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Apuntes de Mecanica de Fluidos

Jose Roberto Zenit Camacho

Instituto de Investigaciones en Materiales

Universidad Nacional Autonoma de Mexico

Enero de 2017

Motivacion

Me resulta difıcil de entender porque la Mecanica de Fluidos no es un

tema ‘popular’ en las carreras de ingenierıa o fısica. El movimiento de

fluidos esta en todas partes. Es importantısimo para una gran variedad

de aplicaciones practicas, sistemas biologicos y fenomenos naturales.

Con estos apuntes busco acercar a los alumnos al tema.

Tener estos apuntes hace que la imparticion de las clases Mecanica de

Fluidos sea mas facil para el instructor.

Con los apuntes es muy sencillo planear la distribucion de clases a lo

largo del semestre.

A la par de las notas, planeo crear una base de datos de tareas, ejercicios

y examenes.

De manera similar, planeo crear una base de datos de ligas a fuentes

de internet con material multimedia de diferentes temas de los cursos.

Los apuntes estan basados en varios libros clasicos [Por ejemplio Fox

et al., 2003, White, 2008] pero son en general una vision personal de

como se debe de ensanar la materia.

En los apuntes aparece texto con una fuente tipo: MMFM:Bondary layers.

Este se refiere a secciones del software multimedia de Homsy et al.

[2009].

i

Indice general

Indice general 1

1. Introduccion 9

1.1. ¿Porque Mecanica de Fluidos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Mecanica Clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2. ¿Mecanica no-Clasica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3. Estado Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4. Propiedades de un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.5. Mecanica de cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.6. Mecanica de cuerpo fluido . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.7. Enfoque integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2. Recuento Historico de la Mecanica de Fluidos . . . . . . . . . 17

2. Ecuaciones de movimiento 21

2.1. Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1. Derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2. Velocidad y aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.3. Campo de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Leyes de conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1. Conservacion de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2. Ecuacion de conservacion de momentum lineal . . . . . 34

2.2.3. Ecuacion de conservacion de energıa . . . . . . . . . . 37

2.3. Relacion constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

2 INDICE GENERAL

2.4. Ecuaciones de Navier Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.1. Ecuaciones de N-S para flujo incompresible . . . . . . . 42

2.4.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.3. Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Hidrostatica 49

3.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.1. Vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.2. Barometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.3. Manometro (Diferencia de presiones) . . . . . . . . . . 52

3.1.4. Prensa hidraulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Presion hidrostatica para un fluido compresible . . . . . . . . 53

3.2.1. Liquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.2. Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3. Fuerzas sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.1. Superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.2. Fuerza hidrostatica sobre superficies curvas sumergidas 57

3.4. Fuerzas en objetos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.1. Fuerza de flotacion, principio de Arquımedes . . . . . . 58

3.5. Fluidos con movimiento de cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . 60

3.5.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. Ecuacion de Bernoulli 63

4.1. Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1. Descarga de un orificio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.2. Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.3. Sifon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3. Flujo en tuberıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.1. Solucion del flujo en una tuberıa circular usando Ber-

noulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.2. Solucion exacta de flujo en una tuberıa circular . . . . 71

INDICE GENERAL 3

4.4. Una ecuacion de Bernoulli modificada . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4.1. Perdidas mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.2. Perdidas Menores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5. Solucion de problemas de flujo en tuberıas . . . . . . . . . . . 79

4.5.1. Ecuacion general de flujo en tuberıas . . . . . . . . . . 80

4.5.2. Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5.3. Redes de tuberıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5.4. Tuberıas de seccion no-circular . . . . . . . . . . . . . 84

5. Analisis de Volumen de Control 87

5.1. Definiciones basicas: sistema y volumen de control . . . . . . . 87

5.2. Ecuaciones de conservacion para un sistema . . . . . . . . . . 88

5.3. Teorema de Trasporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4. Ecuacion de conservacion de masa . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4.1. Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.5. Ecuacion de conservacion de momentum lineal . . . . . . . . . 95

5.5.1. Algunas observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.6. Analisis para un VC que se mueve a una velocidad constante . 97

5.6.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.7. Conservacion de momentum para un VC con aceleracion rec-

tilınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.7.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.8. Primera ley de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.8.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6. Escalamiento y analisis dimensional 101

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2. Analisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2.1. Dimension de una variable fısica y Funcion Dimension 104

6.2.2. Cantidades con dimensiones independientes . . . . . . 107

4 INDICE GENERAL

6.3. Analisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3.1. Homogeneidad Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3.2. Teorema Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.3.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.4. Metodo de variables repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.4.1. Algortimo del MVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.5. Ecuaciones de Conservacion en Forma Adimensional . . . . . . 119

6.5.1. Numeros adimensionales relevantes en Mecanica de Flui-

dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.6. Teorıa de Modelos y Similaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.6.1. Similaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.6.2. Teorıa de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7. Flujo Viscoso: Soluciones Exactas a NS 127

7.1. Soluciones exactas a Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.1. Flujo de corte simple o de Couette . . . . . . . . . . . 128

7.1.2. Flujo en una tuberıa o de Poiseuille . . . . . . . . . . . 131

7.1.3. Pelıcula de fluido que escurre sobre una pared inclinada 134

7.1.4. Otros problemas unidireccionales estacionarios . . . . . 137

7.1.5. Flujos no-estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8. Flujo Viscoso: Capa lımite 155

8.1. Teorıa de capa lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.1.1. Ecuaciones de capa lımite laminar . . . . . . . . . . . . 156

8.1.2. Solucion de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.1.3. Flujo de Falkner-Skan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.1.4. Forma integral de las ecuaciones de capa lımite . . . . 171

9. Flujo irrotacional ideal 177

9.1. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.2. Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.2.1. Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

INDICE GENERAL 5

9.3. Flujo potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.3.1. Vorticidad e irrotacionalidad . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.3.2. Tecnicas de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

9.3.3. Funcion de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.4. Soluciones elementales en 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9.4.1. Superposicion de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . 190

9.4.2. Flujo alrededor de un cilindro . . . . . . . . . . . . . . 201

9.4.3. Metodo de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

10.Turbulencia 209

10.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10.2. Experimento de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

10.3. Descripcion fısica de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.4. Estabilidad y origen de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . 213

10.4.1. Teorıa de la estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.4.2. Desarrollo de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.5. Turbulencia desarrollada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

10.5.1. Descomposicion de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 218

10.6. Ecuaciones de Conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

10.6.1. Conservacion de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

10.6.2. Conservacion de momentum . . . . . . . . . . . . . . . 221

10.6.3. Modelos empıricos para turbulencia . . . . . . . . . . . 223

10.7. Capa limite turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

10.7.1. Estructura de un flujo turbulento . . . . . . . . . . . . 227

10.7.2. Flujo de Couette turbulento . . . . . . . . . . . . . . . 228

10.8. Capa limite, forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

10.9. Flujo turbulento en tuberıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

11.Fuerzas hidrodinamicas: arrastre y sustentacion 239

11.1. Flujo alrededor de objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

11.1.1. Fuerza de arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

11.1.2. Flujo alrededor de una esfera . . . . . . . . . . . . . . 246

6 INDICE GENERAL

11.1.3. Perfiles aerodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

11.1.4. Fuerza de sustentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

12.Flujo compresible 257

12.1. Repaso de termodinamica de gases ideales . . . . . . . . . . . 258

12.2. Propagacion de una perturbacion pequena de presion . . . . . 262

12.2.1. Emision sonica y tipos de flujo . . . . . . . . . . . . . . 264

12.3. Flujo compresible unidimensional estacionario . . . . . . . . . 268

12.4. Relaciones para flujo isentropico de un gas ideal . . . . . . . . 271

12.4.1. Propiedades isentropicas de estancamiento . . . . . . . 272

12.4.2. Propiedades sonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

12.5. Flujos con cambio de area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

12.6. Tobera convergente-divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

12.7. Flujo ahogado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

12.8. Otros temas de interes en flujo compresible . . . . . . . . . . . 281

A. Repaso de algunos conceptos utiles de calculo vectorial 283

A.0.1. Funciones Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . 283

A.0.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

A.0.3. Transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

A.0.4. Mas sobre funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . 294

A.0.5. Integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

A.0.6. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

A.0.7. Integrales de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

A.0.8. Teorema de Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

A.0.9. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

B. Series de ejercicios 309

C. Ecuaciones de conservacion 311

D. Ligas de interes 313

INDICE GENERAL 7

Bibliografıa 315

8 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. ¿Porque Mecanica de Fluidos?

Como estudiantes de licenciatura rara vez nos preguntamos porque de-

bemos tomar ciertas materias. Uno, como estudiante, no es capaz de cues-

tionarse la razon fundamental de tener que someterse a ciertos cursos. En

muchos casos es obvio: se toman clases de humanidades porque uno debe de

saber otras cosas ademas de los temas tecnicos; uno debe tomar clases de

matematicas porque todo el lenguaje tecnico esta en terminos de modelos

matematicos que predicen el comportamiento de sistemas.

1.1.1. Mecanica Clasica

1 Parte de la Fısica que trata del equilibrio y del movimiento de los cuerpos

sometidos a cualesquiera fuerzas. Se divide en tres sub-areas:

Estatica

Cinematica

Dinamica. Estudia el movimiento en relacion con las fuerzas que

lo producen.

9

10 CAPITULO 1. INTRODUCCION

La mecanica clasica es la ciencia que estudia las leyes del comportamiento

de cuerpos fısicos macroscopicos en reposo y a velocidades pequenas compa-

radas con la velocidad de la luz.

La ley fundamental de la mecanica clasica es:

~F =d

dt(m~v) (1.1)

donde m es la masa de cuerpo (rıgido) y ~v es su velocidad. ~F es la fuerza

aplicada al cuerpo.

1.1.2. ¿Mecanica no-Clasica?

Si existe un termino llamado mecanica clasica, forzosamente debe de exis-

tir algo llamado mecanica no-clasica ¿no? Si los cuerpo no son macroscopicos

entonces se estudian con mecanica cuantica. Si los cuerpos se mueve a una

velocidad comparable a la de la luz entonces se estudian con mecanica re-

lativista. Nada de eso se ve en este curso.

1.1.3. Estado Fluido

El primer gran cambio que se debe considerar es dejar atras la conside-

racion de cuerpo rıgido.

¿La ecuacion es aplicable si el cuerpo no es rıgido?

Deformacion y Deformacion Continua

Deformacion ∼ F

A= τ

Deformacion continua. Forma del bloque de fluido cambia para diferentes

instantes de tiempo.

1.1. ¿PORQUE MECANICA DE FLUIDOS? 11

F

t=0

t=1

t=2

t=3

fluido

Figura 1.1: Fluido en deformacion cortante.

Fluidos viscosos y solidos elasticos

Existen varias definiciones de fluido. La mayorıa son fenomenologicas:

1 Substancia que se deforma continuamente a ser sometida a un esfuerzo

cortante (tangencial) sin importar que tan pequeno sea.

2 Cuerpo cuyas moleculas cambias su posicion relativa con facilidad. Ningu-

na o poca cohesion entre moleculas.

3 Material que toma la forma del recipiente que lo contiene.

F

Figura 1.2: Solido en deformacion cortante.

La definicion formal de fluido que aceptaremos en este curso es: Un fluido

es aquel material que se deforma de manera continua bajo la accion de un

esfuerzo cortante.


1.1.4. Propiedades de un fluido

Densidad

La densidad es un magnitud escalar que mide la cantidad de masa por

unidad de volumen:

ρ =m

V(1.2)

donde m es la masa y V es el volumen.

La densidad tiene dimensiones [ML−3]. Esta notacion se usara a lo largo

de las notas. Sus unidades en SI son kg/m3.

La densidad puede cambiar como funcion de la temperatura, T , de la

presion, P . En general, la densidad aumenta con la presion y disminuye con

la temperatura. Obvio, hay excepciones (agua-hielo).

∂ρ

∂T≤ 0 (1.3)

∂ρ

∂P≥ 0 (1.4)

Ejemplo: ley de gas ideal

ρ =P

RT(1.5)

donde R es la constante del gas.

Una propiedad relacionada con la densidad es el peso especıfico, δ = ρg.

Mide el peso por unidad de volumen. En general, no hacemos distincion entre

masa y peso. Esto es debido a que g es casi siempre constante.

Viscosidad

La viscosidad es una magnitud escalar que mide la oposicion que presenta

un fluido a fluir. Surge de la naturaleza molecular del lıquido; mide a afini-

dad que tienen las moleculas a permanecer juntas. A mayor afinidad, mayor

resistencia a fluir.

La definicion formal de viscosidad se dara mas adelante (es la constante

de proporcionalidad entre esfuerzo cortante y rapidez de deformacion).


Cuadro 1.1: Valores tıpicos de densidad de materiales comunes, a condiciones

estandar.fluido ρ, kg/m3.

agua destilada 1000.0

gasolina 680.0

petroleo 800.0

etanol 810.0

sangre 1600.0 a 1800.0

mercurio 13580.0

aire 1.2

hidrogeno 0.1

dioxido de carbono 1.9

hule espuma 20.0 a 500.0

Tierra (planeta) 5540.0

Jupiter (planeta) 1330.0

Sol (estella) 1410.0

Estrella de neutrones 6×1017

Universo 1×10−26

La viscosidad solo se manifiesta cuando hay flujo. De otra manera, no es

posible saber su valor. La manera mas directa de explicarla es considerando

un flujo cortante simple. ANADIR FIGURA.

Fr = µAU

H(1.6)

donde Fr es la fuerza cortante (fuerza de resistencia), A es el area de contacto,

U es la velocidad a la que se desplaza la placa superior y H es la distancia

entre las placas. La expresion anterior se puede re-escribir de la siguiente

manera:

τxy = µ∂u

∂y(1.7)

donde µ es la viscosidad dinamica del liquido.

La viscosidad tiene dimensiones [FL−2T ]. Sus unidades en SI son Pa s..


Cuadro 1.2: Valores tıpicos de viscosidad de fluidos comunes, a condiciones

estandar.fluido µ, Pa s. ν, m2/s

agua destilada 1.0×10−3 1.0×10−6

miel 2 a 10 1.4 a 7.1

gasolina 6.0 ×10−3 8.8 ×10−6

etanol 1.1×10−3 1.4×10−6

sangre 3.5 ×10−3 2.1×10−6

mercurio 1.5×10−3 1.1×10−7

aire 18.3×10−6 15.3×10−6

hidrogeno 8.8×10−6 9.8×10−7

dioxido de carbono 14.8×10−6 7.5×10−6

vidrio 1×1017 4×1015

manto terrestre 1×1024 4×1022

Existe otra medida de viscosidad, llamada viscosidad cinematica, ν, que

se define como: ν = µ/ρ. Esta tiene dimensiones [L2T−1] y sus unidades en

SI son m2/s.

Cuando un lıquido tiene una viscosidad constante, se dice que es newto-

niano.

Tension superficial

La tension superficial es la propiedad de la interfaz entre dos fluidos que

mide que tan diferentes son. Mide la es la fuerza que actua tangencialmen-

te por unidad de longitud en el borde de una superficie de un lıquido en

equilibrio. Si mide la tension entre un liquido y el aire se denomina tension

superficial; si mide la tension entre dos lıquidos (o dos fluidos) se denomina

tension interfacial. ANADIR FIGURA.

La tension superficial tiene dimensiones [FL−1]. Sus unidades en SI son

N/m.


Cuadro 1.3: Valores tıpicos de tension superficial de lıquidos comunes, a con-

diciones estandar.fluido σ, N/m.

agua destilada 0.072

etanol 0.022

mercurio 0.485

aceite 0.012

helio liquido 3.7 ×10−4

1.1.5. Mecanica de cuerpo rıgido

En el esquema original de mecanica clasica tenıamos un objeto rıgido y

de tamano finito.

~F =d

dt(m~v) (1.8)

Esta ecuacion sigue siempre a la misma masa m. Todas las partıculas que

conforman a la masa m se mueven a la misma velocidad. Es una ecuacion

diferencial ordinaria de primer orden ¿se puede resolver?

¿Esta ecuacion es aplicable si el cuerpo es continuo? No.

1.1.6. Mecanica de cuerpo fluido

Cuando estudiamos un flujo, el objeto no es rıgido (obvio) y su tamano es

infinito (si no, al menos es muy grande). Entonces, el lugar dem consideramos

ρ = m/V . Ademas, la velocidad de las partıculas del material fluido no es

la misma para toda la masa: ~v = f(~x, t), dependen de la posicion ~x y del

tiempo.

La otra gran diferencia es que en vez de seguir a cada partıcula del medio,

medimos la aceleracion (o mas bien, cambio de momentum) de un cierto

punto por donde pasa el flujo. Esta cambio de manera de describir la mecanica

del sistema tiene consecuencias importantes, las cuales se discutiran en el

capıtulo siguiente.


Enfoque diferencial

Le segunda ley de Newton para un fluido simple es:

−∇P + µ∇2~v + ρ~g = ρ

(∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v

)

(1.9)

Si se resuelve nos puede dar la velocidad del flujo ~v en cada punto en el

espacio. Es una ecuacion diferencial parcial no-lineal de segundo orden ¿se

puede resolver?

1.1.7. Enfoque integral

La ecuacion (1.9) se puede escribir de manera alternativa, considerando

un volumen de control:

L

Lo que resulta en:

~Fvol + ~Fsup =∂

∂t

∫

vol

ρ~vdV +

∫

sup

ρ~v(~v · ~dA) (1.10)

Los detalles del movimiento del fluido dentro del volumen de control no

se resuelven. Solo obtenemos una descripcion global.

1.2. RECUENTO HISTORICO DE LA MECANICA DE FLUIDOS 17

1.2. Recuento Historico de la Mecanica de

Fluidos

Antes 300 A.C. Conocimientos empıricos aislados

384 A.C. , Aristoteles

• Leyes basicas de la mecanica. Conceptos sobre vacıo, peso, estado

natural, medio continuo

• Civilizacion griega

• Civilizaciones Olmeca y Teotihuacana

287 A.C. , Arquımedes

• Hidrostatica, flotacion, concepto de presion, bomba de tornillo

Hero de Alexandrıa, 300 A.C. aprox.

• primer ingeniero, maquina de vapor

Edad Media (400 D.C. al siglo XV)

• No hubo avances en M.F.

• En Mexico, perıodo clasico, Mayas

1425-1519, Leonardo da Vinci

• Filosofıa, anatomıa, optica, acustica. Ingenierıa de caminos, ca-

nales y puentes. Dibujos de olas y flujos, Concepto intuitivo de

continuidad y de arrastre.

• Renacimiento

• Perıodo posclasico, Aztecas, Conquista

1565- 1642, Galileo Galilei


• Fundamentos de dinamica general (diferente a lo originalmente

propuesto por Aristoteles). Conceptos de inercia, momentum. Pro-

porcionalidad entre fuerza y cambio de momentum.

• Renacimiento

• Conquista y Epoca Colonial.

1608- 1647, Evangelista Torricelli

• Conceptos de vacıo y presion

1623-1662 Blaise Pascal

• Teorıa hidrostatica, presion barometrica y atmosferica. Principio

de Pascal

1642-1747, Issac Newton

• Leyes de la mecanica. Calculo infinitesimal. Resistencia en fluidos

• Fin del renacimiento, inicio de la revolucion industrial.

• Continua el perıodo colonial.

1700-1782, Daniel Bernoulli.

• Relacion entre presion y el movimiento de los fluidos (ecuacion de

Bernoulli ?)

1707- 1783, Leonard Euler

• Fundador de la mecanica de fluidos en forma diferencial. Geo-

metrıa. Mecanica. Conceptos de partıcula de fluido, lıneas de co-

rriente. Primeras ecuaciones de balance.

1736-1813, Louis de Lagrange

1.2. RECUENTO HISTORICO DE LA MECANICA DE FLUIDOS 19

• Punto de vista alternativo para la el estudio del movimiento de

fluidos. Diferencial total. Potencial de velocidades.

Propuso formalmente la ecuacion de Bernoulli.

• Revolucion Francesa.

• Primeras insurrecciones independentistas en Mexico.

1717-1783 J.R. DAlambert.

Resistencia de un cuerpo en un flujo ideal.

1746-1822 G.B. Venturi.

1799-1869 Jean Poiseuille

• Flujo en tuberıas. Primeras comparaciones entre teorıa y experi-

mentos.

• La revolucion Industrial en apogeo.

• Independencia de Mexico.

1785-1836 Claude Louis Navier ; 1819-1903 George G. Stokes.

• Solucion al problema general de la viscosidad. Ecuaciones genera-

les de balance.

• Guerra civil en Estados Unidos. Origen de las especies de Darwin.

Canal de Suez. Torre Eiffel.

• Benito Juarez. Reforma. Porfiriato.

1900- Mecanica de fluidos experimental

1905 L. Prandtl.

• Concepto de capa lımite.

• Primeros aviones.


• Revolucion mexicana.

1950- T. von Karman; G.I. Taylor

• Estabilidad de flujos. Turbulencia.

• Guerras Mundiales.

• Inicio del Gobiernos modernos en Mexico.

Capıtulo 2

Ecuaciones de conservacion

El objetivo de este capıtulo es re-derivar las ecuaciones de balance fısico,

ampliamente conocidas, para el caso de un material que fluye.

Primero ¿porque se deben de rederivar las ecuaciones de conservacion?

Se supone que las ecuaciones de masa, momentum y energıa son universales

e inviolables.

Las ecuaciones fundamentales de conservacion, como se conocen hasta

ahora son:

Ecuacion de Conservacion de Masa:

dM

dt= 0

La masa, M , de un sistema es constante.

Ecuacion de Conservacion de Momentum Lineal (2da Ley de Newton):

d(M~v)

dt= ~F

Ecuacion de Conservacion de Energıa (1a Ley de la Termodinamica):

dE

dt= 0

21

22 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Hay dos elementos importantes a considerar. Primero, las ecuaciones de

conservacion estan desarrolladas para un cuerpo rıgido. Es decir, todas las

partıculas que conforman a la masa, M , responden de la misma manera bajo

la aplicacion de la la fuerza; todas se aceleran de la misma manera. Cuando

el cuerpo es un solido elastico o un fluido viscoso, este se podra acelerar a

diferente tasa, en diferentes posiciones del cuerpo. Esta deformabilidad de-

be tomarse en cuenta en la ecuacion de conservacion. El otro elemento de

gran importancia es la descripcion cinematica del movimiento y la mecanica.

Mientras que en mecanica de cuerpo rıgido se rastrea la aceleracion de las

partıculas de masa, en el caso particular de un fluido no es relevante conocer

las propiedades de partıculas especıficas. Es mejor, conocer la velocidad o

aceleracion de puntos especıficos del espacio por donde pase el fluido. Enton-

ces, se deben de re-expresar las leyes de conservacion para realizar el balance

para este nuevo punto de vista.

Antes de proceder con las derivaciones se dara un breve repaso a algunos

conceptos basicos de cinematica.

2.1. Cinematica

Punto Lugar en el espacio.

Partıcula Elemento volumetrico infinitesimal parte del medio continuo.

Configuracion Identificacion de las partıculas de un medio continuo con los

puntos en el espacio que ocupan en un tiempo t referidos a un sistema

de ejes coordenados.

Deformacion Cambio de forma de un medio continuo entre una configura-

cion inicial (no deformada) y una configuracion final (deformada).

Flujo Cambio continuo de la configuracion de un medio continuo.

MMFM:kinematics:kinematics of point and fluid particles

2.1. CINEMATICA 23

El movimiento de un medio continuo puede describirse en funcion de

coordenadas materiales (descripcion Lagrangiana)

xi = xi(X1, X2, X3, t) o ~x = ~x( ~X, t)

o en funcion de coordenadas espaciales (descripcion Euleriana)

Xi = Xi(x1, x2, x3, t) o ~X = ~X(~x, t)

Descripcion Lagrangiana Atencion fija sobre una partıcula especıfica del

fluido.

Descripcion Euleriana Atencion fija sobre un punto en el espacio

Cualquier propiedad fısica puede describirse como funcion de coordenadas

materiales o espaciales. Por ejemplo:

ρ = ρ( ~X, t) = ρ( ~X(~x, t) = ρ∗(~x, t)

MMFM:kinematics:fields particles and reference frames

2.1.1. Derivada material

La razon de cambio temporal cualquier propiedad en un medio continuo

con respecto a partıculas especıficas del MC en movimiento se llama derivada

material de esa propiedad.

La derivada material puede interpretarse como la tasa de cambio temporal

que un observador medirıa viajando con una partıcula especıfica.

MMFM:kinematics:material derivative

La posicion instantanea xi de una partıcula es en si una propiedad de la

partıcula. La derivada material de la posicion es la velocidad instantanea de

la partıcula.

vi =d

dtxi = xi o ~v =

d~x

dt= ~x


En general si Pij es una propiedad escalar, vectorial o tensorial de un MC

que pueda ser expresada como una funcion puntual de coordenadas (descrip-

cion lagrangiana):

Pij = Pij(X, t)

entonces la derivada material de dicha propiedad sera

DPij

Dt=∂Pij(X, t)

∂t1 Notese que las coordenadas X se mantiene fijas.

Si la propiedad Pij se expresa en funcion de las coordenadas (x) entonces

la derivada material estara dada por:

DPij(x, t)

Dt=

cambio temporal︷︸︸︷

∂Pij(x, t)

∂t+

cambio convectivo︷︸︸︷

∂Pij(x, t)

∂xk

dxkdt

Mas aun podemos escribir

DPij(x, t)

Dt=∂Pij(x, t)

∂t+ vk

∂∂Pij(x, t)

∂xk

Ası podemos definir un operador derivada material :

D

Dt=

∂

∂t+ vk

∂

∂xkoD

Dt=

∂

∂t+ ~v · ∇X

Ejemplo:

Encontrar la razon de cambio de la temperatura.

Sabemos que T (z, t) y buscamos la tasa de cambio temporal:

DT

Dt=∂T

∂t+ ~v · ∇T

Para este problema T 6= T (t) solo T = T (z). Tambien sabemos que es

una caıda puramente vertical: ~v = (0, 0, w). Entonces,

DT

Dt=∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y+ w

∂T

∂z

1Para la derivada material adoptaremos la notacion D

Dt.

2.1. CINEMATICA 25

10 Km/hr 3000 m

T

z

T= To - k z

k=0.005 o C/m

entoncesDT

Dt= w

∂T

∂z= w(−κ)

Finalmente

DT

Dt= (2.77m/s)(−0.005) = 0.014oC/s

2.1.2. Velocidad y aceleracion

Sabiendo que vi = DxiDt y que xi = ui + Xi, donde ui es el desplaza-

miento, podemos definir al vector velocidad como:

vi ≡DxiDt

=DuiDt

puesto que Xi es independiente del tiempo. Si el desplazamiento esta dado

en funcion de las coordenadas Lagrangianas, i.e., ui = ui(X, t), entonces

tenemos

vi = ui =Dui(X, t)

Dt=∂ui(X, t)

∂t


Si por otro lado el desplazamiento esta dado en terminos de las coorde-

nadas eulerianas, ui = ui(x, t), entonces tenemos

vi = ui =Dui(x, t)

Dt=∂ui(x, t)

∂t+ vk(x, t)

∂ui(x, t)

∂xk

o en forma vectorial

v(x, t) = v(x, t) · ∇Xu(x, t)

Notese que aquı la velocidad esta dada en forma implıcita.

La funcion vi = vi(x, t) nos da el campo de velocidades instantaneo.

La derivada material de la velocidad es la aceleracion. Si la velocidad esta

dada en coordenadas lagrangianas entonces

ai ≡ vi ≡Dvi(X, t)

Dt=∂vi(X, t)

∂t

Si por el contrario la velocidad esta dada en terminos de coordenadas

eulerianas, entonces tenemos

ai ≡ vi ≡Dvi(x, t)

Dt=∂vi(x, t)

∂t+ vk(x, t)

∂vi(x, t)

∂xk

2.1.3. Campo de esfuerzos

Los esfuerzos en un continuo son el resultado de la accion de fuerzas sobre

algun elemento superficial del fluido.

El concepto de esfuerzo es una forma de describir la manera en que las

fuerzas que actuan sobre las fronteras se transmiten a traves del medio.

Tanto la fuerza como el area son cantidades vectoriales. Por lo tanto, si el

esfuerzo es la relacion entre fuerza y area entonces el esfuerzo es una cantidad

tensorial. Esto quiere decir que se necesitan 9 cantidades para conocer el

estado de esfuerzos en un punto.

2.1. CINEMATICA 27

Fuerzas de Superficie y Fuerzas de Volumen

Podemos considerar dos tipos de fuerzas que actuan sobre un volumen

dado.

Fuerzas volumetricas. Actuan sobre cada elemento del volumen (sin

contacto fısico). Ejemplos de este tipo de fuerzas son la fuerza gravi-

tacional, electromagnetica, etc. En general, se considera que para un

elemento diferencial de volumen la fuerza es

ρ−→f V

Fuerza de superficie. Actuan sobre la superficie S del volumen por

contacto directo. La fuerza superficial en un elemento diferencial de

superficie se puede calcular del producto del esfuerzo y el area.

Esfuerzo en un punto

Consideremos el siguiente esquema: Sobre el elemento de area d~S en un

d S

d F

punto C actua una fuerza d~F . La magnitud de d~S es el area del elemento;

su direccion es la del vector normal a la superficie en ese punto.


Si definimos el esfuerzo como

Esfuerzo = T = lım|dS|→0

d~F

d~S

Note que la operacion cociente de dos vectores no esta definida para

campos vectoriales. Analicemos esta operacion.

El vector d~S es:

d~S = idSx + jdSy + kdSz.

En otras palabras, dSx es la componente x de d~S, etc. De la misma manera,

el vector fuerza es

d~F = iFx + jFy + kFz.

Entonces, para definir el esfuerzo en el punto CV debemos considerar que

cada una de las componentes Fx, Fy, Fz puede actuar sobre las cada una de

las componentes dSx, dSy, dSz. Por lo tanto, para lograr describir el estado

de esfuerzos en un punto se deben considerar nueve posibilidades:

dFx/dSx dFx/dSy dFx/dSz

dFy/dSx dFy/dSy dFy/dSz

dFz/dSx dFz/dSy dFz/dSz

Ası, definimos al esfuerzo, utilizando notacion indicial como:

Tij = lım|dSi|→0

dFi

dSj

Entonces,

Σ = σij =

σxx τxy τxz

τyx σyy τyz

τzx τzy σzz

Por ejemplo, τxy representa al fuerza en la direccion y que actua sobre el

plano x.

Los esfuerzos normales se denotan con σ y los esfuerzos con τ .

Por lo tanto, la fuerza de superficie sobre un elemento diferencial de area

de S se puede escribir como:

σ · ~ndS

2.2. LEYES DE CONSERVACION 29

2.2. Leyes de conservacion

2.2.1. Conservacion de masa

Consideremos el volumen euleriano, fijo en el espacio, mostrado en la

figura

V

S

dS

El elemento diferencial de area es d~S = ~nds

V

n

Consideremos:

la componente de ~v que acarrea material a traves de la superficie es

~v · ~n.

el flujo de masa a traves de un elemento infinitesimal de superficie dS

(hacia fuera) es

ρ~v · ~ndS


el flujo total de masa a traves de toda la superficie S es∫

S

ρ~v · ~ndS

Consideremos

para el elemento de volumen V , con densidad ρ, la masa total en V es∫

V

ρdV

la razon de cambio de masa en V es

D

Dt

∫

V

ρdV =∂

∂t

∫

V

ρdV =

∫

V

∂ρ

∂tdV

La razon de cambio de masa dentro del volumen V tiene que deberse al

flujo neto de masa a traves de S (suponiendo que no hay fuentes ni sumideros

dentro de V ). Por lo tanto:

∫

V

∂

∂tρdV = −

∫

S

ρ~v · ~ndS

Esta es la ecuacion de conservacion de masa en forma integral. Para con-

vertirla a la forma diferencial utilizaremos el teorema de la divergencia:∫

S

ρ~v · ~ndS =

∫

V

∇ · (ρ~v)dV

El teorema de la divergencia permite transformar a una integral de su-

perficie en una integral de volumen.

Por lo tanto podemos escribir la ecuacion de conservacion de masa en

forma integral de la siguiente manera∫

V

∂

∂tρdV +

∫

V

∇ · (ρ~v)dV = 0

∫

V

(∂

∂tρ+∇ · (ρ~v)

)

dV = 0


Para que esta integral sea cero para cualquier volumen V , la unica posi-

bilidad es que el integrando sea cero:

(∂

∂tρ+∇ · (ρ~v)

)

dV = 0

Podemos simplificar la ecuacion anterior si consideramos que

∇ · (ρ~v) = ρ∇ · ~v + ~v · ∇ρ

entonces tenemos∂ρ

∂t+ ~v · ∇ρ+ ρ∇ · ~v = 0.

y recordando la definicion del operador derivada material,

Dρ

Dt+ ρ∇ · ~v = 0 (2.1)

que es la ecuacion de conservacion de masa en forma diferencial.

Esta ecuacion escrita en forma explıcita, en coordenadas rectangulares,

para ~v = (u, v, w), es:

∂ρ

∂t+

(

u∂ρ

∂x+ y

∂ρ

∂y+ w

∂ρ

∂z

)

+ ρ

(∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z

)

= 0

Caso especial: Fluido incompresible

SI consideramos el caso en que la densidad del fluido es constante (ρ 6=ρ(x, t)) entonces

∂ρ

∂t= 0

y

∇ρ = i∂ρ

∂x+ j

∂ρ

∂y+ k

∂ρ

∂z= 0

2

2Esto implica que Dρ/DT = 0.


La ecuacion de conservacion de masa se reduce a ρ∇ · ~v = 0, y por lo

tanto

∇ · ~v = 0 (2.2)

es la ecuacion de conservacion de masa para un fluido incompresible.

En forma explıcita esta ecuacion es:

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0

Derivacion de la ecuacion de conservacion de masa, metodo alter-

nativo

Consideremos un paralelepıpedo de volumen infinitesimal dxdydz: que

��

��

��

��

��

��

��

��

V

dx

dz

dy

2

1

V =(u,v,w)

esta fijo en un flujo ~v.

el flujo a traves de 1 es

ρudydz

el flujo a traves de 2 es

ρu+

Exp. serie Taylor︷︸︸︷

∂

∂x(ρu)dx

dydz


el flujo neto a traves de 1 y 2 es:

+ (ρu) dydz −(

ρu+∂

∂x(ρu)dx

)

dydz = −∂(ρu)∂x

dxdydz

de manera analoga, el flujo entre 3 y 4 es

= −∂(ρv)∂y

dxdydz

y el flujo entre 5 y 6 es

= −∂(ρw)∂z

dxdydz

Por lo tanto el flujo neto a traves del volumen dxdydz es:

=

(

−∂(ρu)∂x

− ∂(ρv)

∂y− ∂(ρw)

∂z

)

dxdydz

Ahora consideremos

la masa total dentro de dxdydz:

ρdxdydz

la tasa de cambio de masa dentro del volumen es∂

∂t(ρdxdydz)

La masa dentro del volumen solo puede cambiar como resultado del flujo,

entonces:

−(∂(ρu)

∂x+∂(ρv)

∂y+∂(ρw)

∂z

)

dxdydz =∂

∂t(ρdxdydz)

Simplificando tenemos:

∂ρ

∂t+

(∂(ρu)

∂x+∂(ρv)

∂y+∂(ρw)

∂z

)

que se puede escribir como

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0

que, finalmente, se puede reescribir como:

Dρ

Dt+ ρ∇ · ~v = 0


2.2.2. Ecuacion de conservacion de momentum lineal

Debemos re-expresar la Segunda Ley de Newton para un fluido (medio

continuo):

Fuerza total sobre un cuerpo = Rapidez de cambio de momentum

Consideremos, de nuevo, un volumen Euleriano fijo suspendido en un flujo

cualquiera.

V

S

dS

Las fuerzas en un fluido son:

~Ftotal = ~Fs + ~Fv

donde ~Fs son las fuerzas de superficie y ~Fv son las fuerzas de volumen.

Cada una se puede definir como:

~Fv =

∫

V

ρ~fdV

donde ρ es la densidad y ~f es un campo de fuerzas (magneticas, gravitacio-

nales, etc). Ademas:

~Fs =

∫

S

Σ · ~ndS

donde Σ es el tensor de esfuerzos.

Consideremos:


flujo de momentum a traves de un elemento diferencial de area:

~vρ~v · ~ndS

flujo total de momentum a traves de toda la superficie S

∫

S

(~vρ)~v · ~ndS

el momentum total contenido en V es∫

V

~vρdV

la razon de cambio de momentum en V es

D

Dt

∫

V

(~vρ)dV =∂

∂t

∫

V

(~vρ)dV =

∫

V

∂

∂t(~vρ) dV

el cambio total de momentum en V esta dado por el flujo a traves de

S mas la razon de cambio de momentum dentro de V :∫

S

(~vρ)~v · ~ndS +

∫

V

∂

∂t(~vρ) dV

Entonces, la segunda ley de Newton queda expresada como:

∫

V

ρ~fdV +

∫

S

Σ · ~ndS =

∫

S

(~vρ)~v · ~ndS +

∫

V

∂

∂t(~vρ) dV

que es la ecuacion de conservacion de momentum lineal en forma integral.

Utilizando, de nuevo, el teorema de la divergencia podemos realizar la

siguientes transformaciones:

∫

S

Σ · ~ndS =

∫

V

∇ ·ΣdV


y ∫

S

(~vρ)~v · ~ndS =

∫

V

∇ · ((~vρ)~v)dV

A esta ultima integral la podemos expandir sabiendo que

∇ · ((~vρ)~v) = (~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)

Entonces podemos escribir la ecuacion de conservacion de momentum

como:∫

V

(

ρ~f +∇ ·Σ− ∂

∂t(~vρ)− ((~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ))

)

dV = 0

Una vez mas, para que esto sea cierto, independientemente de la eleccion

de V , el integrando debe ser cero:

ρ~f +∇ ·Σ− ∂

∂t(~vρ)− ((~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)) = 0

Podemos expandir el termino ∂∂t(~vρ):

∂

∂t(~vρ) = ρ

∂~v

∂t+ ~v

∂ρ

∂t

Entonces,

ρ~f +∇ ·Σ = ρ∂~v

∂t+ ~v

∂ρ

∂t+ (~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)

Podemos reeagrupar algunos terminos tal que:

ρ~f +∇ ·Σ = ρ

(∂~v

∂t+ ~v∇ · ~v

)

+ ~v

(∂ρ

∂t+∇ · (~vρ)

)

Del ultimo termino de esta expresion, la cantidad dentro del parentesis

es exactamente igual a la ecuacion de conservacion de masa (Ecuacion 2.1),

y por lo tanto es igual a cero.

La cantidad dentro del parentesis del penultimo termino puede escribirse

de manera compactar usando la definicion de la derivada material.

Por lo tanto podemos escribir:


ρ~f +∇ ·Σ = ρD~v

Dt(2.3)

Esta es la ecuacion de conservacion de momentum en forma diferencial.

2.2.3. Ecuacion de conservacion de energıa

De nuevo, el objetivo es reformular las ecuaciones generales de conserva-

cion pero para el contexto de Mecanica de Medios Continuos.

La ecuacion de conservacion de energıa es

dEt = ðQ + ðW

donde Et es la energıa total, Q es el calor y W es el trabajo. El sımbolo ð

denote que las diferenciales de Q y W no son exactas.

Como nos interesa en cambio total de estas cantidades para un volumen

euleriano fijo en el espacio escribimos:

DEt

Dt=DQ

Dt+DW

Dt

La taza de cambio de energıa total puede expresarse como (considerando

cantidades por unidad de volumen):

DEt

Dt= ρdV

D

Dt

(

e +1

2|~v · ~v|2 − ~g · ~r

)

donde e es la energıa interna por unidad de volumen, ~g es un campo gravi-

tacional y ~r es el vector posicion. Mas aun, podemos desarrollar la ecuacion

anterior como:DEt

Dt= ρ

(De

Dt+ ~v

D~v

Dt− ~g · ~v

)

dV

La taza de transferencia de calor es

DQ

Dt= −∇ (∇ · ~q) dV = ∇ (k∇T ) dV


donde ~q es el flujo de calor, T es la temperatura y k es la conductividad

termica del material.

La taza de cambio de trabajo esta dada, para el caso de un fluido por

DW

Dt= ∇ · (~v ·Σ) dV

Entonces la ecuacion de conservacion de energıa se puede escribir como:

ρ

(De

Dt+ ~v

D~v

Dt− ~g · ~v

)

= ∇ (k∇T ) +∇ · (~v ·Σ)

El ultimo termino de esta ecuacion se puede desarrollar:

∇ · (~v ·Σ) = ~v(∇ ·Σ) +Σ(∇ · ~v)

Recordando la ecuacion de conservacion de momentum (Ecuacion 2.3) pode-

mos reescribir como:

∇ · (~v ·Σ) = ~v

(

ρ

(D~v

Dt− ~g

))

+Σ(∇ · ~v)

= ρ

(

~vD~v

Dt− ~v · ~g

)

+Σ(∇ · ~v)

Sustituyendo la expresion anterior en la ecuacion de conservacion energıa

y simplificando terminos tenemos finalmente:

ρDe

Dt= ∇ (k∇T ) +Σ(∇ · ~v) (2.4)

Ecuaciones de Estado

Se necesitan mas ecuaciones (hay mas incognitas que ecuaciones):

T = f1(P, ρ)

e = f2(P, ρ)

La ecuacion de estado mas conocida es la ecuacion de gas ideal: T = PρT.

2.3. RELACION CONSTITUTIVA 39

2.3. Relacion constitutiva

Podemos asociar a las componentes cortantes del esfuerzo (esfuerzos vis-

cosos) con la disipacion de energıa. Supondremos entonces que el tensor de

esfuerzos deviatorico Σ′ o τij es una funcion del el tensor rapidez de defor-

macion D o Dij:

Σ′ = fij(L)

Si consideramos que la funcion es lineal, entonces tenemos:

Σ′ = κ(1

2D)

donde κijpq es el tensor de coeficientes de viscosidad. Notese que puesto que

Σ′ y D son ambos tensores de segundo orden, entonces κ debe ser un tensor

de cuarto orden (¡24 componentes!).

Afortunadamente, si consideramos materiales isotropicos y homogeneos

(tensores de esfuerzo y rapidez de deformacion simetricos), unicamente sobre-

viven dos coeficientes de viscosidad diferentes de cero. La relacion constitutiva

se reduce a:

Σ = −P I+ λI(trD) + 2µD

en notacion indicial tenemos

σij = −Pδij + λδijDkk + 2µDij (2.5)

Esta es la relacion constitutiva newtoniana.

Notas:

Podemos definir el esfuerzo normal promedio:

1

3σii = −P +

1

3(3λ+ 2µ)Dii = −P + κDii

donde κ = λ+ 23µ es el coeficiente de viscosidad volumetrica.


Si consideremos los componentes deviatoricos de los tensores de esfuer-

zo y rapidez de deformacion podemos escribir las siguientes relaciones

τij = 2µD′ij

σii = −3P + 3κDii

donde D′ij = Dij − δijDkk/3 es el tensor rapidez de deformacion de-

viatorico y τij = σij − δijσkk/3 es el tensor de esfuerzos deviatorico.

En forma explıcita para el caso de coordenadas rectangulares, tenemos:

σxx = −P + λ(∇ · ~v) + 2µ∂u

∂x

σyy = −P + λ(∇ · ~v) + 2µ∂v

∂y

σxx = −P + λ(∇ · ~v) + 2µ∂w

∂z

τxy = τyx = µ

(∂u

∂y+∂v

∂x

)

τxz = τzx = µ

(∂u

∂z+∂w

∂x

)

τyz = τzy = µ

(∂v

∂z+∂w

∂y

)

donde ∇ · ~v = ∂u∂x

+ ∂v∂y

+ ∂w∂z.

2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 41

2.4. Ecuaciones de Navier Stokes

Si sustituimos la relacion constitutiva (Ecuacion 2.5) en la ecuacion de

conservacion de momentum lineal (Ecuacion 2.3) tenemos:

ρD~v

Dt= ρ~f +∇ · (−P I+ λI(trD) + 2µD)

Sabemos que D es

Dij =1

2

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

)

o en notacion vectorial

D =1

2(~v∇+∇~v)

entonces la ecuacion de conservacion de momentum se puede escribir como:

ρD~v

Dt= ρ~f −∇P + (λ+ µ)∇(∇ · ~v) + µ∇2~v (2.6)

o en notacion indicial

ρDviDt

= ρfi −∂P

∂xi+ (λ+ µ)

∂

∂xj

(∂vj∂xi

)

+ µ∂2vi∂xj∂xj

Estas ecuaciones (es una ecuacion vectorial, tres componentes) se conocen

como las ecuaciones de Navier-Stokes.

Escribiendo las ecuaciones de N-S en forma explıcita para cada direccion


coordenada, considerando coordenadas rectangulares y ~v = (u, v, w), tenemos

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)

= −∂P∂x

+ (λ+ µ)∂

∂x

(∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z

)

+µ

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)

+ ρgx;

ρ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

= −∂P∂y

+ (λ+ µ)∂

∂y

(∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z

)

+µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2+∂2v

∂z2

)

+ ρgy;

ρ

(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

= −∂P∂z

+ (λ+ µ)∂

∂z

(∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z

)

+µ

(∂2w

∂x2+∂2w

∂y2+∂2w

∂z2

)

+ ρgz.

2.4.1. Ecuaciones de N-S para flujo incompresible

Para un flujo incompresible la ecuacion de conservacion de masa se reduce

a ∇ · ~v = 0. En la ecuacion de conservacion de momentum (Ecuacion 2.6),

el esfuerzo viscoso extensional contiene un factor de ∇ · ~v, que puede ser

eliminado. Por lo tanto las ecuaciones de N-S para un flujo incompresible se

reducen a

ρD~v

Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v (2.7)

En forma explıcita, para coordenadas rectangulares, estas se escriben co-

mo:

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)

= −∂P∂x

+ µ

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)

+ ρgx;

ρ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

= −∂P∂y

+ µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2+∂2v

∂z2

)

+ ρgy;

ρ

(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

= −∂P∂z

+ µ

(∂2w

∂x2+∂2w

∂y2+∂2w

∂z2

)

+ ρgz.

MMFM:dynamics:Navier Stokes equations


Ecuaciones de N-S para flujo incompresible en forma adimensional

Podemos reescribir esta ecuacion en terminos adimensionales. Para esto

debemos elegir cantidades caracterısticas :

(x∗, y∗, z∗) = (x/L, y/L, z/L)

~v∗ = ~v/Vo

P ∗ = P/(ρV 2o

t∗ = t/(L/Vo)

donde L y Vo son la longitud y velocidad caracterıstica del flujo, respectiva-

mente.

Podemos ası hacer cambios de variable tal que

∂

∂x=

1

L

∂

∂x∗

∂

∂t=

VoL

∂

∂t∗

etc...

Las ecuaciones de N-S se reescriben como:

∂ ~v∗

∂t∗+ (~v∗ · ∇∗)~v∗ =

~f

VoL−∇∗P ∗ + (

µ

LVoρ(∇∗)2~v∗

Notamos que los grupos ~f/VoL y µ/LVoρ son adimensionales. Ademas

podemos definirlos como

Fr =~f

VoL

y

Re =LVoρ

µ

que son el numero de Froude y el numero de Reynolds respectivamente.

Entonces

∂ ~v∗

∂t∗+ (~v∗ · ∇∗)~v∗ = Fr −∇∗P ∗ +

1

Re(∇∗)2~v∗


El numero de Froude, Fr, es una comparacion entre los efectos gravita-

cionales y los efectos inerciales del flujo. Para Fr < 1 se pueden despreciar

los efectos gravitacionales.

El numero de Reynolds, Re, es una comparacion entre los efectos iner-

ciales y los viscosos del flujo. En un flujo con Re < 1 los efectos viscosos

dominan.

MMFM:dynamics:Reynolds number

2.4.2. Condiciones de contorno

En general se consideran dos clases de condiciones de frontera para un

problema de fluidos:

1. Continuidad de la distribucion de velocidades

Condicion de no deslizamiento:

~v|pared = ~Upared

~v|pared fija = 0

2. Continuidad de la distribucion de esfuerzos

Interfaz entre dos fluidos

τ1 = τ2

Superficie libre

τsup.libre = 0

MMFM:dynamics:boudary conditions


2.4.3. Casos especiales

Ecuacion de la hidroestatica

Consideremos que la velocidad del fluido es cero en todos lados (fluido

estatico): ~v = 0. Las ecuaciones de N-S (Ecuacion 2.6 se reducen a:

0 = ρ~f −∇P

Si consideramos el caso en que ~f = ~g = (0, 0, gz) entonces tenemos, para

las tres componentes de la ecuacion:

0 =∂P

∂x

0 =∂P

∂x

ρgz =∂P

∂z

Para las direcciones x − x′ y y − y′ tenemos que P es constante. Para la

direccion z − z′ vemos que la presion varıa en z de forma proporcional con

ρgz. Si tanto ρ como gz son constantes, entonces podemos integrar

P (z) = Po + ρgzz

donde Po es la presion de referencia en z = 0. Esta ecuacion es la ecuacion

de la hidrostatica.

Ecuacion de Euler

Para esta simplificacion suponemos que el fluido es ideal, que tiene visco-

sidad nula. La ecuacion se reduce a

ρD~v

Dt= ρ~f −∇P (2.8)

Notese que al eliminar el termino viscoso la ecuacion diferencial reduce su

orden. Esta simplificacion tiene implicaciones matematicas importantes (esta

ecuacion si se puede resolver para algunos casos). Sin embargo, es importante


saber que las soluciones que se obtienen de este sistema de ecuaciones tienen

limitaciones importantes (resultados no fısicos o absurdos).

Uno de los resultados mas importantes que se pueden obtener a partir de

las ecuaciones de Euler es la Ecuacion de Bernoulli.

Derivacion de la Ecuacion de Bernoulli. Si consideramos que ~g es

un campo conservativo entonces se puede representar como

~g = ∇Φ

. Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el termino

~v∇~v que aparece dentro de la derivada material de ~v:

(~v∇)~v = ∇(1

2~v · ~v

)

− ~v ×∇× ~v

(esta identidad es la definicion del triple producto cruz).

Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuacion de N-S para en la ecua-

cion de Euler, tenemos:

∂~v

∂t+∇

(1

2~v · ~v

)

− ~v ×∇× ~v = −1

ρ∇P +∇Φ

Rearreglando terminos podemos escribir

∂~v

∂t+∇

(P

ρ+

1

2~v · ~v − Φ

)

= ~v ×∇× ~v

Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrota-

cional ∇× ~v = 0, entonces la expresion anterior se reduce a:

∇(P

ρ+

1

2~v · ~v − Φ

)

= 0

Una linea de corriente es aquella lınea que es tangente al vector velocidad

en cada punto. De la definicion de una linea de corriente sabemos que:

dx

u=dy

v=dz

w


Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente dePρ+ 1

2~v ·~v−Φ sea cero, la unica posibilidad es que este termino sea constante:

P

ρ+

1

2~v · ~v − Φ = constante

Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. En-tonces:

P

ρ+

1

2~v · ~v + gz = constante (2.9)

que se conoce como la ecuacion de Bernoulli.

Ecuacion de Stokes

Si para un flujo los efectos viscosos son mucho mas importantes que los

efectos inerciales, entonces podemos despreciar los terminos de aceleracion

de las ecuaciones de Navier-Stokes. Considerando tambien que el flujo es

incompressible y que el campo gravitacional es despreciable, tenemos

0 = −∇P + µ∇2~v (2.10)

Estas ecuaciones tambien se pueden resolver matematicamente. Sus so-

luciones si tienen significado fısico valido pero su aplicacion es muy limitada

(flujos muy viscosos y lentos).

Ecuacion de conservacion de vorticidad

Otra forma de caracterizar a un flujo es a traves de la vorticidad. La

vorticidad se define como el rotacional de la velocidad

~ω = ∇× ~v

Fısicamente representa el giro de las partıculas de fluido, el cual esta

directamente relacionado con el momentum angular.

Si escribimos las ecuaciones de N-S para un fluido incompresible utilizan-

do la definicion del triple producto cruz (ver arriba), tenemos:

∂~v

∂t+∇

(1

2~v · ~v

)

− ~v ×∇× ~v = −∇(P

ρ

)

+µ

ρ∇2~v +∇Φ


Tambien se supone que el campo gravitacional es conservativo y por tanto

se puede expresar como el gradiente de una funcion escalar Φ.

Ahora podemos aplicar la operacion rotacional a ambos lados de la ecua-

cion anterior (∇×). Sabemos, tambien por una identidad vectorial, que el

rotacional de cualquier gradiente es identico a cero. Por esto, la ecuacion

anterior se reduce a:∂~ω

∂t−∇× ~v × ~ω = ν∇2~ω

donde ~ω = ∇× ~v es la vorticidad y ν = µ/ρ es la viscosidad cinematica del

fluido. Esta es ahora la ecuacion de conservacion de vorticidad.

El termino ∇× ~v × ~ω puede expandirse:

∇× ~v × ~ω = ~v(∇ · ~ω)− ~ω(∇ · ~v)− (~v · ∇)~ω + (~ω · ∇)~v

El termino ∇ · ~ω = 0, puesto que la divergencia de cualquier gradiente es

siempre cero. La ecuacion de vorticidad puede escribirse como:

∂~ω

∂t+ ~ω(∇ · ~v) + (~v · ∇)~ω − (~ω · ∇)~v = ν∇2~ω

Si ademas consideramos el caso de un fluido incompresible,∇ · ~v = 0,

entonces, rearreglando terminos tenemos:

∂~ω

∂t+ (~v · ∇)~ω = −~ω(∇ · ~v) + ν∇2~ω

que se puede escribir, finalmente, como:

D~ω

Dt= −~ω(∇ · ~v) + ν∇2~ω (2.11)

Esta ecuacion tiene la ventaja de que para resolverla no se requiere cono-

cer el campo de presiones. Podemos, entonces, argumentar que los gradientes

de presion no producen giro en la partıculas.

Capıtulo 3

Estatica de Fluidos

El caso mas simple del estudio de mecanica de fluidos es aquel en el cual la

velocidad de las partıculas de fluido es cero en todos lados. Ası, las ecuaciones

de conservacion se simplifican enormemente.

Para este caso en particular, la presion puede calcularse en cualquier

punto de fluido.

Ecuacion de la hidrostatica

Consideremos que la velocidad del fluido es cero en todos lados (fluido

estatico): ~v = 0. Las ecuaciones de N-S (Ecuacion 2.6) se reducen a:

0 = ρ~f −∇P. (3.1)

Esta es la ecuacion fundamental de la hidrostatica.

Si consideramos el caso en que ~f = ~g = (0, 0,−gz) entonces tenemos,

49

50 CAPITULO 3. HIDROSTATICA

para las tres componentes de la ecuacion:

0 =∂P

∂x

0 =∂P

∂x

−ρgz =∂P

∂z

Para las direcciones x y y tenemos que P es constante. Para la direccion z

vemos que la presion varıa en z de forma proporcional con ρgz. Si tanto ρ

como gz son constantes, entonces podemos integrar

P (z) = Po + ρgzz

donde Po es la presion de referencia en z = 0. Esta ecuacion es la ecuacion

de la hidrostatica para un fluido incompresible.

3.1. Aplicaciones

3.1.1. Vasos comunicantes

Puesto que la presion unicamente cambia como funcion de la coordenada

vertical, podemos decir que para un nivel z = constante la presion debe de ser

igual. Ası, en un contenedor de formas varias abierto a la atmosfera tenemos:

H

3.1. APLICACIONES 51

3.1.2. Barometro

El barometro de Torricelli fue el primer aparato para medir la presion

atmosferica.

Consideremos el siguiente esquema:

z=0

H

La ecuacion a considerar es:

∂P

∂z= −ρlg

entonces,

P = −ρlgz + C1

Sabemos que P = Pvac = 0 en z = H , entonces

P = ρlg(H − z)

en z = 0, la presion es Patm. Por lo tanto

Patm = ρlgH


Si, ρl = 13600 kg/m3, entonces H = 760 mm, a nivel del mar.

Si, ρl = 1000 kg/m3, entonces H = 10300 mm.

3.1.3. Manometro (Diferencia de presiones)

A B

C

h 1

h 2

h 3

r 1

r 2

El objetivo es encontrar una relacion entre la presion en A y la presion

en b. Tomemos el punto C como referencia. Podemos calcular la presion en

ese punto de cada lado del manometro.

Lado izquierdo:

PC = PA + ρ1(h3 − h1) + ρ2H1

Lado derecho:

PC = PB + ρ1(h3 − h2) + ρ2H2

Igualando ambos lados:

PA + ρ1(h3 − h1) + ρ2H1 = PB + ρ1(h3 − h2) + ρ2H2

por lo tanto

PA − PB = g(ρ2 − ρ2)(h1 − h2)

3.2. PRESION HIDROSTATICA PARA UN FLUIDO COMPRESIBLE53

3.1.4. Prensa hidraulica

Puesto que la presion no depende del area, una de las aplicaciones practica

mas importantes de la hidrostatica es la prensa hidraulica.

A 1 A 2 F 1

F 2

Del lado izquierdo se aplica una fuerza de tamano F1 sobre un area A1.

Entonces, la presion en ese punto es simplemente

P1 =F1

A1

Si los lados a y 2 estan comunicados, entonces, por el principio de vasos

comunicantes, la presion del lado izquierdo debe de ser igual que la presion

del lado derecho:

P1 = P2

Si, del lado derecho el area es A2, entonces la fuerza sobre el este lado

sera

F2 = P2A2 = P1A2

Por lo tanto

F2 = F1A2

A1

Si A2 ≫ A1, entonces F2 ≫ F1.

3.2. Presion hidrostatica para un fluido com-

presible

Aunque un fluido no tenga densidad constante, la ecuacion

∂P

∂z= −ρg

puede integrarse para algunos casos


3.2.1. Liquidos

A altas presiones, la densidad de un liquido SI varıa con esta. La densidad

y la presion estan relacionadas a traves de una propiedad fısica llamada

modulo de compresibilidad volumetrica, EV :

EV =dP

drho/ρ

Si consideramos que EV sea constante entonces podemos sustituir su de-

finicion en la ecuacion de la hidrostatica:

1

∂z

(

EV∂ρ

ρ

)

= ρg

Por lo tanto

EV∂ρ

ρ2= d∂z

que puede integrarse tal que

−EV

ρ= −gz + C1

Si consideramos que ρ = ρo en z = 0, entonces:

[− EV

ρ− ρo= −gz

o

ρ = ρ0 +EV

gz

Sustituyendo de nuevo el la ecuacion de la hidrostatica tenemos,

P = ρgz + EV ln z + C

3.2.2. Gases

Para un gas la relacion entre presion, densidad y temperatura esta dada

por una ley de estado. La mas comunmente usada, obviamente, es la ley de

gas ideal:

P = RρT

3.3. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 55

Sustituyendo esta relacion en la ecuacion de la hidrostatica tenemos

∂(ρRT ) = −ρg∂z

entonces,dρ

ρ=

−gRT

dz

Integrando, para T constante:

ln ρ =−gRT

z + C1

Si ρ = ρo para z = 0, entonces

ρ = ρo exp(−g

RTz)

3.3. Fuerzas sobre superficies sumergidas

Puesto que podemos saber la presion en cada punto en un fluid0 en reposo,

podemos tambien conocer la fuerza que se ejerce sobre cualquier superficie

sumergida. Solo es necesario integrar la presion sobre la superficie de interes.

Podemos estudiar las fuerzas que se producen debido a la presion. Pode-

mos calcular,

Magnitud de la fuerza

Direccion

Lınea de accion

3.3.1. Superficies planas

Consideremos la siguiente figura

Para calcular la fuerza sobre la cara superior de la placa mostrada debe-

mos calcular:~F =

∫

S

Pd~S =

∫

S

P~ndS


0

vista lateral

F r

CP dS

h

vista plana

Sabemos que∂P

∂h= ρg

Si, P = Po = 0 en h = 0, entonces

P = ρgh

Entonces,

~F =

∫

S

(ρgh)~ndS

La geometrıa de la placa puede expresarse en terminos de x y y La pro-

fundidad h puede expresarse en terminos de y

h = y sin θ

Si

dS = dxdy = (1)dy

esto es considerando que la profundidad x es unitaria.

Ası,

~F =

∫ y2

y1

(ρgy sin θ)j(1)dy

En general podemos escribir

3.3. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 57

Fr = ρg sin θAYc

donde

Yc =

∫

s

ydS

es el primer momento de superficie.

Para calcular la posicion y orientacion de la fuerza resultante debemos

considerar que la suma de torques sea nula∑

~M = 0

Tomando momentos con respecto a (y, z) = (0, 0) tenemos

yCP · Fr =

∫

S

yPdS

entonces

yCP · Fr = ρg sin θ

∫

S

y2dS

La integral

intSy2dS

es en segundo momento del area.

3.3.2. Fuerza hidrostatica sobre superficies curvas su-

mergidas

La fuerza sobre un elemento diferencial de superficie es

∂ ~F = P∂~S

por lo tanto la fuerza total resultante es

~FR = iFRx + jFRy + kFRz =

∫

S

Pd~S

Para cada componente tenemos:

FRx =

∫

S

P i · d~S =

∫

P cos θxdS =

∫

S

PdSx


dAx

dAz

dAy

x

y

z

dA

donde

dSx = dS cos θx

es la proyeccion de S sobre el plano yz.

De igual manera

FRy =

∫

S

PdSy

FRz =

∫

S

PdSz

3.4. Fuerzas en objetos sumergidos

3.4.1. Fuerza de flotacion, principio de Arquımedes

Considere el siguiente objeto, de volumen V y densidad ρo sumergido por

completo el un fluido estatico de densidad ρf .

Existira una fuerza de superficie en cada punto de S del cuerpo debida a

la presion hidrostatica.

∂F = PdS

Suponga que los puntos 1 y 2 estan situados de lados opuestos (arriba y

abajo) en el mismo cuerpo. La diferencia de fuerzas entre los puntos 1 y 2

sera

∂F = (P1 − P2)dS

3.4. FUERZAS EN OBJETOS SUMERGIDOS 59

S

V

H 2

H 1

dS P 1

P 2

si para ambos puntos la presion se ejerce sobre un elemento diferencial de

area dS del mismo tamano.

Sabemos que

P2 − P1 = ρfg(H2 −H1)

entonces, si notamos que (H2 −H1)dS = dV , tenemos

∂F = ρfg(H2 −H1)dS = ρfgdV

Por lo tanto

Ftotal =

∫

∂F =

∫

V

ρfgdV

si ρf es constante entonces

Fflotacion = ρfgV.

Esta ecuacion es el principio de flotacion o Arquımedes: ‘Todo cuerpo sumer-

gido en un liquid de densidad ρf experimenta una fuerza en direccion opuesta

a la gravedad que es igual al peso del volumen del liquido desplazado por el

cuerpo’.

El peso del cuerpo sumergido es

W = ρogV


Si la fuerza de flotacion y el peso se igualan,

W = Fflotacion

entonces el cuerpo se dice ser de flotacion neutra. Esto ocurre si y solo si

ρo = ρf

3.5. Fluidos con movimiento de cuerpo rıgido

Un caso especial en el cual se puede aplicar la teorıa hidrostatica para

un fluido en movimiento es aquel en el cual todas las partıculas de fluido se

mueve a la misma velocidad. Es decir el fluido se mueve sin deformarse (no

existen esfuerzos constantes). Para este caso el unico esfuerzo es la presion.

Consideremos la ley de Newton

d~F = ~adm = ~aρdV

De hidrostatica sabemos que

d~F = (−∇P ) + ρ~gdV

entonces

(−∇P ) + ρ~gdV = ~aρdV

por lo tanto

ρ~a = −∇P ) + ρ~g.

Esta ecuacion es, de hecho, la ecuacion de la hidrostatica pero para un caso

general en el cual existe una aceleracion ~a que hace que el gradiente de presion

pueda tener componentes en direcciones diferentes a la gravedad.

3.5.1. Ejemplo

Un recipiente rectangular, que contiene un liquido, se mueve con una

aceleracion horizontal (ver figura).

3.5. FLUIDOS CON MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO 61

L

L

D

H

g

a

y

x

¿Cual sera la forma de la superficie una vez que el recipiente se acelere

horizontalmente a una tasa ~a?

La ecuacion a resolver es:

ρ~a = −∇P ) + ρ~g.

que expresada en componentes es

ρax = −∂P∂x

+ ρgx

ρay = −∂P∂y

+ ρgy

si ~g = (0, g) y ~a = (ax, 0) entonces

ρax = −∂P∂x

0 = −∂P∂y

+ ρg

Podemos calcular la diferencial de P de la siguiente manera:

dP =∂P

∂xdx+

∂P

∂ydy


Puesto que en la superficie libre la presion es constante (presion atmosferi-

ca) entonces dP = 0:

0 =∂P

∂xdx+

∂P

∂ydy

por tanto

0 = ρaxdx+ ρgdy

Entoncesdy

dx= −ax

g

que es la pendiente de una recta.

La superficie libre estara dada por

y = −axgx+ b

Capıtulo 4

Ecuacion de Bernoulli y Flujo

en Tuberıas

Como se discutio en clase, las ecuaciones de Navier-Stokes representan la

conservacion de momentum lineal (segunda ley de Newton) para el caso de

un fluido. Sin embargo, estas ecuaciones son de gran complejidad matematica

y unicamente se pueden encontrar soluciones analıticas para casos especiales.

Si se supone que los esfuerzos viscosos son despreciables, puede encontrar-

se una ecuacion simplificada de una complejidad significativamente menor

que si se puede resolver.

4.1. Ecuacion de Bernoulli

Si consideramos que ~g es un campo conservativo entonces se puede repre-

sentar como

~g = ∇Φ



(~v∇)~v = ∇(1

2~v · ~v

)

− ~v ×∇× ~v

63

64 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI




∂~v

∂t+∇

(1

2~v · ~v

)

− ~v ×∇× ~v = −1

ρ∇P +∇Φ


∂~v

∂t+∇

(P

ρ+

1

2~v · ~v − Φ

)

= ~v ×∇× ~v



∇(P

ρ+

1

2~v · ~v − Φ

)

= 0



dx

u=dy

v=dz

w



P

ρ+

1


Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. En-tonces, dividiendo en g:

P

ρg+

1

2g~v · ~v + z = constante (4.1)

que se conoce como la ecuacion de Bernoulli.

Termino a termino:

Pρg[=]FL−2M−1L3L−1T 2[=]L

Carga de presiones, altura de una columna de fluido bajo la presion P

contra la gravedad.


P 1

P 2

v 1

z 1

v 2

z 2

12g~v · ~v[=]L2T−2L−1T 2[=]L

Carga de velocidades, altura desde la cual una partıcula debe caer bajo

la accion de g para adquirir una velocidad |~v|

z[=]L

Carga de presiones, altura del punto en una linea de corriente sobre

una superficie de referencia arbitraria.

4.2. Aplicaciones

Dado que la ecuacion de Bernoulli es muy simple, es facil se pueden en-

contrar soluciones a problemas de flujo de manera inmediata. A continuacion

se analizan algunos problemas clasicos.

4.2.1. Descarga de un orificio

Podemos facilmente calcular la velocidad a la salida de un orificio en la

base de un tanque grande. Consideremos en siguiente dibujo:

La ecuacion a resolver es:

V 2

2+P

ρ+ gz = constante

Seleccionamos una lınea de corriente entre punto A y B y aplicamos la

ecuacion de Bernoulli para estos puntos:

V 2A

2g+PA

ρg+ zA =

V 2B

2g+PB

ρg+ zB


H

A

B

Note que:

en A, VA ≈ 0

en A, PA = Patm, zA = H

en B, PB = Patm, zB = 0

por lo tanto,

0 +Patm

ρg+H = 0 +

Patm

ρg+ 0

y

VB =√

2gH

Este resultado es una buena aproximacion. Sin embargo, siempre debe

tenerse en cuenta que la ecuacion de Bernoulli se derivo despreciando las

fuerzas viscosos. Para un flujo viscoso la velocidad serıa

(VB)real = C√

2gH

donde C < 1.

4.2.2. Tubo de Pitot

Este aparato se utiliza para medir la velocidad en un flujo.

Para este flujo, las presiones P1 y P2 se miden.

V 21

2g+P1

ρg+ z1 =

V 22

2g+P2

ρg+ z2


P 1

v 1

P 2

Note que:

z1 = z2

en 2, existe un punto de estancamiento (el fluido tiene velocidad cero),

por tanto V2 = 0.

por lo tanto,V 21

2g+P1

ρg= 0 +

P2

ρg

entonces

V1 =

√

2(P1 − P2)

ρ

.

4.2.3. Sifon

Podemos analizar las variaciones de velocidad y presion en un sifon:

Para encontrar la velocidad a la salida del chorro libre:

V 21

2g+P1

ρg+ z1 =

V 22

2g+P2

ρg+ z2

Note que:

P1 = P2 = Patm

V1 ≈ 0


h

H

A

z1 = h, z2 = H

Por lo tanto,

0 +Patm

ρg+ h =

V 22

2g+Patm

ρg+H

entonces

V2 =√

2g(H − h)

Podemos tambien calcular la presion en l punto A:

P2 = Patm

VA = V2, por conservacion de masa.

zA = 0, z2 = H

4.3. FLUJO EN TUBERIAS 69

Entonces,V 2A

2g+PA

ρg+ 0 =

V 22

2g+Patm

ρg+H

por lo tanto

PA = Patm− ρgH.

Esta presion es de vacıo!

4.3. Flujo en tuberıas

Uno de los problemas practicos de mayor importancia en la mecanica

de fluidos aplicada es el transporte de fluidos en tuberıas. En numerosas

aplicaciones es necesario transportar fluidos de un lugar a otro. Esto se ha-

ce, normalmente, utilizando bombas, tuberıas y accesorios. Las bombas son

dispositivos cuya funcion es aumentar la presion del fluido en un punto; al

existir una diferencia de presiones se puede inducir flujo. Ası, se puede hacer

fluir al fluido a traves de un conducto, generalmente de seccion circular, bajo

la accion de la diferencia de presiones generada por la bomba. Lo unico que

restarıa conocer es el flujo volumetrico que se puede entregar en este sistema.

En este seccion exploraremos las alternativas que existe para realizar este

calculo. En principio tenemos dos opciones:

Solucion de las ecuaciones de Navier-Stokes completas

Solucion de la ecuacion de Bernoulli con una modificacion empırica.

La primera opcion plantea la solucion del sistema de ecuaciones diferen-

ciales que gobiernan al movimiento de fluidos. Resulta, como se vera en este

capıtulo, que para el caso de una tuberıa circular com gradiente de presion

constante si es posible obtener una solucion analıtica, siempre y cuando el

flujo sea laminar. Cuando, el flujo no es laminar es necesario considerar la

segunda opcion. Sin embargo, la ecuacion de Bernoulli tiene que ser corre-

gida para incluir los efectos de friccion viscosa porque de otra manera sus

predicciones son irreales.


4.3.1. Solucion del flujo en una tuberıa circular usando

Bernoulli

Consideremos en problema mostrado en la figura: el flujo de un fluido

viscoso a traves de una tuberıa circular horizontal.

D

P2P1

Q

L

Nos interesa determinar el valor de la diferencia de presiones, P1 − P2,

para lograr que se mantenga en fluido fluyendo a un gasto volumetrico, Q,

en la tuberıa de largo L y diametro D. Planteamos entonces la ecuacion de

Bernoulli entre los dos puntos:

V 21

2+P1

ρ+ gz1 =

V 22

2+P2

ρ+ gz2

Sabemos que V = Q/A donde A = π/4D2. Si el diametro es el mismo

en los puntos 1 y 2, entonces V1 = V2. Tambien, dado que la tuberıa es

horizontal, z1 = z2. Entonces:

P1

ρ=P2

ρ

y por lo tanto:

P1 − P2 = 0

Entonces, para transportar un flujo Q entre los puntos 1 y 2 a una dis-

tancia L en una tuberıa de diametro D no se necesita ningun gradiente de

presion. Es decir, el fluido es capaz de moverse sin ninguna perdida. Este

resultado, obviamente, no representa a una situacion real. Es correcto, bajo


las consideraciones que se toman para el desarrollo de la ecuacion de Bernou-

lli. O sea, un fluido inviscido se puede transportar sin perdidas por friccion

viscosa. Por esta razon no se puede usar la ecuacion de Bernoulli de manera

directa.

4.3.2. Solucion exacta de flujo en una tuberıa circular

Consideremos el flujo de un fluido en una tuberıa circular de diametro

D y largo L, en cuyos extremos existe una diferencia de presiones , ∆P .

Consideremos ademas que el flujo es estacionario (las derivadas temporales

son cero, ∂/∂t = 0) y que el flujo es desarrollado y sin efectos de borde

(el flujo no evoluciona en la direccion del flujo). Si adoptamos un sistema

coordenado cilındrico en la que el eje z es colineal con el eje de la tuberıa

(como se muestra en la figura) tenemos lo siguiente.

Caracterısticas del flujo:

1. Flujo estacionario (no cambia como funcion del tiempo):

∂/∂t = 0

2. Flujo desarrollado (no cambia con la posicion x, placa y pelıcula infi-

nitas):

∂/∂x = 0

3. La gravedad actua en las dos direcciones x− x′ y y − y′:

~g = (s senα, g cosα).

4. No hay gradiente de presion en la direccion x− x′:

∂P/∂x = 0

La unica diferencia es que debemos considerar un sistema de coordenadas

cilındricas: ~v = (ur, uθ, uz)

En este caso la ecuacion de conservacion de masa, ∇ · ~v = 0, se escribe

en forma explıcita como:

1

r

∂

∂r(rur) +

1

r

∂

∂θuθ +

∂

∂zuz = 0


Por ser un flujo desarrollado (∂/∂z) y (∂/∂z) axisimetico (∂/∂θ), tenemos:

1

r

∂

∂r(rur) = 0

Por lo tanto:

ur = 0

Flujo unidireccional. El vector de velocidad se reduce a ~v = (0, 0, uz).

Resolviendo la ecuacion de conservacion de momentum unicamente en la

direccion donde el componente de velocidad no es cero, direccion z−z′. Paracoordenadas cilındricas tenemos:

ρ

(∂uz∂t

+ ur∂uz∂r

+uθr

∂uz∂θ

+ uz∂uz∂z

)

= −∂P∂z

+µ

(1

r

∂

∂r

(

r∂uz∂r

)

+1

r2∂2uz∂θ2

+∂2uz∂z2

)

+ρgz

Considerando las mismas caracterısticas del flujo que en la seccion 3.1.2

y ademas que el flujo es axisimetrico e unidireccional, la ecuacion anterior se

reduce a :

−Gµ

=1

r

∂

∂r

(

r∂uz∂r

)

donde G = −∂P/∂z = constante

Integrado una vez tenemos:

∂uz∂r

= − G

2µr +

C1

r

Integrado una vez mas:

uz = − G

4µr2 +

C1

lnr + C2

Sabemos que la velocidad en r = 0 debe ser finita, por lo tanto C1 = 0.

Tambien sabemos que la velocidad del fluido en la pared debe de ser cero

(condicion de no deslizamiento): uz(r = R) = 0.

C2 =G

4µR2


Por lo tanto, el campo de velocidades para una tuberıa circular bajo un

gradiente de presion constante es:

uz =G

4µ

(R2 − r2

)(4.2)

Podemos calcular el flujo volumetrico como:

Q =

∫

A

uzdA =

∫ R

0

uz(2πrdr)

Ası:

Q =πG

8µR4

La velocidad media, U = Q/A, es

U =G

8µR2

Podemos calcular el esfuerzo en la pared es:

τpared = τrz|r=R = µ∂uz∂r

Entonces, el esfuerzo en la pared es:

τpared =GR

2

Podemos calcular el coeficiente de friccion sobre la tuberıa:

Cf =Ff

12ρU2A

El area de contacto A es 2πRL. La fuerza de friccion Ff sobre la tuberıa

se puede calcular directamente del esfuerzo en la pared como Ff = τparedA:

Ff = πR2LG

Por lo tanto

Cf =16µ

(2R)ρU=

16

Re

donde Re = ρDU/µ es el numero de Reynolds.


4.4. Una ecuacion de Bernoulli modificada

Una de las limitaciones importantes de la solucion a flujo en una tuberıa

circular (desarrollada en la seccion anterior) es que esta es solo valida cuando

el flujo es laminar. En el capıtulo XX, se discutira porque es que todos los

flujos laminares se vuelven turbulentos cuando se sobrepasa un cierto valore

del numero de Reynolds. En resumidas cuentas, el flujo pierde su naturaleza

unidireccional y aparecen fluctuaciones de velocidad en todas las direcciones

coordenadas. Bajo dicha condicion la prediccion del perfil de velocidades

dada por al Ecuacion 4.2 deja de ser valida.

Experimentalmente, se ha encontrado que el numero de Reynolds crıtico

para el cual un flujo laminar en una tuberıa circular se vuelve turbulento es

de alrededor de 2000. La gran mayorıa de los flujos en ingenierıa sobrepasan,

por mucho este valor. Por lo tanto la aplicabilidad de la Ecuacion 4.2 y sus

cantidades derivadas es muy limitada.

Para poder realizar calculos ingenieriles del flujo en tuberıas, nos vemos

en la imperiosa necesidad de regresar a una ecuacion simplificada, la ecuacion

de Bernoulli. Dicha ecuacion se puede escribir como:

P1

ρ+V1

2

2+ gZ1 =

P2

ρ+V2

2

2+ gZ2 (4.3)

Consideremos el caso del flujo en una tuberıa horizontal de la §4.3.2. Dado

que la tuberıa es horizontal entonces Z1 = Z2; dado que la seccion transversal

es constante y el flujo es incompresible

Q1 = Q2

V1π

4D2

1 = V2π

4D2

2

por lo tanto

V1 = V2

.

4.4. UNA ECUACION DE BERNOULLI MODIFICADA 75

Entonces, la ecuacion de Bernoulli se reduce a:

P1

ρ=P2

ρ,

lo cual se significa que para producir un flujo Q en una tuberıa de diametro D

de un fluido inviscido se requerirıa una bomba que produzca un incremento

de presion de cero! Este resultado es obviamente irreal, lo cual se deriva del

hecho que se desprecio el efecto viscoso en el lıquido.

Entonces, podemos plantear una version ‘amanada’de la Ecuacion de Ber-

noulli de la siguiente manera:

P1

ρ+V1

2

2+ gZ1 =

P2

ρ+V2

2

2+ gZ2 +H (4.4)

donde H es la perdida de carga por friccion viscosa, la cual tiene dimensiones

de [L].

En general, podemos dividir a la perdida de carga en H = HM + Hm,

perdidas mayores y perdidas menores. Las perdidas mayores estan asociadas

a la friccion viscosa a lo largo del tubo; las menores estan asociadas con otros

elementos en el circuito de flujo (accesorios, codos, reducciones, etc.

4.4.1. Perdidas mayores

Las perdidas mayores,HM , se pueden expresar en terminos de una perdida

de presion. Para el caso de una tuberıa horizontal de diametro constante

tenemos entonces:

HM =P1 − P2

ρ=

∆P

ρ

Por ejemplo, para flujo laminar, de la solucion mostrada en§4.3.2 tenemos

que

Q =π

8µR4−∆P

L

Por lo tanto,

∆P = 32L

D

µV

D


y entonces

HM =∆P

ρ=L

D

V 2

2f

donde f = 64/Re, es el factor de friccion. El numero de Reynolds se define

como

Re =V Dρ

µ.

Ahora, para un flujo turbulento, no existe una solucion analıtica. Sin em-

bargo, empıricamente podemos proponer la siguiente relacion adimensional:

2∆P

ρV 2= Φ(

L

D,Re,

e

D)

donde e es la rugosidad absoluta del tubo.

Por lo tanto podemos escribir

HM =V 2

2Φ(

L

D,Re,

e

D).

Experimentalmente se ha encontrado que HM y L/D son linealmente

dependientes por lo que:

HM =V 2

2

L

DΦ0(Re,

e

D).

Entonces, podemos expresar a las perdidas mayores para un flujo turbu-

lento en una tuberıa de diametro constante como:

HM =V 2

2

L

Df.

donde f es el factor de friccion el cual es una funcion empırica de Re y e/D

f = Φ0(Re,e

D).

El valor de f se lee directamente de tablas, del diagrama de Moody mos-

trado en la Figura 4.1.

Alternativamente, f se puede calcular de manera directa. Para flujo la-

minar

flaminar =64

Re.

4.4. UNA ECUACION DE BERNOULLI MODIFICADA 77

Figura 4.1: Diagrama de Moody. Tomado de Fox et al. [2003]

Para flujo turbulento, Re > 4000, fturbulento se calcula usando la expresion

implıcita:1√f= 1.14− 2 log10

(e

D+

9.35

Re√f

)

.

4.4.2. Perdidas Menores

Todas las perdidas que no esten directamente asociadas con el flujo en una

tuberıa de seccion transversal constante se absorben en factores de perdida

secundarios. Estos pueden darse como una distancia extra equivalente de

tuberıa o un factor constante.

Entonces, podemos tener

Hm = κV 2

2,


o

Hm =V 2

2

Leq

Df,

donde κ es el coeficiente de perdidas y Leq es una longitud equivalente. Estas

cantidaes se leen de tablas empıricas.

La Tabla 4.1 muestra algunos valores tıpicos de perdidas menores.

Cuadro 4.1: Perdidas menores para algunos accesorios tıpicos.

Tipo de AcessorioLongitud equivalente,

Le/DCoeficiente de perdida

Valvula de globo - abierta 340 10.0

Valvula de angulo - abierta 150 5.0

Valvula de compuerta - abierta 9 0.2

Valvula de compuerta - abierta 3/4 35 -



Valvula de mariposa - abierta 45 -

Codo de 90o - estandar 30 0.9

Codo de 90o - radio largo 20 0.6

Codo de 45o - estandar 16 0.4

Te estandar - flujo directo 20 0.6

Te estandar - flujo desviado a 90o 60 1.8

Entrada - tubo saliente - 0.8

Entrada - tubo al raz - 0.5

Entrada - boca poco redondeada - 0.2

Entrada - boca bien redondeada - 0.04

4.5. SOLUCION DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBERIAS 79

4.5. Solucion de problemas de flujo en tu-

berıas

En general, cuando deseamos resolver el problema del flujo de un fluido a

traves de una tuberıa tenemos que resolver la siguiente ecuacion generalizada:

Q = Φ(∆P,D, L, e,∆Z, ρ, µ, configuracion)

,

De esta lista de variables podemos considerar que algunas de ellas, son en

realidad parametros. Por ejemplo, las propiedades del fluido (ρ, µ), normal-

mente no cambiaran para una instalacion dada. De manera similar, el tipo

de tubo (e) y la configuracion (∆Z y accesorios) tampoco varıan. Si para

un problema dado podemos considerar que los parametros son constantes,

entonces tenemos que:

Q = Φ(∆P,D, L)

.

Con estas cuatro variables podemos considerar la solucion de 4 tipos de

problemas:

1. ∆P desconocida; Q,D, L conocidos (encontrar el tamano de la bomba

necesaria para entregar un gasto Q en una tuberıa de diametro D entre

dos puntos separados por una distancia L).

2. L desconocida; Q,D,∆P conocidos (para una bomba dada y un gasto

Q conocido en una tuberıa de diametro D, calcular la distancia L para

la cual se puede satisfacer esta condicion).

3. Q desconocida; ∆P,D, L conocidos (para una bomba y tuberıa dada

de tamano y largo conocidos, encontrar el gasto que se puede entregar)

4. D desconocida; Q,L,∆P conocidos (para una bomba, gasto y distancia

conocidos, calcular el diametro de la tuberıa).


4.5.1. Ecuacion general de flujo en tuberıas

La ecuacion 4.4 se puede escribir como:

P1

ρ+V1

2

2+ gZ1 =

P2

ρ+V2

2

2+ gZ2 +

Vi2

2

L

Df

︸︷︷︸

Perdidas Mayores

+Vi

2

2

Leq

Df + κ

Vi2

2︸︷︷︸

Perdidas Menores

(4.5)

Dependiendo de que datos son los que se proporcionan de entrada, se debe

seguir una tecnica de solucion diferente. El aspecto mas importante en este

caso es el calculo del factor de friccion f . Este depende, en general, del numero

de Reynolds, Re y de la rugosidad relativa. Recordemos que Re = V Dρ/µ. Si

se desconoce la velocidad media del flujo (si se desconoce Q de entrada), no

se puede calcular el Re de manera directa y por lo tanto tampoco se puede

obtener f . De manera similar, si D no es un dato de entrada, no se puede

inferir V aunque se conozca Q y tampoco se conoce el valor de la rugosidad

relativa por lo que tampoco se puede conocer f .

Caso 1: ∆P desconocida

Este es el caso de calculo mas directo. La ecuacion (4.5) se puede reescribir

como:

P1 − P2

ρ=V2

2 − V12

2+ g(Z2 − Z1) +

Vi2

2

L

Df +

Vi2

2

Leq

Df + κ

Vi2

2.

Si D es constante, esta expresion se simplifica ya que V12= V2

2:

P1 − P2

ρ= g(Z2 − Z1) +

V 2

2

(L

Df +

Leq

Df + κ

)

.

Ya que se conocen Q y D, la velocidad media se obtiene directamente.

Asi el numero de Reynolds Re y la rugosidad relativa se calculan y se puede

leer f del diagrama de Moody.


Ejemplo: Determinar la caıda de presion en un flujo de agua a traves de

una tuberıa de 150 mm de diametro a lo largo de una distancia de 10 m,

que entrega un gasto volumetrico de 0.1 m3/s. Suponga que la tuberıa

tiene una rugosidad relativa de ǫ/D = 0.0002.

Solucion: Considerando que no hay cambios de nivel (tuberıa hori-

zontal), entonces Z1 = Z2. Si ademas suponemos que no hay perdidas

menores, la ecuacion a resolver se simplifica a:

P1 − P2

ρ=V 2

2

L

Df.

La velocidad media se calcula como V = 4Q/(πD2) = 4(0.1)/(π(.15)2) =

5.66 m/s. La razon L/D = 10/.15 = 66.67. El factor de friccion se lee

del diagrama de Moody, sabiendo el valor de Re y ǫ/D.

El numero de Reynolds es Re = V ρD/µ = (5.66)(1000)(.15/0.001) =

8.49 × 105; y ǫ/D = 0.002. Con estos datos leemos, del diagrama de

Moody, un valor f = 0.015.

Por lo tanto:

P1 − P2 = 1000(5.66)2

2(66.67)(0.015)

∆P = 16.02 kPa.

Caso 2: L desconocida

Cuando unicamente se desconoce la distancia L, el calculo tambien es

directo. La ecuacion 4.5 se puede reescribir como (si D es constante):

L =2D

fV 2

(P1 − P2

ρ+ g(Z1 − Z2)

)

+D

(Leq

D+κ

f

)

.

Lo cual se calcula de manera directa.


Ejemplo: Determinar

Caso 3: Q desconocida

Por otro lado, si se desconoce el gasto Q, no se puede calcular V 2 y por

lo tanto no se sabe, de entrada, el valor de f .

Para una tuberıa de diametro constante, tenemos:

V =

√√√√√

2(

P1−P2

ρ+ g(Z1 − Z2)

)

(LDf + Leq

Df + κ

) .

En este caso se debe de llevar a cabo un proceso iterativo. Entonces, de

inicio se debe suponer un valor de factor de friccion. Usualmente se supone

que que el flujo es completamente turbulento. Entonces, del diagrama de

Moody (Figura 4.1) se lee el valor de f para el Re mas alto correspondiente

a la rugosidad relativa, e/D de la tuberıa (valores en el extremo derecho del

diagrama). Con este valor supuesto de f , se calcula la velocidad media, V

usando la ecuacion anterior. Con este valor se calcula un numero Reynolds

y, por tanto un nuevo valor de f . Se debe continuar iterando hasta que V

converja a un valor constate.

Ejemplo: Determinar

Caso 4: D desconocida

Este es el caso mas tedioso, pues no se puede calcular ni la rugosidad

relativa ni en numero de Reynolds (que se necesitan para calcular, f). La

ecuacion se reescribe como:

D =f(L+ Leq)

2V

(P1−P2

ρ+ g(Z1 − Z2)− κ

) .


Para este calculo se debe suponer que el flujo es turbulento y ademas

completamente rugoso. Por tanto se debe escoger el valor maximo posible de

factor de friccion, f , del diagrama de Moody (la lınea superior para Re >

4000), cuyo valor aproximado es f = 0.072. Ademas se debe suponer un valor

del diametro con el cual se puede calcular una velocidad media. Usando la

ecuacion anterior, se calcula un primer valor del diametro. Una vez obtenido,

se puede comenzar a iterar hasta la convergencia.

Ejemplo: Determinar

4.5.2. Bombas

Las bombas son dispositivos que se usan para mover fluidos. Pueden ser

clasificadas en dos grandes grupos: las que inducen un incremento en presion

(bombas centrıfugas) o las que desplazan mecanicamente un cierto volumen

(bombas de desplazamiento positivo.

Una bomba de desplazamiento positivo hace que el fluido se mueva ‘atra-

pandoun cierto volumen de fluido, el cual es desplazado mecanicamente hacia

una tuberıa de descarga. Ejemplos de estas bombas son las de tornillo (muy

usadas para bombear fluidos viscosos), el corazon (que de hecho son dos

bombas que alimentan a dos circuitos distintos), etc. Una caracterıstica im-

portante de este tipo de bombas es que el gasto que entregan es independiente

de la diferencia de presiones que se le imponen.

Las bombas centrıfugas, por otra parte, tienen un elemento rotatorio que

incrementa la energıa cinetica del fluido. Esta energıa, a su vez, hace que se

incremente la presion en el fluido que induce un gradiente que hace que el

fluido se mueva. A diferencia de las bombas de desplazamiento positivo, el

gasto que pueden entregar las bombas centrıfugas depende de la carga que se

le impone. Entonces, para este caso es necesario consultar la llamada curva

de desempeno de la bomba en cuestion.


Ejemplo: Determinar

4.5.3. Redes de tuberıas

Las redes de flujo en tuberıas se deben de resolver de manera similar a

como se resuelven las redes electricas. Es decir, cada rama se debe de resolver

de manera simultanea.

Para n ramas que llegan a un mismo nodo debemos de considerar que

Q = Q1 +Q2 + · · ·+Qn.

Para n ramas que se conectan entre los dos mismos nodos, quizas con

distancias diferentes, tenemos que

∆P = ∆P1 = ∆P = · · · = ∆Pn.

Debe de tomarse en cuenta que mientras para el caso electrico la relacion

entre corriente y diferencia de voltage es lineal, para el caso hidraulico la rela-

cion es no-lineal (∆P ∼ Q2). Por tanto, no es posible utilizar las herramientas

usuales (algebra lineal y matricial) para el caso hidraulico.

4.5.4. Tuberıas de seccion no-circular

Aunque las tuberıas de seccion transversal circular es, por mucho, el caso

mas comunmente usado, en ocasiones es necesario utilizar conductos de otra

forma.

Una correlacion empırica que suele usarse para resolver el flujo en con-

ductos de seccion transversal no circular es considerar un diametro efectivo

equivalente. El diametro hidraulico se calcula como:

Dh =4A

P

donde A y P son el area y el perımetro de la seccion transversal, respectiva-

mente.


Una vez que se calcula el diametro Dh se procede al calculo del flujo,

empleado este diametro.

Capıtulo 5

Analisis de Volumen de Control

Una tecnica muy importante en mecanica de fluidos es el analisis a traves

de volumenes de control. Esta consiste en re-expresar las leyes basicas de

conservacion para un volumen fijo (con respecto a un sistema de referencia).

Ası, evaluando los flujos a traves de las parades del volumen podemos calcular

fuerzas, cambios de masa, etc.

Estas ecuaciones, en particular la conservacion de masa y momentum

lineal, se derivaron en uno de los capıtulos anteriores. En esta seccion se

volveran a derivar utilizando el teorema de transporte de Reynolds.

5.1. Definiciones basicas: sistema y volumen

de control

Un sistema es la coleccion arbitraria de masa de identidad fija. Es decir,

una masa de las mismas partıculas para todo t. Seguir a un sistema corres-

ponderıa a una descripcion lagrangiana.

Un volumen de control es una coleccion de puntos fijos en el espacio. En

dicha region espacial, existe una masa de partıculas que, en general, cambia

con t; es decir, las partıculas de fluido son capaces de atravesar libremente

la superficie del volumen de control. Un analisis del movimiento a traves de

87

88 CAPITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL

un volumen de control es una descripcion euleriana.

5.2. Ecuaciones de conservacion para un sis-

tema

Las ecuaciones de conservacion fundamentales estan expresadas, original-

mente, para un sistema. Las ecuaciones fundamentales son:

1. Conservacion de masa. La masa del sistema debe ser constante:(DM

Dt

)

sistema= 0

Podemos escribir

Msistema =

∫

sistema

dM =

∫

V

ρdV

donde ρ es la densidad de la material dentro del volumen V .

2. Segunda ley de Newton. Para un sistema que se mueve relativo a un

marco de referencia inercial, la suma de las fuerzas externas que actuan

sobre el sistema es igual a la razon de cambio con respecto al tiempo

del momentum lineal del sistema.

~F =

(

D~P

Dt

)

sistema

donde ~F es la fuerza total y ~P es el momentum lineal del sistema

definido como

~P =

∫

sistema

~Udm =

∫

V

~UρdV

donde ~U es la velocidad de las partıculas del sistema dentro del volumen

V .

5.2. ECUACIONES DE CONSERVACION PARA UN SISTEMA 89

3. Conservacion del momentum angular. La razon de cambio del momen-

tum angular es igual a la suma de los torques (pares), ~T , que actuan

sobre el sistema:

~T =D ~H

Dt|sistema

El momentum angular del sistema esta definido como

~Hsistema =

∫

V

~r × ~UρdV

4. Primera ley de la termodinamica. La conservacion de energıa para un

sistema esta dada por la relacion

Q− W =DE

Dt|sistema

donde

Esistema =

∫

m

edm =

∫

V

eρdB

donde

e = u+|V |22

+ gz

u es la energıa interna.

5. Segunda ley de la termodinamica. Si cierta cantidad de calor δQ se

transfiere a un sistema a una temperatura T , su entropıa, S, satisface

dS ≥ δQ

T

o para un proceso∂S

∂t≥ δQ

T

donde Q es la tasa de transferencia de calor.

La entropıa del sistema es

Ssistema =

∫

m

sdm =

∫

V

sρdV

donde s es la entropıa por unidad de masa.


5.3. Teorema de Trasporte de Reynolds

Una propiedad es la cuantificacion de un atributo o una cualidad esencial

del estado de un sistema.

Una propiedad extensiva, N , es aquella cuya medida es absoluta (el valor

de una propiedad extensiva puede sumarse, Nt = N1 + N2). Una propiedad

intensiva, η, es la medicion de una caracterıstica del sistema por unidad de

masa (el valor de una propiedad intensiva NO puede sumarse, ηt 6= η1 + η2).

Ası,

Nsistema =

∫

m

ηdm =

∫

V

ηρdV

Naturalmente, existe una propiedad intensiva por cada propiedad exten-

siva. Por ejemplo, si

N =M ⇒ η = 1

N = ~P ⇒ η = ~v

N = E ⇒ η = e

Podemos analizar como es que una propiedad extensiva cambia con res-

pecto al tiempo para un sistema contenido dentro de un volumen de control.

Considere el siguiente esquema:

VC

x

y z

t=to t=to+ t

I II

III

sistema

sistema

VC

Un volumen de control esta fijo en el espacio, inmerso en un flujo. En el

instante t = to, un sistema (un conjunto de partıculas) esta completamente

contenido dentro del la superficie del volumen de control V C.

5.3. TEOREMA DE TRASPORTE DE REYNOLDS 91

Sea N una propiedad extensiva del sistema y sea η su correspondiente

propiedad intensiva. Si consideramos un elemento diferencial de volumen,

dV dentro del volumen de control entonces

dNsistema = ηρdV

Ası,

Nsistema =

∫

Vsistema

ηρdV

NV C =

∫

VV C

ηρdV

Note que en t = to la suma total deN en el sistema y el volumen de control

son iguales debido a que en ese momento el sistema y el VC coinciden:

Nsistema(to) = NV C(to)

Sin embargo, en t = to + ∆t el sistema y el VC no ocupan el mismo

espacio. Entonces podemos decir que

Nsistema(to +∆t) 6= NV C(to+∆t)

De la figura, la region I representa Nentra(to + ∆t), y la region III re-

presenta Nsale(to + ∆t), correspondiente a las cantidades de N que entra

y salen del VC respectivamente. Notese ademas que puesto que N puede

tambien estar cambiando con respecto al tiempo, en general, Nsistema(to) 6=Nsistema(to +∆t).

De la figura podemos entonces deducir que

NV C(to +∆t) = Nsistema(to +∆t)−Nsale(to +∆t) +Nentra(to +∆t)

Restando Nsistema(to) a ambos lados de la ecuacion y dividiendo entre ∆t

tenemos

NV C(to +∆t)−Nsistema(to)

∆t=

Nsistema(to +∆t)−Nsistema(to)

∆t

− Nsale(to +∆t)

∆t+Nentra(to +∆t)

∆t


Del lado izquierdo de la ecuacion podemos sustituirNsistema(to) porNV C(to).

Ademas podemos restar Nsale(to)/∆t y Nentra(to)/∆t del lado derecho de la

ecuacion. (note que Nsale(to) = Nentra(to) = 0). Tenemos entonces, tomando

el lımite en que ∆t→ 0:

lım∆t→0

NV C(to +∆t)−NV C(to)

∆t= lım

∆t→0

Nsistema(to +∆t)−Nsistema(to)

∆t

− lım∆t→0

Nsale(to +∆t)−Nsale(to)

∆t

+ lım∆t→0

Nentra(to +∆t)−Nentra(to)

∆t

Por lo tanto

dNV C

dt=DNsistem

Dt− d

dt(Nsale −Nentra)

La notacion D/Dt representa la razon de cambio de un conjunto de

partıculas especıficas (descripcion Lagrangiana). Rearreglando la ecuacion

anterior tenemos,

D

Dt

[∫

Vsistema

ηρdV

]

=d

dt

[∫

CV

ηρdV

]

+d

dt(Nsale −Nentra)

El ultimo termino de esta ecuacion representa la tasa neta a la cual N esta

saliendo del volumen de control a traves de la superficie de este. Podemos

hacer una analisis mas detallado de un elemento diferencial de la superficie

del VC, dS.

La componente de flujo que puede arrastrar una propiedad hacia afuera

del VC a traves de dS es ~v ·n. Note que ~v es la velocidad del flujo con respecto

al VC. El elemento diferencial de volumen de fluid que sale del VC a traves

de dS en el tiempo ∆t es:

dV = (~v · n)∆tdS = (~v · dS)∆t

Podemos entonces definir un flujo volumetrico infinitesimal a traves de dS

dQ = ~v · dS

5.3. TEOREMA DE TRASPORTE DE REYNOLDS 93

dS

V

n

(V n) t

VC

sistema

Entonces,

d

dt(Nsale −Nentra) =

∫

S

ηρdQ =

∫

S

η(ρ~v · dS)

Por lo tanto la ecuacion para describir el cambio total de una propiedad

de un sistema que atraviesa un VC se puede escribir como:

D

Dt

[∫

Vsistema

ηρdV

]

=∂

∂t

[∫

CV

ηρdV

]

+

∫

S

η(ρ~v · dS) (5.1)

Esta ecuacion es el Teorema de Trasporte de Reynolds (TTR). El termino

de la izquierda representa la tasa de cambio de la propiedad N dentro del

sistema. El primer termino de la derecha representa la razon de acumulacion

de N dentro del VC; el segundo termino de la derecha representa el flujo neto

de N a traves de la superficie S que envuelve al V C.


5.4. Ecuacion de conservacion de masa

La ecuacion de conservacion de masa para un sistema es

DM

Dt|sistema = 0

Para este caso N =M y por lo tanto η = 1. Sustituyendo estas cantidades

en el TTR tenemos

DM

Dt|sistema =

∂

∂t

[∫

CV

ρdV

]

+

∫

S

ρ~v · dS

por lo tanto

0 =∂

∂t

[∫

CV

ρdV

]

+

∫

S

ρ~v · dS (5.2)

que es la ecuacion de conservacion de masa para un VC.

5.4.1. Casos especiales

Flujo incompresible

En este caso ρ = constante. Por lo tanto la ecuacion de conservacion de

masa se puede simplificar:

0 =∂

∂t

[∫

CV

dV

]

+

∫

S

~v · dS

Por definicion, el VC no cambia como funcion del tiempo. Por lo tanto:

0 =

∫

S

~v · dS

Si definimos el flujo volumetrico Q como

Q =

∫

A

~v · dS

5.5. ECUACION DE CONSERVACION DE MOMENTUM LINEAL 95

entonces la ecuacion de conservacion de masa se puede escribir como

0 =

N∑

i1

Qi

Tambien podemos definir la velocidad media a traves de una superficie,

A:

U =Q

A=

1

A

∫

A

~v · dS

Flujo estacionario compresible

Para este caso ∂/∂t = 0, entonces

0 =

∫

S

ρ~v · dS

5.4.2. Ejemplos

Aun no escrito.

5.5. Ecuacion de conservacion de momentum

lineal

La ecuacion de conservacion de momentum lineal para un sistema es

~F =D~P

Dt|sistema

Para este caso N = ~P y por lo tanto η = ~v. Sustituyendo estas cantidades

en el TTR tenemos

D

Dt

[∫

Vsistema

~vρdV

]

=∂

∂t

[∫

CV

~vρdV

]

+

∫

S

~v(ρ~v · dS)

Por lo tanto


~F =∂

∂t

[∫

CV

~vρdV

]

+

∫

S

~v(ρ~v · dS) (5.3)

que es la ecuacion de conservacion de momentum lineal para un VC.

El primer termino del lado derecho representa la acumulacion de momentum

dentro del VC, mientras que el segundo representa el flujo neto de momentum

a traves de la superficie del VC. La fuerza neta sobre el VC puede separarse

en dos tipos~F = ~FS + ~FV

donde~FS =

∫

A

−P ~dS

y

~FV =

∫

V

ρ ~BdV

donde ~B puede ser un campo gravitacional, magnetico, etc.

5.5.1. Algunas observaciones

Recuerde que la ecuacion de conservacion de momentum es una ecua-

cion vectorial. Entonces, de hecho, son en realidad tres ecuaciones. Sin

consideramos que ~v = (u, v, w) en las coordenadas (x, y, z), entonces

(FV )x + (FS)x =∂

∂t

[∫

CV

uρdV

]

+

∫

S

u(ρ~v · dS

(FV )y + (FS)y =∂

∂t

[∫

CV

vρdV

]

+

∫

S

v(ρ~v · dS

(FV )x + (FS)x =∂

∂t

[∫

CV

wρdV

]

+

∫

S

w(ρ~v · dS

Debe siempre tenerse en cuenta que la velocidad ~v que aparece en al

ecuacion de conservacion de momentum es una velocidad relativa con

respecto al VC.

5.6. ANALISIS PARA UN VCQUE SEMUEVE A UNAVELOCIDAD CONSTANTE97

La derivacion del TTR se llevo a cabo considerando que el VC estaba

fijo en el espacio (o que se trasladaba a una velocidad constante). Es

decir, para un sistema de referencia inercial. Si el VC se esta acelerando

(sistema de referencia no inercial), el TTR no es aplicable. Existe una

derivacion generalizada para el TTR para este caso.

Para resolver un problema cd VC se debe ser cuidadoso. recuerde:

1. Dibuje el VC sobre el cual se aplicara la ecuacion de conservacion

2. Indique el sistema de referencia

3. Escriba explıcitamente las suposiciones

4. Haga un diagrama de cuerpo libre

5. Escriba la ecuacion e indique el valor de cada termino

Aunque estas indicaciones pueden parecer triviales e innecesarias, se-

guir estos pasos reduce la posibilidad de equivocacion.

5.5.2. Ejemplos

Aun no escrito.

5.6. Analisis para un VC que se mueve a una

velocidad constante

Para este caso simplemente debemos hacer un cambio de variables. Si la

velocidad a la que se desplaza el VC es constante, entonces el sistema refe-

rencia sigue siendo inercial. El teorema de trasporte de Reynolds se escribe

entonces como:

D

Dt

[∫

Vsistema

ηρdV

]

=∂

∂t

[∫

CV

ηρdV

]

+

∫

S

η(ρ~vc.r.V C · dS) (5.4)

donde ~vc.r.V C es la velocidad del flujo con respecto al volumen de control.


5.6.1. Ejemplos

Calcule la fuerza que se ejerce sobre el carro mostrado en la figura si este

se esta moviendo a una velocidad constante VC .

5.7. Conservacion de momentum para un VC

con aceleracion rectilınea

Consideremos la conservacion de momentum lineal para un sistema

~F =D ~PXY Z

Dt

donde ~PXY Z esta evaluado para un sistema de referencia inercial XY Z. Po-

demos escribir la ecuacion anterior tal que

~F =D

Dt

∫

masa

~VXY Zdm

mas aun

~F =

∫

masa

D ~VXY Z

Dtdm =

∫

masa

~aXY Zdm

Si el volumen de control para el cual se desea aplicar las leyes de conser-

vacion se esta acelerando (sistema no inercial), debemos expresar vecaXY Z

como funcion de las coordenadas no inerciales, xyz:

~aXY Z = ~axyz + ~arf

donde ~arf es la aceleracion lineal del sistema de referencia xyz con respecto

a XY Z.

Entonces podemos escribir

~F =

∫

masa

~axyz + ~arfdm

5.8. PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA 99

o~F −

∫

masa

~arfdm =

∫

masa

~axyzdm

Sabemos que ~axyz =D ~Vxyz

Dtentonces

~F −∫

masa

~arfdm =

∫

masa

D ~VxyzDt

dm =D ~Pxyz

Dt

por lo tanto

~F −∫

V

~arfρdV =D ~Pxyz

Dt

Utilizando en teorema de trasporte de Reynolds, podemos reescribir el

ultimo termino de la ecuacion anterior.

D ~Pxyz

Dt=

∂

∂t

[∫

CV

~vxyzρdV

]

+

∫

S

~vxyz(ρ ~vxyz · dS)

Por lo tanto

~F −∫

V

~arfρdV =∂

∂t

[∫

CV

~vxyzρdV

]

+

∫

S

~vxyz(ρ ~vxyz · dS)

5.7.1. Ejemplos

Calcule las condiciones para el despegue de un cohete a propulsion a

chorro, que se acelera a una tasa constante.

5.8. Primera ley de la termodinamica

Sabemos que

Q− W =DE

Dt|sistema

La energıa de un sistema es

Esistema =

∫

V C

eρdV


donde e es la energıa especıfica dada por

e = u+V 2

2+ gz

donde u es la energıa interna, V es el modulo de la velocidad y z es la altura

con respecto a una referencia.

Utilizando el TTR, considerando N = E y η = e, tenemos

Q− W =∂

∂t

[∫

CV

eρdV

]

+

∫

S

e(ρ~v · dS)

Podemos considerar que la razon de trabajo, W , o potencia, es positiva

cuando el trabajo es realizado por el volumen de control sobre sus alrededores

(convencion).

Ademas es usual dividir a la potencia en

W = Wpar + Wnormal + Wcorte + Wotros

donde

Wnormal = −∫

SC

P~v · d~S,

Wcorte = −∫

SC

τ~v · d~S

Entonces

Q−Wpar−Wnormal−Wcorte−Wotros =∂

∂t

[∫

CV

eρdV

]

+

∫

S

(u+V 2

2+gz)(ρ~v·dS)

5.8.1. Ejemplos

Aun no escrito.

Capıtulo 6

Escalamiento y analisis

dimensional

6.1. Introduccion

El termino escalamiento describe una situacion muy sencilla: la existencia

de una relacion tipo ley de potencia ente algunas variables, x y y por ejemplo,

y = Axα

donde A, α son constantes. Este tipo de relaciones aparecen en el modelado

matematico de muchos fenomenos, no solo en fısica e ingenierıa sino tambien

en biologıa, economıa, etc. Estas leyes de escalamiento no son solo un tipo

simple de una clase mas general de relaciones. De hecho son excepcionales

pues nunca aparecen de forma fortuita. Las leyes de escalamiento revelan una

propiedad importante sobre el fenomeno que describen: su auto-similaridad.

La auto-similaridad significa que el fenomeno se reproduce a si mismo en

diferentes escalas de tiempo y/o espacio.

Podemos introducir este tema basandonos en un primer ejemplo, que de

hecho ejemplifica el descubrimiento de las leyes de escalamiento y el fenomeno

de auto-similaridad. Analicemos el estado intermedio de una explosion nu-

clear. En este estado, una onda de choque intensa se propaga en la atmosfera

101

102 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

Figura 6.1: Fotografıa y esquema de una explosion atomica.

y el gas dentro de la onda de choque puede suponerse adiabatico. Este proble-

ma fue resuelto por G.I. Taylor en 1940. La pregunta que debıa resolver era

¿cual es el efecto mecanico que se espera de una explosion de gran intensidad?

Para responder a esta pregunta Taylor tenıa que entender y calcular el mo-

vimiento del gas ambiental despues de dicha explosion. Era claro que despues

de un perıodo inicial corto, una onda de choque aparece. Podemos suponer

que el movimiento es esfericamente simetrico. Para este estado inicial de la

explosion es posible despreciar los efectos viscosos y se puede suponer que

el gas se mueve en forma adiabatica. Para construir un modelo matematico

debemos considerar:

1. la ecuacion de conservacion de masa:

∂ρ

∂t+

1

r2∂

∂r

(r2ρu

)= 0 (6.1)

2. la ecuacion de conservacion de momentum:

∂u

∂t+ u

∂u

∂r= −1

ρ

∂P

∂r(6.2)

3. la ecuacion de conservacion de energıa:

∂

∂t

(P

ργ

)

+ u∂

∂r

(P

ργ

)

= 0 (6.3)

6.1. INTRODUCCION 103

obviamente, estas deben de ir acompanadas por condiciones de frontera y

condiciones iniciales.

Condiciones iniciales:

ρ(r, 0) = ρ0 (6.4)

P (r, 0) = P0 (6.5)

u(r, 0) = 0 (6.6)

para r ≥ ro.

y

ρ(r, 0) = ρi(r) (6.7)

P (r, 0) = Pi(r) (6.8)

u(r, 0) = ui(r) (6.9)

para r < ro.

El problema es en extremo complicado. No se puede resolver.

Taylor, usando analisis dimensional, y suponiendo que la energıa de la

explosion, E, se soltaba de manera concentrada en r0 = 0, argumento que:

Pf = f(E, t, r0, ρo, γ, Po) (6.10)

Si, r0 = 0 y Po ≪ Pf entonces

Pf = f(E, t, ρo, γ) (6.11)

y llego a la conclusion de que

Pf = C(γ)E2/5t−6/5ρ3/5o (6.12)

Lo cual es muy cercano a lo que se encontro experimentalmente. En esta

parte del curso aprenderemos a utilizar esta tecnica.


6.2. Analisis Dimensional

Primero comenzaremos definiendo algunos conceptos fundamentales.

Una medicion es la comparasion de una cantidad fısica con un estandar.

La medicion se da en terminos de unidades. Las unidades pueden ser fun-

damentales (masa, tiempo, distancia) o derivadas (sin combinan unidades

fundamentales, velocidad por ejemplo).

Si un grupo de unidades fundamentales tiene suficientes elementos para

describir a un sistema fısico, lo llamamos sistema de unidades. Por ejemplo:

Un sistema de unidades con un solo elemento, distancia L, mide pro-

piedades geometricas.

Un sistema de unidades con los elementos distancia, L, y tiempo, T ,

mide propiedades cinematicas.

Un sistema de unidades con los elementos distancia, L, y tiempo, T , y

masa, M , mide propiedades dinamicas.

Una clase de sistema de unidades es la que posee unidades similares. Por

ejemplo los sistemas cm-gr-s y km-ton-s son de la misma clase.

Es importante notar que se puede ‘crearotro sistema sustituyendo la uni-

dad M por la unidad F . Para esto se emplea la segunda ley de Newton para

hacer la equivalencia entre masa y fuerza: F =MLT−2.

6.2.1. Dimension de una variable fısica y Funcion Di-

mension

Las unidades fundamentales L, M y T son siempre numeros positivos.

Pueden interpretarse como los factores para cambiar de un sistema a otro.

Por ejemplo, si la unidad de distancia es reducida por un factor L y la

unidad de tiempo es reducida por un factor T , entonces la unidad de velocidad

es LT−1 veces menor que la unidad original.

6.2. ANALISIS DIMENSIONAL 105

Ası, el cambio del valor numerico de una cantidad fısica al pasar de un

sistema de unidades a otro en la misma clase esta dado por su dimension. La

funcion que determina el factor se denomina funcion dimension.

Ejemplo:

La funcion dimension de la densidad en el sistema MLT es:

ρ[=]ML−3

y en el sistema FLT es:

ρ[=]FL−4T 2.

Una cantidad fısica que tiene el mismo valor en diferentes sistemas de

unidades se dice que es ‘adimensional’. Su funcion dimension es unitaria

(φ[=]1).

Para que una ecuacion tenga significado fısico, ambos lados de la ecuacion

deben de tener la misma funcion dimension. Esto se vera mas adelante.

Funcion de potencia

Se puede demostrar que la funcion dimension, que represente a una va-

riable fısica, es una funcion de potencia tipo LαMβT γ, donde α, β y γ son

numeros reales cualesquiera. En otras palabras las funcion dimension es un

monomio de potencias de cada una de las unidades fundamentales.

Por ejemplo, la masa, m en el sistema LMT tiene una funcion dimension:

m[=]M1

o en el sistema LFT :

m[=]L−1FT 2.

La energıa, E tiene la funcion dimension:

E[=]FL

en el sistema LFT y en el sistema LMT es:

E[=]L2MT−1.

No puede existir una funcion dimension de la forma:


L+M2

exp(M)L

M cos(T ) log(L)

¿Porque? Es posible demostrar que si la funcion dimension no tiene esta

forma polinomial de potencia entonces no se puede asegurar que todos los

sistema de unidades dentro de una misma clase son equivalentes.

Demostracion

Supongamos que la funcion dimension de la variable fısica A esta dada

por:

A[=]φ(L,M, T )

Elijamos ahora dos sistemas de unidades dados por:

Sistema 1: L1,M1, T1

Sistema 2: L2,M2, T2.

Ahora por definicion:

A1 = Aφ(L1,M1, T1)

A2 = Aφ(L2,M2, T2)

Entonces:

A =A1

φ(L1,M1, T1=

A2

φ(L2,M2, T2)

y por lo tanto:A2

A1=φ(L2,M2, T2)

φ(L1,M1, T1)

ETC.


6.2.2. Cantidades con dimensiones independientes

Las cantidades A1, A2, . . . , Ak se dicen que tienen dimensiones indepen-

dientes si ninguna de estas tiene una funcion dimension que pueda represen-

tarse como el producto de las funciones dimension restantes.

Por ejemplo:

ρ[=]ML−3

U [=]LT−1

F [=]MLT−2

tienen dimensiones independientes porque ninguna de estas puede represen-

tarse como una combinacion multiplicativa de las otras. Para demostrarlo

podemos suponer lo contrario: solo dos de las tres cantidades tienen dimen-

siones independientes. Notemos que tanto ρ como F tienenM es sus funciones

dimension.

Podemos entonces suponer que:

F [=](ρ)x(U)y

por lo que

MLT−2[=](ML−3)x(LT−1)y

Podemos igualar los exponentes para cada una de las dimensiones funda-

mentales, L,M, T :

Para L → 1 = −3x+ y

Para M → 1 = x

Para T → −2 = −y

No hay solucion. Esto indica que la suposicion de que F se podıa expresar

como una multiplicacion de potencias de ρ y U es falsa.

Es importante notar que ninguna de las cantidades Ai que tengan di-

mensiones independientes pueden ser adimensionales. La dimension de una

cantidad adimensional es 1, lo cual se puede obtener como el producto de

todas las demas cantidades elevadas a la potencia cero.


6.3. Analisis Dimensional

Un modelo matematico busca establecer relaciones entre variables fısicas.

Este modelo debera entonces de ser capaz de representar a un cierto fenomeno

fısico real. Entonces podemos decir que

A = f(A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bm) (6.13)

La cantidad A es aquella que deseamos determinar en funcion de n = k +m

cantidades fısicas. Los argumentos de la funcion f estan separados tal que

A1, A2, . . . , Ak tienen dimensiones independientes y B1, B2, . . . , Bm no.

Entonces podemos ademas escribir:

B1 = (A1)p1 . . . (Ak)

r1

...

Bi = (A1)pi . . . (Ak)

ri

...

Bm = (A1)pm . . . (Ak)

rm

Podemos tener casos en que m = 0, pero en general k ≥ 1 y m > 0.

La funcion dimension de A tambien se puede escribir como:

A = (A1)p . . . (Ak)

r

6.3.1. Homogeneidad Generalizada

Podemos definir a las siguientes cantidades:

Π = A(A1)p...(Ak)r

Π1 =B1

(A1)p1 ...(Ak)r1

...

Πi =Bi

(A1)pi ...(Ak)ri

...

Πm = Bm

(A1)pm ...(Ak)rm


donde los exponentes de los parametros con dimensiones independientes son

tales que las cantidades Π,Π1, . . . ,Πi, . . . ,Πm son todas adimensionales.

La ecuacion (6.13) se puede entonces reescribir en terminos de las canti-

dades Π,Π1, . . . ,Πi, . . . ,Πm y los parametros A1, A2, . . . , Ak:

Π =f(A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bm)

(A1)p . . . (Ak)r

entonces

Π =f(A1, A2, . . . , Ak,Π1((A1)

p1 . . . (Ak)r1), . . . ,Πm((A1)

pm . . . (Ak)rm))

(A1)p . . . (Ak)r

y finalmente, nos lleva a

Π = F(A1, A2, . . . , Ak,Π1, . . . ,Πm)

Ahora, es importante hacer notar que la expresion anterior es adimensio-

nal del lado izquierdo, pero tiene argumentos dimensionales del lado derecho.

Si quisieramos hacer un cambio de unidades, el lado derecho se verıa afecta-

do pero el lado izquierdo no. Entonces, podemos argumentar que para que

la expresion sea valida en general la funcion F no puede depender de los

argumentos A1, A2, . . . , Ak. Por lo tanto podemos escribir:

Π = Φ(Π1, . . . ,Πm) (6.14)

En otras palabras, cualquier funcion f , que es dimensionalmente correcta

y que tiene k +m argumentos, puede reescribirse de forma adimensional, Φ

con solo m argumentos:

f(A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bm) = (A1)p . . . (Ak)

rΦ(Π1, . . . ,Πm)

6.3.2. Teorema Π

Los argumentos anteriores nos llevan a formular el teorema general del

analisis dimensional:


“ Una relacion fısica entre una cantidad dimensional y varios

parametros dimensionales, que influyen su comportamiento, pue-

de reescribirse como una relacion entre un parametro adimensio-

nal y varios productos adimensionales”

Ademas:

“El numero de productos adimensionales es igual al numero de

parametros menos el numero de parametros con dimensiones in-

dependientes.”

El analisis adimensional puede usarse de forma util para:

1. El analisis preliminar de un fenomeno fısico

2. El procesamiento de datos experimentales

3. Para simplificar e interpretar el modelo matematico de un problema

fısico, si este se conoce.

6.3.3. Ejemplos

Pendulo

Utilizando analisis dimensional es posible determinar el perıodo de osci-

lacion de un pendulo libre.

Consideremos un pendulo libre, de masa m, en un cable de largo l, que

oscila bajo la accion de la gravedad, g.

Podemos establecer una relacion funcional entre el perıodo de oscilacion,

θ, y el resto de las variables relevantes al problema. El perıodo debe de

depender de:

la gravedad g

la masa, m

el largo del cable l.


T

m

lg

Entonces:

θ = f(m, l, g)

Funciones dimension:

T [=] T

m [=] M

l [=] L

g [=] LT−2

Podemos notar que las variables g, l y m tienen dimensiones independien-

tes (ninguna se puede expresar como un producto de potencias de la otras).

Para este caso k = 3 y m = 0. Entonces el numero total de variables es

k+m = 3, y el numero de variables con dimensiones independientes es k = 3.

Del teorema Π podemos calcular el numero de grupos adimensionales:

No. de grupos adimensionales = (k +m)− k = m = 0

No hay ningun grupo adimensional!

Entonces θ = f(m, l, g) se transforma en:

Π = constante


Resta entonces determinar Π:

Π =θ

gαlβmγ

o

θ = Cgαlβmγ

lo cual el terminos de las funciones dimension se escribe como:

T [=](LT−2)α(L)βMγ

Igualando exponentes para cada una de las dimensiones fundamentales:

Para T : 1 = −2α

Para L : 0 = α + β

Para M : 0 = γ

Por lo tanto:

Π =θ√g√l

Puesto que Π = constante tenemos que:

θ = C

√

l

g

La constante debe de determinarse experimentalmente.

Solucion formal exacta:

La fuerza sobre la masa m es:

~F = −mg sen θ

Si el angulo es pequeno sin θ ≈ θ, por lo que ~F = −mgθ. Ademas θ ≈ x/l.

Entonces,

md2x

dt2= −mgx

l


cuya solucion es:

x = C1 sin(

√g

lt) + C2 cos(

√g

lt)

Con las condiciones de contorno se pueden encontrar las constantes C1 y

C2. Es claro que la solucion es periodica y que la frecuencia de oscilacion es

ω =√

g/l, y el perıodo de oscilacion es:

θ =2π

ω

Lo que finalmente da como resultado:

θ = 2π

√

l

g.

Flujo en tuberıas

Sabemos de flujo en tuberıas que se puede relacionar al gradiente de

presion con la velocidad media del flujo y el resto de las propiedades

del fluido. La solucion de Poiseuille (solucion exacta a las ecuaciones de

Navier-Stokes) es:∆P

L= 32µ

U

D2

Intentemos resolver este problema usando unicamente analisis dimen-

sional. Podemos plantear la siguiente relacion funcional:

∆P

L= f(U, µ, ρ,D, . . .)

Las funciones dimension de todas la variables son:

∆P/L [=] ML2T 2

U [=] LT

µ [=] MLT


ρ [=] ML3

D [=] L

Variables con dimensiones independientes: U, ρ,D (k=3)

Numero total de variables k +m = 4

Numero de grupos adimensionales = 1.

Entonces:

Π = Φ(Π1)

Solo falta determinar Π y Π1. Se determinan usando la tecnica de

variables repetidas (mas adelante):

Π =(∆P/L)D

ρU2

y

Π1 =ρDU

µ

Por lo tanto:∆P

L=ρU2

DΦ

(ρDU

µ

)

Teorema de Pitagoras

6.4. Metodo de variables repetidas

El teorema Π, a pesar de su profundidad e importancia, unicamente nos

dice que se puede escribir una relacion entre numeros adimensionales con una

dimensionalidad reducida. El teorema no dice cuales son estas variables adi-

mensionales. El metodo de variables repetidas puede usarse para determinar

de forma metodica los grupos adimensionales.

6.4. METODO DE VARIABLES REPETIDAS 115

6.4.1. Algortimo del MVP

1. Haga una lista de todas las variables fısicas involucradas en el problema.

a) Este punto puede ser el mas difıcil pues requiere experiencia e

intuicion.

b) Algunas variables comunes son la presion la velocidad, la viscosi-

dad, la aceleracion gravitacional, etc.

c) Identifique las variables independientes (evite variables que sean

el producto de otras).

2. Determine la funcion dimension de cada variable, en terminos de las

variables fundamentales.

a) Para el caso de flujo de fluidos, las dimensiones fundamentales

son LMT (o LFT ). Ocasionalmente, se debe considerar tambien

la dimension fundamental de temperatura, Θ.

b) Recuerde que la notacion para funciones dimension es, tomando

a la densidad como ejemplo:

ρ [=]M

L3

3. Use el teorema Π para determinar el numero de grupos adimensionales

que se pueden obtener:

Numero de grupos Π = (k +m)︸︷︷︸

numero total de variables

− (m)︸︷︷︸

numero de variables con dimensiones dependientes

a) Es muy importante determinar el numero de variables con di-

mensiones independientes, k, pues este sera el numero de grupos

adimensionales que se pueden formar.

b) Se puede determinar cuantas variables con dimensiones indepen-

dientes por prueba y error. Es importante notar que, en general,

el numero de variables con dimensiones independientes es igual al

numero de dimensiones fundamentales.


4. Elija un conjunto de variables repetidas. El numero de variables de este

conjunto debe de ser igual a k (el numero de variables con dimensiones

independientes).

a) Obviamente, el conjunto de variables repetidas debe de ser un

subconjunto de conjunto total de variables.

b) Las variables repetidas tendran, consecuentemente, dimensiones

independientes. De esta manera, todas las dimensiones fundamen-

tales deben de aparecer en las funciones dimension de este sub-

conjunto.

c) La variable dependiente no debe de elegirse como parte de este

subconjunto.

5. Encuentre cada grupo Π multiplicando cada una de las variables no-

repetidas (VNR) por un producto de potencias de las variables repeti-

das (V R1, . . . , V Rk). Las potencias deben de calcularse tal que todo el

grupo sea adimensional.

Πi = VNRi(V R1, . . . , V Rk)

Encuentre un grupo adimensional para cada variable no-repetida.

Encuentre tambien un grupo adimensional para la variable depen-

diente.

6. Verifique que los grupos obtenidos sean adimensionales.

7. Escriba la nueva relacion funcional en terminos de los numeros adimen-

sionales.

Ejemplos

Deformacion de la base un tanque lleno de lıquido.

Considere un tanque cilındrico de diametro D esta lleno de un fluido

6.4. METODO DE VARIABLES REPETIDAS 117

con peso especıfico γ = ρg. Su base se apoya unicamente en la periferia de

la circunferencia de la base. Por lo tanto, el centro de la base de deforma

una cierta longitud, δ. Encuentre la relacion funcional adimensional entre

la defleccion y todos los parametros fısicos relevantes.

1. Podemos argumentar que δ depende de:

δ = f(D, h, d, γ, E)

donde d es el espesor de la placa de la base y E su modulo elastico.

2. Las funciones dimension de cada variable es:

δ [=] L

h [=] L

D [=] L

d [=] L

γ [=] F/L3

E [=] F/L2

3. El numero de grupos adimensionales es:

No. de grupos adimensionales = No. variables−No. variables c/dims. independientes

por lo tanto:

No. de grupos adimensionale = 5− 2 = 3

Importante: note que en este caso el numero de variables con di-

mensiones independientes es diferente.

4. Escojamos las variables repetidas: D y γ.


5. Calculamos los numeros adimensionales

Π = δDαγβ

Igualando los exponentes de las funciones dimension llegamos

a que α = −1 y β = 0. Por lo tanto:

Π =δ

D

De manera similar:

Π1 =h

D

Π2 =d

D

Finalmente:

Π3 = EDαγβ

Para este caso: α = −1 y β = −1, por lo que

Π3 =E

Dγ

6. Verificamos que los grupos sean adimensionales:

Π [=] L/L

Π1 [=] L/L

Π2 [=] L/L

Π3 [=] (F/L2)(1/L)(L3/F )

7. Finalmente:δ

D= Φ

(h

D.d

D,E

Dγ

)

6.5. ECUACIONES DE CONSERVACION EN FORMAADIMENSIONAL119

Lıquido que se derrama en una superficie horizontal.

Un cierto volumen de fluido se derrama sobre una placa horizontal.

Suponga que el tiempo requerido para el fluido recorra una cierta distan-

cia horizontal, d, depende del volumen, V, la gravedad, g, la viscosidad,

µ y la densidad ρ.

Escribir

0 = f(t, d,V, g, µ, ρ)

y proceder.

Se encuentran tres grupos adimensionales:

Π1 = t

√g

d

Π2 =V

d

Π3 =ρd

√gd

µ

Y por lo tanto

t

√g

d= Φ(

V

d,ρd

√gd

µ)

6.5. Ecuaciones de Conservacion en Forma

Adimensional

Si consideramos escalas caracterısticas para un problema de flujo de flui-

dos cualquiera de distancia, L, velocidad, U y tiempo, D/U , podemos adi-

mensionalizar las ecuaciones de flujo de fluidos haciendo cambios de variables.

Por ejemplo:

x∗ = xL

u∗i =ui

U


t∗ = tUL

P ∗ = PρU2

Las derivadas se pueden reescribir de forma adimensional. Por ejemplo:

∂

∂x=

1

L

∂

∂x∗

Ası, la ecuacion de conservacion de masa es:

∇∗ ~u∗ = 0 (6.15)

Y las ecuaciones de Navier-Stokes son:

∂ ~u∗

∂t+ ( ~u∗ · ∇∗) ~u∗ = −∇∗P ∗ +

1

Re(∇∗)2 ~u∗ +

1

Fr(6.16)

donde Re es el numero de Reynolds y Fr es el numero de Froude.

De esta manera es facil simplificar la forma de esas ecuaciones para dos

casos extremos: Re << 1 y Re >> 1.

6.5.1. Numeros adimensionales relevantes en Mecani-

ca de Fluidos

En flujo de fluidos aparecen frecuentemente grupos adimensionales que

caracterizan ciertas propiedades del flujo. Estos siempre tienen una interpre-

tacion fısica y su valor revela ciertos aspectos del problema en estudio.

Numero de Reynolds:

Re =UρD

µ

Es una comparacion entre las fuerzas inerciales (ρU2D2) y las fuerzas

viscosas (µDU) de un cierto flujo. Su valor determina si un flujo puede

ser laminar o turbulento.

6.5. ECUACIONES DE CONSERVACION EN FORMAADIMENSIONAL121

Numero de Froude:

Fr =U2

gD

Este grupo compara fuerzas inerciales y gravitacionales de un cierto

flujo. Sirve para determinar cuando un flujo esta dominado por inercia

o gravedad.

Numero de Mach

Ma =U

c

Este grupo compara la velocidad del un flujo con la velocidad de pro-

pagacion del sonido c. Como veremos mas adelante, cuando Ma > 1 la

fenomenologıa de flujo cambia de manera substancial.

Numero de Euler

Eu =δP

ρU2

Compara la caıda de presion con la presion dinamica.

Coeficiente de arrastre:

CD =FD

ρU2D2

Numero de Galileo:

Ga =gD3ρ2

µ2

Se se consideran efectos de tension superficial, σ, se pueden definir

muchos otros numeros adimensionales: Weber, capilaridad, Bond, Oh-

nesorge, Morton, etc.

Si se consideran efectos y propiedades termicas, T , Cp,α,k,h, etc. se

pueden definir los numeros: Prandtl, Nusselt, Rayleigh, Grashof, etc.


6.6. Teorıa de Modelos y Similaridad

Otra de las herramientas de gran importancia del analisis dimensional es

la teorıa de similaridad. Esta idea nos permite estudiar sistemas modelo, en

condiciones de laboratorio, que reproducen fielmente el comportamiento de

sistemas reales.

6.6.1. Similaridad

Se dice que dos sistemas son similares si el valor de los numeros adimen-

sionales que los representan son iguales. Esta idea es muy facil de entender

en sistemas geometricos y se puede generalizar para sistemas cinematicos y

dinamicos.

Similaridad geometrica

La similaridad geometrica se da entre dos figuras si una es una reproduc-

cion a escala de la otra. En otras palabras, se dice que dos figuras geometricas

son semejantes si tienen la misma forma sin importar los tamanos entre ellos.

En el contexto de analisis dimensional, podemos demostrar que dos figuras

geometricas son similares si sus grupos adimensionales son iguales.

En la similaridad geometrica unicamente aparece la dimension funda-

mental L. Los mapas a escala son el mejore ejemplo de sistemas geometricos

bidimensionales similares.

Ejemplo: triangulos similares.

Similaridad cinematica

La similaridad cinematica requiere que todos los numeros adimensionales

que contengan dimensiones fundamentales L y T sean iguales.

6.6. TEORIA DE MODELOS Y SIMILARIDAD 123

Similaridad dinamica o total

Para el caso de sistemas fısicos en los cuales las dimensiones fundamen-

tales son LMT , se requiere que todos los numeros adimensionales para dos

sistemas sean iguales para poder asegurar que estos son similares.

6.6.2. Teorıa de Modelos

Los modelos son replicas a ‘escala’ de sistemas reales que se usan para

estudiar un fenomeno fısico en condiciones de laboratorio. Al sistema real

comunmente se denomina ‘prototipo’, mientras que al sistema escalado se

denomina ‘modelo’. Ası, para que un prototipo y un modelo sean similares

se debe de cumplir que:

Πmodelo1 = Πprototipo

1

...

Πmodeloi = Πprototipo

i

...

Πmodelom = Πprototipo

m

donde m es en numero de grupos adimensionales unicos para dicho sistemas.

Es importante notar que no siempre se puede satisfacer que todos los

grupos adimensionales sean iguales.

Ejemplos

Ejemplo 1. Se desean estudiar la fuerza de empuje generada por de un

rotor de motor de barco. El rotor de de cuatro aletas y se desean carac-

terizar con un prototipo a escala 10:1. El modelo tiene un diametro de 2

m y gira a una velocidad angular de 600 RPM y el barco se desplaza a

una velocidad de 10 m/s. Calcule las condiciones necesarias para hacer


pruebas en un tunel de viento.

Primero debemos de identificar las variables importantes:

FE = f(U, ω,D, ρ, µ)

donde FE es la fuerza de empuje, U es la velocidad del barco, ω es

la velocidad angular del rotor, D es el diametro, y µ y ρ las propiedades

del fluido.

Considerando las funciones dimension y el teorema Π tenemos:

Π =FE

ρU2D2

Π1 =ρUD

µ

Π2 =ρωD2

µ

Para que la fuerza de empuje en el prototipo sea representati va del

modelo tenemos que:

(FE

ρU2D2

)

prototipo

=

(FE

ρU2D2

)

modelo(ρUD

µ

)

prototipo

=

(ρUD

µ

)

modelo(ρωD2

µ

)

prototipo

=

(ρωD2

µ

)

modelo

Si el prototipo es una replica a escala 1:10 del modelo entoncesDmodelo =

10Dprototipo. Ademas, µmodelo = µaire y ρmodelo = ρaire.

Igualando los numeros Π1 podemos encontrar la velocidad del flujo a

la que debe de probarse el prototipo:

Uprototipo =Dmodelo

Dprototipo

ρmodelo

ρprototipo

µprototipo

µmodelo

6.6. TEORIA DE MODELOS Y SIMILARIDAD 125

E igualando los numeros Π2 podemos encontrar la velocidad de rota-

cion del rotor:

ωprototipo =D2

modelo

D2prototipo

ρmodelo

ρprototipo

µprototipo

µmodelo

.

Ejemplo 2. Clavados. Se desea modelar el salpicado de un clavado en

condiciones a escala de laboratorio.

Hs = f(L,D, µ, ρ, σ,H, g)

donde σ es la tension superficial.

8 variables, 3 variables con dimensiones independientes. Por lo tanto,

tenemos 5 grupos adimensionales:

Π1 =Hs

H

Π2 =L

H

Π3 =D

H

Π4 =

√gHDρ

µ

Π5 =(gH)Dρ

σ

Considere un modelo a escala: Lmodelo = Lprototipo/10 y Dmodelo =

Dprototipo/10.

¿Es posible empatar todos los numeros adimensionales?

Capıtulo 7

Flujo Viscoso: Soluciones

Exactas a NS

7.1. Soluciones exactas de las ecuaciones de

Navier-Stokes

Debido a la complejidad de las ecuaciones de N-S, estas solo se pueden

resolver en casos especiales. En general, buscamos que la geometrıa del flujo

se tal que algunos de las partes de la ecuacion se cancelen.

Lo que se busca en cada problema es encontrar el campo de velocidades:

~v = f(x, y, z, t).

Para toda esta seccion consideraremos unicamente flujos newtonianos,

incompresibles, isotermicos y de propiedades constantes.

Para esto consideraremos las siguientes ecuaciones:

ρD~v

Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v (7.1)

∇ · ~v = 0 (7.2)

Tambien consideraremos, para la mayorıa de los casos, problemas en coor-

denadas cartesianas tal que ~v = (u, v, z).

127

128 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

7.1.1. Flujo de corte simple o de Couette

Flujo entra dos placas paralelas infinitas (2-D)

Consideremos el flujo en la siguiente figura:

y

x

H

U Pared movil

Pared fija

Para este caso ~v = (u, v). Consideraremos las ecuaciones 11.1 y 11.1 para

el caso 2-D:

Ecuacion de continuidad:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

Ecuaciones de Navier-Stokes:

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= −∂P∂x

+ µ

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

+ ρgx

ρ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= −∂P∂y

+ µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)

+ ρgy



∂/∂t = 0

2. Flujo desarrollado (no cambia con la posicion x, placas infinitas):

∂/∂x = 0

3. La gravedad esta alineada con la direccion y − y′:

~g = (0, gy).

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 129


∂P/∂x = 0

Condiciones de contorno:

1. ~v(x, 0) = (0, 0)

2. ~v(x,H) = (U, 0)

Considerando la caracterıstica de flujo (2) en la ecuacion de conservacion

de masa, tenemos:

0 +∂v

∂y= 0

Esta expresion implica que

v = constante

De la primera condicion de contorno sabemos que v = 0 en y = 0. Puesto

que v es constante, podemos inferir que

v = 0

en todas partes. Esto es un resultado muy importante. Significa que el flujo

es unidireccional : ~v = (u, 0).

Consideremos ahora la ecuacion de conservacion de momentum en la di-

reccion y − y′. Si v = 0 en todas partes, entonces los unicos terminos que

sobreviven son:

ρ (0 + u(0) + 0(0)) = −∂P∂y

+ µ (0 + 0) + ρgy

Reescribiendo,∂P

∂y= ρgy

que es la ecuacion de la hidrostatica.


reccion x− x′:

ρ

(

0 + u(0) + 0(∂u

∂y)

)

= −(0) + µ

(

0 +∂2u

∂y2

)

+ ρ(0)


entonces:

0 =∂2u

∂y2

Esta expresion se puede integrar directamente:

u = Ay +B

Sabemos de las dos condiciones de contorno que u = 0 en y = 0 y u = U

en y = H :

B = 0

y

A =U

HPor lo tanto

u(y) =U

Hy

Es una distribucion de velocidades lineal:

y

x

H

U Pared movil

Pared fija

u(y)=U/H y

Otra resultado que podemos obtener de este resultado es el esfuerzo cor-

tante en la pared. La relacion constitutiva newtoniana es

σij = −Pδij + λδijDkk + 2µDij

El esfuerzo cortante en la pared es τxy|y=o:

τxy = 2µDxy = µ

(∂u

∂y+∂v

∂x

)


Para el flujo cortante simple:

τw = µ∂u

∂y= µ

U

H

Notese que el esfuerzo es constante a traves de todo el campo de flujo.

7.1.2. Flujo en una tuberıa o de Poiseuille


y

x

H/2

Pared fija

Pared fija

H/2

P 1 P 2

L


el caso 2-D: Ecuacion de continuidad:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

Ecuaciones de Navier-Stokes:

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= −∂P∂x

+ µ

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

+ ρgx

ρ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= −∂P∂y

+ µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)

+ ρgy



∂/∂t = 0


2. Flujo desarrollado (no cambia con la posicion x, placas infinitas):

∂/∂x = 0

3. La gravedad esta alineada con la direccion y − y′:

~g = (0, gy).

4. El gradiente de presion en la direccion x− x′ es:

∂P/∂x ≈ (P1−P2)/L = −G Esta cantidad es constante. Esta cantidad

se define negativa porque para que exista un flujo de izquierda a derecha

la presion P2 debe se mas baja que P1.


1. ~v(x,H/2) = (0, 0)

2. ~v(x,−H/2) = (0, 0)

Paredes fijas.


de masa, tenemos:

0 +∂v

∂y= 0

Esta expresion implica que

v = constante



v = 0





sobreviven son:

ρ (0 + u(0) + 0(0)) = −∂P∂y

+ µ (0 + 0) + ρgy


Reescribiendo,∂P

∂y= ρgy



reccion x− x′:

ρ

(

0 + u(0) + 0(∂u

∂y)

)

= −∂P∂x

+ µ

(

0 +∂2u

∂y2

)

+ ρ(0)

entonces:

−G = µ∂2u

∂y2


u = − G

2µy2 + Ay +B

Sabemos de las dos condiciones de contorno que u = 0 en y = H/2 y

u = 0 en y = −H/2:A = 0

y

B =G

2µ

(H

2

)2

Por lo tanto

u(y) =G

2µ

((H

2

)2

− y2

)

Es una distribucion de velocidades parabolica:

Podemos calcular la velocidad del fluido en el centro de la tuberıa:

umax = u(y = 0) =G

2µ

(H

2

)2

Podemos tambien calcular el campo de esfuerzos cortantes:

τxy = µ∂u

∂y= −G

µy


y

x

H/2

Pared fija

Pared fija

H/2

P 1 P 2

L

Velocidad Esfuerzo

Notese que el esfuerzo es varıa linealmente a traves de y. El esfuerzo en la

pared es

τw = µ∂u

∂y= −G

µ

H

2.

Podemos calcular el gasto Q que pasa a traves de la tuberıa. Sabemos

que

Q =

∫

a

udA

Puesto que es un problema en 2-D, podemos simplificar al elemento dife-

rencial de area como dA = dydz = dy(1), por unidad de z. Ası, tenemos

Q =

∫ H/2

−H/2

u(y)dy

=

∫ H/2

−H/2

(

G

2µ

((H

2

)2

− y2

))

dy

=G

12µH3

7.1.3. Pelıcula de fluido que escurre sobre una pared

inclinada



��

��

��

��

g

H

y

x

superficie libre

g co

s

g sen


el caso 2-D. Ver en los ejemplos anteriores.



∂/∂t = 0

2. Flujo desarrollado (no cambia con la posicion x, placa y pelıcula infi-

nitas):

∂/∂x = 0

3. La gravedad actua en las dos direcciones x− x′ y y − y′:

~g = (s senα, g cosα).


∂P/∂x = 0


1. No deslizamiento en la pared: ~v(x, 0) = (0, 0)

2. Superficie libre de esfuerzo: τxy(x,H) = 0



de masa, tenemos:

v = constante



v = 0





sobreviven son:

ρ (0 + u(0) + 0(0)) = −∂P∂y

+ µ (0 + 0) + ρg cosα

Reescribiendo,∂P

∂y= ρg cosα



reccion x− x′:

ρ

(

0 + u(0) + 0(∂u

∂y)

)

= (0) + µ

(

0 +∂2u

∂y2

)

+ ρg sinα

entonces:

0 = µ∂2u

∂y2+ ρg sinα


u = −ρgµ

sinαy2

2+ Ay +B

Sabemos de las dos condiciones de contorno que u = 0 en y = 0 y τxy = 0

en y = H :

B = 0


y

τyx = µ∂u

∂y(y = H) = 0

entonces∂u

∂y= 0 = −ρg

µsinαH + A

y

A =ρg

µsinαH

Por lo tanto

u(y) =ρg

µsinα

(

Hy − y2

2

)

Podemos calcular la velocidad del fluido en la superficie libre:

umax = u(y = H) =ρg

µsinα

(H2

2

)

Podemos tambien calcular el esfuerzo en la pared:

τw = µ∂u

∂y(y = 0) = −ρg

µsinαH.

7.1.4. Otros problemas unidireccionales estacionarios

Flujo cortante simple de dos lıquidos inmiscibles

��

��

��

U

y

x

H

H


Resolver el flujo para cada lado. En las paredes considerar condicion de

no-deslizamiento. En la interfaz, el esfuerzo cortante debe ser el mismo.

Ası para el fluido 1 (superior), tenemos

u1(y) = C1y + C2

en y = H , u = U y en y = 0, τxy = τint. Entonces,

U = C1(H) + C2

y

τint = µ1∂u1∂y

= µ1C1

Para el fluido 2 (inferior), tenemos

u2(y) = C3y + C4

en y = −H , u = 0 y en y = 0, τxy = τint. Entonces,

0 = C3(−H) + C4

y

τint = µ2∂u2∂y

= µ2C3

En la interfaz, τint−1 = τint−2:

µ1C1 = µ2C3

y u1(y = 0) = u2(u = 0), lo que implica que,

C2 = C4

Entonces

C1 =U

H

1µ1

µ2+ 1

C2 = U1

µ2

µ1+ 1

C3 =U

H

1µ2

µ1+ 1

C4 = U1

µ2

µ1+ 1


Por lo tanto

u1 =U

µ1

µ2+ 1

(y

H+µ1

µ2

)

u2 =U

µ2

µ1+ 1

( y

H+ 1)

Podemos calcular el esfuerzo cortante:

τ1 = µ1C1 = µ1U

H

1µ1

µ2+ 1

y

τ2 = µ2C3 = µ2U

H

1µ2

µ1+ 1

Notemos que

τ1 = τ2 =U

H

µ1µ2

µ1 + µ2.

Ası podrıamos calcular una viscosidad efectiva del medio:

¯τxy = µefU

2H

entonces

µef = 2µ1µ2

µ1 + µ2

Flujo de Poiseuille en una tuberıa circular

Este problema es muy parecido al problema de flujos de Poiseuille entre

dos placas (ver seccion 3.1.2).

La unica diferencia es que debemos considerar un sistema de coordenadas

cilındricas: ~v = (ur, uθ, uz)

En este caso la ecuacion de conservacion de masa, ∇ · ~v = 0, se escribe

en forma explıcita como:

1

r

∂

∂r(rur) +

1

r

∂

∂θuθ +

∂

∂zuz = 0


Por ser un flujo desarrollado (∂/∂z) y (∂/∂z) axisimetico (∂/∂θ), tenemos:

1

r

∂

∂r(rur) = 0

Por lo tanto:

ur = 0

Flujo unidireccional. El vector de velocidad se reduce a ~v = (0, 0, uz).

Resolviendo la ecuacion de conservacion de momentum unicamente en la

direccion donde el componente de velocidad no es cero, direccion z−z′. Paracoordenadas cilındricas tenemos:

ρ

(∂uz∂t

+ ur∂uz∂r

+uθr

∂uz∂θ

+ uz∂uz∂z

)

= −∂P∂z

+µ

(1

r

∂

∂r

(

r∂uz∂r

)

+1

r2∂2uz∂θ2

+∂2uz∂z2

)

+ρgz

Considerando las mismas caracterısticas del flujo que en la seccion 3.1.2

y ademas que el flujo es axisimetrico e unidireccional, la ecuacion anterior se

reduce a :

−Gµ

=1

r

∂

∂r

(

r∂uz∂r

)

donde G = −∂P/∂z = constante

Integrado una vez tenemos:

∂uz∂r

= − G

2µr +

C1

r

Integrado una vez mas:

uz = − G

4µr2 +

C1

lnr + C2

Sabemos que la velocidad en r = 0 debe ser finita, por lo tanto C1 = 0.

Tambien sabemos que la velocidad del fluido en la pared debe de ser cero

(condicion de no deslizamiento): uz(r = R) = 0.

C2 =G

4µR2


Por lo tanto, el campo de velocidades para una tuberıa circular bajo un

gradiente de presion constante es:

uz =G

4µ

(R2 − r2

)

Podemos calcular el flujo volumetrico como:

Q =

∫

A

uzdA =

∫ R

0

uz(2πrdr)

Ası:

Q =πG

8µR4

La velocidad media, U = Q/A, es

U =G

8µR2

Podemos calcular el esfuerzo en la pared es:

τpared = τrz|r=R = µ∂uz∂r

Entonces, el esfuerzo en la pared es:

τpared =GR

2

Podemos calcular el coeficiente de friccion sobre la tuberıa:

Cf =Ff

12ρU2A

El area de contacto A es 2πRL. La fuerza de friccion Ff sobre la tuberıa

se puede calcular directamente del esfuerzo en la pared como Ff = τparedA:

Ff = πR2LG

Por lo tanto

Cf =16µ

(2R)ρU=

16

Re


donde Re = ρDU/µ es el numero de Reynolds.

Factor de friccion:

Podemos reeinterpretar el resultado del gasto volumetrico como:

G =8µQ

πR4

como la caıda de presion que ocurre el una tuberıa de radio R bajo el flujo

Q de un fluido de viscosidad µ. Si escribimos este resultado como perdida de

carga (altura) tenemos:

hf =∆P

ρ=

8µQ

πR4L1

ρ

El factor de rozamiento f para una tuberıa es una cantidad usada muy

frecuentemente por INGENIEROS para calcular perdidas en tuberıas. El

factor de rozamiento se define como:

hf = fL

D

U2

2

donde D = 2R. Entonces, reescribiendo la expresion anterior tenemos:

hf =2µπUD2

πD4/16L1

ρ

= 32Uµ

D2

L

ρ

=

(64µ

ρUD

)L

D

U2

2

Por lo tanto

f =64µ

ρUD=

64

Re

Diagrama de Moody:

Flujo con lineas de corriente circulares

Consideremos el siguiente flujo:


Figura 7.1: Diagrama de Moody. Tomado de Fox, Macdonald

Una vez mas consideramos flujo estacionario, bidimensional, axisimetrico:

~v = (ur, utheta, 0)

De la ecuacion de conservacion de masa podemos demostrar que la velo-

cidad ur = 0, por lo que tenemos un flujo unidireccional (lıneas de corriente

circulares).

Si resolvemos la ecuacion de conservacion de momentum para la direccion

r − r′ tenemos:

ρ

(∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+uθr

∂ur∂θ

− u2θr

+ uz∂ur∂z

)

= −∂P∂r

+ µ∇2ur + ρgr

La mayorıa de los terminos son cero ya que ur = 0. Sin embargo sobrevi-

ven:u2θr

=∂P

∂r


Espacio entre los dos cilindros lleno de un

fluido viscoso

R 2

W 2

W 1

R 1

Existe un gradiente de presion en la direccion radial como resultado de la

!fuerza centrıfuga!

Ahora si, resolviendo para la direccion acimutal θ − θ′:

ρ

(∂uθ∂t

+ ur∂uθ∂r

+uθr

∂uθ∂θ

+uθurr

+ uz∂uθ∂z

)

= −1

r

∂P

∂θ

+ µ

(∂

∂r

(1

r

∂(ruθ)

∂r

)

+1

r2∂2uθ∂θ2

+∂2uθ∂z2

)

+ ρg

Eliminando terminos tenemos:

∂

∂r

(1

r

∂

∂r(ruθ)

)

= 0

Integrando dos veces tenemos:

∂

∂r(ruθ) = C1r

uθ =C1

2r +

C2

r

Las condiciones de frontera son

en r = R1, uθ = ω1R1.

en r = R2, uθ = ω2R2.

Resolviendo para C1 y C2 tenemos:


C1 =2(ω2R

22 − ω1R

21)

R22 − R2

1

C2 = −R21R

22

ω2 − ω1

R22 − R2

1

Ası,

uθ =ω2R

22 − ω1R

21

R22 −R2

1

r − R21R

22

R22 − R2

1

ω2 − ω1

r

Aplicacion: viscosimetrıa.

Consideremos el caso en que cilindro exterior se mantiene fijo y el interior gira

a una velocidad angular constante. Para dicho caso el perfil de velocidades

es:

uθ = − ω1R21

R22 − R2

1

r +R2

1R22

R22 −R2

1

ω1

r

para el cual el campo de esfuerzos cortantes es:

τrθ = µr∂

∂r

(uθr

)

= −µ R21R

22

R22 − R2

1

ω1

r

Si calculamos el torque sobre el cilindro interno tenemos:

T = τrθAR1

=

(

−µ R21R

22

R22 −R2

1

ω1

R1

)

(2πR1L)R1

= −µ R21R

22

R22 − R2

1

2πω1R1L

Si medimos el torque en el cilindro interno podrıamos utilizar este sistema

para medir la viscosidad del fluido:

µ =T

2πω1R1L

R22 − R2

1

R21R

22


7.1.5. Flujos no-estacionarios

Hasta ahora solo hemos visto soluciones exactas para el caso de flujos

estacionarios (∂/∂t = 0). Existe tambien una clases de flujos que tienen

soluciones exactas pero que no son estacionarios: flujo unidireccional ~v =

(u, 0, 0) pero ∂u/∂t 6= 0.

Para flujos newtonianos incompresibles consideramos las ecuaciones:

∇ · ~v = 0 (7.3)

ρD~v

Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v (7.4)

Para el caso unidireccional, desarrollado y no estacionario, estas ecuacio-

nes se reducen a:

∂v

∂y= 0 (7.5)

∂u

∂t= G+

µ

ρ

∂2u

∂y2(7.6)

donde G = −∂P∂x

= constante.

Primer problema de Stokes

Consideremos el problema de una placa infinita, inicialmente en reposo,

sobre la cual hay un fluido viscoso.

Las condiciones de frontera e iniciales para u=u(x,y,t) son:

u(x, y, 0−) = 0

u(x, 0, 0+) = U

u(x,∞, t) = 0

Para este problema en particular, consideramos que G = 0, no existe

gradiente de presion en la direccion x− x′.

De la misma manera que para el caso de flujo uni-direccionales estaciona-

rios, utilizando la ecuacion de continuidad podemos deducir que u = u(y, t).


��

y

x

U

La ecuacion de conservacion de momentum se reduce a:

∂u

∂t= ν

∂2u

∂y2(7.7)

donde ν = µρes la viscosidad cinematica. Esta ecuacion es una ecuacion

diferencial partial de segundo orden. Esta ecuacion es la ecuacion de difusion.

Existen varios metodos para resolver este tipo de ecuaciones.

1. Metodo de Similaridad

Consideremos la variable adimensional

u

U= g(η)

donde η = y(νt)−1/2 es la variable de similaridad que tambien es adi-

mensional.

Debemos proceder a hacer el cambio de variable en la ecuacion de

conservacion de momentum:

∂u

∂t=∂u

∂η

∂η

∂t


Podemos calcular

∂u

∂η=

∂

∂η(Ug(η)) = Ug′(η)

Entonces∂u

∂η= (Ug′(η))(−1

2yν−1/2t−3/2)

simplificando tenemos

∂u

∂η= −1

2ηUt−1g′(η)

De la misma manera podemos calcular:

∂u

∂y=

∂u

∂η

∂η

∂y= U(νt)−1/2g′(η)

∂2u

∂y2=

∂

∂η

(∂u

∂η

∂η

∂y

)∂η

∂y= U(νt)−1g′′(η)

Sustituyendo en la ecuacion de conservacion de momentum y simplifi-

cando tenemos

g′′(η) +1

2ηg′(η) = 0 (7.8)

la cual es una ecuacion diferencial ordinaria (a diferencia de la ecuacion

original que era parcial.

Para resolverla solo falta traducir las condiciones de frontera:

Para y = 0 y t > 0, u = U , entonces para η = 0, g(0) = 1

Para y → ∞ en cualquier t, u = 0, entonces para η → ∞, g(∞) =

0.

Podemos integrar la ecuacion 7.8

g′′

g′+

1

2η = 0

ln g′ +1

4η2 = C1

g′ = C1e− η2

4

g = C1

∫ η

0

e−η′2

4 dη′ + C2


Con las condiciones de frontera podemos calcular C1 y C2

C2 = 1

C1 =−1

∫∞

0e−

η2

4 dη′=

−1√π

Entonces

u(y, t) = U

(

1− 1√π

∫ η

0

e−η′2

4 dη′)

Que se puede reescribir como:

u(y, t) = U

(

1− erf

(y

2(νt)1/2

))

donde erf(x) es la funcion error definida como:

erf(x) =1√π

∫ x

0

e−x′2

2 dx′

2. Metodo de Transformada de Laplace Aplicando la transformada de

Laplace

L[f(t)] = f(s) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt

a la ecuacion 7.7 obtenemos:

L[∂u

∂t

]

= νL[∂2u

∂y2

]

su = ν∂2u

∂y2

Esta ecuacion es diferencial ordinaria con solucion:

u(y, s) = C1e√

s/νy + C2e−√

s/νy

Para encontrar C1 y C2 debemos transformar las condiciones de frontera

u(0, t) = U −→ u(0, s) = U/s


u(y, 0) = 0 −→ u(y, 0) = 0

Considerando que u → 0 en y → ∞, entonces C1 = 0. Considerando la

primera condicion de frontera C2 = U/s. Por lo tanto:

u =U

se−

√s/νy

Aplicando la transformada inversa de Laplace

L−1[f(y, s)] = f(y, t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞

estf(s)ds

(donde s = a+ iω) encontramos la velocidad como:

u(y, t) = Uerfc

(y

2√νt

)

= U

(

1− erf

(y

2√νt

))

3. Separacion de Variables.

Este metodo se vera en la resolucion del siguiente problema.

Segundo problema de Stokes

Consideremos ahora el siguiente problema:

La ecuacion a resolver es la misma que para el caso anterior

∂u

∂t= ν

∂2u

∂y2


u(x, y, 0−) = 0

u(x, 0, 0+) = U cosnt

u(x,∞, t) = 0


��

y

x

U cos nt

Se puede resolver utilizando cualquiera de los dos metodos anteriores.

Aquı usaremos el metodo de separacion de variables para demostrar su apli-

cacion.

supondremos que la solucion, u(y, y) es el producto de dos funciones, cada

una unicamente funcion de una de las variables independientes:

u(y, t) =W (y) · T (t)

Puesto que la perturbacion que se esta aplicado a la pared es de tipo

cosnt podemos esperar que la funcion T (t) sea del mismo tipo. Ası

u(y, t) =W (y) cosnt

Mas aun podemos considerar

u(y, t) =W (y)ℜ{eint}

Esta expresion la podemos sustituir dentro de la ecuacion de conservacion


considerando

∂u

∂t= W (y)(in)eint

∂u

∂y= W ′(y)eint

∂2u

∂y2= W ′′(y)eint

entonces

ℜ{W (y)(in)eint} = νℜ{W ′′(y)eint}

que simplificando resulta en

W ′′(y)− in

νW (y) = 0

que es una ecuacion diferencial ordinaria. Resolviendo esta ecuacion tenemos

W (y) = C1e

(

−(1+i)√2

√nνy)

+ C2e

(

(1+i)√2

√nνy)

Considerando las condiciones de frontera, tenemos que para y → ∞,

u→ 0, lo que implica que C2 = 0

Entonces, la solucion es

u(y, t) = ℜ[

C1e

(

−(1+i)√2

√nνy)

eint]

= ℜ[

C1e(−√

n2ν

y)ei(nt−√

n2ν

y)]

= C1e(−√

n2ν

y) cos

(

nt−√

n

2νy

)

Tambien sabemos que u(y = 0) = U cosnt, por lo que C1 = U . Entonces

la solucion al problema es

u(y, t) = Ue

(

−1√2

√nνy)

cos

(

nt−√

n

2νy

)


y

x

H/2

Pared fija

Pared fija

H/2

P 1 P 2

L

Flujo pulsatil entre dos placas

Consideremos de nuevo el flujo entre dos placas paralelas, generado por

un gradiente de presion:

Pero ahora, en vez de considerar el que G = constante consideremos un

gradiente de presion que sea funcion del tiempo:

G = G0 cosnt = ℜ[Goeint]

La ecuacion a resolver sera

∂u

∂t= −1

ρG+ ν

∂2u

∂y2


u(x,H/2, t) = 0

u(x,−H/2, t) = 0

este problema se puede resolver facilmente usando separacion de variables:

u(y, t) = ℜ[W (y)Goeint]

Que, al aplicarla a la ecuacion a resolver, nos da:

∂2W

∂y2− in

νW =

Go

ρν


que es una ecuacion diferencia ordinaria no-homogenea. Esta se puede resol-

ver facilmente:

W (y) = iGo

ρν+ C1 cosh

(

(1 + i)

√n

2ν

)

+ C2 sinh

(

(1 + i)

√n

2ν

)

Para las condiciones de frontera (no deslizamiento en las paredes) tene-

mos:

C2 = 0

C1 =−iGo

ρn cosh((1 + i)

√n2ν

H2

)

Por lo tanto, el perfil de velocidades esta dado por

u(y, t) = ℜ{

iGo

ρn

(

1−cosh

((1 + i)

√n2νy)

cosh((1 + i)

√n2ν

H2

)

)

eint

}

Capıtulo 8

Flujo Viscoso: Capa lımite

8.1. Teorıa de capa lımite

Las ecuaciones de Navier-Stokes son de gran complejidad. Aunque, des-

cribe pueden predecir el comportamiento de fluidos newtonianos, su solucion

puede obtenerse solo en casos limitados.

Existen algunas simplificaciones que permiten encontrar soluciones pa-

ra algunos casos; sin embargo, estas pueden dar resultados erroneos o de

aplicabilidad limitada (ver flujo ideal o flujo viscoso).

Otra simplificacion que se puede lograr con consiste en eliminar ciertos

terminos de las ecuaciones de balance en regiones clave del flujo a resolver.

Es particular, y como se demostrara en este capıtulo, se sabe que para flujos

con un numero de Reynolds considerable los efectos viscosos del flujo son solo

importantes en la vecindad cercana a las paredes. Ası, podemos proponer la

solucion local de las ecuaciones de Navier-Stokes cerca de las paredes. A

distancias grandes de las paredes, la solucion que surge del flujo ideal es

apropiada. La solucion completa del un flujo puede entonces encontrarse

haciendo que la solucion de pared, concuerde con la solucion potencial a una

distancia media de la pared.

La idea de separar los efectos viscosos, para solo considerarlos importan-

tes cerca de las paredes, surgio en la primera decada del siglo XX. Ludwig

155

156 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE

Prandtl fue el primero en proponer esta simplificacion. Esta teorıa se conoce

como teorıa de la capa lımite.

FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)

FLUJO INTERIOR (VISCOSO)

CAPA LIMITE

MMFM:Bondary layers:concepts

MMFM:Bondary layers:laminar BL

8.1.1. Ecuaciones de capa lımite laminar

En esta seccion se deduciran las ecuaciones de la teorıa de la capa lımite

utilizando la tecnica de eliminacion por ordenes de magnitud.

Consideremos el flujo bidimensional mostrado en la figura. En dicho es-

quema se muestra una placa plana horizontal fija, que esta inmersa en un

flujo. La velocidad del flujo aguas arriba de la placa es uniforme, constante e

unidireccional: −→v = (Uo, 0). Consideremos que la coordenada x esta alineada

con la placa, y que y sea perpendicular a la misma.

Puesto que debe de satisfacerse la condicion de no deslizamiento, la velo-

cidad de las partıculas de fluido que estan cerca de la placa debera ser menor

8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 157

��

U=0

U=U o

y

x

que la velocidad aguas arriba, y la velocidad de las partıculas de fluido ad-

yacentes a la placa debera ser cero. Consideremos que la distancia sobre la

cual se siente esta disminucion de velocidad es de tamano δ.

Puesto que vamos a considerar flujos en los cuales el efecto de la viscosidad

es pequeno (Re ≪1), podemos afirmar que

δ

x≪ 1

Ası, tambien podrıamos afirmar que:

∂

∂x∼ 1

x

y que∂

∂y∼ 1

δ

Consideremos ademas que la velocidad del fluido en la direccion x es del

mismo orden de magnitud que Uo:

u ∼ Uo

Con estas consideraciones, tomemos la ecuacion de conservacion de masa

para evaluar el orden de magnitud de cada componente. Si

∂u

∂x+∂v

∂y= 0


entonces podemos decir que∂u

∂x∼ ∂v

∂y

y por tanto

∂v ∼ ∂y∂u

∂x

Sabemos que ∂y ∼ δ y que ∂x ∼ x entonces,

∂v ∼ ∂uδ

x

Eliminado las diferenciales de v y u, y puesto que u ∼ Uo, tenemos

v ∼ Uoδ

x

Ahora, consideremos las ecuaciones de conservacion de momentum. Su-

pongamos, que tenemos un flujo estacionario y despreciemos el efecto de la

gravedad:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂P

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)

Consideremos primero cada termino de la ecuacion en la direccion x−x′:

u∂u

∂x∼ UoUo

x∼ U2

o

x

v∂u

∂y∼

(

Uoδ

x

)(Uo

δ

)

∼ U2o

x

−1

ρ

∂P

∂x∼ ?

ν∂2u

∂x2∼ ν

Uo

x2

ν∂2u

∂y2∼ ν

Uo

δ2


y cada termino de la ecuacion en la direccion y:

u∂v

∂x= U2

o

δ

x2

v∂v

∂y= U2

o

δ

x2

−1

ρ

∂P

∂y= ?

ν∂2v

∂x2= ν

Uoδ

x3

ν∂2v

∂y2= ν

Uo

δx

Consideremos primero, la componente x de las ecuaciones de Navier Sto-

kes escritas en orden de magnitud,

U2o

x+U2o

x∼ −1

ρ

∂P

∂x+ ν

Uo

x2+ ν

Uo

δ2

Primero, podemos notar que de la primera ecuacion, del lado izquierdo,

ambos terminos son del mismo tamano. El termino de gradiente de presion

aun no podemos decir nada; de hecho, su tamano puede variar dependiendo

las condiciones del flujo. Sin embargo, los dos ultimos terminos de la primera

ecuacion tienen un tamano muy diferente:

νUo

x2≪ ν

Uo

δ2

por lo que podemos despreciarlo.

Si por un momento ignoramos el termino −1ρ∂P∂x, y comparamos las mag-

nitudes de los terminos restantes en esta misma ecuacion tenemos:

U2o

x∼ ν

Uo

δ2

por lo que podemos decir que para que estos tengan tamanos similares, y por

lo tanto se puedan sumar, se debe de cumplir que

δ ∼√

νx

Uo


o escrito como:δ

x∼√

µ

ρxUo=

1√Reo

Este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: para que se

satisfaga la condicion de que el espesor de la capa lımite se pequeno (δ/x≪ 1)

el numero de Reynolds del flujo debe se grande. Esto, pues, unicamente

impone una condicion de restriccion para el uso de la teorıa de la capa lımite.

Entonces, en la direccion x, la ecuacion se simplifica a:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂y2

)

Ahora veamos la ecuacion, en ordenes de magnitud, en la direccion y:

U2o

δ

x2+ U2

o

δ

x2∼ −1

ρ

∂P

∂y+ ν

Uoδ

x3+ ν

Uo

δx

Exceptuando el termino −1ρ∂P∂y, cuya magnitud es desconocida, todos los

demas terminos son de tamano mucho menor al tamano de los terminos en

la ecuacion x:

U2o

δ

x2≪ U2

o

x

νUoδ

x3≪ ν

Uo

δ2

νUo

δx≪ ν

Uo

δ2

Entonces de esta ecuacion solo podemos concluir que

−1

ρ

∂P

∂y≈ 0

o que la presion P es constante en y y solo podrıa depender de x.

Ası, las ecuaciones para la capa lımite son (incluyendo continuidad y

momentum):


∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (8.1)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂y2

)

(8.2)

0 =∂P

∂y(8.3)

Las condiciones de frontera necesarias para resolver este conjunto de ecua-

ciones son:

u(x, 0) = 0

v(x, 0) = 0

u(x, y) = Uo, para y grande (lejos de la placa)

Podemos ademas considerar lo siguiente. Nuestro analisis arrojo que la

presion esta independiente de la coordenada y. Esto significa que la presion

dentro y fuera de la capa lımite deben ser iguales. Si consideramos que el flujo

lejos de la placa puede considerarse irrotacional y no viscoso (flujo potencial),

entonces podemos aplicar la ecuacion de Bernoulli:

1

2U2o +

P

ρ= constante

Podrıamos considerar el caso mas general en que Uo sea funcion de x

(sigue siendo independiente de t). Entonces la ecuacion de Bernoulli se podrıa

escribir como:

−∂P∂x

= ρ1

2

∂U2o

∂x

= ρUo∂Uo

∂x


Entonces, la ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x

para la capa lımite se puede escribir como:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= Uo

∂Uo

∂x+ ν

(∂2u

∂y2

)

De esta manera, el termino de gradiente de presion deja de ser desconocido

y se relaciona con el flujo por fuera de la capa lımite.

8.1.2. Solucion de Blasius

El sistema de ecuaciones para la capa lımite sigue siendo un sistema de

tres ecuaciones diferenciales parciales, no lineales. Sin embargo, para este caso

si se puede encontrar una solucion ( o mejor dicho, casi se puede encontrar

una solucion).

Supongamos que Uo =constante, lo que implica que el primer termino del

lado derecho de la ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x

es cero, ∂Uo/∂x = 0.

Las ecuaciones que se deben resolver son:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

(∂2u

∂y2

)

Propongamos la existencia de una funcion de corriente Ψ(x, y) tal que:

u =∂Ψ

∂y

v = −∂Ψ∂x

Si sustituimos las velocidades u y v en funcion de Ψ en la ecuacion de

continuidad, tenemos∂2Ψ

∂x∂y− ∂2Ψ

∂y∂x= 0


la cual se satisface identicamente.

Si ahora sustituimos, u y v en funcion de Ψ en la ecuacion de conservacion

de momentum tenemos:

∂Ψ

∂y

∂2Ψ

∂x∂y− ∂Ψ

∂x

∂2Ψ

∂y2= ν

∂3Ψ

∂y3

Utilicemos el metodo de similaridad para resolver esta ecuacion. Debemos

suponer que

Ψ(x, y) ∼ f(η)

donde η es una variable adimensional que combina las variables x y y en una

sola: η = y/xn

Ası podemos encontrar que

η =y

x1/2

√

Uo

2ν

y que

Ψ =√

2νUoxf(η)

El factor de dos no es necesario (de hecho en la solucion original de Blasius

no aparece), pero se incluye para que despues se simplifique.

Podemos entonces escribir las derivaras de Ψ con respecto a x y y en

terminos de f y derivadas de η:

∂Ψ

∂y=

√

2νUox∂f

∂η

∂η

∂y=√

2νUoxf′

√

Uo

2νx= Uof

′

∂Ψ

∂x=

√

2νUox∂f

∂η

∂η

∂x+ f√

2νUo

(1

2x−1/2

)

=

√

νUo

2x(−(ηf ′) + f)

∂2Ψ

∂x∂y= −Uo

2xηf ′′

∂2Ψ

∂y2= Uo

√

Uo

2νxf ′′

∂3Ψ

∂y3=

U2o

2νxf ′′′


Sustituyendo todos estos terminos en la ecuacion, despues de simplificar,

tenemos:

f ′′′ + ff ′′ = 0

que es una ecuacion diferencial ordinaria, que debe satisfacer las siguientes

condiciones de contorno:

f(0) = 0

f ′(0) = 0

f(η) = 1, para η → ∞

La solucion de esta ecuacion es numerica. Cualquier metodo sencillo se

puede utilizar para ello (Runge-Kutta, por ejemplo).

Esfuerzo contante en la pared

El esfuerzo sobre la placa es

τw = µ∂u

∂y(x, 0)

=∂2Ψ

∂y2

= µ

√

U3o

2νxf ′′(0)

Escribiendo el esfuerzo en la pared de forma adimensional, podemos llegar

aτw

12ρU2

o

=√2f ′′(0)√Rex

donde Rex = ρxUo/µ.

La fuerza de arrastre por unidad de ancho b es

FD = b

∫ x

0

τw(x′)dx′

lo cual se puede calcular y resulta:

FD = 0.664bUo

√

ρµUox


Este resultado se puede escribir en terminos adimensionales, para una

placa de largo L, lo que resulta:

CD =FD

12ρU2

o bL=

1.328√ReL

Espesor de la capa lımite

Existen varias maneras de definir de espesor de la capa lımite.

Espesor 0.99 U Es la distancia a la cual la velocidad horizontal u tiene

un valor de 0.99 Uo. De la solucion numerica de la ecuacion de Blasius


vemos que esto es cierto en η = 5.0. Entonces

5.0 =δ

√

νx/Uo

por tanto,δ

x=

5.0√Rex

Espesor de desplazamiento Se mide como la distancia a la cual el flujo

uniforme es desplazado. Insertar dibujo. Es el grosor de una capa sin

velocidad que tiene el mismo flujo masico que la capa lımite (el volumen

de fluido que falta como resultado de la presencia de la capa lımite):

ρUoδ∗ =

∫ ∞

0

ρ(Uo − u)dy

Por lo tanto:

δ∗ =

∫ ∞

0

(

1− u

Uo

)

dy

Para la solucion de Blasius tenemos que

δ∗

x=

1.7208√Rex

Espesor de momentum Espesor de una corriente uniforme que tiene el

mismo flujo de momentum que la capa lımite. Entonces:

ρU2o θ =

∫ ∞

0

ρu(Uo − u)dy

Por lo tanto:

θ =

∫ ∞

0

u

Uo

(

1− u

Uo

)

dy

Para la solucion de Blasius tenemos que

θ

x=

0.6640√Rex


U=U o

��

��

��

U=0

x

y

8.1.3. Flujo de Falkner-Skan

Consideremos ahora el caso mostrado en la figura. Este caso se puede

analizar considerando que Uo = Uo(x), entonces la ecuacion a resolver es:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= Uo

∂Uo

∂x+ ν

(∂2u

∂y2

)

Para resolverla podemos plantear, tambien, una solucion tipo similaridad:

u(x, y) = Uo(x)f′(η)

donde η = η(x, y) es adimensional pero no es la misma que la solucion de

Blasius.

Podemos proponer que

η =y

ξ(x)

entonces, la funcion de corriente debe ser

Ψ(x, y) = Uo(x)ξ(x)f(η)

Sustituyendo en la ecuacion de conservacion de momentum tenemos:

∂Ψ

∂y

∂2Ψ

∂x∂y− ∂Ψ

∂x

∂2Ψ

∂y2= Uo

∂Uo

∂x+ ν

∂3Ψ

∂y3


Los diferentes terminos de la ecuacion puede evaluarse:

∂Ψ

∂x=

∂Uo

∂xξf + Uo

∂ξ

∂xf − Uo

∂ξ

∂xηf ′

∂Ψ

∂y= Uf ′

∂2Ψ

∂x∂y=

∂Uo

∂xf ′ − Uo

ξ

∂ξ

∂xηf ′′

∂2Ψ

∂y2=

Uo

ξf ′′

∂3Ψ

∂y3=

Uo

ξ2f ′′′

Sustituyendo en la ecuacion original, y despues de varios pasos de algebra,

tenemos:

f ′′′ +

{ξ

ν

∂

∂x(Uoξ)

}

ff ′′ +

{ξ2

ν

∂Uo

∂x

}(1− (f ′)2

)= 0

Para que exista una solucion de similaridad los coeficientes dentro de las

llaves deben de ser constantes:

α =ξ

ν

∂

∂x(Uoξ)

β =ξ2

ν

∂Uo

∂x

Entonces, la ecuacion a resolver es:

f ′′′ + αff ′′ + β(1− (f ′)2

)= 0

considerando las siguientes condiciones de frontera:

f(0) = 0

f ′(0) = 0

f ′(η) → 1 cuando η → ∞

Para el flujo sobre una cuna (como el de la figura) debemos considerar el

caso en que α = 1 y β es arbitrario.


La solucion de este caso se muestra en la figura siguiente.

Debemos notar que el perfil de velocidades es muy diferente para diferen-

tes valores de β. Este parametro denota si el gradiente de presion, ∂P/∂x,

(que lo escribimos en terminos de ∂Uo/∂x para rsolver la ecuacion) es nega-

tivo, cero o negativo. Existe, de hecho un valor de β para el cual el gradiente

de velocidad se hace cero sobre la pared. (ver figura)

��

��

y

x

dP dx

< 0 dP dx

= 0

dP dx

> 0

flujo de retorno

du dy

=0


Para valores de β que este, el perfil de velocidades presentarıa un flujo de

retorno. Se dice que la capa lımite se separa cuando en flujo es de retorno.

Ver por ejemplo el flujo alrededor de una esfera. Puesto que ∂P/∂x cambia

sobre la superficie de la esfera se espera que, para Re altos, el flujo se separe

a determinada distancia sobre la superficie de la esfera. La separacion, entre

otras cosas, causa que la diferencia de presiones entre las caras anterior y

posterior sea muy grande, lo cual se manifiesta como un incremento el el

coeficiente de arrstre del cuerpo.

Punto de separación

MMFM:Bondary layers:separation


8.1.4. Forma integral de las ecuaciones de capa lımite

Existe una manera alternativa para obtener el grosor de la capa limite y

encontrar el esfuerzo en la pared. Este analisis requiere la incorporacion de

un volumen de control.

��

��

VC

y

x

a

b c

d

dx

(x)

Consideremos que el flujo es estacionario e incompresible. Analicemos

entonces la conservacion de masa y momentum a traves del volumen de

control mostrado en la figura.

La conservacion de masa para un volumen de control es

∂

∂t

∫

V

ρdV +

∫

S

ρ~v · ~dS = 0

Para la figura mostrada, solo podemos tener flujos masicos a traves de

las paredes ab, bc y cd, entonces:

0 =

∫

S

ρ~v · ~dS = mab + mbc + mcd

El flujo mab puede calcularse como:

mab = −∫ b

a

ρu(dz)dy

El flujo en cd puede calcularse como una expansion en series de Taylor

del flujo en ab:

mx+dx = mx +∂m

∂x|xdx


entonces:

mcd = −[∫ b

a

ρu(dz)dy +∂

∂x

[∫ b

a

ρu(dz)dydx

]]

Entonces, el flujo a traves de bc se puede calcular como mbc = −mab−mcd.

Ası,

mbc = − ∂

∂x

[∫ δ

0

ρudy

]

dxdz

La ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x para dicho

volumen de control es:

FSx + FBx =∂

∂t

∫

V

ρudV +

∫

S

uρ~v · ~dS

El primer termino es cero, porque estamos considerando un flujo estacio-

nario. Los flujos de momentum∫

Suρ~v · ~dS son:

fmab = −{∫ δ

0

uρudy

}

dz

fmcd =

{∫ δ

0

uρudy +∂

∂x

(∫ δ

0

uρudy

)

dx

}

dz

fmcd = Uombc = −Uo

{∂

∂x

(∫ δ

0

ρudy

)

dx

}

dz

fmad = 0

entonces el flujo neto de momentum sera:

=

{∂

∂x

(∫ δ

0

uρudy

)

dx− Uo∂

∂x

(∫ δ

0

ρudy

)

dx

}

dz

Las fuerzas de superficie FSx son:

Fab = +Pδdz

Fcd = −(P +∂P

∂xdx)(δ + dδ)dz

Fbc = (P +1

2

∂P

∂xdx)dδdz

Fad = −τwdxdz


entonces la fuerza total es

FSx =

{

−∂P∂x

δdx− τwdx

}

dz

Simplificando, la ecuacion de conservacion de energıa es

−∂P∂x

− τw =∂

∂x

(∫ δ

0

uρudy

)

− Uo∂

∂x

∫ δ

0

ρudy

Esta es la forma integral de la ecuacion de conservacion de momentum

en la capa lımite.

Una de las ventajas de esta formulacion es que puede conocerse el esfuerzo

en la pared de forma directa. Lo unico que necesitamos para conocer todos

los otros terminos de la ecuacion es conocer o suponer el perfil de velocidades.

Flujo sobre una placa plana

Consideremos el caso en que (∂P/∂x = 0. Tenemos entonces,

τw = Uo∂

∂x

∫ δ

0

ρudy − ∂

∂x

(∫ δ

0

uρudy

)

Puesto que Uo =constante y ρ = constante, entonces, despues de algunos

pasos de algebra, tenemos:

τwρ

=∂

∂x

∫ δ

0

(Uou− u2

)dy

De forma adimensional, tenemos

τwρU2

o

=∂

∂x

∫ δ

0

u

Uo

(

1− u

Uo

)

dy

=∂

∂xθ

donde θ es el espesor de momentum de la capa lımite.


Podemos hacer el siguiente cambio de variable

η =y

δ

entonces

dy = δdη

AsıτwρU2

o

=∂

∂xδ

∫ 1

0

u

Uo

(

1− u

Uo

)

dη

Notemos que no se hizo ninguna suposicion sobre la forma de u(y), por

lo que tambien se podrıa usar para flujos turbulentos.

Supongamos un campo de velocidades dentro de la capa lımite

u

Uo= f

(y

δ

)

Esta distribucion de velocidades debe de satisfacer ciertas condiciones:

u = 0 en y = o

u = Uo en y = δ∂u

∂y= 0 en y = δ

Una vez que se ha establecido el perfil de velocidades f(y/δ), la integral∫ 1

0

u

Uo

(

1− u

Uo

)

dyη = constante = β

Entonces,

τw = ρU2o

∂δ

∂xβ

por lo que se puede calcular τw = f(δ(x)).

Supongamos, por ejemplo, un perfil de velocidades dado por

u(y) = a + by + cy2

Para que esta expresion satisfaga las condiciones de frontera a, b y c deben

ser tal queu

Uo= 2

(y

δ

)

−(y

δ

)2


Para este perfil el esfuerzo en la pared esta dado por

τw = µ∂u

∂y|y=0

=µUo

δ

∂(u/Uo)

∂η|η=0

=µUo

δ

∂

∂η

(2η − η2

)|η=0

=2µUo

δ

Entonces, la ecuacion integral de conservacion de momentum en la capa

lımite se puede reescribir como:

2µUo

δ= ρU2

o

∂δ

∂x

∫ 1

0

(2η − η2)(1− 2η − η2

)dη

Entonces2µ

δρUo=

2

15

dδ

dx

Reearreglando e integrando tenemos

δ2

2=

15µ

ρUox+ C1

pero sabemos que δ = 0 en x = 0, por lo que C1 = 0.

Ası

δ =

√30µ

ρUox

entoncesδ

x=

√30√Rex

≈ 5.48√Rex

Podemos comparar esta prediccion con la prediccion de la solucion de

Blasius:δ

x=

5.00√Rex

lo cual no esta mal.


Calculemos ahora el espesor de desplazamiento para el perfil supuesto

δ∗ = δ

∫ 1

0

(1− (2η + η3)

)dη

entoncesδ∗

δ= 0.333

(para el caso de Blasius δ∗/δ = 0.351).

Capıtulo 9

Flujo irrotacional ideal

A pesar de que las ecuaciones de conservacion para un fluido newtoniano

existen y que el sistema es cerrado (mismo numero de ecuaciones que de

incognitas), su uso es limitado. Solo en casos especiales este conjunto de

ecuaciones se puede resolver.

Un caso simplificado, el cual se puede resolver analıticamente, es el del

fluido inviscido. Si suponemos que los efectos viscosos no son importantes,

la complejidad de las ecuaciones se reduce considerablemente y se pueden

encontrar soluciones a flujos complicados. Sin embargo, las soluciones que

se obtienen se deben utilizar con reservas en el contexto de aplicaciones de

ingenierıa: suponer que las viscosidad es zero tiene implicaciones fısicas con-

siderables.

En este capıtulo se vera la teorıa general del flujo no viscoso.

MMFM:dynamics:Potential flow

9.1. Ecuaciones de Euler

La ecuacion que gobierna el movimiento del flujo no viscoso se obtiene

directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes. Simplemente se supone que

la viscosidad es cero (µ = 0); ası, el termino que tiene el laplaciano de la

177

178 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

velocidad desaparece:

ρ

(∂~v

+~v∇~v

)

= −∇P + ρ~g (9.1)

En este caso, el cambio de momentum en el fluido es resultado unicamente

de dos tipos de fuerzas: fuerzas de presion y fuerzas gravitacionales. Este

sistema de ecuaciones se conocen las ecuaciones de Euler.

Cabe notar que el orden de este sistema de ecuaciones en menor que

el de las ecuaciones de Navier Stokes. Matematicamente, esto implica que

se necesitara un numero menor de condiciones de frontera para encontrar

soluciones. De hecho, la condicion que no se requiere satisfacer es la condicion

de no deslizamiento. Esta consecuencia matematica es la que, precisamente,

causa que las soluciones de estas ecuaciones no sean reales.

La ecuacion de conservacion de masa se mantiene igual, a pesar de haber

considerado que los efectos viscosos no son importantes:

∇ · ~v = 0 (9.2)

9.2. Ecuacion de Bernoulli

Es posible obtener una version simplificada de la ecuacion de conservacion

de momentum para el caso de un flujo ideal.

Consideremos, inicialmente, las ecuaciones de Euler. Si consideramos que

~g es un campo conservativo entonces se puede representar como

~g = ∇Φ



(~v∇)~v = ∇(1

2~v · ~v

)

− ~v ×∇× ~v


9.2. ECUACION DE BERNOULLI 179



∂~v

∂t+∇

(1

2~v · ~v

)

− ~v ×∇× ~v = −1

ρ∇P +∇Φ


∂~v

∂t+∇

(P

ρ+

1

2~v · ~v − Φ

)

= ~v ×∇× ~v



∇(P

ρ+

1

2~v · ~v − Φ

)

= 0



dx

u=dy

v=dz

w



P

ρ+

1


Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. En-tonces:

P

ρ+

1

2~v · ~v + gz = constante (9.3)

que so conoce como la ecuacion de Bernoulli.

9.2.1. Ejemplos de aplicacion

Seccion sin completar.


9.3. Flujo potencial

El metodo mas comun para la solucion de las ecuaciones de Euler consiste

en resolver la ecuacion de conservacion de masa para un flujo dado. Una vez

conocido el campo de velocidades, la ecuacion de conservacion de momentum

se usa solo para obtener el campo de presiones del flujo.

En esta seccion analizaremos este metodo detalladamente.

9.3.1. Vorticidad e irrotacionalidad

Ademas de suponer que el fluido es inviscido, podemos suponer que no

existen ni gradientes de entropıa ni gradientes de densidad. Considerando

estas tres suposiciones podemos decir, sin perder generalidad, que el flujo es

irrotacional.

La vorticidad esta definida como el rotacional de la velocidad:

~ω = ∇× ~v

Fısicamente, la vorticidad representa la rotacion de las partıculas de las

partıculas de fluido.

En un flujo irrotacional, la vorticidad es cero el todas partes:

~ω = ∇× ~v = 0

Entonces, si el fluido es no viscoso las partıculas de fluido resbalan una sobre

otras. No es existen gradientes de velocidad.

El hecho de que el rotacional del campo de velocidades sea cero tiene

consecuencias importantes. Recordamos la identidad vectorial:

∇×∇φ = 0

(el rotacional del gradiente de cualquier funcion escalar es siempre cero).

Entonces, en base a la identidad anterior, para un flujo irrotacional po-

demos expresar al campo de velocidades como el gradiente de una funcion

escalar:

~v = ∇φ

9.3. FLUJO POTENCIAL 181

FLUJO VISCOSO

FLUJO NO VISCOSO

Particula de fluido

Diferencia de velocidades

= Rotacion

La viscosidad produce gradientes de velocidad. Si no hay efectos viscosos, entonces

no hay gradientes de velocidad. Por lo tanto no hay rotacion.

La funcion escalar φ se conoce como funcion potencial de velocidades.

En coordenadas rectangulares podemos expresar cada componente del

campo de velocidades como:

u =∂φ

∂x

v =∂φ

∂y

w =∂φ

∂z

Ahora, si sustituimos la expresion ~v = ∇φ en la ecuacion de conservacion

de masa, tenemos:

∇ · ~v = 0

∇ · ∇φ = 0

entonces

∇2φ = 0 (9.4)


Entonces, si resolvemos la ecuacion anterior y encontramos φ(x, y, z) po-

demos inferir el campo de velocidades ~v(x, y, z). Una vez conocido el campo

de velocidades, podemos calcular el campo de presiones sustituyendo ~v en las

ecuaciones de Euler. Mas aun, podemos utilizar la forma simplificada de las

ecuaciones de Euler (Ecuacion de Bernoulli) para encontrar la presion.

La ecuacion ∇2φ = 0 se conoce como la ecuacion de Laplace. Es una

ecuacion diferencial parcial lineal de segundo orden. En forma explıcita, para

coordenadas rectangulares,

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2= 0

Obviamente, para encontrar soluciones de esta ecuacion debemos tener

condiciones de frontera. Los dos tipos de condiciones de frontera que, gene-

ralmente se consideran son:

velocidad aguas arriba: u, v o w conocidas.

velocidad normal a la pared es cero: ∂φ/∂n = 0.

Esta ultima condicion se conoce como condicion de no-penetracion: el flujo

no puede penetrar una superficie solida. Es importante tener en cuenta que

para este tipo de flujos la condicion de no deslizamiento no se satisface.

9.3.2. Tecnicas de solucion

Para flujos no viscosos la tecnica de solucion de problemas es muy dife-

rente a la que se utiliza para encontrar soluciones a las ecuaciones de Navier-

Stokes. En este caso se busca, primero, resolver la ecuacion de Laplace para

encontrar la funcion potencial de velocidades φ(x, y, z). Una vez que se co-

noce φ, se pueden calcular las componentes de velocidad; despues, utilizando

la ecuacion de Bernoulli, se puede calcular el campo de presiones.

las tecnicas mas comunes para resolver problemas en flujo potencial son:

superposicion de funciones elementales

9.3. FLUJO POTENCIAL 183

mapeo (o transformacion) conforme

analogıa mecanica o electrica

analisis numerico

9.3.3. Funcion de corriente

Ademas de la funcion potencial de velocidades, φ, podemos definir una

funcion adicional que tambien puede servir para obtener soluciones en flujo

potencial. Para un flujo plano (2-D), podemos definir una funcion de corriente

ψ tal que,

u =∂ψ

∂y

v = −∂ψ∂x

Recordando la condicion de irrotacionalidad, ∇ × ~v = 0, sabemos que

para un flujo plano tenemos,

ωz = 0 =∂v

∂x− ∂u

∂y

Sustituyendo la definicion de la funcion de corriente en la expresion an-

terior tenemos:

∂

∂x

(

−∂ψ∂x

)

− ∂

∂y

(∂ψ

∂y

)

= 0

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2= 0

entonces

∇2ψ = 0 (9.5)


La funcion de corriente tambien satisface la ecuacion de Laplace.

La ventaja que se tiene al utilizar la funcion de corriente, en vez de la

funcion potencial de velocidades, es que las lıneas ψ =constante representan

lıneas de corriente en el flujo.

| = | 1

| = | 2

Si ψ = ψ(x, y), entonces

∂ψ =∂ψ

∂xdx+

∂ψ

∂ydy

Si ψ =constante, entonces ∂ψ = 0 y por lo tanto,

0 = −vdx+ udy

entonces∂y

∂x=v

uque es la definicion matematica de una linea de corriente. Una linea de co-

rriente es aquella linea cuya tangente es paralela a ~v para un t dado.

De igual manera, para encontrar soluciones a la ecuacion ∇2ψ = 0 debe-

mos tener condiciones de frontera. Podemos considerar, en general, dos tipos

de condiciones de frontera:

corriente aguas arriba, u, v conocidas

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 185

superficie solida, psi conocida (la forma de la superficie solida, de hecho,

es una linea de corriente, ψ =constante).

Para resolver un problema de flujo potencial podemos encontrar ψ o φ o

ambas.

Notemos ademas que ψ y φ son perpendiculares:

u =∂ψ

∂y=∂φ

∂x

y

v = −∂ψ∂x

=∂φ

∂y

Si encontramos tanto ψ como φ podemos construir la red del flujo.

| = | 1

| = | 2

| = | 3

| = | 1

| = | 1

| = | 1

9.4. Soluciones elementales en 2-D

Un metodo sencillo para construir soluciones en flujo potencial es el pro-

poner expresiones matematicas que satisfagan a la ecuacion de Laplace. Pos-

teriormente se busca la interpretacion fısica de estas funciones.


Corriente uniforme

Sea φ = ax+by. Considerando un flujo bidimensional, ~v = (u, v) tenemos

que:

u =∂φ

∂x= a

v =∂φ

∂y= b

entonces, ~v = ai + bj. En este caso la velocidad del flujo es constante en

cualquier punto del fluido.

Calculemos la lıneas de corriente.

u =∂ψ

∂y→ ψ = ay + C1

v = −∂ψ∂x

→ ψ = −bx+ C2

Ası,

−bx + C2 = ay + C1

entonces

y =−bax+ C

que es una linea recta: lıneas de corriente rectas.

Sea, por ejemplo, b = 0 y a = U . Entonces,

φ = Ux

ψ = Uy + C1

Para este caso: u = U y v = 0, flujo unidireccional uniforme.

Fuente y/o sumidero

Supongamos que un punto emite un caudal uniforme: flujo radial.


y

x

U

| = | 1 | 2 | n

| = | 1

| 2

| n

Si el flujo es estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie

circular de radio r es constante:

Q = vr(2πr)L = 2πLm = constante

por lo tanto

vr =m

r

donde m es una constante. Si m 0 entonces tenemos una fuente (lineas de

corriente apuntan hacia afuera). Si m0 entonces tenemos un sumidero. Para

este caso la velocidad tangencial es cero, vθ = 0.

Podemos obtener φ y ψ en coordenados polares:

vr =m

r=

1

r

∂ψ

∂θ=∂φ

∂r

vθ = 0 = −∂ψ∂r

=1

r

∂φ

∂θ

entonces

ψ = mθ

y

φ = m ln r


y

| = | 1

| 2

| n

| = | 1

| 2

| n

x

Las funciones φ y ψ pueden expresarse en terminos de coordenadas rec-

tangulares:

ψ = m arctany

x

φ = m ln√

x2 + y2

Puede comprobarse que estas expresiones satisfacen a la ecuacion de La-

place.

Torbellino o vortice bidimensional

Supongamos ahora que vθ 6= 0 y vr = 0. Si ψ = −κ ln r y φ = kθ, entonces

vr = 0 y vθ = κ/r.

este es un flujo circulatorio puro con una velocidad tangencial que dismi-

nuye como 1/r, κ es la intensidad del torbellino.

Circulacion

El flujo descrito por un torbellino o vortice bidimensional es irrotacional

en todas partes excepto en el origen donde la vorticidad es finita.


y

| = | 1

| 2

| n | = | 1

| 2

| n

x

Definamos

Γ =

∫

C

~v · d~s =∫

C

(udx+ vdy + wdz)

donde C es una curva cerrada. Γ es la circulacion del flujo dentro de C.

C

V

ds

De la definicion de φ:

~v · d~s = ∇φ · ~s = dφ


entonces

Γ =

∫

C

dφ = φf − φi

Puesto que C es una curva cerrada φf = φi, entonces Γ = 0

Para el caso de un vortice

φ = κθ

Esto implica que hay un cambio de φ en una cantidad 2πκ en cada vuelta.

Por lo tanto

Γtorbellino =

∫ 2π

0

κ

rrdθ = 2πκ

En general Γ es igual a la suma de algebraica de todos los remolinos que

haya en el interior de una curva cerrada.

9.4.1. Superposicion de soluciones

La consecuencia mas importante que surge de suponer que el flujo es

potencial es que la ecuacion a resolver (ecuacion de Laplace) es lineal. Una

de las propiedades de las ecuaciones lineales es que soluciones simples se

pueden sumar para obtener una solucion compleja:

La solucion de una suma es igual a la suma de la soluciones indi-

viduales.

Ası, podemos encontrar la solucion a flujos mas interesantes sumando

soluciones simples de φs y ψs. La solucion total estara dada por

φtotal =n∑

i=1

φi

ψtotal =

n∑

i=1

ψi


Fuente y sumidero separados una distancia 2a

Consideremos la suma de una fuente y un sumidero de igual intensidad,

separados una distancia 2a. Sea φ1 una fuente de intensidad m situada en

(a, 0) y sea φ2 un sumidero de intensidad −m en (−a, 0):

φ1 = m ln r

φ2 = −m ln r

y sus correspondientes funciones de corriente:

ψ1 = mθ

ψ2 = −mθ

Para ψ1 el valor de la funcion aumenta en la direccion de las manecillas del

reloj.

La solucion total estara entonces dada, en coordenadas rectangulares, por:

ψ = m arctany

x+ a−m arctan

y

x− a

Utilizando la identidad trigonometrica

arctanα− arctanβ = arctanα− β

1 + αβ

tenemos entonces

ψ = −m arctan2ay

x2 + y2 − a2

La funcion potencial de velocidades queda dada por

φ = m ln r −m ln r

En coordenadas rectangulares, tenemos:

φ = ln

(√

(x+ a)2 + y2

(x− a)2 + y2

)

=1

2ln

((x+ a)2 + y2

(x− a)2 + y2

)


Dipolo

Si para el caso anterior consideramos el caso en que la distancia entre

la fuente y en sumidero tiende a cero (a → 0). Debemos considerar que la

intensidad m de cada elemento debe crecer para hacer que las velocidades se

mantengan finitas.

Ası, debemos hacer que el producto 2am = λ se mantenga constante.

Para la funcion de corriente consideremos:

ψ = lıma→0

2am=const

(

−m arctan2ay

x2 + y2 − a2

)

Entonces

ψ = −m arctan2ay

x2 + y2

pero sabemos que para α≪ 1, arctanα = α. Por lo tanto

ψ = −m 2ay

x2 + y2=

−λyx2 + y2

De manera analoga,

φ =λx

x2 + y2


En coordenadas polares psi y psi se escriben como:

ψ =−λ sin θ

r

φ =λ cos θ

r

Sumidero mas torbellino

Para este caso debemos considerar, en coordenadas polares:

ψtotal = ψsumidero + ψremolino

= −mθ + κ ln r

Y para la funcion potencial,

φtotal = φsumidero + φremolino

= −m ln r + κθ


Cuerpo semi-infinito de Rankine

El flujo alrededor de la parte frontal de un cuerpo largo se puede simular

superponiendo las soluciones de una corriente uniforme y una fuente.

ψtotal = ψcorr.unif. + ψfuente

= Uoy +m arctan(y/x)

= Uor sin θ +mθ

Tambien,

φ = Uor cos θ +m ln r


De la figura podemos observar que en un punto la velocidad del flujo

se hace cero, es decir aparece un punto de estancamiento. En este punto el

flujo de la corriente uniforme se cancela con el flujo generado por la fuente.

Podemos calcular la posicion de este punto de estancamiento.

Los componentes de velocidad en cada direccion, en coordenadas polares,

son:

vr =1

r

∂ψ

∂θ= Uo cos θ +

m

r

vθ = −∂ψ∂r

= −Uo sin θ

La magnitud al cuadrado de la velocidad es entonces

V 2 = v2r + vtheta2 = (Uo cos θ +

m

r)2 + (−Uo sin θ)

2

por lo tanto

V 2 = U2o + 2Uo

m

rcos θ +

m2

r2

En punto de estancamiento, que se encuentra en r = re y θ = ±π, sabemos

que V = 0. Entonces,

0 = U2o + 2Uo

m

re(−1) +

m2

r2e

Reescribiendo esta expresion tenemos

r2eUo − 2mUore +m2 = 0

Resolviendo la ecuacion cuadratica, podemos calcular el valor de re:

re =m

Uo

En el punto de estancamiento, la presion es maxima. Esto se puede inferir

utilizando la ecuacion de Bernoulli:

1

2ρU2

o + Po =1

2ρ(0)2 + Pe


por lo que

Pe = Po +1

2ρU2

o

Podemos tambien determinar la forma del perfil del cuerpo de Rankine.

Sabemos que la forma de cuerpo estara dada por una linea de ψ =constante.

Sabemos tambien que en el punto de estancamiento, coincide con la parte

frontal del cuerpo. Entonces en (r = m/Uo, θ = ±π):

ψcuerpo = Uom

Uosin(±π)±mπ

Por lo tanto

ψcuerpo = ±mπ

Podemos tambien calcular el grosor del cuerpo de Rankine, aguas abajo

del punto donde se localiza la fuente. Sobre el cuerpo sabemos que ψ = ±mπ,entonces podemos escribir, en coordenadas rectangulares por simplicidad:

±mπ = Uoy +m arctan(y/x)

Puesto que nos interesa conocer la altura y∗, lejos del origen, consideremos

lımx→∞

= Uoy∗ +m arctan(y∗/x)

Despejando y∗ tenemos el grosor del cuerpo:

y∗ = ±πmUo

Tambien se puede modelar el flujo en la parte posterior del cuerpo de

Rankine si consideramos la suma de una corriente uniforme y un sumidero.

Corriente uniforme mas torbellino

Consideremos la suma lineal de un remolino, ψ = −κ ln r, y una corriente

uniforme, ψ = Uor sin θ:

ψ = Uor sin θ − κ ln r


El flujo generado por esta superposicion se muestra en la figura.

Para este caso, observamos que tambien aparece un punto de estancamien-

to en un punto del flujo. Para encontrar la posicion de este punto, debemos

primero calcular las componentes de velocidad del flujo:

vr = Uo cos θ

vθ = −Uo sin θ +κ

r

De la misma manera que en el ejemplo anterior, podemos calcular la

magnitud cuadrada de la velocidad:

V 2 = U2o − 2

κ

rUo sin θ +

κ2

r2

En el punto de estancamiento sabemos que V = 0 y que θ = π/2, enton-

ces:

0 = U2o − 2Uo

κ

re+κ2

r2epor lo tanto

re =κ

Uo

Fila infinita de vortices

Consideremos la superposicion de una fila infinita de remolinos de la mis-

ma intensidad κ y separados entre si una distancia a. La funcion de corriente


total estara dada por

ψ = −κ∞∑

i=1

ln ri

Puede demostrarse que la suma infinita de logaritmos converge a la si-

guiente expresion:

ψ = −1

2κ ln

{1

2

(

cosh2πy

a− cos

2πx

a

)}

La comprobacion de esta transformacion requiere conocimientos de variable

compleja.

Las lıneas de corriente de este flujo forma ojos de gato alrededor de cada

vortice. Cabe notar que en la figura se uso un numero finito de vortices.

Se se considera un numero muy grande de torbellinos entonces el flujo es

practicamente horizontal por encima y debajo de la linea de vortices. De

hecho se puede comprobar que para |y| ≫

v = 0

u = ±πκa

Si consideramos el caso en que a→ 0, podemos definir una capa continua

de torbellinos.


Flujo alrededor de cuerpos cerrados

Existe diferentes maneras de modelar el flujo alrededor de cuerpos cerra-

dos en flujo potencial.

El mas sencillo, es el caso de un cuerpo ovalado generado por la superposi-

cion de un par fuente-sumidero (separados una distancia 2a) y una corriente

uniforme:

ψ = Uoy −m arctan2ay

x2 + y2 − a2

La figura muestra las lıneas de corriente, lineas de ψ = cosntante, para

esta combinacion. Se obtiene un cuerpo de forma oval. Las semi-longitudes

horizontal y vertical, L y h, respectivamente, dependen de la intensidad rela-

tiva del par fuente-sumidero con respecto a la corriente uniforme; es decir, la

relacion m/Uoa determina la forma del objeto. En general, solo se muestran

las lıneas por fuera del ovalo. Se puede demostrar que la linea de corriente

que corresponde al cuerpo es ψ = 0.

Podemos tambien notar que existen dos puntos de estancamiento sobre

el cuerpo, uno el parte frontal y otro en la parte posterior, en los puntos

x = ±L, y = 0. Notese tambien que el los puntos x = 0, y = ±h existen


puntos de presion mınima, que a su vez corresponden a puntos de velocidad

maxima. La siguientes relacione pueden obtenerse:

h

a= cot

{h/a

2m/Uoa

}

L

a=

{

1 +2m

Uoa

}1/2

Umax

Uo= 1 +

2m/Uoa

1 + h2/a2

Ovalo de Kelvin

Otra manera de simular el flujo alrededor de objetos altos se obtiene

superponiendo una corriente uniforme con un par de vortices, con direcciones

de rotacion opuestas, separados verticalmente una distancia 2a.

Para este caso la funcion de corriente es

ψ = Uoy −1

2κ ln

x2 + (y + a)2

x2 + (y − a)2


9.4.2. Flujo alrededor de un cilindro

El estudio del flujo alrededor de un cilindro ha sido muy importante para

el desarrollo de la mecanica de fluidos moderna. Dada su relativa simplicidad,

es posible analizar este flujo con cierto detalle. A continuacion, analizaremos

este flujo considerando un flujo ideal.

La funcion de corriente para modelar este flujo se puede obtener super-

poniendo una corriente uniforme con un doblete:

ψ = Uor sin θ −λ sin θ

r

La figura muestra las lıneas de corriente para esta caso.

Los componentes de velocidad para el flujo alrededor del cilindro son:

vr =1

r

∂ψ

∂θ= (Uo −

λ

r2) cos θ

vθ = −∂ψ∂r

= (Uo +λ

r2) sin θ

Podemos observar que existen dos puntos de estancamiento (vr = vθ = 0)

en θ = π, 0 y en r = R. Para este caso tenemos:

0 = (Uo −λ

R2)(±1)


entonces,

R =

√

λ

Uo

es el radio del cilindro (los puntos de estancamiento coinciden con la superficie

del cuerpo).

Podemos entonces reescribir la funcion de corriente como funcion de R:

ψ = Uo sen θ

(

r − R2

r

)

Calculemos la velocidad en la superficie del cilindro:

vr(r = R) = Uo(1−R2

R2) cos θ = 0

vθ(r = R) = −Uo(1 +R2

R2) sin θ = −2Uo sin θ

Notese que, en efecto, en la superficie solida no hay flujo a traves de la pared

(vr = 0) pero si hay deslizamiento (vθ 6= 0). Tambien vemos que la velocidad

tangencial sobre la pared varıa como funcion de θ, desde cero en los puntos

de estancamiento θ = 0, π hasta un valor maximo en θ = ±π/2.La magnitud cuadrada de la velocidad sobre la superficie del cilindro es

V 2 = 4U2o sin

2 θ

La distribucion de presiones en la superficie del cilindro se puede calcular

utilizando la ecuacion de Bernoulli:

Po +1

2ρU2

o = Ps +1

2ρ(4U2

o sin2 θ)

entonces

Ps − Po =1

2ρU2

o (1− 4 sin2 θ)

La distribucion de presiones sobre la superficie se muestra en la figura, como

funcion del angulo θ.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

angulo, θ [rad]

2 (P

s−P

o)/(ρ

Uo2)

Arrastre sobre un cilindro en flujo potencial: Paradoja de Dalam-

bert

La fuerza de arrastre sobre el cilindro se puede calcular si se integra en

esfuerzo sobre el area. Para el caso de un flujo potencial, no hay esfuerzos

viscosos. Por lo tanto el unico esfuerzo que actua sobre la superficie del

cilindro es la presion.

La fuerza, en cada una de las direcciones coordenadas sera la integral de

la componente del vector de presion respectiva sobre el area del cilindro. Ver

figura. En la direccion x el componente de la presion es entonces

Px = P cos θ

La fuerza de arrastre FD es

FD =

∫

S

(P cos θ)dS =

∫

S

(Ps − Po) cos θdS

Para calcular la integral, debemos expresar dS en terminos de θ. Consi-

deremos la figura siguiente. Para un angulo pequeno, dθ, podemos considerar

que

tan dθ ≈ dθ =dS

R


P Psin0

Pcos0

0

d 0

R

dS

Entonces, el elemento diferencial de area dS, por unidad de profundidad L

se puede escribir como:

dS = LRdθ

Ası, la fuerza de arrastre se expresa como

FD =

∫ 2π

0

(1

2ρU2

o (1− 4 sen2 θ)

)

cos θLRdθ

entonces

FD =1

2ρU2

oLR

∫ 2π

0

(1− 4 sen2 θ) cos θdθ = frac12ρU2oLR

{sin θ − 2 sin3 θ

}2π

0

Por lo tanto

FD = 0


Este resultado se conoce como la paradoja de Dalambert. A pesar de que

somos capaces de calcular el campo de velocidades para cualquier punto en el

espacio, el hecho de haber eliminado los esfuerzos viscosos causa que el flujo

no produzca arrastre. Este resultado no es solo caso especial de un cilindro.

El arrastre para cualquier objeto, cualquiera que sea su forma, sumergido en

un flujo potencial es cero.

Podemos tambien calcular la fuerza de sustentacion, FL (fuerza en la

direccion perpendicular al flujo). Entonces, de manera analoga, tenemos

FL =

∫ 2π

0

(1

2ρU2

o (1− 4 sen2 θ)

)

sin θLRdθ

entonces

FL =1

2ρU2

oLR

∫ 2π

0

{5

3cos θ +

4

3sin2 θ cos θ

}2π

0

No es sorprendente encontrar que

FL = 0

Cilindro con circulacion

Si anadimos un vortice en el centro del cilindro, es decir anadimos circu-

lacion al flujo, entonces tenemos la siguiente funcion de corriente

ψ = Uo sin θ(r −R2

r)− κ ln

r

a

Podemos, de la misma manera que para el cilindro sin circulacion, calcular

el campo de velocidades, la velocidad y la presion en la superficie.

El campo de velocidades esta dado por:

vr = (Uo −λ

r2) cos θ

vθ = (Uo −λ

r2) sin θ +

κ

r

La velocidad en la superficie es:

vr(r = R) = 0

vθ(r = R) = −2Uo sin θ +κ

R


La presion en la superficie es:

Ps − Po =1

2ρU2

o (1− 4 sin2 θ + 4β sin θ − β2)

donde β = κ/(UoR).

Si calculamos tanto el arrastre como la sustentacion tenemos:

FD =

∫ 2π

0

(Ps − Po) cos θLRdθ

= 0

y

FL =

∫ 2π

0

(Ps − Po) sin θLRdθ

= −ρUo(2πκ)L

Entonces, la sustentacion por unidad de profundidad es

FL

L= −ρU0Γ

donde Γ = 2πκ.


9.4.3. Metodo de imagenes

En muchos ejemplos practicos se debe considerar la presencia de paredes

rıgidas. Existe una manera para simular el efecto de una pared solida fija.

Consideremos, por ejemplo, el flujo generado por una fuente situada a una

distancia a de una pared horizontal solida. Sabemos que la pared debe satis-

facer la condicion de no-flujo a traves de ella. Es decir, debemos asegurarnos

que la pared corresponda e una linea de corriente del flujo.

Para simular la pared, y hacer que esta sea una linea de corriente del

flujo, se debe colocar una fuente virtual de la misma intensidad a la misma

distancia por debajo de la pared. Por simetrıa, las dos fuentes dan lugar a una

linea de corriente horizontal entre ellas que representa, entonces, la pared.

La funcion de corriente para este caso sera:

ψ = m arctany − a

x+m arctan

y + a

x

La misma tecnica se puede utilizar para simular el efecto de que tiene una

pared en el flujo generado por cualquier otra de las soluciones elementales o

sus combinaciones.

De la misma manera que para todos los otros ejemplos anteriores, una

vez conocida la funcion de corriente, o la funcion potencial de velocidades,

se puede deducir el campo de velocidades y tambien el campo de presiones.

Capıtulo 10

Turbulencia

Una de las complicaciones mas importantes en el estudio de flujo de flui-

dos surge del hecho de que a partir de cierto numero de Reynolds critico

la estructura del flujo deja de ser laminar. En otras palabras, un flujo no

puede ser laminar para altos numeros de Reynolds. El numero de Reynolds

representa una medida de la magnitud relativa de los esfuerzos inerciales con

respecto a los efectos viscosos.

Podemos decir, entonces, que si en flujo los esfuerzos inerciales dominan

entonces el flujo no puede ser laminar. La perdida de laminaridad la llamamos

simplemente turbulencia. La turbulencia aparece porque los flujos son, en

general, inestables bajo perturbaciones pequenas si los esfuerzos viscosos son

mas pequenos que los inerciales.

La gran mayorıa de los flujos en ingenierıa son turbulentos.

En este capıtulo daremos una descripcion fısica de la turbulencia desa-

rrollada. Tambien se discutira la transicion de flujo laminar a turbulento.

MMFM:Bondary layers:instability, transition and turbulence

10.1. Introduccion

Se llama turbulencia al estado de un flujo que se caracteriza por su na-

turaleza fluctuante y aparentemente aleatoria. Es el resultado de la perdida

209

210 CAPITULO 10. TURBULENCIA

de estabilidad de un flujo laminar.

Los flujos laminares estan caracterizados por el hecho de que las partıculas

de fluido se mueven en capas o laminas. Las partıculas que estan en cierta

lamina, permanecen en ella. No pueden cambiar de capa.

Flujo laminar

Re < 4000

Flujo turbulento

Re > 4000

Para el caso de un flujo con numero de Reynolds mas alto que un cierto

numero de Reynolds crıtico, el movimiento de las partıculas se vuelve mas

tridimensional y agitado. Las capas de fluido se intersectan y se mezclan;

ademas, cambian como funcion del tiempo de forma aparentemente aleatoria.

Es difıcil, por esto, describir matematicamente a un flujo turbulento.

10.2. Experimento de Reynolds

Una de las primeras personas en identificar la transicion de un flujo la-

minar a un flujo turbulento fue Oswald Reynolds en (1883). Su experimento,

ilustrado en la figura, consistio en inyectar tinta en un flujo de un liquido

en una tuberıa. De esta manera fue capaz de observar que a medida que la

velocidad del flujo aumentaba, el movimiento del fluido en el seno del lıquido

se volvıa cada vez mas agitado e irregular. Reynolds observo que cuando la

relacion adimensional UDρ/µ del flujo permanecıa por debajo de 2000, el

flujo era laminar. Esta relacion adimensional es lo que ahora se conoce como

numero de Reynolds

Consideramos, por ejemplo, la medicion de la velocidad en un punto fijo

en medio de canal. Para un flujo laminar uno esperarıa medir una velocidad

10.2.EXPERIM

ENTO

DEREYNOLDS

211

u

t

Re < 1000

Medición de velocidad

1000 < Re < 10000 u

t

Re > 10000 u

t


constante en dicho punto (ver figura).

Para un flujo con un numero de Reynolds mucho mayor a 2000, la me-

dicion de la velocidad en el mismo punto cambia considerablemente. Puede

observarse que la magnitud del vector velocidad fluctua alrededor de un valor

medio.

Para flujos con numeros de Reynolds ligeramente superiores a 2000, la

medicion se caracteriza por perıodos breves de flujo laminar alternados con

perıodos turbulentos. Esto indica que la transicion de un flujo laminar a un

flujo turbulento no es abrupta; la transicion es progresiva. A este regimen

intermedio se le denomina como de transicion.

10.3. Descripcion fısica de la turbulencia

La turbulencia desarrollada puede describirse fısicamente por las siguien-

tes caracterısticas.

Naturaleza fluctuante. Tanto la presion como la velocidad fluctuan al-

rededor de un valor medio. Las fluctuaciones son ademas de naturaleza

tridimensional.

Aparicion de remolinos. Las capas de fluido estan acomodadas en es-

tructuras coherentes llamadas remolinos o vortices. Los vortices tienen

una amplia distribucion de tamanos, que van desde la dimension del

flujo (tamano del contenedor) hasta el tamano en el cual se disipa el

movimiento bajo la accion de la viscosidad (escala de Kolmogorov).

10.4. ESTABILIDAD Y ORIGEN DE LA TURBULENCIA 213

Fluctuaciones pseudo-aleatorias. Aunque a simple vista, la naturaleza

de las fluctuaciones de velocidad y presion parezcan aleatorias, en reali-

dad estas se distribuyen de una forma caracterıstica no enteramente al

azar.

<u'>

frecuencia

Turbulencia

frecuencia

Ruido

<u'>

Mantenimiento autonomo. Un flujo turbulento puede mantenerse tur-

bulento a si mismo. Los remolinos grandes generan remolinos pequenos.

Disipacion. Puesto que el flujo es autonomo, la ruptura sucesiva de

vortices a escalas mas pequenas, llevara eventualmente a la generacion

de vortices del tamano de la escala de Kolmogorov. Una vez alcanzado

este tamano, el movimiento se disipa por el efecto de la viscosidad. En

otras, palabras un flujo turbulento decaera progresivamente a menos

que exista un mecanismo de entrada de energıa.

Mezclado. El hecho de que el flujo turbulento sea fluctuante hace que

la difusion de calor, masa y momentum sean mucho mas efectivos que

la difusion molecular.

10.4. Estabilidad y origen de la turbulencia

Los flujos laminares, en un punto crıtico en el tiempo y el espacio, se

vuelven inestables bajo perturbaciones pequenas.

Se dice que un sistema es inestable cuando al someterlo a una pequena,

esta se amplifica. Estas perturbaciones, o imperfecciones, surgen de la rugo-

sidad, el ruido acustico, las vibraciones, etc.


��

��

��

Estable

��

��

Inestable

��

��

Neutro

10.4.1. Teorıa de la estabilidad

Este analisis, llamado de perturbacion, consiste en anadir matematica-

mente una pequena perturbacion a las variables de flujo (velocidad y presion).

Las variables perturbadas se sustituyen en las ecuaciones de conservacion, las

cuales se resuelven. El objetivo es averiguar si las soluciones que se encuen-

tran son estables, es decir, si crecen o no como funcion del tiempo. Este tipo

de analisis se puede emplear para analizar la estabilidad de cualquier sistema,

no solo de mecanica de fluidos.

Consideremos las ecuaciones de conservacion para un flujo newtoniano,

incompresible:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

ρD~v

Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v

Supongamos que tenemos un flujo unidireccional, ~v = (u, 0, bidimensional

y que la presion es P = Po. Supongamos tambien que las soluciones para la

velocidad y presion tienen las siguientes relaciones funcionales:

u = U(y, t)

P = Po(y, t)

Procedamos a anadir una pequena perturbacion a las tres componentes

de velocidad y presion:

u = U + u

v = v

P = Po + p


Podemos sustituir estas expresiones de nuevo en la ecuaciones de Navier-

Stokes.

Por ejemplo en la direccion x, tenemos:

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

entonces

∂U

∂t+∂u

∂t+ (U + u)

∂(U + u)

∂x+ (v)

∂(U + u)

∂y=

− 1

ρ

∂(Po + p)

∂x+ ν

(∂2(U + u)

∂x2+∂2(U + u)

∂y2

)

A la ecuacion anterior se le puede restar la ecuacion de conservacion de

momentum para las variables no perturbadas. Ası, encontramos que

∂u

∂t+ U

∂u

∂x+ u

∂U

∂x+ v

∂U

∂y+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν∇2u

Si suponemos que u ≪ U y que v ≪ U , entonces podemos tambien

despreciar los productos u y v.

Mas aun podemos suponer que las perturbaciones (u, v, p) tienen solucion

de la forma

(u, v, p) = [f(y), g(y), h(y)] exp[iα(kx− ct)]

Sustituyendo en la ecuacion de conservacion, tenemos:

iαcf + Uiαkf = ν((iαk)2f + f ′′)

entonces

f ′′ − (αk)2f − iαc+ k

νf = 0

Esta es la ecuacion de Orr-Sommerfeld, en su version simplificada. Esta ecua-

cion diferencial ordinaria se puede resolver suponiendo algunas condiciones

de frontera y valores de los parametros k, c, α, ν. La solucion ecuacion predice

que la solucion laminar estacionaria se vuelve inestable para cierto valor del

numero de Reynolds del flujo.


Re Re crit

Región inestable

Región estable

10.4.2. Desarrollo de la turbulencia

La turbulencia no aparece de manera subita en un flujo. Para que esta

se manifieste en su forma completamente desarrollada deben pasar varias

etapas.

Consideremos la capa lımite sobre una placa plana. Ver figura.

Conforme se avanza en la direccion longitudinal de la placa, va creciendo

el valor de Rex, por lo que podemos ver como se desarrolla la turbulencia

desde el flujo laminar.

1. Cerca del punto donde el flujo encuentra a la placa se desarrolla una

capa lımite laminar ordinaria, puesto que el este primer tramo el Rex

no es muy grande.

2. Cuando el valor de Rex alcanza un cierto valor crıtico, los primeros

indicios de la perdida de estabilidad se manifiestan: aparecen las on-

das T-S (Tollminen-Schlichting), que son perturbaciones en la direccion

perpendicular al flujo. Estas son ondas, pero aun son laminares.

3. Un poco mas adelante, aumentando un poco el Rex, estas ondas trans-

versales comienzan a perder estabilidad y pierden su forma transversal.

En esta etapa comienza a aparecer un componente de la vorticidad en

la direccion del flujo.


4. Aumentando un poco mas el Rex, el siguiente fenomeno que se observa

es la desaparicion de la estructura unidireccional del flujo. Se dice que

tanto la velocidad y la vorticidad son tridimensionales.

5. Aguas abajo sobre la placa comienza a aparecer paquetes de turbulen-

cia completamente desarrollada. Estos paquetes, o manchas, crecen en

tamano y frecuencia de aparicion.

6. Finalmente, los paquetes se unen y se crea la zona de turbulencia com-

pletamente desarrollada.


10.5. Turbulencia desarrollada

Puesto que el flujo turbulento es muy complejo, resulta difıcil describirlo

con el tipo de funciones matematicas utilizadas en el flujo laminar (flujo

tridimensional y no estacionario).

Por esto para el estudio y descripcion de la turbulencia se utilizan he-

rramientas estadısticas para describirlo. En particular, se usa el concepto de

promedio temporal. Cualquier variable, fluctuante o no, puede describirse a

traves de su promedio en el tiempo.

10.5.1. Descomposicion de Reynolds

La descomposicion de Reynolds consiste en separar a cualquier variable

en dos componentes, una estacionaria y otra fluctuante. Por ejemplo si con-

sideramos la medicion de la velocidad en el centro de un canal cuyo flujo es

turbulento, podemos esperar encontrar una medicion como la mostrada en

la figura.

u

t

u

La velocidad instantanea de la velocidad en este punto se puede describir

como

u(t) = u+ u′(t)

donde u es el promedio temporal y u′ es la componente fluctuante de la

velocidad.

10.5. TURBULENCIA DESARROLLADA 219

Promedio temporal

Si consideramos una variable cualquiera f , su promedio temporal esta

definido como:

F =1

T

∫ to+T

to

f(t)dt

Entonces, podemos escribir que

f = f + f ′

Podemos ademas demostrar que

f ′ = 0

y que

f = f

Estas son algunas reglas de la operacion promedio temporal:

1. f ′g = 0

2. f ± g = f ± g

3. f · g = f · g + f ′g′

4. f · g = f · g

5. ∂f∂s

= ∂f∂s

6.∫fds =

∫fds


10.6. Ecuaciones de conservacion para un flu-

jo turbulento

10.6.1. Conservacion de masa

Consideremos, primero, la ecuacion de conservacion de masa para un flujo

incompresible, para el caso bidimensional en coordenadas rectangulares:

∇~v = ∂u

∂x+∂v

∂y= 0

Consideremos ahora que las variables de flujo son turbulentas y que pue-

den descomponerse como:

u = u+ u′

v = v + v′

Sustituyendo estas expresiones en la ecuacion de conservacion de masa,

tenemos,∂(u + u′)

∂x+∂(v + v′)

∂y= 0

Aplicando la operacion promedio temporal a toda la ecuacion tenemos:

∂u

∂x+∂u′

∂x+∂v

∂y+∂v′

∂y= 0

Aplicando las reglas de la operacion promedio temporal sabemos que

∂u′

∂x= 0

y que∂v′

∂y= 0

Por lo tanto∂u

∂x+∂v

∂y= 0

10.6. ECUACIONES DE CONSERVACION 221

por lo que podemos decir que aun el flujo turbulento, la ecuacion de conser-

vacion de masa se satisface en promedio.

Ademas, si a la expresion anterior le restamos la ecuacion de conservacion,

antes de promediar en el tiempo, podemos deducir que

∂u′

∂x+∂v′

∂y= 0

entonces, podemos tambien decir que de forma instantanea, las fluctuaciones

de velocidad tambien satisfacen la ecuacion de conservacion.

10.6.2. Conservacion de momentum

De la misma manera que para la ecuacion de conservacion de masa, po-

demos sustituir la presion y las velocidades, descompuestas en parte media

y fluctuante, en las ecuaciones de Navier Stokes. Consideremos, por simplici-

dad, unicamente la componente x de las ecuaciones incompresibles bidimen-

sionales. Tenemos entonces,

∂(u + u′)

∂t+ (u+ u′)

∂(u+ u′)

∂x+ (v + v′)

∂(u + u′)

∂y=

− 1

ρ

∂(P + P ′)

∂x+ ν

(∂2(u+ u′)

∂x2+∂2(u+ u′)

∂y2

)

Desarrollando todos los productos, y aplicando la operacion promedio

temporal a toda la ecuacion, tenemos:

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ u′

∂u′

∂x+ v

∂u

∂y+ v′

∂u′

∂x= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

(

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

Los terminos u′ ∂u′

∂xy v′ ∂u

′

∂xpueden reescribirse de la siguiente manera

u′∂u′

∂x=

∂(u′)2

∂x− u′

∂u′

∂x

v′∂u′

∂x=

∂(u′v′)

∂x− u′

∂v′

∂x


entonces, simplificando las operaciones promedio temporal, la ecuacion de

conservacion de momentum puede escribirse como:

∂u

∂t+u

∂u

∂x+v

∂u

∂y+∂(u′)2

∂x−u′

(∂u′

∂x+∂v′

∂x

)

+∂(u′v′)

∂x= −1

ρ

∂P

∂x+ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

Utilizando la ecuacion de conservacion de masa, podemos demostrar que

el quinto termino del lado izquierdo es igual a cero. Entonces, podemos es-

cribir

ρDu

Dt= −∇P + µ∇2u− ρ

(∂

∂x(u′2) +

∂

∂y(u′v′)

)

La ecuacion anterior es muy similar a la ecuacion de Navier Stokes con

variables promediadas en el tiempo, excepto por la inclusion de dos terminos

extra en el lado derecho de la ecuacion: ρ ∂∂x(u′2) y ρ ∂

∂y(u′v′). Estos compo-

nentes adicionales son los esfuerzos turbulentos.

Si, de forma analoga, hacemos la deduccion de la conservacion de mo-

mentum en la direccion y, encontraremos:

ρDv

Dt= −∇P + µ∇2v − ρ

(∂

∂x(u′v′) +

∂

∂y(v′2)

)

Podemos entonces hablar de un tensor de esfuerzos turbulentos:

Σt = −ρ∇u′iu′j = ρ

u′u′ u′v′ u′w′

v′u′ v′v′ v′w′

w′u′ w′v′ w′w′

Estos esfuerzos extra tienen implicaciones fısicas importantes:

Los movimientos no estacionarios u′, v′, w′ provocan un flujo adicional

de momentum.

Se pueden interpretar como esfuerzos. A diferencia de los esfuerzos

viscosos, los esfuerzos turbulentos dependen de la naturaleza del flujo

y no de la naturaleza del fluido.

En mucho flujos turbulentos, el tamano de los esfuerzos turbulentos

puede ser mas grande que los esfuerzos viscosos.


Al aparecer nuevas incognitas en las ecuaciones de conservacion, nece-

sitamos mas ecuaciones para cerrar el sistema. Necesitamos un relacion

constitutiva turbulenta.

10.6.3. Modelos empıricos para turbulencia

Es claro que la aparicion de nuevos terminos en las ecuaciones de con-

servacion implica que debemos tener mas ecuaciones. Necesitamos, de hecho,

una ecuacion constitutiva para relacionar los esfuerzos turbulentos con otras

variables del flujo.

La teorıa de flujos turbulentos esta aun en desarrollo. Aun no existen

modelos analıticos precisos que esten ampliamente aceptados. Por esto, el

modelado de los esfuerzos turbulentos se hace de forma empırica.

Aquı se presentan algunos de los modelos mas comunmente usados:

1. Viscosidad Eddy o de remolino Este modelo considera reemplazar los

esfuerzos turbulentos por un esfuerzo tipo viscoso, utilizando una vis-

cosidad turbulenta:

−ρu′v′ = ε∂u

∂y

donde ε es la viscosidad de remolino.

2. Distancia de mezcla de Prandtl

Supongamos que la distancia tıpica de mezcla (o flcutuacion turbu-

lenta) es L. Esta distancia se extiende desde la pared hasta donde el

gradiente de velocidades es grande. Ası podemos decir que,

u′ = L∂u

∂y

v′ = L∂u

∂y

Entonces

−ρu′v′ = ρL2

(∂u

∂y

)2


(a) Estela turbulenta detras de un proyectil. Tecnica

deshadowgrafıa

(b) Desarrollo de turbulencia. Flujo sobre una pla-

ca. Visualizacion de lıneas materiales por medio de

generacion de burbujas de hidrogeno.

(c) Capa lımite turbulenta. Visualizacion por humo.


Figura 10.1: Chorro turbulento. Visualizacion por tinta flourescente.


pero sabemos que en y = 0, la distancia de mezcla es cero L = 0,

entonces podrıamos decir que

L = Ky

Por lo tanto

−ρu′v′ = ρK2y2(∂u

∂y

)2

donde K es una constante universal (K = 0.4).

3. Hipotesis de similitud de Von Karman Esta hipotesis propone (a traves

de argumentos mas complicados) que:

−ρu′v′ = ρK2

(∂u∂y

)4

(∂2u∂y2

)2

10.7. Capa limite turbulenta

Consideremos, una vez mas el flujo sobre una placa. De la misma manera

como se hizo el desarrollo de capa lımite laminar, debemos hacer ciertas

suposiciones para lograr simplificar las ecuaciones de flujo turbulento.

Consideremos las siguientes suposiciones:

δ(x) ≪ x

v ≪ u∂

∂x≪ ∂

∂yw = 0∂

∂z= 0

w′2 6= 0 pero∂w′2

∂x= 0

Ası, la ecuacion de conservacion de masa es

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

10.7. CAPA LIMITE TURBULENTA 227

Considerando un flujo estacionario en promedio, la ecuacion de momen-

tum en x se reduce a

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= Uo

∂Uo

∂x+

1

ρ

∂τ

∂y

donde Uo(x) es la corriente por fuera de la capa lımite y τ es el esfuerzo total

dado por

τ = µ∂u

∂y− ρu′v′

La ecuacion de momentum en y es

0 = −∂P∂y

− ρ∂v′2

∂y

Por lo tanto, para el caso de un capa lımite turbulenta, no podemos decir

que la presion dentro y fuera de la capa lımite es la misma. Podemos decir

que

P = Po(x)− ρv′2

Sin embargo, esta correccion es pequena.

De igual manera que para el caso de capa lımite laminar, debemos consi-

derar las siguientes condiciones de frontera:

u(x, 0) = v(x, 0) = 0

u(x, δ) = Uo(x)

10.7.1. Estructura de un flujo turbulento

En general, para una capa lımite turbulenta podemos analizar su estruc-

tura en diferentes regiones, dependiendo de la cercanıa con la pared.

Podemos diferenciar el comportamiento de la capa lımite turbulenta en

tres regiones distintas:

Capa interna.


Es la capa que esta en contacto con la pared. Es esta, los esfuerzos

viscosos dominan.

Sabemos que en la pared u, v = 0, y tambien podemos argumentar que

muy cerca de la pared u′ = v′ ≈ 0, pues no hay espacio para que el

fluido se mueva en forma fluctuante. Por lo tanto, cerca de la pared

ρu′v′ = 0, no hay esfuerzos turbulentos.

Entonces, existe un flujo laminar en la vecindad de la pared:

uint = f(τw, ρ, µ, y)

Capa externa.

A cierta distancia de la pared, los esfuerzos turbulentos dominan. Pero,

puesto que el efecto de la pared es reducir la velocidad de Uo a u(y),

entonces la estructura de esta capa debe de ser funcion de δ, τw, ∂Po/∂x,

pero independiente de µ:

Uo − uext = f(τw, ρ, y, δ, ∂Po/∂x)

Capa intermedia.

En esta region ambos efectos tienen importancia. Las regiones externa

e interna deben empatarse en esta region:

uint = uext

10.7.2. Flujo de Couette turbulento

Consideremos un flujo de corte simple, para el caso en que el numero de

Reynolds es mayor que el crıtico. Es decir, que el flujo sea completamente

turbulento.

Una de las ventajas del analisis de este flujo simple es que el esfuerzo

cortante es constante a traves de y.

τxy = τv + τt


y

x

H

U Pared movil

Pared fija

Perfil turbulento u(y)=f(y)

Perfil laminar

donde τv = µ∂u∂y

y τt = ρu′v′.

Las ecuacion de conservacion para este flujo son entonces,

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

ρ

(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

=∂

∂y(τv + τt)

Consideremos el uso de variables adimensionales:

y: distancia a la pared, [L].

ρ: densidad, [ML−1T−2]

u(y): velocidad media, [LT−1]

τw: esfuerzo en la pared, [ML−1T−2]

ν: viscosidad cinematica, L2T−1

Para lograr uniformidad dimensional, las variables ρ yτw deben de estar

en em mismo (ambas tienen M).

Podemos formar un grupo con unidades de velocidad, y ası usarlo como

velocidad de referencia:

uτ =

(τwρ

)1/2


entonces podemos definir una velocidad adimensional como

u∗ =u

uτ

Se puede agrupar otro conjunto de variables con unidades de distancia:

Lτ = ν

√ρ

τw

entonces podemos definir

y∗ = y1

ν

√τwρ

Capa interna

Sabemos que

τw = µ∂u

∂y

Dividiendo entre ρ y suponiendo que ∂u/∂y ≈ u/y, tenemos

τwρ

=µ

ρ

u

y

entonces

u2τ = νu

y

Re-arreglando terminos podemos escribir:

u∗ =u

uτ=uτy

ν=

(τwρ

)1/2y

ν

Por lo tanto

u∗ = y∗

De forma experimental se ha comprobado que la capa interna se extiende

desde la pared hasta y∗ ≈ 5. Entonces podemos calcular el espesor de la capa

interna, δCI ,uτδCI

ν= 5

entonces

δCI = 5ν

√ρ

τwEsto representa aproximadamente 0.002 δ, espesor de la capa lımite.


Capa externa

Sabemos que el esfuerzo turbulento domina sobre el esfuerzo viscoso. En-

tonces

τ = −ρu′v′

Debemos considerar una de los modelos de turbulencia. Por ejemplo po-

demos usar el modelo de distancia de mezcla de Prandtl:

τ

ρ= −u′v′ = K2y2

(∂u

∂y

)2

Sabemos ademas que en un flujo de Couette, el esfuerzo cortante es cons-

tante en todo el flujo: τ = τw, para cualquier y. Entonces

τ

ρ=τwρ

= u2τ = K2y2(∂u

∂y

)2

Simplificando tenemos

uτ = Ky

(∂u

∂y

)

Esta ecuacion se puede integrar, dando como resultado

u =uτK

ln y + C1

Escribiendo en terminos de variables adimensionales tenemos:

u∗1

K1ln y∗ + C2

De forma empırica, se ha encontrado que K1 = 0.4 Y C2=5.0. Esta expresion

se conoce como ley de la pared.

Capa intermedia

En esta region se deben considerar tanto los esfuerzos viscosos como los

turbulentos, por lo tanto en esta region no se observa un comportamiento ni

lineal ni logarıtmico. Se puede demostrar que

y∗ = u∗ + exp(−KB)

[

exp(Ku∗)− 1−Ku∗ − 1

2(Ku∗)2 − 1

6(Ku∗)3

]


10.8. Forma integral de las ecuaciones de ca-

pa lımite para flujos turbulentos

Recordemos la ecuacion integral de capa lımite (para una placa plana):

τw(x) = ρU2o

∂θ

∂x

donde θ es el espesor de momentum definido como:

θ =

∫ δ

0

u

Uo

(

1− u

Uo

)

dy

Si despreciamos la capa interna (muy pequena), podemos utilizar la ley

de la pared como perfil de velocidad:

u = uτ

[1

Kln(yuτν

)

+B

]

donde B = 5.0 y K = 0.41.

Entonces, en el borde superior de la capa lımite tenemos

Uo

uτ=

[1

Kln

(δuτν

)

+B

]

10.8. CAPA LIMITE, FORMA INTEGRAL 233

El coeficiente de friccion es

Cf =2τwρU2

o

pero τw/ρ = uτ entonces

Cf = 2

(uτUo

)2

oUo

uτ=

(2

Cf

)1/2

Ademas, despejando uτ tenemos

uτ = Uo

(Cf

2

)1/2

por lo que podemos escribir

δuτν

= Reδ

(Cf

2

)1/2

donde Reδ = δUo/ν.

Podemos, ahora, sustituir las expresiones para δuτ

νy Uo

uτen expresion de

la ley de la pared en el borde de la capa lımite:

(2

Cf

)1/2

=

[

1

Kln

(

Reδ

(Cf

2

)1/2)

+B

]

Esta expresion nos da una relacion funcional entre el coeficiente de friccion

y el numero de Reynolds (tipo diagrama de Moody). Sin embargo es una

ecuacion trascendental que se debe resolver numericamente.

Esta ecuacion puede ajustarse aproximadamente a

Cf = 0.02(Reδ)−1/6

Calculemos ahora el espesor de momentum de la capa lımite, θ. El perfil

de velocidades promedio en una capa lımite turbulenta se puede aproximar

au

Uo=(y

δ

)1/7

.


Reδ Cf

104 0.00493

105 0.00315

106 0.00217

107 0.00158

Este resultado es empırico.

Si sustituimos esta funcion en la definicion de θ tenemos:

θ =

∫ δ

0

(y

δ

)1/7(

1−(y

δ

)1/7)

dy

entonces

θ = δ

∫ 1

0

η1/7(1− η1/7)dη

=7

72δ

Ahora, de la definicion de coeficiente de friccion sabemos

τw = Cf1

2ρU2

o

por lo que

τw = (0.02(Reδ)−1/6)

1

2ρU2

o

Tambien sabemos que

τw = ρU2o

∂θ

∂xIgualando las dos expresiones anteriores tenemos

ρU2o

∂θ

∂x= (0.02(Reδ)

−1/6)1

2ρU2

o

Simplificando tenemos

9.72∂δ

∂x= (Reδ)

−1/6

pero Reδ = δUo/ν, entonces

9.72∂δ

∂x= (

δUo

ν)−1/6

10.9. FLUJO TURBULENTO EN TUBERIAS 235

por lo que

9.72δ1/6∂δ =

(Uo

ν

)−1/6

∂x

Integrando tenemos

6

79.72δ7/6 =

(Uo

ν

)−1/6

x+ C

pero C = 0 porque δ = 0 en x = 0.

Entonces podemos decir que

Reδ = 0.16Re6/7x

y haciendo rearreglando terminos tenemos

δ

x=

0.16

(Rex)1/7

Es interesante comparar este resultado con el resultado que obtuvimos

para capa lımite laminar

δ

x laminar∼ 1

(Rex)1/2

Podemos entonces re-calcular Cf y ponerlo en funcion de x, en lugar de

en funcion de δ.

Cf =0.0027

(Rex)1/7

Tambien podrıamos obtener expresiones para CD y para δ∗.

10.9. Flujo turbulento en tuberıas

El flujo en tuberıas tiene gran importancia practica. Es posible comparar

con la solucion exacta para flujo laminar:

ulaminar =(−∂P/∂z)

4µ(R2 − r2)


C f

Re D

16/Re D

flujo laminar 2000 4000

flujo turbulento

experimentos

"teoría" turbulenta

transición

teoría viscosa

Si calculamos el coeficiente de friccion, Cf para el caso laminar tenemos

Cf =2τw

ρU2

El flujo laminar se vuelve inestable alrededor de Re = 2000. Entre 2000

y 4000 se observa una etapa de transicion. Para Re > 4000 el flujo es com-

pletamente turbulento.

Para un flujo completamente turbulento, la formula empırica de Blasius

nos da

Cf =0.0791

Re1/4

que es valida para 4000 < ReD < 105.

Si embargo podemos utilizar en analisis sobre capa lımite turbulenta visto

en la seccion anterior. Podemos decir, en terminos generales que el flujo

dentro de una tuberıa es para el caso de un gradiente de presion favorable.

Si el radio de la tuberıa es a, podemos hacer un cambio de variables para

considerar un eje coordenado sobre la pared:

y = a− r

por lo que

dy = −dr

10.9. FLUJO TURBULENTO EN TUBERIAS 237

Puesto que se desconoce el perfil de velocidades podemos calcular, en

lugar, una velocidad promedio empleando el flujo volumetrico:

Uprom =Q

A=

1

πa2

∫ a

0

u2πrdr

por lo tanto

Uprom =2

a2

∫ 0

a

u(a− y)dy

Si utilizamos la ley de la pared

u∗1

K1

ln y∗ + C2 =1

K1

lnyuτν

+ C2

entonces

Uprom =2

a2

∫ 0

a

uτ

[1

K1lnyuτν

+ C2

]

(a− y)dy

Ası

Uprom =2

a2K1

∫ 0

a

[a

K1

lnyuτν

+ C2a−y

K1

lnyuτν

− C2y

]

dy

resolviendo tenemos

Uprom = uτ

(1

K1lnauτν

+ C2 −3

2K1

)

Podemos escribir la definicion de Cf como

Cf =2u2τU2prom

por lo tanto

Cf =2

(1K1

ln auτ

ν+ C2 − 3

2K1

)2

Si definimos

ReD =2aUprom

νentonces tambien podemos escribir

Cf =2u2τ

(ν2aRed

)2


despues de un poco de algebra

auτν

=1

2

√

Cf

2ReD

que podemos sustituir en la ecuacion para Cf :

Cf =2

(

1K1

ln

(√Cf

8ReD

)

+ C2 − 32K1

)2

la cual es una ecuacion implıcita que relaciona a Cf con ReD. Esta ecuacion

concuerda muy bien con la expresion empırica.

Podemos escribir una expresion para el esfuerzo en la pared para un flujo

turbulento tal que

τw ∼ ρ3/4U7/4promµ

1/4D−1/4

Esta puede ser comparada com una expresion para flujo laminar

τw ∼ ρ0UpromµD−1

Capıtulo 11

Fuerzas hidrodinamicas:

arrastre y sustentacion

Una de las areas mas importantes en flujos en ingenierıa es el estudio de

la interaccion entre un flujo uniforme y un objeto sumergido.

MMFM:dynamics:Dependence of forces on..

11.1. Flujo alrededor de objetos

Para este tipo de flujos nos interesa, principalmente, conocer que tipo

de fuerzas el flujo ejerce sobre el objeto. Una vez conocidas estas fuerzas se

pueden hacer mejores disenos.

Las fuerzas que un flujo ejerce sobre un objeto se pueden calcular inte-

grando los esfuerzos, tanto normales como cortantes, sobre la superficie:

−→F =

∫

S

τwdS +

∫

S

(−P )dS

Si el cuerpo tiene una forma y orientacion no simetrica, las fuerzas y

momentos que ejerce el fluido tienen componentes en las tres direccion coor-

denadas.

Se acostumbra elegir que uno de los ejes coordenados sea paralelo a la

direccion de la corriente uniforme. La fuerza sobre el cuerpo en la direccion de

239

240CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION

Cuerpo de forma arbitraria

Arrastre

Empuje lateral

Empuje vertical

Corriente uniforme

V

Torque

Torque

Torque

este eje se denomina fuerza de arrastre, FD, y el torque se denomina momento

de balanceo.

Tambien, es usual elegir que una de las direcciones perpendiculares a la

direccion del flujo coincida con la direccion de la gravedad. La fuerza de flujo

que aparece en esta direccion se denomina fuerza de sustentacion, FL. En la

otra direccion coordenada perpendicular, la fuerza que se denomina fuerza

lateral.

Sin embargo, por lo general, los cuerpos sumergidos poseen por lo menos

un eje de simetrıa con respecto al flujo. Para estos casos unicamente aparecen

fuerzas de arrastre y sustentacion y momento de balanceo. Si el cuerpo tiene

dos planos de simetrıa, unicamente aparece la fuerza de arrastre.

En principio, se deseamos saber τw y P para poder integrar sobre la

superficie del objetos debemos resolver las ecuaciones de Navier Stokes y la

ecuacion de conservacion de masa:

ρD~v

Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v

∇ · ~v = 0

Sin embargo, sabemos que no es posible resolver estas ecuaciones para un

flujo general.

Existen soluciones aproximadas tanto para flujo viscoso (Re ≪ 1) como

para flujo ideal (Re≫ 1). Flujos en los cuales la viscosidad es el efecto mas

11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 241

importante son muy limitados. Las soluciones obtenidas bajo la suposicion

de flujo ideal dan predicciones falsas, en particular para el calculo de arrastre.

Una forma de encontrar soluciones para flujos a alto numero de Reynolds

es la combinacion de la solucion del flujo en dos regiones distintas: la region

cercana a la superficie se resuelve a traves de la aproximacion de capa lımite;

y el flujo lejos de la superficie se resuelve utilizando flujo potencial.



CAPA LIMITE

Para el caso mas general, para flujo alrededor de geometrıas no simples,la

tecnica que sigue siendo la mas ampliamente utilizada, por lo menos antes de

que las tecnicas computacionales se hicieran de uso comun, es la experimen-

tal. Simplemente se llevan a cabo experimentos: se coloca un cuerpo con una

geometrıa dada en una corriente uniforme, bien caracterizada y controlada,

y se mide la fuerza directamente. El experimento se repite muchas veces para

diferentes condiciones de flujo y se componen graficas o tablas del coeficiente

de arrastre en funcion de parametros adimensionales.


11.1.1. Fuerza de arrastre

La fuerza de arrastre es la fuerza que resulta de la interaccion de un flujo

y un objeto, que esta en la direccion del flujo.

MMFM:dynamics:Dependence of forces on..

Consideremos el caso de un cuerpo liso con dos planos de simetrıa, por

ejemplo una esfera, inmerso en un flujo incompresible. Si realizamos experi-

mentos para medir la fuerza de arrastre sobre este objeto encontraremos que

FD depende del tamano del objeto L, de las propiedades del fluido, µ y ρ, y

obviamente de la velocidad del flujo, V . En forma funcional podemos decir

que

FD = f1(L, V, µ, ρ)

Si recordamos en teorema de Π-Buckingham, podemos con estas cinco

variables formar dos numeros adimensionales independientes. Podemos en-

tonces re-expresar la relacion funcional para la fuerza de arrastre en forma

adimensional:FD

ρV 2L2= f2

(ρV L

µ

)

= f2 (Re)

Si definimos el coeficiente de arrastre como

CD =FD

12ρV 2A

donde A es el area del objeto expuesta al flujo, A ∼ L2. Podemos decir,

entonces que

CD = f (Re)

Si consideramos que existen efectos de compresibilidad, de la cercanıa con

una superficie libre o una pared, la relacion funcional para el coeficiente de

arrastre estarıa dada por:

CD = f (Re,M, Fr,Π)

donde M es el numero de Mach dado por M = V/c, donde c es la velocidad

del sonido; Fr es el numero de Froude definido por Fr = V/√gH, donde

H es la distancia a la superficie libre; y Π es la relacion entre el tamano del

objeto y la distancia a una pared solida, Π = L/X .


Arrastre debido a rozamiento

Como se discutio con anterioridad, el arrastre sobre un cuerpo es la com-

binacion de esfuerzos viscosos de corte y esfuerzos normales que el flujo ejerce

sobre el cuerpo.

En general ambos efectos estan presentes, pero para algunas configura-

ciones o regımenes de flujo, uno de estos tipos de esfuerzo puede dominar con

respecto al otro.

Consideremos el caso del flujo sobre una placa plana horizontal.

��

U=0

U=U o

y

x

Si no existe gradiente de presion (placa horizontal), entonces la fuerza de

arrastre esta dada por

FD =

∫

S.placa

τwdS

o

CD =

∫

S.placaτwdS

12ρV 2A

Sabemos que τw se puede calcular utilizando un analisis de capa lımite,

tanto para flujos laminares como turbulentos.

Para el caso laminar, sabemos de la solucion de Blasius que

Cf =τw

12ρV 2

=0.664√Rex


Para calcular CD consideremos una placa de largo L y ancho b. Entonces

CD =1

bL

∫ L

0

0.664

√ν

Vx−0.5bdx

por lo que

CD =1.328√ReL

Para flujo turbulento

Cf =0.0027

Rex1/7

entonces

CD =0.00315

ReL1/7



CAPA LIMITE

Arrastre debido a diferencia de presiones

Consideremos ahora el flujo alrededor de una placa perpendicular al flujo.

Para un flujo a numero de Reynolds alto, aparecen zonas de separacion en

la parte posterior de la placa. La separacion esta caracterizada por generar

zonas de baja presion. Entonces, para este tipo de flujos el arrastre sobre

la placa es resultado, principalmente, de la diferencia de presiones entre la

parte anterior y posterior.


��

��

��

��

��

U=0

U=U o

y

x

separación

Aunque la presion en la parte posterior es practicamente constante, esta

no se puede determinar analiticamente. Se debe recurrir a experimentos para

determinar el arrastre.

El coeficiente de arrastre para una placa perpendicular al flujo depende

de la razon del ancho con respecto a la altura (b/h). Para el caso el que

b/h = 1.0, es CD alcanza un valor mınimo de 1.18. La grafica mostrada en la

figura es valida para el caso en que Reh > 1000.

El coeficiente de arrastre para todos los objetos con aristas agudas resulta

esencialmente independiente del numero de Reynolds, debido a que los puntos

de separacion estan fijos a la geometrıa del objetos.

La figura siguiente muestra el CD para varias geometrıas, tambien para

el caso en que Re > 1000.




CAPA LIMITE

11.1.2. Flujo alrededor de una esfera

En la seccion anterior vimos los casos en que el arrastre es producido ya

sea por esfuerzos viscosos o por diferencia de presiones. Para el caso viscoso,

la dependencia de CD con el Re era importante; por otro lado, cuando el

arrastre era generado por gradientes de presion (capa lımite desprendida) el

CD era practicamente constante. MMFM:Bondary layers:separation

Para el caso del flujo alrededor de una esfera, la transicion entre flujo

viscoso y flujo inercial se puede apreciar muy bien. La figura siguiente muestra

la grafica de CD como funcion de Re para una esfera lisa.

Se pueden distinguir varios regımenes de flujo:

1. Re ≪ 1. En este caso en flujo es dominado enteramente por esfuerzos

viscosos. De hecho, para este caso se puede encontrar una solucion


analıtica para el arrastre resolviendo las ecuaciones de Stokes:

FD = 3πµDUo

por lo tanto

CD =24

Re

Esta expresion es la linea recta a la izquierda de la figura. El flujo tiene

simetrıa aguas arriba-aguas abajo.

2. Para Re > 1 la expresion obtenida para el arrastre viscoso comienza

a fallar. Hasta Re ≈ 25 el flujo no se separa en la parte posterior de

la esfera, pero es ligeramente asimetrico. El CD continua disminuyendo

monotonicamente conforme Re aumenta, hasta Re ≈ 1000.

A partir de Re ≈ 25, se observa claramente un desprendimiento de la

capa lımite en la parte posterior de la esfera. La estela de recirculacion

se mantiene laminar y estable para flujos de hasta

3. Para el rango de flujos entre 25 < Re < 130, la estela de recirculacion

es estacionaria. La estela crece.


4. Entre 130 < Re < 400 la estela se vuelve inestable. Existe una compe-

tencia entre la generacion y la difusion y la conveccion de la vorticidad.

Se observa que vortices se desprenden de manera periodica de la parte

posterior de la esfera.

Para estos tres ultimos regımenes de flujo, el arrastre es una combina-

cion de esfuerzos viscosos y de presion.

5. En Re = 1000 el rozamiento viscoso es unicamente 5% del arrastre.

Para flujo con Re > 1000 el coeficiente de arrastre se mantiene practi-

camente constante , CD ≈ 0.4.

Para 1000 < Re < 350000, el flujo es no estacionario y asimetrico.

Ocurre el desprendimiento periodico de vortices.

6. Para Re > 200000, la caracterısticas del flujo cambian por completo.

Para Re ≈ 280000, la capa lımite se vuelve turbulenta. Puesto que para

este regimen existe una mayor agitacion del flujo, la capa lımite se re-

adhiere y disminuye la diferencia de presiones entre la parte frontal y

la posterior. Por tanto, el CD cae precipitadamente.

El comportamiento del flujo alrededor de un cilindro es muy parecido al

de la esfera.


Re=0.16

Re=26.8

Re=118

Re=15000 Re=30000

Re=8.15


11.1.3. Perfiles aerodinamicos

Una forma de reducir el arrastre hidrodinamico es eliminando las zonas

de recirculacion para disminuir el arrastre por diferencia de presiones, que

tiene a dominar para flujo con numero de Reynolds elevado.

La zonas de recirculacion, o de desprendimiento, se pueden eliminar o

reducir se la forma del cuerpo es suave y se evitar las esquinas y cambios

abruptos de direccion. Sin embargo, al anadir regiones solidas para disminuir

las orillas, se aumenta tambien el area superficial, y por tanto, se aumenta

el arrastre por friccion.

Se han realizado muchas investigaciones para determinar la forma de ideal

de un perfil. La mayorıa de estas de forma experimental. La forma optima es

aquella que produce el mınimo de arrastre.

El mınimo coeficiente de arrastre que puede producirse es de aproxima-

damente 0.06, que representa tan solo el 20% del valor encontrado para un

cilindro.


11.1.4. Fuerza de sustentacion

La sustentacion es la fuerza que el flujo ejerce sobre el cuerpo en al direc-

cion perpendicular al flujo. Por lo general, esta direccion es la de la gravedad.

Esta fuerza aparece cuando el segundo plano de simetrıa con respecto al flujo.

El coeficiente de sustentacion esta definido como

CL =FL

12ρV 2Ap

donde Ap es el area proyectada del objeto frente al flujo.

U=U o F L

F D A p

L

Podemos decir que tanto el coeficiente de arrastre con el de sustentacion

son funciones del numero de Reynolds, Re = LUo/ν. Ademas de tambien

tambien depender de la geometrıa, son funciones importantes del angulo de

ataque, α. Este angulo esta definido como el angulo entre la cuerda del perfil

y el vector velocidad de la corriente libre. Debe notarse que el area proyectada

es tambien una funcion de α.

La figura muestra un ejemplo de CL y CD para un perfil aereodinamico

de clasificacion NACA. Puede notarse que CL aumenta como funcion de

alpha, hasta llegar a un valor maximo. Si se continua aumentado el angulo

de ataque, el coeficiente de sustentacion decrece rapidamente. Se dice que el


flujo alrededor del perfil esta ahogado, si el coeficiente de sustentacion decrece

de esta manera.

El ahogamiento ocurre cuando el flujo se separa sobre la mayor parte de

la cara superior del perfil. Conforme el angulo de ataque crece, el punto de

estancamiento se mueve sobre la superficie del perfil.

Podemos tambien mencionar que para perfiles finitos, el coeficiente de

sustentacion es menor que el calculado par perfiles bi-dimensionales.

Aviones

Para diseno de aviones necesitamos considerar dos factores:

El arrastre debe ser bajo. Un alto arrastre implica una potencia mas

alta para mover el avion.

La sustentacion debe ser alta. Si la sustentacion es grande, el avion

puede transportar pesos mas grandes.

Tambien debemos considerar las siguientes condiciones: Durante el des-

pegue y el aterrizaje, la sustentacion debe poder controlarse. Por ejemplo,

durante el aterrizaje, necesitamos tener una alta sustentacion a velocidades

no muy grandes.

Para vuelo permanente tenemos

Wavion = FL = CL1

2ρU2

oA

La velocidad mınima se puede calcular de la expresion anterior cuando

CL = CL(max):

Umin =

√

2W

ρCL(max)A

por tanto la velocidad mınima se puede disminuir si se aumenta A o CL. CL

se puede varias con alas de geometrıa variable.


Sustentacion por giro

Otra manera de generar fuerzas de sustentacion es por el giro del objeto.

La aparicion de una fuerza perpendicular al flujo como resultado del giro de

una esfera o cilindro se conoce como efecto de Magnus. Este efecto se una

ampliamente en los deportes.

Capıtulo 12

Introduccion a flujo

compresible

Un muchos casos de interes practico no es razonable suponer que la den-

sidad del fluido se mantiene constante. En este capıtulo discutiremos algunos

conceptos para determinar cuando podemos suponer que es correcto suponer

que la densidad es constante. Cuando no lo es, se debe de extender el analisis

de flujo para tomar en cuenta este efecto.

Cuando la variacion de densidad es importante y se debe considerar, las

ecuaciones de conservacion son las siguientes:

∂ρ

∂t+ ~v · ∇ρ+ ρ(∇ · ~v) = 0 (12.1)

ρ

(∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v

)

= ρ~g −∇P + (λ+ µ)∇(∇ · ~v) + µ∇2~v(12.2)

ρCp

(∂T

∂t+ (~v · ∇)T

)

= ∇ (k∇T ) +Φ (12.3)

P = ρRT (12.4)

Este sistema de 6 ecuaciones (1 de masa, tres de momemtum lineal, 1

energıa y 1 de estado) y 6 incognitas (densidad, presion, temperatura y ve-

locidad, 3) esta cerrado. En principio, se podrıa resolver pues se tiene un

257

258 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

numero de incognitas igual al numero de ecuaciones disponibles. Sin em-

bargo, como se ha discutido ampliamente, no existen metodos matematicos

para encontrar la solucion. Por lo tanto, se deben de hacer simplificaciones

importantes.

En este capıtulo analizaremos el caso de flujo compresible unidimensional

y no-viscoso.

Antes de arrancar es importante hacer un repaso breve de algunos con-

ceptos importantes de la termodinamica de gases ideales.

12.1. Repaso de termodinamica de gases idea-

les

La ecuacion de estado para un gas ideal es:

P = ρRT

donde R es la constante del gas. Esta es:

R =RU

Mm

donde RU = 8314 J/(KgmolK) es la constante universal de los gases y Mm es

la masa molecular.

Usualmente en termodinamica se usa el inverso de la densidad, v = 1/ρ,

llamado volumen especıfico.

La energıa interna, u, de una sustancia se puede expresar como funcion

de otras dos variables termodinamicas:

u = f(v, T ).

Por lo tanto,

du =

(∂u

∂T

)

v

dT +

(∂u

∂v

)

T

dv

12.1. REPASO DE TERMODINAMICA DE GASES IDEALES 259

lo cual puede escribirse como

du = CvdT +

(∂u

∂v

)

T

dv

dondeCv es la capacidad calorıfica a volumen constante. Para un gas ideal se

puede demostrar que la energıa interna no depende del volumen especıfico,

es decir ∂u/∂v = 0. Entonces,

du = CvdT

En otras palabras, el cambio de energıa interna depende unicamente de los

cambios de temperatura.

Podemos tambien definir la propiedad termodinamica, h, entalpıa como:

h = u+P

ρ

De igual manera, podemos escribir a la entalpıa como una funcion de

otras dos variables termodinamicas.

h = g(P, T ).

Por lo tanto, los cambios de entalpıa se pueden calcular como:

dh =

(∂h

∂P

)

T

dP +

(∂h

∂T

)

P

dT

pero ∂h/∂P = 0 por lo que

dh = CPdT

donde CP es la capacidad calorıfica a presion constante.

De la definicion de entalpıa tenemos

h = u+RT.

Entonces

dh = du+RdT


y usando las expresiones anteriores podemos escribir:

CPdT = CvdT +RdT

por lo tanto:

r = CP − Cv

Si definimos k = CP/Cv, entonces,

CP =kR

k − 1

Cv =R

k − 1

Sabemos que tanto CP como Cv son aproximadamente constantes para

un amplio rango de temperaturas. Por lo tanto podemos calcular el cambio

de energıa interna y entalpıa como:

∆u = Cv(T2 − t1)

∆h = CP (T2 − t1)

Tambien es util definir el concepto de entropıa:

∆s =

∫

rev

δQ

T

Esta ecuacion representa la segunda ley de la termodinamica.

Para proceso no reversible tenemos:

ds ≥ δQ

T

y para uno reversible:

Tds =dQ

mSi el proceso es adiabatico dQ = 0, entonces en un proceso adiabatico

reversible ds = 0 (proceso isentropico). De otra manera, ds > 0.

De la primera ley de la termodinamica sabemos que

∆u = Q−W

12.1. REPASO DE TERMODINAMICA DE GASES IDEALES 261

por lo tanto

du = δQ− δW.

Entonces,

Tds = du+ Pdv

y

Tds = dh− vdP

Por lo tanto

ds = CvdTT

+Rdvv

ds = CPdTT

− RdPP

(12.5)

Si el proceso es isentropico para un gas ideal, entonces

0 = CvdT + Pdv

0 = CPdT − vdP(12.6)

Por lo tanto,

dT =vdP

CP

= −PdvCv

y

fracdPP +CP

Cv

dv

v= 0

Esta expresion se puede integrar:

lnP + ln vk = constante

y finalmente:P

ρk= constante.

Para un proceso isentropico de un gas ideal la relacion P/ρk se mantiene

constante:P1

ρk1=P2

ρk2.


12.2. Propagacion de una perturbacion pe-

quena de presion

Consideremos que existe un dominio que esta originalmente en reposo, a

una presion P y a una densidad ρ. Supongamos que en una region de ese

dominio la presion crece subitamente (una pequena explosion). Por lo tanto

la densidad y la velocidad se veran afectadas:

Pρ

Vx=0

P+dP

ρ+ dρ

dVx

c

x

y

Como resultado del gradiente de presion el fluido tendera a moverse. Por

lo tanto, la frontera entre el fluido sin moverse y el que se esta moviendo

se desplazara. Para el caso mostrado en la figura, el desplazamiento se dara

hacia la izquierda.

Si suponemos que la frontera se desplaza a una velocidad constante pode-

mos realizar un analisis de volumen de control que se desplaza a una velocidad

constante c hacia la derecha.

La ecuacion de conservacion de masa para este volumen de control es:

d

dt

∫

V

ρdV +

∫

S

ρ~v · ~ndS = 0

Si el flujo es estacionario la primera integral es cero. Si consideramos un flujo

uniforme tenemos∫

Sizq

ρ~v · ~ndS +

∫

Sdere

ρ~v · ~ndS = 0

12.2. PROPAGACION DE UNA PERTURBACION PEQUENA DE PRESION263

entonces

−(ρcS) + (ρ+ dρ)(c− dVx)S = 0

por lo tanto

−ρcS + ρcS − ρdVxS + cdρS − dVxdρS = 0

si despreciamos los terminos que involucran productos de cantidades diferen-

ciales, tenemos

dVx = cdρ

ρ

La conservacion de momentum, en la direccion x, para el mismo volumen

de control es:

d

dt

∫

V

ρVxdV +

∫

S

ρVx~v · ~ndS = Fsx + FV x

Si el flujo es estacionario y no hay fuerzas volumetricas en x, tenemos

∫

S

ρVx~v · ~ndS = Fsx

Por lo tanto

−(ρc)cS + (ρ+ dρ)(c− dVx)(c− dVx)S = PS − (P + dP )S

Simplificando tenemos:

−ρcdVxS = −dPS

lo que se puede reescribir como:

dVx =1

ρcdP

Usando el resultado de la ecuacion de conservacion de masa

cdρ

ρ=c

ρdP


y por lo tanto

c2 =dP

dρ

Si consideramos un gas ideal y que el proceso de compresion se llevo a

cabo de manera isentropica tenemos:

P

ρk= constante.

Por tanto,dP

P− k

dρ

ρ= 0.

EntoncesdP

dρ= k

P

ρ= RT

Finalmente

c =√kRT

Para aire a temperatura ambiente, k = 1.4, R = 286.9 J/(Kg K), T = 293

K, c = 343.1 m/s.

De forma mas general, para otros fluidos y solidos podemos emplear la

definicion del coeficiente de compresibilidad, Ev:

Ev =∂P

(∂ρ)/ρ.

Por lo tanto,

c =

√

Ev

ρ

Para agua, ρ = 1000 Kg/m3, Ev = 2.2× 109, c = 1483 m/s.

12.2.1. Emision sonica y tipos de flujo

Si consideramos la existencia de una fuente de sonido (perturbaciones

de presion), esta viajara a la velocidad c en todas las direcciones. Esto se

muestra esquematicamente en la figura abajo. Si cada pulso de sonido esta


separado por un instante de tiempo ∆t, la separacion entre los diferentes

pulsos de presion estara dado por una distancia radial cδt. El frente de cada

onda sera entonces un cırculo cuyo radio crecera el en tiempo. Los frentes de

onda consecutivos seran entonces cırculos concentricos.

b

Posicion de un pulso sonicodespues de un tiempo ∆t.

Objeto

(V=0)

c(∆t)

c(2∆t)c(3∆t)

Ahora supongamos que el objeto que esta emitiendo pulsos sonicos se

mueve a una velocidad V de izquierda a derecha, como se muestra en la figu-

ra. El objeto se mueve a V < c. El pulso sonico se emitira de lugares distintos

pero la propagacion se dara de la misma manera, radialmente uniforme. No-

te que los pulsos estan menos espaciados en la direccion de movimiento del

objeto. Por lo tanto la frecuencia del sonido enfrente al objeto se incremen-

ta, mientras que detras del objeto la frecuencia es menor. Este es el efecto

Doppler.

b

Objeto se mueve(V<c)

c(∆t)

c(2∆t)c(3∆t)

b b b

V(3∆t)

V(2∆t)

V(∆t)

Ahora consideremos el caso en que la velocidad del objeto es igual a la


velocidad de propagacion del sonido (V = c). En este caso los frentes de

onda no se pueden propagar por enfrente al objeto. Los frentes de onda se

‘enciman’ formando una frontera a traves de la cual la presion se incremen-

ta fuertemente. A esta frontera se le llama onda de choque. Por tanto, un

observador que se encuentre enfrente del objeto en movimiento no escuchara

ningun sonido hasta que el objeto llegue a su posicion.

b

Objeto se mueve(V=c)

c(∆t)

c(2∆t)c(3∆t)

b b b

V(3∆t)

V(2∆t)

V(∆t)

Frontera de avance


Y finalmente, consideremos el caso en que el objeto se mueve a una velo-

cidad mayor a la del sonido (V > c). El objeto se adelanta a los frentes de

sonido que va generando. La frontera de frentes de onda se inclina, formando

un cono de Mach. Por fuera de esta region no se escucha sonido (zona de

silencio).

b

Objeto se mueve(V>c)

c(∆t)

c(2∆t)c(3∆t)

b b b

V(3∆t)

V(2∆t)

V(∆t)

Frontera de avance

α

El angulo del cono de de Mach se puede calcular usando trigonometrıa:

sinα =c∆t

V∆t=

c

V

.

La razon entre la velocidad del objeto (o del flujo) y la del propagacion

del sonido sirve entonces para caracterizar la fenomenologıa de flujos com-

presibles. El numero adimensional, Ma, se define como:

Ma =V

c

Asi podemos definir diferentes regımenes de flujo:

Ma < 1, flujo subsonico. Ventiladores.

Ma > 1, flujo supersonico. Compresores, aviones.

0.9 < Ma < 1.1, flujo transonico.

Ma > 5, flujo hipersonico. Entrada a la atmosfera.


12.3. Flujo compresible unidimensional esta-

cionario

Un flujo unidimensional es aquel en que la velocidad unicamente cambia

en una de las direcciones coordenadas. Es decir

~v = ~v(x; t) o ~v(x; t)

En este caso, por lo tanto, consideramos que el flujo es uniforme en la

direccion perpendicular al movimiento.

Consideremos un flujo a traves de un canal mostrado esquematicamente

en la figura:

ρV AρV A+d(ρV A)

dx

PA PA + d(PA)

τPdx

x

δQδW

(P+dP/2)dA

Considerando un volumen de control de tamano infinitesimal en x, pode-

mos realizar balances de masa, momentum y energıa.

Conservacion de Masa

Para la conservacion de masa tenemos, para el caso estacionario:∫

S

ρ~v · ~ndS = 0

12.3. FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIO 269

Entonces

−(ρV A) + (ρV A) + d(ρV A) = 0,

por lo tanto

d(ρV A) = 0 ⇒ m = constante

Conservacion de Momentum Lineal

Si consideramos un flujo estacionario y sin fuerzas volumetricas tenemos

para el volumen de control mostrado:∫

S

ρux ~vrel · ~ndS = Fx

El lado izquierdo de la ecuacion da:∫

S

ρux ~vrel · ~ndS = −[ρV 2A] + [ρV 2A+ d(ρV 2A)] = d(ρV 2A),

el cual, usando el resultado de la ecuacion de conservacion de masa, se puede

escribir como:

d(ρV 2A) = d(mV ) = mdV = ρV AdV.

Las fuerzas en x, Fx, son:

Fx = [PA]− [PA+ d(PA)] + [(P + dP/2)dA)]− [τPdx]

Simplificando y eliminado productos de diferenciales tenemos:

Fx = −d(PA) + PdA− τPdx = −AdP − τPdx.

El ultimo termino de la expresion anterior representa la perdidas por

friccion viscosa. Este se puede reescribir usando el factor de friccion para

flujo en tuberıas, f :

τPdx =

(ρV 2

2

)(4fA

Dh

)

dx

donde Dh es el diametro hidraulico, Dh = 4A/P .


Por lo tanto, la ecuacion de conservacion de momentum lineal resulta en:

dP + ρV dV +

(ρV 2

2

)(4f

Dh

)

dx = 0 (12.7)

Si el flujo es inviscido, sin friccion, la ecuacion anterior se simplifica a:

dP + ρV dV = 0

o ∫dP

ρ+V 2

2= constante (12.8)

la cual es, de hecho, la ecuacion de Bernoulli para un fluido compresible.

Si el fluido es incompresible, entonces recuperamos la ecuacion clasica de

Bernoulli:P

ρ+V 2

2= constante

Para la ecuacion de Bernoulli compresible, podemos considerar la ecua-

cion de gas ideal, P = ρRT para evaluar la primera integral:

RT lnP

Po+V 2

2= C

donde Po es una presion de referencia. Esta ecuacion es, entonces, la ecuacion

de Bernoulli para un flujo compresible isotermico.

Si consideramos en caso de un flujo isentropico, sabemos que P/ρk =

constante. Entonces, la integral∫dP/ρ se puede escribir como:

∫dP

ρ= C1/k

∫

P−1/kdP = C1/k

(k

k − 1

)(

Pk−1k − P

k−1k

o

)

pero la constante C esta dada por C = P/ρk = Po/ρko , entonces

(k

k − 1

)P

ρ+V 2

2= constante

y finalmente,

CpT +V 2

2= constante (12.9)

es la ecuacion de Bernoulli para el flujo isentropico de un gas ideal.

12.4. RELACIONES PARA FLUJO ISENTROPICO DE UNGAS IDEAL271

Conservacion de Energıa

La ecuacion de conservacion de energıa para un volumen de control es:

d

dt

∫

V

ρedV+

∫

S

ρ(h+ V 2/2 + gz) ~vrel · ~ndS = Q− W

Si el flujo es estacionario, la primera integral es cero. Despreciando los

efectos gravitacionales, el flujo de energıa neto a traves de las paredes del

volumen de control es:∫

S

ρ(h+V 2/2) ~vrel·~ndS = m[−[(h + V 2/2)] + [(h+ V 2/2) + d(h+ V 2/2)]

]= md(h+V 2/2)

Por lo tanto:

d(h+ V 2/2) = δq − δw.

Para un flujo adiabatico y sin trabajo (o sea isentropico):

h+V 2

2= constante

lo cual es consistente con la ecuacion obtenida a traves de la conservacion de

momentum lineal ya que h = CPT para un gas ideal.

12.4. Relaciones para flujo isentropico de un

gas ideal

La ecuacion de Bernoulli para el flujo isentropico de un gas ideal se puede

reescribir como:

CPT +V 2

2= constante

Considerando la definicion del numero de Mach, podemos reescribir esta

relacion como:

CPT +(kRT )Ma2

2= constante

y de la relacion:

R =k − 1

kCP


podemos escribir:

T

(

1 +k − 1

2Ma2

)

= constante

Considerando queP

ρk= constante

podemos escribir

P = (constante)Tk

k−1

y

ρ = (constante)T1

k−1

para dar:

P

(

1 +k − 1

2Ma2

) kk−1

= constante

y

ρ

(

1 +k − 1

2Ma2

) 1k−1

= constante.

12.4.1. Propiedades isentropicas de estancamiento

Es util tener propiedades de referencia en un flujo compresible. Estas se

pueden obtener de las relaciones anteriores suponiendo que toda la energıa

cinetica del flujo se transforma en energıa termica o de presion. Para esto

podemos hacer el balance entre dos puntos del flujo y suponemos que en uno

de los puntos la velocidad del flujo es cero:

Entonces:

T

(

1 +k − 1

2Ma2

)

= To

(

1 +k − 1

2(0)2

)

por lo tanto:

T

To=

(

1 +k − 1

2Ma2

)−1

12.4. RELACIONES PARA FLUJO ISENTROPICO DE UNGAS IDEAL273

y de manera analoga:

P

Po=

(

1 +k − 1

2Ma2

) k1−k

y

ρ

ρo=

(

1 +k − 1

2Ma2

) 11−k

12.4.2. Propiedades sonicas

De manera similar, podemos calcular otra condicion de referencia que co-

rresponda a punto del flujo en el cualMa = 1. Estas condiciones se identifican

con el superındice ‘*’.

Entonces,

T ∗

To=

(

1 +k − 1

2

)−1

y

P ∗

Po=

(

1 +k − 1

2

) k1−k

y

ρ∗

ρo=

(

1 +k − 1

2

) 11−k

Es interesante notar que las propiedades sonicas unicamente dependen

del tipo de gas (el valor de k). Entonces para aire (k = 1.4):

T ∗

To= 0.8333

yP ∗

Po= 0.5283

yρ∗

ρo= 0.6339


Ejemplo

Suponga que existe un flujo isentropico de aire de un punto 1 a un punto

2 en un ducto. Si en el punto 1:

Ma = 0.3

A=0.001 m2

P=650 kPa

T=62 oC

calcule las propiedades del flujo en el punto 2, considerando que Ma2 = 0.8.

Solucion. Si el flujo entre 1 y 2 ocurre de manera isentropica, las condi-

ciones de estancamiento son las mismas para ambos puntos:

(To)1 = (To)2 = T1(1 +k − 1

2Ma2).

Al sustituir valores, tenemos

(To)1 = (To)2 = 341K.

Una vez conocida la condicion de estancamiento, podemos inferir las pro-

piedades en el punto 2 (pues se conoce Ma2):

T2 =(To)2

1 + k−12Ma22

= 302K

Consecuentemente:

c2 =√

kRT2 = 348m/s

y

V2 =Ma2c2 = 278m/s

La presion P2 se puede calcular de la relacion isentropica:

P2 = P1

(T2T1

) kk−1

= P1(0.696) = 452kPa.

El area en 2 es

A2 = A1ρ1ρ2

V1V2

=

12.5. FLUJOS CON CAMBIO DE AREA 275

Comparasion con un flujo incompresible

Consideremos la ecuacion de Bernoulli incompresible

Po = P +ρV 2

2

Entonces,Po

P= 1− ρ

P

V 2

2= 1− V 2

2RTy considerando la definicion del numero de Mach podemos escribir

Po

P= 1− 1

2kMa2

De la seccion anterior tenemos que

Po

P=

(

1− k − 1

2Ma

) kk−1

MOSTRAR FIGURA.

12.5. Flujos con cambio de area

Una parte interesante del flujo compresible es el efecto del cambio de area

en las propiedades del flujo.

Consideremos la ecuacion de conservacion de momentum lineal (Eqn. xx)

obtenida anteriormente:dP

ρ+ V dV = 0

entoncesdP

ρV 2= −dV

V

De la ecuacion de conservacion de masa (Eqn. xxx), tenemos que

m = ρV A = textconstante.

Esta ecuacion se puede reescribir

ln ρ+ lnA+ lnV = ln(constante)


que al diferenciar da:dρ

ρ+dA

A+dV

V= 0

odA

A= −dρ

ρ− dV

V

Usando la ecuacion de conservacion de momentum lineal podemos rees-

cribir:dA

A=

dP

ρV 2− dρ

ρ

El ultimo termino del lado derecho se puede reexpresar como:

dρ

ρ=dP

ρc2.

Por lo tanto:dA

A=

dP

ρV 2

(1−Ma2

)

o en terminos de la velocidad

dA

A= −dV

V

(1−Ma2

)(12.10)

Con base en las expresiones anteriores podemos analizar el comporta-

miento del flujo para el caso subsonico y supersonico.

Para Ma < 1 tenemos que (1−Ma2) > 0 (positivo), entonces:

• Si el conducto es convergente, dA negativo, entonces dV sera posi-

tivo: la velocidad aumenta. Tambien dP sera negativo, la presion

decae.

• Si el conducto es divergente, dA positivo, entonces dV sera ne-

gativo: la velocidad disminuye. En este caso dP sera positivo: la

presion crece.

Para Ma > 1 tenemos que (1−Ma2) < 0 (negativo), entonces:

12.6. TOBERA CONVERGENTE-DIVERGENTE 277

• Si el conducto es convergente, dA negativo, entonces dV sera nega-

tivo: la velocidad disminuye. Tambien dP sera positivo, la presion

aumenta.

• Si el conducto es divergente, dA positivo, entonces dV sera posi-

tivo: la velocidad crece. En este caso dP sera negativo: la presion

decrece.

¿Que pasa si Ma=1? Para este caso

dA

dV= 0

Esto lo podemos interpretar como un mınimo en el area. En otras pala-

bras Ma = 1 unicamente se puede alcanzar en la garganta de un canal

convergente-divergente.

12.6. Tobera convergente-divergente

Consideremos la tobera mostradas en la figura.

V < c

V = cacceleracion acceleracion

V < c

Del lado izquierdo, el flujo entra a una velocidad subsonica. Al moverse a

traves de una tobera convergente el flujo se acelera. Al llegar a la garganta, el

flujo puede, o no, alcanzar la condicion sonica. Si no lo hace, la velocidad agua

abajo de la garganta vuelve a disminuir. Si si alcanza la velocidad sonica en

la garganta, entonces el flujo se hace supersonico y acelera aun mas al pasar

por una tobera divergente.


Podemos determinar si el area en la garganta es lo suficientemente pe-

quena para que se de la condicion sonica en ella. Para que Ma = 1 en la

garganta el area tiene que ser crıtica: A = A∗.

Entonces para m =constante, tenemos:

A∗

A=ρV

ρ∗c=

1

Ma

ρ

ρ∗

√

T ∗

T

la cual se puede manipular resultando en:

A∗

A=

1

Ma

[

1 + k−12Ma2

1 + k−12

] k+12(k−1)

12.7. Flujo ahogado

Consideremos ahora el flujo de un fluido compresible desde un contenedor

a presion, hacia el medio ambiente. El medio exterior se encuentra a una

presion PB y el tanque se encuentra a condiciones de estancamiento: Po, To

y ρo.

Condicion ambiental

PB

Condicion deestancamiento

Po

Toρo

Condicion degarganta

Podemos identificar varias condiciones de flujo:

Cuando Po = PB, no hay flujo porque no hay un gradiente de presion

que impulse al flujo. Conforme PB decrece (o Po crece), se genera una

12.7. FLUJO AHOGADO 279

onda de presion hacia adentro del tanque y el flujo comienza y se mueve

hacia afuera.

Si la razon PB/Po decrece podemos esperar que la velocidad del flujo en

la garganta, Vtr, crezca y por lo tanto que el gasto masico, m, tambien

crezca.

Dentro del tanque, y hacia la garganta, podemos esperar que el flujo se

subsonico pues la condicion de inicio es de estancamiento. Por tanto, la

presion en la garganta sera entonces Ptr = PB. Esto lo podemos explicar

de la siguiente manera: si Ptr > PB entonces el flujo se expandirıa

despues de la garganta y la velocidad del chorro se reducirıa, y por lo

tanto la presion crecerıa. Entonces la condicion de que la presion debe

de ser PB no se cumplirıa. Por lo tanto la suposicion es incorrecta.

Si PB/Po continua decreciendo, eventualmente la velocidad del flujo en

la garganta alcanzara la velocidad sonica (Vtr = V ∗ = c). Entonces la

presion en la garganta sera

Ptr

Po

=PB

Po

=P ∗

Po

=

(

1 +k − 1

2

) k1−k

y la velocidad en la garganta sera:

Vtr = V ∗ = c =√kRT ∗

Aunque PB/Po continue disminuyendo, la velocidad en la garganta no

podra incrementarse por encima de valor sonico. A esta condicion se le

denomina flujo ahogado.

El maximo flujo posible es entonces:

mA = ρ∗A∗V ∗

Las propiedades sonicas se calculan con las expresiones desarrolladas

anteriormente.


La siguiente figura muestra como es que cambia el gasto masico como funcion

de la razon Pb/Po.

FIGURA.

Una manera sencilla de comprobar si el flujo esta ahogado o no consiste

en verificar si la presion exterior es menor o no que la presion sonica. En

otras palabras si

Pb

Po≤ P ∗

Po=

(

1− k − 1

2

) k1−k

entonces el flujo esta ahogado (Ptr = Po).

Ejemplo:Se tiene un contenedor a 1 MPa y una temperatura de 333 K

con aire. Si se abre un agujero de 0.001 m2 determinar el gasto masico

de salida si la presion ambiental es 590 kPa. Determine si el flujo esta

ahogado o no. Repita el calculo para 500 kPa.

El primer paso es verificar si el flujo esta ahogado. Para ello calcula-

mosPB

Po

=5.9× 105

1.0× 106= 0.591 > 0.528.

Por lo tanto el flujo no esta ahogado.

Entonces Ptr = PB. Usando la relacion:

Ptr

Po

=

(

1 +k − 1

2Ma2tr

) k1−k

podemos despejar el Matr , lo que resulta en Matr = 0.9.

La temperatura en la garganta se obtiene de:

ToTtr

=

(

1 +k − 1

2Ma2

)

por lo que Ttr = 287 K.

12.8. OTROS TEMAS DE INTERES EN FLUJO COMPRESIBLE 281

El gas masico es m = ρtr(Matrctr)Atr por lo tanto

m =

(Ptr

RTtr

)

Matr√

kRTtrAtr = 2.20kg/s

Ahora, si PB = 500 kPa:

PB

Po

=5.0× 105

1.0× 106= 0.50 < 0.528,

que indica que el flujo esta ahogado.

Para este caso, mmax = ρ∗V ∗Atr. Entonces, usando

T ∗

To=

(

1 +k − 1

2

)−1

tenemos T ∗ = 277.5 K por lo que:

V ∗ = c =√kRT ∗ = 333.9m/s

y de

ρ∗

ρo=

(

1 +k − 1

2

) 11−k

encontramos que ρ∗ = 0.2ρo. Entonces,

m = 3.93kg/s

12.8. Otros temas de interes en flujo compre-

sible

Este capıtulo es solo una introduccion breve al tema general de dinamica

de gases y flujo compresible. Hay un gran cantidad de temas que no se han

cubierto en estas notas. Si se desea profundizar en estos temas o continuar con

otros se debe de consultar algun libro especializado. Consultar por ejemplo

Liepmann and Roshko [2002].

Apendice A

Repaso de algunos conceptos

utiles de calculo vectorial

A.0.1. Funciones Escalares y Vectoriales

Notacion:

1. Un conjunto de elementos x1, x2,..., xn se representa como: V={x1, x2, ..., xn}

2. El elemento x pertenece a V

x ∈ V, x ∈ V

Campo Escalar

Un campo escalar F es un conjunto no vacıo de elementos con dos leyes

de combinacion llamadas suma y multiplicacion que satisfacen las siguientes

condiciones.

Un campo escalar F es un conjunto no vacıo de elementos con dos leyes

de combinacion llamadas suma y multiplicacion que satisfacen las siguientes

condiciones:

1. Suma: A cada par de elementos a,b ∈ F le corresponde un solo ele-

mento a+b llamado suma de a y b. Dicha suma satisface las siguientes

283

284APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL

propiedades:

a) Conmutatividad: a+b=b+a

b) Asociatividad: (a+b)+c=a+(b+c)

c) Existe ademas un elemento llamado 0 tal que a+0=a ∀ a ∈ F

Para cada elemento a existe un elemento -a tal que a+(-a)=a-a=0

2. Multiplicacion: A cada par de elementos a,b ∈ F les corresponde un

elemento unico llamado el producto denotado por ab o a·b

el cual cumple con las siguientes propiedades:

a) Conmutatividad: ab = ba

b) Asociatividad: (ab)c=a(bc)

c) Distributiva (con respecto a la suma): a(b+c)=ab+ac

d) Existe un elemento llamado 1 tal que a·1=a para cada elemento

a existe un elemento a−1 tal que a · a−1=1

Los elementos de F se llaman escalares.

Espacio o campo vectorial

Un espacio vectorial V es un conjunto de elementos {u,v,w...} llamados

vectores que satisfacen las siguientes reglas operacionales:

1. Suma: A cada par u,v ∈ V le corresponde un vector asociado u+v

llamado suma, el cual cumple con las siguientes propiedades:

a) conmutativa: u+v 6=v+u

b) asociativa: (u+v)+w=u+(v+w)

285

A V le corresponde un vector unico o, llamado el vector nulo tal que:

u+0=u

A cada elemento de u ∈ V le corresponde un vector -u tal que:

u+ (−u) = u− u = 0

2. Multiplicacion escalar: A cada u ∈ V y cada escalar α ∈ F le corres-

ponde un vector αu llamado el producto escalar, con las siguiente pro-

piedades:

a) conmutativa:

α(βu) = β(αu)

b) asociativa:

α(βu) = (αβ)u = β(αu)

c) distributiva:

α+ β)u = αu+ βu

α(u+ v) = αu+ αv

Existe un vector unitario 1 tal que asociado a un vector u ∈V

1u = u

y su negativo (-1)

-1u = −u

El producto del escalar 0 y un vector u es el vector nulo

0u = 0


A.0.2. Funciones

Consideremos dos conjuntos (espacios vectoriales) U y V. Una funcion (o

mapeo) f´ es una operacion o regla que asocia a cada elemento de x ∈ U un

elemento unico y ∈ V

U V

x y

f: U V

U es el dominio de f

V es el rango de f

Los elementos x pueden ser escalares, vectores, etc. Es decir x puede ser

un conjunto de n polos

x=(x1,x2,...,xn)

Si el mapeo de U a V cubre todo V se dice que es “sobre”, es decir para

cada elemento y ∈ V existe por lo menos un x ∈ U tal que y=f(x). De otra

manera el mapeo U a V es “dentro”.

A.0.3. Transformacion lineal

Es una funcion o mapeo entre dos espacios vectoriales U, V la cual asocia

a cada x ∈ U en elemento unico T(x) ∈ U tal que ∀ x1, x2 ∈ U y ∀ a,b ∈ F

tenemos

T(ax1+bx2)=aT(x1)+bT(x2)

T(x) es la imagen de x bajo T si x ∈ V entonces cada vector x ∈ U tal

que T(−x) = x se llama la imagen inversa de x.

287

Nota: Una transformacion lineal mapea el origen en U al origen en V.

En este curso U=V=R3

Transformacion identidad T (U) = U ⇒ I

Transformacion inversa TT−1=I

si ∀ T ∃ T−1 – T es no singular.

En una transformacion lineal si U≡U transformacion lineal sobre si mismo.

R3 → R3

Para toda T se puede representar por matrices T(R3)

Para cada T existiran 3 eigenvalores (valores principales) y 3 eigenvectores

(vectores principales)

T =

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

Una transformacion lineal puede interpretarse como un tensor

U V

x1 x2

x3

y1

y2

y3

T(x)=y

Lımites

Definicion:

lımx→ x0

F (x) = L


U V

X 0 L

lımx→ x0

F (x) = L

si dado

ǫ > 0∃δ > 0

tal que

0 <| x < x0 |< δ ⇒| f(x)− L |< ǫ

Propiedades:

lim(f1 + f2) = limf1 + f2

lim f1 · f2 = limf1 · limf2lim Kf1 = Klimf1

Continuidad

La funcion f es continua en x0 si:

1. f esta definido en x0

2. si lımx→x0 f existe

3. lımx→ x0f=f(x0)

289

Derivada

Definicion:∂f

∂x= lım

x→ x0

f(x0)− f(x)

x0 − x

= lımx→ x0

f(x+∆x)− f(x)

∆x

Funciones de varias variables

1. Lımites

2. Continuidad

3. Derivada

Derivadas parciales

La derivada parcial de una funcion con respecto a una de sus variables

en el punto (x0, y0) es la derivada ordinaria de dicha funcion con respecto a

dicha variable cuando la otra variable se mantiene fija:

Sea u=f(x, y)

∂f

∂x

∣∣∣∣x=x0y=y0

∂f(x, y0)

∂x

∣∣∣∣x=x0

lımh→ h0

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)

h


∂f

∂y

∣∣∣∣x=x0y=y0

∂f(x, y0)

∂y

∣∣∣∣y=y0

lımh→ h0

f(x0, y0 + h)− f(x0, y0)

h

Derivadas parciales sucesivas

Sea u=u(x,y,z) una funcion diferenciable∂u∂x,

∂u∂y ,

∂u∂z son sus derivadas

parciales (tambien funciones de x,y,z)

1.∂

∂x

(∂u

∂x

)

=∂2u

∂x2

2.∂

∂y

(∂u

∂x

)

=∂2u

∂y∂x

3.∂

∂z

(∂u

∂x

)

=∂2u

∂z∂x

Teorema de Schwarz

Si u=u(x,y) es tal que en la velocidad del punto (a,b)

1.∂u

∂x=∂u

∂y

2.∂2u

∂y∂x

291

es continua, entonces existe∂2u∂x∂y en (a,b) y ademas

∂2u(a,b)∂y∂x

Gradiente

El gradiente si f(x,y,z) es una funcion escalar de 3 variables, su gradiente

denotado como ∇f o grad f es el vector:

∇f =∂f

∂xi+

∂f

∂yj +

∂f

∂zk

El operador nabla ∇ se define como:

∇f =∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

Notas: ∇ no es un vector, es un operador. Por ejemplo si φ es un campo

escalar:

φ∇ es un operador mientras que:

∇φ es una funcion vectorial llamada gradiente.

De igual manera si V es un campo vectorial V·∇ es un operador mientras

que ∇·V es una funcion escalar.

Multiplicando ∇ por la izquierda da operadores

Multiplicando ∇ por la derecha da funciones escalares o vectoriales.

Reglas algebraicas para gradientes:

1. ∇(Kf) = K∇f

2. ∇(f + g) = ∇f +∇g

3. ∇(f − g) = ∇f −∇g


4. ∇(fg) = f∇g + g∇f

Derivada Direccional

Sea f=f(x,y) y si u=(cosθ,senθ) es un vector unitario, entonces la derivada

direccional de f en la direccion u, denotada Duf(x,y) esta dada por:

Duf(x, y) = lımt→ 0

f(x+ tcosθ, y + tsenθ)− f(x, y)

t

las derivadas parciales son casos especiales de la derivada direccional si

θ = 0u =< 1, 0 >= i de la de definicion:

if(x, y) = lımt→ 0

f(x+ t, y)− f(x, y)

t=∂f(x, y)

∂x

Si θ = π2⇒ u =< 0, 1 >= j

Djf(x, y) = lımt→ 0

f(x, y + t)− f(x, y)

t= fy(x, y)

Teorema: si f es una funcion diferenciable de 2 variables y u=< cosθ, senθ >

entonces:

Duf(x, y) =∂f

∂xcosθ +

∂f

∂ysenθ

Duf(x, y) = ∇f · u

293

Nota: ∇f · u =| ∇f || u | cosϕ; donde ϕ es el angulo entre u y ∇fcomo u es unitario ∇f · u =| ∇f | cosϕPuesto que -1 < cosϕ < 1 el valor maximo de la derivada direccional ocurre

cuando cos ϕ =1 ⇒ =0 es decir cuando ∇ f y u tengan la misma direccion.

Entonces:

u =∇f

| ∇f |es la direccion en la cual f esta aumentado. De igual manera la direccion−∇f|∇f | en la cual f disminuye.

Ejercicio

Un estudiante de Ing. esta parado en un salon cuya distribucion de tem-

peratura es: T(x,y)=200-x2-2y2. Si el estudiante esta parado en (x,y)=(-1,2)

¿hacia donde debe correr para aliviarse del calor?

∇ = i∂

∂x+ j

∂

∂y

∇T = i(−2x) + j(−4y)

| ∇T |=√

(2x)2 + (4y)2

Para que f disminuya

−∇f| ∇f | =

2xi+ 4yj√

(2x)2 + (4y)2

en (x,y)=(-1,2) tenemos

−∇f∇f =

−2i+ 8j√4 + 64

Por lo tanto el estudiante tendra que correr en la direccion −i+ 4j.


A.0.4. Mas sobre funciones vectoriales

Una funcion vectorial ~f(t) asigna a cada escalar t en un intervalo o do-

minio, un vector ~f(t) llamado el vector de ~f en t. Ası:

~f(t) = [f1(t), f2(t), f3(t)] = f1(t)i+ f2(t)j + f3(t)k

Limite de una funcion vectorial. Sea ~f(t) una funcion vectorial definida

para todo t en la vecindad del punto t0, excepto posiblemente en el punto

mismo. Se dice que un vector ~a es el lımite de la funcion ~f(t) cuando t→ t0

si

lımt→t0

~f(t) = ~a

Si y solo si dado ǫ > 0∃ δ > 0 tal que | ~f(t)−~a |< ǫ cuando 0 <| t−t0 |< δ.

Continuidad

La funcion ~f(t) es continua en t = t0 si esta definida en un entorno a t0

y ademas

lımt→t0

~f(t) = ~f(t0)

Diferenciacion de vectores

La derivada de una funcion vectorial ~f(t) es:

~f ′(t) =d

dt= ~f(t) = lım

△t→ 0

~f(t+△t)− ~f(t)

△t

si

~f(t) = f1(t)i+ f2(t)j + f3(t)k

~f ′(t) = f ′1(t)i+ f ′

2(t)j + f ′3(t)k

295

Reglas de derivacion

d

dt(~u · ~v) = ~u

d~v

dt+ ~v

d~u

dt

Ejemplo: sea ~u = xi+ yj+ zk un vector posicion de una partıcula en R3,

por tanto:

d~u = dxi+ dyj + dzk

La velocidad de la partıcula sera:

~v =d~u

dt=dx

dti+

dy

dtj +

dz

dtk

y la aceleracion

~a =d2~u

dt2=d2x

dt2i+

d2y

dt2j +

d2z

dt2k

Ejemplos de campos vectoriales

Un campo vectorial A en Rn es un conjunto de elementos (vectores) que

cumplen con ciertas reglas de asociacion. Un mapeo o funcion F : AǫRn → Rn

asigna a cada elemento de x de A un vector F (x) Si n=3 F es un espacio

vectorial 3-D.

Ejemplo:

1. Campo de velocidades en una tuberıa. Si

v 6= v(t)

(estacionario)

v = v(x)

Flujo laminar totalmente desarrollado en una tuberıa circular.

v(r, θ, z) =−△P4µ

(a2 − v2)

No estacionario v = v(x, t).


2. Sea Temperatura una funcion escalar T(x,y,z). El flujo de calor es un

campo vectorial. J = −K∇T donde K condicion termica.

3. Campo Gravitacional. Describe la fuerza de atraccion de la tierra sobre

una masa m.

F =mMG

r3r

r(x, y, z) vector posicion r.

Divergencia

Dado un campo vectorial

f = f1i+ f2j + f3k

la divergencia de f es un campo escalar.

divf = ∇ · f =∂f1∂x

+∂f2∂y

+∂f3∂z

La divergencia tiene importantes interpretaciones fısicas si f = v repre-

senta el campo de velocidades de un fluido entonces div v representa la razon

de expansion por unidad de volumen del fluido.

1. ∇ · (v) < 0 el fluido se esta comprimiendo.

2. ∇ · (v) > 0 el fluido se esta expandiendo.

3. ∇ · (v) = 0 fluido incompresible.

Lıneas de flujo

Si f es un campo vectorial, la trayectoria c(t) es una lınea de flujo si

c′(t) = F (c(t)). Si F es el campo de velocidades c es tangente al vector

velocidad en cada punto.

297

u

c(t)

Rotacional de un campo vectorial

Sea ~f = f1i+ f2j + f3k

Su rotacional es un campo vectorial definido como:

rot~f = ∇× ~f =

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

f1 f2 f3

∇× ~f = (∂f3∂y

− ∂f2∂z

)i+ (∂f3∂x

− ∂f1∂z

)j + (∂f2∂x

− ∂f1∂y

)k

El rotacional nos da la razon de giro, si ~f = ~v entonces ∇× v = w que es

la vorticidad (fısicamente es la intensidad de circulacion).

Ejercicio:

1. ∇× (∇f)=0 rotacional de un gradiente

2. ∇ · (∇× f)=0 gradiente de un rotacional.

Divergencia de un gradiente (Laplaciano)

Sea f un campo escalar, el operador Laplaciano ∇2 se define como la

divergencia del gradiente de f:

∇ · (∇f) = ∇2f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2


Coordenadas curvilıneas

Todos estos conceptos son validos independientemente del sistema coor-

denado en uso:

1. Cilındricas.

2. Esfericas.

299

Algunas identidades vectoriales

Algunas identidades vectoriales; f, g: campos escalares, f , g: campos vec-

toriales

1. ∇(f + g) = ∇f +∇g

2. ∇(cf) = c∇f

3. ∇(fg) = f∇g + g∇f

4. ∇(f/g) = (g∇f + f∇g)/g2; para g(x) 6= 0

5. ∇ · (f + g) = ∇ · f +∇ · g

6. ∇× (f + g) = ∇× f +∇× g

7. ∇ · (f f) = f∇ · f + f · ∇f

8. ∇ · (∇× f) = 0

9. ∇ · (f × g) = g · (∇× f)− f · (∇× g)

10. ∇× (f f) = f∇× f +∇f × f

11. ∇× (∇f) = 0

12. ∇2(fg) = f∇2g + g∇2f + 2(∇f · ∇g)

13. ∇ · (∇f ×∇g) = 0

14. ∇ · (f∇g − g∇f) = f∇2g − g∇2f

15. ∇× (f × g) = f(∇ · g)− g(∇ · f) + (g · ∇)f − (f · ∇)g

16. ∇2f = ∇(∇ · f)−∇× (∇× f)

17. ∇× (∇× f) = ∇(∇ · f)−∇2f

18. Si r es el vector correspondiente al punto P(x,y,z):


a) ∇ · r = 3

b) ∇× r = 0

c) f · ∇r = f

301

A.0.5. Integrales de lınea

Sea ~F un espacio vectorial y ~C una trayectoria diferenciable en [a,b]. La

integral de ~F sobre C es:

∫

C

~F · d~s =∫ b

a

~F ( ~C(t)) · ~C ′(t) dt

o bien si~F = f1i+ F2j + F3k

y~C(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k

en a 6 t 6 b. Entonces∫

C

~F · d~s =

∫

C

F1dx+ F2dy + F3dz

=

∫ b

a

(

F1dx

dt+ F2

dy

dt+ F3

dz

dt

)

dt

Integral de lınea en un campo conservativo

Si ~F = ∇f donde f(x,y,z) es una funcion real y ~C(t) es una trayectoria

de (x0, y0, z0) a (x1, y1, z1)

∫

C

F · ds =∫

C

∇f · ds = f(x1, x2, x3)− f(x0, y0, z0)

La integracion de lınea es independiente de la trayectoria. Si la trayectoria

es cerrada, entonces: ∫

C

F · ds = 0


A.0.6. Integrales de superficie

I.S. de una funcion escalar

Sea f(x,y,z) una funcion definida sobre S y ~r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

la parametrizacion de S. La integral de f sobre S.∫∫

S

f(x, y, z)ds =

∫∫

S

fds =

∫∫

R

f(r(u, v))∣∣∣

∣∣∣∂ru∂u

× ∂rv∂v

∣∣∣

∣∣∣ dudv

I.S. de una funcion vectorial

Sea ~F (x,y,z) una funcion vectorial definida sobre S.∫∫

S

~F · s =∫∫

D

~F (r(u, v)) ·(∂r

∂u× ∂r

∂v

)

dudv

∫∫

S

~F · ds =∫∫

S

~F · nds

Ejemplos:

Sea S una superficie y ~V el campo de velocidades de un fluido mo-

viendose en el espacio. Entonces∫∫

S

V · ds =∫∫

S

F · nds

representa el gasto la cantidad de fluido por unidad de tiempo que

atraviesa la superficie.

El campo vectorial

∇T =∂T

∂xi+

∂T

∂yj +

∂T

∂zk

representa el gradiente de temperaturas del campo escalar T. El calor

fluye de frıo a caliente segun el campo vectorial

J = −K∇T

303

∫∫

S

J · ds

es el flujo total de calor a traves de la superficie S. Sea T(x,y,z)=x2 +

y2+ z2 y sea S una esfera unitaria x2+y2+ z2 = 1 con su normal hacia

afuera. Encontrar el flujo de calor a traves de la esfera si K=1

J = −∇T

J = −2xi+ 2yj + 3zk

sobre S

n(x, y, z) = ix+ jy + kz

J · n = −2x2 − 2y2 − 2z2

en la superficie de la esfera r=1

J · n = −2(x2 + y2 + z2) = −2(1) = −2

∫∫

S

Q · ds =∫∫

S

Q · nds = −2

∫∫

S

ds = −2(4π) = −8π

El flujo va dirigido hacia el centro de la esfera.

A.0.7. Integrales de volumen

Dado de un elemento diferencial de volumen dv es un escalar, podemos

considerar: ∫∫∫

R

fdv o

∫∫∫

R

fdv

donde f y f son campos escalares y vectoriales. En coordenadas cartesianas

dv=dxdydz.

∫∫∫

R

fdv = i

∫∫∫

R

f1dv + j

∫∫∫

R

f2dv + k

∫∫∫

R

f3dv


Representacion integral de la divergencia y del rotacional

1. Divergencia de un campo vectorial

∇ · ~F = lım△v→ 0

1

△v

∮

S

~F · d~s

donde △ v es el volumen de la region R acotada o limitada por la

superficie cerrada S. El volumen △ v siempre contiene el punto en el

cual se va a evaluar la divergencia de F cuando △ v → 0.

Interpretacion fısica ∫∫

S

~F · d~s

es el flujo de ~F a traves de la superficie.

∮

S

~F · d~s

es el flujo total neto a traves de S, superficie cerrada.

Esto muestra que la divergencia de F en un punto P es el lımite del

flujo neto por unidad de volumen cuando S se encoge hacia el punto P.

2. Rotacional de un campo vectorial ~F

∇× ~F = ~nmax lım△s→ 0

1

△s

∮

C

~F · d~r

donde △S es una superficie limitada por la curva simple C y nmax es el

vector unitario asociado a △S tal que la orientacion del plano de △S

da un valor maximo de1

△S

∮

~F · d~s

o bien la componente de ∇× f en la direccion ~n es

~n · (∇× ~F ) = lım△S→ 0

1

△S

∮

~F · ds

305

Si D es una region en R2, ∂D es su frontera con orientacion positiva y

P y Q son funciones con primera derivada continua de x y y tal que~F = P i+Qj, entonces:

∫

C

F · ds =∫

∂D

Pdx+Qdy =

∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dxdy

Ejemplo: Sea ~F = yi− xj y C un circulo de radio r en direccion contra

las manecillas del reloj. Evalue:

∫

C

F · ds

Podemos considerar que P = y y Q = −x, entonces:

∂Q

∂x− ∂P

∂y= −1 − 1 = −2

Por lo tanto

∫

C

~F · d~s =∫∫

D

(−2)dxdy = −2

∫∫

D

dxdy = −2πv2

La integral de lınea de la componente tangencial de un campo vectorial sobre

alguna curva cerrada es igual a la integral de superficie de la componente

normal del rotacional de esa funcion integrada sobre cualquier superficie que

tenga a C como frontera.

A.0.8. Teorema de Divergencia

Tambien se conoce como teorema de Gauss.

Considere el esquema siguiente


S

V

x

y

z

Tenemos un volumen V que esta rodeado por la superficie S. Sea ~n el vec-

tor normal a cada elemento de S. Ademas consideremos la funcion vectorial~F dada por

~F (x, y, z) =M(x, y, z)i+N(x, y, z)j + P (x, y, z)k

donde M,N y P son funciones con primeras derivadas parciales continuas.

Podemos entonces comprobar que:

∫∫

S

~F · ~ndS =

∫∫∫

V

∇ · ~FdV

A.0.9. Teorema de Green

Consideremos la siguiente figura

307

R

C

Sea C una curva suave cerrada a tramos (puede representarse parametri-

camente). Esta curva es la frontera de una region R en el plano y la direccion

positiva sobre C es tal que r esta a la izquierda cuando uno recorre C.

Podemos comprobar que si M y N son funciones continuas con primeras

derivadas parciales continuas en una region D que contenga R entonces

∮

C

Mdx+Ndy =

∫∫

R

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)

dA

Teorema de Stokes

El teorema anterior puede generalizarse para el caso de una curva C en

el espacio. Consideremos el siguiente esquema:


S P

n

T C

C 1

R

y

x

z

S es la grafica z = f(x, y), donde f tiene primeras derivadas parciales

continuas. C1 es es la curva la proyeccion de C sobre el plano x − y, que

circunsribe a R. ~n es le vector normal a S; ~T es el vector unitario tangente a

C. Si ~F es una funcion vectorial con primeras derivadas parciales continuas

en una region que contenga a S, entonces:

∮

C

~F · ~Tds =∫∫

S

∇× ~F · ~ndS

Apendice B

Series de ejercicios

309

310 APENDICE B. SERIES DE EJERCICIOS

Tarea 1

Solucion. Tarea 1

Tarea 2

Solucion. Tarea 2

Apendice C

Ecuaciones de conservacion

Coordenadas cartesianas, 2-D, (x, y)

Velocidad ~u = (u, v)

Conservacion de masa:∇~u = 0,

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

Conservacion de momentum: D~uDt

= −∇P + µ∇2~u+ ρ~g

direccion x-x’

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= −∂P∂x

+ µ

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

+ ρgx

direccion y-y’

ρ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= −∂P∂y

+ µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)

+ ρgy

Coordenadas cilındricas

Flujo axi-simetrico (∂/∂θ = 0 y uθ = 0), (r, z).

Velocidad ~u = (ur, uz)

311

312 APENDICE C. ECUACIONES DE CONSERVACION

Conservacion de masa:∇~u = 0,

1

r

∂ur∂r

+∂uz∂z

= 0

Conservacion de momentum: D~uDt

= −∇P + µ∇2~u+ ρ~g

direccion r-r’

ρ

(∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+ uz∂ur∂z

)

= −∂P∂r

+µ

(∂

∂r

(1

r

∂

∂r(rur)

)

+∂2ur∂z2

)

+ρgr

direccion z-z’

ρ

(∂uz∂t

+ ur∂uz∂r

+ uz∂uz∂z

)

= −∂P∂z

+µ

(1

r

∂

∂r

(

r∂uz∂r

)

+∂2uz∂z2

)

+ρgz

Apendice D

Ligas de interes

313

314 APENDICE D. LIGAS DE INTERES

Bibliografıa

R. W. Fox, A. T. Machonald, and P. J. Pritchard. Introduction to Fluid

Mechanics. Wiley, United States, 6th edition, 2003. ISBN 0471202312.

G. M. Homsy, H. Aref, K. S. Breuer, John W. M. Bush, Christophe Clanet,

Marc Fermigier, Simone Hochgreb, J. R. Koseff, B. R. Munson, K. G.

Powell, David Quere, J. J. Riley, C. R. Robertson, A. J. Smits, S. T.

Thoroddsen, and J. M. Wallace. Multimedia Fluid Mechanics DVD-ROM.

Cambridge University Press, Cambridge UK, 2nd edition, 2009. ISBN

9780521721691.

H. W. Liepmann and A. Roshko. Elements of Gas Dynamics. Dover, 2002.

F. White. Fluid Mechanics. McGraw Hill Education, United States, 8th

edition, 2008. ISBN 0073398276.

315

Apuntes de Mec´anica de Fluidos - iim.unam.mx€¦ · Me resulta dif´ıcil de entender porqu´e...

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