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Matemáticas I (Cálculo diferencial)

Unidad 2. Funciones

Introducción

Al estudiar diversos fenómenos de la naturaleza y problemas matemáticos resulta

que el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo, el área de un

círculo depende de su radio (A=π r2). La distancia recorrida por un objeto puede

depender del tiempo transcurrido desde que salió de un punto específico, etc. La

relación entre este tipo de cantidades se expresa mediante una función.

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCION, DOMINIO, CODOMINIO Y

RECORRIDO DE UNA FUNCION

Constante. Son cantidades o literales que conservan siempre un valor fijo. Se

representan usualmente con las primeras letras del abecedario como a, b, c, d, y e.

Variable. Son literales a las que se les asigna un número ilimitado de valores; se les

representa usualmente con las últimas letras del alfabeto como p ,q , r , s , t ,u ,w , x , y , z .

Función: Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos (A ,B) de

tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un

elemento del segundo conjunto. Simbólicamente se representa como:

y=f (x )

Esquemáticamente una función se ilustra como en la figura siguiente. Mientras x

puede tomar cualquier valor en el conjunto A , la variable y=f (x ) depende del

elemento particular elegido para x. Por eso se refiere a x como la variable

independiente y a y como la variable dependiente. Los conjuntos A ,B contienen

solo números reales.

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Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la

variable independiente x . Es decir, son todos aquellos números para los cuales la

función tiene sentido y se representa por (A) en la figura.

Codominio. El codominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable

dependiente y. Este conjunto se representa por (B) en la figura.

Rango ó Recorrido. Es el subconjunto de B formado por todas las imágenes. Una

imagen es el elemento y que se obtiene en el codominio después de aplicar la regla

de correspondencia a un elemento x del dominio. La diferencia entre recorrido y

codominio es que este último es el conjunto de las posibles imágenes que no

necesariamente se ocupará completamente.

Evaluación de una función y cálculo del dominio y recorrido

1. Dada la función f ( x )=x2−2x−1, determine:

a¿ f (3)

b¿ f (0)

c ¿ f (−2)

d ¿ f (2/3 )

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Representación de una regla de correspondencia

Matemáticas I (Cálculo diferencial)

Solución:

a¿ f (3 )=(3)2−2 (3 )−1=9−6−1=2

b¿ f (0 )=(0 )2−2 (0 )−1=−1

c ¿ f (−2 )= (−2 )2−2 (−2 )−1=7

d ¿ f (2/3 )=(2/3 )2−2 (2/3 )−1=−17/9

2. Determinar el dominio y el rango o recorrido de las siguientes funciones:

a¿ f (x)=x2

b¿ g(x )=√ x−3

c ¿ y= 1x−2

Solución:

a) El dominio son todos los números reales ó (−∞,+∞) y el recorrido es ¿

b) El dominio es el conjunto de valores de x tales que x−3≥0. Es decir el intervalo ¿,

ya que si x<3, se tiene la raíz cuadrada de un número negativo, y entonces g(x ) no

será un número real. Como g(x ) nunca es negativo, el recorrido es ¿

c) El domino de la función son todos los valores de x tales que x≠2, ya que para x=2

la función no está definida. De esta manera el recorrido es y ≠0, es decir, el intervalo

(−∞ ,0 )∪(0 ,+∞)

Las afirmaciones anteriores se pueden observar al graficar cada una de las funciones

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