Apuntes de clase Tema 5 - Ozono Centro de Estudios · 1 TEMA 5 VARIABLE ALEATORIA 5.1 Concepto de...

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TEMA 5 VARIABLE ALEATORIA

5.1 Concepto de variable aleatoria. Función de distribución

En muchas ocasiones vamos a estar interesados en alguna característica medible ligada a un experimento

aleatorio, como el número de puntos que se obtienen al lanzar dos veces un dado con las caras numeradas

del uno al seis, o el peso de un paquete de un alimento precocinado elaborado mediante un determinado

proceso de fabricación, o el número de automóviles que llegan en un periodo de 10 minutos a una estación

de servicio, o el número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una moneda.

En todas estas situaciones los sucesos ligados a estas características se pueden representar mediante

conjuntos de números reales. El concepto de variable aleatoria permite estudiar estas situaciones y

desarrollar el modelo matemático de los experimentos aleatorios utilizando resultados de las funciones

numéricas.

5.1.1 Concepto de variable aleatoria

Consideramos un experimento aleatorio con espacio de probabilidad ,(Ω A, P ). Una variable aleatoria

asociada al experimento aleatorio es una función que a cada suceso elemental le hace corresponder un

número real y que permite definir un nuevo espacio de probabilidad cuyo espacio muestral es el conjunto de

los números reales, R, y mantiene la estructura de la probabilidad definida por P .

Para ello hay que considerar una familia de subconjuntos de R que representen los sucesos y que tenga la

misma estructura de A . Esta familia se llama campo de Borel, lo notamos por B, y tiene por elementos los

intervalos de números reales de todo tipo, los conjuntos formados por un número finito o infinito numerable

de números reales y las uniones e intersecciones de todos ellos.

Definición: Sea ,(Ω A, P ) el espacio de probabilidad de un experimento aleatorio. Una variable aleatoria

definida sobre este espacio de probabilidad es una función, que notamos X , que verifica:

( )∈Ω∈∀ ωω X R y ∈∀B B ( )∈− BX 1 A

La variable aleatoria permite trasladar la estructura de la probabilidad definida por P , porque se puede

definir una función, que notamos XP , que se demuestra que es una función de probabilidad y que se le

llama función de probabilidad inducida por la variable aleatoria X o distribución de probabilidad de X .

La forma de definir XP es: ∈∀B B ( ) ( )( )BXPBPX1−=

Podemos concluir que al definir una variable aleatoria X se obtiene un nuevo espacio de probabilidad cuyo

espacio muestral es el conjunto de los números reales, la familia de sucesos es el campo de Borel y la

función de probabilidad es XP .

2

( )CCC ,,

( )CCC ,,

( )CCC ,,

( )CCC ,,

( )CCC ,,

( )CCC ,,

( )CCC ,,

( )CCC ,,

0

R

1

2

3

Ω

Ejemplo 1: Se considera la variable aleatoria X : número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una

moneda.

Sea C el suceso “se obtiene cara al lanzar una moneda”, entonces el espacio muestral del experimento

aleatorio tiene ocho sucesos elementales, y en el gráfico vemos los valores que la variable aleatoria le hace

corresponder a cada suceso elemental. Obtenemos

5.1.2 Función de distribución de una variable aleatoria

Definición: Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad ,(Ω A, P ) y sea (R, B,

XP ) el espacio de probabilidad inducido por X .

Se considera la función: ( ]( ) xXPxPxF X ≤=∞−= ,)( ∈∀x R

Esta función, determinada por PX, se llama función de distribución de la variable aleatoria X .

Propiedades

Se pueden demostrar las siguientes propiedades: 1) F es una función monótona no decreciente, es decir, dados dos números reales 21 xyx se verifica

)()( 2121 xFxFxx ≤⇒<

2) F es continua por la derecha en todo punto, es decir, )()(lim 00

xFxFxx

=+→

∈∀ 0x R

3) F puede ser discontinua por la izquierda ya que se verifica para cualquier número real 0x ,

)(lim)(0

00 xFxFxXPxx −→

−==

( ) ( )( )8

1,,00 ==== CCCPXPPX

( ) ( ) ( ) ( )( )8

3,,,,,,11 ==== CCCCCCCCCPXPPX UU

( ) ( ) ( ) ( )( )8

3,,,,,,22 ==== CCCCCCCCCPXPPX UU

( ) ( )( )8

1,,33 ==== CCCPXPPX

](( )

( ) ( ) ( ) ( )( )2

1

8

4,,,,,,,,

11,

===

=≤=∞−

CCCCCCCCCCCCP

XPPX

UUU

](( )

( ) ( ) ( ) ( )( )2

1

8

4,,,,,,,,

313,1

===

=≤<=

CCCCCCCCCCCCP

XPPX

UUU

( )( ) 2

1

2

11111,1 =−=≤−=>=+∞ XPXPPX

4) 1)(lim =+∞→

xFx

; (lim−∞→

Fx

5) El conjunto de puntos de discontinuidad de

6) La función de distribución determina la distribución de probabilidad de

En efecto, ya que si se conoce la función

a. ∈∀a R (aFaXP =≤

b. ∈∀a R aXP ==

c. ∈∀ ba, R, si ba < aP

Esta igualdad se obtiene si consideramos que

bXPbXaP −≤=≤<

d. ∈∀ ba, R, si ba < aP

De forma análoga se puede determinar

Ejemplo 2: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria

;9,0)(43

0;0)(0

=<≤

<≤=<

xFx

xxFx

También podemos calcular probabilidades de otros sucesos, por ejemplo:

( ) 1;7,022 =>==≤ XPFXP


(40;0)(0 <≤=< xFxxFx

0)( =x

de discontinuidad de F es finito o infinito numerable.

6) La función de distribución determina la distribución de probabilidad de X

ya que si se conoce la función F se puede determinar:

)a (utilizamos la definición de F )

)(lim)( xFaFax −→

− (utilizamos la propiedad 3)

)()( aFbFbX −=≤< .

Esta igualdad se obtiene si consideramos que aPaXPbXP <+≤=≤

( ) ( )aFbFaXP −=≤−

XPbXaPaXPbX ==≤<+==≤≤

De forma análoga se puede determinar bXaPybXaP <≤<<

: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X cuya función de distribución es:

1)(4

2;4,0)(21;2,0)(1

=≥

<≤=<≤=<

xFx

xxFxxF

Esta función es continua excepto para

presenta discontinuidad por la izquierda.

Utilizando la propiedad 6b., deducimos que

2,00 ==XP

2,02,04,01 =−==XP

3,04,07,02 =−==XP

2,07,09,03 =−==XP 1,09,014 =−==XP

Para cualquier otro valor a, la probabilidad es igual a cero

También podemos calcular probabilidades de otros sucesos, por ejemplo:

( ) 1;6,04,011111 <=−=−=≤−= XPFXP


1)(4;4

) =≥= xFxx

x

3

bX ≤< , por tanto

)()( aFbFa −+=

cuya función de distribución es:

;7,0)(3 =< xF

Esta función es continua excepto para 4,3,2,1,0=x que

discontinuidad por la izquierda.

deducimos que

, la probabilidad es igual a cero

( ) ( ) 6,0144 =−=≤ FFX


( ) ( )

( ) ( ) 0114554

4

2

4

32332

=−=−=≤<

=−=−=≤<

FFXP

FFXP


)(0< xFx

( ) ( )

( ) ( ) 0114554

16

4

16

92332

=−=−=≤<

−=−=≤<

FFXP

FFXP


x <

Esta función es continua en todos los números reales.

Utilizando la propiedad 6b., deducimos que

∈∀a R lim)( −==−→

aFaXPax

Sin embargo

( ) ( )4

10110 =−=≤< FFXP

( ) ( )4

1

4

21221 −=−=≤< FFXP

( ) ( )

( ) ( )4

,1

4

5,25,15,25,25,1;0

4

1

4

313443;

4

1

−=−=≤<

=−=−=≤<

FFXP

FFXP


)(4;16

)(40;02

≥=<≤= xFxx

xFx


Utilizando la propiedad 6b. deducimos que

∈∀a R lim)( −==−→

aFaXPax

Sin embargo

( ) ( )16

10110 =−=≤< FFXP

( ) ( )1616

41221 −=−=≤< FFXP

( ) ( )

( ) ( ) 2

16

25,65,15,25,25,1;0

16

7

16

913443;

16

5

−=−=≤<

=−=−=≤<=

FFXP

FFXP


xexFxxF 5,11)(0;0)(0

−−=≥=


Utilizando la propiedad 6b. deducimos

∈∀a R lim)( −==−→

aFaXPax

Sin embargo

( ) ( ) 10110 −=−=≤< −eFFXP

( ) ( ) 9502,01221 =−=≤< FFXP

4


deducimos que

( ) ( ) 0)( =−=−

aFaFxF

4

1

4

1 =

4

1

4

5, =


1=


Utilizando la propiedad 6b. deducimos que

( ) ( ) 0)( =−= aFaFxF

16

3

16

1 =

4

1

16

4

16

25,2

16

7

==




( ) ( ) 0)( =−=−

aFaFxF

7769,05,1 =−

1733,07769,09502 =−

( ) ( ) ( ) ( ) 9994,04554

9889,02332

−=−=≤<

−=−=≤<

FFXP

FFXP


20;0)(0 <≤=< FxxFx

( ) ( )

( ) ( ) 0114554

4

2

4

32332

=−=−=≤<

=−=−=≤<

FFXP

FFXP

Ejercicio 1: La duración, en minutos, de las llamadas a móviles que realizan los empleados de la empresa EE,

es una variable aleatoria con función de distribución

0)( =xF

a) Determina razonadamente los valores

distribución.

b) Determina la probabilidad de que una llamada dure más de 10

c) ¿Cuánto tiempo duran como máximo

respuesta.

( ) ( ) ( ) ( )5665;0019,09889,0

3443;0387,09502,0

−=≤<=−

=−=≤<=−

FFXP

FFXP


(4;4

)(42;8

)( ≥=<≤= Fxx

xFxx

xF

Esta función es continua excepto para

discontinuidad por la izquierda.


4

2)(lim)2(2

2−=−==

−→xFFXP

x

( ) ( ) 08

10110 −=−=≤< FFXP

( ) ( )8

1

4

21221 −=−=≤< FFXP

( ) ( )

( ) ( )8

5,1

4

5,25,15,25,25,1;0

4

1

4

313443;

4

1

−=−=≤<

=−=−=≤<

FFXP

FFXP

En este gráfico se representa la función de distribución de

una variable aleatoria que puede tomar

real.

La duración, en minutos, de las llamadas a móviles que realizan los empleados de la empresa EE,

es una variable aleatoria con función de distribución

( )1)(;0 2'0 >−+=≤ − xenmxFx x

a) Determina razonadamente los valores de m y n utilizando las propiedades de la función de

de que una llamada dure más de 10 minutos.

¿Cuánto tiempo duran como máximo el 95% de las llamadas de menor

5

) 0004,0

0086,09889,09975,0

=

=−=


1)( =x

Esta función es continua excepto para 2=x que presenta


4

1

4

1

4

2

8

2 =−=−

8

10 =

8

3

8

1 =

8

5,3

8

5 =

En este gráfico se representa la función de distribución de

una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor

La duración, en minutos, de las llamadas a móviles que realizan los empleados de la empresa EE,

0>

utilizando las propiedades de la función de

95% de las llamadas de menor duración? Razona la

6

5.2 Distribuciones discretas y continuas

5.2.1 Distribuciones de probabilidad discretas

Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad ,(Ω A, P) y sea (R, B, PX) el

espacio de probabilidad inducido por X .

Se dice que X y su distribución de probabilidad son discretas o de tipo discreto si su función de

distribución es constante por intervalos.

Si KK iX xxxD 21,= es el conjunto de los puntos de discontinuidad de F entonces XD tiene un

número finito o infinito numerable de elementos (propiedad 5 de la función de distribución)

Si ix es un elemento de XD entonces 0)(lim)( ≠−==−→

xFxFxXPixx

ii (propiedad 3 de la función de

distribución) y si ii pxXP == entonces

1=== ∑∑i

ii

i pxXP

Al conjunto XD se le llama soporte de la variable aleatoria X ya que es el conjunto de valores que toma la

variable con probabilidad distinta de cero.

Además se demuestra que si B es un elemento del campo de Borel, entonces

Se puede definir una función, que notamos ( )xm , llamada función masa de probabilidad de la variable

aleatoria X como

Si el soporte de la variable aleatoria es finito, kiX xxxxD KK21 ,= ,los valores de la función masa de

probabilidad que son distintos de cero se suelen escribir en una tabla

X 1x 2x L ix L kx

( )xm 1p 2p L ip L kp 1

La función masa de probabilidad determina la distribución de probabilidad de X ya que, conocida ( )xm

se puede determinar la función de distribución y la probabilidad de cualquier suceso, utilizando la

igualdad (1).

∑∈

==∈Xi DBx

ixXPBXPI (1)

X

Xiii

Dxsixm

DxxsipxXPxm

∈=∈====

0)(

)(

7

Ejercicio 2: La empresa EE vende baldosas en paquetes de 10 unidades. Se ha determinado que el número

de baldosas defectuosas en un paquete es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad

X 0 1 2 3 4

( )xm 0,08 0,15 0,54 4p 0,08

a) Calcula la probabilidad de que un paquete contenga más de una baldosa defectuosa

b) Si al abrir un paquete la primera baldosa que aparece es defectuosa, determina razonadamente la

probabilidad de que en ese paquete haya como máximo 3 baldosas defectuosas.

c) Determina y representa la función de distribución de la variable aleatoria X .

Ejercicio 3: Una panadería ha establecido que la demanda diaria del número de piezas de pan elaborado con

aceite es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad

X 0 1 2 3 4 5 6

( )xm 0,1 0,2 0,35 0,15 0,1 0,06 0,04

a) Calcula la probabilidad de que la demanda en un día sea de al menos tres piezas de pan de este tipo.

b) Si hasta las doce horas la demanda ha sido de una pieza de pan, determina la probabilidad de que la

demanda en ese día sea de al menos tres piezas.

c) Si al comienzo del día la panadería dispone de cuatro piezas de pan de este tipo, determina la

distribución de probabilidad del número de piezas que no se han vendido al finalizar el día.

d) Si el coste de cada pieza de pan de este tipo es de 0,5 euros, el precio de venta es de 0,85 euros y las

piezas no vendidas se tiran, determina la distribución de probabilidad del beneficio de la panadería si

al comienzo del día dispone de cuatro piezas de este tipo.

Ejercicio 4: Una pequeña empresa de taxis dispone de dos vehículos. A lo largo de un mes cada taxi recibe 0

multas de tráfico con probabilidad 0,5, 1 multa de tráfico con probabilidad 0,3 ó 2 multas de tráfico con

probabilidad 0,2.

a) Determina razonadamente la distribución de probabilidad del número de multas de tráfico que

recibe la empresa en un mes.

b) Calcula la probabilidad de que la empresa reciba en un mes más de dos multas de tráfico.

c) ¿Cuál es el número más probable de multas de tráfico que recibirá la empresa el próximo mes?

d) Si el primer día de un mes le han puesto una multa a uno de los taxis, determina razonadamente la

probabilidad de que en ese mes la empresa no reciba más de tres multas de tráfico.

Ejercicio 5: En el trayecto de un estudiante a la Universidad hay tres semáforos. En la tabla se recoge la

probabilidad de encontrar un número determinado de semáforos en rojo

Nº de semáforos en rojo 0 1 2 3

Probabilidad 0,14 0,36 0,34 0,16

a) Calcula la probabilidad de que el estudiante tenga que pararse como máximo en un semáforo.

b) Si el estudiante ha tenido que parar en dos semáforos, calcula la probabilidad de que el tercero

también esté en rojo.

c) Si el estudiante tarda 20 minutos en recorrer el trayecto hasta la Universidad cuando no debe

pararse y cada semáforo en rojo le retiene 1,5 minutos, determina razonadamente la distribución de

probabilidad del tiempo que tarda el estudiante en recorrer este trayecto.

8

5.2.2 Distribuciones de probabilidad continuas

Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad ,(Ω A, P) y sea (R, B, PX) el

espacio de probabilidad inducido por X . Se dice que X y su distribución de probabilidad son continuas o

de tipo continuo si su función de distribución se puede expresar:

∈∀x R ∫∞−

=x

dttfxF )()(

La función )(xf se llama función de densidad y cumple las condiciones

El conjunto 0)(/ >= xfxCX se llama soporte de la variable aleatoria X porque es el conjunto de

valores que puede tomar la variable aleatoria.

Se pueden demostrar las siguientes propiedades:

1. ( )xF es continua en R

2. Si 0x es un punto de continuidad de la función de densidad, entonces la función de distribución es

derivable en dicho punto y se verifica que )()( 00 xfxF =′ .

Estas propiedades nos permiten afirmar que:

** ∈∀a R 0== aXP por ser ( )xF continua en R (propiedad 6b. de la función de distribución)

** ∈∀a R ∫∞−

==≤=<a

dxxfaFaXPaXP )()(

** ∈∀ ba, R si ba < bXaPbXaPbXaPbXaP ≤<=≤≤=<≤=<<

∫∫∫∫∫∫ =−+=−=−=≤<∞−∞−∞−∞−

b

a

ab

a

aab

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfaFbFbXaP )()()()()()()()(

a b

( ) bXaPdxxfb

a

≤<=∫

f(x)

X

1. )(xf es una función no negativa

2. )(xf es continua en R excepto a lo sumo en un conjunto tal que todo intervalo finito contiene un

número finito de elementos de dicho conjunto.

3. ∫∞

∞−= 1)( dxxf .

9

Ejemplo 7: Determina la función de densidad de la variable aleatoria X cuya función de distribución es:

1)(4;16

)(40;0)(02

=≥=<≤=< xFxx

xFxxFx

Solución:

Calculamos la derivada de ( )xF

( ) ( ) ( ) 04;816

240;00 =′>==′<<=′< xFx

xxxFxxFx

En 0=x la derivada por la izquierda y por la derecha coinciden y por tanto ( ) 0=′ xF

En 4=x la derivada por la izquierda y por la derecha no coinciden y por tanto ( )xF no es derivable en este

punto. En este caso a la función de densidad en este punto se le asigna un valor no negativo.

La expresión de la función de densidad es:

Ejercicio 6: La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Suponga que las ventas

semanales de tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria X con función de distribución:

101)(;102)(;20)( >=≤<+=≤= xxFxnmxxFxxF

a) Determina razonadamente los valores m y n utilizando las propiedades de la función de distribución.

b) Explica entre qué valores oscilan las ventas semanales de tomates de la cooperativa CC.

c) Explica si X es una variable discreta o continua y determina su función de masa o de densidad.

d) Determina la probabilidad de que las ventas en una semana no superen los 5.000 euros.

e) Si el lunes la cooperativa ha tenido unas ventas de 3.000 euros, determina la probabilidad de que las

ventas de esa semana sean como mínimo de 6.000 euros.

f) Si el beneficio de la cooperativa asciende al 20% de las ventas, determina la probabilidad de que en

una semana la cooperativa obtenga un beneficio de al menos 1.200 euros por la venta de tomates.

g) Determina la distribución de probabilidad del beneficio semanal de la cooperativa por la venta de

tomates

Ejercicio 7: La duración, en miles de horas, de las bombillas de la marca BB es una variable aleatoria X con

función de densidad:

02,0)(;00)( 2,0 >=≤= − xexfxxf x

a) Determina la función de distribución de X

b) Calcula la probabilidad de que una bombilla de esa marca dure 1000 horas o menos.

c) Calcula la probabilidad de que una bombilla de esa marca dure más de 2000 horas.

d) Si una bombilla de esa marca lleva encendida 2000 horas, determina la probabilidad de que dure

más de 4000 horas.

e) Si el coste de fabricación de cada bombilla es de 2 euros y el precio de venta es de 5 euros pero se le

garantiza al cliente el reembolso total si la bombilla dura menos de 1000 horas, determina la

distribución de probabilidad del beneficio que obtiene el fabricante por cada bombilla.

( ) ( ) casootroen0;8

40 ==≤≤ xfx

xfx

10

5.3 Características de la distribución de una variable aleatoria

5.3.1 Esperanza matemática

Definición: Sea X una variable aleatoria, ( )xm la función masa de probabilidad, si la variable es discreta, y

( )xf la función de densidad si es continua. Se define el valor esperado, media o esperanza matemática de

la variable aleatoria X y lo vamos a notar [ ]XE , como el valor real, si es que existe, que se obtiene:

De la definición se deduce:

1. Si X es una v.a. discreta con soporte finito ( kiX xxxxD LL21,= ) entonces [ ]XE siempre

existe ya que se cumple la condición (1), y [ ] ( ) ∑∑ ∑=∈ =

⋅==⋅=⋅=k

iii

Dx

k

iii pxxXPxxmxXE

X 11

Ejemplo 8: Calcula el número medio de baldosas por paquete (ejercicio 2)

Para calcular [ ] ( )∑∈

⋅=DXx

xmxXE

X 0 1 2 3 4 Total

( )xm 0,08 0,15 0,54 0,15 0,08 1

( )xmx ⋅ 0 0,15 1,08 0,45 0,32 2

Obtenemos que [ ] 2=XE , el número medio de baldosas por paquete es dos.

2. Si X es una v.a. acotada siempre existe [ ]XE

“ X es una v. a. acotada” significa que MX ≤ , siendo M un número real positivo, y esta condición

permite afirmar que se cumple (1) ó (2) ya que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∈ ∈ ∈

=⋅⋅=⋅⋅≤⋅⋅

=⋅=⋅≤⋅

MdxxfMdxxfMdxxfxb

MxmMxmMxmxaX X XDx Dx Dx

)

)

y por tanto existe [ ]XE Ejemplo 9: Sea X una v.a. con función de densidad

( ) ( ) casootroenxfxxf 0;4041 =≤≤=

Como X es una v. a. acotada pues 4≤X , podemos afirmar que existe [ ]XE y su valor es

[ ] ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫

∑ ∑∞

∞−

∞

∞−

∈ ∈

∞<⋅⋅⋅⋅=

∞<⋅⋅=

2..)

1..)

dxxfxsidxxfxXEcontinuaavesXb

xmxsixmxXEdiscretaavesXaX XDx Dx

11

[ ] ( ) 28

1624

141

4

0

24

0

==⋅=⋅=⋅= ∫∫∞

∞−

xdxxdxxfxXE

3. Si X toma sólo valores positivos, entonces la convergencia en valor absoluto coincide con la

convergencia de la serie o la integral y por tanto existe [ ]XE si la serie o la integral son

convergentes.

Ejemplo 10: Sea X una v.a. con función de densidad: ( ) 02;00)( 2 >⋅=≤= − xexfxxf x

Como X sólo toma valores positivos, para calcular [ ]XE sólo tenemos que determinar

[ ] ( )21

20

2 =⋅⋅== ∫∫∞

−∞

∞−

dxexdxxfXE x


( )xf la función de densidad si es continua. Si ( )Xg es una variable aleatoria función de la variable

aleatoria X (se demuestra que si la función real de variable real, g, es continua o monótona entonces

( )Xg es una variable aleatoria), entonces

se define ( )[ ]XgE , la esperanza matemática de ( )Xg , como el valor real, si es que existe, que se obtiene

5.3.1.1 Propiedades de la esperanza matemática

Enunciamos algunas de las propiedades de la esperanza matemática

1. Si X es una variable aleatoria tal que 1== cXP , entonces [ ] [ ] ccEXE == .

2. Si X es una variable aleatoria y )( Xg es una variable aleatoria no negativa, entonces si existe

( )[ ]XgE se verifica que ( )[ ] 0≥XgE

3. Si )( Xg es una variable aleatoria función de la variable aleatoria X y a es un número real, entonces

si existe ( )[ ]XgE también existe ( )[ ]XgaE ⋅ y se verifica

4. Si 21 aya son dos números reales y ( ) ( )XgyXg 21 son dos variables aleatorias función de la

variable aleatoria X entonces si existe ( )[ ] ( )[ ]XgEyXgE 21 también existe

( ) ( )[ ]XgaXgaE 2211 ⋅+⋅ y se verifica

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫

∑ ∑∞

∞−

∞

∞−

∈ ∈

∞<⋅⋅⋅⋅=

∞<⋅⋅=

dxxfxgsidxxfxgXgEcontinuaavesXb

xmxgsixmxgXgEdiscretaavesXaX XDx Dx

..)

..)

( )[ ] ( )[ ]XgEaXgaE ⋅=⋅

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]XgEaXgEaXgaXgaE 22112211 ⋅+⋅=⋅+⋅

12

5.3.2 Momentos de una distribución de probabilidad

Vamos a considerar dos tipos de momentos, los momentos no centrales y los momentos centrales o

respecto a la media.

5.3.2.1 Momentos no centrales

Sea X una variable aleatoria y r un número entero positivo, se define el momento no central de orden r de

la distribución de probabilidad de X , que notamos rα , como la esperanza matemática, si es que existe, de

rX . Por lo tanto:

“Se puede demostrar que si existe rα para un valor fijo de r, entonces existen todos los momentos de orden

inferior a él”.

5.3.2.2 Momentos centrales

Sea X una variable aleatoria, 1α su media y r un número entero positivo. Se define el momento central de

orden r de la distribución de probabilidad de X , que notamos rµ , como la esperanza matemática, si es

que existe, de ( )rX 1α− . Por lo tanto:

El momento central de orden dos recibe el nombre de varianza de la distribución de probabilidad de X y

utilizaremos la notación ( ) 22 σµ == XV .

La raíz cuadrada positiva de la varianza recibe el nombre de desviación típica (utilizaremos la notación

σµ =2 ) y es una medida de dispersión de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria

Los momentos centrales se pueden obtener a partir de los momentos no centrales, ya que si tenemos en

cuenta las propiedades de la esperanza matemática y suponemos que existen los correspondientes

momentos no centrales, se verifican las siguientes igualdades:

[ ] [ ] [ ] KK3

32

21 ;; XEXEXE === ααα

[ ] ( )[ ] ( )[ ] KK3

132

1211 ;; αµαµαµ −=−=−= XEXEXE

[ ] [ ] 0111 =−=−= ααµ XEXE

( )[ ] [ ] [ ] [ ] 212

21

212

211

2211

2212 222 ααααααααααµ −=+⋅−=+⋅⋅−=+⋅⋅−=−= XEXEXXEXE

( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]31213

31

31213

31

21

21

331

21

21

3313

2333

3333

ααααααααααααααααµ

+⋅⋅−=−⋅+⋅⋅−=

=−⋅⋅+⋅⋅−=−⋅⋅+⋅⋅−=−= XEXEXEXXXEXE

13

Ejemplo 11: La empresa EE vende baldosas en paquetes de 10 unidades. Se ha determinado que el número


X 0 1 2 3 4

( )xm 0,08 0,15 0,54 0,15 0,08

Calcula los momentos no centrales y centrales de orden menor o igual a tres

Solución:

Para determinar el valor de los momentos efectuamos las operaciones que se incluyen en la tabla

X 0 1 2 3 4 Total

( )xm 0,08 0,15 0,54 0,15 0,08 1,00

( )xmx ⋅ 0,00 0,15 1,08 0,45 0,32 2 [ ] 2)(1 ∑

∈

=⋅==XDx

xmxXEα

( )xmx ⋅2 0,00 0,15 2,16 1,35 1,28 4,94

[ ] 94,4)(222 ∑

∈

=⋅==XDx

xmxXEα

( )xmx ⋅3 0,00 0,15 4,32 4,05 5,12 13,64

[ ] 64,13)(333 ∑

∈

=⋅==XDx

xmxXEα

( )[ ] ( )( )[ ] 064,2964,291664,2964,1323

94,0294,431213

313

2212

212

=−=+−=⋅+⋅⋅−=−=

=−=−==−=

αααααµ

αααµ

XE

XVXE

Ejemplo 12: La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Si las ventas semanales de

tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria X con función de distribución:

101)(;102)(;20)( >=≤<+=≤= xxFxnmxxFxxF

Calcula los momentos no centrales y centrales de orden menor o igual a tres

Solución:

En el apartado c) del ejercicio 6 hemos determinado la función de densidad

casootroenxfxxf 0)(;1028

1)( =≤≤=

[ ] 62

4100

8

1

28

1

8

1)(

10

2

210

2

1 =−=

=⋅=⋅== ∫∫

∞

∞−

xdxxdxxfxXEα

[ ]3

124

24

992

24

81000

38

1

8

1)(

10

2

310

2

2222 ==−=

=⋅=⋅== ∫∫

∞

∞−

xdxxdxxfxXEα

[ ] 31232

9984

32

1610000

48

1

8

1)(

10

2

410

2

3333 ==−=

=⋅=⋅== ∫∫

∞

∞−

xdxxdxxfxXEα

14

( )[ ] ( )

( )[ ] 043274431223

3

1636

3

124

31213

313

212

212

=+−=+−=−=

=−=−==−=

αααααµ

αααµ

XE

XVXE

En efecto:

a) [ ] [ ]baXEYE +=

Como [ ] bbE = (propiedad 1 de la esperanza) y existe [ ]XE , podemos aplicar la propiedad 4 de la

esperanza y obtenemos [ ] [ ] bXaEbaXE +=+ . Por tanto [ ] [ ] [ ] bXaEbaXEYE +=+=

b) Por definición ( ) [ ]( )[ ]2YEYEYV −= y si desarrollamos esta expresión obtenemos

( ) [ ]( )[ ] ( [ ] )[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ]22222 XEXaEXEXaEbXaEbaXEYEYEYV −⋅=−⋅=−−+=−=

Como existe [ ]( )[ ]2XEXE − ya que [ ]( )[ ] ( )XVXEXE =− 2, podemos aplicar la propiedad 3 de la

esperanza y obtenemos [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] ( )XVaXEXEaXEXaE ⋅=−⋅=−⋅ 22222

Por tanto ( ) [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] ( )XVaXEXEaXEXaEYEYEYV ⋅=−⋅=−⋅=−= 222222

Podemos utilizar esta propiedad para calcular la media y la varianza de la variable aleatoria tipificada, Z,

asociada a una variable aleatoria X con media µ y desviación típica σ finitas.

Se define σµ

σσµ −=−= X

XZ

1 entonces se verifica

[ ] [ ]

( ) ( ) 111

01

2

2

2

==

=

=−=−=

σσσ

σµ

σµ

σµ

σ

XVZV

XEZE

Propiedad de la media y de la varianza: Sea X una variable aleatoria y ba, dos números reales

cualesquiera. Se considera la variable aleatoria bXaY += .

a) Si existe [ ]XE entonces existe [ ]YE y se verifica [ ] [ ] bXaEYE +=

b) Si existe ( )XV entonces existe ( )YV y se verifica ( ) ( )XVaYV 2=

15

Ejercicio 8: La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Suponga que las ventas

semanales de tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria X con función de distribución:

101)(;1028

2)(;20)( >=≤<−=≤= xxFx

xxFxxF

Si el beneficio de la cooperativa asciende al 20% de las ventas, determina razonadamente la media y la

varianza del beneficio semanal de la cooperativa

5.3.3 Mediana y cuantiles

5.3.3.1 Mediana

Sea X una variable aleatoria, se define la mediana de la distribución de probabilidad de X , que notamos

Me, como un valor real que verifica las siguientes desigualdades:

21

;21 ≥≤≥≥ MeXPMeXP

Como MeXPMeXP <−=≥ 1 , entonces 21

21 ≤<⇔≥≥ MeXPMeXP , por tanto

• Si X es una v.a. discreta, la mediana es el valor real que verifica las desigualdades

• Si X es una v.a. continua entonces ( )MeFMeXP =< , y la mediana es el valor real que verifica

las desigualdades

2

1≤< MeXP y 2

1≥≤ MeXP que se pueden expresar 21

)( ≤MeF y 21

)( ≥MeF pero sólo

se cumplen las dos últimas desigualdades si

5.3.3.2 Cuantiles

Sea X una variable aleatoria y α un número real entre 0 y 1, se define el cuantil de orden α de la

distribución de probabilidad de X , que notamos αx , como un valor real que verifica las siguientes

desigualdades

αα αα ≥≤−≥≥ xXPxXP ;1

Como αα xXPxXP <−=≥ 1 , entonces αα αα ≤<⇔−≥≥ xXPxXP 1 , por tanto

• Si X es una v.a. discreta, el cuantil de orden α es el valor real que verifica las desigualdades

2

1

2

1 ≥≤≤< MeXPyMeXP

2

1)( =MeF

αα ≤< xXP y αα ≥≤ xXP

16

• Si X es una v.a. continua entonces ( )αα xFxXP =< , y el cuantil de orden α es el valor real

que verifica las desigualdades.

αα ≤< xXP y αα ≥≤ xXP que se pueden expresar αα ≤)(xF y αα ≥)(xF pero sólo se

cumplen las dos últimas desigualdades si

Casos particulares:

• Cuartiles: se definen los cuartiles de la distribución de probabilidad que notaremos 1Q y 3Q , como

los cuantiles 25,0x y 75,0x respectivamente.

• Percentiles: se definen los percentiles de la distribución que notaremos 9921 , PPP KK , como los

cuantiles 99,002,001,0 , xxx KK respectivamente.



X 0 1 2 3 4

( )xm 0,08 0,15 0,54 0,15 0,08

Calcula la mediana, los cuartiles y el percentil 77

Solución:

Obtenemos la función de distribución

0)(0 =≤=< xXPxFx

08,00)(10 ===≤=<≤ XPxXPxFx

23,010)(21 ==+==≤=<≤ XPXPxXPxFx

77,0210)(32 ==+=+==≤=<≤ XPXPXPxXPxFx

92,03210)(43 ==+=+=+==≤=<≤ XPXPXPXPxXPxFx

143210)(4 ==+=+=+=+==≤=≥ XPXPXPXPXPxXPxFx

Para determinar la mediana, como X es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores que

cumplen

2

1≤< MeXP y 2

1≥≤ MeXP

Si analizamos los valores que toma la función de distribución, vemos que el menor valor mayor o igual a 0,5

es 0,77 y por tanto cualquier valor mayor o igual a 2 cumple que 21≥≤ xXP

Si 21

23,01022 ≤==+==<= XPXPXPx

( ) αα =xF

17

Si 21

77,02101,21,2 ≤/==+=+==<= XPXPXPXPx y del mismo modo podemos

razonar que si 2

177,02101,2 ≤/==+=+=≥<> XPXPXPxXPx

Por lo tanto 2=Me ya que es el único valor que cumple 21

23,02 ≤=<XP y 21

77,02 ≥=≤XP

Para determinar el primer cuartil, como X es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores

que cumplen

25,01 ≤< QXP y 25,01 ≥≤ QXP

Razonando del mismo modo que en el caso de la mediana, podemos decir que 21 =Q ya que es el único

valor que cumple 25,023,02 ≤=<XP y 25,077,02 ≥=≤XP

Para determinar el tercer cuartil, como X es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores

que cumplen

75,03 ≤< QXP y 75,03 ≥≤ QXP

Razonando del mismo modo que en el caso de la mediana, podemos decir que 23 =Q ya que es el único

valor que cumple 75,023,02 ≤=<XP y 75,077,02 ≥=≤XP

Para determinar el percentil 77, como X es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores

que cumplen

77,077 ≤< PXP y 77,077 ≥≤ PXP

Si analizamos los valores que toma la función de distribución, vemos que 77,077,02 ≥=≤XP , por

tanto cualquier valor x mayor o igual a 2 cumple que 77,0≥≤ xXP

Si 77,023,01022 ≤==+==<= XPXPXPx

Si 77,077,02101,21,2 ≤==+=+==<= XPXPXPXPx y del mismo modo podemos

razonar que si 77,077,021032 ≤==+=+==<<≤ XPXPXPxXPx

Si 77,077,021033 ≤==+=+==<= XPXPXPXPx

Si 77,092,032101,31,3 ≤/==+=+=+==<= XPXPXPXPXPx

Hemos razonado que si 77,032 ≤<≤≤ xXPx y 77,0≥≤ xXP , por tanto el percentil 77

es cada uno de los valores del intervalo [2, 3]

Ejercicio 10: La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Si las ventas semanales de

tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria X con función de distribución:

101)(;1028

2)(;20)( >=≤<−=≤= xxFx

xxFxxF

Calcula la mediana, los cuartiles y el percentil 77

18

Solución:

Para determinar la mediana utilizamos que 2

1)( =MeF ya que la variable aleatoria X es continua

6422

1

8

2

2

1)( =⇒=−⇒=−⇔= MeMe

MeMeF

Para determinar el primer cuartil utilizamos que 4

1)( 1 =QF ya que la variable aleatoria X es continua

4224

1

8

225,0)( 11

11 =⇒=−⇒=−⇔= QQ

QQF

Para determinar el tercer cuartil utilizamos que 4

3)( 3 =QF ya que la variable aleatoria X es continua

8624

3

8

275,0)( 33

33 =⇒⋅=−⇒=−⇔= QQ

QQF

Para determinar el percentil 77 utilizamos que 77,0)( 77 =PF ya que la variable aleatoria X es continua

16,816,677,08277,08

277,0)( 7777

7777 =⇒=⋅=−⇒=−⇔= PP

PPF

5.3.4 Moda

Definición: Sea X una variable aleatoria, se define la moda de la distribución de probabilidad de X , que

notamos Mo, como el valor real que maximiza la función masa de probabilidad si la variable es discreta o la

función de densidad si la variable es continua.

En el caso de distribuciones de probabilidad discretas a la moda también se le llama valor más probable.

5.3.5 Simetría de una distribución de probabilidad


( )xf la función de densidad si es continua. Se dice que la distribución de probabilidad de X es simétrica

respecto al número real c si se verifica:

Propiedades de las distribuciones simétricas

1. Si la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es simétrica respecto al valor c ,

entonces si existe [ ]XE se verifica [ ] cXE =

• )()( xcmxcmx +=−ℜ∈∀ cuando X es una variable aleatoria discreta

• )()( xcfxcfx +=−ℜ∈∀ cuando X es una variable aleatoria continua

19

2. Si la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es simétrica respecto al valor c ,

entonces todos los momentos centrales de orden impar, si existen, son nulos.



X 0 1 2 3 4

( )xm 0,08 0,15 0,54 0,15 0,08

Estudia si la distribución es simétrica.

Solución:

En el ejemplo 8 obtuvimos que el número de baldosas defectuosas que se espera obtener en un paquete es

dos.

Por tanto esta distribución será simétrica si se cumple que )2()2( xmxmx +=−ℜ∈∀

Observamos que

( ) ( ) 1paraanteriorcondiciónlacumplesequesignificaesto,1212)3()1( =+=−⇔= xmmmm

( ) ( ) 2paraanteriorcondiciónlacumplesequesignificaesto2222)4()0( =+=−⇔= xmmmm

Para el resto de valores x la función masa de probabilidad es cero y se cumple la condición.

Por tanto, podemos afirmar que la distribución es simétrica ya que se cumple

)2()2( xmxmx +=−ℜ∈∀

5.3.6 Función generatriz de momentos

Definición: Sea X una variable aleatoria y t un número real. Si existe [ ] ( )ccteE tX ,−∈∀ siendo c un

número real positivo, se puede definir una función

[ ] ctceEtg tX <<−=)(

A esta función se le llama función generatriz de momentos de la distribución de probabilidad de X .

Ejemplo 13: La duración, en miles de horas, de las bombillas de la marca BB es una variable aleatoria X con

función de densidad:

02,0)(;00)( 2,0 >=≤= − xexfxxf x

Determina la función generatriz de momentos de la distribución de probabilidad de X

Solución:

[ ] ∫∫∫+∞

−−−+∞+∞

∞−===

0

)2,0(2,0

0

2,02,0)( dxedxeedxxfeeE xtxtxtxtX

20

Si [ ] [ ] +∞=====+∞∞+ ∞+

−−∫ ∫

00 0

)2,0(2,02,02,02,0 xdxdxeeEt xttX

y por tanto no existe [ ]tXeE

Si [ ] ( ) ( )[ ] ∞+−−+∞

−−+∞

−− −−

=−−

===/ ∫∫ 02,0

0

2,0

0

)2,0(

2,0

2,0)2,0(

2,0

2,02,02,0

xtxtxttX et

dxett

dxeeEt

Para calcular el valor del límite consideramos dos casos

( ) tt >⇔>− 2,002,0 entonces 0lim)2,0( =−−

+∞→xt

xe y por tanto [ ]

teE tX

−=

2,0

2,0

( ) tt <⇔<− 2,002,0 entonces +∞=−−+∞→

xt

xe )2,0(

lim y por tanto no existe [ ]tXeE

La función generatriz de momentos es ( ) ( ) 2,02,02,02,0

2,0)( 1 <−=

−= − tt

ttg

Propiedades de la función generatriz de momentos

Se pueden demostrar las siguientes propiedades:

1. ( ) 10 =g

2. Sea X una variable aleatoria, ba, dos números reales y )(tgX la función generatriz de momentos

de X . Entonces existe la función generatriz de momentos de la variable aleatoria bXaY += y se

puede expresar

)()( btgetg Xat

Y ⋅=

3. Sea X una variable aleatoria y )(tg su función generatriz de momentos. Entonces se verifican las

siguientes igualdades:

KK321 )0(;)0(;)0( ααα =′′′=′′=′ ggg

4. Si X e Y son dos variables aleatorias tales que sus funciones generatrices de momentos )(tgX y

)(tgY toman el mismo valor para cada ( )cct ,−∈ , entonces las dos variables aleatorias tienen la

misma distribución de probabilidad.

Esta propiedad nos permite afirmar que la función generatriz de momentos determina unívocamente la

distribución de probabilidad de la variable aleatoria.

Ejercicio 12: El número de ordenadores que vende un comercio semanalmente es una variable aleatoria X

con función masa de probabilidad

X 0 1 2 3 4 5 7

( )xm 0.03 0.12 0.15 0.4 0.15 0.12 0.03

a) Explica si la distribución de X es simétrica

b) Calcula la probabilidad de que en una semana el número de ordenadores que vende el comercio sea

superior a la media.

c) Si el precio de venta de un ordenador es de 500 euros y el beneficio del comercio es del 5% sobre

dicho precio, determina razonadamente el beneficio semanal que espera obtener el comercio

debido a la venta de ordenadores.

d) Determina la moda, la mediana, los cuartiles, el percentil 30 y el percentil 80 de la distribución de

probabilidad de X .

21

Ejercicio 13: El tiempo, en horas que tarda en fabricarse un electrodoméstico de cierto tipo es una variable

aleatoria X con función de densidad:

( )

0)(;424

4)(;20

4)( =≤<−=≤≤= xfx

xxfx

xxf en otro caso

a) Determina la probabilidad de que un electrodoméstico de este tipo tarde más de tres horas en

fabricarse.

b) Determina la probabilidad de que un electrodoméstico de este tipo tarde menos de una hora en

fabricarse.

c) Estudia si la distribución de probabilidad de X es simétrica y determina la moda, la mediana y los

cuartiles.

d) Si el coste de fabricación de un electrodoméstico de este tipo es de 100 euros más 30 euros por cada

hora que tarda en fabricarse, determina el coste de fabricación esperado de un electrodoméstico.

Ejercicio 14: Los ingresos diarios, en cientos de euros, de un comercio es una variable aleatoria X con

función de distribución

91)(;936

3)(;30)( >=≤<−+=≤= xxFx

xnmxxFxxF


distribución.

b) Razona si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

** La media de X es el doble de la varianza

** La distribución de X es simétrica

c) Determina razonadamente la probabilidad de que el comercio tenga en un día unos ingresos de al

menos 800 euros, si los ingresos al cerrar el comercio al mediodía eran de 400 euros.

Ejercicio 15: El porcentaje de vinagre que contienen las latas de gazpacho GG es una variable aleatoria X

con función de densidad:

( )0)(;40

8

4)( =≤≤−= xfx

xkxf en otro caso.

a) Determina el porcentaje medio de vinagre que contiene una lata de gazpacho.

b) Determina la función de distribución de la variable aleatoria X . c) Si las latas que contienen más del 3% de vinagre tienen mal sabor, calcula la probabilidad de que

una lata de gazpacho tenga mal sabor.

d) Si una persona compra tres latas de gazpacho, determina la probabilidad de que una de ellas tenga

mal sabor.

e) Razona si el porcentaje medio de vinagre que contiene una lata de gazpacho es mayor que el

porcentaje mediano

Ejercicio 16: La probabilidad de que un hombre de 30 años viva un año más es 0.99. Una compañía de

seguros ofrece vender a un hombre de 30 años una póliza de seguro de vida por 10.000 euros a un año y con

una prima de 110 euros. ¿Cuál es la ganancia esperada de la compañía?

Ejercicio 17: En una lotería hay un primer premio de 3.000 euros, tres segundos premios de 1.000 euros y

seis terceros premios de 500 euros. Si la lotería tiene 1.000 boletos que se venden a 5 euros cada uno,

determina la ganancia esperada de una persona que compra un boleto de esta lotería.

22

Ejercicio 18: Se ha determinado que el tiempo diario, en horas, que los funcionarios de cierta región están conectados a la red durante su jornada de trabajo es una variable aleatoria X con función de distribución

00)(;01)( ≤=>−= − xxFxkexF kx

a) Utilizando las propiedades de la función de distribución, determina el valor de k y explica si X es

una variable discreta o continua. Determina la función de masa o de densidad y el soporte de X .

b) Calcula la probabilidad de que un funcionario esté conectado a la red una hora o más en un día

durante su jornada de trabajo.

c) Calcula la probabilidad de que un funcionario esté conectado a la red durante su jornada de trabajo

entre dos y tres horas.

d) Si un funcionario lleva conectado a la red una hora, determina la probabilidad de que no esté

conectado más de dos horas.

e) Calcula el tiempo diario máximo que están conectados a la red durante su jornada de trabajo el 30%

de los funcionarios que menos la utilizan.

Ejercicio 19: El tiempo, en minutos, que tardan en un taller mecánico en efectuar la revisión de un

automóvil, es una variable aleatoria con función de distribución:

( ) ( ) 00)(;01 2

2

<=≥+

⋅= xxFxx

xkxF

a) Determina, utilizando las propiedades de la función de distribución, el valor de k . b) Si el encargado del taller piensa iniciar la revisión de un vehículo 10 minutos después de recibirlo en

el taller, y le dice al cliente que estará listo en media hora, ¿cuál es la probabilidad de que se equivoque?

c) Si la reparación del vehículo se inicia en el momento de recibirlo, ¿cuándo debe decirle el encargado

al cliente que vuelva, para que, con una probabilidad de 0'95, éste no tenga que esperar?

Ejercicio 20: Suponga que la cantidad diaria de gasolina, en miles de litros, que vende una gasolinera es una

variable aleatoria X con función de distribución:

( ) ( ) ( ) ( ) 11;5,0110;00 =>−=≤<=≤ xFxxxkxFxxFx

a) Determina el valor de k utilizando las propiedades de la función de distribución.

b) Determina razonadamente la mediana de la distribución de probabilidad de X y explica el

significado del valor obtenido.

c) Si a las 11 horas ya se han vendido 200 litros de gasolina, determina la probabilidad de que ese día

no se vendan más de 800 litros.

d) Si por cada litro de gasolina vendido se obtiene un beneficio de 20 céntimos de euro, calcula

razonadamente la probabilidad de que la gasolinera obtenga mañana más de 150 euros de beneficio.

Ejercicio 21: El tiempo, en minutos, que se tarda en fabricar cierto artículo es una variable aleatoria X con

función de densidad

( ) ( ) ( ) ( ) casootroenxfxxfxxfxxf 0;403040

1;3020

20

1;2010

40

1 =≤≤=<<=≤≤=

a) Calcula la probabilidad de que se tarde en fabricar un artículo más de 25 minutos

b) Si el proceso de fabricación de un artículo se inició hace 15 minutos, determina la probabilidad de

que se tarde en fabricar el artículo más de 25 minutos.

23

c) Determina el tiempo máximo que se invierte en la fabricación del 10% de los artículos que menos

tardan en fabricarse.

d) Estudia si la distribución de X es simétrica.

e) Determina razonadamente la media y la mediana de la variable aleatoria X

f) Si el coste de fabricación de un artículo es de 2 euros más 30 céntimos de euro por cada minuto que

tarda en fabricarse, determina razonadamente el coste de fabricación esperado de un artículo.

Ejercicio 22: (Examen Junio 2011) Un almacén recibe semanalmente de fábrica cierto producto perecedero

que distribuye en exclusiva en una ciudad. La cantidad semanal demandada del producto, en miles de Kgs.,

es una variable aleatoria con función de distribución:

( ) ( ) ( ) 81;82;20 >=≤<−=≤= xxFxn

mxxFxxF


distribución.

b) Explica entre qué valores oscila la cantidad semanal demandada del producto.

c) Si el almacenista quiere tener una confianza del 90% de que no se le agote el producto en una

semana, ¿qué cantidad debe pedir a la fábrica

Ejercicio 23: (Examen Septiembre 2011) El número de novelas en inglés que vende semanalmente una

librería es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad

X 0 1 2 3 4 5 7

( )xm 0,05 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05

a) Razona si la distribución de probabilidad de la variable X es simétrica.

b) Si el martes de cierta semana la librería ha vendido una novela en inglés, determina razonadamente

la probabilidad de que en esa semana no venda más de tres.

c) Si por cada novela en inglés que vende la librería obtiene un beneficio de 4 euros, determina

razonadamente el beneficio semanal que espera obtener la librería por la venta de novelas en inglés

Ejercicio 24: (Examen Junio 2012) La compañía de transporte urgente por carretera TUC ha determinado que

el número de multas de tráfico por exceso de velocidad que recibe mensualmente es una variable aleatoria

con función masa de probabilidad

X 1 2 4 6 7

m(x) 0,18 0,12 0,36 0,24 0,1

a) Determina razonadamente la media, la moda y la mediana de la distribución de probabilidad y

explica si es una distribución simétrica.

b) Si el primer día de un mes la empresa recibe dos multas por exceso de velocidad, determina

razonadamente la probabilidad de que ese mes no reciba más multas por exceso de velocidad.

Ejercicio 25: (Examen Septiembre 2012) El peso, en cientos de gramos, de las doradas que se crían en la

piscifactoría “Mar Mediterráneo” es una variable aleatoria con función de distribución

( ) ( ) ( ) 81;826

;20 >=≤<−+⋅=≤= xxFxnx

xmxFxxF

Determina razonadamente el peso mínimo del 40% de las doradas de mayor peso.

24

Ejercicio 26: (Examen Septiembre 2014) El número mensual de casas que vende un agente inmobiliario es

una variable aleatoria X con función masa de probabilidad

X 2 6 8 10 12 15

( )xm 0,12 0,17 0,2 0,2 0,17 0,14

a) Razona si es cierta la siguiente afirmación: La media y la mediana de la distribución de probabilidad

de X son iguales.

b) Si el salario mensual del agente se compone de una retribución fija de 1800 euros más 200 euros por

cada casa vendida en el mes, determina razonadamente la media y la desviación típica de la variable

“Salario mensual del agente en miles de euros”(Debes utilizar alguna propiedad de la media y la

varianza)

Apuntes de clase Tema 5 - Ozono Centro de Estudios · 1 TEMA 5 VARIABLE ALEATORIA 5.1 Concepto de...

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