Apuntes de Dinámica · 2014-08-14 · Encuentre la tensión en las cuerdas en la figura que se...

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO

DPTO. DE PREPARATORIA AGRÍCOLA

ÁREA DE FÍSICA

“APUNTES DE DINÁMICA”

Guillermo Becerra Córdova

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mailto:[email protected]

Apuntes de Dinámica Guillermo Becerra Córdova

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DINÁMICA La Dinámica es la ciencia que estudia la causa del movimiento de los cuerpos. El movimiento de un cuerpo queda determinado por la naturaleza y la disposición de los otros cuerpos que forman su medio ambiente. La fuerza es la influencia del medio ambiente sobre un cuerpo y la masa es la oposición de un cuerpo a ser acelerado cuando una fuerza actúa sobre él, lo que constituye una propiedad que se suele llamar inercia. La inercia es la tendencia que todo cuerpo posee de mantener su estado. Así, si un cuerpo está en reposo tiene una tendencia a continuar en este estado y será necesario que actúe sobre él una fuerza para cambiar dicho estado. Si el cuerpo se está moviendo tiende por inercia a moverse en línea recta y con una velocidad constante. Isaac Newton formuló tres leyes fundamentales para explicar las causas del movimiento de los cuerpos. Estas leyes fueron establecidas por medio de idealizaciones y abstracciones propias de los procesos científicos en la descripción de la naturaleza. INERCIA El concepto de inercia está íntimamente relacionado con la primera ley de Newton. Una definición común de este término es la siguiente: la inercia mide la tendencia de un objeto en reposo a permanecer en reposo y de un objeto en movimiento a permanecer en movimiento con su velocidad original. Es bien sabido que un camión de carga tiene mucho mayor inercia que una carretilla, es mucho más fácil mover la carretilla que mover el camión, además, se puede detener con mayor facilidad la carretilla que el camión cuando ambos se mueven con la misma velocidad. Es difícil alterar el estado de movimiento de un objeto cuya inercia es grande. La masa de un objeto está relacionada con su inercia, que es la oposición al cambio del estado de movimiento. Cuanto mayor sea la inercia de un objeto tanto más difícil podrá acelerarse. Se mide la inercia en términos de una cantidad fundamental llamada masa, cuya unidad estándar es el kilogramo. PRIMERA LEY DE NEWTON La fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo que se encuentra estático es cero. Se puede resumir este comportamiento de la siguiente manera: un objeto en reposo permanecerá en reposo si actúa sobre él una fuerza resultante igual a cero. Esta afirmación es una parte de la primera ley de Newton. Antes de Newton, casi todos suponían que era necesaria una fuerza para mantener un objeto en movimiento. Si se desliza un objeto sobre una superficie horizontal, pronto se detendrá. Para mantenerlo en movimiento, se deberá continuar empujándolo. En efecto, es casi obvio que los objetos en movimiento, abandonados a sí mismos, se frenan y pronto se detienen. Newton descubrió que esta observación, aunque correcta, no se aplica a objetos sobre los que actúa una fuerza resultante igual a cero. Para el caso del objeto que se desliza sobre la superficie horizontal, descubrió que existe una fuerza que frena al movimiento que es la fuerza de fricción que la superficie ejerce sobre el bloque. Por lo tanto, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo no es cero. Newton reconoció que el bloque disminuye su velocidad y se detiene a causa de la fuerza de fricción no equilibrada. Mientras más pequeña sea una fuerza de fricción, el cuerpo disminuirá su velocidad más lentamente. Siguiendo esta línea de razonamiento, Newton propuso que si están ausentes las fuerzas de fricción, los objetos que se deslizan no se detendrán. Es decir: si la fuerza resultante que actúa sobre un objeto en movimiento es cero, el objeto continuará su movimiento con velocidad constante. Esta ley afirma que ni la magnitud ni la dirección de la velocidad del objeto cambiarán. El objeto continuará moviéndose a lo largo de una línea recta. Se puede resumir la primera ley del movimiento de Newton como sigue: si la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre un objeto es cero, la velocidad del objeto permanecerá constante. Cuando un cuerpo está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme decimos que está en equilibrio. Entonces es evidente que si queremos tener un cuerpo en equilibrio debemos hacer que la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sea nula. Recíprocamente, si


3

tenemos una partícula en equilibrio podemos afirmar que las fuerzas actuantes tienen magnitudes y direcciones que su suma sea nula. APLICACIONES DE LA PRIMERA LEY DE NEWTON Cuando una cuerda está estirada por la acción de esfuerzos aplicados en sus extremidades se dice que está en tensión o tracción. El valor de la tensión en la cuerda, representa el valor de la fuerza que la estira o del esfuerzo que hace para sostener algún peso. El la figura 1, la cuerda

OA tira del punto O hacia la izquierda y esta fuerza se representa por la tensión 1T en la figura.

En esta misma figura mostramos la tensión 2T ejercida por OB sobre O. Por otra parte, actúa en

O el peso de 50 N hacia abajo. Como el cuerpo está en equilibrio, concluimos que la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es nula. En consecuencia, la suma de las fuerzas en la dirección horizontal y vertical son iguales a cero, es decir:

0xF y 0yF

Figura 1 Descomponiendo las fuerzas Ox y Oy obtenernos las dos ecuaciones siguientes:

030 1

0

2 TCosT

Y

0100300

2 NSenT

Observe que la primera ecuación nos muestra que la fuerza 1T tira del punto O hacia la

izquierda la cual es equilibrada por la componente 2T en dirección Ox. La segunda ecuación

nos muestra que es la componente 0

2 30SenT la que está equilibrando el peso del cuerpo.

Al resolver el sistema de ecuaciones, encontramos que los dos valores de las dos incógnitas:

NT 2.1731 y NT 2002

060

NP 100

1T

B

2T

A

O

030


4

TT

mgP

Encuentre la tensión en las cuerdas en la figura que se muestra a continuación. En la figura se muestra

Figura 2 Descomponiendo las fuerzas Ox y Oy obtenernos las dos ecuaciones siguientes:

04530 0

2

0

1 CosTCosT

Y

01004530 0

2

0

1 NSenTSenT Observe que la primera ecuación nos muestra que la componente 1T en la dirección horizontal

tira del punto O hacia la izquierda la cual es equilibrada por la componente 2T en la misma

dirección la cual tira del punto O hacia la derecha. La segunda ecuación nos muestra que las

componentes verticales de las tensiones 1T y 2T equilibran el peso del bloque. Al resolver el

sistema de ecuaciones, encontramos que los valores de las dos incógnitas son:

NT 20.731 y NT 66.892 Encuentre la tensión en la cuerda en la figura que se muestra a continuación. En la figura se muestran las fuerzas que actúan sobre el bloque.

Figura 3 Si se desprecia la masa de la polea y la fricción de la misma con el eje, entonces la tensión en los extremos de la cuerda es la misma. Si el cuerpo permanece en reposo, la tensión menos el

030

NP 100

2T

O

1T

A

B

060

045


5

T

mgP

T T

peso es igual a cero, es decir, la fuerza que se necesita aplicar en el extremo de la cuerda es igual al peso del cuerpo. Encuentre la tensión en la cuerda en la figura que se muestra a continuación. En la figura se muestran dos poleas, una fija y la otra móvil. La polea móvil está sujeta por una cuerda en la cual uno de sus extremos se encuentra fijo a la superficie horizontal y el otro extremo pasa por la polea fija. La cuerda en la polea móvil divide el peso del bloque en dos. En consecuencia, se tiene:

Figura 4

mgTTT 2

Por lo que:

2

mgT 1

Esta relación nos indica que la tensión en la cuerda es igual a la mitad del peso del bloque. Este dispositivo sirve para reducir la fuerza que se necesita para levantar un objeto. Encuentre la tensión en la cuerda en la figura que se muestra a continuación. En la figura se muestran cuatro poleas, una fija y tres móviles. Dos de las poleas móviles están sujetas por una cuerda en la cual uno de sus extremos se encuentra fijo a la superficie horizontal y el otro extremo pasa por otra polea móvil. Uno de los extremos de la cuerda de la tercera polea móvil está fijo a la superficie horizontal y el otro extremo pasa por la polea fija. La cuerda en la primera polea móvil divide el peso del bloque en dos. La tensión en el extremo de la primera polea es dividida por las dos cuerdas de la segunda polea móvil. Finalmente, la cuerda que pasa por la tercera polea divide la tensión de la cuerda que pasa por la segunda polea. En consecuencia, se tiene que:

mgTTT 333 2

3222 2 TTTT

2111 2 TTTT

En consecuencia:


6

2T

mgP

1T

1T1T

2T

3T3T

Figura 5

81

mgT 2

La fuerza 1T es la octava parte del peso del bloque para poder equilibrarlo.

SEGUNDA LEY DE NEWTON La segunda ley de Newton estudia el efecto que tienen las fuerzas no equilibradas que actúan sobre un objeto. La experiencia cotidiana dice que las fuerzas no equilibradas producen un cambio en la velocidad del objeto, es decir, producen una aceleración sobre el objeto. Newton reconoció que las fuerzas no equilibradas causan aceleraciones y su segunda ley relaciona la fuerza externa resultante que actúa sobre un objeto con la aceleración del objeto. Cuando una fuerza neta actúa sobre un objeto de masa m y produce una aceleración a , las

cantidades están relacionadas por:

amF 3

Esta conclusión es el enunciado de la segunda ley de Newton. La segunda ley de Newton nos indica que cuanto mayor sea la masa del objeto tanto mayor será la fuerza necesaria para cambiar su velocidad. Además, cuanto mayor sea la fuerza neta actuando sobre un objeto, tanto mayor será la aceleración experimentada. En consecuencia con la segunda ley de Newton, si la fuerza neta que actúa sobre un objeto es igual a cero, un objeto en reposo permanecerá en reposo y un objeto en movimiento conservará su velocidad original. APLICACIONES DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON Las leyes de Newton forman parte esencial de los conceptos básicos de la Dinámica, que es la ciencia que se encarga de establecer las causas del movimiento de los cuerpos. La fuerza representa la interacción del medio y el objeto en estudio, identificándose como la causa que origina el movimiento de los cuerpos. Newton estableció que en ausencia de fuerzas un cuerpo no alterará su estado, es decir, si está en reposo, permanecerá en reposo. Aunque escape a nuestro sentido común, lo mismo se


7

gm2gm1

T T

puede afirmar de un cuerpo que se mueva con velocidad constante y describiendo una trayectoria rectilínea; éste permanecerá así mientras no haya una fuerza que altere su estado. Para un cuerpo que haya sido afectado por una fuerza, ese estado se romperá apareciendo con ello un cambio de rapidez o un cambio en la trayectoria del movimiento del cuerpo si originalmente se desplazaba con movimiento rectilíneo uniforme, o pueden aparecer ambos efectos simultáneamente. Un cambio experimentado en la rapidez de un cuerpo en un determinado intervalo de tiempo, es conocido como aceleración tangencial. De manera equivalente, un cambio en la dirección del movimiento del cuerpo causa una aceleración conocida como aceleración centrípeta. Así, una fuerza que actúe en un cuerpo es capaz de ocasionar en él una aceleración que es proporcional a dicha fuerza. Sin embargo, la aceleración que experimente un cuerpo no solo dependerá de la fuerza que se le aplica, sino también de la cantidad de masa que contenga; entendiéndose a la masa como una medida cuantitativa de la inercia, siendo ésta una propiedad que tienen los cuerpos de presentar resistencia para cambiar su estado. Así, para una fuerza dada, un objeto de menor masa se acelerará más que un objeto de mayor masa. La segunda ley de Newton establece que la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración que experimente. En consecuencia, para identificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, se dibuja un diagrama por separado del cuerpo aislado, mostrando un marco de referencia y todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. Este diagrama se le conoce como Diagrama de Cuerpo Libre. Máquina de Atwood Este método es utilizado para calcular la tensión en la cuerda y la aceleración que experimentarán dos objetos de diferente masa que estén atados a la cuerda que pasa por una polea sin fricción y masa despreciable. Dicho dispositivo se conoce como Máquina de Atwood. La figura 6 muestra un dispositivo similar a la Máquina de Atwood. En este ejemplo se antepondrá un signo positivo a la aceleración si el cuerpo se desplaza hacia

arriba y un signo negativo en caso contrario. Las fuerzas que actúan sobre 1m y 2m se

muestran en la figura 6 en la cual T representa la tensión en los extremos de la cuerda.

Figura 6

La ecuación de las fuerzas para 1m es:


8

amgmT 11 4

Y para 2m se tiene:

amgmT 22 5

Con 1m mayor a 2m .

Estas ecuaciones nos indican que la tensión es menor que el peso del cuerpo de masa 1m y

que la tensión es mayor que el peso del cuerpo de masa 2m ; en consecuencia, el bloque de

masa 1m caerá y el bloque de masa 2m , subirá.

Combinando ambas ecuaciones, tenemos:

21

21 )(

mm

gmma

6

y

21

212

mm

gmmT

7

Estos resultados son válidos si la masa de la polea es despreciable. Para el caso en que esta condición no se cumpla, encontraríamos que la tensión en cada extremo de la cuerda sería diferente. Ejemplo 1.

En una máquina de Atwood las masas de los bloques son de kgm 201 y kgm 102 ,

encuentre la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda. Sustituyendo las masas en la ecuación 6 y 7 para la aceleración y la tensión, tenemos:

22

21

21 /26.330

98

1020

/8.9*)1020()(sm

kg

N

kgkg

smkgkg

mm

gmma

Y

Nkg

Nkg

kgkg

smkgkg

mm

gmmT 6.130

30

3920

1020

/8.9*10*20*22 2

21

21

Ejemplo 2.

En una máquina de Atwood la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/5 sma

y la tensión en la cuerda es de NT 50 , calcule las masas de los bloques.

Utilizando la ecuación 4, tenemos:

amgmT 11

Despejando 1m se llega a:

kgsmsm

N

ag

Tm 42.10

/5/8.9

50221


9

Utilizando la ecuación 5, tenemos:

amgmT 22

Despejando 2m se llega a:

kgsmsm

N

ag

Tm 38.3

/5/8.9

50222

Ejemplo 3.


y la masa más grande es de kgm 301 , calcule la masa del bloque restante y la tensión en la

cuerda. Utilizando la ecuación 4, despejamos la tensión:

NsmsmsmagmT 8.22)/6/8.9(*)/6()( 222

1

Y sustituyendo la tensión en la ecuación 5, la masa del bloque restante es:

kgkgsmsm

smsmm

ag

agm 215.730*

/6/8.9

/6/8.922

22

12

Ejemplo 4.

En una máquina de Atwood la tensión en la cuerda es de NT 40 y la masa del bloque mayor

es de kgm 201 , calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la masa del

bloque restante. Utilizando la ecuación 4 despejamos la aceleración:

kgkg

Nsmkg

m

Tgma 8.7

20

40/8.9*20 2

1

1

Sustituyendo la aceleración en la ecuación 5 y despejando 2m , se llega al siguiente resultado:

kgsmsm

N

ag

Tm 53.2

/6/8.9

40222

Ejemplo 5.

En una máquina de Atwood la tensión en la cuerda es de NT 40 y la masa del bloque menor

es de kgm 32 , calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la masa del bloque

restante. Utilizando la ecuación 5 despejamos la aceleración:

kgkg

smkgkg

m

gmTa 53.3

3

/8.9*340 2

2

2


10

T

N

gm1

gm2

T

Sustituyendo la aceleración en la ecuación 4 y despejando 1m , se tiene:

kgsmsm

N

ag

Tm 38.6

/53.3/8.9

40221

Ejemplo 6.


y la masa del bloque menor es de kgm 32 , calcule la tensión en la cuerda y la masa del

bloque restante. Utilizando la ecuación 5 despejamos la tensión:

NsmsmsmagmT 4.53)/8/8.9(*)/3()( 222

2

Sustituyendo la tensión en la ecuación 4 y despejando 1m , se tiene:

kgsmsm

N

ag

Tm 6.29

/8/8.9

4.53221

Plano Horizontal En la figura siguiente se muestra un bloque sobre un plano horizontal atado a una cuerda que sujeta a otro bloque que se encuentra suspendido. Quisiéramos saber ¿Qué fuerzas actúan en

cada bloque?, ¿Qué tan grande debe ser la fuerza horizontal que tira del bloque 1m para que se

mueva?, ¿Cuál debe ser el valor de la masa del bloque 2m para que se pueda mover el bloque

1m si no existe fricción entre las superficies de contacto? y, finalmente, ¿Con qué aceleración se

moverán los bloques?

Figura 7

Las fuerzas que actúan sobre 1m y 2m se muestran en la figura 7, en la cual T representa la

tensión en los extremos de la cuerda. En consecuencia, la ecuación de las fuerzas que actúan sobre para m1 es:

amT 1 8

y


11

01 gmN 9

Para 2m se tiene:

amgmT 22 10

Combinando ambas ecuaciones, tenemos que:

21

2

mm

gma

11

21

21

mm

gmmT

12

Ejemplo 1. En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la masa del bloque que se encuentra sobre

el plano es de kgm 201 y la que se encuentra suspendida es de kgm 12 . Encuentre la

aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda. Utilizando la ecuación 11, encontramos que la aceleración con la que se moverán los bloques es de:

22

21

2 /467.0/8.9*120

1smsm

kgkg

kg

mm

gma

Al sustituir estas masas en la ecuación 12, se concluye que la tensión en la cuerda es de:

Nsmkgkg

kgkg

mm

gmmT 33.9/8.9*

120

)1)(20( 2

21

21

Ejemplo 2. En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven los

bloques es de 2/6 sma y la masa del bloque que se encuentra sobre el plano horizontal es

de kgm 201 . Encuentre la masa del bloque restante y la tensión en la cuerda.

Utilizando la ecuación 8, encontramos que la tensión en la cuerda es de:

NsmkgamT 120)/6)(20( 2

1

Empleando la ecuación 10 y despejando 2m , concluimos que:

kgsmsm

N

ag

Tm 58.31

/6/8.9

120222

Ejemplo 3.


12

En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven los

bloques es de 2/6 sma y la masa del bloque que se encuentra suspendida es de

kgm 202 . Encuentre la masa del bloque restante y la tensión en la cuerda.

Empleando la ecuación 10, y despejando la tensión encontramos que:

NkgsmsmmagT 7620*)/6/8.9()( 22

2

Utilizando la ecuación 9 y despejando 1m , concluimos que:

Kgsm

N

a

Tm 66.12

/6

7621

Ejemplo 4. En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la tensión en la cuerda que une a los

bloques es de NT 25 y la masa del bloque que se encuentra sobre el plano horizontal es de

kgm 201 . Encuentre la masa del bloque restante y la aceleración con la que se moverán los

bloques. Empleando la ecuación 8, y despejando la aceleración encontramos que:

2

1

/25.120

25sm

kg

N

m

Ta


kgsmsm

N

ag

Tm 92.2

/25.1/8.9

25222

Ejemplo 5. En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la tensión en la cuerda que une a los

bloques es de NT 25 y la masa del bloque que se encuentra suspendida es de kgm 202 .

Encuentre la masa del bloque restante y la aceleración con la que se moverán los bloques. Empleando la ecuación 10, y despejando la aceleración encontramos que:

22

2

2 /55.820

25)/8.9)(20(sm

kg

Nsmkg

m

Tgma


kgsm

N

a

Tm 92.2

/55.8

2521


13

T

N

gm1

gm2

T

fr

Ejemplo 6. En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven los

bloques es de 2/4 sma y la tensión en la cuerda que une los bloques es de NT 20 .

Encuentre las masas de ambos bloques.

Empleando la ecuación 8, y despejando 1m encontramos que:

kgsm

N

a

Tm 5

/4

2021


kgsmsm

N

ag

Tm 45.3

/4/8.9

20222

Estos resultados son válidos si no hay fricción entre el bloque 1m y la superficie horizontal. Para

el caso en que exista fricción, el bloque 1m estaría frenado por esta fuerza. Observe la figura.

Figura 8

La ecuación de las fuerzas que actúan sobre 1m es:

amfrT 1 13

01 gmN 14

Nfr 15

amgmT 11 16

y para 2m se tiene:

amgmT 22 17


14

Combinando ambas ecuaciones, tenemos:

21

12 )(

mm

gmma

18

21

2121 )(

mm

gmmmmT

19


el plano es de kgm 201 y la que se encuentra suspendida es de kgm 102 . Si el coeficiente

de fricción es de 1.0 , encuentre la aceleración con la que se moverán los bloques y la

tensión en la cuerda.

Empleando la ecuación 18, y despejando 1m encontramos que:

22

21

12 /61.230

4.78

1020

)/8.9))(20)(1.0()10(()(sm

kg

N

kgkg

smkgkg

mm

gmma

O Utilizando la ecuación 19, concluimos que la tensión es igual a:

2

21

2121 /8.9*1020

)10)(20)(1.0()10)(20()(sm

kgkg

kgkgkgkg

mm

gmmmmT

O

Nkg

kgN

mm

gmmmmT 86.71

30

2156)(

21

2121


el plano es de kgm 201 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/5 sma

Si el coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la tensión en la cuerda que une a los

bloques y la masa del bloque restante.

Empleando la ecuación 16, y despejando T encontramos que:

NsmsmkgagmT 6.119)/5/8.9*1.0)(20()( 22

1

Utilizando la ecuación 17 y despejando 2m concluimos que:

kgsmsm

N

ag

Tm 92.24

/5/8.9

6.119222


15

Ejemplo 3. En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra

suspendida es de kgm 202 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/5 sma . Si el coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la tensión en la cuerda que

une a los bloques y la masa del bloque restante.


NsmsmkgagmT 96)/5/8.9)(20()( 22

2


kgsmsm

N

ag

Tm 05.16

/5/8.9*1.0

96221


suspendida es de kgm 202 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma . Si la masa del bloque que se encuentra sobre la superficie es igual a kgm 301

encuentre la tensión en la cuerda que une los bloques y el coeficiente de fricción.


NsmsmkgagmT 136)/3/8.9)(20()( 22

2

Utilizando la ecuación 16 y despejando concluimos que:

020.0)/8.9)(30(

)/3)(30(962

2

1

1

smkg

smkgN

gm

amT



une ambos bloques y la masa del bloque que se encuentra sobre la superficie horizontal.


NsmsmkgagmT 136)/3/8.9)(20()( 22

2


kgsmsm

N

ag

Tm 17.34

/3)/8.9)(1.0(

136221


la superficie horizontal es de kgm 201 y la aceleración con la que se mueven los bloques es


16

de 2/3 sma . Si la tensión en la cuerda que une los bloques es de NT 80 , encuentre el

coeficiente de fricción y la masa del bloque que se encuentra suspendida. Empleando la ecuación 16, y despejando encontramos que:

102.0)/8.9)(20(

)/3)(20(802

2

1

1

smkg

smkgN

gm

amT


kgsmsm

N

ag

Tm 76.11

/3/8.9

80222

Ejemplo 7. En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la tensión en la cuerda que une los

bloques es de NT 60 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma . Si

el coeficiente de fricción es de 1.0 , las masas de los bloques.

Empleando la ecuación 16, y despejando encontramos que:

kgsmsm

N

ag

Tm 07.15

/3)/8.9)(1.0(

60221


kgsmsm

N

ag

Tm 82.8

/3/8.9

60222

Plano Inclinado La segunda ley de Newton establece que la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración que experimente. En consecuencia, para identificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, se dibuja un diagrama por separado del cuerpo aislado, mostrando un marco de referencia y todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. Este diagrama se le conoce como Diagrama de Cuerpo Libre. Las ecuaciones de las fuerzas para m son:

amfrsengm 20

Nfr 21

0cos1 gmN 22

Sustituyendo la ecuación 22 en la ecuación 21 y la 21 en la 20 se tiene que la aceleración con la que se moverá el bloque es de:


17

sengm

fr

cosgm

gm

N

Figura 9

gsena )cos( 23

Si la aceleración es igual a cero, el coeficiente de fricción es:

tan 24

Es decir, el coeficiente de fricción para un bloque que comienza a deslizarse sobre un plano inclinado es igual a la tangente del ángulo que forma el plano inclinado al momento de comenzar a deslizarse el bloque. Ejemplo 1. Calcule la aceleración con la que se deslizará un bloque si el ángulo de inclinación es de

060 y el coeficiente de fricción es de 5.0 .

Utilizando la ecuación 23, la aceleración es igual a:

2200 /03.6)/8.9))(60)(cos5.0(60()cos( smsmsengsena

Ejemplo 2. Calcule el coeficiente de fricción entre el plano inclinado y un bloque que se encuentre sobre él

si la aceleración con la que se desliza el bloque es de 2/4 sma y el ángulo de inclinación es

de 050

Despejando el coeficiente de fricción en la ecuación 23, se tiene que el coeficiente de fricción es de:

5567.0)50)(cos/8.9(

/4)50)(/8.9(

cos 02

202

sm

smsensm

g

aseng

Ejemplo 3. Calcule el ángulo por el cual un bloque se mueve sobre un plano inclinado si la aceleración con

la que se desliza es de 2/3 sma y el coeficiente de fricción es de 6.0 .

Utilizando la ecuación 22 vemos que es imposible despejar el ángulo por el cual el bloque se desliza con la aceleración y coeficiente de fricción dado en el problema. Para saber el ángulo se recurre al método gráfico, el cual en el lado izquierdo de la misma ecuación se colocan los


18

términos constantes y en el lado restante los términos que contienen la variable buscada. Así, esta ecuación queda de la siguiente manera:

3061.0/8.9

/3cos)6.0(

2

2

sm

smsen

g

a

Al graficar ambos lados de la ecuación, observamos que el cruce de ambas gráficas nos revela el ángulo por el cual se desliza el bloque con la aceleración y el coeficiente de fricción establecidos en el problema.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Fu

ncio

ne

s

Ángulo

Figura 10

En la figura 10 se muestra que el ángulo en el cual se cruzan ambas gráficas es en 046 ,

aproximadamente. Ejemplo 4. Si el ángulo con el cual comienza a deslizarse un bloque sobre un plano inclinado es de

030 . Calcule el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano inclinado.

Utilizando la ecuación 24, se tiene que el coeficiente de fricción es de:

5773.030tantan 0

Ejemplo 5. Si el coeficiente de fricción entre un plano inclinado y el bloque que se encuentra sobre él es de

5.1 , encuentre el ángulo por el cual comienza a deslizarse.

Despejando el ángulo de la ecuación 24, se tiene:

011 30.56)5.1(tan)(tan

Encuentre la aceleración con la que se moverá el bloque y la tensión en la cuerda mostrada en la figura 11, suponiendo que los coeficientes de fricción entre los bloques y la superficie horizontal es el mismo.


19

2fr

F

2m

1m

T 2fr

1fr

Figura 11 Las ecuaciones de las fuerzas para cada bloque son:

amfrfrF 121 25

Donde:

gmmfr )( 211 26

Y

gmfr 22 27

Sustituyendo las ecuaciones 26 y 27 en la ecuación 25, se obtiene:

amgmgmmF 1221 )( 28

Y

02 gmT 29

Resolviendo:

1

21 )2(

m

gmmFa

30

Y

gmT 2 31

Ejemplo 1. Calcule la tensión y la aceleración con la que se moverá el bloque de masa 1m mostrado en la

figura 11, si el coeficiente de fricción es de 5.0 , las masas de los bloques son kgm 201 y

kgm 102 , y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m es igual a NF 200

Utilizando las ecuaciones 30 y 31, se tiene:

22

1

21 /2.020

)/8.9))(10)(2(20)(5.0(200)2(sm

kg

smkgkgN

m

gmmFa


20

Y

NsmggmT 49)/8.9)(10)(5.0( 2

2

Ejemplo 2. Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 11 si la tensión en la cuerda es de

NT 150 , el coeficiente de fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueve el

bloque de masa 1m es de

2/1 sma y la fuerza con que es tirado el bloque de masa 1m es de

NF 400 .

Utilizando la ecuación 31, y despejando 2m , se tiene:

kgsm

N

g

Tm 61.30

)/8.9)(5.0(

15022

Utilizando la ecuación 30 y despejando 1m , se tiene:

kgsmsm

smkgN

ga

gmFm 95.16

)/8.9)(5.0(/1

)/8.9)(61.30)(5.0)(2(400222

2

21

Ejemplo 3. Calcule el coeficiente de fricción y la tensión en la cuerda mostrados en la figura 11 si las masas

de los bloques son kgm 101 , kgm 52 , la aceleración es de 2/2 sma y la fuerza es de

NF 100 .

Empleando la ecuación 30 y despejando el coeficiente de fricción, se tiene:

41.0)/8.9))(5)(2(10(

)/2)(10(100

)2( 2

2

21

1

smkgkg

smkgN

gmm

amF

Y empleando la ecuación 31, la tensión es igual a:

NsmkggmT 09.20)/8.9)(5)(41.0( 2

2

Ejemplo 4.

Calcule la tensión en la cuerda y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m mostrado en

la figura 11, si las masas de los bloques son kgm 101 , kgm 52 , el coeficiente de fricción

es de 5.0 , la aceleración con la que se mueve el bloque 1m es de 2/3 sma

Empleando la ecuación 30 y despejando la fuerza, se tiene:

NsmkgkgamgmmF 98)/8.9))(5)(2(10)(5.0()2( 2

121

Y empleando la ecuación 31, la tensión es igual a:

NsmkggmT 5.24)/8.9)(5)(5.0( 2

2


21

1fr

T

T

2fr

1m

2m

F

2fr

Ejemplo 5.

Calcule el coeficiente de fricción y la aceleración con la que se moverá el bloque de masa 1m

mostrado en la figura 11, si tensión es de NT 10 , las masas de los bloques son kgm 201

y kgm 102 y la fuerza con la que son jalados es igual a NF 100

Utilizando la ecuación 31 y despejando el coeficiente de fricción, se tiene:

102.0)/8.9)(10(

102

2

smkg

N

gm

T

Empleando la ecuación 30 y despejando la aceleración, se tiene:

22

1

21 /5.3)20(

)/8.9))(10)(2(20)(102.0(100)2(sm

kg

smkgkgN

m

gmmFa

Encuentre la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda mostrada en la figura 12, suponiendo que los coeficientes de fricción entre los bloques y la superficie horizontal son los mismos.

Figura 12

Las ecuaciones de las fuerzas para el bloque de masa 1m , son:

)( 211 mmfr 32

22 mfr 33

amTfrfrF 121 34

Sustituyendo las ecuaciones 29 y 30 en la ecuación 31, tenemos:

amTgmgmF 121 2 35

Las ecuaciones de las fuerzas para el bloque de masa 2m , son:

amfrT 22 36


22

Sustituyendo las ecuaciones 30 en la 33, se concluye que la tensión es igual a:

amgmT 22 37

Resolviendo para a , se tiene que la aceleración es igual a:

21

123

mm

gmgmFa

38

y para la tensión se tiene:

21

22 )2(

mm

gmFmT

39

Ejemplo 1. Calcule la tensión y la aceleración con la que se moverán los bloques mostrados en la figura 12,

si el coeficiente de fricción es de 5.0 , las masas de los bloques son kgm 201 y

kgm 102 y la fuerza con la que son jalados es igual a NF 400

Utilizando las ecuaciones 38, se tiene que la aceleración es igual a:

kgkg

smkgsmkgN

mm

gmgmFa

1020

)/8.9)(20)(5.0()/8.9)(10)(5.0)(3(4003 22

21

12

Equivalentemente, se tiene:

222

/16.51020

)/8.9)(20)(5.0()/8.9)(10)(5.0)(3(400sm

kgkg

smkgsmkgNa

Al utilizar la ecuación 39, se tiene que la tensión es igual a:

Nkgkg

smkgNkg

mm

gmFmT 66.100

1020

))/8.9)(10)(5.0)(2(400)(10()2( 2

21

22

Ejemplo 2. Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 12 si la tensión en la cuerda es de

NT 20 , el coeficiente de fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueven los

bloques es de 2/1 sma y la fuerza con que es tirado el bloque es de NF 400 .

Utilizando la ecuación 37 y despejando 2m , se tiene:

kgsmsm

N

ag

Tm 38.3

)/1()/8.9)(5.0(

20222

Al utilizar la ecuación 38 y despejando 1m , se tiene:

kgsmsm

smkgsmkgN

ag

amgmFm 8.58

)/1()/8.9)(5.0(

)/1)(38.3()/8.9)(38.3)(5.0)(3(400322

22

221


23

Ejemplo 3. Calcule el coeficiente de fricción y la tensión en la cuerda mostrados en la figura 6 si las masas

de los bloques son kgm 101 , kgm 52 , la aceleración es de 2/2 sma y la fuerza es de

NF 100 .

Sumando la ecuación 35 a la 37, se tiene:

ammgmgmF )(3 2121

En consecuencia:

2857.)/8.9))(5)(3(10(

)/2)(510(100

)3(

)(2

2

21

21

smkgkg

smkgkgN

gmm

ammF

Empleando la ecuación 37 y despejando la tensión, se tiene:

NsmsmkggamT 99.23))/8.9)(2857.0(/2)(5()( 22

2

Ejemplo 4.

Calcule la tensión en la cuerda y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m mostrado en

la figura 12, si las masas de los bloques son kgm 101 , kgm 52 , el coeficiente de fricción

es de 5.0 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma .

Empleando la ecuación 37 y despejando la tensión, se tiene:

NsmsmkgagmT 5.39)/3)/8.9)(5.0)((5()( 22

2

Empleando la ecuación 35 y despejando la fuerza, se tiene:

TgmagmF 21 2)(

NsmkgsmsmkgF 5.39)/8.9)(5)(5.0)(2()/3)/8.9)(5.0)((10( 222

NF 5.167

¿En la figura siguiente, qué fuerza se necesita para dar a los bloques una aceleración de 3.0 m/s2 para un coeficiente de fricción dado?

Figura 13

1m

2m

3m1fr

2fr

F

3fr

1F2F


24

Las expresiones de las fuerzas que actúan en cada bloque están dadas por:

)( 3211 mmmafrF 40

gmmmfr )( 3211 41

)()( 321321 mmmagmmmF 42

Despejando la aceleración de esta última ecuación se tiene:

321

321 )(

mmm

gmmmFa

43

La fuerza que existe entre los bloques 1 y 2 es:

)( 3221 mmafrF 44

gmmfr )( 322 45

)()( 32321 mmagmmF 46

En consecuencia, la fuerza 1F o la fuerza entre los bloques 1 y 2 es igual a:

)()( 32321 mmagmmF 47

Sustituyendo la aceleración, se tiene:

321

32

321

32132321

)())()(()(

mmm

Fmm

mmm

gmmmFmmgmmF

48

Las fuerzas que actúan sobre el bloque 3 son:

amfrF 332 49

Donde:

gmfr 33 50

amgmF 332 51

Finalmente, la fuerza 2F es igual a:

amgmF 332 52


25

Sustituyendo la aceleración, se concluye que 2F o la fuerza entre el bloque 2 y 3 es igual a:

321

3

321

32133332

))((

mmm

Fm

mmm

gmmmFmgmamgmF

53

Ejemplo 1. Calcule las fuerzas que actúan en cada bloque mostrado en la figura 13, si el coeficiente de

fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma y la

masa de los bloques es de kgm 101 , kgm 202 y kgm 303 .

Utilizando la ecuación 42 y despejando la fuerza, tenemos:

NkgkgkgsmsmmmmagF 474)302010)(/3)/8.9)(5.0(())(( 22

321

Utilizando la ecuación 46 y despejando la fuerza 1F , tenemos:

NkgkgsmsmmmagF 395)3020)(/3)/8.9)(5.0(())(( 22

321

Utilizando la ecuación 52 y despejando la fuerza 2F , tenemos:

NkgsmsmmagF 237)30)(/3)/8.9)(5.0(()( 22

32

Ejemplo 2. Calcule el coeficiente de fricción y la fuerza, si la aceleración con la que se mueven los bloques

de la figura 13 es 2/2 sma , las masas de los bloques son kgm 101 , kgm 202 y

kgm 303 , la fuerza entre el bloque 2 y 3 es NF 1002 .

Utilizando las ecuaciones 53, se tiene que la fuerza F es igual a:

Nkg

Nkgkgkg

m

FmmmF 200

30

)100)(302010()(

3

2321

Para calcular el coeficiente de fricción, utilizamos la ecuación 42, es decir:

136.0)/8.9)(302010(

)302010)(/2(200

)(

)(2

2

321

321

smkgkgkg

kgkgkgsmN

gmmm

mmmaF

Ejemplo 3.

Calcule la aceleración y la fuerza F , si el coeficiente de fricción que existe entre la superficie

horizontal y los bloques es de 3.0 , las masas de los bloques son kgm 101 , kgm 202

y kgm 303 , la fuerza entre el bloque 2 y 3 es NF 2002 .

Utilizando las ecuaciones 53, se tiene que la fuerza F es igual a:

Nkg

Nkgkgkg

m

FmmmF 400

30

)200)(302010()(

3

2321


26

1m

2m

3m

1T

gm1gm3

1T

2T

2T

fr

Para calcular lal aceleración con la que se moverán los bloques, utilizamos la ecuación 42, es decir:

22

321

321 /72.3)302010(

)/8.9)(302010)(3.0(400

)(

)(sm

kgkgkg

smkgkgkgN

mmm

gmmmFa

Tres bloques 1m , 2m y 3m están unidos como se muestra en la figura siguiente. Para un

determinado coeficiente de fricción estático entre el bloque de masa 2m y la superficie

horizontal, calcular la aceleración con la que se moverán los bloques y las tensiones en las cuerdas.

Figura 14 Las fuerzas que actúan en cada bloque se muestran en la figura 14. En consecuencia, las ecuaciones de las fuerzas para cada cuerpo son:

amgmT 111 54

amfrTT 212 55

amgmT 332 56

gmfr 2 57

Sustituyendo la ecuación 51 en la 49, se tiene:

amgmTT 2212 58

Combinando estas cuatro ecuaciones encontramos que la aceleración a , las tensiones 1T y 2T

en función de las masas 1m , 2m y 3m , son:

321

213

mmm

gmgmgma

59

321

2121311

2

mmm

gmmgmmgmmT

60


27

321

3232312

2

mmm

gmmgmmgmmT

61

Estos resultados se obtuvieron suponiendo que la masa 3m se mueve hacia abajo, venciendo la

masa y la fricción de 2m y el peso de la masa 1m .

Ejemplo 1. Calcule la aceleración con la que se mueven los bloques y las tensiones en las cuerdas

mostrados en la figura 14 si sus masas son de kgm 101 , kgm 202 , kgm 303 y el

coeficiente de fricción es igual a 2.0

Utilizando la ecuación 59, la aceleración es igual a:

22

321

213 /61.2302010

)/8.9)(20)(2.0(1030(sm

kgkgkg

smkgkgkg

mmm

gmgmgma

Utilizando la ecuación 60, vemos que la tensión 1T es igual a:

Nkgkgkg

smkgkgsmkgkgkgkgT 13.36

302010

)/8.9)(20)(10)(2.0()/8.9)(20)(10()30)(10)(2( 22

1

Utilizando la ecuación 61, vemos que la tensión 2T es igual a:

Nkgkgkg

smkgkgsmkgkgkgkgT 6.127

302010

)/8.9)(30)(20()/8.9)(30)(20)(2.0()30)(10)(2( 22

2

Ejemplo 2. Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 14, si las tensiones en las cuerdas son

iguales a NT 201 y NT 1502 , la aceleración es de 2/3 sma y el coeficiente de fricción

es igual a 2.0

Utilizando la ecuación 54, vemos que la masa 1m es igual a:

kgsmsm

N

ag

Tm 5625.1

/3/8.9

2022

11


kgsmsm

N

ag

Tm 06.22

/3/8.9

15022

23

Finalmente, empleando la ecuación 58, concluimos que la masa 2m es igual a:


28

1m

F2m

T1fr

2fr

kgsmsm

NN

ag

TTm 21.26

/3)/8.9)(2.0(

2015022

122

Ejemplo 3.

Calcule las masas 1m y 3m , y el coeficiente de fricción que existe entre el bloque de masa 2m

y la superficie horizontal mostrados en la figura 14, si las tensiones en las cuerdas son iguales a

NT 201 y NT 402 , la aceleración es de 2/3 sma y la masa del bloque 2 es igual a

kgm 52 .

Utilizando la ecuación 58, vemos que el coeficiente de fricción es igual a:

102.0)/8.9)(5(

)/3)(5(20402

2

2

212

smkg

smkgNN

gm

amTT


kgsmsm

N

ag

Tm 56.1

/3/8.9

2022

11


kgsmsm

N

ag

Tm 88.5

/3/8.9

4022

23

Calcular la aceleración con la que se moverán los bloques de la figura 15, suponiendo que se

aplica una fuerza F y los coeficientes de fricción entre la superficie y los bloques son diferentes.

Figura 15 Las fuerzas que actúan en cada bloque están mostradas en la misma figura. Las ecuaciones de las fuerzas para cada cuerpo son:

amfrT 11 62

gmfr 111 63

amgmT 111 64

amfrTF 22 65


29

gmfr 222 66

amgmTF 222 67

Utilizando las ecuaciones 58 y 61, la aceleración a se calcula por medio de la siguiente

ecuación:

21

1122

mm

gmgmFa

68

Despejando la tensión contenida en la ecuación 58 y sustituyendo la aceleración expresada en la ecuación 62, se tiene:

21

21211 )(

mm

gmmFmT

69

Si no hubiese fricción entre la superficie y los bloques, la ecuación para la aceleración y la tensión se simplificarían:

21 mm

Fa

70

Y

21

1

mm

FmT

71

Ejemplo 1. Calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda mostrados

en la figura 15 si las masas de los bloques son kgm 101 , kgm 202 , los coeficientes de

fricción son 2.01 y 3.02 y la fuerza con la que se mueven es NF 150

Utilizando la ecuación 68, la aceleración con la que se moverán los bloques es igual a:

22

21

1122 /38.22010

)/8.9))(10)(2.0()20)(3.0((150sm

kgkg

smkgkgN

mm

gmgmFa

Utilizando la ecuación 69, la tensión en la cuerda es igual a:

Nkgkg

smkgkgNkg

mm

gmmFmT 46.43

2010

)/8.9)(3.02.0)(20)(10()150)(10()( 2

21

21211

Ejemplo 2.

Calcule la tensión y la fuerza que se aplica al bloque de masa 2m mostrado en la figura 15, si la

aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma , las masas de los bloques son

kgm 101 , kgm 202 y los coeficientes de fricción 2.01 y 3.02 .


30

Utilizando la ecuación 64, la tensión en la cuerda que tira del bloque de masa 1m es igual a:

NsmsmkgagmT 6.49)/3)/8.9)(2.0)((10()( 22

11

Finalmente, la fuerza que actúa sobre el bloque de masa 2m se calcula por medio de la ecuación

65:

NsmsmkgNamgmTF 4.168)/3)/8.9)(3.0)((20(6.49 22

222

Ejemplo 3.

Calcule la tensión y la masa 2m del bloque mostrado en la figura 15, si la aceleración con la que

se mueven los bloques es de 2/4 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es de

NF 150 la masa kgm 151 y los coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02 .


NsmsmkgagmT 4.89)/4)/8.9)(2.0)((15()( 22

11

Empleando la ecuación 67, la masa 2m del bloque es igual a:

kgsmsm

NN

ag

TFm 73.8

/4)/8.9)(3.0(

4.8915022

2

2

Ejemplo 4.

Calcule la tensión y la masa 1m del bloque mostrado en la figura 15, si la aceleración con la que

se mueven los bloques es de 2/4 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es de

NF 150 , la masa kgm 202 y los coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02 .


NsmsmkgNagmFT 2.11)/4)/8.9)(3.0)((20(150)( 22

22

Utilizando ahora la ecuación 64, la masa 1m del bloque es igual a:

kgsmsm

N

ag

Tm 88.1

/4)/8.9)(2.0(

2.1122

1

1

Ejemplo 5. Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 15, si la aceleración con la que se

mueven los bloques es de 2/5 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es de

NF 250 , la tensión en la cuerda es NT 100 y los coeficientes de fricción son 2.01 y

3.02 .

Utilizando la ecuación 64, la masa 1m es igual a:


31

T

gmP

m

kgsmsm

N

ag

Tm 37.14

/5)/8.9)(2.0(

10022

1

1

Utilizando la ecuación 67, la masa 2m es igual a:

kgsmsm

NN

ag

TFm 89.18

/5)/8.9)(3.0(

10025022

2

2

Calcule la tensión en la cuerda que sujeta a un bloque como el mostrado en la figura si: a).- El bloque se encuentra en reposo, b).- El bloque se mueve hacia arriba o hacia abajo con velocidad constante, c).- El bloque se mueve hacia arriba con una determinada aceleración y d).- El bloque se mueve hacia abajo con una determinada aceleración.

Figura 16 a).- Si el bloque se encuentra estático, la tensión es igual a peso, es decir:

gmT 72

b).- Si el bloque se mueve con velocidad constante hacia arriba y hacia abajo, la tensión de nuevo es igual a peso, es decir:

gmT

c).- Si el bloque sube con una aceleración de 2/6 sma , la tensión es igual a:

amgmT

Es decir:

)( agmT 73

d).- Si el bloque baja con una aceleración de 2/6 sma , la tensión es igual a:

amgmT

Es decir:


32

A

)( agmT 74

Ejemplo 1.

Calcule la tensión en la cuerda que sujeta un bloque de kgm 100 de masa si: a).- El bloque se

encuentra en reposo, b).- El bloque se mueve hacia arriba o hacia abajo con velocidad

constante, c).- El bloque se mueve hacia arriba con una aceleración de 2/6 sma y d).- El

bloque se mueve hacia abajo con una aceleración de 2/3 sma .

a).- Si el bloque se encuentra estático, la tensión es igual a peso, es decir:

NsmkggmT 980)/8.9)(100( 2

b).- Si el bloque se mueve con velocidad constante hacia arriba y hacia abajo, la tensión de nuevo es igual a peso, es decir:

NsmkggmT 980)/8.9)(100( 2

c).- Si el bloque sube con una aceleración de 2/6 sma , la tensión es igual a:

NsmsmkgagmT 1580)/6/8.9)(100()( 22

d).- Si el bloque baja con una aceleración de 2/6 sma , la tensión es igual a:

NsmsmkgagmT 680)/3/8.9)(100()( 22

PREGUNTAS 1.- Establezca el concepto de masa. 2.- Defina el Kilogramo Patrón. 3.- Defina el concepto de Fuerza. 4.- Defina el Newton. 5.- Establezca las tres Leyes de Newton. 6.- Defina el peso de un cuerpo. 7.- Defina la Fuerza de Fricción. 8.- Explique el método experimental por el cual se obtiene el Coeficiente de Fricción Estático. 9.- ¿Un cuerpo puede tener diferentes pesos a pesar de no variar su masa? 10.- ¿Un cuerpo puede tener masa y no tener peso? ¿Puede tener peso y no tener masa?

PROBLEMAS

1.- Calcule los valores de las tensiones en las cuerdas que sujetan el bloque mostrado en la figura 15.

NP 200

1T

B

2T

O

040


33

NP 200

1T

B

2T

A

O

020

Figura 15 2.- Calcule los valores de las tensiones en las cuerdas que sujetan el bloque mostrado en la figura 16.

Figura 16 3.- Calcule los valores de las tensiones en las cuerdas que sujetan el bloque mostrado en la figura 17.

Figura 17

4.- Encuentre la tensión en la cuerda en la figura 3 si la masa del bloque es igual a kgm 50 .

5.- Si la tensión en la cuerda dela figura 3 es igual a NT 65 , calcule la masa del bloque que

está suspendida.


025

2T

O

1T

A

B

050

NP 400


34


está suspendida.



está suspendida.

10.- En una máquina de Atwood las masas de los bloques son de kgm 301 y kgm 152 ,

encuentre la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda. 11.- En una máquina de Atwood la aceleración con la que se mueven los bloques es de

2/7 sma y la tensión en la cuerda es de NT 60 , calcule las masas de los bloques.

12.- En una máquina de Atwood la aceleración con la que se mueven los bloques es de

2/5 sma y la masa más grande es de kgm 451 , calcule la masa del bloque restante y la

tensión en la cuerda.

13.- En una máquina de Atwood la tensión en la cuerda es de NT 50 y la masa del bloque

mayor es de kgm 301 , calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la masa

del bloque restante.

14.- En una máquina de Atwood la tensión en la cuerda es de NT 60 y la masa del bloque

menor es de kgm 52 , calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la masa del

bloque restante. 15.- En una máquina de Atwood la aceleración con la que se mueven los bloques es de

2/5 sma y la masa del bloque menor es de kgm 62 , calcule la tensión en la cuerda y la

masa del bloque restante. 16.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la masa del bloque que se encuentra

sobre el plano es de kgm 301 y la que se encuentra suspendida es de kgm 22 . Encuentre

la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda. 17.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven

los bloques es de 2/7 sma y la masa del bloque que se encuentra sobre el plano horizontal

es de kgm 351 . Encuentre la masa del bloque restante y la tensión en la cuerda.

18.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven

los bloques es de 2/3 sma y la masa del bloque que se encuentra suspendida es de

kgm 152 . Encuentre la masa del bloque restante y la tensión en la cuerda.

19.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la tensión en la cuerda que une a los

bloques es de NT 50 y la masa del bloque que se encuentra sobre el plano horizontal es de

kgm 301 . Encuentre la masa del bloque restante y la aceleración con la que se moverán los

bloques.


35

20.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la tensión en la cuerda que une a los

bloques es de NT 20 y la masa del bloque que se encuentra suspendida es de kgm 302 .

Encuentre la masa del bloque restante y la aceleración con la que se moverán los bloques. 21.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 7, la aceleración con la que se mueven

los bloques es de 2/5.6 sma y la tensión en la cuerda que une los bloques es de NT 37 .

Encuentre las masas de ambos bloques. 22.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra

sobre el plano es de kgm 251 y la que se encuentra suspendida es de kgm 152 . Si el

coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la aceleración con la que se moverán los

bloques y la tensión en la cuerda. 23.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra

sobre el plano es de kgm 151 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/6 sma . Si el coeficiente de fricción es de 1.0 , encuentre la tensión en la cuerda que

une a los bloques y la masa del bloque restante. 24.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra


une a los bloques y la masa del bloque restante.

25.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra

suspendida es de kgm 402 y la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/4 sma . Si la masa del bloque que se encuentra sobre la superficie es igual a kgm 101

encuentre la tensión en la cuerda que une los bloques y el coeficiente de fricción. 26.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8 la masa del bloque que se encuentra


une ambos bloques y la masa del bloque que se encuentra sobre la superficie horizontal. 27.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la masa del bloque que se encuentra

sobre la superficie horizontal es de kgm 151 y la aceleración con la que se mueven los

bloques es de 2/2 sma . Si la tensión en la cuerda que une los bloques es de NT 80 ,

encuentre el coeficiente de fricción y la masa del bloque que se encuentra suspendida. 28.- En un arreglo como el que se muestra en la figura 8, la tensión en la cuerda que une los

bloques es de NT 50 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/4 sma .

Si el coeficiente de fricción es de 2.0 , las masas de los bloques.

29.- Calcule la aceleración con la que se deslizará un bloque si el ángulo de inclinación en un

plano inclinado es de 070 y el coeficiente de fricción es de 4.0 .


36

30.- Calcule el coeficiente de fricción entre el plano inclinado y un bloque que se encuentre

sobre él si la aceleración con la que se desliza el bloque es de 2/5.3 sma y el ángulo de

inclinación es de 060

31.- Calcule el ángulo por el cual un bloque se mueve sobre un plano inclinado si la aceleración

con la que se desliza es de 2/4 sma y el coeficiente de fricción es de 5.0 .

32.- Si el ángulo con el cual comienza a deslizarse un bloque sobre un plano inclinado es de

040 . Calcule el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano inclinado.

33.- Si el coeficiente de fricción entre un plano inclinado y el bloque que se encuentra sobre él

es de 2.1 , encuentre el ángulo por el cual comienza a deslizarse.

34.- Calcule la tensión y la aceleración con la que se moverá el bloque de masa 1m mostrado

en la figura 11, si el coeficiente de fricción es de 3.0 , las masas de los bloques son

kgm 151 y kgm 52 , y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m es igual a

NF 300

35.- Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 11 si la tensión en la cuerda es de

NT 30 , el coeficiente de fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueve el

bloque de masa 1m es de

2/2 sma y la fuerza con que es tirado el bloque de masa 1m es de

NF 500 .

36.- Calcule el coeficiente de fricción y la tensión en la cuerda mostrados en la figura 11 si las

masas de los bloques son kgm 151 , kgm 102 , la aceleración es de 2/1 sma y la fuerza

es de NF 250 .

37.- Calcule la tensión en la cuerda y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m

mostrado en la figura 11, si las masas de los bloques son kgm 301 , kgm 152 , el

coeficiente de fricción es de 4.0 , la aceleración con la que se mueve el bloque 1m es de 2/4 sma

. 38.- Calcule el coeficiente de fricción y la aceleración con la que se moverá el bloque de masa

1m mostrado en la figura 11, si tensión es de NT 20 , las masas de los bloques son

kgm 251 y kgm 152 y la fuerza con la que son jalados es igual a NF 300

39.- Calcule la tensión y la aceleración con la que se moverán los bloques mostrados en la

figura 12, si el coeficiente de fricción es de 4.0 , las masas de los bloques son kgm 201 y

kgm 152 y la fuerza con la que son jalados es igual a NF 500

40.- Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 12 si la tensión en la cuerda es de

NT 50 , el coeficiente de fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueven los

bloques es de 2/2 sma y la fuerza con que es tirado el bloque es de NF 500 .


37

41.- Calcule el coeficiente de fricción y la tensión en la cuerda mostrados en la figura 6 si las

masas de los bloques son kgm 251 , kgm 152 , la aceleración es de 2/3 sma y la fuerza

es de NF 250 .

42.- Calcule la tensión en la cuerda y la fuerza con la que se jala el bloque de masa 1m

mostrado en la figura 12, si las masas de los bloques son kgm 201 , kgm 152 , el

coeficiente de fricción es de 5.0 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/3 sma .

43.- Calcule el coeficiente de fricción y la aceleración con la que se moverán los bloques

mostrados en la figura 12, si tensión es de NT 20 , las masas de los bloques son kgm 301

y kgm 152 y la fuerza con la que son jalados es igual a NF 250

44.- Calcule las fuerzas que actúan en cada bloque mostrado en la figura 13, si el coeficiente de

fricción es de 4.0 , la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/2 sma y la

masa de los bloques es de kgm 151 , kgm 252 y kgm 353 .

45.- Calcule el coeficiente de fricción y la fuerza F mostrados en la figura 13, si la aceleración

con la que se mueven los bloques de la figura 13 es 2/6 sma , las masas de los bloques son

kgm 151 , kgm 252 y kgm 353 , la fuerza entre el bloque 2 y 3 es NF 2002 .

46.- Calcule la aceleración y la fuerza F , mostrados en la figura 13, si el coeficiente de fricción

que existe entre la superficie horizontal y los bloques es de 3.0 , las masas de los bloques

son kgm 51 , kgm 252 y kgm 203 , la fuerza entre el bloque 2 y 3 es NF 2002 .

47.- Calcule las masas 1m y 3m , y el coeficiente de fricción que existe entre el bloque de masa

2m y la superficie horizontal mostrados en la figura 14, si las tensiones en las cuerdas son

iguales a NT 201 y NT 602 , la aceleración es de 2/2 sma y la masa del bloque 2 es

igual a kgm 42 .

48.- Calcule la aceleración con la que se moverán los bloques y la tensión en la cuerda

mostrados en la figura 15, si las masas de los bloques son kgm 151 , kgm 302 , los

coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02 y la fuerza con la que se mueven es NF 300

49.- Calcule la tensión y la fuerza que se aplica al bloque de masa 2m mostrado en la figura 15,

si la aceleración con la que se mueven los bloques es de 2/5 sma , las masas de los bloques

son kgm 401 , kgm 602 y los coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02 .


38

50.- Calcule la tensión y la masa 2m del bloque mostrado en la figura 15, si la aceleración con

la que se mueven los bloques es de 2/4 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es

igual a NF 200 , si la masa kgm 101 y los coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02

51.-Calcule la tensión y la masa 1m del bloque mostrado en la figura 15, si la aceleración con la

que se mueven los bloques es de 2/3 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es de

NF 150 , la masa kgm 402 y los coeficientes de fricción son 2.01 y 3.02 .

52.- Calcule las masas de los bloques mostrados en la figura 9, si la aceleración con la que se

mueven los bloques es de 2/6 sma , la fuerza que tira del bloque de masa 2m es de

NF 300 , la tensión en la cuerda es NT 100 y los coeficientes de fricción son 2.01 y

3.02 .

53.- Calcule la tensión en la cuerda que sujeta un bloque de kgm 500 de masa mostrado en

la figura 16, si: a).- El bloque se encuentra en reposo, b).- El bloque se mueve hacia arriba o hacia abajo con velocidad constante, c).- El bloque se mueve hacia arriba con una aceleración

de 2/9 sma y d).- El bloque se mueve hacia abajo con una aceleración de

2/5 sma .

54.- Calcule la aceleración con la que subirá el bloque mostrado en la figura 16, si la tensión en

la cuerda es de NT 2000 .

55.- Calcule la aceleración con la que bajará el bloque mostrado en la figura 16, si la tensión en

la cuerda es de NT 400 .

Apuntes de Dinámica · 2014-08-14 · Encuentre la tensión en las cuerdas en la figura que se...

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