Apuntes de Meteorologia Dinamica

APUNTESDE

METEOROLOGA DINMICA

JOS AGUSTN GARCADepartamento de Fsica

marzo, 2007

1

ndice general

1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Nocin del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Concepto de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Imgenes euleriana y lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Derivada msica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.1. Lneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.2. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.3. Lneas de emisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7. Estudio de la deformabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.1. Deformacin del vector desplazamiento, vector superficie y volumen . . . . . . . 16

1.8. Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, superficie y volumen . . . . . . 181.9. Teorema de conservacin de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10.Tensor velocidad de deformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.1. Tensor de Cauchy y GreenVenant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.11.Teorema de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.12.Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.13.Dinmica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.14.Tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.14.1. Condicin de la situacin de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.15.Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.16.Principio de conservacin de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.16.1. Condiciones frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.16.2. Ecuacin de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.16.3. Teorema de Crocco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2. Ecuaciones meteorolgicas del movimiento 692.1. Ecuaciones del movimiento en una Tierra en rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1.1. Efecto de la fuerza de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1.2. Efecto de la fuerza centrfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

IV NDICE GENERAL

2.2. Ecuaciones del movimiento en coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3. Ecuacin de conservacin del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.4. Coordenadas verticales alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4.1. La presin como coordenada vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.4.2. La temperatura potencial como coordenada vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.5. El sistema de coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.5.1. El viento geostrfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.5.2. Viento del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.5.3. Otros tipos de vientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.6. Efecto del rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.6.1. El bombeo Ekman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.7. El viento trmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.7.1. El teorema de TaylorProudman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.7.2. Efecto de la baroclinicidad:El viento trmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.7.3. Algunas consecuencias del concepto del viento trmico . . . . . . . . . . . . . . . 1142.7.4. Adveccin de temperatura y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.8. Determinacin de la velocidad vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.8.1. El mtodo cinemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.8.2. El mtodo adiabtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.9. La ecuacin de tendencia baromtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.10.Fuerzas de marea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.10.1. Mareas en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3. Vorticidad y Circulacin 1353.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.2. Expresin de la vorticidad en otros sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.2.1. Coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.2.2. Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.3. Circulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.3.1. Efecto de la baroclinicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.4. Ecuacin de conservacion de la vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.5. Vorticidad y circulacin en sistemas de referencia no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.5.1. Ecuaciones aproximadas para flujo a gran escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.5.2. La ecuacin de conservacion de vorticidad en coordenadas isobaricas . . . . . . 1573.5.3. Cordenadas isentrpicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.6. Ondas largas (teora de Rossby) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4. Ondas en la atmsfera 1694.1. Importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2. Concepto de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.3. La ecuacin de ondas: soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.3.1. El problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

NDICE GENERAL V

4.3.2. Algunas caractersticas de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.4. Ondas dispersivas: Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.4.1. El mtodo de la fase estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.5. Ondas en medios no homogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.6. Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.7. Ondas gravitatorias externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.7.1. Energas cintica y potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.8. Ondas inerciagravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.8.1. Ajuste Geostrfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.8.2. Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

4.9. Ondas de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.10.Ondas Planetarias de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

4.10.1. Ondas Rossby topogrficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.11.Efectos de la estratificacin. Ondas gravitacionales internas . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.11.1. Importancia de la estratificacin. El nmero de Froude . . . . . . . . . . . . . . . 2174.11.2. Ondas gravitatorias internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.11.3. Ondas de montaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.11.4. Obstaculo Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Captulo 1

Introduccin a la Mecnica de Fluidos

1.1. Introduccin

Aunque la mecnica de medios continuos no tiene porque ceirse a la mecnica de fluidos, si

que podemos considerar a la mecnica de fluidos como un ejemplo tpico de mecnica de medios

continuos. Por esta razn vamos a utilizar la mecnica de fluidos como un medio para estudiar la

mecnica de medios continuos.

1.2. Nocin del continuo

Esta hoy en da perfectamente asumido que la materia es discreta, esto es, est formada por to-

mos los cuales a su vez estn compuestos por ncleos y electrones "girando.entorno a sus ncleos.

Estos a su vez estn compuesto por otras partculas los cuales a su vez estn compuesto por otras

partculas, etc. No obstante podemos todava en ciertos problemas considerar a la materia como con-

tinua esto es con propiedades macroscpicas que son funcin continua de la posicin en el seno de

la materia. Para analizar en que condiciones podemos considerar a la materia como un continuo,

considerar el concepto de densidad . Para definir la densidad en un punto, debemos de tomar un

volumen muy pequeo en torno a dicho punto y calcular la densidad como la suma de las masas de

las partculas contenidas en dicho volumen y lo dividiremos por el volumen

(Vx )=

i m(i )

Vx

Si el volumen es muy pequeo, el anterior valor fluctuar fuermente cuando vayamos de un punto a

otro, aunque sea prximo, pues el valor de la densidad depender de si hemos cogido alguna partcula

2 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos

o no dentro de nuestro volumen elemental, con lo que, la idea de un valor de la densidad funcin

continua de la posicin no es posible. As mismo si cambiamos el tamao de nuestro volumen la

densidad cambiar fuertemente, pues como antes, es posible que el nmero de partculas contenidas

en el interior del volumen vare fuertemente y por tanto nuestra definicin de densidad depender

enormemente del volumen elegido para definirla. Si vamos aumentando nuestro volumen, poco a

poco se ir estabilizando el valor de la densidad hasta que este apenas vare, pues la inclusin de

nuevas partculas va a alterar muy poco el valor de la densidad. SeaV0 el valor para el cual esto ocurre.

Si dicho valor es muy pequeo frente al tamao macroscpico del problema que nos ocupa, podemos

considerar a la densidad definida en ese volumen como un valor local, en realidad la vamos a tomar

como la densidad en el punto origen de dicho volumen, esto es

(x)= (V0)

El problema surge cuando dicho volumen es grande comparado con el tamao del problema de tal

forma que no lo podemos considerar como local. En estas condiciones debemos acudir a otra teora

como puede ser la teora cintica de gases. Lo mismo que hemos hecho para la densidad se puede

hacer para otras propiedades microscpicas como son la velocidad, la temperatura, la presin etc. En

cualquier caso vamos a suponer que todas estas propiedades son funcin continua de la posicin,

salvo en un conjunto de medida nula.

1.3. Concepto de flujo

En los problemas de sistemas de partculas, se supone que tenemos resuelto nuestro problema

cuando conocemos la trayectoria de cada una de las partculas, esto es, cuando tenemos funciones

de la forma xi = xi (xi 0, t ) que nos permiten conocer la posicin de la partcula en cada instante comofuncin de la posicin inicial. En el caso de mecnica de medios continuos vamos a tener una infini-

tud no numerable de partculas y en vez de tener un ndice que nos las cuente tendremos un nmero

(o nmeros) real (reales). Sea el parmetro que nos designa las partculas del medio continuo, Este

parmetro puede ser por ejemplo la posicin en un instante inicial. Como antes, supondremos que

existe un mapa o aplicacin que nos lleva a cada partcula en un instante dado a su posicin en un

instante posterior. Esto es supondremos que existe una funcin tal que

x=t ()= x(, t )

Vamos a suponer que se verifican las siguientes propiedades

1.4 Imgenes euleriana y lagrangiana 3

1. La aplicacint () es una aplicacin uno a uno y la inversa es tambin uno a uno. Esto significa

que una partcula no se puede dividir en dos y que dos partculas no se pueden juntar y dar

lugar a una nueva partcula.

2. La aplicacint () es una funcin continua y con derivada continua de la posicin , de tal for-

ma que el fluido se puede deformar todo cuanto queramos sin llegar a romperse. La aplicacin

inversa verifica tambin estas propiedades. En estas condiciones diremos que la aplicacin

es un difeomorfismo.

3. La aplicacin t tiene las propiedades de un grupo, de tal forma que t+s = ts , 0 es laidentidad y t es el elemento inverso de t . Este grupo recibe el nombre de grupo unipara-mtrico.

1.4. Imgenes euleriana y lagrangiana

El estudio de los fluidos se puede abordar desde dos imgenes o visiones diferentes. En primer

lugar podemos fijarnos en cada una de las partculas que componen el fluido1 y analizar que ocurre

con cada una de ellas en el curso del tiempo. Esto constituye lo que se ha venido en llamar la imagen

lagrangiana del fluido. O bien, en vez de ver que le ocurre a cada partcula podemos ver que pasa en

cada punto del espacio en cada instante de tiempo, en este caso hablaremos de imagen euleriana.

La imagen euleriana equivale a una teora de campos. >Que relacin existe entre una y la otra ?. Para

ello imaginemos una propiedad de una partcula que en el instante t se encuentra en el punto x.

Obviamente dicha propiedad coincidir con la propiedad del punto x en dicho instante. As pues

P (, t )=P (x(, t ), t ) (1.1)

La anterior ecuacin nos dice, que la propiedad P que tiene la partcula en el instante t , coincide

con el valor de la propiedad P en el punto x en el cual est la partcula en el instante t . As mismo

la propiedad P en el punto x en el instante t coincidir con la propiedad de la partcula que este en

ese instante en dicho punto

P (x, t )=P ((x, t ), t ) (1.2)

1La idea de partcula aqu no significa lo mismo que en la mecnica de sistemas, pues estamos suponiendo que el medioes continuo. Una partcula aqu es un pequeo volumen en torno a un punto dado.


1.5. Derivada msica

Es interesante poder relacionar las variaciones temporales que tiene una propiedadP en las dos

imgenes de Lagrange y Euler. Esta cuestin es fundamental pues las leyes de la mecnica y la ter-

modinmica son leyes que se aplican a un sistema mecnico o trmico fijado de antemano. Cuando

aplicamos la leyes de Newton, lo primero que hacemos es fijar el sistema mecnico y luego analiza-

mos cual es su evolucin en el tiempo. Esto significa que cuando apliquemos estas mismas leyes en

mecnica de fluidos debemos fijar a que partculas se las vamos aplicar, esto es, debemos utilizar la

imagen lagrangiana para poder aplicar las leyes de Newton. Lo mismo sucede con las leyes termodi-

nmicas. Ahora bien es normal que conozcamos las propiedades espaciales y por tanto tengamos un

conocimiento euleriano del sistema. >Cmo relacionar las variaciones temporales en una imagen y

otra ?. La respuesta est en las ecuaciones dadas en la seccin anterior. Partiendo de la expresin (1.2)

y derivando respecto del tiempo, manteniendo constante,

DP

Dt= P (, t )

t

= P (x(, t ), t )t

x+ P (x(, t ), t )

x

x(, t )

t

Ahora bienx(, t )

t

no es otra cosa que la velocidad de la partcula en el instante t , que por la misma ecuacin (1.2) es

la velocidad en el punto x ocupado en ese instante por la partcula , por lo tanto tenemos

DP

Dt= P (x(, t ), t )

t

x+v(x, t ) P (x(, t ), t )

x(1.3)

La cantidadP (x(, t ), t )

t

x

recibe el nombre de variacin local de la propiedadP y

v P (x(, t ), t )x

= v GRADP

recibe el nombre de adveccin de la propiedadP . Podemos poner por tanto

DP

Dt= P

t

x+v GRADP . (1.4)

Podemos aplicar la anterior ecuacin para calcular la aceleracin de una partcula del fluido a partir

1.5 Derivada msica 5

del campo de velocidades. En este casoP = v y por tanto

a= DvDt

= vt

x+v GRADv (1.5)

Respecto de la anterior ecuacin debemos de decir que mientras Dv/Dt es una verdadera aceleracin

la cantidad v/t no es una aceleracin si no la variacin local de la velocidad. Mientras que Dv/Dt

es la propiedad de una burbuja determinada, v/t afecta a burbujas diferentes y por tanto no se

puede considerar como propiedad de una partcula determinada. Vamos a ver un ejemplo que nos

permita ver la diferencia entre ambos trminos. Para ello considerar que estis en una plcida tarde

de verano bajo la sombra de una magnfica encina observando la marcha de un rio en la cercana de

unos rpidos del mismo. Supuesto que el flujo es estacionario, observis que los pequeos troncos

y ramas que transporta el rio, al pasar por delante de vosotros, mantienen la misma velocidad, pero

que, segn se acercan a los rpidos, estos van aumentando de velocidad. >Qu sucede ? Pues que,

cuando nosotros observamos que todos los troncos que pasan delante de nuestros ojos tienen la

misma velocidad, estamos evaluando la variacin local de velocidad, como todos los troncos tienen

la misma, este trmino es nulo. Ahora bien, cuando nos fijamos en uno de ellos, vemos que se acelera

cuando se acerca a los rpidos. >Cual es la aceleracin de uno de estos troncos? Pues obviamente la

diferencia de velocidades dividido por la diferencia de tiempos

v

t

ahora bien t =x/v, por lo que la aceleracin vale

vv

x

en el lmite cuando x tiende a cero obtenemos

vv

x

La cantidad v GRADv recibe el nombre de adveccin de velocidad. Desde un punto de vista pu-ramente matemtico esta cantidad constituye la derivada de Lie del campo vectorial v a lo largo del

campo integral del propio campo v. En el caso que tengamos una propiedadP que es un escalar, por

ejemplo la temperatura, el operador GRAD, es el gradiente usual del campoP (x, y, z). Si la propiedad

P es un vector, como sucede si estudiamos el campo de velocidades, el operador GRAD es la derivada


covariante. Donde, como es sabido, la derivada covariente del campo v viene dada por la expresin

v i, j =v i

x j+ij ,k vk

siendo ij ,k los coeficientes de la conexin afn o simbolos de Christoffel de segunda especie, de tal

forma que la derivada msica resulta,

(Dv

Dt

)i= v

i

t+ v j v ij =

v i

t+ v j

(v i

x j+ij ,k vk

)=

= vi

t+ v j v

i

x j+ij ,k v j vk

Empleando el smbolo en vez del GRAD para designar al gradiente del campo de velocidades, eltrmino adventivo lo podemos poner como

vv

En un lenguaje de diadas podemos considerar al gradiente de velocidades como la diada v y laanterior expresin como la aplicacin a la izquierda de la diada v, por tanto tenemos

(v )v

trmino que, en coordenadas cartesianas eulerianas, toma la forma

[(v )v]i =(

v

x

)vi

donde con el subndice repetido queremos indicar una suma en . Podemos evaluar a partir de las

anteriores expresiones la variacin local de la propiedadP . Supongamos que nos estamos refiriendo

a la temperatura de la burbuja,P = T , de la expresin 1.4, tenemos

T

t=v T + DT

Dt

Supongamos que la temperatura de la burbuja no ha variado en el curso del tiempo. Esto significa

que DT /dt = 0, por lo queT

t=v T

esto significa que la variacin local de la temperatura es igual a la adveccin de temperatura, esto

es, el viento advecta las isotermas con l, a una velocidad v cos siendo el ngulo formado por


el vector gradiente de temperatura y el vector velocidad. Para ver esto fijmonos en la figura 1.1 en

T0

T1

T2

T3

T4

sy2

1

Figura 1.1:

donde un cierta masa de aire se mueve en la direccin de la flecha. Al moverse en esa dirreccin, y no

cambiar la temperatura de la burbuja, arrastra consigo las isotermas, esto es si la burbuja en un cierto

instante se localiza en el punto 2, tiene la temperatura T2 cuando se haya desplazado a la posicin 1

tendr es ese punto la temperatura T2 (hemos supuesto que el desplazamiento es isotermo). As pues

la temperatua en la posicin 1 habra cambiado de T1 a T2 en el tiempo transcurrido durante el viaje

de la partcula del punto 2 al punto 1, as pues la velocidad de la variacin local de la temperatura ser

T

t= T2T1

t= T2T1s/v

= v T2T1s

= v T2T1y/cos

= v cosT2T1y

=vy T2T1y

en el lmiteT

t=vy T

y=v GRAD T

La figura 1.2 nos ilustra como acta la adveccin. A la izquierda tenemos un campo de temperaturas

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Figura 1.2:

que cuyas isotermas son paralelas al eje x y que van creciendo a lo largo del y . En el centro tenemos


un hipottico campo de viento, somplando de arriba para abajo en la parte central y de abajo para

arriba en los extremos. La figura de la derecha nos muestra el campo de temperatura al cabo de un

cierto tiempo, donde se puede observar como se deforman las isotermas a cuenta de la adveccin.

Ejemplo 1.1 Considerar el flujo definido por el conjunto de ecuaciones

x = ty = (1+ t 2)z = (1+ t )2

Calcular la velocidad y aceleracin del anterior flujo tanto en la imagen lagrangiana como en la ima-

gen euleriana.

SOLUCCION

De acuerdo con la definicin, la velocidad lagrangiana viene dada por la expresin v = (x/t ), porlo que derivando las anteriores ecuaciones respecto a t manteniendo constantes ,,, tenemos

vx (,,, t ) = vy (,,, t ) = 2tvz (,,, t ) = 2(1+ t )

Para calcular la imagen euleriana debemos de utilizar las ecuaciones del flujo para eliminar ,,,

resultando

vx (x, y, z, t ) = xt

vy (x, y, z, t ) = 2y t1+ t 2

vz (x, y, z, t ) = 2z 1(1+ t )

Para calcular la aceleracin partiendo de la expresin de la velocidad en la imagen lagrangiana, solo


debemos de derivar respecto del tiempo, por lo que

ax (,,, t ) = 0ay (,,, t ) = 2az (,,, t ) = 2

que utilizando las ecuaciones del flujo podemos escribir en la imagen euleriana

ax (x, y, z, t ) = 0ay (x, y, z, t ) = 2y 1

1+ t 2az (x, y, z, t ) = 2z 1

(1+ t )2

Ahora bien si partimos de la expresin euleriana de la velocidad para calcular la aceleracin debemos

de emplear la expresin Dv/Dt ,

ax (x, y, z, t ) = vxt

+ (v x

)vx = 0

ay (x, y, z, t ) =vyt

+ (v x

)vy = 2y 11+ t 2

ay (x, y, z, t ) = vzt

+ (v x

)vz = 2z 1(1+ t )2

siendo (v

x

)= vx

x+ vy

y+ vz

z

obteniendo los mismos resultados que a travs de la imagen lagrangiana. Obsrvese que cuando cal-

culamos la aceleracin a partir de la imagen euleriana obtenemos la aceleracin tambin en la ima-

gen euleriana.

Ejemplo 1.2 Calcular la expresin de la diada (v) en coordenadas cilndricas.

SOLUCIN

El operador en cilndricas vale= r

r+1

r

+k

z


y

v= vr r+ v+ vz k

siendo (vr , v, vz ) las componentes fsicas de la velocidad en cilndricas (vr = r , v = r , vz = z). Apli-cando el operador a la velocidad v, obtenemos

v= rrvrr

+ rvr

+ rkvzr

+

r1

r

vr

+1r

v

+k 1r

vz

+

krvrz

+kvz

+kkvzz

+vrrr

+ v

r

donde hemos tenido en cuenta que la derivada de los vectores base respecto de r y z vale cero. Dado

quer

=

y que

=r

obtenemos

v= rrvrr

+ rvr

+ rkvzr

+

r(vr+ 1

r

vr

)+( vrr+ 1

r

v

)+k 1r

vz

+

krvrz

+kvz

+kkvzz

Si aplicamos el anterior operador al vector v por la izquierda, obtenemos

v v= vr(

rvrr

+vr

+kvzr

)+

v

(r(v

r+ 1

r

vr

)+( vrr+ 1

r

v

)+k 1r

vz

)+

vz

(rvrz

+vz

+kvzz

)

1.6 Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin 11

que reordenando

v v= r(

vrvrr

+ vr

vr

+ vz vrz

v2

r

)+

(vrvr

+ v(vrr+ 1

r

v

)+ vz vz

)+

k(

vrvzr

+ v1

r

vz

+ vz vzz

)La traza del tensor v= v/x constituye la divergencia del campo, por lo que

v= vrr

+ 1r

v

+ vzz

+ vrr

1.6. Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin

1.6.1. Lneas de corriente

Se define una lnea de corriente como aquella curva en el espacio que en un instante determina-

do t es tangente al campo de velocidades en cada punto del espacio. Es una imagen instantnea del

campo de velocidades del fluido. La ecuacin de la lnea de corriente vendr dada por una expresin

del tipo x = x(s) siendo s un cierto parmetro. En coordenadas cartesianas eulerianas, el vector tan-gente a la curva tiene por componentes (dx/ds, d y/ds, dz/ds) Puesto que este campo es tangente al

campo de velocidades, sus componentes han de ser proporcionales, por lo que

dx/ds

vx (x, y, z, t )= d y/ds

vy (x, y, z, t )= dz/ds

vz (x, y, z, t )

que podemos poner de diferentes formas. Eliminando ds

dx

vx (x, y, z, t )= d y

vy (x, y, z, t )= dz

vz (x, y, z, t )(1.6)


que nos permite obtener un par de superficies cuya interseccin nos da la lnea buscada. Podemos

tambin utilizar como ecuacin de las lneas de corriente las expresiones

dx

ds= vx (x, y, z, t )

d y

ds= vy (x, y, z, t ) (1.7)

dz

ds= vx (x, y, z, t )

que nos permite obtener las ecuaciones paramtricas. En todas las expresiones anteriores el tiempo

juega el papel de parmetro y denota el instante en el que estamos calculando la lnea de corriente.

Las ecuaciones y por tanto las lneas de corriente cambian de un instante a otro excepto si el tiempo

no est presente en la expresin del campo de velocidades. En esta situacin diremos que el flujo es

estacionario La figura 1.3 nos muestra un ejemplo de las lneas de corriente en torno a una esfera

Figura 1.3: Lneas de corriente en la estela formada por una esfera. (Fuente: G.K. Batchelor. An introduction toFluid Mechanics. Cambridge)

1.6.2. Trayectorias

Como en la mecnica de sistemas, la trayectoria es la curva integral del campo de velocidades,

esto es

dx

dt= vx (x, y, z, t )

d y

dt= vy (x, y, z, t ) (1.8)

dz

dt= vx (x, y, z, t )

1.6 Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin 13

En este caso el tiempo juega el papel de variable independiente y no de simple parmetro como

suceda en el caso de las lneas de corriente. En el caso en que flujo sea estacionario el tiempo no est

presente en la expresin de campo de velocidades por lo que formalmente las expresiones para las

lneas de corriente y las trayectorias son idnticas por lo que ambas curvas coinciden.

1.6.3. Lneas de emisin

Son las curvas ms fcilmente obtenibles de forma experimental, basta inyectar un colorante,

por ejemplo mediante una aguja hipodrmica, en un punto del seno del fluido. Todos los puntos de la

curva cumplen la condicin de haber pasado en un instante determinado por el punto de emisin del

colorante. As pues llamaremos curva de emisin a la curva que une aquellos puntos materiales que

han pasado en un cierto instante por una posicin dada en el seno del fluido. Para ver las ecuaciones

de las curvas de emisin consideremos la definicin de flujo

x= x(, t )

Vamos a evaluar a partir de la anterior expresin que partculas han pasado por un cierto punto y en

el instante s tal que 0 s t . Puesto que la anterior expresin es invertible, estas partculas vendrndadas por la expresin

= (y, s)

una vez que conocemos las partculas, vamos a ver que posicin ocupan en un cierto instante t ,

sustituyendo la anterior expresin en la ecuacin del flujo

x= x((y, s), t ) (1.9)

En la anterior expresin, s juega el papel de parmetro que nos describe la curva y t el instante en

el que consideramos la curva. La lnea de emisin al igual que la lnea de corriente est formada por

diferentes partculas, mientras que la trayectoria se refiere a la curva descrita por una nica partcula.

La figura 1.4 nos muestra a unas linas de emisin que surgen de los bordes de una pequea esfera

situada en una corriente de aceite. En el caso de flujo estacionario, la lnea de emisin coincide con

la lneas de corriente y la trayectoria.

Ejemplo 1.3 Considerar el campo de velocidades vx = x/(1+t ), vy = y, vz = 0. Calcular las expresiones


Figura 1.4: Lneas de emisin (streak lines) en torno a una esfera.(Fuente: G.K. Batchelor. An introduction toFluid Mechanics. Cambridge).

de las lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin.

SOLUCIN

Para el clculo de las lneas de corriente emplearemos la expresin

dx

vx= d y

vy= dz

vz

que en nuestro caso particular toma la forma

dx

x/(1+ t ) =d y

y= 0

dz

Est claro que las lneas de corriente deben de obtenerse a lo largo de los planos z = constante. Inte-grando la primera igualdad

(1+ t ) log( xx0

)= log( yy0

)

de dondey

y0=(

x

x0

)1+tsiendo t un parmetro. Por ejemplo para t = 0 sern rectas, mientras que para t = 1 sern parbolas.

Para el clculo de la trayectoria, tenemos

dx

dt= x

1+ td y

dt= y

dz

dt= 0

1.7 Estudio de la deformabilidad del continuo 15

integrando,

x

x0= 1+ t

y

y0= exp(t )

z = constante

eliminando t , obtenemos

y = y0 exp(

x

x01)

Para el clculo de las lneas de emisin, transformamos la ecuacin de la trayectoria en una ecua-

cin para el flujo, llamando = x0 y = y0, obtenemos

y = e t

x = (1+ t )

>Que partculas han pasado por el punto (a, b) en un cierto instante s? Basta eliminar de las expre-

siones del flujo (,),

= a1+ s

= bes

sustituyendo en la expresin del flujo para evaluar en que posicin se encuentran las partculas en el

instante t obtenemos

y = be(ts)

x = a1+ s (1+ t )

1.7. Estudio de la deformabilidad del continuo

Una de las propiedades del continuo es su capacidad de sufrir deformaciones sin romperse, pues

segn nuestras hiptesis le fluido no se rompe, salvo en un conjunto de medida nula.


1.7.1. Deformacin del vector desplazamiento, vector superficie y volumen

Vector desplazamiento

Vamos a considerar que tenemos dos partculas prximas cuya posicin relativa en un instante

inicial viene dada por el vector . En el curso del tiempo las partculas cambian de posicin de tal

forma que en un cierto instante t la posicin relativa viene dada por el vector x. Supuesto que no

haya transcurrido un intervalo de tiempo muy grande y dada nuestra hiptesis de que dos partculas

muy prximas van a permanecer prximas, podemos suponer que existe una relacin lineal entre

ambos vectores, esto es supondremos que

x i = xi

j j

Expresada en forma vectorial la anterior relacin, tenemos

x= GRADx (1.10)

Esta ecuacin nos dice como se deforman los vectores desplazamiento.

Vector superficie

Vamos a ver como se deforman los elementos de superficie. Como sabemos la ecuacin param-

trica de una superficie viene dada por una expresin de la forma

x= x(u, v)

estando los parmetros (u, v) definidos en un cierto dominio de R2. El elemento de superficie se pue-

de expresar como

= xy

siendo x y y sendos vectores a lo largo de las lneas coordenadas v = cte y u = cte respectivamente.En coordenadas cartesianas eulerianas las componentes las podemos poner como

i = i j kx jy k

1.7 Estudio de la deformabilidad del continuo 17

ahora bien, de acuerdo a las expresiones para la deformacin de los desplazamientos (1.10), x i =x i / j j , podemos poner

i = i j kx i

pxk

qpq

multiplicando por x i /r , tenemos

x i

ri = i j k

x i

rx i

pxk

qpq

de la definicin de Jacobiano,x i

ri = pqr Jpq .

Ahora bien, puesto que

pqrpq = r ,

siendo r el elemento de superficie en el instante inicial, tenemos

x i

ri = Jr

que en forma vectorial podemos poner

GRADx (x)= J() (1.11)

que no dice como se deforman los elementos de superficie.

Volumen

Multiplicando la anterior expresin a la izquierda y a la derecha por r , obtenemos

rx i

ri = Jrr

ahora bien, la cantidad

rr = V ()

representa el elemento de volumen en el instante inicial, mientras que

rx i

ri = x ii = V (x)


representa el elemento de volumen en el instante t , por lo que podemos escribir,

V (x)= JV ()

que nos dice como se deforman los elementos de volumen. Podemos invertir las ecuaciones que nos

dan las deformaciones y escribir

= GRADx xGRADx () = j(x)

V () = jV (x)

siendo j el inverso del jacobiano J .

Nos interesa ahora analizar como se deforman no las componentes de los vectores si no sus valo-

res absolutos, para ello consideremos que

ds2 = dx i dx i = xi

jx i

k jk

LLamemos C al tensor

C| j k =x i

jx i

k

tendremos

ds =

||C

|| ||

puesto que /|| =M es un vector unitario, la cantidad

= dsxds

=p

MCM

nos da la tasa de extensin o estiramiento.

1.8. Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, superficie y

volumen

En la seccin anterior nos hemos preocupado de estudiar como se deforman los elementos de

longitud, superficie y volumen, vamos a analizar en esta seccin a que velocidad lo hacen. Para ello

vamos a considerar en primer lugar la velocidad de deformacin del vector desplazamiento elemen-

1.8 Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, superficie y volumen 19

tal,D

Dt(x i )=

t(x i )=

pasando a coordenadas lagrangianas

= t

(x i

j j)= t

(x i

j

) j =

j

(x i

t

) j = v

i

j j

volviendo otra vez a las coordenadas eulerianas,

D

Dt(x i )= v

i

j j = v

i

xkxk

j j = v

i

xkxk = v i .

En forma vectorial podemos escribir la anterior expresin como

D

Dt(x)= v= GRADv x

Multiplicando por x,

x DDt

(x)= x GRADv x

Teniendo en cuenta que s2 = x x es por lo que

sDs

Dt= x D

Dt(x)

y por tanto

sDs

Dt= x GRADv x

dividiendo por s2

1

s

Ds

Dt=M GRADv M (1.12)

siendo M el vector unitario

M= xs

.

En cuanto a la variacin temporal del elemento de superficie tenemos,

D

Dt

(x i

ji

)= t

(J j )= Jt

j


puesto que el jacobiano J tiene por expresin

J = 13!i j k

pqr xi

px j

qxk

r

derivando parcialmente respecto del tiempo a constante,

J

t= 3 1

3!i j k

pqr

t

(x i

p

)x j

qxk

r=

= 3 13!i j k

pqr(v i

p

)x j

qxk

r= 3 1

3!i j k

pqr

(v i

x lx l

p

)x j

qxk

r=

= 3vi

x l1

3!i j k

pqr xl

px j

qxk

r= 3v

i

x l1

3!i j k

l j k J

Ahora bien, puesto que

i j kl j k = 2li

tenemosJ

t= 6 1

3!

v i

x lli J =

v i

x iJ = DIVvJ .

As pues hemos obtenido el importante resultado que

D J

Dt= J DIVv (1.13)

sustituyendo,

t

(x i

ji)= J DIVv j

desarrollando el miembro de la izquierda

t

(x i

ji)= t

(x i

j

)i +

t(i )

x i

j

puesto que

t

(x i

j

)= v

i

j

tenemos

t

(x i

ji)= v

i

ji + x

i

j

t(i )= DIVvJ j

1.8 Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, superficie y volumen 21

despejando,x i

j

t(i )= DIVvJ j v

i

ji = DIVvJ j v

i

xkxk

ji

intercambiando los ndices i y k en el ltimo trmino del segundo miembro, se obtiene

x i

j

t(i )= DIVvJ j v

k

x ix i

jk

teniendo en cuenta que de la ecuacion 1.11,

J j = xi

ji

obtenemosx i

j

t(i )= DIVvx

i

ji v

k

x ix i

jk

sacando factor comn a (x i / j ) y anulando, resulta

D

Dti = DIVvi v

k

x ik

que en forma vectorial se expresa como

D

Dt= DIVvGRADv (1.14)

multiplicando por

D

Dt= DIVv GRADv

teniendo en cuenta que

D

Dt= 1

2

D

Dt||2

obtenemos1

2

D

Dt||2 = DIVv||2N GRADv N||2

siendo N el vector unitario

N= ||dividiendo por ||2 tenemos

1

||D

Dt|| = DIVvN GRADv N (1.15)


que nos da la tasa de expansin del valor absoluto del elemento de superficie.

En cuanto a la tasa de expansin del elemento de volumen, tenemos

D

DtVx =

t(JV)=

J

tV = DIVvJV = DIVvVx

donde hemos tenido en cuenta que Vx = JV y que D J/Dt = DIVvJ , as pues

1

Vx

D

DtVx = DIVv (1.16)

que nos da la tasa de expansin relativa del elemento de volumen.

1.9. Teorema de conservacin de la masa

Consideremos una porcin de materia que no pierde su individualidad en el curso del tiempo, o

sea, est compuesto siempre por las mismas partculas. En el curso del tiempo esta porcin de mate-

ria se deformar cuanto quiera pero siempre tendr la misma masa pues esta compuesto siempre de

las mismas partculas, as pues M = Mx y por tanto V = xVx . Vimos antes que

Vx = JV

y por tanto

= Jx (1.17)

de donde se deduce que la densidad no es una magnitud escalar si no una densidad tensorial de

peso uno (el exponente del Jacobiano). Tomando la derivada msica (las partculas que componen la

porcin del fluido son siempre las mismas)

D JxDt

= DDt

= t

= 0

ahora bienD Jx

Dt= J Dx

Dt+x D J

Dt

y puesto queD J

Dt= J DIVv

1.10 Tensor velocidad de deformacin 23

tenemos

JDxDt

+x J DIVv= 0

y puesto que el jacobiano es distinto de cero, resulta

DxDt

+x DIVv= 0 (1.18)

que es la ecuacin de continuidad. Teniendo en cuenta que

DxDt

= tx +GRADx

la ecuacin de continuidad la podemos escribir en coordenadas eulerianas como

tx +DIV(x v)= 0 (1.19)

La cantidad (x v) expresa el flujo de masa a travs de una superficie y la divergencia de esta cantidad

expresa cuanta masa se ha ganado o perdido a travs de una superficie cerrada fija en el espacio y por

tanto expresa la variacin de la densidad, pues el volumen encerrado por la superficie es el mismo.

1.10. Tensor velocidad de deformacin

Tanto en el estudio de la velocidad de deformacin de los elementos de lnea y superficie aparece

el tensor GRADv, vamos a a analizar con mayor profundidad este tensor. En coordenadas cartesianas

eulerianas este tensor tiene por expresinvix j

que podemos descomponer en su parte simtrica y antisimtrica de la siguiente manera

vix j

= 12

(vix j

+ v jx i

)+ 1

2

(vix j

v jx i

)Designemos por

ei j = 12

(vix j

+ v jx i

)a la parte simtrica y

i j = 12

(vix j

v jx i

)


a la parte antisimtrica. Utilizando estos nuevos tensores, la tasa de deformacin del elemento de

longitud resulta ser1

s

D

Dts = x

i

s(ei j +i j )x

j

s

Se tiene por otra parte que el producto contrado de un tensor simtrico y otro antisimtrico es nulo,

por lo que en la anterior expresin resulta que

x i

si j

x j

s=i j x

i

s

x j

s= 0

puesi j es antisimtrico por construccin y

x i

s

x j

s

es simtrico. As pues1

s

D

Dts =M E M

siendo E la parte simtrica del tensor GRADv. Este tensor recibe el nombre de tensor velocidad de

deformacin. Vamos a ver el significado de sus elementos. Para ello consideremos un vector despla-

zamiento elemental que tiene como componentes (x1,0,0), esto es un vector de longitud s = x1situado a lo largo del eje 1, la tasa de deformacin de este vector vale

1

s

D

Dts = 1

x1D

Dtx1 =Mi ei j M j = i1ei j j1 = e11 =

v1

x1

As pues e11 representa la tasa de extensin relativa de un vector situado a lo largo del eje 1, lo mismo

suceder cono el eje 2 y eje 3. Podemos concluir por tanto que los elementos de la diagonal del tensor

velocidad de deformacin representan la tasa de extensin de sendos vectores situados a lo largo de

cada eje. La traza del tensor viene dada por

v1

x1+ v

2

x2+ v

3

x3

que es la divergencia del campo de velocidades y como vimos antes representa la velocidad de cambio

del elemento de volumen. Para ver que representan los elementos fuera de la diagonal, considerar dos

vectores desplazamiento que forman un cierto ngulo entre ellos. El coseno del ngulo formado por

ambos segmentos lo podemos calcular como el producto escalar entre los dos vectores

x y= ss cos= x iy i


x

y

Figura 1.5:

siendo s y s la longitud de los vectores. Derivando en ambos miembros tenemos

D

Dt(ss cos)= D

Dt(x iy i )

expandiendo las derivadas,

D

Dt(s)s cos+s D

Dt(s)ss sen D

Dt= v ixy i +v iyx i

tomando=pi/2,

ss DDt|90 = v ixy i +v iyx i =

v i

xkxky i + v

i

xkx iy k

cambiando los ndices repetidos del ltimo trmino del segundo miembro,

ss DDt|90 = v

i

xkxky i + v

k

x ixky i =

(v i

xk+ v

k

x i

)xky i = 2ei kxky i

dividiendo por ss, tenemosD

Dt|90 =2M i ei k M

k

siendo M i , Mi sendos vectores unitarios en la direccin de los vectores x, y . Suponer ahora que

tomamos los vectores anteriores a lo largo de dos vectores base de una base ortogonal, por ejemplo

uno a lo largo del eje x y el otro el eje y , en este caso M i = i1 y Mi = i2 por tanto

D

Dt|90 =2i1ei j j2 =2e12


As pues e12 representa la velocidad a la que dos vectores situados a lo largo del los ejes 1,2 se es-

tn acercando o alejando. Para ilustrar de forma grfica lo que acabamos de demostrar, considerar

un punto en un fluido cuyas coordenadas son (0,0) respecto de un sistema de referencia ortogonal.

Considerar otros dos puntos con coordenadas (x,0) y (0,y). La velocidad relativa de estos dos pun-

[0, (v /x )x ]

[(u /y )y , 0]

[0,0]

1

2x

y

Figura 1.6:

tos respecto del origen ser, para el punto 1

u = ux

x+ uy

y = ux

x

v = vxx+ v

yy = v

xx

y para el punto 2

u = ux

x+ uy

y = uy

y

v = vxx+ v

yy = v

yy

Consideremos nicamente el efecto transversal sobre cada punto, pues los efectos longitudinales (u

para el punto 1 y v para el punto 2) lo que hacen es separar a ambos puntos respecto del origen.

Debido a estos efectos transversales, la recta unida al punto 1 barre un ngulo y la recta unida al

punto 2 barre un ngulo . Considerando ngulos muy pequeos en los que podamos aproximar el

arco por su seno o su tangente, tenemos

= yx

= 1x

(v

xxt

)= vxt


y

= xy

= 1y

(u

yyt

)= uy

t

y por tanto

d

dt= v

xd

dt= u

y

La velocidad con la que el ngulo de 90 grados va disminuyendo ser

D

Dt()=

(d

dt+ d

dt

)=(v

x+ uy

)=2ex y

que es el resultado que obtuvimos antes de forma ms rigurosa.

Segn hemos visto en las secciones anteriores, e11, e22 y e33 representan la tasa de extensin de

sendos vectores situados a lo largo de los ejes (1,2,3). Obviamente estas tasas de extensin depende-

rn de como hayamos elegido el sistema de referencia. La pregunta que nos hacemos es >Cual es el

sistema de referencia, si existe, para el cual e11, e22 y e33 representen las mximas tasas de extensin

?. Para contestar a esta pregunta recordemos que la tasa de extensin relativa viene dada por

1

s

D

Dts =mi ei j m j

siendo mi las componentes del vector unitario que nos marcan la direccin del vector cuya tasa de

extensin estamos analizando. Para calcular el mximo debemos derivar respecto de mi , teniendo

en cuenta que los vectores son unitarios y por tanto mi mi 1 = 0. Utilizando un multiplicador deLagrange , la ecuacin que nos da el mximo toma la forma

mk(mi ei j m j +(1mi mi ))= 0, k = 1,2,3

Derivando

i k ei j m j +mi ei j j k 2i k mi = 0

de donde

ek j m j +mi ei k 2mk = 0


llamando i al ndice mudo j en el primer trmino y dada la simetra de ei j tenemos

mi ei k mk = 0

que en forma de matriz

[E][M]=[M]

que es una ecuacin en valores propios, cuyos autovalores son los multiplicadores de lagrange y los

vectores propios son la direcciones que estamos buscando. Como el tensor E es simtrico esta ecua-

cin siempre tiene soluciones, as pues la base donde el tensor E es diagonal nos marca las direcciones

en las que las tasas de expansin son mximas y sus autovalores nos marcan cuales son las tasas de

expansin, pues en esta nueva base

[E]=

1 0 0

0 2 0

0 0 3

Como en esta nueva base los elementos fuera de la diagonal son ceros, slo se estn produciendo

estiramientos o contracciones a lo largo de los vectores base.

Volvamos a nuestro tensor gradiente de velocidades y analicemos su parte antisimtrica

i j = 12

(ui

x j u

j

x i

)Este tensor tiene nicamente tres elementos distintos y le podemos asociar un vector de tres compo-

nentes2 de la siguiente manera. De la definicin dei j

i j = 12

(ui

x j u

j

x i

)teniendo en cuenta que

i jpq A

pq = Ai j A j i

tenemos que

i j = 12

pqi j

vp

xq= 1

2kpqki j

vp

xq=1

2kqpki j

vp

xq

2Este proceso de asociar un vector a un tensor antisimtrico de segundo orden solo es posible en R3


expresin en la que hemos intercambiado los ndices p y q. Ahora bien

kqpvp

xq= (v)k = k

y por tanto

i j =12ki jk =

1

2ki j (v)k

Multiplicando en ambos miembros por l i j tenemos

l i ji j =1

2l i j ki jk =kl k =l =(v)l

As pues vemos que la parte antisimtrica del tensor gradiente de velocidades coincide con el rota-

cional de dicho campo. >Que significado fsico podemos asociar al tensor i j ?. Para ello fijmonos

en la figura 1.6. La velocidad rotacional media vendr dada por

= 12

(d

dt d

dt

)pues las variaciones de los ngulos y son de signo contrario, pero segn vimos antes

d

dt= v

xd

dt= u

y

de donde

= 12

(v

x uy

)= 1

2(v)z

as pues, un medio del rotor nos da la velocidad angular de rotacin media. Hay que tener en cuenta

que el fluido no es un slido rgido y por tanto slo podemos hablar de una velocidad angular media.

Resumiendo, hemos visto que la deformacin relativa en el entorno de un punto viene dada por la

diferencia de velocidades entre dicho punto, que tomamos como origen, y un punto cualquiera de su

entorno, esto es por

v i = vi

x jx j

separando en las partes simtrica y antisimtrica tenemos

v i = ei jx j +i jx j = ei jx j 12ki jkx

j = ei jx j + 12i k jkx

j = ei jx j + (x)i


la primera parte mide la deformacin mientras que la segunda parte mide la rotacin.

Ejemplo 1.4 Analizar el flujo bidimensional cuyo campo de velocidades viene dado por la expresin

v= u(y)i

Este tipo de flujo recibe el nombre de cizalla.

SOLUCIN

El tensor gradiente de velocidades viene dada por la expresin

GRADv=

ux

uy

uz

vx

vy

vz

wx

wy

wz

=

0 2 0

0 0 0

0 0 0

siendo 2= u/y . Puesto que la traza del tensor es cero, la divergencia es cero y por tanto el flujo esiscoro. La partes simtrica y antisimtrica valen

E=

0 0

0 0

0 0 0

, =

0 0

0 00 0 0

Puesto que los elementos de la diagonal del tensor E valen cero, no existen estiramientos ni contrac-

ciones en las direcciones (i, j,k). As mismo los ejes (x, y) se estn acercando con una velocidad dada

por . Para ver en que direccin se producen los mximos estiramientos diagonalizamos la matriz

anterior. Como en el eje z no existe flujo, vamos a preocuparnos nicamente de lo que pasa en el

plano (x, y). La diagonalizacin de la matriz (0

0

)

conduce a un par de autovalores, = y dos autovectores

v1 = 1p2

(i+ j)

v2 = 1p2

(i+ j)


De acuerdo con lo dicho anteriormente el flujo produce un estiramiento en las direcciones dadas por

los dos vectores anteriores. Supongamos que > 0, como = una de las direcciones marcar unestiramiento y la otra una contraccin. Supongamos que el estiramiento se produce en la direccin

v1 y la contraccin en la direccin v2. >Cmo son las lneas de corriente en torno a un punto dado

que tomamos como origen y con velocidad cero, supuesto que el flujo nicamente tenga en cuenta

al tensor E ?. El campo de velocidades en torno a dicho punto ser

v= Ex

En la base (v1,v2)

v=( 0

0

)x

Un punto situado en el eje 1 tendr como velocidad relativa

v=( 0

0

)(x1

0

)=(x1

0

)

y por tanto se estar alejando del origen tanto para puntos tomados en el semieje positivo x1 > 0como el semieje negativo. Lo contrario sucede para un punto situado a lo largo del eje 2

v=( 0

0

)(0

x2

)=(

0

x2

)

Ahora los puntos situados en la parte positiva del eje se estn acercando al origen y los de la parte

negativa tambin. >Que pasa para puntos situados en los antiguos ejes coordenados (x, y)

El punto de coordenadas x(p

2,0) en la base antigua, tiene como coordenadas x(1,1) en labase nueva y por tanto su velocidad ser

v=( 0

0

)(x

x

)=(x

x

)

que es un vector dirigido en la direccin del eje +y original. Si consideramos que el punto esta enx(1,1), esto es en la parte negativa del eje x de la base antigua, ahora

v=( 0

0

)(xx

)=(xx

)


que es un vector dirigido hacia el eje y de la base original. Si tomamos nuestro punto en el eje +yde la base original, en la base nueva tiene por coordenadas y(1,1) y por tanto

v=( 0

0

)(y

y

)=(

y

y

)

que es un vector dirigido a lo largo del eje+x de la base original. Por el contrario si el punto esta en eleje y , en la base nueva tiene por coordenadas y(1,1) y su velocidad relativa ser

v=( 0

0

)(yy

)=(y+y

)

que es un vector dirigido a lo largo del ejex de la base original. Podemos expresar mediante la figura1.7 todo lo dicho anteriormente. que constituye un movimiento de deformacin pura sin cambio de

vv 12

Figura 1.7:

volumen, pues su divergencia es cero.

>Que pasa con la parte antisimtrica ?. En este caso segn vimos antes

v= x

siendo = 12v. Teniendo en cuenta que en el caso que nos ocupa v=u/y k=2k, tene-


mos, =k, por lo que

v=kx=(

y

x

)

Si representamos este movimiento obtendremos una rotacin en torno al origen, ver figura 1.8. Si

vv 12

Figura 1.8:

vv 12

Figura 1.9:

superponemos los dos movimientos, vemos que en los puntos a lo largo del eje x se anulan ambos

flujos resultando una cizalla a lo largo del eje y , ver la figura 1.9. Vemos pues que una cizalla es en

realidad suma de una rotacin y una deformacin pura sin cambio de volumen. Este resultado es

importante pues cerca de superficies slidas donde se producen las cizallas ms importantes el flujo

va a ser rotacional. Que una cizalla da lugar a un flujo rotacional lo podemos visualizar poniendo en

el seno de la cizalla un molinete y ver que efectivamente este molinete gira. Otro punto a destacar es

el hecho que no tenemos que tener un giros para que el rotor del campo sea distinto de cero.

1.10.1. Tensor de Cauchy y GreenVenant

En la teora de la elasticidad no importa tanto la velocidad con la que se deforma el continuo si no

cuanto lo hace. Suponer que tenemos un par de puntos (A,B) separados por un vector . Suponer

que a cuenta de la deformacin el punto A ha pasado a ocupar la posicin A y el B la posicin B


formando con los puntos originales dos vectores u y u. El segmento original AB tiene una longitudal cuadrado dada por la cantidad

s20 = j k jk

y el segmento AB resultante de la deformacin tiene como cuadrado de la longitud la cantidad

s2 = x ix i = xi

jx i

k jk

la variacin sufrida vendr dada por

s2s20 =(x i

jx i

k j k

) jk

La cantidad entre corchetes recibe el nombre de tensor de GreenVenant. En imagen euleriana la an-

terior expresin toma la forma

s2s20 =( j k

i

x ji

xk

)x jxk

La cantidad entre corchetes recibe el nombre de tensor de Cauchy

Nos interesa poner los anteriores tensores en trminos del desplazamiento u sufrido por cada

partcula. Llamando ui = x i i , tenemos

i

x j= x

i

x j u

i

x j= ij

ui

x j

Calculando a partir de esta expresin el tensor de Cauchy, tenemos

s2s20 =[ j k

(ij

ui

x j

)(ik

ui

xk

)]x jxk =

[ui

x j+ u

i

xk u

i

x jui

xk

]x jxk .

Despreciando trminos de segundo orden,

s2s20 = (ss0)(s+s0)=(ui

x j+ u

i

xk

)x jxk

supuesto que s s0, tenemos s+s0 2s, por lo que

1

s(ss0)= 1

2

(ui

x j+ u

i

xk

)x j

s

xk

s

1.11 Teorema de Reynolds 35

expresin anloga a la encontrada para fluidos en las que se ha sustituido el vector velocidad por el

vector desplazamiento en la definicin del tensor de deformacin.

1.11. Teorema de Reynolds

Diremos que un volumen del fluido es un volumen del sistema, si este volumen esta siempre

compuesto por las mismas partculas. Considerar un volumen del sistema V (t ), se verifica que

D

Dt

V (t )

(x, y, z, t )V =V (t )

[D

Dt+(DIVv)

]V (1.20)

Para su demostracin, pasemos a hacer la integral en trminos de la imagen lagrangiana ,

D

Dt

V (t )

(x, y, z, t )V = t

V

JV

puesto que las partculas son siempre las mismas, podemos introducir el tiempo dentro de la integral

por lo que

t

V

JV =V

t(J)V =

V

(J

t+

tJ

)V

teniendo en cuenta la expresin obtenida previamente para la variacin del jacobiano con el tiempo

tenemos,

t

V

JV =V

(

t+DIVv

)JV

volviendo otra vez a la imagen euleriana

D

Dt

VV =

V

(D

Dt+DIVv

)V

como queramos demostrar.

Resulta especialmente interesante el caso en el que se puede poner como f siendo la densi-

dad y f una propiedad cualquiera del fluido. En este caso

D

Dt

V (t )

f V =V (t )

[D( f )

Dt+ f DIVv

]V =

V (t )

{

D f

Dt+ f[DIVv+ D

Dt

]}V

Ahora bien habida cuenta de la ecuacin de continuidad el trmino entre corchetes se anula, por lo

que resultaD

Dt

V (t )

f V =V (t )

D f

DtV


Se puede reformular la forma del teorema de Reynolds en trminos del llamado volumen de con-

trol. Contrariamente al volumen del sistema que se mueve con el fluido de tal forma que siempre

est compuesto de las mismas partculas, el volumen de control est fijo en el espacio y las partculas

de fluido entran y salen de l. Para deducir esta nueva forma del teorema de Reynolds volvamos a la

expresin generalD

Dt

V (t )

(x, y, z, t )V =V (t )

[D

dt+(DIVv)

]V

desarrollando la derivada msica del interior de la integral, tenemos

D

Dt

V (t )

(x, y, z, t )V =V (t )

[

tx+v GRAD+(DIVv)

]V

ahora bien

v GRAD+(DIVv)= DIV(v)

por lo queD

Dt

V (t )

(x, y, z, t )V =V (t )

txV +

V (t )

DIV(v)V

y empleando el teorema de OstrogradskyGauss

D

Dt

V (t )

(x, y, z, t )V =V (t )

txV +

Vv

siendo V la superficie cerrada que rodea al volumen. Como en la integral de volumen del trmino de

la derecha aparece la derivada local, podemos considerar a dicho volumen como un volumen fijo que

en un instante dado coincide con el volumen del sistema que en ese instante ocupa dicha posicin,

as puesD

Dt

V (t )

(x, y, z, t )V =V (x)

txV +

V (x)

v (1.21)

Podemos analizar varios ejemplos. Suponiendo que sea la densidad ,

D

Dt

V (t )

(x, y, z, t )V =V (x)

txV +

V (x)

v

ahora bien el trmino de la izquierda es cero, pues representa la derivada msica de la masa del volu-

men del sistema, por lo que V (x)

txV +

V (x)

v = 0

1.11 Teorema de Reynolds 37

o lo que es lo mismo

tx

V (x)

V +V (x)

v = 0

que es otra expresin de la ecuacin de continuidad. La cantidadV (x)

v =V (x)

(v n)

donde hemos puesto que el elemento de superficie = n, representa el flujo de masa a travs dela superficie, mientras que

tx

V (x)

V

representa la variacin local de la masa. Podemos por tanto decir, a la luz de las anteriores expre-

siones, que la variacin de masa en un volumen de control es igual al flujo de masa a travs de su

superficie.

Otro caso interesante es aquel en el que = v, por lo que

D

Dt

V (t )

vV =V (x)

(v)

txV +

Vv(v n)=

V (x)

(v)

txV +

V(vv)n

Como antes, la integral de superficie representa el flujo de momento mientras que la variacin tem-

poral de la integral extendida al volumen de control representa la variacin local del momento. Al

igual que el flujo local de masa lo podemos poner como el vector v, el flujo local de momento lo

podemos expresar como el tensor vv.

Ejercicio 1.1 Calcular cuanto vale la variacin temporal de la integral de lneaC (t )

r

siendo C (t ) un circuito compuesto siempre por las mismas partculas.

SOLUCIN

Debemos de evaluarla expresinD

Dt

C (t )

r

Para poder introducir dentro del signo integral la derivada temporal, al igual que en el caso del teore-

ma de Reynolds, vamos a pasar a la imagen lagrangiana

D

Dt

C (t )

r= t

C ()

(, t )x


donde conx

queremos denotar al tensor x i / j . Introduciendo ahora la derivada temporal dentro de la integral

tenemosD

Dt

C (t )

r=

C ()

(, t )

t

x

+

C ()

(, t )

t(x

)

puesto que la derivada respecto de t y conmutan

t(x

)= v

sustituyendo, tenemos

D

Dt

C (t )

r=

C ()

(, t )

t

x

+

C ()

(, t )(v

)=

=

C ()

(, t )

tr+

C ()

(, t )v

pasando de nuevo a la imagen euleriana

D

Dt

C (t )

r=

C (t )

D(x, t )

Dtr+

C (t )

(x, t )GRADvr

que es la expresin que andbamos buscando. Se propone al lector que calcule cual es la variacin

temporal de la integral de superficie cuando sta est compuesta siempre por las mismas partculas.

1.12. Teorema de Helmholtz

Teorema 1.12.1 (Helmholtz) Dado un campo vectorial v suficientemente liso (derivable y con deri-

vada continua hasta el grado que sea necesario), es posible expresarlo como

v= vD +vR

siendo vD un campo vectorial irrotacional y vR un campo vectorial solenoidal puro. Estos campos se

pueden expresar como, vD = y vR = siendo el potencial escalar y el potencial vector

1.12 Teorema de Helmholtz 39

definidos por la expresiones

= 14pi

vr

dV (x )+ 14pi

V

v nr

d(x ) (1.22)

= 14pi

(x )

rdV (x )+ 1

4pi

V

vnr

d(x ) (1.23)

siendo la vorticidad del campo v.

Sea P(x) el vector

P(x)= 14pi

v

rdV (x )

siendo r = |xx| la distancia entre el punto donde est definido el campo P y un punto cualquiera delvolumen al cual se extiende la integral. Supongamos que v tiende a cero con la suficiente velocidad

de tal forma que exista la anterior integral. Es posible demostrar que el campo P es diferencialble y

que verifica la ecuacin de Poisson,

2P =v

Dada la expresin vectorial

2P=(P) (P)

definiendo P= y P=, tenemos

v=+= vD +vR

De la definicin de ,

=P=x(

1

4pi

v

rdV (x )

)= 1

4pi

v(x ) x 1

rdV (x )

Ahora bien, x =x por lo que

= 14pi

v(x ) x 1

rdV (x )=+ 1

4pi

v(x ) x 1

rdV (x )=

= 14pi

x (v(x )

1

r

)dV (x ) 1

4pi

1

rx v(x )dV (x )

aplicando el teorema de la divergencia,

= 14pi

1

rx v(x )dV (x )+ 1

4pi

V

v nr

d(x )


De la misma manera es posible demostrar que

= 14pi

(x )

rdV (x ) 1

4pi

V

nvr

d(x )

Este teorema tiene bastante importancia en la atmosfera pues veremos que el camo de velocidades

se puede separar en un campo irrotacional (muy pequeo a gran escala) y un campo solenoidal.

1.13. Dinmica de fluidos

En las anteriores secciones hemos hablado del movimiento del fluido sin tener en cuenta las cau-

sas que lo producen, vamos a introducir en esta seccin el tipo de fuerzas a las que esta sometido el

fluido para acabar con las ecuaciones del movimiento que nos permite estudiar de forma completa

el movimiento del fluido.

Consideremos una porcin del fluido que tomaremos como nuestro sistema mecnico, las fuer-

zas que afectan a esta porcin del fluido las podemos dividir en dos clases

Fuerzas de Volumen Son aquellas que afectan a todas las partculas que forman el sistema por igual.

Ejemplo de este tipo de fuerzas son el campo gravitatorio, el campo electromagntico, fuerzas

inerciales, etc.

Fuerzas de Superficie Son fuerzas de corto alcance afectando nicamente a la superficie que sepa-

ra a nuestro sistema del resto del fluido. Obviamente las fuerzas no afectan a superficies si no

a volmenes, ahora bien el espesor de la capa afectada por las fuerzas superficiales es mu-

cho menor que la extensin de la superficie y desde luego mucho menor que el tamao tpico

del sistema mecnico que estamos considerando. El origen de estas fuerzas es molecular. Un

ejemplo clsico para comprender este tipo de fuerzas es el siguiente. Considerad una superficie

imaginaria que separa nuestro sistema mecnico del resto del fluido. Suponed que las veloci-

dades de las molculas son diferentes a un lado y otro de la superficie. Al atravesar la superficie

las molculas llevan consigo el momento de la regin origen, este momento es entregado a la

regin destino haciendo que las regiones se aceleren o se frenen apareciendo por tanto una

fuerza. Podemos imaginar este proceso como un par de trenes que viajan por dos va paralelas

con velocidades diferentes que representan el estado del fluido a un lado y otro de la superficie

que los separa. Imaginar que unos obreros lanzan sacos terreros de un tren a otro (las molcu-

las que atraviesan la superficie). Los sacos terreros que salen del tren rpido cuando lleguen al

tren lento le comunicaran su momento y este tender a acelerarse, por el contrario, los sacos

que salgan del tren lento cuando lleguen al tren rpido adquirirn momento en la direccin de

1.13 Dinmica de fluidos 41

marcha del tren tendiendo este a frenarse. Como resultado de este intercambio un tren se ace-

lera y otro se frena, se produce por tanto una fuerza. Este fuerza tiene un alcance muy limitado,

el del recorrido libre medio. Como en mecnica del continuo no sabemos nada de molculas

ni de sacos terreros, vamos a parametrizar estas fuerzas superficiales mediante un vector t(x,n)

que depende de la posicin x y de la orientacin de la superficie n de tal forma que t(x,n) re-

presenta la fuerza que ejerce la regin hacia donde apunta n sobre la regin desde donde emerge

n

t(x,n)

d

Figura 1.10:

Considerando por tanto ambos tipos de fuerzas la fuerza total ejercida sobre nuestro sistema mec-

nico vale,

F=VfV +

V

t(x,n) (1.24)

siendo f la fuerza volmica por unidad de masa.

Teorema 1.13.1 Las fuerzas de superficie estn localmente en equilibrio.

Consideremos un sistema mecnico que consiste en una porcin del fluido, de acuerdo con las

leyes de Newton se debe de verificar que la variacin temporal de la cantidad de momento ha de ser

igual a la suma de las fuerzas exteriores ejercidas sobre el sistema,

D

Dt

VvV =

VfV +

V

t(x,n)

siendo V un volumen del sistema. De acuerdo con el teorema de Reynolds resulta que

D

Dt

VvV =

V

D

DtvV =

VaV

por lo que VaV =

VfV +

V

t(x,n)


Si hacemos tender el volumen a cero, la anterior expresin toma la forma

aV = fV + t(x,n)

Si nos fijamos en esta expresin vemos que el trmino de la izquierda tiende a cero como r 3, siendo

r el radio del pequeo elemento de volumen. De los dos trminos que aparecen a la derecha de la

igualdad, el primero tiende a cero tambin como r 3, mientras que el segundo tiende a cero como r 2,

por lo que, para que se mantenga la igualdad hemos de anular idnticamente este trmino, esto es

cuando V tiende acero necesariamente V

t(x,n)

ha de hacerse cero. Esto significa que las fuerzas superficiales han de estar localmente en equilibrio

mecnico.

1.14. Tensor de esfuerzos

Vamos a aprovechar el teorema anterior para poner de forma explcita la dependencia del vec-

tor de fuerzas superficiales t(x,n) respecto de la normal n. Para ello considerad el tetraedro que se

muestra en la figura 1.11. De acuerdo con el teorema anterior se debe de verificar que

a

b

c

d(n)

d(-c)

d(- b)d(- a)

Figura 1.11:

t(x,n)(n)+ t(x,a)(a)+ t(x,b)(b)+ t(x,c)(c)= 0

cuando el volumen del sistema tiende a cero. Segn el principio de accin y reaccin

t(x,c)=t(x,c)

1.14 Tensor de esfuerzos 43

por lo que

t(x,n)(n) t(x,a)(a) t(x,b)(b) t(x,c)(c)= 0

Ahora bien resulta que las reas laterales son la proyeccin del area transversal esto es

(a)= (n)a n

sustituyendo, tenemos

t(x,n)(n) (t(x,a)a t(x,b)b t(x,c)c) n(n)= 0

por lo que

t(x,n)= (t(x,a)a t(x,b)b t(x,c)c) n

La cantidad entre parntesis no depende de n, lo llamaremos tensor de esfuerzos y lo representaremos

por T por lo que

t(x,n)=Tn (1.25)

donde vemos que hemos separado la dependencia de n. Dado que hemos empleado una base genri-

ca la anterior ecuacin es una ecuacin tensorial, esto es, es vlida cualquiera que sea la base elegida.

En trminos de componentes, la ecuacin anterior se escribe

ti (x,n)= Ti j (x)n j

Para ver el significado de cada elemento del tensor Ti j , consideremos un paraleleppedo. Sea n =(1,0,0) un vector unitario en la direccin del eje 1 (eje x), o sea es un vector unitario normal a la

superficie (zy). La fuerza superficial aplicada a esta cara tendr como componentes (T11,T21,T31).

Por tanto vemos que T11 es la componente normal a la cara 1, T21 representa la componente a lo

largo del eje 2 (y) de la fuerza ejercida sobra la cara 1 y T31 representa la componente 3(z) de la fuerza

ejercida sobra la cara 1. Idntico significado tendrn para el resto de las caras. As pues el primer

ndice representa la componente y el segundo la cara sobre la que se ejerce la fuerza.

Ejercicio 1.2 Demostrar basndose en el hecho que las fuerzas superficiales estn localmente en

equilibrio el principio de accin y reaccin

SOLUCIN


Considerar una esfera de volumen tan pequeo como queramos, de acuerdo con el teorema anterior,

los esfuerzos superficiales aplicados a la esfera se anulan idnticamente cuando hacemos tender el

volumen a cero. Suponer ahora que dividimos mentalmente a la esfera en dos semiesferas, de acuerdo

con el anterior teorema la distribucin de esfuerzos sobre cada semiesfera es nula,

t(n)d(c11)+ t(n)d(c12) = 0t(n)d(c21)+ t(n)d(c22) = 0

siendo c11, c12 la cara externa e interna de la semiesfera uno y c21, c22 la cara externa e interna de la

semiesfera dos. Sumando ambas ecuaciones

t(n)d(c11)+ t(n)d(c21)+ t(n)d(c12)+ t(n)d(c22)= 0

Ahora bien las caras c11, c21 reproducen la superficie exterior de la esfera y por tanto segn dijimos

al principio estn en equilibrio por lo que

t(n)d(c12)+ t(n)d(c22)= 0

ahora bien las normales a las dos caras son iguales salvo el signo, de donde resulta que,

t(n)d(c12) t(n)d(c12)= 0

y por tanto

t(n)=t(n)

como queramos demostrar. Podamos haber pensado el teorema de forma inversa, esto es para que

se siga verificando el principio de accin y reaccin es necesario que se verifique que las fuerzas

superficiales estn localmente en equilibrio.

Teorema 1.14.1 El tensor de esfuerzos es simtrico

DEMOSTRACIN

Para la demostracin del anterior teorema vamos a partir del teorema de conservacin del momento

angularDL

Dt=N


siendo L el momento angular y N el momento de las fuerza exteriores. Teniendo en cuenta que

L=V (t )

(rv)V

tenemosD

Dt

V (t )

(rv)V =N

aplicando el teorema del transporte de ReynoldsV (t )

D

Dt(rv)V =N

ahora bienD

Dt(rv)= Dr

Dtv+ r Dv

Dt= vv+ r Dv

Dt= ra

por lo que V (t )

ra=N

El momento de las fuerzas exteriores procede tanto de las fuerzas de volumen como de superficie,

tendremos

N=V (t )

(r f)V +V

[r t(x,n)]

sustituyendo tenemos V (t )

raV =V (t )

(r f)V +V

[r t(x,n)]

utilizando el teorema de la divergencia podemos pasar de la integral de superficie a una de volumen

resultando que la anterior expresin la podemos poner comoV (t )

raV =V (t )

(r f)V +V (t )

DIV[r t(x,n)]V .

En forma de componentes, teniendo en cuenta que

t(x,n)=Tn,

obtenemos V (t )

i j k r j akV =V (t )

i j k r j fkV +V (t )

x l(i j k r j Tkl )V


Derivando en el segundo trmino del miembro de la derecha,

x l(i j k r j Tkl )= i j k

r j

x lTkl +i j k r j

Tklx l

= i j k j l Tkl +i j k r jTklx l

= i j k Tk j +i j k r jTklx l

sustituyendoV (t )

i j k r j akV =V (t )

i j k r j fkV +V (t )

i j k r jTklx l

V +V (t )

i j k Tk jV

Haciendo ahora que el volumen del sistema tienda a cero, vemos que los tres primeros trminos

tienden a cero como r 4 mientras que el ltimo trmino tiende a cero como r 3 por lo tanto para que

la igualdad se mantenga es necesario que

i j k Tk j = 0

y por tanto, dado que

123T32+132T23 = 0312T21+321T12 = 0231T13+213T31 = 0

teniendo en cuenta que i j k vale uno si (i j k) es una permutacin par de (123) y menos uno si es

impar tendremos

T32T23 = 0T21T12 = 0T13T31 = 0

y por tanto el tensorT es simtrico3. Debido a esta simetra siempre es posible encontrar una base en

la que el tensor es diagonal. En esta base dado un paraleleppedo con aristas paralelas a los ejes coor-

denados, los esfuerzo ejercidos sobre sus caras son ortogonales a ellas, esto es solo tenemos esfuerzos

normales no tangenciales. Es fcil ver que la componente normal del esfuerzo vale

tn =n t=n T n= ni Ti j n j

3Aunque no lo hemos dicho explcitamente se ha supuesto que el fluido no es polar y por tanto no existe momentosintrnsecos internos


si el tensor es diagonal

tn = T11n21 +T12n22 +T13n23sobre la cara 1 del paraleleppedo (n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0) por lo que

tn(1)= T11

y lo mismo sucede con el resto de las caras. La componente tangencial viene dada por la expresin

(teorema de Pitgoras)

tt =

ti ti t 2n =

(Ti j n j )2 (ni Ti j n j )2

El tensor de esfuerzos lo vamos a separar en dos partes, una de ellas istropa y el resto, que lla-

maremos desviatoria

Ti j = 13

Ti ii j +Di jsiendo Ti i = T11+T22+T33 y por tanto

1

3Ti i

representa el valor medio de los esfuerzos normales. En forma matricial la anterior separacin la

podemos representar mediante la ecuacinT11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

= 13

Ti i 0 0

0 Ti i 0

0 0 Ti i

+

T11 13 Ti i T12 T13T21 T22 13 Ti i T23T31 T32 T33 13 Ti i

Teorema 1.14.2 La parte desviatoria del tensor de esfuerzos es nula cuando el fluido est en reposo

DEMOSTRACIN

Por hiptesis un fluido es incapaz de soportar aquellos esfuerzos que tiendan a deformarlo sin cam-

biar de volumen. Llamemos presin p a la cantidad (1/3)Ti i de tal forma que p en general es unacantidad positiva. La fuerza ejercida por la parte istropa vale,

ti =pi j n j =pni

esto es

t(n)=pn

la fuerza solo tiene componente normal y puesto que p > 0 esta fuerza representa una compresin


istropa. Supuesto que nuestro pequeo volumen es una esfera, la fuerza va a ser igual en todas la

direcciones y la esfera va a tender a disminuir de tamao, y por definicin, por tanto, el fluido se va

a oponer a nuestra tensin exterior, esto es, si queremos seguir deformando la esfera debemos de

continuar aumentando nuestra fuerza. En cuanto a la fuerza ejercida por la parte desviatoria, ser

ti = Ti j n j

tal que la suma de las fuerzas (en trminos escalares) a lo largo de los ejes coordenados es cero. Esto

significa que habr compresiones y expansiones, estas compresiones y expansiones deforman a la

esfera sin que esta tenga que cambiar necesariamente de volumen, como el fluido es incapaz de

soportar esfuerzos externos que no cambien el volumen, la esfera se deformar continuamente y

por tanto su estado de movimiento se hace incompatible con el reposo. Se tiene por tanto que en

situacin de equilibrio mecnico, nicamente es distinto de cero la parte istropa y por tanto,

t(x,n)=p(x)n (1.26)

Puesto que estamos en equilibrio la suma de las fuerzas exteriores ser nula y por tanto

0=VfV

V

pn

aplicando el teorema de la divergencia

0=V

(fGRADp)V

y como la anterior ecuacin es vlida para cualquier volumen

0= fGRADp (1.27)

que es la ecuacin general de la hidrosttica. Si las fuerzas de volumen dependen de un potencial

f=GRAD y por tantoGRAD p =GRAD

que es otra forma de la ecuacin general de la hidrosttica para el caso de fuerzas de volumen que

dependan de un potencial. La anterior expresin nos muestra que los vectores gradientes de p y

son paralelos y por tanto las superficies de p constante coinciden con las superficies de constante.


Tomando el rotacional en la anterior expresin nos lleva a la ecuacin

0= GRADGRAD

y por tanto, vemos que las superficies equipotenciales son paralelas a las superficies de densidad

constante y por tanto que las superficies de densidad constante son tambin superficies de presin

constante. Si tenemos en cuenta la ecuacin de estado, vemos tambin que estas superficies coinci-

den con las superficies de temperatura constante.

Teorema 1.14.3 Un slido sumergido en un fluido sufre un empuje igual al volumen del fluido que

desaloja (Arqumedes)

Considerar un slido sumergido en el seno de un fluido en equilibrio hidrosttico. La fuerza de pre-

sin ejercida por el fluido sobre el slido serVpn

siendo n la normal exterior al slido. Nuestra idea es sustituir la anterior expresin por una integral

de volumen. Para ello suponer que se sustituye nuestro slido por una porcin de fluido con tal que

esta porcin de fluido est en equilibrio hidrosttico con el fluido que rodea al slido. Como el rea

que rodea al slido no varia cuando lo sustituimos por el fluido, la anterior integral no cambia. Ahora

bien, como estamos suponiendo que el fluido que introduzco est en equilibrio con el fluido exterior

podemos aplicar la ecuacin hidrosttica y por tantoVpn=

VfV .

Suponiendo que la fuerza exterior sea el campo gravitatorio, tenemos que f=g y por tanto las fuer-zas de superficie valen

Vpn=

VgV

esto es, coinciden con el peso del volumen del fluido desalojado, como queramos demostrar.

1.14.1. Condicin de la situacin de equilibrio

Segn hemos visto, para que se de la condicin de equilibrio mecnico, las fuerzas de presin se

deben de equilibrar con las fuerzas de volumen, que si estamos en un campo gravitatorio se reducen


al peso,p

z=g

la pregunta es, >bajo qu condiciones es esta condicin de equilibrio estable ?. Para ello pensemos

en el siguiente experimento. Suponer que tenemos una pequea burbuja del fluido que est en un

cierto nivel z y que llevamos a esta burbuja a otra posicin en un nivel z +z. Supondremos queeste proceso se hace de forma isentrpica y que durante el proceso el entorno de la burbuja no se

modifica, esto es, no se modifica la condicin equilibrio hidrosttico, y que la presin de la burbuja

cuando sta llega al final se iguala rpidamente a la de su entorno. El equilibrio mecnico ser estable

si la burbuja tiende a volver a su localizacin original y ser inestable si por el contrario sta burbuja

tiende a seguir separndose de su situacin de equilibrio. Para que suceda lo primero basta con que la

burbuja pese ms que su entorno y para que suceda lo segundo esta debe de pesar menos, as pues lo

que debemos de comparar son las densidades de la burbuja y la de su entorno una vez que la hemos

separado de su posicin de equilibrio. Sea (p(z+z), s(z+z)) la densidad del ambiente en el nivelz+z y (p(z+z), s(z)) la densidad de la burbuja cuando llega a ese nivel, siendo s(z) la entropa delnivel z que ser la que tenga la burbuja cuando llegue al nivel z+z pues estamos suponiendo que elmovimiento es isentrpico. El equilibrio ser estable si

(p(z+z), s(z+z))(p(z+z), s(z))< 0

esto es si (

s

)p

(s

z

)< 0

De las relaciones que nos proporciona la termodinmica, tenemos por un lado que(

s

)p= 1

2

(v

s

)p=2

(T

p

)s

y por otro

(T

p

)s= T

cp

siendo el coeficiente de expansin trmico del fluido. Sustituyendo(

s

)p

(s

z

)=T

cp

(s

z

)< 0


Puesto que es positivo en la mayora de los fluidos, se debe de cumplir para que el equilibrio sea

estable que (s

z

)> 0

para que sea neutro, (s

z

)= 0

y para que sea inestable (s

z

)< 0

Teniendo en cuenta que

cpT ds = cp dT Tdp

tenemos (s

z

)= cp

T

(T

z

)

(p

z

)teniendo en cuenta la ecuacin hidrosttica,(

s

z

)= cp

T

(T

z

)+g

por lo que la condicin de estabilidad del equilibrio se traduce en ver si

cpT

(T

z

)+g

es mayor, menor o igual a cero. Llamando = T /z al gradiente vertical de temperatura, obtene-mos

g

cp

>== 0 ) respectivamente. El se-gundo trmino que es siempre positivo representa la tasa de disipacin viscosa de energa cintica.

Puesto que es positivo representa siempre un incremento de energa interna. El tercer trmino repre-

senta el flujo de calor a travs de la superficie y puede ser positivo o negativo. La presin que aparece

en la expresin anterior es la presin dinmica, teniendo en cuenta que

pT p = k DIVv

obtenemos

Du

Dt=pT DIVv+k(DIVv)2+2(ei j 1

3DIVvi j )

2+ x j

(kT

x j

)(1.32)

Teniendo en cuenta la expresin del segundo principio

TDS

Dt= DU

Dt+p DV

Dt

poniendo las magnitudes extensivas en trminos de la masa y las magnitudes especficas, teniendo

en cuenta que la masa se conserva y empleando la expresin de teorema de consevacin de la masa,

se obtiene para el segundo principio la expresin

Du

Dt+pT DIVv= T Ds

Dt

siendo s la entropa especifica. Sustituyendo la expresin de la nerga interna, obtenemos

TDs

Dt= k(DIVv)2+2(ei j 1

3DIVvi j )

2+ x j

(kT

x j

)(1.33)

que es la expresin del segundo principio. En un sistema adiabtico el ltimo trmino es nulo por lo

que

TDs


3DIVvi j )

2

puesto que por el segundo principio, en un sistema adiabtico la entropa solo puede crecer, es por

lo que

TDs


3DIVvi j )

2 > 0

la anterior ecuacin nos dice que necesariamente los coeficientes de viscosidad y segunda viscosi-

dad k han de ser positivos.

1.16 Principio de conservacin de la energa 59

Por otra parte, la termodinmica nos dice que

TDs

Dt= cp DT

DtT DpT

Dt

siendo

=1

(

T

)p

el coeficiente de expansin trmica del fluido, que en el caso de un gas perfecto vale 1/T . Sustituyen-

do en la expresin del segundo principio, obtenemos

cpDT

Dt= TDpT

Dt+k(DIVv)2+2(ei j 1

3DIVvi j )

2+ x j

(kT

x j

)que constituye la ecuacin de evolucin de la temperatura. Es la sexta ecuacin que andbamos bus-

cando y que cierra el sistema de ecuaciones.

Si el flujo es adiabtico y no viscoso, los tres ltimos trminos del segundo miembro de la ecua-

cin anterior son nulos, por lo que

cpDT

Dt=T Dp

Dt

si el fluido se comporta como un gas perfecto, = 1/T , por lo que

cp1

T

DT

Dt=R 1

p

Dp

Dt

de donde,

cpdT

T=R dp

p

integrando,

T f = Ti(

p fpi

)R/cpSi tomamos como presin final p f la presin de 1000 mb, la temperatura final obtenida es la llamada

temperatura potencial que denotaremos por , as pues tenemos

= T(

1000

p

)R/cpTomando logaritmos en la anterior ecuacin y derivando, obtenemos

cp d(log)= cp dTTR dp

p= ds


por lo que

s s0 = cp log( 0

)

as pues la temperatura potencial mide el contenido entrpico del gas. La ecuacin (1.33), expresin

matemtica del segundo principio, la podemos poner en trminos de la temperatura potencial, como

TDs

Dt= cp T

D

Dt=

donde en hemos englobado todos los flujos de calor. Si estos ltimos son cero, la temperatura

potencial se mantiene constante.

1.16.1. Condiciones frontera

Segn aca

Apuntes de Meteorologia Dinamica

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