Apuntes de Clases Finanzas II

Pontificia Universidad Católica de Chile,Escuela de Administración

Apuntes de ClasesFinanzas II (EAA-321A), Sección 11

Sebastián Cerda N.2

Marzo de 2009 (esta versión)

1Este es un borrador preliminar, por lo tanto agradeceré notificar toda clase deerrores.

2e-mail de contacto: [email protected]

Contents

Preface ix

1 Retornos en Finanzas 11.1 Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Retornos Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Retornos Continuamente Compuestos . . . . . . . . . . . . . . 3

2 La Importancia del Arbitraje en Finanzas 72.1 El Concepto de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 ¿Por Qué Importa el Arbitraje? . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Los Teoremas Básicos de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 La Ley de Un Sólo Precio . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 El Principio de No Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Ejemplos de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.1 Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal . . . . . . . . . . . 92.4.2 Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados de la Naturaleza . 10

2.5 Estrategias de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Renta Fija 133.1 Algunas Definiciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Precios de Bonos Vía Valor Presente . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Tasa Interna de Retorno (TIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Tasas de Interés Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Retornos de Inversión en Bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 La Curva de Rendimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.8 La Curva de Tasas Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.9 No Arbitraje en Retornos de Bonos . . . . . . . . . . . . . . . 21

v

vi CONTENTS

3.10 Duración y Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.10.1 Duración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.10.2 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.11 Inmunización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.12 Estrategias de Arbitraje con Bonos . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Decisiones de Inversión Bajo Incertidumbre 294.1 El Enfoque de la Utilidad Esperada . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Algunas Definiciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Equivalente Cierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Prima Por Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Grados de Aversión al Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Preferencias en el Espacio de Media y Varianza . . . . . . . . 36

5 Valorización de Activos Bajo Incertidumbre 415.1 Correcciones por Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 ¿Qué determina el precio de mercado del riesgo (λm), común

a todos los activos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 ¿Qué determina la cantidad de riesgo

¡βi,m

¢, individual a cada

activo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4 Un Ejemplo de Valorización: La Tasa Libre de Riesgo . . . . . 49

6 Combinaciones de Activos 516.1 El Caso de 2 Activos Financieros . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1.1 Sin Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . 526.1.2 Con Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2 Extensión a N Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7 La Frontera Eficiente 637.1 El Concepto de Diversificación de Activos . . . . . . . . . . . 637.2 Caracterización Gráfica de la Frontera Eficiente . . . . . . . . 657.3 Propiedades de la Frontera Eficiente . . . . . . . . . . . . . . . 667.4 Una Explicación Intuitiva a las Propiedades de la Frontera

Eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.5 Portafolios de Mínima Varianza y Representación Beta . . . . 73

8 Equilibrio de Mercado 778.1 La Definición de Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . 78

CONTENTS vii

8.2 El Portafolio de Mercado y el Equilibrio de Mercado . . . . . . 798.3 El CAPM como Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . 828.4 El CAPM cuando Existe un Activo Libre de Riesgo . . . . . . 838.5 El CAPM a Partir de Una Representación de Factor de Des-

cuento Estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.6 Una Aplicación del Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . 84

8.6.1 El Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.6.2 Preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.6.3 Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.6.4 El Equilibrio Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.6.5 El Equilibrio Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.7 La Línea del Mercado de Capitales y la Línea de Mercado delos Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9 El Modelo de Mercado, CAPM y Riesgos Financieros 939.1 El Modelo de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.2 CAPM y Modelo de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.3 Riesgos Financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10 Limitaciones del CAPM 9710.1 La Crítica de Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.2 Set de Posibilidades de Inversión No es Estable en el Tiempo . 98

10.2.1 El CAPM Intertemporal (ICAPM) . . . . . . . . . . . 9910.2.2 El ICAPM desde una representación de Factor de De-

scuento Estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10210.2.3 La Frontera Eficiente deMedia y Varianza Siempre Existe103

10.3 Los Resultados de Fama y French . . . . . . . . . . . . . . . . 10410.4 El APT como Explicación Alternativa a los Resultados de

Fama-French . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10610.5 Críticas al APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11 Eficiencia del Mercado de Capitales 11111.1 Algunas Definiciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 11111.2 Eficiencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11211.3 Hipótesis de Formación de Expectativas . . . . . . . . . . . . 113

11.3.1 Retornos Esperados son Positivos . . . . . . . . . . . . 11311.3.2 Retornos Esperados son Constantes . . . . . . . . . . . 114

viii CONTENTS

11.3.3 Retornos Esperados se Mueven en una Relación Riesgo-Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

11.4 Categorías de Eficiencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . 115

12 Derivados Financieros (1): Forwards y Futuro 11712.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11712.2 El Perfil de Riesgo de un Contrato Forward . . . . . . . . . . 11812.3 El Precio de un Contrato Forward . . . . . . . . . . . . . . . . 11912.4 El Precio Forward con Costos Alternativos ("Convenience Yield")

Para el Activo Subyacente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12012.4.1 Precio Forward con un pago de dividendo antes del

vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12012.4.2 Precio Forward con dos pagos de dividendo antes del

vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12212.4.3 Precio Forward con un pago de dividendo por periodo

antes del vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12312.4.4 Precio Forward con un continuo de dividendo pago de

dividendo antes del vencimiento . . . . . . . . . . . . . 12412.5 Contratos Forward de Monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . 12512.6 Contratos Forward como Estrategias Especulativas . . . . . . 12512.7 Contratos Forward como Estrategia de Cobertura . . . . . . . 126

12.7.1 Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

13 Derivados Financieros (2): Opciones Financieras 12913.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12913.2 El Perfil de Riesgo de Las Opciones . . . . . . . . . . . . . . . 12913.3 Algunas Consideraciones Sobre Opciones Financieras . . . . . 13213.4 Estrategias de Inversión Especulativas con Opciones . . . . . . 13313.5 Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

13.5.1 Bull Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13313.5.2 Bear Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13413.5.3 Butterfly Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

13.6 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13613.7 El Concepto de Arbitraje y 2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . 13713.8 La Paridad Put-Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13713.9 Límites de Arbitraje y Ejercicio de Opciones antes del Vencimiento13813.10Valoración de Opciones por Método de Arboles Binomiales: 1

período al vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

CONTENTS ix

13.11Método de Arboles Binomiales: 2 períodos al vencimiento . . . 14213.12La Formula de Black y Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

14 Finanzas Corporativas (1): Estructura de Capital 14714.1 La Irrelevancia de la Estructura de Capital: El Teorema de

Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14814.1.1 Alguna Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14814.1.2 Supuestos de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . 14814.1.3 Proposicion I de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 14914.1.4 Proposicion II de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 15014.1.5 La importancia de Modigliani y Miller . . . . . . . . . 150

14.2 Impuestos a las Empresas y Estructura de Capital . . . . . . . 15114.2.1 Beneficio Tributario de la Deuda . . . . . . . . . . . . 151

14.3 Impuestos Personales y Estructura de Capital . . . . . . . . . 15214.3.1 Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Impuestos Per-

sonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15514.4 La Deuda Como Fuente de Destrucción de Valor . . . . . . . . 157

14.4.1 Existencia de Costos Reales por Problemas Financieros 15814.4.2 Problemas de Agencia: La Deuda Como Incentivo a

Elegir Malos Proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

15 Finanzas Corporativas (2): Política de Dividendos 16315.1 La Irrelevancia de la Política de Dividendos: Modigliani-Miller 16315.2 Los Inversionistas Tienen Preferencia por Firmas que Pagan

Dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16515.3 La Desventaja Tributaria de los Dividendos . . . . . . . . . . 166

15.3.1 El Modelo de Elton y Gruber . . . . . . . . . . . . . . 16615.4 La Existencia de Costos de Transacción . . . . . . . . . . . . . 16715.5 La Teoría de Clientelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16715.6 La Teoría de Información de la Politica de Dividendos . . . . . 16815.7 Existencia de Problemas de Agencia . . . . . . . . . . . . . . . 16815.8 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Preface

El objetivo de estas notas de clases son exponer conceptos básicos en finanzasdesde una perspectiva que sea consistente con el esquema docente definidoen el programa del curso. En estas notas no se pretende ser creativo en lapresentación de los tópicos de estudio. Por el contrario, las demostraciones yejemplos númericos aquí contenidos son estándares para cualquier buen libroen finanzas. De esta forma, la idea es que se complementen estas notas deestudios con un buen libro de texto para lograr una mejor comprensión delplan de estudios para este semestre.

ix

Chapter 1

Retornos en Finanzas

Lo relevante en este curso es entender conceptos. No es necesario que memo-rice estas fórmulas. Si no entiende algún concepto durante este curso, siemprepuede inventar su propia notación. Eso no lo pejudicará en terminos de nota.No obstante, por claridad de presentación de estas notas de clases me pareceimportante partir definiendo cierta notación que utilizaré durante todo eltranscurso del semestre.El retorno de un activo es un concepto intertemporal en el sentido que

computa la diferencia entre lo invertido y lo recibido en dos períodos distintosde tiempo. Por eso muchas veces es necesario, explícitamente, introducir eltiempo en nuestras definiciones. Utilizaré los subíndices para referirme altiempo. Por ejemplo, el precio de un activo al cierre de 2005 es P2005. Elprecio del activo en el período t es Pt, mientras que la tasa de interés en esemismo período es Rt. El período corriente (hoy) será definido por t = 0.

1.1 Definiciones Básicas

Definition 1 El Retorno Bruto de un activo es: Rt+1 =valor en $ recibidost+1valor en $ pagadost

.

En el caso de una acción que paga dividendos, el retorno bruto es, Rt+1 =Pt+1+Dt+1

Pt.

R es un número alrededor de 1 (por ejemplo 1,10).

Definition 2 El Retorno Neto de un activo es: rt+1 = Rt+1 − 1.

Definition 3 El Retorno Porcentual de un activo es: 100× rt+1.

1

2 CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS

Definition 4 El Retorno Continuo de un activo es: rt = lnRt.

Por ejemplo, ln (1.10) = 0.09531 = 9.531%.

Definition 5 El Retorno Real de un activo es: Rrealt+1 =cantidad de bienes recibidost+1cantidad de bienes pagadost

.

Definition 6 El Indice de Precios al Consumidor (IPC) es IPCt ≡ valor en $ de los bienestcantidad de bienest

.

Definition 7 La Tasa de Inflación Bruta es Πt+1 ≡ IPCt+1IPCt

.

De tal forma, es posible definir el retorno real como:

Rrealt+1 =valor en $ de los bienest+1 · bienes recibidost+1

valor en $ de los bienest+1

valor en $ de los bienest · bienes pagadostvalor en $ de los bienest

(1.1)

Rrealt+1 =valor en $ de los bienest+1 · 1

IPCt+1

valor en $ de los bienest · 1IPCt

(1.2)

Rrealt+1 = Rnominalt+1 · IPCt

IPCt+1(1.3)

Rrealt+1 =Rnominalt+1

Πt+1(1.4)

En otras palabras, el retorno real bruto es el retorno nominal bruto dividopor la tasa de inflación bruta.En términos de retornos continuos, tenemos que:

ln¡Rrealt+1

¢= ln

¡Rnominalt+1

¢− ln (Πt+1) (1.5)

Para bajas tasas de inflación neta, la siguiente es una buena aproximacióna la tasa de retorno real bruta:

Rnominalt+1

Πt+1=

¡1 + rnominalt+1

¢1 + πt+1

≈ 1 + rnominalt+1 − πt+1 (1.6)

Es posible utilizar exactamente la misma idea para computar los retornosbrutos en pesos de inversiones en otras monedas. Defina el retorno bruto endólares (USD) de una inversión como RUSD

t+1 = valor bienes en USDt+1valor bienes en USDt

. El tipo

1.2 RETORNOS COMPUESTOS 3

de cambio pesos por dólar se define como e$/USDt = valor bienes en $tvalor bienes en USDt

. Por lotanto, el retorno en bruto en pesos de tal inversión es

R$t+1 =valor bienes en $t+1valor bienes en $t

=valor bienes en USDt+1

valor bienes en USDt·

valor bienes en $t+1valor bienes en USDt+1valor bienes en $t

valor bienes en USDt(1.7)

R$t+1 = RUSDt+1 · e

$/USDt+1

e$/USDt

(1.8)

1.2 Retornos Compuestos

¿Cuál es el pago total de una inversión de $1 por 10 períodos en un instru-mento que promete pagar 10% por período? La respuesta es más que $2.En la medida que es necesario computar los intereses sobre los intereses yacapitalizados, la respuesta correcta es el retorno compuesto. Defina Vt comoel valor de la inversión en el periodo t. Por lo tanto, tenemos que:

V1 = R · V0 = (1 + r)V0 (1.9)

V2 = R2 · V0 (1.10)

VT = RT · V0 (1.11)

RT es lo que tradicionalmente se conoce como el Retorno Compuesto.

1.3 Retornos Continuamente Compuestos

Hay ciertas propiedades de los retornos continuamente compuestos que hacenagradable trabajar con ellos.

• El retorno continuamente compuesto a T períodos plazo es T veces elretorno continuamente compuesto de un período.

lnV1 = lnR+ lnV0 (1.12)

lnVT = T lnR+ lnV0 (1.13)

• Si las tasas de retornos no son constantes, entonces el retorno bruto aT períodos plazo es R1R2 . . . RT tal que

ln (R1R2 . . . RT ) = ln (R1) + ln (R2) + . . .+ ln (RT ) (1.14)

4 CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS

• Los retornos continuamente compuestos son convenientes también porquepermiten computar de manera más simple retornos reales o retornosconvertidos desde otras monedas:

Rreal =Rnominal

Π⇒ ln

¡Rreal

¢= ln

¡Rnominal

¢− lnΠ (1.15)

En este punto, resulta clarificador una ilustración de la intuición detrásde los retornos continuamente compuestos.Suponga la existencia de un bono que paga 10% y capitaliza sus intereses

semestralmente. Cada 6 meses se realiza un pago de interés por 5%. Elretorno bruto anual de tal bono es:

compuesto semestral: (1.05) (1.05) = 1.1025 = 10.25% (1.16)

¿Qué ocurre ahora si la capitalización es trimestral?

compuesto trimestral: (1.025)4 = 1.1038 = 10.38% (1.17)

Es posible generalizar esta idea, tal que

compuesto N veces:³1 +

r

N

´N(1.18)

Incluso es posible llevar este argumento al extremo para un instrumentoque capitaliza intereses infinitas veces por período. Esa es la tasa de retornocontinuamente compuesta:

limN→∞

³1 +

r

N

´N= 1 + r +

1

2r2 +

1

2× 3r3 + . . . = er (1.19)

Por lo tanto, si R = er es la tasa de retorno bruta por período, entoncespodemos computar la tasa de retorno continuamente compuesta como:

r = lnR (1.20)

A modo de ejemplo, un retorno de 10% anual continuamente compuestoes exactamente equivalente a una tasa de retorno bruto compuesto anualde e0.10 = 1.1051709. O lo que es lo mismo una tasa de retorno neto com-puesta anual por 10.51709% es equivalente a un retorno anual continuamentecompuesta por 10%.A CADA TASA DE RETORNO COMPUESTA N VECES POR PERI-

ODO LE CORRESPONDE EXACTAMENTE UNA TASA DE RETORNOCONTINUAMENTE COMPUESTA.Un pequeño ejemplo númerico puede llevar a clarificar esto un poco más.

1.3 RETORNOS CONTINUAMENTE COMPUESTOS 5

1. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que paga la tasabruta de R compuesta semestralmente?

Definiendo r = R− 1, tenemos que el retorno en 3 años es ¡1 + r2

¢2×3.

2. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que promete pagaruna tasa de retorno anual continuamente compuesto por rcc?

Ese retorno es simplemente e3×rcc. Si la tasa de retorno fuera definida

como semestral continuamente compuesta, entonces la respuesta seríae2×3×r

cc.

Chapter 2

La Importancia del Arbitrajeen Finanzas

2.1 El Concepto de Arbitraje

El concepto de arbitraje es un concepto muy vago al cual se hace recurrentereferencia entre aquellos que observan el mercado financiero. No obstante,cuesta encontrar una definición precisa de este concepto. ¿Qué son las opor-tunidades de arbitraje en finanzas? Es una idea muy simple, pero muy po-tente. Siempre que el precio de un activo financiero esté mal colocado por elmercado, surge una oportunidad de arbitraje con respecto al activo que tieneel precio errado. Una oportunidad de arbitraje es siempre libre de riesgo.Eso quiere decir que la ganancia se puede hacer por completo en el períodocorriente. Si la estrategia de inversión tiene riesgo, eso ya no es arbitraje essimplemente especulación.

2.2 ¿Por Qué Importa el Arbitraje?

Si usted es un operador de mercado, obviamente toda oportunidad de arbi-traje le interesa porque es una forma de ganar dinero sin riesgo.En nuestro caso, el arbitraje nos interesa por un interés netamente académico.

El asumir que no existen oportunidades de arbitraje en el mercado significaque todos los activos financieros están valorizados correctamente. Los activosfinancieros son paquetes de promesas de pago. Una acción promete pagar unflujo de dividendos. Un bono promete pagar un flujo de intereses y capital.

7

8CHAPTER 2 LA IMPORTANCIADELARBITRAJE ENFINANZAS

Los derivados financieros son formas más complejas de armar paquetes deflujos de caja sobre acciones, bonos, tipo de cambio, etc. En cualquier caso,si no existen oportunidades de arbitraje y el costo de armar paquetes de ac-tivos financieros es cero1, entonces el asumir no arbitraje es una manera muysimple de valorizar cualquier activo financiero.

2.3 Los Teoremas Básicos de Arbitraje

Dado que como veremos más adelante, el arbitraje es un concepto tantointertemporal (en el tiempo) como entre distintas realizaciones posibles de losestados de la naturaleza, conviene ser un poco más riguroso en la definicióndel arbitraje. Existen dos teoremas fundamentales en finanzas acerca delarbitraje.

2.3.1 La Ley de Un Sólo Precio

Si dos activos prometen los mismos flujos de caja (en cada estado de lanaturaleza) deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, significa a todoevento y no en valor esperado. Una violación de la ley de un solo precioequivale a la existencia de una oportunidad de arbitraje.¿Por qué razon se podría violar este teorema? Hay variadas razones para

ello, por ejemplo que los inversionistas sean irracionales, esto es que ponganmal los precios de los activos que compran. Una segunda razón que se meviene a la cabeza es que el costo marginal de armar activos financieros seadistinto de cero. Una de las razones que se aduce para explicar la "burbuja"especulativa del Nasdaq en el año 2001 es que, a pesar de que el mercadointuía que esas acciones no valían su precio, no era posible (por razonesregulatorias) armar paquetes de activos que apuntaran a la caída de precio deesas acciones, y que por tanto arbitraran precios claramente sobrevalorados.

2.3.2 El Principio de No Arbitraje

Si el pago (a todo evento) del activo A es mayor o igual al pago (a todoevento) del activo B (esto es, en todos los períodos y estados posibles de lanaturaleza, el activo A paga lo mismo que B pero en al menos un estado o

1Este no es un mal supuesto. Piense, cual es el costo marginal de producir una unidadfisica de un bono, una accion? Solo el valor del papel utilizado para tal fin.

2.4 EJEMPLOS DE ARBITRAJE 9

período paga más), entonces de manera cierta el precio del activo A debe sermayor al precio del activo B.

2.4 Ejemplos de Arbitraje

La noción de arbitraje resulta más didáctica por la vía de un par de ejemplos.Como estándar de notacion, definiremos t = 0 . . . T como los períodos futurosen el tiempo y s = 0 . . . S como los posibles estados de la naturaleza. De estaforma, nos referiremos a Xst como el pago prometido por el activo X en elestado s durante el período t.

2.4.1 Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal

Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0 . . . 2. El activo X pagaX1 en t = 1, el activo Y paga Y2 en t = 2 y el activo Z paga X1 en t = 1 eY2 en t = 2. p (.) es el precio del activo en t = 0.

Activo t = 0 t = 1 t = 2

X p (X) +X1 0

Y p (Y ) 0 +Y2

Z p (Z) +X1 +Y2

Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z) p (X) + p (Y )− p (Z) > 0 X1 −X1 = 0 0

Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z)− p (X)− p (Y ) > 0 0 0

Por ley de un sólo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X)+p (Y ) =p (Z). Ahora bien, ¿qué ocurre si la ley de un sólo precio no se cumple,p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puedeejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia dearbitraje sería comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Correspondela estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).

10CHAPTER 2 LA IMPORTANCIADELARBITRAJE ENFINANZAS

2.4.2 Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados de la Natu-raleza

Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0, 1 y s = 1, 2. El activoX paga X11 en t = 1 y s = 1, el activo Y paga Y21 en t = 1 y s = 2 y elactivo Z paga X11 en t = 1 y s = 1 y Y21 en t = 1 y s = 2.

Activo t = 0 t = 1

s = 1 s = 2

X p (X) +X1 0

Y p (Y ) 0 +Y2

Z p (Z) +X1 +Y2

Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z) p (X) + p (Y )− p (Z) > 0 X1 −X1 = 0 0

Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z)− p (X)− p (Y ) > 0 0 0

Por ley de un solo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X)+p (Y ) =p (Z). Ahora bien, que ocurre si la ley de un solo precio no se cumple,p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puedeejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia dearbitraje seria comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Correspondela estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).

2.5 Estrategias de Arbitraje

Independiente de los flujos de caja de los activos (o paquetes de activos),las estrategias de arbitraje siempre se construyen iguales: (1) correspondever si se viola la ley de un sólo precio para combinaciones de activos, (2) sise viola la ley de un sólo precio corresponde arbitrarla, (3) la estrategia dearbitraje equivale a, de acuerdo a la ley de un sólo precio, vender el activocaro y comprar el activo barato, (4) la cantidad de activo que se compre ovenda corresponde a la combinación de activos que haga todos los flujos decaja en t = 1 . . . T y s = 1 . . . S sea igual a cero excepto por el flujo de cajacorriente (en t = 0) que debe ser siempre positivo.Aquí está la clave para hacerse rico invirtiendo en activos financieros:

COMPRARBARATOYVENDERCARO. Hasta ahora no se ha encontrado

2.5 ESTRATEGIAS DE ARBITRAJE 11

otra forma para ganar sin riesgo. Cualquier otro tipo de estrategia es pura yexclusiva especulación financiera.

Chapter 3

Renta Fija

Por renta fija nos referiremos al caso de instrumentos financieros que prome-ten el pago de flujos futuros no aleatorios. Esto no quiere decir que el preciode esos activos no tenga riesgo. Las tasas de descuento de tales flujos puedenser variables, asi como la probabilidad de pago de los flujos prometidos. Loestándar es denominar Renta Fija a toda inversión en Bonos.

3.1 Algunas Definiciones de Utilidad

En general, los Bonos se clasifican de acuerdo a su estructura de pagos.Existen 3 grandes categorías de bonos:

1. Bono Cero Cupón. Estos bonos efectuan un único pago a su vencimientoque incluye tanto principal como intereses.

2. Bono "Bullet". Estos bonos pagan cupones periódicos que incluyensolo el pago de intereses. El principal de un bono "bullet" se paga porcompleto al vencimiento del instrumento.

3. Anualidades. Bono con Cupones. Estos bonos pagan cupones periódi-cos por montos iguales que incluyen tanto el pago de intereses como laamortización de parte del principal.

13

14 CHAPTER 3 RENTA FIJA

3.2 Notación

Necesitamos distinguir bonos de distinta madurez. Para esto, utilizaremosla siguiente notación: P (3) es el precio de un bono cero cupón que vence en 3años. Las variables en minúsculas (ejemplo, p(3)) corresponden al logaritmonatural de la variable en mayúscula.

3.3 Precios de Bonos Vía Valor Presente

Comenzaremos este capitulo ignorando cualquier fuente de incertidumbre.De esta forma, asumiremos que tanto los flujos futuros de caja como lastasas de interés son conocidos ex-ante. Introducir incertidumbre hace elanálisis un poco más complejo pero las conclusiones relevantes no cambiandramáticamente.El truco para valorizar bonos está en entender que cualquier tipo de bono

puede ser generado como una combinación de otros bonos. El resto es trivial:La Ley de un Sólo Precio. Un conjunto de bonos cero cupón, bonos "bullet" ybonos con cupones es lo mismo que una secuencia de tasas de interés futuras.Para encontrar el precio de cualquier categoría de bono basta en saber comoempaquetar ese bono en función de bonos de los cuales usted ya conozca suprecio.Un bono otorga un derecho a recibir una secuencia de flujos de caja

F1, F2, . . . , FN. Como cualquier activo financiero, un bono debe valorizarsepor valor presente,

P =NXj=1

Fj

R1R2R3 · · ·Rj(3.1)

donde R1 es la tasa de interés entre 0 y 1, R2 es la tasa de interés entre 1y 2, etc. Obviamente, entendemos R = 1+r, donde r es la tasa de interés talcomo la observamos normalmente. El problema con valorizar bonos vía valorpresente es donde encontrar las tasas de interés relevantes. Hay 3 opcionespara esto último:

1. Utilizar las tasas de interés de los bancos. El problema es ¿cuál es esatasa?, ¿la de depósitos o de créditos, ¿de qué banco? Esto, en realidad,sólo ocurre en los libros de texto.

3.4 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) 15

2. Utilizar el precio de mercado de los bonos cero cupón para encontraresas tasas de interés. Suponga, por ejemplo, que usted tiene el preciode bonos cero cupón a 2 períodos plazo. P (1) = 1

R1y P (2) = 1

R1R2.

Basta con conocer P (1) y P (2) para encontrar R1 y R2.

Hay una propiedad interesante acerca de los bonos cero cupón: todobono puede ser valorizado como una combinacion de bonos cero cupón.El precio de un bono cero cupón a N períodos plazo.

P (N) =1

R1R2R3 · · ·RN(3.2)

Combinando las ecuaciones (3.1) y (3.2), se obtiene la siguiente expre-sión para el valor de un bono:

P =NXj=1

P (j) · Fj (3.3)

3. Utilizar el precio de mercado de bonos con cupones para encontrar esastasas de interés. Suponga que usted conoce el precio de 2 bonos concupones (P 0 y P 00) con la siguiente estructura de pago: bono 1 F 0

1, F02

y bono 2 F 001 , F

002 , tal que P 0 = F 01

R1+

F 02R1R2

y P 00 = F 001R1+

F 002R1R2

. Estasson 2 ecuaciones y 2 incógnitas que usted puede resolver rápidamentepara encontrar R1 y R2.

3.4 Tasa Interna de Retorno (TIR)

Definition 8 Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa de interés ANUAL,FICTICIA, CONSTANTE Y, CONOCIDA que, dado el precio de mercadodel bono en cuestión, resuelve la ecuacion de valor presente neto (VPN=0).Esta definición asume que el bono se paga a todo evento, i.e. no existe lacesación de pagos.

A partir de esta definición, podemos ver que la TIR de un bono cerocupón es el número Y (N) que satisface

P (N) =1

[Y (N)]N

(3.4)


Por lo tanto,

Y (N) =1

[P (N)]1N

(3.5)

lnY (N) = − 1NlnP (N) (3.6)

y(N) = − 1Np(N) (3.7)

Por su parte, la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisfacela siguiente ecuación:

P =NXj=1

Fj

Y j(3.8)

En general, dado el precio (P ) y el flujo de caja (Fj), usted tiene queencontrar el valor de Y que resuelve esta ecuación. En la medida que todoslos flujos de caja sean positivos, Fj ≥ 0, la solución a este problema esrelativamente simple.Lo importante es que rentenga lo siguiente:

• La TIR es sólo una forma muy simple de presentar los precios de dis-tintos bonos.

• Al utilizar TIR no hemos ningún tipo de supuestos, tales como que lastasas de interés sean conocidas, constantes o que los flujos de caja esténlibres de riesgo de no pago.

• EXCEPTO PARA EL CASO DE UN BONO CERO CUPON A UNPERIODO PLAZO, LA YIELD DE UN BONO NO ES LA TASA DEINTERES EFECTIVA DE MERCADO.

3.5 Tasas de Interés Forward

Otra particularidad del precio de los bonos cero cupón es que permiten iden-tificar expectativas implícitas de tasas de interes futuras. La definición delprecio de un bono cero cupón a N períodos plazo es

P (N) =1

R1R2R3 · · ·RN(3.9)

3.5 TASAS DE INTERÉS FORWARD 17

De lo cual se deriva la siguiente definición de una tasa de interés forward

RN+1 =P (N)

P (N+1)(3.10)

Definition 9 Tasa de Interés Forward es la tasa de interés a la cual esposible contratar hoy un depósito (crédito) que se hará efectivo a comienzosdel periodo N y será liquidado durante el período N + 1.

La intuición es muy simple. Usted siempre puede sintetizar un contratoforward a partir de la gama completa de bonos cero cupón. Suponga queusted compra una unidad de bono cero cupón a N períodos plazo y si-multáneamente vende una cantidad x de bonos cero cupón a N +1 períodosplazo al vencimiento. La siguiente tabla muestra los flujos netos de tal op-eración:

Operación t = 0 t = N t = N + 1

Compra 1 unidad de Cero a N −P (N) +1 0

Venta de x unidades de Cero a N + 1 +xP (N+1) 0 −xFlujo de Caja Neto xP (N+1) − P (N) 1 −x

Seleccione un valor x tal que el flujo de caja en t = 0 sea igual a cero:

x =P (N)

P (N+1)(3.11)

Piense en los resultado de esta operación: los flujos en t = 0 fueron nulos,en t = N se obtuvieron flujos positivos por 1, y finalmente en t = N + 1 sedebera realizar un egreso de caja por P (N)

P (N+1). En otras palabras, acabamos

de sintetizar un contrato (firmado hoy en t = 0) para conseguir un créditoen t = N que se pagará en t = N + 1. Eso es exactamente una operaciónforward, donde la tasa forward en tal contrato entre N y N + 1 es

FN→N+1 =P (N)

P (N+1)(3.12)

lnFN→N+1 = lnP (N) − lnP (N+1) (3.13)

fN→N+1 = p(N) − p(N+1) (3.14)

Algunas aclaraciones importantes sobre las tasas de interés forward:


1. Las tasas de interés forward son importantes porque permiten endeu-darse en el futuro. Si usted tiene un proyecto pero la inversión nola efectuará hasta dentro de varios períodos quizás le interese tomarun contrato forward para endeudarse en el futuro cuando requiere losrecursos para invertir.

2. LAS TASAS DE INTERES FORWARD NO SON LAS TASAS DEINTERES FUTURAS. SON LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LAINFORMACION DISPONIBLE. EN EL FUTURO PUEDEN PASARMUCHAS COSAS (COMO QUE POR EJEMPLO EL BANCO CEN-TRAL SUBA LAS TASAS DE INTERES).

3. Dado lo anterior si usted tiene una visión distinta del mercado acercade la evolución futura de las tasas de interés, entonces usted puedeespecular contra las tasas de interés forward para ganarle al mercado.Pero esta es una apuesta con riesgo, porque en principio no hay ningunarazón para creer que usted sabe más que el mercado.

3.6 Retornos de Inversión en Bonos

En el caso de bonos cero cupón, el retorno de inversión antes de vencimientoes muy simple. Si usted compra un bono cero cupón con N al vencimientoy lo vende en N + 1 cuando a este bono sólo le quedan N − 1 períodos alvencimiento, la rentabilidad es:

1 + rb(N)t+1 =

P(N−1)t+1

P(N)t

(3.15)

rb(N)t+1 ≈ ln

³1 + rb

(N)t+1

´= lnP

(N−1)t+1 − lnP (N)t (3.16)

Excepto para el caso de los bonos cero cupón con un período al vencimiento,este retorno no es un valor conocido ex-ante. En el caso de los bonos cerocupón a un período plazo, tenemos que estos cumplen una muy interesantepropiedad:

1 + rb(1)t+1 = R0,t = Y

(1)t =

1

P(1)t

(3.17)

3.7 LA CURVA DE RENDIMIENTOS 19

Para el resto de los bonos con cupones, la rentabilidad de la inversión enbonos es un poco más complicada.

1 + rbt+1 = YtPt+1

Pt(3.18)

rbt+1 ≈ ln (1 + rbt+1) = lnYt + lnPt+1 − lnPt (3.19)

rbt+1 ≈ yt + pt+1 − pt (3.20)

3.7 La Curva de Rendimientos

La curva de rendimientos es un gráfico que vincula la TIR de bonos cerocupón y su plazo N al vencimiento.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

0 2 4 6 8 10N

TIR

Suponga que usted conoce la evolución futura de las tasas de interés a unperíodo plazo (o de lo que es lo mismo, las TIR de los futuros cero cupón aun período plazo). La fórmula del valor presente para un cero cupón con Nperíodos al vencimiento es

P(N)0 =

µ1

R1

1

R2· · · 1

RN

¶=

Ã1

Y(1)1

1

Y(1)2

· · · 1

Y(1)N

!(3.21)

Sustuyendo la definición de TIR para un bono cero cupón, P (N) = 1

[Y (N)]N ,


en la ecuación (3.21) se obtiene

Y(N)0 =

³Y(1)1 Y

(1)2 Y

(1)3 . . . Y

(1)N

´ 1N

(3.22)

De acuerdo a (3.22), la TIR de un bono cero cupón con N períodos alvencimiento es el promedio geométrico de todas las futuras tasas de interésa un período plazo desde hoy hasta el período N .Aplicando logaritmos sobre la expresión (3.22), se obtiene que

y(N)0 =

1

N

³y(1)1 + y

(1)2 + y

(1)3 · · ·+ y

(1)N

´(3.23)

El logaritmo natural de la TIR de un bono cero cupón con N períodosal vencimiento es el promedio aritmético del logaritmo natural de todas lasfuturas tasas de interés a un período plazo desde hoy hasta el período N .Las relaciones (3.22) y (3.23) son formas alternativas de entender la ley de

un sólo precio. El lado izquierdo y derecho de ambas expresiones presentandos formas distintas de obtener un peso en N períodos mas. El lado izquierdose obtiene de adquirir un bono cero cupón a N períodos, mientras que el ladoderecho viene de invertir en bonos cero cupón de un período plazo durantelos próximos N períodos. La ley de un sólo precio nos indica que para evitarla existencia de oportunidades de arbitraje, ambas alternativas deben costarexactamente lo mismo.

3.8 La Curva de Tasas Forward

La curva de tasas forward es un gráfico que vincula las tasas forward y elperíodo N en que se espera esta tasa.Suponga que efectivamente conocieramos la evolución futura de las tasas

de interés. En términos de arbitraje, esto implica que

Tasa de Interés Forward = Tasa de Interés Spot Futura (3.24)

F (N) = RN→N+1 (3.25)

¿Cuál es la intuición de esto? Simple y puro arbitraje. Si la tasa deinterés forward fuera más baja que la tasa de interés spot futura, entonceslos inversionistas se endeudarían hoy a la tasa forward y prestarían en elfuturo a tasa spot, generando una ganancia libre de riesgo.

3.9 NO ARBITRAJE EN RETORNOS DE BONOS 21

Una particularidad relevante de las tasas de interés forward es que estasse encuentran implícitas dentro de la curva de rendimientos. Para entenderesto, es necesario volver a la ecuación (3.25)

F (1) = R1→2 (3.26)

Utilizando la definición de tasas de interés forward en la ecuación (3.12),F (1) = P (1)

P (2), se obtiene que

P (1)

P (2)= R1→2 (3.27)

Sustituyendo las siguientes definiciones, R0→1 = 1P (1)

y Y (2) = 1√P (2), en

la ecuación (3.27), se obtiene

£Y (2)

¤2= R0→1R1→2 (3.28)

Y (2) = [R0→1R1→2]12 (3.29)

que es exactamente la expresión para la curva de rendimientos para elcaso de 2 períodos en la ecuación (3.22).Esto no es para nada sorpresivo cuando piensa en lo siguiente. Si usted

necesita llevar dinero desde hoy hasta el período N , existen 3 formas alterna-tivas de realizar esto. Ir renovando tasas spot cada período, contratar tasasforward hasta N o comprar un bono cero cupón con vencimiento en N (lacurva de rendimiento). Como todas las alternativas cumplen con el mismoobjetivo, éstas deben ser equivalentes entre sí.

3.9 No Arbitraje en Retornos de Bonos

Considere dos formas alternativas de transferir dinero desde el actual períodohacia el siguiente: (1) Comprar un bono cero cupón con N períodos alvencimiento y venderlo como un bono con N − 1 períodos al vencimientodurante el próximo período o (2) Comprar un bono cero cupón con un únicoperíodo al vencimiento. De nuevo, por un asunto de arbitraje ambas estrate-


gias deberan rentar lo mismo, tal que

³1 + rb

(2)1

´=³1 + rb

(1)1

´(3.30)

P(1)1

P(2)0

=1

P(1)0

(3.31)hY(2)0

i2Y(1)1

= Y(1)0 (3.32)

Y(2)0 =

hY(1)0 Y

(1)1

i 12

(3.33)

Por una nueva vía hemos llegado al mismo resultado: una representaciónde la curva de rendimientos.

3.10 Duración y Convexidad

Recuerde que la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisfacela siguiente ecuación:

P =NXj=1

Fj

Y j(3.34)

Esta expresión nos indica que existe una relación no lineal entre preciosde bonos y su TIR.

3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD 23

TIR

Pre

cio

Y0

Nos gustaría conocer cómo cambia P ante cambios en la TIR del bono(Y ), sin embargo ésta es una relación compleja (porque no es lineal). Existeuna relación no lineal entre P e Y , P = P (Y ). Esta relación puede seraproximada por lo que se conoce como la Aproximación de Taylor :

P (Y ) ≈ P (Y0) +PXi=1

1

i!

diP (Y0)

d (Y0)i (Y − Y0)

i (3.35)

donde Y0 es un arbitrario punto de expansión. La expansión de primerorden de Taylor es

P (Y ) ≈ P (Y0) +∂P (Y0)

∂Y0(Y − Y0) (3.36)

P (Y ) ≈ P (Y0)− ∂P (Y0)

∂Y0Y0| z

constante

+∂P (Y0)

∂Y0Y (3.37)


Diferenciando esta última expresión1, se obtiene

dP ≈ ∂P

∂YdY (3.38)

dP

P≈ ∂P

∂Y

dY

Y

Y

P(3.39)

dP

P≈ −

·−YP

∂P (Y0)

∂Y0

¸| z Duración de un Bono

dY

Y(3.40)

3.10.1 Duración

La duración de un bono es la elasticidad de la relación entre precios y TIRalrededor del punto asociado a la TIR vigente. Por lo tanto, la duración esuna primera aproximación a la sensibilidad del precio ante cambios en la TIRde un bono.

D = −YP

dP

dY= −d lnP

d lnY(3.41)

Esto ultimo implica que, dada la duración, es posible construir una aprox-imación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia la TIRdel bono:

dP

P≈ −D · dY

Y(3.42)

Duración de un Bono Cero Cupón

La definición del precio de un bono cero cupón es

P (N) =1

Y N(3.43)

−YP

dP

dY=

Y

PN

1

Y N+1= N (3.44)

Para bonos cero cupón, tenemos que DURACION=MADUREZ DELBONO.

1Obviamente, la primera diferencia de una constante es cero.

3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD 25

Duración de Otros Bonos

El precio de bonos con cupones es

P =NXj=1

Fj

Y j(3.45)

−YP

dP

dY=

Y

P

NXj=1

jFj

Y j+1=1

P

NXj=1

jFj

Y j=

NXj=1

jFj/Y

jPNj=1 Fj/Y j

(3.46)

D =Xflujos

duración de cada flujo× valor del flujovalor total del bono

(3.47)

Por lo tanto, para el caso de bonos con cupones, la duración es el promedioponderado (por el valor de cada flujo) de la duración de los flujos individuales.Una implicancia relevante de lo anterior es que la duración de un bono essiempre menor que su madurez.

Duración de Una Perpetuidad

El precio de una perpetuidad con cupón C es P = CY−1 .

Dada la definición de duración en la ecuación (3.46), tenemos que laduración de una perpetuidad por C es

D =1

P

∞Xj=1

jC

Y j=

C

P

∞Xj=1

j1

Y j(3.48)

Reemplazando la propiedad queP∞

j=1 jzj = z

(1−z)2 en la ecuación (3.48),se obtiene la duración de una perpetuidad

D =C

P

(1/Y )

(1− 1/Y )2 (3.49)

D = (Y − 1) Y

(Y − 1)2 =Y

Y − 1 (3.50)

Duración Modificada

Muchas veces resulta más conveniente computar lo que se conoce como laduración modificada. Esto es el cambio porcentual en el precio que se origina


por un cambio absoluto en la TIR del bono (en vez del cambio porcentualen la TIR que suena algo extraño porque es el cambio porcentual sobre algoque ya está en porcentaje).

DM ≡ − 1P

dP

dY=1

Y

µ−YP

dP

dY

¶=1

Y×D (3.51)

Esto último implica que, dada la duración modificada, es posible construiruna aproximación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambiala TIR del bono:

dP

P= −DM · dY (3.52)

3.10.2 Convexidad

En el siguiente gráfico es posible apreciar dos bonos con igual duración paraun nivel de TIR de Y0. Sin embargo, ambos bonos tienen distinta curvaturaalrededor de ese punto. Eso indica que en la medida que existan cambiosmuy grandes en el nivel de TIR, entonces la duración sera una muy malaaproximación al verdadero cambio en precios ante cambios en TIR.

TIR

Pre

cio

Y0

bono 1bono 2

Esto hace necesario tener una mejor aproximación a tal cambio. La formade hacer esto es ocupar la convexidad de cada instrumento (el segundo tér-mino asociado a una expansión de Taylor). La convexidad del bono es el

3.11 INMUNIZACIÓN 27

cuociente entre la segunda derivada del precio del bono con respecto a suTIR y el precio del bono:

∂2P

∂Y 2=

1

Y 2

NXj=1

·Fj

Y j

¡j2 + j

¢¸(3.53)

Convexidad =1

P

∂2P

∂Y 2(3.54)

Esto último implica que, dada la duracion modificada y la convexidad,es posible construir una aproximación al cambio porcentual en el precio delbono cuando cambia la TIR del bono:

dP

P= −DM · dY + 1

2· Convexidad · (dY )2 (3.55)

3.11 Inmunización

Sabemos que el precio de los bonos cambia cuando cambian las TIR de estosbonos. Si tenemos estos bonos en cartera, nuestra riqueza financiera fluctuarácon cambios en TIR. Se conoce como inmunización al ejercicio de construirun portafolio de renta fija que sea inmune a cambios en TIR.Existen dos formas de construir portafolios inmunizados:

1. Portafolios Dedicados: Para cada flujo de caja de activos o pasivos,se puede comprar o vender el correspondiente bono cero cupón. No im-porta qué ocurra con las TIR, los flujos de caja estarán completamentecubiertos por bonos cero cupón de madurez equivalente. El valor delportafolio será completamente inmune a cambios en TIR.

2. Calzar la Duración del Portafolio: Compre (o venda) un bono quecuadre exactamente la duración de un pasivo (o activo) de renta fija.De esta forma, cumplirá con dos condiciones (1) valor presente de losactivos = valor presente de los pasivos y (2) duración de activos =duración de pasivos. La posición neta del portafolio sera insensible alos cambios en TIR.

3.12 Estrategias de Arbitraje con Bonos

La conclusión del capitulo pasado (sobre arbitraje) es que en la medida quehaya un precio mal puesto siempre es posible arbitrar tal precio. En esta


oportunidad veremos una pequeña aplicación al caso de renta fija (bonos).Suponga que existen 3 bonos: (1) el bono A es un cero cupón a 1 períodoplazo con TIR por 4%, (2) el bono B es un cero cupón con madurez de 2períodos y TIR de 5%, y (3) el bono C es un bono con 2 cupones en cadaperíodo por $1 y TIR por 4,25%.Los precios de estos bonos son:

P (1) =1

1.04= 0.96154 (3.56)

P (2) =1

1.052= 0.90703 (3.57)

PC =1

1.045+

1

1.0452= 1.8727 (3.58)

Dado que la suma del pago de los bonos A y B es igual al pago del bonoC, por ley de un sólo precio

PC = P (1) + P (2) (3.59)

Lo cual es falso: 1.8727 > 0.96154 + 0.90703 = 1.8686. Esto implica laexistencia de una oportunidad de arbitraje. ¿Cuál? Todas las oportunidadesde arbitraje son iguales: hay que vender el activo caro y comprar el activobarato. ¿En qué proporciones? En las que hagan cero todos los flujos ent = 1 . . . N . En este caso, esto es trivial, basta con comprar 1 unidad delbono A y 1 unidad del bono B y vender 1 unidad del bono C.

Operación t = 0 t = 1 t = 2

Compra 1 unidad de bono A −P (1) 1 0

Compra 1 unidad de bono B −P (2) 0 1

Venta de 1 unidad de bono C +PC -1 -1

Flujo de Caja Neto PC − P (1) − P (2) = 0.0041 0 0

Chapter 4

Decisiones de Inversión BajoIncertidumbre

Hasta ahora nos dedicado a explicar como valorizar activos vía arbitraje.Esto es, basta con conocer el precio de un activo, para valorizar otros activoscuyos flujos de caja sean combinaciones de activos con precios conocidos. Noobstante, nada hemos dicho acerca de la causa por la cual cierto inversionistapudiera demandar cierto activo financiero. Una característica de los activosfinancieros es que el valor de sus flujos depende de la realización de estadosde la naturaleza caracterizados por distribuciones de probabilidades.

En los cursos tradicionales de microeconomía, vimos como las preferenciasde los consumidores sobre un conjunto de bienes, c1, c2 . . . cN, pueden serdescritas por curvas de indiferencias., u (c1, c2 . . . cN).

29

30CHAPTER 4DECISIONESDE INVERSIÓNBAJO INCERTIDUMBRE

C1

C2

Estas funciones de utilidad cumplen con propiedades estándares, utilidadmarginal del consumo es positiva, U 0 (·) > 0 y decreciente U 00 (·) < 0.

C

U(C

)

tema con los activos financieros es que los pagos ofrecidos no son en bienessino en realizaciones de estados de la naturaleza. Estos estados de la natu-raleza tienen probabilidades asociadas a ellos, esto quiere decir que las prefer-

4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA 31

encias asociadas a activos financieros deben ser funciones de realizaciones dela naturaleza así como de sus respectivas probablidades. Suponga que existenN posibles estados de la naturaleza s1 . . . sN con probabilidades asociadasp1 . . . pN. Un activo financiero pagará bienes por c1 . . . cN en caso derealización de alguno de los estados de la naturaleza. De esta forma, laspreferencias de los agentes pueden ser descritas indistintamente como pref-erencias sobre pago de bienes en cada estado de la naturaleza, V (c1 . . . cN) ocomo preferencias sobre probabilidades de los estados U (p1 . . . pN). La intu-ición es muy simple. Suponga que a usted le gusta mucho el consumo en elestado 1 (c1), esto es equivalente a decir que le gusta mucho cierta distribu-ción de probabilidad que asigna mucho peso al estado 1. Esto indica queexisten dos enfoques alternativos para representar preferencias sobre pagosinciertos:

• Sobre el conjunto de pagos posibles en cada estado de la naturaleza,V (c1 . . . cN).

• Sobre el conjunto de distribuciones de probabilidad de los estados,U (p1 . . . pN).

4.1 El Enfoque de la Utilidad Esperada

El enfoque de la utilidad esperada viene de suponer que existe independenciade las preferencias sobre distribuciones de probabilidad. Esto es que la prob-abilidad de un estado de la naturaleza no afecta mis preferencias sobre lasprobabilidades del resto de los estados de la naturaleza. Bajo el supuesto deindependencia, las preferencias de los agentes pueden ser representadas por:

V (c1 . . . cN) = U (p1 . . . pN) =NXi=1

pi·u (ci)⇐⇒ Indice de Utilidad Esperada

(4.1)donde u (·) cumple con todas las propiedades estándares en una funcion

de utilidad.Los primeros en notar el supuesto de independencia como condicion nece-

saria para la existencia de una representacion de utilidad esperada como (4.1)fueron los economistas John Von Neumann y Oscar Morgenstern (1944). Por


lo tanto, muchas veces se suele hacer referencia al índice de utilidad esperadacomo la representación de Von Neumann - Morgenstern.Una importante implicancia del enfoque de la utilidad esperada es que nos

permite definir la actitud de los agentes hacia el riesgo (i.e. incertidumbre).Para efectos simplificatorios, suponga que existen sólo 2 posibles estados de lanaturaleza, tal que la utilidad esperada es: E [U ] = p ·u (c1)+(1− p) ·u (c2).Existen 3 casos posibles para definir la actitud hacia el riesgo:

• Agente es averso al riesgo:E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) < U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)

(4.2)

Como es posible observar en el gráfico siguiente, la aversión al riesgoes una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginaldecreciente, u00 (·) < 0. La intuición es que un agente averso al riesgosiempre prefiere el valor seguro de una apuesta, U [E], al valor esperadode tal apuesta, E [U ].

U(C

)

C1 C2p*C1+(1-p)*C2

E[U]

U[E]

• Agente es preferente al riesgo:E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) > U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)

(4.3)

4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA 33

Como es posible observar en el gráfico siguiente, la preferencia al riesgoes una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginalcreciente, u00 (·) > 0. La intuición es que un agente preferente al riesgosiempre prefiere el valor esperado de una apuesta, E [U ], al valor segurode tal apuesta, U [E].

C1 C2p*C1+(1-p)*C2

E[U]

U[E]

• Agente es neutral al riesgo:

E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) = U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)(4.4)

Como es posible observar en el gráfico siguiente, la neutralidad al riesgoes una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginalconstante, u00 (·) = 0. La intuición es que un agente neutral al riesgosiempre está indiferente entre el valor esperado de una apuesta, E [U ]y al valor seguro de tal apuesta, U [E].


C1 C2p*C1+(1-p)*C2

E[U]=U[

EN GENERAL, PRACTICAMENTE TODAS LAS APLICACIONESFINANCIERASASUMENQUELOSAGENTES SONAVERSOSALRIESGO1.


4.2.1 Equivalente Cierto

Considere 2 posibles inversiones financieras. La primera es una inversiónriesgosa que promete pagar un flujo riesgoso,fW , La segunda es una inversiónlibre de riesgo que promete pagar un valor fijo, W , a todo evento.

Definition 10 W es el equivalente cierto de fW , si y sólo si un inversionistaaverso al riesgo está indiferente entre ambos tipos de activos.

U¡W¢= E

hU³fW´i (4.5)

Esto, gráficamente, equivale a lo siguiente:

1Salvo que se explícite lo contrario, asumiremos que los agentes son aversos al riesgo.

4.3 GRADOS DE AVERSIÓN AL RIESGO 35U

(W)

W- E[W~]

E[U]=U[E

premio por riesgo

4.2.2 Prima Por Riesgo

Definition 11 La prima por riesgo (π) es el monto que un agente averso alriesgo estaría dispuesto a pagar para evitar una inversión riesgosa.

U³EhfWi− π

´= E

hU³fW´i (4.6)

Tanto EhfWi como π son valores ciertos, por tanto es trivial notar que

la prima por riesgo se encuentra vinculada al concepto de equivalente cierto.

W = EhfWi− π ⇔ π = E

hfWi−W (4.7)

4.3 Grados de Aversión al Riesgo

La distincion entre aversión, preferencia o neutralidad al riesgo puede resultarmuy restrictiva si lo que, por ejemplo, nos interesa hacer es una comparaciónentre el grado de aversión al riesgo del subconjunto de agentes aversos alriesgo. En otras palabras, requerimos definir una medida más precisa de lacurvatura del índice de utilidad esperada (más curvatura equivale a mayoraversión al riesgo).


Si el índice de utilidad esperada es estrictamente creciente y dos vecescontinuamente diferenciable, entonces es posible definir el siguiente par demedidas de aversión al riesgo.

Definition 12 Grado de Aversión Absoluta al Riesgo es el grado de aversiónde un agente a jugar un monto fijo absoluto en una lotería de precio justo.

AAR (W ) = −u00 (W )u0 (W )

(4.8)

Definition 13 Grado de Aversión Relativa al Riesgo es el grado de aversiónde un agente a jugar una proporción fija de su riqueza en una lotería de preciojusto.

ARR (W ) = −W · u00 (W )u0 (W )

(4.9)

Por definición, tenemos que u00 (·) < 0. De tal forma que

grado de aversión al riesgo =

> 0 si el agente es averso al riesgo

= 0 si el agente es neutral al tiesgo

< 0 si el agente es preferente al riesgo

(4.10)

4.4 Preferencias en el Espacio de Media yVarianza

Como veremos más adelante, en muchas aplicaciones resulta particularmenteútil suponer que la utilidad esperada se puede representar en un espacio demedia y varianza de las distribuciones de probabilidad sobre los estados dela naturaleza. Existen dos formas de llegar a este resultado:

1. Suponer que las distribuciones de probabilidad de los retornos de losactivos financieros pueden ser representados completamente por los 2primeros momentos de su distribución. La única función de distribu-ción (estable) que cumple con tal propiedad es la distribución Normal.Lamentablemente, la distribución efectiva de retornos de activos gen-eralmente tiende a no parecerse mucho a una distribución Normal.

4.4 PREFERENCIAS ENEL ESPACIODEMEDIAYVARIANZA37

2. Una segunda alternativa consiste en no imponer ninguna restricciónsobre la distribución de probabilidades sino que sobre la forma de lafunción de utilidad esperada. Suponga que la función de utilidad escuadrática

u (W ) = αW 2 +W (4.11)

Por definición, tenemos que

E (W ) = µW (4.12)

Mientras que la utilidad esperada es

E (u (W )) =NXi=1

pi ·£Wi + αW 2

i

¤= E (W ) + αE

¡W 2¢(4.13)

E (u (W )) = µW + αE¡W 2¢

(4.14)

Por su parte, la definición de la varianza de W es2

V ar (W ) = σ2W =NXi=1

pi · [Wi − µW ]2 = E

¡W 2¢− µ2W (4.15)

2Parta de la definición de la varianza

V ar (W ) = E [W − µW ]2

= E¡W 2

¢− 2E (W · µW ) + µ2W

La definición de la covarianza de W y µW es

Cov (W,µW ) = E [(W −E (W )) (µW −E (µW ))]

= E (W · µW )− µ2W

Como la covarianza entre una variable aleatoria (W ) y una constante (µW ) es siemprecero

E (W · µW )− µ2W = 0

E (W · µW ) = µ2W

Reemplazando esto último en la definición de la varianza de W

V ar (W ) = E¡W 2

¢− 2µ2W + µ2W

V ar (W ) = E¡W 2

¢− µ2W


Reemplazando la expresión (4.15) en la definición de la utilidad esper-ada (ecuacion (4.14)), se obtiene que

E (u (W )) = µW + α¡σ2W + µ2W

¢(4.16)

Las preferencias se encuentran perfectamente especificadas por los primerosdos momentos de una distribución aleatoria (la media y la varianza).

El problema con la función de utilidad cuadrática es que viola el supuestode no saciedad de una función de utilidad, u0 (·) > 0. Cuando α < 0,u (W ) es decreciente para todo el rango de valores W > −1

2α.

La simple intuición nos indica que a un agente averso al riesgo no legustará la varianza de riqueza tal que sus curvas de indiferencia en el espaciode media y varianza tomarán la siguiente forma.

Var(W)

Med

ia d

e W

Por su parte, al agente preferente al riesgo le gustará tener mucha varianzaen su riqueza, tal que sus curvas de indiferencia en el espacio de media yvarianza tomarán la siguiente forma.

4.4 PREFERENCIAS ENEL ESPACIODEMEDIAYVARIANZA39M

edia

de

W

Var(W)

Finalmente, aquellos agentes con neutralidad al riesgo verán represen-tadas sus preferencias en el espacio de media y varianza por el siguiente tipode curvas de indiferencia.

Var(W)

Med

ia d

e W

Chapter 5

Valorización de Activos BajoIncertidumbre

El capítulo precedente nos ha permitido, hasta ahora, definir preferenciasentre distintas realizaciones de estados de la naturaleza: comparar y elegirentre distintas loterías, además de definir sus respectivos equivalente ciertoy prima por riesgo. Ahora bien, nada de esto hasta ahora nos indica cómovalorar un activo riesgoso. En este sentido, el presente capítulo tratará deextender el análisis previo de tal manera de entender cómo valorar un activoque promete el pago de flujos en algún momento futuro del tiempo. Enparticular, lo que haremos será tratar de determinar el valor de en t de unactivo que paga un flujo de caja xt+1 durante el periodo t+ 1. Este flujo decaja va a ser distinto dependiendo del activo al cual se haga referencia: enel caso del activo libre de riesgo a un periodo plazo tendremos que xt+1 = 1,mientras que en el caso de una acción ese flujo es el precio de mañana másel dividendo pagado xt+1 = pt+1 + dt+1.¿Quién valoriza un activo (acciones, bonos, etc.)? Un inversionista. Por lo

tanto, a la hora de entender el precio de cualquier activo es necesario modelarlo que un inversionista quiere. La manera de hacer esto es a través de unafunción de utilidad definida tanto sobre consumo presente como consumofuturo.

U (ct, c+1) = u (ct) + βEt [u (ct+1)] (5.1)

, donde Et [·] se refiere a la esperanza condicional a toda la informaciónduisponible durante el periodo t.Definamos φ como el monto de activo como el valor del activo comprado

41

42CHAPTER 5VALORIZACIÓNDEACTIVOSBAJO INCERTIDUMBRE

y e como la dotación disponible. Entonces, el problema del inversionista es

maxφ

u (ct) + βEt [u (ct+1)] (5.2)

sujeto al siguiente par de restricciones presupuestarias:

ct = et − ptφ (5.3)

ct+1 = et+1 + xt+1φ (5.4)

La condición de primer orden de este problema es una ecuación de Eulerestándar, igual a la vista en su primer curso de Macroeconomía.

ptu (ct) = Et [βu (ct+1)xt+1] (5.5)

La ecuación (5.5) indica que en el óptimo el costo marginal de ahorrar unpeso adicional en ese activo debe ser igual al beneficio marginal de este ahorro.El costo marginal de ahorrar está dado por el lado izquierdo de la expresión(5.5), es decir la utilidad marginal del consumo multiplicado por el precio delactivo. Por su parte, el beneficio se encuentra dado por el lado izquierdo de(5.5), es decir el valor esperado del pago que efectuará el activo multiplicadopor la utilidad marginal de una unidad extra de consumo durante el próximoperiodo. Obviamente, la ecuación (5.5) puede ser trivialmente reescrita como

pt = Et

·βu (ct+1)

u (ct)xt+1

¸(5.6)

pt = Et [mt+1xt+1] (5.7)

mt+1 = βu (ct+1)

u (ct)(5.8)

Las ecuaciones (5.6), (5.7) y (5.8) son las fórmulas centrales de la liter-atura moderna de valoración de activos y, por lo tanto, volveremos recur-rentemente a ellas. Por ahora, retenga el siguiente nombre, mt+1 es lo quese conoce universalmente como el Factor de Descuento Estocástico (FDE).Algunas particularidades del FDE:

• Permite incorporar todas las correcciones por riesgo al introducir mt+1

dentro de la esperanza condicional.

• Un único FDE permite realizar todas esas correcciones por riesgo, enotras palabras, un único FDE basta para valorizar todos los activos.

• El FDE es estocástico (o aleatorio) porque no se conoce con certidumbreen el periodo t.

5.1 CORRECCIONES POR RIESGO 43

5.1 Correcciones por Riesgo

Ahora bien, ¿cómo es que un único FDE permite realizar toda corrección porriesgo para cualquier activo?Olvidando por un momento los subíndices t y dividiendo ambos lados de la

expresión (5.7) por p, se obtiene lo que se conoce como una representaciónde factor de descuento estocástico

1 = E£mRi

¤(5.9)

, donde Ri = xi

pies el retorno bruto de la inversión. Aplicando descompo-

sisición de covarianza sobre la expresión (5.9)

1 = E (m)E¡Ri¢+ cov

¡m,Ri

¢(5.10)

Utilizando la propiedad de que Rf = 1E(m)

1, se llega a que

E¡Ri¢−Rf = −Rfcov

¡m,Ri

¢(5.11)

E¡Ri¢= Rf +

µcov (m,Ri)

var (m)

¶| z

βi,m

µ−var (m)

E (m)

¶| z

λm

(5.12)

E¡Ri¢= Rf + βi,mλm (5.13)

, donde βi,m es el beta de la regresión entre Ri y m y λm es el negativo

de la razón entre la varianza y la media de m.La ecuación (5.13) es lo que tradicionalmente se conoce como la repre-

sentación beta. Algunas cosas a destacar acerca de la representación betade un activo:

• λm se conoce como el precio de mercado del riesgo (o premio por riesgo).Este premio por riesgo no es un parámetro libre, ya que depende delratio var(m)

E(m). Dado que var (m) > 0 y E (m) > 0, entonces λm < 0. En

otras palabras, el premio por riesgo para el crecimiento de la utilidadmarginal del consumo es negativo.

1El flujo de caja para el caso del activo libre de riesgo es x = 1, tal que p(1) = E [m] oequivalentemente Rf = 1

p(1)= 1

E[m] .


• βi,m se conoce también como la cantidad de riesgo, tal que el retornoexigido por un activo es igual al retorno del activo libre de riesgo másun factor de de riesgo que es igual al premio por riesgo multiplicadopor la cantidad de riesgo asumida en cada activo.

• Sólo el riesgo sistemático recibe una mayor compensación en términosde retorno esperado. El riesgo idiosincrático no importa (no es remu-nerado en términos de retorno esperado). ¿Por qué? Considere el casode un activo cuyo retorno no tiene correlación alguna con m (el FDEque captura todo el riego que le importa al inversionista), en ese casotendremos que cov (Ri,m) = 0, tal que βi,m = 0, y E (Ri) = Rf . Enotras palabras, un activo cuyo retorno no tiene correlación con el riesgosistemático (en m) sólo renta la tasa libre de riesgo, no importa cuálsea su riesgo total.

5.2 ¿Qué determina el precio de mercado delriesgo (λm), común a todos los activos?

Asuma una función de utilidad con grado de aversión relativa al riesgo con-stante, donde γ es el parámetro de aversión al riesgo, tal que u (c) = c1−γ

1−γ .Luego el FDE es simplemente

mt+1 = βu0 (ct+1)u0 (ct)

= β

µct+1ct

¶−γCon algo de creatividad matemática, reescribamos el FDE de la siguiente

forma,

mt+1 = e−γ·ln β· ct+1

ct

Lo anterior puede ser aproximado por la siguiente expresión,

mt+1 ≈·1− γ · ln

µct+1ct

¶¸Por lo tanto, tenemos que,

var (mt+1) ≈ γ2 · σ2c

5.2 ¿QUÉDETERMINAELPRECIODEMERCADODELRIESGO (λM), COMÚNATO

donde σ2c = σ2hln³ct+1ct

´i=varianza de la tasa de crecimiento del con-

sumo. Además,Et (mt+1) ≈ 1− γ · µc

donde µc = Et

hln³ct+1ct

´i=valor medio de la tasa de crecimiento del

consumo.Dado lo anterior, se llega a que en el caso de función de utilidad con grado

de aversión relativa al riesgo constante, el precio de mercado del riesgo es

λm ≈ −V ar (mt+1)

Et (mt+1)=

γ2 · σ2cγ · µc − 1

Se desprende de la expresión anterior que:

• El (valor absoluto) del precio de mercado del riesgo crece con la varianzade la tasa de crecimiento del consumo (σ2c). En otras palabras, en unfuturo más incierto (caracterizado por mayor volatilidad del consumo),las compensaciones por riesgo (en valor absoluto) deben ser mayores.

• El (valor absoluto) del precio de mercado del riesgo cae con la me-dia de la tasa de crecimiento del consumo (µc). En otras palabras, enépocas (caracterizadas por mayor crecimiento del consumo), las com-pensaciones por riesgo (en valor absoluto) deben ser menores.

• El (valor absoluto) del precio de mercado del riesgo crece con la aversiónal riesgo (γ). En otras palabras, con individuos más aversos al riesgo(caracterizados por una mayor concavidad de su función de utilidad),las compensaciones por riesgo (en valor absoluto) deben ser mayores.

¿Cuál es la intuición detrás de esto último? La respuesta está en mt+1.¿Qué es el FDE (mt+1)? Es la tasa marginal de sustitución entre consumopresente y consumo futuro, β u0(ct+1)

u0(ct) . La utilidad marginal del consumo midecuan feliz me encontraría si es que me encuentro un peso botado en la calle, nocuan feliz me hace todo mi consumo del periodo. Dado individuos aversos alriesgo, la concavidad de su función de utilidad implica que a estos individuosles importa más perder un peso que ganar un peso. En términos del panelde la derecha del gráfico siguiente, si se parte de un punto de consumo comoel representado por el punto negro, la concavidad de la función de utilidadhace que un peso perdido (la flecha hacia la izquierda) genere una reducción


(marginal) en la utilidad mucho más grande que la ganancia (marginal) enutilidad de un peso ganado (la flecha hacia la derecha).

Consumo Total

Util

idad

del

Con

sum

o

Consumo Total

Util

idad

Mar

gina

l del

Con

sum

o

Utilidad marginal del peso adicional

Pérdida marginal del peso adicional

En palabras sencillas, el argumento anterior implica que individuos aver-sos al riesgo valoran más las pérdidas que las ganancias. En un mundo alta-mente volátil (representado por una gran varianza en la tasa de crecimientodel consumo) es muy probable soportar grandes alzas o grandes caídas enconsumo en el futuro. Como estas últimas las valoran más (y son más prob-ables si el consumo es muy volátil), entonces -intuitivamente- ese futuro másincierto se hace más doloroso para los inversionistas, los cuales demandancompensación adicional por tomar riesgo en el futuro. El análisis se hacemás extremo para el inversionista si es que la concavidad de su función deutilidad es mayor (lo que ocurre si es que es más averso al riesgo), ya que eldolor de las pérdidas crece con la aversión al riesgo. Finalmente, si la tasa decrecimiento del consumo es (en valor esperado) muy alta, entonces se hacemenos probable tener que soportar dolorosas pérdidas en el futuro por unacaída en el consumo, lo cual requiere una compensación menor por tomarriesgo en el futuro. En este punto, retenga lo siguiente, la concavidad de lafunción de utilidad (dada por la aversión al riesgo) implica que se valoranmás las pérdidas que las ganancias de consumo. En dicho contexto,

• Si el consumo es muy volátil, se hace más probable soportar una pérdidamuy grande de consumo en el futuro que no es compensada por la mayorprobabilidad de una ganancia de consumo en el futuro. Por lo tanto,ante alta volatilidad del consumo, se demanda mayor compensaciónpor tomar riesgo.

• Lo anterior se agrava si los inversionistas son altamente aversos alriesgo, porque esto significa que el dolor de las pérdidas de consumo son

5.3 ¿QUÉDETERMINALACANTIDADDERIESGO¡βI,M

¢, INDIVIDUALACADAAC

todavía más altas que las ganancias de consumo. Por lo tanto, ante altaaversión al riesgo, se demanda mayor compensación por tomar riesgo.

• Si se espera que el consumo crezca muy fuerte, se hace menos proba-ble soportar una pérdida de consumo en el futuro. Por lo tanto, antealto crecimiento del consumo, se demanda menor compensación portomar riesgo. Esto último es particularmente relevante por su impli-cancia macroeconómica. Las épocas de alto crecimiento del consumoson épocas de expansión, en las cuales se debe demandar menor com-pensación por tomar riesgo. Por el contrario, épocas de contracción delconsumo son épocas de recesión, en las cuales se debe demandar mayorcompensación por tomar riesgo.

5.3 ¿Qué determina la cantidad de riesgo¡βi,m

¢,

individual a cada activo?

Asuma -nuevamente- una función de utilidad con grado de aversión relativaal riesgo constante y recuerde que, en dicho caso, el FDE se puede aproximarpor

mt+1 ≈·1− γ · ln

µct+1ct

¶¸Dada la definición de cantidad de riesgo, se tiene que

βi,m =cov

¡mt+1, R

it+1

¢V ar (mt+1)

Dado que el denominador de dicha expresión es positivo, concentremónosen el numerador,

cov¡mt+1, R

it+1

¢ ≈ −γ · covµlnµct+1ct

¶, Ri

t+1

¶Dado que conocemos que -por construcción- el precio de mercado del

riesgo es negativo λm < 0, la expresión anterior implica lo siguiente sobre elretorno exigido a los activos,

• Si cov³ln³ct+1ct

´, Ri

t+1

´> 0, entonces cov

¡mt+1, R

it+1

¢< 0 y βi,m < 0.

De esta forma, Et

¡Rit+1

¢> Rf . El retorno exigido a un activo cuyo


retorno tiene covarianza positiva con la tasa de crecimiento del consumodebe ser mayor a la tasa libre de riesgo.

• Si cov³ln³ct+1ct

´, Ri

t+1

´< 0, entonces cov

¡mt+1, R

it+1

¢> 0 y βi,m >

0. De esta forma, Et

¡Rit+1

¢< Rf . El retorno exigido a un activo

cuyo retorno tiene covarianza negativa con la tasa de crecimiento delconsumo debe ser menor a la tasa libre de riesgo.

¿Cuál es la intuición detrás de esto último? La respuesta -nuevamente-está en mt+1. ¿Qué es el FDE (mt+1)? Es la tasa marginal de sustituciónentre consumo presente y consumo futuro, β u0(ct+1)

u0(ct) . Dado individuos aversosal riesgo, la concavidad de su función de utilidad implica que a estos indi-viduos les importa más perder un peso que ganar un peso. Por lo tanto, sise invierte en un activo cuyo retorno tiene covarianza positiva con la tasade crecimiento del consumo, se está invirtiendo en un activo que va a pagarmenos exactamente en las épocas (cuando cae el consumo) en que se sufremás (también es cierto que va a pagar más en las épocas en que se disfrutamás, pero esas épocas le importan menos porque es averso al riesgo). De estaforma, activos cuyos retornos tienen covarianza positiva con el consumo sonactivos que amplifican el dolor de las pérdidas en los malos tiempos. En-tonces, para obligar a que estos inversionistas mantengan esos activos se lesdebe exigir un retorno mucho mayor que la tasa libre de riesgo.

Por el contrario, si se invierte en un activo cuyo retorno tiene covarianzanegativa con la tasa de crecimiento del consumo, se está invirtiendo en unactivo que va a pagar más exactamente en las épocas en que se sufre más(cuando cae el consumo). Dichos activos alivian el dolor de las pérdidas enlos malos tiempos. Entonces, los inversionistas están dispuestos a exigir unretorno mucho menor a la tasa libre de riesgo por mantener esos activos.

Corolario: Si definimos buenas épocas -desde un punto de vista económico-como aquellas épocas en que crece más fuerte el consumo y malas épocascomo cuando el consumo se contrae, entonces lo siguiente es cierto: los ac-tivos que pagan mal en los malos tiempos deben exigir un retornoesperado más grande y los activos que pagan mejor en los malostiempos deben exigir un retorno esperado menor.

5.4 UNEJEMPLODEVALORIZACIÓN: LATASALIBREDERIESGO49

5.4 Un Ejemplo de Valorización: La Tasa Li-bre de Riesgo

Un ejemplo sencillo para entender la manera en la cual funciona la val-orización de activos bajo incertidumbre es comenzar con el más simple delos casos: el activo libre de riesgo (el bono cero cupón con pago a un periodoplazo). El flujo de caja ofrecido por el activo libre de riesgo en el próximoperiodo es xt+1 = 1, tal que la ecuación (5.6) se convierte en

p(1)t = Et [mt+1] (5.14)

Rft =

1

Et [mt+1](5.15)

donde Rft representa la tasa de interés bruta libre de riesgo.

Suponga ahora que la función de utilidad es CRRA (constant relative riskaversion, grado de aversión relativa al riesgo es constante).

u (ct) =1

1− γc1−γt (5.16)

Tal que

mt+1 = β

µctct+1

¶γ

(5.17)

Reemplazando la ecuación (5.17) en (5.15), se obtiene que

Rft =

1

βEt

h³ctct+1

´γi (5.18)

Para efectos de simplicidad algebraica, supongamos que la tasa de crec-imiento del consumo

³ctct+1

´se comporta como una variable aleatoria dis-

tibuída de acuerdo a una distribución lognormal2, entonces la expresión (5.18)puede ser reescrita como

Rft =

"e−δe

−γEt[∆ ln ct+1]+ γ2

2σ2t (∆ ln ct+1)

#−1(5.19)

2Diagmo que la variable z se distribuye normal, entonces ez se distribuye lognormal ycumple con la siguiente propiedad: E (ez) = eE(z)+

12σ

2(z).


, donde e−δ = 1βy ∆ ln ct+1 = ln ct+1 − ln ct.

Tomando logaritmos naturales sobre la expresión (5.19), se obtiene unaexpresión para la tasa de interés continua libre de riesgo

rft = δ + γEt [∆ ln ct+1]−µγ2

2

¶σ2t (∆ ln ct+1) (5.20)

La ecuación (5.20) nos permite destacar un hecho de gran relevanciaeconómica: la tasa de interés real libre de riesgo no es un parámetro libre, enel sentido de que no puede tomar cualquier valor. En particular, en equilibrio,la tasa de interés real debe cumplir con las siguientes características:

• La tasa de interés real es más alta cuando el inversionista es más im-paciente (cuando β es bajo). En otras palabras, si los inversionistasquieren consumir más en el periodo corriente (hoy) se requerirá de unatasa de interés mayor para convencerlos de ahorrar.

• La tasa de interés real es más alta cuando la tasa de crecimiento delconsumo es más alta. Mayores tasas de interés reducen el nivel deconsumo presente, lo cual logra hacer crecer su tasa de crecimientodesde hoy hasta el próximo periodo.

• La tasa de interés real es más sensible a la tasa de crecimiento delconsumo si las personas son altamente aversas al riesgo (mayor valorde γ). Si un inversionista es altamente averso al riesgo, le interesarámucho mantener un patrón de consumo lo más estable posible en eltiempo y, por lo tanto, está menos dispuesto a cambiar su patrón deconsumo en respuesta a cambios en la tasa de interés real. Se concluye,entonces, que se requieren grandes cambios en tasas de interés parainducirlo a tomar cierto patrón de consumo.

• En el caso de inversionistas aversos al riesgos, estos -por definición-le otorgan mayor importancia a los estados de la naturaleza donde seconsume menos en relación a aquellos estados donde se consume más.Por lo tanto, cuando el consumo es más volátil (σ2t (∆ ln ct+1) es másalto), las personas querrán consumir menos para protegerse de los ahoramuy malos estados de la naturaleza, ahorrarán más e impulsarán lastasas de interés reales a la baja. Esto último es lo que se conoce comoel efecto sobre las tasas de interés del motivo precaución del ahorro.

Chapter 6

Combinaciones de Activos

Durante el capítulo previo de este este curso nos dedicamos a demostrar quede acuerdo a un grupo importante de supuestos1 es posible caracterizar laspreferencias de los consumidores en un espacio definido por los dos primerosmomentos de una distribución aleatoria: la media y la varianza. Más aún, conalgún trabajo adicional, es posible demostrar que estas preferencias en mediay varianza son convexas2. Ahora bien, como es cierto en cualquier problemade optimización bajo restricciones (como en que el por ejemplo un agenteintenta maximizar su función de utilidad sujeto a restricciones), es necesarioidentificar el set de posibilidades de inversión. Esto es lo que se conoce comola Frontera de Posibilidades de Inversión, y cuyas propiedades son lasque, a continuación, se intentará caracterizar en más detalle.

6.1 El Caso de 2 Activos Financieros

Definamos A y B como los dos únicos activos financieros disponibles parainversión. La media y varianza de ambos tipos de activos se expresará comoE (RA), E (RB) y σ2 (RA), σ2 (RB) respectivamente. Ademas, la proporciónde la riqueza invertida en el activo A se denotará α tal que (1− α) es laproporción invertida en el activo B. De esta forma, el retorno esperado y

1Por ejemplo, que los retornos de los activos provengan de una distribución Normalmultivariada o que la función de utilidad de los inversionistas sea cuadrática.

2Por convexidad, nos referimos a que la combinación lineal entre dos canastas de con-sumo indiferentes para el inversionista (A y B), es siempre preferida a A o B. Convexidad:A ∼ B ⇒ αA+ (1− α)B Â A y B

51

52 CHAPTER 6 COMBINACIONES DE ACTIVOS

la desviacion estándar del portafolio P constituido por la combinación deambos activos puede ser expresado como

E (RP ) = αE (RA) + (1− α)E (RB) (6.1)

σ (RP ) =

qα2σ2 (RA) + (1− α)2 σ2 (RB) + 2α (1− α) cov (RA, RB)(6.2)

Sin embargo, como la covarianza entre RA y RB es por definición:

cov (RA, RB) = σ (RA)σ (RB) ρA,B (6.3)

donde ρA,B es el coeficiente de correlación entre los retornos de A y B.Por definición, tenemos que −1 < ρA,B < 1, donde ρA,B = −1 implicaque ambos activos están (perfectamente) negativamente correlacionados yρA,B = 1 implica que ambos activos están (perfectamente) positivamentecorrelacionados. Reemplazando (6.3) en (6.2) obtenemos

σ (RP ) =qα2σ2 (RA) + (1− α)2 σ2 (RB) + 2α (1− α)σ (RA)σ (RB) ρA,B

(6.4)

6.1.1 Sin Venta Corta de Activos

Supongamos por ahora que no existe venta corta de activos3 tal que 0 < α < 1y analicemos entonces las propiedades de los portafolios contruídos comocombinación de los activos A y B. En primer lugar, note de la ecuación (6.1)que la media del portafolio es una combinación lineal de la medias de cadaactivo y no depende en ninguna forma de la correlación entre ambas clasesde activos. Por lo tanto, simplemente nos centraremos en lo que ocurre conla desviación estándar del portafolio bajo distintos escenarios de correlaciónde retornos entre activos.

• Caso 1: Activos perfectamente (positivamente) correlacionados ¡ρA,B = 1¢Si ρA,B = 1, la ecuación (6.4) es simplemente

σ (RP ) = |ασ (RA) + (1− α)σ (RB)| (6.5)

3Se conoce como venta corta de activos, el caso en el cual un inversionista pide prestadoun activo financiero para venderlo hoy pero tiene la obligación de restituirlo en el futuro.En la practica, la venta corta permite mantener posiciones negativas en alguna clase deactivos, i.e. α < 0.

6.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS 53

donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución delproblema cuadrático tome la raíz positiva del problema4. El gráfico 1muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones deambos tipos de activos, cuando E (RA) = 3%, σ (RA) = 1%, E (RB) =10%, σ (RA) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornosde ambos tipos de activos sea uno implica que todos los portafolioscompuestos por ambos activos estén sobre la linea recta que une ambosactivos.

B

A

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%Desviacion Estandar

Med

ia

ρA,B = 1.0

• Caso 2: Activos perfectamente (negativamente) correlacionados ¡ρA,B = −1¢Si ρA,B = −1, la ecuacion (6.4) es simplemente

σ (RP ) = |ασ (RA)− (1− α)σ (RB)| (6.6)

donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución delproblema cuadrático tome la raíz positiva del problema. El gráfico 2muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones de

4Por definición, la desviación estándar es siempre positiva.


ambos tipos de activos, cuando E (RA) = 3%, σ (RA) = 1%, E (RB) =10%, σ (RA) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornos deambos tipos de activos sea -1 implica que existe un portafolio que tienela propiedad de tener una desviación estándar igual a 0. En el gráfico2, este portafolio es el que corresponde al punto C. Simple algebranos permite determinar que el portafolio C es aquel que cumple con lasiguiente composición

α =σ (RB)

σ (RA) + σ (RB)5 (6.7)

C

B

A

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%


Med

ia

ρA,B = −1.0• Ademas, por simple inspección geométrica del gráfico 2 es posible de-terminar que cuando ρA,B = −1.0, toda la combinación posible deportafolios se reduce a dos segmentos lineales (A − C y C − B). Elsegmento A− C se describe por la siguiente recta

σ (RP ) = ασ (RA)− (1− α) σ (RB) si α >σ (RA)

σ (RA) + σ (RB)(6.8)

5Reemplace σ (R) = 0 en 6.6 y resuelva para α.


Mientras que el segmento C −B es simplemente la recta descrita por

σ (RP ) = (1− α)σ (RB)− ασ (RA) si α <σ (RA)

σ (RA) + σ (RB)(6.9)

• Caso 3: Activos imperfectamente correlacionados ¡−1 < ρA,B < 1¢

En primer lugar, es importante resaltar el hecho de que independientedel coeficiente de correlación entre ambos tipos de activos, si se invierteel 100% del riqueza en A (α = 1), tendremos que las ecuaciones (6.1)y (6.2) se transforman en E (RP ) = E (RA) y σ (RP ) = σ (RA). De lamisma forma, si el 100% de la riqueza es invertida en el activo B (α =0), las ecuaciones (6.1) y (6.2) se transforman en E (RP ) = E (RB) yσ (RP ) = σ (RB). En este sentido, independiente de la composición delportafolio su representación gráfica en el espacio de media y desviaciónestándar debe pasar por los puntos A y B.

Dado que −1 < ρA,B < 1, podemos decir lo siguiente acerca de laecuación (6.2):

σ (RP ) < ασ (RA) + (1− α)σ (RB) si ρA,B < 1 (6.10)

σ (RP ) > ασ (RA)− (1− α)σ (RB) si ρA,B > −1 (6.11)

En términos gráficos, esto implica que en el gráfico 2, el portafolioque combina los activos A y B, debe estar a la izquierda del segmentoA−B (ecuación (6.10)) y a la derecha del segmento A−C−B (ecuacion(6.11)). En el siguiente grafico, es posible apreciar los portafolios quecombinan A y B cuando −1 < ρA,B < 16.

6El gráfico está construído con un valor ρA,B = −0.8.


A

B

C

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%


Med

ia

ρA,B = −0.8

• Ahora bien cabe preguntarse porque la representación gráfica de losportafolios formados por A y B en el espacio de media y desviacion es-tándar tienen una forma suavemente concava. Para clarificar el punto,suponga que tuvieran una forma convexa como la línea punteada en elsiguiente gráfico.


C

B

A

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%


Med

ia

u

v

• Como u y v se encuentran sobre la línea roja, estos portafolios debenser una combinacion de A y B. De esta forma, cualquier combinaciónde A y B puede ser expresada como una combinación de los portafoliosu y v. Por lo tanto, aplica lo siguiente para el segmento de portafoliosentre u y v:

σ (RP ) < αuσ (Ru) + (1− αu)σ (Rv) si ρA,B < 1 (6.12)

σ (RP ) > αuσ (Ru)− (1− αu)σ (Rv) si ρA,B > −1 (6.13)

Esto implica que el segmento de portafolios ubicados entre u y v debeestar necesariamente a la izquierda de la línea recta trazada entre u yv, lo cual es contradictorio con una forma convexa para la combinaciónde media y desviación estándar de los portafolios compuestos por A yB.

6.1.2 Con Venta Corta de Activos

La venta corta de activos es una simple operación financiera que consistebásicamente en lo siguiente: pedir prestado un activo financiero, el cual se


devolverá en algún punto en el futuro. En la práctica, esto es como ir asolicitar un crédito en el banco. Siempre se puede ir a un banco y solicitarun crédito a plazo que se devolverá como dinero más un cierto pago deinterés prepactado. La venta corta es lo mismo, se puede acudir al tenedorde un activo, pedírselo prestado, venderlo, recaudar recursos para invertirloso consumirlos, comprarlo nuevamente en algún punto del futuro y devolverloa quien originalemente lo prestó. Suponga como hasta ahora que existen dosactivos financieros: A y B. Usted podría acudir hasta donde un tenedor delactivo A, pedirle prestado su activo, vender A y con ese dinero comprar B.En este sentido, su posición neta en el activo A sería negativa (α < 0) ysu posición neta en B sería mayor al 100%. De esta forma, y tal como seaprecia en el siguiente gráfico, el alzamiento de la restricción a la venta cortade activos permite desplazar la combinación de alternativas alcanzables demedia y desviación estándar a la derecha de los puntos A y B.

B

A

-8.0%

-6.0%

-4.0%

-2.0%

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

14.0%

0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0%Desviacion Estandar

Med

ia

Combinación de Activos A y B con Venta Corta de Activos

6.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS 59

6.2 Extensión a N Activos

En la medida que un portafolio compuesto por A y B es trivialmente imple-mentable, este portafolio también puede ser combinado con un tercer activoD para obtener nuevos portafolios que son combinación de A, B y D. Por lotanto, todo lo señalado en la sección anterior es trivialmente aplicable a unasituación con una cantidad N > 2 de activos financieros7.Suponga la existencia de un número finito N de activos financieros y

defina αiP , αjP y σij como la proporción del portafolio P invertida en elactivo i, la proporción del portafolio P invertida en el activo j y la covarianzaentre activos i y j respectivamente. De esta forma, la media y la varianza deun portafolio P puede ser descrita por el siguiente par de ecuaciones:

E (RP ) =NXi=1

αiPE (Ri) (6.14)

σ2 (RP ) =NXi=1

NXj=1

αiPαjPσij (6.15)

Sabemos que la contribución del activo i a la media (retorno) del portafo-lio es simplemente E (Ri), ahora nos gustaría establecer la contribución deese mismo activo a la varianza (riesgo) del portafolio. Para eso, reescribamosla ecuacion (6.15) como

σ2 (RP ) =NXi=1

αiP

ÃNXj=1

αjPσij

!(6.16)

De manera obvia, el términoPN

j=1 αjPσij es la contribución del activo ia la varianza (riesgo) del portafolio P . Es importante notar que este términoes la contribución de i al riesgo de un único portafolio, P . La contribuciónal riesgo de cualquier otro portafolio dependerá de la composición de talportafolio. Analícemos un poco más en detalle la contribución de i al riesgodel portafolio P . Este puede fácilmente ser descompuesto en dos partes.

NXj=1

αjPσij = αiPσ2 (Ri) +

NXj=1j 6=i

αjPσij (6.17)

7Siempre puedo agrupar una cantidad grande de activos en dos portafolios distintos yconstruir combinaciones de dos portafolios.


El primer término a la derecha de la ecuación (6.17) es el porcentaje deP invertido en i multiplicado por la varianza de i. Este término es comple-tamente idiosincrático al activo i debido a que no depende de otro activo j.Ahora bien el segundo término a la derecha de la ecuación (6.17) si dependedel resto de los activos en P . Si la covarianza entre el activo i y el activo j(que tambien forma parte del portafolio P ) es negativa, entonces el términoPN

j=1j 6=i

αjPσij es obviamente negativo8. Por lo tanto, a pesar de que la var-

ianza de cualquier activo es, por definición, siempre positiva, no es posibledeterminar a priori si la contribución de un activo al riesgo del portafolioserá positiva (y de qué magnitud) en la medida que es necesario conocer sucovarianza con el resto de activos. Su covarianza con el resto de los compo-nentes del portafolios (los activos j) puede ser negativa y contribuir a reducirel riesgo (varianza del portafolio).

En este punto, ya conocemos la contribución de un activo a la media yla varianza de un portafolio. No obstante, surge la pregunta obvia: ¿a quéportafolio nos referimos? Supongamos de nuevo que se poseen tres alter-nativas de inversión: A, B y D. En el siguiente gráfico, se muestran trescombinaciones posibles de activos: la combinación de A y B, la combinaciónde B y D y la combinación de A y D.

8Obviamente, asumiendo que αjP > 0, esto es que existe prohibición a la venta cortade activos.

6.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS 61

B

AD

-4.0%

-2.0%

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0%Desviacion Estandar

Med

ia

Un portafolio como P puede estar en cualquiera de esas combinaciones oen alguna adicional que incluya a los tres activos (esas combinaciones no segrafican aquí). En el siguiente capítulo, nos referiremos a las combinacioneseficientes entre N activos y que son los únicos portafolios en los cuales uninversionista tipo estará interesado en invertir.

Chapter 7

La Frontera Eficiente

7.1 El Concepto de Diversificación de Activos

En finanzas resulta habitual escuchar analistas recomendar estrategias deinversión basadas en la diversificación de activos. En tal contexto, el conceptode diversificación no se reduce más que a una estrategia del tipo de no colocartodos los "huevos" en la misma canasta. No obstante, este concepto es unpoco más profundo que la simple idea de no colocar todos los "huevos" enla misma canasta. De acuerdo a la ecuación (6.17) en el pasado capítulo,es posible cuantificar la contribución de un activo al riesgo (varianza) delportafolio. Como ya se señaló, existe un riesgo idiosincrático a cada activoque es su propia varianza. Pero cada activo se mueve también en algún gradocon el resto de los activos de ese portafolio (la covarianza). Un par de activoscon covarianza negativa, en los cuales se invierte en montos positivos1, tendráuna contribución negativa al riesgo (varianza) del portafolio. No obstante,tal estrategia no implica necesariamente una diversificación eficiente de losriesgos de mercado.

Suponga el siguiente ejemplo donde existen tres alternativas de inversión(A, B y D) cuyas medias, varianzas y covarianzas se detallan en el siguientecuadro.

1Esto es sin venta corta.

63

64 CHAPTER 7 LA FRONTERA EFICIENTE

Media Varianza-Covarianza A B D

A 3% A 0.25% -0.01% 0.01%

B 10% B 0.36% -0.02%

D 4% D 0.16%

Uno podría decir entonces que, dado que existen pares de covarianzasnegativas entre activos, podriamos formar portafolios que reducen el riesgo(varianza) de los activos individuales. Seleccionemos un portafolio E conproporciones arbitrariamente fijas en un tercio de la riqueza para cada activo.Aplicando las ecuaciones (6.14) y (6.15), podemos representar este portafolioE en el espacio de media y desviacion estándar (siguiente gráfico).

B

D

A

EF

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%


Med

ia

Este portafolio E tiene la menor desviación estándar al compararlo conlos activos individuales (fruto de covarianzas negativas). No obstante, esposible también construir un portafolio F de igual media y menor desviaciónestándar que E. Este portafolio F se compone de 24% invertido en A, 32%invertido en B y 44% invertido en D, de tal forma que cuesta lo mismo queel portafolio E. Resulta obvio que F domina a E en la medida que ofreceigual retorno (media) con menor riesgo (desviación estándar). Por lo tanto,ningún inversionista racional podría diversificar su portafolio de acuerdo a

7.2 CARACTERIZACIÓNGRÁFICADELAFRONTERAEFICIENTE65

E si lo puede hacer mejor diversificando como en F. Esto es la base de unadiversificación eficiente, tengo que buscar combinaciones eficientes que mereduzcan al mínimo la desviación estándar de un portafolio. Cualquier otroportafolio que a pesar de reducir la varianza de los activos individuales noreduzca al máximo el riesgo diversificable no puede ser considerado unportafolio eficiente.

7.2 Caracterización Gráfica de la Frontera Efi-ciente

Tal como es posible encontrar un portafolio de menor desviación estándarque E pero con igual retorno esperado (media). Este ejercicio es tambiénposible de implementar para todo el espacio de retornos esperados. En elsiguiente gráfico, la línea punteada muestra los puntos de menor desviaciónestándar para cada nivel de retorno generados como la combinación lineal delos activos individuales A, B y D.

B

D

A

EF

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%


Med

ia

La linea punteada es lo que se conoce como la Frontera Eficiente, ycorresponde a todos los portafolios de mínima desviación estándar para cadanivel de retorno. Todos los activos contenidos en tal frontera son también


conocidos como Portafolios de Mínima Varianza. En la siguiente secciónnos referiremos a las propiedades únicas que comparten todos losPortafoliosde Mínima Varianza.

7.3 Propiedades de la Frontera Eficiente

En la sección previa hemos delineado la base de la diversificación. Estopuede ser formalizado algebraicamente con algo más de cuidado. Supongaque existenN activos disponibles. Lo que buscamos son portafolios eficientes,es decir combinaciones deN activos que reduzcan al mínimo la varianza de unportafolio para cada nivel de media (retorno). Definamos la varianza de unportafolio como σ2 (RP ) =

PNi=1

PNj=1 αiPαjPσij, entonces los portafolios de

mínima varianza (MV) son la solucion al siguiente problema de optimización.

minαiP N

σ2 (RP ) (7.1)

sujeto al siguiente par de restricciones

NXi=1

αiPE (Ri) = E (RMV ) (7.2)

NXi=1

αiP = 1 (7.3)

donde E (RMV ) se refiere al nivel de retorno esperado (media) para elcual se pretende minimizar la varianza del portafolio.Tal como es estándar en cualquier problema de optimización con restric-

ciones, su solución requiere en primer lugar la implementación de un la-grangeano.

L = σ2 (RP ) + 2λMV

"E (RMV )−

NXi=1

αiPE (Ri)

#+ 2φMV

"1−

NXi=1

αiP

#(7.4)

donde 2λMV y 2φMV corresponden a los multiplicadores lagrangeanosde las restricciones (7.2) y (7.3). Ahora bien, la solución al problema de losportafolios de mínima varianza corresponde a N condiciones de primer orden

7.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE 67

del siguiente tipo, ∂L∂αiP

= 0,

NXj=1

αjMV σij − λMVE (Ri)− φMV = 0 (7.5)

donde αjMV son las proporciones de cada activo invertidas en el portafoliode mínima varianza (MV) con retorno esperado E (RMV ). Como la ecuación(7.5) se satisface para todo activo i es cierto entonces que se satisface paraun activo k

NXj=1

αjMV σkj − λMVE (Rk)− φMV = 0 (7.6)

Igualando el lado derecho de las ecuaciones (7.5) y (7.6) obtenemos

NXj=1

αjMV σkj − λMVE (Rk) =NXj=1

αjMV σij − λMVE (Ri) (7.7)

Multiplicando ambos lados de la expresion 7.7 por αkMV obtenemos

NXj=1

αkMV αjMV σkj−λMV αkMVE (Rk) =NXj=1

αjMV σijαkMV−λMVE (Ri)αkMV

(7.8)Sumando la expresión previa para todo k, se tiene que

NXk=1

NXj=1

αkMV αjMV σkj−λMV

NXk=1

αkMVE (Rk) =NXj=1

αjMV σij

NXk=1

αkMV−λMVE (Ri)NXk=1

αkMV

(7.9)Reordenado términos

σ2 (RMV )− λMVE (RMV ) =NXj=1

αjMV σij − λMVE (Ri) (7.10)

E (Ri)− E (RMV ) =1

λMV

"NXj=1

αjMV σij − σ2 (RMV )

#(7.11)

La ecuación (7.11) es particularmente relevante porque nos indica quela diferencia de retorno esperado entre cualquier activo i y un portafolio de


mínima varianza es una relación lineal entre la diferencia entre la contribuciónal riesgo del activo i en el portafolio de mínima varianza (

PNj=1 αjMV σij) y

el riesgo total del portafolio de mínima varianza (σ2 (RMV )). Más aún, lapendiente de esa relación lineal es la inversa de un medio del multiplicadorde lagrange de la restricción (7.2).Cuesta interpretar intuitivamente la pendiente de la relación (7.11), ya

que depende de un multiplicador de lagrange que no es observable. Sinembargo, de acuerdo al TEOREMA DE LA ENVOLVENTE, sabemos pordefinición que un multiplicador lagrangeano es la tasa de cambio del objetivoya minimizado (σ2 (RMV )) cuando se cambia el valor de la restricción (7.2).

2λMV =dσ2 (RMV )

dE (RMV )⇐⇒ Teorema de la Envolvente (7.12)

Definamos γMV como la pendiente de la frontera eficiente en cualquierportafolio de mínima varianza, tal que

γMV =dE (RMV )

dσ (RMV )(7.13)

1

γMV

=dσ (RMV )

dE (RMV )(7.14)

Podemos aplicar la regla de diferenciación de la cadena sobre la expresiónanterior para obtener lo siguiente

dσ (RMV )

dE (RMV )=

dσ (RMV )

dσ2 (RMV )

dσ2 (RMV )

dE (RMV )(7.15)

dσ (RMV )

dE (RMV )=

1

2σ (RMV )

dσ2 (RMV )

dE (RMV )| z 2λMV , ec. 7.12

(7.16)

dσ (RMV )

dE (RMV )=

λMV

σ (RMV )=

1

γMV

(7.17)

1

λMV=

γMV

σ (RMV )(7.18)

Por lo tanto, la pendiente de la relación lineal entre retorno esperado ycontribución al riesgo del portafolio de míninima varianza (ecuacion (7.11)) esel cuociente entre la pendiente de la frontera eficiente en cualquier portafolio

7.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE 69

de mínima varianza y la desviación estándar de ese portafolio de mínimavarianza. Reemplazando la expresión (7.18) en la ecuación (7.11), se obtiene

E (Ri)−E (RMV ) =γMV

σ (RMV )

"NXj=1

αjMV σij − σ2 (RMV )

#(7.19)

E (Ri) = E (RMV )− γMV σ (RMV ) +γMV

σ (RMV )

NXj=1

αjMV σij| z cov(Ri,RMV )

(7.20)

E (Ri) = E (RMV )− γMV σ (RMV ) + γMV

cov (Ri,RMV )

σ (RMV )(7.21)

La pregunta relevante en este punto es, ¿qué cosa es la pendiente de lafrontera eficiente? El siguiente gráfico se muestra la pendiente de la fronteraeficiente para un portafolio de mínima varianza (MV)2. Se detalla también ahíun portafolio (0,MV) que pertenece a la pendiente de la frontera eficiente enel portafolio MV, pero que corta el eje de las Y en el punto cero de desviaciónestandar. Ese portafolio 0,MV es lo que se conoce como el portafolio de betacero.

2O lo que es lo mismo, sobre la frontera eficiente.


0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia MV

0,MV

Por construcción geométrica, la pendiente de la frontera eficiente en elpunto MV es

γMV =E (RMV )−E (R0,MV )

σ (RMV )(7.22)

Reemplazando (7.22) en (7.21), se obtiene la siguiente expresión

E (Ri) = E (RMV )−E (RMV )−E (R0,MV )

σ (RMV )σ (RMV )+

E (RMV )− E (R0,MV )

σ (RMV )

cov (Ri,RMV )

σ (RMV )(7.23)

E (Ri) = E (R0,MV ) + [E (RMV )−E (R0,MV )]cov (Ri,RMV )

σ2 (RMV )| z βi,MV

(7.24)

E (Ri) = E (R0,MV ) + [E (RMV )−E (R0,MV )]βi,MV (7.25)

La ecuación (7.25) nos presenta una simple relación lineal que vinculael retorno esperado (media) de un activo i con su contribución al riesgodel portafolio de mínima varianza MV. βi,MV es la contribución del ac-tivo i al riesgo del portafolio de mínima varianza MV como porcentaje

7.4 UNAEXPLICACIÓN INTUITIVAALASPROPIEDADESDE LAFRONTERAEFIC

del riesgo (varianza) total del portafolio MV. De esta forma, el término[E (RMV )−E (R0,MV )]βi,MV puede ser interpretado como el premio porriesgo sobre el retorno de MV en la relación entre el retorno esperado delactivo i y su contribución al riesgo del portafolio MV. Si el activo i, no con-tribuye al riesgo del portafolio MV, tenemos que βi,MV = 0, y por tantoel activo i no tiene riesgo en relación al portafolio MV. En este sentido, laecuacion (7.25) indica que el retorno esperado en cualquier activo i es igualal retorno esperado en un activo que no tiene riesgo en relación al portafolioMV más un premio por riesgo que es la diferencia entre el retorno esperadoen el portafolio MV y el portafolio 0,MV multplicado por βi,MV .No obstante, lo más relevante que retenga en este punto es que por otra

vía hemos llegado a una representación beta para el retorno esperadode culaquier activo i, Esta representación beta es igual a la obtenida en laexpresión (5.13) en el capítulo 4 de estos apuntes.

7.4 Una Explicación Intuitiva a las Propiedadesde la Frontera Eficiente

Queremos darle algo más de intuición al resultado en la ecuación (7.24).Suponga que partimos con un portafolio de mínima varianza, RMV , y ahoraqueremos cambiar la composición de tal portafolio comprando un monto εde activo Ri y vendiendo un monto ε de activo de beta cero, R0,MV . Laganancia de tal cambio en composición es el mayor retorno esperado delnuevo portafolio:

Ganancia en Retorno = E (RMV ) + ε · E (Ri −R0,MV ) (7.26)

Por su parte, el costo de tal cambio es el incremento de la varianza delportafolio:

Costo en Varianza = σ2 (RMV + ε · (Ri −R0,MV )) = σ2 (RMV )+2ε·cov (RMV , Ri)+ε2·var (Ri)

(7.27)

≈ σ2 (RMV )+2ε·cov (RMV , Ri) , para un ε arbitrariamente pequeño. (7.28)

Esto, obviamente, también es cierto para el portafolio de mínima varianza(RMV ), de tal forma que si reemplazamos Ri por RMV se obtiene que

Ganancia en Retorno = E (RMV ) + ε · E (RMV −R0,MV ) (7.29)


Costo en Varianza ≈ σ2 (RMV + ε · (RMV −R0,MV )) = σ2 (RMV )+2ε·σ2 (RMV )(7.30)

La idea intuitiva es la siguiente. Dado que el portafolio MV es de mínimavarianza, entonces ya no queda nada más que diversificar, tal que la relaciónentre la ganancia marginal en retorno y el costo marginal en varianza porcambiar la composición del portafolio MV deben ser iguales independientedel activo que se agregue al portafolio:

ε ·E (Ri −R0,MV )

2ε · cov (RMV , Ri)=

ε · E (RMV −R0,MV )

2ε · σ2 (RMV )(7.31)

Simplificando términos, se obtiene que el "trade-off" entre ganancia de re-torno y costo de varianza debe ser el mismo al momento de agregar cualquieractivo a un portafolio perfectamente diversificado (por lo tanto, de mínimavarianza)

E (Ri −R0,MV )

cov (RMV , Ri)=

E (RMV −R0,MV )

σ2 (RMV )(7.32)

Reordenando términos, se llega nuevamente a la expresión (7.24):

E (Ri) = E (R0,MV )+βi,MV ·[E (RMV )− E (R0,MV )] , donde βi,MV =cov (RMV , Ri)

σ2 (RMV )(7.33)

En definitiva, la expresión que acabamos de describir no es más que laconsecuencia de que el "trade-off" entre retorno y riesgo debe ser igual paracualquier activo al ser combinado con un portafolio perfectamente diversifi-cado.

Una vez más hemos llegado a una representación beta para el retornoesperado de cualquier activo i. Tanto en esta sección, como en la precedente,hemos partido de un portafolio de mínima varianza RMV y hemos llegadoa una representación beta como la de la ecuación (5.13) en el capítulo 4 deestos apuntes, la cual por su parte fue derivada de una representación defactor de descuento estocástico como 1 = E [mRi].

7.5 PORTAFOLIOSDEMíNIMAVARIANZAYREPRESENTACIÓNBETA73

7.5 Portafolios de Mínima Varianza y Repre-sentación Beta

Lo anterior me permite introducir un par de teoremas que nos será de granutilidad de aquí en adelante:

Theorem 14 Existe un factor de descuento estocático lineal en RMV (m =a+ bRMV ) si y sólo si RMV es un portafolio sobre la frontera eficiente (i.e.es de mínima varianza).

Proof. Cochrane (2001), Capítulo 6, Asset Pricing, Princeton UniversityPress.

Theorem 15 Dado un modelo lineal de factor de descuento estocástico, m =a + bf y 1 = E [mRi], uno siempre puede encontrar parámetros γ y λ quesatisfagan una representación beta como

E¡Ri¢= γ+λβi, donde βi es el coeficiente de la regresión de R

i en una constante y f(7.34)

Proof. Partamos de la representación de factor de descuento estocástico

1 = E£mRi

¤(7.35)

E¡Ri¢=

1

E (m)− cov (m,Ri)

E (m)(7.36)

Podemos introducir la media del factor f en el parámetro a, tal queE (f) = 0 y

E¡Ri¢=1

a− E (fRi) b

a(7.37)

Dado que, por construcción, βi = E (f2)−1

E (fRi), podemos reescribirla ecuación (7.37) como

E¡Ri¢=1

a− E (f2)E (f2)

−1E (fRi) b

a(7.38)

E¡Ri¢=

1

a|zγ

−E (f2) b

a| z λ

βi (7.39)


Donde

γ =1

a(7.40)

λ = −γE (ffb) = −γE (f (m− a)) (7.41)

λ = −γE (mf) (7.42)

Donde el último paso viene dado por el hecho de que E (f) = 0.Una última cosa a notar acerca de este último teorema. La ecuación

(7.42) puede ser interpretada como el precio del factor f (recuerde que laecuación E [mf ] valoriza el flujo f). Por lo tanto,

λ ≡ −γ · p [f ] (7.43)

Donde p (·) es un operador de precios. Dado que f es un factor limpiode tendencias, el factor subyacente ef se relaciona con f de acuerdo a f =ef −E

³ ef´, tal queλ ≡ −γ · p

h ef − E³ ef´i (7.44)

λ ≡ −γ ·p³ ef´− E

³ ef´γ

(7.45)

Donde el último paso viene dado por el hecho de que E³ ef´ es una con-

stante y el precio de un pago constante (cierto) en el futuro es su valordescontado a la tasa libre de riesgo. Si el factor subyacente ( ef) es un retornocon precio igual a uno, p

³ ef´ = 1, entonces, podemos definir el premio porriesgo como

λ ≡ E³ ef´− γ (7.46)

¿Por qué razón son importantes estos teoremas? Porque basta con ob-servar un portafolio sobre la frontera eficiente (cualquiera), para saber queexiste un factor de descuento estocástico lineal en ese portafolio, y por lotanto una representación beta del retorno esperado de caulquier activo i conrespecto a tal portafolio de mínima varianza donde los betas se definan comolos coeficientes de la regresión de Ri en una constante y f .En otras palabras, basta con un portafolio de mínima varianza para tener

una representación beta, donde los betas se definan como en las ecuaciones

7.5 PORTAFOLIOSDEMíNIMAVARIANZAYREPRESENTACIÓNBETA75

(7.25) y (7.33). ¡No se necesita nada más! En ese sentido, las dos seccionesprevias de este capítulo están, en alguna forma de más, ya que no se requierede toda esa algebra para llegar a tal resultado. Toda esa algebra de mini-mización de varianza de un portafolio para cada nivel de media (retorno) es-si me permiten la libertad- finanzas prehistóricas.

Chapter 8

Equilibrio de Mercado

Al momento de analizar las propiedades de los portafolios de mínima varianza(la frontera eficiente) no nos hemos referido en ninguna forma a las prefer-encias de los consumidores. En este punto sólo sabemos que ellos tienenpreferencias sobre los dos primeros momentos (media y varianza) de ditribu-ciones aleatorias de retornos. Cabe la pregunta, ¿cuáles son los puntos queseleccionan estos inversionistas? Lo poco que sabemos hasta ahora es queelegirán portafolios sobre el segmento superior de la frontera eficiente. Estoes relativamente obvio en la medida que ubicarse en el segmento inferior dela frontera siempre permite una estrategia en puntos de mayor retorno parael mismo desvío estandar. Sin embargo, resulta bastante obvio que distintosinversionistas, con distintas preferencias, invertirán en portafolios distintostal cual como, a continuación, se grafica.

77

78 CHAPTER 8 EQUILIBRIO DE MERCADO

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia

0,MV

Dado que conocemos interesantes propiedades de los puntos en la fron-tera1, nos gustaría saber si es que portafolios que si observamos2 se ubicansobre la frontera eficiente y por lo tanto comparten las propiedades de losportafolios que se ubican sobre la frontera. Esta pregunta es en extremo rel-evante porque envuelve una pregunta aún más importante, existe equilibrioen el mercado tal que los portafolios agregados que observamos son parte dela frontera eficiente.

8.1 La Definición de Equilibrio de Mercado

¿Por qué nos interesa el equilibrio de mercado? Refiérase a sus notas declases de Microeconomia I, la existencia de un equilibrio de mercado implicala existencia de un único set de precios que vacía los mercados. Por lo tanto,la existencia de un equilibrio nos asegura que existe un set de precios únicosal cual los inversionistas transan activos.

1Por ejemplo, que existe una relación lineal entre el retorno esperado de cualquier activoy su contribución al riesgo de un portafolio en la frontera.

2Por ejemplo, índices accionarios locales como el IPSA o el IGPA o índices accionariosinternacionales como el S&P-500 o el Dow Jones.

8.2 EL PORTAFOLIODEMERCADOYELEQUILIBRIODEMERCADO79

LeónWalras nos ha proveído de una manera formal de definir un equilibrio(el equilibrio competitivo o walrasiano) que aquí utilizaremos para definir unequilibrio en una economia de dotación y con activos financieros.

Definition 16 Un equilibrio competitivo es un set de precios (o retornosesperados) y cantidades de activos, tal que:

• Cada inversionista i resuelve su problema de maximización.• Los mercados se vacían. Esto es la oferta agregada de cada activo j esigual a la demanda total por el activo j.

La implicancia de la condición de mercado es simplemente que todo activofinanciero emitido por un inversionista debe ser mantenido por algún otroinversionista, tal que su oferta neta es cero.

8.2 El Portafolio de Mercado y el Equilibriode Mercado

La definición del portafolio de mercado es particularmente obvia, pero tam-bién en extremo relevante. El portafolio de mercado es por construcciónla suma ponderada de todos los activos que mantienen los j inversionistas.De la misma forma, si lo vemos como porcentaje de la riqueza total en laeconomía, el portafolio de mercado es el promedio ponderado de cada unode los portafolios que mantienen los j inversionistas. De la definición delequilibrio competitivo, sabemos de una característica única de cada uno delos portafolios en manos de los j inversionistas, estos portafolios deben sereficientes para resolver el problema de maximización del inversionista. Porlo tanto, estos portafolios deben ubicarse sobre la frontera eficiente, i.e. sontodos portafolios de mínima varianza (MV).La relevancia de esto último está dada por lo siguiente. Un equilibrio de

mercado requiere que la demanda en cada activo sea igual a la oferta poreste (el vaciado de mercado). Como el portafolio de mercado es el promedioponderado de todos los portafolio de todos los inversionistas j, entonces parademostrar la existencia de un equilibrio competitivo basta con demostrar queel portafolio de mercado es eficiente (mínima varianza). Para demostrar esto,es necesario introducir el Teorema de F. Black.


Theorem 17 Teorema de Separación de 2 Fondos (Fisher Black). La Fron-tera Eficiente siempre puede ser generada como una combinación lineal dedos puntos cualquiera sobre la Frontera Eficiente.

Proof. Reescribiendo en notación matricial, las N condiciones de primerorden del problema de optimización de portafolio (ecuación (7.5)), se obtieneque

A(N×N)

XMV(N×1)

= λMVE (R)(N×1)

+ φMV [1](N×1)

(8.1)

Definiendo D = A−1, la expresión anterior se transforma en

XMV = λMVDE (R) + φMVD [1] (8.2)

αiMV = λMV

"NXj=1

dijE (Rj)

#+ φMV

"NXj=1

dij

#, para i = 1 . . . N (8.3)

Expandiendo la expresión (8.3),

αiMV = λMV

NXi=1

NXj=1

dijE (Rj)

" PNj=1 dijE (Rj)PN

i=1

PNj=1 dijE (Rj)

#+φMV

NXi=1

NXj=1

dij

" PNj=1 dijPN

i=1

PNj=1 dij

#(8.4)

Definiendo yMV u = λMV

PNi=1

PNj=1 dijE (Rj), yMV v = φMV

PNi=1

PNj=1 dij,

αiu =Nj=1 dijE(Rj)

Ni=1

Nj=1 dijE(Rj)

, αiv =Nj=1 dij

Ni=1

Nj=1 dij

, la expresión anterior se convierteen

αiMV = yMV uαiu + yMV vαiv (8.5)

Dado quePN

i=1 αiMV = 1, tenemos que

NXi=1

αiMV = yMV u

NXi=1

αiu| z 1

+ yMV v

NXi=1

αiv| z 1

= 1 (8.6)

yMV u + yMV v = 1 (8.7)

Por lo tanto, de acuerdo a las expresiones (8.5) y (8.7), cualquier portafo-lio de mínima varianza (MV) es un promedio ponderado de los portafolios uy v.Para completar la prueba del Teorema de Black nos falta demostrar que

los portafolios u y v son portafolios de mínima varianza (MV) y se encuentran

8.2 EL PORTAFOLIODEMERCADOYELEQUILIBRIODEMERCADO81

sobre la frontera eficiente. Las proporciones invertidas en cada activo quedefinen los portafolios u y v están dadas por

αiu =

PNj=1 dijE (Rj)PN

i=1

PNj=1 dijE (Rj)

(8.8)

αiv =

PNj=1 dijPN

i=1

PNj=1 dij

(8.9)

Por simple inspección de la expresión (8.4), es posible apreciar que el

portafolio u es de mínima varianza cuando φMV = 0 y λMV =³PN

i=1

PNj=1 dijE (Rj)

´−1.

Por su parte, el portafolio v es de mínima varianza cuando λMV = 0 y

φMV =³PN

i=1

PNj=1 dij

´−1.

Por lo tanto, todo portafolio de minima varianza (MV) es una combi-nación lineal de dos portafolios u y v sobre la frontera eficiente. Toda com-binación de portafolios u y v sobre la frontera eficiente que satisfacen lacondición (8.7) es también un portafolio eficiente.

Una consecuencia directa del Teorema de Separación de 2 Fondos es queel portafolio de mercado debe ser eficiente (y de mínima varianza). En lamedida que todos los inversionistas eligen sólo portafolios eficientes3, y dadoque el portafolio de mercado es un promedio ponderado de esos portafolioseficientes se concluye que el portafolio de mercado (M) debe también sereficiente, tal como se muestra en el siguiente gráfico.

3Esto es en el segmento superior de la frontera eficiente.


0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia M

0,M

8.3 El CAPM como Equilibrio de Mercado

La implicancia más relevante de la eficiencia del portafolio de mercado (M)es que este debe compartir todas las propiedades de los portafolio sobre lafrontera eficiente. En particular, sabemos a partir de la relación (7.24) quetodos los portafolios sobre la frontera eficiente satisfacen la propiedad de queel exceso de retorno de cualquier activo i sobre el retorno esperado del activoen la frontera se relaciona linealmente con el porcentaje de la contribución alriesgo de ese activo i en el portafolio sobre la frontera. En la medida, que elportafolio de mercado (M) es eficiente debe satisfacer la siguiente expresión

E (Ri) = E (R0,M) + [E (RM)−E (R0,M)]βi,M (8.10)

La expresión (8.10) es lo que se conoce como el CAPM de Fisher Blacke indica que el retorno esperado de cualquier activo i debe ser igual al re-torno esperado de un activo no correlacionado con el portafolio de mercado4

más un premio por riesgo que es igual a la diferencia de retorno esperado

4Es decir un activo con βiM = 0.

8.4 EL CAPMCUANDOEXISTEUNACTIVOLIBREDERIESGO83

entre el mercado y el portafolio de beta cero multiplicado por la contribuciónproporcional del activo i al riesgo total del portafolio de mercado (M).

8.4 El CAPM cuando Existe un Activo Librede Riesgo

Supongamos ahora que se encuentra disponible un nuevo activo financierolibre de riesgo (Rf) que por definición tiene varianza cero y covarianza cerocon el resto de los activos. Tal como se aprecia en el siguiente gráfico, laaparición de este nuevo activo al combinarse con el portafolio de la fronteraeficiente que tangente a la línea que nace en Rf amplía las posibilidades deinversión de todos los inversionistas. De esta forma, cada uno de estos ya noinvertirá en portafolios sobre la frontera eficiente sino que en combinacionesentre Rf y el portafolio de tangencia (M) sobre la frontera eficiente.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia M

Rf

Sin embargo, note lo siguiente: el activo libre de riesgoRf tiene covarianzacero con el portafolio en la tangencia (M) y ademas el portafolio M todavíapertenece a la frontera eficiente, por lo tanto comparte todas sus propiedades(por ejemplo, la relación (7.24)). En ese sentido, si M es el portafolio demercado la relación (8.10) se satisface pero con la única diferencia que el


portafolio de beta cero es el activo libre de riesgo(Rf). Por lo tanto, la nuevaexpresión para el CAPM es directamente

E (Ri) = Rf + [E (RM)−Rf ]× βi,M (8.11)

La expresión (8.11) es lo que se conoce como el CAPM de Sharpe y Litnere indica que el retorno esperado de cualquier activo i debe ser igual al retornodel activo libre de riesgo más un premio por riesgo que es igual a la diferenciade retorno esperado entre el mercado y el activo libre de riesgo multiplicadopor la contribución proporcional del activo i al riesgo total del portafolio demercado (M).

8.5 El CAPMa Partir de Una Representaciónde Factor de Descuento Estocástico

Si el portafolio de mercado (M) se encuentra sobre la frontera eficiente, sabe-mos que existe -por un teorema en el pasado capítulo- un factor de descuentoestocástico que es lineal en el portafolio de mercado, m = a + bRM . Final-mente, también sabemos por otro teorema en el capítulo pasado que si existeuna representación lineal para el factor de descuento estocástico, entoncessiempres es posible encontrar parámetros γ y λ que satisfagan una repre-sentación beta como

E¡Ri¢= γ+λβi, donde βi es el coeficiente de la regresión de R

i en una constante y RM

(8.12)En presencia de un activo libre de riesgo, γ = Rf y λ = E (RM)−Rf , tal

queE¡Ri¢= Rf +

£E (RM)−Rf

¤βi (8.13)

Una vez más, por vía de una representación de factor de descuento es-tocástico, hemos llegado al CAPM.

8.6 Una Aplicación del Equilibrio de Mer-cado

Una aplicación directa del concepto de equilibrio de mercado es que nos ayudaa entender un concepto particularmente relevante en finanzas: el precio de

8.6 UNA APLICACIÓN DEL EQUILIBRIO DE MERCADO 85

mercado del riesgo. Primero, partamos definiendo el concepto de precio demercado del riesgo en una economía habitada por inversionistas que sóloles interesa la media y la desviación estándar de sus retornos. En dichocaso, definiremos precio de mercado del riesgo como el exceso de retorno delportafolio de mercado (sobre la tasa libre de riesgo) por unidad de riesgo (aquídefinida por la desviación estándar de los retornos del portafolio de mercado).En otras palabras, en una economía de inversionistas a la Markowitz, el preciode mercado del riesgo (también conocido como la razón de Sharpe o Sharpreratio) se define como:

SR = π =µM −Rf

σM(8.14)

donde µM y σM representan el retorno y la desviación estándar del portafo-lio de mercado, respectivamente.

8.6.1 El Modelo

Sólo por simplicidad, asuma que existen sólo dos clases de activos: el activolibre de riesgo (F) y el activo riesgoso -acciones5- (M). La decisión de nuestrosinversionistas radica en definir cómo repartir su riqueza entre ambas clasesde activos.Defina ω como el porcentaje de la riqueza invertido en el activo riesgoso

(M), tal que 1− ω es la proporción invertida en el activo libre de riesgo (F).Por lo tanto, el retono, la varianza y la desviación estándar del portafolio (P)elegido por un inversionista se encuentran dados por:

E [P ] = E [ω ·M + (1− ω)F ] = α · µM + (1− α) ·Rf (8.15)

V [P ] = V [ω ·M + (1− ω)F ] (8.16)

= ω2 · V [M ] + (1− ω)2 · V [F ] + 2 · ω · (1− ω) · Cov [M,F ](8.17)

= ω2 · σ2M (8.18)

DST [P ] = ω · σM (8.19)

Es relevante hacer notar el hecho de que, dado que el activo libre de riesgo(F) tiene covarianza cero con cualquier otro activo, entonces el portafolio Pdebe estar necesariamente sobre la línea recta que une los portafolios F y M.

5Existen muchos activos riesgosos, aquí sólo existe un único activo con riesgo. Pienseen un gran fondo mutuo compuesto de todas los activos riesgosos. Estamos pensando enel portafolio de mercado.


Por la vía de permitir la venta corta del portafolio M es posible extender lalínea de portafolios disponibles a la derecha de M. Note que, equivalentementea cualquier problema estándar de maximización, aquí se nos presenta un setde posibilidades de inversión en el espacio de media y desviación estándar,representadas por la línea recta en el gráfico.

Desviación Estándar

Med

ia

M

F

P pendiente: razón de Sharpe

Línea del Mercado de Capitales

De esta forma, definidas las preferencias de los inversionistas, es posibledefinir (tanto gráfica como algebraicamente) un equilibrio: la tangencia entrela mayor curva de indiferencia alcanzable y la restricción presupuestaria deriesgo-retorno. Por lo tanto, corresponde dar una definición más precisa delas preferencias.

8.6.2 Preferencias

Por simplicidad, definiremos las preferencias de los inversionistas de acuerdoa la siguiente clase de funciones de utilidad:

U (µ, σ) = µ− α

2σ2 (8.20)


donde µ, σ y α representan el retorno, la desviación estándar y el co-eficiente de aversión al riesgo, respectivamente. Lo que dicha función deutilidad dice es que, ante un mayor coeficiente de aversión al riesgo, un in-cremento en el riesgo tiene un impacto (negativo) mayor sobre la utilidad delinversionista. Si α > 0, entonces el inverionista es averso al riesgo. Si α = 0,entonces el inverionista es neutral al riesgo. Si α < 0, entonces el inverionistaes preferente al riesgo.

8.6.3 Equilibrio de Mercado

De acuerdo a la definición de equilibrio de mercado, se requiere especificartres conceptos:

1. Precios. Aquí utilizaremos la siguiente noción de precios: el exceso deretorno sobre la tasa libre de riesgo

¡µM −Rf

¢por cada unidad de

riesgo.Podríamos utilizar directamente los precios de los activos, en vezde los retornos, no obstante eso haría más complejo el análisis. Sóloretenga el siguiente concepto: una acción es el derecho a recibir un flujode caja, si el precio de ese flujo de caja cae es porque subió el retornoexigido a esa inversión.

2. La demanda agregada por riesgo. La demanda por activos viene dadapor la demanda individual de muchos inversionistas que compran bonos(F) y acciones (M). Para representar la demanda agregada utilizaremosun truco estándar en economía: asumir la existencia de un agente rep-resentativo (que representa a todos) y que tiene una única función deutilidad. Por lo tanto, en nuestro modelo, representaremos la demandaagregada por riesgo de acuerdo a la demanda por riesgo de un únicoagente.

3. La oferta agregada por riesgo. Para efectos de nuestro análisis, seasumirá que la oferta de riesgo es perfectamente inelástica, esto quieredecir que el riesgo de las acciones (M) es fijo e igual a σM . De estaforma, si P es el portafolio elegido por el agente representativo, el riesgototal en el mercado es igual a σP = ω · σM . Esta oferta de riesgo esperfectamente inelástica porque no depende del retorno de las acciones.

Finalmente, es también relevante especificar de qué hablamos cuando nosreferimos a equilibrio. Asumiremos que el riesgo de las acciones σM y la tasa


de interés libre de riesgo Rf son ambas fijas6. Por lo tanto, los mercados deactivos se vacían exclusivamente por un cambio en los retornos esperados delas acciones. A eso es lo que nos referimos por equilibrio: los retornos esper-ados de acciones que hacen que se iguale la oferta con la demanda agregadade riesgo. Intuitivamente, la tasa de retorno esperada en equilibrio de lasacciones es aquella que hace que el agente representativo quiera mantenerexactamente la cantidad de activos existentes en el portafolio P.

8.6.4 El Equilibrio Gráfico

Asuma por un momento que el agente demanda menos riesgo que el totalde riesgo disponible (el riesgo del portafolio P). Esto significa que se estáfuera de equilibrio. ¿Cómo se llega al equilibrio de mercado? Como existeun exceso de oferta de riesgo, esto implica que el precio del riesgo (de lasacciones) es muy alto, o visto de otra forma su retorno exigido es muy bajo.Por lo tanto, el retorno exigido a las acciones debe subir de manera tal deque el agente demande más riesgo (acciones).

Gráficamente, cuando se incrementa el retorno de las acciones, el punto Mse desplaza verticalmente, manteniendo constante σM e incrementando µM .Por lo tanto, se incrementa la pendiente de la línea del mercado de capitales.El punto de tangencia de la curva de indiferencia del agente representativocon la línea del mercado de capitales se produce ahora más cerca de M’.

6Este es un muy buen supuesto para el corto plazo.



Med

ia

M

F

P

P'

M'

sigma P sigma M

8.6.5 El Equilibrio Algebraico

La ecuación que representa la línea del mercado de capitales es:

µ (σ) =

µµM −Rf

σM

¶· σ +Rf (8.21)

µ (σ) = π · σ +Rf (8.22)

Reemplazando la expresión (8.22) en la función de utilidad del agenterepresentativo se llega a:

U (µ, σ) = µ− α

2· σ2 (8.23)

U (µ (σ) , σ) = π · σ +Rf − α

2· σ2 (8.24)

Andamos detrás de σ que maximiza la utilidad del agente. Para esto, serequiere sacar primeras derivadas de la función de utilidad e igualarla a cero.

π − α · σ = 0 (8.25)


Resolviendo σ, se obtiene la demanda por riesgo:

σd =π

α(8.26)

En equilibrio, la demanda y la oferta agregada por riesgo deben igualarse,tal que:

σd =π

α=

µM−Rf

σM

α= σP = ω · σM (8.27)

µM−Rf

σM

α= ω · σM (8.28)

Por lo tanto, el retorno esperado de las acciones en equilibrio se encuentradeterminado por:

µeqM = α · ω · σ2M +Rf (8.29)

Esta última ecuación es particularmente interesante porque entre otrascosas nos dice que frente a un incremento en la oferta relativa de acciones (unincremento en ω) uno debiera esperar una caída en el precio de las acciones,o lo que es equivalente un incremento en su retorno exigido.

8.7 La Línea del Mercado de Capitales y laLínea de Mercado de los Activos

Para impedir confusiones odiosas es importante distinguir dos conceptos muysimilares, pero distintos, en finanzas.La línea del mercado de capitales es la recta que une el portafolio libre

de riesgo (F) y el portafolio de activos riesgosos (M)7. Esta línea puede serentendida como todo el conjunto de portafolios disponibles para los inversion-istas. En ese sentido, es posible entender dicha línea como una restricciónpresupuestaria. Todo punto sobre la línea del mercado de capitales equivalea un portafolio compuesto por una proporción de F y el resto por M. Porlo tanto, es sólo válida para portafolios compuestos por F y M, no activos oportafolios distintos a éstos. En efecto, dicha recta existe incluso si no existeequilibrio de mercado. Gráficamente, la línea del mercado de capitales parte

7Obviamente, al permitir venta corta de activos, la línea del mercado de capitales seextiende a la derecha de M.

8.7 LA LíNEADELMERCADODECAPITALESYLALíNEADEMERCADODELOSA

del punto F y continúa hacia la derecha con pendiente igual a la razón deSharpe.


Med

ia

M

F

P

mu m

mu p

sigma p sigma m

Línea del Mercado de Capitales (pdte = razón de Sharpe)

Esto significa que, algebraicamente, cualquier portafolio P sobre la líneadel mercado de capitales puede representarse de acuerdo a la siguiente relación:

µP = Rf +

·µM −Rf

σM

¸× σP (8.30)

Por su parte, la línea de mercado de los activos es la recta que relacionael retorno esperado de cualquier activo o portafolio individual con el beta deese activo o portafolio con el portafolio M. Por lo tanto, la línea de mercadode los activos es válida para todos los activos (o portafolios) si es que secumple el modelo de equilibrio, en este caso el CAPM. Gráficamente, lalínea de mercado de los activos parte desde el portafolio F (con beta cero) ycontinúa hacia la derecha con pendiente igual a la diferencia entre el retornode mercado y la tasa libre de riesgo

¡µM −Rf

¢. En el punto M, la líena de

mercado de los activos tiene un beta igual a uno.


Beta de mercado

Med

ia

M

F

mu m

1

Línea de mercado de los activos (pdte = mu m - Rf)

imu i

beta i

Algebraicamente, esto implica que el retorno exigido en equilibrio a cualquieractivo o portafolio i debe ser representado por el CAPM:

µi = Rf +£µM −Rf

¤× βi,M (8.31)

Chapter 9

El Modelo de Mercado, CAPMy Riesgos Financieros

9.1 El Modelo de Mercado

De manera muy simple, el modelo de mercado se define como

Ri,t −Rf = αi +¡RM,t −Rf

¢ · βi + εi,t, (9.1)

donde αi y βi son parámetros elegidos de manera tal que E (εi,t) = 0 yρ (εi,t, RM,t) = 0Lo anterior puede ser fácilmente interpretable como una regresión lin-

eal entre el exceso de retorno del activo i contra el exceso de retorno delportafolio de mercado M y una contante. ¿Por qué? Basta con pensaren lo siguiente. Suponga que observamos series de tiempo para el retornode un activo i, Ri,1, Ri,2, Ri,3, . . . , Ri,t y para el retorno del portafolio demercado M , RM,1, RM,2, RM,3, . . . , RM,t. Si en cada periodo t no se im-pone ninguna restricción sobre εi,t, entonces siempre se pueden elegir val-ores para αi y βi tal que Ri,t − Rf = αi +

¡RM,t −Rf

¢βi + εi,t. Luego,

si se impone la condición E (εi,t) = 0, entonces se puede elegir αi tal queE¡Ri,t −Rf − αi −

¡RM,t −Rf

¢βi¢= 0, esto es se elige el valor del inter-

cepto αi de manera de que el residuo de la regresión sea en promedio iguala cero. La segunda restricción en el modelo de mercado es ρ (εi,t, RM,t) = 0,lo que es cierto si se elige un valor βi tal que cov (εi,t, RM,t) = 0 o equiv-alentemente cov

¡Ri,t −Rf − αi −

¡RM,t −Rf

¢βi, RM,t

¢= 0. Resolviendo

lo anterior se llega a que βi =cov(Ri,t,RM,t)var(RM,t)

. De esta forma, el modelo de

93

94CHAPTER 9 ELMODELODEMERCADO, CAPMYRIESGOS FINANCIERO

mercado es simplemente una regresión lineal.Algunas precisiones sobre el modelo de mercado:

• A pesar de su gran parecido con el CAPM, el modelo de mercado NOes el CAPM.

• El modelo de mercado es una simple regresión lineal que se puede definircon muy pocas restriciones. En particular, se necesitan sólo dos re-stricciones: E (εi,t) = 0 y ρ (εi,t, RM,t) = 0. El modelo de mercado essimplemente un caso especial de lo que se conoce como una descom-posición factorial (esto es, correr regresiones lineales contra factores, eneste caso un único factor: el retorno de mercado).

• Por el contrario, el CAPM es un modelo de equilibrio económico quedetermina -en ese equilibrio- cuanto es el precio del riesgo, común atodos los activos.

• Si el CAPM es cierto, entonces éste impone restricciones adicionalessobre el modelo de mercado y, por lo tanto, conclusiones adicionales.

9.2 CAPM y Modelo de Mercado

Las restricciones adicionales que impone el CAPM sobre el modelo de mer-cado son las siguientes:

1. αi = 0. El intercepto de la regresión entre el exceso de retorno delactivo i contra el exceso de retorno del portafolio de mercado M debeser igual a cero. Este parámetro αi es lo que tradicionalmente se conocecomo el alpha de Jensen. La idea intuitiva de esta restricción es muysimple: una vez considerada la cantidad de riesgo de mercado en unactivo, no puede haber ningún exceso de retorno extra porque o sinohabría infinita demanda por este activo hasta reducir este exceso deretorno a cero.

2. cov (εi,t, εj,t) = 0, para todo i 6= j. La idea intuitiva de esta restricciónes que, en un modelo de equilibrio como el CAPM, una vez consider-ado el riesgo de mercado de activos o portafolios individuales no puedequedar ningún rol para la diversificación que reduzca el riesgo (la vari-anza) de esos activos o portafolios individuales.

9.3 RIESGOS FINANCIEROS 95

El modelo de mercado más las restricciones que impone el CAPM per-mite establecer las siguientes implicancias sobre la media, la varianza y lacovarianza de activos o portafolios.

E (Ri) = Rf + βi£E (RM)−Rf

¤(9.2)

σ2i = β2i · σ2M + σ2εi (9.3)

cov (Ri, Rj) = βi · βj · σ2M , para todo i 6= j (9.4)

9.3 Riesgos Financieros

La expresión (9.3) es particularmente útil porque permite distinguir dos con-ceptos fundamentales de riesgo financiero. Definiendo la varianza total delretorno del activo i como el riesgo de ese activo, podemos apreciar como talriesgo se descompone en dos partes:

1. β2i · σ2M es lo que se conoce como riesgo de mercado (o riesgo no di-versificable) de un activo. Esta es la parte de la varianza del retornode un activo que se relaciona con el retorno de mercado y que, por lotanto, no puede ser diversificado. ¿Por qué? Recuerde que en el equi-librio del CAPM, el portafolio de mercado se encuentra completamentediversificado (está sobre la frontera eficiente) y no queda nada más quediversificar.

2. σ2εi es lo que se conoce como riesgo idiosincrático (o riesgo diversifica-ble).Esta es la parte de la varianza del retorno de un activo que nose relaciona con el retorno de mercado y que, por lo tanto, puede serdiversificado.Como puede ser diversificado, en equilibrio no puede serremunerado, lo que implica que, en la ecuación (9.2) que caracteriza elretorno exigido a un activo o portafolio individual, este componente nopuede aparecer. Lo único relevante desde el punto de vista del retornoes el riesgo remunerado, que es el que está asociado al mercado.

De esta forma, el CAPM dice que, en términos de retornos esperados,todo lo que importa es la cantidad de riesgo de un activo (su beta) y elpremio por riesgo de mercado (el que es común a todos los activos y portafo-lios. No obstante, eso no significa que los retorno de activos individualesno tengan un componente de riesgo idiosincrático (diversificable). Por elcontrario, este componente puede ser muy importante dentro de la varianza

96CHAPTER 9 ELMODELODEMERCADO, CAPMYRIESGOS FINANCIERO

total de un activo. Lo único que dice el CAPM es que tal componente nopuede ser premiado con mayor retorno, porque siempre es posible eliminarlo(diversificarlo) a costo cero.

Chapter 10

Limitaciones del CAPM

En este capítulo, nos referiremos brevemente a las objeciones más habitualesque se le realizan a un modelo de equilibrio de mercado como el CAPM.Estas generalmente, se pueden dividir en dos clases de objeciones: teóricasy empíricas. En la práctica, ambas están fuertemente relacionadas porqueen general limitaciones teóricas al CAPM son las que generan sus problemasempíricos.

10.1 La Crítica de Roll

Se conoce como "crítica de Roll" a la siguiente observación sobre el CAPMrealizada por el economista Richard Roll. De acuerdo a Roll, el portafoliode mercado (M) no es observable y por lo tanto, el CAPM es imposible detestear. El punto de Roll es que con algun éxito somos capaces de encontrarbuenos datos para la parte del portafolio de mercado invertido en accioneso bonos. Sin embargo, la mayor parte de la riqueza de las personas estáinvertida en activos con escasos datos de calidad (como los activos inmobil-iarios) o en activos directamente no observables (como el capital humano quecada persona invierte en sí mismo). El CAPM puede todavía ser cierto comomodelo de equilibrio, pero de qué nos sirve si no somos capaces de testearloempíricamente dado que el portafolio de mercado no es observable.

97

98 CHAPTER 10 LIMITACIONES DEL CAPM

10.2 Set de Posibilidades de Inversión No esEstable en el Tiempo

Hasta ahora hemos supuesto que tanto los retornos esperados como la co-varianza de estos retornos es estable en el tiempo. El retorno esperado enel activo i es siempre E (Ri) y la matriz de covarianza es siempre Ω. Eneste esquema, las posibilidades de inversión de un inversionista pueden serespecificadas en un espacio definido por media y varianza de los retornos (i.e.la frontera eficiente). Sin embargo, piense en lo siguiente: suponga que larentabilidad de los proyectos de inversión es cíclica1. Si los proyectos de in-versión son muy rentables hoy lo más probable es que no sean tan rentablesen el futuro, por lo tanto en períodos de alta rentabilidad de proyectos elretorno esperado futuro puede caer. En términos gráficos, esto significa quetoda la frontera de posibilidades de inversión se mueve completa hacia abajocuando la rentabilidad actual de los proyectos es muy alta.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia

Desplazamiento de la frontera eficiente cuando la rentabilidad actual de los proyectos es alta

El argumento inverso es cierto cuando la rentabilidad actual de los proyec-tos es baja.

1Por ejemplo, piense en el crecimiento del PIB. El PIB crece con ciclos, hay ciclos dealto crecimiento, seguidos por ciclos de menor crecimiento.

10.2 SETDEPOSIBILIDADESDE INVERSIÓNNOES ESTABLEENELTIEMPO99

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia

Desplazamiento de la frontera eficiente cuando la rentabilidad actual de los proyectos es baja

10.2.1 El CAPM Intertemporal (ICAPM)

El desplazamiento de la frontera eficiente sugiere entonces la necesidad decontrolar el CAPM por todos los factores que mueven la frontera de posi-bilidades de inversión (por ejemplo, la rentabilidad de proyectos si creemosen su caracter cíclico). Esto es lo que se conoce como el ICAPM de RobertMerton.Lo que me interesa en este punto es entender la intuición detrás del

ICAPM. Una manera muy intuitiva de comprender la idea detrás del ICAPMde Merton es la desarrollada en el trabajo de Cochrane (1999), "Portfolio Ad-vice in a Multifactor World", en el programa del curso. De esta forma, loque a continuación trataré de desarrollar es el argumento de Cochrane.Lo que hace Cochrane es considerar la existencia un factor adicional que

le importe a los inversionistas, por ejemplo, una recesión. A los inversion-istas, entonces, les interesan tres atributos de los portafolios de activos: (1)mayores retornos esperados, (2) menores desviaciones estándares y (3) cómoles vaya a los activos en épocas recesivas. En otras palabras, (3) se tra-duce en que un inversionista tipo se encuentra dispuesto a aceptar menorretorno o mayor desviación estándar en un activo con tal de que a este activono le vaya tan mal en una recesión. En términos de los inversionistas a la


Markowitz, a estos ya no sólo les importa media y desviación estándar, sinoque también un factor adicional, la sensibilidad a la recesión. En este sentido,las curvas de indiferencia de esta clase de inversionistas en dos dimensiones(media y desviación estándar, se convierten en planos de indiferencia en tresdimensiones.

Ya no se buscan portafolios de mínima varianza que minimizen la vari-anza para cada nivel de retorno esperado, sino que se buscan portafolios queminimizen varianza, sujetos también a buscar un nivel de retorno esperado,pero sujetos también a distintos niveles de sensibilidad al riesgo adicional(recesión). Estos portafolios son los que se conocen como de mínima var-ianza global. Por lo tanto, lo que importa desde el punto de vista delset de posibilidades de inversión no es más la frontera eficiente de media ydesviación estándar, sino que un hipérbola eficiente como la que se muestraen el siguiente gráfico. Esa hipérbola eficiente es la nueva superficie eficienteque se conoce ahora la Frontera Eficiente Multifactorial.

Ahora bien, si existe un activo libre de riesgo con desviación estándar iguala cero, entonces, la hipérbola eficiente se transforma en un cono eficiente,como en el gráfico a continuación:


Podemos utilizar una versión general del teorema de separación de 2 fon-dos para demostrar que el portafolio de mercado es mutifactorialmente efi-ciente.

Theorem 18 Teorema de Separación de N Fondos . La Frontera Multifacto-rialmente Eficiente siempre puede ser generada como una combinación linealde S+2 puntos cualquiera sobre la Frontera Multifactorialmente, donde S rep-resenta la cantidad de factores adicionales a la media y desviación estándar,valorizados por los inversionistas.

En el caso particular del ejemplo aquí dado, la frontera mutlifactorial-mente eficiente puede ser generada como una combinación lineal de tres ac-tivos: (1) el portafolio de mercado (M), (2) el activo libre de riesgo (Rf) siéste existe y (3) un portafolio adicional que también sea multifactorialmenteeficiente (RS).Utilizando un álgebra similar a la de dos capítulos atrás en la cual se min-

imiza la varianza de un portafolio para cada posible retorno esperado y sen-sibilidad al factor adicional (recesión) es posible llegar a una representaciónbeta del ICAPM. Su derivación es en la misma linea de la derivación delCAPM pero mucho mas compleja desde un punto de vista algebraico, asíque se omitirá todo el desarrollo matemático2.La siguiente ecuación muestra

2El que esté interesado en ver cómo funciona el álgebra sugiero ir al siguiente trabajo,


la representación beta que satisface el ICAPM de Merton cuando existe unsólo factor de riesgo adicional.

E (Ri) = Rf + [E (RM)−Rf ]βi,M + [E (RS)−Rf ]βi,S (10.1)

Esa representación beta del ICAPM puede fácilmente ser generalizada alcaso de más factores de riesgo:

E (Ri) = Rf + [E (RM)−Rf ]βi,M +SX

k=1

[E (Rk)−Rf ]βi,k (10.2)

donde Rkk=1...S es el set de retornos de portafolios multifactorialmenteeficientes. El ICAPM no se refiere en ninguna forma a cuales son esas vari-ables que mueven la frontera eficiente. La determinación de cuales son esasvariables quedan al absoluto arbitrio del analista3. El ICAPM ha dado es-pacio a un amplio ámbito de investigación empírica buscando cuales sonlos factores que debieran utilizarse en el testeo empírico del ICAPM. Estosson los que se conocen como los modelos multifactoriales, cuyo ejemplo másfamoso es el modelo de tres factores de Fama y French.

10.2.2 El ICAPM desde una representación de Factorde Descuento Estocástico

Es muy simple llegar a una representación beta del ICAPM a partir de unarepresentación de factor de descuento estocástico, sin tener que pasar portoda el álgebra tediosa de minimizar un problema de varianza sujeto a dis-tintos niveles de retornos eperados y sensibilidad a los factores de riesgoadicionales. Para eso, basta con generalizar dos teoremas que vimos doscapítulos atrás.

Theorem 19 Existe un factor de descuento estocático lineal en RF (m = a+b0F ) si y sólo si F es un vector (S + 1)×1 de portafolios multifactorialmenteeficiente.

Fama (1996), Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing". Journal ofFinancial and Qunatitative Analysis, Vol. 31, No 4.

3Fama dice que el ICAPM es como una licencia para buscar variables que sean capacesde explicar el retorno de mercado.


Theorem 20 Dado un modelo lineal de factor de descuento estocástico, m =a + b0F y 1 = E [mRi], uno siempre puede encontrar parámetros γ y λ quesatisfagan una representación beta como

E¡Ri¢= γ + λβi (10.3)

Donde βi es el coeficiente de la regresión de Ri en una constante y todos

los factores F

Dado que, de acuerdo al teorema de separación de N fondos, el portafoliode mercado es un portafolio multifactorialmente eficiente, entonces los dosteoremas previos nos permiten determinar que existe una representación betadel siguiente tipo

E¡Ri¢= γ + λ0βi (10.4)

, donde βi es el coeficiente de la regresión de Ri en una constante y todos

los factores F . El primer elemento (factor) en F es el retorno del portafolio demercado (RM). El resto de los factores son S portafolios multifactorialmenteeficientes. Por su parte, γ = Rf y λ es un vector de (S + 1) × 1, tal queλ = E (F )−Rf × 1

(S+1)×1.

10.2.3 La Frontera Eficiente deMedia y Varianza Siem-pre Existe

A pesar de que los inversionistas puedan valorizar otros factores adicionalesa la media y a la desviación estándar de un activo, eso no implica que noexista una frontera eficiente de media y varianza, ya que siempre esta puedaconstruirse como el resultado de un problema de minimización de varianzasujeto a combinaciones de activos que generan cada nivel de retorno esper-ado. Gráficamente, si tenemos un factor adicional de riesgo (sensibilidad a larecesión) valorizado por los inversionistas, entonces tendremos un cono efi-ciente, pero también tendremos una frontera eficiente de media y desviaciónestándar, que será la intersección entre el cono eficiente y el plano de mediay desviación estándar.De esta forma, en el contexto de inversionistas que valoran más que sólo

la media y la varianza,todavía podemos seguir aplicando los teoremas queseñalan que para cualquier portafolio sobre la frontera eficiente de media ydesviación estándar existe un factor de descuento estocástico lineal en ese


portafolio y que, por lo tanto, existe una representación beta definida sobreel retorno ese portafolio

E (Ri) = Rf + βi,MV ·£E (RMV )−Rf

¤(10.5)

En otras palabras, no importa que los inversionistas valoren más que lamedia y la varianza, la representación beta sobre el retorno de un portafoliode mínima varianza (sobre la frontera eficiente de media y desviación están-dar) todavía existe. El problema es el siguiente: ya no podemos aplicar elteorema de separación de dos fondos para demostrar que el portafolio demercado (M) es un portafolio eficiente (de mínima varianza). En este caso,el teorema de separación de N fondos nos diría que el portafolio de mercado(M) es multifactorialmente eficiente (de mínima varianza global) y, por lotanto, no es necesariamente cierto que se pueda reemplazar RMV por RM enla ecuación (10.5) para llegar a una expresión del CAPM.

10.3 Los Resultados de Fama y French

El trabajo de Fama y French surge como la consecuencia de un hecho empíricode suma relevancia: el sonoro rechazo empírico a la hipótesis de equilibriode mercado en el CAPM. El siguiente gráfico muestra los retornos efectivosversus los retornos predichos por el CAPM para los 25 portafolios de Famay French4.

4Los 25 portafolios de Fama y French son portafolios creados en base a un filtro de dosdimensiones que separa todas las acciones que se transan en el NYSE de acuerdo a unranking de tamaño bursátil de las empresas y del ratio valor bolsa sobre valor libro. Estosportafolios se reagrupan en base anual.

10.3 LOS RESULTADOS DE FAMA Y FRENCH 105

Frente a este fracaso empírico y basándose en la idea del ICAPM deMerton, Fama y French buscaron determinar variables empíricas que fuerancapaces de explicar el movimiento en el set de posibilidades de inversión. Elmodelo de tres factores de Fama y French es el que a continuación se detalla:

E (Ri) = Rf + λMβi,M + λSMBβi,SMB + λVMGβi,V MG (10.6)

donde βi,M es el coeficiente de la regresión entre el retorno del portafoliode mercado, una constante y el retorno del portafolio de mercado. Por suparte, βi,SMB (βi,V MG) es el coeficiente de la regresión entre el retorno delactivo i con el retorno del portafolio SMB5 (VMG6) y una constante. La ideade Fama y Rrench es que, en línea con el ICAPM de Merton, los portafoliosSMB y VMG son proxies para factores de riesgo -adicionales a la media y ladesviación estándar- valorizados también por los inversionistas. El siguiente

5El retorno del portafolio SMB se construye como el retorno del portafolio compuestopor el tercio inferior del universo de empresas con menor capitalización bursátil (Small)menos el retorno del tercio superior del universo de empresas con mayor capitalizaciónbursátil (Big). El portafolio es reconsituído una vez al año.

6El retorno del portafolio VMG se construye como el retorno del portafolio com-puesto por el tercio inferior del universo de empresas con menor ratio precio/utilidad(Value) menos el retorno del tercio superior del universo de empresas con mayor ratioprecio/utilidad (Growth). El portafolio es reconsituído una vez al año.


gráfico muestra los resultados obtenidos por Fama y French para su modelode tres factores.

Tal como se aprecia en el gráfico precedente, el modelo de 3 factores deFama y French tiene un poder explicativo ampliamente superior al CAPMoriginal (en version de Black o Sharpe y Litner). Esto ha llevado a una vastagama de académicos en el ámbito de las finanzas a tratar de explicar cuálesson los factores económicos subyacentes tras los factores de Fama y French.Las explicaciones van desde la irracionalidad de mercado hasta aversión alriesgo que se mueve de manera inversa con el ciclo económico.

10.4 El APT como Explicación Alternativa alos Resultados de Fama-French

El APT de Ross nace de una característica propia de los retornos accionar-ios: cuando sube una acción, en general suben todas las acciones. En otraspalabaras, existe un fuerte componente común en los movimientos de los re-tornos accionarios. De esta forma, es posible separar los movimientos de losretornos de acciones o portafolios en dos componentes: una parte común atodas los activos y una parte ortogonal idiosincrática a cada activo.La intuición detras del APT es muy sencilla. La parte idiosincrática

10.4 ELAPTCOMOEXPLICACIÓNALTERNATIVAALOSRESULTADOSDEFAMA-

del retorno de cada activo no puede ser premiada por mayor retorno enla medida que cualquier inversionista racional podría diversificar ese riesgodiversificable vía la inversión en activos completamente diversificados. Porlo tanto, los retornos esperados en un activo i deben estar relacionados sóloa la covarianza del retorno de i con el componente común a cada activo (i.e.los factores). La idea es que, sí por ejemplo no existiera riesgo idiosincrático,todos los activos se podrían valorizar exclusivamente por arbitraje (en otraspalabras, el APT es una aplicación directa de la ley de un sólo precio). Inclusoresulta atractivo suponer que si los riesgos diversificables son pequeños, elprecio de este riesgo7 debe ser reducido en relación al precio del componentecomún a todos los retornos. Esto es un gran avance en relacion al CAPM oal ICAPM porque no requiere de ninguna justificación teórica.Partamos de una simple descomposición factorial de los excesos de re-

tornos de un activo i (esto es una regresión lineal):

Ri −Rf = ai +MXj=1

βij ·¡fj −Rf

¢+ εi (10.7)

donde ai es una constante específica a cada retorno de activo, βij es lacovarianza del retorno del activo i con el factor fj y dividido por la varianzadel factor fj y εi es el residuo de la regresión del exceso de retorno del activoi. El APT funciona por un argumento de puro arbitraje. Esto es, el APT escierto si y sólo si al aplicar el operador de precios a la expresión (10.7), seconcluye que el precio del residuo de la regresión es cero, p (εi) = 0, o lo quees lo mismo, una vez controlado por los factores, la parte residual del retornono tiene valor para el mercado.

p¡Ri −Rf

¢= ai · p (1) +

MXj=1

βij · p¡fj −Rf

¢+ p (εi) (10.8)

Si el APT es cierto, entonces la expresión anterior se transforma en:

0 =aiRf

+MXj=1

βij · p¡fj −Rf

¢(10.9)

donde p¡Ri −Rf

¢= 0 y p (1) = 1

Rf porque el precio de un exceso deretorno y el de un pago seguro por uno son cero y Rf respectivamente (ver

7En el margen, ojalá despreciable.


capítulo 4). En el caso en que los factores (fj) del APT sean también retornos,entonces tendremos que

0 =aiRf

=⇒ ai = 0 (10.10)

De esta forma, si los factores son retornos, el APT impone las siguientes2 condiciones de no arbitraje:

1. Si βij = 0, para todo i, j, este portafolio de beta cero renta la tasa librede riesgo, Rf . Esto es una consecuencia directa de la expresión (10.10).Ojo, esto no es cierto si los factores del APT no son retornos, ya quep¡fj −Rf

¢ 6= 0.2. La parte idiosincrática de cada activo (el riesgo diversificable) no estécorrelacionado entre activos: E (εiεk) = 0. La idea de esta condición esque los residuos de las regresiones de activos o portafolios individualesno son valorizados por el mercado, ya que si estuvieran correlacionadosentre sí, entonces el mercado los podría utilizar para reducir el riesgode un portafolio a costo cero y -por lo tantoel mercado les debería daralgún precio positivo.

Bajo estas 2 restricciones podemos definir el APT como:

E (Ri) = Rf +MXj=1

βijE [fj −Rf ] , E (εiεk) = 0⇐⇒ APT (10.11)

La restrición (2) del APT impone también una restricción sobre la matrizde covarianza de los retornos. Suponga que existe un único factor f , entonces

cov (Ri,Rk) = E [(βi [f −Rf ] + εi) (βk [f −Rf ] + εk)] (10.12)

= βiβjσ2 (f) +

½σ2ε si i = j

0 si i 6= j

¾(10.13)

Por lo tanto, se entiende que, a partir del APT, la matriz de covarianzasde los retornos es una matriz singular (o una suma de matrices singularescon más de un factor) y una matriz diagonal. Si conocemos los factores apriori (por ejemplo, en el caso de los 3 factores de Fama-French8) podemos

8Es por esto que algunos académicos llaman al modelo de 3 factores de Fama y Frenchcomo una simple aplicación del APT, a pesar de que sus autores señalan basarse en elICAPM de Merton.

10.5 CRíTICAS AL APT 109

trivialmente correr regresiones para identificar las restricciones a la matriz decovarianzas que identifican los movimientos comunes a todos los activos y quepor tanto son premiados por el mercado. Existe otra vertiente del APT queno utiliza factores conocidos ex-ante, sino que trata de identificarlos en basea las propiedades de la matriz de covarianzas. Esto es lo que se conoce comoel análisis factorial. Un ejemplo clásico de esto consiste en descomponer enlos valores propios de la matriz de covarianza y fijar arbitrariamente en cerotodos los factores con valores propios muy pequeños.

10.5 Críticas al APT

La principal crítica al APT de Ross es una crítica al hecho de que este modeloparte asumiendo que el precio de la parte residual de la regresión es cero. Paraque el APT funcione es necesario que tal condición se cumpla, es decir queel riesgo idiosincrático (después de controlar por los factores comunes) nopuede estar valorado por el mercado, o sino sería otro factor. Esto sólo sesatisface para portafolios que tienen naturalmente R Cuadrados muy altos opara portafolios muy diversificados en mercados con muchos activos.¿Por qué? Un pequeño ejemplo servirá para entender esto un poco mejor.

Considere la siguiente regresión lineal (ReAt y ReB

t son excesos de retornossobre la tasa libre de riesgo).

Reit = ai + βAiR

eAt + βBiR

eBt + εi (10.14)

Suponga que el APT (utilizando ReAt y ReB

t como los dos factores delmodelo) es cierto, entonces al aplicar el operador de precios sobre la ecuación(10.14), se llega a que

p¡Reit

¢= ai · p (1) + βAi · p

¡ReAt

¢+ βBi · p

¡ReBt

¢+ p (εi) (10.15)

aiRf

= 0 =⇒ ai = 0 (10.16)

Luego, dado (10.16), y aplicando el operador de esperanza en la expresión(10.14), se obtiene que

E¡Reit

¢= βAiE

¡ReAt

¢+ βBiE

¡ReBt

¢(10.17)

Esta última expresión es, simplemente, el APT. Esto es lo atractivo delAPT funciona (en el límite) sin utilizar ninguna teoría d-hoc más allá de unargumento de no arbitraje (la ley de un sólo precio).


No obstante, suponga ahora que el precio del residuo de la regresión esdistinto de cero, p (εi) 6= 0. Entonces, al aplicar el operador de precios sobrela ecuación (10.14), se llega a que

p¡Reit

¢= ai · p (1) + βAi · p

¡ReAt

¢+ βBi · p

¡ReBt

¢+ p (εi) (10.18)

0 =aiRf

+ p (εi) (10.19)

ai = −Rf · p (εi) (10.20)

Luego, dado (10.20), y aplicando el operador de esperanza en la expresión(10.14), se obtiene que

E¡Reit

¢= −Rf · p (εi) + βAiE

¡ReAt

¢+ βBiE

¡ReBt

¢(10.21)

Luego, el APT tiene un error igual a −Rf · p (εi). ¿Cómo asegurar que elAPT sea correcto y no tenga ese error? Se requiere que p (εi) = 0, pero nohay ninguna teoría en el APT que asegure esto. ¿Cómo hacer esto entonces?Parta aplicando el hecho de que, por construcción, sabemos que

p (εi) = E (mεi) 6 σ (m)σ (εi) (10.22)

Luego, por simple inspección de la expresión (10.22), es claro que bastacon que σ (εi) → 0 para que p (εi) → 0. Por lo tanto, para que el APTfuncione se requiere que el residuo de la regresión lineal entre el retorno deun activo o portafolio individual y los factores sea muy pequeño. Esto ocurresólo en regresiones con R Cuacrados arbitrariamente cercanas a uno o paraportafolios con un número arbitrariamente grande de activos9. El APT sesatisface aproximadamente como modelo (en el sentido de en el límite) paraportafolios que tienen naturalmente R Cuadrados muy altos o para portafo-lios muy diversificados en mercados con muchos activos. El problema delAPT es que como modelo funciona en el límite. Esto es, fijo él o los factoresy tomo límites para N o ε y el APT funciona muy bien. Pero eso es, com-pletamente arbitrario. Normalmente en las aplicaciones empíricas uno fijaN o ε y luego busca factores. Eso puede llevar a resultados particularmentemalos para el APT.

9Esto es así, ya que para un portafolio con proporciones iguales en un número N deactivos individuales, tenemos que σ2 (εP ) =

¡1N

¢2 ×PNk=1 σ

2 (εk). Luego, en la medidaque N →∞, tenemos que σ2 (εP )→ 0.

Chapter 11

Eficiencia del Mercado deCapitales

En el capítulo tres introdujimos el concepto de equilibrio del mercado decapitales en una economía de dotación. La existencia de tal equilibrio rela-cionaba, por ejemplo, el retorno esperado en cada activo i con la contribuciónal riesgo del portafolio eficiente elegido por cada inversionista1. Sin embargo,en la definición de tal equilibrio no hacíamos referencia al proceso por elel cual los inversionistas forman sus expectativas sobre retornos esperadosy contribución al riesgo2. En este capítulo, introduciremos una discusiónformal acerca del proceso de formación de expectativas acerca de retornosesperados.


Definition 21 φt−1 = set de información disponible en el periodo t− 1 rel-evante para los precios de los activos en t− 1.

Definition 22 φmt−1 = set de información utilizada por el mercado para val-orizar activos en t− 1. Por definición φmt−1 es un conjunto contenido dentrode φt−1.

1Aquí asumimos como en el CAPM de Black que no existe un activo libre de riesgo.2En general, asumiremos que la covarianza de activos i es una constante que no varía

con el set de información de los inversionistas. En otras palabras, los betas son constantes.

111

112CHAPTER 11 EFICIENCIADELMERCADODECAPITALES

Definition 23 fm¡p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1

¢= la distribución de probabilidad

utilizada por el mercado para valorizar activos en el período t + τ (τ > 0)dado el set de información φmt−1.

Definition 24 f¡p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1

¢= la verdadera distribución de prob-

abilidad utilizada para valorizar activos en el período t+ τ (τ > 0) si se uti-lizara todo el set de información disponible φt−1.

11.2 Eficiencia de Mercado

La siguiente definición de eficiencia se debe a Eugene Fama y es la base delo que se conoce como la Hipótesis de Mercados Eficientes.

Definition 25 La Hipótesis de Mercados Eficientes. Los mercados financierosson eficientes si y sólo si el set de información utilizado por el mercado paravalorizar activos es igual a todo el set de información disponible.

φmt−1 = φt−1 (11.1)

Si los mercados no utilizan toda la información disponible, entonces losmercados no pueden ser eficientes.La hipótesis de mercados eficientes implica lo siguiente acerca de la dis-

tribución de probabilidades de los precios de activos

fm¡p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1

¢= f

¡p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1

¢(11.2)

Para ponerlo en lenguaje sencilllo, la hipótesis de mercados eficientesimplica lo siguiente: No existe tal cosa como que los activos financieros(acciones, bonos, tipo de cambio, etc.) estén caros o baratos. Silo anterior es falso, estamos en abierta contradicción con la hipótesis demercados eficientes. Si los mercados son eficientes, todos los precios sonjustos al momento de valorizar cualquier activo. El decir que la acción de lacompañía A está barata (cara) en relación a la acción de la compañía B esequivalente a decir que los mercados dejaron una oportunidad de arbitrajelibre de riesgo entre A y B.Ahora bien, el párrafo anterior parece tan verdadero como abstracto:

para definir si una activo es barato o caro necesitamos conocer el preciojusto de tal activo, el cual no conocemos a menos de que hagamos algún

11.3 HIPÓTESIS DE FORMACIÓN DE EXPECTATIVAS 113

supuesto sobre el proceso de formación de precios de un activo que paga flujosaleatorios3. La única forma de testear la hipótesis de mercados eficientes esrealizar algún supuesto (esa es entonces una medida concreta de la hipótesisde mercados eficientes) sobre el proceso de formación de precios y luegotestearlo con datos. Lo que aquí aceptemos o rechacemos es el supuestoasociado a la hipótesis de mercados eficientes y no la noción vaga de mercadoseficientes. Por triste que suene, no hay un test único de la hipótesis demercados eficientes. Solo existen test sobre procesos de formación de preciosque, a nuestro juicio, nos parezcan consistentes con la hipótesis de mercadoseficientes.

11.3 Hipótesis de Formación de Expectativas

Hasta ahora hemos formalizado una definición precisa de que se entiende poreficiencia de mercado. No obstante, tal definición es un poco vaga en la me-dida que no nos referimos al proceso por el cual la información disponible setransforma en retornos esperados. Esto es lo que detallamos a continuación.

11.3.1 Retornos Esperados son Positivos

Definiendo el retorno de un activo como Rjt =pjt−pjt−1pj,t−1

, esto implica que entérminos de retornos esperados la hipótesis de mercados eficientes es simple-mente

Em

¡Rjt | φmt−1

¢=

Em

¡pjt | φmt−1

¢− pjt−1pj,t−1

> 0 (11.3)

Sin embargo, el asumir un proceso de formación de expectativas de taltipo puede tener serias limitaciones. Por ejemplo, piense en un hecho tanobjetivo como que existen empresas que muchos piensan que tienen escasofuturo y por tanto su precio debe caer. Por otro lado, existen operadores fi-nancieros que operan de acuerdo a reglas (analisis técnico) del siguiente tipo:cuando una acción sube (baja) durante un período prolongado seguirá subi-endo (bajando) durante algún tiempo. Esto implica que acciones con caídageneran expectativas de retorno negativas contradictorias con la hipótesis deretornos esperados siempre positivos.

3Este es un proceso de formación de expectativas porque valoriza flujos inciertos contasas de descuentos que también son inciertas.

114CHAPTER 11 EFICIENCIADELMERCADODECAPITALES

11.3.2 Retornos Esperados son Constantes

En este caso, la hipótesis de mercados eficientes se traduce en retornos es-perados de acuerdo a la siguiente relación:

E¡Rjt | φmt−1

¢= Em (Rjt) (11.4)

Ahora bien, este proceso de formación de expectativas también puedetener serios problemas desde un punto de vista empírico. Piense en lo sigu-iente: si los retornos se encuentran durante un período prolongado por sobresu media histórica, usted rápidamente podría inferir que la hipótesis en laecuación (11.4) es falsa. Bueno, esto es lo que efectivamente tiende a ocurrircon los retornos accionarios. Los períodos de grandes alzas (baja) mues-tran alta persistencia y se alejan de la idea que los retornos esperados sonconstantes. Sin embargo, lo relevante de esto es que a partir de tal hechoempírico no es posible rechazar la hipotesis de mercados eficientes sino queel proceso de formación de expectativas supuesto en (11.4).

11.3.3 Retornos Esperados se Mueven en una RelaciónRiesgo-Retorno

Un par de capítulos atrás nos dedicamos a establecer ciertas relaciones deequilibrios (CAPM e ICAPM) en economías pobladas por inversionistas conpreferencias convexas sobre media y varianza. Establecimos que en talesmodelos existe una relación lineal entre retornos esperados y la contribuciónal riesgo del portafolio de mercado y algunas otras variables de control. Estees una tercera hipótesis de formación de expectativas sobre retornos quetambién es consistente con la hipótesis de mercados eficientes.Repasamos los problemas empíricos de un modelo como el CAPM y

del mayor suceso de un modelo alternativo como el de 3 factores de Famay French. Tambien es cierto que tales modelos requieren también ciertossupuestos acerca de los retornos esperados en el portafolio de mercado (porejemplo, si serán positivos, constantes o variables en el tiempo). La discusionacadémica hoy en el mundo de las finanzas se concentra en exactamente esepunto. ¿Cuál es el proceso de formación de expectativas de retornos que esconsistente con la hipótesis de mercados eficientes?

11.4 CATEGORíAS DE EFICIENCIA DE MERCADO 115

11.4 Categorías de Eficiencia de Mercado

En general, los académicos tienden a clasificar el grado de eficiencia de mer-cado en alguna de las categorías que, a continuación, pasaré a detallar:

1. Mercados son Eficientes en su Forma Débil: Los mercados uti-lizan información pasada (en particular, los retornos históricos) paravalorizar los activos. En otras palabras, los retornos pasados ayudan apredecir los retornos futuros.

2. Mercados son Eficientes en su Forma Semi Fuerte: Los mercadosutilizan toda la información pública relevante para valorizar los activosfinancieros.

3. Mercados son Eficientes en su Forma Fuerte: Los mercados uti-lizan toda la información privada relevante para valorizar los activosfinancieros. Esto quiere decir que el precio de los activos no permitenoportunidades de arbitraje para aquellos que manejan información pri-vada (privilegiada).

Chapter 12

Derivados Financieros (1):Forwards y Futuro

12.1 Definiciones

Definition 26 Un derivado financiero es un activo financiero cuyo valordepende del valor de otros activos (subyacentes).

Definition 27 Un contrato forward es un acuerdo entre dos partes paratransar un activo financiero en un período (cierto y exacto) en el futuro a unprecio (cierto) pre definido. La parte que se compromete a comprar en el fu-turo se conoce como la posición larga. Su contraparte, el que se comprometea vender, se conoce como la posición corta.

Definition 28 Un contrato a futuro es un acuerdo entre dos partes paratransar un activo financiero en el futuro (a diferencia del contrato forwarden el futuro, la fecha de entrega fisica no es una fecha exacta, sino que unrango de fechas) a un precio (cierto) pre definido.

La gran diferencia entre el contrato forward y el contrato a futuro es queen el caso del segundo existe un mercado.secundario profundo que permitetransar este instrumento a valor presente en cualquier momento antes de suvencimiento.En general (salvo que se específique lo contrario), durante este capítulo

nos referiremos exclusivamente al caso de los contratos forward1.1Si quiere conocer más acerca de la forma de valorizar contratos a futuro sugiero que

tome el curso de Opciones y Futuros.

117

118CHAPTER 12 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDSYFUTURO

12.2 El Perfil de Riesgo de un Contrato For-ward

Dado que el contrato forward no requiere de desembolso de caja en el períodoactual, el único períoodo que nos interesa es el período al vencimiento delcontrato (la fecha especificada para la transacción), t = T . Definamos Fcomo el precio del contrato forward para compra y venta de un activo suby-acente cuyo precio spot (el precio de mercado en cada momento del tiempo)en t = T es ST . El perfil de riesgo del contrato forward es el flujo de cajaque genera al vencimiento del contrato. La tabla siguiente presenta los flujospara ambas partes en el contrato.

t = 0 t = T

ST < F ST > F

Compra Forward (posición larga) 0 ST − F < 0 ST − F > 0

Venta Forward (posición corta) 0 F − ST > 0 F − ST < 0

El que compra el contrato forward a un precio F se hará del activo S ent = T y lo podrá vender al precio spot en tal fecha tal que su ganancia seráST −F . Note que esta es una operación riesgosa, porque si el precio spot ent = T cae por debajo del precio del contrato, la posición larga tendrá unautilidad negativa.

En el caso de la posición corta (el que se compromete a vender), este tieneque entregar el activo en t = T . Esto quiere decir que tiene que comprarlo aprecio spot y su ingreso será el especificado en el contrato forward.

Esto mismo es fácilmente trasladable a un gráfico entre la utilidad y elprecio spot al vencimiento del contrato.

12.3 EL PRECIO DE UN CONTRATO FORWARD 119

S(T)

Util

idad

al V

enci

mie

nto

0

F

Posicion Corta:F-S(T)

Posicion Larga:S(T)-F

12.3 El Precio de un Contrato Forward

La determinación del precio de un contrato forward es un excelente ejemplodel principio de valoración por arbitraje. El contrato forward es la promesa deentrega de un activo S a un precio F en t = T . Existe una forma alternativade generar la misma operación:

• Endeudarse hoy a la tasa de interés r para comprar el activo al preciospot S0.

• Pagar la deuda en t = T .

Esta operación genera un flujo de caja nulo en t = 0 y entrega una unidadde S en t = T . Esto implica que replica perfectamente los flujos de caja delcontrato forward. Por ley de un sólo precio, ambas operaciones deben costarlo mismo.


t = 0 t = T

ST < F ST > F

Compra Forward 0 ST − F ST − F

Compra Activo −S0 ST ST

Deuda S0 − (1 + r)T S0 − (1 + r)T S0

Compra Activo con Deuda 0 ST − (1 + r)T S0 ST − (1 + r)T S0

De esta forma, por ley de un sólo precio, tenemos que:

ST − F = ST − (1 + r)T S0 (12.1)

F = (1 + r)T S0 ⇐⇒ Precio Forward (12.2)

El precio de un contrato forward es el valor futuro del precio spot delactivo subyacente.

12.4 El Precio Forward con Costos Alterna-tivos ("Convenience Yield") Para el Ac-tivo Subyacente

12.4.1 Precio Forward con un pago de dividendo antesdel vencimiento

Suponga que usted necesita comprar un activo en t = T , sin embargo esteactivo paga dividendos antes de t = T . ¿Cuáles son las alternativas a sudisposición? (1) Comprar el activo a futuro vía contrato forward o (2) Com-prar cierta cantidad de activo hoy financiándolo con deuda a tasa de interésr por periodo. Por ley de un sólo precio, ambas operaciones deben costar lomismo.

12.4 EL PRECIO FORWARDCONCOSTOSALTERNATIVOS ("CONVENIENCEYIEL

t = 0 t = T

ST < F ST > F


Compra x cantidad de activo spot −x · S0 ST ST

Deuda $ F(1+r)T

−F −FFlujo Neto −x · S0 + F

(1+r)TST − F ST − F

En la práctica, lo que yo quiero es comprar una cantidad de activo x enel mercado spot para tener exactamente una unidad del activo subyacente ent = T .¿Cómo hago eso?

• Considere el caso de una acción que paga un dividendo Dt0 (por acción)proporcional al valor del dividendo en t = t0, donde (0 < t0 < T ) ,

Dt0 = d · St0 (12.3)

• El costo en t = 0 de comprar la acción sin dividendos (esto es lo mismoque el costo de comprar una acción que vale ST en T ) es:

x · S0 = S0 (1− d) (12.4)

x = (1− d) (12.5)

• ¿Por qué? En t = 0, compre (1− d) cantidad de activo subyacente.

• En t = t0, se obtiene por dividendos un monto igual a (1− d)Dt0, loque por construcción es igual a:

Dt0 = d · St0 (12.6)

dividendo recibido= (1− d)Dt0 = (1− d) d · St0 (12.7)

• Inmediatamente luego del pago de dividendo en t = t0, el precio de laacción cae hasta (1− d)St0. Luego, Ud. puede tomar estos dividendosy comprar la siguiente cantidad de acciones con esos dividendos ent = t0,

(1− d)Dt0

(1− d)St0=(1− d) d · St0(1− d)St0

= d (12.8)


• Por último, en t = T , Ud. será dueño de (1− d)+d = 1 cantidad de ac-ciones, que es exactamente lo que queríamos. Por lo tanto, x = (1− d).Luego, el precio del forward con pago de dividendos del subyacente estádado por:

− (1− d) · S0 + F

(1 + r)T= 0 (12.9)

F = (1− d) · (1 + r)T · S0 (12.10)

12.4.2 Precio Forward con dos pagos de dividendo antesdel vencimiento

• Considere el caso de una acción que paga un dividendo Dt1 (por ac-ción) proporcional al valor del dividendo en t = t1,y otro dividendoDt2 (por acción) proporcional al valor del dividendo en t = t2 donde(0 < t1 < t2 < T ) y

Dt1 = d1 · St1 (12.11)

Dt2 = d2 · St2 (12.12)

• En t = 0, compre x = (1− d1) (1− d2) unidades del activo subyacente.

• En t = t1, se obtiene por dividendos unmonto igual a (1− d1) (1− d2)Dt1,lo que por construcción es igual a:

Dt1 = d1 · St1 (12.13)

dividendo recibido= (1− d1) (1− d2)Dt1 = (1− d1) (1− d2) d1 · St1(12.14)

• Inmediatamente luego del pago de dividendo en t = t1, el precio de laacción cae hasta (1− d1)St1 . Luego, Ud. puede tomar estos dividendosy comprar la siguiente cantidad de acciones con esos dividendos ent = t1,

(1− d1) (1− d2)Dt1

(1− d1)St1=(1− d1) (1− d2) d1 · St1

(1− d1)St1= (1− d2) d1 (12.15)

• En t = t2, se obtiene por dividendos unmonto igual a [(1− d1) (1− d2) + (1− d2) d1]Dt2 ,lo que por construcción es igual a:

Dt2 = d2 · St2 (12.16)

dividendo recibido =

[(1− d1) (1− d2) + (1− d2) d1]Dt2 = [(1− d1) (1− d2) + (1− d2) d1] d2 · St2(12.17)

12.4 EL PRECIO FORWARDCONCOSTOSALTERNATIVOS ("CONVENIENCEYIEL

• Inmediatamente luego del pago de dividendo en t = t2, el precio de laacción cae hasta (1− d2)St2 . Luego, Ud. puede tomar estos dividendosy comprar la siguiente cantidad de acciones con esos dividendos ent = t2,

[(1− d1) (1− d2) + (1− d2) d1]Dt2

(1− d2)St2=[(1− d1) (1− d2) + (1− d2) d1] d2 · St2

(1− d2)St2= d2

(12.18)

• Por último, en t = T , Ud. será dueño de (1− d1) (1− d2)+(1− d2) d1+d2 = 1 cantidad de acciones, que es exactamente lo que queríamos. Porlo tanto, x = (1− d1) (1− d2). Luego, el precio del forward con pagode dividendos del subyacente está dado por:

− (1− d1) (1− d2) · S0 + F

(1 + r)T= 0 (12.19)

F = (1− d1) (1− d2) · (1 + r)T · S0(12.20)

• Si d1 = d2 = d, entonces, F = (1− d)2 · (1 + r)T · S0.

12.4.3 Precio Forward con un pago de dividendo porperiodo antes del vencimiento

• Generalizando lo anterior, considere el caso en que el activo subyacente(acción) paga un dividendo por acción igual a d1, d2, . . . , dn en cadaperiodo 0 < t1 < t2 < · · · < tn < T .

• Luego, utilizando el mismo razonamiento que en las secciones previas,para obtener una unidad de la acción en t = T , se deben comprarx = (1− d1) (1− d2) · · · (1− dn) unidades de la acción en t = 0.

• Por lo tanto, el precio forward de la acción es

F = (1− d1) (1− d2) · · · (1− dn) · (1 + r)T S0 (12.21)

• Si d1 = d2 = · · · = dn, entonces, F = (1− d)T · (1 + r)T · S0.


12.4.4 Precio Forward con un continuo de dividendopago de dividendo antes del vencimiento

• Alternativamente, considere el caso en que la acción paga un continuode dividendos por acción, equivalente a una tasa continuamente com-puesta de d por periodo.

• Luego, la cantidad de acciones necesarias de comprar en t = 0 paraobtener una unidad de la acción en t = T es igual a

x = limN→∞

µ1− d

N

¶N

limN→∞

µ1− d

N

¶N

· · · limN→∞

µ1− d

N

¶N

| z T veces

(12.22)

x = e−de−d · · · e−d| z T veces

(12.23)

x = e−d·T (12.24)

• Por lo tanto, el precio del forward es

−x · S0 + F

er·T= 0 (12.25)

−e−d·T · S0 + F

er·T= 0 (12.26)

F = S0 · e−d·T · er·T (12.27)

F = S0 · e(r−d)·T (12.28)

El pago de dividendos es el clásico costo altenativo de una acción. En elcaso de otros activos subyacentes, éstos pueden presentar otro tipo de costosalternativos. En el caso de los "commodities" (e.g. cobre, petróleo, etc.),su costo alternativo es la suma de los costos de transporte de estos bienesmás el uso alternativo en aplicaciones productivas que estos bienes tienen(el cobre sirve para construir cañerías y el petróleo sirve la para combustiónde motores). En general, se asume que los commodities tienen cierto costoalternativo ("convenience yield") que se asume una proporcion fija (c) delprecio spot, tal que el precio forward de un commodity es, F = S0 · e(r−c)·T .

12.5 CONTRATOS FORWARD DE MONEDAS 125

12.5 Contratos Forward de Monedas

Suponga que usted necesita moneda extranjera (por ejemplo, dólares) ent = T . ¿Cuáles son las alternativas a su disposición? (1) Comprar dólares(USD) a futuro vía contrato forward o (2) Comprar USD hoy financiándoloscon deuda en pesos ($) a tasa de interés, r$, y depositándolos en el bancodevengando la tasa de interés en dólares, rUSD. Por ley de un sólo precio,ambas operaciones deben costar lo mismo.

t = 0 t = T

ST < F ST > F


Compra y Deposito USD − S0(1+rUSD)

T ST ST

Deuda $ F(1+r$)

T −F −FFlujo Neto F

(1+r$)T − S0

(1+rUSD)T ST − F ST − F

De esta forma, por ley de un sólo precio, tenemos que:

F

(1 + r$)T− S0

(1 + rUSD)T= 0 (12.29)

F =

µ1 + r$1 + rUSD

¶T

S0 (12.30)

El precio de un contrato forward es el precio spot de la moneda extranjerapor el diferencial de tasas de interés entre el país local y el extranjero.

12.6 Contratos Forward como Estrategias Es-peculativas

Una razón por la cual un inversionista quisiera invertir en contratos forward espor simple especulación. Suponga que su expectativa de precio para el activosubyacente al vencimiento del contrato es más alta que el precio forward,entonces su utilidad esperada por comprar forward es positiva, Et [ST ]−F >0. Esta es una utilidad esperada, por tanto nada asegura que esta apuestagenere ganancias. Por el contrario, si usted espera que el precio del activo


subyacente al vencimiento del contrato sea más bajo que el precio forward,entonces su utilidad esperada por vender forward es positiva, F−Et [ST ] > 0.

El razonamiento anterior me permite hacer un par de consideracionesimportantes acerca de los precios forward:

1. EL PRECIO FORWARD NO ES EL PRECIO FUTURO DEL AC-TIVO SUBYACENTE. ES LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LAINFORMACION DISPONIBLE. POR LO TANTO, INVERTIR ENCONTRATOS FORWARD TIENE RIESGO.

2. EL PRECIO FORWARD ES EL PRECIO DE UNA OPERACIONA FUTURO SOBRE UN ACTIVO SUBYACENTE QUE, DADO ELPRECIO SPOTDEESEACTIVO SUBYACENTE, NOADMITEAR-BITRAJE.

12.7 Contratos Forward como Estrategia deCobertura

Una segunda razón por la cual se quisiera invertir en contratos forward es paracubrir otra posición riesgosa. Suponga que Ud. adquirió el activo subyacenteal precio S0. Su perfil de riesgo al período t = T , es ST − S0 y puede sercubierto a través de la venta de un contrato forward con vencimiento ent = T .

ST < F ST > F

Activo ST − S0 ST − S0

Venta Forward F − ST F − ST

Flujo Neto F − S0 F − S0

El flujo neto de tener una posición larga en el activo y una posición cortaen forward es F − S0 que no depende de ST el precio spot al vencimiento.Por lo tanto, por la vía de vender forwrad se eliminó el riesgo en t = T .Gráficamente, esto equivale a:

12.7 CONTRATOS FORWARDCOMOESTRATEGIADECOBERTURA127

S(T)

Util

idad

al V

enci

mie

nto

0F

Flujo Neto

S0

F-S0

12.7.1 Venta Corta de Activos

Definition 29 La venta corta de activos es una operación financiera en lacual se vende en t = 0 un activo que no pertenece al vendedor y que sedevolvera al dueño de tal activo en el período t = T .

La venta corta de activos es una operación que obliga a comprar un activoen t = T un activo que se adquirió a precio S0 a un precio ST . De esta forma,el perfil de riesgo de una venta corta es el flujo de caja al vencimiento porS0 − ST , y puede ser cubierto a través de la compra de un contrato forwardcon vencimiento en t = T .

ST < F ST > F

Venta Corta S0 − ST S0 − ST

Compra Forward ST − F ST − F

Flujo Neto S0 − F S0 − F

Chapter 13

Derivados Financieros (2):Opciones Financieras

13.1 Definiciones

Definition 30 Una opción de compra ("call") es un contrato que le otorgaal tenedor de ese contrato el derecho a comprar un activo subyacente enuna fecha y precio pre fijados. El contrato de una "call" debe especificar lossiguientes términos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio dela opción de compra, K.

Definition 31 Una opción de venta ("put") es un contrato que le otorga altenedor de ese contrato el derecho a vender un activo subyacente en una fechay precio pre fijados. El contrato de una "put" debe especificar los siguientestérminos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio de la opciónde venta, K.

Definition 32 Las Opciones Americanas son aquellas que pueden ejercerseen cualquier momento previo a su vencimiento.

Definition 33 Las Opciones Europeas son aquellas que pueden ejercerse sóloal momento de su vencimiento.

13.2 El Perfil de Riesgo de Las Opciones

El perfil de riesgo de una opción es el flujo de caja que genera al vencimientodel contrato. La tabla siguiente presenta los flujos para los tenedores de

129

130CHAPTER 13 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS

opciones de compra ("call") y opciones de venta ("put).

t = 0 t = T

ST < K ST > K

Largo en "Call" −c 0 ST −K > 0

Largo en "Put" −p K − ST > 0 0

Al tenedor de una "call" le convendrá ejercerla si y sólo si ST > K, deotra forma perdería dinero y no la ejercería.

Al tenedor de una "put" le convendrá ejercerla si y sólo si ST < K, deotra forma perdería dinero y no la ejercería.

En resumen, al vencimiento los flujos de tenedores de opciones son:

Call ⇐⇒ max (ST −K, 0) (13.1)

Put ⇐⇒ max (K − ST , 0) (13.2)

Gráficamente, esto se puede representar de la siguiente forma:

S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K

Largo en "Call"

13.2 EL PERFIL DE RIESGO DE LAS OPCIONES 131

S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K

Largo en "Put"

En el caso de los vendedores de opciones, tenemos que simplemente:

Call ⇐⇒ −max (ST −K, 0) (13.3)

Put ⇐⇒ −max (K − ST , 0) (13.4)

Gráficamente, esto se puede representar de la siguiente forma:

S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K

Corto en "Call"


S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K

Corto en "Put"

13.3 Algunas Consideraciones Sobre OpcionesFinancieras

• A pesar de que gráficamente parezca que estrategias como comprar"calls" y "puts" son ganancias seguras (en el peor de los casos se ganacero), esto no es así. Para acceder a ese perfil de riesgo es necesariopagar un precio. Las "calls" y "puts" no son gratis.

• En algunos libros de texto gustan de restar (o sumar según sea el caso)el precio de las opciones en los gráficos de flujos de caja de las op-ciones. Yo no lo hago, pero hacer eso es absolutamente trivial, consisteen desplazar verticalmente (en el valor de la opción) los gráficos aquípresentados.

• Las opciones pueden ser utilizadas para coberturas de riesgo. Por ejem-plo, si usted está largo en el activo subyacente, el comprar una "put"sobre el activo subyacente le podría acotar el riesgo de pérdidas en suposición sobre el activo subyacente.

13.4 ESTRATEGIASDE INVERSIÓNESPECULATIVASCONOPCIONES133

13.4 Estrategias de Inversión Especulativascon Opciones

Estas estrategias de inversión comprenden la transacción de múltiples op-ciones financieras. Aquí haremos un pequeño resumen de las más popularesestrategias especulativas con opciones.

13.5 Spreads

13.5.1 Bull Spread

Definition 34 Una estrategia bull spread consiste en comprar una "call"("put") con precio de ejercicio K1 (con vencimiento en t = T ) y venderuna "call" ("put") con precio de ejercicio K2 (e igual vencimiento), tal queK2 > K1.

Los flujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son:

t = T ST < K1 K1 < ST < K2 ST > K2

Compra "Call" 0 ST −K1 ST −K1

Venta "Call" 0 0 − (ST −K2)

Flujo Neto 0 ST −K1 K2 −K1

Gráficamente,


S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K2K1

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bull spread con opcionesde venta.

13.5.2 Bear Spread

Definition 35 Una estrategia bear spread consiste en comprar una "call"("put") con precio de ejercicio K2 (con vencimiento en t = T ) y venderuna "call" ("put") con precio de ejercicio K1 (e igual vencimiento), tal queK2 > K1.


t = T ST < K1 K1 < ST < K2 ST > K2

Compra "Call" 0 0 ST −K2

Venta "Call" 0 − (ST −K1) − (ST −K1)

Flujo Neto 0 − (ST −K1) K1 −K2

Gráficamente,

13.5 SPREADS 135

S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K2K1

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opcionesde venta.

13.5.3 Butterfly Spread

Definition 36 Una estrategia butterfly spread consiste en comprar una "call"("put") con precio de ejercicio K1 y una "call" ("put") con precio de ejer-cicio K3 y vender 2 "calls" ("puts") con precio de ejercicio K2, tal queK1 < K2 < K3. Todas las opciones tienen igual fecha de vencimiento.


t = T ST < K1 K1 < ST < K2 K2 < ST < K3 ST > K3

Compra Call 1 0 ST −K1 ST −K1 ST −K1

Compra Call 3 0 0 0 ST −K3

Venta 2 Puts 0 0 −2 (ST −K2) −2 (ST −K2)

Flujo Neto 0 ST −K1 2K2 −K1 − ST| z =K1−ST si K2=0.5(K1+K3)

2K2 −K1 −K3| z =0 si K2=0.5(K1+K3)

Gráficamente,


S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K2K1 K3

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opcionesde venta.

13.6 Combinaciones

Definition 37 Una estrategia Straddle consiste en comprar una "call" y una"put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 38 Una estrategia Strip consiste en comprar una "call" y dos"puts" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 39 Una estrategia Strap consiste en comprar dos "calls" y una"put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 40 Una estrategia Strangle consiste en comprar una "call" conprecio de ejercicio K2 y una "put" con precio de ejercicio K1 e igual plazo alvencimiento, tal que K1 < K2.

13.7 EL CONCEPTO DE ARBITRAJE Y 2 APLICACIONES137

13.7 El Concepto de Arbitraje y 2 Aplica-ciones

Las opciones financieras son siempre valorizadas por arbitraje. Esto es par-ticularmente útil porque, en vez de estudiar los fundamentos detrás del valorde las opciones, podemos valorizar estas como una simple combinación delvalor de otros activos que sí observamos.El flujo de caja de un activo es simplemente el valor de un activo (o una

parte de éste) en algún momento futuro en el tiempo. Este flujo de caja es(hoy) desconocido y puede tomar distintos valores de acuerdo a los distintosestados de la naturaleza que se manifiesten. El precio o valor de un activoes cuanto valgan (hoy) los flujos prometidos.Existen dos conceptos fundamentales de arbitraje en finanzas:

1. La Ley de un Sólo Precio: Si dos activos prometen los mismos flujosde caja deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, significa a todoevento y no en valor esperado.

2. El Principio de No Arbitraje: Si el pago (a todo evento) del activo Aes mayor (o igual) al pago (a todo evento) del activo B, entonces demanera cierta el precio del activo A debe ser mayor al precio del activoB.

13.8 La Paridad Put-Call

Suponga que Ud. compra una call y simultáneamente vende una put conmismo precio de ejercicio y mismo plazo al vencimiento. El flujo de cajaobtenido al vencimiento es exactamente el mismo de mantener el activo sub-yacente y endeudarse a futuro por el precio de ejercicio K1. Aplicando la leyde un sólo precio, podemos determinar que si los flujos de caja al vencimientoson iguales, los precios también deben serlos.

Flujos: CT − PT = ST −K (13.5)

implica que

Precios : C − P = S − V P (K) (13.6)

Paridad Put-Call : C − P = S − K

R(13.7)

1Recuerde simplemente las tablas y gráficos de flujos al vencimiento vistos en clases.


La paridad put-call es importante por 2 razones:

1. Ilustra el principio fundamental de como se valorizan las opciones antesde su vencimiento.

2. Ilustra como determinar el precio de una put (call) cuando se conoceel precio de una call (put). En otras palabras, para valorizar put (call)basta con conocer como se valoriza una call (put) y luego se aplica laparidad put-call2.

13.9 Límites de Arbitraje y Ejercicio de Op-ciones antes del Vencimiento

Ahora bien, ¿qué nos indica el principio de no arbitraje acerca del precio deuna call?

1. C ≥ 0. El precio de un flujo de caja igual a cero debe ser cero. Comoel flujo de una call al vencimiento es siempre mayor que cero, su precioes siempre no negativo.

2. C ≤ S. El flujo de una call al vencimiento es siempre menor al valordel activo subyacente al vencimiento, por lo tanto el precio de una callantes del vencimiento es siempre menor al valor del activo.

3. C ≥ S−V P (D)−V P (K), dondeD = dividendo pagado. El flujo de lacall al vencimiento es CT = max (ST −K, 0) ≥ ST −K = ST +D−D−K. Como el precio de ST +D es S, si aplicamos el operador de preciossobre la expresión anterior obtenemos que C ≥ S−V P (D)−V P (K).

Estas 3 condiciones pueden ser resumidas en el siguiente gráfico:

2En realidad esto es sólo cierto para el caso de opciones europeas que no pagan divi-dendos. En cualquier caso, el principio es fácilmente extendible a otros casos.

13.10 VALORACIÓNDEOPCIONES PORMÉTODODEARBOLESBINOMIALES: 1 P

S(T)

Pre

cio

Cal

l

S-VP(D)-VP(K)

C=S

Precio "Call" debe estar en algun punto de esta area

La última de las desigualdades tiene una importante implicancia. Si lastasas de interés son mayores que cero, no vale la pena ejercer una opciónque no paga dividendos antes de su vencimiento. ¿Por qué? Si no existendividendos, la siguiente desigualdad es cierta

C ≥ S − V P (K) > S −K (13.8)

El extremo derecho de la desigualdad es el valor obtenido por ejercer lacall antes del vencimiento. MORALEJA: compre opciones, nunca las ejerzaantes de que venzan.

13.10 Valoración de Opciones por Método deArboles Binomiales: 1 período al vencimiento

El objetivo de esta sección es ir en detalle a la forma en que se valorizanlas opciones. Por simplicidad, analizaremos el caso de una call europea sindividendos. El valor de tal "call" al vencimiento es:

CT = max (ST −K, 0) (13.9)

Lo que queremos encontrar es el valor de la call 1 período antes delvencimiento.


El precio del activo subyacente es S. Suponga que existen dos estadosde la naturaleza al vencimiento: el precio del activo crece a ST = u · S ocae a ST = d · S. De esta forma, la call puede tomar uno de 2 valores:CT = Cu = max (u · S −K, 0) o CT = Cd = max (d · S −K, 0). El árbol deestados de la naturaleza puede ser representado por el siguiente esquema:

Conocemos u, d, S,K y queremos encontrar C.Considere un portafolio compuesto por valor H de acciones y valor B de

bonos. El pago de este portafolio al vencimiento es H · u · S +B si la acciónsube y H · d · S +B si la acción cae. Siempre es posible encontrar valores deH y B tales que los flujos de caja de este portafolio sean iguales al flujo decaja de la call. Esto significa que es necesario encontrar valores de H y Btal que

H · u · S +B = Cu (13.10)

H · d · S +B = Cd (13.11)

2 ecuaciones y 2 incógnitas que tienen las siguientes soluciones:

H =Cu − Cd

u · S − d · S (13.12)

B =u · S · Cd − d · S · Cu

u · S − d · S (13.13)

H es lo que se conoce como la razón de cobertura. Es el número deacciones necesarias para replicar exactamente los flujos al vencimiento de lacall. Es también el cambio en el valor de la opción ante cambios en el preciodel activo subyacente (si el valor del activo cambia desde d · S hasta u · S, elvalor de la call cambia desde H · d · S hasta H · u · S). Si se grafica el valorde la opción en función del precio del activo subyacente, la pendiente de talgráfico debe ser H.Tenemos dos portafolios con exactamente los mismos pagos. Por ley de

un sólo precio, ambos portafolios deben tener el mismo precio.

C = HS +B

R(13.14)

13.10 VALORACIÓNDEOPCIONES PORMÉTODODEARBOLESBINOMIALES: 1 P

Reemplazando por los valores de H y B

C =Cu − Cd

u · S − d · SS +uCd−dCu

u−dR

(13.15)

C =Cu − Cd

u− d+

uCd−dCuu−dR

(13.16)

Esta fórmula no es muy atrayente, así que definamos

p =R− d

u− d⇔ 1− p =

u−R

u− d(13.17)

En términos de p, la formula de C se transforma en

C =Cu

u− d− Cd

u− d+

µuCd

u− d

¶/R+

µdCu

u− d

¶/R (13.18)

C =

µ1

u− d

µ1− d

R

¶¶Cu +

µ1

u− d

³ uR− 1´¶

Cd (13.19)

C =1

R

·µR− d

u− d

¶Cu +

µu−R

u− d

¶Cd

¸(13.20)

C =1

R[pCu + (1− p)Cd] (13.21)

donde Cu = max (u · S −K, 0) y Cd = max (d · S −K, 0).Hay 3 hechos interesantes acerca de esta última formula:

1. Las probabilidades de los estados (u, d) no entran en ninguna parte dela fórmula. Todo el argumento de valorización de opciones proviene dela ley de un sólo precio. Si esto no fuera cierto, existe una oportunidadde arbitraje libre de riesgo: compre el portafolio HS +B y vaya cortoen la call (o viceversa). La clave es lo siguiente: toda la informaciónacerca de hacia donde va el precio de la accion ya está incluído en suprecio actual S. Si la probabilidad del estado u crece, el precio S seajusta automáticamente al alza.

2. Aversión al riesgo, premio por riesgo, etc. no juegan ningun rol en lavalorizacion de opciones. El argumento es el mismo que en (1): todoeso ya está incluído en el precio de S.


3. p parece una probabilidad: su valor está entre 0 y 1. p es lo que seconoce como la probabilidad neutral al riesgo. Suponga que los agentesson neutrales al riesgo, tal que la probabilidad asignada a u · S es p.En ese caso, el precio de la opción es simplemente el valor esperadodescontado de los flujos al vencimiento:

C =1

R[pCu + (1− p)Cd] (13.22)

=1

RE (CT ) (13.23)

Es importante que no confunda probabilidades neutrales al riesgo conprobabilidades efectivas. Las probabilidades efectivas no importan parala valorización de opciones. ¿Por qué? Porque todo lo que se necesitaconocer acerca de los escenarios futuros de ST está capturado en elprecio actual de S. Por tanto, si usted quisiera valorizar una opción sinconocer el precio actual de S, entonces recién sería necesario volver apensar en betas, premio por riesgo, probabilidades efectivas, etc. Si seconoce el precio actual de S, el resto es sólo un argumento de arbitraje.

13.11 Método de Arboles Binomiales: 2 perío-dos al vencimiento

Suponga que el precio del activo subyacente puede subir o bajar (u, d) en cadaperíodo. Defina Cu,u, Cu,d y Cd,d como los pagos de la call al vencimiento deacuerdo al siguiente esquema:

13.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES 143

Igual que en la sección pasada, la opción debe valorizarse desde el vencimientohacia atrás.

Cu =1

R[pCu,u + (1− p)Cu,d] (13.24)

Cd =1

R[pCu,d + (1− p)Cd,d] (13.25)

C =1

R[pCu + (1− p)Cd] (13.26)

Sustituyendo el valor de Cu y Cd en C, obtenemos:

C =1

R2£p2Cu,u + 2p (1− p)Cu,d + (1− p)2Cdd

¤(13.27)

Hechos interesantes acerca de esta última fórmula:

1. El precio de la opción sólo depende de los siguientes factores: el precioS, el precio de ejercicio K, la volatilidad (u, d) , la tasa de interés R yel número de períodos al vencimiento.

2. Esta es una forma práctica y realista de valorizar opciones. Si las prob-abilidad de u crece en un 1/6 y la de d cae en un 1/6, las probabilidadesal vencimiento subieron 1/8 (Cu,u), no cambiaron (Cu,d) o se redujeronen un 1/8 (Cd,d). Aún más, con muchos más períodos, puede pasarcualquier cosa con el precio.

13.12 La Formula de Black y Scholes

Suponga que se incrementan los períodos al vencimiento en el modelo bi-nomial. Más aún, suponga que estos periodos son muy cortos (en el límiteconvergen a cero). Cuando se toma computa el límite de tal modelo emergeuna famosa fórmula, la de Black y Scholes:

C = S ·N (d1)−K · e−rT ·N (d2) (13.28)


donde

d1 ≡ln¡SK

¢+³r + σ2

2

´T

σ√T

(13.29)

d2 ≡ d1 − σ√T (13.30)

N (x) = área debajo de la distribución Normal hasta el punto x

r = tasa de interés continuamente compuesta

σ = desviación estándar de los retornos del activo subyacente

Esta fórmula se determina de igual forma que la fórmula binomial y tieneimportantes implicancias:

1. Si el precio del activo subyacente está muy por encima del precio deejercicio, S À K, N (∞) = 1 tal que C → S −Ke−rT .

2. Si el precio del activo subyacente está muy por debajo del precio deejercicio, S ¿ K, N (−∞) = 0 tal que C → 0.

3. El precio de la opción es una función determinística del precio actualde la acción (S). Los parámetros de esta función son: r, T, σ,K.

4. La volatilidad del activo subyacente (σ) no es observable. Esta es unavolatilidad condicional: la volatilidad que los agentes piensan que elactivo debiera tener (en el modelo binomial, esta volatilidad está dadapor la diferencia entre u y d). De esta forma, la volatilidad implícitaes el σ que satisface la fórmula de Black y Scholes para los precios demercado de la opción. Por esta razón, muchas veces resulta estándar enel mercado referirse al valor de una opción por su volatilidad implícitay no por su precio efectivo.

5. Intuición de Black y Scholes. Por simple inspección, la fórmula de Blacky Scholes se descompone en 2 partes:

• SN (d1), el valor presente de la acción multiplicado por la proba-bilidad de que este precio sea igual al precio de ejercicio.

• −Ke−rTN (d2), el valor presente del precio de ejercicio multipli-cado por la probabilidad de ejercer la opción. De nuevo, estas

13.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES 145

probabilidades son neutrales al riesgo y son distintas a las prob-abilidades efectivas. Por lo tanto, al igual que con la fórmula bi-nomial, Black y Scholes puede ser interpretada como una fórmulaneutral al riesgo.

6. La razon de cobertura H es la pendiente del precio de la opción. Porlo tanto, es la derivada de la formula de Black y Scholes.

H =∂C

∂S= N (d1) (13.31)

Es interesante hacer notar el siguiente hecho, esta pendiente sólo cam-bia con el precio del activo y con el horizonte de tiempo. La razónde cobertura es particularmente importante en el siguiente caso real:suponga que por alguna razón usted debe mantener un gran stock deacciones, la razón de cobertura le dice cuantas opciones debe mantenerpara eliminar el riesgo del activo subyacente (las acciones) a un períodoplazo (no al vencimiento, ya que en ese caso basta con cubrir una accióncon una opción).

Chapter 14

Finanzas Corporativas (1):Estructura de Capital

Por estructura de capital se entiende la composición de pasivos y patrimoniode una empresa (i.e. cuánto capital y cuánta deuda tiene una empresa).¿Por qué nos importa la estructura de capital? Por dos razones, (1) para

entender porque existen personas, empresas y países más endeudados queotros y (2) para descubrir si es que existe valor agregado asociado a unaestructura de capital por sobre otras (en otras palabras, conviene financiarsevía capital o vía deuda).Previo a Modigliani y Miller (1958) se solía pensar la estructura de capital

como la solución al siguiente par de problemas:

1. Un problema de clientelas, algunos inversionistas (preferentes al riesgo)prefieren acciones y están dispuestos a pagar más por ellos, por lo tantohay que proveer acciones para ellos, por su parte otros inversionistas(aversos al riesgo) prefieren bonos y están dispuestos a pagar más porellos.

2. Un problema de minimización del costo de capital promedio ponderadode las empresas: CCPP = rD · D

D+P+rP · P

D+P. El costo de la deuda es

menor al de las acciones, rD < rP , tal que el incrementar DD+P

reduceel CCPP , no obstante en algún punto la deuda empieza a ser riesgosay CCPP comienza a crecer. La estructura de capital óptima sería laque resuelve el problema de minimización de CCPP .

147

148CHAPTER 14 FINANZASCORPORATIVAS (1): ESTRUCTURADECAPIT

El teorema de Modigliani y Miller (1958) vino a revolucionar las finan-zas corporativas al demostrar la falacia de ambos argumentos. El punto deModigliani y Miller (M&M) es que las firmas son tomadoras de precios en elmercado financiero y que el CCPP = E(X)

Ves una función de los flujos de

caja esperado (X) y del valor de la empresa (V ). rD y rP son funciones deCCPP y de la estructura de capital, por lo tanto el argumento 2 resulta seruna tautología.

14.1 La Irrelevancia de la Estructura de Cap-ital: El Teorema de Modigliani y Miller

14.1.1 Alguna Notación

• Di es el valor de mercado de la deuda emitida por la firma i.

• Pi es el valor de mercado del patrimonio emitido por la firma i.

• Vi es el valor total de la firma i. Vi = Di + Pi.

• Xi es el flujo de caja opereacional (antes de impuestos y pago de in-tereses) asociado a los activos productivos de la firma i.

• La tasa de retorno exigida a firmas en categoria de riesgo k es ρk. Estatasa de retorno es también el costo de capital promedio ponderado.

• La deuda no tiene riesgo y paga una tasa de retorno de rD. La tasa deretorno exigida al patrimonio es rP .

14.1.2 Supuestos de Modigliani y Miller

• No existen Impuestos.• No existe quiebra ni costos de transaccion.• Los flujos de caja operacionales son flujos fijos y exógenos al modelo.• Toda la información es simétrica, conocida por todas las partes.• No existen oportunidades de arbitraje.• Los mercados son completos.

14.1 LA IRRELEVANCIADE LAESTRUCTURADECAPITAL: EL TEOREMADEMO

14.1.3 Proposicion I de Modigliani y Miller

Definition 41 PROPOSICION I DEMODIGLIANI-MILLER. Bajo los supuestosde Modigliani y Miller, la estructura de capital es completamente irrelevantey el valor de una empresa se encuentra determinado por el valor descontadode sus flujos operacionales, Vi = Xi

ρk.

Proof. La prueba original de Modigliani y Miller. Asuma que existen dosfirmas 1 y 2 en la misma categoría de riesgo con mismos flujos operacionalesX.La firma 1 no tiene deuda, mientras que la firma 2 sí la tiene.El valor de las firmas 1 y 2 es V1 y V2. Asuma que V1 > V2.Considere un inversionista que es dueño de una proporción α del patri-

monio de la firma 1.El valor de esa inversión es αV1. Los flujos de caja de este portafolio son

αX.Usted puede vender esa inversión y comprar un portafolio de αP2 V1V2 ac-

ciones y αD2V1V2bonos emitidas por la firma 2. Los flujos de caja de este

portafolio son

αV1V2(X − rDD2) + α

V1V2rDD2 = αX (14.1)

Ambos portafolios cuestan lo mismo tal que

αV1V2

X = αX (14.2)

Lo cual es cierto si y sólo si V1 = V2.Queda para Ud. la segunda parte de la prueba en la cual forma un

portafolio de acciones de la firma 1 y deuda libre de riesgo con una inversiónen acciones de la firma 2.La intuición de la proposición I de M&M es muy simple: si los flujos

de caja están fijos, la forma en que divida el valor de los activos (deuda ycapital) es absolutamente irrelevante para el valor de los activos.¿Cuán importante son los supuestos de M&M para el resultado final?

• Patrimonio Riesgoso Vs. Deuda Libre de Riesgo. NO RELEVANTE.M&Mpuede ser demostrado para cualquier activo que sea función de losflujos operacionales, por ejemplo para deuda riesgosa tal que D (X) =min (V C,X), donde V C es el valor de carátula de la deuda.


• La existencia de firmas gemelas. NO RELEVANTE. Lo importante esque los mercados sean efectivamente completos, es decir que todos losriesgos relevantes sean transables a un precio correcto en el mercadofinanciero.

• LO RELEVANTE. El valor X de los flujos operacionales debe ser in-dependiente del tamaño de la deuda de la empresa.

14.1.4 Proposicion II de Modigliani y Miller

Una consecuencia directa de la proposición I de M&M es que es posible en-contrar una relación lineal entre el retorno exigido al patrimonio y la relacióndeuda sobre capital.

Definition 42 PROPOSICION II DE MODIGLIANI Y MILLER. El re-torno exigido al patrimonio es una función lineal de la estructura de capital:

rP = ρk + (ρk − rD)× Di

Pi(14.3)

Proof. El retorno del patrimonio es

rP =Xk − rDDi

Pi(14.4)

De acuerdo a M&M I, tenemos que

Vi =Xk

ρk(14.5)

Xk = ρkVi = ρk (Di + Pi) (14.6)

Reemplazando la ecuación (14.6) en la ecuación (14.4) se obtiene larelación (14.3).

14.1.5 La importancia de Modigliani y Miller

La relevancia deM&Mno está en que sea una buena descripción de la realidad(probablemente no lo sea porque muchos de sus supuestos no son ciertos),sino en que nos da gran intuición para entender como funcionan las cosas enla práctica. M&M nos dice que para que la estructura de capital importetiene que pasar alguna de las siguientes cosas:

14.2 IMPUESTOSALAS EMPRESASYESTRUCTURADECAPITAL151

1. Que la estructura de capital afecte el pago de impuestos u otro costode transacción.

2. Que la estructura de capital afecte los flujos de caja operacionales.

3. Que la estructura de capital afecte la completitud de mercados (i.e. quelas firmas no sean tomadoras de precios en los mercados financieros).

Nos concentraremos en 1 y 2.

14.2 Impuestos a las Empresas y Estructurade Capital

La intuición es que la estructura de capital es relevante porque la deuda ylas acciones tienen distinto tratamiento tributario (i.e. distintas tasas deimpuestos).

14.2.1 Beneficio Tributario de la Deuda

A nivel de las empresas, el pago de intereses se deduce de la base tributariasobre la cual se paga el impuesto a las utilidades. Esto no ocurre para el casodel pago de dividendos y utilidades retenidas.Definiendo τ e como la tasa de impuestos a las empresas, tenemos que el

flujo de caja y valor de la firma se representan por

FCi = (1− τ e) (Xk − rDD) + rDD (14.7)

Vi =(1− τ e)Xk

ρk| z valor firma sin deuda

+ τ eD|zbeneficio tributario de la deuda

(14.8)

El valor de una firma con deuda es igual al valor de una firma equivalentesin deuda más el beneficio tributario de la deuda que es creciente con el nivelde deuda D. La estructura de capital no es irrelevante, al contrario convienetener mucha deuda para aprovechar el beneficio tributario de la deuda.


14.3 Impuestos Personales y Estructura deCapital

Existe un famoso trabajo de Miller (1977) que demuestra que bajo el supuestode tasas progresivas de impuestos personales es posible concebir una multi-tud de estructuras óptimas de capital. El modelo de Miller con impuestospersonales funciona de la siguiente forma:

• τ e es la tasa de impuestos a las empresas.

• τ pD es la tasa de impuestos personales a los ingresos por intereses debonos.

• τ pP es la tasa de impuestos personales a los ingresos por pago de divi-dendos y ganancias de capital accionarias.

• Cada período los flujos de caja después de impuestos para los inver-sionistas son

(1− τ pP ) (1− τ e) (X − rDD) + (1− τ pD) rDD (14.9)

Asumiendo que tanto X como rDD son perpetuidades, entonces ten-emos que el valor presente flujo de caja recibido por los inversion-istas es (ojo: la tasa de descuento para la perpetuidad de la deudaes rD (1− τ pD)):

V P (Firma) = V P (Firma sin Deuda) +·1− (1− τ pP ) (1− τ e)

(1− τ pD)

¸| z

T

D

(14.10)

• Note que si τ pP = τ pD, la ecuacion (14.10) se transforma trivialmente enla ecuación (14.8).

• El beneficio tributario de la deuda a nivel de las personas puede serincluso negativo.

• La estructura de capital óptima a nivel agregada se encuentra determi-nada por el inversionista marginal para el cual en el margen es ciertoque τ pP = τ e. ¿Cuál es la intuición de esto último?

14.3 IMPUESTOSPERSONALESYESTRUCTURADECAPITAL153

— Si τ pP < τ e, las empresas emitirían deuda hasta el punto en que losinversionistas en el rango alto del impuesto progresivo absorbantodos estos bonos, pagando más impuestos y se igualen ambastasas marginales τ pP = τ e.

— Un poco más formalmente asuma que los inversionistas exigen unatasa de retorno sobre los bonos de r0 después de impuestos. Porsimplicidad tambien asumiré que τ pP = 0.

— Demanda por Bonos:

∗ Si rD < r0, nadie demanda bonos.∗ Si rD = r0, las personas exentas de impuestos (o en un tramobajo del impuesto progresivo) comenzarán a demandar bonos.∗ En la medida que se incrementa rD inversionistas de tramosmás altos de impuesto progresivo empiezan a demandar bonos.Un inversionista individual estará dispuesto a demandar bonosen la medida que rD ≥ r0

(1−τpD,i).

— Oferta de Bonos: Las firmas toman rD como una tasa de interésdada.

∗ Si rD (1− τ e) > r0, las empresas no emitirían deuda.∗ Si rD (1− τ e) < r0, las empresas no emitirían acciones.∗ Si rD (1− τ e) = r0, las empresas se encuentran indiferentesentre emitir deuda o acciones.∗ Por lo tanto, la oferta de bonos sería perfectamente elástica ala tasa rD = r0

(1−τe) .

— El equilibrio de Miller (1977). Para el inversionista marginal (m),la demanda agregada se iguala con la oferta agregada de bonos:

r0¡1− τ pD,m

¢ = r0(1− τ e)

(14.11)

τ pD,m = τ e (14.12)

— Por lo tanto, en el equilibrio de Miller existe una estructura decapital óptima a nivel agregado. Esa estructura de capital es la quehace que el inversionista marginal esté indiferente entre demandaro no más bonos: rD = r0

(1−τpD,m).


Cantidad de Bonos

rd

r0

r0/(1-te)

B*

Aqui demandan bonos aquellos individuos con bajas tasas de impuestos

Aqui empiezan a demandar (ademas) bonos individuos con tasas de impuestos mas altas

Demanda Agregada de Bonos

Oferta Agregada de Bonos

Aqui se acumula demanda hasta el inversionista marginal (m)

• — Sin embargo, note lo siguiente en la medida que el equilibrio deMiller se sastisface con τ pD,m = τ e, entonces debe ser cierto que

T =

1−

1− lo asumimos cero aunque esto no es relevantez|τ pP

(1− τ e)

(1− τ pD)

= 0

(14.13)A nivel de las empresas individuales, la estructura de capital to-davía sigue siendo irrelevante.

— LACONCLUSIONDELMODELODEMILLERCON IMPUESTOSPERSONALES ES QUE LA EXISTENCIA DE IMPUESTOSPERSONALES PROGRESIVOS HACE RELEVANTE LA ES-TRUCTURADE CAPITAL A NIVEL AGREGADO, PERO TO-DAVIA CONTINUA SIENDO IRRELEVANTE PARA LAS EM-PRESAS INDIVIDUALES QUE EN EQUILIBRIO NO TIENENBENEFICIOTRIBUTARIOALGUNOPOREMITIRMASDEUDA.

14.3 IMPUESTOSPERSONALESYESTRUCTURADECAPITAL155

14.3.1 Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Im-puestos Personales

El modelo de Miller (1977) tiene importantes conclusiones acerca de la es-tructura de capital cuando existe una estructura de impuestos más compleja(y, por lo tanto, más realista). La clave detrás del modelo de Miller (1977)es el asumir una estructura de impuestos personales progresivos para el de-vengo de los bonos y el reparto de utilidades. La existencia de impuestospersonales progresivos puede ser la causa de la existencia de una estructurade capital óptima para cada empresa, industria o país. En esta pequeñanota se pretende ponerle números concretos a esta idea. El supuesto clavees la existencia de impuestos progresivos sobre el pago de la deuda o sobrelas utilidades devengadas. El modelo de Miller (1977) es consistente con laexistencia de impuestos personales progresivos sobre cualquiera sea el caso:pago de deuda, devengo de utilidades o ambos al mismo tiempo. Para efectossimplificatorios, en estas notas veremos cada caso individualmente.

Ejemplo 1: Impuestos Progresivos sobre el Devengo de la Deuda

Suponga una empresa con valor económico por V = 60, dividido en deuda(D = 10) y acciones (S = 50) . La tasa de impuestos a las utilidades (τ e) esdel 15%, la tasa de impuestos a las utilidades devengadas (τ pP ) es del 20% yla tasa de impuestos al devengo de la deuda es una tasa progresiva (τ pD) de10% si el ingreso de la deuda (rDD) es menor a 1,5 y del 32% si el ingresode la deuda es superior a 1,5. La tasa de interés es rD = 10%.¿Cuál es el beneficio tributario de la deuda?

T ·D =

·(1− τ pD)− (1− τ e) (1− τ pP )

(1− τ pD)

¸D (14.14)

Dado que el ingreso de la deuda es r×D = 10%×10 = 1 < 1, 5, entoncesτ pD = 10%, tal que:

T ·D =

·(1− 10%)− (1− 15%) (1− 20%)

(1− 10%)¸· 10 (14.15)

T ·D = 2, 44 (14.16)

¿Cuánto vale la compañía sin deuda?


VL = VU + T ·D (14.17)

60 = VU + 2, 44⇐⇒ VU = 57, 56 (14.18)

No obstante, el beneficio tributario se incrementaría de aumentar la deuda.Dado T = 0, 244, el beneficio tributario de la deuda se incrementa hasta 3,66si la deuda sube hasta D = 15.Sin embargo, en ese punto el ingreso de la deuda pasa a ser r × D =

10%× 15 = 1, 5, entonces τ pD = 32%, tal que:

T ·D =

·(1− 32%)− (1− 15%) (1− 20%)

(1− 32%)¸· 15 (14.19)

T ·D = 0 (14.20)

Se concluye que en equilibrio, T = 0 y la estructura de capital óptima es

D

P=

15

42, 56= 35, 2% (14.21)

Ejemplo 2: Impuestos Progresivos sobre el Devengo de Utilidades

Suponga una empresa con valor económico por V = 60, dividido en deuda(D = 10) y acciones (S = 50). La tasa de impuestos a las utilidades (τ e)es del 15%, la tasa de impuestos al devengo de la deuda es (τ pD) de 40% yla tasa de impuestos personales a las utilidades devengadas (τ pP ) es una tasaprogresiva de 10% si las utilidades devengadas por el accionista son menoresa 1,5 y 29,5% si las utilidades devengadas por el accionista son superiores a1,5. La tasa de interés es rD = 10% y el flujo de caja operacional es unaperpetuidad de X = 2, 5.¿Cuál es el beneficio tributario de la deuda?

T ·D =

·(1− τ pD)− (1− τ e) (1− τ pP )

(1− τ pD)

¸D (14.22)

Dado que el ingreso al accionista es (1−τ e)(X−rDD) = 0, 85×(2, 5−1) =1, 275 < 1, 5, entonces τ pP = 10%, tal que:

14.4 LADEUDACOMOFUENTEDEDESTRUCCIÓNDEVALOR157

T ·D =

·(1− 40%)− (1− 15%) (1− 10%)

(1− 40%)¸· 10 (14.23)

T ·D = −1, 65 (14.24)

¿Cuánto vale la compañía sin deuda?

VL = VU + T ·D (14.25)

60 = VU − 1, 65⇐⇒ VU = 61, 65 (14.26)

No obstante, el beneficio tributario se incrementaría de reducir la deuda.Dado T = −0, 165, el beneficio tributario (negativo) de la deuda se reduce

hasta -1,21 si la deuda cae hasta D = 7, 35.Sin embargo, en ese punto el ingreso devengado al accionista pasa a ser

(1− τ e)× (X − rDD) = 0, 85× (2, 5− 0, 735) = 1, 5, entonces τ pP = 29, 5%,tal que:

T ·D =

·(1− 40%)− (1− 15%) (1− 29, 5%)

(1− 40%)¸· 7, 35 (14.27)

T ·D = 0 (14.28)

Se concluye que en equilibrio, T = 0 y la estructura de capital óptima es

D

P=7, 35

54, 3= 13, 54% (14.29)

14.4 La Deuda Como Fuente de Destrucciónde Valor

Uno de los supuestos fundamentales de Modigliani y Miller es que la estruc-tura de capital no afecta los flujos de caja operacionales. Estos son fijos yexógenos al modelo. Esto, en la práctica, puede ser un supuesto poco realista.¿Por qué? Defina quiebra como la circunstancia en la cual una firma no escapaz de cubrir los costos financieros de su deuda con sus flujos operacionales.

X < rDD⇐⇒ quiebra (14.30)


La quiebra es un concepto importante porque: (1) implica costos reales(ejemplo, remunerar al síndico de quiebra) y (2) implica el concepto de re-sponsabilidad limitada de los accionistas: los accionistas no responden conpatrimonio propio si es que la firma quiebra. En otras palabras, si los ac-cionistas no son capaces de pagar la deuda financiera, éstos no cubren ladiferencia entre X y rDD sino que entregan la firma a los acreedores.Tanto (1) como (2) violan el supuesto de M&M de que la estructura de

capital no afecta los flujos operacionales. ¿Por qué? Porque la probabilidadde quiebra crece con el tamaño de la deuda. Con mucha deuda es masprobable irse a la quiebra y tener que afrontar costos reales de quiebra otener que entregar la empresa por un valor menor a la deuda comprometida.Ejemplificaremos tales ideas a traves del siguiente par de ejemplos númeri-

cos.

14.4.1 Existencia de Costos Reales por Problemas Fi-nancieros

Suponga que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual sedivide en D = 50 de deuda y S = 10 de acciones. Mañana puede ocurrircualquiera de los siguientes dos estados de la naturaleza:

• Estado 1: V = 100 con probabilidad 0,5.• Estado 2: V = 20 con probabilidad 0,5.Si la empresa no es capaz de cumplir con el valor total de la deuda con-

traída, esta deberá declararse en quiebra, para lo cual deberá incurrir en uncosto de quiebra equivalente al 10% del valor de V en caso de quiebra.Asuma por simplicidad que la tasa de interés es cero.¿Cuánto vale esta compañía con esa estructura de capital?En el estado 1, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe

incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado1) = 100En el estado 2, V < D, de tal forma que existe quiebra y debe incurrirse

en el costo de quiebra. V (Estado2) = 20− 10%× 20 = 0, 9× 20 = 18De tal forma que el valor económico de esta compañía es:V E = 100× 0, 5 + 18× 0, 5 = 59Suponga ahora que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el

cual se divide en D = 10 de deuda y S = 50 de acciones. El resto de lossupuestos es el mismo que antes.


¿Cuánto vale esta compañía con esa nueva estructura de capital?En el estado 1, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe

incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado1) = 100En el estado 2, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe

incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado2) = 20De tal forma que el valor económico de esta compañía es:V E = 100× 0, 5 + 20× 0, 5 = 60Resulta obvio que en este ejemplo en el que existe un costo de quiebra, la

estructura de capital importa. En particular, la probabilidad de que en algúnestado de la naturaleza haya que incurrir en un costo de quiebra destruyeparte del valor de la empresa. En este sentido, la estructura de capital ya noes irrelevante para el valor de una compañía.

14.4.2 Problemas de Agencia: La Deuda Como Incen-tivo a Elegir Malos Proyectos

En economía se entiende un problema de agencia como un problema en el cualdos agentes económicos tienen distintos objetivos para el mismo instrumentoeconómico. En nuestro caso particular, accionistas y acreedores tendrándistintas estructuras de capital óptimas (para la misma firma) que maximizanel valor de su riqueza.Asuma como antes que el valor contable de una compañía es hoy V = 60,

el cual se divide en D = 50 de deuda y S = 10 de acciones. Mañana puedeocurrir cualquiera de los siguientes dos estados de la naturaleza:

• Estado 1: V = 100 con probabilidad 0,5.• Estado 2: V = 20 con probabilidad 0,5.

No existen costos de quiebra y la tasa de interés es cero.Asuma también que existe un segundo proyecto con inversión inicial por

10 y que paga 18 en el estado 1 y 0 en el estado 2.El valor presente neto de este proyecto es: V PN = 0, 5 × 18 − 10 =

9− 10 = −1. Por lo tanto, la empresa no debería invertir en tal proyecto yaque destruye valor.Suponga que la empresa cuenta entre sus activos con 10 de caja.¿Cuál es el valor de esta compañía si decide utilizar caja para invertir en

el proyecto?


• Estado 1:V = 100 + 18− 10 = 108, D = 50, S = 58

• Estado 2:V = 20 + 0− 10 = 10, D = 10, S = 0

A valor presente hoy, esto implica que:

V = 0, 5× 108 + 0, 5× 10 = 59 < 60, el valor de la empresa de redujoen 1.

D = 0, 5× 50 + 0, 5× 10 = 30 < 0, 5× 50 + 0, 5× 20 = 35, el valor dela deuda se redujo en 5.

S = 58 × 0, 5 = 29 > 50 × 0, 5 = 25, el valor de las acciones seincrementó en 4.

Lo relevante aquí es que al dueño de las acciones le conviene que la em-presa invierta en un proyecto que destruye valor. ¿Por qué? Porque losdueños de la deuda le están haciendo una transferencia de riqueza superioral V PN < 0 del proyecto.Suponga ahora que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el

cual se divide en D = 10 de deuda y S = 50 de acciones. Suponga que laempresa cuenta entre sus activos con 10 de caja. El resto de los supuestossobre el proyecto son exactamente los mismos que antes.¿Cuál es el valor de esta compañía si decide utilizar caja para invertir en

el proyecto?

• Estado 1:V = 100 + 18− 10 = 108, D = 10, S = 98

• Estado 2:V = 20 + 0− 10 = 10, D = 10, S = 0

A valor presente hoy, esto implica que:

V = 0, 5× 108 + 0, 5× 10 = 59 < 60, el valor de la empresa de redujoen 1.

D = 0, 5 × 10 + 0, 5 × 10 = 10, el valor de la deuda no cambia si seinvierte en el proyecto.

S = 98× 0, 5 = 49 < 90× 0, 5 + 10× 0, 5 = 50, el valor de las accionesse redujo en 1.


Lo relevante aquí es que, con una estructura de capital con menos deuda,al dueño de las acciones ya no le conviene que la empresa invierta en unproyecto que destruye valor. ¿Por qué? Porque ya no existe una transferenciade riqueza superior desde la deuda al capital.GRAN CONCLUSIÓN: A MAYOR RELACIÓN DEUDA SOBRE CAP-

ITAL, SE INCREMENTA LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA UNATRANSFERENCIADERIQUEZADESDETENEDORESDEDEUDAHA-CIA LOS ACCIONISTAS. EN EMPRESAS MUY ENDEUDADAS CON-VIENE INVERTIR EN PROYECTOS MÁS RIESGOSOS (AUNQUE DE-STRUYAN VALOR) PARA AUMENTAR LA PROBABILIDAD DE EX-PROPIAR A LOS TENEDORES DE BONOS.

Analogía con las Opciones Financieras

El argumento previo tiene una analogía perfecta con las opciones financieras.El valor de las acciones es como una opción de compra:

S = max(V −D, 0) (14.31)

Mientras que la deuda es como el valor de un activo libre de riesgo más laventa de una opción de venta con precio de ejercicio igual al valor de carátula(V C) de la deuda:

D = V C −max(V C − V, 0) (14.32)

Como ya vimos durante el transcurso de este curso, el valor de una opciónse incrementa con la volatilidad del activo subyacente (en este caso, V ).De esta forma, se concluye que en presencia de deuda el valor de las

acciones se incrementa al invertir en proyectos más riesgosos, mientras queel valor de la deuda cae al invertir en proyectos más riesgosos.

Chapter 15

Finanzas Corporativas (2):Política de Dividendos

15.1 La Irrelevancia de la Política de Divi-dendos: Modigliani-Miller

Supuestos:

• No existen impuestos.• No existen costos de transacción.

• La información es común a todas las partes.• La política de dividendos es independiente de las decisiones de inver-sión.

• No existen problemas de agencia.

El Concepto de M-M:

• $100 en el bolsillo izquierdo es lo mismo que $20 en el bolsillo derechoy $80 en el izquierdo.

• Ningún inversionista pagará por algo (efectivo vía dividendos) que sepuede crear sin costos (vender acciones).

163

164CHAPTER 15 FINANZASCORPORATIVAS (2): POLíTICADEDIVIDENDO

• El retorno del capital es una función del riesgo operacional y el riesgofinanciero (leverage), y ambos son independientes del pago de dividen-dos.

• Implicancia Directa: LA POLITICADE DIVIDENDOS ES COMPLE-TAMENTE IRRELEVANTE.

• Incrementar o reducir el pago de dividendos no puede afectar la riquezade los accionistas, en la medida que las deciones de inversión no se venafectadas por la política de dividendos.

• La política de dividendos es un "tradeoff" entre retener utilidades parafuturas inversiones (no hay pago de dividendos) versus emitir nuevasacciones para pagar dividendos y todavía tener el dinero necesario parainvertir.

Usos de Fundos = Fuentes de Fondos (15.1)

Dividendos+Gasto Inversión = Flujo Operacional+Financiamiento Externo(15.2)

• Si Gasto Inversión=Flujo Operacional, la firma no podrá repartir div-idendos sin la ayuda de financiamiento externo (nueva emisión).

• En el caso de que la firma decidiera emitir nuevas acciones y utilizaresos fondos para pagar dividendos, tanto el valor de la firma como lariqueza de los accionistas serían exactamente los mismos que si nuncase hubieran emitido nuevas acciones.

• En lo fundamental, nada cambia. Los flujos y el riesgo operacionalson los mismos, por lo tanto el valor de las acciones no puede habercambiado.

• No obstante, todo el análisis anterior se basa en 3 supuestos fundamen-tales:

1. No existen tasas de impuestos personales distintas para los ingre-sos por repartos de dividendos y por las ganancias de capital.

15.2 LOS INVERSIONISTASTIENENPREFERENCIAPORFIRMASQUEPAGANDIV

2. Si las firmas deciden emitir pagar dividendos superiores a sus exce-sos de caja, la emisión de nuevas acciones para cubrir esta necesi-dad de caja no tiene ni costos reales ni tampoco envía señales almercado acerca de las perspectivas de flujos operacionales futuros.

3. Si las firmas deciden emitir para pagar dividendos inferiores a susexcesos de caja, esta caja no será utilizada en financiar proyectoscon VPN<0.

15.2 Los Inversionistas Tienen Preferencia porFirmas que Pagan Dividendos

• De alguna forma, este nuevo supuesto viola el supuesto 3 en la sec-ción pasada. Los inversionistas, al demandar acciones que pagan másdividendos, están dispuestos a sacrificar VPN positivo por pago de div-idendos.

• La idea es la siguiente:

RS =D1 + P1

P0(15.3)

=D1

Po+ gg (15.4)

• Al aumentar el pago de dividendos, se incrementa D1

Po, y de acuerdo

a M-M esto debería ser compensado por una caída equivalente en gg.No obstante, como los inversionistas tienen preferencias por accionescon mayor pago de dividendos, |∆gg| >

¯∆³D1

Po

´¯, tal que el retorno

exigido a las acciones (en neto) se reduce.

• La conclusión general es que es bueno pagar dividendos porque reduceel riesgo asociado al pago de dividendos en relación al riesgo de lasganancias de capital.

• El corolario es que (todo lo demás constante), las empresas con mayorpago de dividendo deberían valer más que sus pares con menor pagode dividendos.


15.3 La Desventaja Tributaria de los Divi-dendos

¿Cuál es la idea?

• Como la tasa de impuestos personales sobre el pago de dividendos essuperior a la tasa de impuestos personales sobre las ganancias de cap-ital (porque estos impuestos pueden ser diferidos), los inversionistascastigarán a aquellas acciones que pagan muchos dividendos.

• El corolario es que (todo lo demás constante), las empresas con mayorpago de dividendo deberían valer menos que sus pares con menor pagode dividendos, i.e. el reparto de dividendos destruye valor.

15.3.1 El Modelo de Elton y Gruber

La proposición III de M-M implica que la política de dividendos es irrelevantepara el valor de la empresa y para la riqueza del accionista. Una implicanciadirecta de lo anterior es que al momento exacto de repartir dividendos, elprecio de la accion debería caer exactamente en el mismomonto que el repartode dividendo por acción. La evidencia empírica indica que eso, en general,no es así. El modelo de Elton y Gruber (1980) intenta explicar tal hecho enel contexto de economías con impuestos a las personas.DefinaPa = precio en el instante antes del anuncio de dividendosPd = precio en el instante posterior al anuncio de dividendosD = dividendo declaradot = tasa de impuesto a la rentatgg = tasa impuesto a las ganancias de capitalLos flujos de caja por vender la acción antes del anuncio de dividendos

sonPa − (Pa − P ) tgg (15.5)

Mientras que los flujos de caja por vender la acción después del anunciode dividendos son:

Pd − (Pd − P ) tgg +D (1− t) (15.6)

En la medida que el inversionista marginal debiera estar indiferente entrevender antes o después del anuncio de dividendos, entonces

Pa − (Pa − P ) tgg = Pd − (Pd − P ) tgg +D (1− t) (15.7)

15.4 LA EXISTENCIA DE COSTOS DE TRANSACCIÓN 167

Ordenando, lo anterior se convierte en:

Pa − Pd

D=

1− t

1− tgg(15.8)

Tal que

• si t = tgg, entonces Pa − Pd = D

• si t > tgg, entonces Pa − Pd < D

• si t < tgg, entonces Pa − Pd > D

15.4 La Existencia de Costos de Transacción

¿Cuál es la idea?

• Como acceder al mercado de capitales tiene costos reales de transacción,el recurrir en altos montos al mercado de capitales para pagar altosdividendos tiene altos costos reales que se traducen en menor valorpara la firma.

• El corolario es que (todo lo demás constante), existe un incentivo aevitar grandes pagos de dividendos ya que si la firma no cuenta concaja suficiente deberá recurrir al mercado de capitales pagando costosreales que destruyen el valor de la firma.

15.5 La Teoría de Clientelas

¿Cuál es la idea?

• Existen distintos tipos de inversionistas con distinto grado de aversiónal riesgo de liquidez y distintas tasas de impuestos personales.

• Los inversionistas con mayor grado de aversión al riesgo de liquidez de-mandarán acciones con mayor pago de dividendos, mientras que aque-llos con menor aversión al riesgo de liquidez demandarán las accionesque pagan menores dividendos.


• Los dividendos tienen una desventaja tributaria, por tanto su uso debeestar justificado por alguna clase de beneficios reales en su uso (porejemplo, las necesidades de liquidez).

• El corolario es que, incluso con grandes diferencias entre inversionistasen materia de aversión al riesgo de liquidez e impuestos personales, lapolítica de dividendos a nivel de la firma todavia puede ser irrelevantea pesar de que no lo sea a nivel de los inversionistas individuales.

• La clave es que el riesgo de liquidez es intuitivamente un riesgo com-pletamente diversificable.

15.6 La Teoría de Información de la Politicade Dividendos

¿Cuál es la idea?

• Para evitar futuras reducciones en el pago de dividendos, las firmasseleccionan bajos niveles de "dividend yield"

¡DP

¢y los incrementa si y

sólo si la administración se encuentra convencida que los flujos opera-cionales futuros serán capaces de pagar dividendos más altos.

• La conclusión es que los dividendos son una señal ruidosa de la asimetríade información superior que maneja la administración con respecto alos inversionistas externos.

• Caídas en dividendos reducen el valor de la firma, mientras que mayoresdividendos incrementan el valor de la empresa.

• Lo relevante es que esto no es una implicancia de los dividendos en sí,sino que por el contrario de la señal informativa que genera acerca delas perspectivas futuras de utilidades (que es lo que realmente importaen términos del valor actual de las firmas).

15.7 Existencia de Problemas de Agencia

• Un problema de agencia surge cuando distintos agentes económicostienen distintos objetivos para un mismo instrumento. En este caso,

15.8 CONCLUSIÓN 169

administración y accionistas tienen objetivos distintos para los rema-nentes de caja por sobre el gasto en inversión.

• Los costos reales de agencia son una función de la magnitud de losremanentes de caja operacional por sobre el gasto en inversión.

• Incrementos en dividendos reducen estos remanentes de caja, tal quereduce los costos de agencia y por tanto incrementa el valor de la firma.Por su parte, caídas en dividendos hace crecer los remanentes de cajatal que suben los costos de agencia y se reduce el valor de la firma.

• Alternativamente, los costos de agencia también se reducen cuando lasfirmas acuden con mayor frecuencia al mercado de capitales al inducirun monitoreo más exigente sobre la administracion. De esta forma,firmas que pagan dividendos más altos deben recurrir al mercado decapitales con nuevas emisiones de capital, tal que empresas con altastasas de pagos de dividendos tendrán menores costos de agencia.

• La conclusión de esto último es que los dividendos constituyen un muybuen mecanismo para reducir los costos de agencia y por lo tanto supago tiende a incrementar (todo lo demás constante) el valor de lafirma.

15.8 Conclusión

• Para comprender los efectos de la política de dividendos sobre el valorde las firmas es necesario entender los costos y beneficios asociados alpago de dividendos.

• Altos niveles de dividendos implican mayores pagos de impuestos (malo)y visitas muy frecuentes al mercado de capitales que generan mayorescostos de transacción (malo) pero que también reducen los costos deagencia (bueno).

• Cambios en dividendos proveen una señal al mercado de la mejor in-formación que maneja la administración acerca de las perspectivas deflujos operacionales futuros, tal que un mayor (menor) reparto de div-idendos incrementa (reduce) el valor de la empresa.

Apuntes de Clases Finanzas II

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