsticos de

prueba: z, t, chi cuadrado, F, etc.

Es el valor obtenido a partir de la informacin muestral que se utiliza para

determinar si se rechaza la hiptesis nula.

Valor estadstico de la prueba.- Valor obtenido a partir de la informacin muestral

que se utiliza para determinar si se rechaza la hiptesis nula. En la prueba de

hiptesis para la media () el valor estadstico de prueba Z t se determinan a

partir de:

Z

o t

4.- Formular la regla de decisin.- Es un enunciado de las condiciones segn las que se

acepta o se rechaza la hiptesis nula.


3

Valor crtico es el valor que es el punto divisorio entre la regin de aceptacin y la

regin de rechazo de la hiptesis nula

5.-Toma de decisin.- Es aceptar o rechazar la hiptesis nula.

POTENCIA DE UNA PRUEBA.- Es la probabilidad de tomar la decisin acertada de

rechazar cuando esta es falsa o de aceptar cuando esta es verdadera. La

potencia de una prueba se calcula mediante 1 .

PRUEBA PARA LA MEDIA DE LA POBLACIN: MUESTRA GRANDE

PRUEBA DE HIPTESIS CON MUESTRAS GRANDES ( n30) RESPECTO A UNA MEDIA

DE POBLACIN PARA UNA PRUEBA DE DOS COLAS (BILATERAL) DE LA FORMA:

Ho: =

Ha:

Estadstico de prueba: conocida

Z=

Estadstico de prueba: desconocida:

Z

Regla de rechazo a un nivel de significancia :

Rechazar si Z Z Z Z


4

Ejemplo

Se desea probar si una nueva tcnica de siembra en vivero produce diferencias en la

longitud de plantines de algarrobo, luego de tres meses de realizada la siembra. Bajo la

tcnica tradicional, las plantas alcanzan una altura promedio de 15 cm, con una

desviacin estndar de 3 cm. El ensayo consisti en evaluar 16 plantines de algarrobo

al cabo de tres meses de sembrado con la nueva tcnica, obtenindose un promedio

de altura de 17 cm. Con =0,05 realizar la prueba de hiptesis correspondiente.

Solucin

Ho: = 15

Ha: 15

El valor estadstico de la prueba es:

Z=

Z=

=

= 2,66

Como el valor de la prueba est en la regin de rechazo, se rechaza y, por lo tanto,

se acepta

Ejemplo

La tasa anual de resurtido de botellas de aspirinas es 6.0 (esto indica que las

existencias del medicamento tienen que renovarse en promedio 6 veces al ao en un

establecimiento). La desviacin estndar es 0,50. Se sospecha que el volumen de


5

ventas promedio ha cambiado y no es 0,60. Se utilizar el nivel de significancia de 0.05

para probar esta hiptesis.

a.- Plantee la hiptesis nula y alternativa

b.- Cul es la probabilidad de un error tipo I?

c.- Proporcione la frmula para el valor estadstico de la prueba.

d.- Enuncie la regla de decisin

e.- Se selecciona una muestra aleatoria de 64 frascos de tal producto, con una media

de 5.84, Debe rechazarse la hiptesis de que la media poblacional es 0.60?

Interprete los resultados.

Solucin:

a. Ho: = 6

Ha: 6

b.- = 0,05

c.- El valor estadstico de la prueba es: Z =

d.- El valor crtico de 1.96

Si el valor del estadstico de prueba resulta mayor a 1.96 o menor a -1.96 se rechaza

la hiptesis nula

Z =

2.56

Como el valor de la prueba est en la regin de rechazo, se rechaza y, por lo tanto,

se acepta (la tasa media no es igual a 6).

Ejemplo

El supermercado local gast en una remodelacin miles de nuevos soles durante

muchas semanas. Aunque la interrupcin espant a los clientes temporalmente, el

gerente espera que los clientes vuelvan a disfrutar de las nuevas comodidades. Antes

de remodelar, los recibos de la tienda promediaban $ 32 533 por semana. Ahora que

se ha terminado la remodelacin, el gerente toma una muestra de 36 semanas para

ver si la construccin afect de alguna manera el negocio. Se report una media de

$34 166 y una desviacin estndar de $12 955 Qu puede decir el gerente a un nivel

de significancia del 1%?


6

Solucin Ho: = 32 533

Ha:

Rechazar Ho si: Z - 2.576 Z 2.576

El estadstico de la prueba: Z =

0.756

El valor de prueba est dentro de la zona de aceptacin, entonces se acepta Ho Es

decir la media es 32 533

Ejemplo

Una operacin en lnea de montaje automotriz tiene una media del tiempo de

terminacin de 2,2 minutos. Debido al efecto del tiempo de terminacin sobre las

operaciones anteriores y siguientes de ensamblaje, es importante mantener esta

norma de 2,2 minutos. Una muestra aleatoria de 45 tiempos da como resultado una

media del tiempo de 2,39 minutos con una desviacin estndar de 0,20 minutos.

Emplee un nivel de significacin de 0,02 y pruebe si la operacin cumple con la norma

de 2,2 minutos.

PRUEBA DE HIPTESIS CON MUESTRAS GRANDES (n 30) RESPECTO A UNA MEDIA

POBLACIONAL PARA PRUEBAS DE UNA COLA (UNILATERAL) DE LA FORMA

Ho:

Ha: o


Z =


7


Z =

Regla de rechazo a un nivel de significacin

Rechazar si Z Z

Ejemplo

La produccin media de trigo por hectrea en una regin es de 2200 Kg con una

desviacin estndar 450Kg Se desea establecer si la aplicacin de fertilizantes

modifica el rendimiento medio de trigo. Para lo cual se elige 20 has (una en cada

chacra de la regin) y se encontr que el rendimiento promedio fue de 2650 Kg .Con

= 0,05 que se puede concluir.

Ho: 2200 Kg

Ha: 2200 Kg

Z =

=

= 4,47

En la tablas el valor de Z= 1,645

Como 4,47 es mayor que 1,645 se rechaza Ho.

Luego se concluye que la produccin media de trigo por Ha con fertilizacin, en la

regin, es significativamente mayor que 2200 Kg.


8

PRUEBA DE HIPTESIS CON MUESTRAS GRANDES (n 30) RESPECTO A UNA MEDIA

POBLACIONAL PARA PRUEBAS DE UNA COLA (UNILATERAL) DE LA FORMA

H0: o

Ha: o


Z =


Z=


Rechazar si Z - Z

Ejemplo.-

Una encuesta nacional reciente, encontr que estudiantes de la Universidad miraban

un promedio de 6.8 DVD por mes. Una muestra aleatoria de 36 estudiantes

universitarios de la facultad de Agronoma, revel que el nmero medio de DVD

observado el mes pasado fue de 6.2, con una desviacin estndar de 0.5. En el nivel de

significancia de 0.05. Puede concluirse que los estudiantes de la facultad de

Agronoma ven menos DVD al mes que los de la Universidad?

H0: 6.8

Ha: 6.8

Regla de la decisin

Rechazar si Z - 1.645


9

Valor de la prueba

Z =

7.2

Como el valor de la prueba est en la zona de rechazo se concluye rechazando la

hiptesis nula, esto es, que los estudiantes de la facultad de Agronoma ven menos

DVD, en promedio, que los estudiantes de la Universidad.

Ejemplo

El gerente de una compaa manufacturera grande estima que la edad media de sus

empleados es 22,8. El tesorero de la firma necesita una cifra de la edad media de los

empleados ms exacta a fin de estimar el costo de una prestacin por antigedad que

se considera para los empleados. El tesorero toma una muestra de 70 trabajadores y

observa que la edad media de los empleados muestreados es 26,2 aos con una

desviacin estndar de 4,6 aos. En el nivel de significacin de 0,01 Qu puede

concluir el tesorero acerca de la exactitud de la estimacin del gerente de produccin?

Ejemplo

La oficina de anlisis econmico, del Departamento de Comercio inform que la media

del ingreso anual de un residente de la ciudad de Piura es de $ 18 688 nuevos soles.

Un investigador de la ciudad de Piura desea probar = $18 688 y $ 18 688,

siendo la media del ingreso anual de un residente de la ciudad de Piura Cul es la

conclusin de la prueba de hiptesis si en una muestra de 400 residentes de la ciudad

de Piura se obtiene una media del ingreso anual de 16 860 nuevos soles y una

desviacin estndar de 14 624 nuevos soles? Emplee un nivel de significacin de 0,05.

PRUEBAS RESPECTO A LA PROPORCIN POBLACIONAL.

La prueba de hiptesis sobre proporciones se usa cuando queremos determinar si la

proporcin de los elementos en una poblacin, que tiene cierta caracterstica, es

mayor, igual o menor que algn valor especifico.

Relacin proporcional:

Es la relacin por cociente, o porcin relativa, que tiene un atributo particular de

inters.

Antes de probar una relacin proporcional debemos considerar algunos supuestos y

cumplirse algunas condiciones:

- Los datos muestrales recopilados son el resultado de conteo


10

- El resultado de un experimento se clasifica como xito o fracaso

- La probabilidad de xito se mantiene igual en cada ensayo

- Los ensayos son independientes

- La prueba es adecuada cuando n y n( 1- ) valen al menos 5

El valor estadstico de prueba Z viene dado por:

Z =

Donde:

= Relacin proporcional poblacional

= Relacin proporcional muestral

n = Tamao de muestra

PRUEBA PARA LA PROPORCIN POBLACIONAL

PRUEBA DE HIPTESIS RESPECTO A UNA PROPORCIN POBLACIONAL PARA

PRUEBAS DE UNA COLA (UNILATERAL) DE LA FORMA:

El estadstico de la prueba

Z


Ejemplo

Una investigacin en la Universidad de Toledo indica que el 50% de los estudiantes

cambian su rea principal de especializacin despus del primer ao en el programa de

estudios. Una muestra de 100 alumnos en la escuela de Administracin revel que 48

de ellos cambi de dicha rea despus del lapso mencionado. Ha habido un

decremento significativo en la proporcin de estudiantes que cambian su rea de


11

especializacin despus del primer ao en el programa? Realice la prueba al nivel de

significancia de 0.05.

n 100 0.48 0.05

Regla de decisin

Rechazar si Z - 1.645

El estadstico de la prueba

Z

- 0.4

Como Z - 0.4, entonces se acepta , es decir, la proporcin de estudiantes que

cambian de carrera despus del primer ao no ha tenido un decremento significativo.

Ejemplo

El servicio de Inmigracin y Naturalizacin inform que el 79% de los extranjeros que

visitaron los Estados Unidos en el 2005 dijeron que el objetivo principal de su visita era

disfrutar de sus vacaciones. Suponga que, como estudio de seguimiento en el 2012, se

selecciona una muestra de 500 visitantes extranjeros, y que 390 de ellos dijeron que el

motivo principal de su visita a Estados Unidos era disfrutar sus vacaciones. Es menor

la poblacin de visitantes extranjeros en el 2012? Respalde su conclusin con una

prueba estadstica que use el nivel de significacin de 0,05.

PRUEBA DE HIPTESIS RESPECTO A UNA PROPORCIN POBLACIONAL PARA PRUEBA

DE UNA COLA (UNILATERAL) DE LA FORMA:


12

Estadstico de prueba

Z

Rechazar si Z Z

Ejemplo

Un artculo en la publicacin Piura 21 report que solo hay un empleo disponible para

uno de cada tres egresados de la Universidad. Las principales razones aportadas fueron

que existe una sobrepoblacin de estos ltimos y una economa dbil. Suponga que

una encuesta de 200 egresados recientes de la Universidad de Jan revel que 80

tenan empleo. Al nivel de significancia de 0.02, Se puede concluir que tienen trabajo

una proporcin mayor de egresados de la Universidad de Jan?

n 200 0,02

Regla de la decisin.

Rechazar si Z 2,054

Valor de la prueba:

Z 2


13

Se acepta por lo tanto, la proporcin de egresados que tienen trabajo es menor o

igual a

Ejemplo

Un restaurante de comida rpida planea una oferta especial que permita a sus clientes

comprar vasos de diseo especial con conocidos personajes de caricaturas. Si ms del

15% de los clientes compran estos vasos, se implementar la promocin. En una

prueba preliminar en varios locales, 88 de 500 clientes los compraron. Se debe

implantar la promocin especial? Lleve a cabo una prueba de hiptesis que apoye su

decisin. Use un nivel de significacin de 0,01 Cul es su recomendacin?

PRUEBA DE HIPTESIS RESPECTO A UNA POBLACIN POBLACIONAL PARA PRUEBAS

DE DOS COLAS (BILATERAL) DE LA FORMA:

Ho: P = Po

Ha: P Po


Z =

Regla de rechazo a un nivel de significancia

Rechazar si

Ejemplo

Se establece la siguiente hiptesis:

: P = 0.4

: P

Una muestra de 120 observaciones revel al nivel de significacin de 0.05

Puede rechazarse la hiptesis nula?

a,. Establezca la regla de decisin.

b.- Calcule el valor estadstico de la prueba.


14

c.- Cul es su decisin respecto a la hiptesis nula?

Solucin

a.- Regla de decisin

Rechazar si Z -1,96 Z 1.96

b.- Valor de prueba

Z = -2.24

c.- Se rechaza , pues el estadstico de prueba cae en la zona de rechazo.

PRUEBA DE HIPTESIS CON MUESTRAS GRANDES (n 30) RESPECTO A DOS MEDIAS

POBLACIONALES

PRUEBA DE HIPTESIS CON MUESTRAS GRANDES (n 30) RESPECTO A DOS MEDIAS

POBLACIONALES PARA UNA PRUEBA DE DOS COLAS (BILATERAL) DE LA FORMA

:

:


Conocida desconocida

Z=

Z=

Donde:

Tamao de muestra

Media muestral

Variancia poblacional

Poblacin 1

Poblacin 2


15

Regla de rechazo a nivel de significancia Z

Z

Ejemplo

Una importante compaa de transporte pblico de Chiclayo debe decidir entre dos

marcas de llantas para su parque automotor, con un nivel de confianza del 95%. Para

tomar una decisin seleccion una muestra aleatoria de 100 llantas de cada marca y

encontr que la marca 1 tiene una vida til de 98 000 Km, en promedio, con una

desviacin estndar de 8 000 Km.

Por otro lado, las estadsticas calculadas para la marca 2 son, en promedio, de 101 000

Km y desviacin estndar de 12 000 Km

Qu marca de llantas debera adquirir la compaa de transporte si la diferencia de

precios es mnima?

Solucin

:

= 98 000 = 8 000 =100

= 101 000 = 12 000 = 100

Regla de decisin

Rechazar si: Z Z

Valor de la prueba


16

Z =

=

= - 2.08

Como -2.08 est en la zona de rechazo, se rechaza a un nivel de significancia del

5%. Esto es, existe diferencia significativa entre la vida til promedio de ambas marcas.

Sin embargo, no hemos contestado a nuestra pregunta inicial de qu marca de llantas

se debe adquirir. Realizamos una nueva prueba de hiptesis suponiendo que la vida

til media de la marca 2 es mayor que la de la marca 1. Para lo cual establecemos la

prueba de hiptesis para una cola

PRUEBA DE HIPTESIS CON MUESTRAS GRANDES (n RESPECTO A DOS MEDIAS

POBLACIONALES PARA UNA PRUEBA DE 1 COLA DE LA FORMA:

Pruebas de hiptesis:

: : 0

: : 0



Z= -

Z -

Regla de rechazo a un nivel de significancia

Rechazar si Z -

PRUEBA DE HIPTESIS CON MUESTRAS GRANDES (n RESPECTO A DOS MEDIAS

POBLACIONALES PARA UNA PRUEBA DE 1 COLA DE LA FORMA:

: : 0

: : 0


17



Z

Z


Rechazar si Z

Del ejercicio anterior, para decidir qu marca comprar, realizamos una nueva prueba

de hiptesis suponiendo que la vida til promedio de la llanta de marca 2 es mayor

que la vida til promedio de la marca 1, esto es:

:

:

Usando los mismos datos anteriores tenemos

Con los datos mostrados se calcula Z

Z -

=

= - 2.08


18

Como 2.08 est en la zona de rechazo tenemos que la marca 2 tiene mayor vida til

promedio que la marca 1.Por lo tanto, la compaa de transporte debe abastecerse de

la marca 2

PRUEBA DE HIPTESIS CON MUESTRAS GRANDES (n PARA LA DIFERENCIA

ENTRE DOS PROPORCIONES:

La prueba de hiptesis para la diferencia entre dos proporciones se realiza cuando

queremos determinar si las proporciones de dos poblaciones son o no iguales. La

lgica del procedimiento es idntica para la diferencia de las medias poblacionales.

Tomamos una muestra aleatoria de cada poblacin y calculamos las proporciones

muestrales; si la diferencia entre estas proporciones se puede atribuir al azar,

aceptamos la hiptesis de que las dos poblaciones tienen igual proporciones.

Valor estadstico de prueba.

Z=

Tamao de muestra

Proporcin muestral

Proporcin ponderada

Poblacin 1

Poblacin 2

=

=

Alternativamente

Ejemplo

El departamento de investigacin en la casa Matriz de una compaa aseguradora,

realiza una investigacin acera de las causas de accidentes automovilsticos, las

caractersticas de los conductores, etc. Se seleccion una muestra aleatoria de 400

plizas de seguros expedidas a personas solteras. Se descubri que en el periodo

anterior de tres aos, 120 sufrieron al menos un accidente automovilstico. En forma

semejante, una muestra de 600 plizas expedidas a personas casadas revel que 150

haban tenido al menos un accidente. Al nivel de significancia de 0.05, Hay diferencia


19

significativa en las personas solteras y casadas que sufrieron un accidente durante un lapso de

tres aos?

Solucin

400 600

= 0.30

= 0.25

:

:

Regla de decisin

Rechazar si: Z Z

Valor de la prueba

Z=

=

=

= 0.27

Z=

= 1.74

Como 1.74 est en la regin de aceptacin se acepta , no hay

diferencia significativa entre las proporciones de personas solteras y casadas que

sufrieron un accidente durante un lapso de tres aos.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA MUESTRAS PEQUEAS

En los casos en los que se desconoce y el nmero de observaciones en la muestra es

menor a 30, se puede utilizar la desviacin estndar muestral, s, como una estimacin

de , pero no puede utilizar la distribucin de Z como valor estadstico de prueba. La t

de Student o distribucin t, sirve como valor estadstico de prueba.

PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL

Se utiliza el mismo procedimiento que en el caso de la muestra grande pero el valor

estadstico de prueba es el siguiente:


20

=

Ejemplo

Por registros pasados se sabe que la vida til promedio de una pila elctrica que se

utiliza en un reloj digital es de 305 das. La vida til de las pilas se distribuye

normalmente. Tal elemento elctrico fue modificado recientemente para que tenga

mayor duracin. Se prob una muestra de 20 pilas modificadas y se encontr que la

vida media era de 311 das con una desviacin estndar de la muestra de 12 das. Al

nivel de significancia de 0.05. La modificacin increment la duracin promedio de la

pila?

a.- Plantear la hiptesis nula y alternativa.

b.- Ilustrar grficamente la regla de decisin.

c.- Calcular t y llegar a una decisin. Resuma la manera breve el resultado.

Solucin:

Grados de libertad (g.l.): 20 1 = 19

Regla de decisin:

Rechazar si t

Valor de prueba:

t =

= 2.24

Por lo tanto se rechaza porque 2.24 est en la zona de rechazo.


21

PRUEBA DE DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS ALEATORIAS

INDEPENDIENTES

Caso I

Cuando y son ambas pequeas y se desconoce las varianza poblacionales se

tiene:

Valor de prueba

t

t con grados de libertad:

Donde:

Grados de libertad: 2

Observacin

Las varianzas son desconocidas, pero iguales:

Donde es un estimador insesgado de

Ejemplo:

Una muestra de calificaciones en un examen presentado en un curso de Estadstica (en

escala 100) es:

Hombres 72 69 98 66 85 76 79 80 77 Mujeres 87 90 78 81 80 76

Al nivel de significancia de 0.01, La calificacin de las mujeres es ms alta que la

calificacin de los hombres?

Solucin:

:

:

Tamao de muestra

Media muestral

Variancia ponderada

Poblacin 1

Poblacin 2


22

H M

78 82 S 9,49 5,40

n 9 6

Regla de decisin:

Rechazar si t

Valor de la prueba

t

= 66.6153

t

= 0.10

Se acepta porque 0.42 est en la zona de aceptacin. Por lo tanto, no se puede

afirmar que la calificacin de las mujeres es ms alta que la calificacin de los

hombres.

b.. Caso II:

Cuando

Variancias poblacionales desconocidas pero diferentes

Las hiptesis son las mismas, pero la prueba estadstica ser:

Los grados de libertad se calculan de la siguiente manera:


23

g.l. [

]

[

]

[

]

Los dems pasos son los mismos

PRUEBA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES: UNA PRUEBA DE

DIFERENCIA PAREADA

< 30

Variancias poblacionales desconocidas pero iguales

1.-Hiptesis nula: Ho: (12) = d = 0

2.- Hiptesis alternativa:

Prueba de una cola Prueba de dos colas

Ha: d> 0 Ha: d 0

Ha: d < 0 3.- Estadstico de prueba:

t =

=

= 1 2

4.- Regin de rechazo: Rechazar Ho cuando

Prueba de una cola Prueba de dos colas

t > t t> t t

Ejemplo.-

Antes de contratar la instalacin de un sistema que trasmita msica a las oficinas de

una empresa, el gerente selecciona al azar 7 oficinas para instalarles el nuevo sistema.

El tiempo promedio en minutos que pasaban los empleados fuera de esas oficinas, fue

registrado antes y despus de instalarse el sistema de msica, obtenindose los

siguientes resultados


24

Sugerira Ud. que el ejecutivo proceda con la instalacin? = 0.05

Solucin

Ho: d = 0

Ha: d > 0

No msica

Con msica

d 8 5 3

9 6 3

5 7 2 6 5 1 5 6 1

10 7 3

7 8 1

=7,14 =6,28 =0,85 =2,6457

t =

=

=

= 1,025

En las tablas 1,943

Conclusin: No hay una evidencia estadstica para afirmar que con la instalacin de la

msica en las oficinas, los empleados pasaran ms tiempo en estas.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA VARIANZA

Hay casos que se tiene el problema de desconocer la varianza, o desviacin estndar

de la poblacin, en donde las distribuciones son normales. Si se desea probar una

hiptesis acerca de la varianza se puede hacer utilizando la distribucin de Ji cuadrada

(Chi cuadrada). As mismo, supngase que se tiene inters en dos poblaciones

normales independientes, donde las medias y las varianzas de la poblacin son

desconocidas. Se desea probar la igualdad de las dos varianzas, ya que para poder

comparar las medias de estas dos poblaciones se ha utilizado la distribucin de t de

Student, en la cual podemos tener varianzas iguales o diferentes en la poblacin.

Nmero de oficina 1 2 3 4 5 6 7

No msica 8 9 5 6 5 10 7

Con msica 5 6 7 5 6 7 8


25

Par conocer esto ltimo se requiere de la distribucin F de Fisher, y despus de

utilizarla se tomar la decisin de tener o no varianzas iguales en la poblacin, dando

pie a realizar la comparacin de las dos medias segn sea el caso. En un primer caso en

el que las varianzas de la poblacin son desconocidas, pero iguales, o en un segundo

caso, donde se tiene varianzas desconocidas, pero diferentes

DISTRIBUCION CHI CUADRADO

La distribucin de Chi cuadrado tiene muchas aplicaciones especialmente en las

ciencias sociales y biolgicas, en donde se estudia una conducta (lo esperado) en

funcin de una respuesta (lo observado). Si el conjunto de valores observados sigue el

mismo comportamiento de lo esperado entonces, estadsticamente, se acepta la

hiptesis que lo observado sigue el comportamiento de lo esperado.

Esta metodologa puede ser utilizada para una prueba de :

- Frecuencia y bondad de ajuste

- Independencia entre variable

- Homogeneidad de muestras

- Homogeneidad de variancia.

Casos de frecuencia y bondad de ajuste, probar estadsticamente:

- La relacin de ingresantes a la UNPRG de colegios particulares a nacionales es

de 2 a 1

- El nmero de accidentes que ocurre en un determinado lugar sigue una ley de

Poisson

- El nmero de tubrculos daados en planta siguen una ley de Poisson

- El nmero de artculos defectuosos en caja de 10 , sigue una ley Binomial

- El nmero de plantas germinadas de paquetes de 10 semillas sigue una ley

Binomial

Casos de independencia

- Preferencias a ciertos productos y localidades

- Procedencia de colegio nacional y privado y el rendimiento en la universidad

- El nivel de pobreza y estudio en la zona rural y urbana

Casos de homogeneidad de muestra

- La distribucin de consumo de tipo de carne en distritos de la provincia de

Chiclayo

- La preferencia o popularidad de candidatos por distritos

- La distribucin de estudiantes por lugar de procedencia en las universidades del

Depto. De Lambayeque.


26

La distribucin Chi Cuadrado permite resolver tal inferencia, bajo el supuesto que la

variable aleatoria w est definida:

Donde:

- Frecuencia observada en una clase o categora

- Frecuencia esperada en la misma clase o categora

- Distribucin de chi cuadrado, con cierto grado de libertad

Cuando el nmero de grados de libertad es igual a 1, se utiliza la correccin de Yates

(correccin por continuidad)

| |

Pero cuando los datos son mayores de 50 se puede, obviar la correccin.

Prueba de frecuencias

Es til en el estudio de la distribucin de frecuencias de una variable. El nmero de

clases o categoras debe ser al menos 2, lo suficiente como para no tener frecuencias

menores de 5%. Muchas o pocas categoras, dispersan o concentran la frecuencia en

las categoras.

Para la prueba estadstica de frecuencia se requiere hallar los grados de libertad.

Para el caso de frecuencias, los grados de libertad es igual a K 1, donde K es el

nmero de clases o categoras.

Ejemplo

4 candidatos, postulan a la Presidencia de la Republica. Segn los sondeos se tiene la

siguiente distribucin:

- Candidato A = 34%

- Candidato B = 28%

- Candidato C = 14%

- Candidato D =8 %

- Otros = 16%

El estudio se realiz encuestando a 120 personas, donde el resultado de las

preferencias fue:

A = 45 B = 30 C =18 D= 6 y otros =21

Se pregunta si la preferencia de los candidatos ser igual para todos. = 0,10


27

Solucin:

Ho: La preferencia de los candidatos se mantiene

Ha: No hay cambios en la preferencia

= 0.10

Candidato Datos observados

Datos esperados

% Terico

A 45 120x0,34=40,8 34

B 30 120x0,28=33,6 28

C 18 120x0,14=16,8 14

D 6 120x0,08=9,6 8

Otros 21 120=0,16=19,2 16

Total 120 12,0 100

=

= 2,4225

El valor critico se busca en la tabla de Chi cuadrado, con k- 1 grados de libertad y con

un nivel de significancia

En las tablas con 4 g.l. y = 0,10 es igual 7,77

El valor calculado es inferior al tabular, por lo tanto se acepta la hiptesis que las

frecuencias se mantienen (Hiptesis nula).

Ejemplo en proporciones

Las frecuencias esperadas de un cruce gentico entre la prole estn en una proporcin

fenotipo de 3:1 de normal a mutante. Las frecuencias observadas fueron:

Fenotipo Datos Observados

Normal 80

Mutante 10

Total 90

Realice la prueba estadstica para la prueba de la proporcin planteada.

Solucin

Ho. La proporcin fenotipo normal y mutuante es de 3:1

Ha: La proporcin no es 3:1

= 0.10

Calculemos las frecuencias esperadas


28

Fenotipo Datos observados

Datos esperados

Normal 80 90x 67,5

Mutante 10 90x 22,5

Total 90 90

Los grados de libertad es igual a 1, no es necesario la correccin de Yates porque la

muestra es mayor a 50.

El valor de Chi cuadrado ser:

El valor crtico para se busca con gl= 1 y = 0,10 ser 2,705

Se observa que el valor calculado es mayor que el tabular, entonces se rechaza la

hiptesis nula o planteada, por lo cual se concluye que no hay suficiente razn

estadstica para tal afirmacin sobre la proporcin planteada.

Aplicacin de Yates (caso de dos categoras y total de observaciones menor a 50).

Una moneda supuestamente balanceada, se somete a una prueba para certificar si es

correcta para ser utilizada en una determinada investigacin, razn por la cual se lanza

25 veces, obtenindose como resultado: Cara 10 veces, sello 15 sello. Con estos

resultados Podemos aceptar la hiptesis?

Ho: Moneda correctamente balanceada

Ha: Moneda no es balanceada

= 0,10

Resultado Datos observado

Datos esperados

Cara 10 25 x 0,50 = 12,5

Sello 15 25 x 0,50 = 12,5

25

| |

| |

| |

El valor de en las tablas para 1 g.l. y = 0,10 es igual a 2,7055


29

Por lo tanto se acepta la hiptesis Ho, que dice que la moneda es balanceada.

PRUEBA DE INDEPENDENCIA TABLAS DE CONTIGENCIA

Las pruebas aplicadas a cuadros de contingencia, algunos la denominan tambin como

dcimas de independencia. Sin embargo, permiten la realizacin de pruebas de

homogeneidad. Un cuadro de contingencia, es un arreglo en el cual un conjunto de

observaciones se dispone conforme a dos criterios de clasificacin, uno de los cuales se

expresa en columnas y el otro en renglones. Si cada uno de los criterios admite dos

clasificaciones, se obtiene una tabla de contingencia de 2 x 2. Si el primer admite tres

clasificaciones y el segundo criterio 4, se denominar como tabla 3 x 4. Si

designamos las columnas por K y los renglones por J, se tendr una tabla de K x J

Los grados de libertad sern iguales a v=(K 1)(J 1), as en una tabla de 2 x 2, el

valor de v ser igual a 1, o sea v= (2 1)(2 -1); y en la tabla de 3x 4 ser: v= (3 - 1)(4-

)=6.

Cuando el nmero de grados de libertad es igual a 1, se utiliza la correccin de Yates

(correccin por continuidad)

| |

Pero cuando los datos son mayores de 50 se puede, obviar la correccin.

Ejemplo:

En un consultorio se trat a un grupo de personas que se quejaban de insomnio,

dndole a unas pastillas para dormir y a otras pastillas de azcar (que hacan creer que

eran para dormir). Despus de someterlos a observacin, se obtuvo el siguiente

resultado.

Tratamiento Durmieron No durmieron

Total

Pastillas para dormir 35 5 40

Pastillas de azcar 45 15 60

Total 80 20 100

Pruebe a nivel del 5% que no existe diferencia

Solucin:

Ho: No existe diferencia entre los tipos de pastillas

Ha: Si existe diferencia entre los dos tipos de pastillas

Calcular los datos esperados


30

Tratamiento Durmieron No durmieron Total

Pastillas para dormir

= 32

= 8 40

Pastillas de azcar

= 48

= 12 60

Total 80 20 100

=

= 2,3437

Buscamos en las tablas , con (2 1) (2 1)= 1

Se acepta la hiptesis nula, la diferencia no es significativa.

Ejemplo

Una asociacin de profesores universitarios quiere determinar si la clasificacin en el

trabajo es independiente de la categora acadmica. Para ello se realiz un estudio

nacional entre los acadmicos universitarios y encontr los resultados que se

muestran a continuacin, Con al 0.05 haga una prueba para saber si son

dependientes la satisfaccin en el trabajo y la categora acadmica

Categora Profesor

Asistente

Profesor

auxiliar

Profesor

asociado

Profesor

principal

Satisfaccin Mucha 40 60 52 63

En el Regular 78 87 82 88

trabajo Poca 57 63 66 64 .

Solucin

Planteamiento de las hiptesis

La satisfaccin en el trabajo y la categora acadmica son independientes

La satisfaccin en el trabajo y la categora acadmica no son independientes

Grados de libertad: (r 1) (c 1) = (3 -1) (4 -1) = 6


31

Regla de decisin

Rechazar 12.59

Se procede a calcular los valores esperados de cada celda:

Donde: i= fila j = columna

Se toma en cuenta los totales del rengln y la columna

categora

Profesor

asistente

Profesor

auxiliar

Profesor

asociado

Profesor

principal

Total

Satisfaccin

En el

trabajo

Mucha 40 60 52 63 215

Regular 78 87 82 88 335

Poca 57 63 66 64 250

Total 175 210 200 215 800

Valor de la prueba:

+

= 2.75

Como 2.75 es menor que el valor critico 12.59, por lo tanto, no se rechaza y se

concluye con un = 0.05, que la satisfaccin en el trabajo y la categora acadmica son

independes

=

= 47.03

=

= 56.44

=

= 53.75

=

= 57.78

=

= 73.28

=

= 87.94

=

= 83.75

=

= 90.03

=

= 54.69

=

= 65.62

=

= 62.50

=

= 62.50

CATEGORA

Profesor

asistente

Profesor

auxiliar

Profesor

asociado

Profesor

principal

Total

Satisfaccin Mucha 47.03 56.44 53.75 57.78 215

En el Regular 73.28 87.94 83.75 90.03 335

trabajo Poca 54.69 65.62 62.50 67.19 250

Total 175 210 200 215 800


32

PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA VARIANZA DE UN DISTRIBUCIN NORMAL

A continuacin se desarrollar el procedimiento para contrastar hiptesis sobre la

varianza poblacional , a partir de una muestra aleatoria de n observaciones de una

poblacin normal.

PRUEBA BILATERAL DE LA VARIANZA DE UNA POBLACIN

Estadstico de prueba:

=

Regla de decisin a un nivel de significancia

Rechazar si:

Ejemplo

Una manera de evaluar la eficacia de un profesor ayudante es analizar las calificaciones

obtenidas por sus estudiantes en un examen al final del curso. Evidentemente, es

interesante la puntuacin media, sin embargo, la varianza tambin contiene

informacin til; algunos profesores tienen un estilo que funciona muy bien con los

estudiantes ms sobresalientes, pero es ineficiente con los estudiantes con menos

capacidad o menos motivados. Un profesor realiza un examen al final de cada

semestre para todas las secciones del curso, la varianza de las calificaciones de este

examen suelen estar muy prximos a 300 : Un nuevo ayudante tiene una clase de 30

estudiantes, cuyas calificaciones en el examen tuvieron una varianza de 480;

considerando estas calificaciones como una muestra aleatoria de una poblacin

normal, contrastar la hiptesis nula de que la varianza poblacional de sus calificaciones

es 300 frente a una alternativa bilateral con 0.05


33

Regla de decisin

Rechazar si:

Valor de prueba

=

= 46.40

Entonces dado que 45.72, se rechaza , lo cual significa que la varianza es

diferente de 300

PRUEBA UNILATERAL DERECHA DE LA VARIANZA DE UNA POBLACIN


=


Rechazar si:

Ejemplo

Un producto, se debe maquinar determinada parte con tolerancias muy estrechas,

para que los clientes la puedan aceptar. Las especificaciones del producto piden que la

varianza mxima de las longitudes de las partes sea 0.0004. Suponga que en 30 partes,


34

la varianza de la muestra result ser 0.0005. Pruebe con un 0.05 si se ha

violado la especificacin de varianza de la poblacin


=

=

= 36.25


Regla de decisin

Rechazar si:

Entonces dado que , se acepta la Ho, lo cual significa que las

especificaciones del producto no han sido violadas.

PRUEBA UNILATERAL IZQUIERDA DE LA VARIANZA DE UNA POBLACIN



Rechazar si:


35

INFERENCIA ACERCA DE LA VARIANZA DE DOS POBLACIONES NORMALES

DISTRIBUCIN DE F

Denominada as por sir Ronald Fisher, uno de los fundadores de la ciencia estadstica

moderna. Esta distribucin se utiliza como la entidad estadstica de prueba en varios

casos, sirve para probar si dos muestras proceden de poblaciones con varianzas

iguales. Asimismo, tambin sirve cuando se desea comparar simultneamente varias

medias poblacionales, esta comparacin simultanea de varias de tales medias se

denomina anlisis de varianza (ANAVA) (ANOVA), en estos dos casos las poblaciones

deben ser normales.

PRUEBA DE HIPTESIS BILATERAL RESPECTO A LA VARIANZA DE DOS POBLACIONES


F

Regla de decisin a un nivel de significacin

Rechaza s: F F

PRUEBA UNILATERAL DERECHA ACERCA DE LA VARIANZA DE DOS POBLACIONES

NORMALES.


F


Rechaza si: F


36

Observacin.- La varianza muestral ms grande se coloca en el numerador, en

consecuencia, la razn F siempre es mayor a 1. Por lo tanto, el valor crtico de la cola

de valores superiores es el nico que se necesita

( )

( )

Ejemplo:

La compaa Piura Com. realiz un estudio acerca de los hbitos de escuchar radio

por parte de los hombres y las mujeres. Un aspecto del estudio comprendi el tiempo

promedio de audicin. Se descubri que tal tiempo para los varones es de 35 minutos

al da. La desviacin estndar de la muestra de 11 personas de sexo masculino que se

estudiaron fue de 10 minutos diarios. El tiempo promedio de audicin para las 13

mujeres en el estudio fue tambin de 35 minutos, pero la desviacin estndar de la

muestra, result 12 minutos. Al nivel de significancia de 0.10, es posible concluir que

existe diferencia en la variacin del nmero de minutos que los hombres y las mujeres

escuchan la radio?

Recuerde que

0.36

Rechaza s: F F


37


F

1.44

Por lo tanto, al ser F 1.44 se acepta , lo cual significa que la variacin del nmero

de minutos que escuchan radio los hombres es igual al de las mujeres.

Ejemplo

En su incansable bsqueda de un sistema de llenado adecuado, cierta empresa prueba

dos mquinas. Robot Fill se usa para llenar 16 tarros y resulta una desviacin estndar

de 1.9 onzas en el llenado. Con Automatic Fill se llenan 21 frascos que dan desviacin

estndar de 2.1 onzas. Si la empresa tiene que elegir uno de estos sistemas en funcin

de la uniformidad de llenado, Cul deber seleccionar? Use un 0.05

Solucin

Robot Fill Automatic Fill

De acuerdo a la tabla de F:


Rechaza s: F



38

F

Dado que el valor de F es 1.22 se acepta Ho. Por lo tanto, se elige el proceso Automatic

Fill porque es el que presenta mejor uniformidad de llenado.

ANLISIS DE REGRESIN Y CORRELACIN

ANLISIS DE CORRELACIN

Conjunto tcnicas estadsticas empleadas para medir la intensidad y el sentido de la

asociacin de dos ms variables. El concepto de correlacin est estrechamente

vinculado al concepto de regresin, pues para que una ecuacin de regresin sea

razonable los puntos muestrales deben estar ceidos a la ecuacin de regresin,

adems el coeficiente de correlacin debe ser:

- Grande cuando el grado de asociacin es alto (cerca de y pequeo

cuando es bajo, cerca de cero

- Independiente de las unidades en que se miden las variables.

DIAGRAMA DE DISPERSIN

Grfica que presenta la relacin entre dos variables.

VARIABLE DEPENDIENTE

Variable que se predice o estima. Se muestra en el eje Y.

VARIABLE INDEPENDIENTE

Variable que proporciona la base para la estimacin. Es la variable de pronstico. Se

muestra en el eje X.

Ejemplo

La empresa Rzuri Hnos. un negocio familiar que ha vendido al menudeo en Piura

durante muchos aos, se anuncia ampliamente por radio y televisin, destacando sus

bajos precios y accesibles condiciones de crdito. Al dueo le gustara analizar la

relacin entre las ventas y lo que gasta en publicidad. A continuacin se muestra la

informacin acerca de las ventas y lso gastos de publicidad durante los ltimos cuatro

meses.

Mes Gastos de publicidad

(miles de dlares)

Ingreso por ventas

(miles de dlares)

Julio 2 7

Agosto 1 3

Setiembre 3 8

Octubre 4 10


39

Se plantea la hiptesis de que a medida que aumentan los gastos de publicidad,

aumentan los ingresos por ventas.

Debemos comenzar por el diagrama de dispersin, que nos permite tener una idea

sobre el grado (intensidad) y la naturaleza (forma) de la relacin entre las dos

variables. Entonces podemos dar cuenta si la relacin es lineal o no lineal, positiva o

negativa, o simplemente no existe una relacin aparente.

Observando el diagrama podremos establecer lo siguiente:

1.- Existe una relacin lineal entre los gastos de publicidad y el ingreso por ventas en

ese periodo de 4 meses. Por lo tanto, es posible trazar una lnea recta que se ajuste

a los puntos graficados en el diagrama de dispersin

2.- La relacin no es determinstica; vale decir, cualquiera que sea la lnea recta que se

trace, la mayora de los puntos estarn por encima o por debajo de dicha recta.

COEFICIENTE DE CORRELACIN LINEAL SIMPLE (r)

Creado por Karl Pearson alrededor de 1900, describe la fuerza de la relacin entre dos

conjuntos de variables en escala de intervalo o de razn.

Se designa con la letra r, para calcular el valor numrico del coeficiente de correlacin

se utiliza la siguiente expresin:

r=

r =

[ ][ ]

Donde:

n = Nmero de pares de observaciones

x = Suma de los valores de la variable x


40

y = Suma de los valores de la variable y

= Suma de los valores de x elevados al cuadrado

Cuadrado de la suma de los valores de x

= Suma de los valores de y elevados al cuadrado

= Cuadrado de la suma de los valores de y

xy = Suma del producto de x e y

CARACTERSTICAS DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN

1.- El coeficiente de correlacin de la muestra se identifica con la letra minscula r

2.- Muestra la direccin y la fuerza de la direccin lineal (recta) entre dos variables en

escala de intervalo o en escala de razn

3.- Vara de -1 hasta +1

4.- Un valor cercano a 0 indica que hay poca asociacin entre las variables

5.- Un valor cercano a 1 indica una asociacin directa o positiva entre las variables; es

decir a valores altos de una variable le corresponde valores altos a la otra variable

6.- Un valor cercano a -1 indica una asociacin inversa o negativa entre las variables; es

decir a valores altos de una variable le corresponde valores bajos a la otra variable

y viceversa

COEFICIENTE DE DETERMINACIN ( )

Es el estadstico que mide la proporcin de la variacin total en y que puede ser

explicada por la variacin en x.

El coeficiente de determinacin se calcula elevando al cuadrado el coeficiente de

correlacin

Con los datos del problema tenemos:

Total

r=

[ ][ ]

r =

[ ][ ] = 0,96

= 92,16%

x y xy 2 7 14 4 49

1 3 3 1 9

3 8 24 9 64

4 10 40 16 100

10 28 81 30 222


41

1 - = 7,84%

PRUEBA DE SIGNIFICANCIA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN

Es importante estudiar si r es significativo (distinto de cero) ya que ello implica que el

modelo de regresin lineal es significativo.

Planteamiento de hiptesis:

0 (la correlacin en la poblacin es cero)

(La correlacin en la poblacin es distinta de cero)

Estadstico de prueba:

t

, con n 2 grados de libertad

Rechazar si: t ( ) t

(

)

t

=

= 4,84

Comparamos con el valor de las tablas , es decir =4,303

Como el valor calculado es mayor que el valor de la tabla, existe una fuerte correlacin

entre el gasto en publicidad y el ingreso por ventas. (Aceptamos hiptesis alternativa)

ANLISIS DE REGRESIN

A travs del anlisis de regresin buscamos que la lnea de ajuste se aproxime lo mejor

posible a todos los puntos del diagrama de dispersin. La ecuacin para la lnea recta

empleada para calcular y con base en x se conoce como ecuacin de regresin.

ECUACIN DE REGRESIN

Expresin matemtica que define la relacin entre dos variables.


42

PRINCIPIO DE MNIMOS CUADRADO

Tcnica empleada para obtener la ecuacin de la regresin, minimizando la suma de

los cuadrados de las distancias verticales entre los valores y verdaderos y los valores

pronosticados .

Dicha recta se define como:

y = a +bx

Par determinar la calidad estimadora de esta recta necesitamos alguna medida de la

distancia de los puntos ( a esta recta. El siguiente grafico muestra, para un solo

punto, como se mide esta distancia.

Para el valor el correspondiente valor y en nuestra recta es a + bx mientras que el

valor realmente observado para la variable dependiente es .La diferencia entre los

dos es:

Ahora bien, cualquier

estimador razonable de la recta de regresin verdadera dejar algunos de los datos

observados por debajo y otros por encima de la recta estimada. Por lo tanto, algunos

de los sern positivos y otros negativos

REGRESIN LINEAL SIMPLE

El anlisis de regresin lineal simple trata el problema de predecir o estimar una

variable, llamada respuesta, a partir de otra variable llamada predictora o explicativa.

A la primera se le conoce tambin como variable dependiente y se le representa

generalmente con la letra Y, mientras que a la segunda se le conoce como variable

independientemente y se representa generalmente con la letra X

Cuando la relacin funcional entre las variables dependiente (Y) e independiente (X) es

una lnea recta, se tiene una regresin lineal simple, dada por la ecuacin


43

Donde

- : Es el valor de la ordenada donde la lnea de regresin se inserta al eje Y

- : El coeficiente de regresin poblacional (pendiente de la recta)

- : Error

SUPOSICIONES DE LA REGRESION LINEAL

1. Los valores de la variable independientes son fijos

2. La variable X se mide sin error (se desprecia el error de medicin en X)

3. Existe una subpoblacin de valores Y normalmente distribuido para cada valor

de X

4. La variancias de las sub poblaciones de Y son todas iguales

5. Todas las medias de las subpoblaciones de Y estn sobre la misma recta

6. Los valores de Y estn normalmente distribuidos y son estadsticamente

independientes

Los supuestos el 3 al 6 equivalen a decir que los errores son aleatorios, que se

distribuyen normalmente con media cero y variancia

Con los datos muestrales se tomar la siguiente ecuacin:

=

=

=

( )

=

El coeficiente de regresin ( ).- pendiente de la recta de la regresin, represente la

tasa de cambio de respuesta Y al cambio de una unidad en X

Si 0, se dice que no existe relacin lineal entre las dos variables

Ejemplo

Los datos siguientes muestran las ventas (en millones) de cajas y los gastos de

publicidad (en millones de dlares) para 7 marcas principales de refrescos:


44

Marca Gastos de

publicidad

Ventas

de cajas

Coca cola 131.3 1929.2

Pepsi 92.4 1384.6

Kola real 60.4 811.4

Sprite 55.7 541.5

Inca cola 40.2 536.9

Concordia 29.0 535.6

7 up 11.6 219.5

a.- Trace un diagrama de dispersin para estos datos, con los gastos de publicidad

como variable independiente.

b.- Qu parece indicar este diagrama acerca de la relacin entre las dos variables?

trace una recta que pase por los datos, para aproximar una relacin lineal entre los

gastos de publicidad y las ventas.

c.- Aplique el mtodo de mnimos cuadrados para plantear la ecuacin estimada de

regresin

d.- Presente una interpretacin de la pendiente de esta ecuacin

Solucin:

Variable independiente: Gastos de publicidad

Variable dependiente: Ventas de cajas

Diagrama de dispersin.

El diagrama parece indicar que la relacin entre las variables es linealmente positiva.

Ahora encontraremos los valores de r,

Gastos de

Publicidad

Ventas de

cajas

x y xy 131.3 17 239.69 1929.2 3 721 812.64 253 303.96

92.4 8 537.76 1 384.6 1 917 117.16 127 937.04

60.4 3 648.16 811.4 658 369.96 49 008.56

55.7 3 102.49 541.5 293 222.25 30 161.55

40.2 1 616.04 536.9 288 261.61 21 583.38

29 841 535.6 286 867.36 15 532.4

11.6 134.56 219.5 48 180.25 2 546.2

Sumas 420.6 35 119.7 5 958.7 7 213 831.23 500 073.09


45

r =

[ ][ ]

r =

[ ][ ] = 0.97810014

Como r se aproxima a uno, entonces diremos que la relacin que hay entre las dos

variables es bastante fuerte o intensa.

La ecuacin que mejor se ajusta a los datos es una recta, como se aprecia en el

siguiente grfico.

=

=

= 14.42378282

=

= = - 15.42

Por lo tanto la ecuacin de la regresin lineal seria:

= - 15.42 + 14.424x

La interpretacin que tiene es solo matemtica, esto es el punto de corte con el

eje y

El valor que toma se interpreta como: por cada incremento en la variable

dependiente se espera una variacin de 14.424 en la variable dependiente


46

COEFICIENTE DE DETERMINACIN ( ).

En el ejemplo anterior r = 0.9781, el coeficiente de determinacin ser 0.9567,

luego pude decirse que 95.67% de la variacin en el nmero de cajas vendidas se

explica por la variacin en los gastos de publicidad.

PRUEBA DE SIGNIFICANCIA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN

Del ejemplo anterior, pruebe la hiptesis de que no existe correlacin en la poblacin.

Emplee 0.02 de nivel de significancia

Solucin

Planteamiento de hiptesis

0 (la correlacin en la poblacin es nula)

(la correlacin en la poblacin no es nula)

Regla de la decisin

Rechazar si: t t


t

=

= 10.5093

Se acepta la hiptesis alternativa, es decir existe relacin entre las variables en estudio

ERROR ESTNDAR DE LA ESTIMACIN:

Mide la dispersin de los valores observados, con respecto a la recta de regresin.

=

=


47

=

=

= 136.21

ESTIMACIN DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA

El error estndar de la estimacin es una medida vlida para utilizarla al fijar los

intervalos de confianza cuando el tamao de muestra es grande y de alguna forma la

dispersin con respeto a la recta de la regresin est distribuida de manera normal.

Un intervalo de confianza se determinar para:

1.- El valor medio de Y para un valor dado de X

2.- Un valor individual de Y para un valor dado de X

t (Syx)

( )

Donde

Y' = es el valor pronosticado para cualquier valor X seleccionado

X = es cualquier valor seleccionado de X

= es la media de X

n = en el nmero de observaciones

Syx = es el error estndar de la estimacin

t = es el valor de t tomado para n 2

Ejemplo

De acuerdo a los datos anteriores. Calcular los intervalos de confianza para la venta de

cajas de gaseosas cuando la inversin en publicidad es 100.00 (millones de dlares)

= es 1426.98 para un X igual a 100

= 60.0857 n = 7 Syx = 136.21 t (n 2) = t (7 -2) (0,05)= 2.571

1426.98

Marca

Gastos de

Publicidad

X

Ventas

de

Cajas

y

Rendimiento

Pronosticado

Desviaciones

y -

Desviaciones al

cuadrado

Coca cola 131.3 1929.2 1878.45 50.75 2575.56

Pepsi 92.4 1384.6 1317.35 67.25 4522.56

Kola real 60.4 811.4 855.78 - 44.38 1969.58

Sprite 55.7 541.5 787.99 - 246.49 60757.32

Inca cola 40.2 536.9 564.42 - 27.52 757.35

Concordia 29.0 535.6 402.87 132.73 17617.25

7 up 11.6 219.5 151.89 67.61 4571.11


48

1426.98 195.1291 = 1622.1091 y 1231.8509

Interpretacin.-

Cuando se invierte 100 millones de dlares en publicidad, se espera que la venta de

gaseosas est comprendida entre1622.1091 y 1231.8509 miles de cajas

Pero cuando a se trata de un valor individual la frmula es:

t(Syx)

( )

Ejemplo.

- Cuanto ser la venta de cajas de Inca cola, cuando esta compaa invierta 100

millones en publicidad:

1426.98

1426.98 1972.305y 881.655

Interpretacin.-

Con una probabilidad del 0,95 se puede afirmar que cuando la Inca Cola invierta 100

millones en publicidad sus ventas estarn comprendidas entre 1972.305 y 881.655

cajas.

RELACIN ENTRE COEFICIENTE DE CORRELACIN, COEFICIENTE DE DETERMINACIN

Y ERROR ESTANDAR DE ESTIMACIN

Un medio conveniente para mostrar la relacin entre estas tres medidas es la ANAVA,

recordemos que:

El error estndar de la estimacin mide cun cerca de la recta de regresin se

encuentra los valores reales. Cuando el valor es pequeo indica que las dos variables

estn relacionadas muy de cerca.

El coeficiente de correlacin mide la fuerza de la asociacin entre dos variables.

Cundo los puntos del diagrama de dispersin parecen cercanos a la lnea recta, se

observa que el coeficiente de correlacin tiende a ser grande. Luego el error estndar

de la estimacin y coeficiente de correlacin indican la misma informacin, pero

utilizan escalas diferentes.

El coeficiente de determinacin mide el porcentaje de la variacin de Y que se explica

por la variacin de X


49

ANLISIS DE VARIANCIA PARA LA REGRESIN LINEAL SIMPLE:

Cuando cada particin se asocia a una porcin correspondiente del total de grados de

libertad, la tcnica es conocida como anlisis de variancia (ANAVA), que generalmente

se presenta en un cuadro de la siguiente manera

A N A V A

Fuentes de

Variacin

Suma de

Cuadrados

Grados de

Libertad

Cuadrado

Medio

Prueba de

significacin

Significacin

estadstica

Regresin SC r =

1

Error SC e = ( ) = SC t SC r

n 2

Total SC t = ( )

n 1

La prueba de F evalua las hiptesis

Ho: 0 No existe una regresin lineal entre X e Y

Ha: Existe regresin lineal de Y en funcin de X

SUMA DE CUADRADOS DEL TOTAL (SCT)

Mide la dispersin (variacin total) en los valores observables de Y. Este trmino se

utiliza para el clculo de la variancia de la muestra.

SUMA DE CUADRADOS EXPLICADA (SUMA DE CUADRADOS DEBIDO A LA REGRESIN

(SCR)

Mide la variabilidad total en los valores observados de y en consideracin a la relacin

lineal entre X e Y

SUMA DE CUADRADOS RESIDUAL (Inexplicada, suma de cuadrados del error, SCE)

Mide la dispersin de los valores de Y observados respecto a la recta de la regresin Y

(es la cantidad que minimiza cuando se obtiene la recta de la regresin)

Fuentes de

Variacin

Suma de

Cuadrados

Grados de

Libertad

Cuadrado

Medio

Prueba de

significacin

Significacin

estadstica

Regresin 1

Error

(Residual)

Diferencia

n 2

Total SCY

n 1


50

Con los datos de nuestro ejemplo:

A N A V A

Fuentes de

Variacin

SC GL CM F Sign.

Estad.

Regresin 2048831.882 1 2048831.882 110.4244 **

Error 92770.7449 5 18554.1489

Total 2141530.417 6

F (1,5)= 6.61 (

16.26 (

Interpretacin: Realizado el anlisis de variancia (ANAVA) para la regresin se

encontr una alta significacin estadstica para la regresin, por lo tanto podemos

decir que existe asociacin entre ambas variables en estudio

=

= 1

=

= 1

= 0,9567 = 95.67%

El 95.67% de las variaciones de la venta de cajas de gaseosas (Y) es explicado por la

inversin que se hizo en publicidad (X)

r = = 0.9781 (Coeficiente de correlacin)

1 = 4.33% (Coeficiente de no determinacin)

El error estndar de la estimacin tambin puede ser calculado de la siguiente forma

S yx=

=

= 136.2136

Por ltimo como se observa conforme la Suma de Cuadrado del error disminuye esta

y por el contrario, conforme disminuye el error estndar se incrementa

El ANAVA de una regresin lineal puede ser calculado de la siguiente manera

y ( ) ( )

( ) ( )

1929,2 1878,5 851,2428 1077,9572 1161991,725 50,75 2575,5625 1027,2072 1055154,632

1384,6 1317,35 851,2428 533,3572 284469,9028 67,25 4522,5625 466,1072 217255,9219

811,4 855,78 851,2428 - 39,8428 1587,4487 - 44,38 1969,5844 4,5372 20,5861

541,5 787,99 851,2428 -309,7428 95940,6021 - 246,49 60757,3201 - 63,2528 4000,9167

536,9 564,42 851,2428 -314,3428 98811,3959 - 27,52 757,3504 - 286,8228 82267,3186

535,6 402,87 851,2428 -315,6428 99630,3771 132,73 17617,2529 - 448,3728 201038,1678

219,5 151,89 851,2428 -631,7428 399098,9654 67,61 4571,1121 - 699,3528 489094,3389

2141530,417

SC Total 92770,7449

SC Error 2048831,882

SC Regresin


51

A N A V A

Fuentes de variacin

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

F

Regresin Debido a

[

]

1

Error Residual

(no explicada)

SC total

n

Total (corregida)

(

)

n

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA

En muchos casos es de inters conocer entre que valores se encuentra el coeficiente

de regresin de la poblacin para un cierto grado de confianza fijada, este

procedimiento permite hallas los valores llamados lmites de confianza, as:

{ } 1

Donde

es el valor t tabular a nivel de significancia y n 2 grados de libertad

REGRESION PARABOLICA SIMPLE

La regresin parablica simple, se aplica a aquellos fenmenos que se observan que

presentan una concentracin de puntos inicialmente ascendentes y en seguida

descendentes (puede darse lo contrario). Esta regresin parablica es utilizada en gran

parte, por los economistas, en las funciones de utilidad, ingresos, etc.

La ecuacin ser

Ejemplo

Con los siguientes datos, haga un estudio de regresin parablica

29 23 841 24389 707281 667 19343 529 35 34 1225 42875 1500625 1190 41650 1156

29 26 841 24389 707281 754 21866 676

38 30 1444 54872 2085136 1140 43320 900

40 35 1600 64000 2560000 1400 56000 1225 Total 171 148 5951 210525 7560323 5151 182179 4486


52

Ecuaciones normales

Calcular:

148 = 5 . (1)

5151 = 171 (2)

182179 = 5951 . (3)

Trabajamos con ecuacin (1) y (2), multiplicando (1) por 34,2

148 = 5 . (1)

5151 = 171 (2)

Tendremos:

5061,6 = -171

5151 171

89,4 0 (4)

Trabajamos con la ecuacin (1) y (3) multiplicando la ecuacin (1) por 1190,2

148 = 5 . (1)

182179 = 5951 . (3)

Tendremos:

= - 5951

182179 5951

6029,4 0 (5)

Trabajamos con ecuacin (4) y (5)

89,4 (4)

6029,4 (5)

Tendremos:

619822,32

0 69919,2


53

Reemplazamos en ecuacin (4) y encontramos

89,4 (4)

89,4

89,4

102,8

102,8

Reemplazamos en ecuacin (1) y encontramos

148 = 5

148 = 5

148 = 5

148 = 5

5

5

5

Cul ser el valor esperado si X = 29

Ahora encontramos la varianza residual no explicada

( )

23 24,65 2,7225 34 32,0 2,00 4,0000 26 24,65 1,35 1,8225

30 33,34 11,1556 35 33,36 1,64 2,6896

Total 148 148,00 0,00 22,3902


54

= 4,4780

7,464 (corregida)

Tambin se puede cualcular usando la siguiente formula:

Reemplazando tenemos:

4,4703

Error estndar de la estimacin

2,1143

(Corregido)

Lmites de confianza para

( )

Cules sern los lmites de confianza, cuando el valor de X

24,65 (3,182)(2,7320)

( )

1

r =

r 0,9109


55

REGRESION Y CORRELACION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Cuando las variables estudiadas presentan un crecimiento o decrecimiento aritmtico,

la regresin lineal es la ms adecuada, pero si hay un crecimiento o decrecimiento

geomtrico, se debe adoptar la regresin exponencial.

La funcin exponencial:

Se puede convertir en un funcin lineal cuando trabajamos con logaritmos, ya sean

neperianos o con base 10, dando una funcin logartmica

Log

Para la representacin grfica se debe utilizar papel semilogaritmico, cuando la

variable X, localizada en el eje horizontal o abscisa, se presenta en forma de progresin

aritmtica, mientras que en la ordenada, donde se ubica la variable Y, se expresa en

forma logaritmica, Si ambas variables tienen crecimiento geomtrico, la

representacin grfica se hace en papel logartmico.

Ejemplo:

Con los siguientes datos, calcule la regresin exponencial

Clculos para una regresin exponencial

log

log

2 3 4 0,47712 0,95424 0,22764 0,60768 4,05

4 6 16 0,77815 3,11261 0,60552 0,84063 6,93

5 12 25 1,07918 5,39591 1,16463 0,95710 9,06

7 24 49 1,38021 9,66147 1,90498 1,19005 15,50

12 45 144 1,65321 19,83855 2,73312 1,77241 59,21

Total 30 90 238 5,36787 38,96278 6,63588 5,36787 94,75

Nota: debe tenerse en cuenta que:

Las ecuaciones normales son:


56

Reemplazando tenemos:

5,36787 = 5 log . (1)

38,96278 (2)

Eliminamos log multiplicando la ecuacin (1) por 6 y lo restamos de la segunda

ecuacin

- 32,20722 = - 30 log . (1)

38,96278 (2)

6,75556 = 58 log

58 log = 6,75556

log =

log 47

antilog 0,11647

Ahora reemplazamos en la ecuacin (1) luego tenemos:

5,36787 = 5 log

5,36787 = 5 log

5 log = 5,36787

5 log = 5,36787

5 log = 5,36787 3,4941

5 log = 1,87377

log =

log

antilog 0,11647

Reemplazamos en la ecuacin general

log

log

Estimar cuando X = 10, tendremos

log

log


57

Log

= antilog 1,53947

= 34,63

Tambin podemos calcular y de la siguiente manera:

log

log

log 0,11647

antilog de 0,11647

1,3075

log

log =

log = 0,37475

2,37

Varianza residual y el error estndar de la estimacin

( )

log log log log ( )

0,47712 0,60768 0,13056 0,0170459

0,77815 0,84063 0,06248 0,0039038

1,07918 0,95710 0,12208 0,0161493

1,38021 1,19005 0,19016 0,0361608

1,65321 1,77241 0,13056 0,0142086

Total 5,36787 5,36787 0,0000 0,0874684

0,01749368

Este valor tambin se puede calcular de la siguiente manera


58

Coeficiente de correlacin al cuadrado

Donde

Luego:

0,9012

Tambin:

r

[ ][ ]

r

[ ][ ]

r

ANLISIS DE REGRESIN MLTIPLE

Estudia la influencia de dos o ms variables independientes sobre la dependencia de

otra variable dependiente.

La ecuacin ser:

= bo + b1X1 +b2X2

X 1, X2 = son las dos variables independientes


59

bo = es la interseccin en Y, es decir, la ordenada con el eje del punto de

interseccin con el eje Y

b1= es el cambio neto en Y por cada cambio unitario de X1 manteniendo x2

constante (o sea sin cambios). Se denomina coeficiente de regresin

parcial, coeficiente de regresin neta, ms brevemente, coeficiente

de regresin.

b2 = Es el cambio neto en Y por unidad de cambio en X2, manteniendo X1

constante (sin cambios). Tambin se denomina coeficiente de

regresin parcial o simplemente coeficiente de regresin.

La ecuacin de la regresin mltiple se puede ampliar a ms variables independientes.

Y' = bo +b1X1 + b2X2 +b3X3 ++bkXk

El mtodo de mnimos cuadrados, minimiza la suma de cuadrados de las desviaciones

verticales con respecto a la lnea de la regresin, principios que se cumple para la

regresin lineal como para la regresin mltiple.

En el caso de dos variables independientes es necesario resolver las siguientes

ecuaciones: Y = na + b1X1 +b2X2

X1Y = boX1 + b1 + b2X1X2

X2Y = boX2 + b1X1X2 + b2

Este sistema de ecuaciones se puede resolver de diferentes maneras, una de ellas es

empleando matrices

Ejemplo.-

El director de personal de una empresa que tiene un importante grupo de

vendedores, debe entrevistar y seleccionar nuevo personal. Ha diseado una prueba

que ayuda a seleccionar los mejores aspirantes para su personal de ventas A fin de

verificar la validez de una prueba como instrumento de prediccin de las ventas

semanales. Eligi al azar a cinco vendedores y aplic la prueba a cada uno. Los

importes de ventas semanales se aparearon con el puntaje obtenido en la prueba y

con la calificacin que se les hizo a su desempeo

1.- Cul ser la ecuacin de regresin mltiple?

2. Supngase que un solicitante de empleo en el departamento de ventas tuvo un

puntaje de 6,0 en la prueba y una calificacin de desempeo de 3,8. Cules son las

ventas semanales estimadas del solicitante?


60

Vendedor Ventas semanales

(en miles de soles) Y

Puntaje de la

Prueba Calificacin de

Desempeo Juan 5 4 2

Andrea 12 7 5

Ral 4 3 1

Steffany 8 6 4

Eduardo 11 10 6

Solucin:

1.- La ecuacin podr ser calculada de la siguiente forma:

[

]

[

] =[

]

Total

Reemplazamos en el arreglo matricial

[

]

[

] =[

]

Encontramos determinante de la matriz 3x3

[

] | |

Procedemos a invertir la matriz cuadrada 3x3

*

+ = 320

*

+ = 120

*

+ = 120

*

+ =120

*

+ = 86

*

+ = 110

*

+ = 120

*

+ = 110

*

+ = 150

[

]

Y

5 4 2 16 4 8 20 10

12 7 5 49 25 35 84 60

4 3 1 9 1 3 12 4

8 6 4 36 16 24 48 32

11 10 6 100 36 60 110 66

40 30 18 210 82 130 274 172


61

Luego

[

] [

]

=[

]

Calculamos los coeficientes de la regresin mltiple

[ ( ) ]

= 3,5

= [( ) ]

= 0,975

= [ ( ) ]

= 2,875

Luego la ecuacin ser igual a:

= bo + b1X1 + b2X2

= 3, 5 + ( 0,975) X1 + 2,875X2

Y' = 3,5 + (0,975)6,0 + 2,875(3,8)

Y' = 8,575 miles de nuevos soles.

ERROR ESTNDAR MLTIPLE DE LA ESTIMACIN:

El error estndar de la estimacin en el anlisis de la regresin mltiple mide el error

para valores de Y con respecto al plano de regresin si es que intervienen dos variables

independientes.

Sy.12 =

Puntaje

de

Prueba

Calificacin

de

Desempeo

Ventas

semanales

(miles de

soles)

Ventas

semanales

Pronosticadas

(miles de soles)

( )

Juan 4 2 5 5,35 0,35 0,1225

Andrea 7 5 12 11,05 0,95 0,9025

Ral 3 1 4 3,45 0,55 0,3025

Steffany 6 4 8 9,15 1,15 1,3225

Eduardo 10 6 11 11,00 0,00 0,0000

Total 0,00 2,6500

Sy.12 =

= 1,151 miles de soles


62

COEFICIENTE DE CORRELACIN MULTIPLE. (r)

Es la medida de la fuerza de la asociacin entre la variable dependiente y dos o ms

variables independientes

Este coeficiente toma valores entre 0 y a 1 inclusive, siempre es positiva Ejemplo Un

coeficiente de 0,94 indica una asociacin muy fuerte entre las variables dependiente e

independiente. Un coeficiente de 0,09 revela una relacin muy dbil

Correlacin Correlacin Correlacin pequea moderada grande

0 0,50 1,00

sin correlacin correlacin perfecta

COEFICIENTE DE DETERMINACIN MLTIPLE (r2).-- Proporcin (porcentaje) de la

variacin total en la variable dependiente Y que se explica por medio del conjunto de

variables independientes

COEFICIENTE DE NO DETERMINACIN MLTIPLE (1 r2).- mide la proporcin de la

variacin total en la variable dependiente Y, que no se debe a las variables

independiente. A N A V A

Fuentes

de

Variacin

Suma de

Cuadrados

Grados de

Libertad

Cuadrado

Medio

Prueba de

significacin

Significacin

estadstica

Regresin K Error n Total n 1

El coeficiente de determinacin se puede calcular de la siguiente manera:

Error estndar de la estimacin mltiple ser igual a:

Sy.12 =

Total

y ( ) ( )

( ) ( )

5 5,39 8 3 9 0,35 0,1225 2,65 7,0225 12 11,05 8 4 16 0,95 0,9025 3,05 9,3025

4 3,45 8 4 16 0,55 0,3025 4,55 20,7025 8 9,15 8 0 0 1,15 1,3225 1,15 1,3225 11 11 8 3 9 0 0 3 9

40 40 0 50 0 2,65 0 47,35


63

A N A V A

Fuentes de variacin SC GL CM F SIG

Regresin 47.35 2 23.675 17.87 N.S.

Error 2.65 2 1.325

Total 50 4

F(2,2)= 19,00 ( 99,50 (

Coeficiente de determinacin:

=

%

Apuntes de Metodos Estadisticos Unprg 2014 II

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