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Clculocon wxMaxima

Jernimo Alaminos Prats

Jos Extremera Lizana

Pilar Muoz Rivas

24 octubre 2011

ndice

i

ndice

ndice i

Nmeros reales y aritmtica de ordenador 3

1 El conjunto de los nmeros reales 51.1 El conjunto de los nmeros reales 5 1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales 71.3 Valor absoluto 8 1.4 El principio de induccin 9 1.5 Intervalos y conjuntos destaca-dos 12 1.6 Ejercicios 14

2 Introduccin al Anlisis Numrico 172.1 Introduccin al Anlisis Numrico 17 2.2 Errores absolutos y relativos 18 2.3 Aritm-tica de ordenador 20 2.4 Estabilidad 23 2.5 Ejercicios 24

3 Funciones elementales 253.1 Definiciones 25 3.2 Funciones elementales 32 3.3 Ejercicios 42

Sucesiones y series 45

4 Sucesiones de nmeros reales 474.1 Definicin y propiedades 47 4.2 Sucesiones parciales 49 4.3 Monotona 50 4.4 Su-cesiones divergentes 53 4.5 Criterios de convergencia 54 4.6 Velocidad de convergen-cia 56 4.7 Ejercicios 57

5 Series 615.1 Definicin y propiedades 61 5.2 Convergencia absoluta e incondicional 65 5.3 Crite-rios de convergencia para series de trminos no negativos 66 5.4 Otros criterios 69 5.5 Sumade series 69 5.6 Ejercicios 72

Continuidad y derivabilidad 77

6 Lmites y continuidad 796.1 Lmite funcional 79 6.2 Lmites infinitos y en el infinito 81 6.3 Clculo de lmites 836.4 Continuidad 84 6.5 Teorema del valor intermedio 87 6.6 Monotona 89 6.7 Ejerci-cios 90

7 Derivabilidad 957.1 Definicin. Recta tangente. 95 7.2 Reglas de derivacin 97 7.3 Teorema del valormedio 98 7.4 Consecuencias del teorema del valor medio 100 7.5 Derivadas de orden supe-rior 101 7.6 Concavidad y convexidad 103 7.7 Algunas aplicaciones de la derivada 1037.8 Derivacin numrica 106 7.9 Ejercicios 107 7.10 Ejercicios complementarios 1117.11 Otros ejercicios 114

ndice

ii

8 Mtodos de resolucin de ecuaciones 1198.1 Introduccin 119 8.2 Mtodo de biseccin 119 8.3 Mtodos de iteracin funcio-nal 121 8.4 Mtodo de Newton-Raphson 125

Interpolacin numrica 129

9 Interpolacin polinmica 1319.1 Mtodos de interpolacin polinmica 131 9.2 Interpolacin de Lagrange 131 9.3 In-terpolacin de Hermite 140 9.4 Interpolacin de Taylor 140 9.5 Ejercicios 144

Integrabilidad 145

10 Integracin 14710.1 Funciones integrables 147 10.2 Teorema fundamental del Clculo 152 10.3 Ejerci-cios 155

11 Clculo de primitivas 15711.1 Clculo de primitivas 157 11.2 Ejercicios 166

12 Integrales impropias 16912.1 Integrales impropias en intervalos acotados 169 12.2 Integracin en intervalos no acota-dos 170 12.3 Algunos casos particulares 171 12.4 Ejercicios 172

13 Aplicaciones de la integral 17313.1 Clculo de reas 173 13.2 Longitudes de curvas 173 13.3 rea de slidos de revolu-cin 174 13.4 Volmenes de slidos de revolucin 174 13.5 Algunas funciones definidasmediante integrales 174 13.6 Ejercicios 175

14 Mtodos de aproximacin numrica de integrales 17714.1 Introduccin 177 14.2 Mtodos simples 177 14.3 Mtodos de aproximacin com-puestos 180

Apndices 183

A Geometra 185A.1 Parbolas, elipses e hiprbolas 185 A.2 Superficies cuadrticas 186

B Algunas tablas 191B.1 Derivadas 191 B.2 Desarrollo de Taylor 192 B.3 Primitivas 192

C Progresiones aritmticas y geomtricas 195C.1 Progresiones aritmticas 195 C.2 Progresiones geomtricas 196

D Algunos ejemplos y contraejemplos 197

ndice alfabtico 199

3

Nmeros reales y aritmtica de ordenador

4

El conjunto de los nmeros reales El conjunto de los nmeros reales

5

El conjunto de los nmeros reales

11.1 El conjunto de los nmeros reales 5 1.2 Naturales, enteros, racionales e irracio-nales 7 1.3 Valor absoluto 8 1.4 El principio de induccin 9 1.5 Intervalosy conjuntos destacados 12 1.6 Ejercicios 14

Existen diferentes formas de formalizar el conjunto de los nmeros reales aunque se puedenagrupar en dos variantes: constructivos y axiomticos. Los primeros son demasiado laboriosospara un curso de Clculo y, por este motivo, hemos preferido dejarlos de lado. En su lugar, hemosasumido que el conjunto de los nmeros reales es conocido por el lector y elegimos la definicinaxiomtica de este conjunto.

1.1 El conjunto de los nmeros realesVamos a definir el conjunto de los nmeros reales, R, en trminos de qu sabemos hacer con

sus elementos, qu propiedades tienen. Estas propiedades que vamos a presentar aqu se llamanaxiomas y, por supuesto, no son todas las propiedades de los nmeros reales sino las mnimas, yes que a partir de ellas se obtienen el resto de propiedades.

Es difcil que, si alguien nos pregunta, seamos capaces de dar una respuesta clara de qu es unnmero pero s somos capaces de decir qu cosas podemos hacer con ellos.

En el conjunto de los nmeros reales tenemos definidas varias operaciones. La primera quetodos aprendemos es la suma.

Suma de nmeros reales

Las suma verifica, entre otras, las siguientes propiedades. Sean a, b y c nmeros reales cuales-quiera.a) Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c.b) Propiedad conmutativa: a + b = b + a.c) Existencia de elemento neutro: a + 0 = a.d) Existencia de elemento opuesto: a + (a) = 0.

Estas cuatro propiedades se resumen diciendo que (R,+) es un grupo abeliano o conmutativo.

Producto de nmeros reales

Adems de la suma tambin sabemos multiplicar nmeros reales. Por el mismo motivo, se su-pone que sabemos dividir. Mucho cuidado con esta afirmacin. No estamos hablando de cmo sedividen nmeros sino de que, supuesto conocido el producto de nmeros, la divisin es la opera-cin inversa. Ocurre lo mismo con la suma: no hemos dicho como se restan nmeros reales pero,en teora, restar un nmero es simplemente sumar el nmero cambiado de signo, es decir, sumar elopuesto. Con el producto, dividir por un nmero a es multiplicar por el inverso, al que llamaremos1/a.

El conjunto de los nmeros reales El conjunto de los nmeros reales

6

Sean a, b y c nmeros reales. Entonces se verifican las siguientes propiedades.5) Propiedad asociativa: a(bc) = (ab)c.6) Propiedad conmutativa: ab = ba.7) Existencia de elemento neutro: a1 = 1a.8) Existencia de elemento inverso: Si a es distinto de 0 entonces a1a = 1.

Observacin 1.1. El elemento opuesto en el caso de la suma y el elemento inverso para el produc-to son nicos. En el caso de la suma la notacin es siempre la misma: el opuesto de a es a y envez de escribir b + (a) escribiremos b a. Para el inverso del producto usaremos indistintamentela notacin 1a o a

1 y tambin es ms usual escribir ba que b1a .

Una vez que tenemos la suma y el producto, hay otra propiedad que hace que se relacionen deforma buena:9) propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac.

Orden

El orden en el conjunto de los nmeros reales tambin es algo conocido por el lector. Lo po-demos ver de varias formas: sabemos cundo un nmero es positivo o somos capaces de decidircul de dos nmeros es el mayor. Hagamos un breve resumen de las propiedades relacionadas conel orden. Evidentemente las propiedades podemos exponerlas sobre "ser menor que", "ser mayorque" o tambin sobre "ser mayor o igual que" o "ser menor o igual que". Como hay que elegir unade las posibilidades elegimos esta ltima aunque el resto nos daran propiedades anlogas.10) Propiedad reflexiva: a a.11) Propiedad antisimtrica: si a b y b a, entonces a = b.12) Propiedad transitiva: si a b y b c, entonces a c.13) El orden es total: dado a R, se cumple que a 0 o que a 0 o, lo que es lo mismo, dados

a, b R, se cumple que a b o que b a.Las siguientes propiedades relacionan la suma y el producto con el orden que acabamos de

presentar.14) Si a b, entonces a + c b + c.15) Si a b y c 0, entonces ac bc.

El ltimo axioma

Las propiedades que hemos comentado hasta ahora no determinan de manera nica el conjuntode los nmeros reales. El conjunto de los nmero racionales tambin las verifica como se puedecomprobar fcilmente. Cal es la diferencia entre ambos conjuntos? Qu sabemos hacer en Rque no podamos hacer en Q? Siempre que se hace esta pregunta en clase las respuestas suelen serdel tipo: races cuadradas, logaritmos, senos o cosenos, etc. Aunque se podra intentar seguir porah, ese camino puede tener ms dificultades a posteriori que el que vamos a elegir.

xA B

R

Figura 1.1

Necesitamos, por tanto, alguna propiedad mspara diferenciarlos. En la Figura 1.1, podemosver la propiedad que vamos a utilizar: si cadauno de los elementos de un conjunto A son mspequeos que los un conjunto B, entonces se pue-de encontrar un nmero entre ambos. Esta pro-

piedad parece, en principio, sencilla y si nos fijamos en la figura no da la impresin de que nos

El conjunto de los nmeros reales Naturales, enteros, racionales e irracionales

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permita distinguir entre reales y racionales. Parece evidente que existen racionales x que podemoscolocar entre A y B. Y si los pegamos un poco ms? Qu ocurre si tomamos A =] , x[y como B =]x,+[? La nica posibilidad que nos queda, el nico nmero entre A y B es x. Sidicho nmero es racional, perfecto. No hay problema, pero y si es irracional? Por ejemplo, en laFigura 1.2, el nmero es el nico punto entre los dos conjuntos.

A B

R

Figura 1.2

Esta propiedad es el axioma que nos falta paraterminar de definir el conjunto de los nmerosreales:

16) Dados dos conjuntos A y B verifican-do que a b para cualesquiera a Ay b B, existe x tal que a x b,x A, b B.

Resumiendo, el conjunto de los nmeros reales,R, es el nico conjunto que verifica los diecisisaxiomas anteriores.

1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales

Nmeros naturales

El conjunto de los nmeros naturales, al que denotaremos N, es

N = {1, 2, 3, . . .}

La inclusin del cero como nmero natural es una convencin. En algunos textos aparece comonatural y en otros no. Nosotros no lo vamos a incluir para simplificar algunas notaciones. Porejemplo, para poder hablar de log(n) o de 1n sin necesidad de estar recordando constantemente quen no puede ser cero.

Nmeros enteros

El conjunto de los nmeros enteros, Z, es

Z = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}

La operacin suma en Z es una operacin interna: la suma (y la resta) de enteros es un entero. Noocurre lo mismo con el producto. El inverso de un nmero entero no nulo es un nmero racional.

Nmeros racionales e irracionales

Los nmeros racionales son aquellos que se pueden expresar como cociente de un entero y unnatural:

Q =

{pq

: p Z, q N}.

Los nmeros irracionales, R \ Q, son aquellos que no son racionales. Probablemente ests msacostumbrado a tratar con la representacin decimal de los nmeros reales. Los racionales tienen

Valor absoluto El conjunto de los nmeros reales

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una cantidad finita de decimales o infinita peridica. Los irracionales, por tanto, tienen una cantidadinfinita de decimales no peridicos.

Observacin 1.2. El conjunto de los nmeros irracionales no es, ni siquiera, un espacio vectorialcomo lo es el conjunto de los nmeros racionales. El elemento neutro para la suma o el producto, 0y 1, no son irracionales. Es muy fcil encontrar ejemplos de que la suma y el producto de nmerosirracionales no es necesariamente un numero irracional: 2 = 2.

Dentro de los nmeros reales podemos distinguir entre nmeros algebraicos y nmeros tras-cendentes. Un nmero es algebraico si es solucin de un polinomio con coeficientes enteros. PorNmero algebraicoejemplo, cualquier racional o

2 son nmeros algebraicos. Si no se puede expresar como raz de

un polinomio con coeficientes enteros diremos que es un nmero trascendente.Nmero tras-cendente No es fcil buscar las races irracionales de un polinomio, pero s podemos buscar las posibles

races racionales de un polinomio con coeficientes enteros.

Observacin 1.3. Dada la ecuacin anxn + an1xn1 + . . .+ a1x + a0 = 0, donde a0, a1,,...,an sonnmeros enteros y a0an 6= 0, si la ecuacin tiene una raz racional p/q (con p y q primos entre si),entonces p divide a a0 y q divide a an.

El conocimiento de las races racionales nos puede servir para comprobar que un nmero no esracional.

Ejemplo 1.4. Las nicas posibles races racionales del polinomio x2 2 = 0 son 1, 2. Cmoninguna de ellas es solucin del polinomio,

2 no puede ser un nmero racional.

La otra demostracin usual de que

2 no es un nmero racional utiliza la descomposicin enprimos de un nmero y la reduccin al absurdo: supongamos que

2 fuera racional. Eso quiere

decir que podra escribirse de la forma

2 = pq , dondepq es una fraccin irreducible. Si elevamos

al cuadrado obtenemos que 2q2 = p2 y, en consecuencia, p2 es un nmero par. Pero para queel cuadrado de un nmero sea par, necesariamente dicho nmero debe ser par. Luego p = 2apara conveniente a. Sustituyendo, q2 = 2a2 y, por tanto, q tambin es par. Hemos obtenido unacontradiccin: la fraccin p/q no puede ser irreducible y, a la vez, que numerador y denominadorsean pares. Por tanto,

2 no puede ser racional.

Comprueba t mismo que con las mismas ideas puedes comprobar que la raz cuadrada de unnatural es otro natural o un nmero irracional.

1.3 Valor absolutoLa distancia entre dos nmeros reales se mide calculando la diferencia entre el mayor y el menor

de ellos. La funcin que mide la distancia al cero es la funcin valor absoluto.

Definicin 1.5. Se define el valor absoluto de un nmero real x comoValor Absoluto

| x | ={ x, si x 0x, si x < 0

Proposicin 1.6. Dados x, y R, se verifican las siguientes afirmaciones.a) | x | 0, y | x | = 0 x = 0,b) | x | y y x y,c) | x + y | | x | + | y | (desigualdad triangular),d) | | x | | y | | | x y |,e) | xy | = | x | | y |.

El conjunto de los nmeros reales El principio de induccin

9

Para demostrar cualquiera de estas desigualdades o, en general, para trabajar con expresiones enlas que intervienen valores absolutos tenemos varias posibilidades. La primera de ellas es discutirlos distintos casos que se pueden presentar. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 1.7. Cundo es cierta la desigualdad | x 3 | < | x 1 |?Lo que vamos a hacer es eliminar el valor absoluto (una funcin definida a trozos) discutiendotodas las posibilidades:a) si x 1, | x 3 | < | x 1 | (x 3) < (x 1) 3 > 1 lo que, claramente, no

es cierto,b) si 1 x 3, | x 3 | < | x 1 | (x 3) < (x 1) 2 < x, y por ltimoc) si x 3, | x 3 | < | x 1 | (x 3) < (x 1) 3 < 1.Resumiendo, la desigualdad es cierta si, y slo si, x > 2.

Tambin podemos aprovechar el hecho de que elevar al cuadrado conserva el orden en los realespositivos: 0 < a < b a2 < b2. Vamos a utilizar esto para demostrar la desigualdad triangular:

| x + y | | x | + | y | | x + y |2 (| x | + | y |)2

x2 + y2 + 2xy x2 + y2 + 2 | xy | xy | xy | ,

lo cual, evidentemente, es cierto. Observa que, de regalo, hemos probado que la igualdad en ladesigualdad triangular es cierta si, y slo si, xy = | xy | o, lo que es lo mismo, si x e y tienen elmismo signo. Prueba t a demostrar el resto de afirmaciones de la proposicin anterior.

1.4 El principio de induccinLa definicin del conjunto de los nmeros naturales puede hacerse como la definicin que hemos

dado del conjunto de los nmeros reales mediante una serie de propiedades que lo caractericen enlugar de especificar cules son sus elementos. Si el axioma del supremo es la propiedad clave quenos ha permitido definir los nmeros reales, en el caso de los naturales dicha propiedad es la deser inductivo.

Definicin 1.8. Un subconjunto A de los nmeros reales diremos que es inductivo si verifica Conjunto inductivolas siguientes dos propiedades:a) 1 A,b) si a A, entonces a + 1 A.

Ejemplo 1.9.a) R, Q, Z, N, R+ son conjuntos inductivos.b) Ningn conjunto acotado puede ser un conjunto inductivo.

Definicin 1.10. El conjunto de los nmeros naturales es el menor conjunto inductivo o, loque es lo mismo, la interseccin de todos los conjuntos inductivos.

Proposicin 1.11 (Principio de induccin). Sea A un subconjunto de los nmeros reales verifi-cando quea) A es inductivo,b) A N.

El principio de induccin El conjunto de los nmeros reales

10

Entonces A = N.

En otras palabras, para demostrar que un subconjunto del conjunto de los nmeros naturales,A N, es, en realidad, el conjunto de los naturales es suficiente con comprobar quea) 1 A, y queb) si n A, entonces n + 1 A.

La principal utilidad de este principio es demostrar que una propiedad indicada en el conjuntode los naturales es cierta. Por ejemplo, la propiedad todos los nmeros de la forma n3 + 5n sondivisibles por 6 son en realidad muchas (tantas como naturales) afirmaciones. No es difcil fijarun natural y comprobar que para ese concreto la propiedad es cierta. Pero, cmo podemos hacerlopara todos a la vez? En este tipo de demostraciones, el principio de induccin nos proporciona unaventaja. Para demostrar que se cumple para un natural puede suponerse que la propiedad es ciertapara el natural anterior (hiptesis de induccin). Esto puede ser muy til en algunas ocasiones.

Ejemplo 1.12. Demostrar que 1 + 3 + 5 + . . . + (2n 1) = n2, para cualquier n N.Lo demostramos usando el mtodo de induccin. Tenemos que comprobar que el conjunto

A ={n N; 1 + 3 + 5 + . . . + (2n 1) = n2

}coincide conN. Para ello es suficiente con demostrar que A es un conjunto inductivo, o sea, tenemosque comprobar quea) la propiedad es cierta para n = 1, y queb) si la propiedad es cierta para un nmero natural, tambin es cierta para el siguiente nmero

natural.Vamos all.a) Es inmediato comprobar que la propiedad se cumple la propiedad para n = 1.b) Supongamos que se cumple para un natural fijo m y comprobemos que se cumple para m + 1:

1 + 3 + 5 + . . . + (2m 1) + (2m + 1) = m2 + (2m + 1) = (m + 1)2.

Por tanto, A = N y la propiedad se cumple para todos los naturales.

1.4.1 Una aplicacin del principio de induccin: el binomio de Newton

Cuntas posibilidades tienes de que aciertes la lotera primitiva? Tienes que escoger 6 nmerosde entre 47 sin importar el orden. El nmero de combinaciones posibles es

(476

).

Las combinaciones sin repeticin de n elementos tomados de p en p se definen como las distintasagrupaciones formadas con p elementos distintos, eligindolos de entre los n elementos de quedisponemos, considerando una variacin distinta a otra slo si difieren en algn elemento, y sintener en cuenta el orden de colocacin de sus elementos. El nmero de combinaciones que sepueden construir de esta forma es (

np

)=

n!p!(n p)!

A los nmeros de la forma(n

p

), n sobre p se les suele llamar nmeros combinatorios. RecordemosNmeros com-

binatorios que el factorial de un nmero natural n es

n! = 1 2 3 n

y que 0! = 1.

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial

El conjunto de los nmeros reales El principio de induccin

11

Las siguientes propiedades de los nmeros combinatorios son fciles de comprobar y nos sernmuy tiles.a)

(n0

)=

(nn

)= 1, para cualquier n N.

b)(n

i

)+

( ni1

)=

(n+1i

), para cualesquiera i n naturales.

Proposicin 1.13 (Binomio de Newton). Dados a, b R y n N, se cumple que

(a + b)n =n

i=0

(ni

)anibi

Demostracin. Vamos a probarlo usando el mtodo de induccin. Es claro que la propiedad escierta para n = 1. Supongamos que es cierta para un natural fijo n y comprobemos que se cumplepara n + 1:

(a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n

= (a + b)n

i=0

(ni

)anibi

=

ni=0

(ni

)ani+1bi +

ni=0

(ni

)anibi+1

=

(n0

)an+1 +

ni=1

(ni

)an+1ibi +

n1i=0

(ni

)anibi+1 +

(nn

)bn+1

=

(n + 1

0

)an+1 +

ni=1

(ni

)an+1ibi +

n1i=0

(ni

)anibi+1 +

(n + 1n + 1

)bn+1

=

(n + 1

0

)an+1 +

ni=1

(ni

)an+1ibi +

nj=1

(n

j 1

)an+1 jb j +

(n + 1n + 1

)bn+1

=

(n + 1

0

)an+1 +

ni=1

[(ni

)+

(n

i 1

)]an+1ibi +

(n + 1n + 1

)bn+1

=

(n + 1

0

)an+1 +

ni=1

(n + 1

i

)an+1i bi +

(n + 1n + 1

)bn+1

=

n+1i=0

(n + 1

i

)an+1ibi.

La utilidad del binomio de Newton estriba en que no es necesario calcular el desarrollo completode (x + 3)15 si slo nos interesa el coeficiente de x4 que, por cierto, es

(154

)311.

Los coeficientes del desarrollo de (a + b)n tambin se pueden encontrar usando el llamadotringulo de Pascal (o de Tartaglia). Este consiste en lo siguiente: comenzamos con un 1, en cada Tringulo de Pas-

cal o de Tartaglialnea nueva aadimos unos en los extremos y bajo cada par de nmeros colocamos su suma. Elresultado que se obtiene nos da los coeficientes del binomio de Newton.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal&oldid=14532305http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal&oldid=14532305http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal&oldid=14532305

Intervalos y conjuntos destacados El conjunto de los nmeros reales

12

n tringulo de Pascal no combinatorio (a + b)n

0 1(00

)1 1 1

(10

) (11

)a + b

2 1 2 1(20

) (21

) (22

)a2 + 2ab + b2

3 1 3 3 1(30

) (31

) (32

) (33

)a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Tabla 1.1 Tringulo de Pascal o Tartaglia

1.5 Intervalos y conjuntos destacados

Definicin 1.14.a) Sea A R, diremos que M R es una cota superior o mayorante (resp. inferior o

minorante) de A si a M para cualquier a A (resp. a M).El conjunto A R est acotado superiormente o mayorado (resp. acotado inferiormenteo minorado) si tiene una cota superior (resp. inferior). Por ltimo el conjunto est acotadosi est mayorado y minorado.

b) Sea A un subconjunto de R. Diremos que a0 A es el mximo absoluto (resp. mnimoabsoluto) de A si verifica que a a0 (resp. a a0) para cualquier a A y lo llamaremosmax(A) (resp. min(A)).

Veamos algunos ejemplos de estos conceptos.

Ejemplo 1.15.a) El conjunto de los nmeros naturales no es un conjunto acotado. Concretamente, no es un

conjunto acotado superiormente pero s est acotado inferiormente. Como no est acotado su-periormente no tiene mximo. S tiene mnimo: 1 n para cualquier natural n.

b) El conjunto{

1n : n N

}est acotado superior e inferiormente: 0 1n 1 para cualquier natural

n. Tiene mximo: el 1, pero no tiene mnimo. El mnimo podra ser el cero pero no perteneceal conjunto.

A la vista de los ejemplos, la existencia de mximo implica que el conjunto esta acotado peroel recproco no es cierto. Hay conjuntos acotados y que no tienen ni mximo ni mnimo: piensa enel intervalo ]0, 1[. Sin embargo, aunque ni el 0 ni el 1 sean ni mximo ni mnimo, s parece claroque tienen un papel destacado. De alguna forma son los extremos del conjunto, pertenezcan o noa dicho conjunto. El supremo y el nfimo van a ser una forma de reconocer este tipo de puntos.

Definicin 1.16. Sea A un subconjunto acotado superiormente deR. El supremo del conjuntoA, sup(A), es el mnimo del conjunto de las cotas superiores de A. Anlogamente se defineel nfimo de un conjunto acotado inferiormente como el mximo de sus cotas inferiores y lonotaremos inf(A).

Si llamamos, para A un conjunto mayorado, M(A) al conjunto de sus mayorantes, entonces

sup(A) = min(M(A)).

Cabe preguntarse si un conjunto mayorado tiene supremo. La situacin es la siguiente: si A es unconjunto mayorado el conjunto de sus mayorantes, M(A), est minorado. Sabemos que un conjunto

El conjunto de los nmeros reales Intervalos y conjuntos destacados

13

minorado no tiene por qu tener mnimo pero y si el conjunto minorado del que estamos hablandoes un conjunto de mayorantes?

Pues bien, se puede comprobar que la ltima propiedad de los nmeros reales se puede reformu-lar de la siguiente forma:

Axioma del supremo: todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.

Este axioma es equivalente al axioma del nfimo. Slo hay que darse cuenta de que si cambia-mos el signo las desigualdades tambin cambian.Ejemplo 1.17. Los extremos de un intervalo acotado son el supremo e nfimo de dicho intervaloindependientemente de si pertenecen o no al intervalo. En el caso particular de que alguno de ellosest en dicho intervalo sern, adems mximo o mnimo (lo que corresponda).Proposicin 1.18. Sea A un conjunto acotado superiormente y sea x el supremo de A.a) Si x / A, entonces A no tiene mximo.b) Si x A, entonces A tiene mximo y, de hecho, x = max(A).

La siguiente proposicin ser til en la demostracin de algunos resultados posteriores.Proposicin 1.19. Sea A R un subconjunto acotado superiormente y sea x R. Entonces

x = sup(A) i) a x, para todo a Aii) dado > 0, a A tal que x < a.

1.5.1 Intervalos

Los conjuntos que van a jugar un papel ms destacado son los intervalos.

Definicin 1.20. Un subconjunto I de R es un intervalo si para cualesquiera x, y I secumple que

[x, y

]= {t R : x t y} I.

Ya conoces cules son los distintos intervalos: abiertos, semiabiertos, cerrados, acotados o no:

[a, b] = {x R : a x b}]a, b] = {x R : a < x b}[a, b[= {x R : a x < b}]a, b[= {x R : a < x < b}

[a,+[= {x R : a x}]a,+[= {x R : a < x}

] , b] = {x R : x b}] , b[= {x R : x < b}

Definicin 1.21. Sea A un subconjunto de R.a) Diremos que a A es un punto interior si existe > 0 tal que ]a , a + [ I.b) El interior de A es el conjunto, A =

{a A : a es un punto interior}. Diremos que el

conjunto A es abierto si coincide con su interior.

Ejercicios El conjunto de los nmeros reales

14

c) Diremos que x R es un punto adherente si para cualquier > 0 se tiene que

]a , a + [A 6= .

d) El cierre o adherencia del conjunto A es A ={x R : x es un punto adherente de A}.

Diremos que el conjunto A es cerrado si coincide con su adherencia.e) Diremos que x R es un punto de acumulacin de A si para cualquier r positivo se

cumple que

]a r, a + r[ (A \ {a}) 6= .

Notaremos A al conjunto de todos los puntos de acumulacin de A.f) Diremos que x R es un punto aislado del conjunto A si existe r > 0 tal que

]a r, a + r[A = {a}.

g) La frontera de A es Fr(A) = A \ A.

Ejemplo 1.22.a) Los intervalos abiertos, ya sean acotados o no, son conjuntos abiertos. De la misma forma los

intervalos cerrados son conjuntos cerrados.b) El conjunto de los naturales N es cerrado y tiene interior vaco al igual que Z. Adems todos

sus puntos son aislados.c) El conjunto A =

{1n : n N

}tiene interior vaco, todos sus puntos son aislados y su cierre es

A {0}. Ms concretamente, 0 es un punto de acumulacin de A.Proposicin 1.23. Sea A un subconjunto de R. Se verifican las siguientes afirmaciones.a) A A A,b) A es abierto si, y slo si, R \ A es cerrado.

1.6 Ejercicios

Ejercicio 1.1. Calcula para qu valores de x se verifica que 2x3x+2 0,

b) x2 5x + 9 > x,c) x3(x 2)(x + 3)2 < 0,

d) x2 6 x,e) x3 6 x,f) x2 3x 2 < 10 2x.

Ejercicio 1.3. Discute para qu valores de x se verifica que:a) |x 1| |x + 2| = 3,b) |x2 x| > 1,

c) |x 1| + |x + 1| < 1,d) |x + 1| < |x + 3|.

Ejercicio 1.4. Para qu valores de x se cumple la desigualdad x2 (a + b)x + ab < 0?

1.6.1 Principio de induccin

Ejercicio 1.5. Demuestra por induccin que 1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n+1)2 , para cualquier n N.

El conjunto de los nmeros reales Ejercicios

15

Ejercicio 1.6. Demuestra que 1 + 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2n = 2n+1, para cualquier n N.

Ejercicio 1.7. Prueba que la suma de los cubos de tres nmeros naturales consecutivos es divi-sible por 9.

Ejercicio 1.8. Demuestra que 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = n(n+1)(2n+1)6 , para cualquier n N.

Ejercicio 1.9. Demuestra que 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = n2(n+1)2

4 , para n N.

Ejercicio 1.10. Demuestra que 12 +14 +

18 + . . . +

12n1 1 para cualquier natural mayor o igual

que dos.

1.6.2 Ejercicios complementarios

Ejercicio 1.1. Calcula, si existen, el supremo, nfimo, mximo y mnimo de los siguientes con-juntosa) A = [0, 1] [2, 3[,b) A = {2n : n N},

c) A ={

x R : x2 + 2x + 1 < 1

2

},

d) A = [0,+[Q.

Ejercicio 1.2. Resuelve las siguientes inecuaciones:a) | x 5 | < | x + 1 |, b) | x 3 | < 0.

Ejercicio 1.3. Demostrar por induccin que todos los nmeros de la forma n3 +5n son divisiblespor 6.

Ejercicio 1.4. Demostrar por induccin que todos los nmeros de la forma 32n1 son divisiblespor 8.

Ejercicio 1.5. Prubese que para todo natural n 2 se verifica que 3 no divide a n3 n + 1.E

Ejercicio 1.6. Prubese que para todo natural n 2 se verifica que 5 divide a n5 n.

Ejercicio 1.7. Demostrar que (1 + x)n > 1 + nx, n N, n > 1. para x R \ {0}, x > 1.

Ejercicio 1.8. Demostrar que xn+1 + 1xn+1 > xn + 1xn , para cualquier natural n y cualquier real x

positivo distinto de uno.

Ejercicio 1.9. Probar que si x R \ {1}, entonces se verifica que

1 + x + x2 + x3 + . . . + xn =xn+1 1

x 1 , n N.

Ejercicio 1.10. Demostrar que, dado un natural n,

n es natural o irracional.

Ejercicio 1.11. Demostrar que

2 +

3 es irracional.

16

Introduccin al Anlisis Numrico Introduccin al Anlisis Numrico

17

Introduccin al Anlisis Numrico

2

2.1 Introduccin al Anlisis Numrico 17 2.2 Errores absolutos y relativos 182.3 Aritmtica de ordenador 20 2.4 Estabilidad 23 2.5 Ejercicios 24

2.1 Introduccin al Anlisis NumricoEl anlisis numrico usa mtodos para aproximar de forma eficiente las soluciones de un pro-

blema matemtico. De forma usual involucra cambiar cantidades que no pueden ser calculadasexplcitamente por aproximaciones y, por tanto, es muy importante el manejo de los errores come-tidos.

En la prctica, un problema matemtico se suele derivar de un problema fsico sobre el quese hacen algunas suposiciones y/o simplificaciones hasta un obtener un modelo matemtico. Nor-malmente las suposiciones permiten trabajar con un problema matemtico resoluble que se sue-le complicar ms cuando eliminamos dichas suposiciones. Dado que el problema matemtico esuna aproximacin al problema fsico, tiene inters encontrar soluciones aproximadas al menos alproblema matemtico. El anlisis numrico est interesado en el desarrollo de mtodos (algorit-mos) que construyan de forma explcita y en una cantidad finita de pasos una solucin aproximada.Tienen ms inters por tanto aquellas demostraciones o construcciones que permiten encontrarexplcitamente la solucin.

Problema A Problema matemtico B Solucin exacta u

Problema aproximado B Solucin aproximada u

En resumen, comenzamos con un problema real A, dicho problema lo trasladamos a un problemamatemtico B con solucin exacta u y, por ltimo, este problema se puede cambiar por un problemamatemtico ms sencillo B con solucin u. De este desarrollo surgen algunos problemas que hayque considerar:

Errores absolutos y relativos Introduccin al Anlisis Numrico

18

a) Cmo podemos medir el parecido o la diferencia entre B y B?b) Problemas de estabilidad; es inevitable cometer errores en el clculo, debido a los redondeos

que efectan los computadores. Interesa que pequeos errores cometidos en los clculos queconducen a u hagan que el resultado no difiera mucho de u (hablaremos de esto en la ltimaseccin).

c) Coste del proceso. Cuntas operaciones deben realizarse? Cunto tiempo se precisa pararealizarlas?

Ejemplo 2.1. Podemos evaluar el polinomio p(x) = 12x4 + 5x318x2 + 7x+ 11 de varias formas.Tambin podemos escribirlo como p(x) = (((12x+5)x18)x+7)x+11. El nmero de operacionespara evaluarlo en el primer caso es de 4 + 3 + 2 + 1 = 10 multiplicaciones y 4 sumas, 15 en total,mientras que en el segundo se requieren solamente 4 multiplicaciones y 4 sumas.En el caso general de un polinomio de orden n, el nmero de multiplicaciones necesario paraevaluarlo si est escrito como

anxn + an1xn1 + + a1x + a0

es n(n+1)2 . En cambio, si lo evaluamos usando

(. . . ((anx + an1)x + an2)x + + a1)x + a0

slo necesitamos n multiplicaciones. Es preferible usar el segundo mtodo porque exige menosoperaciones y, por tanto, menos posibilidades error. El segundo mtodo de evaluar el polinomiose denomina algoritmo de Horner.Algoritmo

de Horner

2.2 Errores absolutos y relativosCuando aproximamos un nmero real existen dos indicadores de la precisin de dicha aproxi-

macin. En concreto:

Definicin 2.2. Sea un valor real y una aproximacin de ste. Se define entonces elerror absoluto como

erra = | |

Y si 6= 0, se define el error relativo como

errr =| |||

Ejemplo 2.3. Con los siguientes ejemplos vamos a constatar que se puede dar el mismo errorrelativo aunque los errores absolutos sean distintos.

error absoluto error relativo

2 2.1 0.1 0.05210-4 2.110-4 0.110-4 0.052104 2.1104 0.1104 0.05

Tabla 2.1 Ejemplos de errores absolutos y relativos

Introduccin al Anlisis Numrico Errores absolutos y relativos

19

Hay que comentar que el valor del error relativo nos informa de la relevancia del error cometidoal hacer la aproximacin. Si medimos la distancia de Granada a Barcelona, as como la longitud deuna pizarra y en ambos casos cometemos un error (absoluto) de 15cm, est claro que en el primercaso podramos asegurar que la medicin es correcta, cosa que en el segundo caso no sera. Elmotivo de que una aproximacin sea precisa o no estriba en el error relativo. En el primer casoel error relativo es muy pequeo si estamos midiendo kilmetros; mientras que en el caso de lapizarra, sera un error relativo considerable.

En la prctica, como el valor de no se conoce, en consecuencia tampoco se conocen los erroresabsoluto y relativo. Pero s se pueden encontrar acotaciones de dichos errores.

Definicin 2.4. Se dice que M > 0 es una cota del error si se verifica que erra < M.

Clasificacin de los errrores

Hay muchas causas que pueden interferir en la precisin de un clculo y generar errores. Esoserrores se pueden clasificar en:

Errores iniciales Vienen de los problemas al recoger los datos iniciales y se deben usual-mente a medidas con precisin limitada.

Errores de redondeo Son debidos a redondeos en los clculos porque estn hechos con unnmero finito de cifras significativas

Errores de truncamiento Corresponden a truncamientos de procedimientos infinitos como cuandonos quedamos con una cantidad finita de trminos en una serie.

Errores de propagacin Son debidos a la propagacin de errores previos en el algoritmo.

Ejemplo 2.5. El siguiente cdigo es parte de la implementacin de la funcin exponencial en lalibrera Clibc1

/** ====================================================* Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.** Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.* Permission to use, copy, modify, and distribute this* software is freely granted, provided that this notice* is preserved.* ====================================================*/

/* __ieee754_exp(x)* Returns the exponential of x.** Method* 1. Argument reduction:* Reduce x to an r so that |r|

Aritmtica de ordenador Introduccin al Anlisis Numrico

20

* x = k*ln2 + r, |r|

Introduccin al Anlisis Numrico Aritmtica de ordenador

21

Veamos a continuacin cmo el ordenador almacena los nmeros reales.

2.3.1 Expresin decimal y expresin binaria

El sistema decimal es el sistema de representacin de nmeros que nos resulta ms familiar. Siun nmero x se puede escribir en base 10 como

x = (n10n + n110n1 + + 0100 + 1101 + 2102 + )

donde i {0, 1, 2, . . . , 9}, su expresin decimal es

nn1 . . . 0.12 . . .

Por ejemplo, si un nmero tiene por expresin decimal 74.348 es porque

74.348 = 7 101 + 4 100 + 3 101 + 4 102 + 8 103

Sin embargo, en la mayora de los ordenadores se utliza la representacin en el sistema binario;esto es, los dgitos con los que vamos a trabajar ahora van a ser dos:{0, 1}, ya que trabajamos enbase 2:

x = (n2n + n12n1 + + 020 + 121 + 222 + )

donde i {0, 1}, entonces la expresin binaria de x es

nn1 . . . 0.12 . . .

Ejemplo 2.6. No es difcil pasar de la representacin en sistema decimal a sistema binario yviceversa. Por ejemplo, dado el nmero 101.011 en sistema binario, su representacin en sistemadecimal es 5.375 ya que

1 22 + 0 21 + 1 20 + 0 21 + 1 22 + 1 23 = 5.375

Veamos ahora un ejemplo del paso contrario. Por ejemplo, sea 10.75 en sistema decimal. Su repre-sentacin en sistema binario es 1010.11 ya que

10.75 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20 + 1 21 + 1 22

Por qu?

Hay que tener en cuenta que un nmero en sistema decimal puede tener un nmero finito dedecimales (por ejemplo 0.1) y, sin embargo, puede tener infinitos decimales en sistema binario(0.12) = 0.0001100011 . . .).

2.3.2 Almacenamiento de nmeros reales

La limitacin del espacio en un ordenador obliga a que ste no pueda guardar todos los nme-ros reales (infinitos), sino que slo pueda almacenar un subconjunto finito de nmeros llamadosnmeros mquina. Adems, cuando un ordenador almacena un nmero real, en realidad lo quealmacena es una aproximacin suya.

Cuando escribimos el nmero 12.304 en el sistema decimal tambin lo podramos escribir as:

Aritmtica de ordenador Introduccin al Anlisis Numrico

22

12304 103

1230.4 102

123.04 101

12.304 100

1.2304 101

12304 102

0.12304 103

Lo que hemos hecho ha sido desplazar el punto decimal. Anlogamente se hara en el sistemabinario.

El ordenador utiliza una representacin estndar para escribir los nmeros reales que se llamarepresentacin de punto flotante. Esto es, si x es un nmero real dado, se escribira como sigue

x = a 10b

donde a es una expresin decimal finita, llamada mantisa y verifica que: 0.1 a 1 y b es unnmero entero, llamado exponente. Si trabajamos en el sistema binario, entonces:

x = a 2b

siendo 0.1 a 1 (en base 2) la mantisa, y b un entero, el exponente.La precisin de un nmero mquina depende del nmero de bits (espacios) utilizados para ser

almacenados. La limitacin de espacios (bits) hace que el ordenador tenga una cota por arriba y unacota por abajo, adems de que para calcular obligatoriamente se vea obligado a hacer redondeospara manejar nmeros que pueda almacenar.

2.3.3 Propiedades de la aritmtica de ordenador

Los errores de redondeo pueden alterar las propiedades elementales de la aritmtica, como sonla propiedad asociativa o la de elemento neutro.

En prcticas con wxMaxima veremos ejemplos de cmo la aritmtica de ordenador altera laaritmtica real.

2.3.4 Cancelacin de cifras significativas

La aritmtica de ordenador requiere que al hacer clculos organicemos con detalle los mismospara que las aproximaciones que se hagan no afecten en demasa a la precisin del resultado final.Con respecto a esto y, en concreto, cuando restamos dos nmeros similares, se da el fenmenode la cancelacin de cifras significativas que, en determinados procesos de clculo, puede afectarconsiderable y negativamente a la precisin del resultado final.

Ejemplo 2.7. Consideremos dos nmeros reales casi iguales

p = 1.23456789 q = 1.23454678

y supongamos que estamos trabajando con una precisin de 9 cifras. Si los restamos:

p q = 0.00002111

Introduccin al Anlisis Numrico Estabilidad

23

observamos que hemos perdido precisin ya que de 9 cifras significativas, hemos pasado a slo 4(el resto son iguales). Puede ocurrir, entonces, que el ordenador sustituya estas cifras por ceros opor valores arbitrarios (depende de la mquina), lo que puede afectar a los clculos siguientes.

Veamos otro ejemplo donde se constata el efecto que produce el fenmeno de la cancelacin decifras significativas.

Ejemplo 2.8. Por ejemplo, al resolver una ecuacin de segundo grado a x2 + bx + c = 0 y alcalcular las races de la forma convencional

x1 =b +

b2 4ac2a

x2 =b

b2 4ac2a

observamos que, cuando b es positivo y grande, en el numerador de x1 estamos restando dos n-meros similares (

b2 4ac b), con lo que se producir el efecto de la cancelacin de cifras

significativas; mientras que en el clculo de x2 este efecto no se producir puesto que estamossumando dos cifras similares. Para evitar lo primero podemos radicalizar la frmula que calculax1 de la forma siguiente:

x1 =b +

b2 4ac2a

=(b +

b2 4ac)2a

(b

b2 4ac)(b

b2 4ac)

=2c

b +

b2 4ac

El fenmeno que acabamos de comentar lo constataremos en prcticas con wxMaxima con unejemplo concreto.

2.4 EstabilidadQu pasa cuando acumulamos errores debido a hacer un nmero elevado de operaciones?

A este fenmeno se le conoce como propagacin de errores. Y el objetivo es saber reconocersituaciones en los que los errores se magnifiquen. Veremos que muchas veces, slo cambiando elproceso de clculo podemos evitar situaciones molestas.

2.4.1 Propagacin de errores

Las operaciones de multiplicacin, divisin y radicacin no afectan a la magnificacin de erroresrelativos. No ocurre lo mismo con los errores absolutos ya que el dividir por un nmero pequeoo, lo que es lo mismo, multiplicar por un nmero grande, se puede magnificar el error absoluto.

Ya que los errores son inevitables en el clculo numrico, al menos debemos aspirar cuandoestablezcamos un algoritmo que la propagacin de errores no afecte demasiado al resultado final.Cuando esto ocurra diremos que el algoritmo es estable. En otro caso, diremos que el algoritmo esinestable. A lo largo del curso intentaremos asegurar la estabilidad de los algoritmos propuestos.

En prcticas veremos cmo dos algoritmos matemticamente equivalentes no tienen por qutener la misma estabilidad cuando se trabaja con aritmtica de ordenador. Concretamente, estable-ceremos dos algoritmos para calcular la potencia n-sima de 1/3, es decir, 1/3n, ambos equivalentes.Sin embargo, trabajando con una aritmtica de 5 dgitos (esto es, aproximando 1/3 por 0.33333),uno de ellos ser estable, mientras que el otro ser inestable.

Ejercicios Introduccin al Anlisis Numrico

24

2.5 Ejercicios

Ejercicio 2.1. Comprobar las siguientes propiedades de los sumatorios:

a)n

k=1(ak + bk) =

nk=1

ak +n

k=1bk

b)n

k=1(c ak) = c

nk=1

ak,

c)n

k=1(ak ak1) = an a0,

Ejercicio 2.2. Estudiar si son ciertas las igualdades:

a)100i=1

(i 1)2 =99i=0

i2,

b)100k=0

(2 + k) = 202 +100k=0

k,

c)100k=1

k3 =

100k=1

k

100

k=1k2

,d)

100k=1

k3 =

100k=1

k

3

,

e)100k=0

k2 =100k=1

k2,

f)100k=0

k2 =99

k=1k2 + 2

99k=1

k + 100.

Ejercicio 2.3. Consideremos las funciones:

f (x) = x(

x + 1

x), g(x) =

x

x + 1 +

x

Observemos que algebraicamente f es equivalente a g. Deseamos hallar el valor de f (500) y g(500).Qu funcin proporciona mejores resultados? Por qu?

Ejercicio 2.4. Deseamos calcular

9876

9875 Cul es el mejor modo de realizarlo?

Ejercicio 2.5. Detectar posibles problemas en la evaluacin de las expresiones siguientes yproponer alternativas para evitarlas:a)

11 + 2x

1 x1 + x

para |x| mucho menor que 1.

b)

x +1x

x 1

xpara | x | mucho mayor que 1.

c)1 cos(x)

xpara | x | mucho menor que 1, x 6= 0.

Funciones elementales Definiciones

25

Funciones elementales

3

3.1 Definiciones 25 3.2 Funciones elementales 32 3.3 Ejercicios 42

La idea de funcin aparece por todas partes: cada persona tiene una edad o un nmero de hijos ouna cantidad de dinero en el bolsillo. No necesariamente tenemos que referirnos a nmeros, pode-mos decir que cada persona tiene, o tuvo, un color de pelo, una marca de coche, etc. El formalismode las funciones nos permite tratar todas estas situaciones de la misma forma.

3.1 Definiciones

3.1.1 Dominio, rango e imagen

Definicin 3.1. Una funcin f : A B es una regla que a cada elemento a de A le asocia unnico elemento de B. Al conjunto A se la llama dominio de la funcin y a B se le suele llamarcodominio. No hay que confundir el codominio con la imagen de la funcin que es conjunto

f (A) ={b B : a A tal que f (a) = b} .

La preimagen de un elemento b de B son aquellos elementos de A cuya imagen es B. Utiliza-remos la siguiente notacin

f 1(b) = {a A : f (a) = b} .

Por extensin, tambin se puede hablar de la preimagen de un conjunto. Si B0 B, la preima-gen de B0 es

f 1(B0) = {a A : f (a) B0} .

La grfica de la funcin es el conjunto Gr( f ) = {(a, b) A B : f (a) = b}.

Observacin 3.2. La definicin de funcin incluye tres cosas obligatoriamente: el dominio, elcodominio y la regla que a cada elemento del dominio le asocia uno del codominio. En ocasionesabusaremos del lenguaje y hablaremos, por ejemplo, de la funcin f (x) =

x + 1. Qu queremos

decir? Slo tenemos la regla que define la funcin. Cules son su dominio y su codominio? Sudominio natural es el mayor conjunto donde la definicin tiene sentido. En nuestro caso sera{x R : x 1} y el codominio es simplemente la imagen de la funcin. En general y salvo quese diga lo contrario, en ausencia de un dominio explcito nos referiremos al conjunto donde tienesentido la definicin de la funcin.

Ejemplo 3.3. Consideremos la funcin f : [0, 3] R definida como f (x) = cos(x).

Definiciones Funciones elementales

26

2

32

2 52

3

1

1

0

cos(x)

Figura 3.1 Grfica e imagen de la funcin coseno

a) Su dominio es el intervalo [0, 3]b) Su codominio es todo el conjunto de los nmeros reales aunque podramos haber puesto cual-

quier conjunto ms grande que el intervalo [1, 1] (su imagen).c) En la Figura 3.1 hemos representado en azul la grfica de la funcin, esto es, el siguiente sub-

conjunto del plano

{(x, cos(x)) : x [0, 3]} .

d) La imagen de la funcin son los valores que toma. En este caso, la funcin coseno toma todoslos valores entre 1 y 1 (en rojo en la figura anterior).

e) La preimagen de un valor puedes ser nica, pueden ser varios elementos o vaca. En nuestrocaso, al ser la funcin peridica, la preimagen nunca es nica. Por ejemplo,

f 1(1) = {x [0, 3] : cos(x) = 1} = {0, 2} ,

en cambio, f 1(2) = , ya que la funcin coseno nunca vale 2.f) Cuando es la funcin positiva? Por definicin, cuando el valor de la funcin es mayor estricta-

mente que cero:

f 1 (]0,+[) = {x [0, 3] : cos(x) > 0} =]0,

2

[

]32,

52

[.

Observa que en este caso f 1 (]0,+[) = f 1 (]0, 1]).Ejemplo 3.4. Uno de los ejemplos ms frecuentes de funciones con los que nos encontramosson las sucesiones. En el Captulo 4 hablaremos de ellas con ms detalle. Una sucesin es unafuncin cuyo dominio es el conjunto de los nmeros naturales. Si el codominio es el conjunto delos nmeros reales, tenemos una sucesin de nmeros reales; si el codominio es el conjunto delos alumnos de la clase, tendremos una sucesin de estudiantes, etc. Es importante resaltar que elhecho de que el dominio sea N lo que nos da es una lista ordenada de elementos. Por ejemplo, lafuncin

f : N R, f (n) = 2n1 7 22 7 4

. . .

nos enumera el conjunto de los pares: el primer nmero par es el 2, el segundo el 4, etc.

Funciones elementales Definiciones

27

Figura 3.2 Grfica de unafuncin de dos variables

Ejemplo 3.5. Todos los ejemplos hasta ahora han tenido subcon-juntos deR como dominio y codominio. Es por eso que todas las re-presentaciones las hemos hecho en el plano R2. La representacinde funciones con ms variables en salida o en llegada requiere msdimensiones para la representacin de su grfica. En la Figura 3.2tienes la representacin de la funcin definida en el plano como

f (x, y) =cos

(x2 + y2

)1 + x2 + y2

.

No es sencillo visualizar en el papel funciones de ms variables ya que habra que representarespacios con cuatro dimensiones o ms en el plano.

3.1.2 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Definicin 3.6.a) Una funcin f : A B es inyectiva si se cumple que no hay dos elementos distintos con

la misma imagen, esto es, si x 6= y entonces f (x) 6= f (y).b) Una funcin f : A B es sobreyectiva si todo elemento tiene una preimagen, esto es,

dado b B existe a A tal que f (a) = b.c) Una funcin f : A B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo 3.7.a) La funcin f : R R definida como f (x) = x2 no es inyectiva ni sobreyectiva. Su imagen esR+0 . Por tanto, la funcin f : R R+0 , f (x) = x2 es sobreyectiva. Ninguna de las dos versioneses inyectiva: f (x) = f (x). Si restringimos a los positivos o a los negativos, s. Por ejemplo,f : R R, f (x) = x2 es inyectiva.

4321 1 2 3 42

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

x2

(3,9)(-3,9)

4321 1 2 3 42

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

x2

(-3,9)

No S

Figura 3.3 La funcin x2 es inyectiva?

Definiciones Funciones elementales

28

b) Las funciones peridicas no son inyectivas: el valor de la funcin se repite cuando avanzamosel periodo, ms concretamente, si la funcin es T -peridica, entonces f (x) = f (x + T ).

c) La funcin exponencial y el logaritmo son inyectivas.d) La funcin sen :

[2 ,

2

] [1, 1] es biyectiva.

Funcin inversa

Si f : A B es una funcin inyectiva, la funcin inversa de f , a la que denotaremos f 1, es lafuncin f 1 : f (A) A definida por f 1( f (a)) = a. En otras palabras, si la funcin f enva a enf (a), su inversa deshace el camino y envia a f (a) de nuevo a a.

Conocemos muchas funciones inyectivas y, para algunas de ellas, tambin conocemos su inversa.Por ejemplo, sabemos que la funcin exponencial y el logaritmo neperiano son inversas una de laotra. Qu quiere decir esto? Simplemente que se cumplen las dos siguientes igualdades:

log(ea) = a y elog(b) = b.

4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

2

2

4

6

0

exponencial

logaritmo neperiano

Figura 3.4 La funcin exponencialy el logaritmo son inversas

Esto tiene una consecuencia en las grficas de las funciones. Mira la Figura 3.4. Las grficas deuna funcin y su inversa son simtricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

Cmo calculamos la inversa de una funcin? En teora es sencillo: si y = f (x) es la funcin,slo tenemos que cambiar los papeles de x e y. Tenemos que despejar x como funcin de y. Estoes la teora. Dependiendo de la funcin podemos estar ante un problema fcil o uno imposible.Veamos un ejemplo.

Funciones elementales Definiciones

29

3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

321

1

2

3

4

5

6

0

f (x) = x2 + x + 1

g(x) = 1+

4x32

h(x) = 1

4x32

Figura 3.5 La funcin x2 + x + 1 y sus inversas

Ejemplo 3.8. Consideremos la funcin f (x) =x2+x+1, cul es su inversa? Como hemosdicho, tenemos que resolver la ecuacin

y = x2 + x + 1

considerando como incgnita x. Las solu-ciones del polinomio x2 + x + 1 y = 0son

x =1

1 4(1 y)

2

=1

4y 3

2.

Las dos soluciones provienen del hecho deque la funcin y = x2+x+1 no es inyectiva.S es inyectiva en cualquiera de los interva-los ] ,1/2] y [1/2,+[. En la Figura 3.5 tienes las grficas de la funcin y su inversa en cadauno de dicho es intervalos.

3.1.3 Funciones pares e impares

Definicin 3.9.a) Una funcin f : A B es par si f (a) = f (a) para cualquier a en A.b) Una funcin f : A B es impar si f (a) = f (a) para cualquier a en A.

0

Figura 3.6 Funciones pares eimpares

Las funciones pares son aquellas cuya grfica es simtrica res-pecto del eje OY. En otras palabras, si doblamos la hora por eleje vertical, ambos mitades coinciden. Para conseguir el mis-mo efecto con una funcin impar tienes que doblar primerorespecto por eje vertical y, en segundo lugar, por el eje hori-zontal.

Ejemplo 3.10.a) Las funciones f (x) = x2 o cos(x) son pares.b) La funcin f (x) = x3 o sen(x) son impares.

3.1.4 Funciones peridicas

Definicin 3.11. Una funcin f : R R es peridica si existe algn nmero real T tal quef (x) = f (x + T ) para cualquier x real. A cualquiera de esos valores se le llama un periodo dela funcin. El periodo fundamental, , es el menor de todos ellos, o sea,

= inf {T : f (x) = f (x + T ), x R}

Definiciones Funciones elementales

30

Figura 3.7 Funcin peridica

Ejemplo 3.12. Las funciones seno y coseno son peridicas con periodo 2 (o cualquier mlti-plo entero de 2). El periodo fundamental de la tangente es . El caso trivial son las funcionesconstantes: son peridicas con cualquier periodo. Por tanto, su periodo fundamental es cero.

3.1.5 Acotacin

f(x)

M

m

Figura 3.8 Funcin acotada

Dada una funcin con valores reales, podemos hablar decundo los valores que toma dicha funcin se encuentranen un rango determinado, son mayores o son menores queuna cierta cantidad. En otras palabras, podemos aplicar lasnociones de acotacin de conjuntos a la imagen de la fun-cin. As surgen las nociones de funcin acotada y funcio-nes acotadas superior o inferiormente.

Definicin 3.13. Sea f : A R una funcin.a) Diremos que la funcin f est acotada superior-

mente si su imagen, f (A), lo est. En otras palabras, f est acotada superiormente si existeun nmero M tal que f (a) M para cualquier elemento a de A.

b) Diremos que la funcin f est acotada inferiormente si su imagen, f (A), lo est. En otraspalabras, f est acotada superiormente si existe un nmero m tal que f (a) m paracualquier elemento a de A.

c) Diremos que la funcin est acotada si lo est superior e inferiormente.

Ejemplo 3.14. Las funciones seno o coseno estn acotadas. En cambio ningn polinomio, salvolos constantes, es una funcin acotada en R.

Una vez que tenemos un conjunto acotado, podemos hablar de mximo y supremo.

Definicin 3.15. Sea f : A R una funcin.a) Diremos que la funcin f tiene mximo si su imagen, f (A) lo tiene. Diremos que f alcanza

su mximo en a0 A si f (a) f (a0) para cualquier a A.b) Diremos que la funcin f tiene mnimo si su imagen, f (A) lo tiene. Diremos que f alcanza

su mnimo en a0 A si f (a) f (a0) para cualquier a A.

Observacin 3.16. Ya sabemos que un conjunto acotado superiormente tiene supremo. No po-demos decir lo mismo con respecto al mximo. Hay conjuntos que tienen supremo pero este no

Funciones elementales Definiciones

31

se alcanza. Piensa, por ejemplo, en los intervalos abiertos. La misma situacin se puede dar confunciones. Por ejemplo, la funcin f :]0, 1[]0, 1[, f (x) = x est acotada, pero no tiene mximoni mnimo.

3.1.6 Funciones montonas

Definicin 3.17.a) Una funcin f : A R R es creciente (resp. decreciente) si

x y = f (x) f (y) (resp. f (x) f (y)).

b) Una funcin f : A R R es estrictamente creciente (resp. estrictamente decreciente)si

x < y = f (x) < f (y) (resp. f (x). > f (y))

En general, diremos que una funcin es montona si es creciente o decreciente y diremos quees estrictamente montona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Observacin 3.18.

1 2 3 4 5 6

1

2

3

0

Hay veces que los nombres nos pueden inducira error y este es uno de esos casos. La idea in-tuitiva que tenemos todos es que una funcin cre-ciente es aquella que tiene una grfica ascendente.En realidad eso es una funcin estrictamente cre-ciente. Una funcin constante es creciente (y de-creciente). La expresin correcta debera ser queuna funcin creciente es aquella cuya grfica nobaja.

Monotona e inyectividad

Se deduce directamente de la definicin de funcin estrictamente montona que puntos deldominio distintos tienen imgenes distintas. En particular, las funciones estrictamente montonasson inyectivas. Es cierto el recproco? Es fcil encontrar ejemplos de que no es cierto en general.Por ejemplo, la funcin f : [0, 3] R definida como

f (x) ={ x, si 0 x < 2,

5 x, si 2 x 3,

no es creciente ni decreciente. La funcin f no es continua y podra pensarse que este fenmenono se presentara en funciones continuas, pero no es difcil conseguir un ejemplo con funcionescontinuas. Dnde presenta problemas de continuidad la funcin f ? Pues eliminemos esos puntos.Considera la funcin g : [0, 1] [2, 3] R definida como

f (x) ={ x, si 0 x < 1,

5 x, si 2 x 3,

Funciones elementales Funciones elementales

32

1 2 3

1

2

3

0

f

1 2 3

1

2

3

0

g

Figura 3.9 Monotona e inyectividad

Como puedes ver, para la inyectividad no es una condicin suficiente para probar monotona siconsideramos funciones que no sean continuas o que no estn definidas en intervalos. En otro caso,el resultado es cierto.

3.2 Funciones elementales

3.2.1 Funciones potenciales

La funcin potencial f : R+ R definida como f (x) = xb tiene sentido para cualquier expo-nente b real. En el caso particular de potencias naturales, se puede extender la definicin a toda larecta real.a) f es biyectiva de R+ en R+, continua y derivable con f (x) = bxb1.b) (xy)b = xbyb.c) Si b > 0, f es estrictamente creciente y verifica limx0 xb = 0 y limx+ xb = +.d) Si b < 0, f es estrictamente decreciente y verifica limx0 xb = + y limx+ xb = 0.

-2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

0

f (x) = x2

g(x) =

x

Figura 3.10 Funcin potencial

Como consecuencia se obtiene que los polinomios, suma de funciones potenciales con exponentenatural, son derivables en todo R. Ms concretamente, si p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn, entoncesp(x) = a1 + 2a2x + . . . + nanxn1, x R.

Funciones elementales Funciones elementales

33

3.2.2 Funcin exponencial

La funcin exponencial de base e, f : R R est definida como f (x) = ex. A veces usaremosla notacin exp(x) para indicar ex.a) f es continua y derivable en R con f (x) = ex.b) f es biyectiva de R en R+ y estrictamente creciente.c) lim

xex = 0 y lim

x+ex = +.

d) ex+y = exey.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

f (x) = ex

g(x) = log(x)

Figura 3.11 Funciones exponencial y logaritmo neperiano

3.2.3 Funcin logaritmo neperiano

La funcin logaritmo neperiano2, g(x) = log(x) para x positivo, es la inversa de la funcinexponencial.a) g es derivable y g(x) = 1x .b) g es biyectiva de R+ en R y estrictamente creciente.c) lim

x0log(x) = y lim

x+log(x) = +.

d) log(xy) = log(x) + log(y), x, y R+.e) log

(xy

)= log(x) log(y), x, y R+.

f) log(xy) = y log(x), x R+, y R.g) log(1) = 0, log(e) = 1.

Haciendo uso de la siguiente frmula se deducen las dems funciones elementales, excepto lastrigonomtricas

ab = elog(ab) = eb log(a), a R+, b R.

Usaremos indistintamente la notacin ln(x) y log(x) para indicar el logaritmo neperiano2

Funciones elementales Funciones elementales

34

3.2.4 Funcin exponencial de base a 6= 1

f : R R, f (x) = ax, x R

a) f es biyectiva de R en R+, continua y verifica ax+y = axay.b) Si a > 1, f es estrictamente creciente y verifica lim

xax = 0 y lim

x+ax = +.

c) Si a < 1, f es estrictamente decreciente y verifica limx

ax = + y limx+

ax = 0.

d) f es derivable y f (x) = ax log(a).

-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

0

f (x) = 2.5xg(x) = 12.5x

Figura 3.12 Funcin exponencial

3.2.5 Funciones logartmicas de base a 6= 1La inversa de la funcin exponencial es la funcin logaritmo. Su comportamiento depende de

la base de la expoencial que hayamos considerado. Es por esto que en algunos casos tengamos quedistinguir entre base mayor o menor que uno.

g : R+ R, g(x) = loga(x) =log(x)log(a)

x R+

a) g es biyectiva de R+ en R y continua. Adems g es la inversa de la funcin exponencial de basea. Verifica tambin que

loga(xy) = loga(x) + loga(y),

loga(xy

)= loga(x) loga(y),

loga(xz) =z loga(x)

para cualesquiera x, y R+, z R.b) Si a > 1, g es estrictamente creciente y

limx0

loga(x) = , y limx+ loga(x) = +.

c) Si a < 1, g es estrictamente decreciente y

limx0

loga(x) = +, y limx+ loga(x) = .

Funciones elementales Funciones elementales

35

1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

0

f (x) = log(x)g(x) = log0.5(x)

Figura 3.13 Funcin logaritmo

Funciones trigonomtricas

3.2.6 Las funciones seno y coseno

a) Son derivables en todo R y sen(x) = cos(x), cos(x) = sen(x).b) Son funciones peridicas de periodo 2

sen(x + 2) = sen(x), cos(x + 2) = cos(x).

c) sen2(x) + cos2(x) = 1, x R. Frmula funda-mental de trigono-metra

d) cos : [0, ] [1, 1] es una biyeccin estrictamente decreciente con cos(0) = 1, cos(2

)= 0,

cos() = 1.e) sen : [2 ,

2 ] [1, 1] es una biyeccin estrictamente creciente con sen

(2

)= 1, sen(0) = 0,

sen(2

)= 1.

f) La imagen, tanto de la funcin seno como de la funcin coseno, es el intervalo [1, 1].g) La funcin coseno es par: cos(x) = cos(x), x R.h) La funcin seno es impar: sen(x) = sen(x), x R.i) cos(x + ) = cos(x), sen(x + ) = sen(x), x R.j) Las funciones seno y coseno no tienen lmite en + ni en .

Funciones elementales Funciones elementales

36

Algunos valores destacados de seno y coseno

1 0.5 0.5 1

1

1

0

(cos(x),sen(x))tan(x)

ngulo x

2

32

2

10.5

0.51

0

Funcin seno

Funcin coseno

Figura 3.14 Las funciones seno y coseno

Radianes Coseno Seno Tangente

0 1 0 0/6

3/2 1/2 1/

3

/4

2/2

2/2 1/3 1/2

3/2

3

/2 0 1 2/3 1/2

32

3

3/4

2/2

2/2 15/6

3/2 1/2 1/

3

1 0 0

Tabla 3.1 Valores de seno, coseno y tangente en losdos primeros cuadrantes

Funciones elementales Funciones elementales

37

012

12

3

23

23 3

3

2

32

6

2

56

56

2

6

3

2

32

12

12

4

2

34

34

2

4

2

2

22

2

2

22

Figura 3.15 Crculo trigonomtrico

Teorema del coseno

h = a sen()rea= 12bh

Teorema del coseno: c2 = a2 + b2 2ab cos()

h

b

c a

3.2.7 La funcin tangente

Como se verifica que cos(x) = 0 x = 2 + k, k Z, podemos definir la funcin tangentecomo

tan : A R, A = R \{

2+ k : k Z

}, tan(x) =

sen(x)cos(x)

Funciones elementales Funciones elementales

38

22

0

Figura 3.16 Funcin tangente

a) tan(x + ) = tan(x), x A.b) tan :

]2 ,

2

[ R es una funcin continua y estrictamente creciente y adems verifica que

limx 2 tan(x) = y limx 2 tan(x) = +.c) La funcin tangente es derivable y

tan(x) = 1 + tan2(x) =1

cos2(x).

3.2.8 Secante, cosecante, cotangente

Siempre que los respectivos denominadores no se anulen, se pueden definir las siguientes fun-ciones

cosec : B R, cosec(x) = 1sen(x)

, x B

sec : A R, sec(x) = 1cos(x)

, x A

cotan : B R, cotan(x) = cos(x)sen(x)

, x B,

donde A = R \ {2 + k : k Z} y B = R \ {k : k Z}.Dichas funciones son continuas y derivables en su correspondiente dominio y

sec(x) = tan(x) sec(x),cosec(x) = cotan(x) cosec(x),

cotan(x) =1

sen2(x)= cosec2(x) = (1 + cotan2(x)).

Funciones elementales Funciones elementales

39

3.2.9 Inversas de funciones trigonomtricas

Funcin arcoseno

1 1

2

2

0

Arcoseno

Arcocoseno

Figura 3.17 Arcoseno yarcocoseno

Esta funcin es la inversa de la restriccin de la funcin seno al in-tervalo [2 ,

2 ], y por tanto arcsen : [1, 1] [

2 ,

2 ] verifica que

sen(arcsen(x)) = x, x [1, 1].Adems, es una funcin biyectiva, continua y estrictamente cre-

ciente con

arcsen(1) = 2, arcsen(0) = 0, arcsen(1) =

2.

Por ltimo, es derivable en el intervalo abierto ]1, 1[ con derivada

arcsen(x) =1

1 x2

.

Funcin arcocoseno

Es la funcin inversa de la restriccin de la funcin coseno al intervalo [0, ], y por tantocos(arccos(x)) = x, x [1, 1].

Esta funcin es biyectiva, continua y estrictamente decreciente con

arccos(1) = , arccos(0) = 2, arccos(1) = 0

Es derivable en el intervalo abierto ] 1, 1[ con derivada

arccos(x) =1

1 x2

.

Funcin arcotangente

Es la inversa de la restriccin de la funcin tangente al intervalo]2 ,

2

[y, por tanto,

arctan : R]

2,

2

[verifica que tan(arctan(x)) = x, x R.a) Esta funcin es biyectiva, continua y estrictamente creciente con

limx

arctan(x) = 2, arctan(0) = 0, lim

x+arctan(x) =

2.

b) Es derivable en R y arctan(x) = 11+x2 .

Funciones elementales Funciones elementales

40

2

4

4

2

6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 60Arcotangente

Figura 3.18 Funcin arcotangente

3.2.10 Identidades trigonomtricas

a) Identidades pitagricas

sen2(x) + cos2(x) = 1

tan2(x) + 1 = sec2(x)

cotan2(x) + 1 = cosec2(x)

b) Suma y diferencia de ngulos

sen(x y) = sen(x) cos(y) cos(x) sen(y)cos(x y) = cos(x) cos(y) sen(x) sen(y)

tan(x y) = tan(x) tan(y)1 tan(x) tan(y)

c) Angulo doble

sen(2x) = 2 sen(x) cos(x),

cos(2x) = cos2(x) sen2(x) = 2 cos2(x) 1 = 1 2 sen2(x)

d) Angulo mitad

sen2(x) =12

(1 cos(2x))

cos2(x) =12

(1 + cos(2x))

tan( x2

)=

1 cos(x)sen(x)

=sen(x)

1 + cos(x)

e) Producto

sen(x) sen(y) =12

(cos(x y) cos(x + y))

cos(x) cos(y) =12

(cos(x y) + cos(x + y))

sen(x) cos(y) =12

(sen(x + y) + sen(x y))

Funciones elementales Funciones elementales

41

3.2.11 Funciones hiperblicas

De forma anloga a como estn definidas las funciones seno y coseno, podemos interpretargeomtricamente las funciones hiperblicas. El papel que juega la circunferencia unidad x2+y2 = 1lo pasa a representar la hiprbola x2 y2 = 1. En este caso, relacionamos el punto (x, y) con elrea que aparece sombreada en la figura 3.19.

1

1x2 y2 = 1

rea (), ())

Figura 3.19 Seno y coseno hiperblicos

Las funciones hiperblicas estn definidas como:

senh(x) =ex ex

2, cosh(x) =

ex + ex

2, tanh(x) =

senh(x)cosh(x)

Por analoga con las funciones trigonomtricas hablaremos tambin de tangente, secante y co-secante hiperblica.

4 3 2 1 1 2 3 4

2

1

1

2

3

4

0

Seno hiperblico

Coseno hiperblico

Figura 3.20 Funciones hiperblicas

Ejercicios Funciones elementales

42

3.2.12 Identidades hiperblicas

a) Identidades pitagricas

cosh2(x) senh2(x) = 1,tanh2(x) + sech2(x) = 1

cotanh2(x) cosech2(x) = 1

b) Sumas y diferencias de ngulos.

senh(x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y),

senh(x y) = senh(x) cosh(y) cosh(x) senh(y),cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y),

senh(x y) = cosh(x) cosh(y) senh(x) senh(y).

c) ngulo doble

senh2(x) =1 + cosh(2x)

2, cosh2(x) =

1 + cosh(2x)2

.

Funciones hiperblicas inversas

arcsenh(x) = log(x +

x2 + 1

)arccosh(x) = log

(x +

x2 1

)arctanh(x) =

12

log(1 + x1 x

)

3.3 Ejercicios

Ejercicio 3.1. Calcula el dominio de las siguientes las funciones:a) y =

x2x+2

b) y = log(

x25x+6x2+4x+6

) c) y =

x1| x |

d) y = tan(x + 4

)Ejercicio 3.2. Si f (x) = 1/x y g(x) = 1/

x, cules son los dominios naturales de f , g, f + g,

f g y de las composiciones f g y g f ?

Ejercicio 3.3. Estudia si son pares o impares las siguientes funciones:a) f (x) = | x + 1 | | x 1 |b) f (x) = log

(1+x1x

)c) f (x) = ex + ex

d) f (x) = ex exe) f (x) = sen (| x |)f) f (x) = cos(x3)

Funciones elementales Ejercicios

43

Ejercicio 3.4. Para qu nmeros reales es cierta la desigualdad e3x+8(x + 7) > 0?

Ejercicio 3.5. Comprueba que la igualdad alog(b) = blog(a) es cierta para cualquier par de nmerospositivos a y b.

Ejercicio 3.6. Resuelve la siguiente ecuacin:

1logx(a)

=1

logb(a)+

1logc(a)

+1

logd(a).

Ejercicio 3.7. Para qu valores de x se cumple que log(x 1)(x 2) = log(x 1) + log(x 2)?

Ejercicio 3.8. Prueba que log(x +

1 + x2)

+ log(

1 + x2 x)

= 0.

Ejercicio 3.9. Resuelve la ecuacin x

x =(

x)x.

Ejercicio 3.10. Simplifica las siguientes expresiones:a) alog(log a)/ log a,b) loga

(loga(aa

x)).

Ejercicio 3.11. Comprueba que si f (x) = 11x , entonces f f f (x) = x.

Ejercicio 3.12. Calcula la inversa de las siguientes funcionesa) f (x) = 3

1 x3 b) f (x) = ex1+ex

Ejercicio 3.13. Hay algn valor de x e y para los que se cumpla que x + y =

x + y?

Ejercicio 3.14. Hay algn valor de x e y para los que se cumpla que 1x+y =1x +

1y ?

44

45

Sucesiones y series

46

Sucesiones de nmeros reales Definicin y propiedades

47

Sucesiones de nmeros reales

44.1 Definicin y propiedades 47 4.2 Sucesiones parciales 49 4.3 Monoto-na 50 4.4 Sucesiones divergentes 53 4.5 Criterios de convergencia 54 4.6 Ve-locidad de convergencia 56 4.7 Ejercicios 57

El concepto de lmite es bsico en Clculo y, de entre las diversas posibilidades, hemos elegidoque haga su aparicin asociado a sucesiones de nmeros reales. La idea intuitiva de sucesin essencilla: una sucesin es una lista ordenada.

4.1 Definicin y propiedades

Definicin 4.1. Una sucesin de nmeros reales es una aplicacin del conjunto de los nme-ros naturales en el conjunto de los nmeros reales, esto es,

N R,n 7 xn.

Llamamos trmino general a xn y, usualmente, no mencionaremos la funcin sino slo la imagende la funcin. Dicho de otra manera, hablaremos de sucesin con trmino general xn y la notaremos{xn}nN o (xn)nN.

x x

x +

1 2 3 n

xn

Figura 4.1 Lmite de una sucesin

Ejemplo 4.2. Hay dos formas usuales de definir una su-cesin: mediante una frmula general que nos permita ob-tener todos los trminos de la sucesin o, por recurrencia,o sea obtenemos cada trmino en funcin de los anterio-res. Por ejemplo, la sucesin

{1

2n1}nN es la sucesin 1,

3, 5, 7,... Como puedes ver, sabemos todos los trminosde la sucesin. El que ocupa el lugar 53 es 1105 . En cam-bio, la sucesin definida como x1 = 0, x2 = 1 y xn+2 =xn+1 + xn conocida como sucesin de Fibonacci est de-finida por recurrencia. Para calcular un trmino tenemosque conocer previamente el valor de los dos anteriores. Noimporta. Puesto que sabemos los dos primeros, podemos calcular el tercero y as sucesivamente:0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .

Definicin 4.3. Diremos que la sucesin {xn}nN es convergente si existe x R verificandoque para cada > 0 existe n0 N tal que |xn x| < , para cualquier n n0. En ese casoescribiremos que lim

nxn = x o {xn} x.

Se puede comprobar fcilmente que

limn

xn = x si, y slo si, limn | xn x | = 0.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesidochar {243}n%20de%20Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesidochar {243}n%20de%20Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesidochar {243}n%20de%20Fibonacci

Definicin y propiedades Sucesiones de nmeros reales

48

Ejemplo 4.4.a) La sucesin constantes son convergentes y su lmite es dicha constante.b) La sucesin

{1n

}nN es convergente a cero.

c) La sucesin {n}nN no es convergente.d) La sucesin {(1)n}nN no es convergente.

4.1.1 Sucesiones y acotacin

Definicin 4.5.a) La sucesin {xn}nN est acotada superiormente (respectivamente inferiormente) si existe

M R verificando que xn M para todo n N (respectivamente xn M).b) La sucesin est acotada si lo est superior e inferiormente o, lo que es lo mismo, si existe

M R tal que | xn | M, para cualquier natural n.

Proposicin 4.6. Toda sucesin convergente est acotada.Demostracin. Aplicamos la definicin de convergencia para = 1. Entonces existe un natural

n0 tal que | xn x | < 1 para n n0. En particular, el conjunto {xn : n n0} est acotado superior-mente por x + 1 e inferiormente por x 1. El resto de los trminos de la sucesin tambin estacotado por ser un conjunto finito. Por tanto, la unin de ambos est acotado. Observacin 4.7. El recproco no es cierto. La sucesin {(1)n}nN est acotada pero no es con-vergente.

4.1.2 lgebra de lmites

Despus de definir el lmite de una sucesin, los siguientes resultados relacionan su comporta-miento y las operaciones usuales de nmeros reales. En primer lugar, comenzamos con la suma yel producto.Proposicin 4.8. Sean {xn} e {yn} dos sucesiones convergentes. Entoncesa) lim

n(xn + yn) = limn xn + limn yn,

b) limn

(xn yn) =(

limn

xn)(

limn

yn),

c) si limn

yn 6= 0, se tiene que limnxnyn

=limn xnlimn yn

.

Proposicin 4.9. Sea {xn} una sucesin convergente a cero e {yn} una sucesin acotada. Entonces{xnyn} es convergente a cero.

Ejemplo 4.10. Vamos a calcular limn

log(3n4 2n + 7

)log

(2n2 + 2n 1) .

limn

log(3n4 2n + 7)log(2n2 + 2n 1) = limn

log(n4(3 2n3 +

7n4 )

)log

(n2(2 + 2n

1n2 )

)= lim

n

log(n4) + log(3 2n3 +

7n4

)log(n2) + log

(2 + 2n

1n2

)= lim

n

4 log(n) + log(3 2n3 +

7n4

)2 log(n) + log

(2 + 2n

1n2

)

Sucesiones de nmeros reales Sucesiones parciales

49

dividimos por log(n) numerador y denominador

=42

= 2.

4.1.3 Convergencia y orden

xy

1 2 3 n

Figura 4.2 El orden se conserva al to-mar lmites

En esta seccin vamos a hacer relacionar convergencia y or-den. El primer resultado nos dice que las desigualdades entrelos trminos de dos sucesiones se trasladan a sus respectivoslmites. De hecho, no hace falta que todos los trminos verifi-can la desigualdad. Es suficiente con que, por ejemplo, paralos trminos pares o los impares tengamos la desigualdad.

Proposicin 4.11. Sean {xn} e {yn} dos sucesiones convergen-tes. Supongamos que el conjunto {n N : xn yn} es infinito.Entonces lim

nxn limn yn.

1 2 3 n

Figura 4.3 Lmites y sucesiones en-cajadas

Proposicin 4.12 (Regla del sandwich). Sean {xn}, {yn} y {zn}sucesiones de nmeros reales verificando quea) lim

nxn = limn zn y que

b) xn yn zn, para cualquier n natural.Entonces {yn} es convergente y limn xn = limn yn = limn zn.

Ejemplo 4.13. Vamos a calcular el lmite

limn

1n2

n+

2n2

n+ + n

n2

n.

Usando que1

n2

n m

n2

n n

n2

n

para cualquier natural m entre 1 y n, podemos acotar superior e inferiormente la sucesin:

n1

n2

n 1

n2

n+

2n2

n+ + n

n2

n n n

n2

n, n N.

Como nuestra sucesin est encajada entre dos sucesiones que tienden a cero, se tiene que

limn

1n2

n+

2n2

n+ + n

n2

n= 0.

4.2 Sucesiones parciales

Si una sucesin es una lista de nmeros, podemos construir una lista nueva escogiendo algunosde estos, por ejemplo los que ocupan un lugar par o impar. A este tipo de sucesiones las llamaremosparciales de la sucesin original.

Monotona Sucesiones de nmeros reales

50

Definicin 4.14. Sea {xn} una sucesin de nmeros reales. Diremos que {yn} es una sucesinparcial de {xn} si existe una aplicacin estrictamente creciente : N N tal que yn = x(n)para cualquier natural n.

Ejemplo 4.15.a) El primer ejemplo de sucesin parcial de una sucesin dada es simple: eliminemos una cantidad

finita de trminos al inicio de la sucesin. Por ejemplo, eliminar los tres primeros trminos seconsigue con la aplicacin (n) = n + 3. La sucesin {xn+3}nN es lo que se llama una cola dela sucesin {xn}nN.En general, si p es un nmero natural, las sucesin parcial {xn+p}nN es una cola de la sucesin{xn}nN. La convergencia de una sucesin y de sus colas es equivalente: la sucesin converge si,y slo si, lo hacen todas o alguna de sus colas.

b) Quedarnos slo con los trminos que ocupan una posicin par o impar consiste en considerarlas parciales {x2n}nN o {x2n1}nN.

Proposicin 4.16. Sea {xn} una sucesin de nmeros reales convergente. Entonces cualquierparcial es convergente y con el mismo lmite.

Este resultado se suele usar para demostrar que una sucesin no es convergente: si existe algunaparcial no convergente o existen parciales distintas convergentes a lmites distintos, la sucesinoriginal no es convergente.

Ejemplo 4.17. La sucesin {(1)n} no es convergente puesto que la parcial de los pares convergea 1 mientras que la de los impares lo hace a 1.

4.3 MonotonaLa definicin de monotona para funciones cualesquiera se puede enunciar para sucesiones.

Definicin 4.18. Una sucesin {xn}nN es creciente si cumple que xn xn+1 para todonatural n. Dicho de otra forma, cuando avanzamos en la lista los trminos son mayores:

n m = xn xm.

Anlogamente, diremos que {xn}nN es decreciente si cumple que xn xn+1 para todo naturaln o, lo que es lo mismo, n m = xn xm.

Evidentemente no todas las sucesiones son montonas al igual que no todas las funciones sonmontonas. Por ejemplo, la sucesin {cos(n)}nN no es montona ni tampoco lo es la sucesin{(1)n}.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 201

1

0

Figura 4.4 La sucesin {cos(n)}nN no es montona

Eso s, de cualquier sucesin siempre podemos elegir trminos cada vez mayores o cada vez me-nores. En otras palabras, siempre podemos elegir una sucesin parcial montona.

Proposicin 4.19. Toda sucesin tiene una parcial montona.

Sucesiones de nmeros reales Monotona

51

SucesionesAcotadas

Montonas

Convergentes

Figura 4.5 Distintos tipos de sucesiones

Cul es el inters de las sucesiones montonas? Son msfciles de estudiar. Por ejemplo, la convergencia de las su-cesiones montonas se reduce al estudio de su acotacin.

Proposicin 4.20. Una sucesin montona es convergen-te si, y slo si, est acotada. De hecho, si {xn}nN es unasucesin creciente y acotada se tiene que

limn

xn = sup {xn : n N} .

El hecho de que las sucesiones montonas y acotadassean convergentes nos permite demostrar que una sucesines convergente sin, tericamente, conocer su lmite.

Ejemplo 4.21. Vamos a estudiar la convergencia de lasucesin

x1 = 1, xn+1 =

xn + 1, n 1.

Para demostrar que esta sucesin es convergente vamos a comprobar que es una sucesin montonay acotada.a) Observa que x2 =

2 > x1 = 1. Vamos a demostrar por induccin que la sucesin es creciente.

i) El primer paso ya lo tenemos dado: x2 =

2 > x1 = 1.ii) Si ahora suponemos que xn < xn+1, veamos que xn+2 > xn+1:

xn+2 =

xn+1 + 1 >

xn + 1 = xn+1.

Luego la sucesin es montona creciente.b) Veamos que tambin est mayorada, concretamente que xn 2 , n N. De nuevo lo compro-

bamos por induccin.i) Es inmediato para n = 1.

ii) Si xn 2, veamos que para xn+1 tambin se verifica:

xn+1 =

xn + 1

2 + 1 =

3 2.

Por tanto, existe x = limn xn y lo calculamos haciendo uso de la frmula de recurrencia. Toman-do lmites

x2n+1 = xn + 1 = x2 x 1 = 0 = x =1

52

.

Como {xn} es creciente y el primer trmino es 1, la nica posibilidad que cabe es que x = 1+

52 .

Ejemplo 4.22. Consideremos la sucesin {xn}nN definida por recurrencia como x1 = 32 yE3xn+1 = 2 + x3n para cualquier natural n. Estudia si {xn}nN es convergente y, caso de que lo sea,calcula su lmite.a) Si calculas algunos trminos de la sucesin, parece que la sucesin es creciente. Vamos a com-

probarlo por induccin.i) x1 = 32 x2 =

1124 .

ii) Supongamos que xn xn+1 para un natural n, entonces

Monotona Sucesiones de nmeros reales

52

xn+1 =2 + x3n

3

2 + x3n+13

= xn+2

ya que la funcin f (x) = x3 es creciente.Acabamos de demostrar que el conjunto {n N : xn xn+1} es inductivo y que, por tanto, lasucesin es creciente.

b) Est acotada la sucesin? Por ser una sucesin creciente, est acotada inferiormente. Slonos falta encontrar una cota superior. De hecho, la sucesin ser convergente si, y slo si, estacotada superiormente. Si la sucesin fuera convergente a un nmero L, como limn xn =limn xn+1 = L, se tiene que cumplir que 3L = 2 + L3. Las soluciones de este polinomio son1 y 2 (comprubalo por ejemplo por el mtodo de Ruffini). Dado que la sucesin es crecientey su primer trmino es 32 , queda descartado que el lmite sea 2. Vamos a comprobar porinduccin que 1 es una cota superior.i) Es evidente que x1 = 32 1.

ii) Supongamos que xn 1 para un natural n, entonces

xn+1 =2 + x3n

3 2 + 1

3 1.

En resumen, la sucesin es creciente y mayorada y, por lo visto anteriormente, su lmite es 1.

Ejemplo 4.23. Sea a R+ y consideremos la siguiente sucesin: x1 = a, xn+1 = 12(xn + axn

), para

cualquier n N. Vamos a ver que {xn}nN es convergente y que su lmite, x, verifica x2 = a.Estudiamos en primer lugar si la sucesin es montona:

xn+1 xn =12

(x2n + a

xn

) xn =

a x2n2xn

.

La sucesin ser decreciente si xn+1 xn 0 o, equivalentemente, si a x2n 0. Si se da ladesigualdad opuesta, la sucesin ser creciente. En cualquier caso, tenemos que estudiar la relacinentre x2n y a. Como no tenemos una frmula para xn, vamos a trabajar con xn+1.

xn+1 xn+2 a x2n+1 0 a (12

(xn +

axn

))2 4a x2n +

a2

x2n+ 2a 0 x2n +

a2

x2n 2a

0 (xn

axn

)2.

Esta ltima afirmacin es claramente cierta. Por tanto la sucesin {xn+1} es decreciente. Al mismotiempo hemos demostrado que est acotada inferiormente:

a xn, para cualquier n natural. Por

tanto, la sucesin {xn+1} (que no es ms que la sucesin {xn} comenzando en el segundo trmino)es convergente. Llamemos L a su lmite. Debe verificar que

L =12

(L +

aL

) L =

a.

Volveremos a este ejemplo ms adelante.

Si unimos los dos resultados anteriores: toda sucesin acotada tiene una parcial montona que,por ser parcial, sigue siendo acotada y, por tanto, convergente.

Sucesiones de nmeros reales Sucesiones divergentes

53

Teorema 4.24 (de Bolzano-Weierstrass). Toda sucesin acotada tiene una parcial conver-gente.

Aunque lo usaremos poco en los ejemplos prcticos, este teorema es la clave que permite probarla existencia de mximo y mnimo de funciones continuas en intervalos cerrados y acotados.

4.4 Sucesiones divergentesLa sucesin {n}nN no es convergente, pero tiene un comportamiento muy particular. Los trmi-

nos de esta sucesin toman valores tan grandes como se desee siempre que dicho trminos sean losuficientemente avazandos. A esto nos solemos referir como que la sucesin {n}nN tiende a +.

Definicin 4.25.a) Sea {xn}nN una sucesin de nmeros reales. Diremos que {xn}nN diverge positivamente

o tiende a + si para cualquier M R existe un natural n0 tal que xn M para cualquiern n0. En ese caso escribiremos limn xn = +.

b) De manera similar, diremos que {xn}nN diverge negativamente o que tiende a si paracualquier K R existe un natural n0 tal que xn K para cualquier n n0. En ese casoescribiremos lim

nxn = .

c) En general, diremos que una sucesin es divergente si diverge positiva o negativamente.

De la definicin se deduce directamente que las sucesiones divergentes no estn acotadas: lassucesiones divergentes positivamente no estn acotadas superiormente y las que divergen negati-vamente no estn acotadas inferiormente.

Observacin 4.26. Un error muy comn es decir que una sucesin tiende a + si sus trminosson cada vez ms grandes o si hay trminos tan grandes como se quiera. Comprubalo en lossiguientes ejemplos:a) La sucesin 1, 1, 2, 4, 3, 9,...,n, n2,... no es creciente pero es divergente.b) La sucesin 1, 1, 2, 1, 3, 1,...,n, 1,... tiene trminos tan grandes como se quiera pero no es

divergente.

Proposicin 4.27. Sean {xn}nN y {yn}nN sucesiones de nmeros reales.a) Si lim

nxn = + y {yn} est acotada inferiormente, entonces limn xn + yn = +.

b) limn| xn | = + si, y slo si, limn

1xn

= 0.

c) Si limn

xn = + y existe un natural n0 y un nmero positivo k tal que yn k para n n0,entonces limn xnyn = +.

Ejemplo 4.28. Vamos a probar que

limn

xn ={

+, si x > 1,0, si | x | < 1.

Comencemos con el caso x > 1. Vamos a demostrar que la sucesin {xn}, que claramente escreciente, no est acotada. Por reduccin al absurdo, supongamos que s est acotada. En ese caso,la sucesin es convergente al supremo de sus elementos por ser creciente. Notemos L a dichosupremo. Se tiene que xn L, n N. En particular,

xn+1 L, n N = xn Lx< L,

Criterios de convergencia Sucesiones de nmeros reales

54

lo que contradice que L sea el supremo.Si x < 1, entonces 1x > 1 y podemos aplicar el apartado anterior para obtener que limn

1xn = +

y, por tanto, limn xn = 0.

4.5 Criterios de convergenciaEl primer criterio que vamos a ver, el criterio de Stolz, permite resolver indeterminaciones de

la forma 00 o . En cierta manera juega un papel similar a la regla de LHpital para cocientes

de funciones.

Proposicin 4.29 (Criterio de Stolz). Sean {xn}nN e {yn}nN dos sucesiones de nmeros reales.Supongamos que se verifica alguna de las siguientes condiciones:a) {yn}nN es creciente y diverge positivamente, o bienb) lim

nxn = limn yn = 0 e {yn}nN es montona.

Entonces se verifica que:a) Si lim

nxn+1 xnyn+1 yn

= L R, entonces limn

xnyn

= L.

b) Si limn

xn+1 xnyn+1 yn

= + , entonces limn

xnyn

= +.

c) Si limn

xn+1 xnyn+1 yn

= , entonces limn

xnyn

= .

Veamos un ejemplo de su uso.

Ejemplo 4.30. Vamos a calcular

limn

12 + 22 + 32 + + n2n3

.

Aplicando el criterio de Stolz, tenemos que estudiar

limn

(12 + 22 + + n2 + (n + 1)2) (12 + 22 + + n2)(n + 1)3 n3 = limn

(n + 1)2

3n2 + 3n + 1=

13.

Por tanto, limn 12+22+32++n2

n3 =13 .

Proposicin 4.31 (Criterio de la raz). Sea {xn}nN una sucesin de nmeros reales positivos.Se verifica que:a) Si lim

nxn+1xn

= L R, entonces limn

nxn = L.

b) Si limn

xn+1xn

= + , entonces limn

nxn = +.

E