MATEMÁTICASP.C.P.I.

TEMA 1

SISSTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Sistema de numeración decimal

Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que nos permiten escribir y leer cualquier número. Nuestro sistema de numeración, que es el decimal, procede de la India y llegó a Europa con los árabes en el s. XIII.

Se llama decimal o de base 10 porque cuenta los objetos agrupándolos de 10 en 10. También utiliza diez símbolos o guarismos que son:

0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9

Según el orden en que escribamos estas cifras obtendremos números distintos: Ejemplos: 12.345 = doce mil trescientos cuarenta y cinco.

54.123 = cincuenta y cuatro mil ciento veintitrés.

• Cada diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior.

Clases y órdenes de unidades

En un número cualquiera, la cifra que ocupa el primer lugar de la derecha corresponde a las unidades. El segundo lugar corresponde a las decenas. El tercer lugar corresponde a las centenas. El cuarto lugar corresponde a las unidades de mil, etc.

Cada lugar a la izquierda tiene un valor 10 veces mayor que el de la derecha. Cada lugar equivale a un orden. Cada tres órdenes forman una clase. En el siguiente cuadro figuran las clases, órdenes y unidades:

CLASES

BILLONES MILES DE MILLONES

MILLONES MILES O MILLARES

UNIDADES

15º 14º 13º 12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

Cen

tena

de

bill

ón

Dec

ena

de b

illó

n

Uni

dad

de b

illó

n

Cen

tena

de

mil

lar

de m

illó

n

Dec

ena

de m

illa

r de

mil

lón

Uni

dad

de m

illar

de

mill

ón

Cen

tena

de

mil

lón

Dec

ena

de m

illó

n

Uni

dad

de m

illó

n

Cen

tena

de

mil

Dec

ena

de m

il

Uni

dad

de m

il

Cen

tena

Dec

ena

Uni

dad

ÓRDENES

Actividades

1.- Señala en los siguientes números las cifras que ocupan las posiciones de unidades de millar, centena y decena:

Número Unidad de millar Centena Decena234876

12345678692543923

325812

2.- Escribe la posición que ocupa la cifra 5 en los siguientes números:

Números Posición845675672927275495677253

3.- Completa la tabla, indicando el orden de unidades y el valor de la cifra 7 en cada número:

Números Orden de unidades Valor Se lee el número15728 Centenas 700 Quince mil setecien- tos

veintiochoSetenta y cuatro mil ciento cincuenta y seis

196787003417

Setecientos cuarenta y cinco

4.- Halla el valor de la cifra 4 en los siguientes números:405 1.240 164.891 46.105 4.389 854 26.439 430.308

5.- Escribe cómo se leen estos números: 635087……………………………………………………………………. 402129……………………………………………………………………. 200816…………………………………………………………………….

909070…………………………………………………………………….

6.- Ordena de mayor a menor estos números 15325 5019 13023 12714

7.- Aproxima a la centena y a la decena.

8.- Escribe los números:Ocho millones, trescientas cuatro mil, seis

Setenta y dos millones, cuatrocientos veinte mil, ochenta

Tres millones, cuarenta y nueve

Un billón, dos mil doce millones, veinte mil dos

Cuatro millones, cuatro mil, cuatro

Setenta y tres mil, quinientos diez

Doscientos nueve mil, sesenta y cuatro

Quince millones, trescientos doce mil, uno

9.- A qué clase pertenece una unidad de: - tercer orden = - duodécimo orden = - octavo orden = - séptimo orden = - décimo orden = - cuarto orden =

- sexto orden = - primer orden =

10.- Escribe el número anterior y el número posterior de:a) ........................... < 99.999 < .............................b) .......................... < 10.000 < .............................c) ......................... < 100.000 < ..............................d) ........................... < 499.999 < ...............................e) ........................... < 1000.000 < ...............................f) ........................... < 999.999 < ...............................g) ........................... < 233.999 < ...............................

h) ............................ < 1.000.999 < ...............................

Números Centena Decena567 600 57062343245234565432

TEMA: 2

OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES

Números Naturales

El conjunto de los números naturales está formado por :N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , . . . }Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal ). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal ). Números cardinales: 1, 2, 3, 4… 23, 25….. 150, 200……….Números ordinales: primero, segundo, tercero, décimo, vigésimo primero………Los números naturales están ordenados , lo que nos permite comparar dos números naturales :5 > 3; 5 es mayor que 3. 3 < 5; 3 es menor que 5. Los números naturales son i l imitados , si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural .

Suma de números naturales

a + b = c

Los términos de la suma a y b se llaman sumandos y el resultado c suma (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Resta de números naturales

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman a minuendo, b sustraendo y al resultado lo llamaremos diferencia.

5 − 2 = 3

Multiplicación de números naturales

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado c producto. 6 · 5 = 30 (2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

Para calcular el resultado de multiplicar un número por 10, 100, 1000…. Añadimos a la derecha del número tanto ceros como hay en 10, 100, 1000….

456 * 100 = 45600Cuando no hay paréntesis en una expresión con varias operaciones distintas, primero se hace el producto y después las sumas o las restas. Si hay paréntesis primero la operación que está dentro del paréntesis.

12 * 6 + 24 = 72+ 24 = 96 (4 + 5) * 7 = 9 * 7 = 63

División de números naturales

D : d = cLos términos que intervienen en una división se llaman D dividendo, d divisor, el resultado c cociente.

Una división es exacta cuando su resto es cero. En una división exacta se cumple: Dividendo = divisor * cociente 3196 = 47 * 68

Una división es inexacta o entera cuando su resto es distinto de cero. En una división entera se cumple: Dividendo = divisor * cociente + resto 3208 = 47 * 68 + 12

Para dividir un número acabado en ceros ente 10, 100, 1000…., suprimimos en el número tantos ceros finales como tenga el divisor. 94.000 : 100 = 940

Actividades

1.- Realiza estas multiplicaciones. Piensa en que orden es más fácil hacerlas. 9 * 4 * 5 = 4 * 5 = 20 * 9 = 180 8 * 9 * 5 = 5 * 7 * 12 = 13 * 50 * 2 = 5 * 14 * 6 = 4 * 19 * 25 =

2.- Escribe estas sumas en forma de multiplicación y calcula los resultados. 48 + 48 + 48 + 48 + 48 = 17 + 17 + 17 + 17 = 125 + 125 + 125 = 1254 + 1254 =

3.- Resuelve. 674 * 10 = 54 * 1000 = 67 * 100 = 205 * 1000 = 454 * 10 = 732 * 100 =

4.- Calcula el resultado de estas operaciones. 8 + 5 * 3 = 7 * 2 – 5 = 12 * 4 + 8 = 5 * 6 – 9 = 8 – 4 * 2 = 14 * 6 – 15 = 3 * (3 + 4) = (9 + 15) * 6 = (6 * 5) – 2 =

5.- Completa la tabla. Dividendo 45 48 180

Divisor 9 8 4 3 7

Cociente 8 10 25 60 40 50

6.- Realiza estas divisiones y señala si son exacta o no Dividendo divisor cociente resto Exacta / no exacta

1472 64

17442 273708 1038203 339200 114

7.- Calcula Dividendo Divisor Cociente Resto 12 42 4 5 76 2 14 24 10

8 13 0

6 145 0 29 87 20

8.- Calcula el cociente sin realizar la división 230 : 10 = 8200 : 100 = 5000 : 100 =

11000 : 100 = 2020 : 10 = 83000 : 1000 =

Problemas

1.- En una fábrica hay 18 cajas llenas de botellas de agua. En cada caja hay 12 botellas- a. ¿Cuántas botellas hay en total?

b. Si cada botella contiene 5 litros. ¿Cuántos litros hay en total?.

2.- Cuatro kilos de patatas y 5 sacos de 6 kilos cada uno. ¿Cuántos kilos de patatas son?

3.- Una camisa tiene 7 botones en la parte delantera, dos en el cuello, uno en cada puño y un botón de repuesto. Si una fábrica hace cada día 20 camisas de manga larga y otras 20 de manga corta, ¿Cuántos botones gastas en un día? ¿Tendrán suficiente con 2000 botones para los 5 días de la semana?

4.- Un club deportivo ha gastado 892 euros en la compra de 15 raquetas de tenis a 52 euros cada una y 28 botes de bolas. ¿Cuánto han pagado por cada bote de bolas?

5.- Una pared de 196 m. de largo se divide en partes iguale mediante tres cortes. ¿Cuánto mide cada parte?

6.- Por participar en un concurso de televisión, un coro de 64 chicas y chicos ha obtenido un premio que consiste en 79360 euros en metálico y 32 cajas con 8 discos de música cada una. Si se reparten el premio a partes iguale. ¿cuánto corresponde a cada uno?

7.- En una fábrica de bolígrafos tienen que empaquetar:

4500 bolígrafos en paquetes de 10 unidades. 6800 bolígrafos en paquetes de 100 unidades. 80000 bolígrafos en cajas de 1000 unidades. ¿Cuántos paquetes de cada tipo tienen que preparar?

8.- Para la fiesta de carnaval, el alcalde ha comprado 5 cajas con 8 bolsas de 50 caramelos de naranja cada una y 6 cajas con 5 bolsas de 100 caramelos de limón cada una. Se estima que habrá alrededor de 1000 asistentes. Si todos cogieran el mismo número de caramelos, ¿cuántos tocarían a cada uno?

9.- Pedro quiere sustituir su vieja furgoneta. La nueva le cuesta 12450 euros y por la vieja le dan 1650 euros. Si desea pagar la diferencia en 36 plazos iguales, ¿cuánto dinero tiene que pagar en cada plazo?

10.- El entrenador del equipo ha comprado 7 trajes de deporte a 36meuros cada uno y 7 pares de zapatillas a 30 euros cada uno. a) ¿cuánto ha pagado por todo? b) Si para pagar entrega un billete de 500 euros, ¿cuánto dinero le devolverán?

11.- Un grifo estropeado pierde un litro de agua cada media hora. a) ¿Cuánto perderá cada hora?

b)¿Cuánto perderá al cabo de un día?

c)Si no se separa ¿cuántos litros perderá en un mes?TEMA 3

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Múltiplos de un número

Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural.Por ejemplo, si multiplicamos 9x2 nos da 18. Decimos entonces que 18 es

múltiplo de 9.

Divisor de un número

Un número es divisor de otro si cuando dividimos el segundo entre el primero, el resto de la división es 0. Por ejemplo, decimos que 5 es divisor de 10 porque al dividir 10 entre 5 la división es exacta; da 2 y queda de resto 0.

Números primos y compuestos Un número es primo si tiene solamente dos divisores: él mismo y la unidad. Es decir, que sólo se puede dividir (dando una división exacta) por ese mismo número y por uno.

Por ejemplo, el número 3 es un número primo. Los números primos hasta el 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 y 71.

Un número es compuesto si tiene 2 o más divisores.Por ejemplo, el número 15 es un número compuesto porque es divisible por 1, 15, 3 y 5.

Criterios de divisibilidad

Para saber si un número es divisible por algún otro número utilizamos los llamados criterios de divisibilidad. Son estos:

· Divisibilidad por 2: un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par.· Divisibilidad por 3: un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.· Divisibilidad por 4: las dos últimas cifras tienen que ser dos ceros o un número múltiplo de 4.· Divisibilidad por 5: un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco.· Divisibilidad por 6: tiene que ser divisible por 2 y por 3.· Divisibilidad por 9: un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.· Divisibilidad por 10: tiene que terminar en cero. de manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000.· Divisibilidad por 11: un número es divisible por once cuando la diferencia entre la

suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan la posición impar son múltiplo de once.· Divisibilidad por 100: un número es divisible por cien cuando las dos últimas cifras son 00.

Escritura de números como producto de factores primos

Los números compuestos se pueden escribir como producto de números más pequeños. Este proceso se llama factorización o descomposición en factores primos.Ejemplo:24 2 24 = 2 · 2 · 2 · 3 · 1 = 23 · 312 2 6 2 3 3 1 1 0

Máximo común divisor (M.C.D.)

El M.C.D. (Máximo común divisor) de varios números es el mayor de sus divisores comunes.

Para calcular el M.C.D. de varios números:1º- Se escribe cada número como producto de sus factores primos.

2º- El M.C.D. es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente.

Ejemplo:24 2 24 = 2 · 2 · 2 · 3 · 1 = 23 · 312 2 6 2 3 3 1 1 0

30 2 30 = 2 · 3 · 515 3 4 5 1 1 0M.C.D. (24, 30) = 2 · 3 = 6

Mínimo común múltiplo (M.C.M.)

El M.C.M. (Mínimo común múltiplo) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

Para calcular el M.C.M. de varios números:1º- Se escribe cada número como producto de sus factores primos.

2º- El M.C.M. es igual al producto de los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

Ejemplo:24 2 24 = 2 · 2 · 2 · 3 · 1 = 23 · 312 2 6 2 3 3 1 1 030 2 30 = 2 · 3 · 515 3 5 5 1 1 0

M.C.M. (24, 30) = 23 · 3 · 5 = 8 · 3 · 5 = 120

EJERCICIOS

1.- Calcula 4 múltiplos de cada uno de las siguientes cifras:3 – 8 – 5 - 2 - 10 - 15

2.- Escribe 3 divisores de cada uno de los siguientes números: 12 – 20 – 14 - 30 – 45 - 60

3.- Define qué es un número primo. Escribe 5 números primos.

4.- Define qué es un número compuesto. Escribe 5 números compuestos.

5.- Los criterios de divisibilidad nos sirven para saber si un número se puede dividir por otro. Sabiendo esto, señala porqué números son divisibles las siguientes cantidades:

Ejemplo 24 es divisible por 1, 24, 2, 3, 4 y 6.35 12066 75 49 6323 98 18 76 300 102

6.- Descompón estos números en factores primos.15 18 42 55 70 26

7.- Calcula el M.C.D. y el M.C.M. de los siguientes números:4 y 6 20 y 30

4 y 8 12 y 248.- Halla todos los divisores de 45 y de 100 D (45) = D (100) =

9.- Completa la siguiente tabla.X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 435 357 709 18

10.- Explica que son los múltiplos de un número y como obtenerlos.

11.- Explica que son los divisores de un número y como obtenerlos.

12.- Escribe los números que faltan (en algunos apartados pueden existir varias soluciones) a) 28 es múltiplo de 4 porque 28 = 4 * b) 35 es múltiplo de _____ porque ______ = ______ * 7 c) ____ es múltiplo de _____ porque ____ = ______ * ______ d) ____ es múltiplo de 8 porque _____ = 8 * ____ e) 30 es múltiplo de 10 porque 30 = 10 * ____ f) 54 es múltiplo de ____ porque ____ = _____ * _____

13.- Escribe los números que sean: a) múltiplos de 3 menores que 36:

b) múltiplos de 4 menores que 60:

c) múltiplos de 100 menores que 1000: