Apuntes de Mecánica de Fluidos.

Muriel Len Infante Ingeniero Qumico

MECANICA DE FLUIDOS.INTRODUCCIN Un fluido puede definirse como una sustancia que no resiste, de manera permanente la deformacin causada por una fuerza y, por tanto, cambia de forma. Por lo tanto se considera que los gases, lquidos y vapores tienen las caractersticas de fluidos y que obedecen a muchas leyes comunes. En las industrias de proceso, gran parte de los materiales estn en forma de fluidos y deben almacenarse, manejarse, bombearse y procesarse, por lo que resulta necesario conocer los principios que gobiernan al flujo de fluidos y tambin los equipos utilizados. Los fluidos tpicos son el agua, el aire, el CO2, aceites, emulsiones o suspensiones y jarabes espesos. Si un fluido se ve poco afectado por los cambios de presin, se dice que es incompresible. La mayora de los lquidos son incompresibles. Los gases se consideran como fluidos compresibles. Como toda la materia fsica, un fluido est compuesto por un nmero extremadamente grande de molculas por volumen unitario. Una teora como la teora cintica de los gases o la mecnica estadstica trata el movimiento de las molculas en trminos de grupos estadsticos, y no de molculas individuales. En ingeniera, lo que ms interesa es el comportamiento en conjunto o macroscpico de un fluido, y no el comportamiento molecular individual o microscpico.

Conceptos generales utilizados en mecnica y dinmica de fluidos. Temperatura, T. Dos cuerpos en equilibrio trmico muestran el mismo valor para la propiedad que llamamos temperatura. Los cambios en la temperatura causan cambios en otras propiedades de la materia y nos proporcionan mtodos de medida. Un ejemplo es la expansin del mercurio con el incremento de la temperatura, mientras otro, es el incremento en la presin de un gas con volumen constante, al elevarse su temperatura. Densidad, . Densidad es masa/volumen. Se dice que una cantidad dada de materia tiene cierta masa la cual es tratada como invariante. Por tanto, la densidad ser una constante mientras el volumen de una cantidad dada de materia permanezca inafectado (esto es, para un gas, siempre que las condiciones de presin y temperatura sean las mismas).

=m/v

[Kg/m3] SI

Peso especfico, . El peso especfico es peso/volumen. El peso depende del campo gravitacional. (En el campo de la tierra, es la fuerza de la gravedad (mg) actuando sobre una masa dada, en una localidad determinada). Consecuentemente, el peso especfico, en contraste con la densidad, depende del campo gravitacional.

= mg / v

[N/m3] SI

Volumen especifico: Volumen ocupado por una unidad de masa de una sustancia a una temperatura dada. Es la inversa de la densidad.

V=v/m

[m3/Kg] SI

1. ESTTICA DE FLUIDOS Fuerza, unidades y dimensiones En un fluido esttico, una de las propiedades importantes es la presin del fluido. La presin es la

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fuerza superficial ejercida por un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene. Adems, se tiene presin en cualquier punto del volumen de un fluido. Para comprender la presin, que se define como la fuerza desarrollada por unidad de rea, es necesario estudiar primero la ley bsica de Newton. La ecuacin para el clculo de la fuerza ejercida por una masa sujeta a la influencia de la gravedad es F = mg F = mg/gc (Unidades SI) (S. tcnico) Ec. 1.1

donde en unidades SI, F es la fuerza ejercida en newtons N (kgm/s2), m es la masa en (kg) y g es la aceleracin de gravedad, 9.806 (m/s2). Presin en un fluido Puesto que la ecuacin (1.1) expresa la fuerza ejercida por una masa sometida a la accin de la gravedad, la fuerza desarrollada por una masa de fluido sobre su rea de apoyo o fuerza/unidad de rea (presin) tambin se obtiene con esta ecuacin. En la figura 1.1 se muestra la columna estacionaria de un fluido de altura h2 (m) y una seccin transversal de rea constante A (m2), donde A = A0 = A1 = A2. La presin por encima del fluido es P0 (N/m2), es decir, podra ser la presin de la atmsfera que lo rodea. En cualquier punto del fluido, digamos h1, ste debe soportar todo el fluido que esta por encima de dicho punto. Se puede demostrar que en cualquier punto de un fluido inmvil o esttico, las fuerzas son iguales en todas las direcciones. Adems, para un fluido en reposo, la fuerza/unidad de rea o presin es igual en todos los puntos a una misma altura. Por ejemplo, a una distancia h1 del nivel superior, la presin es igual en todos los puntos del rea de corte transversal A1. Se mostrar el uso de la ecuacin (1.1) para calcular la presin en diferentes puntos verticales en la figura 1.1. La masa total del fluido para altura h2 y densidad (kg/m3) es:

kg totales de fluido = h2 (m) A (m2) (kg/m3) = h2 A (kg) Ec 1.2

FIGURA 1.1. Presin en un fluido esttico

Al sustituir en la ecuacin (1.2), la fuerza total F del fluido sobre el rea A1, debida nicamente al fluido es

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F= h2 A (Kg) g (m/s2) = h2 A g (Kg m/s2) o N La presin P se define como la fuerza /unidad de rea:

Ec 1.3

Ec 1.4 A sta es la presin sobre A2 debida a la masa de fluido que est encima. Sin embargo, para obtener la presin total P2 sobre A2, debe aadirse la presin P0 que soporta todo el lquido.

P= F/A = h2 A g 1 = h2 g (N/m2) o Pascal

P2 = h2 g + P0 (N/m2) o Pa

Ec 1.5

La ecuacin (1.5) es la expresin fundamental para calcular la presin de un fluido a cualquier profundidad. Para calcular P1,

P1 = h1 g + P0 La diferencia de presin entre los puntos 2 y 1 es P2 - P1 = (h2 g + P0) - (h1 g + P0) = (h2 - h1) g

Ec 1.6

Ec 1.7

Puesto que lo que determina la presin en un fluido es la altura vertical del mismo, la forma del recipiente no afecta la presin. Por ejemplo, en la figura 1.2, la presin P1 en el fondo de los tres recipientes es igual y equivale a h1 g + P0.

FIGURA 1.2. Presiones en recipientes de diversas formas.

EJEMPLO 1.1 Presin en un tanque de almacenamiento Un tanque de almacenamiento contiene petrleo de una densidad igual a 917 kg/m 3 (0.917 g/cm3). El tanque tiene una altura de 3.66 m y est abierto a la atmsfera con una presin de 1 atm en la superficie. El tanque est lleno de petrleo a una profundidad de 3.05 m y tambin contiene 0.61 m de agua en la parte inferior. Calcule la presin en Pa a 3.05 m de la superficie y en el fondo del tanque. Tambin calcule la presin manomtrica del fondo del tanque. Solucin: Primero se hace un diagrama del tanque, como el que se muestra en la figura 1.3. La presin P0 = 1 atm. Tambin, P0 = 1.01325 x 105 Pa

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FIGURA 1.3. Tanque de almacenamiento del ejemplo 1.

Con base en la ecuacin (1.6) queda:

P1 = h1 pet g + P0 = 3.05 (m) 917 (Kg/m3) 9.8 (m/s2) + 1.01325 x 105 Pa = 1.287 x 105 Pa Para calcular P2 en el fondo del tanque, agua = 1000 Kg/m3 y P2 = h2 agua g + P1 = (0.61)(1000)(9.8) + 1.287 x 105 = 1.347 x 105 Pa La presin manomtrica en el fondo es igual a la presin absoluta P2 menos 1 atm: P man = 1.347 x 105 - 1.01325 x 105 = 0.3337 PaCarga de un fluido Las presiones se expresan en diversas unidades, como lb/pulg2, dinas/cm2 y newtons/m2, y otras. Sin embargo, tambin es comn expresar presiones en trminos de carga en metros o pies de un cierto fluido. Esta carga o altura en m o pies de un fluido es aquella que ejerce la misma presin que las presiones que representa. Usando la ecuacin (1.4) que relaciona la presin P y la altura h de un fluido, al despejar h, que es la carga en m,

h (carga) = P / g (m)

Ec. 1.8

EJEMPLO 2. Conversin depresin a carga de un fluido. Considerando que la presin de 1 atm normal es 101.325 KN/m2, procdase a lo siguiente: a) Transfrmese esta presin a carga en m de agua a 4C. b) Transfrmese esta presin a carga en m de Hg a 0C. Solucin: Para el inciso a), la densidad del agua a 4C es 1000 Kg/cm3. Sustituyendo estos valores en la ecuacin (1.8),

h (carga) = P / g = 101.325 x 103 / (1000)(9.8) = 10.33 m de agua a 4C Para el inciso b), la densidad del Hg es 1359,55 Kg/cm3. Para presiones P iguales de diferentes fluidos, la ecuacin (1.8) puede reordenarse como sigue: P = hHg Hg g = hagua agua gEc. 1.9

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Despejando hHg en la ecuacin (1.9) y sustituyendo los valores conocidos:

Dispositivos para medir la presin y las diferencias de presin En las plantas qumicas y de otro tipo de procesos industriales con frecuencia es importante medir y controlar la presin en un recipiente o proceso, o el nivel de lquido en un recipiente. Adems, como fluyen muchos fluidos en un conducto o tubera, es necesario medir la velocidad con la que se desplaza el fluido. Muchos de esos medidores de flujo dependen de dispositivos para medir una presin o una diferencia de presin. Consideraremos algunos dispositivos mas comunes. 1. Manmetro de tubo en U simple. El manmetro de tubo en U se muestra en la figura 1.4a. La presin pa (N/m2) se ejerce sobre un brazo del tubo en Uy Pb en el otro brazo. Ambas presiones pa y pb pueden ser derivaciones de presin de un medidor de fluidos, o pa puede ser una derivacin de presin y Pb la presin atmosfrica. La parte superior del manmetro est llena con el lquido B que tiene una densidad de B kg/m3 y la parte inferior contiene un fluido A ms denso, que tiene una densidad de A kg/m3. El lquido A es inmiscible con el B. Para deducir la relacin entre pa y pb, pa es la presin en el punto 1 y pb en el punto 5. La presin en el punto 2 es

FIGURA 1.4 Manmetros para medir diferencias de presin: a) de tubo en U; b) de tubo en U de dos fluidos.

P2 = Pa + (h1 + h2 ) Bg (N/m2)

Ec. 1.10

donde h2 es la lectura de un manmetro en m. La presin en el punto 3 debe ser igual a la de 2 debido a los principios de hidrosttica P3 = P2 La presin en el punto 3 tambin es igual a lo siguiente: Ec 1.11

P3 = Pb + h1 B g + h2 A g

Ec. 1.12

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Al igualar la ecuacin (1.10) con la (1.12) y al despejar se obtiene

Pa + (h1 + h2 ) B g = Pb + h1 B g + h2 A g Pa - Pb = h2( A + B)gEc 1.14

Se notar que la distancia h1 no aparece en el resultado final, como tampoco las dimensiones del tubo, siempre y cuando pa y pb se midan en el mismo plano horizontal. EJEMPLO 1.2. Diferencia de presin en un manmetro Un manmetro como el que se muestra en la figura 1.4a se usa para medir la carga o la cada de presin a travs de un medidor de flujo. El fluido ms pesado es el mercurio, con una densidad de 13.6 g/cm3 y el fluido de la parte superior es agua, con una densidad de 1.0 g/cm 3. La lectura en el manmetro es h2 = 32.7 cm. Calcule la diferencia de presin en N/m2 usando unidades del SI. Solucin: Al convertir h2 en metros= 0.327 m Al convertir tambin A y B en kg/m3 y al sustituir en la ecuacin (1.14)

Pa Pb = h2 ( A + B) g = (0.327) [m] [(13600 1000) [kg/m3] (9.80) [m/s2] = 4.040 x 104 [N/m2] Ec. 1.152. Tubo en U de dos fluidos. En la figura 1.4b se muestra un tubo en U de do; fluidos, que es un dispositivo sensible para medir pequeas cargas o diferencia; de presin. Sea A el rea de corte transversal de cada uno de los depsitos grandes y a, el rea de la seccin transversal de cada uno de los tubos que forman la U. Al proceder y hacer un balance de presin para el tubo en U, donde h0 es la lectura cuando Pa = Pb, h es la lectura real, A es la densidad del fluido ms pesado y B la del fluido ms ligero. Por lo general, a/A se hace lo suficientemente pequeo como para ser insignificante, y tambin h0 se suele ajustar a cero; entonces,

Pa - Pb = h ( A + B) gSi A y B estn cerca una de otra, la lectura de h se amplifica.

Ec. 1.16

EJEMPLO 1.3. Medicin de la presin en un recipiente El manmetro de un tubo en U de la figura 1.5a se usa para medir la presin PA en un recipiente que contiene un lquido cuya densidad es A. Deduzca la ecuacin que relaciona la presin PA con la lectura del manmetro como se muestra. Solucin: En el punto 2, la presin es

P2 = Patm + h B g En el punto 1, la presin es P1 = PA + h1 A g

Ec. 1.17Ec. 1.18

Al igualar p1 = p2 por los principios de hidrosttica, y reordenando PA = Patm + h2 B g h1 A g Ec 1.19 Otro ejemplo de un manmetro de tubo en U se muestra en la figura 1.5b. Este dispositivo se

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usa en este caso para medir la diferencia de presin entre dos recipientes.

FIGURA 1.5. Medidas de la presin en recipientes: a) medida de la presin en un recipiente, b) medida de la presin diferencial.

3. Manmetro de presin de Bourdon. Aunque los manmetros se usan para medir presiones, el dispositivo ms comn para medir presiones es el manmetro mecnico de tubo de Bourdon. Un tubo hueco en roscado del manmetro tiende a enderezarse cuando est sujeto a una presin interna, y el grado de enderezamiento depende de la diferencia entre las presiones interna y externa. El tubo est conectado a un indicador en un cuadrante calibrado.

Figura 1.6 Dispositivos de manmetro de Bourdon para medir la presin. a) Bourdon C; b) Bourdon espiral.

2. DINAMICA DE FLUIDOS Los principios de la esttica de fluidos, estudiados anteriormente son casi una ciencia exacta. Por otra parte, los principios del movimiento de los fluidos son bastante complicados. Las relaciones bsicas que describen el movimiento de un fluido estn comprendidas en las ecuaciones para los balances totales de masa y energa. 7


Estos balances totales (o macroscpicos) se aplicaran a un recipiente finito o volumen fijo en el espacio. Usamos el trmino total debido a que deseamos describir estos balances con respecto al exterior del recipiente. Los cambios dentro del recipiente quedan determinados en trminos de las propiedades de las corrientes de entrada y salida, y de los intercambios de energa entre el recipiente y sus alrededores. Para nuestro estudio de dinmica de fluidos supondremos que el fluido circula con rgimen estacionario, es decir, que todas las magnitudes que definen la corriente del fluido permanecen constantes con relacin al tiempo de cada punto del sistema. Ecuacin de Continuidad: La trayectoria seguida por una partcula de fluido estacionario se llama lnea de corriente, as que por definicin la velocidad es siempre tangente a la lnea de corriente en cualquier punto.(Figura 2.1) Por lo tanto las lneas de corriente no se pueden cruzar, sino en el punto de cruce, la partcula de fluido podra irse por cualquiera de las lneas y el flujo no sera estacionario. Un conjunto de lneas de corriente forma un tubo de corriente o de flujo, las partculas de fluido se pueden mover slo a lo largo del tubo, ya q las lneas de corriente no se cruzan.

Figura 2.1: La trayectoria de una partcula es una lnea de corriente. Una partcula se mueve siempre tangente a la lnea de corriente.

Considerar un fluido que se mueve a lo largo de un tubo de corriente, cuya seccin transversal aumenta en direccin del flujo, como en la figura 2.2. En un intervalo t en la seccin ms angosta del tubo de rea A1, el fluido se mueve una distancia x1 = v1 t. Considerando la densidad del fluido, la masa contenida en el volumen A1 x1 es m1 = 1 A1 x1. De manera similar, en la seccin ancha del tubo de rea A2, se obtienen expresiones equivalentes en el mismo.

Figura 2.2: Flujo que se mueve a lo largo de una canalizacin.

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Aplicando el principio de conservacin de la masa a dos puntos de una canalizacin, se llega a que la cantidad de materia que pasa por ambos puntos en la unidad de tiempo es la misma. Por tanto: m1=m2 = 1 A1 x1= 2 A2 x2 1 A1 v1 t= 2 A2 v2 t Entonces podemos escribir: 1 A1 v1= 2 A2 v2 (2.1)

La ecuacin 2.1 es la llamada ecuacin de continuidad. Ahora esta misma expresin en funcin del volumen especifico queda: A1 v1 = A2 v2 V1 V2 (2.2)

Para un fluido incompresible, es decir de densidad constante, la ecuacin de continuidad se reduce a: A1 v1= A2 v2 (2.3)

esto es, el producto del rea por la rapidez normal a la superficie en todos los puntos a lo largo del tubo de corriente es constante. La rapidez es mayor (menor) donde el tubo es ms angosto (ancho) y como la masa se conserva, la misma cantidad de fluido que entra por un lado del tubo es la que sale por el otro lado, en el mismo intervalo de tiempo. La cantidad Av (2.4), que en el SI tiene unidades de [m3/s], se llama flujo de volumen o caudal. Q = A v. (2.4)

La relacin v / V (2.5) se denomina velocidad msica G [ Kg/ m2 h]. G= v/V (2.5)

El cuociente Q/V (2.6) recibe el nombre de flujo de masa W [ Kg/h]. W = Q/V (2.6)

Como la cantidad de masa es la misma para el punto 1 y 2, el flujo de masa puede reescribirse en la forma: W= A1 G1 = A2 G2 (2.7)

Problema 1: Por una canalizacin fluye agua con un caudal de 100 l/min. La canalizacin est constituida por una tubera A de 1 , conectada a otra tubera B de 3, que est provista de una desviacin lateral F de 1. A su vez, la tubera B est conectada a otra tubera C, como se muestra en la figura 2.3. Si por las dos tuberas de 1 circula la misma cantidad de agua, calclese en cada una de las tuberas: 9


a) El flujo de masa, en [Kg/h]; b) la velocidad lineal media, en [m/s]; c) la velocidad msica, en [Kg/m2seg]. (Para la densidad del agua puede tomarse el valor de 1000 [Kg/m3]; y las caractersticas de las tuberas para los dimetros nominales indicados se dan en el apndice 1)

Figura 2.3. : Conduccin de fluidos por tuberas en el problema 1.

Conservacin de la Energa en los Fluidos. Ley de conservacin de la energa: La energa no se crea ni se destruye, solo se transforma de un tipo en otra. Cuando un fluido se mueve por una regin en que su rapidez o su altura se modifican la presin tambin cambia. La fuerza de la presin p1 en el extremo inferior del tubo de rea A1 es F1 = p1 A1. El trabajo realizado por esta fuerza sobre el fluido es (2.8)

W1 = F1 x1 = p1A1 x1 = p1 V (2.9) donde V es el volumen de fluido considerado. De manera equivalente, si se considera un mismo intervalo de tiempo, el volumen V de fluido que cruza la seccin superior de rea A2 es el mismo, entonces el trabajo es W2 = - p2A2x1 = -p2 V. (2.10) El trabajo neto realizado por las fuerzas en el intervalo de tiempo t es: W= W1 + W2 = (p1 p2) V (2.11)

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Figura 2.4: Sistema de flujo en estado estacionario de un fluido.

Parte de este trabajo se usa en cambiar tanto la energa cintica como la energa potencial gravitacional del fluido. Si m es la masa que pasa por el tubo de corriente en el tiempo t, entonces la variacin de energa cintica es: (2.12) y la variacin de energa potencial gravitacional es: (2.13)

Por el teorema de trabajo y energa se tiene (2.14)

(2.15)

Dividiendo por V y como = m /V , se obtiene la ecuacin de Bernoulli para un fluido no viscoso , incompresible, estacionario e irrotacional.

(2.16) La ecuacin de Bernoulli que es un resultado de la conservacin de la energa aplicada a un fluido 11


ideal, generalmente se expresa como: (2.17) p + v2 + gy = 0 2 Tambin la ecuacin 2.17 puede expresarse de la siguiente forma, Si peso especifico = g, entonces

dividiendo la ecuacin por el peso especfico, queda: p + v2 + y = 0 2g(2.18)

Todos los trminos de la ecuacin 2.18 tienen las dimensiones de una longitud (en SI, metros) y reciben el nombre de cargas; suele representarse la carga por friccin como hf, entonces la ecuacin quedara:

p + v2 + y + hf = 0 2g

(2.19)

Ejemplo: Demostrar que para un fluido en reposo se obtiene la ecuacin hidrosttica integrada. Solucin: si el fluido est en reposo, v1 = v2 = 0 y de la ecuacin 2.16 de Bernoulli se obtiene:

Tipos de flujo de fluidos El tipo de flujo que se presenta en el desplazamiento de un fluido por un canal es muy importante en los problemas de dinmica de fluidos. Cuando los fluidos se mueven por un canal cerrado de cualquier rea de corte transversal, se puede presentar cualquiera de dos tipos diferentes de flujo, dependiendo de las condiciones existentes. Estos dos tipos de flujo pueden verse con frecuencia en un ro o en cualquier corriente abierta. Cuando la velocidad del flujo es baja, su desplazamiento es uniforme y terso. Sin embargo, cuando la velocidad es bastante alta, se observa una corriente inestable en la que se forman remolinos o pequeos paquetes de partculas de fluido que se mueven en todas direcciones y con gran diversidad de ngulos con respecto a la direccin normal del flujo. El primer tipo de flujo a velocidades bajas, donde las capas de fluido parecen desplazarse unas sobre otras sin remolinos o turbulencias, se llama flujo laminar. El segundo tipo de flujo a velocidades ms altas, donde se forman remolinos que imparten al fluido una naturaleza fluctuante, se llama flujo turbulento. La existencia de flujo laminar y turbulento puede visualizarse con facilidad por medio de los experimentos de Reynolds, que se muestran en la figura 2.5. Se hace fluir agua de manera uniforme a travs de una tubera transparente, controlando la velocidad por medio de una vlvula situada al final 12


del tubo. Se introduce una corriente muy fina y uniforme de agua con un colorante, a travs de una boquilla de inyeccin, para observar su flujo. Cuando la velocidad de flujo del agua es baja, la coloracin es regular y forma una sola lnea, esto es, una corriente similar a un cordel, tal como lo muestra la figura 2.5a. En este caso no hay mezclado lateral del fluido y ste se desplaza en una lnea recta por el tubo. Al colocar varios inyectores en otros puntos de la tubera se demuestra que no hay mezclado en ninguna parte del mismo y que el fluido fluye en lneas rectas paralelas, A este tipo de flujo se le llama laminar.

FIGURA 2.5. Experimento de Reynolds para diferentes tipos de flujo: a) laminar, b) turbulento

Al aumentar la velocidad, se ve que al llegar a cierto lmite, la lnea de colorante se dispersa y su movimiento

se vuelve errtico, tal como lo muestra la figura 2.5b. A este tipo de flujo se le llama turbulento. La velocidad a la que se presenta el cambio de tipo de flujo se llama velocidad crtica. El nmero de Reynolds Con diversos estudios se ha podido demostrar que la transicin del flujo laminar al turbulento en tuberas no est slo en una funcin de la velocidad, sino tambin de la densidad y viscosidad del fluido y del dimetro del tubo. Estas variables se combinan en la expresin del nmero de Reynolds, que es adimensional: Re = D v (2.20)

donde Re es el nmero de Reynolds, D es el dimetro en [m], es la densidad del fluido en [kg/m3], es la viscosidad del fluido en [cP] (centiPoise)* y v es la velocidad promedio del fluido en [m/s] (definiendo la velocidad promedio como la velocidad volumtrica del flujo dividida entre el rea de corte transversal de la tubera). Cuando el nmero de Reynolds es menor de 2100 para una tubera circular recta, el flujo siempre es 13


laminar. Cuando el valor es superior a 4000, el flujo ser turbulento excepto en algunos casos especiales. Entre estos dos valores, se le denomina regin de transicin. *1 cPoise = 1x10-3 [Kg/ms] EJEMPLO. Nmero de Reynolds en una tubera Por una tubera con un dimetro interior (D) de 2. 067 pulg fluye agua a 303 K con una velocidad de 0,2917 m/s. Calcule el nmero de Reynolds usando unidades del SI. La densidad y la viscosidad del agua se obtiene a partir del apndice 2. (303K) = 996 (kg / m3) = 0.800 cp D = (2.067 pulg)( 1 pie/12 pulg)( l m/3.2808 pie) = 0.0525 m

Por tanto, el flujo es turbulento.

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APENDICE 1

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APENDICE 2

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